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LOM 3081 - Introdução à Mecânica dos Sólidos

CAP. 2 – ANÁLISE DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO

PARTE 1 – ANÁLISE DE TENSÃO


VARIAÇÃO DA TENSÃO COM O PLANO DE CORTE

Seja por exemplo uma barra sujeita a um carregamento axial.

Ao aplicar o MÉTODO DAS SEÇÕES, o plano de corte não

precisa ser necessariamente transversal.

Lembre: “Se um corpo está em equilíbrio, então qualquer pedaço

deste corpo, definido por um plano de corte QUALQUER, também

estará equilíbrio”.

QUAIS ESFORÇOS INTERNOS APARECEM NO PLANO INCLINADO?


Considere que, numa barra tracionada, o plano de corte efetuado

para a análise dos esforços internos seja tal que sua normal forme

um ângulo com o eixo longitudinal da barra.

cosPN

senPV

2cos

A

P cossen

A

P

CONCLUSÃO:

A TENSÃO

DEPENDE DO

PLANO DE CORTE


EXEMPLO:


A

FT

0A

lim

TENSÃO NUM PONTO:

Num caso geral de solicitação, não se pode considerar que a tensão é

uniforme em toda a área definida por um dado plano de corte.

É necessário então definir o valor da tensão para cada ponto contido no plano.

A tensão no ponto pode ser decomposta

em suas componentes normal e cisalhante

Além de variar de ponto a ponto, já se sabe que,

para um dado ponto, a tensão varia com o plano

Elemento de área contendo o ponto


zzyzx

yzyyx

xzxyx

T

Assim, em um único ponto do corpo, a tensão pode assumir infinitos valores,

dependendo do plano de corte escolhido. Pode-se demonstrar que: “Se por

um ponto são passados 3 planos de corte mutuamente perpendiculares, então

os componentes de tensão neste ponto, correspondentes a qualquer outro plano

de corte, podem ser escritos em função dos componentes nesses 3 planos”.

SIMETRIA DO TENSOR-TENSÃO

(Teorema de Cauchy)


• O estado mais geral de tensão em um

ponto pode ser representado por 6

componentes:

),,

,,

,,

xzzxzyyzyxxy

zxyzxy

zyx

:(Nota

tocisalhamen de tensões

normais tensões

• O mesmo estado de tensão é

representado por um conjunto diferente de

componentes se os eixos são

rotacionados.

ESTADO DE TENSÃO EM UM PONTO


ESTADO PLANO DE TENSÃO

Quando as tensões em duas faces paralelas são nulas ou podem ser desprezadas, tem-se o estado plano de tensão.

Considera-se o estado de tensão definido no sistema de eixos (x, y, z).

Escolhe-se o plano (x, y), ou seja, as tensões (z, zx, zy) não são consideradas.

Corpo em equilíbrioEstado triplo de tensão Estado plano de tensão

Elemento de tensão

(Obs.: slide obtido de apresentação do prof. Komatsu – UFSCar)


• Estado Plano: estado de tensão no qual duas

faces do elemento estão livres de tensão.

Para o exemplo ilustrado, o estado de tensão

é definido por: 0 e,, xy zyzxzyx

• O estado plano de tensões ocorre em uma

placa fina sujeita a forças atuando no plano da

placa.

• O estado plano de tensões ocorre também na

superfície de elementos estruturais ou

componentes de máquinas, ou seja, em

qualquer ponto da superfície que não está

sujeita a força externa.

OCORRÊNCIA DO ESTADO PLANO DE TENSÃO


Tensão normal positiva: tração no elemento

Tensão normal na direção x Tensão normal na direção y

Tensão normal na direção x’

Eixo y’ - sempre paralelo ao plano.

CONVENÇÃO DE SINAIS


Tensão de cisalhamento positiva

Segue a regra: “se na face em que atua , uma tensão > 0 concorda ou

discorda do eixo correspondente, então a tensão > 0 deve, respectivamente,

concordar ou discordar do seu correspondente eixo”.


x

y

x

y

xy

x'y'

y'

x'

z

y'

x'

Seja um ponto na superfície de um elemento estrutural, submetido a

um estado plano de tensões:

Sendo conhecidas as tensões normais e de cisalhamento x, y e xy ,

desejamos determinar as tensões x’, y’ e x’y’ obtidas pela rotação dos

planos de um ângulo .

),,,(f,, xyyx'y'x'y'x

TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO CASO PLANO


TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO CASO PLANO

2sin2cos22

xyyxyx

2cos2sin2

xyxy


o

yx

xy

p

2

xy

2

yxyx

minmax,

90 de separados ângulos dois define :Nota

22tan

22

TENSÕES PRINCIPAIS E O CÍRCULO DE MOHR


Para o estado de tensão mostrado,

determine: (a) os planos principais,

(b) as tensões principais, (c) a

tensão máxima de cisalhamento e

as correspondentes tensões

normais.

SOLUÇÃO:

• Orientação dos planos principais:

yx

xy

p

22tan

• Tensões principais:

2

xy

2

yxyx

minmax,22

• Tensão máxima de cisalhamento

2

xy

2

yx

max2

2

yx

EXEMPLO


SOLUÇÃO:

• Orientação dos planos principais:

1.233,1.532

333.11050

40222tan

p

yx

xyp

6.116,6.26p

• Tensões principais:

22

2xy

2

yxyxminmax,

403020

22

MPa30

MPa70

min

max

MPa10

MPa40MPa50

x

xyx


MPa10

MPa40MPa50

x

xyx

2

1050

2

yxmed

• A correspondente tensão normal

MPa20

• Tensão máxima de cisalhamento

22

2xy

2

yxmax

4030

2

MPa50max

45ps

6.71,4.18s


PROBLEMAS RESOLVIDOS

1) Um ponto na superfície de um sólido em equilíbrio está sob o estado

de tensões indicado na figura. Determine as tensões principais e os

planos de corte principais, a máxima tensão de cisalhamento e o

correspondente valor da tensão normal. Represente graficamente o

estado de tensão em um círculo de Mohr. Responda ainda: qual o valor

da tensão cisalhante nos planos de corte em que a tensão normal é nula?



2) Para o estado de tensão indicado na figura, sendo p = 50 MPa, calcule

as tensões principais e indique os cortes onde elas ocorrem.



3) As tensões principais de um ponto sob tensão plana estão mostradas no

bloco B da figura.

Pede-se:

i) Calcule as componentes de tensão no plano a-a do bloco B.

ii) Calcule as tensões nos planos horizontal e vertical do bloco A.



4) Em uma chapa cujo estado de tensão é dado pela figura, descobriu-se

uma trinca, conforme indicado, comprometendo a integridade da

estrutura. Considerando que não são admitidas solicitações de tração

nem de cisalhamento no plano da trinca, foram propostas duas soluções

para que a trinca não afete a estrutura:

i) o acréscimo de uma tensão de compressão na direção perpendicular à

da tensão dada;

ii) o acréscimo de uma tensão de cisalhamento na chapa.

Discuta a validade de cada proposta e calcule o valor da tensão que

deve ser acrescentada ao estado de tensão original .


TENSÕES EM VASOS DE PRESSÃO DE PAREDE FINA

• Vasos de pressão são exemplos de aplicação do estado plano de tensões.

• Exemplos: Recipientes cilíndricos e esféricos

• Definição: Vasos de pressão de paredes finas: uniformestensões1,0r

t

• Empregados como: Tanques de armazenamento de gás, caldeiras, tanque de

ar comprimido, reservatórios de líquidos, oleodutos.

(onde: t = espessura da parede; r = raio interno)


• Tensões num ponto qualquer:

1 = tensão circunferencial

2 = tensão longitudinal

t

pr

xr2pxt20F

1

1z

• Tensão circunferencial:

21

2

2

2x

2

t2

pr

rprt20F

• Tensão Longitudinal:

TUBO PRESSURIZADO DE PAREDE FINA


t2

pr21

• O círculo de Mohr para transformações no plano das

tensões reduz-se a um ponto.

0

tetanonsc

max(plane)

21

VASO DE PRESSÃO ESFÉRICO

(Obs.: Posteriormente será vista a reconsideração desses casos como estado tridimensional de tensão)


EMPREGO DO PROGRAMA “MDSolids” PARA ANÁLISE DE TENSÃO


• Tela inicial do programa


•Módulo círculo de Mohr


• Exemplo 1:

- Considere o estado de tensão

Indicado na figura:


• Resultados

2p2=180-150,75 = 29,25

p1= -75,375

p2= 14,625


•Análise Avançada

Clique nestes

botões para

girar a partir

do ponto tx.


•Análise Avançada


• Exemplo 2:

Adotando o bloco B como

referência, ficamos com:


O plano aa corresponde ao corte = -45


O bloco A corresponde ao corte = 0,5 arc tg (3/4) = -18,43


O bloco A corresponde ao corte = 0,5 arc tg (3/4) = -18,43


CÍRCULO DE MOHR PARA 3 DIMENSÕES

Planos paralelos aos eixos principais:

O equilíbrio no plano XY não

se altera quando a tensão normal

em Z é diferente de zero.

Fazendo os eixos X, Y, Z

coincidirem com as

direções principais


CÍRCULO DE MOHR PARA 3 DIMENSÕES

Plano de inclinação arbitrária:


CASO PLANO RECONSIDERADO COMO TRIDIMENSIONAL


• Os pontos A e B correspondem,

respectivamente, à tensão tangencial

1, e tensão longitudinal, 2

• Máxima tensão de cisalhamento no

plano das tensões:

t4

pr

2

12)planomax(

• Máxima tensão de cisalhamento ocorres

em um plano a 45o em torno do eixo

longitudinal

t2

pr2max

EXEMPLO: TUBO DE PAREDE FINA


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