Lógica Proposicional

Considera a seguinte proposição: 

«Eu gosto de lógica»  Como já aprendeste, poderemos atribuir a esta proposição uma letra que a represente - por exemplo, vamos optar pela letra P. Esta proposição - «Eu gosto de lógica», isto é, a proposição P, pode tomar diferentes valores de verdade, isto é, ela tanto pode ser verdadeira como falsa. Efectivamente, se for o caso que gostes de lógica, a proposição P assume o valor de verdade verdadeiro (V). Mas, se acontecer que não gostes de lógica a mesma proposição P toma o valor de verdade falso (F).

«Eu gosto de lógica» - proposição P

valor de verdade verdadeiro - V

(se eu gostar de lógica)

valor de verdade falso - F

(se eu não gostar de lógica)

No quadro que se segue podemos visualizar o que acima foi dito: que a proposição P pode tomar dois valores de verdade: verdadeiro (V) ou

falso (F).

Considera, agora, esta outra proposição: «Eu não gosto de lógica»

Como podes verificar, esta proposição é a negação da proposição P que afirmava «Eu gosto de lógica», motivo pelo qual a representaremos como:

~P  Procurando fazer um raciocínio semelhante ao que foi realizado para a descoberta das possibilidades dos valores de verdade da proposição P, que valor de verdade atribuirias a ~P se fosse o caso que não gostasses de lógica? E se gostasses de lógica, qual seria o valor de verdade da mesma proposição?

Distribui esses valores na seguinte tabela:

«Eu não gosto de lógica» - Proposição ~P

P - «Eu gosto de lógica»

~P - «Eu não gosto de lógica»

 

Repara que a conjunção de P e ~P é uma contradição porque se P tiver o valor de verdade verdadeiro (V), ~P terá o valor de verdade falso (F); mas se P assumir o valor de verdade falso (F), ~P terá o valor de verdade verdadeiro (V).

Agora, vamos considerar as duas proposições conjuntamente:

Preenche agora os valores de verdade da seguinte tabela de forma a que a relação P e ~P faça sentido:

“Eu gosto de lógica”

P

“Eu não gosto de lógica”

~P

Vamos agora aplicar as restantes conectivas com que já te familiarizaste nos exercícios de representação simbólica.

Considera a seguinte proposição: «Gosto de lógica e gosto de métodos» - L M

Antes de avançar é importante recordares que esta proposição complexa pode ser dividida em duas proposições simples:

«Gosto de lógica» - proposição L «Gosto de métodos» - proposição M

Regressando à nossa proposição L M:

«Gosto de lógica e gosto de métodos»

Iremos começar por averiguar quantas possibilidades de combinação de valores de verdade terão que existir na tabela de verdade desta proposição complexa.

possibilidade 1- «Gosto de lógica e gosto de métodos»

possibilidade 2- «Gosto de lógica e não gosto de métodos»

possibilidade 3-«Não gosto de lógica e gosto de métodos»

possibilidade 4- «Não gosto de lógica nem de métodos»

Vamos relembrar que:

Se «gosto de lógica» tiver valor de verdade verdadeiro ( V ), então «não gosto de lógica» terá valor de verdade falso ( F );

Se «gosto de métodos» tiver valor de verdade verdadeiro ( V ), então «não gosto de métodos» terá valor de verdade falso ( F ).

Com estes dados em mente, procura distribuir os valores de verdade pelas colunas da tabela de verdade de forma a esgotar todos as possibilidades de combinatórias de valores de verdade:

«gosto de lógica»

proposição L

«gosto de métodos»

proposição M

é ___ se

gostar de lógica

é ___ se

gostar de métodos

é ___ se

gostar de lógica

é ___ se

não gostar de métodos

é ___ se

não gostar de lógica

é ___ se

gostar de métodos

é ___ se

não gostar de lógica

é ___ se

não gostar de métodos

Agora que distribuíste os valores de verdade pelo quadro,

vamos observá-lo da seguinte forma: • Na primeira linha: Sendo que ambas as proposições L e M têm valor de verdade

verdadeiro (V), qual pensas ser o valor de verdade da proposição complexa L M?

• Na segunda linha: Sendo que L tem o valor de verdade verdadeiro (V) e M o valor de

verdade falso (F), qual pensas ser o valor de verdade da conjunção de ambas?

• Na terceira linha: Sendo que a proposição L tem valor de verdade falso (F) e M valor de verdade verdadeiro (V), qual pensas ser o valor de verdade de L M?

• •Na quarta linha: Sendo que L e M têm valor de verdade falso (F), qual pensas ser o valor de verdade da conjunção destas duas proposições?

Em resposta a estas questões preenche a terceira coluna da seguinte tabela (dispensamos a 1ª coluna que vias no quadro anterior):

FF

VF

FV

VV

«Gosto de lógica e gosto de métodos»

L M

«Gosto de Métodos»

M

«Gosto de lógica»

L

A tabela que acabaste de preencher é relativa à conjunção e é válida para todas as proposições que se apresentem ligadas pela conectiva . Copia esta tabela da conjunção para o teu caderno .

Considera as seguintes proposições: Proposição I - «Gostas de lógica e/ou gostas de métodos» ( L V M ) Proposição E - «Ou gostas de lógica ou gostas de métodos» ( L W M )

Ambas as proposições são o resultado da disjunção das duas proposições simples:   «Gostas de Lógica» - proposição L  «Gostas de Métodos» - proposição M

Consideras que estas proposições são idênticas? Dirão elas uma e a mesma coisa?

Ora vejamos: 

•A proposição I diz que é possível que gostes quer de lógica, quer de métodos; pode acontecer que gostes das duas disciplinas.  •A proposição E diz que se gostares de lógica, então não gostas de métodos. Mas, se for o caso que gostes de métodos, então não gostas de lógica. As duas proposições M e L não são compatíveis uma com a outra; isto é, a verdade de uma significa a falsidade da outra. A proposição I é a que podemos chamar de disjunção inclusiva (V).

A proposição E é a que podemos chamar de disjunção exclusiva (W)

Disjunção inclusiva - V :

«Gostas de lógica e/ou gostas de métodos» ( L V M )  

No quadro seguinte, confrontamo-nos, novamente, com quatro possibilidades de combinar as proposições simples L e M.

Começa por distribuir os valores de verdade nas colunas correspondentes às proposições simples (como fizeste nos quadros anteriores).

Seguidamente, tenta interpretar o que esta proposição pode querer dizer:

1- Que gostas de lógica e de métodos?2 - Que só gostas de lógica? 3- Que só gostas de métodos?4- Que não gostas nem de lógica, nem de métodos?

 

Por outras palavras:

Na proposição complexa S V P, ou noutra proposição qualquer que se te apresente sob a forma de uma disjunção inclusiva,quais pensas ser as condições que a tornam verdadeira (V)? 

- sempre que S e P são verdadeiras? 

- sempre que S é verdadeira e P falsa? 

- sempre que S é falsa e P verdadeira? 

- sempre que S e P são falsas?

Vamos, então, tentar preencher o quadro relativo à disjunção inclusiva:

Proposição S Proposição P Proposição S V P

A tabela que acabaste de preencher é relativa à disjunção inclusiva e é válida para todas as proposições que se apresentem

ligadas pela conectiva V. Copia esta tabela da disjunção inclusiva para o teu caderno .

Tenta agora preencher a tabela que se segue:

 Proposicão L Proposição M Proposição L W M

A tabela que acabaste de preencher é relativa à disjunção exclusiva e é válida para todas as proposições que se

apresentem ligadas pela conectiva W. Copia esta tabela da disjunção exclusiva para o teu caderno .

Tomemos a proposição: «Se eu gostar de lógica, então gosto de métodos»  Iremos representá-la como: L M  Mais uma vez te questionamos sobre as condições em que uma proposição com esta forma é falsa.

Parece-te evidente que será falsa quando uma das proposições for falsa?

A resposta a esta questão não é simples. 

«Se eu gostar de lógica, então gosto de métodos»

Atenta no seguinte:

Nesta proposição há apenas uma só coisa que está a ser afirmada, e essa coisa é uma condição. Essa condição é:

se efectivamente eu gostar de lógica, então não posso deixar de gostar de métodos.

Neste caso, a afirmação: «não gosto de métodos apesar de gostar de lógica» tem valor de verdade falso.

Por outro lado, nada me impede de gostar de métodos, ainda que não goste de lógica. Posso, perfeitamente, gostar de métodos pelo único facto de gostar do professor. Neste caso, a afirmação: «gosto de métodos apesar de não gostar de lógica» tem valor de verdade verdadeiro.

Procura preencher a tabela correspondente à condicional

A tabela que acabaste de preencher é relativa à condicional e é válida para todas as proposições que se apresentem ligadas pela conectiva . Copia esta tabela da condicional para o teu caderno .

L M M L

A seguinte proposição: «Um pensamento é claro se, e só se, for auxiliado pela lógica»

iremos representa-la como P L

Agora temos um operador muito particular que relaciona duas proposições simples numa proposição complexa: a bicondicional.

Ainda que a proposição não seja suficiente para, por si só, indicar o que está em jogo, nota que a própria designação do operador - «bi-condicional» - oferece pistas que exprimem o seu significado.

O que quer dizer «bicondicional» senão que há aqui duas condicionais!

Relativamente à proposição que nos ilustra sob a forma de exemplo a bicondicional: P L

O símbolo do operador bicondicional a seta nos dois sentidos é representativo da relação existente entre P e L. em que ambas as proposições se implicam mutuamente.

Com estas indicações serás capaz de converter a bicondicional P L em duas condicionais:

_______________________________ _______________________________

Por conseguinte, P L equivalerá à conjunção das duas condicionais que representarás como:

___________________________________________

Voltemos à proposição em questão: «Um pensamento é claro se, e só se, for auxiliado pela lógica»

Sendo que ambas as proposições simples se implicam mutuamente uma à outra, isto é, que a proposição P implica a L e que, por sua vez, a L implica a P, então estas duas implicações complementam-se, servindo de definição uma à outra.

Neste sentido, quais serão as duas combinatórias de possibilidades que podes desde já excluir?

E quais são as que restam?

Neste momento, estamos preparados para preencher a tabela de verdade referente à bicondicional:

L M M L

A tabela que acabaste de preencher é relativa à bicondicional e é válida para todas as proposições que se apresentem ligadas pela conectiva . Copia esta tabela da bicondicional para o teu caderno.

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