LISTA DE EXERCICIOS DE GEOMETRIA NO PLANOE NO ESPACO E INTEGRAIS DUPLAS

PROFESSOR: RICARDO SA EARP

(1) Fazer os seguintes exercıcios do livro texto. Exercs da secao1.1.4: 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j). 2(b), 2(d)

(2) Fazer os seguintes exercıcios do livro texto. Exercs da secao1.2.5: 2(f), 4(c), 4(d). 5(a), 5(b), 5(e).

(3) Fazer os seguintes exercıcios do livro texto. Exercs da secao2.1.4: Exercs 1(b), 4(a), 4(b).

(4) Considere as curvas definidas implicitamente pelas equacoescartesianas abaixo. Determine a equacao polar destas, nos in-tervalos indicados, fazendo um desenho. Alem disso, lembrandodo Calculo II, determine, em cada caso, vetores normais as cur-vas escolhendo tres pontos quaisquer destas.(a) (Lemniscata de Bernoulli). (x2 + y2)

2= x2 − y2

(−π/4 6 θ 6 π/2)

(b) (Limacon de Pascal). (x2 + y2 − x)2

= x2 + y2

(0 6 θ 6 2π)

(c) (Cardioide) (x2 + y2)2 − 2x(x2 + y2)− y2 = 0

(0 6 θ 6 2π)(5) Considere as superfıcies dadas abaixo. Determine: Intersecao

com os planos coordenados, xy, xz, yz. Estude as intersecoescom os planos z = c, c ∈ R, quando tais intersecoes foremcırculos. Identifique as superfıcies de revolucao (e seus eixos).Explicite tambem os planos de simetria π das superfıcies: Istoe, reflexao em π, deixa a superfıcie invariante, levando uma”metade” desta na outra ”metade”. Lembrando de Calculo II,escreva a equacao do plano tangente ao grafico quando pedido.Esboce um desenho de cada superfıcie com apuro.(a) x2 + y2 + z2 = 1.(b) x2 + y2/4 + z2/9 = 1.(c) x2+y2−z2 = −1 (hiperboloide com 2 folhas. Veja Figura 1 ).

Escreva a equacao do plano tangente ao hiperboloide noponto (2, 0,

√5).

(d) x2 + z2 − y2 = −1.(e) x2 +y2−z2 = 1 (hiperboloide com 1 folha. Veja Figura 2).

1

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(f) (x− 1)2 + (y + 1)2 − (z − 3)2 = −1.(g) x2 + y2 + z2/4 = 1.(h) x2 + y2 = 9z2.(i) x2 + z2 = 9y2.(j) x2 − y2 = z.(k) y2 = z Escreva a equacao do plano tangente ao grafico no

ponto (1, 1, 1).(l) z = xy (Sela. Veja Figura 3). Escreva a equacao do plano

tangente ao grafico no ponto (1, 1, 1).

(m) cosh z =√

x2 + y2 (catenoide. Veja Figura 4). Escreva a

equacao do plano tangente ao grafico no ponto (1, 1, arccosh(√

2)).

Lembrete: cosh z =ez + e−z

2.

(n) z =2√

1− x2 − y2. Procure encontrar um cilindro para o

qual a superfıcie “converge” quando z →∞. Veja Figura 5.

(o) z = log(cos y

cos x

), −π/2 < x < π/2 − π/2 < y < π/2.

(Superfıcie de Scherk. Veja Figura 6).

Figura 1: Hiperboloide com 2 folhas

LISTA 1 DE CALCULO ESPECIAL INTEGRAL A VARIAS VARIAVEIS 3

Figura 2: Hiperboloide com 1 folha

Figura 3: Sela

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Figura 4: Catenoide

Figura 5

LISTA 1 DE CALCULO ESPECIAL INTEGRAL A VARIAS VARIAVEIS 5

Figura 6: Superfıcie de Scherk

(6) Considere a regioes do plano R1 = {(x, y) ∈ R2; 1 6 y 6 x2 +1, 0 6 x 6 1} e R2 = {(x, y) ∈ R2; 1 6 y 6 −x/3 + 7/3, 1 6x 6 4}. Seja R := R1 ∪R2.

Considere a integral dupla: I =

∫∫

R

F (x, y) dxdy

(a) Esboce um desenho de R. Escreva, sem fazer calculos, umasoma de duas integrais iteradas, usando integrais do tipo∫ b

a

∫ f2(x)

f1(x)

F (x, y) dydx, que seja igual a I.

(b) Escreva, sem fazer calculos, uma integral iterada, usando

integrais do tipo

∫ d

c

∫ g2(y)

g1(y)

F (x, y) dxdy, que seja igual a

I.(c) Calcule a area de R e calcule a coordenada y do centroide

de R. Resposta: A = area(R) = 116, y = 73/55.

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(7) Considere as superfıcies D, D1 e S1 definidas a seguir (esboceum desenho) :

D = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 6 9, z = 0}D1 = {(x, y, z) ∈ R3; z = x + y + 7, x2 + y2 6 9}

S1 = {(x, y, z) ∈ R3; 0 6 z 6 x + y + 7, x2 + y2 = 9}Considere S := D ∪ S1 ∪D1 a superfıcie fechada, que e fron-

teira de um solido U ⊂ R3.(a) Desenhe corretamente S.(b) Escreva o volume de U usando coordenadas retangulares.

Escreva o volume de U usando coordenadas polares.

(c) Calcule

∫∫

D

(x + y + 7)

[2

(x2 + y2 + 1)2+

1

10

]dxdy. Resposta:

189π/10. Sugestao: Use coordenadas polares(8) Considere a regiao R do plano xy cuja fronteira dada por R :=

[1/2, 1]× [1, 3]. Calcule∫∫

R

f(x, y)dxdy

onde(a) f(x, y) = −x log x cos(πy)sen 2(πy)(b) f(x, y) = 2y

1+y2 x cos(πx)

(c) f(x, y) = 2x√1−x2

e−√

y√y

(d) f(x, y) = 2xex log y

(e) f(x, y) = y3+y2−yy+1

12x+10

(f) f(x, y) = eysen y x4e−7x5.

(g) f(x, y) = y√

y + 1 sen x cos2 x.(Respostas (a): 0 (b): − log 5(1/(2π)+1/π2) (c): 2

√3(e−1−

e−√

3) (d): (3 log 3− 2)√

e (e): (20/3 + log 2) log(12/11)/2)(9) Em cada sub-item do item anterior, interprete a integral dupla

em termos de volume de uma regiao U do espaco, determinandorigorosamente U usando inequacoes.

(10) Considere as regioes U1, U2 do espaco dadas por:

U1 ={(x, y, z) ∈ R3; 0 6 z 6 9− x2 − y2, 0 6 x 6 y}U2 = {(x, y, z) ∈ R3; 0 6 z 6 9− (x− 1)2 − (y − 3)2}

(a) Escreva o volume V1 da regiao U1 usando integrais iteradas,via coordenadas cartesianas ou retangulares usuais x, y.

LISTA 1 DE CALCULO ESPECIAL INTEGRAL A VARIAS VARIAVEIS 7

(b) Escreva o volume V1 da regiao U1, usando coordenadas po-lares e calcule V1.

(c) Calcule o volume V2 de U2. Resposta: V1 = 81π/16, V2 =81π/2. Sugestao: use os itens precedentes.

(11) Considere a regiao U do espaco dada por U := {(x, y, z) ∈R3; 0 6 z 6 y2 + x; 0 6 y 6 sen x, 0 6 x 6 π}.(a) Escreva o volume de U usando uma integral iterada nas

variaveis x, y.(b) Calcule o volume de U. Resposta: volume(U) = 4/9 + π.(c) Seja W := {(x, y, z) ∈ R3; 0 6 z 6 y2 + x; −sen x 6 y 6

sen x, 0 6 x 6 π}. Calcule o volume de W. Sug: Faca omınimo de contas possıvel, justificando corretamente a suaresposta.

(12) Considere a regiao R = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 6√

2}. Seja Ao numero real positivo determinado pela integral dupla : A =∫∫

R

[4− (x2 + y2)4

]dxdy. Calcule as seguintes integrais duplas

em termo de A. Nao e preciso calcular A, mas e preciso dar umajustificativa matematica correta.(a) Usando desigualdades, determine U ⊂ R3 tal que A =

volume(U).

Calcule I1 =

∫∫

R1

[4− (

(x− 1)2 + (y + 1)2)4

]dxdy, onde,

R1 = {(x, y) ∈ R2; (x − 1)2 + (y + 1)2 6√

2}. Justifiquesua resposta.

(b) I2 =

∫∫

R2

[4− (x2 + y2)4

]dxdy, onde R2 = {(x, y) ∈ R2; x2+

y2 6√

2, 0 6 x 6 y}. Justifique sua resposta.

(c) I3 =

∫∫

R

[7− (x2 + y2)4

]dxdy. Justifique sua resposta.

(13) Determine o volume do solido delimitado pelos paraboloidesz = 4x2 + 2y2 e z = 12 + x2 − y2. Idem com respeito aosparaboloides z = x2 + 3y2 e z = 4− y2 (Respostas: 24π e 4π).

(14) Seja V := 84∫

x=0

√16−x2∫y=0

√16− x2dydx. Interprete V como sendo

o volume de uma certa regiao do espaco delimitada por doiscilindros. Calcule V (Resposta: 1024/3). Veja Figura 7.

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Figura 7

(15) Considere a regiao R do plano delimitada pelas parabolas y =x2 + 1 e y = −x2 + 9.(a) Calcule a area de R (Resposta: 64/3).(b) Calcule o centroide de R (Resposta: 5).(c) Calcule o valor medio da funcao f(x, y) = x2 em R (Re-

sposta: 12/5).(16) Considere as regioes R1, R2 do plano dadas por:

R1 ={(x, y) ∈ R2; 0 6 x 6 y 6 1}R2 = {(x, y) ∈ R2; 1− x2 6 y2}

Seja R := R1 ∩R2.

Considere a integral dupla I :=

∫∫

R

y

x2 + y2dxdy.

(a) Faca o desenho da regiao R. Escreva, usando coordenadasretangulares x, y, sem fazer calculos, uma integral iterada,que seja igual a I.

(b) Escreva sem fazer calculos, usando coordenadas polares umaformula, que seja igual a I.

(c) Calcule I. Resposta: π/4−√2/2.(17) Seja R := {(x, y) ∈ R2; 0 6 x 6 y, x2 + (y − 1)2 6 1}.

LISTA 1 DE CALCULO ESPECIAL INTEGRAL A VARIAS VARIAVEIS 9

(a) Determine R usando coordenadas polares. Sug: esboce umdesenho.

(b) Escreva a integral dupla I =

∫∫

R

4(x2 + y2) dxdy, usando

coordenadas polares.

(c) Usando que

∫ π/2

π/4

sen 4θdθ = 3π/32 + 1/4, deduza que I =

3π/2 + 4(18) Considere U a regiao solida interior a esfera dada por x2 + y2 +

z2 = 16, que esta tambem no interior do cilindro dado porx2 + (y − 2)2 = 4.(a) Determine U usando desigualdades e faca um desenho da

regiao.(b) Calcule o volume de U (Resposta: 128π/3 + 512/9).

(19) Considere a regiao A delimitada pelo cardioide dado em coor-denadas polares por r = 2 + cos θ. Calcule a area da regiaoR obtida removendo-se de A o disco de raio 1/2 centrado naorigem. (Resposta: 4π + π/4). Veja Figura 8.

Figura 8

(20) Considere a regiao A delimitada pelo cardioide dado em coor-denadas polares por r = 1 + cos θ. Calcule a area da regiao R

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obtida removendo-se de A, a parte que esta contida em A dodisco de raio 1/2 centrado na origem .

(21) Seja R1 a regiao do plano dada em coordenadas polares por0 6 r 6 sen 2θ, 0 6 θ 6 π/2. Veja Figura 9.Considere R := R1 ∩ {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 > 3/4}. Veja Figura10.

Figura 9

Figura 10

(a) Seja I :=∫∫R

F (x, y)dxdy. Escreva I usando coordenadas

polares. OBS: (Mini-tabela). sen π/4 = cos π/4 =√

2/2, sen π/6 =cos π/3 = 1/2, sen π/3 = cos π/6 =

√3/2.

(b) Calcule a area de R. Resposta: area(R) = −π/48+√

3/16.(22) Calcule I determinando as regioes de integracao e interpretando

o resultado

I =

2∫

x=0

2∫

y=x

x√x2 + y2

dydx +

∫∫

R

√1− x2 − y2/4 dxdy

onde R e a regiao do plano dada por x2+y2/4 6 1 (Resposta:2√

2− 2 + 2π/3).(23) Seja R := {(x, y) ∈ R2; x2/4 + y2/9 6 1}. Calcule o volume da

regiao U de R3 delimitada pelo grafico da funcoes z = x2+y2+1e z = 2xy restritas a regiao R (Resposta: 51π/2).

LISTA 1 DE CALCULO ESPECIAL INTEGRAL A VARIAS VARIAVEIS 11

(24) Calcule a integral

I =

∫∫

R

√1− x2/a2 − y2/b2 dx dy, a > b > 0

onde R e a regiao delimitada pela elipse x2/a2 + y2/b2 = 1.(25) Encontre a area da regiao delimitada pelas curvas x2 + 2y2 =

1, x2 + 2y2 = 4, y = 2x, y = 5x, fazendo uma mudanca devariaveis adequada.

(26) Seja R = {(x, y) ∈ R2, 1 6 xy 6 2, 1 6 x2 − y2 6 4, x > 0}.Calcule

I =

∫∫

R

xy(x2 + y2)

x2 − y2dx dy

fazendo uma mudanca de variaveis adequada.(27) Considere T o toro solido (regiao do espaco) gerado pela rotacao

do disco R no plano yz de raio r centrado em (R, 0), R > r > 0,em torno do eixo z.(a) Escreva T, usando coordenadas cartesianas (x, y, z) na forma

implıcita f(x, y, z) = 0, onde f(x, y, z) e uma funcao a de-terminar.

(b) Escreva a fronteira de T como uniao de duas superfıciesS1 e S2 que sao geradas pela rotacao em torno do eixo zde dois graficos horizontais y = f(z) e y = g(z), explici-tando tais funcoes f, g e seus respectivos domınios. Ex-plicite tambem S1 e S2 como graficos de funcoes, determi-nando estas funcoes, exibindo as formulas e os domınios.

(c) Considere a regiao do espacoU = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 6 f 2(z), a 6 z 6 b}, onde fe uma funcao contınua positiva definida no intervalo [a, b].Levando em consideracao a formula do volume de um solidode revolucao em torno do eixo z, dada por

volume(U) = πb∫

a

f 2(z) dz; calcule o volume de T.

(d) Confira a resposta do item anterior aplicando o teorema dePappus.

(28) Aplique o teorema de Pappus para encontrar o centro de massado semi-disco homogeneo D de raio R.

(29) Considere a integral I abaixo:

I =

∫ 1

0

∫ 2−2y

0

e(x−2y)/(x+2y) dx dy

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(a) Interprete I como volume de uma certa regiao U de R3,determinando U usando desigualdades.

(b) Encontre uma mudanca de coordenadas linear da formau = ax+b, v = cx+d de maneira que “separe” as variaveisdo integrando, i.e e(x−2y)/(x+2y) = ef(u)g(v). Calcule I.

(30) Seja R a regiao do primeiro quadrante dada porx4 + y4 6 1, x > 0, y > 0. Seja

I =

∫∫

R

x3y3√

1− x4 − y4 dx dy

Descubra uma mudanca de variaveis inspirada nas coorde-nadas polares da forma x = f(r, θ), y = g(r, θ) e calcule I.