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INTRODUO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCCIOS INTRODUO Os livros de
clculo costumam conter um captulo ou um apndice dedicado a
explicaes de fatos bsicos da matemtica e que, em geral, so
abordados no Ensino Mdio das escolas brasileiras. O entendimento
desses conceitos, e o uso correto deles em diversas situaes, so
condies necessrias para que o aluno da disciplina Clculo
Diferencial e Integral I possa compreender conceitos especficos da
disciplina, como o de derivada e integral, e possa aplicar esses
conceitos na resoluo de situaes- problema relevantes. Por outro
lado, percebe-se que, na maioria das vezes que o estudante
apresenta dificuldades em resolver um problema de aplicao de
limite, derivada ou integral, essa dificuldade no reside no
entendimento dos conceitos especficos do clculo diferencial e
integral, mas sim na modelagem do problema, no seu equacionamento,
na manipulao de expresses algbricas, ou na utilizao de fatos
elementares de trigonometria ou de geometria plana. Por essas
razes, extremamente importante que todos os estudantes da
disciplina identifiquem suas prprias dificuldades com esses fatos
elementares da matemtica e se esforcem para super-las ao longo do
curso. Para auxiliar os estudantes nesse ponto, listamos uma relao
de conceitos matemticos que sero utilizados com muita freqncia
durante o curso e cujo entendimento deve ser priorizado pelos
estudantes. 1. Nmeros
Operaes com fraes e nmeros reais. Potenciao e radiciao. Raiz
quadrada. Intervalos. Desigualdades. Valor absoluto. Reta numrica.
Equaes polinomiais.
2. lgebra Elementar. Produtos notveis e fatorao. Operaes com
polinmios: soma, subtrao, diviso. Razes e igualdade de polinmios.
Clculo da decomposio de uma frao em soma de fraes parciais.
3. Geometria Analtica. Coordenadas de pontos no plano
cartesiano. Distncia entre pontos. Simetrias. Retas: equaes,
paralelismo e perpendicularidade. Equaes da circunferncia. Equao e
grfico
de parbolas. Elipse dada pela sua equao reduzida. Hiprbole de
equao x
y 1= . Translao de grficos.
4. Funes e grficos. Definio de funo, domnio e imagem. Determinao
de domnio e imagem de funes reais. Funes pares e mpares. Funes
crescentes e decrescentes. Operaes e composies de funes. Funo
exponencial. Funo logartmica. A exponencial e o logaritmo natural.
Aplicaes de exponencial e logaritmo. Funes trigonomtricas: seno,
cosseno, tangente. As funes que definem a parte superior, inferior
e lateral de uma circunferncia.
5. Trigonometria Trigonometria nos tringulos. Lei dos senos e
dos cossenos. O crculo trigonomtrico. Graus versus radianos.
Identidades trigonomtricas. Aplicaes de trigonometria.
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ESTRATGIAS DE ESTUDO Apresentamos tambm as seguintes estratgias
de estudo para essa parte inicial da disciplina Clculo Diferencial
e Integral I. (a) extremamente importante que voc possua algum
livro de clculo durante todo o semestre
letivo. Ento providencie um livro, fazendo um emprstimo na
biblioteca ou com algum amigo, comprando o livro ou de outra forma
qualquer.
(b) Identifique as sees do seu livro que tratam dos contedos
listados acima e LEIA essas
sees, dando especial ateno para as definies, para as
propriedades e para os exemplos resolvidos no livro.
(c) No acumule dvidas. Assim que possvel, durante o seu estudo,
procure o seu professor ou
os monitores para esclarecimentos de todas as suas dvidas. (d)
Resolva os exerccios do livro e compare suas solues com as de
outros alunos do curso.
Caso voc tenha dvidas sobre algum exerccio, procure o seu
professor. (e) Resolva todos os exerccios listados a seguir. A
lista de exerccio a seguir aborda praticamente todos os contedos
listados anteriormente. Esses exerccios devem ser obrigatoriamente
resolvidos por todos os alunos das Turmas Especiais de Clculo
Diferencial e Integral I.
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LISTA 1
1. Calcule a rea do retngulo de dimenses 703 e
487 .
2. Considere o pentgono ABCDE de lados 2021;12;
67 === CDBCAB ;
527 == EAeDE . a) Calcule o permetro desse pentgono. b) Qual o
menor lado?
3. D contra-exemplos para mostrar que as afirmaes a seguir so
falsas.
a) bd
cd
bcd +=+ , para quaisquer nmeros reais a, b, c, com 0,0 bc e
.
b)
0+ bcbaba +=+ , para quaisquer nmeros reais no-negativos a,
b.
c) aa =2 , para qualquer nmero real a. d) ayx
xyax +=+
2
, para qualquer 0x . 4. Se | a | = 2, quais so os possveis
valores para a? Represente na reta numrica o conjunto
de todos os valores de a que satisfazem igualdade dada. 5. Em
cada caso a seguir, determine todos os valores de x que satisfazem
a relao dada e,
tambm, represente na reta numrica todos esses valores de x: a) |
x 3 | = 2 b) | x 3 | < 2 c) | x 3 | > 2
6. Determine todas as razes reais de cada equao a seguir: a) (2x
3)(4x2 9)(x2 + 9) = 0; b) x3 5x2 +6x = 0; c) (x2 4x + 3)2 = 1. d)
x(x 7)2 = 50x.
7. Determine, se possvel, os valores de A, B e C para que 1
1223 +++=+
+x
CBxxA
xxx , para todo x
real.
8. Determine, se possvel, os valores de A, B e C para que
1)1(
12222
2
+++=+
x
CBxxA
xxxx , para
todo x real. 9. Determine a para que a distncia entre os pontos
P = (a, 3) e Q = (5, 6) seja igual a 4. 10. Para dar uma
interpretao para o exerccio 9, responda s seguintes perguntas:
a) Que figura fica caracterizada pelos pontos da forma P = (a,
3)? b) Que figura fica caracterizada pelos pontos cuja distncia a Q
= (5, 6) igual a 4? c) Utilizando os itens (a) e (b), d uma
interpretao para o exerccio 9.
Respostas: 2) b) CD 6) a) 23 b) 0, 2, 3 c) 2, 22 d) 0, 257
7) A =1, B = -1, C = 2 8) No tem soluo.
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11. Determine os pontos sobre a reta de equao y = 2x 3 cujas
distncias ao ponto
Q = (4, 5) sejam iguais a 2
57 .
12. Determine o centro e o raio da circunferncia de equao .
Explicite y em funo de x e identifique a figura que cada uma dessas
funes representa?
036422 =++ yxyx
13. Determine a equao da reta tangente circunferncia de equao no
ponto Q
de abscissa 3 sobre essa circunferncia e que est no quarto
quadrante. 2522 =+ yx
14. Analise a resoluo da equao e diga o que est errado.
Sol. . Cancelando o x obtemos . Da , o que
nos fornece as razes
xxxx 2)3( 2 =xxxx 2)3( 2 = 2)3( 2 = xx 0232 =+ xx
213=x , isto , 1 e 2.
15. Simplifique:
a) 22
22
xx
xx b) h
h 25)5( 2 + c) 168
4
3
xx
16. Resolva as desigualdades:
a) b) 4x + 7 > 0 c) 012102 2 + f)
234
12
+++
xx
xx
g) 21sen x , no intervalo [0, 2 ] h)
22sen
21 x , no intervalo [0, 2 ]
17. Determine o valor de x no tringulo abaixo.
18. Seja , calcule f(0), f(1) e f(2).
>=1,
1,1)( 2 xsex
xsexxf
19. Esboce o grfico de y = |x 2| + |x + 6|.
Respostas: 11)
12,2
15 e
2,21 12) centro ( )3,2 e raio 4.
13) .643 += xy 16) c ) 21 2 g )
67
6 x
h) 46 x ou .
67
43 x 17) .14=x 18) ( ) ;10 =f ( ) ;01 =f ( ) .42 =f
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20. Encontre o domnio de cada funo a seguir:
a) 26
)3(ln)(xx
xxf= b) ttth += 4)( .
21. Expresse a rea de um retngulo em funo de um de seus lados
sabendo que ele tem
permetro igual a 20 cm. 22. Expresse o permetro de um retngulo
em funo de um de seus lados sabendo que ele tem
rea igual a 16 cm2. 23. Uma caixa sem tampa deve ser construda
de um pedao retangular de papelo que tem
dimenses 12 cm por 20 cm. Devem-se cortar quadrados de lados x
em cada canto do papelo e depois dobr-los. Expresse o volume da
caixa em funo de x.
24. Um quadrado est inscrito em um crculo de raio r. Expresse o
lado do quadrado em funo
de r. 25. Determine as coordenadas do ponto da circunferncia 2 2
1x y+ = que est mais prximo
do ponto . (4 , 3)P = 26. Ache o ponto do eixo que eqidistante
de y (5 , 5) e . (1 ,1) 27. Determine todas as retas que passam
pelo ponto (2,3)P = e que so tangentes a
circunferncia de equao . 2 2 4x y+ =
28. Os pontos , e (2 , 2)A = (6 ,14)B = (10 , 6)C = so vrtices
de um tringulo retngulo? Se sim, qual desses pontos o vrtice de
ngulo reto?
29. Usando a expresso: rea = metade da base vezes a altura,
determine a rea do tringulo
retngulo de vrtices , (6 , 7)A = (11 , 3)B = e (2 , 2)C = . 30.
Determine a equao da reta em cada situao a seguir.
a) A reta passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (2, 7); b) A reta
passa pelo ponto C = (4, 1) e paralela reta de equao 3x 4y = 1; c)
A reta passa pelo ponto C = (3, 1) e perpendicular reta de equao 2x
+ 6y = 1.
Respostas: 20) a) b) .63
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D C
A B 31. Na figura ao lado, um paralelogramo, as coordenadas
do ponto C so ( e os lados e esto contidos,
respectivamente, nas retas de equaes
ABCD6 ,10) AB AD
142xy = + e
. Determine as coordenadas dos pontos , 4 2y x= A B e . D 32. O
tringulo issceles ABC tem como vrtices da base os pontos (4 , 0)A =
e .
Determine as coordenadas do vrtice sabendo que ele est sobre a
reta de equao .
(0 , 6)B =C
4y x= 33. O nmero R de respiraes por minuto que uma pessoa
executa uma funo do primeiro
grau da presso P do dixido de carbono ( CO 2 ) contido nos
pulmes. Quando a presso
do CO 2 de 41 unidades, o nmero de respiraes por minuto de 13,8;
quando a presso
aumenta para 50 unidades o nmero de respiraes passa para 19,2
por minuto.
a ) Escreva R como funo de P. b ) Ache o nmero de respiraes por
minuto quando a presso do CO 2 for de 45
unidades.
34. Simplifique a expresso at encontrar um nmero inteiro: . 2log
7 724 log (8+ )2
2ax bx c x x x+ + + += 35. Suponha que a equao 8 4 seja vlida
para todo nmero real 2 3 5 5 8 x , em que , b e so nmeros reais.
Determine o valor dessas constantes , b e . a c a c
36. Sabendo que xx 2sen1calcule,2
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39. Desintegrao radioativa: os tomos de uma substncia radioativa
possuem a tendncia natural a se desintegrarem, emitindo partculas e
transformando-se em outra substncia no radioativa. Assim sendo, com
o passar do tempo, a quantidade de substncia original diminui
aumentando, conseqentemente, a massa da nova substncia
transformada. Alm disso, pode-se demonstrar que se no instante de
tempo 0t = a quantidade de matria radioativa igual a 0M , ento no
instante de tempo a quantidade dessa matria ser igual a
0t 0( )
ktM t M e= , sendo uma constante positiva que depende da matria
radioativa considerada. Em geral, para o clculo dessa constante k ,
informado o tempo de meia vida da substncia radioativa: esse o
tempo para que metade da substncia radioativa se desintegre.
k
a). Mostre que as constantes e , de uma mesma substncia
radioativa, esto
relacionados pela expresso:
k mtln 2
m
kt
= . b) A meia-vida de uma substncia radioativa um ano. Quanto
tempo levar para que num corpo puro de 10 gramas desse material
reste apenas um grama?
c) Uma amostra de trio reduz-se a 43
de sua quantidade inicial depois de 33.600 anos.
Qual a meia-vida do trio?
40. Lei de resfriamento de Newton: essa lei afirma que em um
ambiente com temperatura constante, a temperatura de um objeto no
instante t varia de acordo com a expresso:
, sendo ( )T t
( ) ktT t A Ce = A a temperatura do meio, C a diferena de
temperatura entre o objeto e o meio no instante e uma constante
positiva. 0=t k
a) Num certo dia, a temperatura ambiente de 30 graus. A gua que
fervia numa panela, 5 minutos depois de apagado o fogo tem a
temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de apagado o fogo a
gua atingir a temperatura de 38 graus?
b) O corpo de uma vtima de assassinato foi descoberto s 23
horas. O mdico da polcia chegou s 23:30 h e imediatamente tomou a
temperatura do cadver que era de 34,8 graus. Uma hora mais tarde
ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. A
temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. Use a lei
do resfriamento de Newton para estimar a hora em se deu a morte.
Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva de 36,5
graus.
Respostas:
39) b) 3,310log2ln
10ln2 = anos. c ) 5,956.80
34ln
2ln600.33
anos.
40) a) .min6,152ln4
35ln5
b) 24,2
1,148,14ln
8,145,16ln
horas antes das 23:30 h, ou seja,
aproximadamente s 21:15 h.
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41. Utilizando um teodolito e uma trena um topgrafo fez as
medidas de ngulos e distncias indicadas na figura ao lado.
Calcule a altura da torre indicada nessa figura.
42. Para saber o comprimento de uma ponte que ser construda
sobre um rio, um engenheiro instalou o teodolito no ponto B a
uma distncia de 30 metros do ponto A, situado na margem do rio.
Depois, mediu os ngulos e , conforme a figura. Com base nas medidas
feitas pelo engenheiro, determine o comprimento AC da ponte.
o105CAB = o30ABC =
Respostas: 41) ( ) ( )( ) ( ) m7,957,12,8723tg35tg 35tg23tg
oo
oo
+ . 42) .m215
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- Calculo 1: Lista de exerccios extra 1 -
1. Resolver as inequacoes:
(a) x(x 1) > 0 {x R/x < 0 ou x > 1};(b) (x 1)(x+ 2)
< 0 {x R/ 2 < x < 1};(c) x2 2 x {x R/x 1 ou x 2};(d) x2(x
1) 0 {x R/x = 0 ou x 1};(e) x2 + 2x+ 4 > 0 R;(f) x4 < x2 {x
R/ 1 < x < 1 e x 6= 0};(g) x3 + 1 < x2 + x {x R/x <
1}.
2. Determine os valores de x para os quais cada uma das
expressoes seguintes sao numerosreais:
(a)4 x2 {x R/ 2 x 2};
(b)x2 9 {x R/x 3 ou x 3};
(c) 143x {x R/x < 4/3};
(d) 1x2x12 {x R/x < 3 ou x > 4}.
3. Determine os valores de x para os quais cada uma das
expressoes seguintes e positiva:
(a) xx2+4
R+;(b) x
x24 {x R/ 2 < x < 0 ou x > 2};(c) x+1
x3 {x R/x < 1 ou x > 3};(d) x
21x23x {x R/x < 1 ou 0 < x < 1 ou x > 3}.
4. Determine os valores de x que satisfazem:
(a) |x| = 5 x = 5;(b) |x+ 4| = 3 x = 1 ou x = 7;(c) |x 2| = 4 x
= 2 ou x = 6;(d) |x+ 1| = |x 2| x = 1/2;(e) |x+ 1| = |2x 2| x = 3
ou x = 1/3;(f) |x 3| 5 {x R/ 2 x 8}.(g) |x+ 4| 1 {x R/x > 3 ou x
< 5}.
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5. Usando valor absoluto, escreva expressoes para os seguintes
conjuntos:
(a) o conjunto dos pontos cuja distancia a 1 e menor do que ou
igual a 4 |x 1| 4;(b) o conjunto dos pontos cuja distancia a -5 e
menor do que 2 |x+ 5| < 2;(c) o conjunto dos pontos cuja
distancia a 6 e maior do que 3 |x 6| > 3.
6. Mostre que os dois conjuntos abaixo sao iguais e os escreva
na forma de intervalos:
A = {x : x < 4} e B = {x : |x 2| < |x 6|}.
B = {x : x2 4x+ 4 < x2 12x+ 36} = {x : 8x < 32} = {x : x
< 4} = AA = B = (, 4)
7. Encontre o domnio das seguintes funcoes:
(a) 1x2+4
R;
(b)(x 1)(x+ 2) {x R/x 2 ou x 1};
(c)3 2x x2 {x R/ 3 x 1};
(d)
3x4x+2
{x R/x < 2 ou x 4/3}.
8. Se f(x) = 4x 3, mostre que f(2x) = 2f(x) + 3.9. Quais os
domnios de f(x) = 1
x8 e g(x) = x3? Determine o domnio de h(x) = f(g(x)).
D(f) = R {8}, D(g) = R e D(h) = R {2}10. Se f(x) = 1 x, mostre
que f(f(x)) = x.11. Se f(x) = ax+b
xa , mostre que f(f(x)) = x.
12. Se f(x) = ax, mostre que f(x) + f(1 x) = f(1). Verifique
tambem que f(x1 + x2) =f(x1) + f(x2), para todos x1, x2 R.
13. Caracterize as seguintes funcoes como sobrejetora, injetora,
bijetora, ou nenhuma delas:
(a) f : R R, f(x) = 3x+ 5 bijetora;(b) g : R R, g(x) = x2 9
nenhuma delas;(c) h : A A, h(x) = x2 + 4, A = {x R/x 4}
injetora;(d) : {x R/x 0} R, (x) = 5
3x2 injetora.
14. Determine se as seguintes funcoes sao pares, mpares ou
nenhuma delas:
(a) f(x) = 2x5 + 3x2 nenhuma delas;
(b) g(x) = 3 x2 + 2x4 par;(c) h(x) = 1 x nenhuma delas;(d) (x) =
x+ x3 mpar.
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15. Suponha f(x) uma funcao mpar e g(x) uma funcao par.
(a) Podemos falar algo sobre a paridade de Q(x) = f(x)g(x)
e P (x) = f(x)g(x)?
(b) Sabendo que sen(x) e funcao mpar e cos(x) e par, o que
podemos falar sobre tg(x)?
Resposta: Todas Impares.
16. Resolva as seguintes equacoes:
Respostas(a) 2x = 16 {4}(b) 4x =
(12
)x2x {1, 0}(c) (3x)x+3 = 9x+6 {3,4}(d) 2.5x + 3.5x+1 = 17 {0}(e)
2.6x + 3.6x1 4.6x1 = 11 {1}(f) 9|x| 4.3|x| + 3 = 0 {1, 0, 1}
17. Resolva as inequacoes:
Respostas(a) 73x2 < 49 S = {x R|x < 4
3}
(b) 8x3+ 23 32x2 S = {x R|x 3}
(c)(53
)x2+10 (53
)7xS = {x R|x 2 ou x 5}
(d)32x+1 < 16 S = {x R|x < 11}
18. Dadas as funcoes f(x) =(13
)x2+7e g(x) =
(13
)5x+1, determine x real de modo que se
tenha:
Respostas(a) f(x) = g(x) x = 2 ou x = 3(b) f(x) > g(x) 2 <
x < 3
19. Resolva o seguinte sistema
{8x.4y = 1
4
4x.2y = 2.
Resposta: x = 0, y = 1
20. Dado o sistema
{5xy = 1
125
3x+y = 243., calcule o valor de (xy)3. Resposta: 64
21. Resolva a equacao ((1024x)x)x = 21,25 Resposta: {12}
22. Seja f(x) = 3x 9x4uma funcao de variavel real. Determine o
conjunto que contem todos
os valores reais de x para os quais f(x) = f(x 1). Resposta: S =
{1}
23. Resolva o seguinte sistema
{2x + 3y = 112x 3y = 5. Resposta: x = 3, y = 1
24. Uma populacao de bacterias no instante t e dada pela funcao
f(t) = C.4kt, em que t edado em minutos. Experimentalmente,
verifica-se que e a populacao depois de 1 minutoera de 64 bacterias
e depois de 3 minutos, de 256. Determine a populacao inicial (isto
e,quando t = 0). Resposta: 32
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25. Utilize deslocamento para fazer um esboco do grafico das
seguintes funcoes e determineo domnio das mesmas:a) f(x) = ex2 + 1
b) f(x) = ln(x 1) c) f(x) = ex+1 2 d) f(x) = ln(x+2) 3e) f(x) =
|lnx 1| f) f(x) = |lnx| 1 g) f(x) = |ln(x+2) 3|
26. Determine o domnio das funcoesa) f(x) = log4
(x 1
2
)b) y = log6x(x
2 7x+ 12) R: a) (12,+) b) (3, 4)
27. Resolva as seguintes inequacoes:a) log3
(x3 1
2
) 2 b) log4(x+ 3) + log4(x 9) > 3 c) log5 x > log25(2x+
35)R: a) [11
6,+) b) (13,+) c) (7,+)
28. Determine os valores (x, y) que sao solucoes do sistema
{3x+y = 81
log3 x+ log3 y = 1.
R: (1, 3) ou (3, 1)
29. Determine o intervalo em que a funcao f(x) =
log2
(log 1
2x)esta definida. R: (0, 1/2)
30. Resolva log10 x+ 2. logx 10 = 3 R: {10, 100}31. Sejam a e b
numeros reais positivos, tais que 1
2log2 a 2 log2 b = 2. Determine o valor da
razaoa
b2R: 1
32. Determine o conjunto das solucoes da equacao log2(x2 1) =
logx21 2
R: {x R/x = 3 ou x = 3/2}33. E dada a funcao f definida por f(x)
= log2 x log4(x 3)
(a) Determine os valores de x para os quais f(x) 2 R: (b)
Determine os valores de x para os quais f(x) > 2 R: (3,+)
34. Resolva a equacao log3 x = 1 + logx 9. R: {1/3, 9}35. Se
log2(2
2) = a, qual sera o valor de log2(2 +
2).
(DICA: analise o produto (22)(2 +2)) R: 1 a36. Resolva a equacao
10loga(x
23x+2) = 6loga 10, em que a = 10. R: {1, 4}37. Converta para
radianos:
a) 900 b) 3000 c) 1350 d) 2400 e) 2600 R: a) pi/2 b) 5pi/3 c)
3pi/4 d) 4pi/3 e) 13pi/9
38. Faca um esboco do grafico das seguintes funcoes:a) f(x) =
sen(x) b) f(x) = cos(x) c) f(x) = cos(x+ pi) d) f(x) = tg(x pi
2)
39. Determine para quais valores reais de p existe x tal que:a)
senx = 7p+3
5b) senx = p
210p+1212
c) senx = 11p d) senx = |p 1| e) senx = 85pp3
R: a) [8/7, 2/7] b) [0, 4] [6, 10] c) (, 0] [2,+) d) [0, 2] e)
[5/4, 11/6]
4
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40. Determinea) cos (pi
2 x), sendo que senx = 2
3b) sen(pi
2 x), sendo que cos x = 1
5
R: a) 2/3 b) 1/5
41. Determine o domnio de f(x) = tg( x3). R: {x R/x 6= 3
2(2n+ 1)pi, n = 0, 1, 2, }
42. Na funcao f(x) = tg(mx), determine o valor de m tal que o
perodo da funcao seja pi.R: m = 1
43. Determine o que se pede em cada caso:
(a) cotgx, sendo senx = 32e cos = 1
2; R: 1/3
(b) tgx, sendo cotgx = 3; R: 1/3
(c) secx, sendo cosx = 23; R: 3/2
(d) cosx, sendo secx = 5; R: 1/5(e) secx, sendo cosx =
53; R: 3/5
(f) cosx, sendo secx =7; R: 1/
7
(g) cossecx, sendo senx = 78; R: 8/7
(h) senx, sendo cossecx = 10. R: 1/1044. Determine o valor de m,
e qual o quadrante do arco x, de modo que se tenha:
a) senx = m+13
e cos x = m5
3R: m = 1, I
b) cos x =7m2
e senx = 3m2
R: m = 1/2, II ou IV45. Verifique as seguintes identidades:
(a)secx+ cotgx = (cscx)(cosx+ tgx) (b)sec2x+ csc2x =
sec2x.csc2x
(c)sen2(x) = 1cos(2x)2
(d) cos2(x) = 1+cos(2x)2
46. Determine o perodo das seguintes funcoes e esboce seus
graficos:a) f(x) = sen(7x) b) f(x) = cos(x
4) c) f(x) = tg(pix)
R: a) T = 2pi/7 b) T = 8pi c) T = 1
47. Verifique as seguintes igualdades:
(a)senx = sen(pi x) (b) cos x = cos(pi x) (c)tgx = tg(pi
x)(d)cotgx = cotg(pi x) (e)secx = sec(pi x) (f)cossecx = cossec(pi
x)
48. Verifique a paridade das seguintes funcoes:a) f(x) = xn em
que n N b) f(x) = tgx c) secxR: a) par, se n par e mpar se n mpar
b) mpar c) par
49. Mostre que tg(2a) = 2tga1tg2a , com a 6= pi4 + kpi.
50. Resolva a equacao sen2x 7senx = 6. R: x = pi2 2npi, n = 0,
1, 2,
5
-
SEGUNDA LISTA DE EXERCCIOS
1. Em cada situao verifique se o limite existe. Caso exista
calcule-o.
a) 2
2lim 22
2
xxxx
x b)
3|3|lim
3
xx
x
c) d)
-
6. Mostre que a equao possui pelo menos duas razes reais. 014 =+
xx7. Existe um nmero a tal que
2
22
3lim2x
x ax ax x
3+ + ++ exista? Caso afirmativo,
encontre e o valor do limite. a8. Encontre todos os valores de a
para os quais a funo y = f(x) a seguir contnua
para todos os valores de x:
.
>+=
axparaxaxparax
xf2
1)(
9. Determine os valores de e b tais que a 313
42lim 223
=++++
xxxxbxa
x.
10. A figura abaixo mostra um ponto P sobre a parbola e o ponto
Q dado pela interseo da mediatriz do segmento OP com o eixo y.
medida que P tende ao vrtice da parbola, o que acontece com o ponto
Q ? Ele tem uma posio limite? Se sim, encontre-a.
2xy =
Respostas: 1 ) a ) 32 . b ) no existe; mas os limites laterais
so:1, quando e -1
quando . c ) no existe; mas os limites laterais so:-1, quando e
3
quando . d )
+ 3x 3x + 1x 1x
41 .
2 ) a ) . b ) . c ) 2o3x bxa +o2o2
1x
.
3 ) a ) 0. b ) 0. c ) 0. d ) -2. e ) . f ) 0. g ) . h ) . i ) .
j ) 25 . k ) 6.
l ) 21 . m ) 3. n ) -3. o ) . p ) 0.
5 ) .2;6;4 === Lba 7 ) ;15=a o limite igual a -1. 8 ) .
251=a 9 ) .3;0 == ba 10 ) .
21,0
Q Um breve resumo das aulas encontra-se em
www.mat.ufmg.br/calculoI , no link Turmas Especiais de ClculoI, no
Cronograma.
-
- Calculo 1 - Limites -
1. Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a) limx!1
(x3 3); (h) limx! 32
r8t3 274t2 9 ;
(b) limx!2
px4 8; (i) lim
x!32x3 5x2 2x 34x3 13x2 + 4x 3 ;
(c) limx!2
rx3 + 2x+ 3
x2 + 5; (j) lim
y!3
sy2 9
2y2 + 7y + 3;
(d) limx!3
x2 9x+ 3
; (k) limh!5
hp5 + hp5 ;
(e) limx! 13
3x2 x3x 1 ; (l) limh!0
p3 + 3hp3
h;
(f) limx!3
x3 27x 3 ; (m) limx!2
x4 16x 2 ;
(g) limx!0
px+ 3p3
x; (n) lim
x!1x 1x2 1 :
2. Faca o esboco do graco de f(x) =
8 4 e observe no graco o valor de limx!4 f(x). Ha alguma
diferencaentre lim
x!4f(x) e f(4)?
3. Seja f a func~ao denida por f(x) =
2x 1 se x 6= 21 se x = 2
(a) Encontre limx!2
f(x) e verique que limx!2
f(x) 6= f(2).(b) Faca um esboco do graco de f .
4. Seja f a func~ao denida por f(x) =
x2 9 se x 6= 34 se x = 3
(a) Encontre limx!3
f(x) e verique que limx!3
f(x) 6= f(3)(b) Faca um esboco do graco de f .
5. Determine o valor de limh!0
f(x+ h) f(x)h
quando
a) f(x) = x b) f(x) = x2 c) f(x) = x3.
6. Nos tens a seguir, calcule os limites laterais pedidos e
verique se o limite (bilateral) existe. Caso exista de^ seu
valor.
(a) f(x) = jxjx , limx!0+
f(x), limx!0
f(x), limx!0
f(x).
(b) f(x) =
8 1 ; limx!1+ f(x), limx!1 f(x), limx!1 f(x)(c) f(r) =
8 1
; limr!1+
f(r), limr!1
f(r), limr!1
f(r)
(d) g(x) =
8 2
; limx!2+
f(x), limx!2
f(x), limx!2
f(x)
7. Dada f(x) = jxj+xx . Existe limx!0f(x)?
8. Dada f(x) = jx2+xjx . Verique se existem os limites abaixo e,
caso existam, determine seus valores:
a) limx!1
f(x) b) limx!0
f(x).
-
- Gabarito -
1. Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a) limx!1
(x3 3) = 2; (h) limx! 32
r8t3 274t2 9 =
r9
2;
(b) limx!2
px4 8 = 2
p2; (i) lim
x!32x3 5x2 2x 34x3 13x2 + 4x 3 =
11
17;
(c) limx!2
rx3 + 2x+ 3
x2 + 5=
r5
3; (j) lim
y!3
sy2 9
2y2 + 7y + 3=
r6
5;
(d) limx!3
x2 9x+ 3
= 6; (k) limh!5
hp5 + hp5 =
p10 +
p5;
(e) limx! 13
3x2 x3x 1 =
1
3; (l) lim
h!0
p3 + 3hp3
h=
p3
2;
(f) limx!3
x3 27x 3 = 27; (m) limx!2
x4 16x 2 = 32;
(g) limx!0
px+ 3p3
x=
p3
6; (n) lim
x!1x 1x2 1 =
1
2:
2. f(x) =
8 4 limx!4 f(x) = 4 6= f(4) = 63. f(x) =
2x 1 se x 6= 21 se x = 2
limx!2
f(x) = 3 6= f(2) = 1.
4. f(x) =
x2 9 se x 6= 34 se x = 3 limx!3 f(x) = 0 6= f(3) = 4.
(a) Figura ex.2 (b) Figura ex.3 (c) Figura ex.4
5. a) 1 b) 2x c) 3x2.
6. (a) limx!0+
f(x) = 1, limx!0
f(x) = 1, @ limx!0
f(x).
(b) limx!1+
f(x) = 3, limx!1
f(x) = 2, @ limx!1
f(x)
(c) limr!1+
f(r) = limr!1
f(r) = 5, limr!1
f(r) = 5
(d) limx!2+
f(x) = 5, limx!2
f(x) = 6, @ limx!2
f(x)
7. @ limx!0
f(x), pois limx!0+
f(x) = 2 e limx!0
f(x) = 0.
8. a) limx!1
f(x) = 0 b) limx!0+
f(x) = 1, limx!0
f(x) = 1, @ limx!0
f(x).
-
- Calculo 1 - Limites - Lista 2
1. Determine, caso existam, os seguintes limites:
a) limx!0+
(3px) b) limx!2+
px2 4 c) lim
x!5x 5jx 5j d) limx!5
x 5jx 5j
e) limx!2
1p2 x f) limx!2
1p2 x g) limx!2
2 xpx 2 h) limx!3
pxp3x 3
i) limx!9
px 3px2 9x j) limx!5
1y 15y 5 k) limx!0+
1
x 1
x2
l) lim
x!+1(x3 x2 x+ 1)
m) limx!1(x
3 x2 x+ 1) n) limx!1(2x
6 x3 12x2 + 1) o) limx!+1
2x2 + x+ 1
x3 + 2x2 25 p) limx!+1x7 + 2x+ 1
5x3 2x2 900q) lim
x!+11
1 x r) limx!+12x2 + x 21x3 2x2 + 9 s) limx!1
px2 + 4
x+ 4t) lim
x!1(px2 + 1 x)
u) limx!+1(
px2 + x x) v) lim
x!+1x4 242 x w) limx!2+
1
x 2 3
x2 4
x) limx!0+
p3 + x2
x
y) limx!0
jxjx2
z) limx!+1
px2 + 4
x+ 4) lim
x!1
px2 + 9
x+ 6) lim
x!1(px2 + x x4)
) limx!5
x+ 2
x 4 ) limx!22x2 5x+ 25x2 7x 6 ) limt!0
pa2 + bt a
t") lim
x!2z 4
z2 2z 8) lim
x!02
jxj ) limx!1p2x2 7x+ 3
) limx!5
1x 15x 5 #) limx!1
5x2 + 8x 37x3 4x 17
2. Sejam f(x) =
x2 + 3 se x 1x+ 1 se x > 1:
e g(x) =
x2 se x 12 se x > 1:
(a) Existe limx!1
f(x)?
(b) Encontre uma express~ao para f(x):g(x) e mostre que existe
limx!1
f(x):g(x)
3. Considere a func~ao denida por: f(x) =
8
-
11. Calcule os seguintes limites:
(a) limx!+1
3
2
x(b) lim
x!+1
1
2
x(c) lim
x!+1(2x 2x) (d) lim
x!1(2x 2x) (e) lim
x!+1(2x 3x).
12. Seja f(x) =
8 1
f e contnua em x = 1? Em x = 1? Em x = 2? Em x = 3?
13. Seja f(x) =
2x+ 3 se x 47 + 16x se x > 4
f e contnua em x = 4?
14. Seja f(x) =
3
x1 se x 6= 13 se x = 1
f e contnua em x = 1?
15. Encontre os pontos x, caso existam, nos quais f e descontnua
e de^ as raz~oes para esta possvel descontinuidade:
(a) f(x) = 3px 8;
(b) f(x) = x+2x24 ;
(c) f(x) = 1x +x1x21
(d) f(x) = x2+9jxj+3
16. Verique se as func~oes a seguir s~ao contnuas nos pontos
indicados. Caso n~ao sejam, determine as raz~oes da
descontinuidade.
(a) f(x) = jx+ 1j 3 em x = 1;(b) f(x) = xx21 em x = 2 e em x =
1;
(c) f(x) =
x 2 se x 6= 35 se x = 3 em x = 3.
17. Encontre um valor para a constante k, se possvel, para que a
func~ao seja contnua para todo x 2 R.
(a) f(x) =
7x 2 se x 1kx2 se x > 1
(b) f(x) =
kx2 se x 2
2x+ k se x > 2
18. Encontre os valores das constantes k e m, se possvel, que
para que seja contnua para todo x 2 R a func~ao
f(x) =
8 2;
m(x+ 1) + k; se 1 < x 2;2x3 + x+ 7; se x 1:
19. De^ exemplo de duas func~oes f e g descontnuas em um certo
ponto x = c tal que f + g seja contnua neste ponto.
20. E verdade que uma func~ao contnua que nunca e zero em um
intervalo nunca muda de sinal nesse intervalo? Justique
suaresposta.
21. Utilize o Teorema do Valor Intermediario para mostrar que a
equac~ao x3 + x2 2x+ 1 = 0 possui pelo menos uma soluc~aono
intervalo [1; 1].
22. Mostre que, se p(x) e um polino^mio de grau mpar, ent~ao e
equac~ao p(x) = 0 possui pelo menos uma soluc~ao real.
23. (Contrac~ao de Lorentz) De acordo com a teoria da
relatividade, o comprimento de um objeto, por exemplo, de um
foguete,parece a um observador depender da velocidade com que o
objeto se desloca em relac~ao a esse observador. Se ele medir o
comprimento L0 do foguete em repouso e em seguida com a
velocidade v, o comprimento parecera ser L = L0
q1 v2c2 , sendo
c a velocidade da luz no vacuo. O que acontece com L a medida
que v aumenta? Calcule limv!c
L. Por que e necessario tomar
o limite lateral a esquerda?
-
- Calculo 1 - Limites - Gabarito Lista 2
1. a) 3 b) 0 c)-1 d)@ e) +1 f) 12 g) @ h)p36 i) 0 j) 125 k) 1 l)
+1 m) 1 n) 1
o) 0+ p)+1 q) 0 r) 0+ s)-1 t) +1 u) 12 v) 1 w) +1 x) +1 y) +1 z)
1) 1 ) 1 ) 7 ) 313 ) bjaj+a ") 14 ) 7 )
p2 ) 125 #) 0
2. (a) N~ao, pois limx!1
f(x) = 4 e limx!1+
f(x) = 2.
(b) f(x)g(x) =
x4 + 3x2 se x 12x+ 2 se x > 1:
limx!1
f(x):g(x)
= 4
3. a)
b) limx!0
f(x) = 2 limx!0+
f(x) = 0 @ limx!0
f(x) limx!2
f(x) = 4 limx!2+
f(x) = 1 @ limx!2
f(x).
4. a) cosx b) senx c) f(x) = 1x2 .5. a) 2=5 b) 0.
6. limx!0
xsen(x)
2 2cos(x) = 1.
7. Mg(x) f(x):g(x) Mg(x) ) limx!0
Mg(x) limx!0
f(x):g(x) limx!0
Mg(x) ) M limx!0
g(x) limx!0
f(x):g(x) M lim
x!0g(x)) 0 lim
x!0f(x):g(x) 0) lim
x!0f(x):g(x) = 0.
8. jsenxj 1 e limx!+1
1
x= 0) lim
x!+1senx
x= 0 .
9. (a) Assntotas verticais: x = 3 e x = 3, Assntota horizontal:
y = 0;(b) Assntota vertical: x = 1, Assntota horizontal: y = 0;(c)
Assntota vertical: x = 2, Assntota horizontal: y = 1;(d) Assntota
vertical: x = 0;(e) Assntota vertical: x = 1;(f) Assntota vertical:
x = 0.
10.
limx!+1 a
x =
+1; se a > 10; se 0 < a < 1
e limx!1 a
x =
0; se a > 1
+1; se 0 < a < 1
11. (a) +1 (b) 0 (c) +1 (d) 1 (e) 1
-
12. f n~ao e contnua em x = 1, pois limx!1+
f(x) = 2 e limx!1
f(x) = 0, logo @ limx!1
f(x). Em x = 1; x = 2 e x = 3 ela e contnua,ja que lim
x!1f(x) = f(1) = 0, lim
x!2f(2) = 2, lim
x!3f(x) = f(3) = 2.
13. Sim, pois limx!4
f(x) = f(4) = 11.
14. N~ao, pois @ limx!1
f(x).
15. (a) Contnua em R; (b) Descontnua em x = 2, pois @f(2) e
f(2); (c) Descontnua em x = 0 e x = 1, pois @f(0),f(1) e f(1); (d)
Contnua em R.
16. (a) Contnua em x = 1; (b) Contnua em x = 2 e descontnua em x
= 1 pois @f(1); (c) Contnua em x = 3.17. (a) 5 (b) 4/3
18. k = 4 e m = 5=3.
19. f(x) =
0 se x < 01 se x 0: e g(x) =
1 se x 00 se x > 0:
20. Sim, pois, pelo teorema do valor intermediario, se ela
mudasse de sinal ent~ao o zero deveria ser tambem imagem da
func~ao.
21. f(x) = x3x2 2x+1 = 0) f(1) = 1 e f(1) = 1, logo, pelo
Teorema do Valor Intermediario, existe x0 2 [1; 1] tal quef(x0) =
0.
22. Se p(x) e um polino^mio de grau mpar, ent~ao vai sempre
existir um x0 2 R para o qual p(x0) e p(x0) te^m sinais
opostos.Logo, pelo Teorema do Valor Intermediario, existe c 2 [x0;
x0] tal que p(c) = 0.
23. A medida que v aumenta L diminui. limv!c
L = 0. O limite lateral a esquerda e necessario ja que a func~ao
n~ao esta denida
para v > c.
-
As listas de exerccios podem ser encontradas nos seguintes
endereos: www.mat.ufmg.br/calculoI ou na pasta J18, no xerox
(sala1036)
TERCEIRA LISTA DE EXERCCIOS
1. Derive:
a) y = 3x6 + 9x 3 b) y = 95
x c) x
xy 9107 6 =
d) xx
xxy4
7 2 5+=
2. Calcule ( )h
hh
66
0
99lim + .
3. Calcule o h
hh
cos1lim0
.
4. Calcule 33lim
20002000
3
xx
x. Como esse limite se relaciona com uma derivada?
5. Determine a equao da reta tangente ao grfico de xxy = 35
, no ponto de abscissa
x = 64.
6. Determine a equao da reta r tangente ao grfico de y = x2 + 3x
+ 1 e que paralela reta de equao y = 4x + 7.
7. Determine as tangentes horizontais ao grfico de 562
53
23
++= xxxy . 8. Mostre que a reta de equao y = x tangente curva de
equao y = x3 6x2 + 8x.
Encontre o ponto de tangncia. Respostas:
1) a) .918 5 += xdxdy b) .
9
5
914
xdxdy = c) .
2
9760
37 xxdxdy +=
d) .2
457
911
7 2
x
xdxdy = 2) . 3) 0. 596
4) Esse limite igual a 199932000
32000==xdxdx . 5)
32060
481277 = xy .
6) .434 += xy 7)
329=y em 2=x e
219=y em 3=x . 8) . ( )3,3
-
9. Considere a funo dada por .
a) Encontre uma relao entre a, b e c para que f seja contnua em
x = 1. b) Determine os valores de a, b e c para que f seja derivvel
em x = 1.
>++=
-
16. Um avio, velocidade constante de 500 km/h, voa
horizontalmente a uma altitude de 2.000 metros e passa diretamente
sobre uma estao de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distncia
do avio at a estao est crescendo quando ele est a 4.000 metros da
estao.
17. Uma luz situa-se no topo de um poste de 15 m. Um homem com
1,80 m de altura afasta-se desse poste com uma velocidade de 3 m/s.
Quando o homem estiver a 40 m do poste, determine: a) a taxa de
variao do comprimento de sua sombra. b) a velocidade do topo de sua
sombra.
18. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a
60 km/h, e o outro para oeste a 25 km/h. A que taxa est aumentando
a distncia entre os carros duas horas depois da partida?
19. A altura de um tringulo cresce a uma taxa de 1 cm/min,
enquanto sua rea cresce a uma taxa de 2 cm2/min. A que taxa estar
variando a base desse tringulo quando sua altura for 10 cm e sua
rea 100 cm2 ?
20. Ao meio-dia, um navio A est 100 km a oeste do navio B. O
navio A est navegando para o sul a 35 km/h, e o navio B est indo
para o norte a 25 km/h. Quo rpido estar variando a distncia entre
eles s 4 horas da tarde?
21. O volume de um cubo est aumentando taxa de 2 cm3 por
segundo. Com que taxa estar variando a rea de uma de suas faces
quando sua aresta tiver 20 cm?
22. Uma partcula est se movendo ao longo do grfico da funo ( )f
x = x . Quando a partcula passa pelo ponto (4 , 2), sua coordenada
est crescendo a taxa de 3 cm/s. Quo rpido est variando a distncia
dessa partcula origem, nesse instante?
x
23. Um papagaio (pipa) a 100 metros acima do solo move-se
horizontalmente a uma velocidade de 3 metros por segundo. A que
taxa estar decrescendo o ngulo entre a linha e a horizontal depois
de terem sido soltos 200 metros de linha?
24. Dois lados de um tringulo medem 4 m e 5 m, e o ngulo entre
eles est crescendo a uma taxa de 0,06 radianos por segundo. a)
Encontre a taxa segundo a qual estar variando o comprimento do
terceiro lado desse tringulo quando o ngulo entre os lados de
comprimento fixo for / 3 . b) Encontre a taxa segundo a qual a rea
desse tringulo estar crescendo quando o ngulo entre os lados de
comprimento fixo for / 3 .
25. Um farol est localizado em uma ilha, e a distncia entre ele
e o ponto mais prximo P em uma praia reta no continente de 3 km.
Sua luz faz quatro revolues por minuto. Quo rpido estar se movendo
o feixe de luz ao longo da praia quando ele estiver a 1 km do ponto
P?
Respostas:
16) 3250 km/h. 17) a ) 229 m/s; b )
2275 m/s. 18) 65 km/h. 19) -1,6 cm/min.
20) 13720 km/h. 21)
151 cm2/s. 22)
5427 cm/s. 23) R )
4003 rad/s.
24) a ) 76,0 m/s; b ) 0,3 m2/s. 25)
380 km/min.
-
26. Um velocista corre em uma pista circular de raio 100 m, a
uma velocidade constante de 7 m/s. Seu amigo est em p a uma
distncia de 200 m do centro da pista. Quo rpido estar variando a
distncia entre eles quando a distncia entre eles for de 200 m?
27. Encontre os pontos P e Q, sobre a parbola 21y x= , de forma
que o tringulo ABC formado pelo eixo x e pelas retas tangentes a
parbola em P e Q seja eqiltero.
28. A figura mostra um crculo de raio 1 inscrito na parbola de
equao . Determine as coordenadas do centro desse crculo.
2y x=
Respostas:
26)4157 m/s. 27)
=
41,
23P e
=
41,
23Q . 28)
45,0 .
-
29. A figura mostra uma roda giratria de 40 cm de raio e uma
barra de conexo AP de comprimento fixo 1,2 m. O pino P pode
escorregar para frente e para trs ao longo do eixo x medida que a
roda gira no sentido anti-horrio a uma taxa de 360 revolues por
minuto. Encontre uma expresso para a velocidade do pino P em termos
do ngulo , indicado na figura.
30. Um bote puxado em direo ao ancoradouro por uma corda que est
atada sua proa e
que passa por uma polia sobre o ancoradouro, que est 1 m mais
alto do que a proa desse bote. Se a corda for puxada a uma taxa de
1 m/s, quo rpido o bote aproxima-se do ancoradouro, quando ele
estiver a 8 m dele?
31. A curva seguinte a representao geomtrica da equao . 232 2xxy
+=
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Ache a equao da reta tangente a essa curva no ponto ( )1,1 .
Respostas: 29) 8cos
sen8coscos288
2
2
+
++
=dtdx m/s. 30)
865 m/s.
31) .21
2+= xy
-
- Calculo 1: Lista de exerccios - Taxas Relacionadas
1. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura
de 16 m e uma base com raio de 4 m. A agua estafluindo dentro do
tanque a uma vazao de 2 m3/min. Quao rapido se elevara o nvel de
agua quando a agua estivercom 5 m de profundidade?
R: 32/(25pi)m/min
2. Um tanque de agua tem a forma de um cone circular invertido
com base de raio 2 m e altura igual a 4 m. Se agua estasendo
bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2 m3/min, encontre a taxa
na qual o nvel de agua esta elevandoquando a agua esta a 3 m de
profundidade.
R: 8/(9pi)m/min
3. Uma escada de 3 m de comprimento esta apoiada em uma parede.
Se a base da escada desliza, afastando-se da paredea uma taxa de 1
m/s, quao rapido o topo da escada escorrega para baixo quando a
base esta a 1 m da parede?
R: 2/4m/s4. Um homem anda a 1 m/s e um holofote o acompanha a 10
m do caminho. A que taxa o holofote esta girando quando
o homem esta a 15 m do ponto mais proximo da luz?
R: 2/65rad/s
5. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gas esta
a uma temperatura constante, a pressao P e o volumeV satisfazem a
equacao PV = C, em que C e uma constante. Suponha que em um certo
instante o volume e 600 m3, apressao e 150 kPa e a pressao cresce a
uma taxa de 20 kPa/min. A que taxa esta decrescendo o volume nesse
instante?
R: 80m3/min6. Quando o ar expande adiabaticamente (sem troca de
energia termica), sua pressao P e o volume V estao relacionados
pela equacao PV 1,4 = C, em que C e uma constante. Suponha que
em um certo instante o volume e 400 cm3, a pressaoe 80 kPa e a
pressao cresce a uma taxa de 10 kPa/min. A que taxa esta
decrescendo o volume nesse instante?
R: 35, 7cm3/min7. Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a
forma de um crculo. Se o raio da queimadura esta decrescendo a
uma
taxa de 0,05 cm por dia quando ele e 1 cm, qual a taxa de
decrescimo da area da queimadura nesse instante?
R: pi/10cm2/dia8. Suponha que numa farmacia P seja o preco da
caixa de um determinado remedio, x o numero de milhares de
caixas
desse remedio ofertadas diariamente, sendo a equacao de oferta
Px 20P 3x + 105 = 0. Se a oferta diaria estadecrescendo a uma taxa
de 250 caixas do remedio por dia, em que taxa os precos estao
variando quando a oferta diariae de 5000 caixas?
R: 0, 05reais/dia9. O carro A esta indo para o oeste a 50 Km/h e
o carro B esta indo para norte a 60 Km/h. Ambos estao dirigindo
para
a intersecao de duas ruas. A que taxa os carros estao se
aproximando um do outro quando o carro A esta a 0,3 Km eo carro B
esta a 0,4 Km da intersecao?
R: Os carros se aproximam um do outro a uma taxa de 78Km/h.
10. Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a` razao
de 6 cm/s. Determine a taxa de variacao da area doquadrado no
instante em o lado meca 10 cm.
R: 120cm2/s
11. O raio de uma bola cresce a` razao 3 cm/s. Determine a taxa
de variacao do volume da bola no instante em que o raioe 8 cm.
R: 768picm3/s
12. Uma escada de 5 m de comprimento se apoia em uma parede
vertical. A extremidade inferior da escada se afasta daparede a uma
razao de 0,8 m/s. Quao rapidamente esta descendo a extremidade
superior da escada no instante emque a extremidade inferior estiver
a 3 m da parede?
R: -0,6 m/s
13. Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade
de 2 m/s. Um farol giratorio que esta a 6 m daestrada focaliza o
homem. A que taxa o farol esta girando, quando o homem estiver a 4
m do ponto do caminho maisproximo do farol?
R: 3/13 rad/s
14. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a
60 km/h, e o outro para oeste a 25 km/h. A que taxaesta aumentando
a distancia entre os carros duas horas depois da partida?
R: 65m/s
15. O volume de um cubo esta aumentando a` taxa de 2 cm3 por
segundo. Com que taxa estara variando a area de umade suas faces
quando sua aresta tiver 20 cm?
R: 15cm2/s
1
-
- Calculo 1: Lista de exerccios 4 - Derivadas
1. Para cada func~ao f dada, calcule a derivada indicada:
(a) f(x) = 6x5 + 3x4 5x 2, d25ydx25 ;(b) f(x) = senx, d
37ydx37 ;
(c) f(x) = 1x ,dnydxn ;
2. Determine a derivada de ordem n de y = lnx.
3. Derive:
(a) y = arctan(arcsenx);
(b) y = ln(secx+ tgx);
(c) y = xx;
(d) y = arcsen(p1 x2);
(e) y = arcsen(e2x 1).4. Determine para quais valores de x cada
func~ao a seguir esta denida:
a) y = arcsen(2x+ 1) b) y = arccos(ex5) c) y = arctg(3x+ 2)
5. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
cada func~ao a seguir:
a) y = 3x4 16x3 + 18x2 b) y = x3 3x2 + 1.6. Determine os pontos
crticos de cada func~ao a seguir:
a) y = x3 + x2 x b) f(x) = x+1x2+x+1 c) y = x2=3 d) y = x2=5
7. Determine, se existirem, os valores maximos e mnimos de cada
func~ao a seguir, no intervalo indicado:a) y = x3 3x+ 1; [0; 3] b)
y = (x2 1)3; [1; 2] c) g(t) = tp4 t2; [1; 2]d) y = x 2senx; 2 ; 2 ,
e) y = exex2 ; (1;+1) f) y = x3 3x+ 1, na reta.
Respostas:
1. (a) d25y
dx25 = 0; (b)d37ydx37 = cosx, (c)
dnydxn =
(1)nn!xn+1
2. dn ln xdxn =
(1)n1(n1)!xn
3. (a) y0 = 1(1+arcsen2x)
p1x2 ;
(b) y0 = secx;
(c) y0 = xx(1 + lnx);
(d) y0 = xjxjp1x2(e) y0 = 2e
2xp1(e2x1)2
4. (a) 1 x 0; (b) ln 4 x ln 6, (c) 1 < x < +15. (a) Cresce
para 0 < x < 1 e 3 < x < +1, decresce para 1 < x
< 0 e 1 < x < 3.
(b) Cresce para 1 < x < 0 e 2 < x < +1, decresce
para 0 < x < 2.6. (a) x = 1 e x = 1=3; (b) x = 2 e x = 0; (c)
x = 0; (d) x = 0.7. (a) Maximo: y = 19 em x = 3; Mnimo: y = 1 em x
= 1;
(b) Maximo: y = 27 em x = 2; Mnimo: y = 1 em x = 0;(c) Maximo: g
= 2 em t =
p2; Mnimo: g = p3 em t = 1;
(d) Maximo: y =p3 3 em x = 3 ; Mnimo: y =
p3 + 3 em x =
3 ;
(e) N~ao tem maximo nem mnimo em 1 < x
-
- Calculo 1: Lista de exerccios 5 -
Regra de L'Hospital e Construc~ao de Gracos
1. Calcule os limites:
a) limx!0+
ln x
xb) lim
x!0senx x
x3c) lim
x!+1(lnx)2
x
d) limx!+1
x tan
1
x
e) lim
x!=2tanx
tan(3x)f) lim
x!0tan(px)
tan(qx); q 6= 0
g) limx!+1
x3ex2
h) limx!0+
px ln x i) lim
x!1x2ex
j) limx!0+
senx ln x k) limx!0
sen(4x)
2x+ 3l) lim
x!+1x ln x
m) limx!+1
px2 + x x n) lim
x!0x+ tanx
senxo) lim
x!0
1
x 1
senx
p) limx!0
x arctanxx senx q) limx!1
px2 + 1
xr) lim
x!+1
1 +
a
x
bxs) lim
x!+1
x
x+ 1
xt) lim
x!+1(ex + x)1=x u) lim
x!+1
2x 32x+ 5
2x+1v) lim
x!0+(x)p= lnx w) lim
x!0+(cosx)1=x
2
x) limx!0
(1 2x)1=x
Respostas:
a) 1 b) 1=6 c) 0
d) 1 e) 3 f) p=q
g) 0 h) 0 i) 0
j) 0 k) 0 l) +1
m) 1=2 n) 2 o) 0
p) 2 q) 1 r) eab
s) 1=e t) e u) e8
v) ep w) e1=2 x) e2
1
-
2. Esboce os gracos das func~oes abaixo, indicando, quando
existirem, os pontos crticos,pontos de maximo e mnimo locais,
pontos de inex~ao, assntotas, intervalos de cresci-mento e
decrescimento e a concavidade do graco.
a) y = x3 3x2 + 5 b) y = 4x33 x4
3c) y = x
2
x24
d) y = 6x2
1+x2e) y = 4x
x2+1f) y = 12(1x)
x2
g) y = xex h) y = e2x
xi) y = lnx
x
j) y = x2 ln x k) y = 5x2=3 x5=3 l) y = x 3x1=3
2
-
3
-
- Calculo 1: Lista de exerccios - Otimizac~ao
1. Encontre o ponto sobre a resta y = 4x+ 7 que esta mais
proximo da origem.
R: (-28/17,7/17)
2. Se r(x) e a receita proveniente da venda de x tens, c(x) e o
custo da produc~ao de x tens e p(x) = r(x)c(x) e olucro sobre a
venda de x tens, ent~ao, o retorno (receita), o custo e o lucro
marginais provenientes desse nvel deproduc~ao (x tens) s~ao dados,
respectivamente por drdx ,
dcdx ,
dpdx . Suponha que r(x) = 9x, c(x) = x
3 6x2 + 15x,em que x representa milhares de unidades. Ha um nvel
de produc~ao que maximize o lucro? Se houver, qual e?Ha um nvel de
produc~ao que minimize o custo?
R: Sim: x = 2 +p2 mil unidades ou x = 2p2 mil unidades.
N~ao.
3. Calcule a quantidade de medicamento a qual o organismo e mais
sensvel determinando o valor de M 6= 0 quemaximiza a derivada dR=dM
, sendo
R = M2C
2 M
3
e C uma constante.
R: M = C=2
4. Quando tossimos, a traqueia se contrai e aumenta a velocidade
do ar que passa. Isso levanta quest~oes sobre oquanto deveria se
contrair para maximizar a velocidade e se ela realmente se contrai
tanto assim quando tossimos.Considerando algumas hipoteses
razoaveis sobre a elasticidade da parede da traqueia e de como a
velocidadedo ar proximo as paredes e reduzida pelo atrito, a
velocidade media v do uxo de ar pode ser modelada pelaequac~ao
v = c(r0 r)r2cm=s; r02 r r0;
em que r0 e o raio, em centmetros, da traqueia em repouso e c e
uma constante positiva, cujo valor depende, emparte, do comprimento
da traqueia. Demonstre que v e a maior quando r = 2=3r0, ou seja,
quando a traqueiaesta cerca de 33% contrada.
5. Quando o estanho metalico e mantido abaixo de 13; 2oC,
lentamente se torna quebradico e acaba por se esfarelar,tornando-se
um po cinza. Um catalisador para uma reac~ao qumica e uma
substa^ncia que aumenta a velocidadeda reac~ao sem sofrer nenhuma
mudanca permanente. Uma reac~ao autocataltica e aquela em que o
produto eo catalisador de sua propria formac~ao. Quando tanto a
substa^ncia original quanto o produto catalisador s~aoabundantes, a
reac~ao ocorre mais rapidamente. Em alguns casos, e razoavel
admitir que a velocidade de reac~aov = dx=dt e proporcional tanto a
quantidade de substa^ncia original quanto a quantidade de produto.
Ou seja,v pode ser expressa por
v = kx(a x) = kax kx2;sendo x a quantidade de produto, a e a
quantidade de substa^ncia no incio e k e uma constante positiva.
Comque valor de x a velocidade v apresenta um maximo? Qual o valor
maximo de v?
R: x = a=2 e v = ka2=4
6. Um observatorio sera construdo na forma de um cilindro
circular reto com uma aboboda esferica como cobertura.Se o custo da
construc~ao da aboboda sera duas vezes mais caro que na parede do
cilindro quais dever~ao ser asproporc~oes mais econo^micas do
observatorio supondo que o volume e xo?
R: r0 = [3V=(8)]1=3 e h = 4[V=(9)]1=3 1=3[3V=]1=3.
7. Uma pulga, ao saltar, teve sua posic~ao no espaco descrita em
func~ao do tempo pela express~ao h(t) = 4t 5t2,sendo h a altura
atingida, em metros e t em segundos. Em que instante a pulga atinge
a altura maxima do solo?
R: 0,4 segundos.
8. O produto de dois numeros positivos e 200. Determine esses
numeros sabendo que a soma deles tem o menorvalor possvel.
R: 10p2 e 10
p2.
9. Determine dois numeros cuja soma seja 45 e cujo produto seja
maximo.
R: 45=2 e 45=2.
1
-
10. Encontre o ponto da reta de equac~ao y = 3x+ 4 mais proximo
do ponto (1; 2). Qual e a dista^ncia mnima?
R: (-1,7;-1,1) e a dista^ncia ep8; 1.
11. Uma area retangular de 1080m2 sera cercada e dividida,
tambem por meio de cercas, conforme a gura:
Cada metro de cerca externa custa R$9,00 e cada metro da cerca
usada nas divis~oes internas custa R$6,00.Encontre as dimens~oes da
regi~ao retangular que minimizar~ao o custo total.
R: 36m e 30 m.
12. Determine as dimens~oes do reta^ngulo de maior area possvel
que pode ser inscrito na elipse de equac~ao x2
9 +y2
4 = 1.Qual e a area desse reta^ngulo?
R: 3p2 e 2
p2, com area igual a 12.
13. A area do piso de uma loja retangular e 315m2. De suas
quatro paredes de mesma altura, as tre^s laterais devemser de
tijolos e a da frente de vidro. O metro quadrado da parede de vidro
custa o dobro do preco do metroquadrado da parede de tijolos. Quais
as dimens~oes da loja que minimizar~ao o custo total do material
usadonessas quatro paredes?
R:p210m e 315p
210m.
14. Um arame de 20 cm de comprimento deve ser cortado em dois
pedacos, um para formar um quadrado e outropara formar um
tria^ngulo equilatero. Como se deve cortar o arame para que a soma
das areas do quadrado e dotria^ngulo seja: a) maxima? b) mnima?
R: (a) usar todo o arame para o quadrado. (b) usar 80p3
9+4p3cm para o quadrado e 180
9+4p3cm para o tria^ngulo.
15. Um cartaz deve ter uma area de 600 cm2 para a mensagem a ser
impressa; as margens no topo e na base devemcada uma 7,5 cm e de 5
cm nas margens laterais. Determine as dimens~oes do cartaz para que
seja mnima asquantidade de papel usada.
R: largura: 30 cm e altura 45 cm.
16. Dentre todos os tria^ngulos isosceles de permetro xo, mostre
que o de maior area e o equilatero.
17. Uma pessoa esta no ponto A da margem de um rio e deseja
chegar ao ponto B na margem oposta, fazendo opercurso indicado na
gura abaixo. Sabendo que pode se deslocar na margem a uma
velocidade de 10 m/s e naagua a uma velocidade de 5 m/s, determine
o a^ngulo de modo que ela va de A ate B no menor tempo
possvel.Sabe-se que a dista^ncia entre A e B' e 500 m e a largura
do rio e 300 m.
R: = =3.
2
-
Sexta lista de exerccios 1. Calcule, em cada caso, a rea
indicada:
a) y
x
y = 3x - x - 22
b) y
x1 4
y = x
c)
x
y
y = x + 2 - x2
d)
y
x
y = 2 + x3
4_
e)
x
y = x2
y = x - 2x + 42
y
f)
x
y
y = 4x - x2
y = 4 - x2
-
g)
y
y = x2
y = 8 - x2
x
h)
x
y
y = - 5x + 10
y = - x + 8x - 12
y = - x + 6x
2
2
i)
x
y = - 2x + 8
y = x - 2x + 42
y
j)
x
y = 4x - 8
y = - x + 3x + 42y = 4 - x 2
y
k)
y = cos ( x / 2 )
y = sen x
y
x
-
2. Determine a diferencial de cada funo a seguir:
a) b) c) 53 += xu 653 2 += tty xu ln= 3. Calcule as seguintes
integrais indefinidas:
a) dxx
xxx ++ 4 238 7953 b) dxxx + 21 32 c) d) + dxxe x ))5cos(7( 3
dxxxx 352 )13)(16( ++ e) dx
xx + 3)(ln2 f) dxxx ++ 21 53
g) h) dxxxsen cos5 dxe esene x xx )cos( )(2 22 i)
j) (Sugesto: escreva sen
dxx2cosdxxsen 3 3x = sen2x senx).
k) dxx
x 1 2 (Sugesto: faa 1u x= ) l) (Sugesto: escreva cosdxxsenx
23cos 3x = cos2x .cosx).
m) tg( )x dx n) 2sec ( ) tg( )y y d y
o) 41x dxx+ p) 11 dxx+
q) 3
11dx
x r) 1 1ln dxx x
s) 211
x dxx
++ t) 2 1
t
te dt
e +
u) 3 2x x dx 4. Calcule as seguintes integrais definidas:
a) . b) 41 2 )4( dxxx 31 x x dx c) dxxx x ++3
324
3
1
d)
4
1ln
e
e
dvv v e)
2
1
1u u du f) / 3 20
sencos
d
g) +11 3 2 4 dxxx h) + 32 2 512 dxxx x i) + 10 32 )5( 12 dxxx
x
-
5. Considere , onde a funo cujo grfico esta
representado na figura a seguir. 0
( ) ( )x
G x f t dt= )(tf
Sabendo que as reas das regies , , e so , ,
e , 1R 2R 3R 4R 2)( 1 =RA 2)( 2 =RA
3)( 3 =RA 4)( 4 =RA
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da
funo G . b) Determine os pontos de mximo e de mnimo local da funo .
Gc) Marque no eixo x os pontos de inflexo da funo G . d) Determine
os intervalos onde o grfico de possui concavidade para cima
e onde possui concavidade para baixo. G
e) Calcule e . (0), (1), (2), (3)G G G G (4)Gf) Determine os
pontos de mximo e de mnimo absolutos da funo G no
intervalo [ ]0, 4 . g) Faa um esboo do grfico da funo G .
6. Em cada item, determine a funo f sabendo que:
a) 13)(' += xxf e que (2) 5f = .
b) 1
4)(' 2 = xxxf e que (0) 3f = .
c) ( ) cos( )f x x x = + e que (0) 1f = e (0) 5f = .
7. Determine os possveis valores de b para que .0)6(0
3 = b dxxx8. Em cada item, esboce a regio limitada pelas curvas
dadas e calcule a rea
dessa regio.
a) e . b) 2 5y x= 2 6 5y x x= + | |y x= e . 2 2y x=
c) , 1y x= + 29y x= , e 1x = 2x = . d) y = x e 2y x= .
e) , seny x= cosy x= , e 0x = 2x = . f) 24 1x y 2+ = e x y=
.
g) 21x y= e h) 2 1x y= 2( 1y x x )= e . 0y =
-
9. Calcule a rea entre o grfico de 3y x= e sua reta tangente em
1x = . 10. Em cada item calcule ( )f x se:
a) 2
2
( ) cos( )x
f x t= dt . b) 3 2cos( )
( ) 3x
f x t= dt c) 21
3( ) 1x
x
f x t+
= dt .
RESPOSTAS:
1) a) 61
b) 3
14 c)
310
d) 3 e) 4 f) 3
22 g)
332
h) 6
121 i)
332
j) 6
55 k) 1
2) a) du=3dx b) c) ( )dttdy 56 =xdxdu =
3) a) 3
5
379||ln5
53
xxxx ++ b) ( )xx arcsen312 2 + c) ( )
55sen7
3e3 xx +
d) ( )
8133 3
82 + xx
e) ( )
4lnln2
4xx + f) ( ) ( )xx arctg51ln23 2 ++ g)
6sen6x
h) ( )|ecos|ln21 2x i) ( )
42sen
2xx + j)
3coscos
3 xx + k) ( ) ( ) ( )5
123
1412 25
23
21 xxx +
l) 5
sen3
sen 53 xx m) n) |cos|ln x2
tg2 y o) ( )2arctg
21 x p) ( )( )xx + 1ln2
q) ( ) ( ) ( 1ln316
213 33
23
++ xxx ) r) ( )x2ln21 s) ( ) ( )xx arctg1ln
21 2 ++
t) ( )tearctg u) 3737
23 x
4) a) -9 b) ( 13952 ) c) 0 d) 2 e)
1516
f) 1 g) 0 h)
7
11ln i) 0
6) a) 92
3 2 ++ xx b) c) 3|1|ln2 2 x 25cos6
3
++ xxx 7) 0, 32
8) a) 9 b) 3
20 c)
239
d) 31
e) ( )122 f) 3
64 g)
38
h) 21
9) 4
27 10) a) ( )2cos x b) ( ) ( )xx sencos3 2 c) ( ) 332 1112 xxx
+
-
MAT001 Clculo Diferencial e Integral 1
Stima lista de exerccios
1. Calcule cada uma das integrais indefinidas a seguir:
a) b) dxxx cos dxxx ln3c) d) dxsenxx2 dxxarctge) f) dxxsene x
)4(3 ( ) dxx 3lng) h) dxxarctgx dxx21
2. Calcule cada uma das integrais definidas a seguir:
a) b) 21 ln dxx 21 dxexx c) dxxx +1
0 22
2
)1(
3. Calcule a rea da regio limitada pelo grfico de xxy ln= e 0=y
de e
x1= a
1=x .
4. Decomponha cada funo racional a seguir em soma de fraes
parciais, sem
determinar as constantes:
a) )5)(2(
1+ xx b) 322 )4()1(
35
++xx
x
5. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a) + dxxx 2)5)(3( 1 b) ++ dxxxx2 2
6. Calcule as seguintes integrais definidas:
a) + +01 22
)1)(1(12x
dxxxx
b) dxxx
x + 10 )7)(4( 32
-
7. Calcule as seguintes integrais imprprias:
(a) 10 xdx (b) 10 2xdx (c) ( )
+1 213xdx
(d) + dxxx 21 (e) (f)
dxxe x2 1 ln dxxx
(g) 9
1 3 9x
dx (h) 21 3xdx (i) +
4
0 2 6xxdx
8. Calcule a rea de cada uma das regies indicadas abaixo.
(a) ( )
=
2
ln01|,
xx
yexyxS
(b) ( ){ }0ln10|, = yxxexyxS (c) ( ){ }0ln10|, = yxexyxS (d) (
){ }00|, = yxeexyxS x
Observao: sinta-se convidado a fazer o esboo de cada uma dessas
regies.
Respostas: 1) a) Cxxsenx ++ cos b) Cxxx +16
ln41 44
c) d)Cxxsenxxx +++ cos22cos2 ( ) Cxxarctgx ++ 21ln21
e) ( ) ( )( ) Cxsenxe x ++ 434cos425
3
f) Cxxxxxxx ++ 6ln6ln3ln 23
g) ( ) Cxarctgxxarctgx ++221
h) Cxarcsen
xx ++
21
22
2) a) b)12ln2 2
3e
c) 41
8 3)
2
31
41
e
4) a) 52 ++ x
BxA
b) ( ) ( ) ( )22232 11444 ++++++++ x GFxx EDxx Cx Bx A 5) a) ( )
Cx
xx ++++
581
64|5|ln
64|3|ln
b) Cxx ++ |1|ln||ln2
6) a) 2
2ln3 b)
87
ln1743
ln5111
7) a) diverge b) diverge
c) 121
d) diverge e) 0 f) diverge g) -6 h) diverge i) diverge
8) a) 1 b) 41
c) 1 d) 1
-
1
MAT001 Clculo Diferencial e Integral 1 Oitava lista de
exerccios
1. Em cada caso a seguir, calcule o volume do slido gerado pela
rotao da regio
limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
(a) .,02,0,1 2 xyxxxy eixodotornoeme ===+=
(b) .,02
,0, xyxxxseny eixodotornoeme ====
(c) .2, === xxyxy detornoeme (d) . 2,2 === yxyxy detornoeme
(e) entre x
y1= e o eixo x para 1x , em torno do eixo x .
(f) ( mtodo das cascas ) .,22 yxxyxxy eixodotornoeme ==
2. Calcule, usando integrais, o volume de um cone circular reto
de raio da base r e
altura h.
3. Verifique, por derivao, as seguintes integrais:
(a) += Cxdxxtg |sec|ln(b) += Cxsendxx ||lncot(c) ++= Cxtgxdxx
|sec|lnsec(d) ++= Cxxdxx |cotseccos|lnseccos
4. Calcule as seguintes integrais trigonomtricas:
(a) (b) dxxxsen 23 cos dxxsenx 45cos(c) (d) dxx4cos
dxxtgx2sec(e) (f) dxxxtg sec3 dxxtgx 44sec(g) (h) dxxtg2 dxxxsen
cos3 (i) (sugesto: use integrao por partes) dxx3sec
1
-
2
5. Faa uma substituio trigonomtrica para calcular as seguintes
integrais:
(a) dxx
x + 923
(b) 25 xxdx
(c) + 162xdx
(d) 922 xxdx
(e) dxx
x 42 25 (e) dxxx 22 4 6. Calcule a rea limitada pela hiprbole e
a reta . 3649 22 = yx 3=x7. Um toro gerado pela rotao do crculo ( )
222 ryax =+ ao redor do eixo y
( a)r
