�

Resolução das atividades complementares

MatemáticaM1 — Geometria Métrica Plana p. 10

1

1 Na figura a seguir tem-se r // s // t e x 1 y 5 42. A diferença x 2 y é igual a:a) 2 c) 6 e) 12b) 4 d) 10

2 Na figura abaixo, as medidas são dadas em centímetros. Sabendo que m // n // t, determine o valor de x.

Resolução:xy

I

x y

5

1 5

86

( )

42 (II)Aplicando a propriedade daa proporção, temos:

xx yx x1

51

5 58 6

842 14

814 4→ → 22 8 24

14

? 5

5

→ x

Substituindo em (I), temos:8y

x44 18

6→ y

y5

2 5Portanto, x .

9

Resolução:

Aplicando a propriedade da proporção, temos::

2x34

1

2x

12

5 5

1 5 2 2 5 5

53 4

34

5 3 4 3 2 9 9

x

x x x x→ →

�

3 Um feixe de quatro paralelas determina, sobre uma transversal, três segmentos consecutivos que medem 4 cm, 7 cm e 8 cm. Calcule os comprimentos dos segmentos determinados pelo feixe em outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 76 cm.

4 O trecho do mapa de uma cidade apresenta os quarteirões I e II. Os lados que dão para a rua A medem, respectivamente, 250 m e 200 m, e o lado do quarteirão I voltado para a rua B mede 40 m a mais do que o do quarteirão II para a mesma rua.

A medida, em metros, do lado do maior dos dois quarteirões para a rua B é:a) 160 c) 200 e) 240b) 180 d) 220Observação: Considere que as laterais dos quarteirões são paralelas.

16 cm, 28 cm, 32 cmResolução:

x4

7

8

y

z

76

Pelo teorema de Tales, temos:x4Aplica

5 5y z7 8nndo a propriedade da proporção, temos:

x 1 1y zz x x x x

x y z4 7 8 4

7619 4

19 76 4 16

4 7 8

1 15 5 5 ? 5

1 11 1

5

→ → →

yy y y y

x y z z7

7619 7

19 76 7 28

4 7 8 87619

→ → →

→

5 5 ? 5

1 11 1

5 55 5 ? 5z z z8

19 76 8 32→ →

Portanto, os comprimentos são: 16 cm, 28 cm e 32 cm.

Resolução:Fazendo um esquema da situação, temos:

xx

x x x1

51

5 5 1 540

200250 40

45

4 160 160→ → →x

5x

O lado maior dos dois quarteirões para a rua B é x 1 40; portanto, 160 1 40 5 200 m.

250 m200 m

III

xx � 40

�

p. 11

5 No texto a seguir todas as distâncias são em metros.As avenidas M e N se cruzam na praça P, por onde também passa a rua B. As ruas A, C e D são paralelas à rua B conforme a figura. A distância da rua C à rua D é igual a d. Uma pessoa que sai da praça e caminha pela avenida M percorre uma distância igual a d 1 10 para chegar à rua A e uma distância d 2 18 para chegar à rua C. Se ela sair da praça caminhando pela avenida N, as distâncias percorridas para chegar às ruas A e C serão, respectivamente, d 1 20 e d 2 16. Calcule a distância percorrida por uma pessoa que saia do ponto de encontro da avenida N com a rua A e, caminhando pela avenida N, vá até o encontro dessa avenida com a rua C.

6 Deseja-se construir uma ponte sobre um rio, no entanto os engenheiros não têm acesso para medir a largura do rio nesse local. Eles então usaram um pequeno truque efetuando, com aparelhos apropriados, as medidas que se vêem na figura a seguir.

Pode-se afirmar, então, que a largura do rio no local onde a ponte deverá ser construída é:a) 33 m c) 43 m e) 53 mb) 38 m d) 48 m

54 mResolução:A expressão que determina a distância pedidaa é:xAplicando o teorema

5 2 1 1 5 1d d x d16 20 2 4→dde Tales, temos:

d (d11

522

1 ?2010

1618

10d

dd

→ ) (dd d

d d d dd

2 5 1 ? 2

2 2 5 1 2

5

16 20 18

6 160 2 36025

2 2

) ) ( )(d

mmmPortanto, x .5 ? 1 52 25 4 54

Resolução:Chamando de x a largura do rio no local da ponte, temos o esquema:

Pelo teorema de Tales, temos:2430

24x5132

2x→ 11 5 548 960 38→ x mx

30 m

2 m

24 m

32 m

rio

r

s

t

�

7 Um desenhista fez a seguinte construção:• desenhou o segmento AB e dividiu-o em três partes:

AD 5 4 cm, CD 5 6 cm e CB 5 10 cm;• desenhou o segmento AG, que mede 26 cm;• uniu B a G e traçou os segmentos DE e CF paralelos a BG.Determine os comprimentos dos segmentos AE EF e FG, .

8 O ABC tem lados AB 5 3 e AC 5 5. A bissetriz do ângulo A intercepta o lado BC no ponto D tal que BD 5 1,5. Calcule a medida do segmento CD.

Resolução:Esquematizando o enunciado, temos:

Aplicando o teorema de Tales e a propriedadee da proporção, temos:x 1 1

1 15 5

y z x4 6 10 4

2620

→ xx x x

y z y y4

20 26 4

4 6 10 62620 6

20

→ →

→ →

5 ? 5

1 11 1

5 5

5,2

x yy y

y z z z z

5 ? 5

1 11 1

5 5 5

26 6

4 6 10 102620 10

20 2

→

→ →

7,8

x 66 10? 5

5 5 5

→ z 13

Portanto, AE 5,2 cm; EF 7,8 cm; FG 113 cm.

DE

F 26 cm

4 cmx

y

z

6 cm

10 cm

G

A

C

B

AE 5 5,2 cm; EF 5 7,8 cm; FG 5 13 cm

Resolução:

Pelo teorema da bissetriz interna, devemos tter:ABAC

1,5x

1,5 2,5

Então,

5 5 5 ? 5BDDC

x x→ → →35

3 5

CD 2,5.5

Dx1,5

3 5

B C

A

2,5

�

9 Na figura a seguir, ABCD é um retângulo e PQ é a bissetriz interna do ângulo P do DPC. Sabe-se que AD 5 DQ e que as medidas estão indicadas em centímetros.Qual é o perímetro do retângulo ABCD?

10 No ABC, MN // BC e AD é a bissetriz interna do ângulo Â. Determine:a) as medidas a, e c indicadas na figurab) o perímetro do AMNc) o perímetro do ABC

15,2 cmResolução:

Aplicando o teorema da bissetriz interna no triângulo DPC, temos:2,5x

4,55,6

2,5(5,52 x

→ 66 4,5x 2,5x 4,5x

O perímetro do r

2 5 2 5 5x x) → →14 2

eetângulo é med AD med AB med BC med CDOu seja

1 1 1 .,, perímetro 5,6 15,2 cm.5 1 1 1 52 5 6 2,

x 2,5 4,5

AP

Q

5,6 � xxD

B

C

Resolução:

a) Se MN // BC, AB e AC são transversais; pelo teoorema de Tales, temos:a6

é a bi

5 5124

18→ a

AD sssetriz interna do ângulo Â, que determina os pontos , em MN, e , em BC.Assim, pel

P Doo teorema da bissetriz interna nos triângullos AMN e ABC, temos:

a9

5 5 5112 18

912 6

b bb e a→ → 66 12 4

818 6 16

812

c cc5

1 15 5→ →

b) Perímetro do triânngulo AMNpAMN 5 1 1 1 5 1 1 1 5 5a b pAMN9 12 18 9 6 12 45 4 55

6 8c

p a cABC

) Perímetro do triângulo ABC5 1 1 1 1 44 12 18 6 12 8 4 12 60 601 5 1 1 1 1 1 5 5 pABC

A

a

M

6

N

4

12

B Cc 8

9 P

D

b

a 5 18, b 5 6, c 5 1245

60

�

p. 19

11 Os hexágonos H1 e H2 das figuras são semelhantes. Qual é a razão de semelhança entre H1 e H2?

12 Os quadriláteros ABCD e EFGH abaixo são semelhantes: ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆA E B F C G e D H . Nessas condições, determine:a) razão de semelhança entre ABCD e EFGHb) as medidas de x, y, z

32

ou 1,5

Resolução:Sendo os polígonos semelhantes, os lados corrrespondentes são proporcionais.

r 5,43,6

5 5 54436

64

32

32

5 5 5

5

1,5

Logo, r ou 1,5.

Resolução:Sendo os quadriláteros semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais.

a r) 5 564

32

A razão de semelhança entre os quaddriláteros é 32

.

b) 4,5x

3,6y

4,5x

5 5 5

5

9 32

32

3

z

→ xx x

y y

z

5 ? 5

5 5 ? 5

5 5

4,5

3,6y

3,6 2,4

9z

2 3

32

3 2

32

3

→

→ →

→ 99 2 6

3 6

? 5

5 5 5

→ z

yLogo, x 2,4; z .;

32

x 5 3; y 5 2,4; z 5 6

�

13 Os quadriláteros ABCD e MNPQ das figuras são semelhantes. O lado AB do primeiro corresponde ao lado MN do segundo. Se a razão de semelhança entre

os quadriláteros ABCD e MNPQ é 35

, determine a

medida do lado MN do quadrilátero MNPQ.

14 Os trapézios ABCD e PQRS das figuras ao lado são semelhantes. Sabe-se que o perímetro do trapézio PQRS é 110 unidades de comprimento e ˆ ˆ ˆ ˆC R e B Q . Calcule as medidas de a, b, c e d dos lados do trapézio PQRS.

15 Um aluno deseja representar no papel a planta de sua sala de aula, que tem a forma retangular. A sala tem 8 m de comprimento por 4,5 m de largura. No desenho feito pelo aluno, ficou com 16 cm de comprimento e 9 cm de largura. a) Qual a escala (razão de semelhança) utilizada?b) Se o aluno quiser construir uma maquete da sala usando a mesma escala, qual deverá ser a altura da

maquete se a altura real da sala é 2,8 m?

10

Resolução:

Os quadriláteros são semelhantes de razão r 55 35

; então, seus lados correspondentes são proporcionais,

ou seja:ABMN

5 5 535

6 35

3 3→ →x

x 00 10

10

→ x 5

5Logo, MN .

a 5 25, b 5 30, c 5 35, d 5 20Resolução:Como os trapézios são semelhantes, então seuus lados correspondentes são proporcionais::50a

Sabendo que a , e

5 5 5

1 1 1 5

60 70 40

110b c d

b c d aplicando a propriedade da proporção, temoos:50 1 1 1

1 1 15 5 5 5

60 70 40 50 220110

2 50 2a b c d a a

a→ → 55

60 70 40 60 220110

2 60 3050

5

1 1 11 1 1

5 5 5 5a b c d b b

b→ →

00

50

1 1 11 1 1

5 5 5 5

1

60 70 40 70 220110

2 70 35a b c d c c

c→ →

660 70 40 40 220110

2 40 201 11 1 1

5 5 5 5a b c d d d

d→ →

Portannto, a ; b ; c ; d .5 5 5 525 30 35 20

Resolução:a) Lembrando que 4,5 m 450 cm e 8 m 800 cm, temo5 5 ss:

r

A razão de semelhança ut

5 5 59450

16800

150

iilizada foi 150

.

b) Aplicando a propriedade dda proporção, temos:hH

285 5 5150 280

150

50→ →h h 00 5,6 cm

Logo, a altura da maquete será 5,

→ h 5

66 cm.

150

5,6 cm

8 m

4,5 m9 cm

16 cm

�

16 Os retângulos R1 e R2 das figuras seguintes são semelhantes. Mostre que a razão entre as áreas desses retângulos é igual ao quadrado da razão de semelhança entre eles.

p. 20

17 Na figura, BC 5 18 cm, BD 5 9 cm e os ângulos BCD e BACˆ ˆ são congruentes. Determine a medida, em centímetros, do segmento AD.

Razão entre os retângulos: 12

;

razão entre as áreas: 14

Resolução:

r 5 5 5

5 ? 5

3060

2040

12

20área de R 30 600 cm

área d1

2

ee R 60área R

2

1

5 ? 5

5 5

40 2 400

6002 400

1

2

2

cm

área R 4425 r

A razão entre as áreas desses retânguloos é igual ao quadrado da razão de semelhannça entre eles, ou seja:

rRR

15 12

eáreaárea 22

5 14

27 cm

Resolução:Os triângulos ABC e BDC são semelhantes, pois possuem três ângulos congruentes.Representando os triângulos separadamente, temos:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA C B ; B ; C DOs lados correspondentes sãão proporcionais.Seja AD 5

51

xABBC

BCBD

x.

→ 918

55 1 5 ? 1 5 5

5

189

9 9 18 18 9 36 27

27

→ → →( )x x x

cmLogo, AD ..

D

A

D

9

B C18

18

9

B

C

�

18 Para calcular a largura de um rio, em um trecho em que as margens são paralelas, um agrimensor marcou em uma delas um ponto A e na outra os pontos B e C alinhados com A. Considere os pontos D e E marcados na margem do rio, conforme a figura. Usando as medidas indicadas, calcule a largura do rio.

19 As bases de dois triângulos isósceles semelhantes medem, respectivamente, 18 cm e x cm. As medidas de cada lado congruente do primeiro triângulo são 27 cm e do segundo triângulo, 30 cm. Determine o perímetro do segundo triângulo.

38,4 m

Resolução:Os triângulos AEB e BCD são semelhantes, pois possuem os três ângulos congruentes:ˆ ˆ (ˆ ˆ

ˆ ˆ

B B

D

C

o.p.v.)

E (90°)

A (soma dos ânguloos internos de um triângulo)Logo, os lados correspondentes são proporcionais.1548

5 12AAE

AE AE→ →15 48 12 385 ? 5 ,4 m

80 cmResolução:Os triângulos são semelhantes; logo, os lados correspondentes são proporcionais.

2730

18 27 18 30 20

20

5 5 ? 5

5x

x x cm→ →

Sendo x , o perímmetro do segundo triângulo é: 30 1 1 530 20 80 cmm.

27 cm 30 cm27 cm 30 cm

18 cm x cm

�0

20 Em determinada hora do dia, um prédio projeta uma sombra de 35 m no solo, enquanto um bastão de madeira de 2 m de comprimento, colocado perpendicularmente ao solo, projeta uma sombra de 1,40 m.a) Qual é a altura do prédio? b) Quantos andares tem esse prédio, se o térreo tem 5 m de altura e cada um dos outros pavimentos, 3 m de

altura?

21 Na figura, r1 5 3 cm, r2 5 5 cm e AO1 5 6 cm. Qual é a distância, em centímetros, entre os centros O1 e O2 das circunferências?

50 m

15 andaresResolução:Esquematizando o problema, temos:

a) Os raios solares podem ser considerados retas paralelas, determinando ângulos congruentes com o prédio e com o bastão.

Assim, A , B (retos) e F C (soma doˆ ˆ ˆ ˆ ˆ D E ss ângulos internos de um triângulo). Os triângulos são semelhantes e os lados correspondentes, proporcionais:

h h2

35 35 505 5 ? 51,40

1,40h 2→ →

Então, a altura do prédio é 50 m.

b) Se o térreo tem 5 m, temos 45 m para dividirmos de 3 em 3 metros, ou seja: 453

5 15. Logo, o prédio tem 15 andares.

35 m1,40 m

C E

2 m

F

D

B

h

A

4 cm

Resolução:Os triângulos ABO1 E ACO2 são semelhantes, pois possuem um ângulo em comum e ângulos retos. Os lados correspondentes, entretanto, são proporcionais:6

653

3 30 415 1 5 5

x x x cm→ →186 cm

AB

3 cm5 cm

C

xO2

O1

��

22 Na figura, P é o ponto de intersecção de AD e BC, AB CD5 23

e a

área do PAB é 10 cm2. Qual é o valor da área do PDC?

23 No ABC o ângulo  é reto, AB 5 12 cm e BC 5 18 cm. A mediatriz de BC (reta perpendicular a BC passando pelo seu ponto médio) intersecta AB no ponto E. Determine BE.

22,5 cm2

Resolução:Os triângulos PDC e PAB são semelhantes, pois possuem os três ângulos congruentes; logo, os lados correspondentes são proporcionais.

A razão entre os lados dos triângulos é: r 5 AABCD

CD

CD5 5

23 2

3.

A razão entre as áreas de dois polígonos é igual ao quadrado da razão entre os lados, então:

SS

SS

PAB

PDC

PDCPDC

5 5

5 5

23

22,5 cm2

( )249

10 49

→

13,5 cmResolução:

ED é mediatriz de BC; portanto, med BD med5 DDC .5 9 cmSeparando os dois triângulos, temos:

Como os triângulos são retângulos e possuem um ângulo em comum, são semelhantes e os lados correspondentes, proporcionais.18 12

9xx5 5 5→ 13,5 BE 13,5 cm

AB

C

18

12EB

9

D

x

��

24 Na figura ao lado, temos que DE // BC. Calcule os valores de AD 5 x e AC 5 y.

25 O losango ABCD está inscrito no AEF cujos lados AE e AF medem, respectivamente, 9 cm e 18 cm. Determine o lado do losango.

40 e 48Resolução:

Se DE BC// , os triângulos são semelhantes, pois os ângulos são congruentes. Os lados correspondentes, então, são proporcionais:

AE yy

y

x

yy

5 2

52

5 5

5 5

25

1616 24

3623

23

40

16 23

x60x

60→

→→ →2 3 48 48

40 48

y y y

e AC

5 2 5

5 5Então, AD .

6 cmResolução:Seja x o lado do losango.

Se AE 5 9 e AF 5 18, então: BE 5 9 2 x e DF 5 18 2 x.

Como um losango é um paralelogramo, AB // DC, e os triângulos DCF e AEF são semelhantes com os lados correspondentes proporcionais:x x x x9

1818

162 9 652

5 2 5→ →18x

Portanto, o lado do losango é 6 cm.

A

Dx

x

B

E F

9 � x

18 � x

x

C

x

��

p. 26

26 Para medir a altura de um muro, Paulinho apoiou uma das extremidades de uma escada de 4 m ao muro e mediu a distância da outra extremidade à base do muro, obtendo 2,40 m. Qual é a altura do muro?

27 Em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Calcule a medida da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo que tem catetos medindo 10 cm e 4 cm.

28 Considerando a figura a seguir, determine o valor de x e y.

3,20 mResolução:Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:4

16

2 2

2

5 1

5 2 5

5

(2,4)5,76 10,24

h 3,20 m

2 hh

29 cmResolução:

BC é a medida da hipotenusa.Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos:

(BC) med BC

A medida da mediana

2 5 1 54 10 2 292 2 → cm

é med BC .2

295 cm

A

4 cm10 cm

B

CM

x 5 12 cm, y 5 5 cmResolução:Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:

x

x cm

2 2 21123 121

12

5 1

5 1

5

23x2

( )

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCD, temos:13 12

169 1445

2 2 2

2

5 1

5 2

5

yyy cm

��

p. 27

29 Pedrinho pegou uma folha de papel quadrada, de 20 cm de lado, denominou os cantos da folha A, B, C e D e marcou um ponto P exatamente no meio do lado CD. Em seguida ele dobrou a folha de modo que o vértice A coincidisse com o ponto P. Calcule o comprimento de DQ.

30 O ABC é retângulo em C. Uma reta paralela ao lado BC intercepta AB e AC nos pontos P e Q tais que AP 5 6 cm, PB 5 12 cm e AQ 5 4 cm. Qual é a medida do lado BC?

7,5 cmResolução:

Se DQ , QA e DP , temos, aplicando5 5 2 5 5x x20 202

10 oo teorema de Pitágoras:

(20400

2 5 1

2

x x)2 2 210400 100

40 300

2 2x x xx x

1 5 1

5 5

5

→ 7,5Logo, DQ 7,5 cm.

D

x

Q

10P � A

20 � x

6 5 cmResolução:Seja y 5 med PQ.

Se PQ // BC, o triângulo APQ é retângulo e semelhante ao triângulo ABC.Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo APQ, temos:6 4

2 5

2 2 25 1

5

y

y cmSe os triângulos APQ e ABC são semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais, ou seja:

618

618

2 56 55 5 5

5

yx x

x

cm

→ →

Portanto, BC 6 5 .

B

P Q

6 cm 4 cm

12 cm

xC

A

yr

��

31 Um triângulo isósceles de base BC 5 16 cm tem lados AB 5 AC 5 10 cm. Calcule a altura relativa ao

lado BC.

32 O lado maior de um retângulo mede 2 cm a mais que o lado menor, e a diagonal tem 2 13 cm. Determine o perímetro desse retângulo.

6 cmResolução:Esquematizando o problema, temos:

Se BC 5 16 cm, BD 5 DC 5 8 cm.Num triângulo isósceles, a altura e a mediana relativas à base coincidem.Portanto, o triângulo ADC é retângulo.Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:102 5 82 1 h2

h 5 6 cm

20 cmResolução:Esquematizando o problema, temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos:2 13 2

4 42 24 06

2 2 2

2 2

2

( ) 5 1 1

5 1 1 1

1 2 5

1

(x52

(x

) xx x x

x x)) )? 2 5 5 2 5(x 6 (não convém) e4 0 4→ x x

Sendo x 5 4, os lados do retângulo são 4 cm e 6 cm.Portanto, perímetro 5 4 1 4 1 6 1 6 5 20 cm.

A

B

10 cm 10 cmh

CD

x

2x �

2 13 cm

��

33 O perímetro de um triângulo retângulo é 30 cm e sua hipotenusa mede 13 cm. Calcule as medidas dos catetos.

34 No triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas m, n, h e c indicadas.

35 Os catetos de um triângulo retângulo medem 12 cm e 9 cm. Nessas condições, determine a(s) medida(s):a) a da hipotenusa;b) h da altura relativa à hipotenusa;c) m e n das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

5 cm, 12 cmResolução:Se o perímetro do triângulo é 30 cm e a hipotenusa mede 13 cm, a soma das medidas dos catetos é igual a 30 2 13 5 17 cm. Se um dos catetos medir x, o outro medirá 17 2 x.Assim, esquematizando o problema, temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:13169 289 34

17 60 0

2 2 2

2 2

2

5 1 2

5 1 2 1

2 1 5

x xx x x

x x

(17 )

→ xx e x 5 55 12Portanto, as medidas dos catetos são 5 cm e 12 cm.

x13 cm

17 � x

m n h e c 2 6 2 3 4 3, ,Resolução:Pelas relações no triângulo retângulo, temos:8 4 4 3

8 2

8 6

8

2 2 2

2 2

5 1 5

5 5

5 5 5

5

c cm m

c n n

h

→→

→ →

4

4 3 8n

2

( )44 8 4 4 3 2 3

2 6 2 3 4 3

c h h

c

→ →5 ? 5

5 5 5 5Portanto, m ; n ; h e ..

a 5 15 cmh 5 7,20 cm

m 5 9,60 cm e n 5 5,40 cmResolução:

a ah h

) a 15 cmb) ah 7,20

2 5 1 5

5 ? 5 ? 5

9 129 12 15 9 12

2 2 →→ → ccm

c) 12 9,60 cm9 an

2

2

5 5 5

5 5 5

am m mn n

→ →→ →

144 1581 15 55,40 cm

A

12 cm9 cm

C B

h

m

a

n

��

36 Qual é o comprimento da circunferência da figura? (Use π 5 3,14.)

p. 34

37 Calcule o comprimento de um arco equivalente à metade de uma circunferência de raio 4 cm.

38 Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 20 cm. O comprimento da circunferência é:a) π 2 cm c) 10π 2 cm e) 30π 2 cmb) 5π 2 cm d) 20π 2 cm

18,84 cmResolução:C

C

5

5 ? 5

5

22

ππ

rC 3 18,84

18,84 cm

12,56 cmResolução:

C

C

5 5 5 ? 5

5

2 r2

r 3,14 12,56

12,56 cm

π π 4

Resolução:

A diagonal de um quadrado é dada pela fórmulla d 2 . Então:

20 2 10 2

Se o lado do q

5

5 5

,

, ,→ cm

uuadrado mede 10 2 cm, o raio da circunferênciia é r cm.

C r 10 2

5

5 5

5 2

2π → πC cm

20 cm

O�

�

��

39 Na figura, O é centro de uma circunferência. Os pontos B, O e C estão alinhados, e AH é perpendicular a BC. Sabe-se ainda que AH 5 6 cm e BH 5 4 cm. Calcule o raio da circunferência.

40 Uma família deseja irrigar um terreno circular de 50 m de raio. Quantos metros cúbicos de água são necessários se ela usar em média 5 ,/m2?

6,5 cmResolução:

O triângulo ABC possui um dos lados coincidindo com um diâmetro; portanto, é um triângulo retângulo.Usando as relações no triângulo retângulo, temos:h2 5 mn62 5 4n → n 5 9 cmO diâmetro da circunferência é d 5 4 1 9 5 13 cm.Portanto, r 5 6,5 cm.

B C

A

6 cm

4 cm

OHn

12,5π m3

Resolução:O terreno é um círculo de raio 50 m.S 5 πr2

S 5 π502 5 2 500π m2

Como 1 litro 5 1 dm3, vem:V 5 0,005 ? 2 500πV 5 12,5π m3

Serão necessários 12,5π m3 de água.

��

41 A figura mostra um viveiro, de forma circular e raio r 5 5 m, que apresenta em seu interior uma região coberta na forma de um quadrilátero ABCD. O ponto O é o centro do viveiro, o arco BC� é igual ao arco CD� e a medida do segmento AB é 8 m. Determine a área da região do viveiro não coberta. Considere π 5 3,14.

42 Acrescentando 1 m ao raio r de uma circunferência, o aumento, em metros, no comprimento será de:a) π c) 2(π 1 1) e) π 1 2b) 2π d) π 11

30,5 m2

Resolução:

Os triângulos ABC e ADC possuem um dos lados coincidentes a um diâmetro; portanto, são retângulos de hipotenusa 10 cm.Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:102 5 82 1 BC2 → BC2 5 36 → BC 5 6 m

Como o arco BC é igual ao arco CD, os doi� � ss triângulos são congruentes.

S mABC 5?

56 8

224 22

A área da região não coberta é a área do círculo menos a área dos dois triângulos de hipotenusa 10 m, e catetos 8 m e 6 m.

SS5 2 ? 5 ? 2 5 2 5

5

πr 3,14 ,5 30,530,5 m

2

2

2 24 25 48 78 48

A

B

C

D

O

8 m

5 m

Resolução:C

C1

12 1 2 25

5 ? 1 5 1 5 1

2 rC (r r 2O aumento no

2

ππ π π π)

ccomprimento será de 2 .π

�0

43 Na figura ao lado temos um retângulo inscrito em uma

circunferência com centro O e raio igual a 5 cm. Se OP vale 35

do raio

da circunferência, determine a área, em centímetros quadrados, do retângulo.

44 Um automóvel cujos pneus têm 0,5 m de diâmetro percorreu uma distância de 125,6 km. Calcule o número de voltas dadas por um pneu.

48 cm2

Resolução:

OP r e r , portanto: OP 3 cm.5 5 535

5 cm

O triângulo AOP é retângulo em P. Então, aplicando o teorema de Pitágoras, temos:(AO) (OP) (AP) 4 cm2 2 25 1 5 1 5( )AP AP2 2 25 3→ →O lado menor do retângulo é 2 ? OP 5 6 cm, e o lado maior é 2 ? 4 5 8 cm.A área do retângulo é S 5 8 ? 6 5 48 cm2.

5 cm

P

A

O

aproximadamente 80 000 voltasResolução:C 5 2πrSe o diâmetro do pneu é 0,5 m, seu raio é 0,25 m.C = 2 ? 3,14 ? 0,25 5 1,57 m125,6 km 5 125 600 m

no de voltas 5 125 600

1,5780 000 voltas5

��

45 Um trapézio inscrito numa circunferência de centro O pode ser dividido em três triângulos eqüiláteros congruentes, como mostra a figura ao lado.Calcule a área do círculo limitado por essa circunferência sabendo que a área do trapézio é 27 3 2cm . 36π cm2

Resolução:

Relacionando os elementos do trapézio com os elementos da circunferência, temos:base maiorbase menor r

altura de u

5

5

5

2r

altura mm triângulo eqüilátero de lador

Stra

r → h 53

2

ppézio

2

c

(2r ) r 33r

51

51

5 5 5( )B b h r

r cm

S2

22

34

27 3 6→

íírculo2 2 2r 6 36 cm5 5 5π π π

r r

r

O