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M ÉTODOS PARA O ESTUDO DA CINEMÁTICA DOS FLUIDOS Método de Lagrange Método de Euler

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  • M TODOS PARA O ESTUDO DA CINEMTICA DOS FLUIDOS Mtodo de Lagrange Mtodo de Euler
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  • M TODO DE L AGRANGE Descreve o movimento de cada partcula acompanhando-a em sua trajetria real; Apresenta grande dificuldade nas aplicaes prticas; Para a engenharia, normalmente no interessa o comportamento individual da partcula e sim o comportamento do conjunto de partculas no processo de escoamento.
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  • Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seo ou volume de controle no espao e considerar todas as partculas que passem por este local; Mtodo preferencial para estudar o movimento dos fluidos: praticidade. M TODO DE E ULER
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  • V OLUME DE C ONTROLE Volume de controle uma regio arbitrria e imaginria, no espao, atravs do qual o fluido escoa.
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  • Vazo em Volume Vazo a quantidade em volume de fluido que atravessa uma dada seo do escoamento, por unidade de tempo. C ONCEITOS B SICOS DE V AZO
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  • Vazo em Massa Vazo em massa a quantidade em massa do fluido que atravessa uma dada seo do escoamento por unidade de tempo.. C ONCEITOS B SICOS DE V AZO
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  • Vazo em Peso Vazo em peso a quantidade de peso do fluido que atravessa uma dada seo do escoamento por unidade de tempo..
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  • C LASSIFICAO BSICA DOS CONDUTOS Condutos Forados: So aqueles onde o fluido apresenta um contato total com suas paredes internas. A figura mostra um dos exemplos mais comuns de conduto forado, que o de seo transversal circular.
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  • Condutos Livres So aqueles onde o fluido apresenta contato parcial com suas paredes internas. Neste tipo de conduto observa-se sempre uma superfcie livre, onde o fluido est em contato com o ar atmosfrico; Os condutos livres so geralmente denominados de canais, os quais podem ser abertos ou fechados. C LASSIFICAO BSICA DOS CONDUTOS
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  • Condutos Livres C LASSIFICAO BSICA DOS CONDUTOS
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  • a equao que mostra a conservao da massa de lquido no conduto, ao longo de todo o escoamento; Pela condio de escoamento em regime permanente, podemos afirmar que entre as sees (1) e (2), no ocorre nem acmulo, nem falta de massa: m1 = m2 = m = cte E QUAO DA C ONTINUIDADE
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  • = m/V m=.V V = A.l Q= m/t = .V/ t = . A.l /t = .A.v
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  • E QUAO DA C ONTINUIDADE Dadas duas sees do escoamento:
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  • E QUAO DA C ONTINUIDADE Av = constante Se constante (no h variao de massa): A 1 V 1 = A 2 V 2
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  • E QUAO DA C ONTINUIDADE Q = A 1 v 1 = A 2 v 2 = constante A equao da continuidade estabelece que: O volume total de um fluido incompressvel (fluido que mantm constante a densidade apesar das variaes na presso e na temperatura) que entra em um tubo, ser igual aquele que est saindo do tubo; A vazo medida num ponto ao longo do tubo ser igual a vazo num outro ponto ao longo do tubo, apesar da rea da seo transversal do tubo em cada ponto ser diferente.
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  • Isto equivale a dizer que: No escoamento de fluidos incompressveis em regime permanente, a vazo em volume, ou simplesmente a vazo, que passa atravs de qualquer seo do tubo de corrente constante. De forma genrica: Q = A 1 v 1 = A 2 v 2 = constante Q=AU, onde U = velocidade mdia E QUAO DA C ONTINUIDADE
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  • P ROBLEMA R ESOLVIDO 1 Uma mangueira de dimetro de 2 cm usada para encher um balde de 20 litros. a) Se o balde enche em 1 minuto, qual a velocidade em cm/s com que a gua passa pela mangueira? b) Uma criana aperta a sada desta mangueira at ela ficar com um dimetro de 5 mm e acerta o vizinho com gua. Qual a velocidade em cm/s com que a gua sai da mangueira?
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  • Soluo: a) A rea da seo transversal da mangueira ser dada por A 1 = r 2 = (2 cm /2) 2 = cm 2. Para encontrar a velocidade, v 1, usamos Taxa de escoamento (vazo)= A 1 v 1 = 20 L / min = 20 x 10 3 cm 3 / 60s v 1 = (20 x 10 3 cm 3 / 60 s) / ( cm 2 ) = 106,1 cm/s. b) A taxa de escoamento ( A 1 v 1 ) da gua que se aproxima da abertura da mangueira deve ser igual a taxa de escoamento que deixa a mangueira ( A 2 v 2 ). Isto resulta em: v 2 = A 1 v 1 / A 2 = (. 106,1) / (. (0,5/2) 2 ) = 1698 cm/s. P ROBLEMA R ESOLVIDO 1
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  • Num sistema de drenagem, uma pipa de 25 cm de dimetro interno drena para outra pipa conectada de 22 cm de dimetro interno. Se a velocidade da gua atravs da pipa maior 5 cm/s, determine a velocidade mdia em cm/s na pipa menor. P ROBLEMA R ESOLVIDO 2
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  • Soluo: Usando a equao da continuidade temos: A1 v1 = A2 v2 (12,5 cm) 2 (5 cm/s) = (11,0 cm) 2 (v2) Resolvendo para v2: v2 = 6,42 cm/s. P ROBLEMA R ESOLVIDO 2
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  • Assumindo o fluxo de um fluido incompressvel como o sangue, se a velocidade medida num ponto dentro de um vaso sanguneo 40 m/s, qual a velocidade em cm/s num segundo ponto que tem um tero do raio original? P ROBLEMA R ESOLVIDO 3
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  • Soluo: Este problema pode ser resolvido usando a equao da continuidade: 1 A 1 v 1 = 2 A 2 v 2 onde: a densidade do sangue A a rea da seo transversal, v a velocidade e os subscritos 1 e 2 referem-se s localizaes dentro do vaso. Desde que o fluxo sangneo incompressvel, temos: 1 = 2 v1 = 40 cm/s A 1 =r 1 2 A 2 = r 2 2 r 2 =r 1 /3, A 2 = (r 1 /3) 2 = ( r 1 2) /9 ou A 2 =A 1 /9 A 1 /A 2 = 9 Resolvendo: v2 = (A 1 v 1 )/A 2 = 9 v 1 = 9 x 40 cm/s = 360 cm/s P ROBLEMA R ESOLVIDO 3

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