Lista8_resolução

Universidade de Braslia

Instituto de Fsica

Oitava Lista de Exerccios de Fsica II

Questo 1

Uma barra cilndrica de cobre de 1, 2m de comprimento e4, 8cm2 de seo reta bem isolada e no perde energia atravsda superfcie. A diferena de temperatura entre as extremida-

des 100Co, j que uma est imersa em uma mistura de guae gelo e a outra em uma mistura de gua e vapor. (a) Com

que taxa a energia conduzida pela barra? (b) Com que taxa

o gelo derrete na extremidade fria?

Soluo

a) A variao de temperatura na escala Kelvin e na escala Celsius

igual, portanto, usando a frmula de conduo do calor, temos:

Pcond =kA(TH TC)

L

Aqui, temos que o k, a condutividade trmica, uma constante quedepende do material de que a placa feita, aqui o material em ques-

to o cobre, e vale 401W/m.K. A rea da barra tem o valor de4, 8104m2 e a variao da temperatura de 100oC. O L, compri-mento da barra tem valor de 1, 2m. Jogando os valores na frmula,temos que o resultado obtido de 16J/s.b) Usando o valor do calor latente de fuso do gelo, LF = 333J/g,usamos que: dmdt

= PcondLF = 16J/s333J/g = 0, 04804g/s

Questo 2

(a)Qual a taxa de perda de energia em watts por metro qua-

drado atravs de uma janela de vidro de 3, 0mm de espessurase a temperatura externa 20oF e a temperatura externa +72oF? (b) Uma janela para tempestades, feita com a mesmaespessura de vidro, instalada do lado de fora da primeira,

com um espao de 7, 5cm entre as duas janelas. Qual a novataxa de perda de energia se a conduo o nico mecanismo

importante de perda de energia?

Soluo

a) Temos que a taxa de conduo do calor calculada por:

Pcond =kA(TH TC)

L

Aqui temos que, a condutividade do vidro vale k = 1, 0W/m.K. Adiferena de temperatura de 92oF , que usamos por conveninciatransformar para a escala Celsius. Ento

59(92oF ) = 51, 1oC, queaqui temos a variao da temperatura em Kelvin no mesmo valor

de 51, 1K. Resolve ento:

PcondA

= (1, 0W/m.K)

(51, 1oC

3, 0 103m)

= 1, 7 104W/m2

b)A energia agora passa em sucesso atrvs de 3 camadas, uma de

ar e duas de vidro. O valor da taxa de transferncia de carlor o

mesmo em cada camada e, dada por:

Pcond =kA(TH TC)

LK

onde o somatrio no denominador sobre as camadas. Se LV aespessura de uma camada de vidro, LA a espessura da camadade ar, kV a condutividade do vidro e kA a condutividade do ar.Fazemos ento: L

k=

2LVkV

+LAkA

=2LV kA + LAkV

kAkV

Portanto, o calor conduzido por unidade de rea ocorre pela taxa

seguinte:

PcondA

=(TH TC)kAkV2LV kA + LAkV

=(51, 1oC)(0, 026W/m.K)(1, 0W/m.K)

2(3, 0 103m)(0, 026W/m.K) + (0, 075m)(1, 0W/m.K)

= 17, 68W/m2

Questo 3

Em uma escala linear de temperatura X, a gua evapora a

53, 5oX e congela a 170oX. Quanto vale a temperatura340K na escala X?

Soluo

Como as duas escalas que queremos relacionar so lineares, podemos

fazer a seguinte relao:

[x (170)][53, 5 (170)] =

(k 273)(373 273)

Onde nos numeradores temos a diferena entre uma temperatura

qualquer na escala e o ponto de fuso naquela escala. E nos deno-

minadores temos a diferena entre os pontos de fuso e ebulio de

casa escala. Desta maneira, podemos relacionar a temperatura em

oX com a temperatura em K .

(x+ 170)

(116, 5)=

(k 273)(100)

100x+ 17000 = 116, 5k 31804, 5

x =116, 5k 31804, 5 17000

100

Para k = 340K. temos que x = 91, 945oX

Questo 4

Um turista brasileiro, ao desembarcar no aeroporto de Chicago,

observou que o valor da temperatura l indicado, em

oF , eraum quinto do valor correspondente em

oC. Qual foi o valorobservado?

Soluo

Utilizando a frmula para a converso de

oC para oF

Tc5

=Tf 32

9

Universidade de Braslia - Fsica II - Oitava Lista de Exerccios

Como nos dito no enunciado, o valor da temperatura observado

corresponde um quinto do valor corresponde em graus Celsius.

Portanto, considerando T a temperatura observada, sabemos que:

T oF =T oC

5 T oC = 5.T oF

Substituindo este valor na equao da converso, temos:

5T

5=T 32

9 45.T = 5.T 160T = 4

A temperatura observada de 4oF .

Questo 5

Formou-se gelo em um pequeno lago, e o regime estacionrio

foi atingido com o ar acima o gelo a 5, 0oC e o fundo do lagoa 4, 0oC. Se a profundidade total do gelo mais gua 1, 4m,qual a espessura do gelo? (Suponha que as condutividades

trmicas do gelo e da gua so 0, 40 e 0, 12cal/m.oC.s, respec-tivamente.)

Soluo

Assumindo a que a temperatura na superfcie de cima do gelo

TC = 5, 0oC, que a temperatura no fundo lago seja de TH = 4, 0

oCe que a temperatura entre o lago e o gelo seja de TX = 0, 0

oC. Omecanismo para a transferncia de calor pela distncia L = 1, 4m a conduo e podemos usar a frmula:

kagua.A(TH TX)L Lgel =

kagua.A(TX TC)Lgelo

=(0, 12)A(4, 0o 0, 0o)

1, 4 Lgelo =(0, 40)A(0, 0o + 5, 0o)

Lgelo

Com isso obtemos Lgelo = 1, 1m.

Questo 6

Uma camada de gelo de 5, 0cm de espessura se formou na su-perfcie de uma caixa d'gua em um dia frio de inverno. O

ar acima do gelo est a 10oC. Calcule a taxa de formaoda placa de gelo em cm/h. Suponha que a condutividade tr-mica do gelo 0, 0040cal/s.cm.Co e que a massa especica 0, 92g/cm3. Suponha tambm que a transferncia de energiaatravs das paredes e do fundo do tanque pode ser desprezada.

Soluo

Considere h como a espessura do gelo e A sua rea. Ento, a taxade transferncia de calor pela camada de gelo de

Pcond =kA(TH TC)

h

onde k a condutividade trmica do gelo. TH a temperatura dagua (0, 0oC) e TC a temperatura do ar acima do gelo (10oC). Aenergia necessria para congelar uma massa m de gua Q = LF ,onde LF o calor de fuso da gua. Como

dQdt

= Pcond, entao

Pcond = LFdm

dt

A massa de gelo dada por m = Ah, em que a densidade dogelo, entao

dmdt

= A. dhdte

Pcond = LF Adh

dt

Juntando as duas expresses de Pcond, temos:

dh

dt=k(TH TC)

LF h

Substituindo os valores nessa equao e considerando 1cal =4, 186J e 1cm = 1

100m. k = 1, 674W/mK, e LF = 333 103J/kg.

dh

dt= 0, 40cm/h

Questo 7

Em um aquecedor solar, a radiao do Sol absorvida pela

gua que circula em tubos em um coletor situado no telhado.

A radiao solar penetra no coletor atravs de uma cobertura

transparente e aquece a gua dos tubos; essa gua bombeada

para um tanque de armazenamento. Suponha que a ecincia

global do sistema seja de 20% (ou seja, 80% da energia solarincidente so perdidos). Que rea de coleta necessria para

aumentar a temperatura de 200L de gua no tanque de 20oCpara 40oC em 1h, se a intensidade da luz solar incidente 700W/m2?

Soluo

A potncia consumida pelo sistema

P =1

20.cmT

t

1

20.(4, 18J/goC)(200 103cm3)(1g/cm3)(40oC 20oC)

(1, 0h)(3600s/h)

P = 2, 3.104W

A rea necessria : A = 33m2

Questo 8

Um anel de cobre de 20, 0g a 0, 000oC tem dimetro internoD = 2, 54000cm. Uma esfera de alumnio a 100oC tem umdimetro d = 2, 54508cm. A esfera colocada acima do anelat que os dois atinjam o equilbrio trmico, sem perda de ca-

lor para o ambiente. A esfera se ajusta exatamente ao anel na

temperatura do equilbrio. Qual a massa da esfera?

Soluo

Se o dimetro do anel, a 0, 000oC, Da0, ento o dimetro do mesmoquando ele est em equilbrio trmico com a esfera :

Da = Da0(1 + cTf )


sendo Tf a temperatura nal e c o coeciente de dilatao lineardo cobre. Similarmente, se o dimetro da esfera em Ti = 100, 0

oC De0, ento seu dimetro na temperatura de equilbrio :

De = De0[1 + a(Tf Ti)]

sendo a o coeciente de dilatao linear do alumnio. Na tempera-tura de equilbrio, os dois dimetros do iguais, ou seja:

Da0(1 + cTf ) = De0[1 + a(Tf Ti)]

A soluo para a temperatura nal :

Tf =Da0 De0 +De0aTi

De0aDa0c =

(2, 54000cm) (2, 54508cm) + (2, 54508cm)(23 106 oC1)(100, 0oC)(2, 54508cm)(23 106 oC1) (2, 54000cm)(17 106 oC1)

Tf = 50, 38oC

Como a temperatura inicial do anel 0oC, o calor absorvido por ela

Q = ccmaTf

sendo cc o calor especco do cobre, e ma a massa do anel. O calorperdido pela esfera :

|Q| = came(Ti Tf )

sendo ca o calor especco do alumnio e me a massa da esfera.Como o calor perdido pela esfera igual ao calor absorvido pelo

anel, temos:

ccmaTf = came(Ti Tf )me =

ccmaTfca(Ti Tf )

=(386J/(k.g.K))(0, 0200kg)(50, 38oC)

(900J/(k.g.K))(100oC 50, 38oC)me = 8, 71 103kg

Questo 9

Uma esfera de raio 0, 5m , cuja emissividade 0, 850, est a27, 0oC num ambiente a 77, 0oC. Calcular (a) a taxa de emissovia irradiao; (b) a taxa de absoro de energia pela irradiao

e (c) a taxa lquida de troca de energia da esfera.

Soluo

a) Temos que a rea da superfcie dada por A = 4pir2,em quer = 0.500m o raio. A temperatura da esfera T = (273, 15 +27, 00)K = 300, 15K. Portanto:

Pr = AT4

= (5, 67 108W/m2.K4)(0, 850)(4pi)(0, 500m)2(300, 15K)= 1, 23 103W

b) Nesse caso, Tenv = 273, 15 + 77, 00 = 350, 15K, ento

Pa = AT4

= (5, 67 108W/m2.K4)(0, 850)(4pi)(0, 500m)2(350, 15K)= 2, 28 103W

c) Pn = Pa Pr = 1, 05 103W Sendo Pn a taxa lquida de trocade energia com o ambiente por radiao trmica.

Questo 10

Uma bebida pode ser mantida fresca, mesmo em um dia quente,

se for colocada em um recipiente poroso de cermica embebida

em gua. Suponha que a energia perdida por evaporao seja

igual energia recebida em consequncia da troca de radia-

o atravs da superfcie superior e das superfcies laterais do

recipiente. O recipiente e a bebida esto a uma temperatura

T = 15oC, a temperatura ambiente Tamb = 32oC e o reci-piente um cilindro de raio r = 2, 2cm e altura h = 10cm.Suponha que a emissividade = 1 e despreze outras trocasde energia. Qual a taxa dm/dt de perda de massa de guado recipiente, em g/s?

Soluo

A condio que diz que a energia perdida pela bebida pode ser de-

vido evaporao igual energia ganhada atravs das radiaes

trocadas implica no seguinte:

LVdm

dt= Prad = A(T

4env T 4)

A rea total do topo e da lateral da supercie da lata :

A = pir2+2pirh = pi(0, 022m)2+2pi(0, 022m)(0, 10m) = 1, 53102m2

Com Tenv = 32oC = 305K, T = 15oC = 288K e = 1, a taxa demassa perdida :

dm

dt=A

LV(T 4env T 4) =

(5, 67 108W/m2.K4)(1, 0)(1, 53 102m2)2, 256 106J/kg [(305K)

4 (288K)4]

= 6, 82 107kg/s 0368mg/s

Questo 11

A dilatao trmica dos slidos um fenmeno importante em

diversas aplicaes de engenharia, como construes de pon-

tes, prdios e estradas de ferro. Considere o caso dos tri-

lhos de trem serem de ao, cujo coeciente de dilatao

= 11 106 oC1. Se a 10oC o comprimento de um tri-lho de 30m, de quanto aumentaria o seu comprimento se atemperatura aumentasse para 40oC?

Soluo

O calculo da dilatao linear L, do trilho :

L = Lo..

L = 30.(11 106).(40 10) = 99 104m

Questo 12

Os componentes de uma lmina bimetlica so o ao e o zinco.

Os coecientes de dilatao linear desses metais so, respecti-

vamente, 1, 2 105 oC1 e 2, 6 105 oC1. Em uma deter-minada temperatura, a lmina apresenta-se retilnea. Quando

aquecida ou resfriada, ela apresenta uma curvatura. Explique

porqu.

Soluo


Como zinco > aco, para um mesmo aumento de temperatura nosdos metais, o zinco sofre maior dilatao. Isso faz com que ocorra

uma dilatao desigual na lmina, o que produz um encurvamento.

O mesmo ocorre no resfriamento, pois o zinco tambm sofre maior

contrao.

Questo 13

O lcool etlico tem um ponto de ebulio de 78, 0oC, umponto de congelamento de 114oC, um calor de vaporizaode 879kJ/kg, um calor de fuso de 109kJ/kg e um calor espe-cco de 2, 43kJ/kg.K. Quanta energia deve ser removida de0, 510kg de lcool etlico que est inicialmente na forma de gsa 78, 0oC para que ele se torne um slido a 114oC?Soluo

O calor trocado na mudana do estado de gs para o estado lquido

Q1

Q1 = LV .m = 879.0, 510 = 448, 29kJ

O calor trocado para esfriar o lquido de 78oC para 114oC Q2

Q2 = c.m.(Tf Ti) = 2, 43.0, 510.192 = 237, 59kJ

Finalmente, o calor trocado pela mudana do estado lquido para o

estado solido Q3

Q3 = Lf .m = 109.0, 510 = 55, 59kJ

A quantidade total de calor retirado do lcool

Q = Q1 +Q2 +Q3 = 742kJ

Questo 14

(a) Dois cubos de gelo de 50g so misturados com 200g de guaem um recipiente termicamente isolado. Se a gua est inicial-

mente a 25oC e o gelo foi removido de um congelador a 15oC,qual a temperatura nal em equilbrio trmico? (b) Qual a

temperatura nal se usado apenas um cubo de gelo?

Soluo

a) Para um problema como esse, teoricamente existem trs possibi-

lidades:

1aO sistema gelo-gua entra em equilbrio numa temperatura abaixode 0oC, o que levaria ao no derretimento do gelo;2aO sistema gelo-gua entra em equilbrio exatamente na tempera-tura de 0oC, que a temperatura de fuso do gelo, o que levaria aoderretimento de parte do gelo;

3aO sistema gelo-gua entra em equilbrio numa temperatura acimade 0oC, que acima do ponto de fuso do gelo, o que levaria aoderretimento de todo o gelo.

Como a massa de gua o dobro da massa de gelo, improvvel que

o sistema entre em equilbrio em uma temperatura abaixo de 0oC.O que nos permite logo descartar a primeira opo. Vamos assumir

que a temperatura de equilbrio ser Tf = 0oC, tendo derretido umaquantidade m de massa de gelo.

A quantidade de calor liberada pela gua

|Q| = c1m1(T1 0)

e a quantidade de calor absorvida pelo gelo

|Q| = c2m2(0 T2) +m.Lf

onde Lf o calor de fuso do gelo. As duas quantidades de calortrocadas so iguais, j que o sistema est isolado, portanto

c1m1(T1 0) = c2m2(0 T2) +m.Lf

Assim

m =c1m1(T1 0) c2m2(0 T2)

Lf

m = 53g

onde m a massa de gelo que derrete. Temos ento que a tempera-tura de equilbrio do sistema 0oC, sendo que 53g do gelo derrete.b) O item (a) nos mostrou que o calor liberado pela gua seria su-

ciente para esquentar 100g de gelo a 0oC e ainda derreter 53g dessegelo. Como agora h apenas 50g de gelo, pode-se armar que o gelotodo ir derreter e a temperatura de equilbrio ser acima do ponto

de fuso do gelo.

A quantidade de calor liberada pela gua quente

|Q| = c1m1(T1 Tf )

e a quantidade de calor absorvida pelo gelo e posteriormente pela

gua gelada, recm gerada pelo gelo derretido

|Q| = c1m2(0 T2) +m2Lf + c1m2(Tf 0)

onde o primeiro termo corresponde ao calor necessrio para levar

todo o gelo a temperatura de fuso 0oC, o segundo para derretertodo o gelo, e o terceiro para elevar a temperatura do gelo derretido

para Tf , temperatura nal do sistema. Podemos igualar as duasquantidades de calor, j que se trata de um sistema isolado:

c1m1(T1 Tf ) = c1m2(0 T2) +m2Lf + c1m2(Tf 0)

o que nos d Tf = 2, 5oC.

Questo 15

Um termmetro graduado na escala Fahrenheit sofre uma vari-

ao de temperatura de 45oF . Qual a correspondente variaode temperatura para um termmetro graduado na escala Cel-

sius?

Soluo

A relao entre as escalas dada pela equao

C

5=F 32

9

Assim, a relao entre as variaes dada pela equao:

C

5=

F

9

Ento

C

5=

45

9C = 25

Questo 16


Dois termmetros de gs a volume constante so usados em

conjunto como mostrado na gura abaixo. Um deles usa nitro-

gnio e o outro, hidrognio. A presso em ambos os bulbos

P3 = 80mmHg. Qual a diferena de presso nos dois term-metros, se colocarmos ambos em gua fervendo? Em qual dos

termmetros a presso ser mais alta?

Soluo

Tomamos P3 como sendo 80mmHg para ambos os termmetros. Deacordo com a gura, o termmetro de N2 fornece 373, 35K para oponto de ebulio da gua. Usa-se a equao PN = (

T273,16

)P3 =

( 373,35273,16

)80 = 109, 343mmHg. A presso no termmetro de ni-trognio maior que a presso no termmetro de hidrognio por

0, 0056mmHg.

Questo 17

Como resultado de um aumento de temperatura de 32oC, umabarra com uma rachadura no centro dobra para cima, como na

gura a seguir. Se a distncia xa L0 3, 77m e o coecientede dilatao linear da barra 25 106/oC, determine a alturax do centro da barra.

Soluo

Considere metade da barra. Seu comprimento inicial original

l0 = L0/2 e seu comprimento aps o aumento de temperatura l = l0 +l0T . Na segunda gura observa-se a formao de um tri-ngulo retngulo de catetos lo e x e de hipotenusa l. Pelo Teoremade Pitgoras temos:

x2 = l2 l20 = l20(1 + T )2 l20Expandindo o binmio, temos:

(1 + T )2 = 1 + 2T + (T )2

Como o ltimo membro desprezvel para o resultado, obtemos en-

to que:

x2 = l20(2T ) x = l0

(2T )

Substituindo os valores do enunciado chegamos a x = 7, 5 102m.

Questo 18

Um tacho de cobre de 150g contm 220g de gua, e ambos es-to a 20, 0oC. Um cilindo de cobre de 300g, muito quente, jogado na gua, fazendo a gua ferver e transformando 5, 0g dagua em vapor. A temperatura nal do sistema de 100oC.Despreze a transferncia de energia para o ambiente. (a) Qual

a energia (em calorias) transferida para a gua em forma de

calor? (b) Qual a energia transferida para o tacho? (c ) Qual

a temperatura inicial do cilindro?

Soluo

a) O calor transferido para a gua j com as unidades de medida

devidamente ajustadas:

Qagua = cagua.magua.T + Lvapor.msolido

= (1cal/oC)(220g)(100oC 20oC) + (539cal/g)(5, 00g) = 20, 3kcal

b) O calor transferido para o tacho :

Qtacho = ctacho.mtacho.T

= (0, 0923cal/goC)(150g)(100oC 20oC) = 1, 11kcal

c) Tome a temperatura inicial do cilindro como Ti. Sendo assim,Qagua + Qtacho = ccilindro.mcilindro(Ti Tf ), o que nos d o se-guinte

Ti =Qagua +Qtachoccilindro.mcilindro

+ Tf

=20, 3kcal + 1, 11kcal

(0, 0923cal/goC)(300g)+ 100oC = 873oC

Questo 19

Calcule a energia mnima necessria para dobrar a tempera-

tura de uma amostra de cobre em funo da temperatura ini-

cial, dado que a amostra pesa 127, 08g? (massa molar do cobre63, 54g/mol e seu calor especco molar 24, 5J/kmol.)

Soluo

Q = c.n(Tf Ti), c = 24, 5 103 e n = 127, 0863, 54

= 2

Q = 24, 5 103.2(2Ti Ti) = 49 103TiJ

Questo 20

Uma amostra de cobre foi aquecida de 100K a 900K, sabemosque foram necessrios 196kJ para aquec-la. Quantos mols tema amostra?(calor especco molar 24, 5J/kmol.)

Soluo

Q = c.n(Tf Ti), Q = 196 103, c = 24, 5 103 e T = 800

n =196 103

24, 5 103.800

n = 1 104


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