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Unidade I Matemática Aplicada Prof. Mario Barbosa

Ma Mario 27-07 Sei Uni i Bb

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Unidade I

Matemática Aplicada

Prof. Mario Barbosa

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Relações

Par: chama-se par todo conjunto formado por dois elementos, por exemplo, {1, 2}, {3, -1}, {a, b} indicam pares.

Em Matemática existem situações em que há necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações:

x + y = 3x y = 1x – y = 1

S= {2, 1}

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Relações

Par ordenado: entendemos por par ordenado um conjunto de dois elementos, sendo:

(a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d

Por exemplo: a) (3, b) = (a, -5) para a = 3 e b = -5

b) (5, y + 1) = (x – 1, 4) = para x – 1 = 5, onde x = 6para y + 1 = 4 onde y = 3para y + 1 = 4, onde y = 3

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Relações

Plano Cartesiano: consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano α. Dado um ponto P qualquer, P α. Temos:

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Relações

Por exemplo: vamos localizar os pontos A(2, 0), B(0, -3), C(2, 4), D(-3, 4), E(-1, -3), F(1, 2).

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Relações

Produto cartesiano: sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto indicado A x B cujos elementos são todos os pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence a A e oprimeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B.

A x B = {(x, y)| x A e y B}

Por exemplo:Por exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, temos que :A x B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}

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Relações

Representação pelo gráfico cartesiano:

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Relações

Relação binária: sejam dois conjuntos, A e B, não vazios, chamamos de relação binária de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. Por exemplo:Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 6, 8} efetuando o produto cartesiano temos:8}, efetuando o produto cartesiano, temos:A x B = {(1, 4), (1, 6), (1, 8), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}

Uma relação binária R do produto cartesiano, em que, y é dobro de x.cartesiano, em que, y é dobro de x.R = {(x, y) A x B | y = 2x}

R = {(2, 4), (3, 6)}

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Relações

Relação binária representada por diagrama de flechas.

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Relações

O conjunto A dos primeiros elementos dos pares de R recebe o nome de domínio (D) da relação e o conjunto B, de contradomínio (CD):

No exemplo anterior temos que:No exemplo anterior, temos que:

D = {1, 2, 3}CD = {4, 6, 8}

Os elementos do conjunto B que participamOs elementos do conjunto B que participam da relação formam um conjunto denominado imagem da relação (Im):

Im = {4, 6}

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Interatividade

Dados os conjuntos A = { -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a relação R = {(x, y) A x B | y = x + 1}, determine o conjunto domínio e imagem.

a) D = {-2, -1, 0, 1} e Im = {0, 1}

b) D = {-1, 0, 2} e Im = {2, 3}

c) D = {0, 1} e Im = {0, 1, 2, 3}

d) D = {-1, 0, 1, 2} e Im = {0, 1, 2, 3}

e) D = {-1, 0, 1, 2} e Im = {0, 1, 2}

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Funções

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação binária de A em B, dizemos que essa relação é uma função de A em B se, e somente se, a cada elemento x do conjunto A corresponder um único elemento y do conjunto B.

f: A → B ↔ ( x A, ι y B| (x, y) f)

f: A → B lê-se: f é função de A em B

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Funções

Vamos considerar algumas relações representadas pelos diagramas de flechas e ver quais delas representam uma função

a)

Ra não é função de A em B, pois o elemento 1 do conjunto A não possui correspondente no conjunto B.

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Funções

b)

Rb é função de A em B, pois a cada elemento do conjunto A corresponde um único elemento do conjunto B.

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Funções

c)

Rc não é uma função de A em B pois oRc não é uma função de A em B, pois o elemento 4 do conjunto A possui dois correspondente em B(-2 e 2)

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Funções

d)

Rd é função de A em B, pois a cada elemento do conjunto A corresponde umelemento do conjunto A corresponde um único elemento do conjunto B.

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Funções

Função constante:

É toda a função y = k, em que k é uma constante real.

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Função

Por exemplo:

Construir o gráfico da função de em definida por y = 3

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Funções

Função linear: Sendo A e B conjuntos de números reais, e m uma constante real diferente de zero, dizemos que uma funçãof: A → B, com f (x) = m . x é uma função linear.

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Funções

Exemplo: construir o gráfico da função y = 2x

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Funções

Função afim: uma função é chamada de função afim (ou função do 1º grau) se sua sentença for dada por:y = a. x + b, sendo m e n constantes reais com m ≠ 0.

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Funções

Exemplo: construir o gráfico da função y = 2x + 1

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Funções

A função pode ser: crescente ou decrescente

O coeficiente ‘a’ da função y = ax + b é denominado coeficiente angular.

O coeficiente b da função y = ax + b é

2 1

2 1

y yx xa −

−=

O coeficiente b da função y = ax + b é denominado coeficiente linear

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Funções

Exemplo: a remuneração de um vendedor de uma loja de camisa é feita em duas parcelas: uma fixa, no valor de R$ 500,00 e a outra variável, correspondente a uma comissão de 12% do total de vendas realizadas no mês Qual é a lei de formaçãorealizadas no mês. Qual é a lei de formação para calcular o valor de remuneração do vendedor?

R(x) = remuneração do vendedor;a = 12% de comissão do total de vendas;a 12% de comissão do total de vendas;b = R$ 500,00 remuneração fixa.

R(x) = 500 + 0,12x

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Interatividade

D id d t l (V) dDevido ao desgaste, o valor (V) de uma mercadoria decresce com o tempo (t). Por isso, a desvalorização que o preço dessa mercadoria sofre em ração do tempo de uso é chamada de depreciação. A função depreciação pode ser uma função: o valordepreciação pode ser uma função: o valor de uma máquina é hoje R$ 1.000,00, e estima-se que daqui a 5 anos será R$ 250,00. Qual será o valor dessa máquina em t anos?

a) V(t) = 1200 – 200tb) V(t) = 1000 + 200tc) V(t) = 1000 + 100td) V(t) = 1000 + 150te) V(t) = 1000 – 150t

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Demanda de mercado

Demanda de mercado:

Entende-se por demanda a quantidade de produtos que os consumidores desejam e podem adquirir por diversos níveis de preço e em determinado momentopreço e em determinado momento.

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Demanda de mercado

Lei geral da demanda de mercado:

Quando se tratar de demanda do mercado, pense como consumidor, ou seja, ‘se o preço estiver subindo eu vou comprar menos’menos’.

A demanda de mercado é uma função de várias variáveis, por exemplo, preço por unidade de produto, renda do consumidor e etc.etc.

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Demanda de mercado

Função demanda

Quando todas as variáveis são constantes, exceto o preço unitário do produto (p), a função demanda é a relação entre o preço unitário do produto (p) com a quantidadeunitário do produto (p) com a quantidade demandada (x), representada por:

p = f(x)

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Demanda de mercado

Existe a função demanda para um consumidor individual e para um grupo de consumidores, em geral, quando nos referimos à função de demanda, faremos referência a um grupo de consumidores e o chamaremos de f nção de demanda dechamaremos de função de demanda de mercado, representada por:

Qd = -ap + b

Qd = quantidade de demanda por unidadeQd quantidade de demanda por unidade tempo;

p = preço do bem

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Demanda de mercado

Exemplo: quando o preço de um telefone é de R$ 100,00 são vendidos 200 unidades. Aumentando R$ 20,00 no preço, verifica-se um queda de 40 unidades no total de vendas. Determine a função demanda de mercado e o seu gráficomercado e o seu gráfico.

A função demanda de mercado é dada por:

Qd = - ap + b, onde:Qd = 200 unidades; p = R$ 100,00Qd 200 unidades; p R$ 100,00Substituindo os valores temos:200 = -100a + b

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Demanda de mercado

160 = -120a + b

Resolvendo o sistema de equações, temos:

200 = -100a + b160 = 120a + b x ( 1) temos:160 = -120a + b x (-1), temos:

200 = -100a + b- 160 = 120a - b

40 = 20a 2 = a, b = 4002 a, b 400

Qd = - 2p + 400

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Demanda de mercado

Representação gráfica:

D = - 2p + 400

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Oferta de mercado

Oferta de mercado:

É a quantidade de produtos produzidos que os vendedores desejam para vender a diversos níveis de preço.

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Oferta de mercado

Lei geral da oferta:

Quando se tratar de oferta, pense como um empresário, ‘se o preço estiver subindo eu vou vender mais produtos’.

A oferta de mercado é uma função de várias variáveis, por exemplo, preço do bem, tecnologia utilizada e etc.

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Função de oferta

Quando todas as variáveis são constantes, exceto o preço do próprio bem (p), a função de oferta é a relação entre o preço de bem (p) com a quantidade ofertada (x), representada por:

p = g(x)

p = ax + b

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Função de oferta

Exemplo: quando o preço de um bem é R$ 10,00, 5 unidades são oferecidas e, quando o preço é R$ 20,00, 15 unidades são oferecidas. Determine a equação de oferta e o seu gráfico.

Seja p = ax +b, substituindo temos:P1 = R$ 10,00 e x = 5 unidades10 = 5a + b

P2 = R$ 20,00 e x = 15 unidades,20 = 15a +b

Resolvendo o sistema de equaçõestemos:

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Função oferta

10 = 5a + b 20 = 15a + b x(- 1)

10 = 5a + b-20 = -15a - b10 = 10a-10 = -10a

a = 1 e b = 5p = x + 5

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Função oferta

Gráfico da função oferta:

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Preço e Quantidade de equilíbrio

É o ponto intersecção entre as curvas de demanda e curva de oferta, onde D(p) = S(p)

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Interatividade

Suponha que a demanda e a oferta de um bem podem ser apresentadas pelas seguintes funções:Q(p) = - 13p + 520S(p) = 13p – 130Qual é o preço de equilíbrio?Qual é o preço de equilíbrio?

a) R$ 100,00b) R$ 10,00c) R$ 18,00d) R$ 25,00d) R$ 25,00e) R$ 24,00

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Receita total

Receita total

Seja x a quantidade vendida de um produto, chamamos de função receita o produto de x pelo preço de venda, representada por:

R = x.p

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Receita total

Exemplo: uma indústria de autopeças tem um custo fixo de R$ 16.000,00 por mês. Se cada peça produzida tem um custo de R$ 6,00 e o preço de venda é de R$ 10,00 por peça, qual a receita que a indústria precisa para ter um lucro de R$ 20 000 00precisa para ter um lucro de R$ 20.000,00 por mês?L = R – C 20.000 = 10p – (6p + 16.000)36.000 = 4p9.000 = p9.000 p

R = x.pR = 10.9000R = R$ 90.000,00

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Custo total

Custo total

É o somatório de todos os custos que se tem na elaboração e/ou comercialização de um determinado produto.

CT = CF + CV

CF = custo fixo que não dependem da quantidade produzida (x), por exemplo, aluguel, seguro e etc...a ugue , segu o e etc

CV = custo variável depende da quantidade produzida (x), por exemplo, transporte, energia elétrica e etc...

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Custo total

Exemplo: uma empresa produz um único produto com um custo fixo de R$ 1.300,00 e com um custo variável de R$ 10,00 por unidade. O produto e vendido por R$ 60,00. Determine o seu custo total em função da quantidade q produzidaquantidade q produzida.

CT = CF + CVCT = 1.300 + 10q

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Ponto crítico (break even point)

P t íti t d i l tPonto crítico ou ponto de nivelamento

É o valor de x, tal que R(x) = C(x)

Exemplo: Um produto, quando comercializado,Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo e receita dadas, respectivamente, por C = 3q + 90 e R = 5q, onde q é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para custo e receita. Determine o break even point.R(x) = C(x)5q = 3q + 905q – 3q = 90q = 45

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Lucro

F ã lFunção lucro:É a diferença entre a função receita (R) e a função custo (C), representada por:

L(x) = R(x) – C(x)

Exemplo: Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo e receita dadas, respectivamente, por C = 3q + 90 e R = 5q, onde q é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para custo e receita. Determine a função lucro:L = R – CL = 5q – (3q + 90)L = 2q – 90

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Margem de contribuição

M d t ib i ãMargem de contribuição:

É a diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade.

Exemplo: uma empresa produz um únicoExemplo: uma empresa produz um único produto com um custo fixo de R$ 1.300,00 e com um custo variável de R$ 10,00 por unidade. O produto e vendido por R$ 60,00. Qual é a margem de contribuição.Mc = Pv – CvMc = 60 – 10Mc = R$ 50,00

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Interatividade

Uma empresa tem a função receita dada por R = 6q e uma função custo total CT = 5000 + 4q, onde q representa a quantidade produzida. Para que seu lucro mensal seja igual a R$ 5.000,00, é necessário que sejam produzidas enecessário que sejam produzidas e vendidas mensalmente.

a) q = 10.000,00b) q = 8.000,00c) q = 12.000,00c) q 12.000,00d) q = 600,00e) q = 5.000,00

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ATÉ A PRÓXIMA!ATÉ A PRÓXIMA!