Lista03

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LISTA 03 – SÉRIES DE PAGAMENTOS – ACUMULAÇÃO DE CAPITAL, AMORTIZAÇÃO: SISTEMA

PRICE E SISTEMA SAC

Tel - (75)-3281- 2285

0 1 2 3 n Data

R R R R

S = ?

SÉRIES DE PAGAMENTOS Renda é a sucessão de valores destinados à acumulação de capital (uma poupança, por exemplo) ou ao pagamento parcelado de dívidas. Indicaremos a sucessão de valores (parcelas, prestações, etc.) por R1, R2, R3,... Trabalharemos com as rendas: Temporárias – Têm um número fixo de parcelas Constantes – Têm valor fixo Postecipadas – O primeiro depósito ocorre na data 1 Periódicas – O intervalo de tempo entre dois depósitos é o mesmo. Há duas situações a serem analisadas: capitalização (poupança, por exemplo) e amortização de dívidas (compras a prazo, empréstimos, etc.). I.) CAPITALIZAÇÃO Considerando n depósitos consecutivos iguais a R, em um banco que oferece taxa composta de juros igual a i, qual será o montante a ser resgatado no momento em que se efetua o último depósito? Veja: . . . O valor de S será dado por:

A expressão que multiplica o R chama-se fator de acumu-lação de capital para uma série de pagamentos e é re-

presentado por Sn i.

Assim, a expressão fica: S = R . Sn i II.) AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS (FINANCIAMENTOS) Considerando que se faça um empréstimo de valor P (valor presente, à vista, em caso de compra), e que o pagamento será feito em parcelas iguais R, onde é cobrada uma taxa composta de juros i, qual a relação entre o valor à vista (P) e a prestação (R)? Esta forma de pagamento de uma dívida onde as presta-ções são iguais é chamada Sistema de Pagamentos com parcelas constantes ou Sistema Price.

A relação é:

A expressão que multiplica o R chama-se fator de acumu-lação de capital para uma série de pagamentos e é re-

presentado por a n i, que nos leva à tabela Price.

A expressão fica, então: P = R . a n i Uma outra forma de amortização de dívidas é o Sistema de Pagamentos com Amortização Constante (SAC). Nesse sistema, muito comum nas provas, as parcelas, os juros e o saldo devedor decrescem, enquanto a amortiza-ção é constante. Não esquecer: 1.) Os juros são calculados sobre o saldo devedor; 2.) Cada parcela, variável ou não, é a soma dos juros com a amortização do período em questão. Veja as tabelas abaixo com a planilha de pagamentos dos dois sistemas, Price e SAC, para um empréstimo de R$ 10.000,00 que deve ser pago em 5 parcelas mensais, com a primeira sendo paga 30 dias após a aquisição do emprés-timo, obedecendo a uma taxa composta de juros de 2% ao Observe em cada planilha, as características dos valores tipo prestação, juros, amortização e saldo devedor.



PRICE E SISTEMA SAC

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RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 01.) (Caixa/Cesgranrio) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O va-lor, em reais, da terceira prestação será (A) 50,00 (B) 55,00 (C) 60,00 (D) 65,00 (E) 70,00 Temos:

Pelo SAC, a amortização é constante e vale A = = 50,00

Juros da 1ª prestação: J1 = 10% de 200 = 20,00 Valor da 1ª prestação: R1 = A + J1 = 50 + 20 = 70,00 Saldo Devedor: 200,00 – 50,00 = 150,00 Juros da 2ª prestação: J2 = 10% de 150 = 15,00 Valor da 2ª prestação: R2 = A + J2 = 50 + 15 = 65,00 Saldo Devedor: 150,00 – 50,00 = 100,00 A partir de agora, os cálculos são imediatos: entre duas prestações consecutivas há uma redução de R$ 5,00 (entre a 1ª e a 2ª foi assim, e isso acontecerá para as demais), o mesmo acontecendo com os juros, e o saldo devedor cai em R$ 50,00 de uma prestação para a seguinte. Veja a tabela: Importante!!! Perguntas que poderiam ser feitas: 1. Qual o total de juros pagos? Resposta: 20 + 15 + 10 + 5 = 50,00 2. Quanto foi pago pelo empréstimo? Resposta: 70 + 65 + 60 + 55 = 250,00 3. Efetivamente, qual o ganho percentual para quem con-cedeu o empréstimo? Resposta: 200,00 100% 250,00 X 200 . X = 250 . 100

X = 125 (%) Ou seja, houve um lucro percentual de 25%. Obs.: você poderia fazer uma simples divisão, do final para o inicial. Veja: 250/200 = 1,25 Subtrai 1 e fica 0,25 = 25% 02.) (Cesgranrio/Caixa) Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Cons-tante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será (A) 50,00 (B) 52,00 (C) 54,00 (D) 56,00 (E) 58,00 Temos:

Pelo SAC, a amortização é constante e vale A = = 50,00

Juros da 1ª prestação: J1 = 4% de 300 = 12,00 Valor da 1ª prestação: R1 = A + J1 = 50 + 12 = 62,00 Saldo Devedor: 300,00 – 50,00 = 250,00 Juros da 2ª prestação: J2 = 4% de 250 = 10,00 Valor da 2ª prestação: R2 = A + J2 = 50 + 10 = 60,00 Saldo Devedor: 250,00 – 50,00 = 200,00 A partir de agora, os cálculos são imediatos: entre duas prestações consecutivas há uma redução de R$ 2,00, o mesmo acontecendo com os juros, e o saldo devedor cai em R$ 50,00 de uma prestação para a seguinte. Veja a tabela: Refaço as três perguntas complementares feitas na questão anterior. Agora é com você. 03.) (Cesgranrio/BB) Considere um financiamento de R$ 100.000,00, sem entrada, a ser pago em 100 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a taxa de juros, no regime de juros com-postos, é de 1% ao mês, a prestação inicial, se o prazo de pagamento for duplicado, será reduzida em



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0 1 2 3 12 Data

100 100 100 100

(A) 100%. (B) 50%. (C) 25%. (D) 10%. (E) 5%. Temos:

A amortização de cada parcela será A = = 1.000,00

Juros da 1ª prestação: J1 = 1% de 100.000 = 1.000,00 Valor da 1ª prestação: R1 = A + J1 = 1000 + 1000 = 2.000,00 Se o prazo for duplicado, teremos:

A nova amortização será A = =500,00

Juros da 1ª prestação: J1 = 1% de 100.000 = 1.000,00 Valor da 1ª prestação: R1 = A + J1 = 500 + 1000 = 1.500,00 Assim, a primeira prestação caiu de R$ 2000,00 para R$ 1500,00. Qual foi a redução percentual? Dentre as várias maneiras que vimos em sala, vou respon-der com uma regra de três: 2000,00 100% 1500,00 X Ou seja: X = 75% Assim, houve uma redução de 25%. Obs.: você poderia fazer uma simples divisão, do final para o inicial. Veja: 1500/2000 = 0,75 Redução de 0,25 = 25% 04.) (Caixa/2008) Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será (A) 1200,00 (B) 1224,00 (C) 1241,21 (D) 1368,03 (E) 2128,81

Temos: S = ? . . . Vamos achar a soma, S, no momento do último depósito, usando a fórmula:

Assim,

Usando a tabela fornecida na prova, vemos que (1 + 0,02)12 = 1,268242 Veja: Ou seja,

(1 + i)n



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Esse é o valor do montante no momento em que é feito o último depósito de R$ 100,00. O problema pede o valor do montante um mês após o último depósito. Ou seja, o valor R$ 1341,21 terá mais um mês de juros, à taxa de 2%. Logo, para aumentarmos em 2% o valor em questão, basta multiplica-lo por 1,02 (Lembra? VF = (1 + i). VI)

Assim: 1341,21 . 1,02 = 1.368,0342 05.) (Caixa/FCC) O preço à vista de um computador é R$ 2.200,00. Ele pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 368,12 e o restante pago em 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a primeira delas vencendo ao com-pletar 30 dias data da compra. Se, no financiamento, os juros são compostos à taxa de 3% ao mês, o valor de cada uma das prestações será (A) R$ 380,00 (B) R$ 390,00 (C) R$ 400,00 (D) R$ 410,00 (E) R$ 420,00 Temos: Prestações fixas Sistema Price

Fórmula: P = R . a n i

A entrada foi de R$ 368,12, o que me diz que fiquei deven-

do R$ 2.200,00 – R$ 368,12 = R$ 1.831,88 Desse modo, o valor presente que foi financiado para com-pra do computador foi P = R$ 1.831,88

Então: P = 1831,88

i = 3% a.m.

n = 5

Logo: 1831,88 = R . a 5 3%

Na tabela fornecida, encontramos a 5 3% = 4,5797

Assim: 1831,88 = R . 4,5797

R =

“A entrada abate a dívida. Só o saldo devedor é financi-ado. O valor de P é o saldo devedor”.

Atenção: na questão 05, você pode utilizar, quando neces-sário, a tabela abaixo, que fornece os valores do fator de valor atual de uma série de pagamentos, à taxa de 3%. (Essa informação veio na prova)

a n i =

n a n i 1 0,9709 2 1,9135 3 2,8286 4 3,7171 5 4,5797 6 5,4172 7 6,2303 8 7,0197 9 7,7861 10 8,5302

Até mais. Boa Sorte! Prof. Jonas.

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