Lógica - UNEMAT – Campus Sinopsinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_129162b... · Introdução Lógica Importância da lógica: Precisar argumentos matemáticos

Lógica

Fernando Fontes

Universidade do Minho

Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65

Outline

1 Introdução

2 Implicações e Equivalências Lógicas

3 Mapas de Karnaugh

4 Lógica de Predicados

5 Argumentação Matemática

6 Indução Matemática


Introdução

Lógica

Importância da lógica:

Precisar argumentos matemáticosVerificar a sua validadeProgramação de computadoresVerificar a correcção de algoritmosCircuitos electrónicos digitais

DefiniçãoUma proposição é uma afirmação que pode ser classificada comoverdadeira ou falsa.


Introdução

Exemplos de proposições:

Guimarães é a capital de Portugal.x + y = y + x para quaisquer x , y ∈ R.A milionésima casa decimal de π é 5.(Não precisamos de saber o valor para considerarmos se é proposição)

4 é positivo e 3 é negativo.Se hoje é Domingo, então 1 + 1 = 3.

Contra exemplos:

Vamos almoçar?Estejamos atentos!x − y = y − x(Para que valores de x e y?)


Introdução

Cálculo Proposicional I

Valores Lógicos:Verdadeiro, representado por V ou 1.Falso, representado por F ou 0.

Operadores Lógicos:

Negação: Negação de p é representado por ¬p (tambémrepresentado por p em expressões lógicas).

¬p é verdadeiro se p for falso e é falso se p for verdadeiro.

Exemplo:p: Hoje é Domingo.¬p: Hoje não é Domingo.


Introdução

Cálculo Proposicional II

E(Conjunção): A conjunção de p e q é representada por p ∧ q(também por p.q ou pq).

p ∧ q é verdadeiro se p e q forem ambos verdadeiros. É falso se pfor falso ou se q for falso (ou ambos).

Exemplo:q: Hoje está a chover.p ∧ q: Hoje é Domingo e está a chover.

OU(Disjunção): Disjunção de p ou q é representada por p ∨ q.

p ∨ q é verdadeiro se p for verdadeiro ou se q for verdadeiro. Éfalso se p e q forem ambos falsos.


Introdução

Tabelas de verdade I

NEGAÇÃO

p ¬p0 11 0

CONJUNÇÃO

p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1

DISJUNÇÃO

p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1

(Tem que explicitar todas as combinações possíveis.)


Introdução

Tabelas de verdade II

(p ∧ q) ∨ (¬r)

p q r p ∧ q ¬r (p ∧ q) ∨ (¬r)0 0 0 0 1 10 0 1 0 0 00 1 0 0 1 10 1 1 0 0 01 0 0 0 1 11 0 1 0 0 01 1 0 1 1 11 1 1 1 0 1


Introdução

Outros Operadores Lógicos I

OU EXCLUSIVO: representado por p ⊕ q.p ⊕ q é verdadeiro quando exactamente uma das proposições pou q é verdadeira. É falso quando p e q tiverem o mesmo valorlógico.

p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0


Introdução

Outros Operadores Lógicos II

IMPLICAÇÃO (material): p implica q é representado por p → q.p → q é falso quando p é verdadeiro e q é falso. É verdadeiro emqualquer outro caso.

p q p → q0 0 10 1 11 0 01 1 1


Introdução

Outros Operadores Lógicos III

Podemos ler p → q como:

p implica qSe p então qp é condição suficiente para qq é condição necessária para pq sempre que pq se p

Numa implicação p → q chamamos:

A p a hipótese, o antecedente ou a premissa.A q a conclusão, ou consequência.


Introdução

Outros Operadores Lógicos IV

EQUIVALÊNCIA (material): p equivale a q, ou p se e só se q,representado por p ↔ q.p ↔ q é verdadeiro se p e q tiverem os mesmos valores lógicos.É falso no outro caso.

p q p ↔ q0 0 10 1 01 0 01 1 1


Introdução

Expressões Lógicas I

Regras de Precedência:

¬ precedência mais alta∧,∨,⊕ nível de precedência seguinte→, ↔ precedência mais baixa

Exemplo:

p ∨ ¬q → ¬p ∧ q deve ler-se como:

(p ∨ (¬q)) → ((¬p) ∧ q)

Atenção a expressões ambíguas do tipo p ∨ q ∧ r ou do tipop → q → r .


Introdução

Expressões Lógicas II

Exercício:

Verifique que (p ∨ q) ∧ r tem uma tabela de verdade diferente dep ∨ (q ∧ r).

Verifique que (p → q) → r tem uma tabela de verdade diferentede p → (q → r).


Implicações e Equivalências Lógicas

Implicações e Equivalências Lógicas I

DefiniçãoUma expressão lógica que seja sempre verdadeira (quaisquer quesejam os valores lógicos das proposições que a compõem) échamada uma Tautologia.

DefiniçãoUma expressão lógica que seja sempre falsa é chamada umaContradição.



Implicações e Equivalências Lógicas II

Exemplo

p → p é uma tautologia.

p p → p0 11 1

p ∧ ¬p é uma contradição.

p p ∧ ¬q0 01 0



Implicações e Equivalências Lógicas III

Exercício

Verifique que são tautologias as seguintes expressões:

1 (a ∨ b) ∨ (¬a ∧ ¬b)

2 (a → b) ↔ ((¬a) ∨ b)



Equivalência Lógica (⇔) I

Dizemos que uma expressão lógica f1 é logicamente equivalente aoutra expressão f2 se e só se os valores lógicos de ambas asexpressões forem iguais quaisquer que sejam os valores lógicos dasproposições que as compõem.

Isto é, as últimas colunas das tabelas de verdade de f1 e f2 são iguais.

Conclui-se que:

f1 ⇔ f2 se e só se f1 ↔ f2 é uma tautologia.



Equivalência Lógica (⇔) II

As equivalências lógicas são úteis para simplificar expressões.



Equivalência Lógica (⇔) III

Exercício:Verifique as leis de De Morgan:

¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q)

Verifique p → q ⇔ ¬p ∨ q



Implicação Lógica (⇒) I

Dizemos que uma expressão lógica f1 IMPLICA LOGICAMENTE outraexpressão f2 se e só se quaisquer que sejam os valores lógicos dasproposições que compõem f1 e que tornam f1 verdadeira, tambémtornam f2 verdadeira.

Isto é, sempre que na última coluna da tabela de verdade de f1 ocorrerum valor verdadeiro, terá que ser também verdadeiro o valorcorrespondente na última coluna da tabela de verdade de f2.

Conclui-se que:

f1 ⇒ f2 se e só se f1 → f2 é uma tautologia.



Implicação Lógica (⇒) II

As implicações lógicas são úteis na demonstração de argumentos matemáticos.

Exercício:Verifique o seguinte argumento de redução ao absurdo:Se ¬p implica uma contradição, então p é verdadeiro.



Implicação Lógica (⇒) III

Forma normal disjuntiva:Expressão na forma de disjunção de termos compostos porconjunções e negações.

Exemplo:

(¬p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ q¬r) ∨ (¬p ∧ r)

Forma normal conjuntiva:Expressão na forma de conjunções de termos compostos pordisjunções e negações.

Exemplo:

(¬p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q¬r) ∧ (¬p ∨ r)



Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas deverdade. I

Exemplo:

p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0

1 Considere as linhas da tabela que dão resultado verdadeiro.No exemplo 2a e 3a linhas.



Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas deverdade. II

2 Para cada uma dessas linhas conjugue as entradas verdadeirascom a negação das entradas falsas.No exemplo: 2a linha: ¬p ∧ q3a linhas: p ∧ ¬q

3 Faça a disjunção das expressões obtidas para cada linha.No exemplo: (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)



Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas deverdade. III

Exercício: Transforme na forma normal disjuntiva as seguintesexpressões:

1 (p ∧ ¬q) → r2 (¬p → q) ∧ (r ∨ p)

Expressões na forma normal disjuntiva são habitualmente escritasrepresentando a conjunção a ∧ b por a · b ou ab (com precedênciasuperior à disjunção) e a negação ¬a por a.

Assim, (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ q¬r) poderá ser representado comopqr ∨ pqr



Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas deverdade. IV

Uma das simplificações mais usuais de expressões na forma normaldisjuntiva é agrupar termos que diferem apenas no valor de uma dasvariáveis. (termos adjacentes)

Exemplo: abc ∨ abc = ab(c ∨ c) = ab ∧ 1 = ab

Se tivermos expressões mais complexas poderá não ser tão fácilidentificar as possíveis simplificações.

Exemplo: abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd =? poderemos recorrera métodos gráficos para simplificar.


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh I

Método gráfico para simplificar expressões lógicas na forma normaldisjuntiva que não tenham um número muito elevado de variáveis(tipicamente até 6 variáveis).

Mapas de Karnaugh para expressões de 2 variáveis

a) xy ∨ xyb) xy ∨ xyc) xy ∨ xy ∨ xyd) x ∨ y


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh II

Objectivo: Agrupar células adjacentes formando blocos.

Blocos com 2 células → termos com uma variávelBlocos com 1 célula → termos com 2 variáveis.

Cobrir o mapa com blocos de tamanho o maior possível.

a) y b)xy ∨ xy c) x ∨ y d) x ∨ y


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh III


f = f (x , y , z)

Células adjacentes diferem apenasnuma variável.

1a célula é adjacente à 4a coluna!


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh IV

Blocos com 1 célula → termo com 3 variáveisBlocos com 2 células → termos com 2 variáveis.Blocos com 4 células → termos com 1 variável.

Exemplo

xyz ∨ xyz ∨ yz ∨ x


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh V

Objectivo da simplificação:

Cobrir o mapa com blocos (formados por células adjacentes) de tamanho omaior possível (e com o menor número possível de blocos).

Questão: Como cobrir o mapa anterior com 3 blocos de 4 elementos.

Solução:

x ∨ y ∨ z

Exercício: Simplifique as seguintes expressões:xy ∨ xyz ∨ xyzyz ∨ xyz ∨ xy


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh VI


Células adjacentes diferem apenas numa variável

1a coluna é adjacente à 4a coluna!1a linha é adjacente à 4a linha!


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh VII

Exemplo:

f (x , y , w , z) = xywz ∨ xywz ∨ xywz ∨ xywz

Um bloco de 4 células adjacentes!

f (x , y , w , z) = yz


Lógica de Predicados


Considere as afirmações:

P(x): x > 3Q(x , y): x = y + 3R(x , y , z): x + y − z é par

Estas afirmações não podem ser classificadas como verdadeiras oufalsas enquanto os valores para as variáveis não forem especificadas.Mas,

P(2) é falsoQ(6, 3) é verdadeiroR(2, 2, 3) é falso



Quantificadores

Definição:Um predicado ou função proposicional é uma afirmação envolvendovariáveis tal que qualquer substituição de cada variável por um pontodo seu domínio, torna a afirmação numa proposição.

Quantificadores

Uma alternativa a atribuir valores específicos às variáveis de umpredicado é utilizar quantificadores que também transformam ospredicados em proposições.



Quantificador Universal ∀ I

∀x P(x)

Para todo o x P(x)

Qualquer que seja x P(x)

“Para todos os valores de x pertencentes ao universo do discurso, aproposição P(x) é verdadeira.”

O universo poderá (e deverá) ser especificado quando háambiguidades

Exemplo:∀x∈R x2 ≥ 0 é uma proposição verdadeira.∀x∈C x2 ≥ 0 é uma proposição falsa.



Quantificador Universal ∀ II

Quando o universo do discurso é finito

Exemplo:x ∈ {1, 2, 3, 4}A proposição

∀x∈{1,2,3,4} P(x)

pode ser escrita como conjunçãoP(1) ∧ P(2) ∧ P(3) ∧ P(4)(i.e. P tem que ser verdadeiro para 1, 2, 3 e 4)

Exercício: ∀x P(x , y) é Predicado ou Proposição?



Quantificador Existencial, ∃ I

∃x P(x)

Existe um x tal que P(x).

Existe pelo menos um x tal que P(x).

“Para algum x pertencente ao universo do discurso a proposição P(x)é verdadeira.”

Da mesma maneira o universo poderá ser especificado

∃x∈R 2x = 1 é verdadeiro∃x∈N 2x = 1 é falso



Quantificador Existencial, ∃ II

Quando o universo é finito a proposição

∃x∈{1,2,3,4} P(x)

é o mesmo que a disjunçãoP(1) ∨ P(2) ∨ P(3) ∨ P(4).

Exercício: Justifique que (∀x P(x)) ⇒ (∃x P(x)).



Quantificador Existencial, ∃ III

∀x P(x)

Para ser verdadeiro, P(x) tem que ser verdadeiro para todos osvalores de x .

Para ser falso basta que arranjemos um exemplo para o qual P(x)é falso.

Logo,

¬(∀x P(x)) ⇔ ∃x(¬P(x))



Quantificador Existencial, ∃ IV

∃x P(x)

Para ser verdadeiro, basta que encontremos um exemplo de x parao qual P(x) é verdadeiro.Para ser falso teremos que mostrar que não há nenhum exemplode um valor de x para o qual P(x) seja verdadeiro. Por outraspalavras, para ser falso, P(x) tem que ser falso para todos osvalores de x .

Logo,

¬(∃x P(x)) ⇔ ∀x(¬P(x))

Exercício: Utilize as Leis de Morgan para verificar as expressõesanteriores para um universo finito {1, 2, 3, 4}.



Quantificador Existencial, ∃ V

Atenção à ordem dos quantificadores!

Exemplo: Qual o valor lógico das seguintes proposições?

P : ∀x∈{1,2} ∃y∈{1,2} x = yQ : ∃y∈{1,2} ∀x∈{1,2} x = y

P é verdadeiro!Q é falso!



Tradução de linguagem natural para expressões lógicas I

Exemplo 1:“Toda a gente tem um bom amigo.”Seja B(x , y) : y é um bom amigo de x .

∀x∃y B(x , y).

Exemplo 2:“Há alguém que é bom amigo de toda a gente.”

∃y∀x B(x , y).

Exemplo 3:“Toda a gente tem exactamente um melhor amigo.”Seja M(x , y) : y é o melhor amigo de x .

∀x∃y∀z (M(x , y) ∧ (z 6= y)) → ¬M(x , y).



Tradução de linguagem natural para expressões lógicas II

Exemplo 4:“O Marco Paulo tem pelo menos 2 amores.”Seja A(x): x é o amor do Marco Paulo.

∃x∃y A(x) ∧ A(y) ∧ (x 6= y).

Exemplo 5:“O Marco Paulo tem exactamente 2 amores.”

∃x∃y∃z [A(x) ∧ A(y) ∧ (x 6= y) ∧ (x 6= z) ∧ (y 6= z)] → ¬A(z).


Argumentação Matemática

Argumentação Matemática I

Como verificar se um argumento matemático está correcto?Como cosntruir argumentos matemáticos que permitam mostrarque uma proposição ou teorema são verdadeiros?

Um TEOREMA é uma afirmação que se pode mostrar ser verdadeira.

Um teorema é habitualmente escrito na forma:

H1 ∧ H2 ∧ . . . ∧ Hn ⇒ C

em que as proposições:

H1, H2, . . . , Hn são as HIPÓTESESC é a CONCLUSÃO.

Lemas e Corolários são casos particulares de teoremas.



Argumentação Matemática II

Lemas sem importância própria, usados na demonstração de outrosteoremas.

Corolários são casos particulares de um teorema.

Uma Demonstração de um teorema consiste numa sequência deproposições que termina na conclusão (C) e que são Válidas.

Para uma proposição de uma demonstração ser válida deverá ser:

ou uma das hipóteses (H1, H2, . . .),

uma tautologia conhecida,

derivar de uma proposição anterior por substituição de variáveis livres(ie variáveis não associadas a um quantificador),

ou derivar de proposições anteriores por Regras de Inferência.



Regras de Inferência I

P1P2...

Pk∴ Q

lê-se: P1, P2, · · · , Pk logo Q

Significado: P1 ∧P2 ∧ . . .∧Pk ⇒ Q

Algumas regras de inferência mais usuais:

Regra Tautologia Nomep

∴ p ∨ qp → (p ∨ q) Adição

p ∧ q∴ p

(p ∧ q) → p Simplificação



Regras de Inferência II

Regra Tautologia Nomep

p → q∴ q

[p ∧ (p → q)] → q Modus Ponens (destacamento)

¬pp → q

∴ ¬p[¬q ∧ (p → q)] → ¬p Modus Tollens

p → qq → r

∴ p → r[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) Silogismo de hipótese

p ∨ q¬p

∴ q[(p ∨ q) ∧ ¬p] → q Silogismo de Disjunção



Regras de Inferência III

Exemplo 1

Verifique formalmente o seguinte argumento:

“Está frio. Logo está frio ou está chuva.”

p: “está frio”q: “está chuva”

1 p por hipótese2 p ∨ q por 1 e adição.



Regras de Inferência IV

Exemplo 2

Verifique o argumento:

“Se hoje estiver sol vou à praia.Hoje está sol. Logo vou à praia.”

p: “está sol”q: “vou à praia”

1 p → q por hipótese2 p por hipótese3 q por 1,2 e Modus Ponens.



Regras de Inferência V

Exemplo 3

Verifique o seguinte argumento:

“Se eu estudar ou se eu for um génio, então vou passar a MD Se eupassar a MD vou ter umas boas férias. Logo, se eu não tiver umasboas férias não sou um génio.”

Uma possível demonstração:

e: “eu estudo”g: “eu sou um génio”p: “vou passar a MD”f : “vou ter umas boas férias”



Regras de Inferência VI

1 e ∨ g → p por hipótese2 p → f por hipótese3 g → e ∨ g adição4 g → g ∨ e 3, comutatividade da disjunção5 g → p 4,1, silogismo da hipótese6 g → f 5,2, silogismo da hipótese7 ¬f → ¬g 6, contrapositivo.



Técnicas de Demonstração I

Demonstração Directa

H1 ∧ H2 ∧ . . . ∧ Hn ⇒ C

Começando pelas hipótese e usando as regras de inferência,tautologias e outras proposições válidas tentar chegar àconclusão C.

Demonstração por Contradição (redução ao absurdo)

H1 ∧ H2 ∧ . . . ∧ Hn ∧ ¬C ⇒ contradição

Demonstração do contrapositivo

¬C ⇒ ¬(H1 ∧ H2 ∧ . . . ∧ Hn)



Técnicas de Demonstração II

Demonstração por enumeração dos casos

Usa o facto queH1 ∨ H2 ∨ . . . ∨ Hn ⇒ C

é equivalente a

(H1 ⇒ C) ∧ (H2 ⇒ C) ∧ . . . ∧ (Hn ⇒ C)

Cada um pode ser mostrado separadamente.



Técnicas de Demonstração III

Exemplo

Mostre que se 3n + 2 é ímpar, então n também é ímpar

i) por contradiçãoii) por contrapositivo

i) Por contradição(3n + 2 é ímpar) ∧ (n é par) ⇒ contradição

Por hipótese:3n + 2 = 2k + 1 para algum k inteiron = 2l para algum l inteiro

Mas3n + 2 = 3(2l) + 2 = 6l + 2 = 2k + 1



Técnicas de Demonstração IV

Da última igualdadek = 6l+1

2 = 3l + 12

Como k e l são inteiros, temos uma contradição.

ii) Pelo contrapositivo (n par) ⇒ (3n + 2 par)Por hipótese

n = 2k , k inteiro

Donde4n + 2 = 3(2k) + 2 = 2(3k + 1) é par.



Técnicas de Demonstração V

Exemplo:

Mostre que se n não é divisível por 3 então a divisão de n2 por 3 dásempre resto 1. (Sugestão: use enumeração de casos)

i) Resto 1. n = 3k + 1, k inteiro

ii) Resto 2. n = 3k + 2, k inteiro

i) n2 = (3k + 1)2 = 9k2 + 3k + 1 = 3(3k2 + k) + 1, resto 1.

ii) n2 = (3k + 2)2 = 9k2 + 6k + 4 = 3(3k2 + 2k + 1) + 1, resto 1.


Indução Matemática

Indução MatemáticaTécnica de demonstração de teoremas do tipo:

“P(n) é verdadeiro para qualquer inteiro positivo n.”

Exemplo:

Mostre que o somatório dos n primeiros inteiros é igual a n(n+1)2 , para

qualquer n inteiro positivo n.

É fácil verificar para os primeiros



1 = 1

1 + 2 = 21 + 2

2= 3

1 + 2 + 3 = 6 = 31 + 3

2

1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 41 + 4

2

Mas por enumeração não conseguimos mostrar para todos os inteirospositivos n.



Indução Matemática I

1 Passo de Base: Mostrar que P(1) é verdadeiro.2 Passo de Indução: Assumindo que P(k) é verdadeiro, mostrar

que P(k + 1) também é verdadeiro, para qualquer k . (i.e.P(k) → P(k + 1),∀k )

Expressando a Indução Matemática como uma Regra de Inferência:

P(1)P(k) → P(k + 1),∀k∈N∴ P(n),∀k∈N

Ou como

[P(1) ∧ (P(k) → P(k + 1), k ∈ N)] ⇒ P(n),∀n∈N



Indução Matemática II

“O somatório dos n primeiros inteiros é igual a n(n+1)2 ”

Demonstração por indução matemática

1 Passo de base

P(1) : 1 = 1·22 = 1 verdadeiro

2 Passo de indução (P(k) → P(k + 1))

P(k) : 1 + 2 + . . . k = k k+12

P(k + 1) : 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = (k + 1) · k+22

P(k) → 1 + 2 + . . . k = k(k+1)2

→ 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = (k+1)(k+2)2 + (k + 1)



Indução Matemática III

→ 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = k(k+1)+2(k+1)2

→ 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = (k+1)(k+2)2

→ P(k + 1)

Verdadeiro



Interpretação I

O primeiro dominó tomba.Se um qualquer dominó tombar, então o seguinte tomba também.

∴ todos os dominós tombam.



Interpretação II

Exercício:

Mostre a fórmula da soma de uma progressão geométrican∑

n=1

r i = rrn − 1r − 1

.

Mostre que 2n < n! para n ≥ 4.

Se o cardinal de um conjunto A for n, então o número desubconjuntos de A é igual a 2n. Mostre por indução.


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