Lista de Exercícios - Espaços vetoriais

Espaços vetoriais

1. Determine o vetor nulo nos seguintes espaços vetoriais:

O espaço das matrizes 2 4 .

O espaço : 0,1 / é contínuaf f

O espaço das funções de uma variável com domínio nos números naturais.

O espaço dos polinômios de grau três com as operações canônicas.

2. Ache o inverso aditivo do vetor dado em seu respectivo espaço vetorial.

Em 2P do vetor 2( ) 3 2p x x x

No espaço das matrizes 2 2 com coeficientes reais com as operações usuais para a soma de matrizes e multiplicação por escalar do vetor

1 1

0 3

.

No espaço das funções de variável real / ,x xae be a b com as operações usuais do vetor ( ) 3 2x xf x e e .

3. Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em C por a bi c di a c b d i e defina a multiplicação por um escalar por biabia , . Mostre que C é um espaço vetorial

em relação a essas operações. É o conjunto dos números racionais em , com as operações usuais, um espaço vetorial?

4.Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais.

O conjunto dos polinômios 1( ) / ,P x a bx a b de grau menor ou igual a um, com as operações usuais para a soma e a multiplicação por escalar.

O conjunto das matrizes 2 2 com coeficientes reais com as operações usuais para a soma e a multiplicação por escalar.

O conjunto dos vetores linha com três componentes com as operações usuais para a soma e a multiplicação por escalar.

O conjunto 4{ / 0}

x

yL x y z w

z

w

com as operações usuais em 4 .

5 Mostre que os seguintes conjuntos não são espaços vetoriais, indicando qual ou quais axiomas não são satisfeitos.

com as operações usuais de 2 , o conjunto 3{ / 1}

x

y x y z

z

com as operações usuais de 2 , o conjunto 3 2 2 2{ / 1}

x

y x y z

z

com as operações usuais para matrizes, o conjunto 1

{ / , , }a

a b cb c

com as operações usuais para polinômios, o conjunto 2

0 1 2 0 1 2{ / , , }a a x a x a a a onde é o conjunto dos números reais maiores que zero.

com as operações usuais, o conjunto 2{ / 3 4, 2 - 3 e 6 4 10}

xx y x y x y

y

6. Mostre que o conjunto das combinações lineares das variáveis x e y é um espaço vetorial com as operações usuais.

7. Seja P o conjunto de todos os polinômios. Mostre que P, com as operações usuais de soma e multiplicação por um escalar para funções, forma um espaço vetorial.

8. Determine em ambos os casos se 3 é um espaço vetorial sob as seguintes operaçoes:

1 2

1 2

1 2

0

0 e

0

x x x rx

y y r y ry

z z z rz

1 2

1 2

1 2

0 0

0 e 0

0 0

x x x

y y r y

z z z

9. Determine se os conjuntos das matrizes 2 2 seguintes são espaços vetoriais (com as operações usuais).

As matrizes diagonais 0

{ / , }0

aa b

b

.

As matrices { / , }a a b

a ba b b

10. Sejam x, y e z vetores de um espaço vetorial V. Mostre que, se x + y = x + z então y = z.

11. Seja S o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Defina a multiplicação por um escalar e a soma em S por

2121 ,, xxxx

0,,, 112121 yxyyxx

Usando o símbolo para denotar a soma nesse sistema para evitar confusão com a soma usual de x + y de vetores linhas. Mostre que S, junto com a multiplicação usual por um escalar e a operação , não é um

espaço vetorial. Quais dos oito axiomas não são válidos?

12. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais com a soma definida por 22112121 ,,, yxyxyyxx e a multiplicação por um escalar definida por 2121 ,, xxxx . Como a

multiplicação por um escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor linha por um escalar. V é um espaço vetorial em relação

a essas operações? Justifique sua resposta.