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Lista Prismas e Pirâmides
Prof.: Fillipe Azevedo
1. O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das regiões geladas para abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que é amarrada à cinta para rebocá-lo.
Considerando que o iceberg é formado somente por água potável e que, após o deslocamento, 10% do volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de água obtida transportando-se um iceberg com as dimensões, em metros, indicadas na figura apresentada. 2. O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma.
Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas LB e GE,
as retas AG e HI, e as retas AD e GK . As posições relativas desses pares de retas são,
respectivamente, a) concorrentes; reversas; reversas. b) reversas; reversas; paralelas. c) concorrentes, reversas; paralelas. d) reversas; concorrentes; reversas. e) concorrentes; concorrentes; reversas. 3. Considere dois prismas retos de mesma altura, h 6cm, e com bases sendo hexágonos
regulares, de modo que um seja inscrito no outro. Os vértices do prisma inscrito são os pontos médios das arestas das bases do outro prisma, e as arestas da base do prisma inscrito medem
2cm. Com relação a esses prismas, assinale o que for correto.
01) As arestas das bases do prisma maior medem 4
3 cm.3
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02) A área lateral do prisma maior mede 248 3 cm .
04) O volume do prisma menor é 3363 cm .
3
08) A diferença entre os volumes dos prismas é de 312 3 cm .
16) O quociente entre os volumes do prisma maior e do menor é 4
3.3
4. Uma piscina na forma retangular tem 12 metros de comprimento, 6 metros de largura e 2 metros de profundidade. Bombeia-se água para a piscina até atingir 75% de sua altura. A quantidade de água para encher esta piscina até a altura indicada é de ________ litros. a) 54 b) 108 c) 54000 d) 108000 e) 192000 5. Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças. Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com 10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm
3, dessa embalagem?
a) 150 3. b) 1.500.
c) 900 3. d) 1.800. e) 1.800 3.
6. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6 cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da face contendo C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a partir de E.
Com base nas informações acima, analise as proposições a seguir.
( ) A distância entre A e B mede 6 2 cm.
( ) A distância entre B e D mede 6 3 cm.
( ) Os triângulos CDB e FDE são semelhantes.
( ) O seno do ângulo FDE é 3 3.
( ) A distância entre E e F mede 2 6 cm.
7. Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8, de maneira que dois
de seus vértices, P e Q, sejam os pontos médios respectivamente das arestas AD e BC, e os
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vértices da face superior desse sólido coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo.
O volume desse sólido é a) 64. b) 128. c) 256. d) 512. e) 1024. 8. Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de metal, com 8 dm
de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de
lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir:
O volume, em 3dm , da caixa assim obtida é
a) 2 380x 36x 4x
b) 2 380x 36x 4x
c) 2 380x 18x x
d) 2 380x 18x x
e) 2 320x 9x x
9. Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal mede 2 3 m, tem capacidade igual a:
a) 4.000 litros b) 6.000 litros c) 8.000 litros d) 2.000 litros e) 1.000 litros 10. A altura de um tetraedro regular que possui área total e volume numericamente iguais, é:
a) 2 6 b) 36 c) 6
d) 6 2 e) 12
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11. Para a premiação dos melhores administradores de uma galeria comercial, um designer projetou um peso de papel com a forma de um tetraedro regular reto, de aresta 20 cm que será entregue aos vencedores. Esse peso de papel será recoberto com placas de platina, nas faces laterais e com uma placa de prata na base. Se o preço da platina é de 30 reais por centímetro quadrado, e o da prata é de 50 reais por centímetro quadrado, assinale a alternativa que apresenta o valor mais próximo, em reais, do custo desse recobrimento.
Considere 3 1,7
a) 24 000 b) 18 000 c) 16 000 d) 14 000 e) 12 000 12. Os vértices de um tetraedro são um dos vértices de um cubo de aresta 30 cm e os três vértices ligados a ele por uma aresta do cubo, como ilustrado na figura abaixo. Se V é o
volume do tetraedro, em 3cm , assinale V/100.
13. A área de uma circunferência circunscrita à base de um tetraedro regular de aresta 6 cm é:
a) 236 cmπ
b) 24 cmπ
c) 29 cmπ
d) 212 cmπ
e) 26 cmπ
14. Na ilustração a seguir, temos um octaedro regular com área total da superfície 236 3 cm .
Indique o volume do octaedro, em 3cm .
15. Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada
com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que
uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?
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a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.
16. Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da
base e a aresta lateral é 3
.3
Aumentando-se a aresta da base em 2 cm e mantendo-se a
aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108 cm3. O volume do prisma original é
a) 318 cm .
b) 336 cm .
c) 318 3 cm .
d) 336 3 cm .
e) 340 cm .
17. Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no formato de pirâmide regular, como mostrado na figura.
As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto. A área da parte revestida, em cm
2, é igual a
a) 72(3 3).
b) 36(6 5).
c) 108(2 5).
d) 27(8 7).
e) 54(4 7).
18. Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano б. Esse plano contém o segmento OV, perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem:
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Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano a, como se observa nas imagens:
Considere as seguintes informações: - o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro;
- a rotação do segmento OV é de x radianos, sendo 0 x2
π ;
- x corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano α ;
- o volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a y. O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmide, em m
3, em função do ângulo x, em
radianos, é:
a)
b)
c)
d)
19. Uma pirâmide quadrangular regular tem 236 cm de área da base. Sabendo que a altura
da pirâmide tem 3 3 cm, assinale o que for correto.
01) A área lateral da pirâmide é o dobro da área da base. 02) A área total da pirâmide é o triplo da área da base. 04) A área de uma face lateral da pirâmide é a sexta parte de sua área total.
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08) A razão das áreas total e lateral dessa pirâmide é um número fracionário.
16) O volume dessa pirâmide é 3108 3 cm .
20. Uma estrutura de arame foi construída a partir de dois cubos concêntricos de medidas diferentes e com faces paralelas, ligando cada vértice do cubo interno a um vértice do cubo externo, por segmentos de reta, como indica a figura a seguir.
Considere que a aresta do cubo interno tem um terço do comprimento, , da aresta do cubo
externo e que cada haste é formada por um único fio de arame esticado. Nessas condições, determine, em função de , o comprimento de arame necessário para a construção desta
estrutura.
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Gabarito: Resposta da questão 1: A quantidade de água obtida é dada por
356 160,9 12 18 56 (52 18) 12 24.105,6 m .
2
Resposta da questão 2: [E]
As retas LB e GE são as retas suporte das diagonais GE e LB. Logo, as retas LB e GE são
concorrentes no ponto de interseção das diagonais do bloco.
Como as retas AG e HI são coplanares e não paralelas, segue que AG e HI são
concorrentes.
Como AD e GK são distintas, não têm ponto em comum e não são coplanares, temos que
AD e GK são reversas.
Resposta da questão 3: 01 + 02 + 08 = 11. [01] Correto. Seja a medida do lado do hexágono maior. Sabendo que os ângulos internos
de um hexágono regular medem 120 , pela Lei dos Cossenos, vem
2 2 2 2
2
2
2 12 2 cos120 4 2
2 2 2 2 4 4 2
16
3
4 3cm.
3
[02] Correto. A área lateral do prisma maior mede
24 36 h 6 6 48 3 cm .
3
[04] Incorreto. O volume do prisma menor é dado por
23 33 2 3 36
6 36 3 cm 3 cm .2 3
[08] Correto. O volume do prisma maior é igual a
2
3
4 33 3
36 48 3 cm .
2
Portanto, a diferença entre os volumes dos prismas é
348 3 36 3 12 3 cm .
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[16] Incorreto. De [04] e [08], vem 48 3 4 4
3.3 336 3
Resposta da questão 4: [D]
O volume da piscina é igual a 312 6 2 144 m . Logo, a quantidade de água a ser bombeada,
em litros, para que o nível da piscina atinja 75% de sua altura, é
75144 1000 108.000.
100
Resposta da questão 5: [C] O volume da embalagem é dado por
233 10 3
6 900 3 cm .2
Resposta da questão 6: V – V – V – V – F.
Como AB é diagonal da face, e a aresta do cubo mede 6cm, segue que AB 6 2 cm.
Como BD é diagonal do cubo, e a aresta do cubo mede 6cm, segue que BD 6 3 cm.
Os triângulos CDB e FDE são retângulos e BDE FDE. Logo, CDB e FDE são semelhantes.
Do triângulo CBD, vem
3BC 6senCDB senFDE.36 3BD
Do triângulo DEF, obtemos
3EF EFsenFDE3 3 2DE
EF 6 cm 2 6 cm.
Resposta da questão 7: [C]
O sólido indicado é um prisma reto triangular, cujo volume é igual a 8 8
8 256.2
Resposta da questão 8: [A] O volume da caixa é dado por
2
2 3
x (8 2x) (10 2x) x (80 16x 20x 4x )
80x 36x 4x .
Resposta da questão 9:
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[C] Seja a a aresta do cubo.
Sabendo que a diagonal do cubo é igual a a 3, temos a 2. Portanto, como o volume do
cubo é igual a 3 32 8 m , segue que a sua capacidade é de 8 1000 8.000 litros.
Resposta da questão 10: [E]
Sejam e h, respectivamente, a aresta e a altura do tetraedro.
Se a área total e o volume são numericamente iguais, então
221 3
h 3 h 12 u.c.3 4
Resposta da questão 11: [A] Como as faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros, segue que o custo pedido é dado por
220 3(3 30 50) 100 1,7 140
4
R$ 23.800.
Resposta da questão 12: 45.
O volume do tetraedro é dado por 2
31 3030 4500cm .
3 2
Resposta da questão 13: [D] Como as faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros, queremos calcular a área do círculo circunscrito a um triângulo equilátero de lado 6cm.
Portanto, o resultado pedido é
226
12 cm .3
π π
Resposta da questão 14:
Sabendo que a área total de um octaedro regular é dada por 22a 3, em que a é a aresta do
octaedro, segue que 2 62a 3 36 3 a cm.
2
Portanto, o volume do octaedro é dado por
3
33
62
a 2 236cm .
3 3
Resposta da questão 15: [C]
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Apenas a alternativa C reflete a figura a seguir.
Resposta da questão 16: [B]
Volume do prisma 1: 26 a 3 h
4
Volume do prisma 2: 26 (a 2) 3 h
4
Aumento do volume: 2 1V V 6 3 (a 1) h 108 (I)
a 3h a 3 (II)
h 3
Substituindo (II) em (I), temos:
2
2
6 3 (a 1) a 3 108
18(a a) 108
a a 6
Resolvendo a equação do segundo grau, temos a = – 3 ( não convém) ou a = 2.
a 2cm h 2 3cm, portanto, o volume do prisma 1 será dado por:
2 2
31
6 a 3 h 6 2 3 2 3V 36cm
4 4
Resposta da questão 17: [E]
Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto
médio da aresta AB.
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Desse modo, como AB 6cm, vem
AB 6OM OM 3 3 cm.
2tg30 32
3
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OVM, encontramos
2 2 2 2 2 2VM OV OM VM 6 (3 3)
VM 3 7 cm.
Portanto, o resultado pedido é dado por
2 2
2
AB VM6 AB 6 (6 3 3 7)
2
54(4 7)cm .
Resposta da questão 18: [A]
Seja h a altura da pirâmide logo, h 1 sen(x) e volume da pirâmide será dado por:
21 sen(x)V(x) 1 sen(x)
3 3
Logo, o gráfico que representa a variação do volume será dado pela
Função sen(x)
y V(x) , para 0 x .3 2
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Resposta da questão 19: 01 + 02 + 04 + 08 = 15.
[01] (Verdadeira). 2L
6 6A 4 72 cm
2.
[02] (Verdadeira). 2TA 36 72 108cm 108 3 6 .3
[04] (Verdadeira). 2F
6 6A 18cm 108 6 1
2.8
[08] (Verdadeira). T
L
A 108 3.
A 72 2
[16] (Falsa). 236 3 3V 36 3cm .
3
Resposta da questão 20: Seja x a altura de cada um dos troncos de pirâmide quadrangular regular determinados pelos vértices dos cubos. Temos
2x x .3 3
Além disso, a metade da diagonal de uma face do cubo menor mede 2
,6
e a metade da
diagonal de uma face do cubo maior mede 2
.2
Desse modo, se y é a medida da aresta
lateral de um dos troncos de pirâmide, então y é a hipotenusa de um triângulo retângulo de
catetos 3
e 2 2 2
.2 6 3
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Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, segue que
22 2 3
y y .3 3 3
O resultado pedido é
312 12 8 y 8 2 u.c.
3 3
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 15/04/2014 às 23:15 Nome do arquivo: Lista de prismas e pir?mides
Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1 ............ 128763 ..... Baixa ............ Matemática ... Ufg/2014 .............................. Analítica 2 ............ 120722 ..... Baixa ............ Matemática ... Espcex (Aman)/2013 ........... Múltipla escolha 3 ............ 123196 ..... Baixa ............ Matemática ... Uem/2013 ............................ Somatória 4 ............ 127521 ..... Baixa ............ Matemática ... Pucrs/2013 .......................... Múltipla escolha 5 ............ 124469 ..... Baixa ............ Matemática ... Ufsm/2013 ........................... Múltipla escolha 6 ............ 124711 ..... Baixa ............ Matemática ... Ufpe/2013 ............................ Verdadeiro/Falso 7 ............ 125737 ..... Baixa ............ Matemática ... Ufrgs/2013 ........................... Múltipla escolha 8 ............ 121147 ..... Baixa ............ Matemática ... Fgvrj/2013 ........................... Múltipla escolha 9 ............ 127244 ..... Baixa ............ Matemática ... Uepb/2013 ........................... Múltipla escolha 10 .......... 127249 ..... Baixa ............ Matemática ... Uepb/2013 ........................... Múltipla escolha 11 .......... 122376 ..... Baixa ............ Matemática ... Upe/2013 ............................. Múltipla escolha 12 .......... 119745 ..... Baixa ............ Matemática ... Ufpe/2012 ............................ Analítica 13 .......... 126775 ..... Baixa ............ Matemática ... Uepb/2012 ........................... Múltipla escolha 14 .......... 107443 ..... Baixa ............ Matemática ... Ufpe/2011 ............................ Analítica 15 .......... 90671 ....... Baixa ............ Matemática ... Enem/2009 .......................... Múltipla escolha 16 .......... 127737 ..... Média ............ Matemática ... Espcex (Aman)/2014 ........... Múltipla escolha 17 .......... 128799 ..... Média ............ Matemática ... Insper/2014 ......................... Múltipla escolha 18 .......... 127284 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2014 ............................. Múltipla escolha 19 .......... 118051 ..... Média ............ Matemática ... Uepg/2013 ........................... Somatória 20 .......... 117917 ..... Média ............ Matemática ... Ufg/2012 .............................. Analítica
