MA22 Unidade 16 - icmc.usp.br antigo d… · Regra de L’Hôpital; Aproximações por polinômios Unidade 16 Dizemos que o limite lim x!a Definição 2 f(x) g(x) para funções f(x)

16

1

Regra de L’Hôpital;Aproximações porpolinômios

Sumário16.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

16.2 Regra de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

16.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

16.4 Aproximações por polinômios . . . . . . . . . . . . . 12

16.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

16.6 Textos complementares . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Unidade 16 Introdução

16.1 Introdução

Alguns limites do tipo limx→af(x)g(x)

são bem determinados a partir dos valoresde limx→a f(x) e de limx→a g(x).

Por exemplo, com as propriedades de limites que estudamos até o momento,sabemos que se L,M ∈ R \ {0} e

limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) =M, então limx→a

f(x)

g(x)=

L

M.

Alguns limites de quocientes de funções cujos limites são iguais a 0 ou ±∞também são determinados. Por exemplo, para M ∈ R \ {0}

limx→a

f(x) = 0 e limx→a

g(x) =M então limx→a

f(x)

g(x)= 0 .

E se f(x) é limitada,

limx→a

g(x) = ±∞⇒ limx→a

f(x)

g(x)= 0 .

No entanto, alguns limites de quocientes de funções não podem ser determi-nados apenas com o conhecimento do limites de cada função. Veja o exemploa seguir:

Exemplo 1 Sejam f(x) = x2, g(x) = x4 e h(x) = 2x2 então:

limx→0

f(x) = limx→0

g(x) = limx→0

h(x) = 0 .

Mas observe os seguintes limites de quocientes destas funções:

limx→0

f(x)

g(x)= lim

x→0

x2

x4=∞

limx→0

g(x)

f(x)= lim

x→0

x4

x2= 0

limx→0

f(x)

h(x)= lim

x→0

x2

2x2=

1

2

2

Unidade 16Regra de L’Hôpital; Aproximações por polinômios

Definição 2Dizemos que o limite limx→af(x)g(x)

para funções f(x) e g(x) tais quelimx→a f(x) = limx→a g(x) = 0 é uma forma indeterminada do tipo 0

0

Portanto, se limx→af(x)g(x)

é uma forma indeterminada do tipo 00não há

como dizer o valor de limx→af(x)g(x)

somente sabendo-se que limx→a f(x) =

limx→a g(x) = 0. O limite limx→af(x)g(x)

pode ser um valor real qualquer ou podenão existir, como mostrou o exemplo anterior.

Há outras formas indeterminadas além de 00:

00, 1∞, ∞−∞, ∞∞, 0 · ∞ e ∞0 .

A Regra de L’Hôpital é um método para solução de formas indeterminadasdo tipo 0

0e ∞∞ . As outras formas indeterminadas podem ser transformadas em

indeterminações do 00e ∞∞ por meio de transformações algébricas simples, como

veremos nos exemplos.

+ Para Saber Mais - O Marquês de L’Hôpital - Clique para ler

16.2 Regra de L’Hôpital

Enunciaremos a seguir a Regra de L’Hôpital e faremos alguns exemplos.

Teorema 3Regra de L’Hôpital

Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, exceto possivel-mente em um ponto a ∈ I. Se limx→a f(x) = 0, limx→a g(x) = 0, g′(x) 6= 0

para x ∈ I \ {a} e limx→af ′(x)g′(x)

existe ou é ±∞, então

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x).

O mesmo vale se a for substituído por a+, a−, ∞ e −∞, ou seja, o mesmovale para limites laterais e limites no infinito. No caso de limites no infinitoo intervalo I deve ser do tipo (b,∞) para x → ∞ e do tipo (−∞, b) parax→ −∞).

3

Unidade 16 Regra de L’Hôpital

Antes de demonstrar o teorema, vejamos alguns exemplos iniciais.

Exemplo 4 Usando a Regra de L’Hôpital, calcule limx→0

senx

x.

Na Unidade 5 calculamos este limite diretamente. Como limx→0 senx = 0

e limx→0 x = 0, então o limite é uma forma indeterminada 00.

Usando a Regra de L’Hôpital:

limx→0

senx

x= lim

x→0

( senx)′

(x)′= lim

x→0

cosx

1= cos 0 = 1 .

Apesar de parecer muito mais simples, este desenvolvimento não serve parademonstrar o limite fundamental, uma vez que para calcular a derivada desenx é necessário utilizar este limite.

Exemplo 5 Calcule limx→1

x2 + x− 2

2x2 + x− 3.

Como limx→1 x2 + x− 2 = 0 e limx→1 2x

2 + x− 3 = 0, o limite pedido édo tipo 0

0. Aplicando a regra de L’Hôpital:

limx→1

x2 + x− 2

2x2 + x− 3= lim

x→1

(x2 + x− 2)′

(2x2 + x− 3)′= lim

x→1

2x+ 1

4x+ 1=

3

5.

Este último limite poderia também ter sido calculado diretamente fatorandonumerador e denominador e cancelando o termo comum.


x− senx

x3.

Como limx→0(x − senx) = 0 e limx→0 x3 = 0, o limite é uma forma

indeterminada do tipo 00. Aplicando a Regra de L’Hôpital:

limx→0

x− senx

x3= lim

x→0

(x− senx)′

(x3)′= lim

x→0

1− cosx

3x2.

Mas limx→0(1 − cosx) = 0 e limx→0 3x2 = 0, logo caímos em outra forma

indeterminada 00. Aplicando a Regra de L’Hôpital uma segunda vez, resulta

limx→0

1− cosx

3x2= lim

x→0

(1− cosx)′

(3x2)′= lim

x→0

senx

6x=

1

6,

4


em que usamos o limite limx→0

senx

x= 1.

Para provar A Regra de L’Hôpital, precisaremos do seguinte resultado, queestende o Teorema do valor médio.

Teorema 7Teorema do valor

médio de Cauchy

Sejam f e g funções contínuas em um intervalo [a, b] e deriváveis em (a, b).Se g′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b) então existe c ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a)g(b)− g(a)

=f ′(c)

g′(c).

O Teorema estende o Teorema do valor médio porque se f segue as condiçõesdo teorema acima e fizermos g(x) = x, então g′(x) = 1 e a conclusão do teo-rema é exatamente a conclusão do Teorema do valor médio.

DemonstraçãoPara demonstrar o teorema, inicialmente observe que se g(b) = g(a), então,pelo teorema de Rolle, deve haver c ∈ (a, b) tal que g′(c) = 0, o que contrariaas hipóteses do teorema. Portanto, g(b) 6= g(a).

Seja agora h a função definida em [a, b] por

h(x) = (f(b)− f(a)) g(x)− (g(b)− g(a)) f(x) .

Claramente h é contínua em [a, b] e derivável em (a, b) (pois f e g o são) eh′(x) = (f(b)− f(a)) g′(x)− (g(b)− g(a)) f ′(x). Mas

h(a) = (f(b)− f(a)) g(a)− (g(b)− g(a)) f(a) = f(b)g(a)− f(a)g(b) e

h(b) = (f(b)− f(a)) g(b)− (g(b)− g(a)) f(b) = f(b)g(a)− f(a)g(b)

Logo, h(a) = h(b). Aplicando o teorema de Rolle à função h concluímos queexiste c ∈ (a, b) tal que h′(c) = 0. Portanto,

h′(c) = (f(b)− f(a)) g′(c)− (g(b)− g(a)) f ′(c) = 0

Levando em conta que g′(c) 6= 0 por hipótese e que g(b) − g(a) 6= 0, resultaque

f(b)− f(a)g(b)− g(a)

=f ′(c)

g′(c),

o que conclui a demonstração.

5


Usando o teorema que acabamos de provar, podemos fazer a demonstraçãoda Regra de L’Hôpital, que você pode encontrar no link a seguir.

+ Para Saber Mais - Demonstração da Regra de L’Hôpital - Clique para ler

Mais alguns exemplos:


sen px

sen qx, em que p, q ∈ R \ {0}.

Como limx→0 sen px = 0 e limx→0 sen qx = 0, o limite é uma formaindeterminada do tipo 0

0. Aplicando a Regra de L’Hôpital:

limx→0

sen px

sen qx= lim

x→0

( sen px)′

( sen qx)′= lim

x→0

p cos px

q cos qx=p

q.

Exemplo 9 Calcule limx→∞

sen(px

)sen

(qx

) , em que p, q ∈ R \ {0}.

Se x → ∞ então px→ 0 e q

x→ 0. Por continuidade da função seno,

limx→∞ sen(px

)= 0 e limx→∞ sen

(qx

)= 0. Portanto, temos uma forma

indeterminada do tipo 00. Aplicando a Regra de L’Hôpital:

limx→∞

sen(px

)sen

(qx

) = limx→∞

(sen

(px

))′(sen

(qx

))′ = limx→∞

cos(px

) (− px2

)cos(qx

) (− qx2

) = limx→∞

p cos(px

)q cos

(qx

) =p

q

Observe que poderíamos transformar o limite do exemplo 9 no limite doexemplo 8 , por meio da substituição t = 1

x.

O cálculo de alguns limites requerem a aplicação da Regra de L’Hôpitalvárias vezes, como no exemplo seguinte.

Exemplo 10 Calcule o limx→0

3 sinx− sin 2x

x− sinx.

6


O limite é uma forma indeterminada do tipo 00. Para resolvê-lo aplicamos a

Regra de L’Hôpital três vezes:

limx→0

3 sinx− sin 2x

x− sinx= lim

x→0

3 cosx− 2 cos 2x

1− cosx

= limx→0

−3 sinx+ 4 sin 2x

sinx

= limx→0

−3 cosx+ 8 cos 2x

cosx

=−3 + 8

1= 5

Algumas vezes uma simples substituição pode tornar o cálculo de um limitemuito mais simples, como no exemplo a seguir:

Exemplo 11Calcule o limite lim|x|→∞

x sen1

x.

Como x sen1

x=

sen 1x

1x

e vale que lim|x|→∞

sen1

x= 0 e lim

|x|→∞

1

x= 0,

estamos diante de uma indeterminação do tipo 00.

Aplicando a Regra de L’Hôpital:

lim|x|→∞

sen 1x

1x

= lim|x|→∞

− 1x2

cos 1x

− 1x2

= lim|x|→∞

cos1

x= cos lim

|x|→∞

1

x= cos 0 = 1

Outra possibilidade seria fazer a substituição t = 1xantes de aplicar a Regra de

L’Hôpital, lembrando que se |x| → ∞ então t→ 0.

lim|x|→∞

x sen1

x= lim

t→0

1

tsen t = lim

t→0

sen t

t= 1 .

Indeterminações da forma ∞∞

Se limx→a f(x) = ±∞ e limx→a g(x) = ±∞, dizemos que o limite limx→a

f(x)

g(x)é uma forma indeterminada do tipo ∞∞ .

Há uma versão da Regra de L’Hôpital que vale para indeterminações dotipo ∞∞ :

7


Teorema 12 Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, exceto pos-sivelmente em um ponto a ∈ I. Se limx→a |f(x)| = ∞, limx→a |g(x)| = ∞,g′(x) 6= 0 para x ∈ I \ {a} e limx→a

f ′(x)g′(x)

existe então

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x).

O mesmo vale para os limites laterais, para limites no infinito e no caso em quelimx→a

f ′(x)g′(x)

= ±∞.

A demonstração deste teorema será omitida.

Exemplo 13 Calcule limx→∞

2x2 + 3x− 1

3x2 − 2x+ 2.

Trata-se de uma forma indeterminada ∞∞ . Aplicando a Regra de L’Hôpital:

limx→∞

2x2 + 3x− 1

3x2 − 2x+ 2= lim

x→∞

4x+ 3

6x− 2= lim

x→∞

4

6=

2

3.

Outras formas indeterminadas

Podemos utilizar a Regra de L’Hôpital para resolver outras indeterminaçõesse transformando-as em indeterminações da forma 0

0e ∞∞ .

Se limx→a f(x) = 0 e limx→a g(x) = ∞ então limx→a f(x) · g(x) é umaindeterminação da forma 0 · ∞. Fazendo

limx→a

f(x) · g(x) = limx→a

f(x)1

g(x)

= limx→a

g(x)1

f(x)

reduzimos aos casos 00e ∞∞ , o que for mais conveniente para a solução do

exercício.

Exemplo 14 Calcule o limite limx→∞

x tan1

x.

8


Pela continuidade da função tangente, limx→∞ tan 1x= tan limx→∞

1x=

tan 0 = 0. Portanto, limx→∞ x tan1xé uma forma indeterminada do tipo 0 ·∞.

Uma solução é a seguinte:

limx→∞

x tan1

x= lim

x→∞

tan 1x

1x

= limx→∞

− 1x2

sec2 1x

− 1x2

= limx→∞

sec21

x= sec2 0 = 1 .

Em que transformamos o limite dado em uma forma indeterminada 00e apli-

camos a Regra de L’Hôpital.Se limx→a f(x) =∞ e limx→a g(x) =∞ então limx→a f(x)− g(x) é uma

indeterminação da forma ∞−∞. Fazendo

limx→a

f(x)− g(x) = limx→a

1g(x)− 1

f(x)

1f(x)g(x)

reduzimos ao caso 00.

Exemplo 15Calcule o limite limx→0+

(1

senx− 1

x

).

Como limx→0+1

senx= ∞ e limx→0+

1x= ∞, temos uma forma indetermi-

nada do tipo ∞−∞. Mas

limx→0+

(1

senx− 1

x

)= lim

x→0+

x− senx

x senx

que é uma forma indeterminada 00. Aplicando a Regra de L’Hôpital:

limx→0+

x− senx

x senx= lim

x→0+

1− cosx

senx+ x cosx

= limx→0+

senx

cosx+ cosx− x senx

= limx→0+

senx

2 cosx− x senx=

0

2= 0 .

Observe que aplicamos a Regra de L’Hôpital duas vezes no desenvolvimentoacima.

9


A Regra de L’Hôpital também pode ser usada par resolver indeterminaçõesdo tipo 00,∞0 e 1∞, mas para resolvê-las necessitamos das funções exponenciale logaritmo, que serão estudadas posteriormente.

10


16.3 Exercícios

Calcule o valor dos seguintes limites:

1. limx→1

x2 − 3x+ 2

x3 + x− 2.

2. limx→∞

3x3 + 2x+ 2

x3 + x− 2.

3. limx→∞

x3 + x+ 1

4x4 + x− 1.

4. limx→0

1− cosx

6x2.

5. limx→0

senx− xx3

.

6. limx→0

sen 4x

sen 2x.

7. limx→0

tanx

x.

8. limx→0

2 cos2 x− 2

sen 2x.

9. limx→0

arcsenx

x.

10. limx→1

arcsenx− π2√

1− x2.

11. limx→1

1 + cos πx

x2 − 2x+ 1.

12. limx→π

2−(secx− tanx).

13. limx→0

cos px− cos qx

x2.

14. limx→0

sen (2/x)

3/x.

15. limx→1+

(x2 − 1) tanπx/2.

16. No estudo de Processamento de sinais digitais utiliza-se uma função

chamada função sinc normalizada, definida por sinc(x) =sin(πx)

πx. Mostre

quelimx→0

sinc(x) = 1.

17. Seja f derivável em um intervalo aberto I. Mostre que se a derivada def é contínua em I então

limh→0

f(x+ h)− f(x− h)2h

= f ′(x) .

18. Seja f duas vezes derivável em um intervalo aberto I. Mostre que se f ′′

é contínua em I então

limh→0

f(x+ h) + f(x− h)− 2f(x)

h2= f ′′(x) .

11

Unidade 16 Aproximações por polinômios

16.4 Aproximações por polinômios

A Série de Taylor de uma função fornece uma aproximação da função pormeio de polinômios.

A expressão de uma função como soma infinita de monômios é utilizada pormatemáticos desde muito antes da invenção do Cálculo. Há evidências de queo matemático indiano Madhava de Sangramagrama (1350–1425) descobriu asérie que representa senx para resolver problemas de astronomia.

No Séc. XVII, o matemático escocês James Gregory (1638–1675), formuloua expansão em série das funções senx, cosx, arcsenx e arccosx, publicandoesta descoberta em 1667.

Embora Gregory tivesse obtido algumas séries particulares, foi o matemáticoinglês Brook Taylor (1685–1731) o primeiro a apresentar uma fórmula geral paraa construção de séries de potências de funções, publicando o método em seutrabalho Methodus Incrementorum Directa et Inversa de 1715.

Na fórmula de Taylor iremos lidar com a n−ésima derivada de f , denotadaf (n). Seja f função definida em um intervalo aberto I. Dizemos que f é nvezes derivável no ponto a ∈ I se f é n− 1 vezes derivável em uma vizinhançade a e f (n−1) é derivável em a.

Denota-se por f (0) a própria função f , ou seja, f é sua derivada de ordemzero.

Polinômios de Taylor

Definição 16 Seja f : I → R definida no intervalo aberto I e n vezes derivável em a ∈ I.O polinômio de Taylor de ordem n de f em a é o polinômio

p(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + · · ·+ cn(x− a)n

tal que as derivadas de ordem k ≤ n de p(x) em x = a coincidem com asderivadas de mesma ordem de f(x) em x = a

Podemos determinar facilmente os coeficientes do polinômio de Taylor emfunção das derivadas de f :

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Como

f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + · · ·+ cn(x− a)n ,

substituindo x por a, temosf(a) = c0 .

Derivando f , obtemos:

f ′(x) = c1 + 2c2(x− a) + 3c3(x− a)2 + 4c4(x− a)3 + · · ·+ ncn(x− a)n−1 ,

o que mostra que

c1 = f ′(a) =f ′(a)

1!.

Se n > 1, podemos derivar novamente a série para obter

f ′′(x) = 2c2 + 3 · 2(x− a) + 4 · 3(x− a)2 ++ · · ·+ n(n− 1)cn(x− a)n−2 ,

O que mostra que

f ′′(a) = 2c2 ⇒ c2 =f ′′(a)

2!.

Derivando mais uma vez e substituindo x = a:

f ′′′(a) = 3 · 2c3 ⇒ c3 =f ′′′(a)

3!.

Derivando sucessivamente, obtemos o valor dos coeficientes:

ck =f (k)(a)

k!, para k ≤ n .

O Teorema de Taylor, que veremos nesta seção, mostra que uma função fn vezes derivável em x = a, o polinômio de Taylor p(x) é uma boa aproximaçãode f(x) próximo a a. Mas o isso quer dizer exatamente?

Seja r(x) = f(x) − p(x), a diferença entre a função e seu polinômio deTaylor em a. Então r : I → R é n vezes diferenciável em a e, como f(x) ep(x) têm as mesmas derivadas de ordem k para k ≤ n resulta

r(a) = r′(a) = r′′(a) = · · · = r(n)(a) = 0 .

A próxima proposição mostra que isto equivale a limx→ar(x)

(x−a)n = 0.

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Proposição 17 Seja r : I → R uma função n vezes derivável em a ∈ I. Então r(k)(a) = 0

para 0 ≤ k ≤ n se, e somente se

limx→a

r(x)

(x− a)n= 0 .

A demonstração será omitida.

A proposição mostra que a diferença de uma função n vezes derivável em a

e seu polinômio de Taylor de ordem n em a não só vai a zero como, por assimdizer, vai a zero "mais rápido" que (x− a)n.

Finalmente, podemos formular o Teorema de Taylor:

Teorema 18Teorema de Taylor

Seja f : I → R uma função n vezes derivável em a ∈ I. A funçãor : I → R definida por

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + f ′′(a)

2(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n + r(x) ,

satisfaz limx→ar(x)

(x−a)n = 0.Reciprocamente, se p(x) é um polinômio de grau ≤ n tal que r(x) =

f(x)− p(x) satisfaz limx→ar(x)

(x−a)n = 0 então p(x) é o polinômio de Taylor deordem n de f em a.

Demonstração Como vimos, a função r(x) definida pela diferença de f(x) e o polinômiode Taylor p(x) satisfaz r(k)(a) = 0 para 0 ≤ k ≤ n. Logo, pela proposição 17,limx→a

r(x)(x−a)n = 0.

Reciprocamente, se r(x) = f(x)−p(x) é tal que limx→ar(x)

(x−a)n = 0, então,pela proposição 17, as derivadas de ordem k, 0 ≤ k ≤ n de r(x) se anulam emx = a. Portanto, p(k)(x) = f (k)(x) em x = a para 0 ≤ k ≤ n, ou seja, p(x) éo polinômio de Taylor de ordem n de f em a.

Exemplo 19 Encontre os polinômios de Taylor da função f(x) =1

1− xem x = 0.

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As derivadas de f(x) são:

f ′(x) =((1− x)−1

)′= −1(1− x)−2(−1) = (1− x)−2 .

f ′′(x) =((1− x)−2

)′= −2(1− x)−3(−1) = 2(1− x)−3 .

f ′′′(x) =(2(1− x)−3

)′= −2 · 3(1− x)−4(−1) = 2 · 3(1− x)−4 .

É fácil ver que a k−ésima derivada de f(x) =1

1− xpara x 6= 1 é

f (k)(x) =k!

(1− x)k+1.

Resulta que o k−ésimo coeficiente do polinômio de Taylor em x = 0 é

ck =f (k)(0)

k!=

k!(1−0)k+1

k!= 1 .

O k−ésimo polinômio de Taylor em x = 0 é o polinômio

p(x) = 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xk .

Oserve que p(x) é a soma dos k + 1 primeiros termos da progressão geo-métrica (PG) de termo inicial 1 e razão x. Se 0 < x < 1, então a soma dostermos da PG infinita é

1 + x+ x2 + x3 + · · · = 1

1− x.

Estimativa da função resto

A função r(x) = f(x)− p(x), que é a diferença entre a função f(x) e seupolinômio de Taylor de ordem n em um ponto x = a, é comumente chamadade resto da série de Taylor. O Teorema 18 fornece uma informação sobre olimite de r(x) quando x → a, mas não permite estimar o valor de r(x) parauma dada função f , ordem n e ponto x = a.

Sob hipóteses um pouco mais fortes do que as do Teorema de Taylor, pode-mos usar o Teorema do valor médio para obter uma informação sobre o valorde r(x).

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Teorema 20Fórmula de Taylor

com resto de Lagrange

Seja f : I → R função n + 1 vezes derivável em a ∈ I. Dado b ∈ I,supondo que f seja n + 1 vezes derivável no intervalo aberto e contínua nointervalo fechado entre a e b, então existe c entre a e b tal que

f(b) = f(a) + f ′(a)(b− a) + f ′′(a)

2(b− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(b− a)n

+f (n+1)(c)

(n+ 1)!(b− a)n+1 .

O termo

Rn(b) =f (n+1)(c)

(n+ 1)!(b− a)n+1

é chamada forma de Lagrange para o resto de Taylor. Há outras formas parao resto, como a forma de Cauchy e a forma integral do resto, que não serãodiscutidas aqui.

A prova do Teorema 20 se encontra no link a seguir.

+ Para Saber Mais - Prova da Fórmula de Taylor com resto de Lagrange- Clique para ler

Série de Taylor

Definição 21 Seja f : I → R uma função infinitas vezes derivável em I e seja a ∈ I. Asérie infinita

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + f ′′(a)

2(x− a)2 + · · ·

=∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n (16.1)

é chamada série de Taylor da função f no ponto a.

Se a função f é derivável infinitas vezes, podemos sempre obter a série deTaylor 16.1, mas a série nem sempre converge em alguma vizinhança de a. Podemesmo acontecer que convirja em uma vizinhança de x = a, mas não convirjapara f(x). O estudo da convergência da Série de Taylor está além dos objetivosdeste livro e não será feito aqui.

16


A série de Taylor para x = 0 também é chamada série de Maclaurin.No exemplo 19, vimos que a série de Maclaurin de f(x) = 1

1−x convergepara f(x) para 0 < x < 1.

Exemplo 22Obtenha a série de Maclaurin da função f(x) = senx.

Obtendo as derivadas de senx e avaliando em x = 0, obtemos:

f(x) = senx f(0) = 0

f ′(x) = cos x f ′(0) = 1

f ′′(x) = − senx f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cosx f ′′′(0) = −1f (4)(x) = senx f (4)(0) = 0

Derivando sucessivamente, vemos que os valores da derivada se repetem emciclos de período 4, de tal forma que f (n)(0) = 0 para n é par e f (n)(0) alternaos valores 1 e −1 para n ímpar. Portanto, a série de Maclaurin da funçãof(x) = senx é

f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 +

f (4)(0)

4!x4 + · · ·

= x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · · =

∞∑n=0

x2n+1

(2n+ 1)!.

A figura a seguir mostra como os polinômios de Taylor se aproximam cada vezmais da curva y = sen x próximo à origem. No gráfico temos f(x) = senx

(em preto), p3(x) = x − x3

6(em azul), p5(x) = x − x3

6+ x5

120(em amarelo),

p7(x) = x− x3

6+ x5

120− x7

5040(em vermelho) e p9(x) = x− x3

6+ x5

120− x7

5040+ x9

362880

(em laranja).

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8−9

f(x) = senx

p3(x)

p5(x)

p7(x)

p9(x)

17

Unidade 16 Exercícios

16.5 Exercícios

1. Mostre que se uma função f : I → R é derivável em um ponto x = a ep1(x) é seu polinômio de Taylor de ordem 1 em a então y = p1(x) é areta tangente ao gráfico de f(x) em x = a.

2. Encontre a série de Taylor da função f(x) = cos x em x = 0.

3. Encontre a série de Taylor da função f(x) = 1xem x = 1.

4. Mostre que a série de Taylor da função f(x) = (1 + x)p, p ∈ R, é dadapor

1 + px+p(p− 1)

2!x2 + · · ·+ p(p− 1) . . . (p− n+ 1)

n!xn + · · ·

Mostre que se p ∈ N, esta fórmula resulta na expansão do binômio deNewton para (1 + x)p.

5. Mostre que a série de Taylor da função f(x) = arctan x em x = 0 é dadapor

x− x3

3+x5

5− x7

7+ · · ·+ (−1)n x

2n−1

2n− 1+ · · ·

6. Use o polinômio de Taylor de ordem 5 da função f(x) = senx em x = 0

para estimar o valor de sen 0.3. Usando a forma de Lagrange do resto deTaylor, estime o erro máximo da aproximação obtida.

18


16.6 Textos complementares

Para Saber MaisO Marquês de L’HôpitalA Regra de L’Hôpital recebeu este nome em homenagem ao Matemático

francês Guillaume François Antoine l’Hôpital (1661–1704), o Marquês del’Hôpital.

O Marquês é de família nobre e, após abandonar uma carreira militar porproblemas de visão, dedicou-se à Matemática, tendo sido autor de trabalhosinteressantes em Cálculo e a publicação de algumas obras importantes.

A Regra de L’Hôpital não foi descoberta por ele, mas apareceu pela primeiravez em sua obra Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des LignesCourbes (Cálculo infinitesimal para o entendimento das linhas curvas), publi-cada em 1696, que teve grande importância histórica por ter sido a primeiraapresentação sistemática do Cálculo Diferencial.

L’Hôpital deu crédito ao matemático Johann Bernoulli pelos resultadosmatemáticos no livro e, não desejando ele mesmo receber crédito pelas des-cobertas, publicou a primeira edição anonimamente.

A figura abaixo mostra a capa da segunda edição do livro, de 1716.Uma versão integral do livro em arquivo PDF e texto está disponível emhttp://archive.org/details/infinimentpetits1716lhos00uoft

19

Unidade 16 Textos complementares

Para Saber Mais Demonstração da Regra de L’HôpitalInicialmente, faremos a demonstração para limites laterais à direita x→ a+.

A demonstração para limites laterais à esquerda é análoga e, tendo demonstradoos dois limites laterais, fica demonstrado o caso x→ a.

Suponha então que limx→a+ f(x) = 0 e limx→a+ g(x) = 0 e que limx→a+

f ′(x)

g′(x)exista. Provaremos que

limx→a+

f(x)

g(x)= lim

x→a+

f ′(x)

g′(x).

Considere as funções F e G definida em I por

F (x) =

{f(x) se x 6= a

0 se x = ae G(x) =

{g(x) se x 6= a

0 se x = a.

Seja x ∈ I, com x > a. Como f e g são deriváveis em I \ {a}, então F eG são deriváveis no intervalo (a, x] e, portanto, contínuas em (a, x]. Mas F eG também são contínuas em a, pois

limx→a+

F (x) = limx→a+

f(x) = 0 = F (a) e limx→a+

G(x) = limx→a+

g(x) = 0 = G(a).

Assim, F e G são contínuas em [a, x], deriváveis em (a, x) e vale que G′(x) 6= 0

em (a, b) (pois o mesmo vale para g, por hipótese). Portanto, atendem àscondições do valor médio de Cauchy e existe um cx ∈ (a, x) tal que

F (x)− F (a)G(x)−G(a)

=F ′(cx)

G′(cx).

Mas F (a) = G(a) = 0, F ′(cx) = f ′(cx) e G′(cx) = g′(cx) para cx ∈ (a, x).Portanto,

f(x)

g(x)=f ′(cx)

g′(cx). (16.2)

Fazendo agora o limite quando x→ a+ na equação 16.2, como cx ∈ (a, x),temos que cx → a+, o que resulta em

limx→a+

f(x)

g(x)= lim

x→a+

f ′(cx)

g′(cx)= lim

cx→a+

f ′(cx)

g′(cx)= lim

x→a+

f ′(x)

g′(x),

20


o que conclui a prova para o limite lateral à direita x → a+. A prova para olimite lateral à esquerda é análoga e podemos assim considerar provado o casodos limites x→ a+, x→ a− e x→ a.

Provaremos agora a Regra de L’Hôpital para limites no infinito x → ±∞.Faremos para o caso x→∞. A prova do caso x→ −∞ é análoga.

Sejam f e g funções deriváveis em intervalo (b,∞) tais que limx→∞ f(x) =

0, limx→∞ g(x) = 0 e g′(x) 6= 0 para todo x ∈ (b,∞) e suponha que exista

limx→∞

f ′(x)

g′(x). Provaremos que

limx→∞

f(x)

g(x)= lim

x→∞

f ′(x)

g′(x).

Fazendo t = 1xpara x > b, temos 0 < t < 1

bpara b < x < ∞ e t → 0+

se x→∞. A ideia da demonstração é usar a mudança de variável t = 1xpara

reduzir ao caso já provado da Regra de L’Hôpital.Sejam as funções F,G :

(0, 1

b

)→ R definidas por

F (t) = f

(1

t

)e G(t) = g

(1

t

).

Então

limt→0+

F (t) = limx→∞

f(x) = 0 e limt→0+

G(t) = limx→∞

g(x) = 0.

Pela regra da cadeia, f e G são deriváveis em(0, 1

b

)e

F ′(t) = − 1

t2f ′(1

t

)e G′(t) = − 1

t2g′(1

t

).

Aplicando a parte que já provamos da Regra de L’Hôpital, temos que

limt→0+

F (t)

G(t)= lim

t→0+

F ′(t)

G′(t).

Portanto,

limx→∞

f(x)

g(x)= lim

t→0+

f(1t

)g(1t

) = limt→0+

F (t)

G(t)= lim

t→0+

F ′(t)

G′(t)

= limt→0+

− 1t2f ′(1t

)− 1t2g′(1t

) = limt→0+

f ′(1t

)g′(1t

) = limx→∞

f ′(x)

g′(x),

o que completa a demonstração do teorema.

21

Unidade 16 Textos complementares

Para Saber Mais Prova da Fórmula de Taylor com resto de Lagrange

Demonstração Suponha que b > a (o caso b < a é análogo). Seja a função g : [a, b]→ Rdefinida por

g(x) = f(b)− f(x)− f ′(x)(b− x)− · · · − f (n)(x)

n!(b− x)n

− M

(n+ 1)!(b− x)n+1 , (16.3)

em que M ∈ R é escolhida de forma que g(a) = 0.Temos que g(x) é contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Além disso,

g(a) = 0 (pela escolha de M) e, substituindo x = b na fórmula 16.3, vemosque g(b) = 0. Portanto, podemos aplicar o Teorema de Rolle e concluir queexiste um c ∈ (a, b) tal que g′(c) = 0.

Mas a derivada de g(x) é

g′(x) = −f ′(x)− (f ′′(x)(b− x)− f ′(x))−(f ′′′(x)

2(b− x)2 − f ′′(x)(b− x)

)− · · · −

(f (n+1)(x)

n!(b− x)n − f (n)(x)

(n− 1)!(b− x)n−1

)+M

n!(b− x)n

=M − f (n+1)(x)

n!(b− x)n

Como g′(c) = 0 entãoM = f (n+1)(c). Substituindo x por a na fórmula 16.3e lembrando que g(a) = 0, resulta em:

f(b) = f(a) + f ′(a)(b− a) + · · ·+ f (n)(a)

n!(b− a)n + f (n+1)(c)

(n+ 1)!(b− a)n+1 ,

que é a fórmula que queríamos demonstrar.

22

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MA22 Unidade 16 - icmc.usp.br antigo d… · Regra de L’Hôpital; Aproximações por polinômios Unidade 16 Dizemos que o limite lim x!a Definição 2 f(x) g(x) para funções f(x)