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Livro digital sobre triângulos notáveis utilizando o Software Geogebra
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TRIÂNGULOS
CONSULTA AO SOFTWARE GEOGEBRA NA
CONSTRUÇÃO DE TRIANGULOS NOTÁVEIS
O USO DO GEOGEBRA COMO FERRAMENTA PARA CONSTRUÇÃO,A
INTERPRETAÇÃO E A APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA PLANA
Este material é apresentado através de textos explicativos e informativos
quanto a utilização e construção dos triângulos notáveis com a utilização do
software Geogebra e uma breve história da aplicabilidade do triângulo no
decorrer da vida humana.
O livro produzido, tem como objetivo abordar o assunto,procurando enfocar
os triângulos notáveis, para que os alunos possam ter como consulta, sempre
que encontrarem dúvidas nas suas atividades.
Vejo a necessidade de trabalhar a construção das figuras planas, uma vez
que, o ensino e a aprendizagem da geometria, é algo que ainda hoje é
desafiante para educadores e escola. Quando se trata do ensino da geometria
para alunos de 8º ano do Ensino Fundamental, ampliam-se as dificuldades pela
exigência de interpretação, raciocínio lógico, cálculos algébricos,
representação, classificação, identificação de regularidades e o conhecimento
das relações quantitativas e qualitativas que esta linguagem matemática
necessita.
Vive-se um momento de intensas transformações que aceleram o
processo de aquisição de informações e de conhecimento por meio da
utilização da informática e de recursos tecnológicos de comunicação, os quais
o público jovem tem acesso e um domínio técnico, muitas vezes, maior que
outros públicos, inclusive os professores.
Diante disso, este livro on-line se justifica por aliar conhecimentos de
informática e aprendizagem da Geometria Plana. Através da utilização do
software Geogebra, alunos de 8º ano do Colégio Estadual Eleodoro Ébano
Pereira, terão meios de ampliar os conhecimentos obtidos em sala de aula,
com uma ferramenta de aprendizagem interativa. Assim, estes estudantes
terão a oportunidade de descobrir, por meio de uma nova ferramenta, meios
para visualizar, explorar, socializar e fazer conjecturas, ampliando com isso
seus conhecimentos geométricos.
HISTÓRIA DA UTILIDADE DO TRIÂNGULO
Pode ser que ao longo de sua evolução, o homem sentiu necessidade de
tornar as construções rígidas e mais seguras. Por exemplo nos tempos
primitivos da civilização Grega, foi usado pelos gregos o triângulo de descarga,
onde permite descarregar as pressões exercidas por grandes pesos que se
encontram por cima das portas.
Fig.01 http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Imagens/Image01.jpg
Geralmente esses triângulos eram abertos, mas temos exemplos como na
cidade de Mecenas, onde a porta dos leões é decorada.
Fig.02 http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Imagens/porta600.jpg
No princípio da idade Média, apareceu pela primeira vez no mediterrâneo, uma
vela triangular, porém não se sabe quem a usou primeiro.
Fig.03 http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Pg000700.htm
VELA TRIÂNGULAR
Os Portugueses mantiveram durante muitos anos, o segredo desta arte
no Oceano. Por isso chegaram até ao Cabo da Boa Esperança, sem a
concorrência do resto da Europa. Em 1575, o escritor Escalante de Mendonça
escrevia:..."A Caravela Portuguesa foi a melhor invenção que até ao tempo se
alcançou para a navegação de bolina." Mas os triângulos continuam sendo
utilizados, veja exemplos:
FIGURA 04 http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Pg000710.htm
FIGURA 04 http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Pg000710.htm
FIGURA 05 http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Pg000730.htm
TUTORIAL (PASSO A PASSO)
ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
Instalação do programa no Microsoft Windows
Proceda da seguinte forma:
1.Acesse a página oficial do programa: WWW.geogebra.org;
2.Clique na opção Download que fica na coluna esquerda da tela.
3.Clique em: Download Geogebra.
4.Aparecerá em parte da tela, a figura 1 deste texto, onde deverá selecionar a
opção de acordo com o seu sistema operacional.
5.Ao aparecer a próxima tela, clique em salvar.
6.Crie uma pasta para o GEOGEBRA, clicando em “nova pasta”.
7.Dê dois cliques na nova pasta para selecioná-la, em seguida cliqu SALVAR.
8.Aguarde e ao concluir o donwload, clique em FECHAR.
9.Finalmente aparecerá a tela do GEOGEBRA para iniciar o trabalho.
Observação: Caso não consiga executar o programa, será necessário baixar a
máquina virtual Java, a partir do site http://www.getjava.
Após baixado o arquivo de instalação.
Após instalar o programa GEOGEBRA,estude o software, verifique o que fazer
com os botões básicos para que possa descobrir o que é possível fazer.
Abaixo, pode verificar seguindo o passo a passo.
Na parte superior à esquerda está a parte algébrica, que pode ser fechada se
necessário, e à direita a parte geométrica. Para reativar a parte algébrica basta
ir ao item exibir do menu e clicar em "janela de álgebra". Neste mesmo item
podemos ativar/desativar os eixos, a malha e o protocolo de construção. Na
tela abaixo temos cada ícone com várias opções de acordo com o desenho.
Por exemplo ao clicar na parte inferior a direita do ícone conhecemos
seus nomes e utilidades.
O conhecimento e exploração das ferramentas é fundamental para execução
das atividades.
Na sequência explore todos os ícones da barra de ferramentas e exercite
atividades simples como, apagar, alterar, limpar tela, construir figuras planas,
para que brincando possa conhecer e executar atividades.
Construa vários triângulos com o botão segmento de reta definido por dois
pontos, em seguida,use também ponto médio, perpendicular,bissetriz e se
desafie a construir triângulos retângulo, eqüilátero, e isósceles como também
em mover, fazer, desfazer e medir os ângulos dos triângulos, no intuito de usar
o dinamismo do programa,como também experimentando a propriedade da
soma dos ângulos internos de qualquer dos triângulos que sempre é 1800.
Observação: Precisamos lembrar que o sistema decimal aparece ponto no
lugar da vírgula.
Espécies de triângulos: eqüilátero, escaleno, isósceles e retângulo.
a)Triângulo eqüilátero. Tem os três lados e três ângulos iguais.
b)Triângulo retângulo. Possui um ângulo reto.
Triângulo escaleno. Tem todos os ângulos e lados desiguais.
Triângulo isósceles.Tem dois lados e, portanto, dois ângulos iguais.
PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
Será estudado os pontos notáveis de um triângulo:Baricentro, Incentro,
Circuncentro e Ortocentro, construindo os triângulos, retângulo, isósceles,
escaleno e eqüilátero, através do Software Geogebra.
Através das Ceviana Mediana,Bissetriz interna e altura. O nome
Ceviana, foi dado em homenagem ao matemático italiano Giovani Ceva(1648-
1734), que demonstrou teoremas importantes sobre elas. Ceviana é todo
segmento que tem uma das extremidades num vértice qualquer de um
triângulo e a outra num ponto qualquer da reta oposta a esse vértice.
a) Mediana é toda Ceviana que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
b) Bissetriz Interna é um segmento de reta ou ceviana que divide o ângulo
interno .em dois ângulos congruentes.
c) Altura é uma perpendicular que une o vértice ao seu lado oposto.
d) Mediatrizes são retas perpendiculares, passando pelo ponto médio, a cada
um dos lados de um triângulo.
A) BARICENTRO As três medianas de um Triângulo interceptam-se num
mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes, sendo que a
parte que contém o vértice é o dobro da outra.
Uma estrada muito inclinada, poderá causar o tombamento de um veículo cujo
o centro de gravidade seja muito alto, como um jipe ou um caminhão.
Propriedade: O ponto de encontro das três medianas de um triângulo qualquer
é o centro de massa desse triângulo, denominado Baricentro, denotado por(G).
b) INCENTRO
O ponto de intersecção das três bissetrizes é denominado INCENTRO,
denotado por (I) e se encontra a igual distância dos lados do triângulo. O
INCENTRO é o centro da circunferência inscrita num triângulo.
c) CIRCUNCENTRO é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do
triângulo, denotado por ( O ). É também o centro da circunferência circunscrita
a um triângulo.
O Circuncentro pode ser:
Interno: se o triângulo for acutângulo.
Externo: se o triângulo for obtusângulo
Coincidente: se o triângulo for retângulo
d) ORTOCENTRO
O ponto de intersecção das alturas de um triângulo é chamado de Ortocentro e
denotado por ( H ).
O Ortocentro pode ser:
Interno: se o triângulo for acutângulo.
Externo: se o triângulo for obtusângulo
Coincidente: se o triângulo for retângulo.
Procure realizar as atividades na ordem proposta, no passo a passo, pois as
definições e ferramentas estão sendo exploradas gradativamente.
Passo a passo: clicar em polígonos e ligar os pontos ABC, formando
assim um triângulo.
Clicar em e nos vértices ABC,BCD e CAB que automaticamente surge a
medida de cada ângulo.
CONDIÇÃO DE EXISTENCIA DE UM TRIÂNGULO
-Desenhar triângulos com medidas quaisquer
Passo a passo
Clicar no programa Geogebra, e no ícone segmento definido por dois
pontos. Ligar os pontos AB, BC,CD com medidas quaisquer. Clicar em ângulos
e somar os ângulos . Â +B +Ĉ = 1800 Construir vários triângulos e aplicar a
propriedade.
Outro modo de construir triângulos
Clicar em ângulos e ligar os pontos formando triângulos
1-CONSTRUÇÃO DO BARICENTROApós construir o triângulo clique
em na tecla ponto médio , e nos pontos AB, BC e CA formando
os pontos médios, em seguida una seguimento definido por dois pontos
unindo o ponto médio a seus respectivos vértices.
2. ORTOCENTRO: Construa um triângulo qualquer, clicando em polígonos e clique na
tela unindo os três vértices, em seguida determine as suas três alturas através da 4a
janela reta perpendicular e clicar em cada vértice ao seu lado oposto, onde formará as
três alturas.
Para medir o ângulo dos triângulos Clicar nos três ângulos teremos a medida de cada
ângulo. Veremos que cada altura medirá 900.
3-CIRCUNCENTRO
Construa um triângulo equilátero, seguindo os passos abaixo.
.Clicar em segmento de reta
.construir uma reta de tamanho qualquer.
Clicar em círculo dados centro e um de seus pontos Abrir até a
extremidade da reta
.Repetir, abrindo o circulo até a outra extremidade.
.Clicar em formando o ponto C. É só unir os três pontos com polígonos e
está concluído o triângulo eqüilátero.
Para eliminar, clicar com o mause, botão direito, em cima da circunferência,
aparece o ícone exibir objeto, clicar e apaga.Ficando apenas o triângulo
equilátero.
Para determinar as mediatrizes clicar no ícone mediatriz, em cada reta
que surgem com a união das três o ponto de intercecção.
Em seguida clicar círculo dados centro e um de seus pontos,em cima do
ponto de união das três mediatrizes, a circunferência se abre até o vértice.
Surgindo assim a circunferência circunscrita.
4-INCENTRO
Construa um triângulo qualquer
Clicar em e em A^BC , BCA e CAB, onde forma as bissetrizes.
5-CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA
-Construa um triângulo e encontre suas bissetrizes
-Clique em e com o rato no ponto de intersecção das bissetrizes (incentro) abrindo o
circulo até atingir o lado dos triângulos.
Proponho que a partir dos conhecimentos adquiridos construam:
triângulos isósceles
triângulos eqüiláteros
triângulos escaleno
triângulos retângulos
determinem o baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro de cada um,
observando e registrando as conjecturas em cada caso.
TEOREMA DE PITÁGORAS
O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C.
– 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta
e demonstração.
Pitágoras descobriu que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do
comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos
dos catetos. Traduzindo para uma equação, temos: H2 = C2 + C2
Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os
dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o
teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:
Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a
hipotenusa, é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os
catetos, assim temos a equação: c2 = a2 + b2 ou seja : H2 = C2 + C2
O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados
construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do
quadrado construído sobre a hipotenusa (c).
Podemos fazer a verificação
Observe os triângulos abaixo:
CURIOSIDADES
Por que Triângulo das Bermudas ?
:
ILHA DAS BERMUDAS
FLÓRIDA
PORTO RICO
Ufa!!!chamadoMar do diabo””Cemitério de barcos””... Somem sem deixar
Vestígios!!!
barcos e aviões sumiram e não deixaram vestígios.
Alguns foram encontrados, porém sem nenhuma pessoa a bordo
Existem no planeta vários outros pontos conhecidos como portais do diabo ou triângulos de tempestades magnéticas, mas o mais famoso, sem dúvida é o Triângulo das Bermudas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALBUQUERQUE, Luciane de. O uso do programa Geogebra no ensino de
Geometria de 5ª a 8ª séries do ensino fundamental das escolas públicas
do Paraná. Caderno Pedagógico do PDE. SEED. Curitiba, 2008.
CANÃO, Donzília Ramalho Dos Santos; SANTOS, Maria Paula Trindade
Ferreira. O triângulo. Disponível em:
<http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Index.htm>. Acesso em: 14
ago. 2012.
Galvez José, et alii, Enciclopédia Audiovisual Educativa, "Matemática", vol. 2,
Lisboa, Liarte, Editora de Livros, Lda., 1996, págs. 188 a 193.
GERÔNIMO,João Roberto;OLIVEIRA BARROS,Rui marco e FRANCO,Valdeni
soliani. Geometria Euclidiana plana-Um estudo com o Software Geogebra.
Neves, Maria Augusta et alii, Matemática, 1ª Parte, 7º Ano, 1ª Edição, Porto,
Porto Editora 2002, págs. 20 a 31.
NÓBREGA, J. cássio. Aprendendo MATEMÁTICA COM O GEOGEBRA.
Desejo que este tutorial, seja útil, como apoio, em suas
consultas.
Professora: Maria Deolinda Scremin
CASCAVEL, PDE 2012
QUE TENHA ÓTIMO APROVEITAMENTO
