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Prof. Leandro Franco de Souza Métodos das Diferenças Finitas Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Métodos dasDiferenças Finitas

Métodos Numéricos paraMecânica dos Fluidos

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Bibliografia: J. H. Ferziger and M. Peric, 'Computational Methods for Fluid Dynamics', 

Springer­Verlag Berlin Heidelberg New York, 1997.A. O. Fortuna, 'Técnicas Computacionais para Dinâmica dos Fluidos', 

EDUSP, 2000.J. C. Strickwerda, 'Finite Difference Schemes and Partial Differential 

Equations', Chapman & Hall, 1989.

Métodos das Diferenças Finitas

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

O que é?

Método utilizado para se calcular as derivadas parciais presentes em equações diferenciais.

Métodos das Diferenças Finitas

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Equações de Navier­Stokes na forma diferencial:

Métodos das Diferenças Finitas

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Como funciona?Expansão em Série de Taylor:

Métodos das Diferenças Finitas

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Como funciona?Expansão em Série de Taylor => resolver no quadro

Métodos das Diferenças Finitas

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Cálculo da primeira derivada:

Métodos das Diferenças Finitas

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Aproximações de ordem mais elevada:

Métodos das Diferenças Finitas

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Cálculo da segunda derivada:

Métodos das Diferenças Finitas

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Como aplicar nas equações de Navier­Stokes?

Inicialmente vamos utilizar MDF em Eq. simplificadas

Métodos das Diferenças Finitas

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Equação Elíptica UnidimensionalDistribuição de temperatura

em uma barra isolada termicamente

EQUAÇÃO:

d2T/dx2 = 0

Métodos das Diferenças Finitas

T0 T1

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Equação Elíptica UnidimensionalDistribuição de temperatura

em uma barra isolada termicamente

Métodos das Diferenças Finitas

T0 T1

T0 T1

dx

Condição de contorno Condição de contorno

T= T(i) i ­> 1, 2, 3, 4, ..., imax

1 2 3 4 imax. . . . .

X

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Equação Elíptica UnidimensionalDistribuição de temperatura

em uma barra isolada termicamente

MÉTODO:Resolver no quadro.

Métodos das Diferenças Finitas

T0 T1

dx

cc

T= T(i) i ­> 1, 2, 3, 4, ..., imax

1 2 3 4 imax. . . . .

X

cc

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Equação Elíptica bidimensionalDistribuição de temperatura em uma placa

                EQUAÇÃO DE LAPLACE:

                                                  d2T/dx2 + d2T/dy2= 0

Métodos das Diferenças Finitas

T0 T2

T3

T1

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Métodos das Diferenças Finitas

T0 T2

T3

T1

Equação Elíptica bidimensionalDistribuição de temperatura em uma placa

Método de Gauss­Seidel

T=T( i , j )

Resolver no quadro

dxX

Y

dy

imax

jmax

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Equação Hiperbólica UnidimensionalTransporte unidimensional de uma “ onda”

EQUAÇÃO:du/dt = ­ a * du/dx

Métodos das Diferenças Finitas

X0 Ximax

1 2 3 4 imax

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Equação Hiperbólica UnidimensionalTransporte unidimensional de uma “ onda”

MÉTODO:Fazer no quadro.

Métodos das Diferenças Finitas

X0 Ximax

1 2 3 4 imax

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

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Equação Parabólica UnidimensionalDistribuição transiente de temperatura em 

uma barra isolada termicamente

EQUAÇÃO:dT/dt = b * d2T/dx2

Métodos das Diferenças Finitas

T0 T1

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Equação Parabólica UnidimensionalDistribuição transiente de temperatura em 

uma barra isolada termicamente

MÉTODO:

­ Fazer no quadro­ Expansão em série de Taylor para a derivada temporal­ Condição de estabilidade:   b * dt/dx2 <= 0.5

Métodos das Diferenças Finitas

T0 T1

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Equação Parabólica unidimensionalEquação de convecção­difusão

EQUAÇÃO:du/dt = ­a * du/dx + b * d2u/dx2

Métodos das Diferenças Finitas

X0 Ximax

1 2 3 4 imax

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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos

Prof. Leandro Franco de Souza

Equação Parabólica unidimensionalEquação de convecção­difusão

MÉTODO:Fazer no quadro.

Métodos das Diferenças Finitas

X0 Ximax

1 2 3 4 imax

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Resumo

Como funciona;1a derivada;2a derivada;Aproximações de ordem elevada;MDF para Eq. Elípticas;MDF para Eq. Parabólicas;MDF para Eq. Hiperbólicas;Estabilidade.

Próxima aula => Navier­Stokes bi­dimensional incompressível.

Métodos das Diferenças Finitas