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LOQ 4083 - Fenômenos de Transporte I Atenção: Estas notas destinam-se exclusivamente a servir como roteiro de estudo. Figuras e tabelas de outras fontes foram reproduzidas estritamente com fins didáticos. FT I – 08 Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial Prof. Lucrécio Fábio dos Santos Departamento de Engenharia Química LOQ/EEL

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LOQ 4083 - Fenômenos de Transporte I

Atenção: Estas notas destinam-se exclusivamente a servir como roteiro de estudo. Figuras e tabelas de outras fontes foram reproduzidas estritamente com fins didáticos.

FT I – 08

Equação da Quantidade de

Movimento para um Volume de

Controle Inercial

Prof. Lucrécio Fábio dos Santos

Departamento de Engenharia Química

LOQ/EEL

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2

Uma equação dinâmica que descreve o movimento do fluido pode ser obtida aplicando a Segunda Lei de Newton a uma partícula. Lembre-se de que a segunda lei de Newton, para um sistema movendo-se em relação a um sistema de coordenadas inerciais, é fornecida como:

dt

Pd F

sistema

onde a quantidade de movimento linear do sistema é:

Vρd V dmV P M(sistema) (sistema)V

sistema

( 1 )

( 2 )

Segunda Lei de Newton

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e a força (F) inclui todas as forças de superfície e de campo atuando sobre o sistema. As formulações para sistema e para volume de controle são relacionadas pela equação: Para deduzir a formulação para VC da segunda lei de Newton, fazemos:

F F F Bs ( 3 )

A.dVρ Vρdt

dt

dN

SCVCs

( 4 )

P N

V

e

Lembrando que N = propriedade geral do sistema

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4

A.dVρV VρdVt

dt

Pd

SCVCs

( 5 )

( 6 )

Da equação 1, temos:

F F VC o sobresistema o sobre

Combinando as equações 5 e 6, temos a segunda lei de Newton para um VC não submetido à aceleração.

A.dVρV VρdVt

F F SCVC

Bs

( 7 )

Bssistema o sobre

sistema

F F F dt

Pd

Em t0, sistema e volume de controle coincidem

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A equação 7 estabelece que a soma de todas as forças (de superfície e de campo) atuando sobre um VC não submetido à aceleração é igual à soma da taxa de variação da quantidade de movimento no interior do VC com a taxa líquida do fluxo de quantidade de movimento saindo da superfície de controle.

A.dVρV VρdVt

F F SCVC

Bs

( 7 )

Obs.: Escolher um VC e sua superfície de controle (SC) de forma que

possamos avaliar a integral de volume e a integral de superfície (ou somatório);

Cada entrada e saída deve ser cuidadosamente rotulada, de modo a indicar as forças externas que agem na SC.

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Na equação 7, F representa todas as forças atuando sobre o VC. Inclui ambas as forças, de superfície e de campo. Em mecânica dos fluidos a força de campo normalmente é a gravidade, e Onde é a aceleração da gravidade e é o peso instantâneo de todo volume de controle. Em muitas aplicações , a força de superfície deve-se à pressão: O sinal negativo é para assegurar que sempre calculamos as forças de pressão atuando sobre a superfície de controle (dA foi escolhido como um vetor que aponta

para fora do VC).

VC

vcB gM W Vdg F

( 8 )

( 9 )

g vcW

A

s Apd F

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7

Todas as velocidades, V, na equação 7, são medidas em relação às coordenadas do VC (xyz), com os sinais apropriados para as componentes vetoriais µ, e .

O fluxo de quantidade de movimento, V(V.dA), através de um elemento de área da superfície de controle, dA, é um vetor.

Conforme discutido anteriormente, o sinal do produto escalar, (V.dA), depende do sentido do vetor velocidade, V, em relação ao vetor dA.

Atenção:

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8

SCVC

BSz

SCVC

BSy

SCVC

BSx

A.dVρ Vρdt

F F F

A.dVρ Vρdt

F F F

A.dVρ Vρdt

F F F

zz

yy

xx

( 10 )

A equação da quantidade de movimento (equação 7) é uma equação vetorial, cujas componentes escalares, em relação a um sistema de coordenadas xyz, são:

sc

VC

BSz

sc

VC

BSy

sc

VC

BSx

A.Vρ Vρdt

F F F

A.Vρ Vρdt

F F F

A.Vρ Vρdt

F F F

zz

yy

xx

Ou, para escoamento uniforme em cada seção:

( 11 )

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Nas equações 7 e 9, devemos ter cuidado com a avaliação dos sinais dos integrandos da superfície de controle:

1- O sinal de (V.dA) é determinado conforme:

escoamentos para fora do VC são positivos;

escoamentos para o interior do VC são negativos.

2- O sinal dos componentes de velocidade µ, e deve ser cuidadosamente avaliado com base no esquema do VC e na escolha do sistema de coordenadas xyz – direções desconhecidas de velocidades são selecionadas arbitrariamente (o resultado matemático indicará a validade da hipótese)

µ : Mi; : Ípsilon; : Omega

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Exemplo 01: Água sai de um bocal estacionário e atinge uma placa plana, conforme mostrado abaixo. A água deixa o bocal a 15 m/s e a área do bocal é 0,01 m2. Admitindo que a água é dirigida normal à placa e que escoa totalmente ao longo da placa, determine a força horizontal sobre o suporte.

bocal

placa

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Dados: Água é dirigida de um bocal estacionário a uma placa plana: o escoamento subsequente é paralelo à placa. Velocidade do jato, V = 15i m/s; Área do bocal, Ab = 0,01 m2.

Solução: A água proveniente do bocal cruza a superfície de controle através da área A1 (considerada igual a área do bocal) e admite-se que ela deixa o VC tangencialmente à superfície da placa no sentido +y ou –y.

Determinar: a força horizontal sobre o suporte.

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A.dVρV VρdVt

F F SCVC

Bs

Equações básicas:

0 A.dVρ Vρdt

SCVC

Considerações: 1. Escoamento permanente 2. Escoamento incompressível 3. Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras

do VC

= 0 (1)

= 0 (1)

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A.dVρV F F SC

Bs

0 A.dVρ SC

O volume de controle (VC) foi selecionado de modo que a área da superfície esquerda seja igual à área da superfície direita. Esta área tem a notação A.

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O volume de controle (VC) atravessa o suporte.

Sejam Rx e Ry as componentes, supostamente positivas, da força de reação do suporte sobre o VC.

Mz é o momento de reação (em relação ao eixo z) do suporte sobre o VC.

A pressão atmosférica age sobre todas as superfícies do VC. Note que a pressão em um jato livre é a ambiente, isto é, a pressão atmosférica.

A força de campo no VC é simbolizado por W.

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Como estamos à procura da força horizontal, escrevemos a componente x da equação da quantidade de movimento para escoamento permanente. Como não há força de campo na direção x, logo, FBx = 0, e Para avaliar FSx , devemos incluir todas as forças de superfície atuando sobre o VC:

SC

Bs A.dVρ F Fxx

A.dVρ F SC

sx

( 1 )

xxR A P A P F

atmatms

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Consequentemente, (2) em (1):

R F s xx ( 2 )

kN25,2 R

0,01m x s

m15 x

m

kg999 x

s

m15 R

V ; AρV R

A.dVρ A.dVρ R

x

2

3x

11111x

ASC

x

1

Consequentemente, a força age para a esquerda

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Exemplo 02: Água escoa em regime permanente através do cotovelo redutor de 90 mostrado na Figura abaixo. Na entrada do cotovelo, a pressão absoluta é 220kPa e a área da seção transversal é 0,01 m2. Na saída, a área da seção transversal é 0,0025 m2 e a velocidade média é 16 m/s. O cotovelo descarrega para a atmosfera. Determine a força necessária para manter o cotovelo estático.

SCVC

Bs A.dvρv ρdVvt

F F

Equações básicas:

0 A.dvρ ρdVt

SCVC

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Dados: P1 = 220kPa (abs) ; A1 = 0,01 m2 ; V2 = -16j m/s ; A2 = 0,0025 m2 Considerações: 1- Escoamento uniforme em cada seção 2- Pressão atmosférica, Patm = 101 kPa 3- Escoamento incompressível 4- Escoamento permanente (dado) 5- Desprezar o peso do cotovelo e da água no cotovelo Determinar: Força requerida para manter o cotovelo estático

Força de superfície

p manométrica

cotovelo

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Escrevendo a componente x da equação da quantidade de movimento, obtêm-se:

1

2

11(man)1x

111111(man)1x

A

1(man)1x

A

x1(man)1

2xB

ASC

S

AρV Ap R

V AVρ Ap R

A.dVρ Ap R

A.dVρ R Ap

0 e 0 F A.dVρ A.dVρ F

1

1

x

1

x

Há que se determinar V1

Note que μ1 é a componente x da velocidade, de modo que μ1 = V1.

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Para determinar V1, usa-se a equação de conservação da massa:

m/s 4 V

m01,0

m0025,0

s

m16

A

AV V

0 AρV AρV

0 A.dVρ A.dVρ 0 A.dVρ

0 A.dVρ Vρdt

1

2

2

1

221

2211

AASC

SCVC

permanenteregime

21

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21

2

2

3

2

2

3

x

1

2

11(man)1x

m01,0s

m4,0

m

kg999 0,01mx

m

Nx10101 220 R

AρV AP R

kN35,1 R x

Escrevendo a componente y da equação da quantidade de movimento, tem-se:

2

2

2By

2y2222By

A

By

y1

ASC

ByBS

AVρ F R

)y eixo ao contrário (sentido V AV F R

A.dVρ F R

0 A.dVρ A.dVρ F R F F

y

y

2

y

2

yyy

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22

2

2

3yBy0,0025mx

s

m16x

m

kg999 F R

639N F R yBy

Desprezando FBy (consideração 5), resulta: Este problema ilustra como a utilização de pressões manométricas simplifica a avaliação de forças de superfície na equação da quantidade de movimento.

639N R y

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Exemplo 03: Uma placa plana vertical tem um orifício de bordas vivas no seu centro. Um jato de água com velocidade V atinge a placa concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa requerida para manter a placa no lugar, se o jato que sai do orifício também tem velocidade V. Avalie a força para V = 5 m/s, D = 100 mm e d = 25 mm.

placa

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Considerações: 1. Escoamento uniforme em cada seção 2. Pressão atmosférica, Patm = 101 kPa 3. Escoamento incompressível 4. Escoamento permanente 5. Desprezar a força de campo FBy

(1)

(3)

(3)

(2)

VC

SC

Rx x

y

SCVC

Bs A.dVρV VρdVt

F F

Equação básica:

SC

s A.dVρV F

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0 V; V; A.dVρ A.dVρ F 321

ASC

Sx

222

x

22

22

x

2

2

2

12211

222111x

A

2

A

1x

D d4

ρV R

4

dρV

4

DρV R

4

d A ;

4

D A ; V V ; VV

AVρ AVρ R

A.dVρ A.dVρ R

21

Expressão obtida para a força

Assim:

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26

26

22222

3xmm10

mmm100 255m/sx

m

kg999

4 R

N184 R x

Deve-se inverter o sentido da força reação

x

y

Rx

222

x D d4

ρV R

Cálculo da força para V = 5 m/s

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Proposto 01: Um tipo de prato, raso e circular, tem um orifício de bordas vivas no centro, conforme mostrado. Um jato d’água, de velocidade V, atinge o prato concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa necessária para manter o prato no lugar, se o jato que sai pelo orifício também tem velocidade V. Avalie a força para V = 5 m/s, D = 100 mm e d = 20 mm.

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Proposto 02: Água escoa em regime permanente através de um cotovelo de 180, conforme mostrado. Na entrada do cotovelo, a pressão manométrica é 96 kPa. A água é descarregada para a atmosfera. Admita que as propriedades são uniformes nas seções de entrada e de saída; A1 = 2600 mm2, A2 = 650 mm2 e V1 = 3,05 m/s. Determine a componente horizontal da força necessária para manter o cotovelo no lugar.

Resposta:

V2 = 12,2 m/s

Rx = -370N

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Proposto 03: Um dispositivo de formação de jato é mostrado no diagrama. A água é fornecida a P = 1,45 psig através da abertura flangeada de área A = 3 in2. A água sai do dispositivo num jato livre, em regime permanente, à pressão atmosférica. A área e a velocidade do jato são a = 1,0 in2 e V = 15 ft/s. O dispositivo tem massa de 0,2 lbm e contém um volume de 12 in3 de água. Determine a força exercida pelo dispositivo sobre o tubo de suprimento de água.

Resposta:

V1 = 5 m/s

Wtanque = 0,2 lbf

Wágua = 0,434 lbf

Ry = 1,70 lbf

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Proposto 04: Água escoa em regime permanente através do bocal mostrado, descarregando para a atmosfera. Calcule a componente horizontal da força na junta flangeada. Indique se a junta está sob tração ou compressão.

Resposta:

V2 = 17 ft/s

Rx = + 206 lbf

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Proposto 05: Um tipo de prato, raso e circular, tem um orifício de bordas vivas no centro, conforme mostrado. Um jato d’água, de velocidade V, atinge o prato concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa necessária para manter o prato no lugar, se o jato que sai pelo orifício também tem velocidade V. Avalie a força para V = 7 m/s, D = 110 mm e d = 25 mm.

α = 40o