Algebra Linear – AL

Luiza Amalia Pinto CantaoDepto. de Engenharia Ambiental

Universidade Estadual Paulista – UNESP

luiza@sorocaba.unesp.br

Espacos Vetoriais

1 Definicao;

2 Subespacos;

3 Combinacao Linear, dependencia e independencia linear;

4 Base, dimensao e mudanca de base de um espaco vetorial.

Espacos Vetoriais

Definicao: Um espaco vetorial real e um conjunto V de elementosjuntamente com duas operacoes ⊕ e � que satisfazem:

1. Se u e v sao quaisquer elementos de V , entao u⊕ v esta em V(isto e, V e fechado em relacao a operacao ⊕).

a. u⊕ v = v ⊕ u, para u e v em V .b. u⊕ (v ⊕w) = (u⊕ v)⊕w, para u, v e w em V .c. Ha um elemento neutro 0 em V tal que

u⊕ 0 = 0⊕ v = u, para todo u em V.

d. Para todo u em V , ha um elemento −u em V tal que

u⊕−u = 0.

Espacos Vetoriais – Cont. (2)

Espacos Vetoriais: Propriedades para �:

2. Se u e qualquer elemento de V e k e qualquer numero real, entaok�u esta em V (isto e, V e fechado em relacao a operacao �).

a. k � (u⊕ v) = c� u⊕ c� v, ∀ c ∈ R e todos u e v em V .b. (k1 +k2)�u = k1�u⊕k2�u, ∀ k1, k2 ∈ R e todo u em V .c. k1 � (k2 � u) = (k1k2)� u, ∀ k1, k2 ∈ R e todo u em V .d. 1� u = u, para todo u em V .

Nota • Os elementos de V sao chamados de vetores;

• Os numeros reais sao chamados de escalares;

• A operacao ⊕ e a soma de vetores;

• A operacao � e a multiplicacao de vetores;

• O vetor 0 e o vetor nulo;

• O vetor −u e o negativo de u;

• (1.) e chamada de propriedade de fechamento de ⊕ e (2.) echamada de propriedade de fechamento de �.

• V e fechada em relacao as operacoes de soma de vetores (⊕) emultiplicacao por escalar (�).

Espacos Vetoriais – Exemplos

Exemplo (1) Considere o conjunto V de todas as ternas ordenadas denumeros reais do tipo(x, y, 0) e defina as operacoes ⊕ e � como:

(x, y, 0)⊕ (x′, y′, 0) = (x + x′, y + y′, 0)k � (x, y, 0) = (kx, ky, 0)

Verifique se e um espaco vetorial (propriedades (1.) e (2.)). – Lousa!

Exemplo (2) Considere o conjunto V de todas as ternas ordenadas denumeros reais do tipo(x, y, z) e defina as operacoes ⊕ e � como:

(x, y, z)⊕ (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′)k � (x, y, z) = (kx, y, z)

Verifique se e um espaco vetorial. – Lousa!

Exemplo (3) O cojunto de todas as matrizes m × n, munido dasoperacoes de soma e multiplicacao por escalar usuais, e um espacovetorial, representado por Mmn. (Vide aula01 matrizes.pdf).

Exemplos (4) Seja F [a, b] o conjunto de todas as funcoes com valoresreais definidas no intervalo [a, b]. Se f e g estao em V , definimosf ⊕ g por:

(f ⊕ g)(t) = f (t) + g(t).

Se f esta em F [a, b] e k e um escalar, definimos k � f por

(c� f )(t) = kf (t).

Entao, F [a, b] e um espaco vetorial. Da mesma maneira, o cojuntode todas as funcoes com valores reais definidas para todos os numerosreais, representado por F [−∞,∞], e um espaco vetorial. Veri-fiquem!!

Exemplo (5) Sejam p(t) = antn + an−1t

n−1 + · · · + a1t + a0 e q(t) =bnt

n + bn−1tn−1 + · · · + b1t + b0, definimos p(t)⊕ q(t) por:

p(t)⊕q(t) = (an+bn)tn+(an−1+bn−1)t

n−1+· · ·+(a1+b1)t+(a0+b0).

Se k e um escalar, definimos tambem k ⊕ p(t) por:

k ⊕ p(t) = (kan)tn + (kan−1)t

n−1 + · · · + (ka1)t + (ka0).

Mostre que Pn e um espaco vetorial.

Consideracoes sobre Espaco Vetorial

Nota: Escrevemos u⊕ v como u + v e k ⊕ u como ku.

Teorema Se V e um espaco vetorial, entao:

a. 0u = 0, para todo u em V ;

b. k0 = 0, para todo escalar k;

c. Se ku = 0, entao k = 0 ou u = 0;

d. (−1)u = −u, para todo u em V .

Subespacos

Definicao Seja V um espaco vetorial e W um subconjunto nao-vaziode V . Se W e um espaco vetorial em relacao as operacoes em V ,entao W e chamado de um subespaco de V .

Exemplo (6) Todo espaco vetorial tem pelo menos dois subespacos,ele mesmo e o subespaco {0} que consiste apenas no vetor nulo(note que 0 ⊕ 0 = 0 e k � 0 = 0 em qualquer espaco vetorial). Osubespaco 0 e chamado de subespaco nulo.

Exemplo (7) Seja W o subconjunto de R3 que abrange todos os ve-tores do tipo (a, b, 0), onde a e b sao quaisquer numeros reais, comoperacoes usuais de soma e multiplicacao de vetores por escalar. Ver-ifique se W e um subespaco de R3.

Subespacos (2)

Teorema Seja V um espaco vetorial com as operacoes ⊕ e � e sejaW um subconjunto nao-vazio de V . Entao, W e um subespaco deV se e somente se as seguintes condicoes sao validas:

1. Se u e v sao quaisquer vetores em W , entao u ⊕ v pertence aW .

2. Se k e qualquer numero real e u e qualquer vetor em W , entaok � u pertence a W .

Observacao:

• O subespaco que consiste apenas no vetor nulo e um subespaconao-vazio.

• Se um subconjunto W de um espaco vetorial V nao contem ovetor nulo, entao W nao e um subespaco de V .

Exemplo (8) Considere o conjunto W que agrupa todas as matrizes2× 3 do tipo: [

a b 00 c d

]onde a, b, c e d sao numeros arbitrarios. Verifique se W e umsubconjunto do espaco vetorial.

Subespacos (3)

Exemplo (9) Quais dos subconjuntos a seguir de R2 com as operacoesusuais de soma e multiplicacao por escalar de vetores sao subespacos?

a. W1 e o conjunto de todos os vetores do tipo

[xy

], onde x ≥ 0.

b. W2 e o conjunto de todos os vetores do tipo

[xy

], onde x ≥ 0 e

y ≥ 0.

c. W3 e o conjunto de todos os vetores do tipo

[xy

], onde x = 0.

Combinacao Linear

Definicao Sejam v1, v2, . . ., vn vetores em um espaco vetorial V . Umvetor v em V e chamado de uma combinacao linear de v1, v2,. . ., vn se

v = a1v1 + a2v2 + · · · + anvn

para alguns numeros reais a1, a2, . . ., an.

Exemplo (10) Em R3, sejam

v1 = (1, 2, 1) v2 = (1, 0, 2) v3 = (1, 1, 0)

O vetor v = (2, 1, 5) e uma combinacao linear de v1, v2 e v3.Encontre a1, a2 e a3 tais que:

a1v1 + a2v2 + a3v3 = v

Combinacao Linear (2)

Exemplo (11) Considere, no R3, os seguintes vetores: v1 = (1,−3, 2)e v2 = (2, 4,−1).

a. Mostre que o vetor v = (4, 3,−6) nao e combinacao linear de v1

e v2.

b. Determinar o valor de k para que o vetor u = (−1, k,−7) sejacombinacao linear de v1 e v2.

Teorema Seja S = {v1, v2, . . . , vn} um conjunto de vetores em umespaco vetorial. Entao [S] e um subespaco de V .

Exemplo (12) Em P2, sejam:

v1 = 2t2 + t+2, v2 = t2−2t, v3 = 5t2−5t+2, v4 = −t2−3t−2.

Determine se o vetor u = t2 + t + 2 pertence a [{v1, v2, v3, v4}].Observacao: Em geral, para determinar se um vetor v especıfico per-

tence a [S], investigamos a compatibilidade de um sistema linearapropriado.

Independencia Linear

Definicao Os vetores v1, v2, . . ., vk em um espaco vetorial V geramV se todo vetor em V for uma combinacao linear de v1, v2, . . ., vk.Alem disso, se S = {v1, v2, . . . , vk} entao dizemos tambem que oconjunto S que gera V , ou que {v1, v2, . . . , vk} gera V , ou que Ve gerado por S, ou [S] = V .

Procedimento para verificar se os vetores v1, v2, . . ., vk geram oespaco vetorial V :

Etapa 1 Escolha um vetor v qualquer em V .

Etapa 2 Determine se v e uma combinacao linear dos vetores dados. Sefor, entao os vetores dados geram V . Se nao, eles nao geram V .

Exemplo (13) Seja V o espaco vetorial R3 e sejam

v1 = (1, 2, 1) v2 = (1, 0, 2) v3 = (1, 1, 0).

Os vetores v1, v2 e v3 geram V ?

Independencia Linear: Exemplos

Exemplo (14) Mostre que

S =

{[1 00 0

],

[0 11 0

],

[0 00 1

]}gera o subespaco de M22 que reune todas as matrizes simetricas.

Exemplo (15) Seja V o espco vetorial P2. Seja S = {p1(t), p2(t)},onde p1(t) = t2 + 2t + 1 e p2(t) = t2 + 2. S gera P2 ?

Exemplo (16) Considere o sistema linear homogeneo Ax = 0, onde

A =

1 1 0 2−2 −2 1 −5

1 1 −1 34 4 −1 9

Encontre os vetores que geram o espaco de solucao deste sistema.

Independencia Linear (LI e LD)

Definicao: Os vetores v1, v2, . . ., vk em um espaco vetorial V saoditos linearmente dependente (LD) se existem constantes c1, c2,. . ., ck nem todas nulas, tais que:

c1v1 + c2v2 + · · · + ckvk = 0.

Caso contrario, v1, v2, . . ., vk sao chamados de linearmente inde-pendente (LI). Isto e, v1, v2, . . ., vk sao linearmente independentesse, sempre que c1v1 + c2v2 + · · · + ckvk = 0, tivermos

c1 = c2 = . . . = ck = 0

Em outras palavras, a unica combinacao linear de v1, v2, . . ., vk queresulta no vetor nulo e aquela em que todos os coeficientes sao nulos.Se S = {v1, v2, . . . , vk}, entao dizemos tambem que o conjunto S elinearmente dependente ou linearmente independente se osvetores tem a propriedade correspondente definida previamente.

Independencia Linear: Procedimento

Procedimento Para determinar se os vetores v1, v2, . . ., vk sao lin-earmente dependentes ou linearmente independentes faca:

Etapa 1 Escreva c1v1 + c2v2 + · · · + ckvk = 0, que leva a um sistemahomogeneo.

Etapa 2 Se o sistema homogeneo da Etapa 1 tem apenas a solucao trivial,entao os vetores dados sao linearmente independentes; se ele temuma solucao nao trivial, entao os vetores sao linearmente depen-dentes.

Exemplo (17) Determine se os vetores

−1100

e

−2011

gera-

dos do espaco Ax = 0 sao linearmente dependente ou linearmenteindependente.

Exemplo (18) Os vetores v1 = (1, 0, 1, 2), v2 = (0, 1, 1, 2) e v3 =(1, 1, 1, 3) em R4 sao linearmente dependentes ou linearmente inde-pendentes ?

Bases

Definicao Os vetores v1, v2, . . ., vk em um espaco vetorial V formamuma base para V se (a) v1, v2, . . ., vk geram V e (b) v1, v2, . . .,vk sao linearmente independentes.

Observacao Se v1, v2, . . ., vk formam uma base para um espaco veto-rial V , entao estes vetores devem ser nao-nulos e distintos e, portantopodemos escreve-los como um conjunto {v1, v2, . . . , vk}.

Exemplo (19) Os vetores e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) formam uma basepara R2, os vetores e1, e2 e e3 formam uma base para R3 e, em geral,os vetores e1, e2, . . ., en formam uma base para Rn. Cada um destesconjuntos de vetores e chamado de base natural ou base canonicapara R2, R3 e Rn, respectivamente.

Exemplo (20) Mostre que o conjunto S = {v1, v2, v3, v4}, onde v1 =(1, 0, 1, 0), v2 = (0, 1,−1, 2), v3 = (0, 2, 2, 1) e v4 = (1, 0, 0, 1) euma base para R4.

Dimensao

Definicao A dimensao de um espaco vetorial V nao-nulo e dada pelonumero de vetores em uma base para V . Freqentemente, represen-tamos a dimensao de V por dim V . Como o conjunto {0} e lin-earmente dependente, e natural dizer que o espaco vetorial {0} temdimensao zero.

Exemplo (21) A dimensao de R2 e 2; a dimensao de R3 e 3; e, emgeral, a dimensao de Rn e n.

Exemplo (22) A dimensao de P2 e 3; a dimensao de P3 e 4; e, emgeral, a dimensao de Pn e n + 1.

Coordenadas

Base Ordenada Se V e um espaco vetorial de dimensao n, V temuma base S com n vetores. Se S = {v1, v2, . . . , vn} e uma baseordenada para o espaco vetorial V de dimensao n, entao todo vetorv em V pode ser expresso unicamente na forma:

v = c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn

onde c1, c2, . . . , cn sao numeros reais. Nos referimos a

[v]S =

c1c2...cn

como o vetor de coordenadas de v em relacao a base orde-nada S. Os elementos de vS sao chamados de coordenadas de vem relacao a S.

Nota [v]S depende da ordem na qual os vetores estao listados em S.Uma mudanca na ordem desta lista muda as coordenadas de v emrelacao a S.

Coordenadas: Exemplos

Exemplo (23) Seja S = {v1, v2, v3, v4} uma base para R4, onde

v1 = (1, 1, 0, 0) v2 = (2, 0, 1, 0) v3 = (0, 1, 2,−1) v4 = (0, 1,−1, 0)

Se v = (1, 2,−6, 2), calcule [v]S.

Exemplo (24) Seja S = {e1, e2, e3} a base canonica para R3 e sejav = (2,−1, 3). Calcule [v]S.

Exemplo (25) Seja V o espaco vetorial P1 de todos os polinomios degrau ≤ 1, e sejam S = {v1, v2} e T = {w1, w2} as bases para P1,onde

v1 = t v2 = 1 w1 = t + 1 w2 = t− 1

Seja v = p(t) = 5t− 2.

(a) Calcule [v]S.

(b) Calcule [v]T .

Matrizes de Mudanca de Base

Ideia Sejam S = {v1, v2, . . . , vn} e W = {w1, w2, . . . , wn} basespara o espaco vetorial V de dimensao n. Se v e qualquer vetor emV entao

v = c1w1 + c2w2 + · · · + cnwn

tal que

[v]T =

c1c2...cn

Entao

[v]S = [c1w1 + c2w2 + · · · + cnwn]S= [c1w1]S + [c2w2]S + · · · + [cnwn]S= c1 [w1]S + c2 [w2]S + · · · + cn [wn]S

Matrizes de Mudanca de Base – Cont. (1)

Ideia Seja o vetor mudanca de base wj em relacao a S representadopor

[wj]S =

a1j

a2j...

anj

Entao

[v]S = c1

a11a21

...an1

+ c2

a12a22

...an2

+ · · · + cn

a1n

a2n...

ann

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... ...

an1 an2 · · · ann

c1c2...cn

ou [v]S = PS←T [v]T .

Matrizes de Mudanca de Base – Cont. (2)

Ideia

PS←T =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... ...

an1 an2 · · · ann

= [[w1] [w2] · · · [wn]]

Conhecida como matriz de mudanca de base da base T paraa base S.

A equacao [v]S = PS←T [v]T diz que o vetor de coordenadas de v emrelacao a base S e a matriz mudanca de base PS←T vezes o vetor decoordenadas de v em relacao a base T .

Matrizes de Mudanca de Base – Procedimento

Procedimento para o calculo de PS←T da base T = {w1, w2, . . . , wn}de V para a base S = {v1, v2, . . . , vn} de V :

Etapa 1 Calcule o vetor de coordenadas de wj, j = 1, 2, . . . , n em relacaoa base S. Ou seja, expressamos wj como uma combinacao lineardos vetores em S:

a1jv1 + a2jv2 + · · · + a1nvn = wj, j = 1, 2, . . . , n.

Resolvemos agora para a1j, a2j, . . . , anj, transformando a matrizaumentada deste sistema linear para a forma escalonada reduzida.

Etapa 2 A matriz de mudanca de base PS←T da base T para a base S eformada escolhendo-se [wj]S como a j-esima coluna de PS←T .

Matrizes de Mudanca de Base – Exemplo

Exemplo (26) Seja V = R3 e S = {v1, v2, v3} e T = {w1, w2, w3}as bases para R3, onde

v1 =

201

, v2 =

120

, v3 =

111

e

w1 =

633

, w2 =

4−1

3

, w3 =

552

(a) Calcule a matriz de mudanca de base PS←T da base T para a base

S.

(b) Verifique [v]S = PS←T [v]T para v =

4−9

5

.

Matrizes de Mudanca de Base – Teorema

Teorema Sejam S = {v1, v2, . . . , vn} e T = {w1, w2, . . . , wn} deV as bases para o espaco vetorial de dimensao n, V . Seja PS←T amatriz de mudanca de base da base T para a base S. Entao, PS←T

e invertıvel e P−1S←T e a matriz de mudanca de base da base S para a

base T .

Exemplo (27) Sejam S e T as bases para R3 definidas no Exemplo(26). Calcule a matriz de mudanca de base QT←S da base S para abase T diretamente e mostre que QT←S = P−1

T←S.

Exemplo (28) Seja V = P1 e S = {v1, v2} e T = {w1, w2} as basespara P1, onde

v1 = t, v2 = t− 3 w1 = t− 1 w2 = t + 1

(a) Calcule a matriz de mudanca de base PS←T da base T para a baseS.

(b) Verifique [v]S = PS←T [v]T para v = 5t + 1.

(c) Calcule a matriz de mudanca de base QT←S da base S para a baseT diretamente e mostre que QT←S = P−1

T←S.