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ASSUNTO:MATRIZES_ DETERMINANTES
EQUIPE : Loucos por matemática 01. (IME – 2010) Considere o determinante de uma matriz de ordem n definido por
Sabendo que 1 1∆ = , o valor de 10∆ é:
a) 59049 b) 48725 c) 29524 d) 9841 e) 364
02. (IME – 2010) Demonstre que a matriz
2 2
2 2
2 2
y z xy xz
xy x z yz
xz yz x y
+ + +
,
, , ,x y z N∈ pode ser escrita como o quadrado de uma matriz simétrica, com traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao
conjunto dos números naturais. Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal principal.
03. (IME – 2009) Seja A uma matriz quadrada inversível de ordem 4 tal que o resultado da soma ( )4 33A A+ é uma matriz de
elementos nulos. O valor do determinante de A é: a) –81 b) –27 c) –3 d) 27 e) 81 04. (IME – 2009) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, definida da seguinte forma:
• Os elementos da linha i da coluna n são da forma 1in
na
n i
= − − +
;
• Os elementos imediatamente abaixo da diagonal principal são unitários, isto é, 1 para 1ija i j= − = ; • Todos os demais elementos são nulos. Sendo I a matriz identidade de ordem n e det(M) o determinante de uma matriz M, encontre as raízes da equação det(x.I – A) = 0.
05. (IME – 2008) Assinale a opção correspondente ao valor da soma das raízes reais da equação:
a) 1,0 b) π c) 10,0 d) 11,0 e) 11,1 06. (IME – 2007) Os elementos da matriz dos coeficientes de um sistema de quatro equações lineares e quatro incógnitas
( ), , ex y z w são função de quatro constantes , , ea b c d. Determine as relações entre , , ea b c dpara que o referido sistema
admita uma solução não trivial, sabendo que CD = –DC, onde .a b x y
C e Dc d z w
= =
07. (IME – 2007) Seja a matriz D dada por: 1 1 1
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )
D p q r
sen P sen Q sen R
=
na qual p, q e r são lados de um triângulo cujos
ângulos opostos são, respectivamente, ̂ˆ ˆ,P Q e R. O valor do determinante de D é:
a) –1 b) 0 c) 1 d) π e) p + q + r
08. (IME – 2006) Considere as matrizes 3 1 1 044
3 0 1/ 214 4
A e B
= =
, e seja P uma matriz inversível tal que B = P–1AP.
Sendo n um número natural, calcule o determinante da matriz An. 09. (IME – 2005) Seja det( )n nD A= , onde
Determine Dn em função de ( ), 1n n N n∈ ≥ . 10. (IME – 2005) Calcule o determinante da matrizn n× em função de b, onde b é um número real tal que 2 1.b ≠
11. (IME – 2004) Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5.
12. (IME – 2003) Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se que A3 = kA, prove que a matriz A + I é inversível, onde I é a matriz identidade n x n. 13. (IME – 2002) Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando a sua transposta é igual a sua inversa. Considerando esta definição, determine se a matriz [ ]R , abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo-se que n é um número inteiro e α é um
ângulo qualquer. Justifique a sua resposta.
14. (IME – 2000) Calcule o determinante:
15. (IME – 1999) Determine uma matriz não singular P que satisfaça a equação matricial 16 0
0 1P A−
= − , onde
1 2
5 4A
=
.
16. (IME – 1994) Um aluno, ao inverter a matriz
1
0 ,1 , 3
4ij
a b
A c d a i j
e f
= = ≤ ≤
cometeu um engano, e considerou o
elemento 13a igual a 3, de forma que acabou invertendo a matriz
1
0
3ij
a b
B c d b
e f
= =
. Com esse engano o aluno encontrou
1
5/ 2 0 1/ 2
3 1 1
5/ 2 0 1/ 2
B−
− = − −
. Determinar A–1.
Obs.: O elemento (3,1) de B–1 deve ser –3/2.
17. (IME – 1993) Determine os valores de x para que:
18. (IME – 1992) Calcule o valor do determinante abaixo:
19. (IME – 1991) Determine todas as matrizes X reais, de dimensões 2 x 2, tais que AX = XA, para toda matriz A real 2 x 2. 20. (IME – 1990) Calcule o determinante da matriz n x n que possui zeros na diagonal principal e todos os outros elementos iguais a 1. 21. (IME – 1989) Calcule o determinante da matriz
22. (IME – 1988) Sejam A,B e C matrizes 5 x 5, com elementos reais. Denotando-se por A’ a matriz transposta de A: a) Mostre que se A.A’ = 0, então A = 0. b) Mostre que se B.A.A’ = C.A.A’, então B.A = C.A.
23. (IME – 1987) Sejam
a b
c d i j l mA e B
e f n o p q
g h
= =
duas matrizes de elementos inteiros. Verifique se a matriz AB é
inversível.
24. (IME – 1984) Seja D o determinante da matriz ijA a = de ordem n, tal que ija i j= − . Mostre que:
( ) ( )1 21 . 1 .2n nD n
− −= − − .
25. (IME – 1984) Dada a matriz ( )ijM m=
1 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1
1 1 1 1
M
=
e o conjunto { }1 2 3 4, , ,A a a a a= , define-se em A uma relação R
por: 1i j ija R a m⇔ = . Verifique se R é uma relação de equivalência.
26. (IME – 1983) Seja um determinante definido por 1 1∆ = e
a) Pede-se a formula de recorrência (isto é, a relação entre 1e )n n−∆ ∆ . b) Calcule a expressão de em função den n∆ . 27. ( IME – 1982) Seja Mn (R) o conjunto de matrizes quadradas de ordem n, de coeficientes reais. Define-se a função,
( )ψ : ( ) ( ) ( )
ψ ,n n nM R M R M R
A B AB BA
× →= −
Calcule: ( )( ) ( )( ) ( )( )ψ ψ A,B , ψ ψ B,C , ψ ψ C,A ,C A B+ +
28. (IME – 1981) Mostre que não existem matrizes quadradas A e B, que verifiquem AB – BA = I, onde I é a matriz identidade de uma ordem n qualquer. 29. (IME – 1981) Seja M = (mij) uma matriz quadrada real n x n de termos positivos. Define-se o “permanente de M” como
perm ( ) ( ) ( )1t 1 2t 2 nt nS
M= m m ...m∑ onde S é o conjunto das permutações ( ) ( ) ( )( ) { }1 , 2 ,..., 1,2,..., .t t t n de n A matriz 1 2 3
4 5 6
7 8 9
tem, por exemplo, como permanente 1 5 9 4 8 3 2 6 7 3 5 7 2 4 9 1 6 8.× × + × × + × × + × × + × × + × × Seja a matriz n x n, H = (hij) onde hij = i ( j+1 ). Calcule o permanente de H.
30. (IME – 1980) Seja, para n = 1,2,3,... a coleção
{ }( ) | é matriz quadrada de ordem 1ij i jB n M M m n e m = = = . (Note que B(2) tem 24 = 16 elementos). Prove que, se
( )M B n∈ então o determinante de M é múltiplo de 2n–1, para n = 1,2,3...
31. (IME – 1979) Dadas as matrizes2 0 0 0 0
3 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1
x x
A e B
x
− − = − = − + −
determine x, sabendo-se que existe uma
matriz inversível P, tal que A = P–1.B.P. 32. (IME – 1978) Sejam A,B,C e D matrizes reais 2 x 2. A = (aij); A
–1 = B = (bij) C = (cij); cij = aij
–1 D = (dij); dij = bij
–1 Sabe-se que aij.bij ≠ 0, 1 ≤ i ≤ 2; 1 ≤ j ≤ 2, e que C é matriz singular (não admite inversa). Calcule o determinante de D. 33. (IME – 1974) Seja f (a, b, c, d) = c – a – 3b + 3d onde a, b, c, d são números reais. a) Dadas as matrizes quadradas A, B, C tais que: i) A.B = I, onde I é a matriz identidade; ii) B é uma matriz triangular cujos elementos da diagonal são todos iguais a 1, exceto um deles que vale 2;
1 1 1
1 2 1)
1 1 4
1 0 0
a
biii C
c
d
− =
Mostre que, se A e C denotam os determinantes de A e C, então:
f (a, b, c, d) = A . C b) Mostre que f (a, b, c, d) = 0 é condição necessária e suficiente para que exista um polinômio p(x) com coeficientes reais, de grau menor ou igual a 2 e tal que p(-1) = a, p(1) = b, p(2) = c, p(0) = d.
34. (IME – 1973) Calcule o determinante:
Sendo
( )
2
ln
1
10
2 log
log
log 10
2 a
aa
a
a
a
M a
N e
P
R a
=
=
=
=
Obs.: loga y: logaritmo de y na base a; ln x: logaritmo de x na base e; e: base dos logaritmos neperianos.
35. (IME – 1970) Calcule o valor do determinante de ordem n abaixo, em função de a e n.
( )( )( ) ( )( )
( )( )( )
2
( 1)
1
1
) ( 1)( 1)
) ( 1) 1
) 1 1
) 1 1
)
n
n
n
n
a n a n a
b a a n
c n n a n
d a n a
e Nenhuma das respostas acima
+
−
−
+ − +
− + −
+ − +
+ − −
36. (IME – 1967) Calcule o determinante:
37. (IME – 1967) Determine o valor numérico do determinante abaixo:
Obs.: log A significa logaritmo decimal de A.
38. (IME – 1965) Calcule o valor de:
39. (IME – 1958) Determinar os valores de m que satisfaçam a equação:
Sabendo que a, b, c, d, e são coeficientes, diferentes de zero, da equação cujas raízes são os quadrados das raízes da equação: x5+x4+2x3-1 = 0 40. (IME – 1955) Resolver a equação:
RESOLUÇÕES Solução: c) 29524 Aplicando Laplace na primeira coluna,
Logo, ( )9
9 9 810 8
0
3 3 ... 3i
i =
∆ = + ∆ + + ∆ = =∑
e assim 10
10
3 11 29524
3 1
−∆ = =−
Solução:
Por inspeção, a matriz dada pode ser escrita como
que satisfaz as condições do problema (incluindo o zero no conjunto dos números naturais). Solução: e) 81 Do enunciado, A4 = –3A3, e assim det (A4) = det4 (A) = det (-3A3) = (–3)4det3(A), de modo que det(A) = (–3)4 = 81 Solução: Pela lei de formação da matriz A, a equação do enunciado assume a forma
Aplicando Laplace na primeira coluna, tem-se
Solução: Desenvolvendo o segundo termo, D2n, aplicando Laplace repetidamente na primeira coluna, tem-se
Analisando o primeiro termo, xD1r.-1, Aplicando Laplace repetidamente na primeira coluna, tem-se
= x ( xD1n–2 + D2n–1 ) = x ( x ( xD1n–3 + D2n–2 )+ D2n–1 ) Assim, a equação do enunciado é da forma
que possui n raízes iguais a x = –1. 06. Solução: (E) 11,1 Como 0x > , a equação é dada por
( ) ( )( )( )
( )( )( )
3 3
2
2
log log log3 log log log6 0
log log 1 log3 log6 0
1log log 1 log 0
2log log 1 log 1 0
1
10
0,1
x x x x x x
x x x x
x x
x x x
x
x
x
− + − =
⇒ − − =
⇒ − =
⇒ − + =
=
⇒ = =
Solução: Da relação CD = –DC, tem-se
ax bz ax cy
cx dz az cw
ay bw bx dy
cy dw bz dw
+ = − − + = − − + = − − + = − −
e então,
2 0 0
0 ( ) 0
( ) 0 0
0 2 0
a c b x
c a d c y
b a d b z
c b d w
+ = +
Para haver solução não nula, devemos ter que 2 0
0 ( )0
( ) 0
0 2
a c b
c a d c
b a d b
c b d
+ = +
Ou seja, D1 + D2 + D3 = 0, onde
[ ]
1
2
2
2 2
3
2 2
0 ( )
2 ( ) 0
2
2 2 ( ) 2 ( )
4 ( ) ( )
( )
0
0 2
2 ( )
2 ( )
0
( )
0 2
2 ( )
2 ( )
a d c
D a a d b
c b d
a bc a d d a d
a a d bc d a d
c a d c
D c b b
b d
c b c b c bd a d
bcd a d
c c
D b b a d b
c d
b cd a d c b c b
bcd a d
+ = +
= + − +
= + − +
+ = −
= − − − +
= +
= +
= + + −
= +
Assim, devemos ter que
24( ) ( ) 0
a d
a d bc ad ou
bc ad
= −+ − = ⇒ =
Solução: (B) 0 Pela Lei dos Senos,
ˆ ˆ ˆ( ) ( )( )
p q r
sen P sen Rsen Q= =
Assim, a matriz D tem duas linhas proporcionais, e com isto seu determinante é nulo. Solução: Como P é inversível, podemos escrever que A =PBP–1 e assim,
1 1 1 1...n n
n vezes
A PBP PBP PBP PB P− − − −= × × × =1444442444443
Com isto, o determinante de An é tal que
( )1 1det( ) det det ( )
2n n n
nA PB P B−= = =
Solução: Aplicando Laplace na primeira coluna, tem-se
1
( 1) ( 1)
1 0 0 0 0
1 2 1 0 0
2 ( 1)
0 0 0 2 1
0 0 0 1 2
n n
n n
D D −
− × −
−− −
= − −−
−
L
L
KK K K KKK
Aplicando Laplace na primeira linha, tem-se
1 22 ( 1)n n nD D D− −= + − O que gera uma recursão com equação característica
2 2 1 ( 1)( 1) 0z z z z− + = − − = Assim, a solução geral é da forma
1 2 1 2
1 2
(1 ) (1 )
2; 3 1
n nn n n
n
D c c c c
D D D n
= + = + = = ⇒ = +
Solução: Aplicando Laplace na primeira coluna, tem-se
Aplicando Laplace na primeira linha do determinante da equação acima, tem-se que o mesmo é igual a 2nb −∆ , e assim
( )2 21 21n n nb b− −∆ = + ∆ − ∆ .
Por inspeção, tem-se que
( )( ) ( )
21
22 2 4 21
32 2 2 6 4 23
1
1 1
1 2 1 1
b
b b b b
b b b b b b
∆ = +∆ = + − = + +∆ = + − + = + + +
De forma que podemos conjecturar que 2
0
n in i
b=
∆ =∑ . É fácil verificar que esta é a solução da recursão obtida acima, pois
( )( )
( )
2 21 2
1 22 2 2 2
0 0
1 2 12 2 2 2
0 0 0
12 12 2
0
2
0
1
1
n n
n ni i
i i
n n ni i i
i i i
nn i
i
ni
i
n
S b b
b b b b
b b b b
b b b
b
− −
− −
= =
− − −
= = =
−−
=
=
= − ∆ − ∆
= + −
= − +
= +
=
= ∆
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑
∑
Com isto ( )2 1
22
0
1
1
nni
ni
bb
b
+
=
−∆ = =−∑
Solução: Usando Laplace na primeira linha da matriz, o determinante desejado D é dado por
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
2
1 1 0
0 1 1
log 1 log 1 log 1
0 1 0
0 1 1
log 1 log 1 log 1
log 1 log 1 log 1 log 1
log 1 1
5
D
n n n
n n n
n n n n
n n
− = − + − −
− + − − − −
= − + + + − + −
= − +
=
Logo devemos ter,
( ) ( )3 51 1 2 32
, , 3.
n n
e por inspeção n
− + = ==
Solução: (Baseada em solução do prof. Bruno Fraga): Definindo a matriz auxiliar B = (A + I), de modo que A = (B – I), têm-se
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
3
3 2
3 2
2
3 3
3 3 1
3 3 1
B I k B I
B B B I kB kI
B B k B k I
B B B k I k I
− = −
⇒ − + − = −⇒ − + − = −
⇒ − + − = −
Usando o operador determinante de uma matriz, [ ]det . ,tem-se então que
[ ] ( ) ( ) ( )[ ] [ ]
( )
2det det 3 3 det 1 1
Logo, det det 0, pois 1, e assim
é inversível.
nB B B k I k I k
B A I k
A I
− + − = − = −
= + ≠ ≠
+
Solução: Pelo enunciado, R é ortogonal se RRT = RTR = I, onde I no caso é a matriz identidade de ordem 3. Verificando
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
1 2
2 1 1 2
21
2
cos( ) ( ) 0 cos( ) ( ) 0
( ) cos( ) 0 ( ) cos( ) 0
0 0 1 0 0 1
0
0 com definidos por
0 0 1
cos 2 1
cos cos 0
T
n sen n n sen n
R R sen n n sen n n A
onde
A e
n sen n
sen n n n sen n
α α α αα α α α
α α
α α α α
− = − =
∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆
∆ = + =
∆ = − =
Assim, A = I e R é uma matriz ortogonal. Solução: Forma-se uma nova matriz de linhas 'il a partir da matriz original de linha il , para i = 1,2,...,7, sem alterar o valor de D, com
as seguintes operações
2 2 1
3 3 1
4 4 1
5 5 1
6 6 1
7 7 1
'
'
'
'
'
'
l l l
l l l
l l l
l l l
l l l
l l l
= − = − = − = − = −
= −
assim, usando Laplace na primeira coluna após a transformação acima, tem-se
= 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 = 46080 Solução: Pelo enunciado, devemos ter
1 2
3 4
6 0 6 0 1 2
0 1 0 1 5 4
p pP A
p p
= = = − −
logo,
1
2
3
4
6 11 22 656 5 46
4
p
p
pP
p
= −− = ⇒ = = − − =
Solução: Na versão original, como B–1 tem determinante nulo, ela não é inversível e a questão não tem solução. Alterando o elemento (3, 1) de B–1 para –3/2, podemos escrever que
1 5/ 3 0 1/ 2 1 0 0
0 3 1 1 0 1 0
3 3/ 2 0 1/ 2 0 0 1
a b
c d
e f
− − = −
De modo que é simples se determinar que 0; 2
1; 0
1; 5
a d
b e
c f
= = = = = =
e assim
1 0 1 1 0 1
0 1 2 0 1 2
3 0 5 4 0 5
B e A
= =
invertendo A, tem-se
11 12 13
21 22 23
31 32 33
' ' ' 1 0 1 1 0 0
' ' ' 0 1 2 0 1 0
' ' ' 4 0 5 0 0 1
a a a
a a a
a a a
=
Assim é imediato se ver que 12' 0a = , 22' 1a = e 32' 0a = . Em seguida, determinam-se os demais elementos, obtendo-se
1
5 0 1
8 1 2
4 0 1
A−
− = − −
Solução: Seja D o determinante desejado, Logo, por Laplace na segunda coluna,
( )( ) ( )
( )( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 4 2 100 40 40
2 4 2 16 60 24 40 4 ( 2)
4 40 24 40 16
4 7 10 8
428 2
7
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
x x x
x x x
= − − + − −
+ + − + + − − − −
+ + − −
+ −
= + −
Assim as raízes de D = 0 são x = {–2,0,4/7} Solução: Abrindo a soma da primeira linha em duas parcelas,
Sejam En e Fn, a primeira e segunda parcelas acima, respectivamente. A segunda coluna de En pode ser desmembradas em duas novas parcelas, de forma que,
onde a primeira parcela é nula por apresentar duas colunas iguais. Aplicando Laplace na segunda coluna da segunda parcela de En, tem-se
1 1
1
n n nn
E xEE x m
E m− −=⇒ = =
Aplicando Laplace na primeira coluna de Fn, tem-se
1n nF xD −= Assim,
11
1
nn n n nD E F x m xD
D m x
−− = + = +
= +
de forma que , por indução,
( )1 1n n nnD x mnx x x mn− −= + = + .
solução:
1 2 1 2 1 2 1 2
3 4 3 4 3 4 3 4
a a x x x x a a
a a x x x x a a
=
Logo, devemos ter
Como estas relações devem ser satisfeitas para todas as matrizes A, tem-se que 2 3 3 2 2 3 0a x a x x x= ⇔ = = , e então
2 4 2 11 4
3 1 3 4
a x a xx x k
a x a x
=⇒ = = =
Logo X deve ser da forma X = kl, onde I é a matriz identidade 2 x 2. Solução: Abrindo a soma da primeira coluna em duas parcelas,
Sejam En e Fn a primeira e segunda parcelas acima, respectivamente. A segunda coluna e En pode ser desmembrada em duas novas parcelas, de forma que
Onde a primeira parcela é nula por apresentar duas colunas iguais. Aplicando Laplace na segunda coluna da segunda parcela de Em, tem-se
Aplicando Laplace na primeira coluna de Fn, tem-se
( ) 11n nF D −= − Assim,
De forma que, por indução, ( ) ( )11 1
n
nD n−= − − .
Solução: Seja D o determinante desejado. Forma-se uma nova matriz de colunas c’i a partir da matriz original de colunas ci, para i=1, 2, ..., 4 sem alterar o valor de D, com as seguintes operações
Fazendo uma nova transformação
pois há duas colunas proporcionais. Solução:
a) Seja 5
2
1
' , de modo queij ij ii ijj
A a e AA aα α=
= = = ∑ para 1 5i≤ ≤ . Assim, se ' 0AA = , então traço { }' ` 0AA = e assim,
5 5 52
1 1 1
0 0, 1 , 5ii ij iji i j
a a i jα= = =
= = ⇒ = ∀ ≤ ≤∑ ∑ ∑ .
b)
( )( ) ( )( ) ( )
( )
' '
' 0
' ' 0
' 0
logo, pelo item (a),
0
BAA CAA
B C AA
B C AA B C
B C A B C A
B C A BA CA
= ⇒
− = ⇒
− − = ⇒
− − =
− = ⇒ =
Solução: O determinante D de AB é
Fazendo a primeira coluna receber a primeira coluna multiplicada por j menos a segunda coluna multiplicada por i, tem-se
com α = (nj – oi). Fazendo a segunda coluna receber a segunda coluna multiplicada por l menos a terceira coluna multiplicada por i, tem-se
com β = (ol – pj). Logo D = 0 por ter duas colunas iguais, e a matriz AB é não inversível.
Solução: Da definição
Forma-se uma nova matriz de colunas c’ i a partir da matriz original de colunas ci, sem alterar o valor de D, realizando a seguinte operação. c’ i-1=ci – 1 – ci para i = 1, 2, ..., (n–1), de modo que
Repetindo a operação acima, só que agora para i = 1, 2, ..., (n–2), tem-se
Aplicando Laplace na primeira linha, nota-se que o termo correspondente à penúltima coluna é nulo, pois tal termo teria a última linha nula. Assim, sobra apenas o termo correspondente à última coluna que é dada por
Assim, D é o determinante de uma matriz triangular superior, isto é, D é o produto dos termos da diagonal principal, de modo que D = (–1)n–1.(n–1).2n–2 Solução: É simples ver que R é reflexiva pois todos os elementos da diagonal principal de M são iguais a 1. É simples também perceber que como M é simétrica, R também o será. Além disto m24 = m43 = 1, logo a2Ra4 e a4Ra3 são definidos. Porém, m23 ≠ 1, e assim a2Ra3 não é definido. Logo, R não é transitiva e, desta forma, R não é uma relação de equivalência. Solução: Aplicando Laplace na primeira coluna, tem-se
a. Logo podemos ver que
b. Do item anterior,
Logo,
Solução: Da definição de ψ, têm-se
e assim a expressão do enunciado é igual à matriz nula de ordem n. Solução: Sejam A = [aij] e B = [bij], para i, j = 1, 2, ..., n. Assim
de modo que
ou seja,
Solução: Do enunciado
Note que a linha i é sempre múltipla de i. Pela definição de permanente, cada parcela sua terá um fator de cada linha matriz. Assim, cada parcela terá os fatores 1, 2,..., n exatamente uma vez. Logo, podemos colocar estes fatores em evidência na matriz e escrever que perm M = (1 x 2 x ... x n) x perm P = n! x perm P onde
Note ainda que a coluna j é sempre múltipla de (j+1). Pela definição de permanente, cada parcela sua terá um fator de cada coluna da matriz. Assim, cada parcela terá os fatores 2, 3,..., (n+1) exatamente uma vez. Logo, seguindo o mesmo raciocínio anterior, podemos colocar estes fatores em evidência na matriz e escrever que
onde
É simples, porém, perceber que o permanente de Q terá todas as parcelas iguais a 1, e o número total de parcelas é igual a n!, de modo que o permanente de Q é n! e o permanente de M é igual a
Solução: Somando a segunda coluna à primeira coluna de M, e aplicando Laplace na nova primeira coluna, tem-se
onde cada ki é igual a – 2, 0 ou 2, e ainda Mi є B (n – 1). Desta forma, podemos colocar um fator 2 em evidência e escrever que
onde M’i incorpora o sinal de ki ≠ 0 em Mi, de modo que M’i є B (n – 1). Como cada M’i pertence a B (n – 1), podemos repetir o raciocínio anterior, colocando novamente o fator 2 em evidência e reduzindo a ordem da matriz. De fato, este processo pode ser realizado (n – 1) vezes, quando então o determinante de M pode ser escrito como
onde ...' 1.ij zM = m Logo, tem-se que o determinante de M é múltiplo de 2n–1.
Solução: Pelo enunciado, têm-se as matrizes
onde ∆ = (a12a21 – a11a22) ≠ 0 é o determinante de A. Como C é singular, devemos ter
Assim, o determinante ∆ de A é nulo. Logo, B não existe e a questão se torna impossível.
