LIVRO DE EXERCÍCIOS VOLUME 1 - Mentes Brilhantes · Volume 1 (Capítulos 1 a 8) Exercícios globais de 2.ª oportunidade Recomendações do GAVE Testes de tempo limitado Soluções

Obra em 2 volumes (Não é permitida a venda em separado)

ISBN 978-989-97839-1-1

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ISBN 978-989-97839-1-1

Jaime Carvalho e SilvaProfessor Associado do Departamento de Matemática da Faculdade de Ci-ências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Licenciado e Doutorado em Matemática pela Universidade de Coimbra, estudou na Universidade de Paris 6. Foi professor visitante na Arizona State University (EUA) e é Secretário-Geral da Comissão Internacional de Instrução Matemática (2009-2012).

Professor há 36 anos na Universidade de Coimbra, leccionou disciplinas de Matemática para Matemáticos e Engenheiros, assim como da formação de professores de Matemática e orientou Estágios Pedagógicos de Matemática em sete escolas diferentes. Coordenador das Equipas Técnicas que elabo-raram os programa de Matemática A, Matemática B, MACS, Matemática dos Cursos Profissionais e Matemática das Escolas Artísticas. Consultor do GAVE desde a sua criação.

Autor de Manuais Escolares do Ensino Básico e do Ensino Secundário tendo ganho o Prémio Sebastião e Silva da SPM para Manuais Escolares em 2005 e obtido uma Menção Honrosa em 2000.

Joaquim PintoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 20 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Mate-mática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática A, continuando a ser classificador de Exames de Matemática A.

Orientou Estágio Pedagógico pelas Universidades de Aveiro e de Coimbra.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática). Dinamizou várias ações dentro dos referidos domínios.

Vladimiro MachadoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 30 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamen-to de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática B. Desempenha as funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Básico.

Orientador de Estágio Pedagógico do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (Matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática).

NIU

aleph 12 – Livro de Exercícios – Volume 1

Manual de Matemática para o 12º anoMatemática A

NIUaleph 12

Jaime Carvalho e SilvaJoaquim PintoVladimiro Machado

2012

LIVRO DE EXERCÍCIOS

VOLUME 1Edição dE autor

TítuloNiuAleph 12 - Livro de Exercícios para o 12.º ano de Matemática A

AutoresJaime Carvalho e Silva (Editor)Joaquim PintoVladimiro Machado

Capa e DesignElisa Silva

Conceção TécnicaVítor TeodoroJoão Fernandes

ColaboraçãoAntónio Marques do Amaral, Raul Gonçalves e Sofia Marques

Imagens e fontes

As imagens utilizadas neste manual pertencem ao domínio público ou, nas situações indicadas, aos respetivos autores, sob as Licenças Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 http://creativecom-mons.org/licenses/by-sa/3.0/) ou Creative Commons Attribution 3.0 http://creativecommons.org/li-censes/by/3.0/

As fontes utilizadas neste manual pertencem às famílias Latin Modern e Latin Modern Math, desenvol-vidas pela GUST http://www.gust.org.pl/projects/e-foundry/lm-math/index_html

ISBN978-989-97839-1-1

Edição1.ª edição/versão 1

Data2012

© Este ficheiro é de distribuição livre mas os direitos permanecem com os respetivos autores. Não é permitida a impressão deste ficheiro.

Índice geral

Volume 1

(Capítulos 1 a 8)

Exercícios globais de 2.ª oportunidade

Recomendações do GAVE

Testes de tempo limitado

Soluções

Síntese

Volume 2

(Capítulos 9 a 17)

Exercícios globais de 2.ª oportunidade

Recomendações do GAVE

Testes de tempo limitado

Soluções

Síntese

Índice

Introdução 6

Exercícios globais de 2.ª oportunidade 9

Capítulo 1 - É possível? É provável? 9

Capítulo 2 - Probabilidades 13

Capítulo 3 - Probabilidade condicionada 17

Capítulo 4 - Distribuição de probabilidades 21

Capítulo 5 – Análise Combinatória 24

Capítulo 6 - Triângulo de Pascal e Binómio de Newton 27

Capítulo 7 – Função exponencial 29

Capítulo 8 – Função logarítmica 33

Recomendações do GAVE 37

Capítulo 1 - Resolução de problemas da vida real 39

Tarefas resolvidas 39

Tarefas propostas 47

Questões de escolha múltipla 53

Capítulo 2 - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números reais 56



Questões de escolha múltipla 61

Capítulo 4 - Exercícios que pressupõem raciocínios demonstrativos 63



Capítulo 5 - Utilizar a calculadora gráfica para resolver problemas 66



Testes de tempo limitado 73

Teste 1 – Probabilidades – Escolha múltipla 73

Teste 2 – Probabilidades – Escolha múltipla 77

Teste 3 – Probabilidades – Itens de resposta aberta 80

Teste 4 – Probabilidades – Itens de resposta aberta 81

Teste 5 – Probabilidades 85

Soluções 89

Síntese 108

6 Introdução

0. IntroduçãoPara quê fazer exercícios?

Como bem chamou a atenção o matemático Ian Stewart, grande investigador matemático da Uni-versidade de Warwick (Inglaterra) e divulgador da matemática, com mais de 80 livros publicados,

“Os problemas são a força motriz da Matemática”

Então espera-se que os alunos resolvam problemas. Estudar matemática implica resolver problemas. Uns mais simples poderão ser chamados exercícios, outros mais extensos ou complexos poderão ser chamados tarefas. Não se preocupem com estas designações que existem mais para organizar as coisas do que verdadeiramente para classificar os problemas.

Quantos exercícios devo fazer?

Saber quantos exercícios resolver ou que tipo de exercícios resolver é um dos dilemas mais comuns dos estudantes. São frequentes perguntas como:

“Como faço isso professor? Qual é a fórmula que se usa? Que conta temos que fazer? O senhor não ensinou isso!“

Não há milagres e na página interior da contracapa deste livro aparecem os conselhos de um gran-de matemático húngaro George Polya (1888–1985), que se dedicou à reflexão sobre os métodos de resolução de problemas em todos os níveis de ensino.

Um outro matemático, o australiano Terence Tao, que em 2006 ganhou a medalha Fields (também chamado o Prémio Nobel da Matemática) descreve assim o seu método de resolver problemas:

“Hoje, comigo, é sempre assim: ‘Vamos tentar esta ideia. Isso leva-me a algum progresso, ou então não funciona. Agora tentemos aquilo. Oh, há aqui um peque-no atalho.’ Trabalhamos durante tempo suficiente e, a certa altura, conseguimos progredir num problema difícil entrando pela porta das traseiras. No final, o que normalmente acontece é: ‘Olha, resolvi o problema.’ ”

O matemático espanhol Miguel de Guzmán (1936–2004), autor de livros de divulgação como “Aven-turas Matemáticas” e “Contos com contas”, dava como primeiro conselho o seguinte:

“Antes de fazer tenta entender”

É efetivamente fundamental que se leia com atenção o enunciado do problema e se tente entender bem o que é dado e o que é pedido. Um minuto perdido na leitura do enunciado pode salvar 30 minutos de resolução inútil porque não se responde realmente ao que é pedido.

O grande matemático português Sebastião e Silva (1914–1972) preocupava-se com a resolução de problemas sem cuidados na sua escolha. Escreveu:

“É preciso combater o excesso de exercícios que, como um cancro, acaba por des-

7Introdução

truir o que pode haver de nobre e vital no ensino. É preciso evitar certos exercí-cios artificiosos ou complicados, especialmente em assuntos simples.(...) É mais importante refletir sobre o mesmo exercício que tenha interesse, do que resolver vários exercícios diferentes, que não tenham interesse nenhum.(...) Entre os exer-cícios que podem ter mais interesse figuram aqueles que se aplicam a situações reais, concretas.”

Neste livro de exercícios os autores tiveram a preocupação de selecionar cuidadosamente os exercí-cios pelo seu interesse e não apenas para fazerem número de páginas.

Primeiro aparecem o que chamamos “exercícios de 2ª oportunidade”, ou seja, exercícios que devem ser feitos apenas depois de resolvidos os exercícios do manual escolar e apenas em caso de necessidade. Se não conseguiste dominar alguma parte da matéria, se queres refrescar a tua mente com uma matéria que tens medo de já ter esquecido, se queres testar o teu próprio conhecimento, pega nestes exercícios, respeitando o grau de dificuldade (se dominas bem os exercícios simples de determinado capítulo não precisas de fazer mais exercícios fáceis).

Depois aparecem os exercícios de matérias que o GAVE descobriu que são aquelas onde os alunos têm mais dificuldades e a que chamamos “Recomendações do GAVE”. Esta parte contém algu-mas tarefas resolvidas que deves tentar resolver por ti; só depois de tentares resolver cada tarefa é que deves olhar para a respetiva resolução e tentar compreendê-la. Não te esqueças que cada pro-blema pode ter vários processos igualmente válidos de resolução, como se pode ver bem no caso da Tarefa 5.

Na terceira parte preparámos “testes de tempo limitado”, de 45m e 90m, com uso de calculadora e sem uso de calculadora, para conseguires testar a tua capacidade de resolver um certo número de exercícios dentro de um intervalo temporal fixado previamente. Este é um aspeto que também os relatórios do GAVE identificam como os alunos tendo dificuldade.

Como detetar alguns erros mais comuns

Na pressa da resolução de um problema é comum cometerem-se erros que podem estragar comple-tamente um problema.

Por exemplo: é preciso usar muitas fórmulas e por vezes trocam-se uns sinais na fórmula ou usa-se a fórmula ao contrário. Como ter a certeza que a fórmula está correta? Quais os principais cuidados a ter?

Havendo dúvidas quanto à validade de determinada fórmula, o melhor é testar a fórmula com ca-sos particulares. Por exemplo, a expressão não pode ser igual à expressão porque se fizermos , a primeira expressão vale e a segunda vale zero e não podem assim ser iguais para todos os valores de x e y se nem sequer o são para valores particulares de x e de y.

Outra estratégia útil é usar a calculadora gráfica ou o computador para traçar um gráfico, mesmo quando não conseguimos obter valores exatos. Por exemplo, se tivermos dúvidas se o ponto (1,–1) satisfaz simultaneamente as desigualdades

8 Introdução

poderemos recorrer à calculadora gráfica para obter o gráfico seguinte

e concluir que tal ponto, não estando na região sombreada, não satisfaz simultaneamente as duas desigualdades dadas. Podemos ter de provar isso analiticamente mas já ficamos a “saber” a resposta o que ajuda na resolução e permite controlar eventuais erros de cálculo.

Um modo de controlar se duas funções são realmente inversas é usar uma calculadora ou computador e procurar o gráfico da respetiva composta. Por exemplo, para as funções

e

se tentarmos traçar o gráfico de

obteremos a função identidade. Não “prova” nada, mas permite verificar a nossa ideia (ou detetar um erro se não obtivermos a função identidade).

Outros conselhos poderiam ser avançados, mas ficarão para o segundo volume.

Ao longo do ano escolar os autores irão disponibilizando na internet, na página

http://niualeph.eu

mais tarefas e desafios e provas globais para tu poderes ir encontrando desafios sempre novos.

Bom trabalho!

9Exercícios globais de 2.ª oportunidade

1. Exercícios globais de 2.ª oportunidade

C1

Capítulo 1 – É possível? É provável?

Pratica ↑

1. Quando se fazem previsões sobre um acontecimento, utilizam-se com frequência frases como: “é quase certo”, “é bastante provável”, “é pouco provável”, “é quase impossível”. Associa uma destas frases às seguintes previsões sobre o clima na cidade de Faro no dia 15 de Agosto:

1.1 Nevará.

1.2 Choverá.

1.3 A temperatura máxima será superior a 20.

1.4 O céu estará limpo.

1.5 O Sol brilhará mais de 3 horas.

2.

12

3

4

567

8

9

10

1112

Observa a roda da sorte da figura. Considera a experiência: “rodar o ponteiro e anotar o número que sai”.

2.1 Indica o espaço de resultados.

2.2 Indica o subconjunto do espaço de resulta-dos associado a cada um dos seguintes acon-tecimentos.

2.2.1 Sair número ímpar.

2.2.2 Sair número fatorizável.

2.2.3 Sair múltiplo de 3.

2.2.4 Sair 2 ou 3.

2.2.5 Sair 9.

2.2.6 Não sair 9.

2.2.7 Sair 11, 13 ou 15.

2.2.8 Não sair 11, nem 13, nem 15.

10 Exercícios globais de 2.ª oportunidade

2.3 Considera os acontecimentos:

A: Sair número par.

B: Sair número maior ou igual a 3.

Utilizando apenas estes dois acontecimentos e as operações de interseção, reunião e comple-mentação, caracteriza os seguintes acontecimentos:

2.3.1 Sair número ímpar.

2.3.2 Sair número 1.

2.3.3 Sair 2 ou sair um número ímpar.

2.3.4 Sair número par menor do que 3.

3. Considera a experiência que consiste na extração de uma carta de um baralho de 52 cartas e os acontecimentos:

A: Sair copas

B: Sair valete

C: Sair 10 de capas ou de ouros

3.1 Indica qual o espaço de resultados associado a esta experiência.

3.2 Traduz por palavras o significado dos seguintes acontecimentos: , , , , , .

4. Considera a experiência aleatória que consiste em verificar o sexo dos filhos das famílias de três filhos.

4.1 Indica qual o espaço de resultados associado a esta experiência.

4.2 Considera o acontecimento “pelo menos um dos filhos é do sexo masculino”. Quantas ocorrências pode ter este acontecimento (número de elementos do acontecimento)?

4.3 Representa por um diagrama de Venn o acontecimento da alínea anterior.

5. Lançamos dois dados não cúbicos de cores diferentes numerados de 1 a 9 e tomamos nota dos resultados das faces superiores. Determina:

5.1 O espaço de resultados.

5.2 O acontecimento “obter pelo menos um 5”.

5.3 O acontecimento “obter pelo menos um resultado superior a 7”.

6. Uma equipa de basquetebol de Lamego e outra de Viseu estão na final de uma competição nacional em que o vencedor é a primeira equipa que ganhar 3 jogos. A equipa de Lamego ganhou o primeiro jogo. Qual o espaço de resultados?


7. Lançamos dois dados não cúbicos de cores diferentes numerados de 1 a 9 e tomamos nota dos resultados das faces superiores. Determina o acontecimento contrário do acontecimento “Sair face par”.

Pensa e resolve ↑ ↑

8. Lançamos dois dados não cúbicos de cores diferentes numerados de 1 a 9 e tomamos nota dos resultados das faces superiores. Dá um exemplo de:

8.1 Um acontecimento elementar.

8.2 Um acontecimento certo.

8.3 Um acontecimento impossível.

9. No lançamento de um dado cúbico comum, consideremos os acontecimentos:

A: “sair face par”

B: “sair face menor que 3”

9.1 Define em extensão o acontecimento contrário de:

9.1.1 B

9.1.2 A

9.1.3

9.1.4

10. De uma urna que contém duas bolas amarelas e duas bolas roxas, retira-se uma bola ao acaso e regista-se a cor.

10.1 Qual o espaço de resultados?

10.2 Quais os acontecimentos elementares?

10.3 Considera os seguintes acontecimentos:

A: Sair bola amarela

B: Sair bola vermelha

C: Não sair bola roxa

D: Não sair bola amarela nem roxa

10.3.1 Representa os acontecimentos por conjuntos.

10.3.2 Indica um acontecimento certo e um acontecimento impossível.


11. No lançamento de um dado, consideremos os acontecimentos: A: «sair face par» e B: «sair face menor que 3». Define em extensão o acontecimento contrário de B \ A .

Reflete ↑ ↑ ↑

12. Para cada uma das seguintes afirmações, indica quais são verdadeiras e quais são falsas:

12.1 Numa experiência aleatória pode não haver acontecimento certo.

12.2 Numa experiência aleatória pode não haver acontecimento impossível.

12.3 O acontecimento contrário de um acontecimento certo é sempre impossível.

12.4 O acontecimento contrário de um acontecimento elementar é sempre impossível.

12.5 O acontecimento contrário do acontecimento contrário de um acontecimento elementar é sempre impossível.

12.6 O acontecimento contrário do acontecimento contrário de um acontecimento impossí-vel é sempre impossível.

13. Num espaço S, considera dois acontecimentos A e B diferentes, e supõe que nenhum deles é impossível ou certo. Explica quando se poderá ter que é impossível.


C2Capítulo 2 – probabilidades

Pratica ↑

1. Lançou-se uma moeda de euro ao ar duas vezes seguidas. Uma moeda de euro tem uma face europeia e uma face nacional. Calcula a probabilidade de obter duas faces europeias no lançamento.

2. Lançou-se uma moeda de euro ao ar três vezes seguidas. Calcu-la a probabilidade de obter três faces europeias no lançamento.

3. Lançou-se uma moeda de euro ao ar quatro vezes seguidas.

3.1 Calcula a probabilidade de obter: três faces europeias e uma nacional no lançamento.

3.2 Pelo menos duas faces europeias.

4. Num saco há 5 bolas vermelhas, 3 azuis e 2 verdes. Retiram-se sucessivamente do saco três bolas, sem repor nenhuma. Determina:

4.1 A probabilidade de saírem as 3 azuis.

4.2 A probabilidade de saírem 3 bolas da mesma cor.

4.3 A probabilidade de saírem 3 bolas de 3 cores diferentes.

5. Seja S o conjunto de resultados associados a uma certa experiência aleatória. Se A e B são os acontecimentos apresentados a seguir, determina em cada caso e :

5.1 , ,

5.2 , ,

5.3 , ,

6. Lançou-se ao ar um dado tetraédrico não equilibrado com as faces numeradas de 1 a 4. De-pois de 1000 lançamentos, obtiveram-se os seguintes valores para as probabilidades de 3 das faces: P({1}) = 0,6, P({2}) = 0,18 e P({3}) = 0,21. Qual a probabilidade de sair a face com o número 4?

7. Enuncia uma axiomática para as probabilidades. Prova que quaisquer que sejam os acontec-imentos A e B, .

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8. Seja S o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos, contidos em S, nenhum deles im-possível, nem certo. Para cada alínea procura exemplos concretos para S, A e B de tal modo que se verifique que

8.1

8.2

8.3

8.4

9. Lança-se um dado equilibrado de 8 faces com as faces numeradas de 1 a 8. Considera os acontecimentos:

A: “sair face ímpar”

B: “sair face de número maior ou igual a 4”

Determina o acontecimento contrário de . Qual a probabilidade da união de com o seu acontecimento contrário?

10. Lançam-se dois dados não viciados, um octaédrico com as faces numeradas de 1 a 8 e outro dodecaédrico com as faces numeradas de 1 a 12. Determina a probabilidade de:

10.1 Sair um número diferente em ambos os dados.

10.2 Sair um número igual em ambos os dados.

Pensa e resolve ↑ ↑

11. Por vezes, é mais fácil determinar a probabilidade do acontecimento contrário ao que é pedido por envolver uma contagem mais fácil. Aplica este princípio à seguinte situação: “Lançam-se dois dados cúbicos equilibrados, tendo ambos as faces numeradas de 1 a 6. Qual a probabilidade de a soma das pintas obtidas ser inferior ou igual a 10”.

12. Seja S o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos, contidos em S, nenhum deles impos-sível, nem certo. Para cada alínea procura exemplos concretos para S, A e B, se existirem, de tal modo que não se verifique que:

12.1

12.2

12.3

12.4


13. Seja S o conjunto de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos tais que , e . Calcula , e .

14. Um jogador utiliza um dado cúbico não equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. A probabilidade de sair cada uma das 5 primeiras faces é dada pela tabela seguinte:

Número 1 2 3 4 5 6

Probabilidade 0,1 0,2 0,1 0,15 0,15 ?

14.1 Determina o valor em falta.

14.2 Determina a probabilidade de:

14.2.1 Sair número par.

14.2.2 Sair um número inferior ou igual a 3.

14.2.3 Sair o número 6.

15. Dois acontecimentos dizem-se incompatíveis se a realização de um deles implica a não reali-zação do outro. Exprime este conceito usando conjuntos.

16. Mostra que se A e B são dois acontecimentos se tem .

Reflete ↑ ↑ ↑

17. O João e a Maria vão jogar aos dados com as seguintes regras:

Um dado cúbico equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6 é lançado ao ar duas vezes.

O João ganha se sair pelo menos um 1 ou um 6.

A Maria ganha se saírem dois números pares.

A questão que se coloca é: este jogo é equitativo, isto é, tanto o João como a Maria têm igual probabilidade de ganhar?

18. Num jogo de dados são lançados dois dados comuns e se a soma das pintas dos dados for es-tritamente superior a 7 então tu ganhas o jogo. Caso contrário é o teu adversário que ganha. Quem é favorecido neste jogo?


19. Diz se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas:

19.1 Se A e B são acontecimentos em S, o conjunto de resultados associado a uma certa experiência aleatória, então é sempre superior a .

19.2 é sempre superior a .

19.3 É possível ter , , e .

19.4 É possível ter , , e .

19.5 Dois acontecimentos incompatíveis são contrários.

20. Em 2011, em Portugal, estavam matriculados no Ensino Superior 396 268 indivíduos e desses 28 657 estudavam Ciências, Matemática e Informática-CMA (fonte: Pordata). Destes estu-dantes, 46,6% eram do sexo feminino.

20.1 Reproduz no teu caderno e completa a tabela seguinte:

Não CMA CMA total

Feminino

Masculino

28 657 396 268

20.2 Escolhemos, ao acaso, um estudante matriculado no Ensino Superior em 2011. Consi-dera os seguintes acontecimentos:

A: “É um estudante de Ciências, Matemática e Informática-CMA”

B: “É do sexo feminino”

C: “Estuda Ciências, Matemática e Informática-CMA e é do sexo feminino”

D: “É do sexo masculino e não estuda Ciências, Matemática e Informática-CMA”

Calcula a probabilidade de cada um destes acontecimentos. Arredonda o resultado às centésimas.

20.3 Os acontecimentos A e D são incompatíveis?

20.4 Considera o acontecimento . Define por meio de uma só frase este aconteci-mento e calcula a sua probabilidade. Arredonda o resultado às centésimas.

(adaptado do exame do 12.º ano, França, 1997)


C3Capítulo 3 – probabilidade CondiCionada

Pratica ↑

1. Uma urna contém cinco bolas brancas e doze pretas, equiprováveis. Ao extrair duas bolas qual é a probabilidade de que eles sejam da mesma cor?

2. Calcula a probabilidade de a soma das faces de dois dados ser maior que 10 sabendo que no primeiro dado saiu um seis.

3. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos tais que P(A) = 43% , P(B) = 77% e P(A∪B) = 82% . Usando um diagra-ma de Venn determina o valor das probabilidades condicionadas:

3.1 P(A | B)

3.2 P(B | A)

4. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois

acontecimentos tais que P(A) = 14

, P(B) = 13

e P(A | B) = 19

. Usando um diagrama de

Venn determina o valor das probabilidades:

4.1 P(A∪B)

4.2 P(B | A)

5. Numa turma de 12.º ano sabe-se que a probabilidade de um aluno ter dúvidas a matemática é de 55%, de ter dúvidas a português é de 30% e de ter simultaneamente dúvidas a ambas a disciplinas é de 20%.

Calcula, apresentando o resultado na forma de fração irredutível, a probabilidade de um aluno:

5.1 Ter dúvidas a matemática sabendo que tem dúvidas a português.

5.2 Ter dúvidas a português sabendo que tem dúvidas a matemática.

5.3 Ter dúvidas a matemática sabendo eu não tem dúvidas a português.

5.4 Ter duvidas a português sabendo que não tem dúvidas a matemática.

5.5 Não ter dúvidas a matemática sabendo que tem dúvidas a português.

5.6 Não ter dúvidas a português sabendo que não tem dúvidas a matemática.


6. Na Escola Secundária Anastácio da Cunha, foi feito um inquérito sobre a leitura de 3 re-vistas de desportos motorizados: AutoRápido, BoaCorrida e CorreRápido. Dos 100 alunos interrogados, 57 lêem AutoRápido, 42 lêem BoaCorrida, 38 lêem CorreRápido, 22 lêem AutoRápido e BoaCorrida, 14 lêem BoaCorrida e CorreRápido, 16 lêem AutoRápido e Cor-reRápido, 8 lêem AutoRápido, BoaCorrida e CorreRápido. Usando um diagrama de Venn, calcula o número de alunos que:

6.1 Lêm apenas AutoRápido e BoaCorrida.

6.2 Lêm apenas BoaCorrida e CorreRápido.

6.3 Lêm apenas BoaCorrida.

6.4 Lêm apenas CorreRápido.

6.5 Não lêm nenhuma das três revistas.

7. Suponhamos que na Escola Secundária Luís de Albuquerque foram inquiridos 300 alunos dos dois sexos sobre as suas preferências de leitura de jornais diários entre o “NoticiasFrescas” e o “TodaAVerdade”. Obtiveram-se os seguintes resultados:

Lê “NoticiasFrescas” Lê “TodaAVerdade”Rapazes 120 80Raparigas 20 80

7.1 Suponhamos que se selecionou um aluno ao acaso. Qual a probabilidade de ler “Noti-ciasFrescas” sabendo que é Rapariga?

7.2 Suponhamos que se selecionou um aluno ao acaso. Qual a probabilidade de ser Rapa-riga sabendo que lê “TodaAVerdade”?

8. Suponhamos que num saco há 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis. Das bolas vermelhas 2 são redondas e uma triangular. Das bolas azuis 1 é redonda e 1 é triangular. Retira-se ao acaso uma peça do saco. Qual a probabilidade de ser redonda sabendo que é azul?

9. Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, duas vezes consecutivas. Determina a probabilidade de no primeiro lançamento ter saído a face com o número 1, sa-bendo que a soma dos números saídos é 4.

10. Lançam-se dois dados.

10.1 Qual a probabilidade de obter uma soma igual a 7?

10.2 Sabendo que a soma é 7, qual é a probabilidade de que em algum dos dados tenha saído um 3?

11. Numa experiência aleatória os acontecimentos A e B são tais que P(A) = 0,12 e P(B) = 0,90. Os acontecimentos são independentes?

12. Numa experiência aleatória os acontecimentos A, B e C são tais que P(A) = 1/2 , P(B) = 1/3 e P(C) = 1/4. Os acontecimentos são independentes?


Pensa e Resolve ↑ ↑

13. O daltonismo está associado a uma alteração genética que é mais frequente nos homens que nas mulheres. Um estudo feito em larga escala revela que:

Daltónico Não daltónico totalHomens 8,1% 45% 53,1%Mulheres 0,5% 46,4% 46,9%total 8,6% 91,4% 100%

Determina a probabilidade de:

13.1 Sabendo que é homem ser daltónico.

13.2 Sabendo que é mulher ser daltónica.

13.3 Sabendo que é daltónico sabendo que é homem.

13.4 Sabendo que é daltónico sabendo que é mulher.

14. Numa companhia área a probabilidade de um voo partir dentro do horário previsto é de 83%, a probabilidade de chegar no horário previsto é de 82% e a probabilidade de que o voo parta e chegue no horário previsto é de 78%. Calcula:

14.1 A probabilidade do voo chegar no horário previsto tendo saído no horário previsto.

14.2 A probabilidade do voo ter saído no horário sabendo que chegou no horário previsto.

14.3 A probabilidade de não chegar no horário previsto sabendo que não saiu no horário previsto.

15. Se a probabilidade de nascer um rapaz é de 0,51 e de nascer uma rapariga é de 0,49, deter-mina a probabilidade de que dois gémeos sejam do mesmo sexo.

16. Na sequência da descoberta na Artilândia de um primeiro caso de uma doença contagiosa não mortal, o Governo desse país promoveu uma importante campanha de vacinação. Em consequência 70% dos habitantes foram vacinados. Um estudo feito mais tarde revelou que 5% dos vacinados foram atingidos em diversos graus pela doença, percentagem que se elevou a 60% nos não vacinados.

16.1 Determina a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso na população da Arti-lândia ter sido atingido pela doença.

16.2 Calcula a probabilidade de um indivíduo ter sido vacinado, sabendo que foi atingido pela doença.

17. Mostra que se dois acontecimentos são independentes então os seus contrários também são independentes.


18. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam X e Y dois

acontecimentos possíveis e incompatíveis. Prova que

Reflete ↑ ↑ ↑

19. O facto de ser surdo é independente de ser do sexo masculino ou feminino, tendo em consi-deração isso calcula as quatro probabilidades que faltam na tabela seguinte:

Surdo Não surdo totalMasculino 0,531Feminino 0,469total 0,004 0,996 1,000

20. Se dois acontecimentos A e B são independentes pode acontecer que e

?

21. De dois acontecimentos A e B sabemos que e . Determina e

para que os acontecimento A e B sejam independentes.

22. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A, B dois acontecimentos possíveis. Sabe-se que: P(A B) = P(B) .

Será que se pode afirmar que ?

23. Mostra que o acontecimento impossível é independente de qualquer outro acontecimento.


C4Capítulo 4 – distribuição de probabilidades

Pratica ↑

1. A distribuição de probabilidade de uma dada variável aleatória é

1 2 3 4 5

0,1 0,1 0,6 0,05 0,15

Determina

1.1

1.2

1.3

2. Lança-se duas vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Seja X o número de vezes que sai a face 6 nos dois lançamentos. Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória X?

3. O gráfico representado é de uma distribuição normal.

– 4 – 2 0 2 4

x

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

y

μ = 0

σ = 1

Esboça no teu caderno e usando as mesmas escalas, uma outra distribuição normal com um desvio padrão inferior e com uma média superior.


4. A distribuição de probabilidade de uma dada variável aleatória X é

1 2 3 4 5 6

a 0,2 0,2 b 0,2 c

Sabendo que e que , determina a média e o desvio padrão dessa variável aleatória.

5. Considera que o consumo de água na Escola Secundária Daniel da Silva segue uma distri-buição normal em que o valor médio é 400 litros e o desvio padrão de 30 litros. Usando uma calculadora determina a probabilidade de o consumo de água, em certo dia,

5.1 variar entre 100 e 450 litros;

5.2 não ultrapassar 500 litros;

5.3 ser superior a 400 litros.


6. Na estação da CP do Paraimo 16 passageiros compraram cada um o seu bilhete de comboio. 7 para Aveiro (preço do bilhete 3€); 5 para Coimbra (preço do bilhete 4€); e 4 para o Porto (preço do bilhete 5€). Escolheu-se ao acaso um destes passageiros. Seja Y a variável aleatória que associa a cada passageiro o preço do seu bilhete. A distribuição de probabilidade asso-ciada a esta variável é dada pela tabela:

3 4 5

Determina o valor esperado E(Y) da variável aleatória Y.

Pinh

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/118

3813

060/


7. Uma variável aleatória X segue uma distribuição normal, de média 5. Indica o valor de ver-dade da seguinte proposição: P(X > 3) > P(X < 6) . Justifica a tua resposta.

8. Um dardo é lançado para um alvo dividido em três zonas: A, B e C. Se o dardo for cravado na zona A, obtemos 10 pontos. Se for cravado na zona B, 2 pontos. Se for cravado na zona C, 0 pontos. O João lançou 100 dardos, que se repartiram da seguinte forma: 20 dardos em A, 50 em B e 30 em C.

Faz uma distribuição de frequências e calcula a média dos pontos obtidos (analiticamente) e o desvio-padrão (com a calculadora).

9. O João convidou dois amigos para jogar com ele, o Álvaro e a Marisa. Combinaram que cada um lançaria 12 vezes o dardo, somados os pontos obtidos em cada lançamento, definiriam as suas classificações. A Marisa foi a primeira a fazer os lançamentos e obteve 24 pontos. De seguida, o Álvaro fez 18 pontos. Vai agora lançar o João. Será que vai ganhar o concurso ?

10. Num jogo de basquetebol há exatamente dois resultados possíveis: vitória ou derrota (se o jogo terminar empatado no tempo regulamen-tar são jogados prolongamentos até desempa-tar o jogo). Em cada jogo a probabilidade de o Estrelas da Avenida ganhar é de 40%. Se o Estrelas da Avenida disputar 4 jogos num tor-neio de basquetebol, qual é a probabilidade de ganhar exatamente 2 jogos?

Reflete ↑ ↑ ↑

11. A tabela seguinte é a distribuição de probabi-lidade de uma variável aleatória X:

7 9 11 13

p q p q

Calcula o valor esperado de X:

11.1 Em função de p e de q.

11.2 Em função apenas de p.

12. Uma Prova de avaliação é constituída apenas por questões de escolha múltipla. A prova tem 4 questões e cada questão tem 5 hipóteses de resposta das quais só uma é certa. Se cada res-posta errada desconta 3 pontos, quanto deve valer cada resposta certa para que a pontuação esperada para um aluno, que responda ao acaso a todas as questões, seja zero?

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acid

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6065

1747

38/


C5Capítulo 5 – análise Combinatória

Pratica ↑

1. Quantas matrículas de automóveis diferentes podem existir no sistema atual português, con-siderando que o alfabeto tem 26 letras?

2. Se o alfabeto português tivesse 23 letras como sucedia antes do Acordo Ortográfico, quantas matrículas de automóveis possíveis teríamos a menos do que hoje?

3. Quantas matrículas de automóveis são capicuas, ou seja, os dois primeiros algarismos são iguais aos dois últimos mas por ordem inversa e as duas letras são iguais?

4. Pretende-se organizar um campeonato de futebol com 7 equipas. Se cada equipa encontra cada uma das outras equipas uma só vez, quantos jogos será preciso organizar? E se cada equipa tiver de jogar com cada uma das outras equipas tanto em sua casa como fora?

5. De quantas maneiras podes ordenar vertical-mente 5 dos teus livros, de disciplinas diferen-tes, numa tua estante?

6. De quantas maneiras se podem ordenar as le-tras da palavra LIVRO?

7. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra LIVRO de modo que as duas vogais se mantenham nas suas posições?

8. Quantas fotografias diferentes pode tirar uma família em que todos os 6 elementos da família ficam uns ao lado dos outros?

9. Num computador digital, um “bit” é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sequên-cia de “bits”. Determina o número de palavras distintas de 32 “bits” que é possível formar.

10. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com doze raparigas e oito rapazes. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco rapazes e cinco raparigas.

10.1 De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo?

10.2 O João é aluno da turma. Qual a probabilidade de o João pertencer ao grupo que vai ao teatro?


11. Qual seria o modo mais eficaz de aumentar o número de matrículas de automóveis em Por-tugal: acrescentar um número ou uma letra?

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Mar

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0191

0805

7/


12. Um professor de Matemática deu aos alunos uma lista de exercícios, numerados de 1 a 50, e escolheu, para um teste, dois desses exercícios ao acaso.

12.1 Qual a probabilidade um aluno que fez 3/4 dos exercícios da lista ter feito os dois exercícios escolhidos pelo professor?

12.2 Qual a probabilidade um aluno que fez 1/4 dos exercícios da lista ter feito um dos dois exercícios escolhidos pelo professor?

13. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra BIBLIOTECA?

14. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra BIBLIOTECA de modo que se mantenham a primeira e a última letra nas suas posições?

15. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra PACIFICA?

16. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra PACIFICA de modo que as consoantes se mantenham nas suas posições?

17. Quantas fotografias diferentes pode tirar uma família em que um elemento da família vai tirando a foto aos outros 5 elementos da família, ficando sempre uns ao lado dos outros?

18. Num grupo de cinco amigas, só uma está habilitada para conduzir. De quantas formas se podem sentar num automóvel de 5 lugares, para fazer uma viagem?

Reflete ↑ ↑ ↑

19. O jogo das sete famílias é constituído por 42 cartas. Neste jogo há 7 conjuntos de cartas cons-tituídos pelo avô, avó, pai, mãe, filho e filha; cada conjunto constitui uma família. Tiram-se do baralho de cartas, simultaneamente, 4 cartas. Determina o número da casos em que:

19.1 As 4 cartas tiradas são da mesma família.

19.2 Entre as 4 cartas não há nenhuma carta de uma família dada.

19.3 Entre as 4 cartas há uma carta “avó” de uma família dada.

19.4 Entre as 4 cartas há uma e uma só carta de uma família dada.

19.5 Entre as 4 cartas haja apenas uma carta “pai”.

20. Uma determinada marca de CDs garante que a probabilidade de um deles estar estragado é de 0,001%. Um cliente compra 50 CDs. Determina a probabilidade de:

20.1 Um deles estar estragado.

20.2 No máximo um deles estar estragado.

20.3 Pelo menos dois deles estarem estragados.


21.

A

B

D

C

H

G

E

F

J

K

Quantas retas podem ser traçadas usando as letras assinaladas no cubo da figura ao lado?

22. Qual a probabilidade de, escolhidos 3 pon-tos ao acaso no cubo da figura ao lado, eles definirem um plano?

23. Seja dada uma população de n elementos. Indica qual o número de amostras ordena-das distintas, de dimensão r, que se podem selecionar desses n elementos se:

23.1 A seleção for feita com reposição.

23.2 A seleção for feita sem reposição.

24. Qual a probabilidade p de que, num con-junto de r pessoas, não haja duas a fazer anos no mesmo dia?

25.

FD

A

C

E

B

Considera os pontos A, B, C e D represen-tados no cubo da figura ao lado. Determina a probabilidade de, escolhidos 3 pontos ao acaso, eles definirem um plano.

26. Considera os pontos A, B, C, D, E e F representados no cubo da figura ao lado. Determina a probabilidade de, escolhidos 3 pontos ao acaso, eles definirem um plano.

27. Considera os pontos A, B, C, D, E e F representados no cubo da figura ao lado. Determina a probabilidade de, escolhidos 2 pontos ao acaso, eles definirem uma reta.


C6Capítulo 6 – triângulo de pasCal e binómio de newton

Pratica ↑

1. Considera a seguinte parte inicial do triângulo de Pascal:

Acrescenta-lhe as duas linhas seguintes.

2. Determina os números em falta no triângulo de Pascal seguinte:

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 20 15 6 1

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1

1 10 45 120 210 252 210 ? ? 10 11 9 36 84 126 ? 84 ? 9 1

1 ? 28 56 70 ? 28 8 11 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 ? 15 6 11 5 ? 10 5 1

1 4 6 4 11 3 3 1

1 2 11 1

1

3. Recorrendo à fórmula do binómio de Newton calcula:

3.1

3.2

4. Determina o termo em no desenvolvimento de .


5. a b c d e f g representa uma linha completa do Triângulo de Pascal, onde todos os elementos estão substituídos por letras. Determina essas letras.


Blaise Pascal (1623-1662)

6. Determina o valor de n que verifica a seguinte condição .

7. Determina os valores dos coeficientes numéricos dos termos do 7.º e 8.º grau no desenvolvi-mento de .

8. Reduz a uma forma mais simples a equação .

9. Determina o termo independente de x no desenvolvimento de .

Reflete ↑ ↑ ↑

10. Determina o desenvolvimento de:

10.1

10.2

11. A partir da fórmula do binómio de Newton determina um valor para a soma:

12. Mostra, por indução matemática, que se n é um número natural, então .

Blais

e Pa

scal

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PG


C7

Capítulo 7 – Função exponenCial

Pratica ↑

1. Esboça o gráfico da função definida na reta real por . A partir do gráfico desta função esboça os gráficos das seguintes funções, indicando para cada caso o domínio, contra-domínio e zeros:

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

2. Considera as funções definidas na reta real por:

e

2.1 Representa-as graficamente.

2.2 Determina, com aproximação até às centésimas, o conjunto solução de .

3. Considera a função f definida por . Supondo que , determina o valor exato de a.

4. Resolve as equações:

4.1

4.2

4.3

5. Escreve cada uma das expressões sob a forma de um produto:

5.1

5.2

5.3


Pensa e Resolve ↑ ↑6. Quando nos entregam uma bica, o café vem muito quente e quem não põe açúcar precisa de

esperar algum tempo para o beber. A evolução da temperatura T (em °C) em função do tempo t (em minutos) é definida pela expressão .

6.1 Representa graficamente a função T.

6.2 A que temperatura nos é entregue o café?

6.3 Quem gosta de o beber a 60° quanto tempo tem de esperar?

6.4 O arrefecimento do café é mais acentuado nos primeiros dois minutos ou nos dois mi-nutos seguintes?

6.5 Em que instante é que o arrefecimento é mais acentuado?

6.6 Que acontece se deixarmos o café arrefecer muito tempo? Relaciona a conclusão a que chegaste com a expressão de T.

(adaptado da brochura de Funções, 12.º ano, ME, 1999)

7. Recorrendo à calculadora resolve a equação .

8. Calcula os limites seguintes:

8.1

8.2

8.3

9. Resolve as seguintes equações:

9.1

9.2

9.3

Satu

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6386

4661


Reflete ↑ ↑ ↑10. Há pessoas que por razões de natureza física ou psíquica têm dificuldade em adormecer.

Os médicos dispõem duma vasta gama de medicamentos que podem receitar nestes casos. Uma propriedade importante que se requer a estes medicamentos é que o seu efeito desa-pareça antes da manhã seguinte de forma que quem o toma possa retomar a sua atividade normal sem estar sonolento. Imagina que o médico receitou a uma tua amiga um destes medicamentos. Depois de tomar algumas pastilhas, o medicamento atingiu um nível de 4 mg/L no sangue. Com que rapidez desaparecerá o efeito do medicamento? Para estuda-res a situação considera os dados da tabela, referentes a 4 medicamentos:

Nome Fórmula

Triazolam

Nitrazepam

Pentobombitone

Methohexitone

A - dose inicial (mg/L); y - quantidade de medicamento no sangue (mg/L) x - tempo em horas desde que o medicamento chegou ao sangue.

10.1 Qual a quantidade de Triazolam no sangue ao fim de 3 horas? E ao fim de 10 horas? Regista numa tabela a quantidade de Triazolam nas primeiras 10 horas.

10.2 Desenha um gráfico que possa descrever o comportamento do Triazolam.

10.3 Só três destes medicamentos poderão ser reais. Qual deles não é? O que aconteceria se por engano tomasses esse produto?

10.4 Faz os gráficos que te permitem analisar como evolui uma dose que provocou a concen-tração de 4 mg/L de cada um dos medicamentos.

10.5 Qual dos medicamentos te parece preferível? Porquê?

10.6 Analisa agora com algum pormenor o efeito do Triazolam.

10.7 Ao fim de quanto tempo se reduz a metade a quantidade de medicamento no sangue? A redução para metade depende do tamanho da dose inicial? Como?

10.8 Qual será o efeito de tomar, hora a hora, uma dose de 4mg de Pentobombitone? Faz uma representação gráfica que descreva as tuas conclusões.



11. O Público noticiou em 1995 a descoberta de uma necrópole*, na Granja dos Serrões - Sintra, e o achado de seis sepulturas cujas datas, ainda desconhecidas, se podem situar desde o séc. I A.C. até ao séc. VII D.C. (* Uma necrópole é um lugar onde existe uma ou mais sepulturas de tempos antigos.)

A datação da necrópole só será esclarecida com análises aos os-sos por carbono 14 - método de datação a partir de um isótopo radioactivo de carbono que torna possível determinar a idade dos

materiais em análise, uma vez que o seu tempo de desintegraçao é conhecido (...)

jornal PÚBLICO, de 8 de Outubro de 1995

Tal como este artigo também refere, uma técnica utilizada para descobrir a antiguidade de um achado histórico consiste na análise de um objecto (osso, madeira, ...), medindo a quan-tidade do elemento radioativo carbono 14 que contém. Quando vivos, os animais e plantas têm uma quantidade constante de carbono 14, que vai diminuindo com o tempo, após a morte, por efeito da desintegração radioativa. Por quantidade de carbono 14 entende-se a velocidade de desintegração de átomos de carbono 14 medida em desintegrações por minuto por grama de carbono (dmg). A quantidade q(t) de carbono 14 encontrada num objecto é

dada pela fórmula , em que t representa o tempo em milhares de anos.

11.1 Admitindo que os corpos encontrados nos túmulos são do séc. I a.C., que quantidade de carbono 14 deveria ser encontrada em 1995?

11.2 Se o Instituto Nacional de Engenharia e Tecnologia Industrial tivesse divulgado que a quantidade de carbono 14 encontrada era de 11,3 dmg, qual seria a idade das sepul-turas?

11.3 Imagina que és um investigador do INETI e te pediram um artigo em que fundamen-tes teoricamente os resultados que divulgaste. Escreve o artigo, com o máximo de 3 páginas A4.


12. Na cidade mongol de Ulam Bator (a capital e a maior cidade da Mongólia) surgiu uma epi-demia de gripe asiática. A evolução da doença foi dada pela fórmula onde P representa a percentagem de pessoas doentes e t o tempo em dias.

12.1 Qual era a percentagem da população doente quando se começou o estudo da epide-mia?

12.2 Quando foi o pior momento da epidemia? Qual era a percentagem de doentes?

12.3 A epidemia considera-se erradicada quando a percentagem de doentes for inferior a 1%. Quando aconteceu isso?

12.4 No 15.º dia, qual é a probabilidade do presidente da câmara estar doente?



C8Capítulo 8 – Função logarítmiCa

Pratica ↑1. Simplifica o mais possível:

1.1 log2223

1.2 log2323

1.3 log230

2. Sabendo que log 7 = 0,85 calcula:

2.1 log 75

2.2 log 7005

3. As calculadoras científicas e gráficas só têm nas suas teclas o logaritmo natural ou o logarit-mo decimal. Para calcular logaritmos noutras bases é preciso usar a fórmula de mudança de base. Usando essa fórmula e uma calculadora calcula:

3.1 log347

3.2 log23

274

4. Resolve as equações logarítmicas seguintes:

4.1 log x + log 40 = 2

4.2 log57 = + log(2x + 1)

5. O custo total do fabrico de x unidades dum produto é, em euros c(x) = 2x lnx + 200 .

5.1 Calcula c(6) e c(60).

5.2 Quantas unidades se produziram com um custo total de 1010 euros?



6. Considera a função g definida por g(x) = 3x . Determina a abcissa do gráfico de g cuja orde-nada é igual a 2.

7. Considera que a função f é a função logaritmo natural. Determina o módulo da diferença entre as abcissas dos pontos do gráfico de f cujas ordenadas são 1 e –1.

8. Considera as funções f e g definidas, respectivamente por f(x) = log2x e g(x) = log

5(x 2 + x)

Determina, recorrendo à calculadora quando necessário:

8.1 o domínio de cada uma das funções.

8.2 os pontos do gráfico de g que estão por baixo dos do gráfico de f.

9. Considera que a quantidade Q(t) de uma substância radioativa se desintegra de acordo com a fórmula Q(t) = Q

0e−kt , onde t está expresso em minutos. Suponhamos que a meia vida, isto

é o tempo que a substância leva a ficar reduzida a metade, é de 11 minutos. Mostra que,

nestas condições, k = ln 211

.

10. Simplifica as seguintes expressões:

10.1 log

2(x102y z 3)

10.2 log2

x 3105

y

10.3 ln(x + y)− ln(x −1 + y −1)

11. Supõe que x = log p e que y = logq . Escreve as expressões seguintes em termos de x e y:

11.1 log(p4 q3 )

11.2 log pq 4

11.3 pq


12. Os logaritmos são úteis para medir quantidades que variam entre valores muito pequenos e valores muito grandes. Tal é o caso da acidez (pH) de um líquido, estudada na Química. A acidez depende da concentração dos iões de hidrogénio no líquido (expressa em moles por litro), que se designa por [H+]. O pH é definido pela expressão .

12.1 A concentração de iões de hidrogénio na água do mar é de .

Faz uma estimativa, sem usar calculadora, do pH da água do mar. Usando uma calcu-ladora calcula um valor aproximado do pH da água do mar.

12.2 Uma solução de vinagre tem pH igual a 3. Determina a concentração de iões de hidro-génio nessa solução.

13. Determina os domínios das funções definidas pelas expressões seguintes:

13.1 ln(1 − x + 1)

13.2 ln x

13.3 log2

x + 3x − 4

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85@N

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7537

4515

0/


Reflete ↑ ↑ ↑

14. É verdade que , para todo o x real positivo? Sim ou Não? Imagina que

alguém não tem a tua opinião. Elabora um texto com argumentação de modo a convencê-lo.

15. Para cada uma das seguintes igualdades, indica se é verdadeira para todos os valores de a e b reais positivos ou se não é. Justifica devidamente cada afirmação:

15.1

15.2

15.3

15.4

16. Seja x um inteiro natural positivo e seja n o número de algarismos da escrita decimal de x.

16.1 Justifica que .

16.2 Deduz da alínea anterior qual o número de casas decimais de um número como .

17. Resolve as seguintes inequações:

17.1

17.2

17.3

17.4

37Recomendações do GAVE

2. Recomendações do GAVENo Relatório de setembro de 2010 publicado pelo GAVE com o título “Um olhar sobre os re-sultados dos exames nacionais” podem-se encontrar informações muito interessantes sobre os aspetos em que os alunos revelam melhor e pior desempenho nos exames nacionais, assim como re-comendações para a lecionação feitas a partir dessa análise. Documentos como estes são muito úteis para os alunos e os professores, embora em cada ano os alunos e as turmas possam exibir caracterís-ticas muito variadas. Mesmo assim, as dificuldades mais comuns são reveladas por tais documentos.

Entre os aspetos onde os alunos do ensino secundário têm melhor desempenho na disciplina de Ma-temática, segundo este relatório, estão os seguintes:

“No ensino secundário, os itens com melhor desempenho, independentemente da tipologia, convocam quase sempre operações mentais como transferir e, mais esporadicamente, argumentar, relacionar, interpretar. Os alunos também revelam facilidade nos itens de cálculo direto ou que apelem à leitura e seleção de informação.”

Entre os aspetos que os alunos do ensino secundário revelam mais dificuldades encontram-se:

“No ensino secundário, as maiores dificuldades prendem‐se com a resposta aos itens que mobilizam operações mentais como argumentar/justificar, analisar, relacionar, em geral, e, muito pontualmente, transferir e classificar. Também é fraco o desempenho nos itens em que se solicita a concretização de raciocínio dedutivo e a interpretação em contexto.”

O GAVE conclui ainda que, tanto no Ensino Básico como no Ensino Secundário os alunos revelam algumas dificuldades comuns:

“os examinandos revelam fragilidades no domínio da compreensão da língua, na comunicação escrita, no recurso ao cálculo, na interpretação de novas situa-ções e dificuldades em utilizar as capacidades gráficas da calculadora.”

Em função destas conclusões, o relatório do GAVE recomenda

“No ensino secundário, considera‐se muito importante a lecionação dos proble-mas a partir de contextos reais e com a execução de cálculos mais complexos.”

Na conclusão deste relatório é afirmado que

“O documento que agora se conclui pretende, através da identificação de níveis de desempenho dos alunos, em sede de avaliação externa, contribuir para uma melhoria sustentada dos resultados, em consequência de um progressivo upgrade da qualidade dos saberes, das competências e do saber‐fazer dos nossos alunos.”

Nesta ordem de ideias foram selecionados para esta segunda parte algumas tarefas que permitem desenvolver as capacidades identificadas neste relatório do GAVE como sendo as que colocam mais dificuldades aos estudantes. As tarefas são de índole muito variada, podendo ser itens de exames ou tarefas para a sala de aula, para trabalho em pequenos grupos ou para trabalho de auto-estudo.

38 Recomendações do GAVE

Assim, a segunda parte deste Livro de exercícios terá os seguintes capítulos (o capítulo 3 aparece apenas no segundo volume):

Capítulo 1 – Resolução de problemas da vida real

Capítulo 2 – Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números reais

Capítulo 3 – Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números complexos

Capítulo 4 – Exercícios que pressupõem raciocínios demonstrativos

Capítulo 5 – Utilizar a calculadora gráfica para resolver problemas


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2927

8394

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9584

920

C1

Capítulo 1 - resolução de problemas da vida real

tr

tareFas resolvidas

1. O Problema dos aniversários (1.ª parte)

Suponhamos que estamos numa sala com 20 pessoas. Qual é a probabilidade de não haver duas pessoas a fazer anos no mesmo dia?

resolução

Para resolver este problema temos de partir do princípio que o ano tem 365 dias e que a taxa de nascimentos é constante ao longo do ano, de modo a poder admitir que qualquer dia do ano é igualmente provável para ser o aniversário de uma pessoa. O que pretendemos é então calcular a probabilidade de não haver repetições numa amostra de dimensão n obtida por amostragem com reposição de uma população de dimensão N. Assim no nosso caso n = 20 e N = 365 e o número de casos favoráveis ao acontecimento desejado é dado por e o número de casos possíveis é . A probabilidade pedida é então, utilizando a regra de Laplace, igual a

365A20

365A'20

=365A

20

36520= 0,589

Note-se que este problema tem uma solução bastante simples se se raciocinar em termos de probabilidades condicionadas. Com efeito, a 1.ª pessoa pode fazer anos em qualquer dia e a


probabilidade é 365365

. Dado que a 1.ª pessoa faz anos num determinado dia, a 2.ª pessoa

tem probabilidade 364365

de fazer anos num dia qualquer que não o da 1.ª pessoa. Continuan-

do até terminar a 20.ª pessoa, temos que a probabilidade pretendida é o produto das proba-bilidades calculadas.

A probabilidade de numa sala com 20 pessoas haver pelo menos duas pessoas a fazer anos no mesmo dia é portanto 1 – 0,589 = 0,411.

(adaptado da brochura “Probabilidades 12”, ME, 1999)

2. Cartas e envelopes

Uma secretária muito desarrumada tinha 3 cartas para meter em 3 envelopes, mas caiu tudo ao chão e ela meteu as cartas nos envelopes sem tomar atenção aos nomes. Uma das cartas era para o Senhor Silva.

2.1 Qual a probabilidade de ele receber a carta que lhe era dirigida?

2.2 Qual é a probabilidade de pelo menos uma pessoa receber a carta que lhe era destina-da?

resolução

2.1 Para resolver esta questão é preciso admitir que se as cartas foram colocadas aleatoria-mente nos envelopes, então a carta para o Senhor Silva tem igual probabilidade de aparecer num qualquer dos envelopes. Assim a probabilidade de a secretária meter a carta no envelo-

pe certo é precisamente .

2.2 Para sabermos se pelo menos uma pessoa recebeu a carta que lhe era destinada, temos de considerar os casos em que “uma pessoa recebeu a carta que lhe era destinada” e os casos em que “duas pessoas receberam a carta que lhes era destinada” e os casos em que “as três pessoas receberam a carta que lhes era destinada”. Teremos de ter cuidado em subtrair os

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3261

8267

5


casos em que se verificam simultaneamente duas dessas situações atendendo à propriedade 5 do Manual (volume 1, capítulo 2)

P(A ∪B) = P(A)+ P(B)− P(A ∩B)

e que é generalizado na tarefa 45 deste volume. Designemos as cartas por C1, C2 e C3 e os destinatários corretos destas cartas por S1, S2 e S3.

i) casos em que “uma pessoa recebeu a carta que lhe era destinada”:

Considerando por exemplo a carta C1, os casos em que vai parar a S1 são 2! (permutações dos destinatários C2 e C3). Os casos possíveis são permutações de 3 destinatários, ou seja 3!. Logo a probabilidade neste caso é

2!3!

Como para a carta C2 e a carta C3 a situação é idêntica, a soma das probabilidades de “uma pessoa receber a carta que lhe era destinada” é dada por

3 × 2!3!

= 1

ii) casos em que que “duas pessoas receberam a carta que lhes era destinada”:

Considerando por exemplo as cartas C1 e C2, os casos em que vão parar a S1 e S2 são as possibilidades que sobram para a terceira carta que é só uma. Os casos possíveis são novamente permutações de 3 destinatários, ou seja 3! Logo a probabilidade neste caso é

13!

Temos

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

possibilidades para tomarmos duas das cartas de cada vez. Logo a soma das probabilidades de “duas pessoas receberem a carta que lhes era destinada” é dada por

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13!

iii) casos em que que “as três pessoas receberam a carta que lhes era destinada”:

Há apenas uma possibilidade de as três cartas chegarem ao seu destinatário correto que é a de C1, C2 e C3 chegarem exatamente a S1, S2 e S3 respetivamente. A probabilidade de isso


acontecer é então

13!

iv) conclusão:

A probabilidade pedida será então a soma das probabilidades de “uma pessoa receber a carta que lhe era destinada” a que temos de subtrair a soma das probabilidades de “duas pessoas receberam a carta que lhes era destinada” pois estes casos já foram necessariamente contabilizados antes a que temos de adicionar os casos em que “as três pessoas receberam a carta que lhes era destinada” pois estes foram subtraídos uma vez a mais.

Assim a probabilidade pedida é igual a

1 − 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13!

+ 13!

= 1 − 12+ 1

6= 1

3


3. A raspadinha

Numa raspadinha estão em jogo 100 bilhetes, repartidos da seguinte maneira: uma raspadi-nha tem um prémio de 100 euros, nove raspadinhas têm um prémio de 10 euros e nenhuma outra raspadinha tem prémio. Cada raspadinha custa 3 euros e os prémios estão distribuídos ao acaso nas raspadinhas. Seja X a variável aleatória que mede o ganho de cada jogador (diferença entre o que ganha no prémio e o que gastou a comprar a raspadinha).

3.1 Determina a distribuição de probabilidades da variável aleatória X.

3.2 O jogo é justo para os jogadores ou favorece os organizadores da raspadinha? Justifica a resposta.

resolução

3.1 A variável aleatória X só toma três valores diferentes: 97 se o jogador ganhar o prémio de 100 euros, 7 se o jogador ganhar o prémio de 10 euros e –3 se o jogador não ganhar qualquer prémio. Como os prémios estão distribuídos ao acaso pelas raspadinhas as probabilidades respetivas são as seguintes:

97 7 –3


3.2 Para determinar se o jogo é justo ou não temos de calcular o valor esperado ou valor médio da variável aleatória X só. Temos

Podemos assim concluir que o jogo favorece os organizadores visto que o ganho esperado de um jogador é negativo. Ou seja, se o jogador jogar muitas vezes ganhará em média –1,1 euros, ou seja, perderá dinheiro.

4. Baile de Finalistas

Numa turma do 12.º ano da Escola Secundária Luís de Albuquerque, a distribuição dos alu-nos por idade e sexo é a seguinte:

12.º X 16 anos 17 anos

rapazes 6 8

raparigas 5 7

Para formar uma comissão que vai preparar um baile de finalistas, vão ser sorteadas três rapazes e duas raparigas desta turma.

4.1 Qual é a probabilidade de a comissão ficar constituída apenas por jovens de 16 anos? Apresenta o resultado na forma de dízima, com quatro casas decimais.

4.2 Admite agora que já estão sorteados quatro dos cinco jovens que vão constituir a co-missão: os três rapazes e uma rapariga, a qual tem 16 anos de idade. Para a comissão ficar completa, falta, portanto, escolher aleatoriamente uma rapariga. Seja X a variável aleatória: número de raparigas de 17 anos que a comissão vai incluir. Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresenta as probabilidades na forma de fração.

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5558

47@N

06/6

8930

1019

7/


resolução

4.1 A comissão é constituída por 3 rapazes e 2 raparigas. Ora, temos 12 raparigas. À primei-ra vista poderá parecer-nos que existem 12 × 11 = 132 maneiras diferentes de escolher, ao acaso, duas dessas 12 raparigas. Mas, essa suposição está errada.

Admitamos que queremos escolher duas raparigas de entre as seguintes três: {Ana, Beatriz, Celina}. É fácil concluir que existem apenas três possibilidades: {Ana, Beatriz}, {Ana, Ce-lina} e {Beatriz, Celina}. Não seis: (Ana, Beatriz), (Beatriz, Ana), (Ana, Celina), (Celina, Ana), (Beatriz, Celina) e (Celina, Beatriz).

Isto é, como não interessa a ordem dos dois elementos considerados, o valor procurado é

, que traduz o número de subconjuntos de dois elementos que se podem obter de um

conjunto de três elementos.

Admitamos agora que pretendemos escolher três rapazes de entre quatro: {Abel, Belmiro,

Carlos, Daniel}. É imediato concluir que existem apenas maneiras, não

4 × 3 × 2 = 24: {Abel, Belmiro, Carlos}, {Abel, Belmiro, Daniel}, {Abel, Carlos, Daniel} e {Belmiro, Carlos, Daniel}. Porque é que divide por 3 × 2?

Basta reparar que cada um desses subconjuntos de três elementos dá origem a 3 × 2 = 6 ternos ordenados com esses três elementos.

Portanto, regressando ao problema, concluímos existirem maneiras de se-

lecionar duas das doze raparigas e maneiras de selecionar três dos catorze rapazes.

Logo, o número de casos possíveis é 364 × 66 = 24024.

De forma análoga, conclui-se que o número de casos favoráveis é

isto é, o número de maneiras de escolher 3 rapazes de 16 anos, de entre 6, e de escolher 2 raparigas de 16 anos, de entre 5.

Logo, a probabilidade pedida é

4.2 Para terminar a constituição da comissão falta apenas escolher uma rapariga, de entre 11 disponíveis: 4 delas com 16 anos e 7 delas com 17 anos. Portanto, a variável aleatória X pode assumir os valores: 0 e 1.


Assim:

P(X = 0) = P(escolher uma rapariga de 16 anos) =

P(X = 0) = P(escolher uma rapariga de 17 anos) =

Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é:

0 1

411

711

5. Três Bilhetes de Cinema

Resolve por quatro processos o seguinte problema:

A professora de História resolveu levar os seus 15 alunos a ver um filme. Como o cinema tem filas de precisamente 15 cadeiras, comprou uma fila inteira e distribuiu os bilhetes ao acaso pelos alunos. A Ana, a Bela e a Carla são muito amigas e gostavam de ficar as três juntas e numa das pontas da fila. Qual é a probabilidade de isso acontecer?

resolução

1.º Processo

Vamos pensar apenas nos três bilhetes destinados às três amigas, não nos interessando a ordem como elas ocuparão depois esses três lugares.

O espaço de resultados é o conjunto dos ternos não ordenados. Por exemplo, um dos seus elementos é o terno {5,7,15}, que corresponde às três amigas receberem os bilhetes 5, 7 e 15 embora não saibamos o lugar exato em que cada uma delas se vai sentar.

Os casos possíveis são as diferentes maneiras de elas receberem os 3 bilhetes de um conjunto de 15, ou seja, todos os ternos não ordenados formados a partir do conjunto de 15 bilhetes.

Casos possíveis:

Casos favoráveis: apenas 2, ou recebem os bilhetes 1–2–3 ou os bilhetes 13–14–15.

Logo a probabilidade pedida é 2455

.


2.º Processo

Vamos pensar nos três bilhetes destinados às três amigas, mas interessando-nos agora a ordem como elas ocuparão depois esses três lugares. Continuamos a ignorar os outros 12 bilhetes.

O espaço de resultados é o conjunto dos ternos ordenados. Por exemplo, um dos seus elemen-tos é o terno , ou seja, a Ana fica no lugar 5, a Bela no 7 e a Carla no 15.

Os casos possíveis são portanto as diferentes maneiras de elas receberem 3 bilhetes de um conjunto de 15, mas em que a ordem por que recebem os bilhetes é importante.

Casos possíveis: 15A3= 2730

Casos favoráveis: Se os bilhetes que elas receberem forem 1, 2 e 3, como a ordem interessa, há seis maneiras de elas os ocuparem (são as permutações de 3). O mesmo se passa para os bilhetes 13, 14 e 15. Logo, os casos favoráveis são 2 × P

3= 12 .

Logo a probabilidade pedida é 122730

= 2455

.

3.º Processo

Desta vez vamos considerar todas as maneiras como os 15 alunos se podem sentar nos 15 lugares.

O espaço de resultados é constituído por todas as permutações dos 15 alunos pelas cadeiras.

Os casos possíveis são portanto as permutações de 15.

Casos possíveis: P15= 15!

Casos favoráveis: Se as três amigas ficarem nos lugares 1, 2 e 3, podem permutar entre si, e os outros 12 alunos também. O mesmo se passa se ficarem nos três últimos lugares. Então os casos favoráveis são 2 × P

3× P

12.

Logo a probabilidade pedida é 2 × 3!× 12!15!

= 1215 × 14 × 13

= 2455

.

4.º Processo

Vamos calcular a probabilidade pedida admitindo que os bilhetes vão ser entregues um a um às três amigas.

A primeira vai receber o seu bilhete. Dos 15 lugares, há 6 que lhe servem (os três primeiros e os três últimos).

Chegou a vez da segunda. Há 14 bilhetes e a ela só servem os dois lugares que restam na ponta onde a primeira ficou.


Finalmente, a terceira, dos 13 bilhetes restantes, tem de receber o único que sobra na ponta onde estão as amigas.

Logo a probabilidade pedida é 6 × 2 × 115 × 14 × 13

= 615

× 214

× 113

= 2455

.

a não esqueCer

Uma questão que se coloca muitas vezes perante os problemas de Probabilidades é o facto de existirem vários processos de os resolver. Normalmente isso sucede por, perante a situação descrita no problema, se poderem considerar diferentes espaços de resultados conforme a abordagem que se faça. Para calcular a probabi-lidade aplicando a regra de Laplace, devemos dividir o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. Ora, a cada espaço de resultados irá corresponder um diferente número de casos possíveis e, claro, um diferente número de casos favoráveis.

O principal cuidado a ter é usar exatamente o mesmo método na contagem dos casos favoráveis e na contagem dos casos possíveis, ou seja, não mudar de espaço de resultados a meio da resolução.

(adaptado de José Paulo Viana, Escola Secundária Vergílio Ferreira, Lisboa)

tp

tareFas propostas

6. O TOTOLOTO 6/49

O Totoloto surgiu em 1985. Criado pelo Decreto-Lei n.º 382/82 de 15 de Setembro só mais tarde, através do Decreto-Lei n.º 84/85, de 28 de Março, o Estado concedeu à SCML o direi-to à sua organização e exploração. O primeiro concurso realizou-se a 30 de Março desse ano.

O jogo consiste na escolha de seis números, entre 49 possibilidades. Assim, os prognósticos são efectuados traçando as cruzes nos quadradinhos e estabelecendo conjuntos de seis núme-ros. Os prémios são atribuídos a partir do acerto em três dos números escolhidos. As apostas simples têm de ser em número par (2, 4, 6, 8 e 10 apostas), começando pelos dois primeiros conjuntos da esquerda e continuando sem intervalo. Em cada conjunto, marcam-se com cru-zes (X), os seis números escolhidos.

As apostas múltiplas fazem-se sempre no conjunto 1 dos bilhetes. Podem ser preenchidos 7 a 12 números, assinalando o quadradinho correspondente. No início de 1988 surgiu uma nova modalidade de aposta múltipla, o 5/44. O apostador escolhe 5 números fixos que combinam uma vez, com cada um dos restantes.

O bilhete de cinco semanas permite participar em cinco concursos seguidos, com os mesmos conjuntos de números.


6.1 A quantas apostas simples corresponde a aposta múltipla de 11 cruzes?

6.2 A quantas apostas simples corresponde a aposta múltipla de 5/44?

6.3 Supõe que fizeste uma aposta múltipla, assinalaste 12 cruzes e acertaste em 3 delas. Quantos quintos prémios (aposta com 3 números certos) ganhaste?

7. Há N pessoas e cada uma põe o respectivo chapéu numa caixa. Qual a probabilidade de uma determinada pessoa retirar o próprio chapéu? Qual a probabilidade de que pelo menos uma pessoa escolha o chapéu correto?


8. Numa raspadinha estão em jogo 200 bilhetes, repartidos da seguinte maneira: duas raspadi-nhas têm um prémio de 200 euros, 18 raspadinhas têm um prémio de 20 euros e nenhuma outra raspadinha tem prémio. Cada raspadinha custa 3 euros e os prémios estão distribuídos ao acaso nas raspadinhas. Seja X a variável aleatória que mede o ganho de cada jogador (diferença entre o que ganha no prémio e o que gastou a comprar a raspadinha).

8.1 Determina a distribuição de probabilidades da variável aleatória X.

8.2 Sem efetuares qualquer cálculo e olhando para a tarefa 3, parece-te que este jogo é justo para os jogadores ou favorece os organizadores da raspadinha? Efetua os cálculos e conclui.

8.3 Que alterações podes efetuar nas regas da raspadinha de modo que o jogo nem favoreça os jogadores nem os organizadores?

9. Um concurso televisivo utiliza um dispositivo chamado aparelho ou caixa de Galton, para determinar os prémios que os concorrentes ganham.

Um disco é largado do topo do aparelho e vai batendo sucessivamente nos pinos do aparelho até atingir as posições A, B, C, D, E ou F.


A B C D E F

9.1 Quantos caminhos existem para o disco chegar à posição A?

9.2 E à posição B?

9.3 Mostra que o número de caminhos que há até chegar a cada pino é exatamente igual aos números em posição semelhante do triângulo de Pascal:

A B C D E F

11

11 1

1 11 1

1 1

23 3

4 46

5 510 10


10. O Nuno inventou o seguinte jogo de apostas, para se entreter com os seus colegas do 12.º ano: cada aposta consiste em marcar n números de um total formado pela lista: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, e quer saber quanto deve valer n para assegurar que cada um dos 120 alunos possa fazer uma aposta distinta.

11. Um grupo de 10 amigos quer fazer um campeonato de “Poker”, pelo que decidem organizar partidas (de quatro) de todas as formas possíveis.

11.1 Quantas partidas são possíveis?

11.2 Se jogarem 10 partidas por semana:

11.2.1 Quanto tempo demorariam a terminar o campeonato?

11.2.2 Quantas partidas jogará cada um ?

12. Cinco pessoas, A, B, C, D e E, devem pronunciar-se num discurso. De quantas maneiras se podem ordenar as intervenções de cada um, se D não puder falar antes de A?


13. Determina o número de rectas distintas que podem passar por oito pontos do plano,

13.1 se estão dispostos de maneira que três quaisquer deles não estão alinhados;

13.2 se quatro deles estão alinhados e os outros quatro também;

13.3 se os oito pontos são vértices de um quadrado e os pontos médios dos seus lados.

14. Considera os oito pontos que são vértices de um cubo.

14.1 Quantas rectas distintas determinam?

14.2 E quantos triângulos? Destes, quantos são rectângulos e quantos são equiláteros?

14.3 E quantos quadrados?

14.4 E quantos rectângulos?

14.5 E quantos planos?

15. Pintam-se as quatro faces de um tetraedro regular com duas cores distintas. Quantos tetra-edros diferentes podemos obter? E se pintarmos com três cores diferentes? E se pintarmos com quatro?

16. O João tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de 1 euro e quatro de 50 cêntimos. O João retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso.

16.1 Seja X a quantia, em euros, correspondente às moedas retiradas pelo João. Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X, apresentando as probabilidades na forma de fração irredutível.

16.2 Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o João informou a sua irmã Inês de que elas eram iguais. Ela apostou, então, que a quantia retirada era de 2 euros. Qual é a probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresenta o resultado sob a forma de fração irredutível.

17. A função P(x) = 22500 43

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−x

definida para x ≥ 0, é usada para determinar o valor de um

carro (em euros) x anos depois da sua compra.

17.1 Qual é o custo inicial do carro?

17.2 Determina o custo de um carro um ano e meio depois da compra.

17.3 Quanto desvaloriza o carro ao ano?

18. Um arquiteto resolveu usar a função logarítmica para fazer o arco de uma porta, como mos-tra a figura seguinte.


0 5 10

x

1

2

y

A CD

B

O arco AB é parte da função definida por y = ln x .

O arco BC é simétrico do arco AB relativamente à recta BD.

18.1 Define uma função por ramos de modo que represente o arco AB e o arco BC.

18.2 Determina a altura máxima da porta (isto é, a do arco medido sobre a reta BD).

19. Financiamento para a viagem de finalistas

Podes observar na figura da tarefa 9 o aparelho de Galton, que pode ser utilizado em concursos.

Os alunos de uma turma do 12.º ano da Escola Secundária de Cima pensam utilizar um aparelho análogo, mas com 9 linhas, para promover um concurso destinado a angariar finan-ciamento para ajudar a pagar a viagem de finalistas.

Pensam pedir um pagamento de 3,5 euros por cada aposta, ou seja, por cada disco lançado. Os jogadores poderão obter um dos prémios cujo valor consta no fundo do aparelho, como podes observar no esquema imediatamente abaixo:

A B C D E F G H I J100€ 20€ 10€ 3€ 1€ 1€ 3€ 10€ 20€ 100€

Noutra escola, a Secundária de Baixo, os alunos de outra turma do 12.º ano resolveram pro-mover outro tipo de concurso para fim análogo ao que se destina o concurso dos seus colegas de Cima.

Criaram uma espécie de Euromilhões, o Baixocentenas, a ser realizado semanalmente que, ao contrário do euromilhões, não dá lugar à divisão do prémio pelos apostadores premiados. Quem acertar recebe integralmente o valor referente ao prémio.

Podes observar na figura seguinte um boletim desse concurso.


A seguir podes observar uma tabela de distribuição de probabilidades da variável Y: “valor ganho pelo jogador numa aposta”, relativa ao concurso Baixocentenas.

Y = yi

200 50 0

pi = P Y = y

i( ) 11320

1330

263264

Responde às seguintes questões, considerando que os custos para além dos resultantes dos pagamentos dos prémios (aparelho, bilhetes do Baixocentenas, impostos, etc…) são suporta-dos por patrocinadores externos em troco de publicidade.

19.1 Constrói uma tabela de distribuição de probabilidade relativa ao concurso a realizar na E. S. de Cima, considerando a variável aleatória X: “valor ganho pelo apostador numa jogada”.

19.2 Calcula o lucro ou prejuízo esperado pelo apostador em cada aposta no concurso da E. S. de Cima.

19.3 Explica os valores de probabilidade que constam da tabela de distribuição de probabi-lidades relativa ao concurso Baixocentenas.

19.4 Se criassem, no Baixocentenas, um 3.º prémio para os apostadores que acertarem os números mas falharem as letras (3 números + 0 letras), o que seria mais provável a um apostador: acertar no 1.º prémio ou no 3.º prémio?

19.5 Considerando o concurso Baixocentenas tal como está previsto, com os dois prémios, calcula o lucro/prejuízo esperado pelo jogador em cada aposta.

19.6 Tendo em consideração os dois concursos, elabora uma redacção em que refiras os se-guintes aspectos:

- opinião acerca do melhor concurso, tendo em consideração a rentabilidade por apos-ta;

- cumprimento do objectivo a que se destinam os concursos e riscos associados, utili-zando argumentos relativos a lei dos grandes números e à viabilidade prática da imple-mentação de cada concurso;

- sugestões de eventuais alterações a introduzir em cada projeto de modo a aumentar


o lucro esperado pelos alunos e o interesse de potenciais jogadores.

Na redação serão valorizados os argumentos matemáticos utilizados, cujos cálculos não precisas de repetir se já estiverem nas respostas às questões anteriores (basta invocá--los), mas também a apresentação, o encadeamento lógico, a clareza, a correção e a criatividade.

(Nota: Se este trabalho te der alguma ideia para aplicares, deves ter muita atenção ao contexto legal.)

em

questões de esColha múltipla

20. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspeto exterior, mas só um é que tem licor. A Patrícia tira, ao acaso, um bombom da caixa, come-o e, se não for o que tem licor, experimenta outro. Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom com licor. Seja X a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come». Qual é a distribuição de probabilidades da variável X?

(A)

0 1 2 3 4

0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

(B)

0 1 2 3 4

0,1 0,1 0,2 0,2 0,4

(C)

1 2 3 4 5

0,2 0,2 0,2 0,2 0,2


(D)

1 2 3 4 5

0,1 0,1 0,2 0,2 0,4

21. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa. Seja X : “o maior dos números saídos”. Qual é a distribuição de pro-babilidades da variável X?

(A)

2 3

(B)

2 3

(C)

1 2 3

(D)

1 2 3


22. Numa caixa estão bolas brancas e bolas pretas. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, três bolas da caixa. Seja X o número de bolas brancas extraídas. Sabe-se que a distribuição de probabilidades da variável aleatória X é:

1 2 3

a a

Qual é a probabilidade de se extraírem menos de três bolas brancas?

(A)

(B)

(C)

(D)

23. O João vai lançar seis mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e vai adicionar os números saídos. De qual dos seguintes valores é de esperar que a soma obtida pelo João esteja mais próxima?

(A) 20000

(B) 21000

(C) 22000

(D) 23000


C2

Capítulo 2 - problemas que envolvem CálCulos mais elaborados no Conjunto dos números reais

tr

tareFas resolvidas

24. Demonstra que o número

é um número inteiro.

resolução

Temos que

Mas as combinações de 100 elementos de 25 a 25 dão o número de arranjos diferentes de 25 elementos sem interessar a ordenação, que se podem obter quando temos à nossa disposição uma centena de elementos. Esse número é necessariamente um número inteiro, logo fica pro-vado o que pretendíamos (sem ter necessidade de efetuar todos os cálculos!).

Trail

por

Den

nnis

Vu, h

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denn

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9923

760/


25. Consideremos que temos dois baralhos de 32 cartas. Vamos chamar-lhes baralhos 1 e 2.

25.1 Tira-se ao acaso uma carta em cada um dos baralhos 1 e 2. Consideremos os aconte-cimentos

A: “Obter 2 cartas de Ás”

B: “Obter pelo menos um Ás”

Calcula P(A) e P(B).

25.2 Misturam-se as cartas dos dois jogos e tiram-se sucessivamente e sem reposição duas cartas ao acaso. Calcula P(A) e P(B).

resolução

25.1 Há 32 cartas do baralho 1 e 32 do baralho 2. Como se tira ao acaso uma carta em cada um dos baralhos 1 e 2, pelo princípio básico da Análise Combinatória, há 32 × 32 = 1024 possibilidades. Há 4 possibilidades de tirar um Ás do primeiro baralho e quatro de tirar um no segundo baralho. Ou seja, há 4 × 4 = 16 possibilidades de tirar 2 cartas de Ás. A proba-bilidade do acontecimento A é então

Consideremos agora o acontecimento B “Obter pelo menos um Ás”. Teremos de ver como obter um Ás, dois Ases, 3 Ases e 4 Ases. Neste caso será mais fácil estudar o acontecimento contrário de B:

: “Não obter qualquer carta de Ás”

Como há 28 cartas que não são Ás no primeiro baralho e outras tantas no segundo baralho, pelo princípio básico da Análise Combinatória, concluímos que há 28 × 28 = 784 possibili-dades. A probabilidade do acontecimento é

Então


25.2 Como se misturam as 32 cartas de cada um dos dois baralhos e se tiram sucessivamente e sem reposição duas cartas ao acaso, há 64 possibilidades diferentes para a primeira carta e 63 possibilidades para a segunda carta. O número de casos possíveis é então 64 × 63 = 4032. Para o acontecimento A há 8 possibilidades de obter um Ás na primeira carta e 7 possibi-lidades de obter um Ás na segunda carta; ou seja, há no total 8 × 7 = 56 casos favoráveis pelo que

Para o acontecimento B podemos mais uma vez recorrer ao acontecimento , o aconteci-mento contrário de B. Temos que então haverá 56 possibilidades de não sair Ás na primeira carta; e então haverá 55 possibilidades de não sair Ás na segunda carta. Assim,

Logo

26. Usando a fórmula do binómio de Newton calcula

resolução

A fórmula do Binómio de Newton diz que

No caso n = 6, a = 2x e b = 4y. Podemos dizer que todas as parcelas têm a forma

kn( )an−kbk

com k a variar de 0 a 6. No nosso caso, todas as parcelas terão a forma


Como k está a variar de 0 a 6 temos então que

Que podemos fazer para termos a certeza de que não nos enganámos nos cálculos? Basta obser-varmos que a soma dos expoentes de a = 2x e de b = 4y e portanto de x e de y é sempre igual ao expoente n = 6. Concluindo, vem então

27. Calcula

resolução

Temos que

100C99

= 100!99!1!

= 100

pois 100! = 100 × 99! Um modo mais simples para calcular este valor é relembrar a proprie-dade

nCk= nC

n−k

para concluir que

100C99

= 100C1= 100


tp

tareFas propostas

28. Numa corrida de cavalos, há 18 cavalos a participar. As apostas desportivas normalmente in-cidem em acertar nos três primeiros lugares à chegada, por ordem ou sem interessar a ordem.

28.1 Qual a probabilidade de acertar nos três primeiros classificados, supondo que a aposta é totalmente aleatória?

28.2 Suponhamos que os três cavalos a chegar em primeiro lugar são o 9, o 17 e o 12 por esta ordem. Qual a probabilidade de acertar nestes três lugares sem interessar a ordem?

29. Usando a fórmula do binómio de Newton calcula o 5.º termo do desenvolvimento de

29.1

29.2

30. Calcula, usando a fórmula do binómio de Newton, .

31. Simplifica a fração .

32. Determina p de modo que seja ao mesmo tempo

e

Horse

racin

g ev

ent p

or T

suto

mu

Taka

su, h

ttp:/

/www

.flick

r.com

/pho

tos/

gowe

stph

oto/

3921

7606

53/


33. Calcula:

33.1

33.2

33.3

33.4

em

questões de esColha múltipla

34. é igual a:

(A)

(B)

(C)

(D)

35. A soma dos três primeiros elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 121. Qual é o terceiro elemento da linha seguinte?

(A) 78

(B) 120

(C) 91

(D) 136

36. Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos. Qual é o sexto elemento dessa linha?

(A)

(B)

(C)

(D)


37. O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19600. A soma dos quatro primeiros números dessa linha é 20876. Qual é o terceiro número da linha seguinte?

(A) 169247

(B) 175324

(C) 184756

(D) 193628

38. Numa certa linha do Triângulo de Pascal, o segundo elemento é 2009. Quantos elementos dessa linha são maiores do que um milhão?

(A) 2004

(B) 2005

(C) 2006

(D) 2007

39. O penúltimo número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 10. Qual é o terceiro nú-mero dessa linha?

(A) 11

(B) 19

(C) 45

(D) 144

40. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 31. Qual é o quinto elemento da linha anterior?

(A) 23751

(B) 28416

(C) 31465

(D) 36534


C4Capítulo 4 - exerCíCios que pressupõem raCioCínios demonstrativos

tr

tareFas resolvidas

41. Demonstra que

41.1

41.2

resolução

41.1 Temos que e são disjuntos, pelo que, pelo 3.º axioma da Probabilidade, temos que

Assim, supondo que P(B) > 0 e usando a definição de probabilidade condicionada, temos que

Logo,

c.q.d.


41.2 Sabemos que . Pela definição de probabilidade condicionada podemos escrever

Logo, .

c.q.d.

42. Mostra, por redução ao absurdo, que se então

resolução

Suponhamos então que, em vez da conclusão pretendida, se teria a conclusão contrária, isto é, que

Então, como e são disjuntos, pelo 3.º axioma viria

Mas como, por hipótese, então será pelo que virá

Como supusemos que virá que

e isto contradiz o 1.º axioma. Chegámos a um absurdo, pelo que a hipótese feita é falsa e assim concluímos que .

c.q.d.


tp

tareFas propostas

43. Demonstra que:

P(A ∩B ∩C) = P(A)P(B | A)P[C | (A ∩B)] 44. Reflete sobre a veracidade da seguinte afirmação:

“O número de diagonais de um polígono regular de n lados calcula-se pela fórmula n(n – 3), porque aplicando o princípio da multiplicação, de cada um dos n vér-tices saem n – 3 diagonais.”

45. Usando um contraexemplo mostra a falsidade da afirmação:

46. Prova que, dados os acontecimentos A, B e C, se tem

P(A∪B ∪C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A∩B) − P(A∩C ) − P(B ∩C ) + P(A∩B ∩C )

47. Prova, por redução ao absurdo, que se então


C5Capítulo 5 - utilizar a CalCuladora gráFiCa para resolver problemas

tr

tareFas resolvidas

48. O Problema dos aniversários (2.ª parte)

Qual é o número mínimo de pessoas que é preciso ter numa sala para que a probabilidade de haver pelo menos duas a fazer anos no mesmo dia seja superior a 50%?

resolução

Intuitivamente parece que terão de existir mais de 150 pessoas na sala para haver 50% de probabilidades de duas pessoas festejarem o seu aniversário no mesmo dia. Contudo, a Ma-temática vai mostrar algo de surpreendente.

Para resolver este problema de modo simples temos de partir do princípio que o ano tem 365 dias e que a taxa de nascimentos é constante ao longo do ano, de modo a poder admitir que qualquer dia do ano é igualmente provável para ser o aniversário de uma pessoa.

Vamos calcular as sucessivas probabilidades de não haver duas pessoas a fazer anos no mes-mo dia, começando com uma única pessoa na sala e fazendo entrar as outras uma a uma. Pararemos logo que a probabilidade seja inferior a 0,5.

Se só houver 1 pessoa na sala, ela poderá fazer anos em qualquer um dos 365 dias. A proba-

bilidade de isso acontecer é P(1) = = 1.

Entra a segunda pessoa na sala, que tem de fazer anos num dia diferente da primeira. Ser-

vem 364 dos 365 dias e a probabilidade de isso acontecer é . A probabilidade de não coincidência de aniversários das duas pessoas é então

P(2) = ≈ 0,9973

Entra a terceira pessoa na sala, que tem de fazer anos num dia diferente das duas anteriores.

Servem 363 dos 365 dias e a probabilidade de isso acontecer é 363365

. A probabilidade de não

coincidência dos três aniversários é então


P(3) = ≈ 0,9918

Para 4 pessoas:

P(4) = ≈ 0,9836

É fácil agora fazer a generalização para n pessoas:

P(n) =

Agora vamos procurar o menor valor de n que faz com que P(n) seja inferior a 0,5. Con-vém usar a calculadora ou o computador. Colocamos em Y1 a função P(n), em Y2 a função 1 – P(n), que é a probabilidade de haver pelo menos duas pessoas a fazer anos no mesmo dia, e fazemos uma tabela para os sucessivos valores de n.

Vemos então que bastam 23 pessoas para que a probabilidade de haver duas pessoas a feste-jar o aniversário no mesmo dia seja superior a 50%. O resultado é surpreendentemente baixo.

Com 30 pessoas, a probabilidade já é superior a 70%, e com 41 pessoas superior 90%. Com 57 chega-se aos 99% e com 70 ultrapassa-se os 99,9%.


49. Gripe Asiática

Numa cidade surgiu uma epidemia de gripe asiática. Determinou-se que a evolução da do-ença era dada pela fórmula

onde P representa a percentagem de pessoas infetadas e t o tempo em dias após a declaração da epidemia pelo Serviço Nacional de Saúde (SNS).

49.1 Determina, analiticamente, o período de tempo (em horas) em que a percentagem de pessoas infetadas foi superior ou igual à existente no momento da detecção da epide-mia.


49.2 Quando foi declarada a epidemia, o SNS sossegou a população da cidade informando que situação não era muito grave, pois tinham sido tomadas todas as medidas reco-mendadas e a epidemia seria erradicada em menos de uma semana. Numa pequena composição, comenta o teor das declarações do SNS tendo em conta que

a) A epidemia se considera erradicada quando a percentagem de pessoas infetadas for inferior a 1%.

b) Por questões de saúde pública e de acordo com a Organização Mundial de Saúde, este tipo de epidemia configura uma situação muito grave quando afeta uma população em mais de 60% por um período superior a 24 horas.

Na resolução desta questão deves utilizar as capacidades gráficas da tua calculadora e enriquecer a tua composição com o traçado de um ou mais gráficos.

Não é obrigatória a determinação analítica de valores que consideres indispensáveis, desde que os apresentes com uma aproximação razoável e indiques o processo que uti-lizaste recorrendo à calculadora.

resolução

49.1 Há 32% de pessoas infetadas no momento da declaração da epidemia pois

Para determinar quando a percentagem de pessoas infetadas foi superior ou igual à existente no momento da detecção da epidemia temos de resolver a inequação

Temos

visto que a função exponencial de base superior a um é estritamente crescente. Logo

P(t) ≥ 32 ⇔ –0,25t 2 + t + 5 ≥ 5 ⇔ −t(0,25t − 1) ≥ 0 ⇔ t(0,25t − 1) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 4

Assim, entre o momento inicial e o 4.º dia a percentagem de pessoas infetadas foi superior ou igual à existente no momento da declaração da epidemia. Passaram então 4 × 24 = 96 horas em que a percentagem de pessoas infetadas foi superior ou igual à existente no momento da detecção da epidemia.

49.2 Considerando, respetivamente, as janelas de visualização [0,10]×[-1,70] e [0,3]×[50,70]


representaram-se graficamente as funções

cujos gráficos se indicam a seguir

Considerando agora a janela de visualização [0,10]×[0,2] representaram-se a mesma função juntamente com a função

cujos gráficos se indicam a seguir. Criou-se ainda uma tabela de valores para a função como se mostra na mesma figura:

Sabendo-se que

e

podemos concluir que


Reunindo toda esta informação podemos elaborar o gráfico seguinte

0 2 4 6 8

t(dias)0

10

20

30

40

50

60

70

1,39 2,61 6,89

P(%)

Do gráfico conclui-se que a epidemia foi erradicada antes de se atingirem 7 dias, pelo que se veio a confirmar o prognóstico do SNS quanto ao prazo de erradicação da epidemia.

Já quanto à gravidade da situação não sucedeu o mesmo, pois veio a verificar-se que apro-ximadamente durante 29 horas (2,61 – 1,39 = 1,22 dias, ou seja, 1,22 × 24 = 29,28 horas) houve mais de 60% da população afetada, pelo que, tendo sido ultrapassado o limiar referi-do, de acordo com a classificação da Organização Mundial de Saúde, este tipo de epidemia configura uma situação muito grave.

Claro que este é um modelo matemático geral pelo que não pode dar por si só todas as indicações sobre as medidas que deveriam ter sido tomadas no terreno, pelo que não há in-formação que permita avaliar as medidas tomadas.

tp

tareFas propostas

50. Tarefa: Cultura de Amibas

Os biólogos, para os seus estudos, realizam culturas de células. As amibas, seres unicelula-res, reproduzem-se por bipartição, isto é, cada uma divide-se em duas. Cada uma das novas amibas desenvolve-se, e quando chega ao momento próprio, divide-se novamente em duas, e assim sucessivamente. O número de amibas irá pois aumentar segundo a lei:

1 − 2 − 4 − 8 − 16 − 32 − 64 − ...... − 2t

Esta lei, como adaptação à realidade, tem defeitos. Enumera um ou dois.

Nesta situação, se por hipótese as amibas se bipartissem de hora a hora e se não morressem, quantas amibas haveria ao fim de 15 horas?

Mas, o tempo que decorre para cada partição não é o mesmo para todas as amibas. Por outro lado, algumas amibas morrem antes de chegar à fase da bipartição. Para descobrir o número


de amibas na cultura, é necessário fazer recontagens. Um biólogo contou as amibas que há em cada momento na sua cultura:

tempo (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n.º de amibas 4 6 9 13 20 30 46 68 103 154

Procura encontrar uma fórmula que te permita obter, com o maior rigor possível, o número de amibas em cada momento (utiliza a calculadora gráfica e as curvas de regressão, procu-rando a mais adequada).

51. Considera a função real de variável real, assim definida: t(x) = 1 + log (x 2 − 1).

51.1 Determina o domínio e os zeros da função.

51.2 Justifica que a função não admite função inversa.

51.3 Resolve a condição t(x) < 0.

51.4 Considera as funções, reais de variável real, assim definidas:

f (x) = x + 1 g(x) = log x e h(x) = x2 − 1

Tendo em consideração que t(x) = (f o (g o h))(x) e ainda todo o estudo feito sobre as funções f, g e h, determina o contradomínio da função t. Explica o teu raciocínio.

51.5 Mostra que a expressão algébrica da correspondência (não função) inversa da função t é x = ± 1 + 10y − 1 e comprova o conjunto indicado na alínea anterior.

51.6 Caracteriza j −1, função inversa da função t restrita a ]1, + ∞[.

51.7 Verifica na tua calculadora gráfica o representado a seguir:

51.8 Como explicas o observado confrontando-o com as respostas às alíneas 51.3 e 51.4?

51.9 Agora, utiliza um software de traçado de gráficos no computador para verificar a reso-lução deste exercício.


52. Utilizando uma calculadora gráfica a Ana descobriu que a equação log(x 2) = 2 log 3 tinha duas soluções, que eram 3 e −3 . De seguida, resolveu algebricamente a equação seguindo os seguintes passos:

Onde está o erro? Justifica.

73Testes de tempo limitado

3. Testes de tempo limitado

t1

Teste 1 – Probabilidades – Escolha múltipla45 minutos

Calculadora não autorizada

1. Uma caixa contém 6 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. Duas bolas são tiradas da caixa, uma depois da outra, sem reposição. As ações descritas resultarão em acontecimentos que são

(A) dependentes

(B) independentes

(C) complementares

(D) mutuamente exclusivos

(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2002)

2. De acordo com os resultados obtidos anteriormente, a probabilidade de uma equipa de base-bol ganhar um jogo é 4/5. A probabilidade de a equipa ganhar os próximos 2 jogos é

(A) 8/5

(B) 16/25

(C) 2/5

(D) 1/25


3. O número de arranjos de 3 rapazes e 4 raparigas numa fila, se as raparigas têm de ficar juntas, é

(A)

(B)

(C)

(D)


74 Testes de tempo limitado

4. Incluindo o Pedro e a Diana, uma determinada escola tem um Conselho Escolar com 10 membros. As probabilidades de 3 comissões possíveis, cada uma contendo 4 membros desse Conselho, é apresentada a seguir:

Comissão 1: Pedro e Diana são ambos escolhidos

Comissão 2: Só um de Pedro ou Diana são escolhidos

Comissão 3: Nem Pedro nem Diana são escolhidos

A probabilidade de Pedro ou Diana serem escolhidos é:

(A) (Probabilidade da Comissão 1) × (Probabilidade da Comissão 2)

(B) 1 - (Probabilidade da Comissão 3)

(C) 1 - (Probabilidade da Comissão 1)

(D) (Probabilidade da Comissão 3)


5. Calcula

(A) 1

(B) 4

(C) 15

(D) 16

(adaptado de exames do Canadá, estado de British Columbia, 2005)


6. No desenvolvimento do binómio , o termo que contém é

(A) 4.º termo

(B) 5.º termo

(C) 6.º termo

(D) 7.º termo

(adaptado de exames do Canadá, estado de Manitoba, 2007)

7. O diagrama mostra um espaço de resultados com 13 acontecimentos igualmente prováveis. Determina P(B).

BA

S

(A)

(B)

(C)

(D)



8. O diagrama abaixo mostra os gráficos de duas distribuições normais com médias e e desvios padrão e , respetivamente.

X ~N(μ ,σ )

X ~N(μ ,σ )

x

y

1

2 2 22

1 12

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

(adaptado de exames da Austrália, estado de Victoria, 2003)


t2

Teste 2 – Probabilidades – Escolha múltipla45 minutos

Calculadora autorizada

1. Na Estância de Férias “Luz do Sol”, a probabilidade de chover em qualquer dos dias do mês de janeiro é 0,1. A Glória vai passar 3 dias nessa Estância de Férias em janeiro de 2013. Qual é a probabilidade de que chova pelo menos num desses três dias?

(A) 0,001

(B) 0,271

(C) 0,3

(D) 0,729

(adaptado de exames da Austrália, estado de New South Wales, 2000)

2. Os números 1 a 5 foram escritos em pedaços de papel separados e os papéis colocados numa caixa. As letras A, B, C e D são cada uma escritas em papéis diferentes e os papéis são colocados numa caixa diferente. Jodi retira um pedaço de papel de cada uma das caixas. O número de elementos do espaço de resultados desta experiência aleatória é

(A) 51

(B) 20

(C) 9

(D) 2


3. Os estudantes de um departamento de música prepararam 6 coros contemporâneos e 5 coros tradicionais. Para o concerto do departamento será escolhido um programa em que apresen-tam 4 dos coros contemporâneos e 3 dos coros tradicionais. Quantos programas diferentes podem ser apresentados, se a ordem dos coros não interessar?

(A) 25

(B) 35

(C) 150

(D) 330



4. Foi efetuado um inquérito em que as pessoas tinham de colocar um X na caixa à frente das atividades que as interessavam quando estavam de férias. Poderiam colocar tantos X em quantas atividades quisessem e poderiam deixar todas as caixas em branco.

Ver paisagens

Ir ao teatro

Subir a uma montanha a pé

Praticar ski

Visitar museus

Praticar golfe

Ir às compras

Antes de serem tabulados os resultados do inquérito foi preciso determinar quantas respostas diferentes se poderiam obter. Qual o número total de respostas diferentes possíveis?

(A) 28

(B) 128

(C) 5040

(D) 13700


5. Uma festa de 18 pessoas é dividida em 2 grupos diferentes consistindo de 11 pessoas e 7 pessoas. O número de modos diferentes de fazer isto é:

(A)

(B)

(C)

(D)



6. No desenvolvimento de , determina o coeficiente do termo contendo .

(A) 9

(B) 10

(C) 36

(D) 45


7. Um investigador médico mediu a temperatura corporal de 700 pessoas e descobriu que as temperaturas tinham uma distribuição normal com uma média de 36,8 graus Celsius e um desvio padrão de 0,35 graus. O número de pessoas que se espera tenha uma temperatura corporal de 37,5 graus ou inferior é

(A) 16

(B) 68

(C) 490

(D) 684


8. Dada uma curva normal com média 50 e desvio padrão 10, determina o valor de

(A) 0,0415

(B) 0,2333

(C) 0,2707

(D) 0,3075



t3

Teste 3 – Probabilidades – Itens de resposta aberta45 minutos

Calculadora não autorizada

1. Lançam-se dois dados cúbicos equilibrados. Qual é a probabilidade de um e um só dos dois números obtidos ser um 5?

(adaptado de exames de Itália, 2012)

2. Um saco contém berlindes azuis e berlindes vermelhos na proporção de 2 para 3. Um berlin-de é selecionado ao acaso. Qual a probabilidade de o berlinde ser azul?


3. O número de combinações de n objetos 4 a 4 é igual ao número de combinações dos mesmos objetos 3 a 3. Qual o valor de n?


4. Quantos são os números distintos de 4 algarismos que é possível escrever usando os dígitos ímpares?


5. A Renata vai vender o seu carro mas antes vai à oficina fazer uma revisão. A probabilidade de o carro necessitar de uma mudança de óleo é de 0,3 e a probabilidade de o carro necessitar de um novo filtro de óleo é 0,5. A probabilidade de tanto o óleo como o filtro do óleo preci-sarem de ser mudados é de 0,225. Se o óleo precisar de ser mudado, qual a probabilidade de ser preciso novo filtro de óleo?

(adaptado de exames da Nova Zelândia, 2006)


t4

Teste 4 – Probabilidades – Itens de resposta aberta90 minutos


1. Queremos formar uma comissão de cinco pessoas, a ser escolhida entre 10 homens e 3 mulhe-res. Qual a probabilidade de a comissão ser constituída por 3 homens e 2 mulheres?


2. A Renata e o Estevão fizeram uma sondagem na sua escola sobre as preferências televisivas dos estudantes.

2.1 A Renata pediu a 150 estudantes escolhidos ao acaso que programas é que tinham visto no dia anterior na televisão. O programa Shortland Street foi visto por 90 es-tudantes, 50 tinham visto o Ídolos e 30 tinham visto ambos. Qual a probabilidade de que um estudante escolhido ao acaso não tenha visto o Shortland Street nem o Ídolos?

2.2 O Estevão fez uma sondagem a um outro grupo de estudantes igualmente escolhidos ao acaso sobre que tipos de programas tinham visto no fim de semana anterior. Ele descobriu que 2/3 tinham visto desporto e que 4/9 tinham visto um filme. Se 4/5 deles tinham visto pelo menos um programa de desporto ou filme, qual a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso ter visto tanto um programa de desporto como um filme?


3. A Renata e o Estevão são ambos membros da direção da Associação de Estudantes que tem um total de 10 membros. Quando a direção da Associação de Estudantes foi apresentada à escola durante uma assembleia, sentou-se no palco formando uma única fila. Os lugares foram atribuídos ao acaso. Qual a probabilidade de a Renata ficar sentada na extremidade esquerda da fila e o Estevão ficar sentado na extremidade direita da fila?


4. Os estudantes de uma Escola Básica foram inquiridos sobre os seus almoços na escola. No dia do inquérito, 63% dos estudantes levaram para a escola o seu almoço, enquanto que o resto comprou o seu almoço, seja na escola seja em lojas próximas. Dos estudantes que foram para a escola com almoço trazido de casa, 84% dos seus almoços incluía fruta; apenas 47% dos lanches comprados incluía fruta.

4.1 Calcula a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso dentre os inquiridos ter um almoço contendo fruta.

4.2 Suponhamos que um estudante escolhido ao acaso dentre os que responderam ao in-quérito tinha um almoço contendo fruta. Calcula a probabilidade de esse estudante ter comprado o almoço.


4.3 Um inquérito no ano anterior tinha mostrado que 72% dos estudantes inquiridos ti-nha fruta no seu almoço. Dos estudantes que tinham fruta, descobriu-se que 56% também tinha sumo. Apenas 12% dos estudantes que não tinha fruta no seu almo-ço tinha sumo. Também se descobriu no inquérito que 60% dos estudantes que ti-nham tanto fruta como sumo nos seus almoços tinha comprado o seu almoço. Suponhamos que um aluno que respondeu ao inquérito do ano anterior foi escolhido ao acaso. Determina a probabilidade de o estudante ter um almoço comprado contendo fruta, sabendo que se descobriu que tinha sumo no seu almoço.


5. O Henrique às vezes vai para escola de carro e das outras vezes vai de autocarro. O Henrique às vezes leva o almoço de casa para a escola e outras vezes compra-o na escola. Num dia qualquer, a pro-babilidade do Henrique ir de carro para a escola é 0,24 e a probabilidade de comprar o seu almoço é 0,32. A probabilidade do Henrique ir de carro para a escola e comprar o seu almoço 0,0864.

5.1 Os acontecimentos “Henrique vai de carro para a escola” e “Henrique compra o seu almoço” são independentes? Justifica.

5.2 Sempre que ele não tem de pagar o autocarro ou lhe dão dinheiro para almoçar, o Henrique coloca algum dinheiro no seu mealheiro.

- Ele coloca 2 euros no seu mealheiro em cada dia em vai de carro para a escola e compra o seu almoço.

- Ele coloca 1 euro no seu mealheiro em cada dia em vai de carro para a escola e não compra o seu almoço.

- Ele coloca 50 cêntimos no seu mealheiro em cada dia em vai de autocarro para a escola e compra o seu almoço.

- Ele não coloca dinheiro no seu mealheiro em cada dia em vai de autocarro para a escola e não compra o seu almoço.

Calcula o valor esperado de dinheiro que o Henrique coloca no seu mealheiro numa semana de aulas de 5 dias. Supõe que o modo como o Henrique vai para a escola num dia não influencia o transporte noutro dia qualquer, e que o mesmo acontece com o almoço.



6. No Dia da Diversão Matemática, um dos jogos envolve a escolha aleatória de uma das se-guintes cartas de uma caixa:

M A T E M A T I C A

Regras do jogo:

- Escolhe uma carta e ganhas o jogo!

- Se não sair uma carta M recoloca essa carta na caixa e recomeça o jogo. Escolhe uma carta M na segunda tentativa e ganhas o jogo! Se não sair uma carta dessas na segunda tentativa perdes o jogo!

6.1 Se for escolhida uma carta da caixa, qual a probabilidade de que seja uma carta M?

6.2 Qual a probabilidade de ganhar este jogo?


7. Um jogo consiste em lançar dois dados regulares. O resultado é a soma dos valores obtidos nos dois dados. O prémio é dado de acordo com as seguintes regras:

- A soma de 11 ou 12 dá um prémio de 100 euros



- A soma de 6 ou menos não dá qualquer prémio.

A variável aleatória X representa o prémio num jogo.

7.1 Explica porque .

7.2 Completa o preenchimento da seguinte tabela:

t 0 15 50 100

7.3 Determina a probabilidade de ganhar um prémio.

7.4 Determina o valor médio E(X).

(adaptado de exames da Dinamarca, 2007)


8. A Alice está a analisar o peso das ovelhas nascidas na sua quinta.

8.1 Ela descobre que o peso médio é 1,5 kg e o desvio padrão é 0,125 kg. Ela parte do princípio que os pesos têm uma distribuição normal. Qual é a probabilidade de uma ovelha, escolhida ao acaso, pesar entre 1,5 kg e 1,7 kg?

8.2 O Rafael calcula que a probabilidade de uma ovelha pesar entre 1,3 kg e 1,7 kg é 0,9. Ele pensa que as ovelhas devem ser mais leves do que a Alice concluiu. Explica porque é que não é provável que isto seja verdade.

8.3 Qual a probabilidade de uma ovelha escolhida ao acaso da quinta da Alice pesar mais do que 1,8 kg?

8.4 Uma ovelha é considerada com peso a menos se pesar menos de 1,25 kg. As ovelhas com peso a menos raramente sobrevivem. Alice espera que lhe nasçam 6400 ovelhas este ano. Quantas ovelhas deve ela esperar que morram devido a peso insuficiente?



t5

Teste 5 – Probabilidades90 minutos


i parte

1. Uma comissão numa escola consiste inclui 1 subdiretor, 2 professores e 3 estudantes. O nú-mero de comissões diferentes que podem ser formadas com 2 subdiretores, 5 professores e 9 estudantes é

(A) 20 160

(B) 8 008

(C) 1680

(D) 90


2. Num baralho comum de 52 cartas, quantas mãos diferentes de 4 cartas existem que conte-nham no máximo uma carta de copas?

(A) 91 403

(B) 118 807

(C) 188 474

(D) 201 058


3. O David tira uma carta ao acaso de um baralho contendo 12 cartas vermelhas, 10 cartas amarelas, 5 cartas azuis, e 8 cartas verdes. Qual é a probabilidade de que selecione uma carta azul ou uma carta vermelha?

(A) 5/35

(B) 12/35

(C) 17/35

(D) 18/35



4. O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam a aumentar. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:

Tamanho dos calçados Número de funcionárias39 138 1037 336 535 6

Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a pro-babilidade de ela calçar 38,0 é

(A) 1/3

(B) 1/5

(C) 2/5

(D) 5/7

(E) 5/14

(adaptado de exames do Brasil, 2010)

5. A probabilidade de a Lisa ganhar um jogo é . Nenhum jogo termina num empate. Se ela

jogar dois jogos, qual é a probabilidade de perder ambos?

(A)

(B)

(C)

(D)



6. Um código postal no Canadá é constituído por 3 letras e 3 dígitos ordenados de modo que tem primeiro uma letra, depois um dígito, depois uma letra e um dígito, e mais uma letra e um dígito. A primeira letra deve ser V, W ou X mas não há restrições sobre as outras letras ou dígitos. Um exemplo de código postal é V0N 5Y2. Quantos códigos postais diferentes são possíveis?

(A) 1 259 712

(B) 1 478 412

(C) 1 728 000

(D) 2 028 000


7. As primeiras 7 linhas do triângulo de Pascal são dadas a seguir:

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 20 15 6 1

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1

1 10 45 120 210 252 210 ? ? 10 11 9 36 84 126 ? 84 ? 9 1

1 ? 28 56 70 ? 28 8 11 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 ? 15 6 11 5 ? 10 5 1

1 4 6 4 11 3 3 1

1 2 11 1

1

O coeficiente de no desenvolvimento do binómio é igual a

(A) 1080

(B) 540

(C) –10

(D) –540

(E) –1080

(adaptado de exames da Austrália, estado de Victoria, 2003)


8. O coeficiente do terceiro termo do desenvolvimento de é

(A) 21

(B) 35

(C) 84

(D) 140


ii parte

9. Suponhamos que um termo do desenvolvimento de , com b positivo, é

Determina o valor de b, arredondado às décimas.


10. O João, a Amélia e o Frederico tentaram resolver o seguinte problema:

“Numa certa cidade, durante toda a vida de cada pessoa a probabilidade de ter diabetes é 0,1 e a probabilidade de ter cancro é 0,05. Qual a probabilidade de uma pessoa ter ou cancro ou ter diabetes durante toda a sua vida?”

Suponhamos que C é o acontecimento “ter cancro” e D é “ter diabetes”. Cada um dos estu-dantes propôs uma solução diferente:

Solução do João: P(C e D) = 0,1 × 0,05 = 0,005

Solução da Amélia: P(C ou D) = 0,1 + 0,05 = 0,15

Solução do Frederico: P(C ou D) = 0,1 + 0,05 – 0,005 = 0,145

10.1 Qual dos estudantes tem a resolução correta?

10.2 Explica porque é que as outras duas soluções não estão corretas.

(adaptado de exames do Canadá, estado de Nova Scotia, 2008)

11. Se n > 3 e estão em progressão aritmética qual é o valor de n?


12. É mais provável obter pelo menos um 6 lançando quatro vezes um dado cúbico equilibrado ou obter pelo menos um 12 lançando vinte e quatro vezes dois dados?


89Soluções

Soluções1 – Exercícios globais de 2.ª oportunidade

C1

Capítulo 1 – É possível? É provável?

Pratica ↑

1.

1.1 “é quase impossível”

1.2 “é pouco provável”

1.3 “ é bastante provável”

1.4 “ é bastante provável”

1.5 “ é quase certo”

2.

2.1

2.2

2.2.1

2.2.2

2.2.3

2.2.4

2.2.5

2.2.6

2.2.7

2.2.8

2.3

2.3.1

2.3.2

2.3.3

2.3.4

3.

3.1

3.2 : sair o valete de copas

: sair o 10 de copas

: acontecimento impossível

: sair valete ou sair copas

: sair copas ou o 10 de ouros

: sair valete, ou sair o 10 de copas ou de ouros

4.

4.1 M: ter sexo masculino ; F: ter sexo feminino

S =M,M,M( ), M,M,F( ) M,F,M( ), M,F,F( ),F,M,M( ), F,M,F( ), F,F,M( ), F,F,F( )

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

4.2 7 Ocorrências

4.3 Diagrama de Venn:

Seja A o acontecimento: “pelo me-nos um dos filhos é do sexo mascu-lino”.

90 Soluções

S

A(M,M,M)

(M,M,F)

(M,F,M)

(M,F,F)

(F,M,M)

(F,M,F)

(F,F,M)

(F,F,F)

5.

5.1 Utilizando uma tabela de dupla en-trada:

S =

1,1{ }, 1,2{ }, 1,3{ }, 1,4{ }, 1,5{ }, 1,6{ },2,2{ }, 2,3{ }, 2,4{ }, 2,5{ }, 2,6{ }, 3,3{ },3,4{ }, 3,5{ }, 3,6{ }, 4,4{ }, 4,5{ }, 4,6{ },5,5{ }, 5,6{ }, 6,6{ }

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

5.2

5,1{ }, 5,2{ }, 5,3{ }, 5,4{ }, 5,5{ },5,6{ }, 5,7{ }, 5,8{ }, 5,9{ }

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

5.3

8,1{ }, 8,2{ }, 8,3{ }, 8,4{ }, 8,5{ }, 8,6{ },8,7{ }, 8,8{ }, 8,9{ }, 9,1{ }, 9,2{ }, 9,3{ },9,4{ }, 9,5{ }, 9,6{ }, 9,7{ }, 9,9{ }

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

6. L: vence a equipa de Lamego

V: vence a equipa de Viseu.

S =(L,L,L);(L,L,V ,L);(L,V ,L,L);(L,V ,V ,V );(L,L,V ,V ,L);(L,V ,V ,L,L);(L,V ,L,V ,L);(L,L,V ,V ,V );(L,V ,L,V ,V );(L,V ,V ,L,V )

⎧

⎨⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪⎪

7. A: “sair face par”.

: “não sair face par”.

A =

1,1{ }, 1,3{ }, 1,5{ }, 1,7{ }, 1,9{ },3,5{ }, 3,7{ }, 3,9{ }, 5,5{ }, 5,7{ },5,9{ }, 7,7{ }, 7,9{ }, 9,9{ }

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪


8.

8.1 A: sair a face com o número um

8.2 B: sair um número natural inferior a dez

8.3 C: sair o número dez

9.

9.1

9.2

9.3

9.4

10. Considerem-se os acontecimentos,

X: sai bola amarela

Y: sai bola roxa

10.1

10.2

10.3

10.3.1

91Soluções

10.3.2 Acontecimento certo:

Acontecimento impossível:

11. A: sair face par

B: sair face menor que 3

, , , de

onde

Reflete ↑ ↑ ↑

12.

12.1 Falso. Basta considerar o aconte-cimento formado por todos os ele-mentos do espaço amostral.

12.2 Falso. Basta considerarmos um acontecimento coincidente com o conjunto vazio.

12.3 Verdadeira.

13. Se é impossível então .

Por hipótese, por não se tratarem de acontecimentos impossíveis e de forma análoga, , por não se tratarem de acontecimentos certos.

Ficamos então com duas hipóteses, ou ou .

[Sendo que, como são diferentes,

.]

Utilizando a representação em diagramas de Venn podemos observar

S

BA

S

BA

S

BA

S

BA

Na hipótese de , temos , logo não é um acontecimento

impossível.

Na hipótese de , temos , ou seja é um acontecimento

impossível.

Concluímos assim que para que ser impossível, os conjuntos tem de ser disjuntos, ou seja não tem elemen-tos em comum, .

C2

Capítulo 2 – probabilidades

Pratica ↑

1.

2.

92 Soluções

3.

3.1

3.2

4.

4.1

4.2

4.3

5.

5.1

5.2

5.3

6. 0,01

7. −

8. Consideremos, por exemplo, a experiên-cia aleatória que consiste no lançamento de um dado equilibrado numerado de 1 a 6.

8.1 Considerem-se os acontecimentos

A: sair um número primo

B: sair um número menor que 3


A: sair número par

B: sair número impar

8.3 Considerando os acontecimentos da alínea anterior, verifica-se que

.


A: sair número divisor de 5

B: sair número divisor de 6

A = 1,5{ }; A = 2,3,4,6{ };B = 1,2,3,6{ },B = 4,5{ };P(A) ≥ P(B)

9. A∩B = 1,2,3,4,6,8{ };P((A∩B)∪ (A∩B)) = 1

10.

10.1 1112

10.2 112


11. 1112

12. Consideremos, por exemplo, a experiên-cia aleatória que consiste no lançamento de um dado equilibrado numerado de 1 a 6.


93Soluções

A: sair um número par

B: sair um número impar

P(A) = 36= 1

2;

P(B) = 36= 1

3;

P(A) = P(B)


A: sair número primo

B: sair número impar

12.3 Considerando os acontecimentos da alínea anterior, também temos

.


A: sair número divisor de 6

B: sair número divisor de 5

A = 1,2,3,6{ };A = 4,5{ };B = 1,5{ };B = 2,3,4,6{ };P(A) < P(B)

13.

14. Considere-se o acontecimento

14.1

14.2

14.2.1

14.2.2

14.2.3

15. Consideremos, por exemplo, os conjuntos

A = 1,2,3{ } eB = 4,5,6{ }A e B são acontecimentos incompatíveis

16. −

Reflete ↑ ↑ ↑

17. O jogo não é equitativo pois o João tem mais probabilidade de ganhar que a Ma-ria.

18. O “meu” adversário é favorecido neste jogo.

19.

19.1 Falso.

19.2 Falso.

19.3 Falso.

19.4 Verdadeira.

19.5 Falso.

20.

20.1

Não CMA CMA totalFeminino 171307 13354 46,6%Masculino 196304 15303 53,4%

367611 28 657 396 268

20.2 Consideremos os acontecimentos,

A: É um estudante de Ciências, Matemática e Informática – CMA

94 Soluções

B: É do sexo feminino

C: Estuda Ciências, Matemática e Informática – CMA e é do sexo fe-minino

D: É do sexo masculino e não es-tuda Ciências, Matemática e Infor-mática – CMA

20.3 A e D são incompatíveis pois são conjuntos disjuntos.

20.4

E: É estudante CMA, ou do sexo masculino

C3

Capítulo 3 – probabilidade CondiCionada

Pratica ↑

1.

2.

3.

3.1

3.2

4.

4.1

4.2

5.

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

6.

6.1 14

6.2 6

6.3 14

6.4 16

6.5 7

7.

95Soluções

7.1

7.2

8.

9.

10.

10.1

10.2

11. Nada se pode dizer.

12. Nada se pode dizer.


13.

13.1 15,3%

13.2 1,1%

13.3 94,2%%

13.4 5,8%

14.

14.1 0,94

14.2 0,95

14.3 0,24

15. 0,5002

16.

16.1

16.2

17. −

18. −

Reflete ↑ ↑ ↑

19. Surdo Não surdo

Masculino 0,0021 0,5289Feminino 0,0019 0,4671

20. Não.

21.

22. Sim.

23. −

C4

Capítulo 4 – distribuição de probabilida-des

Pratica ↑

1.

1.1

1.2

1.3

2.

0 1 2

3.

96 Soluções

– 4 – 2 0 2 4

x

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

y

μ = 1

σ = 0,5

4. Média = 3,45 e Desvio Padrão = 1,69

5.

5.1 0,95221

5.2 0,999571

5.3 0,5


6.

7. é uma proposição verdadeira, dado que a distribuição nor-mal é centrada relativamente à média. Como o 3 está mais afastado do 5 do que o 6 e como queremos saber qual a área, abaixo da curva, que é maior. Então a área para é maior do que a área para .

8.

8.1 Média = 3

8.2 Desvio Padrão = 3,6

9. P = 0,3456

Reflete ↑ ↑ ↑

10.

10.1

10.2

11. O valor obtido para a pontuação de cada resposta certa é 5.856, pelo que arredon-dado às unidades, cada resposta certa deve valor 6 pontos.

C5

Capítulo 5 – análise Combinatória

Pratica ↑

1. 6760000

2. 1470000

3. 2600

4. 21; 42

5. 120

6. 120

7. 6

8. 720

9. 4294967296

10.

10.1 44352

10.2


11. uma letra

12.

12.1 8,7 × 10−27

12.2 0,000009

13. 907200

14. 20160

15. 5040

16. 6

97Soluções

17. 720

18. 24

Reflete ↑ ↑ ↑

19.

19.1 105

19.2 58905

19.3 10660

19.4 42840

19.5 45815

20.

20.1 0,0476

20.2 0,9988

20.3 0,00119

21.

22.

23.

23.1

23.2 n – r + 1

24.

25.

26.

27.

C6

Capítulo 6 – triângulo de pasCal e binó-mio de newton

Pratica ↑

1.

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

2. 10; 20; 8; 56; 126; 36; 120; 45

3.

3.1

3.2

4.


5. a = 1; b = 5; c = 10; d = 10; e = 5; f = 1

6. 3 e 14

7. 7.º termo ; 8.º termo

8.

9.

Reflete ↑ ↑ ↑

10.

10.1

98 Soluções

10.2

11.

12. Não tem solução.

C7

Capítulo 7 – Função exponenCial

Pratica ↑

1.

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 4

– 2

2

4

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 5

5

y

0 10 20 30 40 50 60 70

t0

20

40

60

80

100

T

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

2

4

6

8

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

g(x) = f ( x) = 2 xh(x) = f (x 1) = 2x 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y f (x) = 2x

k(x) = |f (x)| = |2x| = 2x = f (x)

L(x) = 2f (x) = 2 2x

M(x) = 1f (x)

= 12x

= 2 x

g(x) = 2 x

h(x) = 1 x 3

T(t) = 20 + 60e 0,11t

M(t) = A(1,15)x

T(t) = A 10084

x

T(t) = A 10084

x

N(t) = A 10097

x

P(t) = A2 x

P(t) = A2 xT(t) = A 100

84

x

N(t) = A 10097

x

1.1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 4

– 2

2

4

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 5

5

y

0 10 20 30 40 50 60 70

t0

20

40

60

80

100

T

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

2

4

6

8

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

g(x) = f ( x) = 2 xh(x) = f (x 1) = 2x 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y f (x) = 2x

k(x) = |f (x)| = |2x| = 2x = f (x)

L(x) = 2f (x) = 2 2x

M(x) = 1f (x)

= 12x

= 2 x

g(x) = 2 x

h(x) = 1 x 3

T(t) = 20 + 60e 0,11t

M(t) = A(1,15)x

T(t) = A 10084

x

T(t) = A 10084

x

N(t) = A 10097

x

P(t) = A2 x

P(t) = A2 xT(t) = A 100

84

x

N(t) = A 10097

x

1.2

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 4

– 2

2

4

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 5

5

y

0 10 20 30 40 50 60 70

t0

20

40

60

80

100

T

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

2

4

6

8

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

g(x) = f ( x) = 2 xh(x) = f (x 1) = 2x 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y f (x) = 2x

k(x) = |f (x)| = |2x| = 2x = f (x)

L(x) = 2f (x) = 2 2x

M(x) = 1f (x)

= 12x

= 2 x

g(x) = 2 x

h(x) = 1 x 3

T(t) = 20 + 60e 0,11t

M(t) = A(1,15)x

T(t) = A 10084

x

T(t) = A 10084

x

N(t) = A 10097

x

P(t) = A2 x

P(t) = A2 xT(t) = A 100

84

x

N(t) = A 10097

x

1.3

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 4

– 2

2

4

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 5

5

y

0 10 20 30 40 50 60 70

t0

20

40

60

80

100

T

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

2

4

6

8

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

g(x) = f ( x) = 2 xh(x) = f (x 1) = 2x 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y f (x) = 2x

k(x) = |f (x)| = |2x| = 2x = f (x)

L(x) = 2f (x) = 2 2x

M(x) = 1f (x)

= 12x

= 2 x

g(x) = 2 x

h(x) = 1 x 3

T(t) = 20 + 60e 0,11t

M(t) = A(1,15)x

T(t) = A 10084

x

T(t) = A 10084

x

N(t) = A 10097

x

P(t) = A2 x

P(t) = A2 xT(t) = A 100

84

x

N(t) = A 10097

x

1.4 A

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 4

– 2

2

4

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 5

5

y

0 10 20 30 40 50 60 70

t0

20

40

60

80

100

T

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

2

4

6

8

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

g(x) = f ( x) = 2 xh(x) = f (x 1) = 2x 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y f (x) = 2x

k(x) = |f (x)| = |2x| = 2x = f (x)

L(x) = 2f (x) = 2 2x

M(x) = 1f (x)

= 12x

= 2 x

g(x) = 2 x

h(x) = 1 x 3

T(t) = 20 + 60e 0,11t

M(t) = A(1,15)x

T(t) = A 10084

x

T(t) = A 10084

x

N(t) = A 10097

x

P(t) = A2 x

P(t) = A2 xT(t) = A 100

84

x

N(t) = A 10097

x

99Soluções

1.5 A

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 4

– 2

2

4

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 5

5

y

0 10 20 30 40 50 60 70

t0

20

40

60

80

100

T

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

2

4

6

8

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

g(x) = f ( x) = 2 xh(x) = f (x 1) = 2x 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y f (x) = 2x

k(x) = |f (x)| = |2x| = 2x = f (x)

L(x) = 2f (x) = 2 2x

M(x) = 1f (x)

= 12x

= 2 x

g(x) = 2 x

h(x) = 1 x 3

T(t) = 20 + 60e 0,11t

M(t) = A(1,15)x

T(t) = A 10084

x

T(t) = A 10084

x

N(t) = A 10097

x

P(t) = A2 x

P(t) = A2 xT(t) = A 100

84

x

N(t) = A 10097

x

2. A

2.1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 4

– 2

2

4

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 5

5

y

0 10 20 30 40 50 60 70

t0

20

40

60

80

100

T

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

2

4

6

8

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

g(x) = f ( x) = 2 xh(x) = f (x 1) = 2x 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y f (x) = 2x

k(x) = |f (x)| = |2x| = 2x = f (x)

L(x) = 2f (x) = 2 2x

M(x) = 1f (x)

= 12x

= 2 x

g(x) = 2 x

h(x) = 1 x 3

T(t) = 20 + 60e 0,11t

M(t) = A(1,15)x

T(t) = A 10084

x

T(t) = A 10084

x

N(t) = A 10097

x

P(t) = A2 x

P(t) = A2 xT(t) = A 100

84

x

N(t) = A 10097

x

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 4

– 2

2

4

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 5

5

y

0 10 20 30 40 50 60 70

t0

20

40

60

80

100

T

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

2

4

6

8

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

g(x) = f ( x) = 2 xh(x) = f (x 1) = 2x 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y f (x) = 2x

k(x) = |f (x)| = |2x| = 2x = f (x)

L(x) = 2f (x) = 2 2x

M(x) = 1f (x)

= 12x

= 2 x

g(x) = 2 x

h(x) = 1 x 3

T(t) = 20 + 60e 0,11t

M(t) = A(1,15)x

T(t) = A 10084

x

T(t) = A 10084

x

N(t) = A 10097

x

P(t) = A2 x

P(t) = A2 xT(t) = A 100

84

x

N(t) = A 10097

x

2.2 9,94,0,0,74{ }3.

4.

4.1

4.2

4.3

5.

5.1

5.2

5.3


6.

6.1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 4

– 2

2

4

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 5

5

y

0 10 20 30 40 50 60 70

t0

20

40

60

80

100

T

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

2

4

6

8

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

g(x) = f ( x) = 2 xh(x) = f (x 1) = 2x 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y f (x) = 2x

k(x) = |f (x)| = |2x| = 2x = f (x)

L(x) = 2f (x) = 2 2x

M(x) = 1f (x)

= 12x

= 2 x

g(x) = 2 x

h(x) = 1 x 3

T(t) = 20 + 60e 0,11t

M(t) = A(1,15)x

T(t) = A 10084

x

T(t) = A 10084

x

N(t) = A 10097

x

P(t) = A2 x

P(t) = A2 xT(t) = A 100

84

x

N(t) = A 10097

x

6.2 80�

6.3 Aproximadamente 3,7 minutos

6.4 Nos primeiros dois minutos

6.5 No instante inicial

6.6 A temperatura tende a igualar a temperatura ambiente, que é de 20�. O gráfico dá-nos a informação de que a reta de equação é assíntota do gráfico de T, o que confirma o que afirmámos.

7.

8.

8.1 0

8.2 0

8.3 +∞

100 Soluções

9.

9.1

9.2

9.3

Reflete ↑ ↑ ↑

10.

10.1 ; ;

...

10.2

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 4

– 2

2

4

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 5

5

y

0 10 20 30 40 50 60 70

t0

20

40

60

80

100

T

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

2

4

6

8

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

g(x) = f ( x) = 2 xh(x) = f (x 1) = 2x 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y f (x) = 2x

k(x) = |f (x)| = |2x| = 2x = f (x)

L(x) = 2f (x) = 2 2x

M(x) = 1f (x)

= 12x

= 2 x

g(x) = 2 x

h(x) = 1 x 3

T(t) = 20 + 60e 0,11t

M(t) = A(1,15)x

T(t) = A 10084

x

T(t) = A 10084

x

N(t) = A 10097

x

P(t) = A2 x

P(t) = A2 xT(t) = A 100

84

x

N(t) = A 10097

x

10.3

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 4

– 2

2

4

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 5

5

y

0 10 20 30 40 50 60 70

t0

20

40

60

80

100

T

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

2

4

6

8

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

g(x) = f ( x) = 2 xh(x) = f (x 1) = 2x 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y f (x) = 2x

k(x) = |f (x)| = |2x| = 2x = f (x)

L(x) = 2f (x) = 2 2x

M(x) = 1f (x)

= 12x

= 2 x

g(x) = 2 x

h(x) = 1 x 3

T(t) = 20 + 60e 0,11t

M(t) = A(1,15)x

T(t) = A 10084

x

T(t) = A 10084

x

N(t) = A 10097

x

P(t) = A2 x

P(t) = A2 xT(t) = A 100

84

x

N(t) = A 10097

x

O medicamento que não é real é o Methohexito-

ne. Se fosse tomado o doente nunca mais acor-daria.

10.4

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 4

– 2

2

4

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

2

4

6

8

y

– 6 – 4 – 2 2 4 6

x

– 5

5

y

0 10 20 30 40 50 60 70

t0

20

40

60

80

100

T

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

2

4

6

8

y

0 5 10 15 20 25 30

x0

1

2

3

4

5

y

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

f (x) = 2x

g(x) = f ( x) = 2 xh(x) = f (x 1) = 2x 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

x

2

4

6

8

10

y f (x) = 2x

k(x) = |f (x)| = |2x| = 2x = f (x)

L(x) = 2f (x) = 2 2x

M(x) = 1f (x)

= 12x

= 2 x

g(x) = 2 x

h(x) = 1 x 3

T(t) = 20 + 60e 0,11t

M(t) = A(1,15)x

T(t) = A 10084

x

T(t) = A 10084

x

N(t) = A 10097

x

P(t) = A2 x

P(t) = A2 xT(t) = A 100

84

x

N(t) = A 10097

x

10.5 O Pentobombitone, pois permite adormecer com alguma facilidade e desaparece do sangue mais rápido que os outros.

10.6 4 horas. Não.

10.7

0 50 100 150 200 250

t em minutos0

2

4

6

8

mg/L

1 hora 1 hora 1 hora1 hora

A concentração máxima nunca ul-trapassará 8mg/l.

Se considerarmos a sucessão das quantidades q

n( ) ao fim de 1, 2, 3, n horas terão q

1= 4 × 0,5

101Soluções

q2= 4 × 0,52 + 0,5( )

q3= 4 × 0,53 + 0,52 + 0,5( )

qn= 4 × 0,5n + 0,5n − 1 + ... + 0,5( )

Quando n tende para infinito tende para 4.

11.

11.1 1,124 × 10−186

11.2 2,106 anos.

11.3 –

12.

12.1 1%

12.2 O pior momento ocorreu no 20.º dia com uma percentagem de 54,6%

12.3 A partir do 40.º dia.

12.4 42,52%

C7

Capítulo 8 – Função logarítmiCa

Pratica ↑

13.

13.1 23

13.2

13.3 0

14.

14.1 4,25

14.2 14,25

15.

15.1 3,5

15.2 1,79

16.

16.1

16.2

17.

17.1 c(6) = 12 ln(6) + 200 ≈ 221,501 c(60) = 120 ln(60) + 200 ≈ 691,321

17.2


18.

19.

20.

20.1 ;

20.2 x ∈]2,68,+∞[

21. −

22.

23.

23.1

23.2

23.3

24.

24.1 Estimativa: 8 ; Valor aproximado:

102 Soluções

7,96

24.2

25.

25.1

25.2

25.3

Reflete ↑ ↑ ↑

26. Não!

27.

27.1 Falso!

Com e vamos obter a igualdade numérica falsa:

log2(10) = log(2)

log(10)⇔ 3,32 = 0,30

27.2 Falso!

Com e vamos obter a igualdade numérica falsa:

log2(10) = ln(2)

ln(10)⇔ 3,32 = 0,30

27.3 Verdadeira! (Veja-se a página 100 do manual)

27.4 Verdadeira! (Veja-se a página 100 do manual)

28.

28.1 −

28.2 606

29.

29.1

29.2

29.3

29.4

2 – Recomendações do GAVE

C1

Capítulo 1 – resolução de problemas da vida real

6.

6.1 462

6.2 44

6.3 84

7. 1/3; 1/3

8.

8.1

197 17 –3

1

1009

100910

8.2 Olhando para a tarefa 3 o jogo parece ser do mesmo tipo pois há o dobro de ras-padinhas e o dobro de prémios. Calculando o valor esperado obtemos E(X) = 0,8 e assim o jogo é favorável aos jogadores pois sendo verdade que há o dobro de raspadinhas e o dobro de prémios, os prémios têm também o dobro do valor pelo que este jogo é muito diferente do jogo da tarefa 3.

8.3 Poderia alterar o valor dos prémios, ou o número de prémios de modo que o valor esperado viesse igual a zero.

103Soluções

9.

9.1 1

9.2 5

10. Tem de ser pelo menos n = 3 para haver

pelo menos 120 apostas distintas pois 122

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 66

e 123

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 220

11.

11.1 210

11.2.1 21 semanas

11.2.2 21 partidas

12. 60

13.

13.1 28

13.2 18

13.3 20

14.

14.1 28

14.2 56; 48; 8.

14.3 8

14.4 12

14.5 24

15. 6; 12; 24

16.

16.1

1 1,5 2

16.2

17.

17.1 22 500 euros.

17.2 Aproximadamente 14 614 euros.

17.3 25%

18.

18.1 f(x) = ln x se 1 ≤ x ≤ 6 e f(x) = ln (–x + 12) se x < 6 ≤ 11

18.2 f(6) = ln 6 ≈ 1,79

19.

19.1

96,5 18,5 6,5 –0,5 –2,5 –2,5

129

929

3629

8429

12629

12629

–0,5 6,5 18,5 96,5

8429

3629

929

129

19.2 O valor esperado é positivo (favorá-vel ao jogador) e aproximadamente igual a 0,55

19.3 A probabilidade de acertar em 3 números e 2 letras é de 1 em

19.4 Seria igual pois havendo apenas 4 letras, acertar em 2 letras ou acertar em zero letras tem igual número de possibilida-des.

19.5 O valor esperado é negativo (favorá-vel aos organizadores) e aproximadamente igual a –0,197

104 Soluções

19.6 Um exemplo de composição é:

“Tendo em consideração que há lucro esperado para o apostador no concurso da Escola Secun-dária Sidónio Pais, conforme o trabalho feito na resposta à questão 2, tal significa que, em mé-dia, de cada vez que um jogador lança um disco não será angariado qualquer financiamento para a viagem de finalistas como ainda haverá lugar a prejuízo. No concurso da Escola Secundária Costa Lobo, o valor esperado para o apostador é inferior ao valor que tem de pagar pela aposta, o que origina que em média, por cada aposta, ha-verá lucro para os alunos. Assim, é obviamente melhor, na perspectiva dos alunos, o concurso a realizar na Escola Secundária Costa Lobo, o Bai-xocentenas. É aliás o único que pode permitir o cumprimento do objectivo para o que foi criado, financiar, pelo menos em parte, a viagem de fi-nalistas. No entanto, é também muito arriscado, uma vez que os alunos poderão não garantir o pagamento dos prémios.

Sabe-se, pela lei dos grandes números, que a frequência relativa dos acertos nas chaves pre-miadas estabilizará à volta do valor de proba-bilidade, utilizado para calcular o valor espera-do, se se realizar um número muito elevado de experiências, pelo que é perfeitamente possível haver, por exemplo, 5 ou 6 apostadores a obter o 1º prémio nas duas primeiras semanas, o que obrigará os alunos a terem um plafond de mais de 1000 euros para fazer face aos custos, e pior será se nas duas semanas seguintes houver mais três ou quatro vencedores.

Por outro lado, em termos práticos há um pro-blema difícil, ou mesmo impossível, de ultrapas-sar. Para se chegar com segurança ao lucro pode ser necessário fazer tantas experiências que não chegarão as apostas feitas na escola, mesmo que se prolongue o concurso por um ano inteiro, o que se justifica mais uma vez por causa da lei dos grandes números. E mesmo que esse lucro venha a ocorrer, e considerando um pouco arti-ficialmente que não haverá grandes desvios en-tre os valores de probabilidade e as frequências relativas, seriam necessárias 10000 apostas para se obter um lucro a rondar os 2000 euros, o que para uma viagem para todos os alunos da tur-

ma poderia não dar mais de 100 euros a cada um ((0,5 – 0,303) × 10000 = 1970). Será que o trabalho e as privações para levar um concurso destes á frente compensarão?

Poderíamos proceder a alterações de modo a tor-nar o jogo lucrativo para os alunos da Escola Secundária Sidónio Pais, e para tentar aumentar o lucro da escola de Baixo.

Relativamente à Escola Secundária Costa Lobo poderia ser feito um aumento ligeiro do valor das apostas, mas de modo a não afastar os po-tenciais apostadores, ou então diminuir o valor do prémio, mas aí talvez diminua mais o inte-resse dos apostadores, mais do que o provocado por um ligeiro aumento no valor da aposta. Po-deria também fazer-se campanhas publicitárias de modo a aumentar o interesse no jogo. Se se aumentar o valor da aposta para 0,75€, o lucro esperado por aposta será já de cerca de 0,447 € (0,75 – 0,303), o que daria já 4470 € ao fim de 10000 apostas, ou então bastariam pouco mais de 4000 apostas (1970 : 0,447 ≈ 4407) para dar sensivelmente o mesmo lucro que daria com os 0,50€ por aposta ao fim das 10000 apostas.

Relativamente ao concurso da Escola Secundária Sidónio Pais, bastaria aumentar a aposta para um valor superior ao valor esperado para o apos-tador, ou seja, 4 €, por exemplo. No entanto cada aposta não daria para 1 cêntimo de lucro (4 – 0,3997 = 0,003), o que faria com que demo-rasse mais do que o possível para atingir os ob-jectivos e, ainda por cima, baixar os valores dos prémios tornaria o jogo ainda menos apetecível. Se a aposta fosse superior a 4 euros, conside-ro que começaria a ser improvável a adesão de apostadores, e mesmo a 4 euros não sei se não seria igualmente difícil. Mais vale adoptarem o concurso dos seus colegas da Escola Secundária Costa Lobo, ou é melhor prepararem-se para um ano penoso e infrutífero.”

20. A

21. B

22. C

23. A

105Soluções

C2

Capítulo 2 - problemas que envolvem Cál-Culos mais elaborados no Conjunto dos nú-meros reais

28.

28.1

28.2

29.

29.1

29.2

30. 1,030 377 509 393 765 625

31.

32. p = 4

33.

33.1 28

33.2 84

33.3 1

33.4 2013

34. B

35. B

36. A

37. C

38. C

39. D

40. A

C4

Capítulo 4 - exerCíCios que pressupõem ra-CioCínios demonstrativos

43. –

44. –

45. –

46. –

47. –

C5

Capítulo 5 - utilizar a CalCuladora gráFi-Ca para resolver problemas

50. –

51. –

52. A condição dada tem domínio mas a condição tem apenas por domínio

+ e não o domínio da equação que pretendia resolver, pelo que a primeira equiva-lência não é válida. Daí não ter determinado a solução negativa.

3 – Testes de tempo limitado

t1

teste 1 – probabilidades – esColha múl-tipla

1. A

2. B

3. A

4. B

106 Soluções

5. C

6. C

7. B

8. D

t2

teste 2 – probabilidades – esColha múl-tipla

1. B

2. B

3. C

4. B

5. B

6. D

7. D

8. C

t3

teste 3 – probabilidades – itens de res-posta aberta

1. 5/18

2. 2/5

3. n = 7

4. 120

5. 0,45

t4

teste 4 – probabilidades – itens de res-posta aberta

1. 360/1287

2.

2.1 4/15

2.2 14/45

3. 1/90

4.

4.1 0,7031

4.2 0,24733

4.3 0,55385

5.

5.1 Se tomarmos A: “Henrique vai de carro para a escola” e B: “Henrique compra o seu almoço”, a probabili-dade de A se realizar é 0,24 e a pro-babilidade de B se realizar é 0,32. Temos 0,24 × 0,32 = 0,0768 mas sabemos que a probabilidade de A e B se realizarem é 0,0864 um valor diferente. Logo os acontecimentos não são independentes.

5.2 O valor esperado é aproximada-mente 2,2 euros.

6.

6.1 1/5

6.2 9/25

7.

7.1 Porque existem 7 possibilidades de saída de uma soma de 9 ou 10 (6 + 3, 5 + 4, 4 + 5, 3 + 6, 6 + 4, 5 + 5, 4 + 6) num total de 36 resul-tados possíveis no lançamento dos dois dados.

7.2

t 0 15 50 100

7.3

107Soluções

7.4 E(X) = aproximadamente

igual a 22,6 euros.

8.

8.1 0,4452

8.2 O Rafael não tem razão pois os valores 1,3 e 1,7 são simétricos em relação à média prevista e sabemos que 0,95 é a probabilidade, de acor-do com a lei normal, de os valores se encontrarem entre 1,5 – 2 × 0,125 e 1,5 + 2 × 0,125 que são valores muito próximos dos estudados pelo Rafael.

8.3 0,02275

8.4 145 ou 146 ovelhas

t5

teste 5 – probabilidades

1. C

2. D

3. C

4. D

5. C

6. D

7. E

8. C

9. 1,5

10.

10.1 O Frederico.

10.2 A solução do João não está correta porque ele calculou a probabilidade de C e D e não de C ou D. A solu-ção da Amélia não afasta a hipótese de C e D ocorrerem em simultâneo.

11. n = 7

12. É mais provável obter pelo menos um 6 lançando quatro vezes um dado..

108 Síntese

síntese

Um resumo do essencial

População – conjunto de elementos ou indivíduos (não necessariamente pessoas) com carac-terísticas comuns.

Variável – característica comum a uma população que assume valores diferentes de indivíduo para indivíduo.

Experiência aleatória – é o processo que permite obter uma observação ou resultado tal que: antes da observação do fenómeno não se tem conhecimento suficiente para dizer qual dos resul-tados se vai verificar; é possível fazer um grande número de realizações, independentes, da ex-periência; admite-se que é possível encontrar números entre 0 e 1, que representam a frequência relativa com que se verificam os resultados individuais de cada realização da experiência.

Espaço de resultados S – conjunto de resultados possíveis associados a uma experiência aleatória.

Acontecimento – é um subconjunto do espaço de resultados S.

Acontecimento elementar – é um acontecimento constituído por um único resultado, ou seja, um subconjunto do espaço de resultados S formado por um único elemento.

Acontecimento certo – é um acontecimento igual ao espaço de resultados S.

Acontecimento impossível – é um acontecimento igual ao conjunto vazio, representado por

∅ ou { } .

Acontecimento complementar ou contrário do acontecimento A – é o acontecimento

constituído por todos os resultados de S que não estão em A. Representa-se por Ac ou .

Acontecimento interseção dos acontecimentos A e B – é o acontecimento que se realiza se e somente se A e B se realizam simultaneamente. Representa-se por .

Acontecimento união dos acontecimentos A e B – é o acontecimento que se realiza se e somente se pelo menos um dos acontecimentos A ou B se realiza. Representa-se por .

Acontecimento diferença dos acontecimentos A e B – é o acontecimento que se realiza se o acontecimentos A se realiza mas sem que B se realize. Representa-se por ou

Definição frequencista de probabilidade de um acontecimento A – é o valor obtido para a frequência relativa da realização de A, num grande número de repetições da experiência aleatória.

Definição de Laplace de Probabilidade: Se o espaço de resultados S é constituído por um número finito n de elementos, todos eles igualmente possíveis, define-se Probabilidade de um acontecimento A, e representa-se por P(A), a razão entre o número m de resultados favo-ráveis a A (resultados que compõem A) e o número n de resultados possíveis (resultados que constituem S).

109Síntese

Axiomática da Probabilidade

As noções primitivas são: espaço de resultados; acontecimento. Considere-se um espaço de resultados S, finito, e um conjunto W de acontecimentos (isto é, subconjuntos de S) que satisfaçam as seguintes condições:

a) Se um acontecimento A está em W, então o seu complementar também está em W.

b) Se dois acontecimentos A e B estão em W, então a sua união também está em W.

A cada elemento associa-se um número que se chama Probabilidade de A e que se representa por P(A). Os axiomas a que P(A) satisfaz são:

1.º axioma - A probabilidade de qualquer acontecimento é sempre maior ou igual a zero: P(A) ≥ 0.

2.º axioma - A probabilidade do acontecimento certo, S, é 1: P(S) = 1.

3.º axioma - Se dois acontecimentos são disjuntos, a probabilidade da sua união é igual à soma das probabilidades de cada um: se então

Propriedades das probabilidades

1. A probabilidade do acontecimento impossível é zero, isto é, .

2. Dado um acontecimento A, a probabilidade do acontecimento , contrário de A, é

dada por .

3. Dados dois acontecimentos A e B, se então .

4. Qualquer que seja o acontecimento A, .

5. Se os acontecimentos A, B e C são disjuntos dois a dois então

6. Quaisquer que sejam os acontecimentos A e B:

7. Quaisquer que sejam os acontecimentos A e B, .

Probabilidade condicional: Dados dois acontecimentos A e B, com P(A) > 0, define-se a probabilidade condicional de B sabendo que A ocorreu e representa-se por P(B |A), ao quocien-

te

O acontecimento A é independente do acontecimento B, com P(A) > 0 e P(B) > 0, se a probabilidade de A se verificar é igual à probabilidade condicional de A se realizar dado que B se realizou, isto é P(A) = P(A|B)

110 Síntese

Uma distribuição de probabilidades da variável aleatória discreta X ou função massa de probabilidade de X é um número finito de valores distintos x

1,x

2,...,x

N da variável aleatória

X e um correspondente número de probabilidades

p

1= P(X = x

1),p

2= P(X = x

2),...,p

N= P(X = x

N)

tais que se tenha:

a) 0 ≤ p1≤ 1,0 ≤ p

2≤ 1,...,0 ≤ p

N≤ 1

b) p1+ p

2+ ... + p

N= 1

Valor médio ou valor esperado da variável aleatória X é a seguinte quantidade:

Modelo Binomial

À variável X que representa o número de sucessos em n observações (provas) independentes umas das outras, em que em cada observação só se podem obter dois resultados possíveis, sucesso ou insucesso, chama-se variável aleatória com distribuição Binomial de parâmetros n e p. O seu valor é

para k = 0,1,2,…, n, onde N(n,k) representa o número de vezes em que temos k sucessos e n – k insucessos. Tem-se .

Modelo Normal

As principais características da curva do modelo normal são:a) É simétrica relativamente ao valor médio µ da variável, assumindo aí o valor máximo;

b) Quanto maior for o desvio padrão σ mais achatada é a curva;

c) A área compreendida entre a curva e o eixo dos XX é igual a 1;

P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) = 0,683

P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) = 0,954

P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ ) = 0,997

Princípio básico da Análise Combinatória para pares ordenados: O número total de pares ordenados que consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipóte-ses e para o segundo elemento do par tens n hipóteses, é dado por m × n.

Arranjos Completos: Quando, de um conjunto com n elementos, escolhemos p elementos admitindo repetições, dizemos que estamos em presença de arranjos completos (com repeti-ção). Temos:

111Síntese

Arranjos Simples: Dado um conjunto de n elementos o números de arranjos simples (sem repetição) de p desses elementos é igual ao produto dos p números naturais consecutivos, por ordem decrescente, a partir de n. Temos:

Permutações: Dado um conjunto de n elementos chamam-se permutações dos n elementos aos arranjos desses elementos, n a n. Temos:

Combinações: são um qualquer subconjunto de p elementos escolhidos de um conjunto com n elementos em que a ordem não interessa. Representam-se por ou ou ainda que se lê combinações de n elementos tomados p a p. Temos:

O triângulo de Pascal – É um triângulo de números naturais em que os números dos lados do triângulo são sempre iguais a 1 e cada elemento do triângulo (diferente de 1) se obtém so-mando os dois elementos imediatamente acima dele na linha de cima. Cada um dos números do triângulo de Pascal pode ser representado por uma combinação em que o valor de cima é o número da linha e o valor de baixo é a posição na linha (começando a contar as linhas e as posições no zero).

Fórmulas: 0! = 1, ,

Fórmula do Binómio de Newton:

Propriedades da função exponencial de base a superior a um

O domínio é

, o contradomínio é

+ , a função é contínua, estritamente crescente, e injetiva.

, , , , , ,

, ,

112 Síntese

Propriedades da função logarítmica de base a superior a um:

O Domínio da função logarítmica é

+ e o Contradomínio é

. A função logarítmica é contí-nua. Os gráficos da função exponencial e da função logarítmica são simétricos relativamente à reta y = x, a bissetriz dos quadrantes ímpares.

, ., . Se x > 1 então e se 0 < x < 1 então

, desde que w seja positivo. , desde que z e w sejam

positivos. desde que b seja positivo.

O logaritmo do produto de dois números reais (positivos) é igual à soma dos logaritmos dos fatores:

,

Uma função logarítmica de base superior a um cresce para infinito mais lentamente do que qualquer potência do seu argumento:

Fórmula de mudança de base:

Quando a base for igual a 10, o logaritmo chama-se logaritmo decimal e designa-se apenas por log, quando a base for o número de Euler e, designa-se por logaritmo natural e escreve--se simplesmente ln.

Obra em 2 volumes (Não é permitida a venda em separado)

ISBN 978-989-97839-1-1

9 789899 783911

ISBN 978-989-97839-1-1

Jaime Carvalho e SilvaProfessor Associado do Departamento de Matemática da Faculdade de Ci-ências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Licenciado e Doutorado em Matemática pela Universidade de Coimbra, estudou na Universidade de Paris 6. Foi professor visitante na Arizona State University (EUA) e é Secretário-Geral da Comissão Internacional de Instrução Matemática (2009-2012).

Professor há 36 anos na Universidade de Coimbra, leccionou disciplinas de Matemática para Matemáticos e Engenheiros, assim como da formação de professores de Matemática e orientou Estágios Pedagógicos de Matemática em sete escolas diferentes. Coordenador das Equipas Técnicas que elabo-raram os programa de Matemática A, Matemática B, MACS, Matemática dos Cursos Profissionais e Matemática das Escolas Artísticas. Consultor do GAVE desde a sua criação.

Autor de Manuais Escolares do Ensino Básico e do Ensino Secundário tendo ganho o Prémio Sebastião e Silva da SPM para Manuais Escolares em 2005 e obtido uma Menção Honrosa em 2000.

Joaquim PintoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 20 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Mate-mática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática A, continuando a ser classificador de Exames de Matemática A.

Orientou Estágio Pedagógico pelas Universidades de Aveiro e de Coimbra.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática). Dinamizou várias ações dentro dos referidos domínios.

Vladimiro MachadoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 30 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamen-to de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática B. Desempenha as funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Básico.

Orientador de Estágio Pedagógico do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (Matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática).

NIU

aleph 12 – Livro de Exercícios – Volume 1

Manual de Matemática para o 12º anoMatemática A

NIUaleph 12

Jaime Carvalho e SilvaJoaquim PintoVladimiro Machado

2012

LIVRO DE EXERCÍCIOS

VOLUME 1Edição dE autor

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LIVRO DE EXERCÍCIOS VOLUME 1 - Mentes Brilhantes · Volume 1 (Capítulos 1 a 8) Exercícios globais de 2.ª oportunidade Recomendações do GAVE Testes de tempo limitado Soluções