Livro Matemtica Cristiano.pdf

Caderno de MatemáticaDom Alberto

Prof: Cristiano Huff Jung

Ciênciasontábeis

ADMINISTRAÇÃO

C122 JUNG, Cristiano Huff

Caderno de Matemática Dom Alberto / Cristiano Huff Jung . – Santa Cruz do Sul: Faculdade Dom Alberto, 2010.

Inclui bibliografia.

1. Administração – Teoria 2. Ciências Contábeis – Teoria 3. Matemática – Teoria I. JUNG, Cristiano Huff II. Faculdade Dom Alberto III. Coordenação de Administração IV. Coordenação de Ciências Contábeis V. Título

CDU 658:657(072)

Catalogação na publicação: Roberto Carlos Cardoso – Bibliotecário CRB10 010/10

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Apresentação O Curso de Administração da Faculdade Dom Alberto iniciou sua

trajetória acadêmica em 2004, após a construção de um projeto pautado na importância de possibilitar acesso ao ensino superior de qualidade que, combinado à seriedade na execução de projeto pedagógico, propiciasse uma formação sólida e relacionada às demandas regionais.

Considerando esses valores, atividades e ações voltadas ao ensino sólido viabilizaram a qualidade acadêmica e pedagógica das aulas, bem como o aprendizado efetivo dos alunos, o que permitiu o reconhecimento pelo MEC do Curso de Administração em 2008.

Passados seis anos, o curso mostra crescimento quantitativo e qualitativo, fortalecimento de sua proposta e de consolidação de resultados positivos, como a publicação deste Caderno Dom Alberto, que é o produto do trabalho intelectual, pedagógico e instrutivo desenvolvido pelos professores durante esse período. Este material servirá de guia e de apoio para o estudo atento e sério, para a organização da pesquisa e para o contato inicial de qualidade com as disciplinas que estruturam o curso.

A todos os professores que com competência fomentaram o Caderno Dom Alberto, veículo de publicação oficial da produção didático-pedagógica do corpo docente da Faculdade Dom Alberto, um agradecimento especial.

Lucas Jost

Diretor Geral

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PREFÁCIO

A arte de ensinar e aprender pressupõe um diálogo entre aqueles que

interagem no processo, como alunos e professores. A eles cabe a tarefa de

formação, de construção de valores, habilidades, competências necessárias à

superação dos desafios. Entre estes se encontra a necessidade de uma

formação profissional sólida, capaz de suprir as demandas de mercado, de

estabelecer elos entre diversas áreas do saber, de atender às exigências legais

de cada área de atuação, etc.

Nesse contexto, um dos fatores mais importantes na formação de um

profissional é saber discutir diversos temas aos quais se aplicam

conhecimentos específicos de cada área, dispondo-se de uma variedade ampla

e desafiadora de questões e problemas proporcionada pelas atuais

conjunturas. Para que isso se torne possível, além da dedicação daqueles

envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, é preciso haver suporte

pedagógico que dê subsídios ao aprender e ao ensinar. Um suporte que

supere a tradicional metodologia expositiva e atenda aos objetivos expressos

na proposta pedagógica do curso.

Considerando esses pressupostos, a produção desse Caderno Dom

Alberto é parte da proposta pedagógica do curso da Faculdade Dom Aberto.

Com este veículo, elaborado por docentes da instituição, a faculdade busca

apresentar um instrumento de pesquisa, consulta e aprendizagem teórico-

prática, reunindo materiais cuja diversidade de abordagens é atualizada e

necessária para a formação profissional qualificada dos alunos do curso.

Ser um canal de divulgação do material didático produzido por

professores da instituição é motivação para continuar investindo da formação

qualificada e na produção e disseminação do que se discute, apresenta, reflete,

propõe e analisa nas aulas do curso. Espera-se que os leitores apreciem o

Caderno Dom Alberto com a mesma satisfação que a Faculdade tem em

elaborar esta coletânea.

Elvis Martins

Diretor Acadêmico de Ensino

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Sumário

Apresentação........................................................................................................ Prefácio................................................................................................................. Plano de Ensino.................................................................................................... Aula 1 Matemática Aplicada.............................................................................................. Aula 2

Conceito Matemático de Função........................................................................... Aula 3

Funções................................................................................................................. Aula 4

Exercícios............................................................................................................. Aula 5

Exercícios..............................................................................................................

Aula 6

Exercícios.............................................................................................................. Aula 7

Exercícios.............................................................................................................. Aula 8

Limites e Continuidades......................................................................................... Aula 9

Exercícios.............................................................................................................. Aula 10

Derivadas: Conceitos Básicos............................................................................... Aula 11

Problemas.............................................................................................................. Aula 12

Exercícios.............................................................................................................. Aula 13

Integração..............................................................................................................

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Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.

Centro de Ensino Superior Dom Alberto

Plano de Ensino

Identificação

Curso: Administração/Ciências Contábeis Disciplina: Matemática

Carga Horária (horas): 60 Créditos: 4 Semestre: 1º

Ementa

Funções. Equações de Oferta e Demanda. Ponto de Equilíbrio de Mercado. Funções de Custo, Receita e Lucro. Juros Simples e Compostos como Funções. Limites e Continuidade. Derivadas. Aplicações de Derivadas na Economia (Custo, Receita e Lucro). Integrais Indefinidas e Definidas. Aplicações de Integral na Economia.

Objetivos

Geral: Desenvolver a capacidade de o aluno utilizar a Matemática Aplicada como instrumento de novas aprendizagens e como meio de interpretação da realidade. Ampliar as capacidades de raciocínio, de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o espírito crítico e a criatividade. Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos aplicados. Incentivar a realização pessoal, o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação e o sentimento de segurança em relação às próprias capacidades matemáticas. Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática Aplicada, como autonomia, confiança quanto às capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho. Específicos: Levar o aluno a: Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas do currículo, tais como funções, limites, derivadas e integrais. Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia. Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas, tecnológicas e na interpretação da ciência.

Inter-relação da Disciplina

Horizontal: Contribuir para o desenvolvimento cognitivo interdisciplinar, promovendo um ensino voltado a uma formação sólida e ampla, tendo como foco principal as exigências da vida social e profissional. Vertical: As aplicações da disciplina são processadas de forma a adaptar o conhecimento teórico a uma situação prática e ajustada à realidade.

Competências Gerais

Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática Aplicada como instrumento de novas aprendizagens e como meio de interpretação da realidade. Ampliar as capacidades de raciocínio de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o espírito crítico e a criatividade. Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos aplicados.

Competências Específicas

Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas do currículo tais como funções, limites, derivadas e integrais. Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia. Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas, tecnológicas e na interpretação da ciência.

Habilidades Gerais

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Reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente, desenvolver o raciocínio lógico, crítico e criativo diante dos diferentes contextos organizacionais e sociais.

Habilidades Específicas

Ler, interpretar, reconhecer e resolver problemas sobre funções, limites, derivadas e integrais, visando o desenvolvimento de atitudes de autonomia.

Conteúdo Programático

PROGRAMA: 1. Funções 1.1. Idéia intuitiva 1.2. Conceito matemático 1.3. Função demanda 1.4. Função oferta 1.5. Função utilidade 1.6. Funções de custo 1.7. Função receita 1.8. Função lucro 1.9. Curva do orçamento 1.10. Curva de possibilidade de produção 1.11. Outros modelos 1.12. Características das funções 2. Limites 2.1. Idéia intuitiva 2.2. Definição 2.3. Limites de polinômios e funções racionais 2.4. Limite no infinito 2.5. Esboço de curvas 2.6. Problemas 3. Derivadas 3.1. Derivada como medida de inclinação 3.2. Derivada como taxa de variação 3.3. Problemas de maximização/minimização 3.4. Regras de derivação 3.5. Aplicações da derivada à economia 4. Noção de integral 4.1. Integral indefinida 4.2. Área e integral definida 4.3. Aplicações aos negócios e à economia

Estratégias de Ensino e Aprendizagem (metodologias de sala de aula)

O planejamento do trabalho em sala de aula é à base da construção do processo de ensino e aprendizagem. Planejando a ação, o professor tem a possibilidade de saber exatamente qual o ponto de partida e o de chegada para cada tema abordado em seu curso. Um planejamento não é um esquema de trabalho rígido, inflexível. Pelo contrário, devem-se levar em conta as situações inesperadas que vão ocorrendo e adaptar ou modificar o que se havia inicialmente previsto, de acordo com suas observações de classe e necessidades dos alunos. Há metas que devem ser estabelecidas e alcançadas, sendo necessário que o professor disponha de um fio condutor para a ação que vai desenvolver e de uma previsão para os resultados dessa ação.

Avaliação do Processo de Ensino e Aprendizagem

A avaliação do processo de ensino e aprendizagem deve ser realizada de forma contínua, cumulativa e sistemática com o objetivo de diagnosticar a situação da aprendizagem de cada aluno, em relação à programação curricular. Funções básicas: informar sobre o domínio da aprendizagem, indicar os efeitos da metodologia utilizada, revelar conseqüências da atuação docente, informar sobre a adequabilidade de currículos e programas, realizar feedback dos objetivos e planejamentos elaborados, etc. A forma de avaliação será da seguinte maneira:

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1ª Avaliação – Peso 8,0 (oito): Prova; – Peso 2,0 (dois): Trabalho referente ao conteúdo ministrado até a 1a avaliação.

2ª Avaliação - Peso 8,0 (oito): Prova; - Peso 2,0 (dois): referente ao Sistema de Provas Eletrônicas – SPE (maior nota das duas

provas do SPE)

Observação: As provas do SPE deverão ser realizas até o dia 30/09/2010 (1ª prova SPE) e até o dia 30/11/2010 (2ª prova SPE), sendo obrigatória a realização de ao menos uma prova.

Avaliação Somativa

A AFERIÇÃO DO RENDIMENTO ESCOLAR DE CADA DISCIPLINA É FEITA ATRAVÉS DE NOTAS INTEIRAS DE ZERO A DEZ, PERMITINDO-SE A FRAÇÃO DE 5 DÉCIMOS. O aproveitamento escolar é avaliado pelo acompanhamento contínuo do aluno e dos resultados por ele obtidos nas provas, trabalhos, exercícios escolares e outros, e caso necessário, nas provas substitutivas. Dentre os trabalhos escolares de aplicação, há pelo menos uma avaliação escrita em cada disciplina no bimestre. O professor pode submeter os alunos a diversas formas de avaliações, tais como: projetos, seminários, pesquisas bibliográficas e de campo, relatórios, cujos resultados podem culminar com atribuição de uma nota representativa de cada avaliação bimestral. Em qualquer disciplina, os alunos que obtiverem média semestral de aprovação igual ou superior a sete (7,0) e freqüência igual ou superior a setenta e cinco por cento (75%) são considerados aprovados. Após cada semestre, e nos termos do calendário escolar, o aluno poderá requerer junto à Secretaria-Geral, no prazo fixado e a título de recuperação, a realização de uma prova substitutiva, por disciplina, a fim de substituir uma das médias mensais anteriores, ou a que não tenha sido avaliado, e no qual obtiverem como média final de aprovação igual ou superior a cinco (5,0).

Sistema de Acompanhamento para a Recuperação da Aprendizagem

Serão utilizados como Sistema de Acompanhamento e Nivelamento da turma os Plantões Tira-Dúvidas que são realizados sempre antes de iniciar a disciplina, das 18h30min às 18h50min, na sala de aula.

Recursos Necessários

Humanos Professor.

Físicos Laboratórios, visitas técnicas, biblioteca, etc.

Materiais Recursos Multimídia.

Bibliografia

Básica

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 1 v. HOFFMANN, Laurence; BRADLEY, Gerald. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1996. SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática: para os cursos de: economia, administração, ciências contábeis. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1997. LEITHOLD, L.. Matemática aplicada à economia e administração. 2. ed. São Paulo: Harbra, 2001. VERAS, Lilia L. Matemática aplicada à economia: Síntese da Teoria. São Paulo: Atlas, 1991.

Complementar

ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookmann, 2000. 1 v. AVILA, Geraldo. Cálculo das funções de uma variável. 7. ed. São Paulo: LTC, 2003. 1 v. BARBANTI, L. Matemática Superior: um primeiro curso de cálculo. São Paulo: Pioneira, 1999. AYRES JUNIOR, Frank; Elliott Mendelson. Cálculo diferencial e integral 3. ed. São Paulo: Pearson, 1994.

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GOLDSTEIN, L.; LAY, D.; SCHENEIDER, D. Matemática aplicada. São Paulo: Bookman, 2003.

Periódicos

Revistas: Você S/A, Exame, Isto é.

Sites para Consulta

http://www.mec.gov.br http://www.ime.usp.br http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec http://sites.uol.com.br/vello/aulas.htm

Outras Informações

Endereço eletrônico de acesso à página do PHL para consulta ao acervo da biblioteca: http://192.168.1.201/cgi-bin/wxis.exe?IsisScript=phl.xis&cipar=phl8.cip&lang=por

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Cronograma de Atividades

Aula Consolidação Avaliação Conteúdo Procedimentos Recursos

1ª

Apresentação aos alunos do plano de ensino da disciplina. Revisão de conceitos básicos da Matemática. Idéia intuitiva de função. Conceito matemático de função.

AE QG, DS

2ª Atividades Envolvendo Funções matemáticas. Introdução a Modelos aplicados.

AE QG, DS

3ª Funções (oferta e demanda). Problemas envolvendo funções. AE QG, DS

4ª Funções (custo, utilidade, lucro). Características de funções. AE QG, DS

5ª Construção de tabelas e gráficos de funções. Plotar gráficos de funções. AE QG, DS

6ª Análise e interpretação de curvas de orçamento e produção. AE QG, DS

7ª Problemas envolvendo outros modelos de funções. AE QG, DS

1 Consolidação 1

1 Avaliação 1

8ª Limites. Idéia intuitiva. Definição. AE QG, DS

9ª Continuidade. Limites de funções. Propriedades algébricas do limites. Limite no infinito. Problemas envolvendo limites. Derivadas. Conceitos básicos.

AE QG, DS

10ª Regras de derivação. Problemas utilizando as regras. AE QG, DS

11ª Problemas de maximização / minimização. Trabalho aplicado. AE QG, DS

12ª Aplicações de derivadas a economia. Noções de integral. AE QG, DS

13ª Integral definida e indefinida. Aplicações de integrais aos negócios. AE QG, DS

2 Consolidação 2

2 Avaliação 2

3 Avaliação Substitutiva

Legenda Código Descrição Código Descrição Código Descrição

AE Aula expositiva QG Quadro verde e giz LB Laboratório de informática TG Trabalho em grupo RE Retroprojetor PS Projetor de slides TI Trabalho individual VI Videocassete AP Apostila SE Seminário DS Data Show OU Outros PA Palestra FC Flipchart

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FACULDADE DOM ALBERTO – SANTA CRUZ DO SUL

MATEMÁTICA APLICADA

PROF. CRISTIANO HUFF JUNG

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EMENTA Funções. Equações de Oferta e Demanda. Ponto de Equilíbrio de Mercado. Funções de Custo, Receita e Lucro. Juros Simples e Compostos como Funções. Limites e Continuidade. Derivadas. Aplicações de Derivadas na Economia (Custo, Receita e Lucro). Integrais Indefinidas e Definidas. Aplicações de Integral na Economia.

OBJETIVOS

Geral • Desenvolver a capacidade de o aluno utilizar a Matemática

Aplicada como instrumento de novas aprendizagens e como meio de interpretação da realidade;

• Ampliar as capacidades de raciocínio, de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o espírito crítico e a criatividade;

• Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos aplicados;

Incentivar a realização pessoal, o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação e o sentimento de segurança em relação às próprias capacidades matemáticas;

• Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática Aplicada, como autonomia, confiança quanto às capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho.

Específicos Levar o aluno a: Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas do currículo, tais como funções, limites, derivadas e integrais; Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia; Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas, tecnológicas e na interpretação da ciência.

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PROGRAMA

Funções • Idéia Intuitiva • Conceito Matemático

• Função Demanda • Função Oferta • Função Utilidade • Funções de Custo • Função Receita • Função Lucro • Curva do Orçamento • Curva de Possibilidade de Produção • Outros Modelos • Características das Funções Limites • Idéia Intuitiva • Definição • Limites de Polinômios e Funções Racionais • Limite no Infinito • Esboço de Curvas • Problemas Derivadas • Derivada como medida de inclinação • Derivada como taxa de variação • Problemas de Maximização/Minimização • Regras de Derivação • Aplicações da Derivada à Economia Noção de Integral • Integral Indefinida • Área e Integral Definida • Aplicações aos Negócios e à Economia.

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BIBLIOGRAFIA BÁSICA

SILVA, Sebastião Medeiros da, Matemática: Para os Cursos de Economia, Administração, Ciências Contábeis / Sebastião Medeiros da Silva, Élio Medeiros da Silva, Ermes Medeiros da Silva. 2ª ed--São Paulo: Atlas, 1981. VERAS, Lília Ladeira. Matemática Aplicada à Economia. 2ª ed -- São Paulo: Atlas, 1991.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo, vol 1. 5ª ed. -- Rio de Janeiro: LTC, 2001.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR HOFFMANN, Laurence e Bradley, Gerald. Cálculo: Um Curso Moderno e suas Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1996.

ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte. 6ª ed. - Porto Alegre: Bookmann, 2000, vol 1.

FUNÇÕES

Idéia Intuitiva de Função Ao contrário do que muitos pensam a primeira idéia de função não surgiu de conceitos matemáticos, mas de observações de fatos que ocorrem na natureza. Só muito mais tarde se conceituou a função de forma matemática. Intuitivamente, a palavra função evoca uma idéia de dependência. Quando se diz que a área de um quadrado é função de seu lado, que a estatura de uma criança é função de sua idade ou que a quantidade demandada de uma mercadoria é função de seu preço, o que se pretende dizer é que a área do quadrado depende de seu lado, a estatura da criança depende de sua idade e a quantidade demandada da mercadoria depende de seu preço. É claro que as função que descrevem fenômenos biológicos, sociológicos, estatísticos ou econômicos não obedecem rigorosamente a uma fórmula matemática, mas podem obedecê-la apenas para um pequeno intervalo de valores.

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Alguns Exemplos de Funções

1 – Um vendedor ambulante compra objetos ao preço unitário de R$ 150,00 e vende cada unidade a R$ 250,00. a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q. b) Expresse sua receita diária R em função da quantidade vendida q, que se supõem igual a quantidade comprada. c) Expresse seu lucro diário L em função da quantidade q. d) Qual o lucro do vendedor por unidade vendida.

2 – Expresse os seguintes fatos na forma de função: a) A receita R de um comerciante que vende a quantidade variável q de mercadorias ao preço unitário de R$ 80,00. b) O salário mensal de um vigilante que ganha R$ 650,00 fixos mais R$ 15,00 por hora extra, sabendo que o número x de horas extras varia todo mês.

3 – Certa máquina foi comprada pelo preço de R$ 80.000,00 (valor nominal) e vendida depois de 10 anos (vida útil) por R$ 30.000,00 (valor residual). a) Qual foi sua depreciação total? E qual a depreciação anual? b) Expresse a depreciação D como função do tempo em anos n. c) Qual o valor da máquina após um ano? E após dois anos? E após três anos? E após dez anos?

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AULA 2 Matemática Aplicada

Prof. Cristiano Huff Jung

Conceito Matemático de Função

Quando se imaginam com exemplo um conjunto A de números que representam preços fixados para uma mercadoria e outro conjunto B de números que representam quantidades compradas dessa mesma mercadoria, e se ligam com flechas os preços às suas respectivas quantidades, obtêm-se o conhecido esquema com o qual, são representadas as funções, notação comumente usada:

A mesma função f de A em B, pode ter outra representação gráfica não menos comum: o gráfico cartesiano.

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A função pode ser representada também por uma tabela com duas colunas, com os elementos do conjunto A figurando na primeira coluna e os elementos de B, na segunda.

Exemplo: Suponha-se que a Prefeitura de certa cidade disponha de determinada verba para aplicar em construção civil. Poderá pavimentar ruas e construir casas populares. Se optar por pavimentação de ruas, terá o suficiente para 150 km. Se optar por casas populares, poderá construir 300 casas. Poderá ainda escolher outros planos, optando por pavimentar menos do que 150 km de ruas e construir algumas casas com os recursos que sobrarem. Quanto menos ruas pavimentar, mais casas poderão construir. Tabela:

km de Ruas Casas Populares 0 300 20 290 60 240 90 180 105 140 135 50 150 0

Esta curva é chamada Curva de Possibilidade de Produção ou Curva de Transformação de Produção. A forma da curva, semelhante a um arco de parábola, inscita uma indagação: existirá uma função do tipo y=ax2+bx+c que se aproxime dos dados dessa tabela? Se existe, qual é? Para responder a essa indagação, é preciso determinar os três valores a, b e c da função e para isso escolhem-se três valores da tabela. Por comodidade, pode-se escolher (0, 300), (150, 0), e mais um, por exemplo, (90, 180), que é o mais central. Tem-se então o sistema:

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Exercícios 1)A receita de uma empresa pode ser descrita pela função:

R= 105

10+

+

−

x

, onde x é a quantia gasta em propaganda.

a)Calcule a receita quando nada é gasto em propaganda. b) Calcule a receita, respectivamente, quando o gasto em propaganda é 5, 95 e 995 e faça uma tabela de valores.

c) Faça um gráfico cartesiano utilizando os valores da tabela:

d) O gráfico faz pensar que existe um valor 2 que não será ultrapassado pela função. Qual é esse valor (limitante superior)? 2) Duas pessoas A e B investiram em ações de diferentes companhias, que foram compradas ao preço unitário de R$ 1,00. As ações adquiridas por A subiram segundo a função V1=0,1x+1 e as adquiridas por B caíram nos primeiros meses para depois subirem. Sua variação de valor pode ser descrita pela função V2=0,1x2-0,4x+1 em que x é o tempo em meses, a partir da data da compra das ações. a) Determine os valores V1 e V2 de cada uma dessas ações, no fim de cada um dos seis primeiros meses e faça uma tabela.

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b) Faça os gráficos das duas funções no mesmo sistema de eixos. c) Faça um comentário sobre os dois investimentos, dizendo qual foi a melhor aplicação. 3) Um produtor verificou que o custo unitário (ou custo médio) de fabricação de um produto varia com a quantidade, sendo tanto menor quanto maior era a quantidade fabricada. A função pode ser expressa na forma: a) Calcule Cme (1), Cme (10), Cme (30), Cme (40), e Cme (100), faça uma tabela e o gráfico da função.

b) A função tem um limitante inferior? Qual?

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4) P= (32-2n)n é uma função que dá a produção de uma empresa em função do número n de funcionários contratados. a) Complete a seguinte tabela de valores e faça o gráfico de P.

n P 0 2 4 6 8 10 12

b) Qual o acréscimo na produção quando a empresa passa de dois para quatro funcionários contratados? E quando passa de quatro para seis? E de seis para oito? O acréscimo é crescente ou decrescente? c) Com que número de funcionários a produção da empresa será maior? d) Como se explica que, a partir desse valor, a produção da empresa decresça com a contratação de novos funcionários? 5) Um comerciante verificou que a demanda de certo produto depende de seu preço, de acordo com a seguinte tabela:

P Q 4 80 6 70 8 60 10 50

a)Faça o gráfico cartesiano da função demanda a partir desta tabela. b) Dertemine a expressão matemática da função na forma q=f(p) e depois na forma p=f(q).

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AULA 3

FUNÇÕES


1 – Uma firma de materiais para escritório determina que o número de

aparelhos de fax vendidos no ano x é dado aproximadamente pela função

2

2

1450)( xxxf ++= , onde 0=x corresponde a 1990.

a) O que )0(f representa?

b) Obtenha o número de aparelhos de fax vendidos em 1992.

2 – Quando uma solução de acetilcolina é introduzida no músculo do coração

de uma rã, a força com que o músculo se contrai diminui. Os dados

experimentais de A. J. Clark são bem aproximados por uma função da forma:

xb

xxR

+

=100

)( , onde x é a concentração de acetilcolina (em unidades

apropriadas), b é uma constante positiva que depende de cada rã em

particular e )(xR é a reação do músculo ao acetilcolina, expressa como

porcentagem do máximo efeito da droga.

a) Suponha que 20=b . Encontre a resposta do músculo, quando 60=x .

b) Determine o valor de b se 60)50( =R , isto é, se a concentração de 50

unidades produz uma resposta de 60 %.

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3 – Suponha que o custo total em u.m. de produzir q unidades de certo

produto é dado pela função 50040030)(23

++−= qqqqC .

a) Calcule o custo de produzir 20 unidades.

b) Calcule o custo de produzir a 20ª unidade.

4 – Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma certa fábrica indica que

um trabalhador médio que chega no trabalho às 8 horas terá montado

xxxxf 156)(23

++−= rádios x horas mais tarde.

a) Quantos rádios um trabalhador desses terá montado às 10 horas?

b) Quantos rádios terá um trabalhador desses montado entre 9 e 10 horas?

5 – Suponha que t horas após a meia noite, a temperatura em uma certa

cidade era de 1046

1)(

2++

−= tttC graus Celsius.

a) Qual era a temperatura às 14 horas?

b) De quanto à temperatura aumentou ou diminui entre 18 e 21 horas?

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6 – É estimado que t anos a partir de agora, a população de uma certa

comunidade urbana será de 1

650)(

+

−=

ttP mil.

a) Qual será a população da comunidade daqui a 2 anos?

b) De quantos indivíduos a população aumentará do final do 2º ano para o

final do 3º ano?

c) Daqui a quantos anos a população será de 49 mil indivíduos?

d) O que acontece com )(tP à medida que t cresce mais e mais?

7 – Uma bola foi abandonada a 150 m do solo. Se a altura em metros, em

relação ao solo, em cada instante, t segundos após ter sido abandonada, é

dada por 25150)( tth −= , pergunta-se:

a) Qual é a sua distância do solo ao final do 3º segundo?

b) Quanto à bola percorre durante o 3º segundo?

c) Após 6 segundos à bola já atingiu o solo?

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8 – Suponha que durante um programa nacional para imunizar a população

contra uma forma de influenza, os inspetores de saúde pública descobriram

que o custo de inocular x % da população era de aproximadamente

x

xxf

−

=

200

150)( milhões de u.m.

a) Qual é o domínio da função no qual trabalharemos?

b) Qual foi o custo de inocular os primeiros 50% da população?

c) Qual foi o custo de inocular a segunda metade da população?

d) Qual o percentual de população que foi inoculada no momento em que

37,5 milhões de u.m. tinham sido gastos?

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AULA 4



1 – Seja y a percentagem da população mundial que vive em regiões urbanas

x anos após 1980. De acordo com dados publicados recentemente, y tem sido

uma função linear de x desde 1980. A percentagem da população mundial que

vive em regiões urbanas era de 39,5 em 1980 e 45,2 em 1995.

a) Determine y como função de x .

b) Determine a percentagem da população mundial que viveu em regiões

urbanas no ano 1990.

c) Determine o ano em que 50% da população mundial estará vivendo em

regiões urbanas.

d) Em quanto a percentagem da população mundial que vive em áreas

urbanas aumenta a cada 5 anos?

2 – Em uma certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem parada,

uma quantia inicial de 4 UT (unidades taximétricas) e mais 0,2 UT por Km

rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrou 8,2 UT,

qual foi o total de Km percorridos?

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3 – O custo total de um produtor consiste em uma sobretaxa fixa de

R$ 5.000,00 mais os custos de produção de R$ 60,00 por unidade. Expresse o

custo total em função do número de unidades produzidas e desenhe o gráfico.

4 – Determinada agência de aluguel de carros cobra R$ 25,00 por dia mais

R$ 0,30 por quilômetro rodado.

a) Expresse o custo de alugar um carro dessa agência por um dia em

função do número de quilômetros dirigidos e desenhe o gráfico.

b) Quanto custa alugar um carro para uma viagem de 50 Km de um dia?

c) Quantos Kms foram percorridos se o custo do aluguel diário foi de

R$ 45,20?

5– Um produtor compra R$ 20.000,00 em máquinas que se depreciam

linearmente tal que seu valor de troca após 10 anos será R$ 1.000,00.

a) Expresse o valor das máquinas em função do tempo de uso e desenhe o

gráfico.

b) Calcule o valor das máquinas após 4 anos.

c) Quando as máquinas se tornam sem valor?

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AULA 5



1 – A função 102 +−= pq fornece a quantidade demandada de fósforo em

função do preço do cigarro, e a função 203 += pq fornece a demanda da

margarina em função do preço da manteiga.

Essas funções são crescentes ou decrescentes? Por quê?

2 – A Receita R de uma firma é função do preço p da mercadoria que vende,

pois pqR = , onde q é a quantidade vendida.

Sabendo que o preço da mercadoria não é fixo, mas função da quantidade

demandada, isto é, 303

+−

=q

p , como ficará a expressão de R como função

de q ?

3 – A poupança s de um operário depende do salário y que recebe; seu

salário, por sua vez, depende do número de horas extras x que faz por mês.

Sabendo que essas dependências são descritas pelas funções

000.1004,0 −= ys e xy 500.1000.330 += , respectivamente, determine a

poupança como função do número x de horas extras.

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4 – As funções seguintes são todas crescentes. Faça tabela e gráfico para

cada uma delas a fim de decidir a forma de crescimento (taxas crescentes,

constantes ou decrescentes) de cada uma:

a) xy = , 0≥x

b) 12xy = , 0≥x

c) 2xy = , 0≥x

5 – Dadas as funções 34 −= pq e 510

120−

+

=

pq , respectivamente oferta e

demanda para certo produto, faça seus gráficos no mesmo sistema de eixos e

determine o ponto de equilíbrio.

6 – Um produtor estima que a demanda para um produto que lançou no

mercado vai obedecer à função 1442

+−= pq . Calcula, ainda, que o preço

desse produto deva subir com o tempo de acordo com a função np 5,08 += ,

onde n é o tempo em meses, a partir de hoje.

a) Qual o preço atual e a quantidade demandada atual desse produto?

b) Qual será o preço e a quantidade demandada desse produto daqui a

quatro meses?

c) Como poderia ser expressa a quantidade demandada q em função do

tempo n ?

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7 – Dada a função Produção 10

2q

P = , onde q é a quantidade de um insumo, o

que acontece com a produção se a quantidade de insumo for duplicada? Como

são então os retornos na produção?

8 – Sejam qqR 4022

+−= e 682 += qC as funções Receita e Custo para certo

produto.

a) Determine o ponto de break-even.

b) Faça os gráficos de C e R sobrepostos.

c) Determine a função Lucro e faça o seu gráfico.

d) Determine a função Lucro médio e faça seu gráfico por pontos tomados

no intervalo de variação de q .

9 – Sejam qqR 6022

+−= e 20010 += qC as funções Receita e Custo para

certo produto.

a) Trace os gráficos dessas funções no mesmo sistema de eixos,

assinalando as interseções entre as curvas.

b) Para que valores de q o Lucro será positivo?

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Aula 6 Matemática Aplicada


1) Numa indústria, o custo operacional de uma mercadoria é composto

por um custo fixo de R$ 300,00 mais um custo variável de R$0,50 por unidade fabricada. Portanto, o custo operacional, que representaremos por Y, é dado em função do número de unidades fabricadas, que representaremos por x. Expresse, por meio de uma fórmula matemática, a lei dessa função.

2) Um motorista, saindo de um terminal A, viaja por uma estrada e verifica que a distância percorrida, a partir do ponto inicial, pode ser calculada por d(x) = 50x+6, sendo d em km e x em horas. Faça uma tabela listando as distâncias percorridas após cada intervalo de uma hora desde x=1 até x=5.

3) Um fabricante vende um produto por R$0,80 a unidade. O custo

total do produto consiste numa taxa fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção de R$0,30 por unidade.

a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo?

b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo?

4) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00

mais um custo variável de R$0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:

a) Escreva a lei da função que fornece o custo total de x de peças; b) Calcule o custo de 100 peças; c) Escreva a taxa de crescimento da função.

5) Um comerciante gastou R$ 300,00 na compra de um lote de maçãs.

Como cada maçã será vendida a R$2,00, ele deseja saber quantas maçãs devem ser vendidas para que haja lucro no final da venda.

6) A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola.

Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h=-t2+6t, determine:

a) Em que instante a bola atinge a altura máxima? b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?

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AULA 7

Matemática Aplicada


1 – Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função

x

xxf

2500

22)(

+

= , em que x é o número de residências e )(xf é o número de carteiros.

a) Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, qual o número de residências desse bairro, que receberam correspondências? b) Qual o número de carteiros necessários para distribuir 2500 correspondências nas residências desse bairro? 2 – Na fabricação de um lote de peças de certo produto, o custo total é igual à soma de um valor fixo de R$ 400,00 com o custo de produção unitário de R$ 1,50. a) Se o preço unitário de venda dessas peças for de R$ 2,50, qual é o número mínimo de peças que devem ser fabricadas e vendidas para que se comece a ter lucro? b) Determine a função que define o custo total? c) Qual o custo total de produzir 65 peças?

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3 – Ao ser cobrada uma falta numa partida de futebol, a trajetória da bola é tal que sua altura h , em metros, varia com o tempo t , em segundos, de acordo com a função

ttth 2)(2

+−= .

a) Faça uma tabela e construa o gráfico para 0=t , 2

1=t , 1=t ,

2

3=t e 2=t .

b) Em que instantes a bola se encontra no solo, (altura igual a zero metros)? c) Em que instante a bola atingiu a maior altura? 4 – Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por

3000802

+−= xxC . a) A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo? b) O valor do custo, quando forem produzidas 20 unidades?

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Aula 8



Limites e Continuidades

O desenvolvimento do cálculo foi estimulado por dois problemas geométricos: achar as áreas de regiões planas e as retas tangentes à curva. Esses problemas requerem um “processo de limite” para a sua solução. Entretanto, o processo de limite ocorre em muitas outras aplicações – na verdade tantas, que, de fato, o conceito “limite” é o alicerce sobre o qual outros conceitos de cálculo estão baseados.

Antes de formalizarmos o conceito de limite, vamos observar algumas situações. Nelas veremos que uma seqüência de valores atribuídos a uma variável implica em outra seqüência de valores numéricos de uma expressão dessa variável.

Idéia Intuitiva de Limite

Consideramos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1. Vamos desenvolver as seguintes etapas:

• Colorir metade dessa figura.

• Colorir de outra forma metade do que restou em branco.

• Colorir de outra forma metade do que restou em branco.

Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a região colorida vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a área vai se aproximando de 1, ou seja, vai tendendo a 1.

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Dizemos então que o limite dessa soma é igual a 1. Quando dizemos que a área da região colorida tende a 1, significa que

ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor. Observe o gráfico da função f: IR � IR, definida por f(x)= x+2 Note que, à medida que os valores de x se aproximam de 3, por

valores menores que 3 (pela esquerda) ou por valores maiores que 3 (pela direita), f(x) se aproxima de 5. A tabela a seguir indica os valores de f(x) para alguns valores de x:

X: 2 2,3 2,9 2,99.......................... 3,01 3,4 3,9 fx: 4 4,3 4,9 4,99...........................5,01 5,4 5,9

De acordo com o exposto, podemos dizer que:

� O limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos por:

� O limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e

indicamos por: Os limites à esquerda e a direita são chamados de limites laterais. Em vez das duas indicações anteriores; podemos utilizar a seguinte

representação única: lim f(x)=5 x�3 Lê-se: o limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 5.

Observe que f(3)=5 Considere o gráfico da função f: IR� IR, definida por: f(x)= x,se x ≤ 3

x+2, se x>3

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Observe os limites laterais: � Quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de3,

isto é: � Quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto

é: Como os limites laterais neste caso são diferentes, dizemos que não

existe o limite de f(x) quando x tende a 3.

Exemplos 1) Dada à função f(x) definida por f(x) = x+1 se x >2

x2+1 se x ≤ 2 e x ≠ -1 representá-la graficamente e verificar no gráfico os limites:

a) lim f(x) x�-2

b) lim f(x) x�0 c) lim f(x) x�-1 d) lim f(x) x�2- e) lim f(x) x�2+ f) lim f(x) x�2

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2) Calcular lim 2

32

+

−+

x

xx

e interpretar o resultado.

x�1 3) Calcular os limites: a) lim (x2-5x+4) x�2

b) lim x

xx

21

123

+

+−

x�1

c) lim 1

1

−

−

x

x

x�4

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Aula 9



1- Calcule os limites:

a) 2

lim−→x

)1(3

+x

b) 0

lim→x

)5(4

+x

c) 4

lim→x 1

62

2

−

+

x

x

d) 0

lim→x

)14(23

−+− xxx

e) 3

lim→x

)41(2x−

2- Determine:

a) 7lim4→x

b) 32lim1−→x

c) 2

lim→x

)5(3 xx +

d) 4

lim−→x

− xx

2

14

2

e) 3

lim→x

)13(2

−+ xx

f) 0

lim→x

)1(234

++− xxx

3- Dada a função xxx

xxxxf

3

365)(

23

23

+−

+−= , calcule:

a) )(lim1

xfx→

d) )(lim2

xfx→

b) )(lim21

xfx→

e) )(lim2

xfx −→

c) )(lim1

xfx −→

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4- Faça uma lista de todos os valores de x para os quais a função dada não

está definida:

a) xxxxf +−= 35)(3

b) 3

1)(

2

+

−=

x

xxf

c) )32)(2(

5)(

3

+−

+=

xx

xxxf

5- Plote )2(

)963()(

2

2

−+

+−=

xx

xxxf . Determine os valores de x para os quais a

função não é definida.

6- A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a

introdução de uma toxina é dada pela função

+−

+=

728

7)(

2

t

ttf

se

se

5

5

≥

<

t

t .

a) Quanto tempo a colônia leva para se extinguir?

b) Explique por que a população deve ser de 10.000 em alguma ocasião

entre 1=t e .7=t

7- Um fabricante é capaz de produzir 5.000 unidades de um produto por dia a

um custo fixo de R$ 1.500,00 por dia e um custo variável de R$ 2,00 por

unidade. Expresse o custo C em função do número de unidades produzidas e

desenhe o gráfico da função )(xC . A função )(xC é contínua? Se não é, em

que pontos existem descontinuidades?

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AULA 10

Matemática Aplicada Prof. Cristiano Huff Jung

Derivadas: Conceitos Básicos

Inclinação e Taxa de Variação

O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variação é um método conhecido como derivação. Vamos descrever esse método e mostrar como pode ser usado para determinar a taxa de variação de uma função e também a inclinação da reta tangente a uma curva.

Seja f uma função definida num conjunto D; sejam xo e xo+ ∆ x dois ponto de D. quando uma variável x passa do valor xo para o valor xo+ ∆ x sofrendo uma variação ∆ x, o correspondente valor da função passa de f(xo) para o valor f(xo+ ∆ x)sofrendo, portanto, uma variação:

∆ y=f(xo+ ∆ x)-f(xo)

O quociente:

x

xfxxf

x

y oo

∆

−∆+=

∆

∆ )()(

Recebe o nome de taxa média de variação da função quando x passa

do valor xo, para o valor xo- ∆ x e expressa a variação média sofrida pelos valores da função entre estes dois pontos.

Exemplos:

1) Seja a função f tal que f(x) =3x+1, com x ∈ IR.

Sejam xo= 1 e xo+ ∆ x=4 ∴ ∆ x=3

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2) Seja a função f tal que f(x) = x2+5, x∈ IR.

Se xo=2 e xo+ ∆ x=4 temos ∆∴ x=2

3) Seja a função f tal que f(x) =x3-1, x∈ IR.

Se xo=4 e o xo+ ∆x=0 temos ∆∴ x=-4

Exercícios 1- Calcular a taxa média de variação das funções seguintes entre os pontos indicados:

a) y=4 2 e 4 R: 0 b) y=-5 1 e 1,2 R: 0 c) y= -x 5 e 8 R: -1 d) y= -x -1 e 4 R: -1 e) y=4x 2 e 3 R: 4 f) y=-4x 2 e 5 R: -4 g) y= x+1 4 e 10 R: 1 h) y=-x+1 -2 e 6 R: -1 i) y=2x+3 -5 e 5 R= 2 j) y= -4x+5 0 e 10 R: -4 k) y= x2 0 e 3 R: 3 l) y=x2+x -1 e 1 R: +1

m) y= 2

1x2+x-1 10 e 12 R: 12

n) y=x4-2x3+2 1 e 2 R: 1

o) y=1-x

1 2 e 5 R:

10

1

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A função custo associada à produção de x unidades de determinado bem é

dada por: C(x) =10000+2x+ 2

10

1x . Determinar:

a)O custo médio da produção, ix

xc

)(.

b) O custo variável médio de produção Cvm (taxa média de variação da função C entre os pontos o e x unidades).

Derivada de uma função. Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto ] a,b [ e xo

um ponto deste intervalo.

O Limite, lim x

y

∆

∆= lim

( ) ( )

x

xfxxf oo

∆

−∆+.

∆ x�0 ∆ x�0 Quando existe, isto é, quando é um número real, recebe o nome de

derivada da função f no ponto xo. Neste caso dizemos também que f é derivável no ponto xo. A derivada de f no ponto xo será indicada por uma das notações seguintes:

f’(xo), ( )ox

dx

df, ( )ox

dx

dy ou ainda por y’(xo).

Exemplos: 1) Calcule a derivada de cada uma das funções seguintes, nos pontos indicados:

a) y=2x+1; xo=4 R: 2

b) y=x

1 ; xo=4 R:

16

1−

c) y= 1

1

+x ; xo= 5 R:

36

1−

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Função Derivada

Seja f uma função derivável em todo ponto x de um intervalo aberto Ι .

A função que a todo x associa o número f’(x) recebe o nome de função derivada de f em Ι e será indicada por uma das notações:

f’, dx

df,

dx

df ou y’

Exemplos: 1) Se f(x) =x2 temos: Portanto, f é derivável em todo ponto x∈ IR com derivada 2x. Assim, a

derivada de f é a função f’ tal que f’(x)=2x. 2) Derive f(x) =x3 Portanto f’(x) =3x2, qualquer que seja x∈ IR.

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AULA 11


MATEMÁTICA APLICADA - PROBLEMAS

1 – Calcular a derivada de cada uma das funções seguintes:

a) 54 += xy

b) 22

1+= xy

c) 752

1 2++−= xxy

d) 23xxy +=

e) 3245 xxy +−=

f) 5

34xxx

y+−

=

g) 562

2

110 xxxy ++−=

h) 9

367

xxy

−=

i) 6

2

3xy =

j) 1622

++= xxy

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l) 5,02

+=x

y

m) 52)4( += xy

n) 8)2( xy −=

o) xexy

2=

2 – Derive as funções:

a) 204223

+++= qqqC (Custo)

b) 326 qqR −= (Receita)

c) 361324

−+−= qqL (Lucro)

d) 3

1

10xP = (Produção)

e) xxU = (Utilidade)

f) 1002

+−= pq (Demanda)

3 – Seja 1282

−+−= xxy

a) Faça o gráfico da função e determine o ponto da curva em que a tangente é

paralela ao eixo dos x . Qual o valor da função nesse ponto?

b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

c) Resolva as inequações 0>′y e 0<′y .

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AULA 12


PROFESSOR: CRISTIANO HUFF JUNG

1 – Seja a função 862

+−= xxy

a) Faça seu gráfico.

b) Determine sua derivada.

c) Determine a inclinação da curva nos pontos 5,4,3,2,1,0 ====== xxxxxx e 6=x .

d) Com base nos valores encontrados em )(C e observando o gráfico, determine para

que valores de x a inclinação da curva é positiva, para que valores é negativa e para

que valores é nula.

2 – Seja a função 23 xxy −=

a) Faça seu gráfico.

b) Determine sua derivada.

c) Determine os valores de x para os quais a curva tem inclinação positiva (é

crescente), resolvendo a inequação 0>′y .

d) Determine os valores de x para os quais a curva tem inclinação negativa (é

decrescente), resolvendo a inequação 0<′y .

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3 – O produto interno bruto (PIB) de um certo país é dado por 1065)(2

++= tttN

bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1990.

a) Qual foi à taxa de variação do PIB em 1998?

b) Qual foi à taxa de variação percentual do PIB em 1998?

4 – A receita bruta anual de certa empresa era 20101,0)(2

++= tttA mil reais t anos

depois que a companhia foi fundada em 1998.

a) Qual a taxa de variação da receita bruta anual da empresa no início de 2002?

b) Qual a taxa de variação percentual da receita bruta anual da empresa no início de

2002?

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Aula 13 Matemática Aplicada


Integração

Integral Indefinida

Definição: Seja f uma função definida num intervalo I. Dizemos que uma função P definida em I é uma primitiva de f quando:

P’(x) =f(x) para todo x ∈ I

Por exemplo, se f(x) =x2, então, P(x) =3

3x

é uma primitiva de f, pois P’(x)

= x2=f(x), para todo x ∈ IR. Uma conseqüência imediata da definição consiste no fato que, se P é

uma primitiva de f, P+C (onde C é uma constante qualquer)é também uma primitiva de f, pois:

(P+C)’(x) = P(x) +C’=P’(x) = f(x), para todo x ∈ I.

Assim, P(x) = 3

3x

+C (onde C é uma constante qualquer) é uma primitiva

de f(x) =x2, pois, P’(x) = x2 = f(x), qualquer que seja x ∈ IR. Uma segunda conseqüência da definição é que se P1 e P2 são duas

primitivas de f, então, P1 e P2=C, onde C é uma constante.

De fato (P1 - P2)’(x) = P1’(x)-P2’(x) = f(x) - f(x) =0, para todo x ∈ I. Logo, P1 - P 2 = C onde C é uma constante arbitrária.

Resulta, então, que se P é uma primitiva de f, toda primitiva de f é da forma P+C. A expressão P+C onde P é uma primitiva de f e C é uma constante qualquer recebe o nome integral indefinida de f e será indicada pela notação

∫ f(x) dx (integral de f).

Exemplos:

Função Primitiva Integral Indefinida f(x) f(x) ∫ f(x) dx

K Kx Kx+C

x

2

2x

2

2x

+C

x2

3

3x

3

3x

+C

Xn, n ≠ -1

1

1

+

+

n

xn

1

1

+

+

n

xn

+C

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Algumas regras de Integração

As funções u=f(x) e v=g(x) serão abreviadamente representadas por u e v e as constantes serão representadas por C ou K.

Integral da soma de funções:

∫ (u+v) dx = ∫ u.dx+ ∫ v.dx

Integral do produto de uma constante por uma função:

∫ c.v.dx = c ∫ v.dx

Integral de Constante:

∫ c.dx= cx+K

Integral de função. Potência (ou produto de potência pela derivada

da base): Se m ≠ -1:

∫ xmdx= 1

1

+

+

m

xm

+ K e ∫ umu’dx = 1

1

+

+

m

um

+K

Se m=-1

∫ x-1 dx= ∫x

1dx= ln /x/ +K e ∫ u-1u’dx = ∫

u

u 'dx = ln/u/+ K

Integral de função exponencial (ou produto de exponencial pela

derivada do expoente):

∫ lxdx = lx+K ∫ luu’ dx= lu+K.

∫ axdx= Ka

ax

+ln

∫ auu’dx = Ka

au

+ln

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Alguns exemplos numéricos podem esclarecer melhor o uso das regras anteriores:

Exemplo 1:

∫ (3x2-4x+5) dx = 3 ∫ x2dx-4 ∫ x dx+5 ∫ dx= =++− Kxxx

52

43

323

x3-

2x2+5x+K.

Exemplo 2:

∫ dxxx

x

3

32

2+

+ = ∫

u

u 'dx = ln/u/+K=ln /x2+3x/+K

Exemplo 3:

∫ lx2 2xdx = ∫ lu.u’dx = lu+k = lx2+K

Exemplo 4:

∫ (x3+4)3 3x2 dx = ∫ u3.u’ dx= 4

4u

+K = ( )

4

443

+x+K

Exemplo 5:

∫ 2x 52

+x dx = ∫ u’.u 21

dx =

23

23

u+K =

3

2(x2+5) 2

3

+ K.

Exemplo 6:

∫ x 52

+x dx = ∫2

'u. u 2

1

dx= 2

1

23

23

u +K =

)(3

5 23

2+x

+K.

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