Livro Do IAVE Matemática - Volume I - Atualização 2015

12.º ANO

Matemática AVol. I Probabilidades e Combinatória

ATUALIZAÇÃO DAS QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS

2015Com Resoluções

Matemática AVol. I – Probabilidades e CombinatóriaAtualização das Questões de Exames Nacionais 2015Com Resoluções

Instituto de Avaliação Educativa, I.P.Travessa das Terras de Sant’Ana, 151250-269 LisboaTel.: 21 389 51 00 Fax: 21 389 51 67E-mail: [email protected]ítio: www.iave.pt

Presidente do Conselho Diretivo do IAVE, I.P.: Helder Diniz de Sousa

Edição: outubro 2015

Execução gráfica: IAVE, I. P.

ISBN: 978-972-8866-81-5 (Matemática A ‒ Obra completa) 978-972-8866-82-2

ÍNDICE

Pág.

Questões de Exames Nacionais 2015 .................................................................................... 4

Itens de seleção .............................................................................................................. 5

Cálculo combinatório. Problemas de contagem ......................................................... 6

Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades ............... 6

Probabilidade condicionada. Acontecimentos independentes .................................. 7

Distribuições de probabilidades ................................................................................. 7

Itens de construção ........................................................................................................ 8

Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace ............................................................. 9


Distribuição normal e distribuição binomial .............................................................. 11

Soluções ................................................................................................................................ 12

Itens de seleção .............................................................................................................. 13

Itens de construção

Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace ............................................................. 14


Distribuição normal e distribuição binomial .............................................................. 17

Formulário ............................................................................................................................. 18

3

QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS

2015

ITENSDE

SELEÇÃO

6

Cálculo combinatório. Problemas de contagem

40. Dois rapazes e quatro raparigas vão sentar-se num banco corrido com seis lugares.

De quantas maneiras o podem fazer, de modo que fique um rapaz em cada extremidade do banco?

(A) 12 (B) 24 (C) 48 (D) 60

41. Nove jovens, três rapazes e seis raparigas, vão dispor-se, lado a lado, para uma fotografia.

De quantas maneiras o podem fazer, de modo que os rapazes fiquem juntos?

(A) 40 140 (B) 30 240 (C) 20 340 (D) 10 440

Definição axiomática de probabilidadePropriedades das probabilidades

16. Seja X, conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (A Ì X e B Ì X).

Sabe-se que:

• ,P A 0 4=^ h• ,P B 0 7=^ h• ,P A B 0 5, =` j

Qual é o valor de P A B,` j ?

(A) 0,6 (B) 0,7 (C) 0,8 (D) 0,9

7

Probabilidade condicionada. Acontecimentos independentes

31. Um saco contém nove bolas indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 9. As bolas numeradas de 1 a 5 são pretas e as restantes são brancas.

Retira-se, ao acaso, uma bola do saco e observa-se a sua cor e o seu número.

Considere os seguintes acontecimentos, associados a esta experiência aleatória:A : «a bola retirada é preta»B : «o número da bola retirada é um número par»

Qual é o valor da probabilidade condicionada P A B_ i ?

(A) 5

2 (B) 2

1 (C) 5

3 (D) 4

3


Sejam A e B dois acontecimentos (A Ì X e B Ì X).

Sabe-se que:

• ,P A B 0 7, =` j• ,P B 0 4=^ h• ,P A B 0 2+ =` j

Qual é o valor de P B A_ i ?

(A) 0,25 (B) 0,3 (C) 0,35 (D) 0,4

Distribuições de probabilidades

24. A tabela de distribuição de probabilidades de uma certa variável aleatória X é

xi 1 2 3P X xi=^ h a 2a 0,4

(a designa um número real)

Qual é o valor médio desta variável aleatória?

(A) ,2 1 (B) ,2 2 (C) ,2 3 (D) ,2 4

ITENSDE

CONSTRUÇÃO

9

Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace

42. Na figura, está representado o poliedro NOPQRSTUV7 A que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. Dispõe-se de sete cores diferentes, das quais uma é branca e outra é azul, para colorir as nove faces do poliedro NOPQRSTUV7 A. Cada face vai ser colorida com uma única cor.

Considere a experiência aleatória que consiste em colorir, ao acaso, as nove faces do poliedro, podendo cada face ser colorida por qualquer uma das sete cores.

Determine a probabilidade de, no final da experiência, o poliedro ficar com exatamente duas faces brancas, ambas triangulares, exatamente duas faces azuis, ambas quadradas, e as restantes faces coloridas com cores todas diferentes.

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas de milésima.

10


50. De uma empresa com sede em Coimbra, sabe-se que:

• 60% dos funcionários residem fora de Coimbra;

• os restantes funcionários residem em Coimbra.

a) Relativamente aos funcionários dessa empresa, sabe-se ainda que:

• o número de homens é igual ao número de mulheres;

• 30% dos homens residem fora de Coimbra.

Escolhe-se, ao acaso, um funcionário dessa empresa.

Qual é a probabilidade de o funcionário escolhido ser mulher, sabendo que reside em Coimbra?

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

b) Considere agora que a empresa tem oitenta funcionários.

Escolhem-se, ao acaso, três funcionários dessa empresa.

A probabilidade de, entre esses funcionários, haver no máximo dois a residir em Coimbra é igual a

CC C80

3

803

323−

Elabore uma composição na qual explique a expressão apresentada.

Na sua resposta:

• enuncie a regra de Laplace;

• explique o número de casos possíveis;

• explique o número de casos favoráveis.


Sejam A e B dois acontecimentos (A Ì X e B Ì X), com P A 0!_ iProve que P A B P B P A P B A1, #− + =_ _ _ _i i i i

11

Distribuição normal e distribuição binomial

6. Um saco contém nove bolas numeradas de 1 a 9, indistinguíveis ao tato.

a) Retiram-se, sucessivamente e ao acaso, três bolas do saco. As bolas são retiradas com reposição, isto é, repõe-se a primeira bola antes de se retirar a segunda e repõe-se a segunda bola antes de se retirar a terceira.

Qual é a probabilidade de o produto dos números das três bolas retiradas ser igual a 2?

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

b) Considere agora a seguinte experiência aleatória: retiram-se, simultaneamente e ao acaso, duas bolas do saco, adicionam-se os respetivos números e colocam-se novamente as bolas no saco.

Considere que esta experiência é repetida dez vezes.

Seja X o número de vezes em que a soma obtida é igual a 7

A variável aleatória X tem distribuição binomial, pelo que

, ,...,P X n C n12

1

12

110 1 10n

n n10

10

!= =−

_ d d ai n n k# -

Elabore uma composição em que explique:

• como se obtém o valor 12

1 (probabilidade de sucesso);

• o significado de 12

11 , no contexto da situação descrita;

• o significado da expressão Cn10 , tendo em conta a sequência das dez repetições da experiência.

SOLUÇÕES

13

ITENS DE SELEÇÃO

Cálculo combinatório. Problemas de contagem

40 41C B

Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades

16C


31 32B D

Distribuições de probabilidades

24B

14

ITENS DE CONSTRUÇÃOCálculo de probabilidades. Regra de Laplace

42. Número de casos possíveis:

Dado que cada face pode ser colorida com qualquer uma das sete cores, há 79 maneiras diferentes de colorir as nove faces do sólido.OUExistem sete possibilidades para colorir, por exemplo, a face PQRU7 A. Para cada uma destas sete possibilidades, existem também sete possibilidades para colorir, por exemplo, a face URV7 A, e assim, sucessivamente, até colorir cada uma de todas as nove faces do poliedro.Portanto, o número de casos possíveis é 79

Número de casos favoráveis:

Existem C C42

52# maneiras de escolher duas das quatro faces triangulares para ficarem brancas

e duas das cinco faces quadradas para ficarem azuis. Para cada uma destas C C52

42# maneiras de

pintar quatro faces do poliedro nas condições exigidas, existem 5! maneiras de colorir as restantes cinco faces com as cinco cores ainda não utilizadas, ficando estas faces coloridas com cores todas diferentes.Portanto, o número de casos favoráveis é !C C 54

252# #

Probabilidade pedida: !,

C C7

50 0002

9

42

52# #

.

15


50.

a) Sejam M e C os acontecimentos:

M: «o funcionário escolhido é mulher»C: «o funcionário escolhido reside em Coimbra»

Como 60% dos funcionários residem fora de Coimbra, tem-se ,P C 0 6=_ iComo o número de homens é igual ao número de mulheres, tem-se ,P M P M 0 5= =_ _i iComo 30% dos homens residem fora de Coimbra, tem-se ,P C M 0 3=_ iPretende-se calcular P M C_ i

De ,P C M 0 3=_ i , conclui-se que ,P M

P C M0 3

+=_

_ii

e, portanto, , , ,P C M 0 3 0 5 0 15+ #= =_ i

Tem-se então: E, completando a tabela, obtém-se:

C C C CM 0,5 M 0,05 0,45 0,5M 0,15 0,5 M 0,35 0,15 0,5

0,4 0,6 1 0,4 0,6 1

Portanto, ,

,P M CP C

P M C0 4

0 05

40

5

8

1+= = = =_ __i i

i

b) Quando os casos possíveis são equiprováveis, a probabilidade de um acontecimento é dada, de acordo com a regra de Laplace, pelo quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis.

Dado que a empresa tem oitenta funcionários e que a experiência consiste em escolher três funcionários da empresa, o número de casos possíveis é o número de maneiras de escolher três dos oitenta

funcionários, pelo que o número de casos possíveis é C803

O acontecimento «haver no máximo dois funcionários a residir em Coimbra» é o acontecimento contrário de «haver três funcionários a residir em Coimbra». Sabe-se que 40% dos funcionários residem em Coimbra e 40% de oitenta é igual a trinta e dois. Assim, o número de casos favoráveis é a diferença entre o número de maneiras de escolher três dos oitenta funcionários da empresa e o número de maneiras de escolher três dos trinta e dois funcionários da empresa que residem em Coimbra. Portanto,

o número de casos favoráveis é C C803

323−

Assim, por aplicação da regra de Laplace, a probabilidade de, entre os três funcionários, haver no

máximo dois a residir em Coimbra é igual a C

C C80

3

803

323−

16

51.

P A B P B P A P B P A B P B

P A P B P A B P B P A P A B

P A B P A B P A B P A B

P AP A

P A BP A P B A

1 1, +

+ +

+ + + +

#+

#

− + = + − − − =

= + − − = − =

= + − = =

= =

_ _ _ _ _ __

_ _ _ _ _ _

_ _ _ _

_ __ _ _

i i i i i ii

i i i i i i

i i i i

i ii i i

17

Distribuição normal e distribuição binomial

6.

a) Número de casos possíveis:

A experiência consiste em retirar, sucessivamente e ao acaso, três bolas do saco. Dado que existem no saco nove bolas diferentes e que cada bola que é retirada é reposta no saco antes de retirar a seguinte, há 93 maneiras diferentes de realizar a experiência descrita.Portanto, o número de casos possíveis é 93

Número de casos favoráveis:Para que o produto dos números das bolas retiradas seja igual a 2, a bola com o número 1 tem de ser retirada duas vezes e a bola com o número 2 tem de ser retirada uma vez. Os resultados favoráveis são as sequências , , , , ,1 1 2 1 2 1_ _i i e , ,2 1 1_ i.Portanto, existem 3 casos favoráveis.

Probabilidade pedida: 9

3

243

13

=

b) A probabilidade de sucesso é a probabilidade de a soma dos números das duas bolas retiradas ser igual a 7. Essa probabilidade pode ser obtida recorrendo à regra de Laplace.

O número de casos possíveis é o número de maneiras de retirar duas das nove bolas. Portanto, o número de casos possíveis é C9 2

Os casos favoráveis são os casos em que são retiradas as bolas com os números 1 e 6, 2 e 5 ou 3 e 4. Portanto, existem 3 casos favoráveis.

Assim, a probabilidade de sucesso é C3

12

192

=

No contexto da situação descrita, 12

11 é a probabilidade de, ao serem retiradas, ao acaso, duas bolas

do saco, a soma dos seus números ser diferente de 7

Finalmente, Cn10 é o número de maneiras de posicionar os n sucessos na sequência das dez provas.

18

Formulário

Geometria

Comprimento de um arco de circunferência:

, , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raioa a- -^ h

Área de um polígono regular: í óSemiper metro Ap tema#

Área de um sector circular:

, , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raio2

2a a- -^ h

Área lateral de um cone: ;r g r raio da base g geratrizr - -^ h

Área de uma superfície esférica: 4 r raio2 -rr ] g

Volume da pirâmide: Área da base Altura31 # #

Volume do cone: Área da base Altura31 # #

Volume da esfera: r r raio34 3r -] g

Progressões

Soma dos n primeiros termos de uma progressão un_ i:

Progressão aritmética: u un

2n1 #

+

Progressão geométrica: urr

11 n

1 # --

Trigonometria

a b a b b asen sen cos sen cos+ = +] ga b a b a bcos cos cos sen sen+ = -] ga b

a ba b

1tg tg tg

tg tg+ =

-+] g

Complexos

cis cis nnt i t= n i^ ^h h

, ,cis cisnk k n n2 0 1 e Nn n f! !t i t i r= + -b ]l g! +

Probabilidades

é ã, ,

,

,

,

p x p x

p x p x

X N

P X

P X

P X

0 6827

2 2 0 9545

3 3 0 9973

:Se ent o

n n

n n

1 1

1 12 2

f

f

1 1

1 1

1 1

.

.

.

n

v n n

n v

n v n v

n v n v

n v n v

= + +

= - + + -

- +

- +

- +

] ^

]]]]

g h

gggg

Regras de derivação

u

u

u

u

u

u

sen cos

cos

tgcos

ln

ln

logln

sen

u v u v

u v u v u v

vu

vu v u v

u n u u n

u u u

u u

uu

e e

a a a a

uu

uu a

a

1

1

R

R

R

n n

u u

u u

a

2

1

2

!

!

!

+ = +

= +

= -

=

=

=-

=

=

=

=

=

-

+

+

l l l

l l l

l l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

^^`^ ^^^^

^^ ^^

^ ^

hhjh hhhh

hh hh

h h

"

"

,

,

Limites notáveis

3

lim

lim sen

lim

limln

lim ln

lim

ne n

xx

xe

xx

xx

xe p

1 1

1

1 1

11

0

N

R

n

x

x

x

x

x

x p

x

0

0

0

!

!

+ =

=

- =

+=

=

=+

"

"

"

"

"

3

3

+

+

b ^

^

^

l h

h

h

Documents

Livro Do IAVE Matemática - Volume I - Atualização 2015