Exercícios de produto mixto (pág 91 a 95)

105) Dados os vetores u = ( 4,-1,2); v= (1,0,-3) e w = (2,1,1) calcule:

a)u v e u v x u

u v = = 3i + 2j + k + 12j = 3i + 14j + k

u v x u = = 12 + 1 + 6 + 2 = 21

b)v w e u x v w

v w = = 3i – j -6j + k = 3i -7j + k

u x v w = = 12 + 1 + 6 + 2 = 21

c) v w x u e w u x v

v w x u = = 2 + 0 + 6 + 12 + 1 = 21

w u x v = = 6 + 2 +1 + 12 = 21

d) u w x v e w v x u

u w x v = = -12 -1 -2 -6 = -21

w v x u = = -6 – 2 – 12 – 1 = -21

e) u v x v

u v x v = = -3 – 3 = 0

106) Dados os vetores: u=(4,2,0); v=(-2,4,1) e w=(1,1,3), sejam os pontos A=O+u;B=O+v; C=O+w e D=O+u+v, onde O é um ponto qualquer escolhido como origem, calcule:a) O volume do paralelepípedo de base OABD, que tem 0C como uma aresta; C

w A D u O v B

Vol= │[u,v,w] │= = │4-12-48-2│= │-58│= 58

b) O volume da pirâmide de base OABD e vértice C;

A base e a altura da pirâmide é a mesma que a do paralelepípedo, então podemos aplicar a fórmula:

Vol pirâmide = = 58/3

c) O volume do tetraedro OABC, com base OAB e vértice C;

Vol. tetraedro = = 58/6 = 29/3

d) Verifique se os vetores u,v e w são coplanares;Para serem coplanares devem estar no mesmo plano, ou seja L.D., então a determinante deve ser zero,

= -4+12+48+2=58, não são coplanares.

e) Caso não sejam coplanares, eles formam uma base positiva ou negativa?Positiva, pois [u,v,w] = 58

107) Calcule [u,v,w], sabendo que │u│=1; │v│=2; │w│=3 e que a base (u,v,w) é ortogonal positiva.

Por serem ortogonais entre si, [u,v,w] = (u v) x w, e sen 90°=

1 = 2 = │u v│

u v, gera um vetor ortogonal, ou seja paralelo a w, então:

u v = k. w

Sabemos que │u v│ = 2, então:

│u v│= │k.w│ 2= k.│w│ 2 = k.3 2/3 = k, então u v = 2/3 w

Voltando no início,

[u,v,w] = (u v) x w

[u,v,w] = (2/3w) x w[u,v,w] = 2/3 (w x w)[u,v,w] = 2/3 w2

Lembrando que │w│= (│w│)2 + ( )2 │w│2 = w2

[u,v,w] = 2/3 .32

[u,v,w] = 6

Prova:Como os vetores são ortogonais entre si, formam um paralelepípedo com as seguintes dimensões definidas pelo seu módulo: 2 vol=2x3x1=6 1

3

108) Prove que [u+v, v+w, u+w] = 2.[u, v, w].

São dois produtos mistos:

Se calcular os dois produtos,.[u, v, w] e [u+v, v+w, u+w], .considerando u=(x1, y1, z1), v=(x2, y2, z2) e w=( x3, y3, z3), você verificará a condição requerida.

109) Dados os vetores: u=(1,1,-7); v=(-1,4,-3) e w=(-2,m+2,-2), sejam os pontos A=O+u; B=O+v; C=O+w, onde O é um ponto qualquer escolhido como origem.

Determine os valores de m R para que o volume do tetraedro OABC meça 10/3 de

unidade de vol. O u v w

A C

B

Vol tetra= 1/6.││u,v,w││

1/6. = 10/3

1/6.│( -56 +3m + 6 - 2 - 8 + 6 + 7m + 14 )│ = 10/3

1/6.│10m - 40│=10/3

1/6.(10m - 40)=10/3 ou 1/6.-(10m - 40)=10/3

- = + =

- = + =

= =

10m = 60 -10m = -20 m = 6 ou m = 2

110) Dados os vetores u=(2,1,0); v=(1,1,1) e w=(-1,3,2), determine:a) O volume do tetraedro ABCD, onde B=A+u; C=A+v; D=A+w; A u w v

B C

D

Vol tetra= 1/6.││u,v,w││

vol tetra = 1/6. = │-6-2 +4 -1│/6 = 5/6

b) A medida da altura que parte do vértice D (relativa a face ABC) do tetraedo;

Usamos a fórmula geométrica do volume da pirâmide:Vol tetra = 1/3.(área da base x alt)

Área da base = 1/2 │ u v│=

1/2 = 1/2 │- k - 2 j + i + 2 k│ = 1/2 =

Vol tetra = 1/3.(área da base x alt), sabemos que o vol = 5/6 e área a base /2

= ( x h ) = x h = h = h

111) Dados um ponto qualquer A e os vetores u=(0,0,2) e v=(1,2,1), a área do triangulo ABC, onde B=A+u; C=A+v mede:

Área do triangulo = 1/2 │ u v│

Área= 1/2 = 1/2 │- 4i + 2j│ = 1/2 = = = , alternativa

A

112) Dados um ponto qualquer A e os vetores u=(0,0,2) e v=(1,2,1) e w=(1,0,3) o volume do tetraedro ABCD, onde B=A+u; C=A+v e D=A+w é igual a:Vol tetra= 1/6.││u,v,w││

vol tetra = 1/6. = │- 4│/6 = 4/6 = 2/3, alternativa E

113) Sabendo que │u│=│v│=│u+v│= 3 e que φ é o ângulo formado entre os vetores

u e v, então cos φ é igual a:

Pela igualdade dos módulos os vetores u, v e u+v, formam um triangulo eqüilátero:

Logo os ângulos internos são de 60º e assim o angulo φ

u v formado por u e v será de 120º , cujo cosseno será cos 60º = - 1/2 w=u+v

114) Ache o vetor que é simultaneamente ortogonal aos vetores u=(2,0,2) e v=(-2,1,1).

Um vetor ortogonal u e v é o resultado de u v;

u v = w

w = = 2i - 2j + 4j + 2k = (2,2,2)

115) Dados os vetores u= i + j - 2k e v= 2i - j + 2k, o vetor projeção ortogonal do vetor u+v sobre o vetor u-v é:u+v= (3,0,0)u-v=(-1,2,-4)

v1= .

v1= .

v1= .

v1 = = (1/7, -2/7, 4/7), alternativa A

116) Considere o tetraedro ABCD, onde B=A+u, C=A+v, D=A+w e u=(2,1,0), v=(1,1,1) e w=(-1,3,2).O volume do tetraedro mede: A u w v

B C

D

Vol tetra= 1/6.││u,v,w││

vol tetra = 1/6. = │-6-2 +4 -1│/6 = 5/6, alternativa E.

117) Considere o tetraedro ABCD, onde B=A+u, C=A+v, D=A+w e u=(2,1,0), v=(1,1,1) e w=(-1,3,2). A altura do tetraedro que parte do vértice D mede:Usamos a fórmula geométrica do volume da pirâmide:Vol tetra = 1/3.(área da base x alt)

Área da base = 1/2 │ u v│=

1/2 = 1/2 │- k - 2 j + i + 2 k│ = 1/2 =

Vol tetra = 1/3.(área da base x alt), sabemos que o vol = 5/6 e área a base /2

= ( x h ) = x h = h = h, alternativa E.

118) Os cossenos diretores do vetor u=(1,2,2) são, respectivamente:

cos = cos = cos = cos =

cos = cos = cos = cos =

cos = cos = cos = cos =

(1/3,2/3,2/3) alternativa A.

119) Se , e são os ângulos formados pelas direções de um vetor v com as

direções dos vetores da base ortonormal, é correto afirmar que: Com a direção dos vetores da base ortonormal temos:cos² α + cos² β + cos² γ = 1

Lembrando-se da relação fundamental: sen² + cos² = 1, temos:cos² = 1- sen² , substituindo na equação inicial,

cos² α + cos² β + cos² γ = 11- sen² α + 1- sen² β + 1- sen² γ = 1- sen² α - sen² β - sen² γ = 1- 3- sen² α - sen² β - sen² γ = - 2. (-1) sen² α + sen² β + sen² γ = 2

120) Os vetores a,b e c satisfazem as condições: a+b+c=0; │a│=2;│b│=2 e │c│=4.O valor numérico de a x b + b x c + c x a é:Como a soma dos vetores é 0, eles estão na mesma linha da seguinte forma: a b c a e b no mesmo sentido e c no sentido oposto.

a x b = |a|.|b|.cos

a x b = 2.2.cos 0˚ (porque estão no mesmo sentido)a x b = 2.2.1=4

b x c =|b|.|c|.cos

b x c =2.4.cos (porque tem sentido oposto)

b x c = 2.4.-1=-8

c x a =|c|.|a|.cos

c x u = 4.2.cos 180 (porque tem sentido oposto)

c x a = 4.2.-1=-8

então: u x v + v x w + w x u = 4 – 8 – 8 = -12

121) Sejam os vetores não nulos u e v, tais que u+v e u-v são ortogonais. É correto afirmar que:(u+v)x(u-v) = 0u2 - uv + uv - v2 = 0u2 - v2 = 0u2 = v2 u = v, alternativa B, os vetores tem o mesmo comprimento.

122) O seno do ângulo agudo formado entre as direções dos vetores u=(1,1,1) e v=(x,-

1,1) é /2. É correto afirmar que o valor de x é:

/2=

= = -xk + i - j + i + xj - k = 2i +(-j+xj) + (-k-xk) = 2i + j(-1+x) + k(-1-x)

= =

│u│= =

│v│= =

/2=

= 2( ) = 3( ) , elevamos ambos os lados ao quadrado

8x2 + 24 = 9x2 + 18 6 = x2 ± = x, alternativa E.

123) Se o vetor u tem comprimento igual a 4, é ortogonal ao vetor (2,1,0) e tal que o conjunto {u,v,w} é L.D., onde v=(0,1,0) e w=(0,1,2), então u:

u= (x,y,z) e u (2,1,0) então (x,y,z)x(2,1,0)=0 2x + y = 0

conjunto {u,v,w} é L.D, então:

= 0 2x = 0

│u│= 4 = 4 2= 42 = 16

= 16

2x + y = 02x = 0

2x = 0 2x + y = 0 = 16

x=0 2.0 + y = 0 = 16

y=0 z2 = 16

z=±

z=±4u=(0,0,±4), alternative B.

124) O vetor r que tem comprimento 2, forma com o versor i um ângulo de 30°, e com o versor j um ângulo de 60°, tem coordenadas:

│r│= 2 = 2 2= 22 = 4

│i│= 1= (1,0,0)│j│= 1= (0,1,0)

r x i = │r│.│i│. cos 30°

[(x,y,z)x(1,0,0)] = 2.1. /2

x=

r x j = │r│.│j│. cos 60°[(x,y,z)x(0,1,0)] = 2.1.1 /2y=1

= 4 = 4 3 +1+z2 = 4 z=0, r = ( , 1, 0), alt. B.

125) Dados os vetores u=(1,-1,1), v=(3,-1,0) e w=(1,0,2), o vetor r, tal que: r x u = 1; r x v = 2 e r x w = 3, tem coordenadas:

(x,y,z)x(1,-1,1)=1 x - y + z = 1

(x,y,z)x(3,-1,0)=2 3x - y = 2

(x,y,z)x(1,0,2)=3 x + 2z = 3

x - y + z = 13x - y = 2 trocar L2 por -3L1+L2 e L3 por -L1+L3 x + 2z = 3

x - y + z = 1 2y - 3z = -1 trocar L3 por L2+(-2)L3 y + z = 2

x - y + z = 1 2y - 3z = -1 -5z = -5

-5z = -5 2y - 3z = -1 x - y + z = 1 z=1 2y - 3(1) = -1 x - 1 + 1 = 1 y = 1 x = 1

r = ( 1,1,1) alternative A.

Centro Universitário da FSA Prof.: Anastassios H.K