Exerccios de Clculo I - CM041

Prof. Jos Carlos Corra EidamDMAT/UFPR

Disponvel no stio people.ufpr.br/ eidam/index.htm

1o. semestre de 2012

Parte 2

P Limites de funes

1. Calcule os seguintes limites, caso existam:

1) limx!22x39x212x4x32x24x8 2) limx!3

px2165x23x 3) limx!2

px2124

2px34

4) limx!1/24p2x1p2x1 5) limx!0

5px411

x46) limx!1

7px1

3px1

7) limx!1px21px1p

x1 8) limx!0sen(20x)

sen(301x)9) limx!0

sen(sen(2x) )

x

10) limx!0( tg(3x)cossec(6x) ) 11) limx!01 3pcos x

x212) limx!2

cosx

x 213) limx!3

px26x9x3 14) limx!1

sen(3x25x2)x2x2 15) limx!0

sen x

x3x2

16) limx!0sen3(x)sen

1

x

x2

17) limx!0

px4x2x

18) limx!1

1

x1 3

1x3

19) limx!1sen(x31)cos

1

1x

px1 20) limx!2

x22x

x24x4 21) limx!1xpx1

22) limx!12x3x27x32x5x24x3 23) limx!1

3px1 3px 24) limx!1 px1p9x1

25) limx!1x senxx senx 26) limx!1

px21

px41

27) limx!1

p7x65x47

x4228) limx!1

3x52x8px6x1

29) limx!1(px29x3) 30) limx!2 (x

22x)sen(x24)px24p4x

31) limx!13x3x cos(px)x4sen(1/x)1 32) limx!1

px(sen xpx cos x )xpx sen(xpx) 33) limx!1

4p7x125x472x32

34) limx!1(pxpxpx ) 35) limx!1

px3x25x3

x21 36) limx!1px cos x2x2sen( 1x )

xp1x2

2. Seja f :R!R uma funo tal que f (x) 2jxj, para todo x 2R. Calcule limx!0

f (x3)

x.

3. Seja f :R!R tal que 1x2 x6

3 f (x)1 secx2 x

6

3, para todo x 2R. Calcule lim

x!0 f (x) e

limx!0

f (x)cos

1xx2

.

4. Sejam f , g : R! R tais que jsen xj f (x) 3 jxj e 0 g (x) 1 jsen x j, para todo x 2 R. Calculelimx!0( f (x)g (x)cos x ) .

5. Sejam c ,L 2R tais que limx!1

2x3cx cx21 L. Determine c e L.

2

6. Seja f :R!R.

(a) Assumindo que limx!2

f (x)

x2 1, calcule lim

x!2f (x)

x.

(b) Assumindo que limx!0

f (x)

x 0, calcule lim

x!0 f (x).

(c) Assumindo que limx!1

f (x)

x2x 1, calcule limx!1 f (x).

7. A resoluo abaixo est incorreta. Assinale o erro e calcule (corretamente) o limite:

limx!1

px2xx lim

x!1

rx21 1

x

x

lim

x!1xr

1 1x|{z}!0

1

| {z }!0

limx!1(x 0) 0.

8. Decida se a afirmao verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.

(a) Se f ,g :R!R so funes tais que f limitada positiva e limx!1g (x)1, ento tem-se que

limx!1 f (x)g (x)1 .

(b) Se f , g :R!R so funes tais que f limitada e limx!1g (x)1, ento tem-se que

limx!1 f (x) g (x)1 .

(c) Se f , g :R!R so funes tais que limx!1

f (x)

g (x)1, ento lim

x!1 f (x) g (x)1.

9. D exemplos de funes f e g tais que:

(a) limx!0 f (x)1, limx!0g (x)1 e limx!0

f (x)

g (x) 0.

(b) limx!0 f (x)1, limx!0g (x)1 e limx!0

f (x) g (x) 1.

(c) limx!0

f (x) g (x) 0 e lim

x!0f (x)

g (x)6 1.

(d) limx!0

f (x)

g (x) 1 e lim

x!0f (x) g (x) 6 0.

10. Mostre que se limx!a

f (x)

g (x) 1 e se g limitada ento lim

x!a f (x) g (x) 0.

P Continuidade de Funes

11. Determine o conjunto dos pontos de seu domnio em que a funo f contnua. Justifique.

3

(a) f (x)

8>>>>>:sen(x24)5, se x 2

x2x6x2 , se x 25, se x 2

(b) f (x)8:x2x2(x1)2 , se x 6 1

0, se x 1(d) f (x) 1 (1)

[x]

2sen(x).

Obs.: o smbolo [x] denota o maior inteiro que menor ou igual a x e definido por [x]max{n 2Z :n x}.

12. Determine L para que a funo dada seja contnua em R.

(a) f (x)

8>:sen(x22) sen(x2)

x, se x 6 0

L, se x 0(b) f (x)

8>:px8x4x2

, se x 6 0L, se x 0

13. Considere a funo f :R!R definida por

f (x)

8>:p(x1)6x1 , se x 6 11, se x 1

Verifique que limx!1

f (x) limx!1 f (x). Pergunta-se: f contnua no ponto x 1? Por qu?

14. Decida se a afirmao verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.

(a) Se f :R!R tal que j f j contnua em x 0, ento f contnua em x 0.(b) Se f e g so funes descontnuas em x 0, ento a funo f g descontnua em x 0.

PDerivadas

15. Sejam f e g funes derivveis em um intervalo aberto I, a 2 I e

h(x)(f (x) , se x ag (x) , se x a .

Prove que h derivvel em x a se, e somente se, f (a) g (a) e f 0(a) g 0(a).

16. Encontre constantes a, b e c tais que a funo f (x)(ax2bx c , se x 1x25x6, se x 1

seja derivvel em R e f 0(0) 0.17. Verifique se f contnua e derivvel no ponto x0, sendo:

4

(a) f (x)8:x3xpx1 , se x 11, se x 1

, x0 1

(c) f (x)

8>>>:x2 senx , se x 0x54x3 , se x 0

0, se x 0, x0 0 (d) f (x)

8

Soluo 4: Temos f (x)(x2 , se x 0x2 , se x 0. Logo

limx!0

f (x) f (0)x0 limx!0

x20x0 limx!0 x 0,

e

limx!0

f (x) f (0)x0 limx!0

x20x0 limx!0x 0.

Portanto limx!0

f (x) f (0)x0 0, ou seja f

0(0) 0.

23. Em que pontos f derivvel?

(a) f (x)px4x6 (b) f (x)

px2x4.

24. Seja f : R! R derivvel em x 0 tal que f (0) f 0(0) 0. Seja g : R! R uma funo limitada e noderivvel em x 0. Calcule a derivada de h(x) f (x)g (x) no ponto x 0.

25. Seja f (x) 3px3x2sen( 3px).

(a) Calcule f 0(3).

(b) Calcule f 0(0).

(c) Seja g (x) (5 f (x))(2x3secx)x tgx4 , onde f a funo dada acima. Calcule g

0(0).

26. Mostrar que a reta y x tangente curva y x36x28x. Encontre o ponto de tangncia.27. Determine todos os pontos (x0, y0) sobre a curva y 4x48x216x7 tais que a tangente curva em

(x0, y0) seja paralela reta 16x y 5 0.

28. Seja f (x) 3x1x1 . Determine todas as retas tangentes ao grfico de f que passam pelo ponto (0,0).

29. Sejam f : R! R uma funo derivvel at 2a ordem e g : R! R dada por g (x) x f (x 1 sen2x).Calcule g 00(x). Supondo f 0(1)2, calcule g 00(0).

30. Seja f (x) jx3j. Calcule f 00(x), para todo x 2R. A funo f 00 derivvel no ponto x0 0? Justifique.31. Sabe-se que f : R! R uma funo derivvel em R e que a reta tangente ao grfico de f no ponto de

abscissa 3 x2y 6. Seja g :R!R dada por g (x) ( f (p94x ) )2 . Determine g 0(0).32. Mostre que qualquer par de retas tangentes parbola y ax2 (a 6 0) tem como interseco umponto

que est numa reta vertical que passa pelo ponto mdio do segmento que une os pontos de tangnciadestas retas.

33. Seja y f (x) uma funo dada implicitamente pela equao x2 y3(2 y). Admitindo f derivvel,determine a reta tangente ao grfico de f no ponto (1,1).

34. Seja y f (x) uma funo dada implicitamente pela equao x2 xy y2 3. Admitindo f derivvel,determine as possveis retas tangentes ao grfico de f que so normais reta x y 1 0.

6

35. Seja f derivvel num intervalo aberto I contendo x 1 e tal que

( f (x))3 ( f (x))2x f (x) 2,

para todo x 2 I . Encontre f (1) e a equao da reta tangente ao grfico de f no ponto (1, f (1)).36. Suponha que f seja uma funo injetora, derivvel, e que sua inversa f 1 seja tambm derivvel. Use

derivao implcita para mostrar que

( f 1)0(x) 1f 0( f 1(x))

desde que o denominador no seja nulo.

37. Usando o exerccio anterior, encontre ( f 1)0(5) sabendo que f (4) 5 e que f 0(4) 23 .38. Calcule a derivada de cada uma das funes abaixo:

(a) f (x) cos(arctgx) (b) f (x) x2arctgx (c) f (x) arcsen(x2)(d) f (x) (1arctgx2)3 (e) f (x) tg (3x)

arctg(3x)(f) f (x) arctg(

r1x1x )

(g) f (x)p1x2arcsenx (h) f (x) xarctg(x2x) (i) f (x) arcsenx

P Taxas relacionadas

39. (Expanso Adiabtica) Quando certo gs composto sofre uma expanso adiabtica, a sua presso p e

seu volumeV satisfazem equao pV 1,3 k , onde k uma constante. Mostre queV dpdt

1,3p dVdt

.

40. De umpetroleiro quebrado vaza um grande volumeV de leo nummar calmo. Aps a turbulncia ini-cial ter acabado, o petrleo se expande num contorno circular de raio r e espessura uniforme h, onder cresce e h de cresce de um modo determinado pela viscosidade e flutuabilidade do leo. Experin-cias de laboratrio sugerem que a espessura inversamente proporcional raiz quadrada do tempo

decorrido: h cpt. Mostre que a taxa

dr

dtcom que o petrleo se expande inversamente proporcional

a t3/4.

41. Num certo instante t0, a altura de um tringulo cresce razo de 1 cm/min e sua rea aumenta razode 2 cm2/min. No instante t0, sabendo que sua altura 10 cm e sua rea 100 cm2, qual a taxa devariao da base do tringulo?

42. Despeja-se areia sobre o cho fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone comdimetro da base igual a trs vezes a altura. Quando a altura do monte de 1,2 m, a taxa de variaocom que a areia despejada de 0,081m3/min. Qual a taxa de variao da altura do monte nesteinstante?

43. A aresta de um cubo cresce ao longo do tempo. Num certo instante t0, o seu volume cresce a uma taxade 10cm3/min. Sabendo que, neste instante, a aresta do cubomede 30cm, qual a taxa de variao darea da superfcie do cubo?

44. Uma lmpada est no solo a 15m de um edifcio. Umhomemde 1,8m de altura anda a partir da luz emdireo ao edifcio a 1,2m/s. Determine a velocidade com que o comprimento de sua sombra sobre oedifcio diminui quando ele est a 12m do edifcio e quando ele est a 9m do edifcio.

7

45. Uma tina de gua tem 10 m de comprimento e uma seo transversal com a forma de um trapzioissceles com 30 cm de comprimento na base, 80cm de extenso no topo e 50 cm de altura. Se atina for preenchida com gua a uma taxa de 0,2 m3/min, quo rpido estar subindo o nvel da guaquando ela estiver a 30 cm de profundidade?

46. Uma cmera de televiso est posicionada a 4.000 ps de uma base de lanamento de foguete. Ongulo de elevao da cmera deve variar a uma taxa que possa focalizar o foguete. O mecanismode foco da cmera tambm deve levar em conta o aumento da distncia entre a cmera e o foguete.Vamos supor que o foguete suba verticalmente e com uma velocidade de 600 ps/s quando j tiversubido 3.000 ps. Quo rpido est variando a distncia da cmera ao foguete nesse momento? Se acmera de televiso apontar sempre na direo ao foguete, quo rpido estar variando o ngulo deelevao dela nesse mesmomomento?

47. (Escada deslizante) Uma escada de 25 ps est encostada na parede de uma casa e sua base est sendoempurrada no sentido contrrio ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7ps da parede e est sendo empurrada a uma taxa de 2 ps por segundo.

(a) Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?

(b) Considere o tringulo formado pela parede da casa, a escada e o cho. Calcule a taxa de variaoda rea deste tringulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 ps da parede.

(c) Calcule a taxa de variao do ngulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base daescada estiver a 7 ps da parede.

P Respostas

(1) (1) 3/4; (2) 1/5; (3) 1/6; (4) 0; (5) 1/5; (6) 3/7; (7) p2; (8) 20301 ;(9) 2; (10) 1/2; (11) 1/6; (12) 1; 13) 1; 14) 1/3; (15) 1; (16) 0;(17) no existe; (18) no existe; (19) 0; (20) 1; (21) 1; (22) 1/2; (23) 0; (24) 1/3;(25) 1; (26) 1; (27) 0; (28) 1; (29) 3; (30) 32p2; (31) 3; (32) 0;(33) 4p7/2; (34) 1/2; (35) no existe; (36) 1.(2) 0; (3) 0; 0; (4) 1; (5) c 1, L 5/2; (6) (a) 2; (b) 0; (c) 1; (8) (a) Falsa; (b) Verdadeira; (c) Falsa;(11)(a)R ; (b)R\{3}; (c)R\{1}; (d)R; (12) (a)cos2; (b) 1; (13)No; (14) (a), (b) so falsas; (16) a 3/2,b 0 e c 7/2; (17) (a), (c), (e), (f), (g), (h), (i), (j), (k) so contnuas em x0; (f ), (g), (j) so derivveis emx0; (18) 6sec29; (20) Sim; (21) 2

pa f 0(a); (22) Somente (4) est correta; (23) (a) em todos os pontos; (b)

em x0 6 0; (24) 0; (25) (a) 73 3p12sen(3p3) 3

p23 cos(

3p3).; (b) 1; (c) 18 ;

(26) (3,3); (27) (1,13), y 16x3; (0,7), y 16x7; (1,19), y 16x3; (28) y 9x, y x; (29)12; (30) No; (31) 1; (33) y x; (34) y x 2; y x 2; (35) 2; 2x 7y 12 0; (41) 1,6; (42)1

40m/min; (43)4

3cm2/min; (44) 3,6m/s; 0,9m/s; (45) 103 cm/min; (46) 360 pes/s; 0,096 rad/s; (47) (a)

712pes/s; (b)

52724 pes

2/s; (c) 112rad/s.

8

Parte 2

P Teoremas do valor intermedirio e do valormdio

1. Seja h(x) 2xcosx.

(a) Mostre que h bijetora.

(b) Calcule h1(1).

(c) Admitindo h1 derivvel, determine (h1)0(1).

2. Seja f (x) ex 1x x2 , x 0.

(a) Mostre que a equao

ex 1x x2 y

admite uma nica soluo para qualquer y 2R. Conclua que f admite inversa.(b) Seja g a inversa de f . Mostre que jg (x) g (y)j 2jx y j, para quaisquer x, y 2R.

3. Seja f (x) tgxx3, /2 x /2.

(a) Mostre que a equao tgx x3 y admite uma nica soluo para qualquer y 2 R. Conclua quef admite inversa.

(b) Seja g a inversa de f . Mostre que jg (x) g (y)j jx y j, para quaisquer x, y 2R.

4. Seja f (x) 3x55x37senx, x 2R.

(a) Mostre que f inversvel e sobrejetora.

(b) Calcule f 1 em termos de f .

(c) Se g :R!R a inversa de f , mostre que jg (x) g (y)j 17 jx y j para quaisquer x, y 2R.

5. Seja f (x) x5x32x1, g a sua inversa e a,b 2R com a b. Mostre que

g (b) g (a) 12(ba).

6. Seja f (x) x78x3x58x. Prove que f 0(x) tem duas razes distintas no intervalo ]1,1[.7. Use o teorema do valor mdio para provar as seguintes desigualdades:

(a) jsen b sen aj jbaj, para todos a,b 2R.(b) jpapbj 12 jabj, para todos a,b 2R, com a 1 e b 1.(c)

ln ab

jabj, para todos a,b 2R, com a 1 e b 1.(d) bb aa aa(ba), para todos a,b 2R com 1 a b.(e) ex e y x y , para todos x, y com x y 0.

8. Seja f uma funo derivvel no intervalo ]1,1[. Mostre que se f (0) 0 e 0 f 0(x) 1, para todox 0, ento 0 f (x) x, para todos x 0.

9

9. Mostre que f (x) (1x)1/x estritamente decrescente para x 0. Conclua que

(1)e (1e).

10. Prove as seguintes desigualdades:

(a) 2px 3 1

x, para todo x 1

(b) e e

(c)tg b

tg a bapara 0 a b 2

(d) x x3

3! senx x x

3

3! x

5

5!, para x 0

(e)p1x 1 12x, para x 0

(f) 2x arctgx ln(1x2), para x 0(g) ex 1x para x 0(h) ex 1x x22 para x 0(i) xn 1 n(x1) para x 1

11. Mostre que a equao x33x26 0 admite uma nica raiz real e tente localiz-la.12. Mostre que a equao x3x25x1 0 admite trs razes reais e tente localiz-las.13. Determine os possveis valores de a para os quais a equao

x33x29xa 0

admite uma nica raiz real.

14. Mostre que a equao 3x2cos(x2 ) 0 tem exatamente uma raiz real.

15. Seja f derivvel em R e seja g dada por g (x) f (x)x

, x 6 0. Suponha que x0 ponto demximo local deg . Prove que

x0 f0(x0) f (x0) 0.

Prove que a reta tangente ao grfico de f no ponto de abscissa x0 passa pela origem.

16. Seja f (x) um polinmio de grau 3, com trs razes reais distintas. Mostre que f tem um ponto deinflexo, que a mdia aritmtica das trs razes.

17. Sejam f : R! R derivvel e a,b 2 R tais que f (a) f (b) 0. Mostre que se f 0(a) f 0(b) 0, ento existec entre a e b tal que f (c) 0.

18. Para que valores de k a equao 2x39x212x k tem trs razes reais distintas ?19. Prove que se p umpolinmio, a equao exp(x) 0 no pode ter infinitas solues reais. (Sugesto:

Divida por xn para um certo n suficientemente grande.)

20. Seja f : R! R derivvel e com um nico ponto crtico x0. Prove que se x0 for ponto de mnimo (m-ximo) local de f , ento x0 ser o nico ponto de mnimo (mximo) global de f .

10

21. Mostre que

(a) arcsen

x1x1

2arctg(px)

2para qualquer x 2R.

(b) 2arcsenx arcsen(12x2), 1 x 1

22. Seja a 2R tal que limx!1

ax1ax1

x 4. Determine a. 24. a 1

ln2

P Funes exponencial e logartmica

23. Suponha que voc receba as duas propostas abaixo para trabalhar por umms:

A. Voc recebe 1 milho de reais no final do perodo.

B. Voc recebe 1 centavo no primeiro dia, 2 centavos no segundo dia, 4 centavos no terceiro dia, e,em geral, 2n1 centavos no n-simo dia.

Qual delas mais lucrativa?

24. Calcule a derivada de cada uma das funes abaixo:

(a) coshx 12(ex ex) (b) sinhx 1

2(ex ex) (c) f (x) eex

(d) f (x) xe ex (e) f (x) e1/x2 1ex2

(f) f (x) ln(ex 1)(g) f (x) (lnx)2 (12x3)x (h) f (x) lnxpx21 (i) f (x) xx(j) f (x) 2x2 32x (k) f (x) ln(arctgx) (l) f (x) 1cos2 xsenx(m) f (x) (ex 3x)arcsen(x2) (n) f (x) (3cosx)tg(x2) (o) f (x) ln(x

32x3)x2ecosx

(p) f (x) (x21)sen(x5) (q) f (x) (1arctgx2)1/x4 (r) f (x) x2earctgx

(s) f (x) lnr

x1x1 (t) f (x) x

ln(x21) (u) f (x) (1 senx)x31

25. Calcule, caso exista

(a) limx! 12

ln(12x)tg(x)

(b) limx!1

lnx100

5px

(c) limx!0

lnx

cotg x

(d) limx!1

(lnx)(x1) (e) limx!1

lnx

e2x(f) lim

x!1xex

ex2

(g) limx!0

x lnx, 0 (h) limx!1 x sen

x

(i) lim

x!0

1

1cosx 2

x2

(j) lim

x!0

1

ln(1x) 1

ex 1

(k) limx!0

(x senx)tgx (l) limx!0 (e

x 3x)1/x

(m) limx!0

xtg(x2) (n) lim

x!0

1

x lnx

(o) lim

x!0arctg(2x2)

ln(13x2)

(p) limx!0

ln(1x2)xarctgx

(q) limx!0(1 sen2x)

1/senx (r) limx!0

x sen x2x2ex ex 2

(s) limx!2

(tgx secx sec2 x) (t) limx!1x

ln2/(1lnx) (u) limx!1(13x)

1/lnx

(v) limx!0

(senx)1/lnx (w) limx!1

ln(x3)x4 ln(x2)x4 (x) lim

x!0 (1cosx)1/x

11

26. No seu livro de Clculo de 1696, lHospital ilustrou sua regra com o limite da funo

f (x)p2a3xx4a 3

pa2x

a 4pax3

quando x! a, a 0. Calcule este limite.

P Funes hiperblicas

27. Mostre que a funo sinh x ex ex2

inversvel e sua inversa dada por

arcsinhx ln(xp1x2) , x 2R .

Encontre as inversas das demais funes hiperblicas e tambm suas derivadas.

28. Mostre que cosh2 x sinh2 x 1, sech2x 1 tanh2 x e coth2 x 1csch2x, para todo x 2R.29. Mostre que cosh(xy) sinhx sinh ycoshx cosh y e sinh(xy) coshx sinh ycosh y sinhx, x, y 2R.30. Esboce os grficos de todas as funes hiperblicas e de suas inversas.

PMximos emnimos

31. Encontre a 2R para que f (x) x2 axtenha:

(a) ummnimo local em x 2.(b) ummnimo local em x 3.(c) Mostre que f no ter mximo local para nenhum valor de a.

32. (a) Esboce o grfico de f (x) x2ex .(b) Determine, em funo de k, o nmero de solues reais da equao kex x2.

33. (a) Ache o ponto de mnimo de f (x) ex

xno intervalo ]0,1[.

(b) Prove queeab

ab e2, para todos a 0 e b 0.

34. Seja f uma funo. Se existir uma reta y mx n tal que limx!1[ f (x) (mx n)] 0, dizemos que

y mxn uma assntota para f . Prove que a reta y mxn uma assntota para f se, e somentese, lim

x!1f (x)

x m e lim

x!1( f (x)mx) n. (Tudo o que dissemos para x ! 1 vale tambm parax!1.)

35. Esboce o grfico das funes abaixo e d as equaes das assntotas, quando existirem.

12

(a) f (x) x42x31 (b) f (x) x3

x21 (c) f (x)x

x21(d) f (x) x

31x31 (e) f (x)

x1x24 (f) f (x) (3

6

x)e

2x

(g) f (x) 3px3x2 (h) f (x) ex e3x (i) f (x) x3lnx 2

x

(j) f (x) lnxx

(k) f (x) 3px(x1)2 (l) f (x) xx

(m) f (x) ln(2x) ln(3x23) (n) f (x) 2x2

x21 (o) f (x)(x2)3

x2

(p) f (x) x22x3x2 (q) f (x) arctg(lnx) (r) f (x)

x3x1x2

(s) f (x) x2 lnx (t) f (x) ex

x(u) f (x) lnx

x2

(v) f (x) x3x2x (w) f (x) x1x2x1 (x) f (x)

3px2x

36. Achar os valores mnimo e mximo de:

(a) f (x) senxcosx, x 2 [0,](b) f (x)

p32xx3, 12 x 1

(c) f (x) 1x lnx, 12 x 4

(d) f (x) 3px32x2, 1 x 2

(e) f (x) jx42x3j, 0 x 3(f) f (x) x44 x32x23, 2 x 3(g) f (x) x33x23x1, 2 x 1

(h) f (x) x5

5 x

4

2x34x24x1, 3 x 3

37. Para que nmeros positivos a a curva y ax corta a reta y x?38. Seja f : R! R uma funo derivvel e seja a 2 R fixado. Verifique se as afirmaes so verdadeiras ou

falsas, justificando sua resposta:

(a) Se f 0(x) 0, para todo x a, entolim

x!1 f (x)1 .

(b) Se f derivvel at segunda ordem com f 0(x) 0 e f 00(x) 0, para todo x a, ento

limx!1 f (x)1 .

(c) Se limx!1 f

0(x) 0 ento limx!1 f (x) L 2R.

(d) Se existe uma assntota para f (quando x!1) com coeficiente angularm e se existe

limx!1 f

0(x) L ,

ento L m.(e) Se lim

x!1 f0(x)m 2R, m 6 0 ento f tem uma assntota com coeficiente angular igual am.

13

P Aplicaes

39. Para que pontos da circunferncia x2 y2 25 a soma das distncias a (2,0) e (-2,0) mnima?40. Achar os pontos da hiprbole x2 y2 1 mais prximos de (0,1).41. Um tringulo isceles est circunscrito a um crculo de raio R. Se x a altura do tringulo, mostre que

sua rea mnima quando x 3R.42. Qual omenor valor da constante a para o qual a desigualdade ax 1x 2

p2 vlida para todo nmero

positivo x?

43. Seja f (x) 5x2 ax5

, x 0, onde a 0. Ache o menor valor de a de modo que f (x) 28, 8x 0.

44. Um cilindro obtido girando-se um retngulo ao redor do eixo x, onde a base do retngulo est apoi-

ada. Seus vrtices superiores esto sobre a curva y xx21. Qual o maior volume que tal cilindro

pode ter?

45. (a) Latas cilndricas fechadas devem ser feitas com um volume V especificado. Qual a razo entre aaltura e o dimetro da base que minimiza a quantidade de metal gasto para fazer a lata?

(b) Por que as latas encontradas no supermercadono so emgeral como em (a)? Emgeral ometal vemem uma chapa retangular. No h desperdcio envolvido em cortar a chapa que formar a superfcielateral, mas as tampas devem ser cortadas de uma pea quadrada, e as sobras, so desprezadas (ouento recicladas). Ache a razo entre a altura e o dimetro de uma lata de volume V que minimiza ocusto do material utilizado.

46. Um arame de comprimento L deve ser cortado em 2 pedaos, um para formar um quadrado e outroum tringulo equiltero. Como se deve cortar o arame para que a soma das reas cercadas pelos 2pedaos seja (a) mxima? (b) mnima? Mostre que no caso (b) o lado do quadrado 2/3 da altura dotringulo.

47. Um canho situado no solo posto sob um ngulo de inclinao . Seja r o alcance do canho, isto ,

a distncia entre o canho e o ponto de impacto da bala. Ento r dado por r 2v2sencosg , onde v eg so constantes. Para que ngulo o alcance mximo?

48. Determine o cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raio 3.

49. Deseja-se construir uma esfera e um cubo demodo que a soma das reas de suas superfcies seja iguala 2. Determine o raio da esfera que maximiza e o que minimiza a soma de seus volumes.

50. Um muro de 2 metros de altura est a 1 metro de distncia da parede lateral de um prdio. Qual ocomprimento damenor escada cujas extremidades se apiam uma na parede, e outra no cho do ladode fora do muro?

51. Um papel de filtro circular de raio a deve ser transformado em um filtro cnico cortando um setor cir-cular e juntando as arestas CA e CB. Ache a razo entre o raio e a profundidade do filtro de capacidademxima.

52. (LEI DE REFRAO DE SNELLIUS) O objetivo desta questo demonstrar como a lei da refrao de Snel-lius, da ptica Geomtrica, pode ser obtida como conseqncia do princpio de Fermat, segundo oqual a trajetria dos raios de luz aquela que minimiza o tempo de percurso.

14

Sejam P 2 R2 um ponto no semi-plano superior e Q 2 R2 um ponto no semi-plano inferior, ambosfixados. Uma partcula vai de P a um ponto M (x,0) sobre o eixo Ox com velocidade constante u emovimento retilneo; em seguida, vai deM atQ com velocidade constante v , tambm emmovimentoretilneo. Seja T : R! R tal que, para todo x 2 R, T (x) o tempo de percurso de P a Q. Mostre que Tpossui umnico ponto demnimo x0 2R. Verifique que x0 2 (0,b) e que, se x x0, ento sen

u sen

v.

53. Deve-se construir uma estrada ligando uma fbrica A a uma ferrovia que passa por uma cidade B.Assumindo-se que a estrada e a ferrovia sejam ambas retilneas, e que os custos de frete por unidadede distncia sejam m vezes maiores na estrada do que na ferrovia, encontre o ngulo a que a es-trada deve ser conectada ferrovia de modo a minimizar o custo total do frete da fbrica at a cidade.Assumam 1.

54. Um corredor de largura a forma um ngulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barralonga, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o compri-mento da maior barra que pode passar pela esquina?

Respostas

(1) (b) 0; (c)1

2; (13) a 5 ou a 27; (18) 4 k 5; (23) B;

(25) (a) 0; (b) 0; (c) 0; (d) 1; (e) 0; (f) 0; (g) 0; (h) ; (i) 16 ; (j) 1; (k) 1; (l) e4; (m) 1; (n) 1; (o) 23 ; (p) 1; (q)

e2; (r) 3; (s) 12; (t) 2; (u) e; (v) e; (w) 1; (x) 1; (26) 16a

9; (31) (a) a 16; (b) a 54;

(32)Noh solues se k 0; tem1 soluo se k 0 ou k 4e2

; tem 2 solues se k 4e2

; tem 3 solues

se 0 k 4e2

.

(33) (a) x0 1; (36) (a) 1,p2; (b)

q178 ,

r3

q3227 ; (c) 4, 1; (d) 3

p3, 0; (e) 0, 27; (f) 87/4, 7; (g) 27, 0;

(h) f (3), f (2); (37) a e 1e ;

(38) (b) e (d) so verdadeiras e (a), (c), (e) so falsas; (39) (5,0) e (5,0); (40)p5

2,1

2

!; (42) a 2;

(43) a 28; (44) /4; (45) (a) 1; (b) 4/; (46) (a) Deve-se formar apenas um quadrado; (b) o lado doquadrado

p3L

94p3 ;

(47) /4; (48) h 4, r 2p2; (49) 1p2

; 1p212 ; (50)

1 3

p43/2

; (51)p2; (53) max{,arcsen( 1m )};

(54) (a2/3b2/3)3/2.

15

Parte 3

P Integrais definidas

1. Calcule as integrais definidas abaixo:

(1)Z 01(2xex)dx (2)

Z 22(3x1)2dx (3)

Z 10(2x5)(3x1)dx

(4)Z /40

1cos2cos2

d (5)Z 20

1 3pxpx

dx (6)R 20 jsenjd

(7)Z 0

xsen(nx), n 2N (8)Z 0

x cos(nx)dx, n 2N (9)Z1

2xexdx

(10)Z 21

x2exdx (11)Z /20

cos2d (12)Z /20

sen2d

(13)Z 33(sen(x5)7x7 cosxx1)dx (14)

Z 22(x cos(x22x)3x)dx (15)

Z 20xex

2dx

(16)Z /40

tg2d (17)Z /20

sen4d (18)Z /20

cos4d

(19)Z /40

secd (20)Z 10x2px1dx (21)

Z 1/20

dxp1x2

(22)Z 10epxdx (23)

Z 20

p1cosxdx (24)

Z 20

exp1ex dx

(25)Z 10

p1x2dx (26)

Z 1/20

xp1x4

dx (27)Z 11

x3sen(x21)dx

(28)Z 11

x2

4x6dx (29)Z 10

x3p1x2

dx (30)Z 21

1

x(lnx)2dx

2. Encontre o volume de uma pirmide cuja base o quadrado de lado L e cuja altura h.

3. Calcule o volume do slido cuja base a astride de equao x23 y 23 a 23 e tal que as sees transver-

sais por planos paralelos ao planoOxz so quadrados.

4. Calcule limn!1

n

sen

n sen 2

n ... sen (n1)

n

.

5. Calcule o comprimento do grfico de f (x) ln(cosx), para 0 x 4 .

6. Calcule o comprimento da astride x23 y 23 a 23 .

7. Calcule a rea da regio interna ao lao formado pela curva y2 x2(x3).

8. Calcule a rea da regio do plano limitada pela elipsex2

a2 y

2

b2 1.

9. Determine o volume do slido obtido pela rotao em torno do eixoOx do conjunto

a) A {(x, y) 2R2 : 0 xy 2, x2 y2 5 e x 0}.b) A {(x, y) 2R2 : y px e (x1)2 y2 1}.c) A {(x, y) 2R2 : 0 x 2 e ex y ex }.d) A {(x, y) 2R2 : x 0, y 1 e 1/x y 4/x2 }.

16

10. Calcule o volume do slido obtido pela rotao em torno da reta y 3 da regio delimitada pelasparbolas y x2 e y 2x2.

11. Seja A {(x, y) 2 R2 : 0 x 1 e ln(x 1)2 y ex 4}. Determine o volume do slido obtido pelarotao de A em torno da reta y 2.

12. O disco x2 y2 a2 girado em torno da reta x b, com b a, para gerar um slido, com a forma deum pneu. Esse slido chamado toro. Calcule seu volume.

13. Calcule o volume de uma calota esfrica de altura h, h a, de uma esfera de raio a.

14. Determine o comprimento da curva y coshx, 3 x 4.15. Um anel esfrico o slido que permanece aps a perfurao de um buraco cilndrico atravs do cen-

tro de uma esfera slida. Se a esfera tem raio R e o anel esfrico tem altura h, prove o fato notvel deque o volume do anel depende de h, mas no de R.

P Primitivas

16. Calcule as integrais indefinidas abaixo:

1.Z

x7x21x2

dx 2.Ze2x dx 3.

Zcos7x dx 4.

Ztg2x dx

5.Z

7

x2 dx 6.Ztg3x sec2 x dx 7.

Zsen3 xpcosx

dx 8.Ztgx dx

9.Ztg3x dx 10.

Zx

1x2 dx 11.Z

x

1x4 dx 12.Z

x2

1x2 dx

13.Zxp1x2dx 14.

Zsecx dx 15.

Zdx

xp1 lnx

16.Zx2

5px31dx

17.Z

4x82x28x20 dx 18.

Z plnx

xdx 19.

Zdx

(arcsenx)p1x2

20.Z

ex

1ex dx

21.Z

sen2x

1cos2 x dx 22.Zex

3x2dx 23.

Zex

3p1ex dx 24.

Zsen

pxp

xdx

17

21.Z

sen2x

1cos2 x dx 22.Zex

3x2dx 23.

Zex

3p1ex dx 24.

Zsen

pxp

xdx

25.Z

earctgx

1x2 dx 26.Z2x(x1)2010dx 27.

Zx senx dx 28.

Zex cosx dx

29.Zxr lnx dx,r 2R 30.

Z(lnx)2 dx 31.

Zxex dx 32.

Zx arctgx dx

33.Zarcsenx dx 34.

Zsec3 x dx 35.

Zcos2 x dx 36.

Zsen2 x cos3 x dx

37.Zsen2 x cos2 x dx 38.

Z1 senxcosx

dx 39.Z

3x24x5(x1)(x2)(x3) dx 40.

Zdx

2x28x2041.

Z3x24x5(x1)2(x2) dx 42.

Zx5x1x38 dx 43.

Zx2p1x2

dx 44.Zx2p1x2dx

45.Zepx dx 46.

Zln(x

p1x2)dx 47.

Zdxp

52xx248.

Z px lnx dx

49.Zsen(lnx)dx 50.

Zx

x24 dx 51.Z

3x25x4x3x2x3 dx 52.

Z pa2b2x2dx

53.Z

dxpa2b2x2

54.Z p

x22x2dx 55.Z p

32xx2dx 56.Z

dx

(1x2)p1x2

57.Zcos3 x dx 58.

Zsen5 x dx 59.

Zcos5 x

sen3 xdx 60.

Zsen3

x2

cos5

x2

dx

61.Z

dx

sen5 x cos3 x62.

Zsen4 x dx 63.

Zsen2 x cos5 x dx 64.

Zsen2 x cos4 x dx

65.Zcos6(3x)dx 66.

Zcos2 x

sen6 xdx 67.

Zdx

sen2 x cos4 x68.

Z r1x1x dx

69.Z

dxpx 3px 70.

Zx1

x2(x24)2 dx 71.Z

arctgx

x2dx 72.

Zx2dxp2xx2

dx

73.Z

4x23x3(x22x2)(x1) dx 74.

Zdx

1ex 75.Z

ln(x1)x2

dx 76.Zx5ex

3dx

77.Z

x1x2(x24) dx 78.

Zarctg

pxdx 79.

Z2x1

x22x2dx 80.Zcos3 x(1psenx)dx

P Funes definidas por integrais

17. Calcule g 0(x) onde

(a) g (x)Z senxcosx

e t2dt (b) g (x)

Z 2pxpx

sen(t2)dt (c) g (x)Z x3senx

dt

1 t4

18. Esboce o grfico das funes abaixo:

(a) f (x)Z x0et

2dt (b) f (x)

Z x0

sen t

td t

19. CalculeZ /20

senx cosx

x1 dx em termos de A Z 0

cosx

(x2)2 dx.

20. Seja f uma funo contnua em um intervalo I contendo a origem e seja

y y(x)Z x0sen(x t ) f (t )dt

18

Prove que y 00 y f (x) e y(0) y 0(0) 0, para todo x 2 I .

21. Seja F (x)Z x0

p1 t3dt . Calcule

Z 20xF (x)dx em termos de F (2).

22. Calcule limx!0

R x20 cos(t

2)dtR x0 e

t2 dt.

23. Mostre que f (x)Z 1/x0

1

t21 dt Z x0

1

t21 dt constante em (0,1). Qual o valor dessa constante?

24. Seja f (x)Z x0

1p1 t4

dt , x 2R.

(a) Mostre que f crescente e mpar.

(b) Mostre que f (x) f (1)1 1x, 8x 1. (Sugesto: Integre 0 1p

1t4 1t2de 1 a x.)

(c) Mostre que limx!1 f (x) existe e um nmero real positivo.

(d) Esboce o grfico de f (x), localizando seu ponto de inflexo.

25. Seja f (x)Z x0e

x2t22 dt . Mostre que f 0(x)x f (x) 1, para todo x 2R.

26. Seja F : [1,1[!R dada por F (x)Z x1

pt31dt .

(a) Calcule o comprimento do grfico de F entre x 1 e x 4.

(b) Calcule limx!2

F (x3)F (8)sen(x2)

P Respostas

(1)

(1) e12; (2) 52; (3) 31/2; (4) 1/4; (5) 2p3 65 6p32; (6) 4; (7) 0 se n 0 e (1)n1/n se n 0; (8) 0 se n

par e2/n2 se n mpar; (9) e22/e; (10) e21/e; (11) /4; (12) /4; (13) 6; (14) 0; (15) (e41)/2; (16)1/4; (17) 3/8; (18) 3/8; (19) ln(1p2); (20) 16/105; (21) /6; (22) 2; (23) 4p2; (24) 2(

p1e2p2);

(25) ln(p21)p22 ; (26)

arcsen(1/4)2 ; (27) 0; (28)

arctg(1/2)3 ; (29)

2p23 ; (30)

1ln2 1ln3 .

(2) l2h3 ; (3)

128105a

3; (4) 2; (5) ln(1p2); (6) 6a; (7) 245p3; (8) ab;

(9) (a) 5p523 ; (b)

6 ; (c)

2 (e

2e2)2; (d) 56 . (10) 323 ; (11) e2

2 4e2(ln2)24ln2 32

(12) (2b)(a2); (13) h2(a h3 ); (14) sinh4 sinh3.

19

(16)

(1) x6

6 x 1x C (2) e2x

2 C (3) 17sen7xC(4) tgxxC (5) 7ln jx2jC (6) 14 tg4xC(7) 2

pcosx(15cos

2 x1)C (8) ln jcosxjC (9) 12 tg2x ln jcosxjC(10) 12 ln(1x2)C (11) 12 arctgx2C (12) xarctgxC(13) 13

p(1x2)3C (14) ln jsecx tgxjC (15) 2p1 lnxC

(16) 5185p(x31)6C (17) ln(2x28x20)C (18) 23

p(lnx)3C

(19) ln jarcsenxjC (20) ln(1ex)C (21) ln(1cos2 x)C(22) 13e

x3 C (23) 34 3p(1ex)4C (24) 2cospxC

(25) earctgx C (26) 2(x1)2011( x12012 12011 )C (27) x cosx senxC

(28) 12ex(senxcosx)C (29)

(xr1r1 lnx x

r1(r1)2 C , se r 6 1

12 (lnx)

2C , se r 1 (30) x(lnx)22(x lnxx)C

(31) (x1)ex C (32) x22 arctgx x2 12 arctgxC(33) x arcsenx

p1x2C (34) 12 secxtgx 12 lnsecx tgxjC

(35) 12 (x senx cosx)C (36) 13sen3 x 15sen5 xC(37) 18 (x 14sen4x)C (38) ln j1 senxjC(39) 6ln jx1j25ln jx2j22ln jx3jC (40)

p6

12 arctg(x2p

6)C

(41) 22ln jx1j 12x1 25ln jx2jC(42) x

3

3 3512 ln jx2j 6124 ln(1 ( x1p3 )2)

p3

12 arctg(x1p

3)C

(43) 12 arcsenx 12xp1x2C (44) x8 (2x21)

p1x2 18 arcsenxC

(45) 2(px1)e

px C (46) x ln(x

p1x2)

p1x2C

(47) ln jp52xx2x1jC (48) 23x

px(lnx 23 )C

(49) x2 (sen(lnx)cos(lnx))C (50) 12 ln jx24jC(51) 2ln jx1j 12 ln(x22x3) 1p2arctg(

x1p2)C

(52) xpa2b2x2 a22b ln(bxa

pa2b2x2

a )C(53) 1b ln(

bxa

pa2b2x2

a )C (54) x12px22x2 12 ln(x1

px22x2) +C

(55) x12p32xx22arcsen( x12 )C

(56) 1p2arctg( x

p2p

1x2 )C (57) senx13 sen

3 xC(58) cosx 23 cos3 x 15 cos5 xC (59) 12sen2 x 12sen2 x 2ln jsenxjC(60) 14 cos

8( x2 ) 13 cos6( x2 )C 61) 12 tg2x3ln jtgxj 32tg2x 14tg4x C(62) 38x 14sen(2x) 132sen(4x)C(63) 13sen

3 x 25sen5 x 17sen7 xC (64) x16 164sen(4x) 148sen3(2x)C(65) 516x 112 sen(6x) 164 sen(12x) 1144sen3(6x)C(66) 13cotg3x 15cotg5xC (67) tgx 13 tg3x2cotg(2x)C(68) arcsenx

p1x2C (69) 2px3 3px6 6px6ln j 6px1jC

(70) 116 ln jxj 116x 132 ln(x24) 364 arctg x2 4x32(x24) C(71) arctgxx ln jxj ln

p1x2C (72) 32 arcsen(x1)

x32

p2xx2C

(73) 2ln jx1j ln(x22x2)3arctg(x1)C(74) x ln(1ex)C (75) ln(x1)x ln jxj ln(x1)C(76) 13 (x31)ex

3 C (77) 14 ln jxj 14x 18 ln(x24) 116 arctg x2

C(78) (x1)arctgpxpx (79) ln(x22x2)arctg(x1)C(80) senx2psenx sen3x3 2

psen5x5 C

(17) (a) g 0(x) esen2x cosx ecos2 xsenx; (b) g 0(x) 2sen4xsenx2px

; (c) g 0(x) 3x21x12 cosx1sen4x ; (22) 0; (23)

20

/2; (26) (a) 62/5; (b) 12p511.

21

Parte 4

P Integrais imprprias

1. Decida quais integrais imprprias abaixo so convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as con-vergentes, tente determinar aquelas que so absolutamente convergentes.

(1)Z 11

dx

x, 0 (2)

Z 10

dx

x, 0 (3)

Z 11

lnxdx

(4)Z 10lnxdx (5)

Z 11

senx

xdx, 0 (6)

Z 11

cosx

xdx, 0

(7)Z 11

sen(x2)dx (8)Z 11

cos(x2)dx (9)Z 11

sen(x)dx, 0

(10)Z 10

xexdx, , 0 (11)Z 10

exsenxdx (12)Z 10

ex lnxdx

(13)Z 11

dx

1x2 (14)Z 10

x53x27x63x23dx (15)

Z 11

xpx senx

x35lnx dx

(16)Z 10

exdx, 0 (17)Z 10

lnx

xdx, 0 (18)

Z 10

x

1xdx, , 0

(19)Z 10

dxpxx2

(20)Z 10

dxpxx2

(21)Z 12

dx

x(lnx), 0

(22)Z 10

xex

dx, , 0 (23)Z 10

exsen(1/x)dx (24)Z 11

sen2x

x2dx

(25)Z 11

sen(x)

x, , 0 (26)

Z 10

px22012

3px73x32

dx (27)Z 10

dxp1x2

(28)Z 12

dx

x lnx, 0 (29)

Z 10

x1

ex 1dx, 0 (30)Z 10

xexpx57x411

dx

(31)Z 10

xp1x2

dx (32)Z 10

x senx

1x3 dx (33)Z 11

cos(x21)ex2x4x27 dx

2. Calcule a derivada das seguintes funes:

(1) f (x)Z x2x

tsen(2t 1)dt (2) f (x)Z x3x2

t1/2e tdt (3) f (x)Z lnx32x2

cos(t2)dt

(4) f (x)Z 5senx0

e3t2

t21dt (5) f (x)Z x0(x t )et2dt (6) f (x)

Z x27x

(x t )sen td t

(7) f (x)Z senx1

et2dt (8) f (x)

Z ex1

32t41 t8 dt (9) f (x)

Z 1x2

et ln td t

(10) f (x)Z senxcosx

e t2dt (11) f (x)

Z 2pxpx

sen(t2)dt (12) g (x)Z x3senx

dt

1 t4

3. Esboce o grfico das funes abaixo:

(1) f (x)Z x0et

2dt (2) f (x)

Z x0

sen t

td t (3) f (x)

Z x0

dt

te t

22

4. Seja f uma funo contnua em um intervalo I contendo a origem e seja

y y(x)Z x0sen(x t ) f (t )dt

Prove que y 00 y f (x) e y(0) y 0(0) 0, para todo x 2 I .

5. Calcule limx!0

R x20 cos(t

2)dtR x0 e

t2 dt.

6. Mostre que f (x)Z 1/x0

1

t21 dt Z x0

1

t21 dt constante em (0,1). Qual o valor dessa constante?

7. Seja f (x)Z x0

1p1 t4

dt , x 2R.

(a) Mostre que f crescente e mpar.

(b) Mostre que f (x) f (1)1 1x, 8x 1. (Sugesto: Integre 0 1p

1t4 1t2de 1 a x.)

(c) Mostre que limx!1 f (x) existe e um nmero real positivo.

(d) Esboce o grfico de f (x), localizando seu ponto de inflexo.

8. Seja f (x)Z x0e

x2t22 dt . Mostre que f 0(x)x f (x) 1, para todo x 2R.

9. Seja F : [1,1[!R dada por F (x)Z x1

pt31dt .

(a) Calcule o comprimento do grfico de F entre x 1 e x 4.

(b) Calcule limx!2

F (x3)F (8)sen(x2)

10. (Funo Gamma) A funo Gamma definida por

(x)Z 10

et t x1dt ,

para x 0.

(a) Mostre que bem-definida, i.e., que a integral acima convergente para todo x 0.(b) Use integrao por partes para mostrar que (x1) x(x), para todo x 0.(c) Use induo em n para mostrar que (n) (n 1)! para todo inteiro n 0. Isso mostra que a

funo uma extenso da funo fatorial para todos os reais positivos.

(d) Use o tem (2) para definir em toda a reta, exceto nos inteiros no-positivos.

11. (Transformada de Laplace) Dada f : (0,1)!R, a transformada de Laplace de f definida como

L f (x)Z 10

etx f (t )dt ,

para x 0. A transformada de Laplace uma ferramenta muito til para resolver certas equaesdiferenciais.

23

(a) Dizemos que f de crescimento exponencial se existem ,a,M 0 tais que j f (t )j Met paratodo t a. Mostre que se f de crescimento exponencial entoL f bem-definida (i.e., a inte-gral converge) para todo x 0.

(b) Mostre que se f de crescimento exponencial e diferencivel entoL ( f 0)(x) xL f (x) f (0).Encontre uma frmula semelhante paraL ( f 00)

(c) Seja H a funo que vale 1 se t e zero se 0 t . CalculeL H(x)(d) Verifique as seguintes igualdades:

(1)L (1) 1/x (2)L (et ) (x)1, x (3)L (tn) n!xn1, n 2N

(4)L (t) (1)x1 (5)L (sen(t )) x22 (6)L (sinh(t )) x22 , x jj

(7)L (cos(t )) xx22 (8)L (cosh(t )) xx22 , x jj (9)L (tnet ) n!(x)n1, n 2N

12. (Funo Erro) A funo Erro definida por

erf(x) 2p

Z x0et

2dt , x 2R .

(a) Mostre que a funo erf bem-definida, i.e., a integral acima converge.

(b) Esboce o grfico da funo erro.

(c) Pode-se provar queR 11 e

t2dt p. Use este fato e a mudana de varivel t2 u para mostrarque (1/2)p.

13. (Funo seno integral) A funo Seno integral definida como

Si(x)Z x0

sen t

td t

(a) Mostre que a funo Si bem-definida, i.e., a integral acima converge.

(b) Esboce o grfico de Si. (Pode-se provar que limx!1Si(x)/2; voc pode usar este fato.)

P Polinmio de Taylor

14. Calcule o polinmio de Taylor de f de grau n no ponto x0 indicado:

(1) f (x) ex , x0 0 (2) f (x) ex , x0 1 (3) f (x) senx, x0 0

(4) f (x) cosx, x0 0 (5) f (x) cosx, x0 1 (6) f (x) arctgx, x0 0

(7) f (x) ln(1x), x0 0 (8) f (x) ln1x1x

, x0 0 (9) f (x) x32x25x3, x0 1

(10) f (x) sinhx, x0 0 (11) f (x) coshx, x0 0 (12) f (x) 11x , x0 0

(13) f (x) 11x2 , x0 0 (14) f (x) x ln(1x), x0 0 (15) f (x) cos2 x, x0 0

15. Use o polinmio de Taylor de ordem 2 e a frmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular umvalor aproximado para cada um dos nmeros abaixo, estimando o erro:

(a) ln(1,01) (b) sen(0,01) (c) tg(0,1) (d) 4p16,1 (e)p8,97

(f) cos(2 0,05) (g) e0,07 (h) arctg(0,09) (i) ln(1,001) (j) cosh(0,1)

24

16. Use a fmula de Taylor com resto de Lagrange para mostrar as igualdades abaixo:

(a) ex limN!1PNn0 xnn! , x 2R (b) senx limN!1PNn0(1)n x2n1(2n1)! , x 2R(c) cosx limN!1PNn0(1)n x2n(2n)! , x 2R (d) ln(1x) limN!1PNn1 (1)n1n xn , jxj 1(e) arctgx limN!1PNn0(1)n x2n12n1 , jxj 1 (f) ln1x1x limN!12PNn0 x2n12n1 , jxj 1

17. Utilizando o exerccio anterior, obtenha um valor aproximado de:

(a) e, com erro inferior a 105 (b) sen1, com erro inferior a 107

(c) cos1, com erro inferior a 105 (d) ln2 e ln3, com erro inferior a 105

(e) e2, com erro inferior a 105 (f) arctg(1/2) e arctg(1/3), com erro inferior a 105

(g) /4, com1 erro inferior a 105 (h) cos(1/2), com erro inferior a 105

18. Calcule d320arctgdx320

(0) e d321arctgdx321

(0)

19. Estime as integrais abaixo:

(a)Z 10sen(t2)dt , com erro inferior a 105 (b)

Z 10e t

3dt , com erro inferior a 107

(c)Z 10ln(1 t4)dt , com erro inferior a 102 (d)

Z 10et

2dt , com erro inferior a 107

(e)Z 11

sen t

td t , com erro inferior a 106 (d)

Z 10

1cos(t2)t

d t , com erro inferior a 107

20. Utilizando os polinmios de Taylor das funes envolvidas, calcule os seguintes limites:

(a) limx!0

senx

x(b) lim

x!01cosx

x2(c) lim

x!0x senx

x3(d) lim

x!0ln(1x)

x(e) lim

x!0ln(1x) ln(1x)

x

(f) limx!0

ex 1x

(g) limx!0

ex3 1x2

(h) limx!0

arctgx

x(i) lim

x!0

senxx x33!

x5

(j) limx!0

ex 1x x22

x3

25

P Respostas

(1)

CA* C** Valor D**1 1 (1)1 12 1 (1)1 13 x4 x 15 1 06 1 07 x8 x9 x10 x11 x 1/212 x

CA* C** Valor D**13 x /214 x15 x16 x 1

17 1 118 1 119 x20 x21 1 0 122 x23 x24 x25 1 126 x27 x /228 1 129 x30 x31 x 132 x33 x

(Legenda: CA - Converge absolutamente; C-Converge; D-diverge)

(14)(1) pn(x) 1x x2/2! . . .xn/n!;(2) pn(x) ee(x1)e(x1)2/2! . . .e(x1)n/n!;(3) p2k1(x) xx3/3! (1)kx2k1/(2k1)!;(4) p2k (x) 1x2/2! (1)kx2k/(2k)!;(5) pn(x) cos1 sen1(x1)cos1(x1)2/2! sen1(x1)3/3! . . . f (n)(1)(x1)n/n!;(6) p2k1(x) xx3/3x5/5 . . . (1)kx2k1/(2k1);(7) pn(x) xx2/2x3/3 . . . (1)nxn/n;(8) p2k1(x) 2x2x3/3 . . .2x2k1/(2k1);(9) pn(x) p3(x) 12(x1)5(x1)2 (x1)3 para todo n 3;(10) p2k1(x) x x3/3! . . .x2k1/(2k1)!;(11) p2k (x) 1x2/2! . . .x2k/(2k)!;(12) pn(x) 1xx2 . . . xn ;(13) p2k (x) 1x2x4 . . . (1)kx2k ;(14) pn1(x) x2x3/2x4/3 . . . (1)nxn1/n;(15) p2k (x) 1x . . .22k1x2k/(2k)!

26