livro de GA

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Coleo Licenciatura em Matemtica lgebra Linear I Dedicatria minhaesposaFernanda,meuspais,JosRaimundoeJoana, meus irmos, Ricardo e Brbara, e sobrinhos (muitos), e aos meus filhos,FbioHugoeFabiana,emespecial,poisoestudooali-cerce da vida. (F.F.F.) minha querida esposa Tatiana Abreu, meus familiares e amigos. (B.F.M.) AJaqueline,AnaClaraeCarolineemretribuioaoamor,cari-nho,dedicaoepacinciaquevocstemmedispensado.Vocs fazem a diferena. (H.N.P.) Coleo Licenciatura em Matemtica lgebra Linear I Fbio Freitas Ferreira Licenciado em Matemtica pela FFP/UERJ, Mestre e Doutor em MatemticaAplicadaeModelagemComputacionalpelo IPRJ/UERJ.FoiprofessorsubstitutodaFFP/UERJedo GEM/UFF.AtualmenteCoordenadoreProfessordocursode Licenciatura em Matemtica da FACNEC-ITA. Bruno da Fonseca Monteiro Licenciado em Matemtica pela FFP/UERJ, Mestre em Engenha-riaCivilpelaCOPPE/UFRJ.Foiprofessordecursospr-vestibulares e colgios da rede privada. Atualmente professor da rede estadual de ensino do Rio de Janeiro e do curso de Licencia-tura em Matemtica da FACNEC-ITA. Herivelto Nunes Paiva bacharelemestatsticapelaFACEN/UNIVERSO,Licenciado em Matemtica pela UNIVERSO, Ps-graduado em Matemtica e Estatstica pela UFLA, e Mestre em Ensino de Cincias da Sade edoAmbientepelaUNIPLI.Maisde22anoscomoProfessor dasredespblicaseprivadasdeensino.Atualmente,lecionana FACNEC nos cursos de Administrao, Matemtica e Pedagogia. Sumrio 1Matrizes.......................................................................................... 1 1.1Igualdade entre matrizes...................................................... 4 1.2Tipos especiais de matrizes ................................................. 5 1.3Operaes com matrizes ..................................................... 8 1.4Adio de matrizes ............................................................... 9 1.5Propriedades da adio de matrizes.................................10 1.6Exerccios.............................................................................11 1.7Multiplicao de uma matriz por um escalar..................13 1.8Propriedades........................................................................14 1.9Transposta de uma matriz.................................................16 1.10Propriedades que envolvem matrizes transpostas.........16 1.11Multiplicao de matrizes..................................................17 1.12Propriedades da multiplicao de matrizes.....................22 1.13Matriz Inversa .....................................................................25 1.14Propriedades da Matriz Inversa........................................26 1.15Questes de vestibular.......................................................27 2Sistemas Lineares........................................................................56 2.1Introduo ...........................................................................56 2.2Equaes lineares................................................................57 2.3Soluo das equaes lineares...........................................57 2.4Sistemas de equaes lineares...........................................58 2.5Soluo do sistema linear ..................................................61 2.6Sistemas Lineares Homogneos.......................................66 2.7Matriz escalonada ...............................................................67 2.8Soluo do sistema por retro-substituio......................71 2.9Soluo do sistema pelo mtodo de Gauss Jordan....75 2.10Soluo do sistema pelo mtodo da Matriz Inversa .....79 2.11Clculo da Matriz Inversa..................................................80 2.12Exerccios.............................................................................83 2.13Questes de vestibular.......................................................86 2.14Resposta dos exerccios propostos ..................................98 2.15Questes de vestibular.......................................................99 3Espao Vetorial ........................................................................100 3.1Combinao linear............................................................102 3.2Subespao vetorial ............................................................103 3.3Exerccios...........................................................................105 3.4Dependncia e independncia linear .............................107 3.5Base de um espao vetorial .............................................109 3.6Dimenso...........................................................................111 3.7Exerccios...........................................................................112 3.8Os quatro subespaos fundamentais .............................112 3.9Exerccios...........................................................................118 4Transformaes Lineares ........................................................127 4.1Transformaes do plano no plano...............................131 4.2Exerccios...........................................................................137 4.3Questes de vestibular.....................................................141 Prefcio Desde os tempos de graduao e agora lecionandopara cur-sosdelicenciaturaemmatemticasentimosacarnciadelivros voltados exclusivamentepara estefim. Emsua maioria solivros de contedo extremamente tericos, pouco explicativos e de dif-cilleitura,oulivrosvoltadosparaoscursosdeengenharia,no sendoassim adequados formaode novos professorespara os ensinos fundamentais e mdios. Partindodesteprismasurgiuodesejodeescreverumacole-o para satisfazer asnecessidades deste seguimento. Este, ento, vem a ser o primeiro livro deste projeto. lgebra Linear I traz um texto claro e auto-explicativo que vai deencontro snecessidadestanto doprofessor quanto do aluno. Tornando-se um livro til para a vida acadmica e para as ativida-des profissionais.Esteprimeirolivrosedesenvolveem4captulos:Matrizes, SistemasLineares,EspaoVetorial,TransformaesLineares, todoscomexemplosresolvidospassoapassoalmdeexerccios propostos. Fica aqui o desejo de suprir este vcuo. Os autores. 1Matrizes A quantidade de informaes que so geradas nos dias de ho-jeenorme.Apesardoenormeesforoemcomoger-lasou obt-las,outragrandequestoestemcomotrat-las.Nobasta gerar ou obter dados de forma aleatria. necessrio organiz-los, orden-los,edarsignificadosaeles.Amaiorpartedestesdados (informaes)estorganizadaemformadetabelas,oupodeser organizada desta forma. Temos como exemplos pesquisas quanti-tativas(pesquisaseleitorais,porexemplo),ouresultadosdepes-quisascientficas(distribuiodetemperaturaemsuperfcies,por exemplo),entreoutros.Istonosmotivaaentendermelhorestas tabelas. Assim, introduzimos a idia de matriz. Umexemplosimplesdadoaseguir:podemosorganizaras informaespertinentesaosvrticesdeumicosaedroregular,de raio unitrio, cujos dois vrtices opostos esto fixados nos pontos ( ) 0, 0, 1 e( ) 0, 0, 1 ,vejaaFigura1.1,emformadeumatabela, veja a Tabela 1. 2 lgebra Linear 1 Figura 1.1: Icosaedro regular Tabela 1: Vrtices do icosaedro regular de raio unitrio. xyz V01001 V020,8900,45 V030,280,850,45 V04-0,720,530,45 V05-0,72-0,530,45 V060,28-0,850,45 V070,720,53-0,45 V08-0,280,85-0,45 V09-0,890-0,45 lgebra Linear 1 3V10-0,28-0,85-0,45 V110,72-0,53-0,45 V1200-1 Fazendoumaanlisemaisdetalhadadestatabela,temosas coordenadasx dispostasnacolunaum,ascoordenadasy dis-postasnacolunadois,eascoordenadasz dispostasnacoluna trs.Osvrticesreferem-seslinhasdatabela.Assim,sequiser-mos saber qual a coordenada y do vrtice onze do icosaedro, basta eu ir at a linha onze, e at a coluna dois. Desta forma, numa no-taomaisformal,queveremosmaisadiante,amatrizA repre-senta as coordenadas do icosaedro descrito. 0 0 100 1A ( ( ( ( ( ( ( ( (= ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0,89 0,450,28 0,85 0,45-0,72 0,53 0,45-0,72 -0,53 0,450,28 -0,85 0,450,72 0,53 -0,45-0,28 0,85 -0,45-0,89 0 -0,45-0,28 -0,85 -0,450,72 -0,53 -0,450 4 lgebra Linear 1 Motivadospeloexemplodadoanteriormente,amatrizque contmosvrticesdoicosaedro,observamosquecadaelemento damatrizA podeserrepresentadopor ija ,onde1, ,12 i = e 1, , 3 j = .Deformagenrica,usandoanotaomatemtica, representamos uma matriz de m linhas por n colunas por 11 11nm mna aAa a ( (= ( (

..

ondealetramaisculaArepresentaamatriz,mquantidadede linhasdamatriz,nquantidadedecolunasdamatriz,m n a ordemdamatriz,e ija ,1, , i m = ,1, , j n = ,representacada elemento da matriz. Podemos representar as matrizes, tambm, atravs de parn-teses e barras, como nos exemplos a seguir. 11 11nm mna aAa a| | |= | |\

..

, ou 11 11nm mna aAa a=

..

. 1.1Igualdade entre matrizes Duasmatrizes mnAe mnBsoditasiguaisseelastmo mesmo nmero de linhas e o mesmo nmero de colunas, e todos os seus elementos correspondentes (elementos que esto posicio-lgebra Linear 1 5nadosna mesmalinhaenamesmacolunadeambas asmatrizes) so iguais. A seguir vemos um exemplo. 223 1 log12 2 5 2 4 5 (( (( 09 sen 90 0= 1.2Tipos especiais de matrizes Vriosproblemasdeengenhariapodemserrepresentados porequaesmatriciais.Nestescasos,geralmente,asmatrizes associadas aos problemas aparecem de uma forma especial, facili-tando assim a interpretao do comportamento destes problemas. Assim, veremos a seguir alguns tipos especiais de matrizes. Matriz nula toda matriz onde o elemento0ija =para todo 1, , i m = ,1, , j n = . 0 00 0A ( (= ( (

..

. Matriz quadrada toda matriz ondem n = . Neste caso, di-zemos que a matriz tem ordemn , isto ,1, , i n = e1, , j n = . 11 11nn nna aAa a ( (= ( (

..

. 6 lgebra Linear 1 Matrizdiagonaltodamatrizquadradadeordemn onde 0ija =sempre quei j . 110 0000 0nnaAa ( ( (= ( (

.

.

. Matriz identidade toda matriz diagonal de ordemnonde 1ija =sempre quei j = . Usamos a letraIpara denotar a matriz identidade. 1 00 1I ( (= ( (

..

. Matriztriangularsuperiortodamatrizquadradadeor-demnonde0ija =sempre quei j > . 11 12 122 200 0nnnna a aa aAa ( ( (= ( (

. ..

. Matriz triangular infe