Lógica Matemática - Introdução

LÓGICA MATEMÁTICA –

INTRODUÇÃO

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO

Metodologia Científica e Lógica Formal

A existência como um todo comporta duas realidades, ao

mesmo tempo distintas e complementares; e só encontram

sentido tendo o Homem como centro de atuação, e a busca do

saber como instrumento natural que almeja, gradativamente,

compreender o real. Essas duas realidades são, de um lado, o

ser questionador (obviamente, estamos falando do Homem) e o

objeto questionado, sendo entendido como objeto todo o

complexo de seres que estão aí fora, toda existência, onde,

sobre esse desconhecido, se debruçam as várias disciplinas

que procuram dar explicações convincentes em relação aos

aspectos particulares desse objeto. Esses aspectos justificam

a existência de cada uma dessas disciplinas.


Se faz presente em toda ciência a rigorosidade dos métodos utilizados para o estudo do objeto, onde não é levada em consideração apenas a capacidade de apreensão dos sentidos, e sim o experimento científico rigoroso, aplicado à cada fenômeno em particular. Essa metodologia é vivenciada principalmente nas ciências exatas e da natureza. É dentro dessa ótica que iremos focar o nosso estudo sobre a Lógica Formal.

Há muitas definições para a Lógica, pois trata-se de um assunto bastante amplo e com muitas aplicações. Também as pessoas vivem o dia-a-dia colocando em prática os conceitos apresentados nos livros e, de certa forma, dominam essa prática, de maneira que a dificuldade maior se apresenta na assimilação dos conceitos.


Um feirante, por exemplo, realiza o tempo todo cálculos

matemáticos, contas, operações lógicas das mais diversas; mas

talvez teria dificuldade para representar graficamente – em um

primeiro momento - uma equação do tipo 8 + 6 = 14. Também

seria difícil para ele interpretar a operação lógica "A → B", mas o

mesmo entende perfeitamente a frase "Se vendo, então tenho

lucro".

Está sendo dito a mesma coisa, porém, de forma diferente, onde a

primeira é reservada ao espaço acadêmico, já a segunda é

vivenciada no cotidiano das pessoas. A Lógica Formal trabalha

esses conceitos, estudando as regras gerais do pensamento e a

melhor maneira de aplicação desse conhecimento na busca da

verdade.


Foi encontrado na Índia textos muito antigos que tratavam de

assuntos lógicos, e que poderiam sinalizar que nesse país

provavelmente teria surgido os primeiros estudos sobre a

Lógica. No entanto, já é aceito pelos historiadores que o berço

dessa matéria foi a Grécia Antiga, aproximadamente no século

IV a. C., sendo os primeiros textos atribuídos aos filósofos

conhecidos como Sofistas. Também a Parmênides e Zenão.

Porém, foi o grande Aristóteles quem organizou de forma

sistemática esse conhecimento, de maneira que, a partir de

suas reflexões, essa temática foi elevada ao nível de ciência.


Para mostrar que os sofistas (mestres da retórica e da oratória) podiam enganar os cidadãos utilizando argumentos incorretos, Aristóteles estudou a estrutura lógica da argumentação. Revelando, assim, que alguns argumentos podem ser convincentes, embora não sejam corretos. A lógica, segundo Aristóteles, é um instrumento para atingir o conhecimento científico, baseando-se no silogismo.

Busto de Aristóteles – filósofo e professor Nascimento 384 a.C.

Estagira, Calcídica, Grécia Antiga. Morte 322 a.C. (62 anos) Cálcis, na ilha Eubeia.


A finalidade de Aristóteles era de buscar a verdade por meio de um argumento lógico, que nada mais é do que um conjunto de proposições onde, nesse conjunto, as primeiras afirmações são ditas premissas, e apresentam um valor lógico; e como consequência, temos a conclusão, que é derivada das premissas. Em um argumento válido, as premissas são provas evidentes da verdade da conclusão.

Exemplo 01:

Todo homem pensa.

René Descartes é homem.

Logo, René Descartes pensa.

Exemplo 02:

Existem normas acadêmicas em toda universidade federal.

A Ufal é uma universidade federal.

Logo, na Ufal, existem normas acadêmicas


Exemplo 03:

Há Caixa Econômica em todas as capitais brasileiras.

Ora, Maceió é uma capital brasileira.

Logo, em Maceió, tem Caixa Econômica.

Dedução e Indução

A dedução é um processo mental onde o indivíduo admite como válida

e convincente, uma afirmação declarada; e em conformidade com

esse argumento, chega à uma conclusão lógica, de forma a não poder

haver contradição entre as premissas e a conclusão. Portanto, há um

desdobramento lógico onde é possível, por dedução, atribuir ao

particular as características encontradas na premissa.


Um argumento dedutivo se diz válido quando suas premissas, sendo

classificadas como verdadeiras, garantem a veracidade da conclusão, pois

é impossível admitirmos premissas verdadeiras e conclusão falsa.

O silogismo é o exemplo mais conhecido de raciocínio lógico dedutivo. É

uma construção lógica, formada por três proposições: premissa maior,

premissa menor e conclusão.

Existe muitas formas de deduções lógicas, mas o silogismo se apresenta

como uma das mais comuns. Independente de sua forma mais popular ou

não, todos os métodos revelam três características fundamentais da Lógica

Matemática, a saber, o princípio da não contradição, o princípio da

identidade e do terceiro excluído. Também a Lógica adotada nesse curso é

conceituada como bivalente, isto é, a conclusão só poderá ser verdadeira

(V) ou falsa (F), não havendo outra possibilidade. Esses assuntos fazem

parte da lógica clássica e iremos estudá-los mais adiante, tanto o seu

aspecto histórico, como, principalmente, sua aplicabilidade.


No exemplo dado acima, temos:

Todo homem pensa (premissa maior).

René Descartes é homem (premissa menor).

Logo, René Descartes pensa (conclusão).

Analisando bem o raciocínio existente nesses silogismos, eles evidenciam a

seguinte regra lógica:

Se X = Y, e Z = Y, logo X = Z.

Como consequência, é pertinente concluir que o elemento Z está contido em X.

Obs.: Pode acontecer que, do ponto de vista do método dedutivo, o raciocínio

esteja correto, e o conteúdo não seja verdadeiro. É perfeitamente possível

ter uma afirmação que desempenha a função de premissa, mas que não

seja evidente:


Vejamos um exemplo:

A temperatura chega a 28° todos os meses do ano em Maceió.

Ora, janeiro é um mês do ano.

Logo, a temperatura chega a 28° no mês de janeiro.

Indução

A indução é uma operação realizada pela mente humana que faz o processo

inverso da dedução, ou seja, no método indutivo, a finalidade é trabalhar a

observação de fatos particulares para permitir a generalização de uma

ideia. Os acontecimentos estão presentes na natureza de forma

individualizada, porém revelam características que são comuns a uma série

de outros acontecimentos. É por conta desse processo de saber lidar com

esses fatos que o Homem passou a formular conceitos para aplicá-los de

volta no mundo real, que nada mais são do que generalizações dos fatos

particulares.


O saber científico é essencialmente universal, justamente por

pretender estender um conhecimento específico e limitado a todo

gênero de situações que expressam uma semelhança de

fenômenos. E a indução satisfaz essa intenção da ciência como

um todo.

Exemplos de indução:

Soltei uma pedra de determinada altura e ela caiu;

Soltei outra pedra de determinada altura e ela caiu;

Soltei mais uma pedra, e também esta caiu;

Logo, se eu soltar uma outra pedra de determinada altura, ela vai cair.


O boi é mortal.

O cavalo é mortal.

O leão é mortal.

O gato é mortal.

O pássaro é mortal.

O homem é mortal.

Ora, boi, cavalo, leão, gato, pássaro e homem são mortais.

Logo, todo animal é mortal.


A girafa de número um tem o pescoço longo.

A girafa de número dois tem o pescoço longo.

A girafa de número três tem o pescoço longo.

A girafa de número (y) tem o pescoço longo.

Toda girafa tem o pescoço longo.

No estudo dos teoremas matemáticos, por exemplo, é aplicado

o método dedutivo para fundamentar a relação entre premissa

e conclusão que, nesse caso, assumem a forma de Hipótese e

Tese, respectivamente. As representações são dadas

conforme abaixo:

.


1ª - Se Y é o conjunto dos números inteiros positivos, então Y é infinito.

2ª - Se P, então Q.

3ª - P → Q.

4ª - P =› Q (lê-se: "P implica Q").

Já um caso contextualizado de indução pode ser aplicado às

pesquisas científicas de determinada área da Física, onde, por

exemplo, no estudo do movimento retilíneo uniforme, é suficiente

apenas a análise particular de alguns objetos, submetidos a

determinadas condições, para formular os conceitos gerais, de

forma que não é necessária uma nova verificação do fato para

comprovação do fenômeno, pois a generalização, uma vez

definida, garante a repetição do fato, sendo mantidas as mesmas

características dos objetos na experiência.


Portanto, percebemos claramente a diferença entre os métodos

dedutivo e indutivo, de modo que no primeiro, a característica principal

é trabalhar a generalização de uma proposição dada e, a partir do seu

valor lógico, chegar a uma conclusão; já o segundo faz o caminho

inverso: partindo de verdades particulares, experimentadas ao

extremo, constitui seus conceitos e sua visão geral sobre o real. E em

ambos os métodos os argumentos lógicos são satisfeitos pela relação

entre premissas e conclusão.

Tem

po

1

Posição

Inicial

Posição 1

Posição 2

Posição 3

Tem

po

2

Posição

Final


Lógica Clássica e Não Clássica

Tradicionalmente a Lógica Clássica é compreendida como uma forma

própria de organizar os argumentos e de trabalhar os conceitos,

obedecendo os princípios fundamentais da não contradição, do

terceiro excluído e da identidade. E dizemos também que a Lógica

Clássica é bivalente, admitindo somente conclusões verdadeiras (V) ou

falsas (F).

Princípio da Não Contradição

Refletindo um pouco sobre o dilema do Ser de Parmênides e do Vir a

Ser de Heráclito que, em nosso estudo, apenas ilustra e nos leva a

constatar que o problema da contradição perpassa a História, tanto

em situações corriqueiras da vida, como em obras filosóficas de

grandes pensadores e seus discípulos, a nossa reflexão é aplicada ao

estudo da Lógica, com sua origem inserida nesse contexto filosófico.


O princípio da não contradição afirma que não podemos classificar

como verdadeiro e falso um mesmo objeto, ao mesmo tempo. Por

exemplo, se afirmo que “Todo homem é mortal” (premissa maior, que

vamos representar por “P”), e em seguida acrescento que “Sócrates é

homem” (premissa menor, que está inclusa em “P”), como

consequência lógica – nesse caso, por dedução – concluo que

“Sócrates é mortal” (e chamo isso de “Q”). Diante dessas premissas,

eu não poderia concluir que Sócrates não é mortal, pois as

proposições não me autorizam, dentro da lógica bivalente, a concluir

outra coisa, se não, a sua condição de ser mortal.

Simbolicamente, temos uma representação dita condicional do tipo “P

→ Q”, e vemos que, se “P” é verdade, então “Q” é verdade. Não posso

ter “P” como verdade e “Q” como falsidade.


Princípio do Terceiro Excluído

No âmbito da lógica bivalente, não há uma terceira possibilidade, ou

seja, toda proposição só poderá ser verdadeira ou falsa, não havendo

possibilidade para uma outra conclusão.

Princípio da Identidade

Identidade é o princípio que, como o próprio nome diz, identifica,

caracteriza um objeto como sendo aquilo que é, e não poder ser outra

coisa. Em outras palavras, não há espaço para o relativismo, onde um

mesmo objeto possa ser aceito com outra natureza. Essa abordagem

não é admitida no princípio da identidade.

Na expressão se René Descartes pensa, então René Descartes pensa

temos a representação simbólica “P → P” (voltaremos a falar do

princípio da identidade quando trabalharmos os conceitos de

Tautologias, Contradições e Contingências).


Negar ao menos um desses princípios da Lógica Clássica é permitir a

assimilação de conceitos da Lógica não Clássica, tais como:

• Lógica Plurivalente – é descartada a ideia de bivalência e assumida a

noção de trivalência, onde uma proposição pode ser verdadeira, falsa

ou neutra;

• Lógica Nebulosa – a verdade é graduada, ou seja, uma proposição

pode apresentar-se mais verdadeira que a outra;

• Lógica da Probabilidade – pode haver a possibilidade de uma

proposição ser verdadeira;

• Lógica Modal – admite a ideia de possibilidade e necessidade, onde,

por exemplo, ao afirmarmos: talvez irei apresentar o seminário na Ufal

amanhã, essa frase participa da ideia de possibilidade.


Portanto, analisando os diferentes tipos de Lógica, percebemos que

todas elas trazem a característica da formalidade, ou seja, dentro de

sua especificidade na abordagem do real, predomina a rigorosidade

própria da metodologia científica. Também vemos que os novos

conceitos de lógica surgem em momentos diferentes e obedecem

correntes de pensamento das mais diversas. A Lógica Bivalente é a

base desse curso, tendo a menção das demais apenas um caráter

exemplificativo.


Proposições e Conectivos

É definido como proposição um conjunto formado por palavras ou

símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo; são

afirmações ou juízos que fazemos a respeito de objetos determinados.

Em uma proposição não são admitidas frases interrogativas ou

exclamativas.

Toda proposição apresenta três características fundamentais:

1. Sendo uma oração, é formada por sujeito e predicado;

2. É declarativa;

3. Contempla um, e somente um, dos valores lógicos: ou é verdadeira (V)

ou é falsa (F).


Exemplos

1. Maceió é a capital de Alagoas;

2. A Lua é um satélite natural da Terra;

3. ∆ = b² - 4.a.c;

4. 35 ≠ 53;

5. Chama-se translação o movimento da Terra que determina a passagem

do dia para a noite;

6. √16 + √9 < 8;

7. 5 l 25 (lê-se: 5 é divisor de 25);

8. 1/4 > 1/2;


Exemplos

1. Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil;

2. MDCCCXXIII = 1.823;

3. N Ȼ Z;

4. {a, b, c, d, e, f} ∩ {b, d, g, h, k} = {b, d};

5. {1, 2, 3, 4, 5} ∩ {0, 4, 6, 7, 8} = ø.

As expressões abaixo não são consideradas proposições:

1. A Lua é um satélite natural da Terra? (frase interrogativa);

2. 8 * 5 – 2 (ausência de predicado);

3. 4x – 2 = 30 (não é possível a classificação de verdadeiro ou falso);

4. Estude muito, se quiser ser aprovado! (frase exclamativa).


Uma proposição é classificada como simples (atômica) ou composta

(molecular).

A proposição simples é aquela que não depende de outra proposição

para ser constituída, e é representada por letras minúsculas de origem

latina: p, q, r, s, t, ... São chamadas de letras proposicionais.

Exemplos:

1. p: José é um bom pai;

2. q: Vinte é múltiplo de quatro;

3. r: João é estudante;

4. s: 8 > 4;

5. t: A raiz quadrada de dezesseis é 4.


Já a proposição composta, como o próprio nome sugere, é formada

pela combinação de duas ou mais proposições. A representação é

através de letras latinas maiúsculas: P, Q, R, S, T, ..., que também são

chamadas de letras proposicionais.

Exemplos:

1. P: José é um bom pai e Maria é uma excelente mãe;

2. Q: Vinte é múltiplo de quatro ou quatro é divisor de vinte;

3. R: Se João é estudante, então é esforçado;

4. S: 8 > 4 e 8 < 9;

5. T: A raiz quadrada de dezesseis é 4 ou a raiz cúbica de 27 é 3.

Observe que as proposições compostas são formadas por proposições

simples, e são também chamadas de fórmulas.


Ao pretender evidenciar a composição de uma proposição

composta, basta escrever: P(p, q, r, ...).

Conectivos são palavras utilizadas para a formação de novas

proposições a partir da existência de outras.

Exemplos:

P: A raiz quadrada de 81 é nove e o número 7 é ímpar;

Q: Nove é a raiz quadrada de 81 ou 81 é múltiplo de nove;

R: Não é verdade que um círculo mede mais que 360°;

S: Se João é estudante, então é esforçado;

T: José será aprovado se e somente se estudar.

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