Departamento de Engenharia Qumica da Faculdade de Engenharia da Universidade do PortoNOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DOS FLUIDOS Joo Moreira de Campos3 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposNDICE71. Introduo e conceito de viscosidade71.1 Introduo71.1.1 O que so fluidos?91.1.2 Os Fluidos, a Mecnica dos Fluidos e a Engenharia Qu-mica101.1.3 Um apanhado da histria da Mecnica de Fluidos121.2 Fluidos viscosos121.2.1 Foras que actuam no seio de um fluido131.2.2 Conceito de viscosidade - lei de Newton para um fluido; 161.2.3FluidosNewtonianos-viscosidadedefluidos comuns191.2.4 Variao da viscosidade com a temperatura e presso201.2.5 Fluidos no-Newtonianos251.3 Exercciosde aplicao propostos292. Hidrosttica292.1 Presso num ponto no seio de um fluido302.2 Equao Fundamental da Hidrosttica332.3 Manmetros diferenciais352.4 Foras em superfcies submersas362.4.1 Superfcies planas verticais382.4.2 Superfcies planas inclinadas432.4.3 Superfcies curvas 502.5 Equilbrio relativo562.6 Exerccios de aplicao propostos673. Cinemtica do escoamento de fluidos 673.1 Descrio Eulereana e Lagrangeana de um escoamento683.2 Campo de velocidade683.3 Campo de acelerao703.4 Visualizao do campo de escoamento 703.4.1 Linhas de corrente, trajectrias, linhas de rasto e linhas do tempo743.5 Vectores velocidade e acelerao ao longo de uma linha de corrente763.6 Exemplos propostos de aplicao774 Equao de Bernoulli774.1 Introduo774.2 Equao de Bernoulli ao longo de uma linha de correnteNDICE4 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposNDICE804.32LeideNewtonnadireconormalaumalinhadecor-rente824.4 Aplicaes da equao de Bernoulli824.4.1 Introduo834.4.2. Jactos Livres874.4.3. Medidores de caudal874.4.3.1 Venturi884.4.3.2 Medidor de orifcio894.4.3.3 Descarregadores924.4.4. Medidores de velocidade924.4.4.1. Tubo de Pitot995 Anlise Integral em Volumes de Controlo Finitos 995.1 Anlise diferencial, integral e dimensional1015.2 Teorema do Transporte de Reynolds1015.2.1 Deduo do teorema do transporte de Reynolds1045.2.2 Teorema do transporte de Reynolds generalizado1065.3 Conservao de Massa- Equao da Continuidade1065.3.1 Deduo da equao da continuidade1095.3.2 Carga e descarga de reservatrios1175.3.3. Exerccios propostos de aplicao 1225.4 Equao da Energia- 1 lei da Termodinmica1225.4.1 Deduo da equao da energia1245.4.2 Casos particulares da equao da energia1265.4.3Aplicaodaequaodaenergiaaalgumasmquinas simples1275.4.4 Comparao entre a equao da energia e a equao de Bernoulli1305.4.5Aplicaodaequaodaenergiaaescoamentosno-uniformes1315.4.6 Exerccios propostos de aplicao 1335.5 Equao da Quantidade de Movimento1335.5.1 Deduo da equao da quantidade de movimento1365.5.2 Aplicaes da equao da quantidade de movimento1365.5.2.1 Fora de atrito na parede de tubos137 5.5.2.2 Fora exercida num cotovelo1395.5.2.3 Fora exercida por um lquido em escoamento numa comporta1405.5.2.4 Fora exercida por um jacto sobre uma superfcie1425.5.2.5 Energia degradada numa expanso sbita5 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposNDICE1435.5.2.6 Energia degradada numa contraco sbita1445.5.2.7 Exemplos de aplicao diversos1485.5.3 Exerccios propostos de aplicao 1556 Anlise dimensional, semelhana e modelos 1556.1 Introduo1576.2 Anlise Dimensional1576.2.1 Teorema de H Buckingham1596.2.2 Aplicao do teorema de H Buckingham1596.2.2.1 Escoamento em tubagens1626.2.2.2 Escoamento em torno de objectos imersos1646.2.3AlgumasnotassobreaaplicaodoTeoremadeH Buckingham1656.3 Grupos adimensionais na Mecnica de Fluidos1666.4 Correlao de dados experimentais1686.5 Teoria dos modelos1686.5.1 Semelhana cinemtica, dinmica e geomtrica1706.5.2 Aplicao da teoria dos modelos1706.5.2.1 Escoamento em tubagens1716.5.2.2 Escoamento em torno de objectos1736.5.2.2.1 Fora de arrasto e velocidade terminal1756.5.2.3 Escoamentos com superfcie livre1766.6 Exerccios de aplicao propostos 1817 Escoamentos Laminar e Turbulento1817.1 Introduo1827.2 Escoamento Laminar 1827.2.1 Equao de Poiseuille1927.2.2- Escoamento laminar entre dois tubos concntricos1947.2.3 Escoamento laminar numa coluna de parede molhada1967.2.4Escoamentolaminarnumacolunadeparedemolhada inclinada1977.3 Escoamento turbulento 1977.3.1 Descrio do escoamento turbulento2007.3.2 Perfil de velocidade em escoamento turbulento 2017.4 Exerccios propostos de aplicao2058 Escoamento em tubagens2058.1 Perdas de carga em tubagens- Grfico de Moody2078.2 Caractersticas das tubagens6 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposNDICE2098.3 Perdas de carga localizadas em tubagens2138.4 Perdas de carga em tubagens no circulares2138.4.1 Exemplos2148.5 Exerccios resolvidos sobre perda de carga em tubagens2188.6 Perda de carga em tubagens mltiplas2228.7 Medidores de caudal2238.8 Exerccios propostos de aplicao2279 Camada limite e foras sobre objectos submersos 2279.1 Introduo2279.2 Camada limite laminar numa placa plana imersa num fluido2279.2.1 Conceito de camada limite2299.2.2 Espessura da camada limite numa placa plana- soluo de Blasius2319.3Forasdearrastoedesustentaosobreumobjecto imerso2319.3.1 Introduo2329.3.2 Foras de arrasto e sustentao2339.3.3CoeficientedearrastoemfunodonmerodeRey-nolds2359.4 Fora de arrasto e velocidade terminal2379.5Valorestpicosdocoeficientedearrastoparasistemasa duas e trs dimenses7 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADE1. INTRODUO E CONCEITO DE VISCOSIDADE1.1 Introduo1.1.1 O que so fluidos?As imagens e sensaes mais fortes so as que perduram na nossa memria. Como tal, no h nada melhor do que recorrer a uma imagem forte para compreender a importncia dos fluidos. Com certeza que j assistiram a imagens de pessoas em greve da fome. Ima-gens chocantes em que se assiste a um definhar lento do ser humano. Contudo, porque que no fazem, em sinal de protesto, greve da sede ou greve da respirao? A resposta evidente, os objectivos pretendidos no seriam atingidos, uma pessoa morre num perodo de 3 a 5 minutos se fizer greve da respirao, e entre 8 e 10 dias se fizer greve da sede. O ar e a gua so fluidos, os mais importantes, j que so indispensveis vida de qualquer ser, animal ou vegetal. Contudo no so os nicos, no caso de gases, o dixido de carbono, o hlio, o hidrognio tm propriedades muito semelhantes s do ar e no caso de lquidos, omercrio,osangue,olcool,opetrleo,comportam-sedealgumaformasemelhante gua.A maioria destes fluidos tem uma presena contnua no dia a dia dos seres vivos. Imaginemos o quotidiano de um ser humano, que pode ser o de um qualquer vizinho nosso, e interroguemo-nos sobre muitas das suas aces dirias. Acorda de manh com sono e muitas vezes semselembrarqueacordarestarvivo.Masestarvivonoter todasasfunesvitaisafuncionar?Quaissoasfunesvitais?A respirao em que o ar e o dixido carbono tm um papel importante, osistemacirculatrioondeosanguedesempenhaumpapeltrans-portadordegasesenutrientes,osistemadigestivoondeaguaeo cido clordrico tm uma actividade essencial, e as funes auxiliares, como a funo de excreo do suor e a funo renal, onde a gua e o cido rico so de importncia vital. Mesmo sem pensar no complexo sistemadocorpohumano,ondeosfluidosdesempenhamumaacti-vidade enorme, o nosso vizinho resolve ir tomar banho para acordar. Tiraopijama,quenessediaera75%sinttico,eligaatorneirada gua. Pijama sinttico? Mas donde vm as fibras? Ser que vm das ramasdepetrleo?Eaguaparaobanho?Eogsparaaquecera gua? Se no fossem fluidos poderiam desempenhar aquelas tarefas? Comoteraguaatingidoo15andarondeonossovizinhohabita? 8 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEDepois de tomar banho, veste-se, desta vez todas as suas roupas so 100% algodo, e resolve tomar um copo de leite reconfortante e um iogurte.Leiteeiogurte,tmpropriedadestodiferentes.Seroflui-dos? Como tero sido fabricados? Por quantos processos de transfor-mao tero passado? Sem mais demoras, vai lavar os dentes. gua, pasta de dentes? Quais as semelhanas, quais as diferenas? Sero fluidos? Est atrasado, corre para o carro, olha para o mostrador e v se o carro est em ordem. gua, leo, gasolina? O tubo de escape por onde saem os gases de exausto estar em condies? No dia anterior fazia imenso barulho. Arranca, chove, o vento forte, e por viver ao p do mar sente um leve cheiro a maresia. Quem transporta o cheiro? Se estivesse vento de Nordeste seria bem pior, sentiria o cheiro da fbrica de celulose que dista 10 km de sua casa. Sente dificuldade em guiar nestascondies,emboraoseucarrosejapotenteeassuaslinhas aerodinmicas permitam uma conduo segura em condies adver-sas. No caminho assiste a um desastre, um carro entrou num lenol degua,perdeuascondiesdeadernciaedeuumtoque.Oque queaguatemavercomaaderncia?Ecomospneus?Chegaao trabalho, liga o sistema de ar condicionado e pede que lhe tragam uma gua tnica para ir bebendo durante a manh. Porque ser que a gua tnicalibertatantasbolhasdegs?Passaumavistadeolhospelo jornal.Notciasaterradoras,umvulcoentrouemerupo?Vulco, a lava ser um fluido? Um ciclone, devastou, mais um vez, a costa da Califrnia. Qual seria a velocidade dos ventos? O que ter dado origem ao ciclone? Uma ponte nova no resistiu fora das guas de um rio e ameaa ruir. Quem projecta uma ponte no dever saber calcular a fora da gua dos rios? Um avio, de pequeno porte, teve de aterrar de emergncia devido a um problema relacionado com elevadas tempe-raturas numa asa. Quem projecta avies no deve saber evitar estes problemas? O resto do dia do nosso vizinho foi passado a trabalhar, a comer e a dormir e num grande nmero de situaes voltou a contac-tar com diferentes fluidos e vrias interrogaes poderiam novamente ser levantadas.Como nota final, a palavra fluido significa a substncia que se pode deslocar em liberdade completa (fluido ideal) ou em liberdade restrita (fluido real). O ramo da Mecnica que estuda as leis do movimento e a tendncia ao escoamento dos fluidos a Mecnica de Fluidos. O ramo daMecnicadeFluidosqueestudaemparticularoslquidos(leia-se gua) a Hidromecnica e o que estuda em particular os gases (leia-se ar) a Aeromecnica.9 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADE1.1.2 Os Fluidos, a Mecnica dos Fluidos e a Engenharia QumicaMuitas das respostas s perguntas do nosso vizinho podem ser dadas por um Engenheiro Qumico, outras podero ser mais apropriadamente dadas por Engenheiros Mecnicos, Civis, de Ambiente, ou Aeronuticos.NaEngenheiraQumica,areguaestopresentesnamaioriados processos, e muitos outros fluidos so utilizados para os mais diversos fins.UmEngenheiroQumicolida,namaioriadoscasos,comoquese designa por escoamentos internos, i.e., escoamentos confinados por uma superfcie,quasesempreslida,quefoiprojectadaeconstrudapara promover uma dada operao. Como exemplo, o escoamento de fluidos nasinmeraspeasdeequipamentoquevemosquandopassamosao lado de um grande nmero de Unidades Fabris que processam produtos qumicos, sendo a Petrogal em Lea da Palmeira um exemplo elucidativo. So exemplos deste tipo de equipamentos, os permutadores de calor, as colunas de destilao, os reactores qumicos, os tanques de armazena-gem e em particular as tubagens que ligam entre si estas peas. E o que que a Mecnica de Fluidos permite ao Engenheiro Qumico saber sobre o funcionamento destas peas de equipamento?Permite responder a perguntas tais como:Qual a velocidade e a presso do fluido num dado ponto, ou sec- -o recta, do escoamento?Queforasofluidoexercesobreasparedesqueconfinamo-escoamento?Como que a forma e as dimenses do equipamento influenciam-o escoamento?Dequeformaapressoeavelocidadedoescoamentopodem-ser medidas?Quepotncianecessriaparabombearumfluidoemescoa- -mento?Como que se pode extrapolar resultados de estudos em mode- -los para equipamentos escala real?Muitas destas questes no servem s para caracterizar o escoa-mento, so essenciais para estudar outros processos, nomeadamente aquelesqueenvolvemtransfernciadecalore/outransfernciade massa. Um caf arrefece mais rapidamente se soprarmos, aumentando avelocidadederenovaodoar,doqueseodeixarmoscalmamente 10 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEpousado sobre a mesa do caf. Uma esfera de naftalina sublima mais rapidamentequandocolocadaemcimadeumarmrio,sujeitades-locao e renovao do ar de uma sala, do que quando fechada numa gaveta sem ar em circulao. Estes exemplos, embora faam parte do dia a dia de cada um, so semelhantes a muitos outros que se passam em vrios processos da Engenharia Qumica, e mostram a necessidade do conhecimento daMecnica de Fluidos.Antes de iniciar o estudo da Mecnica dos Fluidos, vamos conhecer alguma coisa sobre a sua histria, j que ela est intimamente ligada Histria Universal. 1.1.3 Um apanhado da histria da Mecnica de FluidosO que mais impressiona quando nos debruamos sobre a histria da Mecnica de Fluidos o enorme nmero de conceitos que hoje aplicamos com grande sucesso e que foram descobertos h centenas, e alguns h milhares de anos. Quem imagina ao tomar banho numa praia cheia de motasdegua,barcosderecreio,quetudocomeouduzentosanos antes de Cristo com Arquimedes a descobrir o princpio da impulso? O sculo XX foi sem dvida o sculo do desenvolvimento tecnolgico, mas a grande e complicada tarefa de interpretao dos fenmenos fsicos, i.e. a construo dos alicerces do grande edifcio, foi feita ao longo de muitossculos,utilizandoequipamentomuitosimpleseumagrande dose de gnio. Desafio os alunos no fim do semestre a lerem novamente a cronologia da Mecnica de Fluidos e a situarem no tempo tudo aquilo que aprenderam, ficaro certamente impressionados.Algumas descobertas importantes para o progresso da Mecnica de Fluidos e respectivas datasAMecnicadeFluidos,talcomoamaioriadasCinciasExactas nasceu e floresceu quando o Homem passou a acreditar nas suas pos-sibilidades e a pr em prtica o seu esprito crtico, observando, expe-rimentandoeteorizando.Nestabrevecronologiaestbempatenteo desenvolvimento da Mecnica de Fluidos a partir do chamado perodo do conhecimento, o perodo Renascentista.287-212 A.C.Arquimedesestabeleceuosprincpioselementaresda impulso.11 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADE1452-1519Leonardo da Vinciestabeleceu os princpios elementares da continuidade de massa.1564-1642Galileu Galilei impulsionou a Mecnica de Fluidos experi-mental.1608-1647Torricellimediu a presso atmosfrica atravs da altura baromtrica.1623-1662 Pascal clarificou princpios baromtricos e de transmisso de presso.1642-1727IsaacNewtonestudouaresistnciaaoescoamentode fluidos - regimes inercial e viscoso.1695-1771Pitot construiu o primeiro equipamento para medir o perfil de velocidade num escoamento.1700-1782Bernoulli adaptou princpios termodinmicos para explicar a carga cintica de um fluido em escoamento.1707-1783Euler formulou a equao de Bernoulli, bem como equa-es bsicas de escoamento de fluidos. Introduziu os con-ceitos de cavitao e de centrifugao.1746-1822Venturirealizou testes de escoamentos em contraces e expanses.1785-1836Louis Navier estabeleceu as equaes microscpicas, ao nvel de foras intermoleculares, de escoamento de fluidos.1789-1857Cauchyestudouapropagaodeondasdepressoem fluidos.1797-1884Hagenestudouaresistnciaaoescoamentoemregime transitrio (laminar/turbulento).1799-1869Poiseuille estudou a resistncia ao escoamento em tubos capilares - regime laminar.1810-1879Froude desenvolveu estudos de similaridade entre mode-los e prottipos.1819-1903Stokesderivouanaliticamentevriasequaesdeesco-amento.Estudouoescoamentodelquidosemtornode esferas.1838-1916Machiniciou estudos em escoamentos supersnicos.1842-1912Osborne Reynolds descreveu experincias em vrios cam-pos: cavitao, similaridade em modelos e escoamento em tubos.1867-1940Buckingam desenvolveu a anlise dimensional.1875-1953Prandtlintroduziu o conceito de camada limite.1880-1953Moody props um mtodo para correlacionar a resistncia ao escoamento em tubos.12 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADE1881-1963Von Karman deu contribuies importantes nos domnios daturbulncia,dacamadalimiteedaseparaodeum escoamento.1883-1970Blasiuscorrelacionouaresistnciaaoescoamentoem tubos com o nmero de Reynolds.1.2 Fluidos viscosos1.2.1 Foras que actuam no seio de um fluido No seio de um fluido actuam foras distncia e por contacto. A foradagravidadeumexemplodeumaforaqueactuadistn-cia,enquantoasforastangenciaisenormaisquesedesenvolvem nointeriordofluidosoexemplosdeforasdecontacto.Asforas tangenciaissodesignadasporforasdecorte(Fc)easforasnor-maisporforasdepresso(Fp).Asforasdecontactosoforas distribudas ao longo da superfcie onde actuam, na maioria das vezes de uma forma no-uniforme. Por serem distribudas, estas foras so normalmente referenciadas unidade de rea, passando a designar-se por tenses.Tomando uma rea infinitesimal oA onde actuam foras de contacto, define-se:dAdFpdFclimddpAFAFAp p0 dd= =" d(1.1)limddAFAFAc c0xdd= =" d(1.2)13 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEA tenso normal p designa-se por presso e a tangencial t por ten-so de corte. Se a distribuio das tenses ao longo de uma superfcie for conhecida, as respectivas foras podem ser determinadas por inte-grao. ( )d F pA A pA=#(1.3)( )d F A A CAx =#(1.4) 1.2.2 Conceito de viscosidade - lei de Newton para um fluidoOconceitodeviscosidadedeumfluidoestintimamenteligado resistnciaqueumfluidoopeaoseudeslocamento.Paraintroduzir este conceito, considerem-se duas placas planas paralelas de compri-mentoinfinitoeseparadasporumapequenadistnciay0.Numdado instante, t = 0, o espao entre as placas est cheio com um fluido em repouso.Paradeslocar,segundoadirecox,aplacasuperiorcom uma velocidade v0 necessrio aplicar uma fora exterior F de forma a vencer a resistncia ao movimento oferecida pelo fluido. A intensidade destaforaexteriordependedareadaplaca,dotipodefluidoeda velocidade v0 que se pretende imprimir placa. Pode-se eliminar o efeito da rea, tomando a fora que se exerce por unidade de rea. Pelo princpio da aco-reaco, esta fora exterior igual, inten-sidade,direcoesentido,foraqueaplacaexercesobreofluido adjacente. A fora que o fluido adjacente exerce sobre a placa tem igual direco e intensidade mas sentido contrrio.yoFyxFluidov0Demonstra-se que para valores reduzidos de v0 e de y0 , o perfil de velocidadequesedesenvolvenofluidolinearepodeserexpresso analiticamente por:14 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADE( ) v yyvy x00= (1.5)v0yx0yoSendo o perfil linear, a variao de vx ao longo de y constante :ddyvyv x00= (1.6)Conhecido o perfil, pretende-se saber onde estaro situados os ele-mentosdefluido,inicialmente(t=0)nalinhaaa`,otsegundosaps o incio do movimento da placa. Pela condio de no-deslizamento, o elemento de fluido adjacente placa em movimento percorre durante o intervalo de tempo ot uma distncia v0ot, enquanto o elemento de fluido adjacente placa parada se mantm imvel . yov0aav t0Nos fluidos mais comuns, gua e ar, observa-se uma relao de pro-porcionalidade entre a tenso de corte t no interior do fluido e a resul-tante taxa de deformao do fluido expressa por du/ot:t\ xddi(1.7)15 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEPor consideraes geomtricas e admitindo que o valor da tangente deumnguloinfinitesimalbemaproximadopelovalordoprprio ngulo, obtm-se o valor da taxa de deformao:tgyvtt yv0000" , di di dddi= = (1.8)Combinando as equaes (1.6) - (1.8) resulta:ddddyvyv x x\ x n = (1.9)A constante de proporcionalidade, , designa-se por coeficiente de vis-cosidade ou simplesmente por viscosidade. A variao de vx ao longo de y constante, perfil de velocidade linear, pelo que a tenso de corte no interior do fluido ao longo das diversas camadas igualmente constante. H alguma semelhana entre a tenso de corte num fluido e a fora de atrito quando h movimento relativo entre slidos. Um exemplo ilus-trativooqueaconteceaumbaralhodecartasquandosepretende deslocar horizontalmente a primeira carta:se a superfcie das cartas for muito polida, o atrito entre as car- -tasmuitoreduzido.Quandosedeslocaaprimeiracarta,as queestoimediatamenteaseguirnosofremqualquerdeslo-camento. Considere que o deslocamento da primeira carta l1 quando se aplica a fora F durante o tempo t;se a superfcie das cartas for ligeiramente rugosa, o atrito entre-as cartas aumenta. Quando se desloca a primeira carta, as que esto imediatamente a seguir deslocam-se, observando-se uma grande diferena entre o espao percorrido por cada uma. Se se aplicar a fora F durante o tempo t, o deslocamento da primeira carta l2 < l1;se a superfcie das cartas for muito rugosa, a maioria das cartas des- -loca-se, mas no se observa uma grande diferena entre o espao percorrido por cada uma. Se se aplicar a fora F durante o intervalo de tempo t, o deslocamento da primeira carta l3 < l2 < l1. Que concluses se podem tirar comparando este exemplo com o do fluido posto em movimento pela fora aplicada placa?O atrito (a viscosidade) responsvel pelo movimento das car- -tas que se encontram por baixo da primeira carta (semelhante 16 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEaomovimentodascamadasdefluidoqueseencontramsub-adjacentes que est em contacto com a placa).Aplicando a mesma fora, quanto maior o atrito (viscosidade)-menoravelocidadededeslocamentodaprimeiracarta(do fluido adjacente placa).Umatritomuitoelevado(elevadaviscosidade)fazcomqueas-cartassedesloquemlentamente,quaseapar(queofluidose desloque quase em bloco). A variao de velocidade das cartas na direco normal ao baralho pequena (a variao de veloci-dade no fluido na direco normal ao escoamento igualmente pequena).A grande diferena que nos slidos o atrito resultado da forma, tipo de material e acabamento das superfcies em contacto, enquanto que nos fluidos a resistncia ao escoamento processa-se ao nvel mole-cular e est intimamente ligada ao tamanho, e energia das molculas (interna e intra-molecular).1.2.3 Fluidos Newtonianos - viscosidade de fluidos comunsOs fluidos em que se observa uma proporcionalidade directa entre a variao de velocidade (dvx/dy) e a tenso de corte (t), designam-se por fluidos Newtonianos. A constante de proporcionalidade a viscosidade, tambm chamada de viscosidade dinmica. AmaioriadosfluidostemcaractersticasNewtonianas,sendoos mais comuns: a gua, o benzeno, o alcool etlico, o tetracloreto de car-bono, o hexano, etc; as solues aquosas de sais inorgnicos e de au-cares; o hidrognio, o azoto, o ar, etc.A tabela seguinte mostra valores da viscosidade dinmica de alguns fluidos Newtonianos a 1 atm e 20 C, sendo de realar a grande dife-renaentreaviscosidadedoslquidoseadosgases,enocasodos lquidos a elevada gama de valores. A gua 1500 vezes menos viscosa que a glicerina pura.A unidade da viscosidade dinmica no sistema Internacional o Pa.s [kg/(m.s)], e no sistema c.g.s. o Poise [g/(cm.s)]. Facilmente se conclui que 1 Poise = 0,1 Pa.s.Frequentemente,aviscosidadedinmicaaparecedivididapela massa volmica e designa-se esta razo por viscosidade cinemtica:17 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEytn= (1.10)No sistema c.g.s. a unidade da viscosidade cinemtica o Stoke (St), equivalendo 1 St a 10-4 m2/s.Tabela 1- Viscosidade de fluidos Newtonianos a 1atm e 20CFluido (Pa.s)( ) H2 nnHidrognio 8,9 x 10-6 1Ar 1,8 x 10-5 2,1Gasolina 2,9 x 10-4 33gua 1,0 x 10-3 114lcool 1,2 x 10-3 135Mercrio 1,5 x 10-3 170Azeite 0,084 9440Glicerina 1,5 168000Exemplo 1.1gua est em escoamento no interior de um tubo circular sendo o perfil de veloci-dade numa dada seco recta do tubo dado analiticamente por:( ) ( ) v r R r4x2 2nb= -emque|umaconstante,radistnciaradialmedidaapartirdoeixo,Roraio interno do tubo, e vx(r) a velocidade do fluido ao longo da direco x na posio r. DxrCalcule a tenso de corte na parede do tubo e no interior do fluido na posio r=R/2. Se o perfil persistir numa distncia de tubo L, calcule a fora exercida pela gua sobre o tubo ao longo deste comprimento.SoluoPor se tratar de um fluido Newtoniano, a intensidade da tenso de corte na parede dado pela lei de Newton aplicada a fluidos:ddrv rr Rxr Rx n ===^chmA variao da velocidade com r junto parede pode ser conhecida a partir do perfil de velocidade:18 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEddddrv rrrv rR 2424r Rx x"nbnb=- =-=^ ^ch hmA tenso de corte na parede calcula-se combinando as duas equaes anteriores:RR24 2r R x nnb b= = =Seguindo o mesmo raciocnio, agora para r=R/2:ddddddrvrvrrvRR24 4 4////r Rr Rr Rr Rxx x2222 " "x nnbnbxb==- =- =====``jjPelo facto de o perfil no ser linear, a tenso de corte no interior do fluido varia aolongo de r, aumentando desde o eixo do tubo, onde o seu valor nulo, at parede, onde seobserva o valor mximo. A tenso de corte exercida pelo fluido sobre a superfcie internado tubo,no sentido do escoamento, uniforme ao longo de todo o comprimento L do tubo,pelo que a intensidade da fora que o fluido exerce sobre a parede dada por:dF A Frdv rRL 2 r Rr Rx" x n r = ===^chmSubstituindo, determina-se a chamada fora de atrito sobre o tubo, Ff:F R L f2r b =Exemplo 1.2Um veio cilndrico de raio Ri gira no interior de um tubo igualmente cilndrico de raioRe. O espao entre tubos preenchido por uma graxa de viscosidade . Determine apotncia mecnica necessria para que o tubo interior gire a uma velocidade de rotaoconstante n (rpm). Suponha uma distribuio linear de velocidade na graxa. A potnciaa fornecer dada pelo produto do momento da fora de corte da graxa sobre o veio emrotao pela sua velocidade angular.Dados: Ri = 40 mm; Re = 41 mm; = 4x10-3 Pa.s; n = 1200 rpm e L = 150 mm DiDeSoluoSegundo o enunciado, a velocidade da graxa varia linearmente com r:v r vR RR rr Re iei=--=^ hRecorrendo definio de fluido Newtoniano, calcula-se a tenso de corte exercidapelo fluido no veio em rotao:19 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEddrvR Rv/ r R e ir R2r Rixr Rii" x n x n = =-=== = ` jDe acordo com esta equao, a tenso de corte uniforme sobre toda a superfcie lateraldoveio,nodependendodacoordenadaaxialx.Asvelocidadestangenciale angular esto relacionadas:v Rr R ii~ ==Substituindo na equao anterior, obtm-se:R RRr Re iiix n~=-=Se o veio gira a uma velocidade angular constante, a intensidade do momento apli-cado por via mecnica, momento activo, tem de ser igual ao momento da fora de corte aplicado pela graxa na superfcie lateral, momento resistente. Contudo, o sentido des-tes momentos contrrio. O momento da fora de corte na superfcie lateral dado pelo produto da intensidade da fora de corte, uniforme ao longo da superfcie lateral, pelo brao. A fora de corte tangente superfcie lateral em cada ponto, pelo que o brao, distncia na perpendicular entre o vector fora e o eixo do veio, coincide com o raio Ri. O brao sempre o mesmo ao longo de toda a superfcie lateral, pelo que:M R R L MR RRL22F i r R i Fe ii3corte i corte" x rrn~= =-=^ hApotnciaaforneceraoveiodadapeloprodutodomomentopelavelocidade angular (e = 2tn/60):P MR RnRL18002Fe icortei3 2 3~rn=- ^ h1.2.4 Variao da viscosidade com a temperatura e pressoA viscosidade dos gases e da maioria dos lquidos aumenta modera-damente com a presso; a gua uma excepo j que diminui mode-radamente. A viscosidade dos gases aumenta com a temperatura. Duas expres-ses (entre muitas) que traduzem esta variao so a lei da potncia e a lei de Sutherland:TTn0 0.nnc m(Lei da potncia)(1.11)em que 0 representa a viscosidade conhecida temperatura T0 e n funo do tipo de gs;20 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADElnT ST T T S003 20.nn++ ^ ^ h h(Lei de Sutherland)(1.12)em que S funo do tipo de gs.Aviscosidadedoslquidosdecrescecomatemperaturadeuma forma exponencial. Os resultados experimentais so bem ajustados por uma funo do tipo:ln a bTTTT00 02.nn+ +c m(1.13)Estas expresses e muitas outras podem ser encontradas em vrios livros sobre propriedades termodinmicas de fluidos. 1.2.5 Fluidos no-NewtonianosH inmeros fluidos em que no se observa uma proporcionalidade entre a tenso de corte e a variao da velocidade na direco normal ao escoamento. Na figura esto representados as diversas funcionali-dades que se observam na maioria dos fluidos que tm na sua estrutura molculas maiores do que as da gua ou que tm na sua composio uma elevada concentrao de partculas slidas em suspenso.u NewtonianoDilatanteBinghamPsedoplsticod/ d v yFluidos PseudoplsticosNos fluidos Pseudoplsticos ou reofluidificantes a razo [t/(dv/dy)] diminui para valores crescentes da tenso de corte aplicada; o declive 21 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEemcadapontodacurvarepresentadanafiguraseguintediminui medida que o valor da tenso de corte aumenta.So exemplos de fluidos Pseudoplsticos as lamas, pastas, sangue, solues polimricas, colas e leos pesados. Os leos pesados so um exemplo curioso, j que as caractersticas pseudoplsticas permitem que sejam usados quer como lubrificantes, quer como vedantes. Nos apoios de motores, onde as tenses de corte so elevadas, os leos pesados so pouco viscosos permitindo a lubrificao, e nas juntas, onde as tenses de corte so reduzidas, so muito viscosos permitindo a vedao. Pseudoplsticosd/ d v yAB Fluidos DilatantesNos fluidos Dilatantes a razo [t/(dv/dy)] aumenta para valores cres-centesdatensodecorteaplicada;odeclivedacurvarepresentadana figura aumenta medida que o valor da tenso de corte tambm aumenta. So exemplosde fluidos dilatantes ou espessantes as solues aquosas de farinha. Dilatantesd/ d v yAB22 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEFluidos de BinghamEstes fluidos apresentam elevada resistncia (infinita) para baixas tenses de corte. So exemplos bem conhecidos a pasta de dentes e as geleias.Apastadedentessentraemescoamentoquandoseaplica uma tenso superior a t0 (tenso de cedncia).Bingham0d/ d v yFluidos Tixotrpicos e ReopticosSo fluidos que quando sujeitos a uma tenso de corte, a variao de velocidade na direco normal ao escoamento varia com o tempo. H dois tipos, os Tixotrpicos e os Reopticos. Os fluidos Tixotrpicos so aqueles em que a viscosidade diminui comotempo.Soexemplosastintas.Astintassomuitoviscosas quando se abre uma lata e se procede sua homogeneizao, agitando com o pincel, o que impede o assentamento dos pigmentos durante o perododearmazenagem,massomuitomenosviscosasquandose inicia a sua aplicao. Os fluidos Reopticos so aqueles em que a vis-cosidade aumenta com o tempo.OsfluidosViscoelsticossocaracterizadosporvoltaremaoseu estado inicial logo aps cessar a tenso aplicada.1.2.6 Viscosmetro de cilindros coaxiaisExemplo 1.3Umviscosmetrodecilindroscoaxiaisestrepresentadonafigura.Ocilindro externo,dedimetroDe,estligadoaumeixoquelhetransmiteumavelocidadede rotao, e. O cilindro interno, de dimetro Di, est suspenso por um fio calibrado para 23 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEmedir esforos de toro. O cilindro externo transmite movimento de rotao ao fluido viscoso e este por sua vez transmite movimento ao cilindro interno. O fio torce at que o momento da reaco do fio toro equilibra o momento da fora de corte exercida pelo fluido sobre o cilindro interno. Atingido este equilbrio, o cilindro interno deixa de rodar. Acoplado ao fio, h um ponteiro que indica o momento de toro, Mt. Determine a expresso que permite calcular a viscosidade de um fluido a ser tes-tado, em funo de Mt, Di, De,H,ae da velocidade e. Admita perfis lineares de velo-cidade no lquido. HDiDearyMtSoluoA intensidade do momento aplicado pelo fluido ao cilindro interno igual soma da intensidade dos momentos aplicados na superfcie lateral e na base do cilindro. Ambos tm direco segundo o eixo do cilindro e igual sentido, o mesmo sentido de rotao do cilindro exterior.Intensidade do momento aplicado na superfcie lateral pela fora de corteO perfil da velocidade tangencial no lquido em rotao linear (sugerido no enun-ciado). Na figura seguinte est representada uma vista de topo que permite visualizar o perfil de velocidade. Analiticamente o perfil dado por:( ) vr vR Rr Rr Re iie=--=e R rv=A tenso de corte na parede do cilindro interior dada por:( ) ddrvrR Rvr Rr Rr Re ir Riiii" x n x n = =-====c m24 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEA velocidade tangencial relaciona-se com a velocidade angular: v r v R r r R e e" ~ ~ = ==Substituindo na equao anterior obtm-se:R RRr Re ieix n~ =-=Aintensidadedomomentodaforadecorterelativamenteaoeixodocilindro dada pelo produto da intensidade da fora de corte, tangencial superfcie lateral do cilindro, pelo respectivo brao. O brao a distncia, na perpendicular, do vector fora ao eixo do cilindro. Esta distncia igual ao raio do cilindro ao longo de toda a superf-cie lateral. A intensidade do momento aplicado pelo fluido na superfcie lateral,MFLo , ento dada por:M R F M R R H MR RRRH22F i L F i r R i Fe ie i2L L i L" " x rrn~= = =-=o o o^ hIntensidade do momento aplicado na base do cilindro pela fora de corteryav y,r ( )rebatimento do perfilOperfildevelocidadenolquidoemrotaolinear(sugeridonoenunciado)ao longodacoordenadayrepresentadanafigura.Contudo,avelocidadetangencialdo fluido alm de variar com y varia igualmente com r. Analiticamente o perfil da veloci-dade tangencial dado por:( , ) ( , ) ( , ) vr y vrayvr 0 0 =- +A tenso de corte na base do cilindro interior (y=a) funo de r:,( ,,, dr adyvr yr aav r 0y a" x n x n = ==^ c ^^h m hhMas v(r,0) = er, resultando:, r aarx n~ = ^ hPelo facto da tenso de corte variar com r (fora distribuda no uniforme) neces-srio encontrar uma rea infinitesimal onde, no limite, quando or tende para 0, a ten-so de corte tenda para um valor uniforme. A rea da coroa infinitesimal representada na figura, cuja espessura or, satisfaz esta condio; quando or tende para 0 a rea tende para uma linha onde a tenso de corte uniforme.25 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADE rrO valor desta rea dado por:A r r r A r r 222" d r d r d rd = + - = ^ h 6 @A intensidade do momento da fora de corte, fora tangencial, que se exerce nesta rea infinitesimal dada por:, M r r r a r 2 F F B Bd d x rd = = ^ hIntegrando ao longo do raio obtm-se: d M rarraR22FRi04Bin~ rrn~= =#Somando a intensidade dos dois momentos:M MaRR RRRH22F Fie ii e2L B4rn~ rn~+ = +- ^ hAintensidadedomomentodaforadecortenasuperfciedocilindroigual intensidadedomomentodetorodofio,Mt.Resolvendoemordemviscosidade, obtm-se:RR RRHaRM24ie ie it22nr~=-+ c m1.3 Exercciosde aplicao propostos1.1Um veio de ao ( = 7850 kg/m3) com 30 mm de dimetro e 400 mm de comprimento cai, sob a aco do seu prprio peso, no interior de um longo tubo vertical com 30,2 mm de dimetro, aberto nos extremi-dades. O espao entre o veio e o tubo est cheio com glicerina a 20 C ( = 1,5 Pa.s). Determine a velocidade terminal do veio.26 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADE1.2Oespaoentreduasplacasplanasseparadasde25mm estcheiocomumlquidodeviscosidade0,7Pa.s.Noseiodo lquido,a6mmdeumadasplacas,postaemmovimento,veloci-dade150mm/s,umanovaplaca,muitodelgada,comdimenses 250 mm x 250 mm . Assumindo variaes lineares de velocidade no lquido, determine a fora que este exerce sobre a placa em deslocamento.1.3Umblocodefacesquadradas(200mmdearesta)pesa1 kNe desliza num plano inclinado ao longo do qual escorre uma pelcula de leo de 0,0050 mm de espessura. Supondo que o perfil de velocidade no leo linear, calcule a velocidade terminal do bloco. A viscosidade do leo 7 cP.201 kN0,0050 mm1.4A figura mostra dois pratos distanciados de 1 cm, o inferior est fixo e o superior, de peso desprezvel, em deslocamento uniforme sob aacodeumamassade25kg.Seofluidoentreospratosforleo (viscosidade 0,650 Pa.s) e a rea de contacto do prato superior com o leo 0,75 m2, determine a velocidade do prato superior. Admita perfil de velocidade linear no leo. 1 cmPrato mvelPrato fixo25 kgleo1.5Um cilindro vertical roda no interior de um outro cilindro montado coaxialmente. Entre os cilindros existe uma pelcula de leo de visco-sidadeeespessurae.Seocilindrointeriorrodaraumavelocidade 27 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEangular de n rps (o exterior est parado) e tiver um dimetro D, qual o momento (binrio) que necessrio aplicar? Assuma perfil linear de velocidade entre os cilindros. eD1.6Umapelculadeleocom0,13mmdeespessuraseparadois discos,cadaumcom200mmdedimetro,montadoscoaxialmente. Calculeomomento(binrio)necessriopararodarumdosdiscosa uma velocidade de 7 rps relativamente ao outro. A viscosidade do leo 0,14 Pa.s.1.7Afigurarepresentaumviscosmetroconstitudoporummotor elctricoqueaccionaumtamborcilndricodedimetro50mmcolo-cado coaxialmente no interior de outro cilindro. O espao entre os cilin-drospreenchidoporumfluidocujaviscosidadesepretendemedir, sendoaespessuradacamada0,2mm.Omotorproduzummomento (binrio)constantede0,05N.mparaqualquervelocidadeentre 0 e 1000 rpm. A velocidade de rotao medida por um conta-rotaes montado na extremidade livre do veio. Calculeaviscosidademnimaquepossvelmedircomestea. dispositivo.Admitaumadistribuiolineardevelocidadeno fluido.28 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposINTRODUO AO CONCEITO DE VISCOSIDADEEstemtododemedidapoderserprejudicadoporumeven- b. tual aquecimento do fluido dentro do dispositivo. Estabelecendo umaexpressoparaapotnciacalorficadissipada,faauma anlise quantitativa e diga em que casos, grande viscosidade ou pequena, o aquecimento poder tornar-se importante. conta-rotaesmotor500 mm29 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICA2. HIDROSTTICA2.1 Presso num ponto no seio de um fluidoUm fluido em repouso no est sujeito a tenses de corte. No elemento infinitesimal de fluido representado na figura, paraleleppedo seccionado por um plano diagonal, s actuam tenses normais. Por ser infinitesimal, as suas dimenses podem ser to reduzidas quanto se desejar, pelo que no limite, o elemento representa um ponto no seio do fluido.pyyxzpxpxyooUmelementodefluidoestemrepouso,quandoascondiesde equilbrio esttico so verificadas, nomeadamente o somatrio vectorial das foras que sobre ele actuam nulo.Equilbrio de foras na direco ox :sen p zy p z x y x2 2dd id d d = + i ^ ^ h h (2.1)p zy px yyz x y p p x x2 22 2( ddd ddd d d =++ = i i^ ^^ ^h hh h (2.2)pypxpo30 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAEquilbrio de foras na direco oy :cos p zx gxyzp z x y2y2 2dd td d did d d + = + i ^ ^ h h (2.3)p zx gxyzx yxz x yp p gy22yx2 22 2(dd td d dtd ddd d dtd+ =++= +ii^ ^^ ^h hh h(2.4)Tomandoolimox,oy,oz0oelementoreduz-seaumponto no seio do fluido e de acordo com as equaes (2.2) e (2.4) conclui-se que:p p p x y = = i (2.5)Estaigualdademostraquenointeriordeumfluidoemrepouso apressonumpontoexerce-secomigualintensidadeemtodasas direces. 2.2 Equao Fundamental da Hidrosttica Aequaofundamentaldahidrostticaresultadaaplicaodas condies de equilbrio esttico necessrias para o fluido permanecer emrepouso.Considereoelementodefluidoinfinitesimal,deforma cbica, representado na figura.Equilbrio segundo a direco oz :zzpp +yzxz0px g z xy31 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAA presso na face inferior do elemento p, e na superiorpzpz22d +, representando zpz22d avariaodepressonointeriordofluidonum comprimento infinitesimal .De um balano de foras segundo a direco ozresulta:0 gzxy pzpz xy pxyzpg "2222t dd d d d d d d t - - + + = =- c m (2.6)Equilbrio segundo a direco ox : xxpp +xz0pyzxDe um balano de foras segundo a direco oxresulta:0 pxpx yz pyzxp0 "2222d d d d d - + + = = c m (2.7)Equilbrio segundo a direco oy :De um balano de foras segundo a direco oyresulta:xzy0pyzxyypp +0 0 pypy xz pxzyp"2222d d d d d - + + = = c m (2.8)32 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICADo equilbrio nas trs direces conclui-se que:no interior de um fluido em repouso h uma variao de presso-aolongodadirecovertical,negativanosentidocontrrioao do vector acelerao da gravidade;aolongodosplanosperpendicularesaovectoraceleraoda-gravidade, a presso constante, i. e., os planos horizontais so planos isobricos.As concluses anteriores podem ser condensadas em notao vec-torial:gradxpiypjypk p g222222t + + = =v v vv v(2.9)Fluidos incompressveisSempre que a variao da massa volmica com a presso pouco significativa, o fluido pode ser tratado como incompressvel. No caso de umfluidoincompressvel,aequaogeraldahidrostticaintegra-se facilmente entre dois pontos de um fluido em repouso:d d p g z p p ghppzz1 21212& t t =- = + # # (2.10)hp2 z2p1 z1zAalturah,frequentementedenominadaporcargadepresso, representa a altura de uma coluna de lquido, com peso volmico = g, necessria para obter uma diferena de presso p1 - p2. 33 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAFluidos compressveisOs gases so, contrariamente aos lquidos, fluidos compressveis em particular quando escoam a elevada velocidade, pelo que a sua massa volmica varia com a presso. Assim, para integrar a equao funda-mental da hidrosttica necessrio conhecer a equao de estado do gs. Se o gs puder ser considerado um gs perfeito:dlndp RTppppRgTz12zzpp2212& t = = =- # # (2.11)em que o valor de R, constante dos gases perfeitos, depende do tipo de gs, mais propriamente da sua massa molecular.Em condies isotrmicas (T0), a diferena de presso entre as cotas z1 e z2 dada por:exp p pRTgz z2 102 1= -- ^ h; E(2.12)Seadiferenadecotanoformuitosignificativaouovalorda temperaturamuitoreduzido,ovalordaexponencialmuitoprximo da unidade, resultando p2 = p1. Nestas condies, a presso no seio de umgspodeserconsiderada,comboaaproximao,uniforme.Esta aproximaoconsequnciadamassavolmicadosgasessermuito baixa, aproximadamente 1000 vezes inferior da gua em condies de presso e temperatura ambiente.2.3 Manmetros diferenciaisO manmetro diferencial utiliza-se para medir diferenas de presso e, na sua verso mais simples, um tubo em U de seco recta reduzida, que contm no seu interior um lquido de massa volmica conhecida. 34 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAExemplo 2.1Na figura, os braos do manmetro esto ligados a recipientes fechados contendo arapressodiferente,pAepB.Pretende-sesaber,porleituranomanmetro,quala diferena de presso no interior dos recipientes.2314ArArpApBLquidohSoluoAnalisando os nveis de lquido no manmetro, pode-se afirmar de imediato que a presso no recipiente A maior que no recipiente B, j que o nvel de lquido no brao do manmetro ligado ao recipiente B maior.Aplicando a equao fundamental da hidrosttica entre os pontos de referncia 1 e 3 resulta:p1 - p3 = -arghPor continuidade, a presso na interface de dois fluidos (ponto 3) a mesma, quer do lado do ar, quer do lado do lquido. As superfcies horizontais no interior do mesmo fluido so isobricas logo:p3 = p4Aplicando a equao fundamental da hidrosttica entre os pontos 4 e 2 resulta:p4 - p2 = -LghAdicionando membro a membro as equaes anteriores obtm-se:p1 - p2 = (L - ar)ghMas L >> ar logo:p1 - p2 = Lgh pA - pB = LghSe o lquido no manmetro fosse gua e as presses pA = 1 atm ~ 105 Pa e pB = 0 (vazio), o desnvel (carga de presso) que se observaria seria aproximadamente de 10 m de coluna de gua. No caso de o lquido ser mercrio, o desnvel que se observaria seria de 760 mm de coluna de mercrio (experincia de Torricelli).35 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAExemplo 2.2Qual a presso absoluta p0 e a presso manomtrica do ar sobre a superfcie livre da gua no tanque, sabendo que a presso atmosfrica 760 mm Hg?Mercrio (13600 kg/m)30,50 m0,75 m0,65 m0,40 m16guaAr p0leo (800 kg/m)3Atmosfera43 257SoluoAplicando sucessivamente a equao fundamental da hidrosttica resulta:p0 = p1(presso uniforme no ar)p1 - p2 = -0,65H2Ogp2 = p3(plano isobrico)

p3 - p4 = 0,75Hggp4 - p5 = -0,50leogp5 = p6(plano isobrico)p6 - p7 = 0,40Hggp7 = patmSubstituindoosdadosdafigura,ovalordapressoabsolutap0~2,4105Pa. A presso manomtrica ou relativa obtida subtraindo presso absoluta a presso atmosfrica, p0 - patm ~ 2,4105 Pa.2.4 Foras em superfcies submersasSobreumasuperfcieemcontactocomumfluidoemrepousoou sobre um corpo submerso, a fora de presso sempre normal super-36 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAfcie/corpo e sempre compressiva e nunca de traco, i.e., exerce-se sempre contra a superfcie/corpo.2.4.1 Superfcies planas verticaisPretende-se determinar a fora hidrosttica na janela rectangular (ABCD) situada sobre uma das faces laterais de um tanque com gua. A figura mostra a janela rebatida sobre o plano do papel.A altura da janela b e o seu comprimento a. zibazizAB CDRebatimentoLi A L zi i i=ABpatmCDh0Olquidoexercesobreajanelaumapressoquevariaaolongo do eixo dos z de acordo com a equao fundamental da hidrosttica. A origem do eixo dos z, por uma questo de simplicidade, foi colocada na superfcie livre do lquido.Para determinar a fora de presso, seleccionou-se uma tira infini-tesimal rectangular i de comprimento Li e espessura ozi que dista zi da superfcielivredolquido.Nolimitequandoozi0,atiratendepara umalinhahorizontalaolongodaqualapressouniforme(alinha pertence a um plano isobrico, paralelo superfcie livre).A fora de presso,oFi, na tira dada por:oFi = pi oAi (2.13)Segundo a equao fundamental da hidrosttica, a presso na tira depende da sua distncia superfcie livre (origem dos eixos):pi = patm + gzi oFi = (patm + gzi)Liozi(2.14)A fora de presso total dada pelo somatrio das foras no nmero infinito de tiras infinitesimais em que se pode dividir a janela :37 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAF gz L z iiatm iii i1 1d t t d = -3 3= =^ h / / (2.15)Recorrendo definio de integral definido de uma funo contnua obtm-se:lim d F F p gzL zziiatmhh b00i00d t = = +"3d=+^ h / # (2.16)Integrando, obtm-se a fora interna, oFint, exercida sobre a janela, (L = a):F p ab g abhb20 int atm t = + ` j(2.17)Aprimeiraparcelarepresentaaforaqueapressoatmosfrica exerce interiormente sobre a janela e aparece pelo facto da superfcie livre estar aberta para a atmosfera.De uma forma semelhante pode calcular-se a fora exterior exer-cida sobre a janela pela presso atmosfrica:d F p L z Fext p L z p ab i atm i i atm atmhh b00" d d = = =+# (2.18)Considerou-se sobre toda a janela uma presso uniforme e igual atmosfrica. A intensidade da fora resultante, interior e exterior, exer-cida sobre a janela dada por:F F F gabhb20 int total ext t = - = + ` j(2.19)Adirecodestaforahorizontal,perpendicularsuperfcieda janela, e o seu sentido de dentro para fora. A fora resultante pode ser calculada numa s integrao, basta lembrar que as foras interna e externa tm a mesma direco e sentidos opostos. Em sistemas com superfcielivreabertaparaaatmosfera,aforaresultantepodeser calculada por simples integrao da presso manomtrica. 38 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICA2.4.2 Superfcies planas inclinadas Considere uma janela triangular contida numa superfcie plana inclinada,nguloucomasuperfciehorizontal,talcomomostraa figura.Pretende-sedeterminaraforahidrostticasobrea"janela" triangular,alturabeladodabasec,eomomentodessaforaem relao ao eixo oo . Talcomonoexemploanteriornecessrioencontrarumatira infinitesimalonde,nolimite,apressosejauniforme.Adirecoz a da acelerao da gravidade (vertical) e a direco x ada superfcie inclinada; a origem de ambos os eixos est colocada na superfcie livre. A tira infinitesimal i escolhida tem espessura oxi, comprimento Li e dista zi da superfcie livre.patmzoooRebati mentoooabLixicxxzixiA fora hidrosttica sobre a tira infinitesimal i dada por:F F F p gz p L x , , int i i i ext atm i atm i i d d d t d = - = + - ^ h 6 @ (2.20)Mas devido inclinao da parede e geometria da janela, zi e Li so funo de xi:sen z xx aLbcLbcx a i iiii i " / i =-= = - ^ h(2.21)A segunda condio resulta da semelhana de tringulos (teorema de Thales). A expresso xi - a representa a distncia, segundo a direco x, do vrtice do tringulo tira infinitesimal. A fora hidrosttica sobre a janela dada por:lim sen d F F gxbcx a xxiiaa b01id t i = = -"3d=+^ ^ h h / # (2.22)39 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAsen F gbca bb a a62623t i = +-+ ^ c h m ; E(2.23)Para calcular o momento da fora hidrosttica relativamente ao eixo oo necessrio voltar a analisar a tira infinitesimal. A intensidade do vector momento relativamente ao eixo oo dada pelo produto da fora depressonatirapeladistncianaperpendiculardoeixolinhade aco da fora (brao da fora). Como a fora de presso perpendi-cular tira, o brao a distncia, ao longo do plano inclinado, entre a tira e o eixo, i.e., xi.A direco do vector momento perpendicular ao plano que contm a fora na tira e o respectivo brao , i.e., tem a direco do eixo oo . O sentido do vector momento dado pelo sentido da progresso de um saca-rolhas;osentidoanti-horriopositivoeohorrionegativo.No exemplo da figura anterior, a fora hidrosttica faz a janela rodar, em torno do eixo oo , no sentido anti-horrio.A intensidade do momento da fora de presso na tira e a intensi-dade do momento da fora de presso na janela so dados por:M x F x p gz p L x , i oo i i i atm i atm i i d d t d = = + - ^ h 6 @ (2.24)lim d M M x p gz p L x , xi ooioo atm atmaa b01id t = = + -"3d=+^ h 6 @ / # (2.25)d sensenM gxbcx ax xgbca bb a a12312 ooaa b34t it i= - == +-++^ ^^ ch hh m ; E#(2.26)Exemplo 2.3Uma comporta BEF suportada por uma coluna CD. As articulaes B, C e D so rtulas (dobradias) e a largura da comporta 2,4 m (direco perpendicular ao plano do papel): a- calcule as componentes horizontal e vertical da fora hidrosttica sobre a com-porta; b- determine a fora na dobradia B e no apoio D.Dados: leo=800 kg/m3, gua=1000 kg/m3. Tome g = 10 m/s2. 116045BCDEFgualeopatm1,0 m0,5 m1,0 m1,0 m40 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICASoluoFora (F1) que o leo exerce na comporta.FileoguapatmpatmziAorigemdoeixodoszestsituadanasuperfcielivredo leo.F F F p gz p L x , , int i i i ext atm i atm i i d d d t d = - = + - ^ h 6 @, d F zL z gL g219 6 kN leo oleo o 101. t t = = #Fora que a gua exerce na comporta.Fileoguapatmpatmzi A gua exerce fora na parte vertical da comporta e na parte inclinada.Secoverticaldacomporta(F2).Aorigemdoeixodosz est situada na interface leo-gua.z F p g gz p L i atm leo HO i atm i i o 2d t t d = + + - ^ h 6 @, d F L z g gz 12 6 kN,oleo HO 200 52t t = = + ^ h #patmpatmleoguaFi60xizi Seco inclinada da comporta (F3). A origem do eixo dos z est situada no plano horizontal que separa a parte vertical da comporta da parte inclinada.0, 5 F p g gz p L xi atm leo HO HO i atm i i g o 2 2d t t t d = + + + - ^ h 6 @, dx F z L g g 0 5 oleo HO 3022t t = + + ^ h 6 @ #, xsen dx F L g g 0 5 60 104 kN oleo HO 3022t t = + = + ^ h 6 @ #Componentes da fora hidrosttica sobre a comporta.leoguaF1F2F36060 30 112 cos F F F F kN H 1 2 3 = = + +cos F F 60 52 kN V 3 = =41 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAEquilbrio esttico da comportaleoguaF1F2F3FCDFB,VFB,H45Sobre a barra CD actuam somente duas foras: as exerci-das pelas rtulas C e D. Para a barra CD estar em equi-lbrionecessrioqueosomatriodosmomentosdas foras aplicadas em relao a um eixo (representado por um ponto no plano) seja nulo. Esta condio s verifi-cada, se as duas foras que actuam na barra tiverem a mesmalinhadeaco,nestecasocoincidentecoma direco da barra, e sentidos contrrios. Esta concluso tem de ser observada sempre que sobre um sistema em equilbrio esttico actuem somente duas foras. DoequilbriodartulaCconclui-sequeafora exercida sobre a comporta, FCD, tem de ter a direco da barra CD e o sentido de D para C. Na rtula B o sentido e direco da fora sobre a comporta desconhecido, pelo que se representa a fora pelas suas duas componentes ortogonais, FB,V e FB,H (sentidos arbitrados).Analisandoafiguraondeestorepresentadasasforasqueactuamsobrea comporta conclui-se que h trs incgnitas, FB,V, FB,H e FCD . As equaes escalares de equilbrio esttico da comporta so igualmente trs: o somatrio das componentes hori-zontais das foras igual a zero, o somatrio das componentes verticais das foras igual a zero e o somatrio dos momentos das foras relativamente a um eixo perpendicular ao plano, representado por um ponto no plano, igual a zero. Momento das foras aplicadas na comporta relativamente ao eixo de rotao repre-sentado na figura pelo ponto B. Fi60leoguaBbzi3 5 , 1 +A escolha deste eixo tem vantagens, j que os momentos dasforasFB,VeFB,H(ambasincgnitas)soiguaisa zero., M bF z F 1 5 3 B i i i d d d = = + - ^ h, z 24, 6 d M gz L z 1 5 3 kN.m , F B oleo011t = + - = ^ ^ h h#, M bF z F 0 5 3 B i i i d d d = = + - ^ h Fi60leoguaBbzi3 5 , 0 +, , d M g gz z L z 0 5 3 14 0 kN.m , H O,F B oleo 200 52 t t = + + - = ^^hh#42 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICApatmpatmleoguaFi60zixib x M bF F 2 B i i i d d d = = - ^ h, xsen x , dx H O M g g L 0 5 60 90 0 2 kN.m , F B oleo 3 202t t = + - = ^ ^ h h#Somatrio dos vectores momento relativamente ao eixo de rotao B:1 45 0 cos M M M FF kN 182, , , F B FB F B CDCD1 2 3 # - - - + ==Tal como j foi referido anteriormente, os vectores momento tm todos direco perpendicular ao plano do papel. O sentido de cada vector positivo se da sua aco resultararotaodosistemanosentidoanti-horrioenegativosearotaoforno sentido horrio.Dos somatrios das componentes horizontais e das componentes verticais das for-as aplicadas comporta obtm-se FB,V e FB,H. Exemplo 2.4Na figura seguinte est representada uma pirmide regular de base quadrada (1 m de lado) colada a uma caixa paralelepipdica. Determine:A presso em B. a. Acomponentehorizontaldaforahidrostticasobreumadasfacesdapir- b. mide.A componente vertical da fora hidrosttica sobre uma das faces da pirmide. c. Dados: leo=800 kg/m3, gua=1000 kg/m3.1,0 m 0,5 mgua231leoABC4patm1,0 mSoluoa.Aplicando a equao geral da hidrosttica entre os pontos de referncia assi-nalados na figura, partindo da superfcie do leo at ao ponto B, obtm-se:0, 5 0, 5 1, 0 , p p g g g 9 9 10 Pa4B atm leo HO HO o 2 2# t t t = + + - =b.Nafiguraseguinteestrepresentadaumafacelateraldapirmiderebatida no plano do papel. xiLiAB BC CzxPirmide em corte Face lateral rebatidaHxi43 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAA fora exercida na tira infinitesimal i de espessura oxi e comprimento Li dada por:F p gz p L x i B HO i atm i i 2d t d = + - ^ h 6 @A fora de presso na face da pirmide dada pelo integral:F p gz p LdxB HO atmH02t = + - ^ h 6 @ #MastantozcomoLvariamcomx,havendonecessidadederecorrerarelaes geomtricas:, Lx HLHx1 0" = = (teorema Thales), x cos tg z H211 12m / / i i = = =A fora resultante normal face da pirmide, sendo as suas componentes dadas por: CBF FVFHsen cos F F F F v H / i i = =2.4.3 Superfcies curvas Mtodo de integrao da presso.H casos de geometrias curvas simples, cilindros e esferas, em que o clculo da fora de presso por integrao da presso na rea em que actua possvel. Considere-se um cilindro de comprimento L, mergu-lhado num lquido de massa volmica , com o eixo paralelo superfcie livre do lquido.LiziiSuperfcie livre necessrioencontrarumatirainfinitesimal,onde,nolimiteda espessura, a presso seja uniforme, quer em intensidade, quer tambm em direco e sentido. A tira representada na figura, desenhada a partir de um acrscimo de arco oui, satisfaz estas condies. A rea infinitesi-mal da tira dada por oAi = Liarc oui. Recorrendo a relaes geomtricas pode-se exprimir esta rea em funo do incremento de ngulo oui:44 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICARarcarc R A RL tg i iii i i i i " " , di dididi di d di = = = (2.27)Na figura seguinte est representada uma vista de topo do cilindro com as respectivas componentes da fora de presso na tira. O prximo passoexprimircadaumadestascomponentesemfunodoincre-mento de ngulo oui. h0iiiFFVFHpatmComponente vertical da fora de presso - :cos cos cos F F p A p RL V i i i i i i i i i id i d i d i di = = = ^ h(2.28)A presso na tira funo da distncia superfcie livre que por sua vez funo de ui. Por relaes geomtricas obtm-se:cos p p gz z h R R i atm L i i 0 i / t i = + = + -] g(2.29)Arelaogeomtricaentrezieouiestesquematizadanafigura seguinte.h0Superfcie livreiziR cos iR R -cos iSubstituindo a equao (2.29) na (2.28), obtm-se:cos cos F p g h R R RL V atm L i i i i 0 i d t i i di = + + -^ h 7 A (2.30)Somandoasforasdepressoqueactuamsobreuminfinito nmero de tiras infinitesimais ao longo da superfcie lateral do cilindro obtm-se:45 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAcos dcos dF F p gh gR RLgR LlimV V atm L LL00022 202iit t i it i i= = + + --"3dirr_ i / ##(2.31)Integrando,obtm-seacomponenteverticaldaforadepresso quenomaisdoqueaimpulsosofridaporumcorpoimersonum fluido.Arquimedesdiziaumcorpomergulhadonumlquidosofreda partedesteumaforaverticaldebaixoparacimacujaintensidade igual ao peso do volume de lquido deslocado.F g R L V L2t r =- (2.32)O sinal negativo indica que o sentido da fora de baixo para cima contrrio ao sentido positivo do eixo dos z.Componente horizontal da fora de presso. -Recorrendo s figuras e relaes anteriores, obtm-se as seguintes expresses para a componente horizontal da fora de presso:sen sen sen F F p A p RL H i i i i i i i i i i d i d i d i di = = =^ h(2.33)cos p p gz z h R R i atm L i i i 0 / t i = + = + -^ h(2.34)cos sen F p g h R R RL H atm L i i i i 0 i d t i i di = + + -^ h 7 A (2.35)0sen dcos sen dF p gh gR RLgR LH atm L LL002202t t i it i i i= + + -- =rr_ i##(2.36)Resolvendo o integral, conclui-se que a componente horizontal da foradepressosobreocilindronula,i.e.,umobjectomergulhado num fluido em repouso no se desloca no plano horizontal. Este com-portamento facilmente entendido, j que sempre possvel encontrar na superfcie do cilindro duas tiras infinitesimais onde as componentes horizontaisdaforadepressosoiguaisemintensidadeedireco mas tm sentidos opostos. 46 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICANem sempre a geometria da superfcie curva to simples! neces-srio um mtodo geral para determinar a fora de presso em superf-cies curvas.Mtodo da projecoConsidere um tanque com gua, em que uma das faces laterais tem a extremidade com forma cilndrica (eixo paralelo superfcie livre). A superfcie lateral cilndrica pode ser dividida, por incrementos de ngulo, em tiras infinitesimais de rea oAi. Uma dessas tiras est representada na figura numa escala aumentada. O arco infinitesimal correspondente ao incremento de ngulo est representado por um segmento de recta, jqueumarcodecircunfernciabemaproximadoporumnmero infinito de segmentos de recta de comprimento infinitesimal. xoSuperfcie livrezpipiii cos i iApi icos AO ngulo ui o ngulo que a fora de presso na tira faz com o eixo ox .Componente horizontal da fora de presso -A componente horizontal da fora de presso na tira infinitesimal pioAicosui. Mas oAicosui no mais do que a projeco de oAi num plano perpendicular a ox .cos F p A p proj A H i i i i oz i i d d i d = ="(2.36)Esta relao verifica-se, qualquer que seja ui e qualquer que seja a forma da superfcie curva. Conclui-se que:A componente, segundo um dado eixo, da fora de presso que se exerce sobre uma superfcie de orientao e forma qualquer, sempre igual fora de presso sobre a projeco dessa superfcie num plano perpendicular ao eixo considerado.47 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICA xozSA i cos i iAipiproj SozA componente horizontal da fora de presso que se exerce numa superfcie curva S de forma irregular dada por:cos d d proj F p A p AprojH ozS S ozi = =""^ h # # (2.37)Desta forma, possvel substituir o clculo de um integral compli-cado sobre S, pelo clculo simples da fora de presso sobre a projec-o da superfcie S num plano vertical (perpendicular a ox ).Componente vertical da fora de presso - Superfcie livrezxpipiiA i sen i iApi isen A componente vertical da fora de presso sobre a tira infinitesimal representada na figura dada por:sen F p A V i i i i d d i = (2.38)Considerando presses manomtricas, a presso na superfcie livre igual a zero e na tira infinitesimal dada por pi = Lghi, em que hi a distncia da tira infinitesimal superfcie livre. Substituindo esta rela-o na equao anterior obtm-se:sen F gh A Vi L i i i d t i d = (2.39)Mas senuioAi representa a proj ox oAi , e hisenuioAi o volume elemen-tar de lquido contido entre a tira de rea oAi e a superfcie livre.48 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICA proj SoxSuperfcie livreS A i sen i iAipihiA componente vertical da fora de presso sobre a tira passa a ser dada por:proj F gh A g V Vi L i ox i L i d t d t d = ="(2.40)em que oVi representa o volume de lquido compreendido entre a tira infi-nitesimal e a superfcie livre. Estendendo a toda a superfcie, resulta:d F g V gV V LVL t t = = # (2.41)em que V representa o volume contido entre a superfcie onde a fora de presso actua e a sua projeco na superfcie livre.Como concluso, a componente vertical da fora de presso sobre uma superfcie igual ao peso do lquido medido verticalmente entre a superfcie onde a fora actua e a superfcie livre.Seasuperfciefechada,qualquerquesejaasuaforma,fcil obter, por simples subtraco, a componente vertical da fora de pres-so (impulso).V2V1V1V2Superfcie livreV2FV1FF F F gV gV gV 2 1 V V V L L L S 2 1 t t t = - = - = (2.42)Nestaequao,FV1representaacomponenteverticaldaforade presso com sentido de cima para baixo que actua na superfcie de con-tornodoslidoeFV2acomponenteverticaldaforadepressocom 49 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAsentido de baixo para cima que igualmente actua na superfcie de con-tornodoslido.OvolumeVS ovolumedoslidoeaintensidadeda componente vertical da fora de presso igual impulso.Exemplo 2.5O cilindro representado de topo na figura tem 3 m de dimetro e 5 m de compri-mento (direco perpendicular ao plano do papel). Qual a grandeza, direco e sentido da fora hidrosttica que sobre ele actua ?guagua 1,5 mSoluo: Resoluo pelo mtodo das projecesComponente Vertical -Umquartodecilindro(ladodireitodafigura)emeiocilindro(ladoesquerdoda figura) sofrem a aco da fora de presso da gua.guaguaSuperfcie livreSuperfcie livreVAVBxz VCNo quarto de cilindro, a componente vertical da fora de presso que actua sobre a superfcie tem sentido de baixo para cima. A superfcie projectada sobre a superfcie livre tem a forma de um rectngulo, de largura igual ao raio e comprimento igual ao do cilindro. O volume compreendido entre a superfcie onde a presso actua e a projeco desta superfcie sobre a superfcie livre o volume do quarto de cilindro (VA).41F gV gV V H O A H O cilindro 1 2 2 t t =- =-No meio cilindro, a componente vertical da fora de presso actua sobre a super-fcie em diferentes sentidos: de baixo para cima no quarto de cilindro mais afastado da superfcie livre e de cima para baixo no quarto de cilindro em contacto com a superfcie livre. Em ambos os casos a superfcie projectada sobre a superfcie livre tem a forma de um rectngulo de largura igual ao raio e comprimento igual ao do cilindro.No caso do quarto de cilindro mais afastado da superfcie livre, o volume compreen-dido entre a superfcie onde a presso actua e a projeco desta superfcie na superfcie livre igual soma dos volumesVB e VC.F g V V V H O B C 2 2 t =- +^ hNo caso do quarto de cilindro em contacto com a superfcie livre, o volume com-preendido entre a superfcie e a projeco desta superfcie na superfcie livre igual ao volume VC.F gV V H O C 3 2 t =50 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICASomando as componentes verticais das foras de presso resulta:4343F g V V V gV gV g R L2V H O A B H O C H O cilindro H O 2 2 2 2 C t t t t r =- + + + =- =- ^ hComponente horizontal -A superfcie lateral do quarto de cilindro projectada num plano vertical tem a forma de um rectngulo de altura igual ao raio e comprimento igual ao comprimento do cilin-dro. A fora de presso actua no sentido positivo do eixo dos x .Paradeterminaracomponentehorizontaldaforadepresso,bastaintegrara presso na rea projectada, i. e., na superfcie plana vertical representada na figura.21d F gzL z gLR02H H ORH O 1 2 2 t t = = # xzNo meio cilindro, a componente horizontal da fora de presso actua sobre toda a superfcie no sentido negativo do eixo dos x. A superfcie lateral do meio cilindro pro-jectada num plano vertical tem a forma de um rectngulo de altura igual ao dimetro e comprimento igual ao comprimento do cilindro. xzPara determinar a componente horizontal da fora basta integrar a presso na rea projectada, i. e., na superfcie plana vertical representada na figura.2 d F gzL z gLR022H H ORH O 2, 3 2 2 t t =- =-#Somando as componentes horizontais da fora de presso resulta:21223F gLR gLR gLR2 2 2H H O H O H O 2 2 2 t t t = - =-Caso no haja nenhuma fora a contrariar o movimento, o cilindro desloca-se no sentido negativo do eixo dos x. 2.5 Equilbrio relativoA equao fundamental da hidrosttica foi deduzida sabendo que num qualquerelementonointeriordofluidonoactuamtensesdecorte. Quando um fluido transportado de tal forma que todos os seus elementos 51 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAtm a mesma velocidade, no h deslocamento relativo entre os elemen-tos e no se desenvolvem tenses de corte no seu interior. Um exemplo quando se transporta um copo com gua. J ouviram falar certamente de corridas entre pessoas que transportam copos com gua em bandejas. Porque ser que estes maratonistas tm de ter uma velocidade contro-lada? evidente que para a gua no transbordar. Mas j pensaram qual a relao entre a velocidade do maratonista e a quantidade de gua que transborda? E por que stio do copo transborda mais gua? Considere-se o caso de um tanque, contendo lquido com massa vol-mica , que se desloca em movimento rectilneo uniformemente acele-rado na horizontal. Tome um elemento infinitesimal de fluido de forma cilndrica, com eixo paralelo direco do movimento, comprimento ox e rea das bases oA. Para o elemento estar em equilbrio necessrio que se exera sobre o elemento uma fora que se oponha fora de inrcia:F a m x x d d = (2.43)em que oFx a fora de inrcia na direco horizontal, ax a acelerao horizontal exterior imposta ao elemento de fluido e om a massa do ele-mento de fluido.Ap A (p+ p) A xaxA fora que se ope fora de inrcia resulta da diferena de pres-so entre a base e o topo do elemento:p A p p A ma p A A xaxpa x L x L x " "22d d d d d d td d t - + = - = - =_ i (2.44)Conclui-se que se houver acelerao segundo uma direco neces-srio uma variaode presso no fluido ao longo dessa direco para que no haja movimento relativo entre os elementos de fluido. O sentido positivo desta variao contrrio ao sentido da acelerao.Combasenaequaoanterior,adiferenadepressoentredois pontos situados numa linha segundo a direco do movimento, dada (aps integrao) por:p p a L 1 2 L x t - = (2.45)em que L representa a distncia entre os pontos.52 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICA h2h1L1 2patmPor outro lado, dado que a acelerao actua numa direco perpen-dicular da fora de gravidade, para haver equilbrio esttico continua a ter de se observar a equao fundamental da hidrosttica tal como foi demonstrado no incio do captulo:zpg p p g h h L L 1 2 1 2 "22t t =- - = -^ h(2.46)S no caso de a superfcie livre estar inclinada que se podem obser-var simultaneamente as duas relaes de equilbrio segundo x e z. Combinando as equaes (2.45) e (2.46), obtm-se:tg a L g h hLh hga1 21 2L x Lx& t t i = --= =^ h (2.47)O ngulo u mede a inclinao da superfcie livre relativamente a um plano horizontal.Tem interesse, de seguida, considerar o movimento uniformemente acelerado rectilneo, mas no necessariamente na direco horizontal. A 2 lei de Newtonna sua forma vectorial expressa porF ma d d =" "/ , a qual conduz a trs equaes escalares: oFx = omax, oFu = omay, oFz = omaz. y x zzpp + ) (x z yypp + ) (y z xxpp + ) (y x p z x p z y p Num elemento paralelepipdico de arestas ox, oy e oz sujeito a uma acelerao constante, , a a a a x y z"^ h, o equilbrio esttico expresso por:p y z pxpx y z y z xap x z pypy x z y z xap y x pzpz y x y z xg y z xaL xL yL L z222222d d d d d td dddd d dd td ddd d d d d td dd td dd- + =- + =- + - =cdcmnmZ[\]]]]]](2.48)53 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAgradxpaypazpa gp a gL xL yL zL &22222tttt=-=-=- +=- -" " "_aikZ[\]]]]]](2.49)Um caso particular, curioso e com interesse, o da queda livre de umrecipientecontendoumlquido.Nestecaso,0 grad a g p " = =" " ",o que significa que a presso constante no interior de todo o lquido e igual presso sobre a superfcie livre. Aequaofundamentaldahidrostticaumcasoparticularda equao (2.49) em que0 a =":gradp gzpg L L "22t t = =-" "(2.50)com oz" dirigido para cima.Exemplo 2.6Uma vagoneta com gua abandonada num plano inclinado como mostra a figura. Seongulouforde15,digaqualainclinao|dasuperfcielivrerelativamente horizontal. Admita que o ar no oferece resistncia ao deslocamento da vagoneta e que no h atrito nas rodas. guaSoluoO sistema de eixos utilizado para resolver este exerccio o que est representado na figura seguinte, sendo a direco x a da superfcie livre inclinada. O vector acelerao da gravidade est decomposto segundo a direco dos eixos escolhidos.xyg sen g A equao de equilbrio na sua forma vectorial dada por:grad p a g H O 2 t =- -" " "a kOvectoraceleraodavagoneta,nosistemadecoor-denadasescolhido,dadopelacomponenteactivadovector acelerao da gravidade:sen a g i i =" "A gravidade exerce-se nos elementos de fluido segundo as duas direces :sen cos g g i g j i i = -" " "54 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICASubstituindo resulta:0 sen sencosxpg gypgH OH O222222t i it i=- - ==-^ h'(Em concluso, as superfcies de presso uniforme (isobricas) so superfcies paralelas ao plano inclinado. Na superfcie livre, a presso uniforme (atmosfrica) pelo que esta superfcie paralela ao plano inclinado, u = | = 15.Exemplo 2.7Um tanque cbico com 2 m de lado tem no seu interior um prisma de base quadran-gular (Lx = 0,7 m, Ly = 0,7 m, Lz = 1 m) com duas faces horizontais, uma contendo a aresta EF e outra a aresta GH. O tanque fechado, est cheio de gua, e sofre uma acelerao horizontal de intensidade 10 m/s2. Calcule a fora hidrosttica sobre o prisma.axxzA BC DE FG HSoluoA equao de equilbrio esttico na forma vectorial :grad p a g H O 2 t =- -" " "a kOtanquetemaceleraohorizontal,segundoadirecox,eagravidadeactua sobre os elementos de fluido segundo a direco z, pelo que:zgxppa H O xH O222222tt=-=-Z[\]]]]A variao total de presso expressa por:d d d d pxpdxzpdz p a x g z H O x H O 2 2 "2222t t = + =- -Integrando resulta:p a x gz C H O x H O 2 2 t t =- - +A constante de integrao pode ser determinada desde que a presso num ponto seja conhecida, o que no o caso.55 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAFora hidrosttica na face horizontal que contm a aresta EF -Esta face perpendicular ao eixo dos z (cota Lz) pelo que a presso na face s varia ao longo de x. A presso uniforme numa tira infinitesimal com comprimento segundo yeespessura oxi:F pL x i y i d d =Estendendo a um nmero infinito de tiras infinitesimais sobre a face resulta:d F a x gL C L x a LLgL L L CL L2EF HO xHOLyHOxxHO z x y x y02zxy 22 22t t t t = - - + =- - + ^ h#Fora hidrosttica na face horizontal que contma aresta GH -Esta face paralela face que contm a aresta EF pelo que o clculo da fora semelhante. A nica diferena que a cota da face 0 em vez de Lz.2d F a x C L x a LLCL L0GHHOxLyHOx yxx y2x2 2t t = - + =- + ^ h#Componente vertical da fora hidrosttica sobre o prisma -F F gL L L gV GH EF HO x z HO prisma 2 y 2t t - = =Oresultadoanteriormostraqueacomponenteverticaldaforaqueseexerce sobre o prisma uma vez mais a fora de impulso. O resultado seria diferente se o sistema estivesse sujeito a uma acelerao vertical. No caso da acelerao vertical ter sentido contrrio ao do eixo dos z, a componente vertical da fora sobre o prisma seria dada por:F F g a V GH EF HO z prisma 2 t - = - ] gFora hidrosttica na face vertical que contm a aresta FH -Esta face perpendicular ao eixo dos x (afastamento Lx) pelo que a presso na face s varia ao longo de z. A presso uniforme numa tira infinitesimal com comprimento segundo ye espessura ozi:F pL z i y i d d =Estendendo a um nmero infinito de tiras infinitesimais sobre a face resulta:2d F a L gz C L z gLLa L L L CL L0FH HO x xHOLyHOyzHO x z x y z y22z2 22 t t t t = - - + =- - + ^ h#Fora hidrosttica na face vertical que contm GE -Esta face paralela face que contm a aresta FH pelo que o clculo da fora semelhante. A nica diferena que o afastamento da face 0 em vez de Lx.56 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAF gz C L dz gLLCL L2HOLy HO yzz y02GEz2 2t t = - + =- + ] g#Componente horizontal (segundo x) da fora sobre o prisma -F F a L L L a V GE FH HO x y x z HO x prisma 2 2t t - = =Forahidrostticanafacedetopoquecontmasarestasrepresentadasno-plano do papelEsta face perpendicular ao eixo dos y (afastamento 0), pelo que a presso na face varia no s ao longo de x como tambm ao longo de z. No possvel encontrar uma tira infinitesimal onde a presso seja uniforme, pelo que seleccionado um elemento infinitesimal de dimenses ozi e oxi. No limite, quando estas dimenses tendem para 0, o elemento tende para um ponto. A fora de presso no elemento dada por:F p x z i i i d d d =Fazendo o somatrio das foras no infinito nmero de elementos em que se pode dividir a face resulta:2 2d F F a x gz C dx z gLLa LLCL Li 10 0FHEG HO x HOL LHOxzHOx zxz x i2 22x z22 2t t t t = = - - + =- - +=3] g /# #Na face oposta, a fora hidrosttica tem igual intensidade mas sentido contrrio. Assim, a resultante das foras que actuam no prisma segundo a direco y nula.2.6 Exerccios de aplicao propostosForas distribudas2.1Uma chapa de alumnio ( = 6500 kg/m3) suportada, conforme mostra a figura, por um apoio de rotao em A e por um apoio simples (sem atrito) em B. Admita que a chapa tem espessura constante de 4 mm e calcule:O momento do peso da chapa em relao a A atravs dum integrala. e depois verifique o resultado por um mtodo mais simples.As foras em A e B que equilibram a chapa. b. Admita que a seco da chapa (1m x 1m) mais perto de A tem espessura 4 mm enquanto a outra seco tem espessura 2 mm e calcule:O momento do peso da chapa em relao a A atravs dum integralc. e depois verifique o resultado por um mtodo mais simples.As foras em A e B que equilibram a chapa. d. 57 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICA 2,0 m0,5 m1,0 mAB2.2Uma chapa de ao ( = 6500 kg/m3) com 10 mm de espessura tem a forma de um trapzio e est suportada por apoios simples conforme indica a figura. Calcule:O peso da chapa ? Calcule por um integral e verifique por outroa. processo.O momento do peso da chapa em relao ao apoio A? b. A fora exercida pela chapa em cada um dos apoios? c. Mantendo o apoio A fixo e aproximando deste o apoio B, a distn- d. cia mnima entre A e B para que o equilbrio se mantenha?A resultante das foras que a parte da chapa para a esquerdae. da linha BC faz sobre a parte direita desta linha? Considere o apoio em B como estando imediatamente direitada linha BC.1,0 m0,1 m1,4 mA BC D0,1 m1,2 mManmetros 2.3Qual a diferena de presso entre os pontos A e B represen-tados na figura expressa em: a) dynes/cm2; b) cm de c.a.(coluna de gua); c) mm Hg; d) Pa; e) atm; f) psi (lbf/in2).0,9 m1,1 mleo [850 kg/m]3Ar ArBA58 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICA2.4Para medir a diferena de presso entre dois pontos numa tuba-gem que transporta um lquido vulgar usar um dos tipos de manme-tros indicados na figura.Calcule, as diferenas de pressoa.pA - pB e pC - pD em dynes/cm2;Se no manmetro da direita em vez de 0,15 m o desnvel forb.h, estabelea uma expresso para pC - pD em funo de h, ge da massa volmica dos lquidos.0,20 mArgua guaA B0,15 mgua guaC DMercrio [13600 kg/m]32.5Numa sala de 3,0 m de altura, qual a diferena de presso entre o cho e o tecto, se a temperatura for 25 C e a presso ao nvel do cho 1 atm ? D a resposta em mm c. a.Fora hidrosttica em superfcies planas2.6Na figura, AD representa um corte segundo a altura de uma porta triangular (tringulo equiltero), sendo o eixo de rotao D horizontal. Em A existe um batente que impede a comporta de abrir. Calcule: Mercrio [13600 kg/m ]31,0 m1,0 mguaArAr0,5 mDP = 0,05 MN/m0 2AA fora a que a porta est sujeita por aco do ar e da gua. a. A fora no eixo de rotao D. b. A fora mnima em A que abre a porta (direco e sentido). c. 2.7AcomportaABrepresentadanafiguratem2,1mdelargura (direco perpendicular ao plano do papel) e pesa 1,4 ton. A comporta articuladaemBpormeiodeumeixoderotaoeestsustentada numa parede lisa (A). Determine o nvel de gua mnimo, h , para o qual a comporta abre.h1,2 mBA2,5 m1,8 m59 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICA2.8A comporta representada na figura tem 3.5 m de largura (direc-o perpendicular ao plano do papel) e est presa ao cho por meio de um eixo de rotao em B. Um cabo (em A) com um peso de 40 t man-tm a comporta na posio da figura. Desprezando o peso da comporta determine o nvel de gua h.h 120BA6,5 m40 t2.9A figura representa uma comporta em forma de calha. Os lados da comporta tm forma rectangular (comprimento 1,0 m na direco perpendicular ao plano do papel). Em A existe um eixo de rotao. Cal-cule a tenso no cabo. CaboCAB1,0 m2,0 mguaA601,0 m2.10Acaixaparalelepipdicamacia,representadanafigura,tem pesoWe 5 cm de largura (direco perpendicular ao plano do papel). Quando mergulhada em gua e sujeita fora F fica na posio de equi-lbrio que a figura mostra. Calcule:A resultante da fora hidrosttica sobre a caixa a. A massa volmica do material de que feita a caixa, bem comob. a intensidade da fora F. 10 cm5 cm20 cmguaF2.11A comporta representada na figura retm gua com uma altura h. A comporta pesa 750 kg por metro de largura (direco perpendicular ao plano do papel), est articulada no eixo de rotao A e simplesmente pousada em B.Considere a.h =1,5 m e calcule as foras por metro de largura de comporta que se exercem no eixo de rotao A e no apoio B.Calcule o valor mnimo deb.h para a comporta abrir.60 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposHIDROSTTICAguaABC.G.60902 m1,73 mh3,0 m 2.12Umcopocilndricocolocadonaposioinvertidasobrea superfcie da gua. Ao abandonar o copo, ele fica na posio indicada. Sabendo que a espessura do vidro do copo 8 mm e que a massa vol-mica do vidro 7500 kg/m3, calcule h1 e h2. Diga se a fora de impulso uma parcela importante no balano de foras.gua0,1 m0,1 mguah1h22.13Umblocoparalelipipdicodeao(=7850kg/m3 )mergu-lhado num banho de mercrio ( = 13600 kg/m3 ) coberto por gua. O bloco fica a flutuar na posio indicada na figura.Calcule a razoa.a/busando as equaes fundamentais da hidros-ttica.Verifique a resposta anterior usando o princpio de Arquimedes. b. guaMercrioAoab2.14Uma barra uniforme com dimenses L x h x be de peso volmico ba flutua ao longo da diagonal, tal como mostra a figura, quando tem suspensa numa das faces de topo, uma esfera pesada (esf). Mostre que esta situao s possvel sea. 3bal qcc= . Com a condio anterior mostre que o dimetro da esfera temb. que ser dado por: Lh he).Exemplo 5.7Vapor entra numa turbina com uma velocidade de 30 m/s e uma entalpia de 3350 kJ/kg.Acorrentedesadaumamisturadevaporelquidocomumavelocidadede 60 m/s e uma entalpia de 2550 kJ/kg. Se o escoamento na turbina for adiabtico e as variaes de cota desprezveis, determine o trabalho fornecido, por unidade de massa de vapor, pela turbina aos arredores. V.C.seTurbina a vaporTrabalho ao veio fornecidoaos arredores pelo V.C.SoluoO volume de controlo seleccionado est a tracejado na figura. Aplicando a equao da energia ao V.C. resulta:m h hv vg z z Q W2s es es e veio2 2- +-+ - = +oo o^ h ; EA diferena de cota desprezvel e o escoamento adiabtico donde:800 h hv vw w2kJ/kg veio 2 12212veio " . - +-= - ; EO trabalho por unidade de caudal mssico negativo porque fornecido pelo V.C. aos arredores. Note que a variao da energia cintica desprezvel comparativamente com a variao de entalpia.5.4.4Comparaoentreaequaodaenergiaeaequaode Bernoulli Emestadoestacionrio,compropriedadesuniformesnassuperf-ciesdeentradaesadaesemtrabalhoaoveio,aequaodaenergia apresenta a seguinte forma:upvgz m upvgz m Q2 2ssee2 2t t+ + + - + + + =o ooc c m m (5.38)128 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposANLISE INTEGRAL EM VOLUMES DE CONTROLO FINITOSrearranjando para o caso de :pvgzpvgz u u q2 2ssseee s e2 2t t+ + = + + - - - ^ h(5.39)em que:qmQ=oo(5.40)A equao de Bernoulli aplicada ao longo de uma linha de corrente efoideduzidapondoahiptesedenosedesenvolveremtensesde corte no fluido (no haverresistncia viscosa ao escoamento):pvgzpvgz2 2ssseee2 2t t+ + = + + (5.41)Comparando as equaes (5.39) e (5.41) conclui-se que para no haver resistncia viscosa ao escoamento tem que se verificar a seguinte condio:u u q 0 s e , - - (5.42)Aresistnciaviscosapromovedegradaodeenergiamecnica, passagem irreversvel de energia mecnica a trmica, pelo que:u u q 0 s e 2 - - (5.43)Este termo representa a energia mecnica degradada por resistn-cia viscosa:u u q perdas s e - - = (5.44)A equao da energia muitas vezes apresentada na seguinte formapvgzpvgz perdas2 2ssseee2 2t t+ + = + + - (5.45)Quando h trabalho ao veiopvgzpvgz w perdas2 2ssseee veio2 2t t+ + = + + + - (5.46)em quewmWveioveio=oo(5.47)129 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposANLISE INTEGRAL EM VOLUMES DE CONTROLO FINITOSAequao5.46podeserenunciadadeumaformasimples:em estado estacionrio, a soma da energia mecnica que entra no V.C. com aenergiamecnicafornecidapelotrabalhoaoveioigualsomada energiamecnicaquesaidoV.C.comaenergiamecnicadegradada (estas energias so todas referenciadas unidade de massa).Exemplo 5.8Uma ventoinha de fluxo axial trabalha acoplada a um motor que debita 0,4 kW de potncia. As ps da ventoinha produzem um escoamento de ar axial com uma velocidade de 12 m/s que sentido num tubo circular com 0,6 m de dimetro. O escoamento a mon-tante da ventoinha tem uma velocidade desprezvel. Determine a % do trabalho fornecido pela ventoinha que tem aplicao til. Estime a eficincia do processo de ventilao. Motor 0,6 mV.C.v = 12 m/sv = 0 m/sSoluoParte da energia fornecida pelas ps vai degradar-se devido ao atrito entre o fluido e as ps do ventilador. Esta energia que permanece no fluido sob a forma de energia trmica no tem aplicao mecnica e designa-se por energia degradada (perdas).Aplicandoaequaodaenergiaaovolumedecontrolorepresentadonafigura, resulta:p p v vg z z w perdas2s es eveio2 22 1t t- +-+ - = - ` ` ^ j j h; ESabendo que ps = pe =patm, z2 -z1 ~ 0e v20e2.resulta:72vw perdas w perdas2J/kgsveio veio2" = - - = ; EVamos chamar ao termo wveio perdas, energia til por unidade de massa, wtil. A potncia til ser dada por:W w m m 72 util util # = =oo o l lA eficincia do processo de ventilao por definio:potencia fornecida as paspotencia utilh =t } lt lA potncia fornecida s ps, supondo que no h perdas por atrito nas partes mec-nicas do ventilador, :400 95, 8 W w m m # = = =o o oO caudal mssico foi calculado considerando ar = 1,23 kg/m3.A eficincia do processo de ventilao :,, %mm95 87275 2 h = =oo130 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposANLISE INTEGRAL EM VOLUMES DE CONTROLO FINITOS5.4.5Aplicaodaequaodaenergiaaescoamentosno-uniformesNo caso da velocidade no ser uniforme nas seces de entrada e sada tem que se ter ateno evoluo do integral.2v.ndvAAC2tv v# (5.48)Para um escoamento com velocidade no uniforme nas entradas e sadas do VC define-se:. dvv n A mv v2 2 2ACs s e e2 2 2ta a= -v v or rc m #(5.49)emqueorepresentaocoeficientedeenergiacinticaevravelo-cidademdianarespectivaseco.Ocoeficienteodefinidopelas seguintes equaes:. dmvvv n A22ssA22sat=orv v#e . dmvvv n A22eeA22eat=orv v#(5.50)A equao da energia toma ento a seguinte forma:pvgzpvgz w perdas2 2ss ssee ee veio2 2tata+ + = + + + -r r(5.51)Se o escoamento for laminar, perfil de velocidade parablico, o = 2, e se o escoamento for uniforme o seu valor o =1.Exemplo 5.9Uma ventoinha montada num secador de cabelo, tal como mostra a Figura, movi-menta ar a um caudal mssico de 0,1 kg/min. Na entrada, o dimetro do tubo de 60 mm e na sada de 30 mm. Se o aumento de presso esttica atravs do secador for de 0,1 kPa e a potncia fornecida pela ventoinha ao ar 0,14 W, calcule as perdas assumindo:Distribuio de velocidade uniforme em ambas as seces. a. Distribuio parablica na seco de entrada e uniforme na de sada. b. 60 mm30 mmesEscoamento laminarEscoamento turbulento131 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposANLISE INTEGRAL EM VOLUMES DE CONTROLO FINITOSSoluoAplicando a equao de energia ao volume de controlo obtm-se:p vgzp vgz perdas w2 2s s s e e ee veio222tata+ + = + + - +r rTomando z2 z1 ~ 0 resulta:perdas wp pv v2 2veios ee e s s2 2ta a= --+ -r rc mem que:,,84 J/kg wmWw600 10 14veioveioveio " = = =ooA velocidade mdia na seco de entrada (ar = 1,23 kg/m3) :,,0, 479m/s vAm1 23460 10600 1e13 2#tr= = =-ro^ hA velocidade mdia na seco de sada (ar = 1,23 kg/m3) :,,, m/s vAm1 23430 10600 11 92 s23 2#tr= = =-ro^ hA variao da massa volmica devido ao aumento de presso muito pequena, pelo que se consideram iguais massas volmicas entrada e sada do VC.Perfis uniformes entrada e sada. a. o1 = o2 = 10, 975 J/kg perdas wp pv v2 2veio2 11 122 22ta a= --+ - =r rc mPerfil parablico entrada e uniforme sada:b. o1 = 2 . o2 = 10, 9 J/kg perdas wp pv v2 240 veio2 12 221 12ta a= --+ - =r rc m5.4.6 Exerccios propostos de aplicao 5.21leo ( = 920 kg/m3) bombeado entre dois nveis a um caudal de 0,0053 m3/s, por meio de uma bomba centrfuga. A presso relativa nas seces de entrada (suco) e de sada (descarga) da bomba res-pectivamente -350 Pae 5500 Pa. Se os dimetros internos dos tubos de suco e de descarga forem respectivamente 0,05 m e 0,076 m, calcule 132 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposANLISE INTEGRAL EM VOLUMES DE CONTROLO FINITOSa potncia elctrica fornecida bomba admitindo que esta tem uma efi-cincia de 75%. Despreze as perdas por dissipao viscosa no fluido.5.22gua bombeada de um tanque para outro, sendo 80 m a dife-renadenvelentreasrespectivassuperfcieslivres.Osdimetros internos dos tubos de suco e descarga so respectivamente 100 mm e50mm.Assecesdeentradaesadadabombaestonomesmo plano horizontal, 6,0 m acima da superfcie livre do tanque inferior. A energia mecnica degrada-se, devido dissipao viscosa. A perda de carga no tubo de suco 2 vezes a carga cintica nesse tubo, no tubo de descarga 25 vezes a carga cintica nesse tubo e na sada do tubo de descarga para o tanque igual carga cintica no tubo de descarga. Quandoapotnciafornecidapelabombaaofluido40kW,acarga depressonaentradadabomba3,0mdegua.Nestascondies, calculeocaudaldedescargabemcomoaenergiadegradadaentrea entrada e a sada da bomba.5.23gua est em escoamento descendente num tubo inclinado tal como mostra a figura. Determine: A diferena de pressoa.p1 p2;As perdas de energia por unidade de massa entre as seces 1 e 2. b. 1,5 m15 cm15 cmMercrio125.24Umabombatransfereguadeumreservatrioparaoutroa uma cota superior como mostra a figura. A diferena de nvel entre as superfcieslivresdostanquesde30m.Aperdadecargaporatrito na conduta dada por/ K v g 2 L2rem que KL um coeficiente de perdas consideradoconstante.Arelaoentreoaumentodecargadofluido quando passa na bomba , H, e o caudal bombeado Q est representada no grfico da figura. Se KL=20 e o dimetro do tubo for 25 mm qual o caudal de gua que est a ser bombeado?30 m0 0,3 0,63060H (m gua)Q (m/s)3133 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposANLISE INTEGRAL EM VOLUMES DE CONTROLO FINITOS5.25Determine a potncia de sada da turbina representada na figura quando circula um caudal de gua de 0,5 m3/s. A turbina tem uma efici-ncia de 90%. (Exame 2003)TurbinaMercrio0,20 m0,50 m0,15 mV2 5.5 Equao da Quantidade de Movimento5.5.1 Deduo da equao da quantidade de movimentoNo caso da propriedade intensiva b ser a quantidade de movimento por unidade de massa, o teorema de Reynolds permite escrever:d .DDd dtv Vtv V v v n ASist VC AC22t t t= +v v v vv# # # (5.58)Significado de cada termo da equaoDDdtv VSisttv#Representa a variao da quantidade de movimento no sistema na unidade de tempodtv VVC22tv#Representa a variao da quantidade de movimento no volume de controlo na unidade de tempo. d v v n AACtv v v#Representa a quantidade de movimento que sai atravs da rea de controlo na unidade de tempo; a entrada no volume de controlo tida como uma sada com sinal negativo (produto interno negativo). 134 NOTAS PARA O ESTUDO DA MECNICA DE FLUIDOSJoo M. CamposANLISE INTEGRAL EM VOLUMES DE CONTROLO FINITOSAplicando a 2 lei de Newton ao sistema resulta:DDdtv V FSistSist t =vv/ #(5.59)Esta equao mostra que a variao da quantidade de movimento naunidadedetemponosistemaigualsomavectorialdasforas externas que sobre ele actuam.Como,numdadoinstantet,ovolumedecontrolocoincidecomo sistema, pode-se escrever:F F Sist VC =v v/ /(5.60)Combinando as equaes (5.58)- (5.60) resulta:v.n A d dtv V v FVCVCAC22t t + =v v v vv/ # #(5.61)Estaaequaovectorialdaquantidadedemovimentoquese aplica a volumes de controlo indeformveis, fixos ou mveis. O referen-cial de coordenadas sempre inercial, fixo ou em movimento uniforme, e as foras envolvidas so foras de superfcie ou foras distncia. A equao por ser vectorial, desdobra-se num nmero de equaes alg-bricas que depende do tipo de problema: unidimensional, bidimensional ou tridimensional.Algumas indicaes importantes para aplicar correctamente a equa-o 5.61.Indicaes respeitantes ao termo- FVCv/As foras externas tm sinal algbrico associado, positivo se a1. fora est dirigida no sentido positivo do eixo coordenado e nega-tivo no