Livro Calculo 1 - swokowski 7º parte.pdf

7/29/2019 Livro Calculo 1 - swokowski 7º parte.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/livro-calculo-1-swokowski-7o-partepdf 1/44

Capitulo 6. . .APLICA<;OES

DA INTEGRAL DEFINIDA

MAK.il.ON

Books

Neste capitulo abordaremos algumas aplica-

<;oes da integral definida. Come<;aremos re-

considerando a aplica<;ao que m~tivou a

dcf ini<;ao d est e conceito matematico' - a

determina<;ao da area de uma regiao do plano

x y. Em seguida, usaremos integrais definidas

para calcular volumes, comprimcntos de gra-

ficos, ~.J!e s6lidos,.!!.abalho

realizado por uma forca variavel, momentos

e centro de massa (ponto de equilibrio) de

uma chapa plan a. A razao da aplicabilidade

da integral definida e que cada uma dessas

quantidades e exprcssavel como urn limite de

somas. AJem disso, diante do grande numero

de outras quantidades que podem expressar-

se desta maneira, nao ha urn f im para os tipos

de aplica<;ao. Na ultima se<;ao ilustraremos a

vcrsatilidade da integral definida, consideran-

do uma diversidade de aplica<;6es que in-

cluem: deterrnina<;iio da for<;a exercida pelo

petr6leo sobre a parede de urn tanque, avalia-

<;aod o desempenho cardiaco e fluxo sangiii-

neo nas arterias, estima<;a o d o patrimonio

f uturo de uma empresa, calculo da espessurada camada de ozonio, determina<;ao da quan-

tidade de gas radon em uma casa e determi-

na<;ao do con sum o d e calorias em u rn

exercicio em bicicleta.

A medida que avan<;a neste capitulo, e

. sempre que a leitor enrontrar integrais def i-

',- nidas em cursos aplicados, deve ter em mente

as nove palavras: limit e. de sl2!!! !! s,~

Sf )l~, limite de somas.-----..



y = g(x) , :~.' :'

" b Y" \ . . •. . . '

G""

IL

c : /

\ , ." .

"',-'l ' \ \ .~,' \

'y~,'. . .• .

Se um,a~u '< li I e co~tinua e I ( x ) " 0 em [a, b] , entao, peloTeorem 5.19 a area da i'egi aosobo grafico de I de a a b e

, b

dada pela integral definida 1 . I (x) d x. Nesta seC;ao,,considerare-

mos a regiiio que esta entr e os graf icos de duas func;6es ,,

Se I e g SaD continl!as e I( x)" g( x) " 0 para todox em [a , b ],

entao a area A da regiiio R , lim itada pelos graficos de I, g , x =a ex =b (veja a Figura 6.1), pode ser calculada sublrain-do-se a area da regiao sob 0grafico de g (fronteira inferior de R )

da a rea da regiiio sob 0graf ico deI (f ronteira superior de R), comosegue: ' ,

, b b , b

A =J I (x) dr --J g( x) dx =J [I( x) -- g(x)] dxtI _ a a

•Esta f6rmula para A_,tambem e valida. se J ou g e negativa paraalgum x em [a,~] . Para verifiCar, w:o lhamoS-1l! IL!!~

!!eg ptivo d jnferior a!Lv~o .!:__!!~Ll)iJl1Q,J!qu;,i;JL[q,!1.con formei1u strado na Figura 6.2(i). Em seguida, considereinos as func;6es 'IIe gl' definidas com o segue:

II(x) = I ( x) -d = I ( x) + Id l

gl ( x)=

g( x) - d = g( x) + I d I

Os graficos de I, e gl' podem ser obiidos deslocando-se ver -

ticalmente os griif icos de I e g de uma distf mcial d I , Se A e aarea da regiiio na Figura 6.2 (ii), entiio

A = {(J,( X ) -:-gl(x)] dr

b

= J {(J( x) -- dJ - [g(x) -- dJ} dr.

, b " ' .

= J tI(~); g( x)]dx. , ,

A f6rmula de A no Teorema (6.1) pode ser interprelada

como um l i mite d e somas. Fazendo h ( x) = I (x) -- g ( x) e se IV

esta em [a, b), entao h ( w ) ~ a distilnci a vertical entre os 'graf icos

de leg par a x = w (veja a Figura 6.3). Tal como em nosso

estudo das somas de'Rieman n n o Capitulo 5, sejaP um a parti<;iio

de [a, b) determinada pora =x O ' XI' ••., x n

=b . Para cada k , se ja

&k =x k -Xk _l; e seja W k urn numero arbilrario no f('0 subinter-

valo [ X k _ " xk ] de P. Pela def ini<;ao de h,

que e a area A do relilngulo de comprimento I(w k ) -- g(w k

) elargura &k exibido na Figura 6.4.

/ I V . \X.I:_1 Xl

2 : h( w k ) tl x k =2 : [I( wk ) - g(w k )] &k

k k



e a soma das areas dos retangulos na Figura 6.4 e e , assim, uma

aproxima<;ao da area da regiao entre os graficos de f e g de a a

b. Pela defini<;ao de integral definida,

b

lim 2 : (h wk ) ! :> x k =f h (x) dx IIPII-o k a

Como h(x) =f(x) - g( x ), obtemos 0 seguinte corolario do

. Teorema (6.1).

Podemos utilizar 0seguinte metoda intuitivo para lembrar

esta f6rmula de limite de somas (veja a Figura 6.5).

2. Use f (x ) - g ( x) para 0 comprimento f(wt ) - g(w

t ) do

retangulo.

b

3 . E nc ar e 0simbolo i como urn operador que lorna urn limitea

de somas das areas retangulares [f(x) - g(x)] dx.

Esle metodo nos permite interpretar a formula da area no

Teorema (6.1) como-segue:

b

. . .A = f a [ f( x) - g ( x )] dx~

limite ~mprimento de Largura de

de somas urn retangulo urn retangulo

Ao usar esta tecnica, visualizamos a soma<;ao de areas de

retangulos verticais, percorrendo a regiao da esquerda para a

direita. Mais adiante nesta se<;ao consideraremos tipos dif erentes

de regioes, ao determinarmos areas utilizando retangulos IIO~i-

zontais e integrando em rela<;ao a y.

Designemos por regiao R z uma regiao (para integra<;ao em

rela<;ao a x) que esteja entre os graficos de duas equa<;oes

y = f(x) e y =g(x), com f e g continuas e f(x):2: g(x) para todo

x em [a, b], onde a e b sao, respectivamente, a menor e a maior

coordenada-x dos pontos (x , y) na regiao. As regioes exibidas

nas Figuras 6.i a 6.5 sao regioes R z• Varias outras regioes estao

esbo<;adas na Figura 6.6. Note que os graficos de y = f(x) e

y =g( x ) podem interceptar-se uma ou mais vezes; entre Ianto,

f (x) :2: g( x) em lodo 0 intervalo.

Diretrizes para aehar a area de uma regifio R x (6.3)

~: y = g ( x ) :

> « J Y =.f( .: ) · .. 1

" '. : . ' 1' "' \ .:. '}.,.. ,':,

: "'.' < \

: Y

=g (x) ;

y= f(x)

~

\> .. 1 , ; : . , . ' t ' , ' . ' · 1

j." -'.

: y = g (x) :

As seguintes di retrizes podem auxiliar a resolur;f lo de

problemas.

Achar a area da regiao delimitada pelos graficos das cqllilr; ·r .

y=K- ey = v x .

Seguindo as diretfizes 1-3, esbo<;amos 0 grMico, rollllando II

re'gia<i; e ' exibirn<i~ urn retangulo vertical l ipico (vc ja a I'Il \ nlll

6.7). Os ponlos (0,0) e (1,1) em que os graficos se inlcr Cplllll'



podem ser achad os resolvendo-se simultaneamente as equa~oes:(;

y =re y =y' \ ,_Referindo-se a figura, oblemos: : .,. /

fronleira superior: y =Vifronleira inf erior: y =r

largura do relangulo: dx

comprimenlo do retangulo: Y X - rarea do relilngulo: ( Y X - r)dx

•Recorremos em seguida a direlr iz 4 com

1

I~mbrando que a aplica~ao de f.. 0

significa lomar 0Ilmile de somas de areas de r elangulos verticais,"

.Islo nos da

Achar a area da reglao delimilada pelos

y + r= 6 e y + a-3 = O.

A Figura 6.8 representa a regiao e urn relangulo lfpico. as pontos

de interse~ao (-1,5) e (3, -3) dos dois graficos p odem ser

obtidos resolvendo-se simultaneamen te as d uas equa~oes dad as. i;Para aplicar a direlriz 1, designamos por y = f( x) e y = g( x) as'

f ronteiras superior e inf erior, respectivamente. Resolvemos entao :

cada equa~ao em rela~ao a y em termos de x , conforme Figura'.

6.8. Isto nos da: .

fronteira superior: y = 6 - rfronteira inferior: y = 3 - 2~

largura do retangulo: d x

comprim~n to do relangulo: (6 - r)-(3 - 2~)

area do retangu lo : [ (6 -r)-(3 - a )] d~

. Aplicamos em seguida a diretriz 4 com a =-1e b =3,

admitindo f :. como urn operador que toma urn limite de somas

de areas de retangulos. Assim

3

A =f [(6 -r)-(3 - a)]d x -1

3 .

= f (3 -·r + a)dx -I

o exemplo a seguir mostra q ue a s vezes e necessano

subdividir uma regiao em varias sub-regioes R e utilizar entao

mais de uma integral definida para achar a are;.

Achar a are a da reg \ ao R delimitada pelos grRficos de

y - x = 6, Y - .~ = 0 e 2 y + x =O.

A Figura 6.9 exibe os graficos e a regiao. Cada equa~ao foi

resolvida em rela~ao a y em termos de x , e as fronteiras foram

rotuladas de acordo COJ)1 a dir~triz 1. Sao observados retangulos

verticais tipicos estendendo-se da f rontei ra i nferior a fronteira

superior de R. Como a:fronteira inf erior consiste em por~oes de

dois graficos diferentes, nao se pode obter a area ulilizando

apenas uma integral definida. Todavia, d iv idindo R em duas

sub-regioes R" R1

e R2 , conf orme Figura 6.10, e possf vel deter-

minar a area de cada uma e s o ma -Ias. Disponhamos nosso

trabalho como segue.

R E GI AOR \

fronteira superior: y = x + 6

f rooteira inf erior: y = -~ x

largura do

retangulo: d x

comprimento do

relangulo: ( x + 6) - (- ~ x )

area do retangulo: [(x + 6) - (- ~x )] dx

REGIAO R1

y=x+6

y =x3

(x + 6) _ x3

[(x + 6) - x3] d,



o

A = I [(x + 6) - ( -~x)] dx'-4 -

2

A2 =f [ (X + 6) -xl]d xo

Agora que ja calculamo s muitas integrais semelhantes a s

do Exemplo 3, poderemos algumas vezes apenas es / abe / ece r a

integral, isto e, expressa-Ia na f orma adequada sem determinar

seu valor numerico.

Ao considerarmosuma equa~ao da f orma x = f(y),continua

para c s y s d, estamos na realidade inve r/ end o as pa peis de x e

y , admitindo y como a varitive / ind epe nd en/ e e x como a varitivel

depend enle. A Figura 6,11 exibe urn graf ico tipico de x = f (y) .

Note que , s e se atribui urn valor way, entao few) e uma

coo r denada- x do ponto correspondente do grafico.

Vma regiao R y e uma regiao que esta compreendid a entre

os graf icos de duas equa~oe s d a forma x = f(y) ex =g( y) , com

f e g continuas, e f( y) '" g(y) para todo y em [c, d], on de c ed sao, respectivam en te, a menor e a maior coordenada-y dos

ponto s d a regiao. A Figura 6.12 ilustra uma tal regiao. 0 grMico

de f e a f ronteira direita da regiao, e 0graf ico de g e a f ronteira

esquerda. Para qualquer yo numero J (y ) - g(y) e a distancia

horizontal entre essas fronteiras, conf orme Figura 6.12.

x = J( y) Podemos uti lizar !imites de somas para achar a area A de

uma regiao R y' Come~amo s por escolher pontos do ei xo- y com

x coordenadas-y c = Y o' y I:'" Yn = d , obtendo uma parti~ao do

intervalo - [c , d] em subintervalos de amplitude fJ. Y k =Y k - Y k - ,'

Para cada k escolhemos urn numero wk em [ Y k- " Y t ] e conside-

Diretrizes para achar a area _de uma reg/aD R y 6.4)

·' ~_~;i·-"i~-s;::':;:..;L _: ;": ;_j .2 :1. ,. ., ." .~ '~ , : " (

-)I'·

ramos retangulos horizontais de areas [ f (wt ) - g(wt )] !:J. y•• con-

forme i1ustrado n a Figura 6.13. Isto conduz a

d

A=lim 2 : [ J (wt )-g(wk )] f J.Yk= I [f(y )-g( y)]dy1 1 / ' 1 1-0 k C

y, .._....._..._.. _.....

w, y , . , - - - - - - - - - _ . ._ -/

( g( w . ), I V, )

LlY.

_ . . 1

\ f( f(w.) , WI)

y,

c = Y o

Utilizando nota~ao ana)oga a das regioesRx' representamos

a largura fJ. Y k de urn retangulo horizontal por d y e 0comprimento

J(wk ) - g(wk

) do relangulo por J (y ) - g(y) nas diretrizes seguintes.

.:t,_'APB~r o,opera~orlimiie de sOlll3s I . - a expressao na

·;;' \'dir~t~)e:c·~).~u'lar'a:integral;.- --~.:-,

Na diret'riz 4 visualizamos a soma~ao de areas de relangu los

horizonta ls movendo-se do ponto mais baixo da regiao para 0

ponto mais alto."



" j

II I( ~,O)

x = 2 / -4

(4,2)

x= /

Achar a area di!'regiaodeiimitada pelos griif icos das equac;oes'2 y2 = x + 4 e y2 = x. .,

A regiao esta ilustrada nas Figuras 6.14 e 6.15. A Figura 6.14'

i1ustra 0 uso de retangulos verticais (integrac;ao em relac;ao a x),e a Figura 6.15 ilustra 0usa de retangulos horizontais (integrac;ao'

em relac;ao a y). Com relac;ao it Figura 6.14, vemos que sao'.

. necessarias varias integrac;oes em relac;ao ax para calcular a a rea.'.

Todavia, pel a Figura 6.15, necessitamos de apenas uma integra-'

c;ao em relac;ao a y . Aplicamos assim as diretrizes (6. 4) e

resolvemos cada equac;ao em relac; ao a x em termos de y.

Ref erindo-nos 11Figura 6.15, obtemos:

fronteira direita: x = y 2

fronteira esquerda: x =21- 4

largura do retangulo: dy

comprimento do retangulo: l-(2 y2 - 4)

area do retangulo: [l-(21-4)] d y

Poderiamos agora usar a diretriz 4 com c = -2 e d = 2, obtendo2 .

A pela aplicac;ao d o operador J .2

a[l-(2y2 - 4)] dy. O\ltr~-:

metodo consiste em utilizar a simetria da regiao em relac;ao ao

eixo-x e achar A duplicando a area da parte situada acima do .

ei xo-x :

A=! [y2-(2r-4)]d y-2

2

=2 f (4- r )dyo

Em toda esta sec;ao admitim os que os griificos das f unc;oes

(ou equac;6es) nao se intercep ta m no intervalo considerado. Se

os griificos de f e g se cortam em u rn ponto P ( c, d), com:

a < c < b, e se desejamos achar a area-delimitada pelos graficos

de x =a a x =b , entao os metodos estabelecidos nesta se<;ao

ainda podem ser utilizados, mas serao necessarias duas integra- ..

<;oes - uma correspondente ao intervalo [ a, c] e a outra aD . ~ i

t:~

500Esfor~o (percenlual)

Figura 6.17 Diagrama tensao-esfor~

para material elastico.

intervalo [ c, b ] . A Figura 6.16 ilustra este. f ato, com

f ( x) ;"g( x) em [a, c] eg( x) ; "f ( x) .em [c,b]. A'area A e dada

por

c b·

A =A 1 + A 2 = I [f( x) - g( x)] d x +I [g( x) - f (x ) d xa c

Se os graf icos se cruzam mais d e lima vez, podem ser necessarias

varias integra<;oes. Problemas em que os griificos se interceptamaparecem nos Exerdcios 31-36.

Em pesquisas cientif icas, uma quantidade f isica costuma

ser interpretada como uma area. Urn exemplo disto ocorre na

t eori a da elast icid ad e. Para testar a resistencia de urn material,

o pesquisador registra os valares da tensao que correspondem a

diferentes cargas (esfor<;os). 0 esboc;o da Figura 6.1 7 e u r n

diagrama tipico tensao-carga para uma amostra de urn material

elastico como borracha vulcanizada. (Note que os val ores da

tensao estao na direc;ao vertical.) Atentando para a figura, vemos

que, it medida que a carga aplicada ao material aumenta, a tensao

(indicada pela s s et as na parte pontilhada ) a um en ta a te que a

distensao do material atinja seis vezes 0 seu tamanho. A medida

que a carga decresce, 0 material elastico volta ao seu compri-

men to original, mas nao percorre novamente 0 griifico 'original,

obtendo -s e, em seu lugar, 0 grMico de Iinha continua. Este

f enomeno e chamado hist er ese elastica. (Fenomen o a na logo

ocorre no estudo de materiais magneticos, o nd e e chamado

hist er ese maglU !tica.) As duas curvas da figura constituem urn

la~o d e hist er ese para 0 material. A area da regiao delimitada

por este la<;oe numericamente igual i t energi a d issipada dentro

do material el:istico (ou magnetico) durante 0 teste. No caso da

borracha vulcanizada, quanta maio r e a area, melhor e 0 material

para absorver vibra<;oes.



Exercs. 1-4: Estabele~a uma integral que possa

ser usada para determinar a area da regiao sombreada,

, (1, 1)

/ x = /

Exercs. 5-22: Esboce a regiao delimitada pelos gnificos das equa~es e calcule sua area,

5 y _ x2; Y _ 4x 13 l = 4 + x; l+ x = 2

Y +x2 _ 3 14?

x-y=26 x+ y - 3; x= y";

7 y=}+ I; y-5IS x=4y-l; x=O

y _ 4 _x2; 162J3 2

8 Y= -4x- y ; x=y

y = _x2

;17

3 y=O

9 Y= 1 /i; x= 1; x = 2,y=x - x;

10 Y = x3

; Y = x2 ',18 y= J-x z-6x; y=O

11 l =-x; x - y = 4; Y =,::-1; y=2 19 x=l + 2l- ,3y; x-O

, 12' 2'Y - x = 2; y= -2; y=3 20 x=9Y -l; x=O x=y;

,;,;

\

", ,Exercs. 23-24: Ache a area da regiao, entre os

graficos das duas equa~6es de x = 0 a x = n.

:(~ vy - sen4x; y = I+ cos ~x

", 24 y = 4,-I:_cos2x; y = 3 sc'! 1 x.; ,. -

Exercs. 25-26: Estabele~a somas de integrais que

sirvam para acha r a a rea da regiao sombreada,

integrando em rela~o a: (a) x e (b) y.

, Exercs. 27-30: Estabele~a somas de integrais para

achar a area da regiao delimitada pelos graficos das

equa~6es, integrando em rela~aoa: (a) x e (b) y.

y=x-l

x= ~l +3

, "2 ',' , :,'

x=2y , -4!

-----------------------·---'------r-'·'

il

k

Exercs. 31-3 6: Ache a are a d a r eglao entre os

graf icos de f e g para x restrito ao intervale dado,

31 f ( x) = 6 - 3i; ,g(x) = 3 x; [0,2]

32 f ( x)= x2-4; g(x) =x + 2; [1,4}

33 f (x) = x3

- 4 x + 2; g(x) = 2; [-1,3]

34 f( x) = x2

; g( x) = x3; [-1,2}

35 f( x) = sen x; g( x) = cosx; [0 ,2n }

36 f (x) = sen x; g( x) =~; [0 , n/2]

Exercs. 37-38: Se ja R a regiao delimita da p elo

graf ico de f e 0 eixo-x de x = a a x = b , Estabele~a

uma soma de integrais, que nao contenha 0 sfmbolo

de valor absoluto, para calcular a area de R,

37 f (x) = Ii-6x + 5 1 ; a =0, b = 7

@f( x)= I -x z+2x+31; a=-3, b=4

39 A f igura exibe urn diagrama especffico carga-)en-

sao (ve ja 0 Ultimopa ragrafo desta se~ao).

Carga

(esf or~o)

Estime as coordenadas-y e a proxime a arca dll

regiao delimitada pelo la~o de histerese, usa",1o,

com n =6,

(a) a regra do trapezio

(b) 'a regra de Simpson

41l Suponha que os valores f uncion~i's de f c II th.

. , tabela abaixo ten,hamsido obtidos empiric!11I1'II'

, te., Admitindo f e g contfnuas, obtcnhll 1111111

, , '" 'aproxima~ao da area entre seus grl1ricos d

, , '; x ' = 1 a' i = 5, usando, coin / I - 8,,:,';;. t ~ .!~ :. \ .1



(II) II r ern do trapezio

(11) II ,. 'Wn 'de Simpson

© 41 Fac;a0grafico'de f(x) = 12 - 0,7; - 0,8x +1,3',em [-1,5; 1,5). Estabele~a uma somade integrais;:

que nao contenba 0sfmbolo de valor absoluto,-e

que permita apr\ lximar aarea da regiao deJjm jta~'

da pelogrMicdde f , pelo eixo-x e pelasrehi~. x=-1,5 ex= 1,5. ::"

© 42 Grafe, nos mesmos eixos,f(x) =, sen x ' e.

3 . '"g(x)=x -x+O,Z para -Zsxs2. Estabele",

uma soma de integrais que permita obter u m a 'aproxima~ao da area da regiao delimitada pelosgrMicos: " ' .> "

1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

2,5 3 4 3,5 2,5 2 2 3

_ .2 2 1,5 1 0,5 1 1,5 1

(. S6UDOS DE REVOLUQAo

o volume de urn objeto desempenha papel importante ern muitos

problemas nas ciencias f fsicas,tais cpino determina<;ao de

centros de. massa e de momentos de inercia.' (Estes conceitos ,~,

serao estudados mais adiante.) Como e dif f cil determinar 0

volume de urn s6lido de forma irregular, come<;aremos corn

objetos que apresentam formas simples. Incluidos nesta categoria

estao os s6lidos de revolu<;ao, estudados aqui e na pr6xima se<;ao.

Se uma regiao revolve ern tomo de uma reta no plano, 0

s61ido result ante e urn solido de revolu<;ao; dizemos que 0s6lido

e gerado pela regiao. Areta e urn eixo de revolu<;iio. Ern

particular, se a r egiao R exibida na Figura 6.18(i) revolve ern

tomo do ei xo-x, obtemos 0 s6lido ilustrado ern (ii) da figura.

Como caso especial, se f e uma fun<;ao constante, digamos

f (x ) = k, entao a regiao c retangular e 0 s6lido gerado e urn

cilindro circular reto. Se 0 grafico de f e urn semicirculo corn

extremidades de urn diametro nos pontos (a, 0) e (b, 0), entao 0

. s61ido de revolu<;ao e uma esfera. Se a regiao e urn triangulo

retangulo corn base no eixo-x e dois, vertices nos pontos

(a, 0) e (b , 0), corn 0angulo reto em urn desses pontos, 0s6lido

gerado e urn cone circular reto.

Se urn plano perpendicular ao eixo-x intercepta 0s61ido da

Figura 6.18(ii), obtem-se uma se<;ao transversa circular. Se,

conforme indicado na f igura, 0plano passa pelo ponto do eixo-x

corn coordenada w, entao 0raio de circulo e few), e dai a sua

area e n[f(w)f Chegaremos a uma defini<;ao do volume de urn

tal s6lido de revolu<;ao utilizando somas de Riemann.

Particionemos 0 intervalo [a, b], como fizemos para areas

na se<;ao precedente, e consider emos o s retangulos na Figura

6.19(i). 0s6lido de revolu<;ao gerado por esses retangulos tern

,500 x

Esfo~~ (percentual)

a forma indicada em (ii) da figura. Come<;ando com a Figura

6.23, removeremos partes dos s6lidos de revolu<;ao para auxiliar

na visualiza<;ao de por<;6es geradas por retangulos tipicos. Com

respeito a essas f iguras, e bom lembrar q ue 0 solido se obtem

por uma n:volu<;ao comp/ eta em tomo de urn eixo, fl nao por

uma revolu<;ao parcial.

Note que 0 k '! 'O retangulo gera urn disco circ\ jl ar ( ur ncilindro circular) com raio da base f (w» e altura (e&pessura)

!uk = xk - xk _ r 0volume desse disco e a area da base vezes a

altura - isto e, n[f(wk>y !uk. 0volume do s6lido exibido na

Figura 6.l9(ii) e a soma dos volumes de todos esses'dlscos.

Esta soma pode ser vista como uma soma de Riemann para

• it[f (x > y . Se a norma I I P I I da parti<;ao esta proxima de zero,

entao a soma deve estar proxima do volume do s6lido. Assirn,

e natural defininnos 0volume do s6lido de revolu<;ao como urn

limite de tais somas.

- . .; ;-'-6x,t

y = [(x):

".:,

'~ej{f ebritinuael]l [a , b), e seja R a regiao delirnitada pelo

grafit"o d~" jpe lo e iXo~x epelas ,retas verticais x =0e x = b.

.0y~iu;n~)'-d~s6Ii((qde revolu<;iiogerado pela revolu<;ao de Reintomh' doei xo' :i x~

,.J: _ I , · ; , ; , ; ; . : .~ ~ , ; ·. : ; r , : ~ : ·· :~. : b

,,':Y~ 'Ii~ \ 2:':~Jj(wk)j2&k= f n[f(x)? dx""'!", , I I p ll. . . ; . ° , k ' :- ' " . a .

o fato de que 0 limite de somas nesta defini~ao e igual ab

f a n[f( xlf dx decorre da defini<;ao de integral definida. De modo

gera!, nao especif icaremos as unidades de medida de volume.



Se a medida linear e polegada, 0volume sera dado em polegadas

cubicas. Se x e medido em centfmetros, entao V sera expresso

em centfmetros cubicos (cm3) etc.

A exigencia f(x);o 0 foi omitida intencionahnente na

DefinilSao (6.5). Se f e negativo para alguns valores de x, como

na Figura 6.20(i), e se a regiao delimitada pelos grMicos de

f. x = a ex = b , e a eixo-x revolve em tomo desse eixo, obtemosa s6lido exibido em (ii) da figura. Este s6lido e a mesmo que a

s6lido gerado pel a revoJulSao. em tom a do eixo-x, da regiao sob

a grMico de y = f(x) de a a b. Como If(xW = [f( x)f. a limite

da DefinilSiio (6.5) nos da a volume.

Invertamos agora os papeis de x eye falSamos a regiao

Ry da Figura 6.21(i) girar em tomo do eixo-y, gerando a s6Jido

ilustrado em (ii) da figura. Particionando a intervalo-y [ c , d] e,

usando relangulos horizontpis de largura t>.y-k e comprimento'

g(w k ), a mesmo tipo de raciocfnio que ariginOli' (6.5) conduz-nos

a seguin Ie definilSao.

Como podemos fazer uma regiao girar e m tomo do ei xo- x.

do eixo-y au de qualquer outra reta, nlio If acollsellllivel memo-

ri zar simplesmente as formulas de (6.5) e (6.6). E pref erfvel

memarizar a seguinte regra geral para achar a volume de urn

disco circular (veja a Figura 6.22).

Volume V de um

disco circular (6.7)

Dlretrlzes para achar 0

volume de um solido de

revolUt;ao utillzando discos

(6.8).

Ao lidarmos com problemas. aplicaremos a metoda intui-

tivo desenvolvido na SelSao 6.1, substituindo t>.x k

au tiYk par dx

au dy etc. Sao uteis as seguintes diretrizes.

EsbOlSMa,regiao·R . a ' s e r .revolvi_d.~Le rotular as

f ronleir< \ s:~-Exibir: urn. reia~gUlo ~tfpia;' vertical de

largura',~;ou umretangulo hori2;ol)tal.4e larg~ra dy ,

~b~'o's6Iido'gerado par R · ~ o .discJigerado pdo

• rei~,~~I~~:~~:d.ir~triz 1. .,-, · .L:? _ ;;; /<~::-~~'.;i.· '.3 ,;Expr~lIr 9 ..~~!9d.Pd..iscOem terI¥0sde x() ,u,Y ~onforme

J ~ j l ; ~ ~ t ~ f l ~ ~ ~ l fA regiao delimitada pelo eixo-x, pelo grafico da equalSiio

y =X ? + 1 e pelas retas x = -1 e x =1 gira em tomo do eixo-x.

Determine a volume do s6lido resultante.

Conforme a diretriz 1, esbolSam os a r eglao e exibimos urn

retangulo vertical de largura d x (veja a Figura 6.23(i». De acorclo

com a c1iretriz 2, e sbolSamos a s6lido gerado par Reo dis 0

gerado pelo retangulo (ve ja a Figura 6.23(ii). De acordo com as

diretrizes 3 e 4, observamos a seguinte:

espessura do disco: dx

raio do disco: x2 + 1

volume do disco: n(r + 1)2 dx



till Poderfamos em seguida aplicar a diretriz 5 com a = -1 e b = b = 1,.··.. I .

para obter 0volume Yconsiderando IIurn operador que loma uIii

limite de somas de volumes de discos. Outro metodo consiste em

usar a simetria da regiao em rela<;1ioao eixo-y e achar VaplicandoI .

I o

a n( x2 + If dx e duplicando 0resultado. Assim,

1

V = I n( x2 + Ifd x-I

I

= 2f n(x 4 + 2x 2 + 1) d xo

A regiiio delimitada pelo e i x o- x e pelos graficos dey = x3, y = 1e y = 8 gira em tome do e ixo - y. Determine 0 volume

do solido resultante.

A Figura 6.24 e urn esbo<;o da regiiio e do solido, apresentando

tambem urn disco gerado par urn retangu lo horizontal tipico.

Como desejamos integrar em rela<;ao a y, resolvemos a equa<;iio

y =x3 em rela<;iio a x em termos de y, obtendo x =yl fl . Note os

seguintes f atos (veja as diretrizes 3 e 4):

espessura do disco: dy

raio do disco: illvolume do disco: n(ylJJf d y

FiniiImente, aplicamos a diretriz 5 com c = 1e d = 8, considerando

f ~ urn operadar que toma urn limite de somas de discos:

8 8 [ 5 ~ ] 8V = IIn(Y l /3f dy = nIl ;:1 dy = 1t T I

... Consideremos em seguida uma regiiio R do tipo ilustrado·

na Figura 6.25(i}. Se esla regiiio gira em lomo do eixo-x, obtemos

o s61ido i1ustrado em (ii) da figura. Nole que, se g(x) > 0 para

lodo x em· [0 ; b), ha uma abertura alraves do solido.

o volume V do solido pode ser oblido sublraindo-se 0

volume do solido gerado pela menor regiao do volume do solido

gerado pela maior regiiio. A Defini<;iio (6.5) nos da

- b . b b

V = I n [f ( x)f d x - I n [ g ( x )J 2 d x = I n { [ f (X )J2 - (g (x m dx. a . • a '. Q

~I ,...;- tU k

II

1

A ultima integral admile uma inlerprela<;1io interessante como urn

limite de somas. Conforme ilustrado na F igura 6:25(iii), um relangulo

vertical que se estende do grafico de g ao grafico de f, pelos pontos

com coordenada-x wk

' gera urn anel sOlido cujo volume e

Somando os volumes de lodo s esles aneis e tomando 0 limite,

obtemo s a integral def inida dese jada. Ao resolver problemasdeste tipo, e convenienle usar a seguinte regra geral:

Urn erro comum na aplica<;ao de (6.9) consiste em tomar

o quactrado da dif eren<;a dos raios em lugar da diferen<;a dos

quadrados. Note que

volume de urn anel '" n[(raio ext) - (raio int)f. (espessura)



Podern-se estabelecer diretrizes semelhantes a (6,8) para

problemas que envolv em aneis. As principais diferen<;as sao que

na diretriz 3 deterrninamos expressiies para 0 raio exterior e 0

raio interior de urn anel tipico. e na direlriz 4 ulilizarnos (6.9)

para achar uma formula para 0volume do anel.

A regiao delimitada pelos gnuicos das equa<;iies, xl =y - 2 e

2y - x - 2 = 0 e pelas retas verticais x = 0 e x = 1, gira em lorno

do eixo-x. Detennine 0volume do solido result ante.

A Figura 6.26(i) e urn esbo<;o da regiao e exibe um retilngulo

vertical t ipico. Como dese jamos integrar em rela<;ao a x , resol-

vemos as duas prirneiras equa<;iies em rela<;ao a y em tennos de

x. obtendo y = xl + 2 e y =~ x + 1. 0 solido e urn anel gerado pelo

retilngulo estao i 1ustrados em ( ii ) da f igura. Aplicando (6.9).

obtemos 0 seguinte:

.espessura do anel: d x

raio exterior: x2 + 2

raio interior: ~ x + 1

volume: n[( xl + 2)2 - (~ x + 1) 2] dx

Usamos urn limite d e s omas de vol um es de aneis' apli-1

cando I o:

1

V =J .n[( xl + 2)2 - (! x + 1) 2] dx o 2

1

= nJ ( x4 + II xl - x + 3) dx o 4

[

;IS is ( i ' ) ;\ .2 .] 1 7 9n .=n -+- - --+3x = - = 124

5 4 3 2 0 20 '

Calcular 0 vol um e do solido gera do p ela rota<;ao da regiao

descrita no Exemplo 3em torno da reta y = 3.

A regiao e urn retilngulo vertical tipico estao reesbo<;ados na

Figura 6.27(i). juntamente com 0eixo d e revolu<;3O y =3. 0

solido e urn anel gerado pelo retilngulo estao ilustrados em (ii)

da figura. Notamos 0 seguinte:

3-( ! x +l)=2 - !~ 2 2

3 - ( xl + 2) = 1 - xl

n[(2 - ~ X )2 - (1 - xl)2] dx

y

raio interior:

volume:

1

Aplicando 0operad or limite de somas I o

,obternos 0volume:

I'

V = J n((2 - ! x)2 - (1 - xl)2] d x o 2

[9 ( i ' ) x S ] ' SIn

=It 3 x- xl+" 4 3" -5 0=2"0=8,01

A regiao do primei ro q uadrante delimitada pelos gnlf icos lie

y =~i' e y =2x gira em tom o d o eixo-y. Determine 0 VOhlIlH':

do solido resultante.



S O L u C ; A o

A Figura 6.28(i) exibe a regiao e urn retangulo horizontal tipi~~;

Desejamos integrar em, relal;ao aye assim resolvemos ~s'

equal;oos em relalSiio a x em termos de y, obtendo '

x=~y e X= 2yll3

10 y = 1/x, y = 1,

11 x = 4y -l, ~..-o;

12 y =X, Y =3,

(3,4)

x=.f25-y'

A Figura 6.28(ii) ilustra 0volume gerado pela regiao e 0 anel,

gerado pelo retangulo. Temos:

espessura do ane!: dy

raio exterior: 2 yl/3

raio interior: i y

volume: n [ ( 2 y l l3 ) 2 - q y)2J dy =n (4 y' 1 J 3 - * i) dy

15 y =x; x +y=4, ,;X =O

16 y = (x - 1)2 + 1, y =-(x' - 1)2 + 3;

8

Aplicando 0operador limite de somas 10

19 x=l,

20 x + y = 1,

x-y =2 ;

x-y=-I, x.;, 2;8

V = J n(4y' 1 J 3 _1i) dyo 4

x=O,

y=O;

22 y = 1 + cos 3x,

x=2tc, I

23 y = senx,

x=O,

y = cosx,

x-n/4;I'; "('('S. 1-4: Estabelec;a uma integral que 'possa ser

IIMllllnrnm caleular 0volume do solido obtido rela

Illilli; " cia area s ombreada em tome do eixo indica-illl 24 Y = sec x,

x = Jt/4;

Exercs. 25-26: Esboce a regiao delimitada pelos

graficos das equac;6es e ache 0 volume do solido

gerado pela revoluC;aode R em tome da reta dada.Exercs. 5-24: Esboce a regiao delimitada pelos

graficos das equac;6ese caleule 0volume do solido

gerado pela revoluc;ao de R em torno do eixo

indicado.

.. 1 2 2

.Y="i X +

(2,4)(a) y =4 (b) y=5

(c) x = 2 (d) x~3

26 y=vx, y=O, x=4

(a)x=4 (b)x=6

( c) y= 2 (d) Y = 4

5 Y = lIx, X= 1, x =3 , y =O; eixo-x

6 y=V; x-4, y=O; eixo-x

7 y = x2

- 4x, y=O eixo-x

8 y =x3 , X= -2, y=O; eixo-x



Exercs. 27-28: Estabele~a uma integral que per-

mita achar a volume do solido gerado pela

revolu~iio da area sombreada em tom a da reta

(a) y = -2, (b) y - 5, (cl x = 7 e (d) x = - 4.

f ,(2,4)

y= x '

? t

Exercs. 29-34: Esboce a regiiio R delimitada pelos

graf icos das equa~6es. e estabele~a integrais que

permitam calcular a volume do s61ido gerado pel a

revolu~iio de R em tomo da reta dada.

29y=x3 , Y = 4 X ; y=8

30y=2, y - 4X; x=4

31 x+y=3, y+~=3; x=2

32 y = l_x2 , x - Y = 1; y=3

33 x2+l= 1; x=5

34 y -x?J3, y_ x2; y=-1

Exercs. 35-40: Use uma integral definida para esta-

belecer uma f6rmula do volume do s61ido indicado.

36 Urn anel ciHndrico de altura 1 1 , raio exterior R e

raio interior r

37 Urn cone circular relo de altura 1 1 e raio da

base r.

39 Urn lronco de cone circular de altura ", raio da

base inferior R e raio da base superior r.

40 Urn segmento esf erico de a ltura 1 1 em uma esf era

de raio r.

41 Se a regiiio exibida na f igura gira em tomo do

eixo-x, use a regra do trapezio. com n - 6 para

obter uma aproxima~iio do volume do s6lido

resultante.

42 Se a regiiio exibida na figura gira em tomo do

eixo-x, use a regra de Simpson com n = 8 para

obler uma aproxirna ~o do· volume do s6lido

resultante.

para obter uma aproxima~iio do volum~ do sOlido

resultante.

@Exercs. 43-44: Grafe f e g nos mesmos euos

coordenados, para 0 s x S!t. (a) Estirne as coordena-

das-x dos pontos de intersec~iio dos graf icos. (b) Se

a r egiiio delimitada pelos graficos de f e g gira em

torno do eixo-x, use a regra de Simpson com II=4

l--'J~I I

~r----+:-'ii 1

I .~I_~rI

- - - f1 1

_ _ J

Volume V de um anel cifindrlco (6.10)

Na se"30 precedente calculamos volumes de s61idos de revolu-

"30 usando discos circulares, ou aneis. Para cerlos t ipos de

s6lidos e convenienle utilizar cilindros circulares ocos, iSIO e,

finos aneis cilindricos do tipo ilustrado na Figura 6.29, onde

1"1 e 0 raia ex t e ri o r , 1'2 e 0 · raio i l lt er i o r, /r e a altura e

/).1' = 1' 1- - 1' 2 e a es p ess ura 'do ane!. 0raio medio do ane! e

I ' = ~(1'1 + 1'2) Podemos achar 0 v ol um e d o anel sub train do 0

volume nr; /r do cilindro interior do volume n~h do cilindro

exterior. Fazendo islo e mudando a forma da express30 resul-

tante, obtemos

n~/r - nr; /r =n(~ - I ~ )h

= n(r l + 1'2 )(1' 1- r 2 ) /r

Se fizermos a regiiio R % da Figura 6.30 (i) girar em tomo

do eixo-y, oblemos a s6lido i1ustrado em (ii) desta figura.

Seja Pum a parti"30 de [a , b] e consideremos 0 retiingula

vertical tipico na Figura 6.30(iii) , o nde wk e 0 ponto media de

[X~_l' xk ]· Se fizermos esse retiingulo girar em tomo do eixo-y,

obteremos urn anel ~illndrico de raio medio wk

' altura f(wk ) e

espessura / ).x k ' Logo, de acordo com (6.10), 0volume do ane! e-'.' ~.'.'r .

2Tcwkf(wk)/llk ,,--)' ;



Diretrizes para sehar 0volume de um solido de

revolufBO ussndo sm§is eilindricos (6.12)

Fazendo girar 0 poHgono retangular formado par t od os as;

retangulos determinados por P , obtemos 0 s61ido ilustrado ~.~ :

Figura 6.30(iv). 0volume deste s6lido e uma soma de Riemann;

Quan to menor for a norma I I P I I da partic;ao, mais a soma

aproximani 0volume V do solido exibido na Figura 6.30 (ii).i,

)sto e 0 que motiva a definic;ao seguinte. '

Pode-se provar que, se as mctodos da Sec;ao 6.2 tambem

forem aplicaveis, enlao ambos as rnetodos conduzern a mesma'

resposta. Podemos tarnbCrn consi de ra r s6lidos obtidos pela ~

revoluc;ao de uma regiao em tomo do eixo-y ou de outra reta.

I U I I I l IP ' ! ' ) I,C :~nn ~)t;ii.f,1/ ;r; lem as seguintes diretrizes.J'.j I. -".~•.' ',.";.,':, .i lJ t! , U F rc . . • . . . .

;l'~.; ~"}:: .::.~~..~::~. ~."~· : . f ~ . ; ~{ ~ ) S[~';I j'f f ' , : ; \ ~ t jL'( ,'.~,~1

I Nil l:GANDO-OS 'E~ lDIA

A regiao delimitada pelo grafico de y =2x - X Z e pelo eixo-x gira

em tomo do eixo-y, Determine 0 volume do solido result ante.

A regiao esta esboc;ada Da Figu ra 6,31 (i), juntamente com urn

retiingulo vertical tfpico de largura dx. A Figura 6.31 (ii) exibe

o anel cilfndrico gerado pela revoluc;ao do retiingulo em tomo'

do eixo-y, Note que x e a distancia do cixo-y ao ponto medio do

rctiingulo (0 raio m edio do anel), Ref erindo-nos a figura e

aplican do ( 6.10), obtemos a seguinte:

espessura do anel: d x

raio media: x

altura: 2x - X Z

volume: 2= (2 x - XZ ) dr;



Para somar todos esses aneis cilfndricos, caminhamos da esquer-

da para a direita alraves da regiao, de a = 0 a b =2 (Ill ia somar

de -2 a 2). Portanto, 0 limite de somas e

2 2

V =f 2m: (2x - ).2) dx =2Jtf ( 2x 2 -,il)dx o 0

=2Jt [ 2( t) - ~ ] : =8 ; ~ 8,4

o volume V pode ser obtido tambem utilizando-se aneis; mas osclilculos seriam muito mais complicados, pois a equalSao

y =2x - x2 leria de ser resolvida em rela<s3oa x em termos de y.

Faz-se revolver em lomo da reta x =3 a regiao delimitada pelos

grlificos de: y = x2 e y = x + 2. EstabelelSa uma integral para 0

volume do solido resultante.

A regiao esta esbo<sada na Figura 6.32(i), juntamente com urn

retangulo vertical tipico, estendendo-se da fronteira inferior y =x2

11 f ronteira superior y = x + 2 . A f igura eXlbe tambeID 0 eixo de

revolu<s3ox = 3. Em (ii) da figura iluslramos nao s6 0anel cilindrico

como 0 solido gerado pela revolu<s3o do retangulo e ,da regiao em

tomo d a reta x = 3. E importante notar que, como x e a distf uu;.ia

do eixo-y ao retangulo, 0raio do anel cilindrico e 3 - x. Reportan-

do-nos 1 1 Figura 6.32 e aplicando (6.10), obtemos:

espessura do anel cilfndrico: d x

raio medio: 3"':'~'

altura: ( x + 2) - x2

Para somar todos esses aneis cilf ndricos, caminhamos da esquer-

da para a direila atraves da regiao de a =-I,a b =2. Logo, a .2 ,

limite de somas e V =J 2n(3 - x ) ( x + 2 - x 2) dx-I

A regiao do primei ro q uadrante delimit ad a pelo grlifico da

equalSao x =2y-l e pelo eixo-y gira em t omo d o eixo-x.

EstabelelSa uma integral para. 0volume do solido resultante.

A Figura 6.33(i) exibe a regiao, juntamenl e com u rn r elangulo

horizontal tipico. A parte (ii) da f igura mostra 0 anel cilindrico c

o s6lido que s ao g erado s p el a revolu<s3o em tomo do eixo-x.

Reportando-nos 1 1 figura e aplicando (6.10), obtemos:

espessura do anel:

raio medio:

altura:

volume:

dy

y

2 y-l2 Jty(2 y- y4) dy

Para somar todos esses aneis cilfndricos, caminhamos pant inlll

atraves da regiao, de c =0 a d = 2. Logo, 0 limite de somas



2

v= f 2 JC y(21-l)dyo

, E digno' de nota qu~, no exemplo precedente, tenhamos"

sido fOf l;ados a usar aneis cilindricos e integrar e m rela<;ao a y,

pois 0 usa de antis (arruelas) e a i nlegra<;ao em rela<;a. a x

exig'iria a resolu<;ao da equa<;ao x - 21-l em rela<;ao a y emlermos de x, larefa assaz dificil.

II~' nn6is cilindricos para cada exercicio.

1')xcrcN.1-4: Estabele~a uma integral que permila

"dlllr 0volume do solido obtido pela revolu~ao da

i )11I)sombreada em tome do eixo indicado.

Exercs. 5-18: Esboce a regiao R delimitada pelos

graficos das equa~oes, e calcule 0 volume do solido

gerado pela rota~ao de R em lomo do eixo indicado.

5 y=-"& , x - = - - 4 , y= 0; eixo-y

6 y - 11x, x = 1, x=2, y= 0; eixo-y

7 y =:1, i~&; eixo-y

8 16 y =x 2 , i-2 x; eixo-y

9 2x- y= 12, x-2y=3 , X= 4; eixo-y

10 y =x3 + 1, x+ 2y - 2, x= 1; eixo-y

11 2x - Y= 4, x= 0 , y=O; eixo-y

12 y =:1- 5 x , y=O; eixo-y

13 x 2 = 4y , y=4; eixo-x

1 4l =x , y=3 ,- x=O; eixo-x

15 y = 2x, y- 6, x=O; eixo-x

16 2y - x , y- 4, . x= 1; eixo-x

17 y=Y x+4, y=O, x=O; eixo-x

18 y = - x; x - y - -4, y=O; eixo-x

Exercs. 19-26: Scja R a regiao delimitada pelos

griificos das equa~oes. Estabele~a uma integral que

permita calcular 0 volume do solido gerado pela

rota~ao de R em tome da reta dada.

Exercs. 27-30: Se ja R a regiao delimitada pelos ':,

graf icos d as equa~oes. Estabele~a integrais que

permitam calcular 0 volume do solido gerado

quando R gira em lorno do eixo !Jado, usando

(a) aneis cilindricos e (b) discos ou aneis (arruelas).

27 y"" 1/-..&, x- I, x - 4 , y=O , eixo-x

28 y = 9 -: I, x= 0, x .- 2 , y=O; eixo-x

29 y =x2 + 2, ~=O, x = 1, y=O; eixo-y

30 y=x+1, x .• 0, x = 1, y=O; eixo-y

31 Se a regiao exibida na f igura gira em lomo do

eixo-y, use a regra do trapezio, com 11 = 6, para

obter uma' aproxima~ao do volume do solido

resultante.

32 Se a regiuo exigida na figura a seguir gira em l ama

do eixo-y, use a regra de Simpson, com 11 = 8, para

obter uma aproxima,ao do volume do sOlidoresul-

tante.

~' x 23 x+ y=3 , Y +x2 _ 3; x=2

. .24y=1-x2,

x x - y = 1; y~3

,25 x2 + i-I; , x=5) / ,y I 7 ri

26 ' y =x2l3 ,2' y= -1 y= x'

(a)x=3 (b) x--l

20y=4-x2,y=0

(a) x = 2 (b) x = -3

21 y=x2 , y=4

(a) y = 4 (b) Y=5 (c) x = 2 (d) x = -3

22 Y = - . . & , y =0, x = 4

(a) x = 4 (b) x = 6 (c) Y =2 (d) Y - -4



(a) Use 0metoda de Newton para obter uma

aproxima!;ao, com duas casas decimais, das

coordenadas-x dos pontos de intersec!;ao dos

gnlficos.

(b) Fazendo a regiao delimitada pelos gnlficos

girar em tomo do eixo-y, use a regra do

trapezio com n = 6 para o bler uma aproxima-!;ao do solido resultante.

(a) Estime os interceptos-x do gnlfico.

(b) Se a regiao delimitada pelo gnif ico de f e

pelo eixo-x gira em tomo do eixo-y, eSlabe-

le!;a uma integral que permita aproximar 0

volume do solido resultante.

[g 34 Grafe, nos mesmos eixos coord en ados,

f( x)=cscx e g(x) = x+ I· para a <x<rc.

Se urn plano intercepta urn solido, a regiao comum ao plano e

ao solido e uma set;iio transversa do solido. Na Se«;ao 6.2

utilizamos sec«;oes transversas circulares e em forma de aneis

para achar volumes de solidos de revolu«;ao. Consideremos agoraurn solido que tenha a seguinte propriedade (ve ja a Figura 6.34):

Para todo x em [a, b] , 0 plano perpendicular ao eixo-x em x

intercepta 0 solido em uma se«;ao transversa, cuja area e A ( x ),

onde A e uma fun«;ao continua em [a , b] .

o solido e urn cilindro se, conforme ilustrado na Figura

6.35, uma reta paralela ao eixo-x que tra«;a a f ronteira da se«;ao

transversa correspondente a I i tambem tra«;a a f ronteira da se«;ail'

transversa correspondente a todo x em [a, b). As se«;oes trans-

versas determinadas pelos pianos x =a e x = b sao as base s d o

cilindro. A distancia entre as bases e a altura do cilindro. Por

Def ini«;iio, 0volume do cilindro e a area de uma base multipli-

cada pela altura. Assim, ovolurne do solido na Figura 6.35 eA(a). (b - a).

Volumes por sect;6es

transversas (6.13)

Para achar 0 volume de urn solido nao-cilindrico do tipo

ilustrado na Figura 6.36, come«;amos com uma parti«;ao P de

[ a , b ] . PIanos perpendiculares ao eixo-x em cada Xl na parti«;ao

cortam 0 s6lido ern pequenas fatias. Escolhendo urn numero

arbitrario wt

em [x t _\' x k ], 0volume de uma falia tipica po de

ser aproximado pelo volume A (W k ) !'uk do cilindro mais escuroda Figura 6.36. Se V e 0 volume do solido e se a norma I I P il epequena, entao

Como eSla aproxima«;ao melhora a medida que I I P I I diminui,

definimos 0 volume do solido por

b

V= Jim 2 : A (w k ) !'u k =I A( x)dl:IP U -O k •

onde a Ultima igualdade decorre da defini«;ao de integral def initla.

Podemos resumir nosso estudo como segue:

Resultad o a o<llogo vale para urn intervalo-y [ c , (IJ C purll

uma area por sec«;6es transversas A (y).

Ache 0volume de uma piramide reta de base quadrada dc lutll\

a e com altura h.

De acordo com a Figura 6.37(i), tomemos 0 vcrlice tla pir. 11Iid

como origem, com 0 eixo-x passando pelo centro till hll'l

quadrada, a uma distancia It de O. As secc<oes lransvcrslIs IHl I

pIanos perpendiculares ao eixo-x sao quadrados. I \. FiB"I"

6.37(ii) e uma vista .lateral· da piramide. Como 2 y C 0 -c ,np,

mento do lado da scc«;3o transversa quodrada corrcsplJlltI 'III I.

x , a area por sec«;6es transversas A ( x ) c



Urn solido tern, como base, a regiao circular do plano xy

delirnitada pelo grafico de;(l + y 2 =a2 com a > O.Ache a volume

do solido, se tad a sw;ao transversa par urn plano perpeogicular

ao eixo-x e urn triangulo equilatero com urn lado na base.

A Figura 6.38(i) ilustra uma sec~ao transversa triangular por urn

plano a x unidades da origem. Se 0ponto P(x, y) esta no drculo

e se y > 0, entao os comprimentos dos lados deste triangulo

equilatero sao 2y. Reportando-nos a (ii) da figura, vernos, pelo

teorema de Pitagoras, que a altura do triangulo e

>, , ,;~ y - - - . f . . - - - y ~

Exercs. 1-8: Seja R a regiao delimitada pelos gnifi-

cos de x=lex =9. Determine 0volume do solido

que tern R como base, se toda sec~ao transversa por

urn plano perpendicular ao eixo-x tern a forma dada.

V=! A(x)dx=! V3(a 2-;(l)dx-Q -a



6, - Umt!iangulo com altura igual a : ~ do compri-

mento'da base

, ~ ': y

....~ .. --~ '.

7 • Urn trapezio com base inferior no plano x y ,

base superior igual a III do c omprimentoda base '

inf erior, e altura igual a V4da base inf erior

8 • Urn paralelogramo com base no plano x y e altu-

ra igual a duas vezes 0 comprimento da base

9 Urn solido tern como base a regiao circular do

pl~o' iy deli~itada peio gr~fieOdexz +l-a Z

com a > O.Determine 0volume do 'solido se toda

'se~otians~ersa por um'plano perpendicular ao, ',,' eixo~.i e urn quadrado; ,

;; ; : : '" ) \ '; r " ,: . > _ i. J ';

10 Fa<;li"oExercf cio 9 'se toda seCl;liotransversa e

urn trilingulo isosceles com base no plano xy e

altura igual ao comprimento da base.

II" uin's6lido tern como base a regiao do plano x y

-deli~i"tada pelos graficos de y =4 e y =xZ. Ache

o v olume do s6lido' se toda s ec<;3otransversa por

urn plano perpendicular ao eixo-x e urn trilingulo

retlingulo is6sceles com hipoteousa 00plano xy .. .', ,i.:-:.;;.~..: J ' ' . " • : - -> -

12 Fa~"o Exercfcio 11 se (oda seCl;liotr aosversa e

urn quadrado..- " .".......

}3 Ache 0volUipede ,umapirlimide do tipo ilustrado

, na Figura 6.37 se a altura e /I e a base e urn

reilingulo, de dimensoes a e 2 a.

14 Urn solido tern como base a regiao do plano xy

delimitada pelos gnificos de y = x el- x. Ache

o volume do s6lido se toda se~ao transversa por

urn plano perpendicular ao eixo-x e urn semicir-

culo com diametro no plano xy.

15 Urn solido lem como base a regiao do plano .l .y

delimitada pelos graficos de l =4 x e x = 4. Se

toda sec~ao transversa por u rn plano perpendicu-

lar aoeixo-y e urn semicirculo, ache 0volume do

solido.

16 Urn solido tern como base a regiao do plano xy

delimitada pelos graficos de x2

- 16 y e y = 2

Toda sec~ao transversa por urn plano perpendi-

cular ao eixo-y e urn relangulo, cuja altura e duas

vezes a do lado no plano .l)'. Ache 0 volume do

, solido.

17 Urn toro em forma de urn ciJindro circular reto

'~l!: de raio a esta apoiado sobre urn lado. Remove-se

do toro uma cunha f azendo-se urn corte vertical

,eoutro corte a urn angulo de 45°;ambos o s cortes

se interceptam no centro do toro (ve ja a figura).Ache 0volume da cunha.

18 Os eixos de dois"cilindros circulares retos de raio

a se interceptam em angulo reto. Ache 0volume

do solido delimitado pelos cilindros.

19 A base de umsolido e a regiao circular do plano

x y delirnitada pelo grafico de X Z +l-a

Z com

a; " 0: Adiea voltime'dil solidosetoda se~o

transversa por urn plano perpendicular ao eixo-

x e urn tnangulo is6sceles de altura conslante h.

(SlI g estoo: Interpretar f V a Z - x Z < if " cOmouma. . - Q ': " ...

area.)

20 As sec~es transversas de urn s6lido em forma

de trompa por pIanos perpendiculares ao seu eixo

sao circulos. Se uma sec~ao transversa que est: \

a s cm da menor eXlremidade do s6lido tern urn

diametro de 6 + t o i cm e se 0 comprimento do

solido e de 60 cm, determine seu volume.

21 Urn tetraedro tern tres faces mutuamente perpen-diculares e tres arestas mutuame'nte perpendi-

culares de comprimenlos 2, 3 e 4 cm. Ache seuvolume. '

22 Teorema de Cavalieri Este teorema afirma que se

dois sOlidos tiverem alturas iguais e se todas as

se~es trnnsversas Por planos para1elos a suas

bases e 11mesma distlincia dessas bases tiverem

areasi guais, entao os sOlidoslem 0mesmo volume

(veja a f igura), Prove 0 teorema de Cavalieri.

23 A base de urn s6lido e urn triangulo ret;lngl110

isosceles, cujos Jados iguais tern comprimento II

Determine 0 volume, se as se~ocs transver~IIN

perpendiculares 11base e a urn dos !lIdos igl1llis,sao semicirculos.

24 Fa~a0Exercf cio 23, se as sec~oes transvcrsas sf io

hexagonos regulares com urn lado sobre a bas'.

25 Mostre que os melodos do disco e do IIl1el

estudados na Se~ao 6.2 s'~o casos especiais d

(6.13).

~26 Uma piscina circular tern 10 m de dif l \"clro. A

profundidade da agua varia de 1 m no ponto ; \

em urn lado da piscina ate 2,75 m cm I1IllPOIIIII

B diametralmente oposto a A (ve ja a f igllrll).

Tomam-se medidas "( x) da profundidlldc ( III

metros) ao longo do diilmetro An, clljos vaIni"

constam da tabela 'seguinte, onde x C a (1 i~ IO n 10

(em metros) de A.

0 ,4· , 8 12 16 20 2'12 M I

1 1,25 1;5' 1'.75'2,0 2,25 2, . 2,7~

I I



I IN "regra do trapezia. com n = 7, para

Nil"""0volume de agua na piscina. Aproxime

"" ,,,era de g al6es de agua cantidos na piscina

(I 111 1 \ - 3.7861itros).

Vma fun«ao f e suave em urn intervale se tern uma

derivada f' continua em todo 0 intervalo. Intuitivamente, isto

signif ica que uma 'pequena varia«ao em x acarreta uma pequena

varia«ao f lo coef icien te a ngular f'(x) da tangente ao graflco de

f. Assim. 0 grafico nao tern pontos angulosos nem pontos de

reversao. Definiremos 0eomprimento do area entre do is pont~s

A e B no gn'ifico de uma fun«ao suave.

Se f e suave' em urn intervalo fechado [a , b] , os pontos

A(a , f(a» e B(b . f(b» sac chamados extremos do grafico de f.

Seja P a part i« ao d e [a, b] definida por a - xo' x l' x2

••••

x. = b , e denotemos por Q k

0 polito com coo~denadas

(x k • f( xk » no gnifico de f, conforme Figura 6.40. Un indo cada

Q k- I a Q k por urn segmento de, comprimento d (Qk _I 'Qk)' 0

comprimento Lp

dalinha quebrada resultante e

, - ;q

(. COMPRIMENTO DE ARCO E SUPERFICIES DE REVOLUyAO

AQ•·Q. Q.

I"

(,I, Q ,

Em algumas aplica«oes devemos determinar 0comprimento ,do.

gn'if ico de uma fun«ao. Para chegar a uma f ormula conveniente,'

empregan;mos urn processo amilog o a o que poderia ser usado:

para aproximar 0comprimento de urn arame encurvado. Irnagi-

nemos 0arame dividido em muitas partes pequenas por meio ' d e ; 'pontos em Qo ' Qt' Q z ... Q • • conforme Figura 6.39. Podemos"

obter uma aproxima«ao do comprirnento do peda«o entre Q . _ I eQ k (para cada k) medi~do a distancia d (Qk _I ,Q.) com uma regu;:

A soma de tod as ess as distancias e uma aproxima«ao do'.

comprimento total do arame. Evidentemente, quanto mais pr6~ximos uns dos oulros estiverern os pontos. melhor a aproxima-.

«ao. 0processo que utilizarernos p ar a 0grafico de uma fun«ao'

e semelhante; apenas aqui determinaremos 0comprimento e xato

tomando urn limit e d e somas de comprimentos de segmentos

relilineos. Este processo conduz a uma' integral def inida. Para

garantir a existenci a d a in tegral, devernos impor restri"oes 1 1

fun«ao. como se indica a seguir.

L p" ; ' 2 : d(Q._1' Q . ).- 1

para algum nurnero w . no interval o a berto ( xk • I' x.). Substituindo

f( x.) - f (xk _

t ) na f 6rmula precedente e f azendo

t uk = x.- Xk _I' obtemos

d( Q •. t' Q . ) =';( t u/ + [1' (w.) tu .f

=';\ + [f ' (w .)j 2 t u k

L p = )' ';1 + [f ' (wk ) ? t u

k

f:'t

Note que Lp e lima soma de Riemann para g( x) =';1+ [f'( x) f .

Alem disso, g e continua em [a , b] , pois f ' e continua, Se a

norma I I Pile pequena, entao 0 comprimento Lp d a l inha

quebrada tende para 0 comprimenlo do grafico de f de A a B .

Esta aproxima"ao deve melhoTar - a medida que I IP I I diminui;

def inimos assim 0comprimento (tambem chamado eompriment o

d o area) do gnlfico de f de A a B como 0 limite de somas Lp .

I

III

;c.; I

I,' I

I



Como g =VI+1f' )T c uma f unc;ao continua, 0 limite existe e eb

igual a integral definida J v I + [ f ' (X ) ]2 dx.Denotaremos por.L : este comprimento de arco.

A Definic;ao (6.14) sera estendida a graficos mais comuns

no Capitulo 13. Se uma func;ao f e def inida implicitamente por

uma equa~o em'x e y , entao tambcm estaremos referindo-nos

ao eomprimento d e ar eo do gr af teo da equa!:iio.

Se f( x) = Jx2I3 - 10, determine 0 eomprimeDto do arco do grafico

de f do ponto A(8 , 2) a B(27, 17 ).

f' (x) =2x-113 =~, x1l 3

21 1= J V. x21 3+4-d x8 xl13

, , 2 2 1u =.x213 + 4 ,du = - x-l13 dx = - - dx

, 3 3 xl13

';' ;; .

.Estll integral pode ser postil em forma apropriada para integrac;ao,

",!, introdu#ndo-se 0f ator ~ no integrando e m ultiplicando a integral

por ~:

3 21 ( 2 1 ) L21= - J ~ - - d x8 2 8 3 xl13

Calculamos em seguida os valores de u = x2I3 + 4, que corres-

pondem aos limites de integrac;ao x =8 ex =27:

Substituindo no integrando e mudan do o s limites de integrac;ao

obtemos 0compriinento do areo:

A permuta dos papeis de x e y na Def inic;ao (6.14) n os da

a seguinle f6rmula para integrac;ao em relac;ao a y.

Os integrandos v I + [ f '( X ) ]2 e v I + [g'(y)f nas f 6rmulas

(6.14) e (6.15) freqiientemente resultam em express6es que nao

admitem antiderivadas 6bvias. Em tais easos, pode-se utilizar a

integrac;ao numerica para aproximar 0 comprimento de areo,

eonforme ilustrado no pr6ximo e xemplo.

(a) Estabelec;a uma integral para achar 0 comprimento do arco

da equac;ao 1- y - x = 0 de A(O, -1) a B(6, 2 ).

(b) Aproxime a integral em (a) utilizando a regra de Simpson

(5.38) com n =6, e arredonde a res posta para uma cas a

decimal.

( 3) C omo a equac;ao nao est a na forma y = f( x), a Def1l1ic;ao

(6.14) nao p ode ser' aplicada diretamente. Todavia, se

escrevermos x =1- y, poderemos empregar (6.15) COlli

g(y) =1- y. A Figura 6.43 e 0grMico da equac;iio. Utili-

zand o ( 6.15) com e = -1 e d = 2 obtemos



,= y - y

B(6 ,2)

I -,1-1I I ,• x

; ' ) - t Q

II! :~= f( X ) .

" ,' . ," ,:: :'l ' ~

I . b x

2

L:I =f v I + (31-1)2 d y-1

2

= f V9y 4 - 6y 2 + 2 dy-1 .

(b) Para aplicar a regra de Simpson, f azemo"

f(y) =V9/- 6; + 2 e dispomos nosso trabalho como' .

Sel;ao 5.6, obtendo a seguinte tabela.

i ~ { i r t . ~ l ~ Y { ? l j0

1 4

2 1,4142 2

3 1,0308 4

4 1,0 2,2361 2

5 1,5 5,8363 4

6 2,0 11,0454 1

Asoma dos mJm~ros na Ultima coluna e 52,1737. Aplicando:~

a regra de Simpson com a =-1e b =2, e n = 6 obtemos

/ 1 V9y4 - 6y 2 + 2 dy =2 ;(~)1)(52,1737) = 8,7

Uma funl;ao f e parcialmelli e su ave em seu dominio se 0

graf ico de f pode decompor-se em urn numero f inilo de partes,'

cada uma das quais e 0 graf i co d e u ma f unl; ao suave. 0

comprimento do arco do gnif ico e entao definido como a soma

dos comprimentos dos arcos parciais.

Para evilar confusao no estudo que segue, denolaremos por

Ia variavel de inlegral;ao. Neste caso, a f6nnula do comlji'imento ."do arco na Definil;ao (6.14) se escreve

L: =f . V I + [ f '( t )F d t

Se f e suave em la, b], entao f e suave ern [a , x] para lodo x em

[a, b] eo comprirnenlo do grafico do ponlo A(a , f(a» ) ao ponlO

Q( x , f( x)) e

Mudando a notal;ao e utilizando 0 simbolo se x) em lugar de

L ; , entao s pode ser considerado urna f unl;ao com dominio

la , b] , poi.s a'cada x em. la, b] corresponde urn tinico num'ero

se x). De acordo com'aFigura 6.44, sex) e 0comprimento dQ arco

do grafico de f de A(a , f(a» a Q( X, f( x». Conforme a proxima

def inil;ao, chamaremos s a fU/lI ;ii o co m pr im en to d e ar eo para 0

grafico de f.

Se sea funl;ao comprimenlo de arco, a diferencial

ds =s'( x) dx e chamada diferencial do comprimento de ai-co.

o pr6ximo teorema especif ica f 6rmul~s p'ara determinar ds.

'.I~r?J t~~~~~ j'~W~i~i;i J f : ,' _ - { i J ~ } ~ 1 : ~

DEMONSTRA9AO

Pela Def inil;ao (6,16) e pelo Teorema (5.35),

s'( x) = D Js( x)] =Dx ~ v I + [f'(t)f dt 1 =V I + [f ' (xW

Aplicando a Def inil;ao (3.28),

d s =s' ( x ) dx =V I + [f'( x) f dx

Isto prova (i).

Para provar (ii), elevamos ao quadrado ambos 05 membros

de (i), obtendo

(dS )2 ={I + [f'(xW}(dx)2

= ( d x ? + [f'( x ) citf

= (dx ? + ( dy?



d s ~ - - - - - - - - T ~ --- --rdy

tu tJ

o Teorema (6.17) admite uma interpreta«;ao geometrica

interessante e uti!. Consideremos y Q f(x ) e se ja /ix urn incre-

mento x. Denotemos por !1y a varia«;ao de y, e por M a varia«;ao

do comprimento de arco correspondente a / ix. A Figura 6.45

ilustra incrementos tipicos; ali I e a tangente em ( x , y) (compare

com a Figura 3.27). Como (d s j2 Q(d X) 2 + (dy )2 , podemos consi-

derar d s como 0 comprimento da hipotenusa de urn triangulo

retangu lo de lados I d r l e I d y l, conf orme s e pode ver na f igura.

Note que se / ix e pequeno, enlao pod em os usar d s para aproximar

o incremento M do comprimenlo de arco.

: : : : : : : : - rt 6y

. tJ

Utilize dif erenciais para aproximar 0 comprimen to d o a rco do

gnHico de y Q .r + 2xd e A(I, 3) a B( I,2; 4,12 8):

Se ja f uma f um,ao nao-negativa em todo urn intervalo

fechado [ a, b ). Fazendo-se 0 graf tco de f girar em to~o do ..•.

eixo- x , obtem-se uma superff cie de revolu~ii o ( ve ja a Figura

6.46). Por exemplo, se f( x) Q . , r , :r : : x r para uma constante

pO,sitiva r, 0 graf tco de f em [-r , r) e 0 semicirculo superior de

x?- +y2 QT J ., e uma revolu«;ao em tome do ei xo- x gera uma esfera

de raio r e area 4nr.

Area d ;s uperffcie de urn

tronco de cone (6 .18)

Se 0 grilf ico de f e 0 segmento de reta da Figura 6.47, enta~

a superffcie gerada e urn tronco de cone de raios de bases '1 e '2e altura inclinada s. Pode-se mostrar que a area da superficie e

(r l + r , )

n(r] + r 2)s= 2,.2s

o Ieitor podera rememorar esta f ormula como segue.

Este f ato sera utilizado na discussao a seguir.

Seja !uma f um,ao suave nao-negativa em [ a , b), e consi-

deremo s a su perf icie gerada pela revolu«;ao do grilfico de f em

tor no d o eixo-x (ve ja a Figura 6.46). Queremos achar uma

f6rmula para a area S desta supeficie. Seja Puma parti«;ao de

[ a , b] deterrninada por a ~ x O, x I' .. . ,xn =b , e para cada k denote-

mos por Q k

0 ponto ( xJ ( xk )) no graftco de f (ve ja a F igura

6.48). Se a norma \ I P \ I e pr6xima de zero, entao a linha quebr'ada

lp ,obtida ao Iigarrnos Qk- ] a Qk para cada k , e uma aproximm;50

do grilfico de j , e dai, a area da superf fcie gerada pel a revolur;50de l p em torno do ei xo-x deve aproximar-se de S. 0segmenlo

de reta Qk -lQk gera urn tronco de cone com raio s d e bases

!(X k _l) e !( xk ) e altura inclinada d(Q k _ I 'Q t )' Por (6.18), a area

de sua superffcie e



Soman do o s term os desta expressao de k =1 a k =n obtem os a ,

area S p da superficie gerada pela linha quebrada lr Se aplicarmos:-

a expressao d(Qt_I' Qt ) da pagina 442, entao

onde xt _

1< w

t < x

t . Definimos a area S da superf icie de revolu.~

_ ~'l.

I<aocomo

f . 2rt L( x) ; f I x) v I + [f'(x)f d x =f . 2rtf( x) v I + [f'( x> f dx

A demonstral<ao exige calculo avan<;ado e e omitida aqu i. A

def inil<ao seguinte resume nossa discussao.

Se f e negativa para algumx em [ a , b] , entao podemos usar

a seguinte extensao da Def ini<;ao (6.19) para achar a area da '

superf icie S:

S = / 2rtlf( x) 1 ',1 1 + [f(x)jZ dx.(6.18) e util para lembrar a 16rmula de S na DefiDi<;ao

(6.19).Tal como na Figura 6.49, denotemos por ( x ,y) urn-ponto _

arbitrilr io n o grafico de f e, como no Teorema (6.17 ) ( i),

consideremos a dif erencial d o c omprimento de arco

Em seguida, consideremos d s como altura inclinada de urn troDCO

de cone de raio medio y = fIx) (ve ja a Figura 6.49). Aplicando

(6.18), a area deste tronco de cone e dada por

Tal como em nosso trabalho nas se<;6es 6.1 a. 6.3, a -aplica<;aob - , ~ - ~

de f a po d e se r considerada como equivalente a tomar urn limite

dessas areas de troncos de cone. Assim,

b b

S =f 2r t f ( x ) d s =f 2JtY d sa a

o grafico de y =-Ii de (1,1) a (4, 2) gira em torno do eixo-x.

Determine a ar ea da superf icie resultante.

A Figura 6.50 ilustra a superf icie. Usando a D efinil<ao (6.19) ou

a discussa o a nterior, temos

4

S=f 2rtydsI

4

_rT4

= f 2lu1f2 V ~4 d x =1tf v 4x + 1 dx

I .......-- 4 X I 1

= ~ [(4x + 1 )3 f 2 ] ~ = ~ (1 7 )f 2 - 5 3 ( 2 ) ~ 30,85 unidade s q uadradas.

Se, na discussao precedente, permutarmos os papeis de x e y,

poderemos obter uma f ormula aniiloga a (6.19) para integra<;ao

em relal<ao a y. Assim, se x =g(y) c se g e suave e nao-negativa

em [ c , d], enta o a area S da superficie gerada pela revolul<ao do

grafico de g em tomo do eixo-y (ve ja a Figura 6.51) e -

S =f : 2rtg(y) V I + [g'(y)f dy



Exercs. 1-4: Estabele~a uma integral para ealcular 0

eomprimenlo de areo do g ratieo de A a B integrando

em rela~ao a (3) x e (b)y.

. . . B( 2 7 ,9 )

A( B, 4) .----;;:~ y=r

B ( - l ,1)

y= L/ A ( -4 ,1 '6 )

Exercs. 5·12: Aehe 0 eomprimento d e ar eo d o

gn\ f ico da equa~ao de A a B.

Gy=ix2/3 ; A(l ,i ), B ( B,8,~ )

6 ( y + 1)2 =( x - 4)3; A( S, 0),

7 y=S -W ;

, 4 112x=L+ _.

16 2l' Exeres. 13·14: Estabele~a uma integral para achar 0

eomprimenlo do arco do grafieo da equa~ao

de A e B .

13 2l- 7 y + 2x = 8;

141lx-4x3 -7y=-7;

A( 2 ,* ), B ( 3 ,W )

A( f;,l ), B(¥ .!;,2 )

A( i;-2 ), B (- &, - 1)

A( 3 ,2),

A( 1,2),

B( 4,O)

B(O,l)

15 Ache 0 comprimento do areo do grafico de

x 2 f 3 + y2 f3 _ 1. ( S u ge s t i i o : Use a simetria em

rela~ao 1 1 rela y - x . )

16 Ache 0 comprimento do areo do gnifico de

3}+5 • 113

ye 30x 3 de (1, ,) a (2, 24 0 )'

Exercs. 17·18: (a) Determine sex), onde s e uma

fun~ao comprimento de arco para 0 grafico de f .(b) Se x aumenta de 1 a 1,1, determine 6S e ds.

17 f ( xt : -:yl

Exercs. 19·20: Use diferenciais para aproximar 0

comprimento do areo do graf ieo da equa~ao A de

B.

19 y = x 2

;

20 y +x 3

= D ;

A(2,4 ),

A(l , -I),

B(2,1; 4,41 )

B (l ,l ; - 1,33 1)

Exercs. 21·22: Use diferenciais para aproximar 0

comprimento do areo do grafteo da equa~ao entre os

pontos com coordenadas - x, a e b.

b = 31lt / 18D

b = r r J9 D

:: @ Exercs. 23-26: Use a regra de Simpson com n = 4

para aproximar 0comprimento de a rcOdo grafico da

. equa~ao de A a B . (Arredonde a resposta para duas

casas deeimais.)

23 y = 2+x+3 ; A( - 2,5), B ( 2,9)

24 y=x 3

; A( D,O), B ( 2,8 )

25 y= s e n x; A( D,O), B(r r J2,l)

A( D, D), B ( r r J 4,l)

Aproxime 0eomprimento do areo do grafieo

de f( x) = sen x de ( D,O ) a (re,D ), usando4

2 :d k (Q k ~ I ' Q k )'

k-l

onde Q k

e 0 ponto (~r rk, f(~r ek )).

2 : dk (Q k ~ I ' Q k ) se compara com 0 eompri·k- l '.. ,. ,

m~nlo exato do' areo?

@ 28' (3) Estabele~~ uma integrai para o·co~prim~nto

. '~. de areo do Exerdcio 27(a). '. '~.'... ,: .': ,', : '" '.. ' ~,~(b) Use a regra do tr apezio com n ••'4 para apro·

ximar a integral em (a).' .

Exeres. 29-32: 0graftco da equa~ao, de A a B gira

em tomo do eixo-x. Determine a area da superficie

resultanle.

294x=i; A( D ,D ), BO,2)

30 y ex 3

; A(l ,l ), B(2,8)

31 BY=,2x 4

+x - 2

; A{1,i), B ( 2,W )

32 y = 2v'x + 1; A( D,2 ), B(3,4)

Exercs. 33·34: 0graftco da eq ua~ao de A a B gira

em tomo do eixo.y. Detennine a area da superficie

resultante,

33 y = - } .[x ;

34 x=4 V Y;

Exercs. 35-36: Se 0 menor areo do drcu 10

2+ l = 25 entre os pontos (-3,4) e (3, 4) gira em

tomo do eixo dado, determine a area da superf icie

gerada. '

Exercs. 37·39: Use uma integral definida para esta-

belecer uma f6rmula para a area da superficie do

s6lido indieado.

37 Urn cone circular reto de altura h e raio da

base r .

38 Urn segmento esferico de altura II em uma esfera

, de raio r .

40 Mostre que a area d a superficie de u ma esfera de

raio a entre dois p Ianos paralelos depende apenas

da distlincia entre o s pianos. ( S l4 ges t ii o : Use 0

Exerdcio 38.)

41 Se 0grafteo da Figura 6.49 gira em tomo do

eixo-y, mostre que a area da superficie resullanle

e dada por

/ 2 rc x Y l + [f ' { x))) 2dx

•42 Use 0Exerddo 41 para ac har a area da superficic

. gerad~ peJa revolu~o do graf teo de y - 3~ de

A(l, 3) a B( 8 , 6) em tomo do eixo-y.



I 1.1. \ 0 (lrHico de f( x) = 1_x3 de (0,1) a (1,0) gira

IIIlorno do ei xo- x. Apr oxime a area da superficier 'sultllnle usando

(Q ) 44 (a) Estabele<;auma integral para a area da super-'ficie gerada no Exercicio 43..

(b) Use a regni de Simpson com n = 4aproximar a integral em (a).

o concei to de forc;a p od e ser ass oci ado ao ato de puxar ou

empurrar urn objeto. Por exemplo, e necessar ia uma f orc;a para '.

puxar ou empu rrar uma mesa no chao, para levan t ar urn obj~io "

do chao, para distender ou compri mir uma mola ou para mov er '

uma particula atraves de urn campoeletrom agnetico . "

Se urn ob jeto pesa 10 quilos, entao, por definic;ao, a forc;a

necessaria para levanta-l o d o chao, ou para mante-lo no chao, ' e .10 quilos. Uma forc;a d este tipo e uma forc;a coostaote, poi s sua

magnitude nao se aHera enqu anto ela e aplicada ao objeto.

o concei to de trabalho surge quando uma forc;;aatua atravesde uma distancia . A definic;ao que segue abr ange 0 easo mais

simples, em que 0objeto se move ao longo de um a reta na mesma

direc;;ao da f orc;;aaplicada.

A tabe la que segue apresenta as unidades de f orc;a e trabalho

no sistem a ingles e no sistema internacional SI. Em unid'aoe s SI,

Newton e a forc;;a necessari a p ara imprimir uma acelerac;ao de

1m / s2•

S is te ma U oi da de d e

'fOl 'c;a

Ingles libra (Ib)

Uni dade de'- . "UDldaded e":'

-,.distaD'da' " : ( ":-:~trab'aIIJ.~_c::!if

pe (ft) p6-libra (ft-Ib)

polegada (in) JX;ll-libra(in-lb)

metro (m) N-m Goule)

Urn N-m (Newton-metro) e la mbem chamado joule (J).

Pode-se mostrar que

Para simplif icac;ao, nos exemplos e. n a m a io r parte dos

exe rcicios quase semp re serao utilizadas as unidades SI,' 0que

pod era tornar necessario considerar uma con stante gravitacionala (9,81 m /s~ e usar a segunda lei do movimen to d e Newton ,

F = ma , para transformar um a massa m (em kg) em u ma f orc ;a

F (em N).

Deterrninar 0trabalho rea lizado ao empurrar urn automovel por

uma distancia de 6m ao long o d e uma estrada plana, exercendo

a forc;a de 400 N ..

A Fig ura 6.52 Hustra 0 pro blem a. Como a f orc;;a constante e

F =400N e a d istancia que 0carro percorre e d =6 m, decorre

da Defmic;ao (6.20) que 0trabal ho realizado e

Qualquer pessoa que tenha empurrado urn automovel (ou

qualquer outro objeto) sabe que a f orc;a aplica da raramente e

con stante. Assim, se 0 motor de urn carro "mor re" e ele para, Ii

necessario uma forc;a mai or p ar a m ovim enta-Io d o q ue para

mante-Io em movim ento. A forc; ;apode variar lambem em func;ao

do atrlto, pois parte da estrada pode ser bem pavim entada elisa,

e parte nao. Uma forc;a que nao e con stante e uma forc;a varia vel.

Estabelecem os a seguir urn met od o para deterrninar 0 trabalho

realizado por uma f or~a variavel a o deslocar urn objeto segund o

uma tra jet6ria retiH nea na mesma di rec;ao da forc;a.

Supo~hamos que uma forc;a f ac;a urn objeto mover- se a o

longo do ei xo-x de x =a a x = b, e que a f orc ;a em x se ja dada

por f( x) , com f continua em [a, b). (A expressao f ort ;a em x

signif iea a f orc;;aque atua no ponto de coordenada x . ) Co nf orrne

Figura 6.53, c omec;amos por considerar um a partic;ao P de

[a , b)



I fut I

,'+--+,

1 1 1 - + 1 1 1B

I + ) /x n _1x n = b

Se l !. W k e 0incremento do trabalho - isto e, a quantidade de

trabalho realizado de xk

_ , a xk

- entao 0trabalho W realizado

de a a b e a soma

l ¥= Mil, + l!.W 2 + ... + l!.W n

= \ ' l!.W k f. - ' ,

Para aproximar l!. W k , escolhemos urn numero arbitn \ rio Zk em

[x k-1 ' xk ] e consideremos a for~a f ( Zk ) em Z k ' Se a norma I I Pile

pequena, entao sabemos que os valores f uncionais variam muito

pouco em [ xk e l, xk ]; isto e, f e quase constant e neste intervalo.

Aplicando a Def ini~ao (6.20 ), obtemos

l!.W k - f ( Zk ) l !. xk

Como esta aproxima~ao deve melhorar 1 1 medida que

II P 1 1- 0, def inimos W como urn limite de tais somas, a que

nos conduz a uma integral def inida.

Defini ~a o amlloga vale pani urn intervalo no eixo-y, subs-

tituindo-se x par y em todo 0contexto.. . .•

A Defmi~ao (6.21) pod e s er usada par a a ch ar a trabalho

realizado ao distender ou comprimir uma mala. Para resolver

problemas deste tipo, e necessario aplicar a seguinte lei da ffsica:

Lei de Hook e: A f or~a f( x) necessaria para distender u ma

mala x unidades alem de seu comprimento natural e dada por

f (x ) =le x , onde k e uma constante charnada consta nt e d a mola.

~ Distensaoxcm~

~x~

.~~J~~~~i \ ~ \ ~ •~P \ j \ j'J \ 1 \ fTt \ ~ : r ~ " ~I

Figur a 6 .54

E necessaria uma for~a de 40 N para distender uma mol a de seu

comprimento natural de 15 crn para 20 em. Calcular 0trabalho

realizado ao distender a mala.

S O L U l ; A . O

(a) I ntroduzamos urn eixo-x conf orme F igura 6 .54, com uma

extremidade da mala f ixa em ponto 1 1 esquerda da origem,

e a extremidade a ser puxada localizada na origem. De

acordo com a,lei de Hooke, a f or~ f( x) necessaria para

distender a mala x unidade s a lem pe seu comprimento

natural e f( x) =lex , para certa constante k . Como e neces-

saria urna f or~a de 40 N para distender a mala 5 em alem

de seu comprimento natural, temos f(5) = 40. Fazendo

:c = 5 e m f( x ) = k x:

40 = k . 5 ou k = 8

Aplicando a Def ini~ao (6.21) com a =0 e b = 10, podemos

determinar 0trabal ho realizado ao distender a mola 10cm~

10 10

IV~f 8x dx =4 x2f =400 joules.. 0". ,.', 0 ,

(b) Aqui tamhem utilizarnos a f or~a f( x) =8x achada em (n).

Pela Defmi~ao (6.21), 0 trabalho realizado ao distender II

mala de 2,5 em para 7,5 em

1,5 1,5

w = f 8x dx =4r f = 200 joules3 ,5 , 2,5

E m algumas aplica<;iies devemos determinar 0trabalho rcnli:wdl \ ao bombear urn f1uido de urn tanque ou levantar um objcto, 1 1 1 1

como uma corrente· ou u rn cabo que se estende verticallll'lIt

entre dais pontos. A Figlira 6.55 ilustra urn situa~ao comull' III

que urn s6lido se estende ao longo do eixo-y de y - C 1 I Y •• 11 •

Querernos elevar verticalrnente toda s a s particulas do s6lido III

o nivel do ponto Q. Consideremos uma parti~ao P (1 1 : I ',dlimaginemos ,0 s6lido dividido em fatias por meio d' \1011 \ 1

perpendiculares ao eixo-y em cada numero Y k da pllrtic;f io. I)

acordo c om a f igura, l!.Y k =Yk -Yk _l e Sk represellta a k' :" r,l \.Introduzamos a nota~ao '



Z k = distancia (apr~ximada) percorrida por Sk

M k = forc;a (aproximada) necessaria para levanlar Sk ,.

Se 1 \W k e 0 trabal ho realizado a o levanlar Sk '

Definic;ao (6.20),; ~

I\W - I\F· z =Z .I \F,Jlk k k. k k ' ,~ i 1 ; ; " : "

Definimos 0trabalho W realizado para elevar todo 0s6lido r o I,i

urn limite de somas, ;, .

J,".'

o limite conduz a uma integral definida. Not e a difereri~a

entre este tipo de problema e 0da nossa discussao anterior.P~ia.

obter (6.21), consideramos increment os d e d ist t incia ! 'uk e a fo~~a;.

f(zk) que atua atraves de !'u k ' Na situac;ao presenle, consideran'io'S;

iner ementos' d e f ort;a M k e a distancia Z k ' atraves d a qual iF k '

atua. Os dois pr6ximos exemplos ilustram esta tecnica. Tal como"

na sec;ao precedente, representaremos por dy urn incremento

tipico I \Y k e por y urn numero em [ e, d J.

Urn cabo uniforme de 10 m de comprimento e pesando 25 kg

pende verticalmente de urn sistema de poliano ci mo de urn

edif icio. Uma viga de ac;o de 225 k g est a p resa 1 1 extremidade

inf erior do cabo. Calcular 0 trabalho realizado ao levar a viga

ate 0cimo do edif icio,

Denotemo s p or W . 0 trabalho para elevar !! viga e por We 0

trabalho para elevar 0 cabo, Como a viga pesa 225 kg e deve

percorre r uma distan ci a de 10 m, temos, pel a definic;ao (6.20).

W . =(225) . (10) =2,250 joules (N -m>-~

o trabal ho necessari o para elevar 0 cabo pode ser achado pelo

metodo usado para obler (6.22). Consideremos urn ei xo-y com'

a extremidade infer ior do cabo na origem e a extremidade

superior elJ1 y = 10, conf orme a Figura 6.57. Denotemos por

d y urn incremento no compriment o d o cabo. Como cada metro

do cabo pesa 2,5 k g, 0 peso do incremento d y (e, portanto, a

forc;a necessaria para levanta-lo) e 2,5 d y. Denotando por y a

~istancia de 0 em urn ponto no incremenlo, temos:

distancia percorrida: 10 - y ( m )

incremenlo do trabalho: (10 - y) (2,5) d y

10.

A aplicac;ao de f o

corresponde a obter urn limite de

somas d e incrementos de trabalho. Logo,

10 10 10

w = I (10 - y) (2,5) d y = I 25 d y - I (2,5) Y dy =co o 0

= 125 joules(N-m)

o trabalho total realizado e

Urn tanque em f orma de cone circular reto de 6 m de altura' e 1,5

m de raio de base tern eixo vertical e vertice no solo. Se 0tanque

esrn cheio de agua, cuja densidade e 1.000 kg/ m3, determine 0

trabalho realizado a o bombear toda a agua pela bor(Ja do tanque.

Comec;amos por introduzir urn sistema de coordenadas conforme

a Figura 6.58. 0cone intercepta 0 plano x y segundo a reta peJa

origem do coef iciente angular 4, cuja equac;ao e

1y = 4 x ou x = : V

Imaginemo s a agua dividida em f atias, ou discos, por pIanos

perpendiculares ao eixo-y, de y = 0 a y = 6, represenlando por

d y a largura de urn disco tipico, seu volume pode ser aproxinJado

pelo disco circular exibi do n a Figura 6.58. Tal como na sec;ao

6.2 para volumes de revoluc;ao, ternos:

volume do disco =7t.rdy = 7t(~ f )d y

Como a agua p es a 1.000 kg/ m3, a forc;a necessaria para elevar

.0 disco e 1.000 n ( T . f )dy. Temos, pois,

increment o da forc;a: 1.000n(T . f)dy

distancia percorrida: 6 - Y

incremento do trabalho: (6 - y). 1.000 n ( T . f)dy



6

Aplicando 0operador I n ,obtemos

6 6

w = J (6 - y) 1.000 n(1 .. l)dy = 1000 n J (6/ - / )dy =o 16 16 0

= 1.~~0 n [ 2 / - ~ ] : = 1.~~0 n (108) ~ 21,206 N - m

o pr6ximo exemplo e outra iIustra<;ao de como 0trabalho

pode ser ca1culdo por meio de urn limite de somas - i sto e , por

uma integral definida.

Urn gas conf inado tern pressao p (em N lm2) e volume (em m3).

Se 0 gas se expande de v = a para v = b , mostre que 0 trabalho(em joules) e dado por

b

w= f pd v

.Como o. trabal ho independe da forma do recipiente, podemos

admitir . 9 gas confinado a urn cilindro circular reto de raio r , e

que a : expansao se processe contra a cabe<;a de urn _pistao,

conforme ilustrado na Figura 6.59. Se ja dv a v aria<;ao de volume

correspondente a uma varia<;ao de h metros na posi<;iioda cabe~ado pistao. Assim,

dv = Varia~ilodo volume

- - - - +r

_ !.

:h = Varia~ao da posi~iio

I+- da cabe~a do pistiio

Denotando· por p a pressao em urn pon to no increment o de

volume exibido n a Figura 6.59, entao a for<;a contra cabe<;a do

pistao e 0produto de P pela area n ?da cabe<;a do pistiio. Ternos,

po is, para 0incremento indicado:

for<;a contra a

cabe<;a do pistiio: p (n ?)

distiincia percorrida pela

cabe<;a do pistao: h

incremen to de trabalho: (pltl.2) h = (pltl.2) -l., d v = P dvJtr

b

Aplicando f . ao incremento de trabalho, obternos 0 trabalho

para quando 0gas se expande de v = a a v = b :

b

w= f pdv.

Urn gorila de 180 kg de peso sobe e m uma a rvore

de 5 m de altura. Determine 0 trabalbo realizado

se ele cbega ao topo da a rvore em

2 Ache 0trabalho realizado ao levanlar urn saco de

areia de 36 k g a uma altura de 1,20 m .

Uma mola d e 25 em d e comprimento natural

sofre uma distensiio de 3,8 em sob urn peso de

35 N. Ache 0 Ilabalbo realizado ao distender a

mola.

(b) de 28 em para 33 em

4 Exige-se uma f or<;ade 11,5 k g para eomprimir

. uma mol a, eujo eomprimento natural e 24,5 em,

para 23 em. Aebe 0 Irabalbo realizado ao com-

primir a mol a para 21 em.

S Se uma mola tern 30 em de comprimento, c om-

pare 0 trabalho WI, realizado ao distende-Ia de

30 para 32,5 em, com 0 trabalbo W2, realizado

ao distende-Ia para 35 em.

6 E necessario um trabalbo de 0,113 joules para

distender uma mola de 15 em para 17,5 em, e urn

trabalho de 0,226 joules para distende-Ia de 17,5

para 20 em. Ache a constanle da mola e seu

comprimento.

7 Urn eJevado~ que pesa 1.368 k g pende de urn

cabo de 3,65 m que pesa 21 kg por metro linear.

Aproxime 0 tlabalho necessario para f azer 0

elevador subir 2,75 m. .

8 U rn operario de constru<;iiolevanta um motor de

23 k g do chiio ate 0 cimo de urn edif icio de 18

m de altura, usando uma corda que pesa 0,338

N - m. Ache 0trabalho realizado.

9 Urn balde de agua e i<;adoverticalmente a raziio

constante de 45 em /s por meio de uma corda depeso desprezivel. A medida que 0balde sobe, a

agua vaza a raziio d e 100 grl s. Se 0balde cheio

de agua pesa 11 k g no momento em que come~a

a ser ic;ado, determine 0trabalho necessario para

i<;a-Ioa uma altura de 3,6 m.

10 No Exercicio 9, determine 0 trabalho realizado ao

ic;ar0balde ate que tenba vazado metade da agull.

11 Urn aquario ternbase retangularde 0,6 m de largura

e 1,2 m de cornprimento, e lados retangulares de

0,9 m de altura. Se 0aquario esta cheio de aguupesando 1.000 kg / n?,determine 0trabalho realizado

ao bombear tada a agua pela parte de dma do balde.

12 Generalize 0Exemplo 4 desla se~iio para 0ea 0

de urn tanque cDnico de altura h e raio da base(I

metros, cbeio de agua pesando 1.000 kg/m).

13 Urn lanque ciHndrieo vertical de 1 m de dif ifllelro

e 2 m de altura esla eheio de agua. Aehc 0

Irabalho necessario para bombear loda a agua

(b) atraves de. urn tubo que se cleva II 1,20 f Il

acirna ·da parte superior do lanque.

14 Fa<;a 0 exercicio 13 no caso de 0 Innqllc 'sIIl'

cheio apenas pela metade.



IS As extremidades de urn cocho de agua de 2,5 m

de cornprimento sac triangulos equilateros de

0,6 rn de lado. Se 0 coeho esta cheio de agua,

ache 0trabalho realizado ao bombear loda a agua

pela parte superior do cocho.

16 Urna cisterna tern a forma de urn hernisferio de

5 rn de raio. Se a cisterna esta cheia de agua, ache

o trabalho necessario para bombear loda a agua

ale urn ponto 4 m acima do topo da cisterna.

17 Conforme Exerdci o 5 desta Se~ao. 0volume e

u pressao de cerlo gas variam de acordo com a

lei pv l ,2 = 115; onde as unidades sac polegadas

c libras. Ache 0 trabalbo realizado quando 0 gas

se expande de 32 poll para 40 poll.

III Conforme Exemplo 5. 0volume e a pressao de

urnu quanlidade de vapor confinado estao reIa-

cion ados pela f 6rmula pv 1.14 = C, onde C e urna

constante. Se ~ pressao e 0 volume iniciais sac

po e vo, respectivamente, eSlabele~a uma f6rmula

para 0trabalbo realizado quando 0gas se expande

para 0 dobro do seu volume.

19 !I. lei de gravita~ao de Newton afirma que a f or~a

F de atra~o enlre duas particulas de massas 1111 e

1112 e dada pol' F = G1II11II vi, onde G e urna

constante gravilacion al e s ea distancia entre as

pa!'ticulas. Se consideramos a massa 111I da terra

concentrada e m seu centroe seurn f oguete de massa

1112 esla na superficie ( 1 1 distancia de 4.000 milhas

do centro), eslabel~a urna f ormula gem) para 0

trabalho realizado ao disparar 0 f oguele vertical-

llIente ate uma altitude h . (veja a ~gura.)

20 No estudo da eletricidade, usa-se a f 6nnula

F =kq / r 2 (onde k e uma constante) para aehar a

f or~a (em Newtons) corn que uma earga positiva

Q com f or~a de q unidades repele uma carga

positiva unitaria localizada a r metros de Q.Determine 0 Irabalho realizado ao mover urna

carga uoitaria de urn ponto situado a d centime-

tros de Q para urn ponto a ~d em de Q.

[QIExercs. 21-22: Suponha que a labela abaixo tenha ':

sido obtida experimenlalmeote para uma f or~a f(x) ,atuando em urn ponto de coordeoada-x em uma reta "

coordeoada. Use a regra do trapezio para aproximar.'

o trabalho realizado no intervalo [a , b] , onde a e b "

sao 0menor e 0maior valor de x , respectivamente.

23 A for~a (em Newton) com que dois eletrons se>

repelem e inversamenle propo!'cional ao quadra-

do da d istancia (em metros) entre eles.

(a) Se urn eletron e mantido fixo no ponto (5,0);

ache 0 Irabalho realizado ao mover urn se-

gundo eletron ao lunge do eixo-x da origem

ao p onlo (3, 0).- ;: ' " ,

(b) Se dois eJetrons san mantidos fixos nos' :

pontos (5, 0) e (-5, 0), respcclivamente, ache'

o trabalho realizado ao moverurn lerceiro

elelron da o rigem ale (3, 0).

,~

24 S e a f un~ao f or~a e constante, rnostre que a .

Defini~ao (6.21) se reduz 1 1 Defini<;ao (6.20):

0 0,5 1,0 1,5 2,0

7,4 8,1 8,4 7,8 6,3

3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

5,9 6,8 7,0 8,0 9,2

1 2 3 4 5

125 120 130 146 165

Nesta se<sao abordaremos alguns topicos que envolvem a massa

de urn objelo. Os termos massa e peso pOl' vezes se conf undem

urn com 0 outro. 0peso e determindo pel a for,a da gravidade.

POl' cxemplo, 0 peso de urn objeto na Lua e aproximada-

mente urn sexto de seu peso na T erra, porque a for,a da gravidade

la e me~or. Mas a massa e a mesma. Newlon usou 0termo massa

como sinonimo de quantidade d e mat eria e relacionou-p com afor,a atraves de sua segunda lei d o movimento , F =ma , onde

F denota a for<sa que atua sobre urn objeto de massa m que tern

acelera,ao a. No sistema ingles, costumamos aproximar a pOI'

32f t / S 2 e usaI' 0slug como unidade de massa. Em unidades S I,

a - 9,81m / s2, e 0 quilograma e a unidade de massa. P ode-se

mostrar que

Nas aplica,6es, costuma-se admitir que a massa de urn

objeto esla concentrada em urn ponto; ref erimo-nos enta o a o

objeto como massa-ponto, ou massa pontual, independentemen-

te de seu taman ho . P OI ' exemplo, tomando a Terra como

ref erencia, podemos considerar urn ser hurnano, urn automovel

ou urn edificio uma massa pontual.

678 9

157 150 143 140Em experimentos de f isica elemental' consideramos duas

massas ponluais m1 e m2 presas as extremidades de urna vara,

conf orme Figura 6.60, e procuramos determinar 0 ponto P em

que deve ser colocado urn fulcro de modo que a vara f ique em

equilibrio. (Esla silua,ao c analoga ao equilibrio de uma gangorra

com uma pessoa sentada em cada extremidade.) Se as distancias

de m, e 1n 2 aP sao d l e d 2 , respectivamente, pode-se mostrar

experimentalmente que P e 0 ponto de equilibrio se

Para generalizar este conceilo, i nt roduzamos urn eixo-x

conforme ilustrad o n a Figura 6.61, com Inl

e m 2

localizado s e m

ponto s c om coordenadas XI e x2. Se a coordenada do ponto deequilibrio ex , entao, pela f ormula In, d, =In , d "

_ In, X I + m 2 x,X=

nil +m 2



m tJn 2"'3.. . .Xl Xl X 3

"',=40"'2=60 "',=100

+ II I + " I I + '-2 0 3 7 x

Figura 6.63

Se uma massa III esta localizada em urn ponto do eixo com

coordenada x, entao 0 produlO m x e chamado moment o Mo d a

lIlassa em r ela fYiio a origem. Pela nossa formu la de X , vemos

que; para determinar a coordenada do ponto de equilibrio,

devemos dividir a soma dos momentos em relac;ao 11origempel a massa total. 0ponto com coordenada x e chamado cell/ ro

d e massa (ou centro d e gravidad e) das duas massas pontuais.

A proxima definic;ao estende a presen te d iscussao a varias

massas pontuais Iocalizadas em urn eixo, conforme se ve na

Figura 6.62.

o ponto de coordenada x eo ponto de equilibrio do sistema

S, no mesm o s entido de nos sa iIustrac;ao da gangotra.

Tres massas pontuais de 40, 60 e 100 quilogramas estao

Iocalizadas em -2, 3 e 7, respectivamente, sobre urn eixo-x.

Deterrninar 0 centro de massa.

Denotando as tres massas por ml, 1Il

2em ), temos a situac;ao

iIustrada na Figura 6.63, com XI = -2, X l = 3 ex) = 7. Aplicando

a Def inic;ao (6.23) obtemos a coordenada x do centro de massa:

40(-2)+ 60(3) + 100(7) = 800 = 440 + 60 + 100 200

x '" --- ------; P( x, y)

,: y I

I,

Consideremos em seguida uma massa pontuaI III Iocalizada

em P (x, y) em urn plano coordenad o ( ver Figura 6.64). Defmimos

os momentos M . e M y de m em relac;ao aos eixos coordenados

como s egue:

moment o em relaf Yiio ao eixo-x:

lIlomento em r ela~iio ao eixo-y:

M .=m y

M =m xy

Em paIavras, para deterrninar M. multiplicamos m pela coorde-

nada-y de P e para determinar M y multiplicamos m pel a coorde-

nada-x. Para deterrninar M . e M y para urn sist ema de massas

pontuais, somamo s o s momentos individuais, conf orme (i) e (ii)

da proxima definic;ao.

Por (iii) desta def inic;ao,

m X =M y e m y = M .

Como m x e m y sao os moment os e m rela<;f lo "0 cixo- 10eixo-x, respectivamente, de uma massa pontual m 10 · " 1 1 , , , III \ I II

( x , y), podemos interpretar 0 cenlro dc maSsa 011100 pOllio \ '111

que a massa total deve conccntrar-sc para ol>l-r os 111 \ \ 111 \ '1110

M eM de S.y •

'Podemos imaginar as n masslls ponlullis t1' ( ,,' ~ I" II

ao centro de massa P por varas impond 'r~v 'is, 1111 \ 'OIlHIill III iI~

de um.i roda sc prcndcl1l ao centro till 11I 'Sill I, () rl1 ,11111111"

entra ri a em cquilibrio se ,apoiatlo PO I' 1111111'01 \ 111Pi \ I I ' ,conformc FigllTa 6.65.' A apar Ilia S 'rlil H'1I1 \ 'lhIUlit II Iii,

"m6bilc" com todos os seus 01 j 'IIIS Ill) In'SII1O pl l'"111 1111 lillllill



"',: 4

(-2,3) m. = 2• (5,1)

(x, ji) mJ

= 3.m2 = 8

•. (2,-6)

Massas pontuais de 4, 8,.3 e 2 quilogramas estao situadas em

(-2,3), (2, -6), (7, -3) e ,(5, I), respectivame nte . Determinar

M x' My e 0centro de massa do sistema.

As massas estao ilustradas na Figura 6.66, onde tambem anted-.

pamo s a p osic;ao de (i,y ). Aplicando a Definic;ao (6.24)

obtemos

M x = (4) (3) + (8) (-6) + (3) (-3) + (2) (1) = -43

M y = (4) (-2) + (8) (2) + (3) (7) + (2) (5) =39

_ M 39 x=- x=-_23

m 17 '- M x 43

e y =-;; = - 17 - -2,5

Mais adiante consideraremos objetos s6lidos homogeneos,

no sentido de que a massa esta distribufda unif ormemen te p ortodo 0 s6lido. Em f isica, a densi dade p ( rho) d e ur n s6lido

homogeneo de mas sa m e volume Ve def inida co mo p = mlV .

Assim, densid ad e e igllal a massa par l Inid ade d e voilime. A

unida de SI para densidade e kg /m J; todavia, usa-se tambem

g / emJ• A unidade i nglesa de densidade e Ib/ ftJ ou Ib / inJ•

Nesta sec;ao restringiremos nossa discussao a Himinas ;,

homoge neas (placas f inas, planas) que tern densidade de area

(massa por unidade de area) p. A densidade de area e medida

em kg / m2, Ib/ft 2 etc. S e a area de uma f ace da lami na e A e a

densidade de area e p, entao a massa m e dada por 11/ = P A.

Queremos def inir 0 centro de massa p de tal modo .que, se a

ponta af iada de urn lapis f osse colocada em P, con forme 'Figura

6.67, a lamin a se equ ilibraria em posic;ao horizontal . T al com o

em (ii) da figura, admit iremo s q ue a centr o d e massa d e lima

lam ilia r elongular e a ponlo C em que as d iogonais se inler ce p'

lam , Chamamos C 0 cenlr o do retangulo. Assim, para problema s

que envolvem massa, admitimos que uma lamina retangular se ja

um a massa pontual localizada no centro do retangulo. Esta ,

hip6tese e a chave de nossa definic;ao de centro de massa de urna 'lamin a. ;,

Consideremos urna lamina de densidade de area p e f orm a

da regiao. R x da Figura 6.68. Como ja temos ampla experie~cia

na utilizac;ao de limites de som as de Riemann para def inic;6es

nas Sec;6es 6.1 a 6,9, passemos diretame nte ao metodo de

representar a l argura do retangulo na figura por dx (em lugar det J . x) , obtendo

r - - - - - M x) + g( x)]

, 1

b

Se, com o e m sec;6es anteriores, considerarmos f a como urn

operado r q ue 10ma limites de som as, chegaremos 1 1 seguintedefinic;ao de massa m , da lamin a:



b

In =f p ( f ( x) - g(x)] dx.Admitiremos em seguida que a Himina retangular da Figura

6.68 se ja uma massa pontuallocalizada no centro C d o retangulo.

Como, pela formu la do ponto medio (1.5), a distancia do

e i x o-x aC e ~ [f( x ) + g ( x )] , obtemos 0 seguinte resultado para a

lamina retangular:

b

Considerando Iirnites de somas mediante a aplicac<ao de f a ' so-

mos conduzidos 1 1 seguinte def inic<ao.

Definic<ao amlloga pod e ser dada se L tern a forma de uma

regiao R, e as integra<;6es sac feita s e m rela<;ao a y . Podemos

tambem obter f ormulas para momentos em rela<;ao a outras retas

que nao os eixos x ou y;todavia, e aconselMvel memorizar at ecllica para determina<;ao de momentos - multiplica<;ao de uma

massa por uma disHlncia a urn eixo - em vez de memorizar

f ormulas que abranjam todos os casos posslveis.

" ,; ,lIm,a lamina de densidade de area p tern a f orma da regiao

delimitada pelos graficos de y =;Cl + 1, x = 0, x = 1 e x = O. De-

termine 0centro de massa.

A Figura 6.69 esbo<;a a regiao e urn retangulo tlpico de largura

\',d x e altura y. Como se vI: na f igura, a distancia do ebw-x ao

centro C d o r etangulo e ~ y , e a distancia do eixo-y aCe x.

Logo, para a lamilia r et allgular, temos:

massa: py dx = p(x2 + 1) dx

momento em relac<ao ao eixo-x: ~ y py dx =~p{;Cl + 1fd x

Us ando agora limite de somas dessas express6es pela aplica<;iioI

do operador f ' obtemos:o

I I

M = f !P ( x l + 1)2 dt =!p I ( x " + 2x" + 1) d x~ 02 2 0

I I

M = f p x{x2 +1)dx=pf ( x3+x )dl" , 0 0

Para achar 0centro de massa ( x, y ), utilizamos (iii) da Dcfini<;50

(6.25).

Quando determinamos ( x, y) no Exemplo 3, a constanlc

p foi cancelada no numera do r e no denominador. Isto oeoll .

sempre que se trata de uma lamina homogenea. Logo, 0 c:,nl r~

de massa e independente d a d ensidade de area p; isto c , x . y

depend em apenas d a f orma da lamina. Por est a razao, ref crinll\ '

nos as vezes ao ponto ( x, y) como 0 centro de massll de 111 11 1 \

r egiiio do plano, ou como'a centr6ide da regiao. Podcmos obI -r

formulas para momentos de centroides f azendo p = 1 C /1/ ~ 1 \

(area da re,giao) em nosso estudo previo,



Ache 0 centr6ide d a r eg ia o delimitada pelos gnHicos de

y = 6 - xl e y = 3 - 2x.

A regiao e a mesma considerada no Exemplo 2 da Se ••iio 6.1 e

esta reesbo ••ada na Figura 6.70. Para achar o s m omenlos e 0

cenlr6ide consideramos p =1e m = A. Referindo-nos ao retan-

gulo tf pico com centro C exibido na Figura 6.70, obtemos:

area do

retangulo: [(6-x 2) - (3 - 2x)) d x

distancia do

eixo-x a C: 1 [(6 - xl) + (3 - 2x)]

momenta em

rela ••ao ao eixo-x: 1 [(6 - xl) + (3 - 2x») . [(6 - xl) - (3 - a )) dx

distancia do

eixo-ya C: x

momenta em

rela ••ao ao eixo-y: x [{ 6 - xl) - (3 - 2 1: )) dx

Em seguida, tomamos 0 limite de som as a plicando 03

operadorf :-1

3

M, =r11[(6 - xl) + (3 - 2x)) . [( 6 - xl) - (3 - 2x») d x

. = ! / [{6 - xl)2 - (3 - 2x )2) dr2 -I

3

= 1 r l

(.0 - 16x 2 + 12x + 27) dx = W -

3

M = f x [(6-~) - (3- 2x))dry -1

3

= f (3x + U-Xl) dx =¥-I

Com A = ¥ e (iii) da Def ini ••iio (6.25), determinamos 0 cen-.

tr6ide

Poderiamos ter achado 0cenlr6ide uti lizando a Defini ••ao

(6.25) com f{ x) = 6 - xl , g(x) = 3 - 21 : , a = -1, e b = 3, mas

isto eslaria apenas ensinando a substiluir, e nao a pensar.

Se uma lamina homogenea tern a forma de uma regiao que

admi'te um eixo de simetria, e ntao 0 cenlro de massa dev~ eslar

sobre esse eixo. VaJemo-nos disto no proxi mo exemplo.

Ache 0centr6ide da regiao semicircular delimitad a p el o eixo-x

e 0 grafico de y =Y a 2 - ~ com a > O.

A Figura 6.71 iJustra a regiao. Por simetria, 0 centr6ide esta

sobre 0 eixo-y; isto e , x = O. Logo, basta determinar y . Conside-

ran do 0retanguJo na f igura e p = 1, lemos:

_ M , ~a3 4a y=-=--=-~042a

11 1 ~ n o2

31t '

Assim, 0centr6ide e 0ponto ( 0 , 3 : a )

Concluiremo s e sta se••ao enunciando um teorema util sobre

s61idos de revolu ••ao. Para ilustrar um caso especial d o t eorema,

consideremos uma regiao R do tipo R , exibido na Figura 6.68.

Com p = 1 em =A (a area de R), obtemos 0momento de R e m rela ••iio ao eixo-y:

b

M =f x [f{ x ) - g{x )] d r :Y a



Se f izermos R revolver em l o mo d o eixo-y, utilizando cascas

cilindricas, obtemos 0volume V do s6lido resultanle:

b

V =J . 2rrx I f (x ) - g(x)J dx

M= ~ y 2 J t

- ~ (V/2 J t) V x= =---=--

III A 2r rA

Como X " e a disHlncia do cenlr6ide de R ao eixo-y, a Ultima

f6rmula af irma que 0volume V do s6lido de revoluc;ao pode ser

determinado multiplicando-se a area A de R pel a distancia

2J tX " que 0cenlr6ide percorre quando R f az uma revoluc;ao em

lomo do eixo-y. Afirmac;ao analoga vale se R faz uma revoluc;ao

em lomo do eixo-x. No Capitulo 17 demonstraremos 0seguinteteorema mais conhecido, devido ao matematico Pappus de

Alexandria (C. 300 A.D.).

/ : ' : : ; r ~ < ~ : : ; f : ~ ;~ 1 ~ r, ~ :: : ; ~ : ~ \ ~ :· · : ; : . ; ~ ; ~ ~ } > . : · .: ; - , ' . -. . _ ,. .; - . ;< -',~(~.(> ; . > ' : ," : - " ~' · ': : ;, , ~. .: : ' c L . : . : , _ ' ~ ; ' ( · , . .. .1 ~ \ ' : ' ~ '~ . " ~ ' ; , ~ ,~ :~ ,~ :> :~eJif ~, ~~~i¢giao. :dy,uD1plan,~ inlei.ra~e!1le ~ituada~Qbre un]

: , l ~ , ~ g ~ ~ ; V § ~ X e J M i W B ! ~ l! S ' :,$ t : . B f~,~_iil,a·r~yo!~~~. ¥ ~plel~':e m t<irnod~ 1;'0 vo!umedo 'solidii resu!lanle6 0-pibduloda

·~f ;t.~[~)~la·1isfali~ia per<;Brrida peio~e#tr6idedet;'::'"

A regiao delimitada por urn cfrculo de raio a revolve em tomo

de uma reta I situada no plano do cfrculo, a qual esta a distancia

b do cfrculo, com b > a (veja Figura 6.72). Ache 0 volume do

s6lido resultante. (A superffcie deste s6lido em forma de urn

pneu e chamada toro.)

A regiao delimitad a p el o cfr cu lo tern area : r c a 2 e a distancia

percorrida pelo centr6ide e 2 J tb. Logo, pelo teorema de Pappus,

Exercs. 1-2: A tabela relaciona massas pontuais (em

quilogramas) e suas coordenadas (em metros) sobre

um eixo-x. Determine Ill, Mo e 0 centro de massa.

1:. '~L'·,:

10 0 80 70

coorderiada -3 2 4

2 50 10 0 50

coordenada. -10 2 3

Exercs. 3-4: A tabela relaciona massas pontuais (em

quilogramas) e suas localizac;6 es (em metros) em um

plano x y: Determine Ill, M x, My, e 0 centro de massa

do sistema.

,'~·~·f··-·--: ; ih - ; :mas~a:';;_;..,~.

localiZac;ao

Exercs. 5-14 : E sb oc e a re gi ao delimitada pelos

graf icos das e quac;6es e determine Ill, M x , M y, e 0

centr6ide.

5 y=x3 , Y =0 , x=1

6 y=vx y=O, x=9

7 y= 4 _ x2 , y=o

8 2x+ 3y = 6, y=O , x=O

9?

2y= x y-= x,

10 y = .i, y=x3

11 y = 1-,.J· x-y=1

12 y=x2 , x+y=2

·13 x=i. x-y=2

".

x+ y=3

15 Ache 0centr6ide da regiao no primeir o q uadrante

delimitada pelo circulo i + y 2' =02

e os eixos

coordenados.

16 Se ja R a regiao do primeiro quadrante delirnitada

pela parabola i= ex, com c > 0, 0~ixo-x e a reta

verticalpelo ponto ( a , b) da parabola, cOf'J'ormefigura a segu ir . Ache 0 centr6ide de R.

17 Uma regiao tern a forma de urn quadr2.d o d e lado

2a encimado por urn semicirculo. Ache 0centroi-

de. (Sugest iio: Use 0Exemplc 5 e 0 fato de 'que

o momento da regiao e a soma dos momentos do

quadrado e do semicirculo.)

18 Se jam o s p ont os P , Q, ReS das coordenad"s

(-b ,O), (-a,O) , (a,O) e (b, 0), respectivamente

com 0 < a < b. Ache 0 centr6ide da regiao deJi-

mitada pelos grHicos de y=Vb2 _ x" ,

y =U -: : ;Z , e os segmentos PQ e RS. (Suges / {jo:

Use 0Exemplo 5.)

19 Prove que 0 centr6ide de urn trianguJo coincide

com a intersecc;a o da s medianas. (S ugest iio:

Tome os v ertices nos pontos (0,0), (a , b ) e

(0, c), com a , b ee positivos.)

20 Uma regiao tern a f orma de urn quadrado de lado

a encimado por urn triangulo equilatero de lado

a , 'Ache 0 centr6ide da regiao. (Sugest iio: Ve ja

o Exercicio 19 e a sugestao dada para 0

Exercicio 17.)

21 SeW R a regiao retangular com vertices (1. 2),

(2,1), (5,4), e (4, 5). Ache 0 volume do solido

gerado pela rotac;ao de R em tomo do eixo-y.

22 Seja R a regiao triangular de vertices (1, I),

, ..y .' (2; 2); e (3, 1). Ache 0volume do solido gerado

pela revoluc;ao de R em tomo do eixo-y.



~ \ A 'he 0ccntr6ide da regHiono primeiro quadrante

" Ihnllndo pclo g nifico de y =v ;; z - = ;z e os eixos

\ 'oordcllados.

(a~ Estabele ••a uma integral para apro~imar .~-:massa da lamina. .

),il A 'he () ccnlr6ide da regHiotriangular de vertices

O (D , 0), A( O , a) e B (b, 0), para numeros positivos /I • b.

(b) Use a regra de Simpson com n - 4 para

'. aproximar a integral em (a). . . '::,:

192i; Use a regra de Simpson com n - 4 para aproximar

o centr6ide da regiao delimitada pelos gnificos

de y =0, y = (senx) I x , x = 1 e x = 2.I I l \ JI1II1 lf imina de densidade de area p tern a f orma

0111 .egiao delimitada pelos graf ic os d e

J (') - vi cosx I e g( x) =x 2. Grafe f e g nos

"' SIIIOS eixos coordenados.

,.8 OUTRAS APLlCA<;OES

ILUSTRA<;Ao

E evidente, do q~e vimos neste capitulo, que se uma quantidade

pode ser aproximada par uma soma ~ e muitos ter,?os, enta.o ~Ia.

e candidata 1 1 representa<;ao por uma Integral def imda. A eXlgen-:

cia principal e que, quando 0numero de termos a~~enta,.a so~a

tenda para urn limite. Nesta se<;ao abordaremos vanas. apllca<;oes

da integral definida. Comecemos com a for<;a exerclda por u~ ,

liquid,? sobre urn objeto submerso. .

Na fisica, a pressiio pauma profundidade h em urn fluido

se define como 0peso do fluido contido em uma coluna de altura'

h e area de se<;ao transversa igu al a uma unidade quadrada. A

pressao tambem pode ser considerada como a for<;ap or unidadede area exercida pelo fluido. Se urn f luido tern densidade p, entao

a pressao p para a profundidade h e dada por

Segue-se uma ilustra<;ao para a a gua com

p = 1.000 kg / m3 ou (p = 62,51b/ fe).

Densidade p (kg/m~ Profundidade Ir (m)

1.000 2

1.000 4

1.000 6

Pressao p = p Ir (k g/ m)

2 .o o ii'

4.000

6.000

o principio de Pascal na ff sica afirma que a pressao. pa~a a'

profundidade h em urn f1uido e a mesma em toda.s as dlre<;o:s.,

Assirn, se urna placa plana e submersa e m u rn f lUldo, a pres~~o ..

em urn lado da placa que esta a h unidades abaixo da supe~I~I~

e ph, quer a placa esteja sub mer sa verticalrnente, quer honzo~-

talmente au obliquarnente (ve ja a Figura 6.73, onde a pressao

nos pontos A, Bee e ph). :.[.

Se urn tanque retangular, como urn aquario, esta cheio de

agua (ve ja a Figura 6.74), a for<;a t otal exercida pela ag]Ja sobre

a base po de ser caleulada c omo s egue:

p = 1.000 k g /rn3 e 11 =2 m

obtendo f or<;a na base = (2.000 kg/m3) • (12m2) = 24,OOOkg.

ISla correspon de a 12 colunas de agua, cad a uma com area da

se<;ao transver sa d e 1 m2 e cad a uma pesando 2.000 kg.

E mais complicaclo achar a for<;a exercida sabre urn dos

lados do aquar io , porque a pressao n ao e c on st an te a i, mas

aumenta com a prof undidade. Em vez de abordar este problema

particular, consideremos a seguinte situa<;ao rnais gera!'

Suponhamos uma placa submersa em urn fluido de densi:

. dade p tal que a face da placa seja perpendicular 1 1 superficie do

f luido. Introduzamos urn sistema de coord enados conforme a

Figura 6.75, onde a largura da placa se estende pelo intervalo

[c , d] no eixo-y. Suponhamos que, para cada yem [c , d] , a

profundidade correspondente do fluido seja h(y) e 0comprimen-

to da placa se ja L(Y) , tendo 1 1 e L como fun<;6es continuas.

Empregaremos a tecnica padrao que consiste em considerar

urn retangulo horizontal tipico de largura dy e comprimento

L(y ), conforme ilustrado na Figura 6.75. Se dy e pequeno, entao

a pressao em urn ponto qualquer do retangulo e aproximada-

mentepll(y). Assim , a for<;a sobre urn lado do retangulo pode

ser aproximada por

f or<;a sobre a retangulo ~ (prcssao) . (area do retangulo)

au

Tomando a limite das somas dessas for<;as mediante aplica<;aod

do operador I e somas lev ados 1 1 seguinte defini<;ao.

A: f Ol:~a~_C~~~~~da:porum Ouida de densidade constante.

~olJr~ u ~ 1 ~l: \.o._4l::um!ueiiaostibDlersa do tipo ilustrada na

Figura 6.75 e . ',' .:;-'\ ':'.:,, '

: , . ~ ; : : : ~ : t l : · : i ~ ; ~ ; h ~ ; : ; · r ~ j l : f ~ j l . ~ : 1 1~)"~Y '~ :~~." .f ·



Se uma regiao mais complexa e dividida em sub-regioes

do tipo ilustrado na Figura 6.75, aplicamos a Def ini<;ao (6.27) a

cada sub-regiao e somado s a s f or<;as resultantes. 0sistema de

coordenadas pode ser introduzido de varias maneiras: No Exem-

plo 2 escolhemo s 0 ei xo-x a o l ongo da superf f cie do Iiquido e a

dire<;ao positiva de ei xo- y para baixo.

As extremidades de uma cacho de agua de 2,40 m d e co mprimento

tern a forma de trapezios isosceles cam 1,20 m de base menor, 1,80

m de base maior e 1,20 m de altura. Ache a for<;atotal sobre uma

das extremidades quando 0 cacho esta cheio de agua.

A Figura 6 .76 ilustra uma extremidade do cocho superposta a

urn siste ma de coordenadas retangulares. A equa<;ao da reta por

(0,60; 0) e (0,90; 1,20) e y =4x - 2,4, ou equivalente,

1 x = "4 (y + 2,4).

Referindo-nos 1 1 Figura 6.76, para urn retangul0 de alturady, tern os:

comprimento: 2x =~(y + 2,4)

area: ~ (y + 2,4) dy

profundidade: 1,20 - Y

pressao: 1.000 (1,20 - y)

for<;a: 1.000 (1,20) - y) i(y + 23,4) dy

Usando Iim it es de somas com a aplica<;ao do operador1,2

f ,obtemos:o

2 I)

F =I 500(1,2 - y) (y + 2,4) dy 500 I (2,88 - 1,2 Y - i ) dyc c

No exemplo precedente, 0 c om pr im e lll o do cocho f oi

irrelevante ao considerarmos a for<;a sobre uma extremidade. 0

mesmo se diga para 0tan que de oleo do proximo exemplo.

Urn tanque para armazenagem de oleo de 2 m de diametro e ~e

3,5 m d e com prim ent o jaz horizontalmente em urn plano. Se 0

ianque estii com oleo ate a metade, e se 0 oleo pesa 800 k g /m3,

estabele<;a uma integral para a for<;a exercida pelo oleo sobre

uma extremidade do tanque.

Introduzamos urn sistema 'coordenado tal que a extremidade do

tanque seja urn drculo de 1m de raio com centro na origem. A

equa<;ao do cfrculo e x2 + y2 = 1. Es:olhendo a. dire~ao po~itiva

:10e ixo-y para baixo, entao, pelo retangulo honzontal daFlgura

6.77, temo s 0 seguinte:

comprimento: 2x =2 ~

area: 2~ d y

proflmdidade: y

pressao: BOO y

f or<;a: BOO y . 2 ~ d y



T ] T I Q' (I) dl = Q(I) = Q(T) - Q(O)o 0

" 6 r ml ll a d a conc entrar;iio t lt l f l l I x o ( 6.28)

(0 sinal negativo indica que Q esta decrescendo).

Se T e 0 instante em que todo 0 isotopo saiu do tanque,

entao Q(T) = 0 e, pelo teorema fundamental do calculo,

T T T

I Q' (I) dl = I [ - F . e (I)) dl =- F I e(l ) dlo 0 0

Em geral nao se conhece uma forma explicita de e(I); tem-seapenas uma tabela de valores funcionais. Utilizando a integra<;ao

numerica, podemos obter uma aproxima<;ao da taxa F de fluxo

(veja os Exerdcios 11 e 12).

Consideremos em seguida outro aspecto do fluxo dos Iiquidos.

Se urn Hquido fiui atraves de urn tuba cilindrico e se a velocidade

e uma constante vo' entaD 0 volume de liquido que passa por urn,'

ponto fixo por unidade de tempo e dado por vif\, onde A e a area

de se<;ao transversa do tuba (veja a Figura 6.79).

Ja para estudar 0 fluxo sanguineo em uma arteria enecessario uma formula mais complicada. Em tal caso, 0fluxo

se processa em camadas conforme ilustrado na Figura6.80, a,

seguir. Na camada mais proxima da pare de da arteria, 0sangue

tende a se fIxar na paredc, e sua velocidade entao pode serconsiderada zero. A velocidade aumenta a medida que as .

camadas se aproximam do centro da arteria.

Para fins de calculo, podemos considerar 0fluxo sanguineo

consistindo ern finas cascas cilindricas que deslisam umas sob!~

as outras, com a can;Jada exterior fixa e a velocidade de cada,'

camada aumentando a medida que diminui 0raio respectlvo (veja.

a Figura 6.80). Se a velocidade em cada camada e considerada

constante, entao, pela tcoria dos liquidos em movimento, a

velocidade vCr) elJl uma camada de raio medio r e

onde Reo raio da arteria (em centimetros), 1 e 0 comprimento

da arteria (ern centimetros), Pea diferen<;a de prcssao e[1tre as

. duas extrcmidades da arteria (em din/ern') eve a viscosidade

do sangue (ern din-s/cm'). Note que a formula da velo~idade

zero se r=R, e velocidade maxima PR'/(4vl) a medida que r tende a zero. Se 0 raio da J ( ' ; " camada e r k e a espess\lra da

camada e !irk' entao, por (6.10), 0 volume do sangue nessa

camada e

Se ha n camadas, entao 0 fluxo total na arteria par unidade de

tempo pode ser aproximado por

Para estimar 0fluxo total F (volume de sangue por unidad e d e

tempo), consideramos 0 limite dessas somas quando n cresce

indefinidamente. Isto conduz a seguinte integral definida:

F =I R

2rtrP (R' -?)dr o 4vl

R

= n; P [ 2 R Z r _ 2 4 ]2vl 2 / 0

n; P R4

,=---cm3

8 vl

Esta formula dc F nao e exata, porque a espessura das camadasnab pode ser tomada arbitrariamente pequena. 0limite inferior

e a largura de uma celula vermelha do sangue, ou seja, aproxi-

madamente 2 x 1O-4cm. Podemos admitir, nao obstante, que esta

formula de uma estimativa razoiivel. E interessante notar que

uma pequena varia<;ao no raio de uma arteria produz uma grande

varia<;ao no fluxo, pois F e diretamente proporcional a quarta

potencia de R. Uma pequena varia<;ao na diferen<;a de pressao

tern efeito menor, pois Pesta na primeira potencia.



Ern muitos tipos de emprego, urn f uncionario deve desem-

penhar a mesma taref a repetidas vezes. Por exemplo, urn operario

de uma f abrica de bicicletas deve montar, novas bicicJetas.

Conforrne ele monla urn numero cada vez ~aior de bicicJetas,

e de se esperar que 0 tempo de cada montagem va diminuindo

ale atingir urn tempo minimo. Outro exemplo desse proces so de

aprendizagem mediante repetil1ao e 0 de urn processador de

dados que deve inserir, em urn computador, inf ormal16es contidas

- - -- - - -" - ~ - - -- " '- - ' -- , e r ii - { or m u l1 i ' io s a p i'o i in a d o s . 0t e n ip o n e c e s s ~ r r o p a r a P r 0 c e s s a r ' - " -cada dado deve diminuir 11 medida que 0 numero de dados

: processados aum enta. Como ilustral1ao final, 0 tempo exigido

por uma pessoa para percorrer urn labirinto deve melhorar com

a pratica.

Consideremos uma situa\ao comum, em que certa taref a

deve ser repetida muitas vezes. Suponhamos que a experiencia

, indique que 0 tempo necessario para realizar a taref a pel a k "!"

vez possa ser aproximado por f(k) , sendo f uma f unl12.:Jcontinua

decrescente em urn interval e adequado. 0tempo total para

realizar a tarefa n vezes e dado pela soma.

2 : f (k) = f(l) + f (2) + ... + f (n)

k - 1

Atentando para 0 grafico da Figura 6.81, ve-se que a somaprecedente e igual 1 1 area do poligono retangular inscrito,

podendo; p.orta'nto, ser a proximada pela integral definid_a

,.f f(x) dx. Evidehtement e, a aproximal1ao diferira muito pouco. O . .' \ •

x da soma ef etiva se f decresce lentamente em [0, II]. Se f varia

rapidamente com a varial1aO unitaria de x, entao nao se deve usar

uma iptegral como aproximal1ao.

,Uma empresa que faz pesquisas por via telefOnica constata que

'0 tempo gasto por urn empregado para completar uma entrevista

depende, do numero de entrevistas que ele ja tenlla realizado

, previamente. Suponhamos que, para certa pesquisa, 0 numero

de minutos necessarios para completar a k " !" entrevista se ja dado

por f(k) =6(1 + k) - l I S para Os k s 500. Use uma integral def i-

nida paraaproxunar 0 tempo necessar io para que urn empregado

..,' 'compleie"10 0 e ntrevistas e 200 entrevistas. Se urn entrevistador

, ~.recebe $ 4,80 por hora, estime a diferenl1a entre as despesas com

..• , dois empregadOidazendo .cada urn 100 entrevistas, e corn urn

. o' , •..• ,' _ : unico,empregado fazendo200 entrevistas.,.) • ; ', ;.:, .•.• _' • .' t I,. , ,,;: •".". _ ...' ~.,;

'I ." i';." :+ ," ; i : ,r > '_ ! 1 ::'::>;':~.f :J;: .r " , ~ . - : . .l";;~) ".'" •. : : : . J ;" ' " , ' : '

I :~;1 (rl'4'; ",~ ~;,,[.;,," -;.'~f:;l::,!r;IJ < \ ·;t) .1'

.J. ~;;'·:!;>1·:.•.- \ ;)'i~i":i~~i \ ;:!~"'.."~·:·~··~~i~.; ;;, :,'

Pela discussao precedente, 0 tempo necessario para 100 entre-

vistas e aproximadamente

2 0 0

f 6(1 + X)""I / S dx = 514,4 min.o

Com o u m entrevistador recebe $ 0,08 por minuto, 0 cuslO de

urn empregado fazendo 200 entrevislas e aproximadamente

(0,08) (514,4) = $ 41,15. Se dois empregados f azem cada um

100 entrevistas, 0custo e 2(0,08) (293,5) = $ 4 6,96, que e $ 5,81

a mais do que 0custo de urn empregado. Lembre-se, enlrelanto,

de que, com a utilizal1ao de do is empregados, M uma economia

de tempo de cerca de, 221 minutos.

Utilizan do u m computador, temos

100

2 : 6(1 - + k)""l I s = 291,75

k -l

200

2 : ' 6(1 + k)-I IS = 512,57

k - I

Logo, os resultados obtidos por integral1ao (area sob 0 gr5f ico

de f) sac superior es em 'aproximadameote dois minutos ao valor

da soma corresponden te ( area do poligono retangular inscrilo).

Em economia, 0 processo utilizado por uma empresa p am

aumentar seu ativo e chamado formac;1io de capital. Se 0

montante K do capital n o instante t pode ser aproxim ad o por

K = f( t ) para uma f unl11io f diferenciavel, a taxa de varial1ao de

K ern relal1ao ate chamada nuxo lfquido de investimenl,o.

Logo, seI

denota 0 fluxo' de investimento, entao

1= d K = f ' (t)d t

Reciprocamente, se I e dada por g(t) para uma f unl1ao g contf lluf '

em urn intervalo [ a, b], enlaO 0 aumento de capital Ilcsse

intervalode tempo e .

b

f g(t ) d t = f(b) - f (a)

"



b r

(tempo)

;' \

Suponhamos que uma empresa deseje ter seu fluxo liquido de

investimento aproxim~q() por g (l) = 11 /3, para 1em anos e g(l) elll

milh6es de unidades monel arias por ano. Se 1=0 correspondente

ao tempo presente, estime 0 montante da forma«ao de capital

durante os pr6ximos oilo anos.

Em decorrencia~o au me nt o de capital flds pr6ximosoito anosr ;dado por .'

8 8 ) 8fo

g(l) dl =fo

11 /3 dl =~14 /3 0 = 12

Conseqiientemente, 0 montante da forma«ao de

12.000.000 de unidades monetarias. '

Qualquer quantidad e s uscelivel de ser interpretada como a ..'"

area de uma regiao pode ser estudad a p or meio de uma integral '

definida. (Veja, por exemplo, 0 estudo da histerese no fim da

Se«ao 6.1.) Reciprocamente, a integral definida permite-nos

representar quantidades fisicas como areas. Nas ilustra«oes que _seguem, uma quantidade e lI11m e ri c am e lll e igllal 1 1 area de uma .

regiao; isto e, desconsideramos llnidad e s de medida como

centlrnelros, metro-k g etc.

Se ja v (1 ) a velocidade, no instante I , de urn objelo que se

move em urna reta coordenada. Se se a fun«ao posi«ao, entao

5'(1) = v(1) e

b b

f v(l) dl = f S' (I) dl = S (I)] : = s(b) - 5(a)a a

Se V ( I ) > 0 em lodo 0 intervalo de tcmpo [a, b ] isto diz que a

arca sob 0 grafico da fun«ao v de a a b representa a distancia

que 0 objeto percorre, conf orme ilustrado na Figura 6.82. Esta

observa«ao e uti! para urn engenheiro ou fisico, que pode nao

dispor de uma forma explicila para v(I), mas alienas de urngrafico (ou tabela) indicando a velocidade em diferentes instan-

tes, A distancia percorrida pode ser entao estimada mediante

aproxima«ao da area sob 0grafico.

Se v(1) < 0 e m certos instantes em [a , b] , 0 grafico de v

pode assemelhar-se ao da Figura 6.83. A figura indica que 0

objelo se moveu no sentido negativo de 1 = C a 1=d . A distancia

, percorrida durante esse tempo e dada por IIV ( I) Idl. Segue-se

que f:1 v(l) I dl e a distancia lotal percorrida em [a, b] , qucr

V ( I) seja positiva quer negativa.

b x (dislancia)

.

5 10 1 5 20 25 x (distancia)

Figura 6.86

Urn objeto se move segundo uma trajet6ria retilinea e sua

velocidade V ( I ) (em m/s) no instante 1 e registrada para cada

segundo, durante 6 segundos., Os resultados constam da tabela

abaixo. .

:~ : :~ ~~ t. :~ ~ ; :0 1 2 3 4 5 6

" .~ ~ jY : 1 3"4 6 5' 5 3

Os pontos (I, V ( I » estao graf ados na Figura 6.84. Admitindo que

v seja uma fun«ao continua, entao, conforme discussao p rece-

d en te , a di stilncia percorrida duranle 0 interval o d e t em po

' .[0, 6] e f v(1) dl. Aproxirnernos esta integral definida por meioo

da regra de Simpson com II= 6:

t .6-0

v(t)dr ~ 6 - [v(O) + 4 v ( l ) + '2v ( 2 ) + 4v(3) + 2v(4) + 4v(5) + v ( 6 )] o 3·

= 1 . [1 + 4 . 3 + 2,4 + 4.6 + 2·5 + 4 . 5 + 3] = 26 m3

Em (6.21) definimos 0 trabalho realizado por uma f or«a

variavel f(x) que alua ao longo de uma reta coordenada de, .

x = a a x = b, como W = f a f( x) d x , Suponhamos f( x) '" 0 em todo

[a , b ] . Esbo«ando 0gratico de f con f orme ilustrado na Figura

6.85 observa-se que 0 trabalho e numericamente igual 1 1 area sob

o grafico de a a b .

Urn engenheiro obteve 0 graf ico da Figura 6.86, que mostra a

for«a (em k g) que atua sobre uma pequena carreta a medida que

ela percorre 25 metros em urn terreno plano horizontal. Estime

o trabalho realizado.

Supondo que, a f or«a se ja uma fun«ao continua f para

0,. x ,. 25, 0trabalho realizado e



25

w = J f(x)d xo

N a o d isp om o s d e u ma forma expl ici ta de f(x); tod avia, p o de mos

estimar val ores funcionais a par ti r d o g rafico e ap ro x imar W par

m e io d e u m a i n t egraesa o n umerica.

Apliquemo s a reg ra d o t rapezio com a = 0, b = 25 e II= 5.

~aseando-no s n o graf ic o para estimar val ores f uncionai s, obte-

m os a se g ui nt e tabela:

" , - , . k ) ; ' ; , ! .:: .~k ,' !(Xk) m : mf(xk)

0 0 45 1 45

1 5 35 2 70

2 10 30 2 60

3 15 40 2 80

4 20 25 2 50

5 25 10 1 10

25

W = J f(x) d x ~ 2,5(315) - 790 m - No

Para m a io r pre c is a o, poderiamos u ti li za r u rn v a lo r maior

de IIna reg ra de Simpson.

S u po n ba m os q u e a q uantidade de urn ente f isic~ como oleo

agua , f oresa eletrica, m o nt an te d e d in heiro, (;ont age m de bacteria~

o u f l u xo s a ng uf neo s eja c resc e nt e o u d ec re scente de alguma

forma, e que R(I) se ja a taxa na qual a variaesa o se proce ssa no

instante I. Se Q(I) e a quantidade presente 110 instante t e sl': Q

e diferenciav el , e ntao Q'(I) = R(I). Se R(I) > 0 (ou R(I) < 0) em

urn intervalo de tempo [a, b), ent ao a q uan li da d e de crescimento

(ou decrescimo) entre 1 =a e 1 =b e

b b .

Q(b) - Q(a) = f Q' (I) dl = f R(I) dl ,. ,. ;' _ a Q

Esle numer o p o de ser a p rese n ta do c omo a ar ea da regi ao de urn

plano ty delimitada pelos graf ic o s d e R , t =a, t = bey = O.

A par ti r d e 9 h, com eesa -s e a bo mb ea r o leo p ar a u rn t a oq ue d e

armazenagem 11raza o de (150/ 1 /2 + 25) gal lh, para 0 tempo t (em

hor as) apos 9h . Quantos galoes terao s id o b o m bead os p ara 0

tanque 111h?

S O L u C ; A o

Consid erando R(t ) =15011 / 2 + 25 oa discuss ao p rece d e nt e, o b te-

mos:

4 4

fo

(15011 /2 + 25)dl = (100? / 2 + 25/] 0 = 900 gal

Demos apenas a lg u ma s i lu s traeso es d a u ti lizaesao das inte-

grais def inidas. 0lei tor interess ad o e ncontrara mui tas o ut ras em

livros sobre ciencias fisicas e bi ologicas, economia e adminis-

traesao , e tamb em em area s c om o c ie ncia politica e sociologi a.

Urn aquar io tern 1 rn de cornprimen to e e x tremi-

dad es quadradas de 0 , 3 m de Jado. Se 0 tanque

est a chei o d e agua, ache a f oresa exercida peJa

agu a

(a) sobre urna extrernidade

2 Se uma das extremid ad es q uadradas do tanqu e do

Exercicio 1 e dividida e m d uas par tes por uma

diagonal, 'ache a f or<;a exercida sobre cada parte.

3 A s ex tremidades de urn co ch o d e 2 m d e com-

primento tern a f orma de triangulos is6sceles de

lados i guais com 0,6 m cad a e 0 terceiro ladocom 1 m, no topo do cocho. Ache a for<;a exe rcida

pela agua s o br e u m a e x tremid ade, q uando 0

cocho esta:

(a) cheio de agua, (b) cheio ate ametade.

4 As e x tre~idades de urn coc hode ~gua lem a

forma da regiao delimilada p e lo s g raficos de

y = x Z e y' = 4, com x e y medid os em metros. Se

o cocho esta cheio de agua, ache a foresa exercida

sobre uma extremidade. ";".' .

5 Urn tan que ciJindrico para armazenage m de 61eo

tern 2 rn de diamet ro e 2,50 m de comp rimcnto,

e esta deitad o s o bre seu lado. Se 0 tanqu e estr.

ch e io d e 6 1 e o a t e a met a d e e 0 6leo peslI

960 kg/ m3, ache a f or<;a exercida pelo 61co soh,

u m a extrem i da d e do tanque.

6 A c om porta retangular de um a represa tcm J.5 III

de comprimento el m d e a lt ura. Se a compo, tn

e ver tical e sua par te s u perior e pam lelll

sup erf icie da agua e esta 1,80 m abaixo delll. IIl'h

a for<;a da agua contra a comporta.

7 U r na c h apa plana ter n a f orma de u rn Irnp 'l I)

is6sceles com base super ior de 4 m e base illhlu,de 8 rn, e est a submerso verticalmente em allll I,

com as bas es paralelas 11superf icie da a&"I1.. '

a s d istancias da superffcie da agun ~s h III

inferior e superior sao 10 rn e 6 m, respe , Iv ,mente, ache a f or<;a exercida pel a agun sob, "I II

lad o da placa .

8 U rn a chapa circular de 2 rn dc raio e. tr. 11101 II

verticalmente na iigua. Se a distf lllcill dll N Ul l If

cie da agua ao centro da chap a e 6 Ill. a . /, II rlll~1I

exerci da pela agua sobre um lado dll ·hllJ1l1.



I) IIII.u dlllpa re.angular de 1m de largura e 6 m

Iii C'OllIprllllenloes ta imersa verticalmente em

M 0 ("IIJa densidade e de 800 kg/m~ com seu

ludo "' nor paralelo a superf icie e 2 m abaixo,lilli,

(II) A,'h a f or~a lolal exercida sobre urn lado da

1 '1 , 'pll.

(It) ,', a chapa c dividida em duas partes por uma

"11Ip,nnlll,ache a for~a exercida sobre cada111I"e.

I. I III Ililli' 'hara de forma irregular esla imersa verli-

ildll'elll . em agua (veja a figural. A tabela abaixo

II II~IIledidas de sua largura, tomadas as profun-,I d.d N com inlervalos de 0,5 m. .. .. _.

3 3,5 4

4 ,5 3,5.0

f l .1I 1 III a f or~a so bre urn lado da chapa, utilizan-110, ('om" - 6,

(II) I I legra do trapezio

(It) a ,cgm de Simpson

I I I I ('OIlS"Ilc (6.28). Para eslimar 0 desempenho car-

d II '0 f ' (n(llnero de Iitros de sangue que 0 cora<,;lio

Itllllllteiu por minulo atravts da aorta), injeta-se

.1I1111duse de 5 miligramas d e is610po numa

1I,Irlill pulmonar e mede-se , a cada minuto, aI I"Icenlrn~lio do' is610po, e (I), em uma arteria

pc, if 'ral pr6xima da aorta. Os resultados constam

,iiI Illueb abaixo. Use a regra de Simpson, com

/I - 12, para eslimar 0 desempenho cardfaco.

; J : ( r i r l~ ) : ;f~t:(i)( m W L r0 0

1 0

2 0,15

3 0,48

4 0,86

5 0,72

6 0,487 0,26

8 0,15

9 0,09

10 0,05

11 0,Dl

12 0

@) 12 Consulte (6.28). Jogam-se 1.200 kg de dicrornalo

de s6dio em urn rio no ponto A e extraem-se, acada

30 segundos, amostras da agua em urn ponto B rio

abaixo. A concentra<,;1ioC (I) no instante I esta

registrada na tabela abaixo. Use a regra do trapezio,

com n = 12, para estimar a taxa de f1uxoF do rio.

.t(s~g( " e M (; ;i l i J r ; i :! m ') ;0 0

30 2,14

60 3,89

90 5,81

120 8,95

150 7,31

180 6,15

210 4,89

240 2,98

270 1,42

300 0,89

330 0,29

360 0

13 Urn industrial eslima que 0 !empo necessario para

urn operario montar delenninado ilem depende

do numero de itens montados previamenle. Se 0

tempo (em minutos) necessario para montar 0

k ~o item e dado por I(k) =20(k + 1)-<),4 + 3,

aproxime, a menos de 1 minuto, por meio de uma

integral definida, 0 tem po necessario para amontagem de

(a) 1 item (b) 4 i tens (c) 8 ilens (d) 16 itens

140 Dfunero de minutos necessarios para uma

pessoa atravessar urn labirinto e estimado em

1(k) = 5k-112

, onde k e 0 Dumero de tentalivas

previas realizadas. Por meio de uma integral

defmida, aproxime 0 tempo necessario para com-pletar 10 tentativas.

15 Urn processador registra dados relativos a estu-

dantes coin base em forrnularios preenchidos. 0

Dumero de minutos necessarios para 0 kn !O _

re.g is tr o e dado' aproximadamente po,

I(k) = 6(1 + krl/ 3. Use uma integral definida

para estimar 0 tempo necessario para uma pessoa

(b) duas pessoas digitarem 300 registros cada

16 Se no Exemplo 4, a taxa' de investimento e

aproximada pOTg(l) = 2t{31+ 1), com g(l) em

milhares de unidades monetarias, use uma inte-

gral defmida para aproximar 0 montanle de

fonna<,;lio de capital DOSinlervalos (0,5] e[5,10].

Exercs. 17-18: Use uma inlegral definida pura apro-

ximar a soma, e arredonde 0 resultado para 0 inteiromais pr6ximo.

100

2 k (k 2 + 1)- 1 / 4 18

k ~l

20 0

2 5k(k 2

+ lOrl13

ka 1

@ ) 19 A velocidadc (em kmlh) de urn autom6vel ao

percorrer uma auto-estrada durante urn perfodo

de 12 minutos esta indicada na Figura. Aproxime,

por meio da regra do trapezio, a distaneia percor-rida a menos de 1 km .

2 4 6 8 10 12 Tempo

(minutos)

@ 20 A acelera~lio (em m /s2) de urn autom6vel durante

urn periodo de 8 segundos esla indicada na Figura.

Use a regra do trapezio para avuliar a varia~lio

Ifquida de v elocidade duranle esse periodo detempo.

Cap. 6 Aplicq ,oes da int egral definida 469

1 2 3 4 5 6 7 8 tempo

(segundos)

21 Obleve-se a tabela que segue registranclo a f or<,;a

fIx) (em Newtons) que atua sobre uma purtieula

ao mover-se 6 metros ao longo de \ lma r eta

coordenada, de x = 1 a x = 7. Estime 0 trabalhorealizado utilizando

(a) a regra do trapezio com n ~ 6

(b) a regra de Simpson com n = 6

2 3

20 23 25

4 5.

22 26

6 7

30 28

22 Urn motociclista sobe uma colina, regislrando avelocidade vIr) (em m/s) ao fim de cada do is

segundos . C om base nos resultados registrados

na tabela a seguir, utilize a regra do trapezio para

aproximar a distlincia percorrida.

23 Urn barco a molor consome gasolina a razlio de

( ~ gallh. Se 0 motor come~a a funcionar

em t - 0, quanta gasolina tera sido consumida em2 horas?

2 4 A popula<,;liode uma cidade vem aumenlando,

desde 1985, a taxa de 1,5 + 0,3Vt + 0;006 (2mi-Ibares de pessoas, por ano, onde 1e 0 numero de

anos ap6s 1985, Supondo que esta taxa pennane-

~a, e que a popula~lio era de 50.000 em 1985,estime a popula<,;lioem 1994.

25 A Figura exibe urn dispositivo lerrnoeletrico, em

que 0 calor e I ransf ormado em energia eJetriea.

Para delerminar a carga total Q (em coulombs)

transferida para 0 fio de cobre, registram-se os

valores (em amperes) a cada isegundo; os

resultados constam d a tabela a seguir.



o 0,5 I,D 1 ,5 2 ,0 2 ,5 3 ,0

o 0 ,2 0 ,6 0 ,7 0 ,8 D ,S 0,2

Com base no fato que [ = dQ/dt, use a regra do

trapezio, com IIq 6, para estimar a carga total

transferid a para 0 f io de cobre durante os tres

primeiros segundos.

@] 26 Seja p (x) a densidade (em cmJkm) de ozonio na

atmosfera a uma altitude de x quilometros acima

do solo. Por exemplo, se p(6) = 0,0052, entao, a

uma altilude de 6 km, ba efetivamente uma

espessura de 0,0052 em de ozonio para cada

quilometro de atmosfera. Se p e uma f un<;ao

continua, a espessura da camada de ozonio entre

as alturas a e b pode ser obtida calculando-se

!p (x) dx . A tabela a seguir da valores de p ( x )a

obtidos experimentalmente.

(a) Estime, pela regra do trapezio, a espessura da

camada de ozonio entre as altitudes de 6 e 42

km, na primavera e no outono.

x (k m } ,.p(i)(primiivern),el: ' ,5{ i )" ( ou·t'riiio) .

0 0,0034 I 0.0038

6 0,0052 I 0,0043

12 0,0124 I 0,0076

18 0,0132 I 0,0104

24 0,0136 I 0,0109

30 0,0084 ! 0,0072

36 0,0034 I 0,0034

42 0,0017 I 0,0016

@] 27 a gas radon pode constituir serio risco quando

" inalado. Se Vet) e 0 volume de ar (em cm3) nos

pulmoes de urn adulto no instante I (em minu-

tos), entao a taxa de varia<;ao de V pode ser

aproximada por V ' (t) = 12.45011:sen (30ltt), A

inala<;ao e a expira<;ao correspondem a

V' (t) > 0 e V·(t) < 0, respectivamente. Supondo

que urn adullo viva em uma casa que tern uma

concentra<;ao de energia radioativa devido ao

radon, de 4,1 x 10-12 jaules/cm3.

(a) Aproxime 0 volume de ar inalado pelo adulto

em cada inspira<;ao.

(b) Se a inala<;ao de mai s d e 0;02 joules de

energia radialiva por ano e considerada peri-

gosa, deve a pessoa permanecer na casa?

28 Uma bicicleta fixa para exercf cios e programada

de f omla que possa ser ajustada para diferentes

niveis de L de intensidade e tempos de realiza<;ao

T. Ela registra 0 tempo decorrido I (em minutos),

para 0 ,,;I ,,; T e 0 numero de c alorias C (/) consu-

midas por minuto no tempo I , onde

Suponha que um individuo se exercite por 16

minutos, com L = 3 para 0,,; 1s 8 e com L = 2

para 8.,,; 1 , ,; 16. Ache 0 numero total de caloriasqueimadas durante 0 exercfcio. -

29 A tabela a seguir da a taxa de crescimento R (em

cm / ano) de um menino mediano de t anos, para10,,; I ,,; 15 '

10 11 12 13 14 15

5,3 5,2 4,9 6,5 9,3 7,0

Use a regra do trapezia, com II=5, para obter

uma aproxima<;ao do crescimento (em centime-

tros) do menino entre seu 10' e 15· aniversarios.

30 Para determinar 0 numero de plancton numa parte

do oceano com 80 metros de profund'dade, um

bi610go marinho extrai amostras sucessivas de 10

metros, obtendo a tabela a seguir, onde p( x ) e a

densidade (em numero / m3) d e plancton a uma

profundidade de x metros.

o 10 20 30 40 50 60 70 80

o 10 25 30 20 15 10 5 0

Use a regra de Simpson, com n =8, para estimar

o numero total de plancton em uma co /una d e

agua de 1 m2

de sec<;iiotransversa, estendendo-seda superf icie ate 0 f undo do oceano.

6.9 EXERCICIOS DE REVlSAo

E~ercs.1-2: Trace 0 grMico da regiao delimitada

pelos graf icos das equa<;oes,e ache a a rea integrando

em r ela<;aoa (a) x e (b) y.

y = _ x2 , Y = i-8

' 2 l = 4 - x , x + 2y = 1

f Exercs.3:4: Ache a area da regiao delimitada pelos

graf icos das equa<;oes.

x =l , x + Y = 1

Y = _ x3 , Y = .f X, 7 x + 3y = 10

Ache a area da regiao entre os graficos das

equa<;oesy =cos i x e y = sen x , de x = n/3 a

A regiao delimitada pel o g ra fi co d e

y = vI + cos 2x e 0 eixo-x, de x = 0 a x = nl2,

gira em tome do eixo-x. Ache 0 volume do s6lido

gerado.

Exercs.7-10 : E sboce a regiao R delimitada pelos

graficos das equa<;oes, e ache 0 volume do s61idogerado pela revolu<;ao de R em tome do eLxo

indicado.iiI"

,7 y=v 4x + 1 Y = 0, X = 0 , x = 2; eixo-x. .8 y = x

4 , Y = 0, x = 1; eixo-)'

9 y= x 3

+ I, x = 0, Y = 2; eixo-)'

10 y=\rx, y =.f X ; eixo-x

Exercs.n-12: A regiao delimitada pelo eixo-x e 0

grafico da equa<;aod ada, de x = 0 a x = b, gira em

tome do eixo-y. Ache 0 volume do s6lido resultante.

, 211 y =cosx ;

12 y =

xsenx3

;

13 Ache 0 volume do s61ido gerado pela revolu«,ii0

da regiao delimitada pelos graficos de y = 4 x' e

4 x + y = 8 em tome (a) do eixo-x (b) x = 1 (c)

Y = 16

14 Ache 0 volume do s6lido gerado pela revoluro

da regiao delimitada pelos graficos de y = x , x

= 2 e y = 0 em tome (a) do eixo-x (b) do eLxD-)'

(c) x = 2 (d) x = 3 (e) y = 8 (0 y = -1.

15 Ache 0 comprimen to do arco do' graf ic o d e

2 3 3( x + 3) = 8 (y . 1) de A( -2'2) a B(5, 3).

16 Um s6lido tem por base a regiao do plano .rydelimitada pelos graficos del = 4:<ex = 4. Ache

o volume do s6lido, se toda s ec<;ao'transversa porum plano perpendicular ao eixo-x e urn triangulo

retangulo is6sceles com urn dos lados iguais na

base do s6lido.

17 Uma piscina construida acima do solo tem a

f orma de um cilindro circular reto de 12 pes (4 m)

de diametro e 5 pes (1,50 01) de altura. Se a

profundidade da agua na piscina e d e 4 pes

(1,20 m), determine 0 trabalho necessario para

bombear a agua pelo topo da piscina.

18 Ao se i<;arum balde por UDladistancia de 30 pes

(9 m) do fundo de urn pOlio,'a agua vaza a uma

razao constante. Ache 0 trabalho reafizado s e 0

balde contem originalmente 24 libras (11 'kg) de

agua e urn ter<;oda agua vaza. Admita que 0 balde

vazio pese 4 libras (1,8 kg) e despreze '0 peso da

corda.

19 Uma chapaquadrada de 4 pes (1,22 m) d,e lado

esta submersa verticalmente em .agua de tal

modo que UDladas diagonais e paralela a super-

ffcie da agua. Se a distancia da superf icie ao

centro da chapa e de 6 pes (1,83 m), ache a f or<;a

exercida pela agua sobre urn Jado da chapa.

20 Use diferenciais para aproximar 0 comprimentol .

do arco do grafico de y = 2 sen 3x entre os pont os

de coordenada-x n e 91n /90.

Exercs. 21·22: Esbocc a regiao delimitada pelos grn-

f icos das equa<;6es e ache m , M x , My e 0 centr6idc.

23 0 gnlfico da equa<;ao 12 y = 4x3 + (3 / x) de

A(l l- ) a B ( 2 , f il )revolve em tome do eixo-x., 12 24

Ache a area da superf icie resultante.

24 Obtem-se a forma do refletor de urn holofote

revolvendo se urna parabola em tOIDOdo seu



revolvendo-se urna parabola em tOIDOdo seu

eixo. Se , conforme a f igura, 0refletor tern 4 pes

(1,22 rn) de abertura e 1 pe (30 em) de profun-

didade, ache a Mea de sua superfide.

( 1 , L

N J, ,

~30cm

25 A velocidade v(t) de UIIj foguete que caminha

diretarnente para drna consta da tabela a seguir.

Use a regra do trapezio para aproximar a distancia

pcrcorrida pelo foguete de t = 0 a t = 5.

I 26 Urn eletridsta suspeita que urn medidor de luz

que acusa urn consurno total de Q kw/b nao este ja

f uncionando correntamente. Para testar a exati·

dao, 0eletricista mede a taxa de consumo R a

cada 10 minutos, obtendo os resultados da tabelaabaixo.

(a) Use a regra de -Simpson para estimar .0

consurno total durante este perfodo de uma _

hora. ' ':'. \

(b) Se 0medidor aensa 48.792 kwlh no corne~~

da experiencia e 48.953 DOffm, qual d eve sera conclusao do e1etridsta?

1 427 Interprete f. 2m- dx:

o

(a) como area de uma regiao do plano-xy

(b) como volume de urn s6lido obtido pel a re v~-

lu~ao de urna regiao em to rno .

(c) como urn trabalbo realizado por uma for~a:.'I;

28 Seja R a regiao semicircular d o p lano-xy c o n ' ,extremidades do diametro em (4, 0) e (10, 0). Use

o teorema de Pappus para achar 0volume do

s6lido obtido pela revolu~ao de R em tOIDOdo

eixo-y.

Documents

Livro Calculo 1 - swokowski 7º parte.pdf