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Lógica Proposicional Aula 5 - Cap. 7 Fundamentos da IA Mestrado – FEI

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Lógica Proposicional

Aula 5 - Cap. 7

Fundamentos da IA

Mestrado – FEI

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Resoluçao de problemas por busca Conhecimento sobre resultados e ações

permite a solução automática de problemas “complexos”– um agente reativo não conseguiria encontrar a

rota entre Arad e Bucareste Porém até agora este conhecimento é

muito específico e inflexível– peça de xadrez pode estar em 2 lugares ao

mesmo tempo ??

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Agente baseado em conhecimento pode combinar o conhecimento geral

com percepções correntes para deduzir aspectos ocultos do estado atual antes de selecionar ações.

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Agente baseado em conhecimento pode combinar o conhecimento geral

com percepções correntes para deduzir aspectos ocultos do estado atual antes de selecionar ações.

Grande parte das deduções humanas dependem do tratamento de incertezas– segunda parte do curso...

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Agentes lógicos

Representam o mundo Utilizam inferência para tirar conclusões

sobre o mundo representado

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Agentes lógicos

Conhecimento é representado como sentenças em uma linguagem de representação de conhecimento;

Um conjunto de sentenças forma a base de conhecimento (BC) do agente.

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Informar e perguntar

Novas sentenças são adicionadas à base de conhecimento por meio da tarefa TELL;

Consultas à base de conhecimento são feitas pela tarefa ASK;– ambos processos podem envolver

inferências• INFERÊNCIA: derivação de novas sentenças a

partir de sentenças antigas.

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Inferência clássica (dedução)

A resposta de uma pergunta (ASK) à base de conhecimento deve seguir o que foi informado anteriormente (TELL);

Nada é inventado à medida em que o processo de inferência se desenrola;– portanto, TELL é um processo não

clássico (abdução)!– E aprendizagem também (indução).

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Mundo de Wumpus

Desempenho– ouro +1000, morte-1000– passo -1 , flecha -10

Ambiente – quadrados próximos ao

wumpus fedem– próximos ao poço: brisa– quadrado do ouro: brilho– uma flecha somente– atirar mata wumpus se em

frente– Pegar ouro no quad., deixa

ouro no quad. Sensores: [fedor, brisa, brilho, impacto, grito] Atuadores: esquerda, direita,

pegar, deixar, atirar

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Explorando o mundo de wumpusPrimeira percepção: [nada, nada, nada, nada, nada]

Deduz: [1,2] e [2,1] são seguros...

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Explorando o mundo de wumpus

Segunda percepção: [nada, brisa ,nada ,nada ,nada]

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Explorando o mundo de wumpus

Dedução: poço em [1,3] ou [2,2]quadrado vazio em [2,1]

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Explorando o mundo de wumpus

Nova percepção: [fedor , nada , nada , nada , nada]Nova dedução: wumpus em [3,1]

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Explorando o mundo de wumpus

Nova dedução: wumpus em [3,1] e poço em [1,3] (pois não havia fedor em [1,2], nem brisa em [2,1])

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Nova dedução: wumpus em [3,1] e poço em [1,3] (pois não havia fedor em [2,2] nem brisa em [2,1])

Esta é uma inferência difícil pois se baseia em informação obtida em diferentes instantes e lugares, e se baseia na falta de uma percepção...

Está além das habilidades da maioria dos animais, mas factível para um agente lógico

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Propriedade do raciocínio lógico

As conclusões serão corretas se as informações disponíveis estiverem corretas!

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Lógica -- sintaxe

...base de conhecimento consiste de sentenças...

Sentenças são escritas com uma sintaxe;

Sintaxe especifica sentenças bem formadas– ex. em aritmética: X + Y = 4

• x2y+= : não é bem formada

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Lógica -- semântica

Define o significado das sentenças; em lógica: significado é a verdade de

cada sentença em relação à interpretações possíveis.– Ex. x + y = 4, verdade na interpretação x=2

e y=2, falso na interpretação x=1 e y =1.– Em lógica clássica, as sentenças só

podem ser verdadeiras ou falsas

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Lógica -- semântica

– Dizemos que “m é um modelo de ”: se é verdade na interpretação m

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Lógica -- semântica

Dada duas sentenças e , se em todos as interpretações em que é verdadeira, também o é dizemos que é consequência lógica de :

|=

“se é verdadeira também deve ser.”

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Lógica -- semântica: wumpus

Situação após detectar nada em [1,1], mover à direita e brisa em [2,1]

Considerar as interpretações possíveis para poços

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Lógica -- semântica: wumpus

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Lógica -- semântica: wumpus

BC = regras do mundo de wumpus + observações

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Lógica -- semântica: wumpus

BC = regras do mundo de wumpus + observações 1 = "[1,2] é seguro", BC |= 1

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Lógica -- semântica: wumpus

BC = regras do mundo de wumpus + observações 2 = "[2,2] é seguro", BC |= 2

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Lógica -- semântica: wumpus

Em alguns modelos em que BC é verdadeira, 2 é falsa, logo não há como deduzir se há um poço em [2,2] nem se não há...

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Este algoritmo de inferência é denominado:

verificação de modelos

pois enumera todos os modelos possíveis para verificar se é verdadeira em todos os modelos em que BC é verdadeira

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Derivação lógica Se um algoritmo de inferência i pode

derivar de BC:

BC |-i um algoritmo de inferência é “consistente

” (correto) se deriva apenas sentenças permitidas (pertencentes ao modelo).

e completo se puder derivar qualquer sentença permitida.

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Sound and completeness(correção e completeza)

BC |-i

BC |=

completeness

soundness

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Hipótese básica da IA “logiscista”

Se a BC representa fatos no mundo real, qualquer sentença derivada de BC por um procedimento de inferência consistente também será verdadeira no mundo real

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Hipótese básica da IA “logiscista”

... portanto, embora a inferência opere sobre a sintaxe, o processo corresponde à conclusões verdadeiras no mundo real.

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Como sabemos que a BC é verdadeira no mundo real?

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Como sabemos que a BC é verdadeira no mundo real? Os sensores do agente criam a

conexão.– E se houver exceções?– E se a verdade for temporária?– E se houver regras gerais não previstas

pelo engenheiro de conhecimento??

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Lógica proposicional - sintaxe

Sentenças atômicas (elementos sintáticos indivisíveis):– um único símbolo proposicional;– cada símbolo é uma proposição que pode

ser verdadeira ou falsa;

– nomes em maiúsculas: A, B, W1,3...

– Verdadeiro– Falso

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LP- sintaxe- sentenças atômicas

– se S é sentença, S é sentença (negação)

– Um literal é uma sentença atômica negada ou não.

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LP- sintaxe- sentenças complexas – se S1 e S2 são sentenças, tb o são:

• S1 S2 (conjunção -- e)• S1 S2 (disjunção -- ou)• S1 S2 (implicação-se, então)• S1 S2 é sentença (bicondicional - se e

somente se)

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LP- sintaxe-- precedência Utilize parênteses:

– ((A B) C)) Ou se apoie na ordem de precedência:

, , , e P Q R S equivale a:

(( P) (Q R)) S

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Lógica proposicional: semântica

Um modelo proposicional simplesmente fixa o valor verdade para todo símbolo proposicional de uma BC:

E.g. P1,2 P2,2 P3,1

false true false Verdadeiro é verdadeiro em todo modelo e

Falso é falso em todo modelo;– O valor verdade de todos os outros símbolos

proposicionais deve ser especificado diretamente no modelo.

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Lógica proposicional: semântica Regras para avaliar o valor verdade com

respeito a um modelo m: S é verdade sse S é falso – S1 S2 é verdade sse S1 é verdade e S2 é

verdade– S1 S2 é verdade sse S1é verdade ou S2 é

verdade– S1 S2 é verdade sse S1 é falso ou S2 é verdade– i.e., é falso sse S1 é verdade e S2 é falso– S1 S2 é verdade sse S1S2 é verdade e S2S1 é

verdade

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Tabela verdade

Assim reduz-se a verdade de sentenças complexas à verdade de sentenças mais simples em um processo recursivo.E.g.:P1,2 (P2,2 P3,1) = true (true false) = true true = true

Obs. Cada linha da tabela é uma interpretação possível.

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Tabela verdade

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Enumere todas os modelos e verifique se é verdadeira em todo modelo em que BC é verdadeira.

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Inferência por enumeração de modelos

A busca em profundidade para enumerar todos as interpretações para encontrar modelos é correta e completa.

Para n simbolos, complexidade temporal é O(2n), e espacial é O(n)

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Equivalência lógica Duas sentenças são logicamente equivalentes sse verdadeiras

nos mesmos modelos: sse |= e |= :

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Validade e satisfatibilidade

Uma sentença é válida se verdadeira em todos os modelos,e.g., True, A A, A A, (A (A B)) B

» TautologiasValidade é ligada à inferência via o Teorema da Dedução :

KB |= se e somente se (KB ) é valida

Uma sentença é satisfatível se verdadeira em algum modeloe.g., A B, C

Uma sentença é insatisfatível se verdadeira em nenhum modeloe.g., AA

Satisfatibilidade é ligada à inferência via o seguinte:KB |= se e somente se (KB ) é insatisfatível

Raciocinando por contraposição

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Teorema da Dedução

Validade é ligada à inferência via o Teorema da Dedução :

BC |= se e somente se (BC ) é valida

• Podemos imaginar o algoritmo anterior como a verificação da validade de BC

• Reciprocamente, toda sentença de implicação válida descreve uma inferência legítima.

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Inferência como prova Regras de inferência:

– Modus ponens

,

– Eliminação-de-e

,

– Todas as equivalências anteriores podem ser usadas como regras de inferência.

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Exemplo: BC mundo de wumpus

Seja Pij verdade se existe um poço em [i, j].

Seja Bij verdade se há brisa em [i, j].R1: P11

R2: B11

R3: B21

"Poços causam brisas em quadrados adjacentes "R4: B11 (P12 P21)

R5: B21 (P11 P22 P31)

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Exemplo: Wumpus Seja a base de conhecimento R1 -- R5,

vamos provar P12:

– Eliminação de bicondicional a R4:

R6: (B11(P12 P21))((P12 P21)B11)

– Eliminação-e em R6:

R7:(B11(P12P21)) e R7`:((P12P21)B11)

– Contraposição em R7`:

R8: ( B11 (P12 P21))

– Modus ponens com R2 e R8:

R9: (P12 P21))

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Exemplo: Wumpus

– Regra de de Morgan em R9:

R10: P12 P21

i.e. nem [1,2], nem [2,1] possui um poço!

[obs. Erro no livro!]

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Métodos de prova Há duas categorias principais de métodos de provas:

– Aplicação das regras de inferência• Geração correta (sound) de novas sentenças a partir de

antigas; • Prova = uma sequência de aplicações de regras de inferência

– Regras de inferência podem ser usadas como ações em um algoritmo de busca

• Tipicamente requer transformar as sentenças em uma forma normal (def. a seguir)

– Model checking• enumeração de modelos em tabelas verdade• retrocesso melhorado, e.g., Davis--Putnam-Logemann-

Loveland (DPLL)• busca heurística em um espaço de modelos WALKSAT

(correto, porém incompleto)

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Resolução

Satisfatibilidade é ligada à inferência via o seguinte:BC |= se e somente se (BC ) é insatisfatível

Raciocinando por contraposição

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ResoluçãoForma Normal Conjuntiva -- Conjunctive Normal Form (CNF)

conjunção de disjunções de literaisE.g., (A B) (B C D)

Regra de inferência resolução (para CNF):l1 … lk, m1 … mn

l1 … li-1 li+1 … lk m1 … mj-1 mj+1 ... mn

onde li e mj são literais complementares. l1 l2 l2 l3

l1 l3

E.g., P1,3 P2,2, P2,2

P1,3

correta e completa para lógica proposicional

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Resolução

Qualquer algoritmo de busca completo, aplicando apenas a regra de resolução, pode derivar qualquer conclusão permitida por qualquer base de conhecimento em lógica proposicional!

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Conversão para CNFB1,1 (P1,2 P2,1)

Eliminar , trocando por ( )( ).(B1,1 (P1,2 P2,1)) ((P1,2 P2,1) B1,1)

2. Eliminar , trocando por .(B1,1 P1,2 P2,1) ((P1,2 P2,1) B1,1)

3. Mover para dentro usando as leis de de Morgan e negação dupla:(B1,1 P1,2 P2,1) ((P1,2 P2,1) B1,1)

4. Aplicar a lei distributiva ( sobre ) e eliminar ‘(‘ ’)’:(B1,1 P1,2 P2,1) (P1,2 B1,1) (P2,1 B1,1)

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Algoritmo de Resolução

Primeiro a entrada é convertida em CNF. Em seguida a regra de resolução é aplicada às cláusulas restantes. Cada par que contém literais complementares é resolvido para gerar uma nova cláusula, que é adicionada ao conjunto..

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Algoritmo de Resolução

O processo continua até que:– não exista nenhuma cláusula nova a ser

adicionada; nesse caso, não há consequência lógica

– a cláusula vazia é derivada; assim, a consequência lógica é verificada.

Raciocinando por contraposição

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Algoritmo da resolução Prova por contradição, i.e., para provar em BC,

mostrar que KB é insatisfatível

PL-Resolve retorna o conj. de todas as cláusulas possíveisobtidas pela resolução de duas entradas

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Exemplo de resolução

BC = (B1,1 (P1,2 P2,1)) B1,1

= P1,2

2,1

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Encadeamento pra frente e pra trás

(Forward and backward chaining) Cláusula de Horn (resolução restrita)

BC = conjunção de cláusulas de Horn– cláusula de Horn =

• símbolo proposicional; ou• (conjunção de símbolos) símbolo

(CORPO) CABEÇA(I.e., disjunção de literais nos quais no máximo um é positivo)

– E.g., C (B A) (C D B) Modus Ponens (para Horn): completo para BC Horn

1, … , n, 1 … n

Podem ser usadas com forward chaining ou backward chaining. Algoritmos simples e de complexidade linear (em rel. ao tamanho da

base de conhecimento) !

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Forward chaining

Começa a partir de fatos conhecidos (literais positivos) na base de conhecimento. Se todas as premissas de uma implicação forem verdade, sua conclusão será acrescentada ao conjunto de fatos conhecidos.

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Forward chaining example

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Forward chaining example

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Forward chaining example

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Forward chaining example

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Forward chaining example

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Forward chaining example

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Forward chaining example

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Forward chaining example

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Backward chaining

Funciona da pergunta q à base de conhecimento:

– para provar q na BC,• verifique se q já faz parte de BC, ou• prove pela BC todas as premissas de alguma regra

que conclua q

Evitar laços: verifique se os novos subgoals já foram provados ou já falharam!

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Exemplo de Backward chaining

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Backward chaining example

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Backward chaining example

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Backward chaining example

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Backward chaining example

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Forward vs. backward chaining

ForwC é baseado no dados, – Pode ser usado para derivar conclusões a partir de

percepções de entrada, sem uma consulta específica em mente;

– Pode executar muito trabalho irrelevante para o objetivo;– Executa um trabalho extensivo;

BackC é baseado no objetivo, – Apropriado para resolução de problemas;– Funciona em tempo linear– Complexidade de BackC pode ser muito menor do que

linear em relação ao tamanho da base de conhecimento por que o processo só toca fatos relevantes para provar um objetivo.

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CONCLUSÃO

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CONCLUSÃO

VOCÊS PRECISAM ESTUDAR!! Leiam o cap. 7 até a p. 214 Próxima aula tem mais!!