Lógica Matemática

Introdução

A que a palavra Lógica te remete??

Lógica Formal

Inúmeras definições; Essencialmente iguais; Consenso, “Leis gerais do

Pensamento” Aplicação correta dessas leis na

investigação da verdade.

Origem Na Grécia Antiga, 342 a.C, o filósofo

Aristóteles sistematizou o conhecimento existente em Lógica, elevando-o à categoria de ciência.

Em sua obra chamada Organum (“ferramenta para o correto pensar”), estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são considerados válidos.

Definição A Lógica tem, por objeto de

estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade.

Proposição

Uma proposição é uma declaração (afirmativa ou negativa) que exprime um pensamento de sentido completo.

Uma proposição pode ser verdadeira, cujo valor lógico é V;

Ou uma proposição pode ser falsa, cujo valor lógico atribuído é F

Exemplo 1

“Sete mais dois é igual a nove”

É uma declaração (afirmativa) Logo é uma proposição.

Valor lógico V

Exemplo 2

Belém não é a capital do Brasil;

É uma declaração negativa

Valor Lógico V

Logo é uma proposição

Exemplo 3

O dobro de cinco é 10?

É uma pergunta, não uma declaração

Logo não é proposição

Portanto não podemos atribuir valor lógico V ou F

Praticando

Construa em seu caderno:1. Um exemplo de proposição com

valor lógico V2. Um exemplo de proposição com

valor lógico F3. Um exemplo que não possa ser

classificado como uma proposição.

Princípios Fundamentais Princípio da Identidade: Todo objeto

é idêntico a si mesmo. · Princípio da Não Contradição: Uma

proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

· Princípio do Terceiro Excluído: Todo proposição ou é verdadeira ou é falsa, ou seja, verifica-se sempre um desses casos, nunca um terceiro.

Proposição Simples (Atômica)

Como o próprio nome diz, é uma proposição única, isolada.

Podemos considerá-las como frases formadas por apenas uma oração que exprime apenas um fato.

Representaremos as proposições simples por letras latinas minúsculas (p, q, r, s)

Exemplo de Prop. Simples

Tiradentes foi enforcado (p) eu sou estudioso (q) 3 + 4 > 12 (r) O número 25 é um quadrado perfeito

(s)

Proposição Composta Uma proposição é dita composta

quando for formada por duas ou mais proposições ligadas entre sí por conectivos operacionais.

Podemos considerá-las como um período composto de várias orações.

Indicaremos as proposições compostas por letras latinas maiúsculas

Exemplo

Paulo é estudioso e Maria é bonita.

P é a composta das proposições simples p: Paulo é estudioso

e q: Maria é bonita.

Exemplo

Jorge é careca e Pedro é Estudante.

Um número é par ou um número é impar

Se um número é par, então é divisível por 2

Praticando

Construa em seu caderno 3 exemplos de:

Proposição Simples Proposição Composta

Exercícios

1) Determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das sentenças:

a) O número 17 é primo.b) Fortaleza é capital do Maranhãoc) TIRADENTES morreu afogadod) (3 + 5)2 = 32 + 52

e) - 1 < - 7

Conectivos Lógicos Chamamos conectivos ou operadores

lógicos a qualquer palavra ou símbolo que se usa para formar novas proposições compostas a partir de outras proposições simples.

São conectivos usuais em lógica matemática e, ou, não, se, então, se e somente se.

Operadores Lógicos

O operador não é unário e os outros, binários, isto é ligam duas proposições para formar uma proposição composta.

Operações Lógicas sobre Proposições

À partir dos conectivos lógicos pode-se definir operações fundamentais entre proposições. Tais operações obedecem às regras do cálculo proposicional.

Negação Chama-se negação de uma

proposição p a proposição representada por “não p” , cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando p é falsa e falso (F) quando p é verdadeira.

Simbolicamente:~pLê-se: “não p” ~V=F~F=V

p ~p

V F

F V

Na linguagem comum a negação efetua-se, nos casos mais simples, antepondo o advérbio “não” ao verbo da proposição dada.

p: O Sol é uma estrela ~p: O Sol não é uma estrela

p:Pedro é mecânico ~p:Não é verdade que Pedro é

mecânico

Ou ~p: É falso que Pedro é mecânico

Observe que:

“Todos os homens são elegantes”

a negação pode ser:

“Nem todos os homens são elegantes”.

“Nenhum homem é elegante”

a negação pode ser:

“algum homem é elegante”

Conjunção () Uma proposição que constitui-se de

duas proposições ligadas por “e” denomina-se conjunção.

O valor lógico de uma proposição é verdadeiro se as proposições simples p e q que a compõe são verdadeiras. Nos demais casos é falso.

Simbólicamente: “pq” Lê-se: “p e q”

Simbolicamente: p^q

p q p^q

V V V

V F F

F V F

F F F

Exemplos

p: A neve é branca (V)q: 2<5 (V)p^q= A neve é branca e 2<5 (V)

p: O enxofre é verde (F)q: 7 é um número primo (V)p^q=O enxofre é verde e 7 é um número primo

(V)

p: CANTOR nasceu na Rússia (V)q: FERMAT era médico (F)p^q= CANTOR nasceu na Rússia e FERMAT era

médico (F)

p: > 4 (F)q: sen /3 = 0 (F)p^q= > 4 e sen /3 = 0 (F)

Exercícios

1) Sejam as proposições p: Está frio e q:Está chovendo. Faça a tradução para a linguagem corrente das seguintes proposições:

a) ~pb) p^qc) ~p^qd) p^~qe) ~p^~q

2) Sejam as proposições p: Cláudio fala inglês e q:Cláudio fala alemão.Faça a tradução para a linguagem corrente das seguintes proposições:

a) ~pb) p^qc) ~p^qd) p^~qe) ~p^~q

3) Sejam as proposições p: Marcos é alto q: Marcos é elegante . Faça a tradução para a linguagem simbólica das seguintes proposições:

a) Marcos é alto e eleganteb) Marcos é alto, mas não é elegantec) Marcos não é alto nem elegante

Disjunção () Chama-se disjunção uma proposição

composta por duas proposições p e q. O valor lógico de uma disjunção é verdadeiro se ao menos uma das proposições simples p e q que a compõe é verdadeiro, e falso se ambas as proposições são falsas.

Simbólicamente: “pq” Lê-se: “p ou q”

Simbolicamente: pq

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Exemplos

p:Paris é a capital da França (V) q: 9 – 4 =5 (V)pq= Paris é a capital da França ou 9-4=5 (V)

p:CAMÕES escreveu Lusíadas (V)q: = 3 (F)pq= CAMÕES escreveu os Lusíadas ou =3

(V)

p:Roma é a capital da Rússia (F) q: 5/7 é uma fração própria (V)pq= Roma é capital d Rússia ou 5/7 é uma fração

própria (V)

p:Lula é governador do Paraná (F)q: (-2)2= -4 (F)pq= Lula é governador o Paraná ou (-2)2=4 (F)

Disjunção Exclusiva () Chama-se disjunção exclusiva de duas

proposições p e q a proposição representada simbolicamente por p V q, que se lê: "ou p ou q" ou "p ou q, mas não ambos", cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são verdadeiras simultaneamente, e a falsidade (F) quando p e q são simultaneamente falsas.

Disjunção Inclusiva ou Disjunção Exclusiva

P: Carlos é médico ou professor Q: Mário é alagoano ou paranaenseOBSERVE:Na proposição P pelo menos uma dasproposições “Carlos é médico” ou “Carlos é professor” é verdadeira, podendo ser as duas verdadeiras.

Já na proposição Q, somente uma delas será verdadeira, “Mario é alagoano” ou “Mário é paranaense”.

Dizemos que a proposição P é inclusiva enquanto que a proposição Q é exclusiva.

Simbolicamente: pq

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Condicional ()

Chama condicional uma proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa, e a verdade(V) nos demais caso.

Bicondicional ()

Chama-se bicondicional uma proposição representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas, e a falsidade (F) nos demais casos.

LÊ-SE: (i) p é condição necessária e suficiente para q (ii) q é condição necessária e suficiente para p

Simbolicamente: pq

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplos

p:Roma fica na Europa (V) q: A neve é branca (V)pq= Roma fica na Europa se e somente se a

neve é branca (V)

p:Lisboa é capital de Portugal (V)q: = 3 (F)pq= Lisboa é capital de Portugal se e somente

se =3 (F)

Exemplos

p:VASCO DA GAMA descobriu o Brasil (F) q: TIRADENTES foi enforcado (V)pq= VASCO DA GAMA descobriu o Brasil se e

somente se TIRADENTES foi enforcado (F)

p: A terra é plana (F)q: o Canário é um mamífero (F)pq= A terra é plana se e somente se o Canário é

um mamífero (V)

Exercícios

1) Seja p a proposição “ os meninos jogam” e q a proposição “o cão ladra”. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:

a) ~pb) ~qc) p^qd) p^~qe) pqf) pqg) ~p~q

2) Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições.

a) Os preços não sobem.b) Pedro não é justo.c) Os preços sobem e Pedro é justo.d) Os preços sobem ou Carlos é asseado.e) Carlos não é asseado ou Pedro é justo.f) Se os preços sobem , então a oferta cai.g) Se Pedro não é justo, então os preços sobem.h) A oferta não cai e Pedro é justo se e somente

se os preços sobem.i) Se os preços sobem e a oferta cai, então

Carlos é asseado ou Pedro é justo.