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CEC – CENTRO DE ENGENHARIA E COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS LÓGICA EM COMPUTAÇÃO TAUTOLOGIA - EQUIVALÊNCIA E INFERÊNCIA VERSÃO: 0.1 - MARÇO DE 2017 Professor: Luís Rodrigo E-mail: [email protected] Site: http://lrodrigo.sgs.lncc.br

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CEC – CENTRO DE ENGENHARIA E COMPUTAÇÃOUNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS

LÓGICA EM COMPUTAÇÃO

TAUTOLOGIA - EQUIVALÊNCIA E INFERÊNCIAVERSÃO: 0.1 - MARÇO DE 2017

Professor: Luís RodrigoE-mail: [email protected]: http://lrodrigo.sgs.lncc.br

Lógica Computacional – Parte II

Administração de Sistemas de Informação

3

Tautologia– EquivalênciaeInferência

3

Parte II - Tautologia e Contradição

¨ Uma Tautologia é intrinsecamente verdadeira. Independentemente do valor lógico atribuído às letras das proposições, a formula sempre é Verdade.

¨ Já uma Contradição é uma formula, ou proposição, que sempre assume o valor Falso, independentemente dos valores das letrasproposicionais.

Lógica Computacional – Parte II

Administração de Sistemas de Informação

EquivalênciasTautológicas(1)

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1.1) Relação de Implicação

¨ Sendo duas proposições ”p” e ”q”

¨ Quando a sentença ”p → q” é uma tautologia

¨ Podemos dizer que há uma relação de implicação entre ”p” e ”q”, ou seja:

p⇒ q

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1.1) Relação de Implicação

¨ O símbolo ”→” indica uma operação ao passo que

¨ O símbolo ” ⇒ ” indica uma relação

¨ Uma relação não cria uma nova proposição, mas uma operação sim.

7

1.1) Relação de Implicação

¨ Todo Teorema é uma implicação na forma:

Hipótese ⇒ Tese

¨ Desta forma, ao demonstrarmos a Hipótese, significa dizer que:¤ não há um caso onde a Hipótese seja verdadeira e a

Tese ”não”

¨ Neste caso, a Verdade da Hipótese é suficiente para garantir a Verdade da Tese.

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1.2) Relação de Equivalência

¨ A proposição ”p” é equivalente à ”q”, quando:

¤ elas implicam uma na outra:

P ↔ Q

¤ bem como, a bicondicional é uma tautologia.

¨ Neste caso, podemos usar a representação abaixo para denotas que ambas são equivalentes

P⇔ Q

9

1.2) Relação de Equivalência

¨ Duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma ”tabela verdade”

¨ Duas proposições são equivalentes quando expressam a mesma ideia, diferenciando-se apenas o formato

Lógica Computacional – Parte II

Administração de Sistemas de Informação

Exercícios

11

1.3) Exercícios

Verifique se as proposições abaixo possuem relação de Equivalência, de Implicação ou não possuem relação entre elas:a) p ^ q → p v qb) (p ↔ q) ↔ ( ( p → q ) ^ ( q → p ))c) ~(p → q) ↔ p ^ ~qd) (p → q) ↔ (~q → ~p)

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1.3) Exercícios

Sendo f uma contradição, determine:

a) (p ^ ~q → f) ↔ ( p → q)

Lógica Computacional – Parte II

Administração de Sistemas de Informação

PropriedadesdeEquivalência(2)

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2) Principais propriedades de Equivalência

1) Simetria:Se ”p ⇔ q”

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2) Principais propriedades de Equivalência

1) Simetria:Se ”p ⇔ q” Então ”q ⇔ p”

16

2) Principais propriedades de Equivalência

2) Transitiva:Se ”p ⇔ q” e ”q ⇔ r”

17

2) Principais propriedades de Equivalência

2) Transitiva:Se ”p ⇔ q” e ”q ⇔ r” Então ”p ⇔ r”

18

2) Principais propriedades de Equivalência

3) Comutatividade:n p ^ q ⇔ ???n p v q ⇔ ???

19

2) Principais propriedades de Equivalência

3) Comutatividade:n p ^ q ⇔ q ^ pn p v q ⇔ q v p

20

2) Principais propriedades de Equivalência

4) Associatividade:n (p ^ q) ^ r ⇔ ???n (p v q) v r ⇔ ???

21

2) Principais propriedades de Equivalência

4) Associatividade:n (p ^ q) ^ r ⇔ p ^ (q ^ r) n (p v q) v r ⇔ q v (p v r)

22

2) Principais propriedades de Equivalência

5) Distributividaden p∧(q∨r) ⇔ ???n p∨(q∧r) ⇔ ???

23

2) Principais propriedades de Equivalência

5) Distributividaden p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r) n p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r)

24

2) Principais propriedades de Equivalência

6) Elemento Neutron p∨? ⇔ pn p∧? ⇔ p

25

2) Principais propriedades de Equivalência

6) Elemento Neutron p∨F ⇔ pn p∧V ⇔ p

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2) Principais propriedades de Equivalência

7) Complementon p∧~p ⇔ ???n p∨~p ⇔ ???

27

2) Principais propriedades de Equivalência

7) Complementon p∧~p ⇔ Fn p∨~p ⇔ V

28

2) Principais propriedades de Equivalência

8) Indepotêncian p∧p ⇔ ???n p∨p ⇔ ???

”Em matemática e ciência da computação, a idempotência é a propriedade que algumas operações têm de poderem ser aplicadas várias vezes sem que o valor do resultado se altere após a aplicação inicial.” - Idempotência – Wikipédia, a enciclopédia livre

29

2) Principais propriedades de Equivalência

8) Indepotêncian p∧p ⇔ pn p∨p ⇔ p

¤ Logo:

30

2) Principais propriedades de Equivalência

8) Indepotêncian p∧p ⇔ pn p∨p ⇔ p

¤ Logo: n p∧p ⇔ p∨p

31

2) Principais propriedades de Equivalência

9) Dupla negação n ~(~p) ⇔ ???

32

2) Principais propriedades de Equivalência

9) Dupla negação n ~(~p) ⇔ p

33

2) Principais propriedades de Equivalência

10) Equivalência da Implicaçãon (p → q)⇔ ???

34

2) Principais propriedades de Equivalência

10) Equivalência da Implicaçãon (p → q)⇔(~p ⋁ q)

Prove construindo a

Tabela Verdade

35

2) Principais propriedades de Equivalência

11) Contraposição”Se João estudar, será aprovado”

é equivalente à ”Se João não estudar, não será aprovado”

36

2) Principais propriedades de Equivalência

11) Contraposição”Se João estudar, será aprovado”

é equivalente à ”Se João não estudar, não será aprovado”n (p → q) ⇔ (~p → ~q)

Prove construindo a

Tabela Verdade

37

2) Principais propriedades de Equivalência

12a) Lei da Bicondicionaln (p ↔ q) ⇔ ???

38

2) Principais propriedades de Equivalência

12a) Lei da Bicondicionaln (p ↔ q) ⇔ (p → q) ⋀ (q → p)

39

2) Principais propriedades de Equivalência

12a) Lei da Bicondicionaln (p ↔ q) ⇔ (p → q) ⋀ (q → p)

Prove construindo a

Tabela Verdade

40

2) Principais propriedades de Equivalência

12a) Lei da Bicondicionaln (p ↔ q) ⇔ (p → q) ⋀ (q → p)

Exemplo: (p ↔ q)”Um número é divisível por 10 se e somente se ele terminar por zero”

41

2) Principais propriedades de Equivalência

12a) Lei da Bicondicionaln (p ↔ q) ⇔ (p → q) ⋀ (q → p)

Exemplo: (p ↔ q)”Um número é divisível por 10 se e somente se ele terminar por zero”

Equivale á: (p → q) ⋀ (q → p)”Se um número terminar por zero, então é múltiplo de 10, e se for múltiplo de 10, então ele termina por zero”

42

2) Principais propriedades de Equivalência

12b) Lei da Bicondicionaln (p ↔ q) ⇔ ???

43

2) Principais propriedades de Equivalência

12b) Lei da Bicondicionaln (p ↔ q) ⇔ (p ⋀ q)⋁(~q ⋀ ~p)

44

2) Principais propriedades de Equivalência

12b) Lei da Bicondicionaln (p ↔ q) ⇔ (p ⋀ q)⋁(~q ⋀ ~p)

Prove construindo a

Tabela Verdade

45

2) Principais propriedades de Equivalência

12b) Lei da Bicondicionaln (p ↔ q) ⇔ (p ⋀ q)⋁(~q ⋀ ~p)

Exemplo: (p ↔ q)”Um número é divisível por 10 se e somente se ele terminar por zero”

46

2) Principais propriedades de Equivalência

12b) Lei da Bicondicionaln (p ↔ q) ⇔ (p ⋀ q)⋁(~q ⋀ ~p)

Exemplo: (p ↔ q)”Um número é divisível por 10 se e somente se ele terminar por zero”

Equivale á:”Ou o número é múltiplo de 10 e terminado em zero, ou, não é múltiplo de 10 e não termina em zero”

47

2) Principais propriedades de Equivalência

13) Prova Condicionaln p → (q → r) ⇔ (p ⋀ q) → r

Prove construindo a

Tabela Verdade

48

2) Principais propriedades de Equivalência

14) Lei de De Morgan1

n ~(p ⋀ q) ⇔ ~p ⋁ ~qn ~(p ⋁ q) ⇔ ~p ⋀ ~q

Prove construindo a

Tabela Verdade

1 – Augustus De Morgam, matemático Inglês do séc XIX; foi o primeiro à enunciar estas leis

49

2) Principais propriedades de Equivalência

14) Lei de De Morgan1

n ~(p ⋀ q) ⇔ ~p ⋁ ~q*n ~(p ⋁ q) ⇔ ~p ⋀ ~q

”é falso que João foi ao cinema e ao teatro” equivale à

”ou João não foi ao cinema ou João não foi ao teatro”

1 – Augustus De Morgam, matemático Inglês do séc XIX; foi o primeiro à enunciar estas leis

50

2) Principais propriedades de Equivalência

15) Condicionaln p → q ⇔ ~p ⋁ q

Prove construindo a

Tabela Verdade

51

2) Principais propriedades de Equivalência

15) Condicionaln p → q ⇔ ~p ⋁ q

”Se continuar chovendo, o rio vai transbordar” equivale à

”ou para de chover ou o rio vai transbordar”

52

2) Principais propriedades de Equivalência

16) Lei da Absorçãon p → p ⋀ q ⇔ p → q

Prove construindo a

Tabela Verdade

53

2) Principais propriedades de Equivalência

17) Lei de Claviusn ~p → p ⇔ p

Prove construindo a

Tabela Verdade

54

2) Principais propriedades de Equivalência

18) Lei do Dileman (p → q) ⋀ (~p → q) ⇔ q

Prove construindo a

Tabela Verdade

55

2) Principais propriedades de Equivalência

18) Lei do Dileman (p → q) ⋀ (~p → q) ⇔ q

”Se eu for aprovado então vou viajar, e, senão for aprovado também vou viajar”

equivale à

”vou viajar”

56

2) Principais propriedades de Equivalência

19) Lei da Refutação por absurdon (p → q) ⋀ (p → ~q) ⇔ ~p

Prove construindo a

Tabela Verdade

57

2) Principais propriedades de Equivalência

20) Lei da Demonstração por absurdo(onde F é uma contradição)

n (p ⋀ ~q) → F ⇔ p → q

Prove construindo a

Tabela Verdade

58

2) Principais propriedades de Equivalência

22) Negação da Condicionaln ~(p → q) ⇔ p ⋀ ~q

Prove construindo a

Tabela Verdade

59

2) Principais propriedades de Equivalência

23) Negação da bicondicionaln ~(p ↔ q) ⇔ (p ⋀ ~q) ⋁ (~p ⋀ q)

Prove construindo a

Tabela Verdade

60

2) Principais propriedades de Equivalência

24) Contradição Tautológican p ⋀ T ⇔ pn p ⋁ T ⇔ Tn p ⋁ (~p) ⇔ Tn p ⋀ (~p) ⇔ Fn p ⋀ F ⇔ Fn p ⋁ F ⇔ pn ~T ⇔ Fn ~F ⇔ T

Lógica Computacional – Parte II

Administração de Sistemas de Informação

(2.1)

Reescrevendoasproposições

62

2.1) Reescrevendo as proposições

Com o conceito de equivalência torna-se possível a construção de qualquer expressão condicional com apenas o uso da negação (~), da disjunção (⋁) e/ou da conjunção (⋀).

63

2.1) Reescrevendo as proposições

a) Eliminando a Bicondicionaln(p↔q)

b) Eliminando a Condicionaln(p→q)

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2.1) Reescrevendo as proposições

a) Eliminando a Bicondicionaln(p↔q) ⇔ (p ⋀ q) ⋁ (~p ⋀ ~q) *15

b) Eliminando a Condicionaln(p→q) ⇔

65

2.1) Reescrevendo as proposições

a) Eliminando a Bicondicionaln(p↔q) ⇔ (p ⋀ q) ⋁ (~p ⋀ ~q) *15

b) Eliminando a Condicionaln(p→q) ⇔ ~p ⋁ q *10

66

2.1) Reescrevendo as proposições

c) Escrevendo a disjunção em termos da conjunçãon(p⋁q) ⇔

d) Escrevendo a conjunção em termo da disjunçãon(p⋀q) ⇔

67

2.1) Reescrevendo as proposições

c) Escrevendo a disjunção em termos da conjunçãon(p⋁q) ⇔ ~(~p ⋀ ~q) *13b

d) Escrevendo a conjunção em termo da disjunçãon(p⋀q) ⇔

68

2.1) Reescrevendo as proposições

c) Escrevendo a disjunção em termos da conjunçãon(p⋁q) ⇔ ~(~p ⋀ ~q) *13b

d) Escrevendo a conjunção em termo da disjunçãon(p⋀q) ⇔ ~(~p ⋁ ~q) *13a

Lógica Computacional – Parte II

Administração de Sistemas de Informação

(2.2)

Exercícios

70

2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições

¨ Escreva a proposição abaixo em termos da negação e disjunção

(p ↔ q) → ~p

71

2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições

a) Removendo a condicional (→)

(p ↔ q) → ~p Original

72

2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições

a) Removendo a condicional (→)

(p ↔ q) → ~p Original

~ (p ↔ q) ⋁ ~p (1)

73

2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições

b) Removendo a Bicondicional (↔)

~ (p ↔ q) ⋁ ~p (1)~[(p ⋀ q)⋁(~p ⋀ ~q)] ⋁ ~p (2)

74

2.2) Exercícios - reescrevendo as proposições

c) Removendo a Conjunçao (⋀)

~[(p ⋀ q) ⋁ (~p ⋀ ~q)] ⋁ ~p (2)~[~(~p ⋁ ~q) ⋁ ~(p ⋁ q)] ⋁ ~p (3)

Lógica Computacional – Parte II

Administração de Sistemas de Informação

(3)

InferênciaLógica

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3) Inferência Lógica

É uma tautologia com a seguinte forma:p → q

Onde:¤ ”p” é chamado de antecedente e ¤ ”q” de consequente.

Sendo representada na seguinte forma:p⇒ q

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3) Inferência Lógica

¨ As regras de inferência são formas válidas de raciocínio que nos permitem concluir o consequente baseado na verdade do antecedente.

¨ Elas podem ser caracterizadas pelo uso dos termos:

n ”logo”n ”portanto”n ”em consequência” n E sinónimos destes

78

3) Inferência Lógica

¨ As regras de inferência podem ser provadasconstruindo-se suas tabelas verdade;

¨ Se o resultado da coluna da condicional for uma Tautologia, logo, teremos uma inferência.

79

3.1) Regra se Inferência

1) TransitivaSe: (p ⇒ q) e (q ⇒ r)

Então: ???

80

3.1) Regra se Inferência

1) TransitivaSe: (p ⇒ q) e (q ⇒ r)

Então: p ⇒ r

81

3.1) Regra se Inferência

2) Modus Ponens (MP)*(p → q) ⋀ p ⇒ q

*A maneira que afirma o afirmativo - Latin

82

3.1) Regra se Inferência

3) Regra da Adiçãop ⇒ p ⋁ q

”vou ao cinema, logo, vou ao cinema ou ao teatro”

83

3.1) Regra se Inferência

4) Regras da Simplificaçãop ⋀ q ⇒ p

”fui ao cinema e ao teatro, logo fui ao cinema”

84

3.1) Regra se Inferência

5) Regra da Simplificação Disjunta:

(p ⋁ q) ⋀ (p ⋁ ~q) ⇒ p

”Ou estudo ou trabalho; ou estudo ou não trabalho;

logo, estudo”

85

3.1) Regra se Inferência

6) Regra da Absorção:

(p → q) ⇒ p → (p ⋀ q)

”Se trabalho, ganho dinheiro; logo, se trabalho, trabalho e ganho dinheiro”

86

3.1) Regra se Inferência

7) Regra do *Silogismo Hipotético (ou condicional):(p → q) ⋀ (q → r) ⇒ p → r

”Se trabalho, ganho direito, e se ganho dinheiro, vou viajar;

logo se trabalho vou viajar”

* É o raciocínio lógico estruturado formalmente a partir de duas proposições/premissas, das quais se obtém por inferência uma terceira (conclusão)

87

3.1) Regra se Inferência

8) Regra do Silogismo Disjuntivo (ou Alternativo):

(p ⋁ q) ⋀ ~p ⇒ q

”Ou trabalho ou estudo; não trabalho; logo estudo”

88

3.1) Regra se Inferência

9) Regra do Silogismo Conjuntivo (ou Incompatibilidade):

~(p ⋀ q) ⋀ q ⇒ ~p

Ӄ falso que eu estudo e trabalho; eu trabalho;

logo não estudo”

89

3.1) Regra se Inferência

10) Dilema construtivo(p→q) ⋀ (r→s) ⋀ (p⋁r) ⇒ q ⋁ s

”Se eu vou a festa, fico cansado;se eu vejo televisão, durmo;

ou vou a festa ou fico vendo televisão; logo ou fico cansado ou durmo”

90

3.1) Regra se Inferência

11) Dilema Destrutivo

(p→q) ⋀ (r→s) ⋀ (~q ⋁ ~s) ⇒ ~p ⋁ ~r

”Se vou a festa, fico cansado;se vejo televisão, durmo;

ou não fico cansado ou não vou dormir; logo, ou não vou à festa ou não vejo televisão ”

91

3.1) Regra se Inferência

12) Regra da Inconsistência*1

(p ⋀ ~p) ⇒ p

”O avião está voando;o avião não está voando;

logo, eu sou o Rei da Inglaterra”

*1- De uma contradição se conclui qualquer proposição

92

3.1) Regra se Inferência

13) Modus Ponens

(p → q) ⋀ p ⇒ q

”Se ganhar na loteria, fico rico;ganhei na loteria; logo fiquei rico”

93

3.1) Regra se Inferência

14) Modus Tollens

(p → q) ⋀ ~q ⇒ ~p

”Se ganhar na loteria, fico rico;não fiquei rico;

logo, não ganhei na loteria”

94

3.1) Regra se Inferência

15) Regra da Atenuação

p → q ⇒ p → q ⋁ r

”Se eu ganhar na loteria fico rico; logo se eu ganhar na loteria fico rico ou vou viajar”

95

3.1) Regra se Inferência

16) Regra de Retorsão

~p → q ⇒ p

”Se eu não trabalhar, trabalho; logo trabalho”

Lógica Computacional – Parte II

Administração de Sistemas de Informação

(3.1)

InferênciaLógica– Exercícios

97

Inferência/Equivalência Lógica- Exercícios

Diga em cada caso, qual a lei de equivalência estásendo usada.

1. ~(~(P ∨ Q)) ⇔ P ∨ Q.

2. (P ∨ Q) ∧ ~R ⇔ ~R ∧ (P ∨ Q)

3. [P→(Q ↔ R)]∨[P→(Q↔R)] ⇔ [P → (Q ↔ R)]

4. ~(~(~P)) ⇔ ~P

5. P ∧ (Q → R) ⇔ (Q → R) ∧ P.

6. ~P → (Q ∧ S) ⇔ ~(Q ∧ S) → P.

98

Inferência/Equivalência Lógica- Exercícios

Diga em cada caso, qual a lei de equivalência estásendo usada.

7. (P→~Q)∧(~R ∧ S) ⇔ [(P → ~Q)∧~R]∧S.

8. ~P ∧ Q ⇔ ~(P ∨ ~Q).

9. [P → (Q ∧ R) ∧ (P ∨ ~P)] ⇔ P → (Q ∧ R).

10. (P ∨ R) ∧ (R ∨ Q) ⇔ R ∨ (P ∧ Q).

11. (P ∧ Q) → ~R ⇔ ~(P ∧ Q ∧ R).

12. P ∨ Q ⇔ ~(~P ∧ ~Q).

99

Inferência/Equivalência Lógica- Exercícios

Diga em cada caso, qual a lei de equivalência estásendo usada.

13. [(P ∧ R) → S] → ~Q ⇔ Q → ~(P ∧ R) → S.

14. (P →~Q) ⇔ (P ∧ Q) → (P ∧ ~P).

15. (~P → ~Q) ∨ (Q ∨ ~Q) ⇔ P → P.

16. ~(~P ∧ (Q ∨ R)) ⇔ ~((~P ∧ Q) ∨ (~P ∧ R)).

17. ~(P → Q) ∧ R ⇔ ~(~R ∨ (P → Q)).

18. (P → Q) ∧ (~Q ∧ ~P) ⇔ ((P → Q) ∧ ~Q) ∧ ~P.

100

Inferência/Equivalência Lógica- Exercícios

Diga em cada caso, qual a lei de equivalência estásendo usada.

19. (Q ∧ ~R) ∨ (R ∧ ~R) ⇔ Q ∧ ~R.

20. ~P → (Q → R) ⇔ P ∨ (Q → R).

101

Inferência/Equivalência Lógica- Exercícios

Diga em cada caso qual a regra de inferência que está sendo usada

1. ~P ⇒ Q ∨ ~P.

2. (P ∨ ~Q) ∧ Q ⇒ P.

3. (P → ~Q) ∧ P ⇒ ~Q.

4. (~P → Q) ∧ (Q → ~R) ⇒ (~P → ~R).

5. ~P ∧ Q ⇒ ~P.

6. (P → (P → Q)) ∧ P ⇒ (P → Q).

102

Inferência/Equivalência Lógica- Exercícios

Diga em cada caso qual a regra de inferência que está sendo usada

7. (P → ~Q) ∧ (Q → ~R) ⇒ (P ∨ Q) → (~Q ∨ ~R).

8. (~P → Q) ∧ ~Q ⇒ P.

9. (~P ∨ Q) ∧ ~Q ⇒ ~Q.

10. (~P → Q) ∧ ~P ⇒ Q.

11. ((P → Q) ∨ R) ∧ ~R ⇒ (P → Q).

12. P ∧ ~P ⇒ R ∧ S ∧ ~Q.

103

Inferência/Equivalência Lógica- Exercícios

Diga em cada caso qual a regra de inferência que está sendo usada

13. ((P → Q) → (P → R))∨(S → R) ⇒ (~R ∨ ~(P → R)) → (~S

∨ ~(P → Q)).

14. ((P ∧ Q) → (R ∧ S)) ∧ ((R ∧ S) → ~P) ⇒ (P ∧ Q) → ~P.

15. (P→ Q) ∧ (Q → R) ⇒ (Q → R).

16. P ⇒ P ∨ ~P.

17. ((R → S) → R) ∧ (R → S) ⇒ R.

104

Inferência/Equivalência Lógica- Exercícios

Diga em cada caso qual a regra de inferência que está sendo usada

18. (P → (P ∨ Q)) ∧ ~(P ∨ Q) ⇒ ~P.

19. (P ∨ Q) ∧ (R ∨ S) ⇒ P ∨ Q ∨ R ∨ S.

20. ((P → Q) ∨ R) ∧ ~S ⇒ R ∨ ~R.

21. ((P → Q) → R) ∧ (R → (Q → P)) ⇒ (P → Q) → (Q → P).

22. (~(P → Q) → (Q → R) ∨ ~(Q → P)) ⇒ (P → Q).

105

Inferência/Equivalência Lógica- Exercícios

Diga em cada caso qual a regra de inferência que está sendo usada

23. ((P ∧ Q) ∨ R) ∧ ~(P ∧ Q) ⇒ R.

24. (~P → ~Q) ∧ ~P ⇒ ~Q.

25. (P → Q) ∧ R ⇒ (P → Q).

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LÓGICA EM COMPUTAÇÃO

TAUTOLOGIA - EQUIVALÊNCIA E INFERÊNCIAVERSÃO: 0.1 - MARÇO DE 2017

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