Livro Com Referencial Geometria Espacial e Analitica Referencial

UNIVERSIDADE DE UBERABA

Geometria espacial

Geometria analtica

Uberaba - MG 2010

2010 by Universidade de Uberaba

Todos os direitos de publicao e reproduo, em parte ou no todo, reservados para a

Universidade de Uberaba.

Reitor

Marcelo Palmrio

Pr-Reitora de Ensino Superior

Inara Barbosa Pena Elias

Pr-Reitor de Logstica para Educao a Distncia

Fernando Csar Marra e Silva

Assessoria Tcnica

Ymiracy N. Sousa Polak

Produo de Material Didtico

Comisso Central de Produo

Subcomisso de Produo

Editorao

Superviso de Editorao

Equipe de Diagramao e Arte

Edio

Universidade de Uberaba

Av. Nen Sabino, 1801 Bairro Universitrio

Sobre os Autores Vldina Gonalves da Costa Licenciada em Matemtica pela Universidade de Uberaba. Mestre em Educao pela Universidade de Uberaba. Doutora em Educao Matemtica pela Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo - PUC-SP. Professora da Universidade Federal do Tringulo Mineiro - UFTM. Julio Cesar de Jesus Onofre Mestre em Matemtica pela Universidade Federal de So Carlos UFSCar 2002. Bacharel e Licenciado em Matemtica pela Universidade Federal de Viosa UFV 1999. Ex-professor dos cursos de Licenciatura em Matemtica, Engenharia Eltrica e Engenharia de Produo da Universidade de Uberaba UNIUBE e do curso de Licenciatura em Matemtica da Fundao Educacional de Ituverava FEI. Atualmente professor efetivo do Centro Federal de Educao Tecnolgica de Minas Gerais CEFET/MG.

Pierry Martins Silva Licenciado em Matemtica pela Universidade de Uberaba (UNIUBE) Uberaba/MG, em 2006.

Sumrio Apresentao ......................................................................................... 04

Captulo 1 Poliedros e corpos redondos: prismas e cilindros .............. 05

Captulo 2 Pirmide e cone .................................................................. 51

Captulo 3 Esfera ............................................................................... 102

Captulo 4 Pontos e retas: definies, exemplos e propriedades ...... 131

Captulo 5 Introduo ao estudo das circunferncias e elipses ......... 203

Captulo 6 Introduo ao estudo das parbolas e hiprboles ............ 266

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Apresentao Caro estudante Este livro Geometria Espacial e Geometria Analtica, est orientado no s pela teoria, mas tambm pela prtica e por atividades pedaggicas que podem ser utilizadas como ferramentas para a prtica profissional.Proposta que acompanha a formao de professores seja inicial ou continuada. O estudo de Geometria Espacial proporciona ao estudante fazer relaes com o seu cotidiano, aplicar conhecimentos aprendidos no dia-a-dia, alm de ajudar a desenvolver a viso espacial to necessria ao professor de matemtica. O estudo de Geometria Analtica, como o prprio nome diz, possibilitar a anlise de temas como: o ponto, a reta e as cnicas. Em relao Geometria Espacial, apresentada nos captulos um ,dois e trs,discute-se,no captulo, os conceitos de poliedros convexos, prismas e cilindros, no segundo, s pirmides e aos cones, no terceiro,traz o estudo da esfera.Para captulos quatro,cinco e seis, reservados Geometria Analtica, tem-se,no quarto captulo,o estudo de pontos e retas:definies, exemplos e propriedades, no quinto, introduo ao estudo das circunferncias e elipses e, no sexto,introduo ao estudo das parbolas e hiprboles. Desejamos a voc bons estudos, que voc consiga desenvolver seus objetivos e como educador que continue estudando, pesquisando e buscando formas diferenciadas de ensinar e aprender a Geometria.

Bom estudo!

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Captulo 1 - Poliedros e corpos redondos: prismas e cilindros

Vldina Gonalves da Costa

Introduo Neste captulo daremos continuidade aos estudos sobre poliedros e os corpos redondos, agora, com uma abordagem mais ampla. Ser necessrio, para esse captulo, fazer uma reviso do assunto abordado no captulo - Slidos geomtricos, noes primitivas e segmento de reta, disponvel no volume 1 - Geometria: slidos geomtricos, ngulos, polgonos e congruncia, e tambm sobre os prismas, assunto abordado no captulo 4 Aplicaes de Congruncia, disponvel tambm no volume 1.

Prismas e cilindros Voc j verificou que os prismas so poliedros convexos. Certo! Tambm aprendeu que as faces laterais so formadas por paralelogramos e a base pode ser formada por qualquer polgono convexo. Lembra? Em relao ao cilindro voc verificou que uma figura que rola e o classificou como corpo redondo. Recorda? Estes conceitos foram feitos utilizando os slidos geomtricos, portanto pegue-os novamente. Voc ir estudar uma definio mais formal tanto para os prismas quanto para os cilindros. Prossiga na leitura!

Relembrando

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Objetivos Espero que, no final deste captulo, voc seja capaz de:

identificar, classificar e nomear os prismas e os cilindros;

aplicar as frmulas do clculo de reas e volume dos prismas e dos cilindros a situaes diversas;

identificar poliedros de Plato;

determinar a soma dos ngulos das faces de um poliedro convexo.

Esquema Inicialmente, voc estudar os poliedros convexos: conceitos, elementos, medidas dos ngulos, Relao de Euler e poliedros de Plato. Em seguida, os prismas: conceitos, elementos, classificao, reas e volume; e, posteriormente, os cilindros: conceitos, elementos, classificao, reas e volume.

1.1 Poliedros convexos e corpos redondos No volume 1, captulo 1: Slidos geomtricos, noes primitivas e segmento de reta, voc trabalhou com 14 slidos geomtricos e fez anotaes em seu caderno em cada uma das figuras relacionadas a eles. Certo? Para esse estudo pegue essas figuras. Pegou o material? Ok!

Quais os nmeros das figuras que foram consideradas corpos redondos? Achou?

Voc deve ter encontrado que as figuras de nmero 4, 10 e 12 eram corpos redondos e mais especificamente a figura de nmero 10 um cilindro, assunto desse captulo. Das quatorze figuras voc encontrou na poca onze que eram poliedro, lembra?

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Depois voc classificou os poliedros em cncavos e convexos. Ok? Verifique, em seu caderno, quais as figuras foram consideradas poliedros convexos. Verificou? Ok? Voc deve ter encontrado que as figuras 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13. Assim, das 14 figuras apresentadas, 10 so poliedros convexos. Ento, as condies para que um poliedro seja convexo so:

a) dois polgonos convexos no esto no mesmo plano;

b) cada lado do polgono convexo comum a dois e somente dois polgonos convexos;

c) o plano de cada polgono deixa os demais polgonos convexos num

mesmo semi-espao. Lembrando que o nmero de faces precisa ser maior ou igual a quatro.

1.1.1 Elementos do poliedro Voc tambm j estudou que os poliedros possuem alguns elementos. Utilizando o seu caderno ou o captulo 1 do volume 1, escreva quais so esses elementos. Conseguiu? Voc deve ter encontrado que os poliedros possuem os seguintes elementos: faces, vrtices, arestas e ngulos polidricos.

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Conseguiu identificar? Espero que sim! Confira suas respostas com expresso a seguir. Voc deve ter encontrado que: - a figura 1 possui 5 faces, 6 vrtices, 9 arestas e 6 ngulos polidricos; - a figura 2 possui 7 faces, 7 vrtices, 12 arestas e 7 ngulos polidricos. Assim, os elementos dos poliedros so: faces, vrtices, arestas e ngulos polidricos.

Verifique quantos so os elementos de cada poliedro a seguir.

Figura 1

Figura 2

Faces: Faces: Vrtices: Vrtices: Arestas: Arestas: ngulos polidricos: ngulos polidricos:

Agora a sua vez

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1.1.2 Relao de Euler Voc estudou tambm no volume 1, captulo 1, a Relao de Euler por meio da induo emprica. Lembra? Voc verificou que: Para todo poliedro convexo, ou para sua superfcie, vale a relao V - A + F = 2, em que V o nmero de vrtices, A o nmero de arestas e F o nmero de faces do poliedro. (DOLCE; POMPEO, 2005, p. 124). Ateno na demonstrao a seguir. 1. Em carter preliminar, por induo finita, faz-se a demonstrao para uma superfcie polidrica limitada convexa aberta, na qual vale a relao:

Va + Aa + Fa = 1 Va o nmero de vrtices; Aa o numero de arestas; Fa o nmero de faces. a) Verificando que Fa = 1. Se Fa=1, ento, a superfcie ficou reduzida a um polgono plano convexo de n lados. Assim, Va = n e Aa=n. Substituindo tem-se:

Va Aa + Fa = n - n + 1 = 1 Va Aa + Fa = 1 b) Identificando a hiptese de induo. Admite-se que a relao vale para uma superfcie de F faces, que possui V vrtices e A arestas, ou seja: V A + F = 1. c) Agora acrescenta-se uma face a essa superfcie aberta. Esta face ter p arestas (lados) e considera-se que q dessas arestas (lados) coincidem com as arestas j existentes, obtendo uma nova superfcie com Fa faces, Aa arestas e Va vrtices tais que: Fa = F + 1

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Aa = A + p q (q arestas coincidiram) Va = V + p (q + 1) (q arestas coincidindo, q + 1 vrtices coincidem) Formando a expresso Va Aa + Fa e substituindo os valores acima, tem-se: Va Aa + Fa = [V + p (q + 1)] [(A + p q)] + (F + 1) = V + p q 1 A p + q F + 1 = V A + F Como Va Aa + Fa = V A + F provou-se que essa expresso no se altera ao acrescentar (ou retirar) uma face da superfcie. Se, por hiptese, temos que V A + F = 1, ento Va Aa + Fa = 1, o que prova a relao preliminar. 2. Agora, para uma superfcie polidrica limitada convexa fechada. Seja a superfcie de qualquer poliedro convexo ou qualquer superfcie polidrica limitada convexa fechada (com V vrtices, A arestas e F faces), e dela retira-se uma face. Tem-se, ento, uma superfcie aberta (com Va vrtices, Aa arestas e Fa faces) para a qual vale a relao Va Aa + Fa = 1. Como Va = V; Aa = A e Fa = F 1, substituindo temos: V A + (F 1) = 1 V A + F = 2. Assim, para todo poliedro convexo, ou para sua superfcie, vale a relao V - A + F = 2, em que V o nmero de vrtices, A o nmero de arestas e F o nmero de faces do poliedro. 1.1.3 Soma dos ngulos das faces de um poliedro convexo possvel calcular a soma dos ngulos de todas as faces de um poliedro convexo por meio da frmula S = (V 2).4r, onde:

V nmero de vrtices r um ngulo reto (igual a 90).

Mas de onde vem essa frmula?

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Demonstrao da frmula S = (V 2).4r

Pesquise em livros ou na internet, dentre outras, a demonstrao da frmula para a soma dos ngulos de todas as faces de um poliedro convexo.

1) Um poliedro convexo de oito faces tem cinco faces triangulares e trs pentagonais. Calcule o nmero de arestas e o nmero de vrtices desse poliedro. Resoluo: Nmero de arestas: Nas 5 faces triangulares temos 5 x 3 arestas e nas 3 faces pentagonais temos 3 x 5 arestas. Como cada aresta comum a duas faces, todas as arestas foram contadas 2 vezes. Ento: 2A = 5 x 3 + 3 x 5 2A = 30 A = 15 Nmero de vrtices: Se F = 8 e A = 15, podemos utilizar a relao de Euler (V + F A = 2) para determinar V. Veja: V + F A = 2 V + 8 15 = 2 V 7 = 2 V = 9 Resposta: O nmero de arestas 15 e o nmero de vrtices 9. 2) Qual a soma dos ngulos das faces de um poliedro convexo que tem 11 faces e 18 arestas? Resoluo: Para sabermos a soma dos ngulos das faces [S = (V 2).4r] precisamos do nmero de vrtices. Vamos recorrer relao de Euler: V + F A = 2 V + F A = 2 V + 11 18 = 2 V 7 = 2 V = 9 Substituindo em S = (V 2).4r, tem-se: S = (V 2).4r S = (9 2).4.90 S = 7.4.90 S = 2520 o

S = 7.2.180 radS 14

Resposta: A soma dos ngulos das faces desse poliedro convexo 2520 ou rad14 .

Exemplificando!

Pesquisando

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1.1.4 Poliedros de Plato Voltando ao volume 1, captulo 1 - Slidos geomtricos, noes primitivas e segmento de reta, voc verificou, neste captulo, que alguns poliedros foram considerados poliedros de Plato. Certo? Voc deve ter encontrado que as condies necessrias para que um poliedro seja considerado poliedro de Plato so:

a) todas as faces tm o mesmo nmero (n) de arestas; b) todos os ngulos polidricos tm o mesmo nmero (m) de arestas; c) vale a relao de Euler (V A + F = 2).

De acordo com essas condies existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Plato. So: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro. Para que um poliedro seja regular so necessrias algumas condies:

1. As faces so formadas por polgonos regulares e congruentes, assim todos eles tm o mesmo nmero de arestas; 2. os ngulos polidricos so congruentes, assim todos eles tm o mesmo nmero de arestas.

Dessa forma, existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros regulares.

Poliedros de Plato

Pesquisando em livros ou na internet, verifique quais as condies necessrias para que um poliedro seja considerado poliedro de Plato.

Pesquisando

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So: tetraedro regular, hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular, icosaedro regular. Eles so considerados poliedros regulares de Plato. Ento, podemos afirmar que todo poliedro de Plato regular? No. Existem poliedros de Plato que no possuem todas as faces formadas por polgonos regulares congruentes.

Parada Obrigatria Responda a atividade 1, que est no final deste captulo.

Confira se voc acertou no referencial de respostas!!! Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dvida, retome a leitura do texto ou pesquise em livros ou na internet. 1.2 Prismas 1.2.1 Conceitos e elementos No captulo 4 Aplicaes de Congruncia, disponvel no volume 1 - Geometria: slidos geomtricos, ngulos, polgonos e congruncia, voc fez a classificao dos prismas e anotou em seu caderno de acordo com enumerao das figuras. Voc encontrou que as figuras de nmero: 1, 2, 5, 6 e 11, foram consideradas prismas e que as condies para classific-las foram:

1) so poliedros convexos; 2) possuem bases paralelas e congruentes; 3) possuem faces laterais formadas por paralelogramos.

Definindo prisma: Consideremos um polgono convexo (regio poligonal convexa) ABCD...MN

situado num plano e um segmento de reta PQ , cuja reta suporte intercepta o

plano . Chama-se prisma (ou prisma convexo) reunio de todos os

segmentos congruentes e paralelos a PQ , com uma extremidade nos pontos do

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polgono e situados num mesmo semi-espao dos determinados por .

(DOLCE; POMPEO, 2005, p.139). OU Prisma convexo limitado ou prisma convexo definido ou prisma convexo a reunio da parte do prisma convexo ilimitado, compreendida entre os planos de duas seces paralelas e distintas, com essas seces. (DOLCE; POMPEO, 2005, p.139). Para contar os elementos do poliedro ser utilizado o prisma triangular reto (figura 6). Acompanhe!

1. Bases: ABC e DEF, portanto so duas bases. Observe que elas so paralelas e congruentes;

Figura 3: polgono convexo

ABCD...MN e planos e .

Fonte: Acervo EAD - UNIUBE, 2007.

Figura 4: prisma ilimitado.

Fonte: Acervo EAD - UNIUBE, 2007. Figura 5: prisma.

Fonte: Acervo EAD - UNIUBE, 2007.

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2. Faces laterais: CFBE, BEAD e ADCF, portanto trs. Observe que so paralelogramos;

3. Total de faces: CFBE, BEAD, ADCF, ABC e DEF, portanto cinco.

4. Arestas laterais: CF, BE e AD, portanto trs. Observe que elas so paralelas;

5. Total de arestas: CF, BE, AD, AC, BC, AB, DF, EF e DE, portanto nove.

6. Vrtices: A, B, C, D, E, e F, portanto seis. 7. Diedros: antes de verificarmos o que um diedro e procedermos a contagem dos mesmos vamos verificar quais so os planos das faces:

Figura 6: prisma triangular reto 1. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 7: plano ABC. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 8: plano ACDF. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 9: prisma triangular reto 2. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

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Observe o desenho a seguir, nele colocamos um ponto em cada aresta para poder denominar os diedros.

Assim, os diedros so, portanto, nove:

, , , , , , , ,O G I N J M L H K .

Desenhando cada diedro tem-se:

Figura 13: prisma triangular reto 3.

Fonte: acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 14: diedro O .

Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 15: diedro G .


Figura 16: diedro I .


Figura 10: plano DEF. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 11: plano BCEF. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 12: plano ABED. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

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8. Triedros:

Triedro: Dadas trs semi-retas Va, Vb, Vc, de mesma origem V, no coplanares, consideramos os semi-espaos

321 ,, e , como segue:

Figura 17: diedro N . Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 18: diedro J . Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 19: diedro M .


Figura 20: diedro L .


Figura 21: diedro H .


Figura 22: diedro K .


Figura 23: triedro V(a, b,c). Fonte: acervo EAD UNIUBE, 2007.

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,1 com origem no plano (bc) e contendo Va;

,2 com origem no plano (ac) e contendo Vb;

,3 com origem no plano (ab) e contendo Vc;

Triedro determinado por Va, Vb e Vc a interseco dos semi-espaos

321 ,, e .

Exemplo:

V(a, b, c) = 321

Assim, os triedros desse prisma so: , , ; , , ; , , ; , , ;A D C F

, , ; , ,B E , portanto seis.

Desenhando cada triedro temos:

Figura 24: prisma triangular reto 4. Fonte: acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 25: triedro ,,A .


Figura 26: triedro ,,D .


Figura 27: triedro ,,C .


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Para generalizar tomar-se- como referncia o total de faces laterais e, como o nmero de bases sempre constante e igual a 2, elas no fazem parte da generalizao:

Os elementos do prisma triangular reto so:

1. Bases: 2 2. Faces laterais: 3 3. Total de faces: 5 4. Arestas laterais: 3 5. Total de arestas: 9 6. Diedros: 9 7. Vrtices: 6 8. Triedros: 6

Sintetizando...

Figura 28: triedro ,,F .


Figura 29: triedro ,,B .


Figura 30: triedro ,,E .


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Pesquise em livros ou na internet, o significado de: seco de um prisma, seco reta ou seco normal de um prisma, superfcie lateral, superfcie total.

1. Faces laterais: n 2. Total de faces: (n + 2) 3. Arestas laterais: n 4. Total de arestas: 3n 5. Vrtices: 2n 6. Diedros: 3n 7. Triedros: 2n Outro elemento a altura do prisma que corresponde a distncia h entre os planos das bases.

Confira se o que voc encontrou semelhante ao expresso a seguir.

Figura 31: prisma reto. Fonte: acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 32: prisma oblquo. Fonte: acervo EAD UNIUBE, 2007.

Pesquisando

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1) Seco de um prisma a interseo do prisma com um plano que intercepta

todas as arestas laterais. A seco de um prisma um polgono com vrtice em cada aresta lateral. (DOLCE; POMPEO, 2005, p.140).

Figura 33: seco de um prisma. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2010.

2) Seco reta ou seco normal de um prisma uma seco cujo plano

perpendicular s arestas laterais. (DOLCE; POMPEO, 2005, p.140). 3) Superfcie lateral a reunio das faces laterais. (DOLCE; POMPEO, 2005,

p.140). 4) Superfcie total a reunio da superfcie lateral com as bases. (DOLCE; POMPEO, 2005, p.140)

Como j vimos anteriormente, o trabalho est na base da atividade econmica e s pode ser pensado como um tipo de atividade exercida unicamente por homens, partcipes de uma sociedade, atividade essa que transforma formas naturais em produtos que satisfazem necessidades e cria a riqueza social. Diferentemente das atividades naturais, o trabalho uma relao mediada entre aqueles que o executam homens em sociedade e o seu objeto as diversas formas da natureza.

Relembrando

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Sabendo que a soma dos ngulos das faces de um prisma igual a 40 retos, qual a natureza do prisma? Para calcular preciso saber como determinar a soma dos ngulos de todas as faces de um prisma de n faces laterais. Dessa forma, a base um polgono de n lados e a soma dos ngulos internos de um polgono dada pela frmula Si = (n 2).180 ou Si = (n 2).2r, onde r indica ngulo reto (r = 90) e n o nmero de lados do polgono. Como o prisma possui duas bases, para se determinar a soma dos ngulos internos das bases s multiplicar por dois, ou seja, Si = 2.(n 2).2r As faces laterais do prisma so quadrilteros e a soma dos ngulos internos de um quadriltero igual a Si = 360 ou Si = 4r. Como so n faces laterais a soma total dos ngulos internos das faces laterais igual a Sf = n.4r. A de todos os ngulos ser a soma dos ngulos das bases mais a soma dos ngulos das faces laterais: S = 2.(n 2).2r + n.4r S = 4nr 8r + 4nr S = 8nr 8r S = 8r.(n 1) Assim, a frmula utilizada para calcular a soma dos ngulos das faces de um prisma S = 8r.(n 1). Resolvendo o exemplo: S = 40r n = ? S = 8r.(n 1) 40r = 8r.(n - 1) 5 = n 1 5 + 1 = n n = 6 Ento, o polgono da base um hexgono, ento pode-se concluir que o prisma de natureza hexagonal, ou seja, uma prisma hexagonal.

Exemplificando!

Como j vimos anteriormente, o trabalho est na base da atividade econmica e s pode ser pensado como um tipo de atividade exercida unicamente por homens, partcipes de uma sociedade, atividade essa que transforma formas naturais em produtos que satisfazem necessidades e cria a riqueza social. Diferentemente das atividades naturais, o trabalho uma relao mediada entre aqueles que o executam homens em sociedade e o seu objeto as diversas formas da natureza.

Relembrando

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Confira se voc acertou no referencial de respostas!!! Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dvida, retome a leitura do texto ou pesquise em livros ou na internet. 1.2.2 Classificao dos paraleleppedos e romboedros Observe as figuras a seguir. Caracterizando os paraleleppedos e os romboedros, tem-se:

Figura 37: cubo. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 38: romboedro oblquo. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 39: romboedro reto. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 34: paraleleppedo oblquo. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 35: paraleleppedo reto. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 36: paraleleppedo reto-retngulo. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

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a) paraleleppedo um prisma cujas bases paralelogramos, ou seja, ao todo so

6 paralelogramos. b) paraleleppedo reto-retngulo ou paraleleppedo retngulo ou ortoedro um prisma reto cujas bases so retngulos, ou seja, ao todo so 6 retngulos. c) cubo um paraleleppedo retngulo cujas arestas so congruentes, ou seja, ao todo so 6 quadrados. d) romboedro um paraleleppedo que possui as doze arestas congruentes entre si, ou seja, ao todo so 6 losangos. e) romboedro reto um paraleleppedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si, ou seja, ao todo so 4 quadrados com 2 losangos. f) romboedro reto-retngulo ou cubo um romboedro reto cujas bases so quadrados, ou seja, ao todo so 6 quadrados. 1.2.3 Cubo: diagonal e rea A partir da figura 40, leia atentamente os itens, analise-os e responda o que se pede. Para isso pesquise na bibliografia bsica, em outros livros ou na internet:

Considere que as arestas de um cubo tenham a seguinte medida: a *a

d

f

a

A

C D

E

F G

H

B

Figura 40: cubo ABCDEFGH. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

quadrado

quadrado

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a) seja f a medida da diagonal de uma das faces do cubo, concluiu-se que para determinar a medida dessa diagonal em funo do lado utilizaremos a frmula

2af . Justifique essa afirmao.

b) seja d a medida da diagonal do cubo, concluiu-se que para determinar a medida dessa diagonal em funo da medida do lado utilizaremos a frmula

3ad . Justifique essa afirmao.

c) a rea (S) da superfcie do cubo dada pela frmula S=6a. Explique por qu. Conseguiu fazer? No prossiga sem responder. Veja se suas respostas conferem com o expresso a seguir.

a) aplicou-se o teorema de Pitgoras no tringulo CDH de hipotenusa f e catetos a.

b) aplicou-se o teorema de Pitgoras no tringulo DGH de hipotenusa d e catetos a e f.

c) como a rea do quadrado a e o cubo possui 6 faces quadradas, ento a rea da superfcie total 6a.

Assim, a frmula para se determinar a diagonal e a rea do cubo so,

respectivamente, 3ad e S = 6a.

1.2.4 Paraleleppedo retngulo: diagonal e rea A partir da figura 41, leia atentamente os itens, analise-os e responda o que se pede. Considere que as arestas de um paraleleppedo retngulo tenham medida a, b e

c *, ,a b c .

Figura 41: paraleleppedo ABCDEFGH. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

d

f1

a b

c

A

B C

D

E

F G

H

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a) supondo que d a medida da diagonal do paraleleppedo retngulo, concluiu-se que para determinar a medida dessa diagonal em funo das medidas dos

lados utilizaremos a frmula cbad . Justifique essa afirmao.

b) a rea (S) da superfcie do paraleleppedo dada pela frmula S = 2.(a.b + a.c + b.c). Explique por qu. Conseguiu fazer? No prossiga sem responder. Veja se suas respostas conferem com o expresso a seguir.

a) Na face ABCEH aplicou-se o teorema de Pitgoras no tringulo BCH de hipotenusa f1 e catetos a e b. Em seguida aplicou-se o teorema de Pitgoras no tringulo CGH para chegar a frmula da diagonal.

b) A rea total soma das reas dos 6 retngulos que so dois a dois

congruentes. Para os retngulos BCEH e ADHG de dimenses a e b tem-se que a rea ser a.b + a.b = 2ab. Para os retngulos ABCD e EFGH de dimenses a e c temos que a rea ser a.c + a.c = 2ac. Para os retngulos CDEF e ABGH de dimenses b e c temos que a rea ser b.c + b.c = 2bc. Assim, a rea total ser S = 2ab + 2ac + 2bc ou S = 2.(ab + ac + bc) ou At = 2.(ab + ac + bc).

Assim, a frmula para se determinar a diagonal e a rea do paraleleppedo so,

respectivamente, cbad e At = 2.(ab + ac + bc).

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Confira se voc acertou no referencial de respostas!!! Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dvida, retome a leitura do texto ou pesquise em livros ou na internet. 1.2.5 Razo entre paraleleppedos retngulos A razo entre dois paraleleppedos retngulos de bases congruentes igual razo entre as alturas. (DOLCE; POMPEO, 2005, p.151).

1.2.6 rea lateral A rea total (At) do prisma

1.2.6.1 rea lateral A

A rea lateral soma das reas das faces laterais.

Vamos encontrar uma frmula para determinar a rea lateral do prisma:

considere um prisma de aresta lateral medindo a e aresta da seco reta

medindo .

Razo entre paraleleppedos retngulos

Pesquise na bibliografia bsica, em outros livros, na internet, a demonstrao para essa propriedade. Em seguida coloque uma reflexo em seu Trabalho de Construo de Aprendizagens.

Pesquisando

28

- cada face do prisma um paralelogramo de base a e altura , portanto a rea de cada uma o produto da medida da base pela medida da altura (seco

reta), ou seja, 1 2 1 2... ... .n nA a a a A a

Veja que n ...21 o permetro do polgono da base do prisma.

Assim, apA .2 , de forma que 2p indica a medida do permetro do polgono da

base e A indica a medida da aresta lateral do prisma. 1.2.6.2 rea total (At) At indica rea total que representa a soma das reas das faces laterais com as reas das bases. Encontrando a frmula para determinar a rea total do prisma:

considere um prisma de aresta lateral A e a rea da base por B ou

Ab. Como as bases so duas tem-se a seguinte frmula:

BAAt .2 ou bt AAA .2

Figura 42: prisma de aresta

lateral 1 2, ,... n .


29

1.2.7 Princpio de Cavalieri Dados dois slidos e um plano, suponha que todo plano, paralelo ao plano dado, ao interceptar um dos dois slidos, intercepta tambm o outro, de tal modo que as duas seces obtidas tenham mesma rea. Sendo assim, os dois slidos tm o mesmo volume. Este princpio foi formalizado por Francesco Bonaventura Cavalieri, 1598-1647. Idem sugesto anterior 1.2.8 Volume de um prisma Antes de abordar o volume de um prisma sero feitas algumas observaes em relao ao volume de um slido qualquer.

a) O volume do slido ou a sua medida um nmero real positivo.

b) Slidos congruentes tm volumes iguais.

A1 = A2 V1 = V2

Figura 43: planos e e slidos 1 e 2.


Princpio de Cavalieri

Pesquise na bibliografia bsica, em outros livros ou na internet, sobre a vida de Francesco Bonaventura Cavalieri.

Em seguida, pesquise tambm a demonstrao do princpio de Cavalieri.

Para ambas pesquisas, faa uma reflexo em seu Trabalho de Construo de Aprendizagem.

Pesquisando

30

c) Se um slido S a reunio de dois slidos S1 e S2 que no tm pontos

interiores comuns, ento o volume de S a soma dos volumes de S1 com S2.

d) Dois slidos so equivalentes se, e somente se, eles tm volumes iguais

na mesma unidade de volume. e)

A - Volume do paraleleppedo retngulo e do cubo Pesquise em livros ou na internet como determinar o volume de um Ao pesquisar voc deve ter encontrado que o volume do paraleleppedo de dimenses a, b e c, igual ao produto dessas dimenses, ou seja,

V = a.b.c Se considerarmos com base as dimenses a e b (Ab = a.b) e a dimenso c por altura (h = c), tem-se que o volume do paraleleppedo o produto da medida da rea da base pela altura, ou seja,

V = Ab.h Em relao ao cubo, se ele possui todas as dimenses congruentes, por exemplo, iguais a a o volume ser:

V = a. a.a V = a B Volume de um prisma qualquer Vamos estabelecer uma relao com o volume do paraleleppedo.

Pesquise em livros ou na internet como determinar o volume de um paraleleppedo retngulo de arestas a, b e c, a partir do volume de um cubo cujas arestas medem 1. Em seguida, faa uma reflexo em seu Trabalho de Construo de Aprendizagem.

Pesquisando

31

Considere um prisma P1 e um paraleleppedo P2, com alturas h, congruentes, com rea da base equivalentes (B1 = B2), e que os dois slidos estejam no

mesmo plano e tambm num dos mesmos semi-espaos determinados por .

Figura 44: planos e e slidos P1 e P2.


Seja um plano paralelo a e que secciona P1 e P2. Pode-se concluir que as

reas determinadas pelo plano so equivalentes s reas das bases, ou seja, B1 = B2 = B1 = B2

Assim, pelo princpio de Cavalieri, o prisma e o paraleleppedo tm volumes iguais, ou seja, VP1 = VP2 Se VP2 = Ab.h, ento o VP1 = Ab.h. Concluindo, o volume de um prisma igual ao produto da medida da rea da base pela medida da altura, ou seja,

V = B.h ou V = Ab.h, onde:

V = volume B ou Ab = rea da base h = altura

Para saber mais sobre a demonstrao do volume do prisma busque na bibliografia bsica, em outros livros ou na internet e, em seguida, faa uma reflexo em seu Trabalho de Construo de Aprendizagem.

Saiba mais

32

Vamos pensar no volume de um cubo cujas arestas medem a. Determine a medida da rea da base, Ab. Se as arestas medem a, qual a medida da altura do cubo? Confira suas respostas com o expresso a seguir. Ab = a e h = a Se o volume igual ao produto da medida da rea da base pela medida da altura, ento a medida do volume do cubo tambm pode ser expressa por V = a. Vamos pensar no volume de um paraleleppedo retngulo cujas arestas da base medem a e b e altura c: Determine a medida da rea da base, Ab, sabendo que suas dimenses so a e b. Se as arestas da base medem a e b, qual a medida da altura do paraleleppedo? Confira suas respostas com o expresso a seguir. Ab = a.b e h = c Se o volume igual ao produto da medida da rea da base pela medida da altura, ento a medida do volume do paraleleppedo tambm pode ser expressa por V = a.b.c.

E se o prisma for oblquo?

Volume do prisma oblquo

Pesquise em livros ou na internet a demonstrao feita para o clculo do volume para o prisma oblquo.

Em seguida, faa uma reflexo em seu Trabalho de Construo de Aprendizagem.

Pesquisando

33


Confira se voc acertou no referencial de respostas!!! Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dvida, retome a leitura do texto ou pesquise em livros ou na internet.

1.3. Cilindros 1.3.1 Conceitos, elementos e superfcies A- Conceitos No captulo 1 Slidos geomtricos, noes primitivas e segmento de reta, disponvel no volume 1 - Geometria: slidos geomtricos, ngulos, polgonos e congruncia, voc fez a classificao dos corpos redondos utilizando as atividades propostas. Lembra? Se no, procure esse captulo e o seu caderno para iniciarmos nosso estudo sobre os cilindros. Pesquisando nesse material e de acordo com a enumerao feita para os corpos redondos, o nmero da figura que corresponde ao cilindro 10. Definio de cilindro

Figura 45: planos e e cilindros.


34

Consideremos um crculo (regio circular) de centro O e raio r, situado num plano , e um segmento de reta PQ, no nulo, no paralelo e no contido em

. Chama-se cilindro circular ou cilindro reunio dos segmentos congruentes

e paralelos a PQ, com uma extremidade nos pontos do crculo e situados num mesmo semi-espao dos determinados por . (DOLCE & POMPEO, 2005, p.

217). B- Elementos e superfcies Para conhecer os elementos de um cilindro, voc ir identificar o nome do elemento a partir dos conceitos expressos a seguir. Para isso voc poder pesquisar em livros, na internet, dentre outros.

Figura 46: cilindro 2.


1. _____________ so crculos congruentes situados em planos paralelos. 2. _____________ so segmentos com uma extremidade em um ponto da circunferncia de centro O e raio r e a outra no ponto correspondente da circunferncia de centro O e raio r. Utilizaremos o smbolo g para represent-la. 3. _____________ a distncia h entre os planos das bases. 4. _____________ a reta determinada pelos centros das bases, nesse caso,

'O O . Agora, voc far o mesmo para as superfcies do cilindro. 1. _____________________________ a reunio das geratrizes do cilindro.

Tambm chamada de rea lateral e indicada por A .

r

r

35

2. _____________________________ a reunio da superfcie lateral com os crculos das bases. Tambm chamada de rea total e indicada por At.

As superfcies so, respectivamente, superfcie lateral e superfcie total. 1.3.2 Classificao dos cilindros A Cilindro Oblquo No cilindro oblquo as geratrizes (g) so oblquas aos planos da base. Observe!

Figura 47: cilindro oblquo 1.


B- Cilindro de revoluo ou cilindro reto

Os elementos de um cilindro, de acordo com o proposto so, respectivamente, bases, geratrizes, altura e eixo do cilindro.

Sintetizando...

36

O cilindro pode ser gerado pela movimentao de um retngulo em torno de um eixo; nesse caso temos um cilindro de revoluo ou cilindro reto. Veja: O movimento do retngulo ao redor do eixo faz gerar o cilindro.

Figura 48: retngulo ABCD. Figura 49: cilindro de revoluo.


Veja outro desenho: O cilindro reto tambm chamado de cilindro de revoluo.

Essa pode ser uma atividade para voc fazer com seus alunos. Desenhe um retngulo e cole-o em um canudinho como no eixo acima. Gire o canudinho e observe a figura formada.

Dicas

37

Figura 50: cilindro reto 1.


No cilindro reto as geratrizes so perpendiculares aos planos da base. C Cilindro Eqiltero Um cilindro reto cuja medida da altura igual ao dobro da medida do raio da base (h = g = 2r), recebe o nome de cilindro eqiltero. Observe o desenho a seguir



A interseo do cilindro com o plano que contm o eixo chamada de seco meridiana. Ento, a seco meridiana de um cilindro eqiltero um quadrado. Veja que na figura 51 ele est representado na cor cinza.

38

A partir do estudo da seco meridiana para o cilindro eqiltero procure determinar qual ser a figura formada na seco meridiana de um cilindro reto que no seja eqiltero e de um cilindro oblquo. Veja os desenhos: 1) cilindro oblquo

Figura 52: cilindro oblquo 2.


No cilindro oblquo, a seco meridiana ser um _________________________

2) cilindro reto rh 2

39



No cilindro reto, a seco meridiana ser um __________________________ 1.3.3 rea lateral e rea total Se voc fizer a planificao de um cilindro circular reto ou de um cilindro de revoluo a figura encontrada ser:

A seco meridiana no cilindro oblquo ser um paralelogramo e no cilindro reto ser um retngulo.

Sintetizando...

40

Figura 54: Planificao do cilindro reto.


Como voc observa, tem-se dois crculos (bases) e um retngulo (superfcie lateral). As dimenses do retngulo so: a altura do cilindro (h) e a base o

comprimento da circunferncia 2. .r .

Assim, para calcular a rea lateral basta determinar a rea do retngulo.

Sabendo que a rea do retngulo b.h (A = b.h), ento a rea lateral A do

cilindro ser: _____________.

Para a rea total tem-se: bt AAA .2 . duas vezes a rea da base porque temos duas bases (dois crculos), veja na planificao acima.

Assim, a rea total ser: 2..2..2 rhrAt __________________tA

A rea lateral do cilindro igual a hrA ..2 e a rea total igual a

rhrAt .2 .

Sintetizando...

41

1.3.4 Volume do cilindro Para determinar o volume do cilindro utilizaremos o Princpio de Cavalieri, visto no item dos prismas. Considere um cilindro e um prisma com a mesma medida da altura (h) e bases congruentes e equivalentes, B1 e A1, respectivamente, de maneira que B1 = B e A1 = B. Suponha que esses slidos as bases num plano e que esto num dos semi-

espaos determinados por .

Seja um plano paralelo a e que secciona o cilindro e o prisma, conforme a

figura 55, a seguir.

Figura 55: plano // , cilindro e prisma.


Observe que se o plano paralelo a , ento as seces determinadas por

eles B1 e A1, do cilindro e do prisma, respectivamente, tm reas iguais, pois so congruentes s bases. Isso ocorre tambm, com qualquer plano que for paralelo ao plano . Assim,

(B1 = B1, A1 = A1, B1 = A1 = B) B1 = A1

42

Pode-se concluir que pelo princpio de Cavalieri, o cilindro e o prisma tm volumes iguais. Como o volume do prisma : Vprisma = A1.h, ou seja, o produto da medida da rea da base pela medida da altura, pode concluir que o volume do cilindro tambm esse: Vcilindro = B.h


Confira se voc acertou no referencial de respostas!!! Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dvida, retome a leitura do texto ou pesquise em livros ou na internet. 1.4 Resumo Nesse captulo voc estudou os poliedros convexos: conceitos, elementos, medidas dos ngulos, a relao de Euler e os poliedros de Plato. Voc tambm estudou conceitos, elementos, classificao, reas e volume tanto para os prismas quanto para os cilindros. A importncia da sequncia adota est na semelhana das relaes entre o clculo das reas e dos volumes para os dois grupos: a rea total corresponde a soma da rea lateral mais duas vezes a rea da base e, o volume, corresponde ao produto da medida da rea da base pela medida da altura. Para continuar seus estudos utilize a pesquisa e a leitura como elementos fundamentais para a compreenso destes temas. Esperamos que voc no se limite as atividades propostas e busque outras, procurando se aperfeioar; e, que este estudo tenha ampliado sua viso de educador

O volume de um cilindro o produto da medida da rea da base pela medida da altura.

Vcilindro = B.h ou Vcilindro = r.h

Sintetizando...

43

matemtico em relao aos poliedros, os prismas e os cilindros, j estudados em livros anteriores.

Bom estudo!

Referncia DOLCE, Osvaldo; POMPEO, Jos Nicolau. Fundamentos de matemtica elementar: geometria espacial, posio e mtrica. 6. ed. So Paulo: Atual, 2005. v. 10.

Atividades Atividade 1 1.1) Sabendo que um poliedro convexo possui 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais, determine o nmero de faces, vrtices e arestas desse poliedro convexo. 1.2) Sabendo que um poliedro possui faces triangulares e quadrangulares e que tem 20 arestas e 10 vrtices, determine o nmero de faces de cada espcie e o total de faces desse poliedro. 1.3) Sabendo que a soma dos ngulos das faces de um poliedro convexo 64 retos e que ele possui faces triangulares e heptagonais, determine o nmero de vrtices, o nmero de faces de cada espcie e o total de faces desse poliedro. Atividade 2 2.1) Sabendo que a soma dos ngulos das faces de um prisma igual a 48r, determine a natureza do prisma. 2.2) Qual a natureza de um prisma que possui: a) 10 faces b) 18 arestas Atividade 3 3.1) Sabendo que um cubo possui aresta medindo 4 cm, determine a medida da diagonal de uma face e a medida da diagonal do cubo.

44

3.2) Duas das dimenses de um paraleleppedo retngulo so: 5 cm e 4 cm.

Ache a terceira dimenso, sendo 5 2 cm a medida de uma diagonal. 3.3) Determine a medida da diagonal de um paraleleppedo, que possui rea total igual a 382 cm e soma das dimenses igual a 24 cm. Atividade 4 4.1) Uma barra de ouro fundida na forma de um prisma cuja base um trapzio. As bases desse trapzio medem 4 cm e 8 cm e a altura da barra 5 cm. O comprimento da barra 20 cm; escreva qual o seu volume. 4.2) A aresta da base de um prisma triangular regular mede 4 cm e a aresta lateral 8 cm. Determine a rea total do prisma e o seu volume. Atividade 5 5.1) Qual a altura de uma caixa dgua cilndrica, sabendo que ela possui 90 m

de raio da base e 720 m de rea lateral?

5.2) Determine a rea lateral de um cilindro equiltero, sendo 10 cm a medida de sua geratriz. 5.3) Um retngulo mede 4 cm por 6 cm. Ache o volume do cilindro obtido ao fazer a rotao completa em torno do maior lado. Referencial de resposta das atividades Atividade 1 1.1) V = ?

45

F3 = 3; F4 = 1; F5 = 1 e F6 = 2 F = (3 + 1 + 1 + 2) F = 7 Nmero de arestas: Nas 3 faces triangulares temos 3 x 3 arestas; em 1 face quadrangular temos 1 x 4 arestas; em 1 face pentagonal temos 1 x 5 arestas; nas 2 faces hexagonais temos 2 x 6 arestas. Como cada aresta comum a duas faces; todas foram contadas 2 vezes. Ento: 2A = 3 x 3 + 1 x 4 + 1 x 5 + 2 x 6 2A = 30 A = 15 Substituindo na relao de Euler temos: V + F A = 2 V + 7 15 = 2 V 8 = 2 V = 10 Resposta: o nmero de faces 7, o nmero de arestas 15 e o nmero de vrtices de 10. 1.2) F3 = ? F4 = ? A = 20 e V = 10 Pela relao de Euler tem-se: V + F A = 2 10 + F 20 = 2 F 10 = 2 F = 12. Assim, F3 + F4 = 12 (1) Nas faces triangulares temos F3 x 3 arestas e nas faces quadrangulares temos F4 x 4 arestas. Assim, 2A = 3F3 + 4 F4 40 = 3F3 + 4F4 (2) Com a 1 e a 2 equao montamos um sistema de equaes do 1 grau:

3 4

3 4

F + F = 12

3F + 4F = 40

Resolvendo pelo mtodo da substituio, temos na 1 equao que F3 = 12 F4.

46

Substituindo esse valor na 2 equao tem-se: 3.(12 F4) + 4F4 = 40 36 3F4 + 4F4 = 40 36 + F4 = 40 F4 = 4. Substituindo esse valor na 1 equao tem-se: F3 + 4 = 12 F3 = 8. O total de faces igual a: F = F3 + F4 F = 8 + 4 F = 12 Resposta: o nmero de faces triangulares 8, o nmero de faces quadrangulares 4 e o total de faces 12. 1.3) F3 = ? e F7= ? A = 28; S = 64 retos S = 64r S = (V 2).4r 64r = (V 2).4r 16 = V 2 V = 18 V + F A = 2 18 + F 28 = 2 F 10 = 2 F = 12. Assim, F3 + F7 = 12 (1) Nas faces triangulares temos F3 x 3 arestas e nas faces heptagonais tem-se F7 x 7 arestas. Assim, 2A = 3F3 + 7F7 56 = 3F3 + 7F7 (2) Com a 1 e a 2 equaes montamos um sistema de equaes do 1 grau:

3 7

3 7

F + F = 12

3F + 7F = 56

Resolvendo pelo mtodo da substituio, temos na 1 equao que F3 = 12 F7. Substituindo esse valor na 2 equao tem-se: 3.(12 F7) + 7F7 = 56 36 3F4 + 7F7 = 56 4F7 = 20 F7 = 5.

47

Substituindo esse valor na 1 equao tem-se: F3 + 5 = 12 F3 = 7. O total de faces igual a: F = F3 + F7 F = 7 + 5 F = 12 Resposta: o nmero de vrtices 18, o nmero de faces triangulares 7, o nmero de faces heptagonais 5 e o total de faces 12. Atividade 2 2.1) S = 48r n = ? S = 8r.(n 1) 48r = 8r.(n - 1) 6 = n 1 6 + 1 = n n = 7 O prisma heptagonal. 2.2) a) f = 10, o nmero de faces (f) igual a n + 2 f = n + 2 10 = n + 2 n = 8 um prisma octogonal. b) a = 18, o nmero de arestas (a) igual a 3n a = 3n 18 = 3n n = 6 um prisma hexagonal. Atividade 3 3.1) a = 4 cm Diagonal da face (df) Como a face um quadrado, a diagonal da face a diagonal do quadrado:

48

2 2 4 2d d a d cm Diagonal do cubo (d)

3 4 3d a d cm Assim, a medida da diagonal de uma face e a medida da diagonal do cubo so,

respectivamente, 4 2 cm e 4 3 cm . 3.2) a = 5 cm b = 4 cm

d = 5 2 cm

222 2 2 2 2 25 2 5 4 50 25 16

9 3

d a b c c c

c c cm

A terceira dimenso mede 3 cm. 3.3) d=? At = 382 cm e a + b + c = 24 cm

2.( . . . ) 382 2.( . . . )tA a b a c b c a b a c b c

Elevando ao quadrado os membros da equao a + b + c = 24 temos:

(a + b + c) = 24

a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc = 576

a + b + c + 2(ab + ac + bc) = 576

a + b + c + 382 = 576

a + b + c = 194

Se 2 2 2 2 2 2 2 194 194d a b c d a b c d d cm

49

Atividade 4 4.1) Para determinar o volume precisamos da rea da base. Como a base um trapzio tem-se:

. 8 4 .530

2 2b b b

B b hA A A cm

V = Ab.h V = 30.20 V = 600 cm O volume da barra de ouro 600 cm 4.2) A aresta da base de um prisma triangular regular mede 4 cm e a aresta lateral 8 cm. Determine a rea total do prisma e o seu volume.

2.t bA A A Se o prisma triangular regular o polgono da base um tringulo equiltero de

lado medindo 4 cm. A altura do tringulo equiltero igual

3

2 , ento a medida

da altura ser:

3 4 32 3

2 2h h h cm

Assim, a rea da base ser:

. 4.2 34 3

2 2b b b

b hA A A cm

Se a base um tringulo, ento tem-se 3 faces laterais. As faces laterais so paralelogramos, portanto a rea lateral ser:

3. . 3.4.8 96 A b h A A cm A rea total ser:

2. 96 2.4 3 96 8 3 8 12 3 t b t t tA A A A A A cm

O volume do prisma ser:

50

. 4 3.8 32 3 bV A h V V cm Assim, a rea total e o volume do prisma so, respectivamente,

8 12 3 32 3 cm e cm .

Atividade 5 5.1) h = ? r = 90 m

720 A m

2 . . 720 2 .90. 720 180 . 4A r h h h h m

A caixa dgua possui 4 m de altura. 5.2)

?A

cilindro eqiltero h = g = 2r Se g = 10 cm, ento o raio igual a 5 cm

2 . . 2 .5.10 100 A r h A A cm

A rea lateral de do cilindro equiltero de 100 cm. 5.3) h = 6 cm r = 2 cm

. .6 .2.6 24 bV A h V r V V cm

O volume do cilindro obtido 24 cm.

51

Captulo 2 Pirmides e cones

Vldina Gonalves da Costa

Introduo Neste captulo voc tambm encontrar um assunto que j iniciamos no volume 1 - Geometria: slidos geomtricos, ngulos, polgonos e congruncia. Agora o momento de uma abordagem mais ampla do assunto. Ser necessrio, para esse captulo, fazer uma reviso do assunto abordado no captulo - Slidos geomtricos, noes primitivas e segmento de reta, disponvel no volume 1 e tambm sobre as pirmides, assunto abordado no captulo 2 ngulos e polgonos, disponvel tambm no volume 1.

Pirmides e cones

Voc j verificou que as pirmides so poliedros convexos. Certo! Tambm aprendeu que as faces laterais tem a forma triangular e a base pode ser formada por qualquer polgono convexo. Lembra?

Em relao ao cone voc verificou que uma figura que rola e o classificou como corpo redondo. Recorda? Estes conceitos foram feitos utilizando os slidos geomtricos, portanto pegue-os novamente. Voc ir estudar uma definio mais formal tanto para as pirmides quanto para os cones. Prossiga na leitura!

Relembrando

52

Objetivos Espero que, no final deste captulo, voc seja capaz de:

identificar, classificar e nomear as pirmides e os cones;

aplicar as frmulas do clculo de reas e volume das pirmides e dos cones a situaes diversas;

Esquema No captulo voc estudar as pirmides: conceitos, elementos, classificao, reas e volume; e, posteriormente os cones: conceitos, elementos, classificao, reas e volume. 2.1 Pirmides 2.1.1 Conceitos e elementos A- Conceitos No captulo 2, ngulos e polgonos do volume 1, fizemos a classificao das pirmides utilizando as instrues solicitadas na atividade proposta. Lembra? Se no procure esse captulo e o seu caderno para iniciarmos nosso estudo sobre as pirmides. Pesquisando em seu caderno e de acordo com a enumerao feita para os poliedros convexos, identifique, quais os poliedros convexos que foram considerados como pirmides no captulo 2 do volume 1. Voc se lembra das condies que utilizamos para classificar essas figuras como pirmides? Se no, acompanhe! Consideramos no volume 1, captulo 2 as figuras 3 e 13 como pirmides considerando que eram poliedros com os quais pode-se apoiar uma face sobre a mesa, de modo que todos os vrtices, exceto um, fiquem sobre a mesa. Recordou! Aprofundando no assunto, acompanhe a definio de pirmide. Consideremos um polgono convexo (regio poligonal convexa) ABC...MN situado num plano e um ponto V fora de . Chama-se pirmide (ou pirmide

53

convexa) reunio dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do polgono. (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 186).

Figura 1: pirmide Fonte: Acervo EAD - UNIUBE, 2007.

B- Elementos Ser utilizada uma pirmide de base quadrada para que voc possa identificar os elementos de qualquer pirmide. Na pirmide a seguir vamos enumerar e contar os seus elementos.

Figura 2: pirmide de base quadrada 1.


8. Base: ABCD, portanto uma base.

9. Faces laterais: ABE, ADE, DCE e CBE, portanto quatro. Observe que so

tringulos. 10. Total de faces: ABE, ADE, DCE, CBE e ABCD, portanto cinco. 11. Arestas laterais: AE, BE, CE e DE, portanto quatro.

54

12. Total de arestas: AE, BE, CE, DE, AB, BC,CD e DA, portanto oito. 13. Vrtices: A, B, C, D e E, portanto cinco. 14. Diedros: antes de verificarmos quantos so os diedros vamos verificar quais

so os planos das faces:

Figura 3: pirmide de base quadrada 2. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 4: plano . Figura 5: plano . Figura 6: plano .


55

Figura 7: plano . Figura 8: plano .


Observe o desenho a seguir, e perceba que colocamos nele um ponto em cada aresta, para que voc possa localizar os diedros. Assim, temos oito diedros. Acompanhe a seguir:



56

Figura 10: diedro L . Figura 11: diedro K . Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Figura 12: diedro M . Figura 13: diedro H .


57

Figura 14: diedro I . Figura 15: diedro F .


Figura 16: diedro G . Figura 17: diedro J .


15. Triedros: na pirmide a seguir tem-se quatro triedros. Acompanhe!

58



Figura 19: triedro , ,A . Figura 20: triedro , ,D .


59

Figura 21: triedro , ,C . Figura 22: triedro , ,B .


Especificando as quantidades: 1. Bases: 1

2. Faces laterais: 4 3. Total de faces: 5 4. Arestas laterais: 4 5. Total de arestas: 8 6. Vrtices: 5 7. Diedros: 8 8. Triedros: 4 Para generalizar tomaremos como referncia o total de faces laterais e, como o nmero de bases sempre constante e igual a 1, ela no faz parte da generalizao: 8. Faces laterais: n

9. Total de faces: (n + 1)

60

10. Arestas laterais: n 11. Total de arestas: 2n 12. Vrtices: n+ 1 13. Diedros: 2n 14. Triedros: n Temos, ainda, mais alguns elemento importantes na pirmide: a) a sua altura que a distncia h entre o vrtice e o plano da base. Figura 23: pirmide hexagonal 1. Figura 24: pirmide hexagonal 2. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

b) o aptema. Elemento das pirmides regulares, que so as que possuem na base, um polgono regular e a projeo ortogonal do vrtice sobre o plano da base o centro da base. Nesse tipo de pirmide as arestas laterais so congruentes e as faces laterais so tringulos issceles. Veja a figura 25 a seguir.

61

Figura 25: pirmide hexagonal 3. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

O aptema da pirmide (m) corresponde altura da face lateral, ou seja, a altura do tringulo da face lateral. Lembrando do aptema do polgono regular tem-se, tambm, o aptema da base da pirmide (m). 2.1.2 Natureza da pirmide A natureza de uma pirmide depende do polgono da base. Exemplo: Figura 26: pirmide hexagonal 4. Figura 27: pirmide triangular 1. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

62

Observe que na pirmide hexagonal o polgono da base um hexgono e na pirmide triangular, o polgono da base um tringulo.

Sabendo que a soma dos ngulos das faces de uma pirmide regular igual a 12 retos, qual a natureza da pirmide? Para calcular preciso saber como determinar a soma dos ngulos de todas as faces de uma pirmide de n faces laterais. Iniciando pela base, a soma dos ngulos internos de um polgono dada pela frmula Si = (n 2).180 ou Si = (n 2).2r, onde r indica ngulo reto (r = 90) e n o nmero de lados do polgono. Como as faces laterais so tringulos ento, a soma dos ngulos igual a Sf = n.180 ou Sf = n.2r. A de todos os ngulos ser a soma dos ngulos do polgono da base mais a soma dos ngulos das faces laterais: S = (n 2).2r + n.2r S = 2nr 4r + 2nr S = 4nr 4r S = 4r.(n 1) Assim, a frmula utilizada para calcular a soma dos ngulos das faces de uma pirmide S = 4r.(n 1). Resolvendo o exemplo: S = 12r n = ? S = 4r.(n 1) 12r = 4r.(n - 1) 3 = n 1 3 + 1 = n n = 4 Ento, o polgono da base um quadriltero. Como o enunciado disse que ele regular, pode-se concluir que um quadrado, ou seja, uma pirmide quadrangular.

Exemplificando!

63


Confira se voc acertou no referencial de respostas!!! Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dvida, retome a leitura do texto ou pesquise em livros ou na internet. 2.1.3 Seco paralela base de uma pirmide triangular e o Princpio de Cavalieri No captulo 1, voc estudou o Princpio de Cavalieri: Dados dois slidos e um plano, suponha que todo plano, paralelo ao plano dado, ao interceptar um dos dois slidos, intercepta tambm o outro, de tal modo que as duas seces obtidas tenham mesma rea. Sendo assim, os dois slidos tm o mesmo volume. Agora, voc ir aplic-lo s pirmides triangulares. 1) Inicialmente provar que: A razo entre as reas da seco e da base de uma pirmide triangular igual ao quadrado da razo de suas distncias ao vrtice.

Seja o plano da base ABC de uma pirmide triangular e um novo plano

paralelo a // . O plano interceptar a pirmide segundo um tringulo

ABC, que pode ser chamado de seo paralela base. Vamos verificar se os tringulos ABC e ABC so semelhantes, e, para isso, iremos faremos a demonstrao deixando alguns espaos para voc preencher.

64

Figura 28: pirmide triangular 2. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Note que: //___''//___''//___,'' CBeCABA . Dessa forma,

1) ___

'''~''

VB

VAAB

BAVABBVA

2) ' ' '

' ' ~ ________ ___

A C VCVA C

VA

3) ' ' ' '

' ' ~ ________ ___

B C VB VCVB C

BC Assim,

4) VB

VB

BC

BC

AC

CA

AB

BA ''''''

Como VBHHVB ~'' , tem-se:

h

hVH

VB

VB '

___

'' e assim,

hBC

CA

AB

BA

___

''''

V

65

Portanto, podemos concluir que ABCCBA ~''' e, ainda, que a razo de

semelhana igual a h

h'.

Como j vimos no captulo de semelhana, volume 1, a razo entre as reas

desses dois tringulos o quadrado da razo de semelhana:

2

''' '

h

h

A

A

ABC

CBA.

Assim, a razo entre as reas da seco e da base de uma pirmide triangular igual ao quadrado da razo de suas distncias ao vrtice. 2) Dando continuidade e ainda utilizando do Princpio de Cavalieri aplicado s pirmides triangulares, voc ir verificar que: Se duas pirmides triangulares tm bases de reas iguais (bases equivalentes) e mesma altura (alturas congruentes), ento elas tm o mesmo volume.

Figura 29: pirmides triangulares V1ABC e V2DEF. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007. Inicialmente, suponha que as duas pirmides estejam contidas em um mesmo plano . Todo plano paralelo a e que interceptar a pirmide V1ABC segundo

o tringulo ABC, intercepta tambm a pirmide V2DEF segundo o tringulo DEF.

66

Se concluirmos que as sees obtidas tm a mesma rea, ento as pirmides tero o mesmo volume.

Pelo item anterior, D, vimos que

2

''' '

h

h

A

A

ABC

CBA e

2

''' '

h

h

A

A

DEF

FED e

como bDEFABC AAA , ento '''''' FEDCBA AA Se as seces tm reas iguais, pelo princpio de Cavalieri os slidos V1ABC e V2DEF tm volumes iguais (so equivalentes). Assim, se duas pirmides triangulares tm bases de reas iguais (bases equivalentes) e mesma altura (alturas congruentes), ento elas tm o mesmo volume. 2.1.4 Volume da pirmide triangular (tetraedro) O volume de uma pirmide triangular pode ser determinado fazendo uso da decomposio de um prisma triangular. Observe a decomposio do prisma triangular a seguir.

Figura 30: prisma triangular ABCDEF. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007. Cortando o prisma pelo plano (C, D, E), obtm-se um tetraedro T1 = E(CFD) e uma pirmide quadrangular E(CDBA). Veja a seguir:

67

Figura 31: pirmide triangular E(CFD). Figura 32: pirmide quadrangular E(CDBA). Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2010. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2010. Cortando a pirmide E (CDBA) pelo plano (D, A, E), obtemos o tetraedro T2 = D(AEB) ou T2 = E(DAB) e T3 = E(CDA). Veja a seguir: Figura 33: pirmide triangular D(AEB). Figura 34: pirmide triangular E(CDA). Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2010. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2010. Analisando... Observe que o prisma foi decomposto em 3 pirmides triangulares, que tm a mesma base, a mesma altura e volumes iguais; so pirmides triangulares equivalentes.

68

Considerando que as bases de um prisma so paralelas e congruentes e que as pirmides T1 = E(CFD) e T2 = D(AEB) tm a mesma altura. Ento, podemos concluir que elas tm o mesmo volume, ou seja, VT1 = VT2. Tambm tem o mesmo volume as pirmides T2 e T3 (VT2 = VT3), pois elas tm as bases congruentes (DAB e CDA, veja que DA diagonal do paralelogramo CDBA) e a mesma altura (distncia de E ao plano CDBA). Assim, possvel concluir que o VT1 = VT2 = VT3. Para determinar o volume do tetraedro, considere Ab a medida da rea e h a medida da altura do prisma da figura 30. Observe que a medida da rea da base (Ab) e medida da altura (h) a medida do tetraedro T1. O volume do prisma triangular : Vprisma = VT1 + VT2 + VT3, como VT1 = VT2 = VT3, tem-se que: Vprisma = 3.VTetraedro Como o Vprisma = Ab.h, substituindo, encontra-se o volume do tetraedro:

Vprisma = 3.VTetraedro Ab.h = 3.VTetraedro VTetraedro = 1

.3

bA h

Assim, o volume do tetraedro igual a um tero do produto da medida da rea da base pela medida da altura. 2.1.5 Volume de uma pirmide qualquer Considere uma pirmide qualquer e divida-a em vrios tetraedros de maneira que sejam formados (n 2) tetraedros.

69

Figura 35: pirmide qualquer com n faces (1). Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2010. Como j sabemos calcular o volume do tetraedro, o volume da pirmide a soma dos volumes de todos os tetraedros formados. V = VT1 + VT2 + VT3 + ... + VTn-2, substituindo a formula do volume do tetraedro, tem-se:

1 2 3 ( 2)

1 1 1 1. . . ... .

3 3 3 3b b b b nV A h A h A h A h

Fatorando um tero e a altura tem-se:

1 2 3 ( 2)

1. ...

3b b b b nV h A A A A

Como 1 2 3 ( 2)...b b b b nA A A A representa a rea total da base da

pirmide, tem-se:

1. .

3bV A h

70

Assim, o volume da pirmide igual a um tero do produto da medida da rea da base pela medida da altura da pirmide.

2.1.6 rea lateral A e rea total (At) de uma pirmide qualquer

A rea lateral a soma das medidas das reas das faces laterais. Como as faces laterais so triangulares, ento a soma das medidas das reas dos tringulos das faces laterais. A rea total a soma das medidas das reas das faces laterais com a medida da rea da base.

A soma das medidas das reas das faces laterais

T bA A A bA rea da base

2.1.7 rea lateral A e rea total (At) de uma pirmide regular

Figura 36: pirmide regular com n faces. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

m

lado

71

Numa pirmide qualquer regular, considere: 2p a medida do permetro da base da pirmide m a medida do aptema da base da pirmide m a medida do aptema da pirmide

a medida do lado do polgono da base da pirmide A rea lateral

Como a rea lateral tringulos.A n A e a rea do tringulo tringulo1

.2

A b h ,

substituindo tem-se:

1. .2

A n b h

Como a medida da base do tringulo igual a e a medida da altura igual a m, substituindo tem-se:

1. . '2

A n m

Como n vezes a medida do lado .n igual ao permetro, substituindo tem-se:

1.2 . '

2A p m

Simplificando, tem-se:

. 'A p m

Assim, a medida da rea lateral de uma pirmide regular igual ao produto da medida do semipermetro pela medida do aptema da pirmide.

72

B rea total A rea total a soma das medidas da rea lateral com a rea da base, ou seja,

T bA A A . Lembrando que a medida da rea da base de um polgono pode ser calculada pelo produto da medida do semipermetro pelo aptema do polgono (nesse caso

o aptema da base), ou seja, .bA p m , substituindo tem-se

. ' .T b TA A A A p m p m Fatorando:

. 'TA p m m

Assim, a medida rea total de uma pirmide regular igual ao produto da medida do semipermetro do polgono da base pela soma dos aptemas da pirmide e da base. 2.1.8 Volume da pirmide regular O volume da pirmide regular igual a um tero do produto da medida da rea da base pela medida da altura da pirmide.

1. .

3bV A h

Ou substituindo .bA p m , o volume tambm pode ser expresso por:

1. . .

3V p m h

Observando o tringulo formado pela altura o aptema da base e o aptema da pirmide, voc pode verificar que um tringulo retngulo. Aplicando o teorema de Pitgoras tem-se: m = h + m Essa uma relao que voc pode utilizar na resoluo das atividades propostas.

Importante!

73

2.1.9 rea lateral, rea total e volume de um tetraedro

Agora vamos calcular a medida rea lateral )( A , rea total tA e volume (V)

para um tetraedro de aresta medindo a, *a .

Observe o desenho a seguir: Figura 37: Tetraedro regular ABCD. Figura 38: Face BCD. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

1. BE altura do tringulo BCD e lembrando que a medida da altura do

tringulo eqiltero pode ser determinada utilizando a frmula: 3

2h ,

substituindo a medida do lado da face BCD, determine a medida de BE. 2. Como o ponto G baricentro do tringulo BCD e lembrando que o baricentro

divide a mediana na razo de 2:1, ou seja, em 2 1

3 3e , ento determine as

medidas de BG e GE. Em seguida, determine a rea lateral. 3. Como todas as faces do tetraedro so congruentes, ento a rea total do tetraedro igual a quatro vezes a rea de uma face lateral que tem a forma triangular. Certo?

74

Tringulo4.Total do tetraedroA A . Se a rea do tringulo igual a tringulo1

.2

A b h ,

substituindo os valores da base e da altura discutidos nos itens anteriores, determine a frmula para se calcular a rea total do tetraedro regular. 4. Para calcular a medida da altura do tetraedro regular, considere o tringulo retngulo AGB. Aplicando o teorema de Pitgoras, determine a medida da altura do tetraedro. 5. Para determinar o volume s substituir os valores encontrados para a medida da rea da base e para a medida da altura na frmula do volume, ou

seja, em 1

. .3

bV A h . Tente!

Conseguiu resolver? Espero que sim! Confira se voc acertou comparando suas respostas com o expresso a seguir.

1. 3 3

2 2

aBE BE

2. 2 2 3 3

.3 3 2 3

a aBG BE BG BG e

1 1 3 3.

3 3 2 6

a aGE BE GE GE

rea lateral

21 1 3 3. . .2 2 2 4

A b h A a a A a

3. 2

.4. 4. 2. . 2. .

2

32. . 3

2

T T T T

T T

b hA A A A b h A a BE

aA a A a

75

4.

22

22 2 2 2 23 6 3 9

6 2. 3

3 3

a aa h BG h a BG h a h

a ah ou h

5. Calculando a Ab do tetraedro. Observe que a rea da base igual a medida

da rea de uma face lateral.

21 1 3 3. . .2 2 2 4

b b bA b h A a a A a

2 2 31 3 6 1 3 2. 3 2

. . . .3 4 3 3 4 3 12

b

a a a a aV A h V V V

Assim, para calcular a rea lateral, a rea total e o volume do tetraedro pode-se utilizar as seguintes frmulas:

2 3.4

A a

2 3TA a

3 2

12

aV


Confira se voc acertou no referencial de respostas!!! Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dvida, retome a leitura do texto ou pesquise em livros ou na internet. 2.1.10 Atividade prtica Vamos fazer duas atividades prticas que expressam a idia do volume da pirmide, casos particulares, mas que auxiliam na compreenso, e que voc poder fazer com seus alunos.

76

Atividade Prtica 1 1. Faa uma cpia das figuras 1 e 2 do Anexo 1 que est no final deste captulo. Cole no papel carto, recorte, dobre as abas e cole-as, formando as figuras. 2. Que figuras foram formadas? 3. Observe a base e a altura das duas figuras formadas. Que observaes voc fez? 4. Pegue areia, arroz, ou outro material e preencha a pirmide. Vamos fazer uma estimativa: Quantas pirmides cheias de areia sero necessrias para preencher o cubo? No experimente ainda. para voc fazer uma estimativa. Fez? Em seguida, preencha, totalmente, a pirmide com o material escolhido e despeje no cubo. Repita o procedimento quantas vezes for necessrio para completar, totalmente, o cubo. 5. Quantas pirmides cheias voc gastou para preencher o cubo? 6. Sua estimativa estava correta? 7. Comparando o volume da pirmide e do cubo, o que voc pode concluir? 8. Observe que chegamos concluso do volume da pirmide a partir do volume do cubo. um caso particular, mas que ajuda a compreender. Atividade Prtica 2 1. Faa trs cpias da figura 3 do Anexo 1 que est no final deste captulo. Cole no papel carto, recorte, dobre as abas e cole, formando a figura. Voc ir formar 3 pirmides congruentes. 2. Com essas 3 pirmides tente formar um cubo. Conseguiu? Se no, tente agrup-las pelas arestas congruentes.

77

3. Comparando o volume da pirmide e do cubo formado, o que voc pode concluir? 4. Observe que chegamos concluso do volume da pirmide a partir do volume do cubo. um caso particular, mas que ajuda a compreender. 2.2 Cone 2.2.1 Conceitos e elementos A Conceitos No captulo 1 - Slidos geomtricos, noes primitivas e segmento de reta, disponvel no volume 1 - Geometria: slidos geomtricos, ngulos, polgonos e congruncia, voc fez a classificao dos corpos redondos utilizando as atividades propostas. Lembra? Se no, procure esse captulo e o seu caderno para iniciarmos nosso estudo sobre os cones. Pesquisando nesse material e de acordo com a enumerao feita para os corpos redondos, o nmero da figura que corresponde ao cone 4. Aprofundando no assunto, acompanhe a definio de cone. Consideremos um crculo (regio circular) de centro O e raio r situado num plano e um ponto V fora de . Chama-se cone circular ou cone, reunio

dos segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do crculo. (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 236). B - Elementos e superfcies Vamos conhecer os elementos de um cone. Para isso, voc encontra os elementos indicados na figura 39 e, a seguir, voc ir identific-los a partir do conceito expresso.

78

Figura 39: Cone. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

1. _____________ o crculo de centro O e raio r; 2. _____________ (g) so os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferncia da base; 3. _____________ o ponto V; 4. _____________ o raio (r) do crculo da base; 5. _____________ a distncia entre o vrtice e o plano da base; 6. _____________ reta que passa pelo vrtice do cone e pelo centro do crculo

da base. Nesse caso, a reta VO . Agora, voc far o mesmo para as superfcies do cone. 1. Superfcie _____________ a reunio das geratrizes, ou seja, a rea lateral,

indicada por A . 2. Superfcie __________ a reunio da superfcie lateral com o crculo da base,

ou seja, a rea total, indicada por TA .

Altura Geratriz

Base Raio

Vrtice

Eixo do cone

79

2.2.2 Classificao dos cones Para fazermos a classificao dos cones, vamos observar a posio da reta que

liga o vrtice do cone ao centro da base, a reta VO , ou seja, o eixo do cone. Iremos classific-los segundo a inclinao desse eixo e segundo a forma da seco meridiana. No caso do cone, a seco meridiana uma regio triangular que obtida pela interseo do cone com um plano que contm o eixo do cone. 2.2.2.1 Segundo a inclinao do eixo A Cone Oblquo

No cone oblquo, a reta VO oblqua ao plano da base. Figura 40: Cone oblquo 1. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

B- Cone circular reto O cone pode ser gerado pela rotao completa de um tringulo retngulo em torno de um eixo; nesse caso temos um cone de revoluo ou cone circular reto. Veja: O movimento do tringulo retngulo ao redor do eixo gera o cone de revoluo.

80

Figura 41: tringulo retngulo Figura 42: Rotao do tringulo em torno do eixo. retngulo em torno do eixo. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

C Cone reto No cone reto, o eixo perpendicular ao plano da base e a geratriz (g) chamada de aptema do cone.

Experimente desenhar um tringulo retngulo e col-lo em um canudinho como no eixo mostrado na figura 41. Gire o canudinho e observe a figura formada.

Experimentando

81

Figura 43: Cone reto 1. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

2.2.2.2 Segundo a forma da seco meridiana Segundo a forma da seco meridiana o cone se classifica em cone equiltero. Um cone reto cuja medida da geratriz (g) igual ao dobro da medida do raio da base (g = 2r) recebe o nome de cone eqiltero.

Figura 44: cone reto 2. Figura 45: tringulo eqiltero. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Observe que a seco meridiana a interseo do cone com o plano que contm o eixo, conforme j mencionado. A partir dessa classificao, determine qual ser a figura formada na seco meridiana de um cone eqiltero, de um cone reto que no seja eqiltero e de um cone oblquo. Veja os desenhos:

a) cone eqiltero b) cone reto rg 2 c) cone oblquo

82

Figura 46: cone equiltero. Figura 47: cone reto 3. Figura 48: cone oblquo 2. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

Analisando... A figura formada pela seco meridiana de um cone eqiltero um tringulo equiltero. Se a altura do cone eqiltero igual a altura da seco meridiana que passa pelo centro do cone, ento a frmula do clculo da altura do tringulo

eqiltero, ou seja, 3

2h .

Assim, a altura do cone em funo do seu raio ser: 3

22

h r 3h r .

A figura formada pela seco meridiana de um cone reto um tringulo issceles. A figura formada pela seco meridiana de um cone oblquo um tringulo escaleno. 2.2.3 rea lateral e rea total de um cone reto A figura 49 representa a planificao da superfcie de um cone circular reto ou de um cone de revoluo, observe:

83

Figura 49: planificao do cone reto. Fonte: Acervo EAD UNIUBE, 2007.

A figura 49 planificao do cone setor - composta por um setor circular com raio igual a medida da geratriz do cone (r = g) e comprimento do arco igual ao

comprimento da circunferncia )..2( r .

Assim, para calcular a rea lateral, necessrio determinar a rea do setor circular de raio g. Lembra de como calculamos a rea do setor no captulo de reas de superfcies planas, no volume 2? Se no, retorne a esse captulo e reveja o assunto antes de prosseguirmos. Vamos estabelecer uma relao entre o comprimento do arco e a rea do setor. Vejamos: Comprimento rea do do arco setor

Ar

gg

__________________..2

.__________________..2

2 g

2

2g

r

1 g= A .

Ar g

A r

A rea total a soma da rea lateral com a rea da base T bA A A .

84

Como a base um crculo, ento a sua rea 2r .

Substituindo esse valores na rea total tem-se:

2

T b TA A A A rg r

Fatorando r tem-se:

TA r g r

Tambm possvel determinar a medida do ngulo do setor. Lembra de como calculamos o comprimento de arco no captulo de Circunferncia e polgonos regulares, no volume 2? Se no, retorne a esse captulo e reveja o assunto antes de prosseguirmos.

Determinaremos o valor do ngulo do setor - utilizando uma relao entre a

medida do ngulo e o comprimento do arco que ele determina. Veja: a) em radianos ngulo comprimento do setor do arco

___________2. .

2. ___________2. .

r

g

2

2 2

r 2=

2

r r

g gg

b) em graus ngulo comprimento do setor do arco

___________2. .

360 __________2. .

r

g

2

360 2

r 360 .=

360

r r

g gg

85

Tambm possvel determinar o ngulo do setor, em radiano e em graus,

utilizando, respectivamente, as seguintes frmulas: 2 r

g e

360 .r

g.

2.2.4 Volume do cone Para determinar o volume do cone utilizaremos o Princpio de Cavalieri que voc estudou captulo 1 Poliedros convexos e corpos redondos: prismas e cilindros, deste volume. Lembrando: Dados dois slidos e um plano, suponha que todo plano, paralelo ao plano dado, ao interceptar um dos dois slidos, intercepta tambm o outro, de tal modo que as duas seces obtidas tenham mesma rea. Sendo assim, os dois slidos tm o mesmo volume. Agora, vamos utiliz-lo para determinar o volume do cone. Estabeleceremos uma relao entre o cone e a pirmide de base triangular (tetraedro).

Assim, a rea lateral e a rea total do cone podem ser determinadas

utilizando, respectivamente, as seguintes frmulas: A .r g e

TA r g r .

Tambm possvel determinar o ngulo do setor, em radiano e em

graus, utilizando, respectivamente, as seguintes frmulas: 2 r

g

e 360 .r

g.

Sintetizando...

86

Suponha que uma pirmide de base triangular (tetraedro) tenha sua base contida num mesmo plano da base do cone, e que os vrtices de ambos

estejam num mesmo semi-espao dos determinados por , e que eles tenham,

tambm, a mesma altura h. Qualquer plano paralelo a , distando h do

vrtice de ambos, que secciona o cone, tambm seccionar o tetraedro. Veja o desenho.

Figura 50: cone, pirmide e planos e .


Considere que o cone e a pirmide tenham alturas congruentes e bases equivalentes, ou seja, H1= h, H2= h e B1= B, B2= B. Assim sendo, podemos estabelecer uma relao entre as reas das seces B1 e B2, respectivamente, do cone e do tetraedro, e as alturas h e h. Acompanhe!

2

1

1

' 'B h

B h,

2

2

2

' 'B h

B h

' '

1 2

1 2

B B

B B

Como B1=B2=B, temos que ' '

1 2B B

Portanto, pelo Princpio de Cavalieri, o cone e o tetraedro tm volumes iguais, ou seja, Vcone = Vtetraedro

87

Como Vtetraedro = 21

3B h , ou seja, Vtetraedro=

1

3Bh , temos que:

1.

3coneV B h

Se a base do cone um crculo de rea igual a . r , podemos escrever a frmula do volume do cone da seguinte maneira:

1. .

3coneV r

Concluindo O volume do cone igual a um tero do produto da medida da rea da base pela medida da altura.

2.2.5 Atividade prtica

Vamos fazer uma atividade prtica que expressa a idia do volume do cone, casos particulares, mas que auxiliam na compreenso, e que voc poder fazer com seus alunos. 1. Faa uma cpia das figuras 1 e 2 do Anexo 2 que est no final deste captulo. Cole no papel carto, recorte, dobre as abas e cole-as, formando as figuras. 2. Que figuras foram formadas? 3. Observe a base e a altura das duas figuras formadas. Que observaes voc fez? 4. Pegue areia, arroz ou outro material e preencha o cone. Vamos fazer uma estimativa: Quantos cones cheios de areia sero necessrios para preencher o cilindro? No experimente ainda. para voc fazer uma estimativa. Fez? Em seguida, preencha totalmente o cone com o material escolhido e despeje no cilindro. Repita o procedimento quantas vezes for necessrio para completar, totalmente o cilindro. 5. Quantos cones cheios foram necessrios para preencher totalmente o cilindro?

88

6. Sua estimativa estava correta? 7. Comparando o volume do cone e do cilindro, o que voc pode concluir? 8. Observe que chegamos concluso do volume do cone a partir do volume do cilindro. um caso particular para cones e cilindros retos, mas que ajuda a compreender. Concluindo Voc deve ter observado que so necessrios trs cones para preencher o cilindro. Certo? Dessa forma, possvel concluir que se um cone e um cilindro possuem a mesma base e a mesma altura, o volume do cone um tero do volume do cilindro.


Confira se voc acertou no referencial de respostas!!! Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dvida, retome a leitura do texto ou pesquise em livros ou na internet. 2.3 Resumo Neste captulo voc estudou conceitos, elementos, classificao, reas e volume tanto para as pirmides quanto para os cones. Novamente enfatizamos a importncia da sequncia adotada, a mesma se justifica pelas semelhanas e relaes entre o clculo de rea e volume para os dois grupos: a rea total corresponde a soma da rea lateral mais a rea da base e, o volume, corresponde a um tero do produto da medida da rea da base pela medida da altura. Para este estudo foi proposto a voc o incentivo a pesquisa e a leitura como elementos fundamentais para a compreenso destes temas. Esperamos que

89

voc no se limite as atividades propostas e busque outras, procurando se aperfeioar; e, que este estudo tenha ampliado sua viso de educador matemtico em relao s pirmides e os cones, j estudados em livros anteriores.

Bom estudo! Referncia DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemtica elementar: geometria espacial, posio e mtrica. 5. ed. So Paulo: Atual, 2005. v.10. Atividades Atividade 1 1.1 Sabendo que a soma dos ngulos das faces de uma pirmide igual a 16r, determine a natureza da pirmide. 1.2 Qual a natureza de uma pirmide que possui: a) 7 faces b) 16 arestas Atividade 2 2.1 Determine a rea lateral, a rea total e o volume da pirmide regular a seguir, cujas medidas esto indicadas na figura.

12 cm

6 cm

90

2.2 Sabendo que o volume de um tetraedro regular 12 2 cm, determine a medida da aresta desse tetraedro. 2.3 Determine a rea total de um tetraedro sabendo que o seu volume mede

128 2

3cm

2.4 A base de uma pirmide de 12 cm de altura um quadrado de 12 cm de permetro. Determine a rea lateral, a rea total e o volume da pirmide. Atividade 3 3.1 Um cone possui geratriz medindo 12 cm e raio da base 4 cm. Determine a rea lateral, rea total e o volume do cone. 3.2 Sabendo que um cone de revoluo possui geratriz medindo 25 cm e altura 15 cm, determine da medida do dimetro da base do cone. 3.3 Qual a medida da rea lateral de um cone equiltero que possui geratriz medindo 12 cm? 3.4 Sabendo que um cone possui dimetro igual a 20 cm e seco meridiana medindo 210 cm, determine a rea total desse cone. 3.5 Deseja-se fazer um chapu de palhao, de forma cnica, com 20 cm de altura e com um dimetro de 16 cm. Quantos centmetros quadrados de papelo sero necessrios para se confeccionar o chapu? Referencial de resposta das atividades Atividade 1 1.1 S = 16r n = ? S = 4r.(n 1) 16r = 4r.(n 1) 4 = n 1 n = 5

91

uma pirmide pentagonal. 1.2 a) f = 7, o nmero de faces (f) igual a n + 1 f = n + 1 7 = n + 1 n = 6 uma pirmide hexagonal. b) a = 16, o nmero de arestas (a) igual a 2n a = 2n 16 = 2n n = 8 uma pirmide octogonal. Atividade 2 2.1 Calculando a rea da face lateral.

- altura da face lateral, que o aptema da pirmide (m)

12 3 135 3 15h h h cm - rea da face lateral

6.3 156. 6. 54 15

2A A A A cm

Para calcular a rea total precisamos achar a rea da base e, consequentemente, determinar, nesse caso (a base um hexgono), o aptema (m), que

3 6 33 3

2 2m m m cm . (Lembre-se: para determinar o

aptema do hexgono regular voc pode dividi-lo a partir do centro em 6 tringulos equilteros. Assim, o aptema a altura do

tringulo equiltero 3

2.

. 18.3 3 54 3 b b bA p m A A cm

54 15 54 3 54 3 5 1 t b t tA A A A A cm

Para calcular o volume precisamos da altura da pirmide. Aplicando o teorema de Pitgoras no tringulo formado pelo aptema da pirmide (m, que a altura

h 12

3 3

m

6

6

6

92

do tringulo da face lateral), pelo aptema da base (m) e pela altura da pirmide (h), tem-se:

2 2

3 15 3 3 135 27 108 6 3h h h h cm

. 54 3.6 3324

3 3bA hV V V cm

Assim, a rea lateral, a rea total e o volume da pirmide regular so,

respectivamente, 54 15 , 54 3 5 1 324 .cm cm e cm

2.2 a = ?

12 2 V cm

3 3 2 212 2 12.12 2.2.3 2 1812 12

a aV a a a cm

A aresta do tetraedro mede 32 18 cm . 2.3 At = ?

128 2

3V cm

3 37 2 9 3 2 128 2 2 128.4 2 .2 2 2 812 3 12

a aV a a a a a cm

3 8 3 64 3 t t tA a A A cm

A rea total do tetraedro 64 3 cm . 2.4 h = 12 cm

h 3 15

3 3

93

base um quadrado com permetro de 12 cm Se a base um quadrado e o permetro mede 12 cm, ento a medida do lado do quadrado 3 cm. Para determinar a rea lateral precisamos da altura do tringulo da face lateral, ou seja, o aptema da pirmide (m). Vamos formar um tringulo retngulo como a altura, o aptema da base e o aptema da pirmide. Como o lado do quadrado 3 cm, o aptema da base 1,5 cm. De acordo com tringulo formado e aplicando o teorema de Pitgoras tem-se:

23 9 585 3 65

' 12 ' 144 ' '2 4 4 2

m m m m cm

Assim, a rea lateral ser:

3 653.

24. 4. 9 65 2

A A A A cm

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Livro Com Referencial Geometria Espacial e Analitica Referencial