Lista Resistencia Dos Materiais

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pesquisadores a estudarem os slidos e os uidos em duas grandes reas do conhecimento: o a Mecnica dos Slidos e Mecnica dos Fluidos. a o a Ento, diferentemente dos l a quidos, as tenses em um slido podem ocorrer de duas o o formas: Tenses normais: Estas tenses so resultado de um carregamento2 que provoca o o a a aproximao ou o afastamento de molculas que constituem o slido. E o caso do ca e o carregamento F1 da gura 2.3. Tenses cisalhantes ou tangenciais: Estas tenses so resultado de um carregao o a mento que provoca um deslizamento relativo de molculas que constituem o slido. e o E o caso do carregamento F2 da gura 2.3.

2.1.2

Exerc cios

1. Uma placa xada a uma base de madeira por meio de trs parafusos de dimetro e e a 22mm. Calcular a tenso mdia de cisalhamento nos parafusos para uma carga a e P =120 kN, conforme mostra a gura 2.4 Resp.:105,2 MPa

P

Figura 2.4: Figura do exerc 1 cio 2. Duas peas de madeira de seo retangular 80mm x 140mm so coladas uma ` outra c ca a a em um entalhe inclinado, conforme mostra a gura 2.5. Calcular as tenses na cola o para P = 16 kN e para: a) = 30o ; b) = 45o ; c) = 60o Resp.: a) N =357,1 kPa, N =618,6 kPa ; b) N = N =714,3 kPa ; c) N =1071,0 kPa, N =618,6 kPa

PFigura 2.5: Figura do exerc 2 cio

P

3. Determinar a tenso normal de compresso mtua (ou tenses de contatoou tenso a a u o a de esmagamento) da gura 2.6 entre:2 carregamento neste caso pode ser entendido como: sistema de voras aplicado, variao de temperc ca atura, modicao nas condies de apoio ou deslocamento imposto ca co

13

a) o bloco de madeira de seo 100mm x 120mm e a base de concreto 500mm x ca 500mm x 60mm. b) a base de concreto e o solo. Resp.: a) 3333 kPa ; b) 160 kPa40 kN Madeira Concreto

Figura 2.6: Figura do exerc 3 cio 4. Calcular as tenses de contatoem A, B e C, na estrutura representada na gura o 2.7. (dimenses em metros) o Resp.: 777,8 kPa, 888,9 kPa e 1111 kPa

25 kN0,15 x 0,15 0,15 x 0,30 C A 0,10 1,6 1,4 B 0,10

Figura 2.7: Figura do exerc 4 cio 5. Calcular o comprimento total 2L da ligao de duas peas de madeira, conforme ca c a gura 2.8, e a altura h necessria, dados P =50 kN, b= 250mm e as tenses a o admiss veis na madeira so: 0,8MPa ao corte e 6,5 MPa ` compresso. a a a Resp.: 2L = 500mm ; h= 31mm. 6. Duas peas de madeira de seo 5cm x 5cm so coladas na seo inclinada AB (ver c ca a ca gura 2.9). Calcular o valor mximo admiss da carga P , axial de compresso, a vel a dadas as tenses admiss o veis na cola: 9,0 MPa ` compresso e 1,8 MPa ao cisala a hamento. Resp.: P = 18,0 kN. 7. Um parafuso de 20mm de dimetro apertado contra uma pea de madeira exercendoa e c se uma tenso de trao de 120 MPa (ver gura 2.10). Calcular a espessura e da a ca 14

b P h P

L

LB

Figura 2.8: Figura do exerc 5 cio

PA

15

P

Figura 2.9: Figura do exerc 6 cio cabea do parafuso e o dimetro externo d da arruela, dadas as tenses admiss c a o veis 50 MPa, ao corte no parafuso, e 10 MPa, ` compresso na madeira a a Resp.: e = 12 mm ; d = 72,11 mm

d e

Figura 2.10: Figura do exerc 7 cio 8. Um eixo vertical suportado por um colar de escora sobre uma placa de apoio (ver e gura 2.11). Determinar a carga axial mxima que pode ser aplicada ao eixo se a a tenso mdia de corte no colar e a tenso mdia entre o colar e a placa so limitadas a e a e a respectivamente por 40 MPa e 65 MPa. Resp.: 314,16 kN 9. Uma articulao de pino deve resistir a uma fora de trao P = 60 kN (ver gura ca c ca 2.12). Calcular o dimetro do pino e a espessura m a nima da chapa para as tenses o admiss veis de 50 MPa ao corte e 120 MPa ` trao. a ca Resp.: d = 19,55 mm ; e = 6,25 mm 10. Uma chapa deve ser furada por puno, exercendo-se no perfurador uma tenso de ca a compresso de 420 MPa. Na chapa, a tenso de rutura ao corte de 315 MPa 2.13. a a e a) Calcular a espessura mxima da chapa para fazer um furo de 75 mm de dimetro; a a 15

10cm 15cm 2,5 cm

PFigura 2.11: Figura do exerc 8 cio

P

P

P

P

dFigura 2.12: Figura do exerc 9 cio b) Calcular o menor dimetro que pode ter o furo, se a espessura da chapa de 6 a e mm. Resp.: a) 25 mm ; b) 18 mm

Figura 2.13: Figura do exerc 10 cio

2.1.3

O Tensor de tenses o

Uma vez compreendida as caracter sticas fundamentais da grandeza tenso, e de sua a ligao com a j conhecida grandeza presso, passa-se agora ao seu estudo detalhado. ca a a Partindo-se do exemplo apresentado na gura 2.14 duas observaes podem ser feitas: co Existem foras tentando aproximar ou afastar molculas no entorno de M, nas trs c e e direes ortogonais, gerando tenses normais nestas trs direes. co o e co 16

5 x 4 cm e

Conclui-se ento que o tensor de tenses simtrico: a o e e x xy xz = xy y yz xz yz z

(2.23)

A conveno de sinais para as tenses deve ser de tal maneira que no permita que ca o a uma mesma tenso tenha valores algbricos de sinais opostos quando se analisa uma face a e ou outra do slido de tenses. Por esta razo, adota-se referenciais opostos para cada uma o o a das faces opostas do slido em torno do M, conforme mostra gura 2.17. Nesta gura o todas as tenses representadas so positivas. As regras para a conveno de sinais so: o a ca a Para as tenses normais: So positivas quando esto associadas ` trao e nego a a a ca ativas quando esto associadas ` compresso. a a a Para as tenses tangenciais: Quando a normal externa do slido de tenses o o o apontar na mesma direo do eixo coordenado, as tenses tangenciais so positica o a vas quando apontarem para o mesmo sentido do seu respectivo eixo coordenado. Quando a normal externa do slido de tenses apontar na direo contrria do eixo o o ca a coordenado, as tenses tangenciais so positivas quando apontarem para o sentido o a contrrio do seu respectivo eixo coordenado. a

2.1.4

Exerc cios

1. Para o elemento de tenso representado na gura 2.18 (tenses expressas em MPa) a o complete o slido de tenses com as tenses que faltam, considerando o slido em o o o o equil brio.150

80 70 200 50 z y

100

Figura 2.18: Figura do exerc 1 cio 2. Uma presso uniforme de 3,5 MPa exercida sobre as faces EGHF e ABCD do bloco a e slido representado na gura 2.19. Simultaneamente, uma distribuio uniforme de o ca trao mantida sobre as faces GHCB e EFDA, tendo valor de 0,7 MPa. Quais ca e so as tenses normal e tangencial sobre cada uma das faces do bloco representado? a o Monte o tensor de tenses para os pontos no interior do bloco. o 3. Um cilindro de parede delgada est submetido a uma fora de 4,5 kN. O dimetro a c a do cilindro 7,5 cm e a espessura da parede de 0,3 cm. Calcular as tenses normal e e o e de cisalhamento num plano que corta o cilindro formando um ngulo de = 40o , a conforme gura 2.20. Resposta: N = 3,89 MPa e N = 3,26 MPa. 20

x

H G 3m E F 6m A B

C

D 3m

Figura 2.19: Figura do exerc 2 cio4,5 kN 4,5 kN

Figura 2.20: Figura do exerc 3 cio 4. Admitindo que o cilindro do exerc cio anterior esteja submetido a uma fora de c trao P e que sua seo transversal tenha rea A, demonstre que: ca ca a = P cos2 A e = P sin 2 2A

Em seguida trace os grcos de em funo de e de em funo de , para a ca ca 0 90o . 5. Demonstre, para o problema, anterior que a tenso normal mxima ocorre para a a = 0o e que a tenso cisalhante mxima ocorre para = 45o a a 6. Uma placa de espessura 2,5 cm uniformemente carregada por foras F1 = 2,25 kN e c e F2 = 9,00 kN conforme gura 2.21. Monte o tensor de tenses para um ponto o contido na placa.

F2

F1 60 cm

30 cm

F1

F2Figura 2.21: Figura do exerc 6 cio 7. O tensor de tenses apresentado para este exerc o cio foi obtido aplicando a teoria da resistncia dos materiais a ser detalhada no cap e tulo 3 a uma viga com o carregamento mostrado na gura 2.22. Esboce os grcos projetados no plano xy que a relacionam as tenses x e xy com a posio no ponto e comente-os. Resposta no o ca

21

nal. Dado x e y em (m) em (MPa). 120x (x 1) y 0, 15 (2x 1) (400y 2 1) 0 2 0 0 = 0, 15 (2x 1) (400y 1) 0 0 0 2 kN/m

0,10 m

x z yFigura 2.22: Figura do exerc 7 cio1m

0,10 m

8. Uma barra tracionada composta de dois pedaos de material que so colados ao e c a longo da linha mn conforme gura 8. Por razes prticas, o ngulo limitado ` o a a e a faixa entre 0 e 60o . A mxima tenso de cisalhamento que suporta a junta colada a a 3/4 da mxima tenso normal. Assim sendo, qual deve ser o valor de para que e a a a barra suporte o mximo de carga P ? (Admitir que a junta colada seja o unico a ponto a ser vericado no projeto). Resposta: = 36.87om P 90

.

o

n

P

Figura 2.23: Figura do exerc 8 cio 9. Resolver o problema anterior no caso das tenses tangencial e normal mximas o a permitidas sejam, respectivamente, 70 MPa e 140 MPa. Determinar tambm a e carga P mxima permiss a vel se a rea da seo transversal da barra for de 1000 a ca mm2 . Resposta: = 26.56o e P = 175 kN.

2.22.2.1

Estudo das deformaes: coIntroduo ca

Paralelamente ao estudo estabelecido no item anterior relativo ` anlise de tenses, podea a o se desenvolver tambm, o estudo das deformaes sofridas por um corpo sob solicitaes e co co externas. Destaca-se que a anlise de deformaes em um corpo slido iguala-se em a co o importncia ` anlise de tenses. a a a o Sabe-se, da lgebra vetorial, que o campo vetorial de deslocamentos permite quanticar a a mudana de geometria de um corpo, sujeito ` ao de cargas aplicadas. Esta mudana c a ca c de geometria implica na considerao de duas parcelas: ca 22

1 = 2

u x u y u z

1 2 v x w x 1 2

u y

+

v x

1 2 1 2

u z v z

+

w x

+ +