Embed Size (px)
Citation preview
José Antonio da Silva
Engenharia Mecânica
Equação do Calor
RESUMO
O fenômeno da condução de calor através de um cilindro pode ser analisado matematicamente por meio do uso de equações diferenciais parciais. Utilizando argumentos físicos pode-se mostrar como é realizada a formulação da equação do calor em um cilindro. O estudo da equação do calor, não somente para o caso desde trabalho, mostra-se fundamental em numerosos campos científicos, portanto a dedução do problema em coordenadas cilíndricas oferece uma melhor compreensão a respeito desse importante assunto.
Palavras-chave: calor, Bessel, Laplaciano, cilindro.
INTRODUÇÃO
Na metade do século XVII, motivados pelo problema de vibração de cordas, matemáticos debateram sobre a expansão de funções arbitrária em séries trigonométricas. D’Alambert, Euler, Bernoulli e Lagrange desenvolveram a matemática da época e aproximaram do que é hoje conhecido como Série de Fourier.
Utilizando a teoria dos antecessores, em 1807 Fourier submeteu seu primeiro trabalho a Academia Francesa, onde formalizou e solucionou o problema da condução de calor. Seu
trabalho não foi aceito e um concurso foi feito para premiar quem solucionasse o problema. Em 1811, Fourier submeteu novamente seu trabalho, mas a banca julgadora mais uma vez resolveu não publicá-lo, alegando falta de rigor. A publicação dos seus trabalhos só ocorreu mais tarde, quando Fourier tornou-se secretário da Academia.
Assim, a teoria de Fourier foi reconhecida, porém não finalizado, pois novos problemas surgiram do seu trabalho. Equações diferenciais, Análise, Integral e teoria dos conjuntos foram algumas das áreas que desenvolveram-se ou aprimoraram-se depois da teoria de Fourier.
APLICAÇÃO
Hoje são conhecidas diversas variações da equação do calor. Na sua forma mais conhecida, ela modela a condução de calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que não possua fontes de calor, e é escrita:
A equação do calor é de uma importância fundamental em numerosos e diversos campos da ciência. Na matemática, são as equações parabólicas em derivadas parciais por antonomásia. Na estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do movimento browniano através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão, é uma versão mais geral da equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de difusão química. A equação do calor é usado em probabilidade e descreve passeios aleatórios. É aplicada em matemática financeira por esta razão.
É também importante em geometria Riemanniana e, portanto, topologia: foi adaptada por Richard Hamilton quando definiu o fluxo de Ricci que foi posteriormente usado por Grigori Perelman para resolver a conjectura de Poincaré topológica.
LAPLACIANO EM COORDENADAS POLARES
Seja o Laplaciano operador diferencial em duas dimensões dado por
∆=∇2= ∂2
∂ x2+ ∂
2
∂ y2
Que opera uma função u = u(x,y) de duas variáveis. Todavia muitas vezes trabalhar em coordenadas cartesianas pode não ser a melhor forma de se abordar um problema. De acordo com a geometria do problema a utilização das coordenadas polares pode facilitar a obtenção da solução.
As coordenadas polares são dadas por
{x=r cos (θ)y=r sen (θ)
Ou ainda
{ r=√ x2+ y2
θ=arctg( yx )
Com essa transformação, a antiga função u = u(x,y) passa a ser v = v(r,θ). Derivando-se u utilizando-se a regra da cadeia, pode-se obter
ux=ur r x+uθθx
Derivando-se novamente
uxx=(u¿¿r )x rx+ur r xx+(u¿¿θ)xθx+uθ θxx ¿¿
Utilizando novamente a regra da cadeia
uxx=(u¿¿ rr r x+u rθθx)rx+ur r xx+(u¿¿θrr x+uθθθx)θx+uθθxx ¿¿
Admitindo-se que u(x,y) é de classe C 2, pelo teorema de Schwarz
urθ=uθr
Logo, podemos escrever uxx como
uxx=urr (r x )2+2urθr xθx+uθθ (θx )
2+ur r xx+uθθxx
Analogamente se obtém uyy como
uyy=urr (r y )2+2urθ r yθ y+uθθ (θ y )
2+ur r yy+uθθyy
Segundo a definição do Laplaciano
∆u=uxx+uyy=¿( (r x )2+ (r y )2 )urr+2 (r xθx+r y θy )urθ+((θ y )2+(θy )
2 )uθθ+(r xx+r yy )ur+(θxx+θyy )uθ
Agora basta resolver as derivadas
(r x )2+ (r y )
2=( x√x2+ y2 )
2
+( y√ x2+ y2 )
2
=1
r xθx+r yθ y=x
√ x2+ y2 ( − yx2+ y2 )+ y
√x2+ y2 ( xx2+ y2 )=0
(θ y )2+ (θy )
2=( − yx2+ y2 )
2
+( xx2+ y2 )
2
= 1r2
r xx+r yy=x2+ y2
(x2+ y2 )32
=1r
θxx+θyy=2 xy−2 xy(x2+ y2 )2
=0
Portanto o operador Laplaciano em coordenadas polares se resume a
∆u=∇2u=urr+1rur+
1r2uθθ
LAPLACIANO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
Analogamente às coordenadas polares, a transformação das coordenadas cartesianas para as cilíndricas é dada por
{x=r cos (θ)y=r sen (θ)z=z
Portanto, como já se calculou uxx e uyy , basta calcular-se uzz . Como não houve qualquer transformação na variável z, o Laplaciano de uma função u(x,y,z) em coordenadas cilíndricas fica como
∆u=∇2u=urr+1rur+
1r2uθθ+uzz
FUNÇÕES DE BESSEL
Equação diferencial de Bessel
As funções de Bessel surgem como soluções da equação diferencial
x2 y ' '+ x y '+ (x2−n2 ) y=0 n≥0 (1)
chamada equação diferencial de Bessel. A solução geral de (1) é dada por
y=c1 J n ( x )+c2Y n (x ) (2)
A solução Jn(x), que tem limite finito quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de primeira espécie de ordem n. A solução Yn(x), que não tem limite finito (é não-limitada) quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de segunda espécie de ordem n, ou função de Neumann.
Se a variável independente x em (1) é substituída por λx, (λ constante), a equação resultante é
x2 y ' '+ x y '+ (λ2 x2−n2 ) y=0 (3)
com solução geral
y=c1 J n ( λx )+c2Y n ( λx ) (4)
A equação diferencial (1) ou (3) é obtida, por exemplo, a partir da equação de Laplace expressa em coordenadas cilíndricas (ρ, Φ, z).
O Método de Frobenius
Um método importante para a obtenção de soluções de equações diferenciais tais como a de Bessel, é o método de Frobenius. Nesse método, supomos uma solução da forma
y= ∑k=−∞
∞
ck xk+β (5)
Onde ck, = 0, para k<0, de modo que (5) começa efetivamente com o termo contendo c0, que se supõe diferente de zero.
Levando (5) em uma equação diferencial dada, podemos obter uma equação β (constante) (chamada equação indicial), bem como equações que podem servir para determinar as constantes ck.
Funções de Bessel de primeira espécie
Define-se a função de Bessel de primeira espécie de ordem n como
Jn ( x )= xn
2nГ (n+1) {1− x2
2(2n+2)+ x4
2×4(2n+2)(2n+4 )−…} (6)
Ou
Jn ( x )=∑r=0
∞ (−1)r( x2 )n+2 r
r ! Г (n+r+1)(7)
onde (n+1) é a função gama. Se n é inteiro positivo Г(n+1) = n!, Г(1) = 1. Para n=0, (6) se torna
J0 ( x )=1− x2
22 + x4
22 42 −… (8)
A série (6) ou (7) converge qualquer que seja x. Se n é metade de um inteiro ímpar, J n(x) pode-se exprimir em termos de senos e cossenos Pode-se definir uma função J -n(x) n>0, substituindo-se n por –n em (6) ou (7), Se n é inteiro, então pode-se mostrar que
J−n ( x )=(−1)n J n ( x ) (9)
Se n não é inteiro Jn(x) e J-n(x) são linearmente independentes, e neste caso a solução geral de (1) é
y=A J n( x)+B J−n(x) n ≠ 0,1,2,3,4,5,6,... (10)
Funções de Bessel de segunda espécie
Define-se a função de Bessel de segunda espécie de ordem n como
Y n ( x )=¿
J n ( x ) cosnπ−J−n(x )sennπ
n ≠0,1,2,3,...
(11)
limp→n
J p ( x )cos pπ−J− p(x )sen pπ
n =0,1,2,3,...
Quando n = 0,1,2,3,4..., obtemos o seguinte desenvolvimento em série para Yn(x):
Y n ( x )=2π {ln( x2 )+γ}J n (x )−1
π∑k=0
n−1 (n−k−1 )!( x2 )2k−n
k !−
1π∑k=0
∞
(−1 ) k {ϕ (k )+ϕ (n+k ) }( x2 )
2k−n
k ! (n+k ) !(12)
onde γ = 0,5772156... é a constante de Euler.
ϕ ( p )=1+ 12+ 1
3+…+ 1
p ϕ (0 )=0 (13)
Função Geratriz de Jn(x)
A função
eπ2 (τ−1
t )= ∑n=−∞
∞
J n ( x ) tn (12)
é a função geratriz da função de Bessel de primeira espécie de ordem inteira. È d grande utilidade na obtenção de propriedades dessas funções para valores inteiros de n – propriedades que, freqüentemente, podem ser provadas para todos os valores de n.
Fórmulas de Recorrência
Os resultados abaixo valem para todo n:
Jn+1 ( x )=2nπJn ( x )−J n−1 ( x )
J 'n ( x )=12 [J n−1 ( x )−J n+1 (x ) ]
x J ' n ( x )=n Jn ( x )−x J n+1 (x )
x J ' n ( x )=x J n−1 ( x )−n Jn ( x )
ddx [xnJ n ( x ) ]=xn J n−1 ( x )
ddx [ x−n J n(x)]=−x−n J n+1(x)
Se n é inteiro, tais resultados podem ser demonstrados utilizando a função geratriz. Observe que os resultados 3 e 4 são equivalentes a 5 e 6, respectivamente.
As funções Yn(x) satisfazem precisamente as mesmas relações, com Yn(x) substituindo Jn(x).
Funções relacionadas com as funções de Bessel
As funções Hankel de primeira e segunda espécies definem-se, respectivamente, por
H n1 ( x )=J n (x )+i Y n ( x )
(15)H n
2 ( x )=J n (x )−iY n ( x )
Funções de Bessel modificadas. Define-se a função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem n como
I n ( x )=i−n Jn (ix )+e−nπ i
2 Jn (ix ) (16)
Se n é inteiro,
I−n (x )=I n ( x ) (17)
mas se n não é inteiro, In(x) e I-n(x) são linearmente independentes.
A função de Bessel modificada de segunda espécie de ordem n é definida como
K n ( x )=¿
π2 [ I−n ( x )−I n ( x )
sennπ ] n ≠0,1,2,3,...
(18)limp→nπ
2 [ I−p ( x )−I p ( x )sen pπ ] n =0,1,2,3,...
Essas funções verificam a equação diferencial
x2 y ' '+ x y '+ (x2−n2 ) y=0 (19)
e a solução geral desta equação é
y=c1 I n ( x )+c2K n ( x ) (20)
ou, se n ≠ 0,1,2,3,4,...,
y=A I n ( x )+B I−n ( x ) (21)
Funções Ber, Bei, Ker, Kei. As funções Bern(x) e Bein(x) são respectivamente as partes real
e imaginária de Jn(i32 x ), onde
i32=e
3πi4 =√2
2(−1+i ) , i . e ,
(22)Jn(i¿¿
32x)=Bern(x )+ i Bein(x )¿
As funções Kern(x) e Kein(x) são respectivamente as partes real e imaginária de
e−nπi
2 Kn (i12 x ), onde i
12=e
πi4 =√2
2(−1+i ) , i .e ,
e−nπi
2 Kn (i12 x )=Kern(x )+ i Kein( x) (23)
Essas funções são úteis em relação à equação
x2 y ' '+ x y '+ (ix2−n2) y=0 (24)
que surge na engenharia elétrica e em outros campos da técnica. A solução geral desta equação é
y=c1 J n( i32 x)+c2Kn (i
12 x ) (25)
Se n = 0, costuma denotar-se Bern(x), Bein(x), Kern(x) e Kein(x) por Ber (x), Bei(x), Ker(x), Kei (x), respectivamente.
Equações transformáveis na equação de Bessel
A equação:
x2 y ' '+(2k+1)x y '+(α2 x2r−β2 ) y=0 (26)
onde k, α, r, β são constantes, admite a solução geral
y=x−k [c1 J k /r (α xr /r )+c2Y k / r (α xr /r ) ] (27)
onde k=√k2−β2. Se α = 0, a equação é uma equação de Cauchy ou Euler e tem como solução
y=x−k [ c3 xk+c4 x
−k ] (28)
Fórmulas assintóticas para funções de Bessel
Para grandes valores de x temos as seguintes fórmulas assintóticas:
Jn ( x ) √ 2πx
cos (x−π4−nπ2 ) ,
(29)Y n ( x ) √ 2
πxsen(x− π4 −
nπ2 ) ,
Zeros das funções de Bessel
Pode-se mostrar que, n é real, Jn(x) = 0 tem um número infinito de raízes todas reais. A diferença entre raízes sucessivas tende a π na medida em que as raízes aumentam de valor. Este fato pode ser constatado pela expressão (29). Pode-se ver também que as raízes de J n(x) = 0 (os
zeros de Jn(s) estão entre as raízes de Jn-1(x) =0 e as de Jn+1 (x) = 0. Observações análogas valem para Yn(x).
Ortogonalidade das funções de Bessel de primeira espécie
Se λ e μ são duas constantes diferentes, pode-se mostrar que
∫0
1
x J n ( λx ) J n (μx )dx=μJ n ( λ ) J ' n (μ )−λJn (μ ) J ' n ( λ )
λ2−μ2 (30)
enquanto que
∫0
1
x J n2 ( λx )dx= 1
2 [J ' n2 ( λ )+(1−n2
λ2 )J n2 ( λ )] (31)
De (30) pode-se ver que, se λ e μ são duas raízes distintas quaisquer da equação
RJ n (x )+Sx J 'n ( x )=0 (32)
onde R e S são constantes, então
∫0
1
x J n ( λx ) J n (μx ) dx=0 (33)
o que equivale afirmar que as funções √ x Jn ( λx )e √ x Jn (μx ) são ortogonais em (0,1). Notes-se como casos especiais de (32), λ e μ podem ser duas raízes distintas de Jn(x) = 0 ou de J’n(x)=0. Pode-se dizer também que as funções Jn ( λx )e Jn (μx ) são ortogonais em relação à função densidade (função peso) x.
Séries de funções de Bessel de primeira espécie
Tal como no caso das séries de Fourier, pode-se mostrar qie se F(x) e f’(x) são seccionalmente contínuas, então em todo ponto de continuidade de f(x) no intervalo 0<x<1 existirá um desenvolvimento em série de Bessel da forma
f ( x )=A1Jn (λ1x )+A2 J n ( λ2 x )+…=∑p=1
∞
Ap Jn (λp x ) (34)
onde λ1,λ2,λ3,λ4,λ5, ... são as raízes positivas de (32) com R/S ≥ 0, S ≠ 0 e
Ap=2 λp
2
(λp2 −n2+R2
S2 )J n2(λp)∫0
1
x Jn (λ p x ) f ( x )dx(35)
Em qualquer ponto de descontinuidade, a série à direita de (34) converge para 12 [ f ( x+0 )+ f (x−0)], expressão que pode ser utilizada em lugar do membro esquerdo de (34).
Se S = 0, de modo que λ1,λ2,λ3,λ4,λ5, ... são as raízes de Jn(x) = 0,
Ap=2
Jn+12 (λp)
∫0
1
x J n (λ p x ) f ( x )dx (36)
Se R = 0 e n = 0, então a série (34) começa com o termo constante
A1=2∫0
1
x f ( x )dx (37)
Neste caso, as raízes positivas são as de J’n(x) = 0.
Ortogonalidade e séries de funções de Bessel de segunda espécie
Os resultados acima, relativos às funções de Bessel de primeira espécie, podem ser estendidos às funções de Bessel de segunda espécie.
PROBLEMA PROPOSTO
Seja um cilindro oco muito longo, de raio interno a e raio externo b,é feito com material condutor com difusividade α . Se as superfícies interior e exterior são mantidas à temperatura de 0 ºC e 100 ºC, enquanto a temperatura inicial é f (r ) (sendo r o raio). Determine a temperatura em um ponto qualquer,em um instante arbitrário t .
A figura ilustra esquematicamente o problema. Deseja-se saber como pode descrever a temperatura no cilindro em coordenadas cilíndricas, ou seja, busca-se uma função
u(r , θ , z ; t )
Levando-se em conta a simetria do problema e que este é regido pela equação do calor, o que se almeja de fato é descobrir como a temperatura se distribui ao longo do tempo entre os raios interno (a) e externo do cilindro (b), portanto a≤ r ≤b.
SOLUÇÃO
Denotemos por f (r ) a função que determina a temperatura inicial de um ponto qualquer no instante inicial t=0 dentro de a≤ r ≤b. Pela simetria do problema, observa-se que a temperatura jamais varia com as variáveis z ou θ.
Utilizando a equação do Calor
∇2u−α ∂u∂t
=0
Em coordenadas cilíndricas e fazendo as considerações necessárias
u=u (r ,t )
∂u∂ t
=α (1r∂∂ r (r ∂u∂ r )) (1 )
Onde as condições de contorno são
u (a , t )=0 °C
u (b , t )=100℃
u (r ,0 )=f (r )
|u (r , t )|<M
Ou seja, a temperatura para um ponto qualquer no cilindro oco em um instante arbitrário pode ser escrita como uma combinação de
u (r , t )=u0 (r ,t )+u100(r )
Onde u0 (r , t ) é a solução homogênea, em que as temperaturas externa e interna do cilindro são 0° C, e u100(r ) é a solução particular em que a temperatura do raio externo é 100° C e independe do tempo t.
Assim sendo, realizar-se-á primeiro a solução para u0 (r , t ) homogênea associada.
Pela separação de variáveis
Façamos u=R (r )T ( t )=RT , em (1)
∂RT∂t
=α ( ∂2RT∂r 2 +1
r∂ RT∂r )
RT '=α(T R' '+ 1rT R' )(÷αRT )
T }} over {αT} = {{R} ^ {''}} over {R} + {1} over {r} {{R} ^ {'}} over {R} =- {λ} ^ {2 ¿¿
Então
T '
αT=−λ2⇒T '+α λ2T=0 (2 )
R ' '
R+ 1rR'
R=−λ2
R' '+ R'
r+R λ2=0 (3 )
Que resultam em
T=c1 e−αt λ2 ,R=A1 J 0 ( λr )+B1Y 0 ( λr )
Como u=RT ,temos
u (r , t )=∑λe−αt λ
2
[a1 J 0 ( λr )+b1Y 0 ( λr ) ] ( 4 )
Aplicando-se as condições de contorno para u0 (r , t ) em que u (a , t )=0eu (b , t )=0, obtem-se
a1J 0 ( λa )+b1Y 0 ( λa )=0 ,a1 J0 ( λb )+b1Y 0 ( λb )=0 (5 )
Estas equações nos levam à
Y 0 ( λa ) J 0 ( λb )−J0 ( λa )Y 0 ( λb )=0 (6 )
De (5) b1=−a1 J 0 ( λa )Y 0 ( λa )
Deste modo,a eq.(4) pode ser escrita como:
u (r , t )=∑λCe−αt λ
2
[Y 0 ( λa ) J 0 ( λr )−J0 ( λa )Y 0 ( λr ) ]
λ=λm
u (r , t )=∑m=1
∞
Cm e−α tλm
2
u0 (λm r ) (7 )
e
u0 (λmr )=Y 0 (λma )J 0 ( λm r )−J 0 ( λma )Y 0 (λm r )
Do fato, de que u (r ,0 )=f (r ) e utilizando a eq. (7):
f (r )=∑m=1
∞
Cmu0 ( λm r )
Cm=∫a
b
rf (r )u0 ( λm r )dr
∫a
b
r [u0 ( λm r ) ]2dr
Logo, a solução é
u (r , t )=∑m=1
∞ (∫ab
rf (r )u0 (λm r )dr
∫a
b
r [u0 (λm r ) ]2dr )e−α tλm2
u0 (λmr )
Quanto à solução particular u100 (r ), tem-se a equação
0=α (1r∂∂ r (r ∂u∂r ))
Temperatura estacionaria. Portanto esta equação pode ser considerada ordinária pois as derivadas são apenas com respeito a r. Com isso
ddr (r dudr )=0
r dudr
=c1
∫ du=∫c1drr
u=c1 ln (|r|)+K=¿
Como r ≥0, tem-se como solução
u100 (r )=c1 ln (c2r )
Aplicando-se as condições de contorno para u100 (r ) em que u (a )=0 °C e u (b )=100° C
u100 (a )=0=c1 ln (c2a )
Ou que
c2a=1∴ c2=1a
E a segunda condição
u100 (b )=100=c1 ln( ba )Portanto
c1=100
ln( ba )Com as constantes determinadas, pode-se escrever
u100 (r )= 100
ln( ba )ln( ra )
Para escrever a solução final basta lembrar que
u (r , t )=u0 (r ,t )+u100(r )
Ou seja, a solução final do problema proposto é
u (r , t )= 100
ln( ba )ln( ra )+∑m=1
∞ (∫ab
rf (r )u0 ( λm r )dr
∫a
b
r [u0 ( λm r ) ]2dr )e−α tλm2
u0 (λm r )
É a função que descreve a temperatura para qualquer ponto dentro de um cilindro oco com raios a interno e b externo as temperaturas 0º C e 100 º C, respectivamente, para qualquer
instante de tempo t ≥0. O caráter exponencial do tempo na solução homogênea garante que a distribuição tende a estacionaria conforme o tempo flui. Ou seja
limt→∞u (r , t )=¿u100(r )¿
Esta característica da solução vem como conseqüência da equação do calor, mostrando dessa forma a irreversibilidade desse processo.
Distribuição estacionaria de temperatura em cilindro oco como o descrito no problema. A figura ajuda a mostrar como a temperatura varia de forma logarítmica. OBS: o gráfico foi traçado com raios interno a=2 e externo b=5 e o eixo z significa u100 (r ).
CONCLUSÃO
Conforme analisado nesta obra, a equação do calor é de suma importância para a Física e a Engenharia. Visto que é ferramenta para solucionar inúmeros problemas.Neste artigo foi exposta a teoria que embasa,a referida equação,como também um exemplo prático.
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer ao professor Altair Souza de Assis pela assistência dada na realização deste artigo bem como as discussões proveitosas para o entendimento dos conceitos e de suas aplicações às ciências naturais aqui abordados.
REFERÊNCIAS
1 - Murray R. Spiegel, Análise de Fourier, Coleção Schaum, Editora McGraw - Hill do Brasil Ltda,1976
2 - D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuller, e F. W. Perkins, Introdução a Análise Linear, Volume 3, Ao Livro Técnico S/A e Editora UNB, RJ, 1972.
3 - Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley & Sons Inc., 1982.
4- E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, RJ, 1978.
5 – A. S. de Assis, Notas de Aula de Métodos I, 2010
