Click here to load reader

Luiz Affonso Guedes - DCA

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Luiz Affonso Guedes - DCA

Microsoft PowerPoint - variáveis aleatórias multidimensionaisSumário • Probabilidade • Variáveis Aleatórias • Funções de Uma Variável Aleatória • Funções de Várias Variáveis Aleatórias • Momentos e Estatística Condicional • Teorema do Limite Central • Processos Estocásticos • Análise Espectral • Filtragem e Predição Estocástica • Processos Markovianos
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Uma V.A. X para o caso contínuo, é uma variável (domínio da função) pertencente aos reais.
• V.A. mapeia R1 em R1. S
e
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Para o caso multidimensional, temos que n V.A. (contínuas), são o domínio da função distribuição de probabilidade pertencente aos reais.
• V.A. multidimensional mapeia Rn em R1.
e
X(e)
• Estatística Conjunta de V.A.: – Interesse de se estudar simultaneamente várias
características num determinado experimento. – Interesse de estudo da inter-relação dessas
variáveis. • Definição:
– Sejam X1, X2, ..., Xn v.a. definidas em S, um ponto nesse conjunto n-dimensional mapeia um único ponto no espaço unidimensional.
• 0≤ P(x1,x2, ..., xn) = k ≤ 1
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Estatística Conjunta de V.A.: – Exemplos:
• Numa pesquisa de opinião de votos, coleta-se além da intenção de voto, idade, sexo e renda: tridimensional f(Idade, Sexo, Renda).
• Experimento de se lançar uma moeda (X) e um dado (Y) simultaneamente: bidimensional f(X,Y)
– Deseja-se basicamente obter-se as inter-relações ou independências entre as diversas v.a. envolvidas no experimento.
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
............
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Para o caso de V.A. bidimensional: – X Fx(x) = P(X≤x) – Y Fy(y) = P(Y ≤ y) – Fx,y(X,Y) = P(X≤x; Y ≤ y) Probabilidade conjunta de
X e Y. – P(x1 ≤ X≤x2; y1 ≤ Y ≤ y2) = ?
Y
X
y1
y2
x2x1
Y
X
y1
y2
em X e Y.
• Para o caso de V.A. bidimensional: – Caso Discreto:
• Fx,y(x,y) = P(X≤x; Y ≤ y) = ΣiΣj P(X=xi, Y=yj) – Caso Contínuo:
• Fx,y(x,y) = P(X≤x; Y ≤ y) = ∫-∞,y ∫-∞,x f(x,y) dx dy
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições Marginais: – Caso bidimensional:
• Dada F(x,y), calcular a distribuição de X, independentemente do valor de Y Distribuição Marginal de X.
• Fx(x) = Fxy(x,+∞) ; {y<+ ∞} • FY(y) = Fxy(y,+∞) ; {x<+ ∞} • Caso discreto: P(Y=yj) = Σi P(X=xi, Y=yj) • Caso contínuo: fx(x) = ∫-∞,+∞ f(x,y) dy
P[(X,Y)∋D] = ∫ ∫D f(x,y) dxdy
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições Marginais: – Caso n-dimensional:
• Dada F(x1,x2,...,xn) calcular a distribuição marginal de X1. • Caso discreto: P(X1 = x1) = Σx2...Σxn P(X1=x1, ..., Xn=xn) • Caso contínuo: fx1(x1) = ∫x2... ∫xn f(x1,...,xn) dx2...dxn
– E[X + Y] = E[X] + E[Y]
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições Marginais: – Propriedades:
• Fxy(x,-∞) = 0; • Fxy(-∞,y) = 0; • Fxy(+∞,+∞) = 1 • P(x1 ≤ X≤x2; Y ≤ y) = Fxy(x2,y) - Fxy(x1,y) • P(X≤x; y1≤Y ≤ y2 ) = Fxy(x,y2) - Fxy(x,y1) • P(x1 ≤ X≤x2; y1≤Y ≤ y2 ) = Fxy(x2,y2) - Fxy(x2,y1) -Fxy(x1,y2)
+ Fxy(x1,y1) • fx(x) = ∫-∞,+ ∞fx,y(x,y)dy
de X e Y.
• Distribuições Marginais: – Exemplo: sejam (X,Y) uma v.a. bidimensional cuja
densidade de probabilidade é dada por: • f(x,y) = (3/80) (x2+xy), 0<x<2 e 0<y<4 • f(x,y) = 0, para as outras regiões • Determine as densidades marginais de X e Y. • Calcular a probabilidade de P[X+Y<3]. Resp.=21/80 • Determinar F(x,y).
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições Marginais: – Exemplo: sejam (X,Y) uma v.a. bidimensional cuja
densidade de probabilidade é dada por: • f(x,y) = 8xy, 0<x<y<1 • f(x,y) = 0, para as outras regiões • Determine as densidades marginais de X e Y. • Calcular a probabilidade de P[0<X<0,5; 0<Y<0,5].
Resp.=0,0625
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Função Densidade de Probabilidade Conjunta – fxy (x,y) = ∂ 2 Fx,y(x,y)/∂dx ∂dy
– ∂ Fx,y(x,y)/∂dx = ∫-∞,yfx,y(x,v)dv
– fx1, ...,xn (x1,..., xn) = ∂ n Fx1 ...,xn (x1,..., xn)/∂dx1... ∂dxn
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
se para todos os seus valores tivermos:
– P[X1=x1, ..., Xn=xn] = P[X1=x1] ... P[Xn=xn]
– Se as v.a. são independentes, então a distribuição conjunta é dada pelo produto das distribuições marginais.
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• V.A. Independentes: Conseqüências: • Fx,y(x,y) = Fx(x) . Fy(y) • fx,y(x,y) = fx(x) . fy(y) • E[XY] = E[X] E[Y] • Var(X+Y) = Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Covariância – Sejam as v.a. X e Y. As suas variâncias fornecem
uma medida de dispersão em relação às suas médias.
– A covariância fornece uma medida de dispersão de uma v.a. bidimensional em relação ao ponto (E[X], E[Y]).
– Cov(X,Y) = E{ (X-E[X]) (Y-E[Y]) }
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Covariância – Cov(X,Y) = E{ (X-E[X]) (Y-E[Y]) } – Cov(X,Y) = ΣiΣj (xi-mx) (yi-my) P(X=xi, Y=yj) – Cov(X,Y) = ∫y∫x (xi-mx) (yi-my) f(x,y) dx dy – Cov(X,Y) = E[XY] – E[X] E[Y] – Cx,y = Rx,y - mx.my ; – Rx,y = ∫y∫x xi yi f(x,y) dx dy Correlação
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Covariância – Conseqüências:
• Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) +2Cov(X,Y) • Se X e Y são independente Cov(X,Y) = 0 • Se X e Y tendem a variar no mesmo sentido, a
Cov(X,Y) será positiva. • Se X e Y tendem a variar em sentidos opostos, a
Cov(X,Y) será negativa.
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Covariância e Coeficiente de Correlação – Sejam duas V.A. X e Y. Se X’= aX e Y’= bY:
• Cov(X’,Y’) = ab Cov(X,Y)
• Então, a covariância depende das escalas das v.a.
• Seria interessante se trabalhar com uma medida de dispersão independente de escala!
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Coeficiente de Correlação – ρ(X,Y) = Cov(X,Y)/ ( σ(X) σ(X) ) – | ρ(X,Y) | ≤ 1 normalização da covariância
– Se X’= aX e Y’= bY: • Cov(X’,Y’) = ab Cov(X,Y) • ρ(X’,Y’) = ab Cov(X,Y)/ ( a σ(X) bσ(X) )
= ρ(X,Y)
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Descorrelação – Cov(X,Y) = Cx,y = 0 ρ(X,Y) = 0; – E[XY] = E[X] E[Y]
• Ortogonalidade: – E[XY] = 0 X e Y são ortogonais.
• X = [X1,X2,...,Xn] • Rn = R11 ... R1n Matriz de Correlação
... Rn1 ... Rnn
Cn1 ... Vnn • Cn=Rn – ΝxΝx
t ; Nx t = [ηx1 ηx2 ... ηxn]
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
exp{-0.5 (1-r2)-1/2 [(x-ηx)2 /σx 2 +(y-ηy)2 /σy
2 + - 2r(x-ηx)(y-ηy)/ σx σy] }
Variáveis Aleatórias Multidimensionais • Distribuições de Funções de V. A.
– Sejam X e Y com distribuição conjunta dada por F(x,y) e densidade de probabilidade f(x,y).
• F(x,y) f(x,y) ?
– Outra questão importante: • Dado f(x,y) e se Z= g(X,Y) f(z)? • G(Z) = P[Z ≤ z] = P[(X,Y) ∋ Dz];
– Dz = {(x,y):g(x,y) ≤ z}
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições de Funções de V. A. – Caso 1: Z=X+Y
• Dz = {(x,y): x+y ≤ z} • Gz(Z) = ∫∫Dzf(x,y)dxdy
= ∫-∞, ∞ {∫- ∞,z-x f(x,y)dy}dx • Fz(Z) = ∫-∞, ∞ {∫- ∞,z f(x,u-x)du}dx
– u=x+y y = u - y
• Fz(Z) = ∫- ∞,z {∫-∞, ∞ f(x,u-x)dx}du integrando não negativo
• fz(z) = {∫-∞, ∞ f(x,z-x)dx} • Se X e Y forem independentes: fz(z) = fx(x) . fy(y)
– fz(z) = ∫-∞, ∞ fx(x) fy(z-x)dx Integral de Convolução
X
Y
Variáveis Aleatórias Multidimensionais • Distribuições de Funções de V. A.
– Caso 1: Z=X+Y • Se X e Y forem independentes: fz(z) = fx(x) . fy(y)
– fz(z) = ∫-∞, ∞ fx(x) fy(z-x)dx Integral de Convolução.
• Exemplo 1: fz(z) = fx(x) ⊗ fy(y)
a X
Variáveis Aleatórias Multidimensionais • Distribuições de Funções de V. A.
– Caso 1: Z=X+Y • Se X e Y forem independentes: fz(z) = fx(x) . fy(y)
– fz(z) = ∫-∞, ∞ fx(x) fy(z-x)dx Integral de Convolução.
• Exemplo 2: fz(z) = fx(x) ⊗ fy(y)
b X
Variáveis Aleatórias Multidimensionais • Distribuições de Funções de V. A.
– Caso 1: Z=X+Y • Se X e Y forem independentes: fz(z) = fx(x) . fy(y)
– fz(z) = ∫-∞, ∞ fx(x) fy(z-x)dx Integral de Convolução.
• Exemplo 3: fz(z) = fx(x) ⊗ fy(y)
a X
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições Condicionais – Caso Bidimensional: Sejam X e Y v.a. conjuntas. – P[Y=y|X=x] = P[X=x,Y=y] / P[X=x] – P[Y≤y|x<X ≤ x+x] =
P[x<X ≤ x +x,Y=y] / P[x<X ≤ x+x]
– f(y/x) = f(x,y) / f(x) f(x,y) = f(y/x) . f(x) – Exemplo: f(x,y) = 21x2.y3 para 0<x<y<1 e 0 para outros valores.
Determine f(x), f(y), f(x|y) e f(y|x).
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições Condicionais – Caso Bidimensional: Esperança condicional
• E[Y|X=x] = ∑y y. P[Y=y|X=x] para cada x há uma esperança correspondente.
• E[Y|X=x] = ∫-∝,+∝ y. f(y|x)dy • Exemplo: Obter E[Y|X=x] pra a exemplo anterior.
– f(y|x) = 4y3 / (1-x4) ; para 0<x<y<1. – E[Y|X=x] = ?
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
– E[Xn|Xn-1=xn-1..., X1=x1] = ∫-∝,+∝ xn . f(xn|xn-1,...,x1)dxn
Teorema do Limite Central
• Se as v.a. Xi são independentes, então sob condições gerais, a densidade f(x) da sua soma (x = x1+x2+ ...+xn) normalizada apropriadamente, tende para a curva normal quando n tende a infinito.
• Se n é suficientemente grande: f(x) ≈ (1/σ√2π) . exp{-(x-η)2/2σ2}
Teorema do Limite Central
• Se as v.a. forem independentes: – Se x = x1 + x2 +... +xn
– Então, f(x) = f1(x1) ⊗ f2(x2) ⊗ ... fn(xn) – Para n suficientemente grande, f(x) tende a uma
distribuição normal. – Se xi’s têm média η e desvio padrão σ:
• E[x] = n. η • Var[x] = n. σ
Teorema do Limite Central • Exemplo:
– Um dado é lançado 2.500 vezes. Calcular a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja menor que 8.850.
• Como n = 2.500 é muito grande aproximação normal. • X = X1+X2+ ...+ X2500
• P(Xj=i) = 1/6 ; i é a número da face no j-ésimo lançamento. • E[Xj] = 1/6=3,5 ; Var[Xj] = 2,92 σ(Xj) = 1,71 • E[X] = 2.500 * 3,5 = 8.750; Var[X] = 2.500 * 2,92 =7.310 σ(X) = 85,5
• P[X<8.850] = P[Z< (8.850-8.750)/85,5] = P[Z<1,17] = 0,879
Z = (X –médiax)/ σ normalização para N(0,1).
Teorema do Limite Central • Exemplo:
– X = X1 + X2 +... +Xn
– Xi’s são independentes entre si. – Xi’s têm distribuição uniforme entre 0 e T.
• E[Xi] = η = T/2 • σ2[Xi] = E[(Xi- η)] = T2/12 σ[Xi] = T/ (12)1/2
• E[X] = n. E[Xi] = n . η = n . T/2 • σ2[X] = n . E[(Xi- η)] = n . T2/12 • Para o caso de T = 1 e n = 12
– E[X] = 6 e σ2[X] = 1.