LIVRO DE METODOS 11

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MTODOS MATEMTICOSEste livro apresenta estudos sobre equaes diferenciais parciais lineares homogneas e suas aplicaes

Equaes

Parciais

e

Problemas de Contono

Engenharia e Fsica

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I - Equaes Diferencias Parcais

2 U = h2 2 i U+U U 2 m t

Altair Souza de Assis

Niteri - RJ - 2010

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3

Seo 1: Introduo

Porque as EQDPs So teis?A grande maioria dos fenmenos fsicos, seja na dinmica dos flidos, no eletromagnetismo, no estudo dos plasmas, na mecnica, ou na termodinmica, podem ser descritos por equaes diferenciais parciais [EQDPs]. De fato, boa parte do estudo de Fsica Matemtica est relacionado ao estudo das EQDPs [lineares e no lineares]. verdade que simplificaes podem ajudar a reduzir a complexidade do problema original; por exemplo de EQDPs para equaes diferenciais ordinrias [EQDOs], ou de no lineares para lineares contudo, a descrio completa destes fenmenos s pode, em geral, ser obtida no campo das Equaes Integrodiferenciais parcias [EIDPs] no lineares.

Equaes da Fsica e Engenharia que so descritas por EQDPs:

1 - Equaes de Maxwell

2 - Equaes de Navier-Stokes

3 - Equao de Schrdinger

4 - Equao de Vlasov

5 - Equao de Boltzmann

6 - Equao de Fokker-Planck

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7 - Equao da Difuso

8 - Equao da Onda

9 - Equaes MHD

O que so EQDPS?

Uma equao de derivadas parciais, ou equao diferencial parcial uma equao envolvendo duas ou mais variveis independentes xi [i=1,2,.., n) e derivadas

parciais de uma funo incgnita U(x1, x2, x3,...). Ou seja, uma EQDP pode ser escrita na seguinte forma.

2 2 m F ( x , x ,..., xn, U , U x , U x ,.., U x , U , U ,....., U ) 1 2 xnm n x 2 x x 1 2 1 2 1(II1)

onde

x = (x , x ,......, xn) , Rn, 1 2

F uma funo dada.

A soluo para a equao acima uma funo

U(X) Cn().

Definindo:

U , x (x, y, z, t,....) x x i i i

Ex1: F(Uxx, Uyy) = Uxx + Uyy = 0 Ex2: F(U,Uxx,Uyy ) = UUxx+Uyy =0

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IMPORTANTE Uma soluo de uma EQDP, qualquer funo que satisfaa a equao II1 identicamente. A soluo geral uma soluo que contm funes arbitrrias, em nmero igual a ordem da equao.

Uma soluo particular, uma soluo que pode ser obtida da soluo geral mediante escolha particular das funes arbitrrias.

Uma soluo singular, uma soluo que no pode ser obtida da soluo geral mediante escolha particular das funes arbitrrias.

Ex1: seja a EQDP

2U = 2x t xt

Soluo geral:

U = x2t 1xt2+ F(x)+ G(t) 2

Soluo particular: Escolhendo para F e G as funes

F(x)= 2 e (x) eG(t)= 3 4 5 sn t te s m e U = x2t 1xt2+ 2 e (x)+ 3 4 5 sn t 2 U U x U + U = 0 x x x

Ex2:

Soluo geral:

U = xF(t) [F(t)]25

6

Soluo singular:

2 U= x 4

Nos dois exemplos acima, F e G so funes arbitrrias de x e t.

Classificao das EQDPS

A classificao das EQDPs, no que concerne a ordem e linearidade, segue regra semelhante a classificao das EQDOs:

A ordem de uma EQDP dada pela derivada parcial de maior ordem que ocorre na equao .

Ex1:

Ut = Uxx

(segunda ordem)

Ex2:

Ut = UUxy + Uxxx (terceira ordem) Ux + Uy = 0 (primeira ordem)

Ex3:

Uma EQDP dita linear se de primeiro grau em U e em todas as suas derivadas parciais que ocorrem na equao; caso contrrio a EQDP dita no linear.

Ex1:

UUxx + U = 0 (no-linear) Uxx + yUxx + Uzz = 0(linear)

Ex2:

Ex3:

U2 + Uxx + sen(y + x)U = 0 (no-linear)6

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Ex4:

Ux + Uy = 0

(linear)

Uma EQDP linear geral, de segunda ordem, em duas variveis independentes, uma equao da forma

AUxx + BUxy + CUyy + DUx + EUy + FU = G(III1)

onde A, B, C, D, E, F, e G podem ser constantes ou funes conhecidas de x e y mas no podem depender de U ou de suas derivadas.

A Eq (1) homognea se G(x, y) = 0 para todo x e y do domnio de interesse. Se G no se anula identicamente no domnio a equao dita no homognea. Se os coeficientes A, B, C, D, E, F, em (1) so constantes, ento (1) dita ter coeficientes constantes caso contrrio coeficientes variveis. Todas as EQDPs lineares do tipo da equao (III1) so denominadas

i- Parablica se

B2 - 4AC = 0 B2 - 4AC > 0

ii- Hyperblica se

iii- Elptica se

B2 - 4AC < 0(parablica)

Ex1:

Ut = Uxx

Ex2:

Uyy - Uxx = 0 (hyperblica) Uxx + Uyy = 0 (elptica)7

Ex3:

8

Existncia e Unicidade das Solues

As trs questes fundamentais nos estudo das EQDPs acompanhadas de condies inicias e/ou de contorno so:

i - Existncia de solues ii - Unicidade de soluo iii - Dependncia da soluo com respeito as condies iniciais e/ou de contorno

Estes trs pontos importantes no sero o estudados aqui pois fogem do escopo do presente estudo. Pode-se se afirmar no entanto que no caso das EQDPs lineares, a dependncia contnua nas condies iniciais e/ou de contorno, a existncia, e a unicidade esto essencialmente demonstradas. No caso das EQDPS no lineares o problema mais complicado pois pequenas variaes nas condies inicias podem afetar grandemente os estados finais atratores, exemplo tpico em que aparecem EQDPs no lineares so os estudos climticos, pequenas variaes, por exemplo, na temperatura ou presso podem levar o sistema a um estado final completamente diverso do estado original.

Resolvendo EQDPs?

Como estamos tratando aqui s de EQDPs lineares, deve-se mencionar que os fatos comuns com respeito a linearidade continuam vlidas neste contexto mais geral do estudo das equaes diferenciais. Apesar disso, a teoria geral das EQDPs lineares muito pouco tem em comum com a teoria geral das EQDOs, pela simples razo de que o espao soluo de toda EQDP homognea tem dimenso infinita. Por exemplo, no difcill mostrar que a soluo geral da equao de primeira ordem

8

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+ = 0 x t

(x t),

onde e funo de uma nica

varivel, diferencivel mas arbitrria. Segue-se dai que cada uma das funes

(x, t) s n(x t), cos x t), e x t), e x t)2, e ( xp( xp(

soluo da equao acima, e evidente que essas funes so linearmente independente(LI) no espao das funes contnuas C(R) onde R qualquer domnio de

R2 . O fato de uma equao to simples como esta ter uma tal quantidade de

solues LI da uma indicao das dificuldades que devem ser superadas no estudo das EQDPs. Deve-se reforar que no caso das EQDOs a dimenso do espao soluo a mesma da ordem da equao, ou seja, uma EQDO de segunda ordem s precisa de duas solues LI para que se possa gerar todo o espao soluo. Este tipo de

dificuldade desaparece quando estudamos as EQDPs no contexto dos problemas de contorno bem posto, porque ento, todos os problemas tero soluo nica.

No que concerne a busca de solues para as EQDPS, existe um verdadeiro arsenal de mtodos. O mtodo mais importante aquele que transforma EQDPS em EQDOS.

Algumas tcnicas gerais so:

1 - Mtodo da Separao das Variveis: Esta tcnica transforma uma EQDP com n variveis independentes em n EQDOs, uma para cada varivel.

2 - Transformadas

Integrais: Este processo reduz uma EQDP com n variveis

independentes em uma EQDP em n - 1 variveis independentes; ento, uma EQDP com duas variveis independentes pode ser reduzida a uma EQDO.

9

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3 - Mudana de Variveis: Este mtodo transforma a EQDP original em uma EQDO or outra EQDP (mais fcil de ser resolvida) mudando as coordenadas do problema (fazendo rotaes de eixos, etc.).

4 - Tranformao da Varivel Dependente: Este mtodo transforma a varivel dependente de uma EQDP em uma obtida. nova varivel dependente mais fcil de ser

5 - Equaes Integrais: Esta tcnica

transforma uma EQDP em uma equao

Integral (uma equao onde as funes a se determinar esto dentro de um simbolo de integral). A equao integral ento resolvida pelo mtodos desta teoria.

8 - Expanso em Autofunes: Este mtodo tenta achar a soluo de uma EQDP como uma soma infinita de funes bsicas. Estas autofunes so encontradas solucionando um problema de autovalores correspondente ao problema original.

9 - Mtodo da Funo de Green (Tcnica Impulso-Resposta): Com esta tcnica se decompe as condies iniciais e de contorno do problema em impulsos elementares e encontra-se assim a resposta para cada impulso. A resposta completa encontrada adicionando (integrando) as respostas elementares.

10 - Mtodo do Clculo das Variaes: este mtodo busca a soluo de uma EQDP reformulando o problema em termos de um problema de minimizao.

11 - Mtodo da Perturbao: Este mtodo transforma um problema no linear (EQDPNL) em uma seqncia de problemas lineares que aproximam o no linear.

12 - Mtodos Numricos: Esta tcnica transforma uma EQDP em um sistema de equaes de diferena que pode ser resolvido por meio de tcnicas iterativas ou em computadores (lineares ou vetoriais). Alm dos mtodos que transformam EQDPs em

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equaes de diferena, existem outros mtodos que aproximam as solues por superfcies polinomiais.

Equaes Dieferenciais Parciais Clssicas da Fsica Matemtica

A maioria dos problemas da Fsica e Engenharia pertencem a uma das seguintes categorias: problemas de equlibrio, problemas de autovalor, e problemas de propagao. Os problemas de equilbrio so em geral independentes do tempo (problemas estacionrios). Os exemplos fsicos tpicos so a distribuio estacionria de temperatura, distribuio de potencial eletrosttico/magnetosttico, e fluxo viscoso estacionrio. As EQDPs que governam este tipo de fenmeno so as elpticas. A equao diferencial a ser resolvida neste caso do tipo L[U] = f contorno, onde L um operador diferencial elptico. + condies de

Os problemas de autovalor podem ser entendidos como uma exteno

dos

problemas de equilbrio onde certos valores crticos de certos parmetros so para ser determinados alm do correspondente equilbrio estacionrio. Os exemplos fsicos tpicos para este tipo de problemas so os problemas de freqncia natural em sistemas vibratrios, ressonncias em circitos eltricos, e estabilidade de

estruturas. A equao diferencial a ser resolvida neste caso do tipo L[U] = M[U] + condies de contorno. O parmetro chamado de autovalor do problema e U o autovetor. Os operadores diferenciais L e M so elpticos.

Os problemas de propagao so problemas de valor inicial que tem como soluo um estado no estacionrio ou uma natureza transiente. Exemplos fsicos tpicos so a propagao de calor em um meio material, propagao de ondas em meios

materiais e vcuo, e a difuso . Este problema estudado solucionando a equao L[U] = f + condies de contorno + condies iniciais. O operador L pode ser

parablico ou hiperblico.

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No primeiro e terceiro casos acima, o termo f representa uma funo conhecida descrevendo a parte no homognea da equao.

Algumas EQDPs Clssicas da Fsica Matemtica Nas Suas Formas Explictas

1 - Equao do calor

2U U = 0 t2 - Equao da onda

2 2U 1 U = 0 c2 t23 - Equao de Laplace

2U= 0

4-

Equao do telegrafista

2U = 2U + U + U t t2 x2

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5 - Equao da difuso

2U + 2U + 2U - U = 0 t x2 y2 z2

6 - Equao da difuso-conveco

U = 2 2U - U t x x27 - Equao de Schrndiger (Mecnica Quntica)

2 i U = h 2U + V(x, y, z)U 2m t R4, V(x, y, z)) uma funo "bem

onde U = U(x, y, z, t), t > 0, (x, y, z, t) comportada" com valores reais,

h a constante de Planck e m > 0. Esta equao

descreve a interao de uma partcula quntica de massa m com o potencial V(x, y, z).

8 - Equao de Schrndiger No Linear (Plasma/ptica no Linear)

2 2 i U = h 2U+U U 2 m tEsta equao descreve fenmenos no lineares em plasmas.

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9 - Equao KDV

U = 3U + U U t x x 3esta equao descreve a propagao de ondas no lineares em meios dispersivos e no dissipativos.

10 - Equao das vibraes tranversais de uma viga

2U + b2 4U = 0, t2 x4

b uma constante proporcional ao modulo de elasticidade.

11- Sistema de EQDPs da Linha de Transmisso

E = RI L I x t I = GE C E x tas contantes R, L, G, e C so a resistncia, indutncia, condutncia, e capacitncia, respectivamente.

Operador Laplaciano:

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2 n 2 i= 1 xi2

Operador Laplaciano Cartesiano 3D:

2 2 2 2 + + x2 y2 z2VII- Problemas de Valor Inicial e de Contorno

Como foi mencionado anteriormente, o estudo dos problemas de contorno alm de sua importncia na Fsica e Engenharia permite o estudo da unicidade de soluo para EQDPs. Na verdade, todo problema fsico possui contornos de algum tipo [local ou no infinito], estes contornos impem condies sobre as solues aceitveis das EQDPs, desta maneira necessrio descreve-las matematicamente e incorpora-las no problema especfico em estudo.

Com respeito as condies iniciais, pode-se dizer que todo evento fsico deve comear em algum instante de tempo (geralmente t = 0), desta maneira deve-se especificar qual a situao do problema neste momento; a isto chamamos condio inicial do problema.

Do ponto de vista da Fsica, as condies iniciais e de contorno so to importantes quanto a prpria equao que modela o problema em questo. Aos problemas em que se especifica as condies iniciais e de contorno, chamamos de problema de valor inicial e de contorno .

Ex: Seja o problema de se estudar a distribuio de temperatura em uma barra de comprimento L, em funo da posio e do tempo. Um possvel problema de valor inicial e de contorno nesta situao seria:

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EQDP:

U = 2U , t x2

Domnio de interesse:

0 < x < L, 0 < t < +

Condies de contorno:

U(0, t) = T1 U(L, t) = T2, 0 < t < +

Condio inicial:

U(x, 0) = f(x) (uma funo conhecida),

f CP [0, L ] , onde

L R+ .

Convm notar que uma diferena importante entre EQDOs e EQDPs a informao suplementar necessria para a unicidade da soluo. No caso de uma EQDO obtm-se a unicidade impondo condies iniciais, isto , fixando os valores da soluo e de suas derivadas at certa ordem em um dado ponto do intervalo. Pode-se obter tambm unicidade, no caso de intervalos finitos, impondo condies nos extremos do intervalo. No caso de EQDPs o espao das variveis independentes multidimensional, de modo que a soluo esta definida em uma regio; os extremos do intervalo devem ser substituidos pelo bordo da regio em questo. Quando impomos condies sobre a soluo no bordo da regio temos um problema de

contorno. O problema acima da forma como foi especificado tem soluo e nica.

Soluo de EQDPS

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1- Mtodo da Separao de Variveis:

O mtodo de separao de variveis uma das tcnicas mais antigas para se resolver problemas de contorno. Esta tcnica se aplica em geral nas seguintes situaes.

i- A EQDP linear e homognea.

ii- As condies de contorno so do tipo

Ux(0,t) + U(0,t) = 0 Ux(L,t) + U(L,t) = 0

onde , , , e so contantes. Estas condies so chamadas de condies de contorno lineares e homogneas.

O mtodo funciona da seguinte maneira: Busca-se uma soluo para a EQDP em questo supondo uma soluo do tipo:

U(x, y, z, t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t)

Ex: Resolver equao da onda unidimensional:

2 2U 1 U = 0 c2 t2

Considera-se a soluo da forma:

U(x, t) = X(x)T(t)

Aps alguma lgebra a EQDP se transforma em:

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18

d2X - X = 0 dx2 e d2 - c2T = 0 T dt2onde um parmetro de separao chamado de autovalor do problema, ele determinado pela soluo da equao X(x), e pelas condies de contorno. Este tipo de problema chamado de problema ou sistema de Sturm-Liouville.

Uma vez obtidos , X(x), e T(t), obtm-se a soluo do problema fazendo U(x,t) = X(x)T(t). Vamos ento supor para este problema as seguintes condies iniciais e de contorno:

U(0, t) = U(, t) = 0 U(x, 0) = f(x) U(x, 0) = g x) ( tA soluo para este problema ento [Condies iniciais e Sries de Fourier]:

U ( x, t ) = U n ( x, t ) n =1 U n ( x, t ) = sen(nx)( An cos(nct ) + Bn sen(nct ))

An = 2 g ( x) sen(nx)dx nc 0 e Bn = 2 f ( x) sen(nx)dx 0

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Note que muitas vezes uma EQDP no separvel em um determinado sistema de coordenadas mas o em outro. Assim, em muitos casos conveniente uma simples mudana de sistema de coordenadas para se obter a EQDP desejada separvel .

No caso da equao de onda

2 2U 1 U = 0 , < x< + , 0< t< + c2 t2 U(x, 0) = f(x) U (x, 0 = gx) ) ( t

existe uma outra forma de se apresentar a soluo fechada para a equao de onda unidimensional chamada de soluo D'Alembert, este o nico problema em que isto possvel. Ela dada por

1 [ f ( x ct) + f ( x + ct)] + 1 x+ ct( )d U ( x,t ) = g 2 2c x ct

Para se obter esta equao, considere a mudana de varivel

19

20

= x +ct = x ct

A equao da onda em (x, t) transformada em uma EQDP em

and

dada por

2U = 0

Para se obter esta equao, basta considerar a relao entre as derivadas parciais pela regra da cadeia

Ux = U + U U = c(U + U ) t Uxx = U + U + 2U ) U = c2(U + U 2U ) tt

Obtm-se ento a equao desejada:

2U = 0,

a soluo geral dada por

U( , ) = ( )+ ( )

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21Note que e so funes arbitrrias de e . Desta maneira, retornando ao sistema de coordenadas original obtm-se a soluo desejada:

U(x, t) = (x ct) + (x ct).

Esta a soluo geral da equao de onda e representa fisicamente a soma de duas ondas movendo-se uma em direo oposta a outra, com velocidade c. Por exemplo, a funo

U(x, t) = s n(x ct) + cos x ct), e (

uma possvel soluo para o problema. Uma vez obtida a soluo geral, podemos aplicar as condies iniciais

U(x,0) = f(x) U(x,0) = g x) (para determinar as duas funes arbitrrias e Assim, .

(x) + (x) = f(x) c'(x) c'(x) = g x) (

Integrando a segunda equao de x a x 0 , para se obter uma nova expresso para e obtemos (K uma constante arbitrria) ,

21

22

c( x) c( x) =

x g ()d + K xo

De posse das duas relaes para e obtm-se a soluo do problema em , termos das funes conhecidas f(x) e g(x) [condies iniciais].

1 [ f ( x ct) + f ( x + ct)] + 1 x+ ct( )d U ( x, t ) = g 2 2c x ctEx: Considere as condies iniciais:

U(x, 0) = cos (x) e U (x, 0 = 0 ) tneste caso a soluo :

U(x,t) = 1[cos x ct)+ cos x+ ct)] ( ( 2

Ex2: Seja agora a equao de Helmoltz

2 + k2 = 0,esta equao pode ser obtida da equao de onda

2 2U 1 U = 0 c2 t2

fazendo a seguinte separao de variveis:

U(x, y, z, t) = (x,y,z)T(t)

22

23

. Com esta separao a equao da onda se transforma em duas equaes: uma EQDP para y, z) e uma EQDO para T(t): (x,

2 = 0,

T'' + c2 = 0 Tonde o autovalor do problema. Por convenincia podemos escolher

= k2.Helmoltz

A parte espacial da equao de onda satisfaz ento a equao de

2 +k 2 = 0 .

Note que

ck = ,

a freqncia angular da

onda. Para solucionar a equao de Helmoltz, deve-se efetuar outra separao de variveis:

X ( x)Y ( y)Z ( z)em

em

coordenadas

cartesianas, ou

R(r )( )() R(r )( )Z ( z)

coordenadas

esfricas,

em coordenadas cilndricas. Em coordenadas esfricas

surgem ento como soluo da parte angular os harmnicos esfricos e em coordenadas cilndricas os harmnicos cilndricos. A parte radial tem como soluo as funes de Bessel e de Bessel esfricas ou funes de Euler, este assunto ser estudado em detalhes posteriormente.

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Autovalores Reviso):

e

Autovetores (Ainda Em fase de

Agora, vamos falar um pouco sobre autovalores e autovetores.

Os valores de para os quais a equacao LY = Y tem solues nonulas denominam-se autovalores (ou valores caracteristicos) de L, e para cada autovalor o, os vetores nao-nulos que satisfazem a equao

23

24

LYo = oYo denominam-se autovetores (ou vetores caracteristicos) de L associados a o.

L e uma transformao linear de S em V (L : S V), sendo S um subespao de V, e um parametro incognito que pode assumir valores reais ou complexos dependendo da estrutura do problema.

Tecnicamente, este problema e conhecido como o problema de autovalor para o operador L, e requer que encontremos todos os para os quais LY = Y tenha solues no triviais, assim como todas as

solues correspondentes a esses s. Naturalmente que o principal interesse aqui e no caso em que S e V so espaos euclidianos e L um operador diferencial linear de segunda ordem.

Exerccios:

1 - O que um espao euclidiano?

2 - O que um espao no euclidiano?

3 - Mostre que S, V

so espaos euclidianos.

4 - Mostre que L - D linear.

5 - Mostre que se o e um autovalor de L, e Yo um autovetor associado a o, ento Yo e tambem um autovetor do problema .

6 - Definir espao vetorial invariante.

24

25

Teorema 1: O conjunto soluo da equao LY = oY e um subespao no-trivial de S para cada autovalor o de L.

Teorema 2: Qualquer conjunto de autovetores associados a autovalores distintos de uma transformao linear L : S V e linearmente independente em S.

Teorema 3:

Uma transformao linear L de um espao vetorial

n-dimensional V em si mesmo (L : V V) tem, no mximo, n autovalores distintos. Alm disso, quando o nmero de autovalores distintos e igual a n, qualquer conjunto completo de autovetores, um para cada autovalor, uma base de V, e a matriz de L, com relacao a tal base e

0

0

com os autovalores na diagonal principal e zeros nos outros lugares. Dizse que tal matriz esta na forma diagonal.

25

26

Ex: Seja a transformao linear L : , e suponhamos que L tenha autovalores distintos 1, 2, 3. sejam

e1, e2, e3

autovetores

associados a esses autovalores distintos, e consideremos a equao

LX = Y,

sendo Y conhecido e X incgnita. Ento, como os vetores

e1, e2,

e3 formam uma base de

, temos

X = X1 1+X2

e

e2 + X3 e3 e2 + Y3 e3

Y = Y1 1+Y2

e

assim (como LX = Y),

L(X1 1+X2

e

e2 + X3 e3) = Y1e1+Y2 e2 + Y3 e3

Logo,

(X11) 1 + (X22) 2 + (X33) 3 = Y1 1 + Y2 2 + Y3 3

e

e

e

e

e

e

e segue-se que X1, X2, X3, devem ser escolhidos de modo que

26

27

X1 =

Y1 Y2 Y3 ; X2 = ; X3 = 1 2 3

Assim, vemos que a equacao LX = Y tem uma unica soluo

X=

Y1 1

e1+ Y2 e2 + Y3 e3 2 3

quando os i so diferentes de zero. Se, por outro lado, um dos i, digamos 1, for zero, a equao LX = Y nao tera solucao a menos que Y1 = 0. Neste ultimo caso, a equao X11 = Y1 sera satisfeita para todo valor de X1, e o conjunto solucao da equao dada constara de todos os valores da forma

X = X1

e1+ 2 e2 + 3 e3

Y2

Y3

com X1 arbitrrio.

Este resultado pode ser generalizado facilmente para o caso ndimensional. A tcnica introduzida neste exemplo e conhecida como o metodo do autovalor para a resoluo de uma equacao linear. O xito

27

28

depende da existncia de autovalores de L, em nmero suficiente para gerar V, e da nossa capacidade de encontra-los.

Da teoria das transformaes lineares sabe-se que uma equao da forma LX = Y, envolvendo uma transformao linear de um espaco vetorial n-dimensional V em si mesmo, pode ser escrita em termos de uma base de V, como um sistema de equaes lineares

onde

e a matriz de L, e

sao as

componentes de X e Y, todas em relacao a base escolhida. Em particular, isto e verdadeiro para a equao

LY = Y

a qual equivale a

28

29

(L - I)Y = 0

sendo I a transformao identidade de V. Notando que L - I pode ser representada pela matriz

concluimos, ento, que os autovalores de L so simplesmente os valores de para os quais o sistema de equaes homogneas

29

30

tem solues no triviais. Isto ocorrera se, e somente se, o determinante do sitema se anula, isto e, se, e somente se,

Portanto, podem-se calcular os autovalores de L, resolvendo-se a equao acima para , e como o primeiro membro desta equao e um polinmio de grau n em , isto pode ser feito ate pelos mtodos de algebra elementar. O polinmio que aparece na euqao acima e chamado de polinmio caracterstico da trasformao linear L, e a prpria equao se denomina equao carcterstica de L. Pode-se se demonstrar que que o polinmio carcterstico e independente da base particular utilizada para calcul-lo.

Ex: achar os autovalores e autovetores da trasformao linear L : , sendo a matriz de L com relao a base cannica

e1, e2 e

30

31

Neste caso, a equao cacterstica de L

ou

e segue-se que = 1 o nico autovalor de L. Logo, um vetor no-nulo Y = Y1 1 + Y2 2 ser autovetor LY = ( = 1)Y. Na forma matricial

e

e

de L se, e somente se,

31

32

vemos que X1 e X2 devem satisfazer as equaes

Portanto, Y1 deve ser zero, enquanto que Y2 e arbitrrio, e os

autovetores de L so da forma

Y2 2, X2

e

. Finalmente, o

autoespao e o subespao unidimensional de gerado de

e2.

Exerccio: Determinar os autovalores e autovetores da transformao linear L : cuja matriz com relao a base cannica e

e1, e2, e3

VI Transformaes Lineares Simtricas

32

33

Uma transformao linear L : S V, onde S

e

V so espaos

euclidianos, sendo S subespaco de V, diz-se simtrica com relao ao produto interno de V se, e somente se,

=

para todo X e todo Y de S.

Teorema 4: Todo par de autovetores associados a autovalores distintos de uma transformao linear simetrica L : S V e ortogonal em V.

Dem: Sejam X1 e X2 vetores no-nulos de S, e suponhamos que LX1 = 1X1, LX2 = 2X2, com 1 2. ento,

= 1

=

2

e como = , segue-se que

( 1- 1) = 0.

33

34

Mas, por hiptese, 1 2. Logo, = 0.

Teorema A 5: Uma transformao linear num espao euclidiano V de dimensao finita e simtrica se, e somente se, a matriz da transformao em relao a qualquer base de V e uma matriz simtrica.

Teorema 6*: Todos os autovalores de uma transformao linear simrica so reais (demonstrao em (George Arkfen) " Mathematical Methods for Physicists" , pgina 337, Academic Press, New York, 1966).

* A demonstrao deste resultado, embora no seja difcil, necessitaria da introduo de espacos com produto interno complexo que no sero tratados neste livro.

Exerccios:

1 - Definir matriz simtrica

2 - Mostre que L - D: S C[0, ] C[0, ] e simtrica em S com respeito ao produto interno

=34

35

onde so impostas as condies de contorno

3-

Sejam L1, L2: V V transformaes lineares simtricas. Prove

que a transformao L1L2 e simtrica se, somente se, L1L2 = L2L1 (ou seja se L1 e L2 comutam).

V Autovalores e Autovetores

Os valores de para os quais a equao LY = Y tem solues nonulas denominam-se autovalores (ou valores caracteristicos) de L, e para cada autovalor o, os vetores no-nulos que satisfazem a equao LYo = oYo denominam-se autovetores (ou vetores caractersticos) de L associados a o.

L uma transformao linear de S em V (L : S V), sendo S um subespao de V, e um parmetro incgnito que pode assumir valores reais ou complexos dependendo da estrutura do problema.

Tecnicamente, este problema e conhecido como o problema de autovalor para o operador L, e requer que encontremos todos os para os quais LY = Y tenha solues no triviais, assim como todas as

solues correspondentes a esses s. Naturalmente que o principal interesse aqui e no caso em que S e V so espaos euclidianos e L um operador diferencial linear de segunda ordem.

35

36

Exerccios:

1 - O que e um espao euclidiano?

2 - O que e um espao no euclidiano?

3 - Mostre que S, V

sao espaos euclidianos.

4 - Mostre que L - D linear.

5 - Mostre que se o e um autovalor de L, e Yo um autovetor associado a o, entao Yo e tambem um autovetor do problema .

6 - Definir espao vetorial invariante.

Teorema 1: O conjunto soluo da equao LY = oY e um subespao no-trivial de S para cada autovalor o de L.

Teorema 2: Qualquer conjunto de autovetores associados a autovalores distintos de uma transformao linear L : S V e linearmente independente em S.

Teorema 3:

Uma transformao linear L de um espaco vetorial

n-dimensional V em si mesmo (L : V V) tem, no mximo, n autovalores distintos. Alm disso, quando o nmero de autovalores distintos igual a n, qualquer conjunto completo de autovetores, um para cada autovalor, e uma base de V, e a matriz de L, com relao a tal base e

36

37

0

0

com os autovalores na diagonal principal e zeros nos outros lugares. Dizse que tal matriz esta na forma diagonal.

Ex: Seja a transformao linear L : , e suponhamos que L tenha autovalores distintos 1, 2, 3. sejam

e1, e2, e3

autovetores

associados a esses autovalores distintos, e consideremos a equacao

LX = Y,

sendo Y conhecido e X incognita. Ento, como os vetores

e1, e2,

e3 formam uma base de

, temos

X = X1 1+X2

e

e2 + X3 e3 e2 + Y3 e3

Y = Y1 1+Y2

e

37

38

assim (como LX = Y),

L(X1 1+X2

e

e2 + X3 e3) = Y1e1+Y2 e2 + Y3 e3

Logo,

(X11) 1 + (X22) 2 + (X33) 3 = Y1 1 + Y2 2 + Y3 3

e

e

e

e

e

e

e segue-se que X1, X2, X3, devem ser escolhidos de modo que

X1 =

Y1 Y2 Y3 ; X2 = ; X3 = 1 2 3

Assim, vemos que a equao LX = Y tem uma nica soluo

X=

Y1 1

e1+ Y2 e2 + Y3 e3 2 3

quando os i so diferentes de zero. Se, por outro lado, um dos i, digamos 1, for zero, a equacao LX = Y no tera soluo a menos que Y1 = 0. Neste ultimo caso, a equao X11 = Y1 ser satisfeita para todo

38

39

valor de X1, e o conjunto soluo da equao dada constara de todos os valores da forma

X = X1

e1+ 2 e2 + 3 e3

Y2

Y3

com X1 arbitrrio.

Este resultado pode ser generalizado facilmente para o caso ndimensional. A tcnica introduzida neste exemplo conhecida como o mtodo do autovalor para a resoluo de uma equao linear. O xito depende da existncia de autovalores de L, em nmero suficiente para gerar V, e da nossa capacidade de encontr-los.

Da teoria das transformaes lineares sabe-se que uma equao da forma LX = Y, envolvendo uma transformao linear de um espao vetorial n-dimensional V em si mesmo, pode ser escrita em termos de uma base de V, como um sistema de equaes lineares

39

40

onde

e a matriz de L, e

so as

componentes de X e Y, todas em relao a base escolhida. Em particular, isto verdadeiro para a equao

LY = Y

a qual equivale a

(L - I)Y = 0

sendo I a transformao identidade de V. Notando que L - I pode ser representada pela matriz

40

41

concluimos, ento, que os autovalores de L so simplesmente os valores de para os quais o sistema de equaes homogneas

tem solues no triviais. Isto ocorrera se, e somente se, o determinante do sitema se anula, isto e, se, e somente se,

Portanto, pode4m-se calcular os autovalores de L, resolvendo-se a equao acima para , e como o primeiro membro desta equao e um polinomio de gru n em , isto pode ser feito ate pelos mtodos de lgebra elementar. O polinmio que aparece na euqao acima e chamado de polinmio caracterstico da trasformao linear L, e a41

42

prpria equao se denomina equao carcterstica de L. Pode-se se demonstrar que que o polinmio carcterstico e independente da base particular utilizada para calcul-lo.

Ex: Achar os autovalores e autovetores da trasformacao linear L : , sendo a matriz de L com relao a base cannica

e1, e2 e

Neste caso, a equacao cacteristica de L e

ou

e segue-se que = 1 e o nico autovalor de L. Logo, um vetor nao-nulo Y = Y1 1 + Y2 2 ser autovetor LY = ( = 1)Y. Na forma matricial

e

e

de L se, e somente se,

vemos que X1 e X2 devem satisfazer as equacoes

Portanto, Y1 deve ser zero, enquanto que Y2 e arbitrrio, e os

autovetores de L so da forma

Y2 2, X2

e

. Finalmente, o

autoespao e o subespao unidimensional de gerado de

e2.

42

43

Exerccio: Determinar os autovalores e autovetores da transformao linear L : cuja matriz com relao a base cannica e

e1, e2, e3

VI - Transformaes Lineares

Uma transformao linear L : S V, onde S

e

V so espaos

euclidianos, sendo S subespao de V, diz-se simtrica com relaao ao produto interno de V se, e somente se,

=

para todo X e todo Y de S.

Teorema 4: Todo par de autovetores associados a autovalores distintos de uma transformao linear simtrica L : S V ortogonal em V.

Dem: Sejam X1 e X2 vetores no-nulos de S, e suponhamos que LX1 = 1X1, LX2 = 2X2, com 1 2. entao,

= 1

=

2

e como = , segue-se que

43

44

( 1- 1) = 0.

Mas, por hiptese, 1 2. Logo, = 0.

Teorema 5:

Uma transformao linear num espao euclidiano V de

dimenso finita e simtrica se, e somente se, a matriz da transformao em relaao a qualquer base de V uma matriz simtrica.

Teorema 6*: Todos os autovalores de uma transformao linear simtrica so reais (demonstrao em (George Arkfen) " Mathematical Methods for Physicists" , pgina 337, Academic Press, New York, 1966).

* A demonstrao deste resultado, embora no seja difcil, necessitaria a introduo de espaos com produto interno complexos que no sera tratado aqui.

Seo 2: EQDPs em Coordenadas Curvilineas

Seo 3: Funes Especiais de Interesse Neste Livro

3I Funo Gama

A funo gama definida pela integral: GAMA(x) =

Esta funo singular no zero e nos inteiros negativos. Ela conhecida como funo fatorial generalizado, visto qye GAMA(N + 1) = N!, para N inteiro.

44

45

3II Funo Erro

A funo erro [erf(x)] definida pela integral: erf(x) =

A funo erro complementar definida por: erfc(x) = 1 erf(x).

3III Funes de Bessel

So funes definidas a partir das solues das equaes de Bessel, assim como o seno e coseno circular e o hyperbolico podem ser definidos a partir das equaoes Y +_Y = 0. Estas funes so vetores ortogonais do espao CP[0,1], ou seja; formam uma base para este espao. Nada impede se extender este conceito para intervalos arbitrrios [a, b], onde a,b so nmeros reais no nulos simultaneamnete.

3IV Polinmios de LegendreOs polinmios de Legendre so definidos pela equao de Legendre: Y + Y + Y = 0. Existe uma formula muito pratica para se obter os polinmios de Legendre chamada de formula de Rodrigues: Pl(x) = KKKKK. Os Polinmios de Legendre so vetores ortogonais do espao CP[-1,1], ou seja; formam uma base para este espao. Nada impede se extender este conceito para intervalos arbitrrios [a, b], onde a,b so nmeros reais no nulos simultaneamnete.

3V - Polinmios de Legendre Associado

Os polinmios de Legendre associados so definidos pela equao de Legendre associada: XXXXXXX. Existe uma formula muito pratica para se obter os polinmios de Legendre chamada de formula de Rodrigues: Pl(x) = KKKKK. Os Polinmios de Legendre so vetores ortogonais do espao CP[-1,1], ou seja; formam uma base para este espao. Nada impede se extender este conceito para intervalos arbitrrios [a, b], onde a,b so nmeros reais no nulos simultaneamnete.

45

46

Nada impede se extender este conceito para intervalos arbitrrios [a, b], onde a,b so nmeros reais no nulos simultaneamnete.

3VI - Harmnicas Esfricas

As funes harmnicas esfricas so contruidas a partir do produto dos vetores de base de CP[0, 2pi], que so as funcoes seno e coseno, pelos vetores de base de CP[1,1], os polinmios associados de Legendre. Ou seja; Ylm = . Como era de se

esperar este conjunto de funoes so ortogonais em CP(R), e formam portanto uma base para este espao.

Seo 4: Sries Especiais

I Serie de Fourier Bessel: Quando os vetores de base so as funes de Bessel, a serie chamada de Srie de Fourier Bessel

II Sries de Fourier Legendre: Quando os vetores de base so os polinmios de Legendre, a srie se chama serie de Fourier Legendre.

IX

- Sries de Harmnicas Esfricas: Quando os vetores de base so as funes

harmnicas esfricas, a serie no tem um nome especial mas pode ser chamada de serie de Fourier Harmnica Esfrica

Outras funes podem ser definidas a partir de equaes diferenciais.

Seo 5: Estudo Mais Detalhado Sobre os Polinmios de Legendre e Harmnicas Esfericas

46

47

Por sua importncia neste livro, vamos aprofundar um pouco mais o estudo dos polinmios de Legendre. No estudo do movimento Planetrio, Legendre [Legendre, A. M., Sur l'attraction des Sphroides, Mm. Math. et Phys. prsent l'Ae. r. par divers savants, X, 1785] teve que considerar a expanso em srie da funo:

Expanso binomial (x = cos( )):

que vlida para:

Reunindo os termos proporcionais a

, l = 0, 1, 2, 3,..., obtm-se o coeficiente de

, que , por definio, o polinmio de Legendre:

Assim,

A "funo geratriz" dos polinmios de Legendre (G(r, )), um caso particular de uma funo geratriz mais geral,

47

48

Os coeficientes T (cos( ))so chamados de polinmios de Gegenbauer. Para m=0 tem-se

OBS: m = 1/2

polinmios de Chebyshev (Tschebysheff)

A funo geratriz tambm til para se calcular polinmios de Legendre para valores particulares de x. por exemplo, fazendo-se x = 1, obtm-se:

Todavia,

Segue-se que:

48

49

Semelhantemente, desenvolvendo-se em potncias de t as funes G(-1,r), G(0,r), e G(-x,r) obtm-se:

a-

b-

c-

Alm da funo geratriz, uma ferramenta muito til no estudo das propriedades dos polinmios de Legendre a frmula de Rodrigues [Rodrigues, O., Mmoire sur l'attraction de spherodes, Corr. Ec. Roy. Polytech., III, 1816; Sansone, G., Orthogonal Functions, Dover, New York, 1991]

Pode-se verificar diretamente que

49

50

A partir desta frmula pode-se obter uma representao integral para os polinmios de Legendre [formula de Schfli]

Seja, ento, f(z) uma funo analtica em um domnio D, se z um ponto de D e C uma curva regular, simples, e fechada em D, envolvendo z , pode-se escrever

Considere agora

Visto que f(z) analtica em todo o plano z, com o emprego da frmula de Rodrigues

tem-se,

II. Relaes de recorrncia

50

51

Para se demonstrar estas relaes o emprego da funo geratriz G(r,x) se torna til.

Seja ,por exemplo, a demonstrao da primeira relao acima:

Esta expresso pode ser reescrita como

ou

comparando os coeficientes de tem-se a relao desejada.

51

52

Pode-se achar uma grande variedade de frmulas semelhantes, chamadas de frmulas de recorrncia. De interesse especial so as operaes de elevar e de baixar ordem.

Estas expresses podem ser combinadas para achar a equao diferencial de segunda ordem satisfeita pelos polinmios de Legendre, ou seja, a equao diferencial de Legendre.

ou

III- Equao Diferencial de Legendre

52

53

Os polinmios de Legendre podem tambm ser definidos pela equao diferencial de Legendre. Seja ento,

Utilizando o mtodo de Frobenius (equao de coeficientes variveis com no normalidades em 1 [Arkfen, G., Mathematical Methods for Physicists, academic Press, New York, 1966], pode-se escrever

onde k um parmetro a ser determinado. Substituindo (2)-(4) em (1) tem-se

53

54

Na expresso (5) os coeficientes de cada potncia de x deve se anular separadamente. para j = 0, 1 encontra-se

como termo geral tem-se

As duas relaes em (6) so equivalentes portanto, suficiente escolher um dos coeficientes no nulo. Seja e entao

Note que

arbitrrio se k = 0. A raiz k = 0 d origem, desta forma, a soluo geral

sob a forma (j j-2 em (7))

considere agora a convergncia da srie (8). Pelo teste da razo encontra-se,

54

55

Ambas as sries convergem para x Para , o teste da razo no decisivo. No entanto, o teste da integral mostra que x = 1*. H, no entanto, uma excesso: se

ambas as sries divergiro para

(autovalor) for da forma = l(l+1) em que l um inteiro no negativo, ento a srie ser truncada**, dando origem a um polinmio (Legendre).

*Isso no inesperado visto que a equao (1) pode ser escrita na forma

onde P(x) e Q(x) no so funes analticas em x = 1. E razovel supeitar que as solues talvez deixem de ser analticas nestes pontos.

** Soluo limitada em x = 1 (condio de contorno!)

costume padronizar as solues (8) por meio das escolhas

Assim,

55

56

IV- Ortogonalidade dos Polinmios de Legendre

Os polinmios de Legendre so mutuamente ortogonais em CP[-1, 1]

De fato, sejam as equaes de Legendre para

mas,

Integrando agora de -1 a 1 encontra-se

56

57

onde

a integral de normalizao. Com o emprego da frmula de Rodrigues pode-se mostrar que

A integral de normalizao pode tambm ser obtida a partir da funo geratriz.

V- Sries de Fourier-Legendre

Uma das principais razes para se estudar os polinmios de Legendre a expectativa de que eles fornecero uma base para o desenvolvimento em funes caractersticas anlogo ao das sries de Fourier, ou seja,

se uma funo f(x) for representvel desta maneira e se a srie convergir uniformemente, ento os coeficientes podero ser obtidos pela mesma tcnica que foi usada para achar os coeficientes de Fourier. Multiplique ambos os lados de (10) por e integre de -1 a 1. Use a propriedade de ortogonalidade e a integral de

normalizao para deduzir

57

58

A srie obtida desta maneira chamada de srie de Fourier-Legendre (ou simplesmente srie de Legendre) e os coeficientes coeficientes de Fourier-Legendre. so conhecidos como

A garantia de que a srie convergir e convergir para f(x) pode ser obtida da anlise geral do problema de Sturm-Liouville.

No problema de Sturm-Liouville considera-se a equao

conhecida como equao de Sturm-Liouville. Claramente constata-se que a equao de Legendre um caso particular desta equao [s(x) 0, r(x) 1], ou seja

A partir da equao de Sturm-Liouville pode-se escrever o resultado

58

59

onde autovalores

so

duas funes caractersticas no triviais correspondente aos

. logo a ortogonalidade est garantida se

ou seja,

a)p(a) = 0 e p(b)= 0: Condies "de Legendre".

b)as funes Dirichlet.

se anulam em x = a e x = b: Condies (homogneas) de

c)

se anulam em x = a e x = b: condies (homogneas) de Neumann

d) Intermedirias

O problema de Sturm-Liouville est associado ao operador de Sturm-Liouville

59

60

que um operador diferencial linear de segunda ordem. Em funo de equao de sturm-Liouville convenientemente escrita como

, a

Assim, considerando duas funes caractersticas no triviais correspondendo aos autovalores pode-se escrever

se considerarmos que que anulam o termo

satisfaam as condies de contorno de um dos tipos

Pode-se escrever

60

61

portanto, os operadores do tipo Sturm-Liouville so auto-adjuntos (Hermitianos no caso complexo)e possuem as seguintes propriedades:

a) Autovalores reais b) Autofunes ortogonais c) Autofunes formam um conjunto completo [demonstrao envolve clculo das variaes e no ser apresentada aqui: Courant and Hilbert, vol. I]

VI- Polinmios de Legendre associados e harmnicas esfricas

Seja a equao de onda

esta equao pode ser separada no sistema de coordenadas esfricas, dando origem as quatro equaes ordinrias seguintes [ R ]

como ) ter que ser peridica em a equao (3) torna-se (

61

62

supondo x=cos( ) (y(x)

()) tem-se:

Esta equao conhecida como equao de Legendre associada.

Torna-se uma equao de autovalor carcterstica para

, se exigirmos que a

soluo seja finita nos pontos singulares x = 1 [condies de contorno].

Os autovalores sero = l(l+1)(aps uso do mtodo de Frobenius!). Fazendo agora a troca de varivel, obtm-se:

para m = 0 esta a equao de Legendre com soluo

Derivando (2) com respeito a x tem-se

62

63

ou seja, diante.

a soluo de (2) com m = 0, a soluo de (2) com m = 1 e assim por

Logo

a soluo da

equao (2). Assim,

A funo (3) chamada de polinmio de Legendre associado e denotado por

com o emprego da frmula de Rodrigues para correspondente para

obtemos a frmula de Rodrigues

As funes de Legendre associadas com o mesmo ndice m, mas com ndices l distintos, so ortogonais ente si pois so funes caractersticas de um problema de Sturm-Liouville:

63

64

O maior uso das funes associads de Legendre no desenvolvimento de funes definidas na superfcie de uma esfera.

Voltando ao problema da equao de onda

supondo agora

isto conduz a

O autovalor ser determinado pela equao (2) [Y(,) deve ser finito para 0 e para 0 ], e teremos funes caractersticas correspondentes a

64

65

estes autovalores. Ento, toda a funo poder ser escrita como uma superposio do tipo

para determinarmos os valores permissveis de variveis, fazendo

, completamos a separao de

Isto conduz as equaes

resolvidas anteriormente. sabe-se que o espectro de

discreto, e dado por

e as funes caractersticas podem ser definidas como segue.

No que concerne as funes sabemos que o espectro de ,

tambm discreto com

65

66

mas que para um dado m, deve-se ter As solues da equao em so as funes de Legendre associadas .

Assim tem-se

onde

Ex:

Uma funo arbitraria f(, ) pode ser expandida em harmnicas esfricas

66

67

onde

com

Deveria agora estar claro que a equao de autovalores

possui os autovalores

que so, contudo, degenerados (exceto l = 0), pois para cada valor fixo de l tem-se vrias funes caractersticas como foi visto no exemplo anterior. Assim,

A soluo geral da equao radial dada por

67

68

onde

so as funes esfricas de Bessel e Newman, respectivamente. As

funes esfricas de Bessel aparecem como coeficientes de Fourier-Legendre da funo , isto

Mais sobre funes ortogonais pode ser vistonas seguintes referncias: 1 Hilderbrand, F. B., methods of Applied mathematics, Dover, new york, 1992; 2 - Abramowitz, M., and Stegun, I. A., Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York, 1972; 3 - Sansome, G., Orthogonal Functions, Dover, New York, 1991

Exerccios

1- Enunciar o Teorema da Existncia e Unicidade para as EQDOS. Como funciona para as EQDPS?

2 - Escrever o Operador Laplaciano em coordenadas cartesianas, cilndricas.

esfricas, e

3 - Mostre que o operador Laplaciano linear

4 - O que so EQDPS? 5 - Escreva uma EQDO no linear 6 - Escreva uma EQDP no linear.

7 - Construa um problema de valor inicial com emprego de uma EQDO

8 - Construa um problema de contorno com o emprego de uma EQDO

9 - Construa um problema de valor inicial e de contorno com o emprego de uma EQDP de segunda ordem

68

69

10 - Porque o estudo das EQDPS til em Fsica?

11 - Descreva duas das possveis tcnicas para se resolver uma EQDP

12 - Escreva uma EQDP de terceira ordem 13 - Quando uma EQDO pode ser chamada de normal?

14 - Quantas solues LI so necessrias para gerar o espao soluo de uma EQDO de segunda ordem? Porque? Quantas solues LI so necessrias para se formar o espao soluo de uma EQDP?

15

1 Resolver a EQDP:

2u = 0, onde u de classe C 2. xyf (t ) C [ , p], onde p P p

2 - A Srie de Fourier da funo f(t) = t , um nmero real no nulo, razo? 3 - Encontre a Srie de Fourier da funo:

tal que f(t+p) = f(t), converge uniformemente. Qual a

f(t) = sen(t 2 ),

para

t ,] . [

4 Resover o Problema de Sturm-Liouville:

y + y = 0 y( x =0) =0, y( x =0) + hy ( x =0) =0, onde h um nmero real positivo .5 Resolver a equao da onda na regio [x (-, +)] e [t [0, +)]:

2 2u 1 u = 0 , c 2 t 2

u( x, t =0) = exp( x 2 ), u( x, t =0) = 0. t69

70

1 - Resolver a Equao de Laplace:

2 u= 0CC: u(a, y, z) = u(0, y, z) = u(x, 0, z) = u(x, b, z) = u(x, y, 0) = 0 u(x, y, c) = F ( x, y ) = xy CP [ R ], R [( 0, a ), (0, b)] (a, b, c +).

5 Resolver a Equao da Onda:

2 2u 1 u = 0 c 2 t 2CC: u(0, y, t) = u(L, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, M, t) = 0 (L, M +). CI:

u( x, y, 0) = f ( x, y) = sen(

2 2 x) sen( y); L M

u( x, y,0)

t

= g ( x, y ) = 0

5 Resolver a Equao do Calor:

2u = a 2 u tCC: u(0, t) = u(L, t) = 0, ( a 2 , L, M +). CI:

u ( x,0) = f ( x) = sen(

L

x).

1 - Resolver a Equao de Laplace:

2 u= 0CC: u(a, y, z) = u(0, y, z) = u(x, 0, z) = u(x, b, z) = u(x, y, 0) = 0 u(x, y, c) = F ( x, y ) = xy CP [ R ], R [( 0, a ), (0, b)] (a, b, c +).

70

71

2 Resolver a Equao do Calor:

2u = a 2 u tCC: u(0,y,t) = u(L,y,t) = u(x,0,t)= u(x,M,t)= 0, onde (L, M +).x CI: u ( x, y, 0) = f ( x, y ) = y .

3 - Resolver a Equao da Onda.

2u =

1 2u c2 t 2

CC: u(0,t) = u(L,t) = 0, onde (L +). CI:

u ( x,0) = f ( x) = sen(

2 x). L

1.

Mostrar que todo o par de autovetores associados a autovalores distintos de uma transformao linear simtrica L : S V , onde S e V so Espaos Euclidianos, ortogonal em V.

2 - Encontre os autovalores e autofunes da matriz de rotao.

3 - Um disco anular fino e homogneo, com as dimenses indicadas na figura, encontra-se isolado de tal modo que nenhum calor pode fluir atravs de suas faces. Encontre a temperatura estacionria no disco, quando o bordo interno se mantm a 0 C enquanto que o externo se mantm a 100 C. Em que pontos do disco a temperatura ser de 50 C?

71

72

4 - Resolver a equao de Laplace 3D:

2 U = 0

CC: U(a, y, z) = U(0, y, z) = U(x, 0, z) = U(x, b, z) = U(x, y, 0) = 0 U(x, y, c) = F ( x, y ) = xy CP [ R], R [( 0, a ), (0, b)] (a, b, c +).

5 Resolver a equao da onda estacionria 2D:

2 2u 1 u = 0 c 2 t 2CC: u(0, y, t) = u( , y, t) = u(x, 0, t) = u(x, , t) = 0

CI:

u( x, y, 0) = F ( x, y ) =x ; y

u( x, y,0)

t

= G ( x, y ) = 0

1 Resolver[membrana circular vibratria]:

2 2u 1 u = 0 , c 2 t 2

CC: u(a constante positiva, , t) = 0, u(r, , t) = u(r, + 2 , t),u < + (r 0).

CI: u(r, , 0) = F(r, ) CP[0, a][0, 2], Onde c uma constante positiva.

u ( r,,0) =0 . t

72

73

2 Resolver a Equao da Laplace:

CC: u(0, y, z) = u(A, y, z) = u(x, 0, z) = u(x, B, z) = u(x, y, C) = 0.

CC: u(x, y, 0) = F(x, y) CP[R], onde R [0, A][0, B][0, C] ABC 0.

e

1 - Encontrar a soluo geral da EQDP: /x(u/t) = xt,u e uma funo de C1(R)[(x,y) R onde R e uma regio de x].

2 - Encontre a soluo geral da EQDP: u/x + (u/y) = 0,u pertence a C1(R)[(x,y) R onde R e uma regio de x].

4 - Resolver a EQDP da onda 3D em coordenadas cilindricas.CC: u(1, ,t) = 0, u(r,,0) = f(r,) = 100 , (u/t)(r,0) = g(r,) =0

73

74

3

-

Resolver

a

EQDP

do

calor

+

CC:

2T T = 0 t U(0 t)= 100 , U(L,t) Ux(L,t)= 0 > 0 , U(x,0)= f(x)



4 - Resolver a EQDP da onda 3D em coordenadas cilindricas.CC: u(1,,t) = 0, u(r,,0) = f(r,) = 100 , (u/t)(r,0) = g(r,) = 0

74

75

3

-

Resolver

a

EQDP

do

calor

+

CC:





75

76

3

-

Resolver

a

EQDP

do

calor

+

CC:


1. Definir Sries de Fourier.

2. A funo

f(t)=s n(1) para t [ ,] tal e t

que f(t+2) = f(t)

no pode ser desenvolvida em srie de Fourier. Qual a razo?

3. Encontre a Srie de Fourier: ab-

f(t)= t CP[01 ,] f(t)= t2 CP[0 ]. ,

As sries obtidas convergem uniformemente? Por que? 4. Determinar:

ab

1 e CP[a= 0 b= 1 . m , ]-

n=+ Cne e f(t)= Cne j() para f CP[a,b] com a,b . m xp n=

76

77

5. Encontre a Srie Dupla de Fourier de

F(x,y)= x2y2, onde

F CP[R],R [( , ),( , )].

1 Escreva a EQDP Correspondente:

a Onda(0,1). b - Laplace(0,2). c Conduo do Calor(0,1). d - Vibraes Longitudinais de uma Viga(0,2). e - Vibraes Transversais de uma Viga(0,2). f - Linha de Transmisso(0,2).

t P 2 - Desenvolva f (t ) = C [0,2] , em Srie de Fourier: (a = 2

pontos) de senos, (b = 2 pontos) de co-senos.

3 Resolver o Problema de Contorno:

22U U = 0 t U (0, t ) = 0 U (3, t ) = 0 U ( x,0) = f ( x ) = 25

4 Resolver a EQDP:

2 F( x, y ) =0 x yx

77

78

2 2u 1 u = 0 . 1 - Resolver em Coordenadas Cartesianas: c 2 t 2CC: Onda Livre

2 - Resolver em Coordenadas Cilndricas:

2 u = 0 .

CC: u(a, z, ) = 0, u(r, 0, ) = 0, u(r, L, ) = F(r, ). Obs:[a, L

+ ^ F CP([0, a]X[0, 2 ]).X

3 - Encontrar a Srie de Fourier de f(x) = ].

, f CP[- ,

1 Resolver a equao da onda em coordenadas esfricas:

2 2 1 =0 . c 2 t 2

2 Resolver a equao da onda para a membrana circular vibratria de raio a:

2 2u 1 u = 0 . c 2 t 2

CC: u(a, , t) = 0, u(r, , t) = u(r, + 2, t), u < + (r 0).

78

79

CI: u(r, , 0) = F(r, ),

u ( r,,0) =0 . t

3 Resolver a Equao de Laplace ( 2 = 0 ) em coordenadas esfricas:

CC: (a, , ) = F(, ), (r, , ) = (r, , + 2), < + (r 0).

1 Determinar o potencial (resolva 2 = 0 em coordenadas

esfricas) (a) interior a, e (b) exterior a uma esfera oca de raio a, se ametade de sua superfcie (0 < /2) esta carregada com potencial

V (constante) e a outra metade(/2 < ) com potencial zero.


1 2S 2 S =0 . 2 t 2 c

CC: S(a, , t) = 0; S(r, , t) = S(r, + 2, t); 0). CI: S(r, , 0) = F(r, );S ( r,,0) =0 . t

S

< + (r

79

80

3 Resolver a Equao cartesianas:

de Laplace

em coordenadas

2 = 0 .

CC: (a, y, z) = (0, y, z) = (x, b, z) = (x, 0, z) = (x, y, 0) = 0; (x, y, c) = F(x, y).

1 - Encontre a Srie de Fourier para f(t): ab-

f (t ) = t CP[0,1] f (t ) = t CP[0, ] .

2 - Encontre a Srie Dupla de Fourier de F ( x, y) = xy2 , onde

F CP[ R], R [( , ),( , )] .

3 - Resolver o Problema de Contorno:

T 2T =0 t U (0, t ) = 100 U ( L, t ) U x ( L, t ) = 0, > 0 U ( x,0) = f ( x)

4 - Resolver a EQDP:

80

81

U

x +

U

y = 0

1 - Encontre a Srie de Fourier para f(t): ab-

f (t ) = t CP[0,1] f (t ) = t CP[0, ] .

2 - Encontre a Srie Dupla de Fourier de F ( x, y) = xy2 , onde

F CP[ R], R [( , ),( , )] .

3 - Resolver o Problema de Contorno:

T 2T =0 t U (0, t ) = 100 U ( L, t ) U x ( L, t ) = 0, > 0 U ( x,0) = f ( x)

4 - Resolver a EQDP:

U

x +

U

y = 0

1 - Enunciar o Teorema da Existncia e Unicidade das Equaes Diferenciais Lineares

81

82

2 - Escrever o operador Laplaciano em coordenadas cartesianas, esfricas, e cartesianas: cilndricas cilndricas. A partir da expresso em coordenadas deduzir as expresses em coordenadas esfricas e

3 - Mostre que o operador Laplaciano linear

4 - O que so EQDPs?

5 - Escreva uma EQDO no linear 6 - Escreva uma EQDP no linear.

7 - Construa um problema de valor inicial com emprego de uma EQDO

8 - Construa um problema de contorno com o emprego de uma EQDO

9 - Construa um problema de valor inicial e de contorno com o emprego de uma EQDP de segunda ordem

10 - Porque o estudo das EQDPs util em Fsica?

11 - Descreva duas das possveis tcnicas para se resolver uma EQDP

12 - Escreva uma EQDP de terceira ordem

13 - Quando uma EQDO pode ser chamada de normal?

82

83

14 - Quantas solucoes LI sao necessarias para gerar o espaco solucao de uma EQDO de segunda ordem?, porque?.

32 - Exerccios

1 - Definir matriz simetrica

2 - Mostre que L - D: S C[0, ] C[0, ] e simetrica em S com respeito ao produto interno

=

onde sao impostas as condicoes de contorno

3-

Sejam L1, L2: V V transformacoes lineares simetricas. Prove

que a transformacao L1L2 e simetrica se, somente se, L1L2 = L2L1 (ou seja se L1 e L2 comutam).

1. Definir Tranformao Linear Simtrica. 2. Mostrar que todo o par de autovetores associados a autovalores distintos de uma tranformao linear simtrica L : S V , onde S e V so espaos euclidianos, ortogonal em V. 3. Encontre os autovalores e autofuncoes do problema de SturmLiouville

83

84

d 2 y + 4 dy + (4 9 ) y = 0 dx dx2 y(0) = y(a) = 04. Determine todos os autovalores da tranformao linear de R3, definida pela matriz seguinte, determine os autovetores associados aos autovalores reais.

5 6 6 1 4 2 3 6 4

5. Encontre os autovalores e autofunes do problema de SturmLiouville: L

D2

Ly = Y com Y(0) = Y(2) e y'(0) = Y'(2). O

operador L simtrico no subespao S de

C 2[0,2 ], descrito pelas

condies de contorno peridicas acima ?

1- Dissertar sobre problemas de contorno para EQDPS 2- Prove que a funcao U(x, t) e uma solucao da equacao de onda unidimensional, quando f e g sao funcoes duas vezes diferenciaveis. U(x, t)= f(x+vt) + g(x-vt) 3- Resolver a equacao da onda de Schroendinger 4- Dissertar sobre analise de Fourier 5- Resolver a EQCBD com as condicoes de contorno

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85

U(x, 0, t) = 0 U(x, M, t) = 0 Ux(0, y, t) = 0 U(L, y, t) = 0 U(x, y, 0) = f(x, y) = y(M - y)cos( x/L)

6- Um disco anular fino e homogeneo, com as dimensoes indicadas na figura abaixo, encontra-se isolado de tal modo que nenhum calor pode fluir atraves de suas faces. encontre a temperatura estacionaria no disco, quando o bordo interno se mantem a 0, enquanto o bordo externo se mantem a 100. Em que ponto do disco a temperatura sera de 50?

1- Dissertar sobre problemas de contorno para EQDPS 2- Prove que a funcao U(x, t) e uma solucao da equacao de onda unidimensional, quando f e g sao funcoes duas vezes diferenciaveis. U(x, t)= f(x+vt) + g(x-vt) 3- Resolver a equacao da onda de Schroendinger 1DOH 4- Dissertar sobre analise de Fourier 5- Resolver a EQCBD com as condicoes de contorno U(x, 0, t) = 0 U(x, M, t) = 0 Ux(0, y, t) = 0

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U(L, y, t) = 0 U(x, y, 0) = f(x, y) = y(M - y)cos(x/L)

6- Um disco anular fino e homogeneo, com as dimensoes indicadas na figura abaixo, encontra-se isolado de tal modo que nenhum calor pode fluir atraves de suas faces. encontre a temperatura estacionaria no disco, quando o bordo interno se mantem a 0, enquanto o bordo externo se mantem a 100. Em que ponto do disco a temperatura sera de 50?

1 - Calcular

(1 / 2)

2- Calcular j ( ) e ( / 2)0 0

3- Resolver a Equao Diferencial de Legendre com o emprego do mtodo de Frobenius(mostre que = l (l + 1), l = 0,1,2,3,...)12

4- Resolver (coordenadas esfricas!): = c t2 2 2

=02

5- Resolver :

(1, z) = 0 ( r , L) = 0 (r ,0) = f (r ) = r OBS: (r , z )2

86

87

1 - Resolver a EQDP da onda 2 u vibratria (raio a).

1 2u = 0 : membrana circular c 2 t 2

CC: u(a, ,t) = 0, u(r,,0) = f(r,), (u/t)(r,0) = g(r,) = 0.

2 - Resolver a EQDP de Laplace 2 u = 0 ; solues independentes de (esfera de raio a). CC: u(a, ) = f(), para todo de [0, ](f uma funco de CP[-1, 1].

3

-

Resolver

a

equao

da

onda

esfrica

livre

(harmnicas

esfricas/funes de Bessel esfricas).

2.


2 - Encontre os autovalores e autofunes do problema de Sturm-

Liouville:

d 2 y + 4 d y + ( 4 9 ) y = 0 dx d x2 y(0) = y(a) = 0

3 - Um disco anular fino e homogneo, com as dimenses indicadas na figura, encontra-se isolado de tal modo que nenhum calor pode fluir atravs de suas faces. Encontre a

87

88

temperatura estacionria no disco, quando o bordo interno se mantm a 0 C enquanto que o externo se mantm a 100 C. Em que pontos do disco a temperatura ser de 50 C?

4 - Resolver a equao de Laplace 3D:

2 U = 0

CC: U(a, y, z) = U(0, y, z) = U(x, 0, z) = U(x, b, z) = U(x, y, 0) =0 U(x, y, c) = c +).

F ( x, y) CP[ R], R [(0,a),(0,b)] (a, b,

1

Resolver a Equao de Laplace

completa em coordenadas

esfricas:

2 = 0


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89

1 2S 2 S =0 2 t 2 c

3 Resolver a equacao de laplace completa em coordenadas cilindricas:

2 = 0

1 - Resolver a equao de Laplace na regio retangular: [0, L][0, +). CC: u(0, y) = u(L, y) = u(x, +) = 0 e u(x, 0) = sen(x/L).

2 - Resolver a EQDP da onda em coordenadas cilindricas. CC: u(a, t) = 0. CI: u(r, 0) = f(r); (u/t)(r,0) = g(r).

3 - Resolver a EQDP do Calor + CC:

2T T = 0 t U (0, t ) =100 U ( L, t ) U x ( L, t ) = 0, > 0 U ( x,0) = f ( x)

1 - Resolver a equao da onda em coordenadas esfricas.

2 - Resolver a equao de Laplace na regio retangular: [0, L][0, +). CC: u(0, y) = u(L, y) = u(x, +) = 0 e u(x, 0) = f(x) CP[0, L].

89

90

3 - Resolver a EQDP da onda em coordenadas cilindricas. CC: u(1, t) = 0. CI: u(r, 0) = f(r); (u/t)(r,0) = g(r).

4 - Resolver a EQDP do Calor + CC:

2T T = 0 t U (0, t ) =U ( L, t ) = 0, U ( x,0) = f ( x)

3.


2 - Explicar a razo da ortogonalidade das solues regulares da equao de Legendre (Polinmios de Legendre) em CP[-1, 1], com base na identidade de Lagrange.

3 - Dissertar sobre o Problema de Sturm-Liouville. 4 - Resolver a Equao de Laplace:

2 u= 0

CC: u(a, y, z) = u(0, y, z) = u(x, 0, z) = u(x, b, z) = u(x, y, 0) = 0 u(x, y, c) = F ( x, y ) = xy CP [ R], R [( 0, a ), (0, b)] (a, b, c +).


90

91

2 2u 1 u = 0 c 2 t 2

CC: u(0, y, t) = u(L, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, M, t) = 0 (L, M +).

CI:

u( x, y, 0) = f ( x, y ) =x ; y

u( x, y,0)

t

= g ( x, y ) = 0

1.

Definir

Sries

de

Fourier.

2. A funo

f(t)=s n(1) para t [ ,] tal e t

que f(t+2) = f(t)

no pode ser desenvolvida em Srie de Fourier. Qual a razo?

3. Encontre a srie de Fourier:f (t ) =t C [0, L] P

4. Deduzir a equao da onda unidimensional.


2 2u 1 u = 0 c 2 t 2

u(x, 0) = f(x) u`(x,0) = 0

1 Resolver[membrana circular vibratria]:

1 2u 2u =0 . 2 t 2 c

91

92

CC: u(a constante positiva, t) = 0, u < + (r 0). CI: u(r, t = 0) = F(r) CP[0, a], du/dt = 0 em t = 0.

2 Resolver a Equao de Laplace ( 2 = 0 ):

CC: (a - constante positiva, , ) = F(, ) CP[0, ][0, 2], (r, , ) = (r, , + 2), < + (r 0).

3 Ondas sonoras so geradas no interior de uma cavidade esfrica de raio - a. Desejamos investigar as configuraes das ondas estacionrias no interior da cavidade e suas freqncias.

1 Resolver a equao da onda em coordenadas esfricas:

2 2 1 =0 . c 2 t 2


1 2u 2u =0 . 2 t 2 c

CC: u(a, , t) = 0, u(r, , t) = u(r, + 2, t), 0). CI: u(r, , 0) = F(r, ), u ( r,,0) =0 . t

u < + (r

92

93

3 Resolver a Equao de Laplace ( 2 = 0 ) em coordenadas esfricas:

CC: (a, , ) = F(, ), (r, , ) = (r, , + 2), < + (r 0).

1 - Dissertar sobre as funes esfricas de Bessel. 2 - Dissertar sobre as funes harmnicas esfricas. 3 - Calcular as normas dos Polinmios de Legendre e Associados. 4 - Resolver a equao de Laplace em coordenadas cilndricas.

Condies de contorno: u(1, z) = 0, u(r, a) = 0, u(r, 0) = f(r), onde f(r) uma funo de CP[o, 1].

5 Ondas sonoras so geradas no interior de uma cavidade esfrica de raio a Desejamos investigar as configuraes das ondas estacionrias no interior da cavidade e suas freqncias.

Escolha as condies de contorno e iniciais convenientes!

1 - Resolver a equao da onda - membrana circular vibratria.

CC: u(a, t) = 0 CI: u(r, 0) = f(r) ; (u/t)(r,0) = g(r)

2 Resolver a equao da onda esfrica - livre.

93

94

1 2u 2 u =0 2 t 2 c

Escolha as condies de contorno e iniciais convenientes!

3 Mostre que:

ab-

J 1/ 2 ( x) =

2

x sen(x)

d ( J 0 ( x )) = J 1 ( x ) dx

c - ( 1 2 ) = d J 1 / 2 ( ax )

J 1 / 2 ( bx )

em CP[0, 1], se a e b so zeros distintos de

J 1/ 2 ( x) .

1. Resolver a EQDP:

u + u = 0 y x

2. A funo

f(t)= sen(1) para t [T ,T ] tal que f(t+2T) = f(t) t

pode ser desenvolvida em Srie de Fourier? Explicar!

3. Encontre a srie de Fourier: f (t ) =t C [ ,T ], T + P T


94

95

2 2u 1 u = 0 c 2 t 2

u( x,0) = f ( x )

u ( x,0) = 0 t1 - Encontrar a soluo geral da EQDP: /x(u/t) = xt,u e uma funo de C1(R)[(x,y) R onde R e uma regio de x].



95

96

3

-

Resolver

a

EQDP

do

calor

+

CC:


1 - Resolver em Coordenadas Esfricas: 2 u

1 2u = 0 . c 2 t 2

CC: Onda Livre

2 - Resolver em Coordenadas Cilndricas:

2 u = 0 .

CC: u(a, z, ) = 0, u(r, 0, ) = 0, u(r, L, ) = F(r, ). Obs:[a, L

+ ^ F CP([0, a]X[0, 2]).

3 - Encontrar a Srie de Fourier de f(x) =1 -

X

, f CP[- , ].

Uma placa circular de raio unitrio tem suas faces planas

isoladas. Se a temperatura inicial F( ) e se o contorno mantido temperatura zero, determinar a temperatura da placa em um instante arbitrrio.

2 - Resolver (escrever as solues interior/exterior) em Coordenadas Esfricas:2 u = 0 .

96

97

CC: u(a, , ) = F(, ) Com: a - raio da esfera

+ ^ F CP([0, ]X[0, 2]).

3 - Desenvolva - Fourier f(t)

= t,

f CP[0, 2], semi-

srie(a), de senos, (b) de co-senos.1 - Resolver a EQDP da Onda 2 u

1 2u = 0 . 2 t 2 c

Membrana Circular Vibratria (raio a): CC: u(a, , t) = 0, u( , , 0) = f(, ), (u/t)(, , 0) = g(, ) = 0. CC: u((, , t) limitada em = 0.

2 - Determinar o potencial u(r, , )(soluo da equao de Laplace)(1) interior a, e (2) exterior a uma esfera oca de raio a, se a metade de sua superfcie est carregada com potencial V - constante e a outra metade com potencial zero.

3 - Use o Mtodo de Frobenius para achar solues em srie para a EQDO de Bessel (p = 0).

1 - Resolver a EQDP da Onda

2 2u 1 u = 0 . c 2 t 2

Membrana Circular Vibratria (raio a): CC: u(a, , t) = 0, u( , , 0) = f(, ), ( u/ t)(, , 0) = g(, ). CC: u((, , t) limitada em = 0.

97

982 - Determinar o potencial u(r, , )(soluo da equao de Laplace)(1) interior a, e (2) exterior a uma esfera oca de raio a, se a metade de sua superfcie est carregada com potencial V - constante e a outra metade com potencial -V.

3 - Use o Mtodo de Frobenius para achar solues em srie para a EQDO de Bessel(p no inteiro).

Referncias

1 - Murray R. Spiegel, Anlise de Fourier, Coleo Schaum, Editora McGraw - Hill do Brasil Ltda,1976

2 - Rafael I. Junior e Valria de Magales Iorio, Equaes Diferenciais Parciais: Uma Introduo, IMPA, Projeto Euclides, RJ, 1988.

3 - D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuller, e F. W. Perkins, Introduo a Anlise Linear, Volumes 1, 2, e 3, Ao Livro Tcnico S/A e Editora UNB, RJ, 1972.

4 - William F. Ames, Numerical Methods for Partial Diferential Equations, Academic Press, New York, 1992.

5 - Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley & Sons Inc., 1982.

6 - Rodney C. Bassanezi e Wilson C. Ferreira Jr., Equaes Diferenciais com Aplicaes, Editora Harbra Ltda, 1988.

7- E. Butkov, Fsica Matemtica, Guanabara Dois, RJ, 1978.

Lembre-se sempre daquilo que aprendeu.

98

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A sua educao a sua vida; guarde - a bem! (Provrbios de Salomo 4:13) (1000AC)

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LIVRO DE METODOS 11