MA111 - Cálculo IAula 3 - Os problemas da tangente e da velocidade.

O limite de uma função.

Marcos Eduardo Valle

O Problema da Tangente

Tangente = “tocando”.

Uma tangente é uma reta que toca uma curva e deve ter amesma inclinação da curva no ponto tocado.

Secante = “corta”.Uma secante é uma reta que intersecta uma curva em doispontos.

Reta:Lembre-se que uma reta pode ser descrita pela equação

y = mx + b.

Exemplo:

Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x2 no pontoP(1,1).

Considere um ponto Q(x , x2), com P 6= Q, ou seja, x 6= 1.

A inclinação da reta secante PQ é

mPQ =x2 − 1x − 1

.

Para Q(0,0), temos mPQ = 1.

Para Q(0.5,0.25), temos mPQ = 1.5.

Para Q(0.9,0.81), temos mPQ = 1.9.

Para Q(2,4), temos mPQ = 3.

Para Q(1.5,2.25), temos mPQ = 2.5.

Para Q(1.1,1.21), temos mPQ = 2.1.

Esses resultados sugerem que a reta tangente tem inclinaçãom = 2.

Sua equação é

y − 1 = 2(x − 1)⇐⇒ y = 2x − 1.

Numa linguagem mais formal, dizemos que a inclinação da retatangente é o limite das inclinações das retas secantes.

Simbolicamente, escrevemos:

limQ→P

mPQ = m,

Noexemplo, temos

limx→1

x2 − 1x − 1

= 2.

O Problema da Velocidade

Velocidade Média =Mudança de posição

tempo decorrido

Velocidade média de uma bola lançada do alto da Torre CN, emToronto, a 450m acima do solo.

Intervalo de Tempo (s) Velocidade Média (m/s)5 ≤ t ≤ 6 53.9

5 ≤ t ≤ 5.1 49.495 ≤ t ≤ 5.01 49.0495 ≤ t ≤ 5.001 49.0049

Podemos dizer que a velocidade instantânea em t = 5 s é v = 49m/s.

O Limite de Uma FunçãoO problema da tangente e o problema da velocidade estãorelacionados ao conceito de limite de uma função.

Ideia do conceito de limite de uma função:

Suponha que uma função f seja definida próximo de a.Escrevemos

limx→a

f (x) = L ⇐⇒ f (x)→ L quando x → a,

e dizemos

“O limite de f (x), quando x tende a a, é L”

se pudermos tomar f (x) arbitrariamente próximos de L tomando xpróximo de a.

limx→1

x − 1x2 − 1

= 0.5.

limt→0

√t2 + 9− 3

t2 =16.

Cuidado, construir uma tabela com a calculadora pode darvalores falsos!

limx→0

sin xx

= 1.

limx→0

sinπ

xnão existe.

Considere a função de Heaviside:

H(x) =

{0, x < 01, x ≥ 0.

limx→0

H(x) não existe.

Limites Laterais

Limite à esquerda

Dizemos que o limite à esquerda de f (x) quando x tende a a éigual a L e escrevemos

limx→a−

f (x) = L,

se pudermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente próximosde L para x suficientemente próximo de a com x < a.

Limites Laterais

Limite à direitaDizemos que o limite à direita de f (x) quando x tende a a é iguala L e escrevemos

limx→a+

f (x) = L,

se pudermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente próximosde L para x suficientemente próximo de a com x > a.

Limites Laterais e o Limite

Relação entre os Limites

limx→a

f (x) = L ⇐⇒ limx→a−

f (x) = L e limx→a+

f (x) = L.

Limites Infinitos

Limite InfinitoA notação

limx→a

f (x) = +∞,

significa que podemos fazer os valores de f (x) tão grande quantoquisermos tomando x suficientemente próximo de a, x 6= a.

Limites Laterais:Notação análoga para limites laterais infinito!

Limites Infinitos

Limite Menos InfinitoAnalogamente,

limx→a

f (x) = −∞,

significa que podemos fazer os valores de f (x) arbitrariamentegrandes, porém negativos, tomando x suficientemente próximo dea, x 6= a.

Limites Laterais:Notação análoga para limites laterais menos infinito!

limx→0

1x2 = +∞.

limx→3+

2xx − 3

= +∞ e limx→3−

2xx − 3

= −∞.

Assíntota Vertical

A reta x = a é uma assíntota vertical de y = f (x) se o limite àesquerda ou à direita (ou ambos), quando x tende a a, é infinitoou menos infinito.

A função tan(x) possui assíntotas verticais em x = (2n + 1)π/2,para qualquer n ∈ Z.

Considerações Finais

Iniciamos a aula de hoje apresentamo o problema da retatangente e o problema da velocidade.

Esses dois problemas estão relacionados à noção de limite.

O limite de uma função é usado para estudar o comportamentoda função próximo de um ponto que, muitas vezes, não pertenceao domínio da função.

Na próxima aula, apresentaremos a definição formal do conceitode limite.

Muito grato pela atenção!