27
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 1 VETORES 1)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: RESP: a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V 2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo: coplanares são EG e FG , AB ) i coplanares são HF e CB , EG ) j coplanares são FG e DB , AC ) k coplanares são CF e BG , AB ) l coplanares são CF e DC , AB ) m ABC plano ao ortogonal é AE ) n BCG plano ao ortogonal é AB ) o HEF. plano ao paralelo é DC ) p RESP: a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F i)V j)V k)V l)F m)V n)V o)V p)V BC AF ) d CG AB ) c HG AB ) b BF DH ) a - = = coplanares são CG e BC , AB ) h ED // BG ) g | DF | | AG | ) f HF AC ) e = = UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA PROF.ª CARMEM LÚCIA ED DE ) e MC BL ) d OP BC ) c PH AM ) b OF AB ) a - = - = = = = FG // AJ ) j LD // JO ) i HI // AC ) h FI KN ) g MG AO ) f = = AM PN ) o NB PN ) n EC PE ) m BL AM ) l EG AB ) k | BL | | AM | ) t NP 2 AO ) s | AC | | AJ | ) r MF IF ) q | FP | | AC | ) p = = = = =

lista2 vetores

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Page 1: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 1

VETORES

1)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho).

Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

RESP: a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V

k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V

2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou

falsa cada uma das afirmações abaixo:

coplanares são EG e FG,AB)i coplanares são HF e CB,EG)j

coplanares são FG e DB,AC)k coplanares são CF e BG,AB)l

coplanares são CF e DC,AB)m ABCplano ao ortogonal é AE)n

BCG plano ao ortogonal é AB)o HEF. plano ao paralelo é DC)p

RESP: a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F

i)V j)V k)V l)F m)V n)V o)V p)V

BCAF)d

CGAB)c

HGAB)b

BFDH)a

−=

=

coplanares são CG e BC,AB)h

ED//BG)g

|DF||AG|)f

HFAC)e

=

=

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

PROF.ª CARMEM LÚCIA

EDDE)e

MCBL)d

OPBC)c

PHAM)b

OFAB)a

−=

−=

=

=

=

FG//AJ)j

LD//JO)i

HI//AC)h

FIKN)g

MGAO)f

=

=

AMPN)o

NBPN)n

ECPE)m

BLAM)l

EGAB)k

|BL||AM|)t

NP2AO)s

|AC||AJ|)r

MFIF)q

|FP||AC|)p

=

=

=

=

=

Page 2: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 2

3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o

ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa

cada uma das afirmações:

DHOH)e

BOOC)d

HGDO)c

CHAF)b

OGEO)a

−=−

−=−

=

=

=

HG//GF)j

CD//AF)i

DB21

OA)h

BDAC)g

COEH)f

=

=

−=−

FEOB)o

HFAO)n

CBEO)m

OHAB)l

OC//AO)k

−=

RESP: a)V b)F c)V d)V e)F f)F g)V h)V

i)V j)F k)V l)V m)V n)F o)V

4)Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com

origem no ponto A:

AKAC)d

DCAC)c

BDAB)b

CNAC)a

+

+

+

+

OEAO)h

ANAK)g

BLAM)f

EOAC)e

+

+

+

PBBNBL)l

NFPNLP)k

CBBC)j

NPMO)i

++

++

RESP: a) AN b) AD c) AB d) AO e) AM f) AK

g) AH h) AI i) AC j) AC k) AE l)0

5)Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com

origem no ponto A:

EHBF)c

DEBC)b

CGAB)a

+

+

+

FBEF)f

EHCG)e

BCEG)d

+

FHDAEG)h

AEADAB)g

++

++

RESP: AF)a AE)b HA)c AB)d AH)e AF)f AG)g AD)h

6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com

origem no ponto A:

Page 3: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 3

AF2AE2)c

FGEH)b

CHOC)a

+

+

+

OC2OE2)f

BGEO)e

EFEH)d

+

+

+

FGFE)h

EHBC21

)g

+

+

AOFOAF)j

HOOG)i

++

RESP: AE)a AC)b c) AC AB)d AO)e AD)f AH)g AD)h AO)i AC)j

7)Determine as somas que se pedem:

RESP: ACe) BGd)2 BGc)2 EFb) AC)a .

8)A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos

coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste

sólido, sabendo que A (2, –1,2).

RESP: B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)

9) Determine x para que se tenha DCBAρρ

= , sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6).

RESP: x=2

10) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e

outro paralelo ao vetor (1,1). RESP: x = 3 e y = 4

11) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que

GCFGEFAE)e

BHBGFGEFHE)d

BCBGBF)c

BFDBED)b

AGHBGCDHCDAD)a

+++

++++

++

++

+++++

Page 4: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 4

a) AB21

AC = b) BA32

CAρρ

= . RESP: a) x = 1 e y = 2 b) 35

x = e y =3

12) Dados os vetores aρ

=( 2,–1 ) e bρ=( 1,3) , determinar um vetor x

ρ, tal que:

a) [ ]2

xab)ax(2

21

x32

ρρρρρρ +=−++ b)

2ax

b31

x2a4ρρρρρ +

−=−

RESP: a) xρ

=

−7

12,

73 b)

−=933

,952

13) Dados os vetores a

ρ=(–1,1,2) e b

ρ=( 2,0,4), determine o vetor v

ϖ, tal que:

( )[ ]2

vabav2

3v2

)aρρρρρ

ρ−

=−+− ( )[ ]2

av4b

bav2v32

)bρρρ

ρρρρ −−=−+−

RESP:

−−=56

,3,527

v)aρ

−−=5

12,3,

524

v)bρ

14)Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no

sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor?

RESP: (9,7,11)

15) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar:

a)os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de

mesmo comprimento;

b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de

mesmo comprimento.

RESP:

−25

,1,0C)a , ( )2,3,2D − e

−23

,5,4E ; b)

−37

,35

,32

F e

−35

,3

13,

310

G .

16)Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor vϖ

do ℜ3, calcular sua terceira

coordenada z, de maneira que vϖ

= 13. RESP: z=± 3

17)Sejam os pontos M(1,−2,−2) e P(0,−1,2), determine um vetor vϖ

colinear à PM e tal

que .3v = RESP:

±=

6

4,

6

1,

6

1v µµ

18)Achar um vetor xρ

de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor vρ

=6 iρ

–2 jρ

–3kρ

.

RESP:

−−=7

12,

78

,7

24xρ

19) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5):

a) determinar a natureza do triângulo;

b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.

RESP: a) isósceles b) MAρ

= 22

Page 5: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 5

20) Sejam k2-ji2b e k3j2iaρρρρρρρρ

+=−+= . Determine um versor dos vetores abaixo:

a)aρ

+ bρ B) 2a

ρ–3b

ρ c) 5a

ρ+4b

ρ

RESP: a) 43

1u =ρ

(3,3,–5) b) )0,1,4(17

1u −=ρ

c) 894

1u =ρ

(13,14,–23)

21) Determine um vetor da mesma direção de vϖ

=2 iρ

– jρ

+2kρ

e que:

a) tenha norma (módulo) igual a 9;

b) seja o versor de vϖ

;

c) tenha módulo igual a metade de vϖ

.

RESP: a) wρ

=6(6,–3,6) b)31

u =ρ

(2,–1,2) c)21

p =ρ

(2,-1,2)

22) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são

CAρ

=(4,2,–3) e DBρ

=(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.

RESP: C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)

23)Sabendo que A (1,−1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o

quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.

RESP: (2,2), (0,−4), e (10,6)

24) Dados os vetores uρ

=(3,2), vϖ

=(2,4) e wρ

=(1,3), exprimir wρ

como a combinação linear

de uρ

e vϖ

. RESP: v87

u41

wρρρ

+−=

25) Dados os vetores aρ

=(3,–2,1),bρ=(–1,1,–2) e c

ρ=(2,1,–3), determinar as coordenadas

do vetor vϖ

=(11,–6,5) na base { }c,b,aρρρ

=β . RESP: cb3a2vρρρρ

+−=

26)Escreva o vetor vϖ

=(4,−1,0) , na base { }321 v,v,vρρρ

=β ,sendo 1vρ

=(1,0,0) , 2vρ

=(3,2,1) e

3vρ

=(−1,−1,1). RESP: 321 v331

v31

v3

16v

ρρρρ+−=

27)Dois vetores aρ

=(2,–3,6) e bρ=(–1,2,–2), tem uma mesma origem. Calcular as

coordenadas do vetor cρ sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores

ebρ

,sabendo que cρ

= 423 . RESP: cρ

=( µ 3, ±15, ± 12)

28) Dados os vetores aρ

=(1,–1,0), bρ=(3,–1,1), c

ρ=(2,2,1) e d

ρ=(4,–3,1). Determinar o vetor

=(x,y,z), tal que : ( vϖ

+aρ

) // bρ e ( v

ϖ+ c

ρ) // d

ρ. RESP: v

ρ=( –10,4,–3)

Page 6: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 6

PRODUTO DE VETORES

PRODUTO ESCALAR

29) Sendo uρ

= ( 2,3,1) e vρ

= ( 1,4, 5) . Calcular:

a) uρ

• vρ

b) (uρ

– vρ

) c)(uρ

+ vρ

)2 d) (3uρ

– 2 vρ

)2 e) (2uρ

-3 vρ

)•(uρ

+2 vρ

)

RESP: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28

30)Sendo aρ

=(2,–1,1), bρ

=(1,–2,–2) e cρ

=(1,1,–1). Calcular um vetor vρ

=(x,y,z), tal que

• aρ

= 4, vρ

• bρ

= –9 e vρ

• cρ

= 5. RESP: vρ

=(3,4,2)

31)Sejam os vetores aρ

=(1,–m,–3),bρ

=(m+3,4–m,1)e cρ

=(m,–2,7).Determinar m para que

•bρ

=(aρ

+bρ

)•cρ

. RESP: m=2

32) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2),

B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). RESP: –1 ou 5

13

33) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine:

a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?

b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores AC e BD .

RESP: a) Paralelogramo b) 22,44631022121

arccos 0 ′′′==α .

34) Os vetores uρ

e vρ

formam um ângulo de 600. Sabe-se que uρ

=8 e vρ

=5,

calcule:

a)uρ

+ vρ

b) uρ

– vρ

c) 2uρ

+3 vρ

d) 4uρ

– 5 vρ

RESP: a) 129 b)7 c) 721 d) 849

35) Os vetores aρ

e bρ

formam um ângulo de 1500, sabe-se que aρ

= 3 e que

= 2 , Calcule:

a) aρ

+bρ

b) aρ

–bρ

c) 3aρ

+2bρ

d) 5aρ

– 4bρ

RESP: a) 235 − b) 235 + c) 21835 − d) 260107 +

36)Determinar o valor de x para que os vetores 1vρ

= x iρ

–2 jρ

+3kρ

e 2vρ

=2 iρ

– jρ

+2kρ

, sejam

ortogonais. RESP: x=–4

37)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores aρ

=(2,6,–1) e bρ

=(0,–2,1).

RESP:

±±=32

,31

,32

c µρ

Page 7: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 7

38)Dados aρ

=(2,1,–3) e bρ

=(1,–2,1), determinar o vetor vρ

⊥aρ

, vρ

⊥bρ

e vρ

=5.

RESP: ( )1 ,1 ,1 3

35v ±=ρ

39)Dados dois vetores aρ

=(3,–1,5) e bρ

=(1,2,–3), achar um vetor xρ

, sabendo-se que ele é

perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: xρ

•aρ

=9, e xρ

•bρ

=–4.

RESP: xρ

=(2,–3,0) 40)Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar:

RESP: a)0 b)0 c)0 d) 3a e 2a e)a2 f) ( )333 a,a,a

g) 445433

cos arc 0 ′≅ h) 137031

cos arc 0 ′≅

41)Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos

de um triângulo retângulo isósceles. RESP: θ=arc cos54

,θ ≅360 52'11,6''

42)Um vetor vρ

forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados

positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que vρ

= 3. RESP: ( )1,1,13v =ρ

.

43)Um vetor unitário vρ

forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os

outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de vρ

.

RESP:

=

46

,46

,21

ou

−−

46

,46

,21

44) O vetor ( )2,1,1v −−−= forma um ângulo de 600 com o vetor BAρ

, onde A (0,3,4) e

B(m, −1,2). Calcular o valor de m. RESP: m=–34 ou m=2

45)Os vetores aρ

e bρ

formam um ângulo θ= 6π

, calcular o ângulo entre os vetores pρ

=aρ

+bρ

e qρ

= aρ

– bρ

, sabendo que aρ

= 3 e bρ

= 1. RESP: cosθ=7

72,θ≅40053'36,2''

( )cubo. do diagonais duas por formado agudo ângulo h)o

aresta; uma e cubo do diagonal a entre agudo ângulo o)g

OGABEDf) OBOE)c

CGEGe) ODOA)b

OG e OBd) OCOA)a

⋅⋅

⋅⋅

Page 8: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 8

46) Dados uρ

=(2,–3,–6) e vρ

=3 iρ

–4 jρ

–4kρ

, determine:

a) a projeção algébrica de vρ

sobre uρ

( norma do vetor projeção de vρ

sobre uρ

);

b) 0 vetor projeção de vρ

sobre uρ

. RESP: a)6 b) ( )6,3,276

−−

47)Decomponha o vetor vρ

=(–1,2,–3) em dois vetores aρ

e bρ

, tais que aρ

// wρ

e bρ

⊥ wρ

, com

=(2,1,–1). RESP:

−=21

,21

,1aρ

e

−−=25

,23

, 2bρ

48)São dados os vetores 1vρ

= (1,1,1), 2vρ

=(–1,2,3) e 3vρ

=(26,6,8). Decompor o vetor 3vρ

em dois vetores xρ

e yϖ

ortogonais entre si, sendo xρ

simultaneamente ortogonal a

1vρ

e a 2vρ

. RESP: xρ

=(1,–4,3) e yρ

=(25,10,5)

49)São dados 1vρ

=(3,2,2) e 2vρ

=(18,–22,–5), determine um vetor vρ

, que seja ortogonal à

1vρ

e a 2vρ

, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que vρ

=28.

RESP: vρ

=(–8,–12,24)

50)Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as

coordenadas do vetor HMρ

, onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ.

RESP: HMρ

=(2,2,1)

PRODUTO VETORIAL

51) Dados os vetores u

ρ=( –1,3,2), v

ρ=(1,5,–2) e w

ρ=(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos

vetores:

a) uρ

× vρ

b) vρ

× wρ

c) vρ

×(uρ

× wρ

)

d) ( vρ

×uρ

)× wρ

e)(uρ

+ vρ

)×(uρ

+ wρ

) f) (uρ

– wρ

)× wρ

RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(−24,−72,48) e)(24,0,64)

f)(–3,–13,18)

52)Determinar o vetor xρ

, paralelo ao vetor ao vetor wρ

=(2,–3,0) e tal que xρ

× uρ

= v , onde

=(1,–1,0) e v =(0,0,2). RESP: xϖ

=(4.–6,0)

53) Determinar o vetor vρ

, sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,−3,1) e ao vetor

b =(1,−2,3) e que satisfaz a seguinte condição; 10)k7j2i(v =−+• . RESP: ( )1,5,7v =

54)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que wvu ×= ,sendo

)1,1,1(u −= e )1,1,2(w −= . RESP: v =(1,0,1)

Page 9: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 9

55) Dados os vetores 1vρ

=(0,1,−1), 2vρ

=(2,0,0) e 3vρ

=(0,2,−3).Determine um vetor vϖ

, tal

que vϖ

// 3vρ

e vϖ

× 1vρ

= 2vρ

. RESP: vϖ

=(0,4,−6)

56)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 1vρ

=(–1,–1,0) e 2vρ

=(0,–1–1).

RESP: ( )1,1,13

1−±

57) Ache uρ

tal que uρ

= 33 e uρ

é ortogonal a vρ

=(2,3,−1) e a wρ

=(2,−4,6). Dos uρ

encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0). RESP: ( )3,3,3u −−=

58)São dados os vetores 1vρ

= (1,1,1), 2vρ

=(–1,2,3) e 3vρ

=(26,6,8). Decompor o vetor 3vρ

em dois vetores xρ

e yϖ

ortogonais entre si, sendo xρ

simultaneamente ortogonal a

1vρ

e a 2vρ

. RESP: xρ

=(1,–4,3) e yρ

=(25,10,5)

59) Dado o vetor 1vρ

=(3,0,−1).Determine o vetor vρ

=(x,y,z), sabendo-se que vρ

é ortogonal

ao eixo OX, que vρ

× 1vρ

= 146 , e que vρ

• 1vρ

=−4. RESP: )4 6, ,0(v ±=ρ

60) São dados 1vρ

=(3,2,2) e 2vρ

=(18,–22,–5), determine um vetor vρ

, que seja ortogonal à

1vρ

e a 2vρ

, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que vρ

=28.

RESP: vρ

=(–8,–12,24)

61)Sendo 1vρ

=(–2,1,–1) e 2vρ

=(0,y,z), calcule y e z de modo que 1vρ

× 2vρ

= 4 3 e que

o vetor vρ

= 1vρ

× 2vρ

faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY. RESP: (0,±2,±2)

62) Resolva os sistemas abaixo:

a)

=+−•

=−+×

2)kj2i4(x

0)kj3i2(xρρρρ

ρρρρρ

=+•

+=++−×

2)ki2(v

k8i8)kj2i(v)b ρρρ

ρρρρρ

−−=×

−=−•

k3j2i3)0,3,2(v

2)2,1,3(v)c ρρρρ

ρ

RESP: a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1)

63) Dados os vetores uρ

=(1,−1,1) e vρ

=(2,−3,4), calcular:

a) A área do paralelogramo de determinado por uρ

e vρ

;

b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor uρ

.

RESP: a)A= .a.u6 b) .c.u2h =

64)Dados os vetores uρ

=(2,1,−1) e vρ

=(1,−1,α), calcular o valor de α para que a área do

paralelogramo determinado por uρ

e vρ

seja igual a 62 u.a.(unidades de área).

RESP: α=3

65) A área de um triângulo ABC é igual a 6 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o

vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C.

Page 10: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 10

RESP: (0,3,0) ou

0,

51

,0

66)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,−1), B(−2,0,1) e C(1,−2,0).

Determine a altura relativa ao lado BC. RESP: .c.u7353

h =

67) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor BA sobre o vetor

BC , onde A (5,1,3), B(−3,9,3) e C(1,1,2). RESP: ua9

2128A =

68) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e

N(0,–1,3). RESP: d=7353

u.c.

PRODUTO MISTO

69)Qual é o valor de x para que os vetores a

ρ=(3,–x,–2), b

ρ=(3,2,x) e c

ρ=(1,–3,1) sejam

coplanares. RESP: x=14 ou x=–2

70)Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k)

sejam vértices de uma mesma face de um poliedro. RESP: k=– 1

71)Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos

vetores uρ

= 2 iρ

– jρ

+kρ

e vρ

= iρ

– jρ

e wρ

=x iρ

+ jρ

–3kρ

, seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3

72)Sejam os vetores uρ

=(1,1,0), vρ

=(2,0,1) e v2u3w1 −= , v3uw 2 += e k2jiw 3

ρρρ−+= .

Determinar o volume do paralelepípedo definido por 1w , 2w e 3w . RESP: V=44 u.v.

73)Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular

as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.

RESP: D (0,–7,0) ou D(0,8,0)

74)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de

m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos

vetores AC,AB e AD . RESP: m=6 ou m=2

75)Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o

dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1).

RESP: (–1,0,0) ou

0,0,

31

Page 11: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 11

76)Sendo uρ

=(1,1,0), vρ

=(2,1,3) e wρ

=(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o

volume do tetraedro ABCD, onde B=A+uρ

. C=A+ vρ

e D=A+ wρ

.

RESP: S= ua219

,V= uv65

77)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,−2,4) ,C(2,1,−3) e D(0,−6,0).

RESP: .c.u11

64h =

78)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) ,

B(1,1,–3) e C(–1,–3,0). RESP: 581745

u.c.

79)Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(−1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto

pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:

a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1

uv;

b)a área e o perímetro da face NMQ;

c)os ângulos internos da face MNQ;

d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.

RESP: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S= 33 u.a., 2p= 12363 + u.c.

c)α=300, β=900, γ=600 d)33

1u.c.

80)A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as

coordenadas são O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos

demais, determine:

a) as coordenadas do vértice D;

b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é

igual a 72 u.v. RESP: a)D(–4,4,2) b) V(–2, –1,7)

Page 12: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 12

81)São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D,

tal que DOρ

, AOρ

× BOρ

e AOρ

× COρ

sejam coplanares, DOρ

• BOρ

= –28 e que o volume do

tetraedro OABD seja igual a 14. RESP: D(0,0,–28) ou D(12,24,8)

RETA NO ℝℝℝℝ3

82) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos

seguintes casos:

a)determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor vρ

=(3,1,4);

b)determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ;

c)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor

diretor vρ

=(2,–2,3);

d)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos

A(5,–2,3) e B(–1,–4,3);

e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação 2

1z3

4y52x

:r−

=+

=−+

;

f)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor vρ

= (–2,0,–2);

g)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor vρ

=(8,3,0);

h)possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ;

i)possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ.

RESP: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) ,

+=+−=

+=

m41z

m2y

m31x

, 4

1z1

2y3

1x −=

+=

− ,

+=+=

9y4z

7y3x

b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) ,

−=+−=

+=

m53z

m1y

m2x

, 52z

y3x−+

==− ,

+−=−=

13x5z

3xy;

c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) ,

+=−−=

+=

m33z

m22y

m21x

, 3

3x22y

21x −

=−+

=−

,

=

−−=

y23

z

1yx ;

d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) ,

−=+=+=

2z

m5y

m31x

, 2z ; 5y3

1x−=−=

− ;

Page 13: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 13

e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) ,

=+=−=

m2z

m31y

m52x

, 2z

31y

52x

=−

=−−

,

+=

+−=

22z3

y

24z5

x ;

f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) ,

+==

+−=

m9z

7y

m6x

, 7 y; 9z6x =−=+ ;

g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) ,

===

4z

m3y

m8x

, 4z ; 3y

8x

== ;

h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) ,

=−=1z

2y ;

i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1) ,

==

0y

8x.

83) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do triângulo de

vértices A(3,4,–1), B(1,1,0) e c(2,4,4) e é paralela à reta suporte do lado AB do

triângulo. RESP: 11z

33y

22x

−−

=−

=−

.

84) Os vértices de um triângulo são O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações

reduzidas da bissetriz interna do ângulo A O B e determine sua interseção com o lado

AB.

RESP:

=

=

z57

y

z57

x e

45

,411

,47

P .

85) Os pontos de trisseção do segmento A(4,3,0) e B(–2,–3,3) são M e N. Unindo-os ao

ponto P(0,–1,0), obtêm-se as retas PM e PN . Calcule o ângulo formado pelas mesmas.

RESP: θ = arc cos 31

,θ ≅ 700 31'43,6''

86) A reta 3z

54

42x

:r =+

=−

, forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos

pontos A(0,−5,−2) e B(1,n−5,0). Calcular o valor de n. RESP: n=7 ou 1

Page 14: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 14

87) Determine as equações reduzida da reta r na variável x definida pelos pontos A (2,–

1,4) e B= 21 rr ∩ , com

+=+=

=

−−

=−

=−

m2z

m21y

m3x

:r e 21z

43y

21x

:r 21 .

RESP:

+=+−=2xz

1xy

88) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das

retas:

a) 28z

1044y2

x:r e 3z4

y22

3x:s

−+

=−

=+=−

=−

, e que passa pelo ponto P(2,3,5);

b) 3

z2-y-2

4 x:r e 3z34y2

22x

:s−

==++=−

=−

, e que passa pelo ponto P(2,–3,1);

c)

+=−−=

18x10z

3x2y:r e

+−=

−=

227y6

z

21y2

x:s , e que passa pelo ponto P(3,−3,4).

RESP: a)t:

+=+=−=

m125z

m53y

m2x

+=+−=

+=

m61z

m73y

m42x

:t)b c)

+=+−=

−=

m34z

m133y

m43x

:t

80)Estabeleça as equações, em função de x, da reta traçada pela interseção de

r:P=(−6,1,0)+m(1,–1,1), com a reta

+=−=5zy

2z3x:s , e que forma ângulos agudos

congruentes com os eixos coordenados. RESP:

+=+=

6xz

11xy:t

90) São dadas as retas

−=+=

1z2y

1zx:r e

−=+=

5zy

3zx:s e o ponto A(3,–2,1). Calcule as

coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que

A seja o ponto médio do segmento PQ. RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2)

91) Determine o ponto O', simétrico de da origem O dos eixos coordenados, em relação ã

reta 24z

1y12x

:r−−

=+=−−

. RESP:

32

,35

,31

'O

92) Determine as coordenadas de A' simétrico de A (4,0,3), em relação a reta

42z

1y2

1x:s

+=+=

+. RESP:

−21

101,

2120

,212

'A

Page 15: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 15

93) Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto A(–1, 4,5) e que é

perpendicular à reta r; P=(–2,1,1) + m(1,–1,2). RESP:

+=+=

−=

m5z

m24y

1x

:r

94)Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(2,–1,3), e é perpendicular à

reta 12z

2y

31x

:s−+

==−

. RESP: P= (2,−1,3)+m(−13,3,−33)

95)Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(−1,−3,1), que seja

concorrente com a reta

−=−=

2z2y

1z3x:r e seja ortogonal ao vetor ( )1,0,2v −= .

RESP: 2

1_z13y

1x:s =−+

=+

PLANO

96) Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:

a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor vρ

=(2,–3,1);

b)possui o ponto A(1,−2,1) e é paralelo aos vetores kjiaρρρρ

−+= e k2jibρρρρ

−+= ;

c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e C( 0,–2,2);

d) passa pelos pontos P(−2,1,0),Q(−1,4,2) e R(0,−2,2);

e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(−3,−1,3) e C(4,2,3);

f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores vρ

=(2,–1,1) e wρ

=( –3,1,−2);

g) possui o ponto P(2,−1,3) e é paralelo ao plano XOZ;

h) contém as retas 21z

22y

37x

:r−−

=−

=−

e 4

5z32y

21x

:s−

=−+

=−

;

i) contém as retas 3z1y2x

:r +=+= e 2z

22y

41x

:s =−

=+

;

j) que contém as retas 0z,22y

22x

:s e

4z

ty

t3x

:r =−−

=+

=−=

+−=;

k)contém as retas 4z

1y

21-x

:s e 1x3z

3x2yr =

−=

−=+=

;

l) passa pela reta 1z2y

21x

−==−

e é paralelo à reta 4

4z12y

23x −

=−−

=−

Page 16: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 16

RESP: a)π:2x−3y+z−7=0 b)π:x−y−z=0 c)π:12x+2y−9z+22=0

d) π:12x+2y−9z+22=0 e)π:6x−14y−z+7=0 f)π:x+y−z−5=0

g)π:y+1=0 h) π:2x−16y−13z+31= 0 i)π:y−z−2=0

j)π:4x+4y+3z=0 k)π:11x+2y−5z−11=0 l)π:3x−2y−2z−1=0

97) Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos:

a)

=++=−−+

01yx

01zy2x b)

=+++=−+−

04z2y3x

03zyx3

c)

=++=−−−013y3x2

08zy2x d)

=−−+=−−−07zy2x

01zy2x3

RESP: a)r:P=(−3,2,0)+m(−1,1,1) b) 21z

2yx−−

=−=

c)7

z

2729

y

372

x:r =

+=

+ d)

47z

4y2x −

=+=

98)Forme a equação do plano que possui um ponto M(−2,1,3) e que é perpendicular à

reta z3

1y2x

:r −=−

= . RESP: π:2x+ 3y−z +4=0

99)Dado o ponto P(5,2,3)e o plano π:2x+y+z−3=0,determinar:

a) a equação paramétrica da reta que passa por P e é perpendicular a π;

b) a projeção ortogonal de P sobre π;

c) o ponto P’ simétrico de P em relação a π;

d) a distância de P ao plano π.

RESP: a)

t3z

t2y

t25x

r

====+=

b) I(1,0,1) c)P’(−3, −2, −1) d) 62d =

100)Forme a equação do plano mediador do segmento A(1,2,−3) e B(3,2,5)

RESP: π:x+4z−6=0

101)Determinar a equação do plano que contém os pontos A (1,−2,2) e B(−3,1,−2) e é

perpendicular ao plano π: 2x+y−z+8-0. RESP: π:x−12y−10z−5=0

102) Um plano π, traçado por P(3,3,−1) intercepta os semi-eixos coordenados positivos

OX,OY e OZ, respectivamente nos pontos A,B, e C, tais que ||OB||2||OA|| = e

|| OC||3 ||OA|| = .Estabeleça a equação geral de π. RESP: π;x+2y+3z−6=0

Page 17: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 17

103)Determine a equação do plano que contém a reta interseção dos planos

π1: 3x–2y–z−1=0 e π2: x +2y−z−7=0 e que passa pelo ponto M(2,0,−1).

RESP: π:9x+2y−5z−13=0

104)Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é

paralela a cada uma dos planos π1: 2x–y–z+1=0 e π2:x+3y+z+5=0.

RESP:

=−=

+−=

t7x

t3y

t21x

105)Determinar equação geral do plano π,que passa ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular

aos planos π1: 2x –y –4z– 6 = 0 e π2: x + y + 2z -3 = 0. RESP: π:2x−8y+ 3z=0

106)Determinar a equação do plano que contém o ponto A(3,−2,−1) e a reta

=+−+=−++

07zyx2

01zy2x. RESP: π:2x+3y+x+1=0

107) Determinar a equação do plano π , que passa pelo ponto P(2,5,3) e é perpendicular

à reta r, interseção dos planos π1: x−2y+z−1=0 e π2:3x+2y−3z+5=0.

RESP: π: 2x+3y+4z−31=0

108)Determinar a equação do plano que passa pela reta

=+++=+++04z3y4x

06z5y2x3:r , é

paralelo à reta 31z

35y

31x

:s−+

=−

=−

. RESP: π:3x+2y+5z+6=0

109)Dados os planos π1:2x+y−3z+1=0, π2:x+y+z+1=0 e π3:x−2y+z+5=0, ache uma

equação do plano que contém π1∩π2 e é perpendicular a π3. RESP: π:x + y + z +1=0

110)Calcule o volume do tetraedro, cujas faces são os planos coordenados e o plano

π:5x+4y−10z−20=0. RESP: VT=320

u.v.

111)Determine o ponto A', simétrico de A (1,4,2) em relação ao plano π: x−y+z−2 =0.

RESP: R: A'(3,2,4)

112) Determine uma equação da reta t, simétrica de 1

z2

2y3x:r

−=

−=− , em relação ao

plano π:2x+y−z+2=0. RESP: 2

2z2y

71x

:s−

=+=−−

Page 18: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 18

113) Dado o plano π1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a

equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano π1 e é paralelo ao

plano π2:x−3=0. RESP: π: 0103

x =+

114) Considere as retas r:P=(1,1,0)+t(0,1,1) e zy2

1x:s ==

−. Seja A o ponto onde s fura

o plano π:x−y+z=2, e B e C ,respectivamente, os pontos onde r fura os planos XOZ e

XOY,respectivamente. Calcule a área de triângulo ABC. RESP: S= ua23

115)Determinar a equação simétrica da reta r, que passa pelo ponto M(2,−4,−1), e pelo

meio do segmento de reta

=−−−=−++05z2y3x3

026z5y4x3:s ,compreendido entre os planos

π1:5x+3y−4z+11=0 e π2: 5x+3y−4z−41=0. RESP: 3

1z5

5y2

2x:r

+=

+=

116) Dados o ponto P(1,3−1), o plano π:x+z=2 e a reta s:P=(2,0,0)+m(1,0,1), obtenha

uma equação da reta r que passa por P, é paralela a π e dista 3 da reta s.

RESP: r:P=(1,3,−1)+m(−1,0,1)

COORDENADAS POLARES E

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

117)Dois dos vértices de um triângulo eqüilátero são os pontos A(0 , 75 0 ) e B( 3, 180 0 ).

Ache as coordenadas polares do terceiro vértice.

RESP: C )120,3( 0 e C’( 3, -2400) ou C’(3,-1200)

118)Lado de um hexágono mede 4 u.c. Determine as coordenadas polares dos vértices

deste hexágono quando seu centro coincidir com o pólo do sistema e um de seus

vértices pertencerem ao eixo polar.

RESP: A (4, 00 ) , B( 4,600) , C( 4,1200), D( 4,1800) ,E( 4,2400) e F( 4,3000)

119)Determine as coordenadas polares dos vértices de um quadrado ABCD, sabendo-se

que o pólo é o ponto O'(1,2), que o eixo polar é paralelo ao eixo OX e que tem o

Page 19: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 19

mesmo sentido deste. Sendo dados as coordenadas cartesianas dos vértices: A (4,2),

B(7,5), C(4.8) e D(1,5). RESP: A (3,00) , B ( )'3026,53 0 , C( 53 ,63,50 ), D(3,900)

120)Num sistema de coordenadas polares são dados os dois vértices

π−

94

,3A e

π4

3,5B do paralelogramo ABCD e o ponto de interseção das diagonais coincide com

o pólo. Achar as coordenadas polares dos outros dois vértices.

RESP:

π

π−

94

3,D e 4

,5C

121)Determinar as coordenadas polares dos vértices do quadrado ABCD, sabendo-se

que o eixo polar é a reta paralela a diagonal AC, com o mesmo sentido desta, que o

pólo é o ponto médio de BC e que o lado do quadrado mede 6 cm.

RESP: A (3 5 ,161030') , B(3,–1350), C(3,450) e )03108,53(D 0 ′

122)Transformar as seguintes equações cartesianas em equações polares:

a) x2 + y 2 = 25 b) x2 – y2 = 4 c) ( x2 + y 2 )2 = 4 ( x2 - y 2 ) d) x - 3y = 0

e) y 2 + 5x = 0 f) xy =4 g) x2 + y 2 + 4x - 2y = 5 h) ( x2 + y 2 ) 2 - 18 xy = 0

i) 4y2-20x – 25=0 j) 12x2 –4y2 –24x+ 9 = 0 k) x2+ y2 –2y = 0

Obs.: Somente considere a resposta em que ρ > 0.

RESP: a) ρ = 5 b) ρ2cos2θ=4 c) ρ2 = 4 cos 2 θ d) θ = arctg 1 / 3

e) ρsen2θ + 5 cosθ = 0 f) ρ2sen2θ=8 g) ρ2 + 2ρ (2 cos θ - sen θ ) = 5

h) ρ2 = 9 sen 2 θ i)ρ= ( )θ− cos125

j) ρ =θ+ cos42

3 k) ρ=2senθ

123)Transformar as seguintes equações polares em equações cartesianas:

a) ρ = 4 b) θ = 1/ 4 π c) ρ = 8 cos θ d) ρ = 6 sen θ + 3 cos θ

e) ρ = 15 sec θ f) ρ (sen θ + 3 cos θ ) = 3 g) ρ (2 − cos θ ) = 4

h) 2ρ = 2 + cos 2θ i) ρ 2 = 4 cos 2 θ j) ρ = 4 ( 1 + cos θ )

RESP: a) x2 + y2 = 16 b) x = y c) x2 + y2 − 8x = 0 d) x2 + y2 − 3x − 6y = 0

e) x = 15 f)3x−y−3=0 g) 3x2 + 4y2 - 8x −16 = 0 h) 4 (x2 + y 2)3 = ( 3x2 + y2 )2

i) ( x2 + y2 )2 = 4x2 – 4y2 j) 16( x2 + y2) = ( x2 + y2 −4x ) 2

124) Transforme, em relação a um novo sistema de coordenadas de eixos paralelos aos

primeiros e origem conveniente para que na nova equação não figure os termos do 1o

grau, as equações:

a) x2 + y 2 - 6x + 2y - 6 = 0 b) xy –x + 2y – 10 = 0

c) x2 - 4y2 - 2x + 8y - 7 =0 d) x2 + 4 y 2 - 2x - 16 y + 1 = 0

Page 20: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 20

e) 30xy +24x-25y-80=0 f)3x2+ 3y2 –10xy –2x+ 14y+27=0

RESP: a) x’’2 + y’’2 = 16, O'(3,−1) b) x’y’=8, O'(−2,1) c) x’’2 - 4y’2 - 4 = 0,

O'(1,1) d) x’2 +4 y’2 - 16 = 0, O'(1,2) e)x’y’=2 ,O’

−54

,65

f) O’ ( 2,1) 3x’2+3y’2 −10x’y’+32=0 g)

′ 0,43

O , 041y4yx4x4 22 =−′+′′−′

125)Transforme as equações abaixo, mediante uma rotação de eixos :

a) x2 + 2 xy + y 2 −32 = 0 b) xy −8 = 0 c) 31 x2 + 10 3 xy + 21 y 2 - 144 = 0

d) 6x2 + 26y2 + 20 3 xy - 324 = 0 e)4x2+ 4xy +y2+ 5 x =1

g) 2xy +6x –8y=0 h) 7x2 – 6 3 xy + 13y2 – 16 =0

RESP: a) x’ = ± 4 θ=450 b) x’2 - y’2 = 16 θ=450

c) 9x’2 + 4y’2 - 36 = 0 θ=300 d) 9x’2 – y’2 – 81= 0 θ=600

e)5x’2+2x’−y’=1,θ=26,20 g) θ=450, x'2–y'2 – 2 x’−7 2 y’=0

h) θ= 300, x’2+4y’2– 4=0

CÔNICAS

ELIPSE

126)Achar a equação de uma elipse cujos focos se encontram sobre o eixo das

abscissas, e sabendo-se que:

a) a distância focal é igual a 6 e a excentricidade é 53

e = ;

b) seu menor eixo é 10 e a excentricidade e 1312

e = ;

c) C(0,0), eixo menor igual 6, passa pelo ponto ( )2,52P − ;

d) focos F1(3,2) e F2(3,8),comprimento do eixo maior 8.

e) C(0,0), 21

e = ,

29

,3P , ponto da cônica;

f) seus vértices são A1 (−2,2), A2(4,2), B1(1,0), B2(1,4);

g) vértices (7,2) e (1,2), eixo menor=2;

h) C(0,0), ( )1,15P − ponto da cônica, distância focal 8;

RESP: a) 16x2 +25y2 −400=0 b) 25x2 +169y2 − 4225=0;

Page 21: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 21

c) 036y4x 22 =−+ d) 0207y70x96y7x16 22 =+−−+

e) 0108y4x3 22 =−+ f) 04y36x8y9x4 22 =+−−+

g) 043y36x8y9x 22 =+−++ h) 020y5x 22 =−+

127)A órbita da Terra é uma elipse, com o Sol em um dos focos. Sabendo-se que o eixo

maior da elipse mede 2.999.338.000 km e que a excentricidade mede 621

. Determine

a maior e a menor distância da Terra em relação a Sol.

RESP: MAD =152.083.016 km; med =147.254.984 km.

128)O centro de uma elipse coincide com a origem. O eixo maior é vertical e seu

comprimento é o dobro do comprimento do eixo menor, sabendo-se que essa elipse

passa pelo ponto

3,

27

P , achar sua equação. RESP: 4x2 +y2 −16=0

129)Uma elipse é tangente ao eixo das abscissas no ponto A(3,0) e ao eixo das

ordenadas no ponto B(0,−4). Formar a equação dessa elipse, sabendo-se que seus

eixos de simetria são paralelos aos eixos de coordenadas.

RESP: 9x2 +16y2 −54x+128y+193=0

130)Achar a equação da cônica com centro C(3,1), um dos vértices A(3,−2) e

excentricidade 31

. RESP: 017y16x54y8x9 22 =+−−+

131)Determine a equação da elipse de centro C(−2,1), excentricidade 3/5 e eixo maior

horizontal de comprimento 20. RESP: 16x2 +25y2 +64x−50y−1511=0

132)Determine a equação da cônica de C(4,1), um foco (1,1) e excentricidade 31

e = .

RESP: 0511y18x64y9x8 22 =−−−+

133)Determine a equação da cônica de vértices A1(1,8) e A2(1,4) e excentricidade 32

e = .

RESP: 0151y20x18y5x9 22 =−−−+

134)Determine a equação da cônica de focos (–1, –3) e (–1,5), e excentricidade 32

e = .

RESP: 0166y10x18y5x9 22 =−−++

135)Determine a equação da elipse de excentricidade 53

, cujos focos são pontos da reta

y −1=0 e sendo B(−2, 9) um dos extremos do seu eixo menor.

RESP: 01561y50x64y25x16 22 =−=+−

Page 22: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 22

136)A uma elipse de excentricidade 31

, circunscreve-se um retângulo de lados paralelos

aos eixos coordenados da elipse. Calcular a área do retângulo, sabendo-se que seu

perímetro vale ( )m2238 + . RESP: 2m 296A =

137)Em cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos,

centro, excentricidade, corda focal, parâmetro e as equações das diretrizes:

a) 136y

100x 22

=+ b) 045y5x9 22 =−+ c) 01yx4 22 =−+

d) 25x2 +16y2 +50x+64y– 311=0 e) 16x2 +25y2 +32x–100y–284=0

f) 064y24x32y3x4 22 =++++ g) 0144y72x48y9x4 22 =++−+

RESP: a)C(0,0), A (±10,0), B(0,±6), F(±8,0), e= 4/5, eixo maior horizontal;

b)C(0,0),A(0,±3),B(± 5 ,0),F(0,±2),e =2/3, eixo maior vertical;

c)C(0,0),A(0,±1),

±

23

,0F ,B(±1/2,0),e= 3 /2, eixo maior vertical;

d) C(−1,−2),A1 (−1,2),A2 (−1,−7), F1(4,0), F2(−1,−5), B1(3,−2), B2 (−5,−2), e =3/5,

eixo maior horizontal;

e) C(−1,2), A1(−6,2), A2 (4,2), F1(3,2), F2(−4,2), B1(−1,−2),B2(−1,6) e =1/2, eixo

maior horizontal;

f)C(−4,−4), A1(−4,0), A2(−4,8), F1(−4,−2), F2(−4,−6), ( )4,324B −±− ,21

e = , eixo

maior vertical;

g)C(6,−4), A1(12,−4), A2(0,−4), ( )4,526F −± , 35

e = , eixo maior horizontal;

HIPÉRBOLE

138)Determine a equação da hipérbole, nos seguintes casos:

a)de focos F(0,±5) e vértices A (0, ±3);

b)que tem focos no eixo das abscissas e eixos real e imaginário 10 e 8 ,

respectivamente;

c) de focos F(3,4) e (3,2) e excentricidade e=2;

d)de focos F (1,5) e (5,5) , eqüilátera

e)eixo real horizontal, eqüilátera, de vértices (−3,−4) e ( −3,4);

Page 23: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 23

f) de C0,0),que passa pelo ponto (−5,3), é eqüilátera e de eixo real horizontal;

g)que tem eixo real vertical de comprimento 8 e passa pelo ponto (6,5);

h)eixo real sobre o eixo das abscissas ,distância focal é igual a 10 e eixo imaginário 8;

i)eixo real sobre o eixo das ordenadas, as equações das assíntotas x5

12y ±= e

distância focal 52.

j) eixo real horizontal, distância focal é igual a 6 e a excentricidade 23

;

k) eixo real paralelo ao eixo OX, centro no ponto C(−1,−3), comprimento do eixo

imaginário é 54 e excentricidade 23

;

l) C(2, – 3), eixo real vertical, passando pelos pontos (3, –1) e (–1,0)( trabalhosa);

m)centro é o ponto C(0,4), um dos focos é (0,−1) e um de seus pontos

9,3

16P .

RESP: a) 0144y16x9 22 =+− b) 0400y25x16 22 =−−

c) 051y24x24y12x4 22 =++−− d) 051y20x8y2x2 22 =−−−−

e) 025x6yx 22 =++− f) 16yx 22 =−

g) 064y4x 22 =+− h) 0144y9x16 22 =−−

i) 014400y25x144 22 =+− j) 020y4x5 22 =−−

k) 0111y24x10y4x5 22 =−−+− l) 025y48x20y8x5 22 =−−−

m) 0112y128y9x16 22 =+−−

139)O centro de uma cônica está na origem, seu eixo real encontra-se ao longo do eixo

OY e cujas assíntotas são as retas x41

y ±= . Determinar a equação da cônica, se

seus vértices são os pontos A(0,62). RESP: 064y16x 22 =+−

140)Determine a equação da hipérbole que tem como uma assíntota, a reta

0y23x2 =+ eixo horizontal e passa pelo ponto (3,1). RESP: 09y9x2 22 =−−

141)Determine a equação da hipérbole que tem como assíntotas, as retas 2x+y−3=0 e

2x−y−1=0, eixo horizontal e passa pelo ponto (4,6). RESP: 08y2x8yx4 22 =−+−−

142)Determine a equação da hipérbole que tem como assíntotas, as retas 3x−4y+16=0 e

3x+4y−16=0, eixo vertical e que passa pelo ponto

9,3

16.

RESP: 0112y128y16x9 22 =−+−

Page 24: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 24

143)Determinar a equação reduzida da hipérbole, cujo eixo real tem por extremos os

focos da elipse 16x2 +25y2 −625=0 e cuja excentricidade é o inverso da

excentricidade da elipse dada. RESP: 0225y9x16 22 =−−

144)Os focos de uma hipérbole coincidem com os da elipse 19y

25x 22

=+ Forme a equação

da hipérbole, considerando-se que sua excentricidade é e= 2.

RESP: 012yx3 22 =−−

145)Determine a equação da elipse de centro na origem, cujos vértices coincidem com os

focos da hipérbole 02304y36x64 22 =−− e cujos focos são os vértices da hipérbole.

RESP: 0400y25x16 22 =−+

146)Em cada uma das equações de hipérbole abaixo, determine as coordenadas dos

vértices, focos, centro a excentricidade, corda focal, parâmetro, equação das

diretrizes e das assíntotas.

a) 164y

100x 22

=− b) 9x2 −16y2 =144

c)4x2 −5y2 +20=0 d) x2 −y2 =1

e)x2 −4y2 +6x+24y−31=0 f)16x2 −9y2 −64x−18y+199=0

g)9x2 −4y2 −54x+8y+113=0 h) 063y24x18y4x9 22 =−−+−

RESP: a) C(0,0),A(±10,0), ( )0,412F ± ,541

e = ,eixo real horizontal, 54

y:ass ±= ,

b)C(0,0), A(±4,0), F(±5,0), 45

e = , eixo real horizontal, x43

y:ass ±= ;

c)C(0,0), A(0,±2), F(0,±3), 23

e = , eixo real vertical, x5

52y;ass ±= ,

34

y ±= ;

d)C(0,0), A(±1,0), ( )0,2F ± , 2e = , eixo real horizontal, ass: y=±x;

e)C(−3,3),A1(−1,3), A2(−5,3), ( )3,53F ±− , eixo real horizontal, ass1:x−2y−9=0,ass2:x +

2y−3=0,;

f)C(2,1),A1(2,−3), A2(2,−3), F1(2,−4), F2(2,6), eixo real vertical

,ass1:4x−3y−5=0,ass2:4x−3y−5=0;

g)C(3,1), A1(3,4), A2(3,−2), ( )131,3F ± , ass1:3x−2y−1=0, ass2:3x\=2y−5=0;

h)C(−1,−3), A1(1,−3),A2(−3,−3), ( )3,131F −±− , ass1:3x−2y−3=0 e ass2:2x+2y-

9=0,213

e =

Page 25: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 25

PARÁBOLA

147)Determinar a equação da parábola:

a) de vértice V(6,−2) , cujo eixo é y +2=0 e que passa pelo ponto (8,2);

b) de foco F(3,3) e diretriz y−1=0;

c) de vértice V(0,3) e diretriz x + 5=0;

e) de foco F(3,3) e diretriz y−5=0;

g)V(3,−6),eixo de simetria paralelo ao OY, e que passa pelo ponto (−3,−10);

i) F(4,3), diretriz 01y =+ ;

k) Eixo // OY,

− 2,23

V passa pelo ponto M(−1,−1);

l) V(4, −1), eixo: y+1=0 e passa pelo ponto (3, −3)

n) F(3,1) e diretriz 01x2:d =− ;

o) V(4,3) e F(4,1)

p) V(1,3), eixo de simetria paralelo ao eixo dos x, passa pelo ponto P(1,1)

q) V(3,2) , eixo de simetria y+2=0, passa pelo ponto P(2,2)

s) de foco F(–7,3) e diretriz x+3=0;

v) F(5,2), diretriz 07x =− ;

RESP: a) 052x8y4y 2 =+−+ b) 017y4x6x2 =+−−

c) 09X20x6y2 =+−− e) 07y4x6x 2 =−+−

g) 063y9x6x2 =++− i) 024y8x8x 2 =+−−

k) 025yx36x12 2 =+++ l) 015x4y2y2 =−++

n) 039x20y8y4 2 =+−+ o) 08y8x8x 2 =−++

p) 01x8y6y 2 =++− q) 044y4x16y 2 =−++

s) 049y4x6y2 =++− v) 020y4x4y2 =−−+

148)Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria horizontal que passa

pelos pontos A(−5,5), B(3,−3) e C(3,1). RESP: 015y2x4y2 =−++ ; V(4,-1), p=-2

149)Determine os pontos de interseção da hipérbole 020y4x 22 =−− com a parábola

0x3y 2 =− . RESP: ( )30,10 ± e ( )6,2 ±

150)Achar a equação da parábola, cuja corda focal liga os pontos (3,5) e (3,−3).

RESP: 09x8y2y2 =+−− ou 039x8y2y2 =−+−

Page 26: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 26

151)Encontre na parábola 0x8y2 =− um ponto tal que sua distância à diretriz seja igual a

4. RESP: P(2,4) ou P(2,−4)

152)Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria vertical e passa pelos

pontos A(0,0), B(2,2,) e C(-4,20). RESP:

−41

,21

V ; 21

P = ; 0yxx 2 =−−

153)Dada uma elipse de centro na origem, distância focal 8 e comprimento do eixo maior

12 e eixo maior paralelo ao eixo OX. Considere uma parábola que tem por diretriz, a

reta suporte do eixo menor da elipse e por foco, o foco à direita do cento da elipse.

Determine a equação da parábola. RESP: 016x8y 2 =+−

154)Determinar as coordenadas do vértice, foco, a equação da diretriz e o parâmetro das

seguintes parábolas:

a) y2 −6x=0 b) x2 −5y=0 c)y2 +4x=0 d) y2 −4x+8=0

e)x2 −6y−2=0 f)x2 −6x+9y+63=0

j) y2 −8y−8x+40=0 k)y2 −8x−6y−7=0

RESP: a)V(0,0),

0,23

F , d:2x+3=0, eixo de simetria horizontal,CVD;

b) V(0,0).

45

,0F , d: 4y+5=0, eixo de simetria vertical, CVC;

c)V(0,0), F(−1,0). d: x = 1,eixo de simetria horizontal, CVE ;

d)V(2,0), F(3,0), d:x−1=0,eixo de simetria horizontal, CVD ;

e)

−31

,0V , ,67

,0F

d: 6y +11=0, eixo de simetria vertical, CVC;

f)V(3,−6),

−4

33,3F , d:4y +15=0, eixo de simetria vertical, CVB;

i)V(4,−1), F(3,−1), d:x −5=0,eixo de simetria horizontal, CVE ;

k)V(−2,3), F(0,3), d:x +4=0,eixo de simetria horizontal, CVD;

Page 27: lista2 vetores

PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 27

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