-
1
2 Lista de Exerccios 2013
Integrais Definidas e Clculo de rea 1. Calcule as seguintes
integrais definidas:
(a) +3
1 2
23 dx
x5x4x2 (b) ( )
1 2 30 t t t dt (c)
6
3 dx4x
2. Uma partcula move-se com uma velocidade de v(t)m/s ao longo
de um eixo s. Ache o deslocamento e a distncia percorrida pela
partcula, durante o intervalo de tempo dado.
a) v(t) sen(t); 0 t2
= . b) v(t) cos(t); t 2 .2
=
3. Uma partcula move-se com acelerao 2m / s ao longo de um eixo
s e tem velocidade 0v m / s , no instante t 0= . Ache o
deslocamento e a distncia percorrida pela partcula durante o
intervalo de tempo dado.
a) 0a(t) 2; v 3; 1 t 4= = b) 01a(t) ; v 2; 0 t 35t 1
= = +
4. Um pas tem 100 bilhes de m3 de reserva de gs natural. Se A(t)
denota o total de gs consumido aps t anos, ento dA/dt a taxa de
consumo. Se a taxa de consumo prevista em 5 + 0,01t bilhes de m3
por ano, qual o tempo aproximado, em anos, em que as reservas
estaro esgotadas?
Atravs da integral indefinida podemos calcular a
rea limitada por uma curva y=f(x) e o eixo Ox,
onde a x b. Esse link obtido com o uso do
Teorema Fundamental do Clculo.
5. a) Usando integrais, calcule a rea limitada pela
reta y=x e o eixo Ox, onde 1 x 3.
b) Confira o resultado obtido calculando a rea
com seus conhecimentos do Ensino Mdio.
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3
6
5
4
3
2
1
1
2
3
x
y
UNIFACS - Cursos de Engenharia Disciplina: Clculo Integral Ano:
2013
-
2
6. a) Usando integrais, calcule a rea limitada
pelas retas y=x+1, y=-x+5, e os eixos
coordenados Ox e Oy.
b) Confira o resultado obtido calculando a rea
com seus conhecimentos anteriores. x
y
-4 4
-4
-2
2
7. Calcule a rea determinada pelo grfico da
funo y=x2 +1 (parbola) pela reta y=-2x+4, e
os eixos coordenados Ox e Oy.
x
y
y = 1+x^2y = -2x+4
8. Determine a rea limitada pela parbola y = x2 + 1 e pela reta
y = x + 3 .
9. Visualize os grficos abaixo e determine a rea da regio do
plano limitada por essas curvas. (a) xy = 4 e x + y = 5. (b) y =
2x, y = 2x - x2, x = 0 e x = 2. (c) y = 2x, y = 1 e y = 2/x
(d) y = x3 3x, y = 2x2 (e) y = x3 e y=x2 + 2x (f) y = 9/x, y =
9x, y = x
10. Determine o valor das reas sombreadas nas figuras abaixo. Se
possvel verifique suas respostas usando reas conhecidas no Ensino
Mdio (tringulos, trapzios) ou em um programa computacional. a) b)
c) d)
-
3
Integrao de fraes racionais por decomposio de fraes parciais.
11. Resolva as integrais abaixo.
a) 1x
dx2
b) 6x5x
dx2 +
c) x3x
dx2 +
d) dx)7x)(1x(
3x2
e) dxx3x
1xx2
2
+
++ f) dx
4x3x
10x52
g) dx
1x
2xx2
2
++ h) dx
xx2x
6x20x523
2
++
++
i) dx x2x
4x2 23
+ j)
4 2
3 2
3 16
x x dxx x x
+
k) 2 2 0
dx ax a
l) ( )( )
95 2x dx
x x
+
m) ( )1
20
2 31x dxx+
+
n)
( )( )
22
1
4 7 122 3
x x dxx x x
+
Integrais trigonomtricas: 12. Resolva as integrais abaixo.
a) xdxsen2 b) xdxsen3 c) xdxxsencos 25 d) 2 315sen xcos xdx e)
sen(3x)cos(5x)dx f) 3 4sen (2x)cos (2x)dx g) 515sen xdx h) ( )5cos
3 3x dx Obs: Para resolver: e) use a frmula
))ba(sen)ba(sen)(2/1(bcossena ++= Respostas 1) a) 10/3; b) 1/70; c)
53/2;
2) a) deslocamento=1; distncia=1 b) deslocamento=-1; distncia=3
3) a) deslocamento= - 6; distncia= 13/2 b) deslocamento = 204/25;
distncia = 204/25 4) aproximadamente 19,62 anos
5) rea igual a 2.
6) Calcule as intersees entre as curvas para depois integrar em
cada intervalo conveniente.
-
4
7) Calcule as intersees entre as curvas para depois integrar em
cada intervalo conveniente.
8) 4,5;
9) a) 15 8ln (2)2 ; b) 3 4
ln(2) 3 ; c)
3 2ln(2)4
+ ; d) 716
; e) 3712
f) 18ln(3);
10) a) 7/3; b) 8/3; c) 5/2; d) 11/4
11) a) C1x
211x
21
++ lnln b) C3x2x + lnln
c) C3x31x
31
++ lnln d) C7xln6111xln
61
++
e) 1 7ln ln 33 3
x x x C+ + + f) 2 ln 4 3ln 1x x C + + +
g) 2ln 1 ln 1x x x C+ + + h) C1xx 61x
9+++
+ lnln
i) Cx22x 2x2
++ lnln j ) x + 2 1 1 11ln ln 2 ln 32 6 2 3x x x x C + + + +
k) Caxa21ax
a21
++ lnln l) 2ln 5 ln 2x x C+ +
m) 12ln 22
+ n) 3ln592ln
527
12) a) C4
sen2x2x
+ b) Ccosx3xcos3
+ c) C7xsen
5xsen2
3xsen 753
++
d) 3 55sen x 3sen x C + e) 1 1cos8x cos2x C16 4
+ + f) 5 71 1cos 2x cos 2x C10 14
+ +
g) 3 515cosx 10cos x 3cos x C + + h) 3 51 2 1sen(3 3x) sen (3
3x) sen (3 3x) C3 9 15
+ +
