Conteúdo de matemática projeto 6 de março 2017

Lucas Araújo da Silvaemail: lucas.silva@alu.ufc.br

07/03/2017

Conteúdo

1 Prefácio 2

2 História da matemática 4

3 Conjuntos 63.1 Definições básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Operações com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Conjuntos numéricos 104.1 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Relações entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Sequências e Progressões 135.1 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Progressão aritmética (P. A.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.3 Progressão geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.4 Classificando uma P.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Análise Combinatória 166.1 Princípio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.2 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.3 Arranjos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.4 Arranjos com Repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.5 Permutações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.6 Permutações com Repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.7 Combinações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Probabilidade 197.1 Experimentos Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.2 Espaço Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.3 Definição de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.4 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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7.5 Teorema da Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8 Estatística 228.1 Medidas de Tendência Central (ou de posição) Básicas . . . . . . 238.2 Medidas de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.3 Análise de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4 Análise de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9 Matemática Financeira 309.1 Definições básicas e juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309.2 Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.3 Taxas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10 Exercícios 3210.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.2 Sequências e Progressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.3 Análise combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.4 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1 Prefácio

Esse material foi redigido com o objetivo de auxiliar as aulas de ma-temática do projeto 6 de março, que é um projeto de extensão sem finslucrativos da Universidade Federal do Ceará (UFC) e do Instituto Federaldo Ceará (IFCE) que visa inserir alunos de escola pública no nível superior,este material é um compilado das notas de aula que elaborei ao longo doano de 2016, esse material foi elaborado apenas com a intenção de servircomo auxilio nas aulas e jamais foi, ou será feito no âmbito do projeto qual-quer material com finalidade de lucro próprio ou plágio. Foi com muitoesforço e carinho que montei esta apostila e espero que você aluno possaaproveitar ao máximo ela e as aulas deste ano.

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“You enter the first room of the mansionand it’s completely dark. You stumblearound bumping into the furniture butgradually you learn where each piece offurniture is. Finally, after six months or so,you find the light switch, you turn it on, andsuddenly it’s all illuminated. You can seeexactly where you were. Then you move intothe next room and spend another six monthsin the dark. So each of these breakthroughs,while sometimes they’re momentary,sometimes over a period of a day or two,they are the culmination of, and couldn’texist without, the many months of stumblingaround in the dark that precede them."

Andrew Wiles

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2 História da matemática

Para falar sobre matemática é importante definir o que é matemática eentender o que fez o homem estudar matemática ao longo da história. Parafalar sobre qualquer sistema de conhecimento (e a matemática é um deles),nada mais pertinente do que considerar os elementos que podem defini-lo.Pelo menos três deles são fundamentais: o objeto de estudo, o método e oproduto do conhecimento. Dessa maneira, podemos diferenciar os diversossistemas de conhecimento, o quadro a seguir exibe alguns exemplos dessessistemas.Sistemas Objeto de Estudo Método Produto do ConhecimentoFilosofia Essência Intuição Evidência AbstrataTeologia Divindade Fé DogmaMatemática Símbolos Dedução TeoremaCiência Fenômenos Observáveis Observação Empírica Teoria

Tabela 1: Elementos característicos dos sistemas de conhecimento

Matemática é o estudo dos símbolos com método de dedução, e tem porobjetivo chegar a verdades absolutas que chamamos de teoremas. Alémdisso a matemática é um conhecimento de base axiomática, ou seja, todaa matemática parte de alguns axiomas, que são verdades muito básicas eassim são aceitas como verdade sem precisar de nenhum tipo de prova.

A origem do pensamento matemático se dá com o número, magnitudee forma. Estudos modernos de cognição animal mostram que a percepçãodessas ideias não são exclusividade humana. Além disso o homem primitivojá possuía necessidades matemáticas básicas, como contar a criação deanimais (que é o exemplo clássico), e para isso já utilizava ferramentasmatemáticas primitivas, um saquinho com pedras por exemplo, isso foialgo tão comum que palavra “calculo", que vem de calculus de origem gregasignifica contar com pedras. O objeto matemático mais antigo conhecidoé o osso de Lembombo, datado de aproximadamente 35 mil a.c.

Figura 1: Osso de Lebombo

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Considerada o berço da civilização, na Mesopotâmia eles já possuíamproblemas matemáticos para resolver, antes mesmo de Pitágoras eles jáaplicavam o famoso teorema até mesmo para os casos em que o valor dahipotenusa era um valor complicado de ser expresso como

√2, dentre as

tabuletas babilônicas é estudado que eles já possuíam um sistema de nume-ração bem definido e resolviam equações e problemas de razão e proporção.

Figura 2: Tabuleta raiz de 2 - Babylonian Collection, Yale University

A primeira sociedade que se destacou de maneira mais notória no estudoda matemática que se tem registro foi a egípcia, eles precisavam resolveralguns problemas como: quando será a próxima cheia do rio Nilo, quantassementes deveriam ser estocadas para plantar em certa área, qual é o ta-manho da área inundada pelo rio, qual é a melhor mistura para ração dosanimais, quando será o próximo eclipse lunar, qual a altura das pirâmides,quantos escravos são necessários para plantar uma determinada área emum período específico de tempo, além de inúmeros outros problemas.

Já os gregos foram os primeiros que estudaram matemática de formamais parecida com a estrutura da matemática que estudamos até hoje, elesse preocupavam com as definições, os axiomas e não exclusivamente comos problemas práticos, foram eles que inventaram a palavra “µαθατικη"(matemática) que englobava aritmética, geometria, astronomia e mecânica.Tales de Mileto postulou os primeiros resultados importantes de geometriaque utilizamos até hoje. A escola pitagórica atribuiu misticismo aos núme-ros e uma gama de significados a eles.

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3 Conjuntos

3.1 Definições básicas

Na teoria dos conjuntos 3 noções são aceitas sem definição, ou seja, sãonoções primitivas:

a) conjunto

b) elemento

c) pertinência entre elemento e conjunto.

No geral usamos uma letra maiúscula para indicar um conjunto: A, B,. . . e uma letra minuscula para indicar um elemento: a, b, x, y, . . .

Se x pertence ao conjunto A, escrevemos x ∈ A. Se x não pertence,então escrevemos x /∈ A. É comum representar conjuntos assim:

Figura 3: Diagrama de Venn para 3 conjuntos: alfabeto grego, alfabeto inglês, alfabetorusso

Alem disso temos mais duas maneiras de representar conjuntos, primeirochamaremos cara conjunto da figura 3 de uma letra, o grego, inglês e russode G, I e R respectivamente, e podemos escrever eles da seguinte maneira:

1. Listando seus elementos.Exemplo: I = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v,w, x, y, z.

2. Descrevendo uma propriedade que apenas os elementos do conjuntopossuam.C = x| x é letra do alfabeto inglês, lemos: x tal que x é letra doalfabeto inglês, esta é a notação mais utilizada.

Essa notação também é usada quando o conjunto é infinito, por exem-plo: Conjunto dos números impares positivos:

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A = x ∈ N|x = 2k + 1, k ∈ N = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...Conjunto dos números primos positivos:B = x ∈ N|x é primo = 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .Também podemos representar conjuntos finitos muito grandes como o con-junto dos números inteiros de 0 a 500.C = x ∈ N|1 ≤ x ≤ 500 = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , 500

Definição 1: Chamamos de conjunto unitário aquele que possui ape-nas um elemento.Exemplos: Conjuntos dos divisores de 1. 1Conjuntos dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai.Rio Grande do Sul

Definição 2: Chama-se de conjunto vazio aquele não possui elemen-tos. Notação: ∅.

Podemos obter um conjunto vazio quando descrevemos um conjuntocom uma propriedade logicamente falsa.Exemplo: x|x 6= xx|x > 0 e x < 0

3.2 Subconjuntos

Definição 3: Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, esomente se, todo elemento de A pertence também a B. notação A⊂ B.A ⊂ B ⇔ (∀x)(x ∈ A⇒ x ∈ B)Para indicar que um conjunto não esta contido em outro usamos a no-

tação: A * B.Propriedades de inclusão: Sendo A, B e C conjuntos quaisquer,

valem as seguintes propriedades:

1. ∅ ⊂ A

2. A ⊂ A

3. (A ⊂ B e B ⊂ A)⇒ A = B [Anti-simétrica]

4. (A ⊂ B e B ⊂ C)⇒ A ⊂ C [Transitiva]

Definição 4: O conjunto de todos os subconjuntos de um conjuntoqualquer é chamado conjunto das partes.

Notação: O conjunto das partes de A é P(A).

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3.3 Operações com conjuntos

Definição 5: Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A comB o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem aB.A ∪B = x|x ∈ A ou x ∈ BPropriedades da união:

1)A ∪ A = A2)A ∪∅ = A3)(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Definição 6: Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A eB o conjunto formado pelos elementos que pertencem tanto a A quanto aB.

A ∩B = x|x ∈ A e x ∈ BPropriedades da interseção:

1)A ∩ A = A

2)A ∩ U = A

3)A ∩B = B ∩ A4)A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ CDefinição 7: Quando A ∩ B = ∅, dizemos que A e B são conjuntosdisjuntos.

Propriedades para união e interseção:1)A ∪ (A ∩B) = A

2)A ∩ (A ∪B) = A3)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)4)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

Definição 8: Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre Ae B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

A−B = x|x ∈ A e x /∈ B

Definição 9: Dado dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-secomplementar de B em relação ao conjunto A o conjunto A - B. Ou sejaos elementos de A que não pertencem a B.

Notação: A ou CBA

Definição 10: a cardinalidade de um conjunto é a quantidade de ele-mentos que ele possui.

Notação: Por exemplo para representar a cardinalidade do conjunto T

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= a, b, c usamos a notação # = 3.Teorema 1: A cardinalidade da união de dois conjuntos A e B é dada

por:#(A ∪B) = #A+ #B −#(A ∩B) (1)

3.4 Exemplos

1. a, b ⊂ a, b, c, d

2. a, b ⊂ a, b

3. a, b ∪ c, d = a, b, c, d

4. a, b ∪ a, b, c, d = a, b, c, d

5. a, b ∪ a.b = a, b

6. a, b ∪∅ = a, b

7. a, b ∩ a, c = a

8. a, b ∩ a, b = a, b

9. a, b ∩∅ = ∅

10. a, b, c − b, c, d, e = a

11. a, b −∅ = a, b

12. a, b − a, b, c, d, e = ∅

13. Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos emuma certa turma, realizou uma pesquisa sobre os times do coração deseus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:

• 23 alunos torcem pelo Ceará;• 23 alunos torcem pelo Fortaleza;• 15 alunos torcem pelo Ferroviário;• 6 alunos torcem pelo Fortaleza e Ferroviário;• 5 alunos torcem pelo Ceará e Ferroviário.

Solução: Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Ceará,por B o conjunto dos torcedores do Fortaleza e por C o conjunto dostorcedores do Ferroviário, todos da referida turma, teremos, evidente-mente, A∪B = ∅. Concluímos que o número n de alunos dessa turmaé

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(a) 49(b) 50(c) 47(d) 45(e) 46

Figura 4: Diagrama de venn exemplo 1.

Assim temos que o número de alunos nessa sala é: 17+18+5+6+4 =50, portanto o item b está correto.

4 Conjuntos numéricos

Os números são elementos de alguns conjuntos específicos que possuemalgumas regras de formação e símbolos específicos para representá-los, porincrível que possa parecer descrever a regra de formação desses conjuntosnão é uma tarefa fácil, mas desde a infância aprendemos isso de maneiraintuitiva. Os conjuntos numéricos mais importantes da matemática e quesão cobrados no ENEM são descritos a seguir.

Conjunto dos números naturais: Formado pelos números 0, 1, 2,3, 4, . . .N = 0, 1, 2, 3, . . .

Conjunto dos números inteiros: Conjunto formado pelos númerosnaturais com a inclusão dos números negativos: Z = . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

Conjunto dos números racionais: Conjunto das frações ab, onde

a ∈ Z e b ∈ Z∗.Conjunto dos números reais: Conjunto formado por todos os nú-

meros com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicas

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(que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (ir-racionais).Exemplo: π,

√2,√

3, e não são racionais, mas são reais!Para descrever o subconjunto dos números reais que considera apenas

os números reais utilizamos a notação R+, de maneira similar para os reaisnegativos temos R−.

4.1 Intervalos

Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos:Intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto:

]a, b[= x ∈ R|a < x < b que também pode ser indicado por a-b.Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto:

[a, b] = x ∈ R|a ≤ x ≤ b que também pode ser indicado por a `a bIntervalo fechado à esquerda (ou aberto a direita) de extremos a e

b é o conjunto:[a, b] = x ∈ R|a ≤ x < b que também pode ser indicado por a ` b

Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto:]a, b] = x ∈ R|a < x ≤ b que também pode ser indicado por a a b

4.2 Relações entre conjuntos

Um par ordenado são dois números, onde a ordem importa, exemplo:(x,y); iremos admitir essa noção como um conceito primitivo. Um par or-denado de números reais serve basicamente para representar um ponto noplano cartesiano, onde x é a distância do ponto até a origem horizontal-mente, e y é a distância do ponto até a origem verticalmente.

Produto cartesiano: Sejam A e B conjuntos não vazios, denominamosproduto cartesiano de A por B o conjunto A x B, cujo os elementos sãotodos pares ordenados (x,y), onde o primeiro elemento pertence a A e osegundo elemento pertence a B.

A x B = (x, y)|x ∈ A e y ∈ BExemplo:1) A = 1, 2, B = 3, 4, 5A x B = (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7) eB x A = (3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), (7, 2)Podemos representar essa relação graficamente de duas maneiras:

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Figura 5: Representação do produto cartesiano A x B no diagrama de venn.

Figura 6: Representação do produto cartesiano A x B no plano cartesiano

4.3 Exemplos

1. Dado que A = x ∈ N|1 < x < 4 e B = x ∈ N|2 < x < 20, entãoA ∩B = ?Solução: A = 2, 3 e B = 3, 4, 5, . . . , 19, assim é facil ver queA ∩B = 3.

2. Se x e y são números reais tais que x = (0, 25)0,25 e y = 16−0,125, éverdade que:

(a) x = y(b) x > y(c) x - y é um número irracional.(d) x + y é um número racional não inteiro.

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Solução: y = 42−0,125 = 4−0,25 = (14)0,25 = (0, 25)0,25 = x, portanto x

= y, item a.

5 Sequências e Progressões

5.1 Sequências

Uma sequência na matemática tem um significado muito similar ao usocomum da palavra, é uma sucessão de números que normalmente seguemuma lei de formação. Se uma sequencia possui uma lei de formaçãoela deve ser descrita, ou seja, o leitor não tem obrigação de saber de qualsequência se trata se é informada apenas os primeiros termos da sequência.

Exemplos: A sequência de números impares positivos é a sequência (1,3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . ) aqui antes de exibir alguns temos da sequência, ficouclaro qual sequencia é referida, por que foi dita a sua lei de formação.

Uma sequência pode ser finita ou infinita, além disso pode ser definidapor uma fórmula de recorrência, ou seja, definir os próximos termos combase nos anteriores.

Exemplo: f0 = 1, f1 = 1, fn = fn−1 +fn−2; (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . ). Queé a famosa sequência de Fibonacci, não estudaremos este tipo de sequênciaao longo do curso.

5.2 Progressão aritmética (P. A.)

Definição 9: Uma P. A é uma sequência dada pela seguinte fórmulade recorrência:

a1 = aan = an−1 + r, ∀n ∈ N, n ≥ 2

Onde r é um número real dado.Ou seja, cada termo de uma P.A é obtido a partir da soma do termo

anterior com uma constante r dada.Exemplos:

(4, 4, 4, 4, 4, . . . )(0, -2, -4, -6, -8, . . . )(0, 3, 6, 9, 12, . . . )

Podemos classificar uma P. A. em uma de 3 categorias:

1. Crescentes: são as P. A. em que cada termo é maior que o anterior.É claro que isso ocorre somente se r > 0, pois:

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an > an−1 ⇔ an − an−1 > 0⇔ r > 0

2. Constantes: são as P. A. em que cada termo é igual ao anterior. Vejaque isso só ocorre quando r = 0.an = an−1 ⇔ an − an−1 = 0⇔ r = 0

3. Decrescentes: são as P. A em que cada termo é menor que o anterior.Isso ocorre se r < 0, pois:an < an−1 ⇔ an − an−1 < 0⇔ r < 0

Teorema 2: Em uma P. A. onde o termo inicial é a1 e a razão é r, on-ésimo termo dessa P. A. será:

an = a1 + (n− 1) · r (2)Teorema 3: Em toda P. A. a soma dos n primeiros temos é:

Sn = n(a1 + an)2 (3)

5.3 Progressão geométrica

Definição 10: Chama-se Progressão geométrica uma sequência dadapela seguinte fórmula de recorrência:

a1 = aan = an−1 · r, ∀n ∈ N, n ≥ 2

Onde ‘q’ e ‘a’, são números reais dados. Ou seja, P.G. é uma sequênciaem que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por umaconstante ‘q’ dada.

Exemplos:

1. (1, 2, 4, 8, 16, ...)

2. (-1, -2, -4, -8, -16, ...)

3. (1, 13 ,

19 ,

127 ,

181 , ...)

4. (−54,−18,−6,−2, −23 , ...)

5. (7, 7, 7, 7, 7, ...)

6. (8, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

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5.4 Classificando uma P.G.

1. Crescentes: são as P. G. em que cada termo é maior que o anteriro,isso pode ocorrer de duas maneiras:

(a) P. G. com os termos positivos

an > an−1 ⇔an

an−1> 1⇔ q > 1

(b) P.G. com os termos negativos

an > an−1 ⇔ 0 < an

an−1< 1⇔ 0 < q < 1

2. Constantes: são as P. G. em que cada termo é igual ao anterior,isso pode acontecer de duas maneiras:

(a) quando todos os termos são nulos: a1 = 0 e q qualquer.(b) termos iguais e não nulos, ou seja quando q = 1.

an = an−1 ⇔an

an−1= 1⇔ q = 1

3. Decrescentes: são as P. G. em que cada termo é menor que o termoanterior, isso pode acontecer de duas maneiras:

(a) com termos positivos:

an < an−1 ⇔an

an−1< 1⇔ 0 < q < 1

(b) com termos negativos:

an < ann− 1⇔ an

an−1> 1⇔ q > 1

4. Alternantes: são as P. G. em que cada termo tem sinal contrárioao do termo anterior, isso ocorre quando q < 0.

5. Estacionárias: são as P. G em que a1 6= 0 e a2 = 0 = a3 = ... = 0,isso ocorre quando q = 0.

Normalmente queremos saber qual o termo geral de uma P.G. para acharfacilmente qualquer termo, mesmo que esse termo seja bem grande, foraisso podemos querer saber qual a soma de um certo numero de termos, oude todos eles, uma P.G. pode ser infinita e mesmo assim podemos calculara soma de seus termos. Os teoremas que seguem ajudam a resolver essesproblemas:

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Teorema 4: o termo geral de uma P. G. é

an = a1 · qn−1 (4)

Teorema 5: a soma dos termos de uma P.G. finita é:

Sn = a1(qn − 1)q − 1 , se q 6= 1 (5)

Teorema 6: a soma dos termos de uma P.G. infinita:

Sn = a1

1− q (6)

5.5 Exemplos

1. O primeiro termo de uma progressão aritmética de razão 2 é 1. De-termine a soma dos 10 primeiros termos e o termo a100.Solução: Para determinar a soma dos 10 primeiros termos utilizare-mos o teorema 3, S10 = 10(1 + a10)

2 , agora precisamos saber o valorde a10, para isso usamos o teorema 2, a10 = 1 + (10− 1)2 = 39, agoraprosseguimos com o teorema 3 para obter: S10 = 200.Para determinar o termo a100 basta utilizar o teorema 2, calculando:a100 = 1 + (100− 1)2 = 1 + 99 · 2 = 199

2. Uma progressão geométrica de razão 2 tem termo inicial igual a 1.Determine o valor do termo 7 e da soma dos 5 primeiros termos destaPG.Solução: Pelo teorema 4, a7 = 1 · 27−1 = 64, e pelo teorema 5,S5 = 1(27 − 1)

2− 1 = 127

6 Análise Combinatória

O objetivo de análise combinatória é saber algumas técnicas para contarquantos elementos tem um certo conjunto, lembrando aqui que podemoster conjuntos de quase tudo que for possível imaginar, essas técnicas a prin-cípio podem parecer inúteis ou até mesmo bobas, e isso é verdade quandotemos conjuntos pequenos para contar, mas conforme o tamanho do con-junto aumenta, essa tarefa pode ficar muito difícil, e até mesmo impossível.Basicamente iremos ver algumas técnicas de contagens e fórmulas e o restoserá a aplicação dessas ferramentas. Esta será a seção que faremos maisexercícios!

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6.1 Princípio Fundamental da Contagem

Princípio multiplicativo Se um evento E1 pode acontecer de m1 maneirasdiferentes, para cada maneira de E1 ocorrer, um evento E2 pode ocorrerde m2 maneiras diferentes e, para cada maneira de A1 e A2 ocorrerem, umacontecimento A3 pode ocorrer de m3 maneiras diferentes; então, o númerode maneiras diferentes de ocorrerem A1, A2, A3 é:

M1 ·M2 ·M3Omesmo raciocínio segue para um número qualquer de eventos. Obs:.em

probabilidade iremos ver melhor a definição de evento.

Princípio aditivo Considerando A e B conjuntos finitos disjuntos (seção 3.3página 8), então o número de elementos da união de A com B: #(A ∪ B)é #(A) + #(B). Em outras palavras se um evento A pode ocorrer de mmaneiras diferentes é independente de um evento B que pode ocorrer de nmaneiras diferentes, o número de maneiras de ocorrerem A e B é m + n.

6.2 Fatorial

Em combinatória utilizamos muito a ideia de fatorial, a definição defatorial é a que segue:

Definição 11: O fatorial de um número natural n é

n! = n · (n− 1) · (n− 2) . . . 1 (7)

Em que 0!=1Exemplo: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120

6.3 Arranjos Simples

Um arranjo é uma agrupamento de um conjunto de elementos quais-quer, onde a ordem que os elementos são agrupados importa, digamosque temos um conjunto com A que possui n elementos, e gostaríamos desaber a quantidade de arranjos com p elementos desse conjunto. Então aquantidade que arranjos será:

An,p = n!(n− p)! (8)

Obs.: Essa fórmula vale apenas para o caso em que não podemos repetirelementos no arranjo.

Exemplo: Seja Z = a, b, c, d, os arranjos de tamanho 2 são:

17

Asz = AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC.Para contar o número de arranjos de tamanho dois sem ter que listar

todos poderíamos apenas ter substituído na fórmula: A4,2 = 4!(4− 2)! = 12

6.4 Arranjos com Repetição

Caso hajam elementos repetidos então o número de arranjos será de:

Ar(n, p) = np (9)

Exemplo: Tomemos o conjunto Z do caso de arranjo simples, se fossepossível repetir os elementos do conjunto no arranjo os arranjos que iriamosobter seriam:Arz = AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,

DB,DC,DD. Para contar quantos arranjos de tamanho 2 desse tipotemos poderíamos simplesmente ter substituído na fórmula do arranjo comrepetição: Ar(4, 2) = 42 = 16.

6.5 Permutações Simples

Permutações simples são reorganizações de um conjunto, ou seja, sa-ber de quantas maneiras podemos organizar os elementos de um conjuntoqualquer é saber quantas permutações esse conjunto possui. O número depermutações de um conjunto A com n elementos é:

Ps(n) = n! (10)Exemplo: Seja C = a, b, c, todas as permutações desse conjunto são:

PsC = ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA, para contar as permuta-ções desse conjunto, poderíamos ter utilizado a fórmula da permutaçãosimples: Ps(3) = 3! = 6.

6.6 Permutações com Repetição

Permutações com repetição são permutações onde alguns elementos serepetem. O número de permutações nesse caso é dado pela fórmula:

Pa,b,c,...(n) = n!a!b!c! . . . (11)

Ou seja, fazemos o fatorial do número de elementos do conjunto deelementos a serem permutados e dividimos pelo fatorial dos números repe-tidos.

18

Exemplo: Quantos anagramas tem a palavra ANAGRAMA? Basta uti-lizar a fórmula da permutação com repetição com a letra a sendo repetida4 vezes, P4(8) = 8!

4! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 24 · 3 · 2 = 8 · 7 · 5 · 6 = 1680

6.7 Combinações Simples

A combinação é um agrupamento de elementos em que a ordem doselementos não importa. O número de combinações é dado pela fórmula:

Cn,p = n!(n− p)!p! (12)

Exemplo: Quatro alunos serão convidados a ser monitores de uma dis-ciplina, eles serão selecionados em uma turma de 10 alunos, quantos gru-pos de monitores são possíveis de serem formados? C10,4 = 10!

(10− 4)!4! =10!6!4! = 210

7 Probabilidade

7.1 Experimentos Aleatórios

Chamaremos de experimentos aleatórios, aqueles fenômenos que repeti-dos diversas vezes, produzem resultados diferentes. Muitas vezes, emboranão saibamos qual resultado vai ocorrer, no geral conseguimos saber quan-tos resultados poderão ocorrer ao todo. Os resultados em um experimentoaleatório são diferentes devido a causas que não podemos controlar ou pre-ver, essas causas nós chamamos de acaso.

Exemplos de experimentos aleatórios:

1. Lançar uma moeda e observar a face que caiu.

2. Lançar um dado e observar o resultado.

3. Retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas e observar onaipe que saiu.

4. Observar quanto cresceu a população de uma certa cidade em umaano.

5. Injetar uma dose de insulina em uma pessoa e observar a quantidadede glicose que diminuiu.

19

Enfim, são inúmeros os experimentos aleatórios que podemos citar. Osexperimentos que não são aleatórios são chamados determinísticos.

7.2 Espaço Amostral

Chamaremos de espaço amostral e denotaremos por Ω o conjunto for-mado por todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.

Exemplos:

1. Lançar uma moeda e observar a face de cima. Ω = K,C, onde Krepresenta cara, e C representa coroa.

2. Lançar um dado e observar o resultado. Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

3. Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras e coroas.Ω = (K,K), (K,C), (C,K), (C,C).

4. Uma moeda é lançada até que caia uma coroa, observar quantas vezeslançamos a moeda até que isso ocorra. Ω = 1, 2, 3, . . ..

5. Um lote de 20 peças é examinado, observar quantas peças são defei-tuosas. Ω = 0, 1, 2, 3, . . . , 20

Do item 4, podemos observar que as vezes o espaço amostral pode serum conjunto infinito, iremos trabalhar apenas com os casos onde ele é umconjunto finito.

Consideremos um espaço aleatório, cujo o espaço amostral é Ω. Chama-remos de evento, todo subconjunto de Ω. Em geral, indicamos um eventopor uma letra maiúscula.

7.3 Definição de probabilidade

Uma probabilidade é a chance de ocorrer um evento em um dado experi-mento aleatório. A chance de ocorrer um evento será dada pela razão entreo número de elementos do evento (que chamaremos de casos favoráveis),e o número de elementos do espaço amostral. Para um certo evento A, aprobabilidade de A ocorrer é:

probabilidade deA = P (A) = n(A)n(Ω) (13)

Consequências imediatas dessa definição são as seguintes propriedades:

1. Para todo evento A, 0 ≤ P (A) ≤ 1

20

2. P(Ω) = 1

3. P(∅) = 0

7.4 Probabilidade Condicional

Quando sabemos que um dado evento já ocorreu, podemos utilizar oconceito de probabilidade condicional, quando um evento B ocorre, as vezesalguns de seus elementos podem pertencer a um outro evento A, e quandovamos calcular a probabilidade de A ocorrer, utilizamos o fato de B já terocorrido.

Figura 7: Diagrama de venn exemplificando probabilidade condicional.

Para calcular a probabilidade condicional, utilizamos o mesmo raciocíniode qualquer probabilidade, então consideremos que A ocorreu, e assimdesejamos calcular a probabilidade de B, temos então que:

P (A|B) = #(A ∩B)#(A) = P (A ∩B)

P (B) (14)

7.5 Teorema da Multiplicação

O problema da fórmula da probabilidade condicional é que não sabemoscomo calcular P (A ∩ B), temos duas formas para calcular isso, uma équando os eventos A e B são independentes, a outra é quando eles sãodependentes.

Definição 12: Dois eventos A e B são ditos independentes se:

P (A ∩B) = P (A) · P (B)

A partir da fórmula de probabilidade condicional (equação 14) é possívelobter o teorema da multiplicação.

21

Para calcular P (A ∩ B), quando eles não são independentes, temosque usar:

P (A ∩B) = P (B) · P (A|B) (15)Exemplo: Uma pessoa tem uma sacola com 5 bolas coloridas, 3 azuis

e 2 brancas, qual a probabilidade de se retirar uma bola azul? Qual aprobabilidade de se retirar uma bola branca? Qual é a probabilidade deretirarmos sucessivamente e sem reposição uma branca e depois uma azul?Qual é a probabilidade de retirarmos duas bolas brancas sucessivamente(sem reposição)?

Solução: claramente os eventos não são independentes, sendo assimutilizamos o teorema da multiplicação. Definimos os eventos:

A 99K retira-sa uma bola azul.B 99K retira-se uma bola branca.As probabilidades dos eventos A e B são P (A) = 3

5 e P (B) = 25 . Para

calcular a probabilidade de retirar uma branca dada que saiu uma azulutilize o teorema da multiplicação:P (A ∩B) = P (B)P (A|B) = 2

5 ·34 = 3

10

8 Estatística

A Estatística (ou ciência estatística), segundo o Portal Action (Maiorportal de estatística do Brasil) é o conjunto de técnicas e métodos de pes-quisa que entre outras coisas envolve o planejamento do experimento a serrealizado, a coleta quantificada dos dados, a inferência, o processamento,a análise e a disseminação de informações.

Em estatística trabalhamos com dados pelos quais podem ser obtidos deuma amostra da população em estudo, a seguir definimos esses conceitosbásicos:

População: Conjunto de elementos que tem pelo menos uma caracte-rística em comum. Esta característica deve delimitar corretamente quaissão os elementos da população.

Amostra: É um subconjunto de elementos de uma população, que sãorepresentativos para estudar a característica de interesse da população.

Temos duas grandes grandes áreas em estatística:Estatística Descritiva: Esta é a que estudaremos durante o curso,

que é a estatística cobrada no ENEM e ensinada durante o ensino médio,e visa estudar a coleta, organização, apresentação e descrição dos dados.

22

Estatística Indutiva: Esta só é estudada no ensino superior, e visatirar uma conclusão da população a partir de uma certa amostra.

Aqui iremos estudar as estatísticas descritivas, que são importantes paraanalisar, organizar, resumir e descrever aspectos importantes do compor-tamento de dados.

8.1 Medidas de Tendência Central (ou de posição) Básicas

Quando é dado um conjunto de dados as vezes é interessante que sesaiba um número que “resuma"esses dados, chamamos esses números detendência do conjunto de dados, ou seja, cada dado daquele conjunto dedados tem tendência a ter aquele valor que calculamos, o exemplo maiscomum é a média.

A média é calculada somando-se os valores das observações e dividindopela quantidade valores que temos, usaremos as seguintes notações:

x: valor de cada indivíduo da amostra.x: média.n: tamanho da amostra.Onde a média é:

x = x1 + x2 + x3 + . . .+ xn

n(16)

Para calcular a mediana devemos primeiramente, ordenar todos os va-lores do menor para o maior, se o número de observações for impar, entãoa mediana será o numero central. Se o número de observações for par, amediana será a média aritmética das duas observações centrais. (Notação:X)

Exemplo: Consideremos os seguintes dados correspondentes aos com-primentos de 8 rolos de fio de aço: 65, 72, 70, 60, 67, 69, 68. Ordenado osvalores temos: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 72. Como temos um número parde observações a mediana será dada pela média dos dois valores centrais,ou seja, X = 68 + 69

2 = 68, 5.Outra medida de posição comum é amoda, como o próprio nome sugere

é o valor que mais se repete, ou em outras palavras, é aquele com maiorfrequência. No conjunto de dados do exemplo anterior a moda é 72, já queé o valor que mais se repete.

Existem outas medidas de posição como a média geométrica e a mé-dia harmônica que não iremos abordar, mas vale a pena conhecer, paraquem quiser ir um pouco mais além.

23

8.2 Medidas de Dispersão

Medir a dispersão dos dados é importante para saber o quanto eles va-riam, isso equivale a medir a variação ou a variabilidade que os dados pos-suem. Para isso temos duas medidas que são usadas mais frequentemente:a amplitude e o desvio padrão.

A amplitude é definida como sendo a diferença entre o maior e o menorvalor do conjunto de dados. Iremos chamar a amplitude de R. Considerepor exemplo, o conjunto de dados do exemplo da seção 7.1, a amplitudeserá: R = 72− 60 = 12.

Para definir desvio padrão, precisaremos definir variância. Ondea variância de uma amostra de n elementos é definida como a soma doquadrado dos desvios dos elementos em relação a sua média x dividido por(n-1). Ou seja, a variância é dada por:

s2 = (x1 − x)(x2 − x) . . . (xn − x)(n− 1) (17)

O desvio padrão é igual a raiz do quadrado da variância,s =√s2 (18)

Considere novamente, os dados do exemplo, para calcularmos o desviopadrão devemos primeiramente calcular a média, isto é:

65 + 72 + 70 + 72 + 60 + 67 + 69 + 688 = 67, 875, agora iremos subtrair

x de cada valor e elevar ao quadrado:(x− x) (x− x)2

65-67,875 = -2,875 (−2, 875)2 = 8, 26562572-67,875 = 4,125 (4, 125)2 = 17, 01562570-67,875 = 2,125 (2, 125)2 = 4, 51562572-67,875 = 4,125 (4, 125)2 = 17, 01562560-67,875 = -7,875 (−7, 875)2 = 62, 01562567-67,875 = -0,875 (−0, 875)2 = 0, 76562569-67,875 = 1,125 (1, 125)2 = 1, 26562568-67,875 = 0,125 (0, 125)2 = 0, 015625

Total = 110,875

Assim temos: 110, 875(8− 1) = 15, 83929 ⇒ s =

√15, 83929 ⇒ s = 3, 97986,

portanto o desvio padrão para este conjunto de dados é s = 3,97986.

8.3 Análise de Tabelas

Quando estamos realizando um estudo de dados que foram coletadosde alguma maneira, e queremos deduzir algo sobre eles, uma boa forma de

24

fazer isso, seria colocar essas informações em uma tabela ou gráfico, as vezesos dados podem ser muito grandes e devem aparecer de maneira resumida,iremos aprender a criar essas tabelas e saber interpretar alguma tabela jápronta, tabelas e gráficos são muito comuns no ENEM, pois apresentamde maneira clara e resumida alguma ideia, portanto aprender esse assuntonão será útil somente para a prova de matemática, mas para um melhordesempenho no ENEM de modo geral.

Devemos primeiramente lembrar que em um resumo sempre existe perdade informações, por exemplo, “Em Harry Potter temos a história de umacriança que perdeu os pais", ainda que o resumo esteja correto, não sabemosmuito sobre Harry Potter, ou seja saber escolher quais informações sãoimportantes é fundamental na hora de montar uma tabela de dados.

Antes de resumir algo precisamos saber sobre o que estamos falando, ouseja, quais são as variáveis que estamos estudando. Elas podem ser: quali-tativas ou quantitativas (discutiremos mais sobre isso durante as aulas). Oprimeiro tipo de tabela que iremos ver será a tabela de frequências. Paracritério de exemplo de toda criação de tabela que iremos utilizar, consi-dere o conjunto de dados hipotéticos abaixo, retirados do livro [EstatísticaBásica - Morettin & Bussab]:

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No Estado civil Grau de instrução No defilhos

Salário(x sal. mín.)

Idade(anos)

Idade(meses)

Região deprocedência

1 solteiro ensino fundamental - 4,00 26 03 interior2 casado ensino fundamental 1 4,56 32 10 capital3 casado ensino fundamental 2 5,25 36 05 capital4 solteiro ensino médio - 5,73 20 10 outra5 solteiro ensino fundamental - 6,26 40 07 outra6 casado ensino fundamental 0 6,66 28 00 interior7 solteiro ensino fundamental - 6,89 41 00 interiro8 solteiro ensino fundamental - 7,39 43 04 capital9 casado ensino médio 1 7,59 34 10 capital10 solteiro ensino médio - 7,44 23 06 outra11 casado ensino médio 2 8,12 33 06 interior12 solteiro ensino fundamental - 8,46 27 11 capital13 solteiro ensino fundamental 3 8,74 37 05 outra14 casado ensino fundamental 3 8,95 44 02 outra15 casado ensino médio 0 9,13 30 05 interior16 solteiro ensino médio - 9,35 38 08 outra17 casado ensino médio 1 9,77 31 07 capital18 casado ensino fundamental 2 9,80 39 07 outra19 solteiro superior - 10,53 25 08 interior20 solteiro ensino médio - 10,76 37 04 interior21 casado ensino médio 1 11,06 30 09 outra22 solteiro ensino médio - 11,59 34 02 capital23 solteiro ensino fundamental - 12,00 41 00 outra24 casado superior 0 12,79 26 01 outra25 casado ensino médio 2 13,23 32 05 interior26 casado ensino médio 2 13,60 35 00 outra27 solteiro ensino fundamental - 13,85 46 07 outra28 casado ensino médio 0 14,69 29 08 interior29 casado ensino médio 5 14,71 40 06 interior30 casado ensino médio 2 15,99 35 10 capital31 solteiro superior - 15,22 31 05 outra32 casado ensino médio 1 16,61 36 04 interior33 casado superior 3 17,26 43 07 capital34 solteiro superior - 18,75 33 07 capital35 casado ensino médio 2 19,40 48 11 capital36 casado superior 3 23,30 42 02 interior

Tabela 2: Informações sobre estado civil, número de filhos, salário (expresso como fração dosalário mínimo), idade (medida em anos e meses) e procedência de 36 empregados da seção deorçamentos da companhia MB. [Fonte: Livro estatística básica (Morettin & Bussab)]

A partir desta tabela, que contém todas as informações coletadas, re-sumimos algumas informações em tabelas menores, que iremos analisar aseguir:

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Grau de Instrução Frequência ni Proporção fi Porcentagem 100fi

Fundamental 12 0,3333 33,33Médio 18 0,5000 50,00Superior 6 0,1667 16,67Total 36 1,0000 100,00

Tabela 3: Frequências e porcentagens dos 36 empregados da empresa M.B. segundo o grau deinstrução.

Perceba que a Tabela 2 torna claro uma informação que é destaque, nocaso a proporção de trabalhadores por escolaridade na empresa.

Classe de salários Frequência ni Porcentagem 100fi

4,00 ` 8,00 10 27,788,00 ` 12,00 12 33,3312,00 `16,00 8 22,2216,00 `20,00 5 13,8920,00 `24,00 1 2,78Total 36 100,00

Tabela 4: Frequências e porcentagens dos empregados da empresa M.B. por classe de salários

A tabela 3 é o que chamamos de tabela de classes de frequências, dolado onde tem a barrinha que dizer que aquele número esta incluso, porexemplo, 4,00 ` 8,00 quer dizer que 4,00 está incluso e 8,00 não.

8.4 Análise de Gráficos

Existem incontáveis números de gráficos, todos com um mesmo propó-sito: apresentar os dados de maneira visual e mais intuitiva. Para variáveisqualitativas nos limitaremos a falar do gráfico em barras e o gráfico de se-tores (pizza).

Figura 8: Gráfico em barras para a variável grau de instrução.

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Gráficos em barras geralmente possuem na horizontal a variável quali-tativa e na vertical sua respectiva frequência fi. Já o gráfico de setores émais obvio ainda, quanto maior a área do setor maior a frequência do dadoobservado.

Figura 9: Gráfico de setores para a variável grau de instrução(1 = Fundamental, 2 = Médio, 3= Superior).

Agora será apresentado os gráficos para variáveis quantitativas, ondeos principais são: barras, histograma, gráfico em linhas e diagrama dedispersão.

Gráfico em barras:

Figura 10: Gráfico de barras para a variável número de filhos.

No diagrama de dispersão do exemplo da figura 8.4, o eixo horizontalrepresenta uma variável Z que indica o número de filhos e na vertical afrequência com que eles ocorrem.

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Figura 11: Diagrama de dispersão da variável número de filhos.

Seria interessante dar uma atenção especial ao histograma, ele pode nãoser tão intuitivo quanto outros gráficos e é fácil se confundir com ele. Eleé um gráfico de barras contíguas com bases proporcionais aos intervalosdas classes e a área de cada retângulo proporcional à respectiva frequência(que pode ser a absoluta[ni] ou a relativa [fi]).

Figura 12: Histograma da variável salário.

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Para facilitar o entendimento, foi colocada acima de cada setor (retân-gulo) a respectiva porcentagem das observações (arredondada). Assim, pormeio da figura, podemos dizer que 61% dos empregados têm salário infe-rior a 12 salários mínimos, ou 17% possuem salário superior a 16 saláriosmínimos.

9 Matemática Financeira

Esta seção é apenas para aplicar alguns conceitos que já vimos, ou quejá são conhecidos, tais como porcentagem, funções lineares e progressõesaritméticas ou geométricas. Alem disso é importante falar da nomenclaturaque normalmente é utilizada nesse assunto.

9.1 Definições básicas e juros simples

Começaremos definindo o nosso objeto de estudo:Definição: Matemática Financeira é o ramo da matemática aplicada

que estuda o comportamento do dinheiro no decorrer do tempo.Temos como objetivo principal quantificar as transações que ocorrem no

universo financeiro levando em conta a variável tempo (time value money)e entender como calcular coisas básicas envolvendo variáveis importantescomo taxa de juros, capital e tempo.

Definição: Juros é a remuneração de um capital aplicado a uma certataxa, durante um determinado período de tempo, ou seja, é o dinheiro queé pago pelo uso de um dinheiro emprestado.

Podemos enumerar alguns fatores que explicam por que existem jurosno mundo financeiro:

1. Inflação: Existe uma diminuição do poder aquisitivo da moeda numdeterminado período de tempo. Assim os juros servem como umacompensação a esse comportamento inflacionário.

2. Risco: Os juros produzidos compensam de uma certa forma os riscosde um investimento.Aspectos intrínsecos da natureza humana: Os seres humanosadoram ganhar dinheiro!

As principais siglas da matemática financeira são: Principal (P) quetambém é conhecido como valor do capital (C); a taxa de juros (i) é arelação entre juros e o principal em relação à uma certa unidade de tempo.

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Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre ocapital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalizações simples(Juros Simples). Esse sistema não é muito utilizado na prática das opera-ções comerciais, mas seu estudo é importante e é corriqueiro no ENEM eem concursos de modo geral.

O valor dos juros simples é definido pelo produto entre capital (C), taxade juros (i) e o tempo decorrido (t), é importante não confundir a taxa dejuros com o valor do juros produzido (J).

J = C · i · t (19)ou chamando capital de principal (P) e o número de períodos de tempo de(n) obtendo a seguinte fórmula

J = P · i · n (20)

Ao final de n períodos, é claro que o total será igual ao capital inicial,adicionado aos juros produzidos durante o período, chamamos esse total demontante (M). E dessa maneira a fórmula do montante pode ser facilmentededuzida:

M = J + P

= P · i · n+ P

= P (1 + i) (21)

9.2 Juros Compostos

O sistema de capitalização em que os juros gerados a cada período sãoincorporados ao principal é chamado de regime de juros compostos. Seobservarmos o comportamento do montante ao decorrer de 3 meses deaplicação, teríamos o seguinte:

M = P (1 + i)= P (1 + i)(1 + i)= P (1 + i)(1 + i)(1 + i)

Generalizando para n períodos de aplicação obtemos:

M = P (1 + i)n (22)

31

9.3 Taxas Equivalentes

Perceba que num regime a juros simples o montante cresce em pro-gressão aritmética, e num regime a juros compostos o montante cresceem progressão geométrica. Além disso, duas taxas i1ei2 são equivalentes seaplicadas ao mesmo capital P durante o mesmo tempo através de diferentesperíodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Considere o capital P, aplicado por um ano a uma taxa anual ia, omontante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P (1+ ia), tomeagora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im, omontante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P (1 + im).

Pela definição de taxas equivalentes vista acima deveremos terM =M’.E portanto,

P (1 + ia) = P (1 + im)1/2 (23)Com essa fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa

mensal conhecida.Exemplos:

1. Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?

1 + ia = (1, 08)2

ia = 16, 64 % a.a.

2. Qual é a taxa anual equivalente a 0,5 % ao mês?

1 + ia = (1 + im)121 + ia = (1, 005)12

ia = 0, 0617 = 6, 17 % a.a.

10 Exercícios

10.1 Conjuntos

1. Sejam os conjuntos A = a, b, c, d, B = c, d, e, f, g C = b, d, e, g,determine:

(a) A - B(b) (A ∪ C)−B(c) (A ∪B)− (A ∩ C)

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2. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam Inglês, 163 estudamFrânces e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudamInglês ou Francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?

3. Uma população consome 3 marcas de sabão: A, B e C. Uma pesquisaobteve os seguintes dados:

Marca A B C A e B B e C C e A A, B e C Nenhumaconsumidores 109 203 162 25 41 28 5 115Diga o:

(a) número de pessoas consultadas;(b) número de pessoas que consomem A;(c) número de pessoas que não consomem A ou C;(d) número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.

4) E = a, a, dizer quais das proposições abaixo são verdadeiras.

(a) a ∈ E(b) a ∈ E(c) a ⊂ E

(d) a ⊂ E

(e) ∅ ∈ E(f) ∅ ⊂ E

4. O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80 % foramvacinados contra parvovirose e 60 % contra cinomose. Determine opercentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças.

5. [PUC-RIO 2007] Uma prova com duas questões foi dada a uma classede quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acer-taram a primeira e 20 aceraram a segunda questão. Quantos alunoserraram as duas questões?

(a) 40(b) 10(c) nenhum(d) 8(e) 5

6. [UDESC 2009]

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“O que os brasileiros andam lendo? O brasileiro lê em mé-dia, 4,7 livros por ano. este é um dos principais resultados dapesquisa Retratos da Leitura no Brasil, encomendada pelo Ins-tituto Pró-Livro ao Ibope Inteligência, que também pesquisouo comportamento do leitor brasileiro, as preferências e as mo-tivações dos leitores, bem como os canais e a forma de acessoaos livros."Fonte: Associação Brasileira de encadernação e Restaure, adap-tado.

Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivoera verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resulta-dos: 300 leem apenas livros, 150 somente jornais, 100 leem somenterevistas, 60 leem livros e jornais, 80 leem revistas e livros, 50 leemjornais e revistas, 40 leem revistas, jornais e livros.Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirma-ções:I - Apenas 40 pessoas leem pelo menos um dos três meios de comuni-cação citados.II - Quarenta pessoas leem somente revistas e livros, e não leem jornais.III - Apenas 440 pessoas leem revistas ou livros.Assinale a alternativa correta:

(a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.(b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.(c) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.(d) Somente a afirmativa II é verdadeira.(e) Somente a afirmativa I é verdadeira.

7. [UFF 2010] Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891),“Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem."Os con-juntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandesinvenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjun-tos, é correto afirmar que:

(a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irraci-onal;

(b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional;(c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional;

34

(d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um nú-mero racional;

(e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre umnúmero inteiro negativo.

10.2 Sequências e Progressões

1. Calcule o 17 termo da P.A. cuja razão é 5 e o primeiro termo é 1.

2. Obtenha a razão da P.A. em que o primeiro termo é -8 e o vigésimo é30.

3. Obtenha a razão da P.A. em que a2 = 9 e a14 = 45

4. Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizandocanudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi repre-sentado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figuradepende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. Aestrutura de formação das figuras está representada a seguir:

Figura 13: Como as figuras ficaram.

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quanti-dade de quadrados de cada figura?

(a) C = 4Q(b) C = 3Q + 1(c) C = 4Q - 1(d) C = Q + 3(e) C = 4Q - 2

5. As projeções para a produção de arroz no período de 2012-2021, emuma determinada região produtora, apontam para uma perspectivade crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta aquantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeirosanos desse período, de acordo com essa projeção.

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Ano Projeto da Produção2012 50,252013 51,502014 52,752015 54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzidano período de 2012 a 2021 será de

(a) 497,25(b) 500,85(c) 502,87(d) 558,75(e) 563,25

6. Num laboratório foi feito um estudo sobre a evolução de uma po-pulação de vírus. Ao final de um minuto do início das observações,existia 1 elemento na população; ao final de dois minutos, existiam5, e assim por diante. A Seguinte sequência de figuras apresenta aspopulações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada umdos quatro primeiros minutos.

Figura 14: Disposição da população do vírus após 4 minutos.

Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento dapopulação, o número de vírus no final de 1 hora era de:

(a) 242(b) 238(c) 237(d) 233(e) 232

7. Um menino propôs a seu pai que lhe desse R$ 1,00 no dia 1 de dezem-bro e fosse, a cada dia, dobrando o valor da quantia diária, até o dia 24de dezembro. No dia 25 de dezembro, ele daria ao pai, com o dinheiro

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acumulado, um presente de natal. O pai aceitou a proposta, desdeque o filho desse um presente que custasse o dobro da quantia que ofilho recebesse no dia 24. Se o acordo entre os dois filhos foi firmado,o menino dará ao pai um presente com exatamente o seguinte valor:

(a) Metade do que receber(b) O dobro do que receber(c) Toda a quantia recebida(d) Toda a quantia recebida mais R$1,00(e) NDA

8. São dadas duas progressões: uma aritmética (PA) e outra geométrica(PG). Sabe-se que:-A razão da PG é 2;-em ambas o primeiro termo é igual a 1;-a soma dos termos da PA é igual a soma dos termos da PG;-ambas tem 4 termos.Pode-se afirmar que a razão da PA é:

(a) 1/6(b) 5/6(c) 7/8(d) 9/8(e) 11/6

10.3 Análise combinatória

1. As placas dos automóveis são formadas por 3 letras e quatro números,quantas placas diferentes podem haver?

2. Quantos números naturais pares de 3 dígitos distintos existem?

3. Quantas palavras de 3 letras podemos formar com um alfabeto de 26letras?

4. Quantos são os gabaritos possíveis em uma prova de 10 questões de 5itens cada.

5. De quantos modos podemos escolher um presidente(a) e um secretá-rio(a) em um conselho com 12 membros?

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6. Simplifique a expressão: (n+ 1)! + n!(n+ 2)!

7. Resolva a equação: (x+ 2)!x! = 0

8. O resultado do último sorteio da mega-sena foi: 05, 06, 12, 19, 30,60. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência deresultados?

9. Na palavra NORTE, quantos anagramas começam por vogal.

10. Uma senha alfa-numérica de 6 dígitos pode ser formada de quantasmaneiras distintas?

11. Um número de telefone é pode ser formado com 8 dígitos, mas o pri-meiro dígito deve ser o número 3, quantos números de telefone distintospodemos formar?

12. Quantos anagramas podemos formar com a palavra MATEMATICA?

13. Será formada uma comissão com 5 mulheres e 3 homens em uma salacom 40 pessoas, onde 18 são mulheres e 22 são homens. Quantascomissões distintas podemos formar?

14. Quantos resultados são possíveis para o lançamento de 2 dados?

15. Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes de-vem ser impressos, se cada tipo deve conter a estação de partida echegada respectivamente?

16. As 5 finalistas para o concurso miss universo são: Miss Japão, MissBrasil, Miss Colômbia, Miss Noruega e Miss Austrália. De quantasmaneiras distintas os juízes podem escolher o 3 primeiros lugares?

17. De quantas formas 8 sinais “+"e 4 sinais “-"podem ser colocados emsequência?

18. Uma prova contém 15 questões, onde o aluno deve resolver 10. Dequantas formas ele pode escolher as 10 questões?

10.4 Probabilidade

1. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de que apareça umnúmero menor do que 4?

38

2. Uma urna contém 6 bolas verdes, 5 azuis e 4 pretas. Calcule a proba-bilidade de se extrair uma bola azul ou preta.

(a) 35

(b) 159

(c) 59

(d) 53

(e) 156

3. Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas enu-meradas de 1 a 100. Uma das senhas é sorteada, qual a probabilidadede que a senha sorteada esteja entre 1 e 20?

(a) 1100

(b) 19100

(c) 20100

(d) 21100

(e) 10080

4. Uma moeda é lançada 2 vezes, qual a probabilidade de sair 2 carassucessivamente?

(a) 14

(b) 34

(c) 41

(d) 12

(e) 13

5. Em uma caixa temos 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes.Se retirarmos uma única ficha qual a probabilidade de que esta fichaseja verde ou amarela?

39

6. De uma sacola contendo bolas enumeradas de 1 a 15 retira-se umabola. Qual a probabilidade de que essa bola tenha o número divisívelpor 3 ou por 4?

7. Uma moeda é lançada 3 vezes, qual a probabilidade de que saia algumasequência de 2 caras?

8. Dois dados são jogados, qual a probabilidade de que caia faces iguaisnos dois dados?

9. Duas cartas são retiradas de um baralho, qual a probabilidade de queformem um par? Ex.:(A-A, 2-2, 3-3, . . . , K-K).

10. Gilbert e Hatcher em Mathematics Beyond the Number, relativamentea população mundial informam que:

* 43% tem sangue tipo O;* 85% tem Rh positivo;* 37% tem sangue tipo O com Rh positivo;

Neste caso, a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso nãoter sangue tipo O e não ter Rh positivo é de:

(a) 9%(b) 15%(c) 37%(d) 63%(e) 93%

11. Em um jogo da seleção a probabilidade de que o Neymar não sejaescalado é de 0,2% e a probabilidade de que o David Luiz seja escaladoé de 0,7%. Sabendo que a escalação de um deles é independente da dooutro, a probabilidade de os dois jogadores serem escalados é:

(a) 0,06(b) 0,14(c) 0,24(d) 0,56(e) 0,72

40

12. As probabilidades de três jogadores marcarem um gol em uma co-brança de pênalti são respectivamente, 1/2, 2/5, 5/6.Se cada um deles bater apenas um pênalti cada, a probabilidade detodos errarem é igual a:

(a) 3%(b) 5%(c) 17%(d) 20%(e) 25%

13. Em uma bandeja há dez pasteis dos quais são 3 de carne, 3 de queijo,e 4 de camarão. Se Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposiçãodois pasteis, a probabilidade de que os dois pastéis retirados serem decamarão é:

(a) 3/15(b) 4/25(c) 2/15(d) 4/15(e) 4/5

(a) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas.(b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para escolha de

José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidadespara a escolha de Paulo.

(c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha deJosé quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidadespara a escolha de Paulo.

(d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibi-lidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidadespara formar a soma de Paulo.

(e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.

14. Com 5 engenheiros e 4 físicos serão formadas comissões de 5 pessoas.Calcule a probabilidade de uma dessas comissões ser formada por 3engenheiros e 2 físicos.

(a) 2110

41

(b) 510

(c) 1021

(d) 310

(e) 210

15. Um baralho tem 12 cartas, dessas cartas 4 são ases. Retiram-se 3cartas ao acaso. Qual a probabilidade de haver pelo menos um ásentre as cartas retiradas?

16. É jogado um dado honesto. O número que ocorre é o coeficiente b daequação x2 + bx + 1 = 0. Qual a probabilidade de que essa equaçãotenha raízes reais? Qual a probabilidade de que essa equação tenharaízes reais,sabendo que ocorreu um número ímpar no lançamento dodado?

17. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retiradas aleatoria-mente 2 peças, calcule:

(a) a probabilidade de ambas serem defeituosas(b) a probabilidade de ambas não serem defeituosas.(c) a probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.

18. Um dado é lançado duas vezes. Calcule a probabilidade de:

(a) sair um 6 no primeiro lançamento.(b) sair um 6 no segundo lançamento.(c) não sair 6 em nenhum lançamento.(d) sair pelo menos um 6.

19. Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois re-sultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade de que essa moedaseja jogada exatamente três vezes?

(a) 1/8(b) 1/4(c) 1/3(d) 1/2(e) 3/4

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20. Existem dois círculos concêntricos, de raios R = 3 e r = 2 é jogado umgrão de areia dentro da área do círculo maior, completamente ao acaso,qual a probabilidade de que o grão de areia caia dentro do círculo deraio r = 2. (Considere π = 3).

(a) 49

(b) 159

(c) 25

(d) 12

(e) 94

21. Para disputar a final de um torneio internacional de natação, classificam-se 8 atletas: 3 norte-americanos, 1 australiano, 1 japonês, 1 francêse 2 brasileiros. Considerando que todos os atletas classificados sãoótimos e tem igual condições de receber uma medalha (de ouro, prataou bronze), a probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja nopódio é igual a:

(a) 5/14(b) 3/4(c) 4/7(d) 9/14(e) 5/7

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Lista de Tabelas

1 Elementos característicos dos sistemas de conhecimento . . 42 Informações sobre estado civil, número de filhos, salário (ex-

presso como fração do salário mínimo), idade (medida emanos e meses) e procedência de 36 empregados da seção deorçamentos da companhia MB. [Fonte: Livro estatística bá-sica (Morettin & Bussab)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Frequências e porcentagens dos 36 empregados da empresaM.B. segundo o grau de instrução. . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Frequências e porcentagens dos empregados da empresa M.B.por classe de salários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Lista de Figuras

1 Osso de Lebombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Tabuleta raiz de 2 - Babylonian Collection, Yale University . . . . . 53 Diagrama de Venn para 3 conjuntos: alfabeto grego, alfabeto inglês,

alfabeto russo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Diagrama de venn exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Representação do produto cartesiano A x B no diagrama de venn. . . 126 Representação do produto cartesiano A x B no plano cartesiano . . . 127 Diagrama de venn exemplificando probabilidade condicional. 218 Gráfico em barras para a variável grau de instrução. . . . . 279 Gráfico de setores para a variável grau de instrução(1 =

Fundamental, 2 = Médio, 3 = Superior). . . . . . . . . . . 2810 Gráfico de barras para a variável número de filhos. . . . . . 2811 Diagrama de dispersão da variável número de filhos. . . . . 2912 Histograma da variável salário. . . . . . . . . . . . . . . . . 2913 Como as figuras ficaram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3514 Disposição da população do vírus após 4 minutos. . . . . . 36

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