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Macroeconomia Notas de Aula Roberto Ellery Jr. 1 Universidade de Bras´ ılia Victor Gomes 2 Universidade Cat´ olica de Bras´ ılia 13 de outubro de 2003 1 Email: [email protected], Home Page www.robertoellery.com.br 2 Email: [email protected], Home Page: www.victorgomes.com.br

Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

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MacroeconomiaNotas de Aula

Roberto Ellery Jr.1

Universidade de Brasılia

Victor Gomes2

Universidade Catolicade Brasılia

13 de outubro de 2003

1Email: [email protected], Home Page www.robertoellery.com.br2Email: [email protected], Home Page: www.victorgomes.com.br

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Versao incompleta e nao submetida a revisao, deve ser utilizadaapenas como referencia para os alunos de Macroeconomia I doprimeiro semestre de 2003 da Universidade de Brasılia e pelos

alunos de Macroeconomia Aplicada 2 da Universidade Catolicade Brasılia do segundo semestre de 2003.

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Sumario

I Programacao Dinamica com Tempo Discreto 7

1 Horizonte Finito 81.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 O Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Equacao de Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Algoritmo de Programacao Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Horizonte Infinito 132.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Funcional de Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Espacos Metricos e Espacos Vetoriais Normados . . . . . . . . . 142.4 Teorema do Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Solucao da Equacao de Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Aplicacoes 213.1 Busca por Emprego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Demanda por Moeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II Consumo e Precificacao de Ativos Financeiros 28

4 Consumo e Poupanca 294.1 Consumo e Poupanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Modelo com dois Perıodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Solucao Recursiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3 Modelo comT Perıodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Modelo com Horizonte Infinito de Programacao . . . . . . . . . . 424.5 Juros, Consumo e Poupanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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5 Precificacao de Ativos Financeiros 465.1 Precos de Ativos como um Passeio Aleatorio . . . . . . . . . . . 465.2 Precificacao de Ativos em Equilıbrio Geral . . . . . . . . . . . . 485.3 Premio de Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.1 O Experimento de Mehra e Prescott . . . . . . . . . . . . 525.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

III Modelo B asico de Crescimento e Ciclos Reais 54

6 Modelo de Solow 556.1 A Funcao de Producao Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.1.1 Concorrencia e Distribuicao do Produto . . . . . . . . . . 586.1.2 Funcao de Producao Cobb-Douglas e CES . . . . . . . . 60

6.2 O Modelo de Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2.1 Poupanca e Crescimento no Modelo de Solow . . . . . . . 676.2.2 A Regra de Ouro da Acumulacao de Capital e a Ineficiencia

Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.3 Resıduo de Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.4 Contabilidade do Crescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.5 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7 Modelo Basico de Crescimento e Ciclos Reais 807.1 Poupanca Endogena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2 Oferta de Trabalho e o Modelo Basico de Ciclos Reais . . . . . . 867.3 Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.4 Calibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8 Trabalho Indivis ıvel e outras Modificacoes do Modelo Basico 968.1 Modelo com Trabalho Indivisıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2 Choque de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

IV Modelo de Geracoes Superpostas 98

9 Estrutura do Modelo de Geracoes Superpostas 999.1 Descricao dos Consumidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.2 Equilıbrio Competitivo e Equilıbrio Competitivo Recursivo . . . . 1029.3 Bem-Estar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

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10 Demanda por Moeda 10910.1 Equilıbrio Monetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10910.2 Variacoes na Oferta de Moeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

11 Modelo com Producao e Ineficiencia Dinamica 11711.1 Poupanca e Acumulacao de Capital . . . . . . . . . . . . . . . . 11711.2 Firmas e Precos dos Fatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11811.3 Definicao e Caracterizacao do Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . 11911.4 Ineficiencia Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12011.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

12 Equivalencia Ricardiana 121

13 Previdencia Social 122

A Log-linearizacao dos Modelos de Crescimento 123

Referencias Bibliograficas 129

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Lista de Figuras

3.1 Funcao Valor e Salario de Reserva . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Consumidor keynesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Consumo suave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Consumo e Poupanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.1 Funcao de Producao CES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2 Modelo de Crescimento de Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3 Caminho de Crescimento Equilibrado com Mudanca emσ . . . . 706.4 Regra de Ouro da Acumulacao de Capital . . . . . . . . . . . . . 716.5 A Regra de Ouro e a Ineficiencia Dinamica . . . . . . . . . . . . 726.6 Relacao entre Taxa de Crescimento e Riqueza, 1955 - 1990 . . . . 786.7 Clubes de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.1 Modelo de Geracoes Superpostas com Dois Perıodos . . . . . . . 100

10.1 Equilıbrio Monetario Dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

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Lista de Tabelas

6.1 Capital e Produto no Modelo de Solow . . . . . . . . . . . . . . . 666.2 Contabilidade do Crescimento na America Latina . . . . . . . . . 76

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Parte I

Programacao Dinamica com TempoDiscreto

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Capıtulo 1

Horizonte Finito

1.1 Introducao

As tecnicas de programacao dinamica sao as ferramentas matematicas mais im-portantes para acompanhar o curso de Macroeoconomia I. Nesta unidade o metodode programacao dinamica sera apresentado para o caso onde os agentes possuemum horizonte de tempo finito. Apesar de proporcionar muitas aplicacoes acre-dito que apresentar o metodo com tempo finitoe a melhor maneira de iniciar adiscussao para programacao dinamica com horizonte de tempo infinito. As notasque seguem foram escritas a partir de Stockey e Lucas (1989) eWright (1997).

1.2 O Problema

Considere um indivıduo que busca maximizar o valor esperado de seu fluxo deutilidade intertemporal. O problema deste indivıduo pode ser descrito como:

maxat

E0

T∑

t=0

βtu(xt, at)

s.a. at ∈ Γ(xt) (1.1)

xt+1 = f(xt, at, εt) (1.2)

ondeat e a variavel escolhida pelo indivıduo a cada perıodo, chamadavari aveisde controle, e xt representa uma variavel que caracteriza um estado da naturezaque condiciona a decisao do indivıduo, chama-sext de vari avel de estado. Oparametroβ representa o fator de desconto, quanto menor seu valor mais oin-divıduo valoriza o presente.

A restricao (1.1) determina que o valor escolhido para a variavel de controle,at de pertencer a um conjunto determinado pela variavel de estado,xt. Por sua

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vez, a restricao (1.2) fornece a lei de movimento da variavel de estado, ou seja,determina como a variavel de estado evolui no tempo. Pela lei de movimeto podeser observado que o valor da variavel de estado emt + 1 depende do valor davariavel de estado no perıodo t, do valor da variavel de controle no perıodo t ede uma terceira variavelε. Estaultima e uma variavel aleatoria descrita por umafuncao de distribuicao cumulativa que depende dext eat, de forma que:

F (ε | x, a) = Prob(εt ≤ ε | xt = x, at = a) (1.3)

Dada uma sequencia para a variavel de controleat e possıvel usar (1.1) e (1.2)para construir a distribuicao de probabilidade dos futuros estados condicional ax0. E com respeito a esta distribuicao que se toma as expectativas no problema doindivıduo1.

Outro ponto importante a se notare queu, Γ, f eF nao dependem det, nestesentido podemos dizer que o problemae estacionario. O fato de(at, xt) contertoda a informacao disponıvel no perıodot relevante para determinar a distribuicaode probabilidade de eventos futuros e a hipotese de que a funcao de utilidadee se-paravel no tempo implicam que o valo da variavel de controle no tempo dependeraapenas da variavel de estado, ou seja,at = αt(xt), ondeαt e chamada deregrade decisao. Com istoe possıvel definir o que vem a ser uma polıtica.

Definicao 1.1 SejaX o conjunto das variaveis de estado eA o conjunto dasvariaveis de controle. Umapolıtica de tamanhoT e definida como uma sequenciade regras de decisaoπT = (α0, α1, . . . , αT ), ondeαt : X → A para todot.

O conjunto de polıticas factıveise dado por:

Πt = πT = (α0, α1, . . . , αT ) : αt(x) ∈ Γ(x) ∀x, t (1.4)

Uma polıtica sera dita estacionaria se nao depender do tempo, ou seja,αt(x) ≡α(x). Cada polıtica gera uma regra de movimento estocastica para a variavel deestado,xt+1 = f (xt, αt(xt), εt), que sera estacionaria seαt for estacionaria.

1.3 Equacao de Bellman

Considere uma dada polıtica πT e que faltamT perıodos para que acabe o hori-zonte de programacao. Se o valor atual da variavel de estado forx0 o valor destapolıtica sera dado por:

WT (x0, πT ) = E0

T∑

t=0

βtu (xt, αt(xt)) (1.5)

1A este respeito ver Stockey e Lucas (1989) e Wright (1997)

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ondext evolui no tempo de acordo com (1.2). Desta forma o problema doin-divıduoe escolherπT ∈ ΠT de forma a maximizarWT (x, πT ).

Assuma queΓ(x) e nao-vazio, compacto e contınuo; queu(x, a) e contınuae limitada e quef(x, a, ε) e contınua. Entao existe uma solucao para o pro-blema,π⋆

T = (a⋆0, a

⋆1, . . . , a

⋆T ), quee chamadapolıtica otima. Ademais existe

umafuncao valor otima, dada por:

VT (x) = WT (x, π⋆T ) (1.6)

quee contınua e limitada emx.2

De acordo com a lei da expectativas itereadas vale queE0(·) = E0 [E1(·)],desta forma (1.6) pode ser escrita como:

VT (x0) = WT (x0, π⋆T ) = E0

T∑

t=0

βtu(xt, a⋆t )

= maxπT∈ΠT

E0

T∑

t=0

βtu(xt, at)

= maxπT∈ΠT

E0

u(x0, a0) + E1

T∑

t=1

βtu(xt, at)

= maxa0∈Γ(x0)

E0

u(x0, a0) + maxπT−1∈ΠT−1

E1

T∑

t=1

βtu(xt, at)

onde aultima igualdade decorre do fato que acoes tomadas emt ≥ 1 nao afetamu(x0, a0).3

A partir da definicao de funcao valore possıvel perceber que:

VT−1(x1) = maxπT−1∈ΠT−1

E1

T∑

t=1

βt−1u(xt, at)

e considerando que, pela lei de movimento,x1 = f(x0, a0, ε0), temos que:

VT (x0) = maxa0∈Γ(x0)

E0

u(x0, a0) + β maxπT−1∈ΠT−1

E1

T∑

t=1

βt−1u(xt, at)

= maxa0∈Γ(x0)

E0 u(x0, a0) + βVT−1 (f(x0, a0, ε0))

2Para demonstracoes e mais detalhes a este respeito ver Stockey e Lucas (1989)e Wright(1997).

3Repare que o subescritoT −1 significa que a variavele avaliada faltandoT −1 perıodos paraacabar o horizonte de programacao, ou seja, uma variavel emT − 1 esta um perıodo a frente deuma variavel emT .

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Por fim se tirarmos o subscrito emx, a e ε e escrevermos a expressao acima paraqualquer numero de perıodos restantes para o final do horizonte de programacao,S ∈ 1, 2, . . . , T, podemos escrever aEquacao de Bellman:

VS(x) = maxa∈Γ(x)

u(x, a) + βEVS−1 (f(x, a, ε)) (1.7)

onde o operador esperanca representa o valor esperado com respeito aε condici-onal ax ea, ou seja:

EVS−1 ((x, a, ε)) =

VS−1 ((x, a, ε)) dF (ε | x, a)

Com o uso da Equacao de Bellman o problema de escolher uma sequencia deregras de decisao se transforma em uma sequencia de escolhas para a variavel decontrole. Isto simplifica muito o problema a ser solucionado4.

1.4 Algoritmo de Programacao Dinamica

Uma das maneira de resolver a equacao (1.7)e por meio do algoritmo de programacaodinamica. Considere oultimo perıodo do horizonte de programacao, ou sejaS = 0, neste perıodo podemos contruirV0. Para isto basta obtera resolvendoo seguinte problema de maximizacao:

maxa∈Γ(x)

u(x, a)

como a solucao em geral depende dex podemos escreve-la da formaa = η0(x).Desta forma temos que:

V0(x) = u(x, η0(x))

ConhecidoV0(x) e possıvel determinarV1(x) a partir da Equacao de Bellman,para isto basta fazer:

V1(x) = maxa∈Γ(x)

u(x, a) + βEV0 (f(x, a, ε))

Em posse deV1(x) e possıvel usar novamente a Equacao de Bellman para obterV2(x). Seguindo com este metodo ateS = T e possıvel encontrar todas as funcoesvalores e a polıtica otima. E esta possibilidade de solucao do fim para o comecoque fornece o carater recursivo ao algoritmo de programacao dinamica.

Em resumo, o algoritmo de programacao dinamica pode ser descrito por meiodos passos abaixo:

4Para mais detalhes ver Bertsekas (1976).

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1. ConstruirV0(x) a partir da formulaV0(x) = maxa∈Γ(x) u(x, a). Guardar asolucao do problema comoa = η0(x).

2. Usar a Equacao de Bellman para determinarVS(x), S ∈ 1, 2, . . . , T.Para cadaS guardar a regra de decisaoηS(x).

3. Construir uma polıtica fazendoαt(x) = ηT−t(x) parat = 0, 1, . . . , T . Apolıticaπ = (α0, α1, . . . , αT ) e otima.

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Capıtulo 2

Horizonte Infinito

2.1 Introducao

Nesta unidade passamos a considerar o caso de horizonte de programacao infinito.As tecnicas desta unidade serao fundamentais no decorrer do curso, de forma queefundamental que todos tenham certeza de ter compreendido o uso de programacaodinamica para resolver problemas de otimizacao com horizonte de tempo infinito.Assim como a unidade anterior, esta parte segue a exposicao em Stockey e Lucas(1989) e Wright (1997).

2.2 Funcional de Bellman

No caso de horizonte infinito o algoritmo de programacao dinamica nao pode serutilizado pois nao existe um perıodo final onde iniciar as iteracoes. Entretantoe possıvel pensar no problema como uma sequencia de problemas finitos comTtendendo a infinito. Esta abordagem pode ser justificada se for possıvel mostrarque a sequencia de polıticasotimas para o caso de horizonte finita possui umunicolimite e que este limitee a polıtica otima para o problema em horizonte infinito.

Devido a estacionariedade do problema, no sentido descritoacima, no caso dehorizonte infinito o problemae o mesmo em cada ponto do tempo. Desta forma,se existir uma solucao, a funcao valor,V (x), e a regra de decisao,a = α(x) seraoas mesmas em cada ponto do tempo eV (x) deve satisfazer a equacao funcionalabaixo:

V (x) = maxa∈Γ(x)

u(x, a) + βEV (f(x, a, ε)) (2.1)

Assim como em (1.7) a esperancae tomada em relacao aε e e condiconada emaex.

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SejaC o conjunto de funcoes contınuas e limitadas que assumem valores reaisemX. Considere um operadorT : C → C tal que:

Tϕ = maxa∈Γ(x)

u(x, a) + βEϕ (f(x, a, ε)) (2.2)

O operador descrito em (2.2) transforma uma funcaoϕ em outraTϕ de tal formaque seϕ ∈ C entao Tϕ ∈ C.1 Fica facil observar que a solucao da equacaofuncional (2.1)e um ponto fixo de (2.2), ou seja a funcao valor deve ser tal queV = TV .

Desta forma, o problema de encontrar a funcao valor no caso de horizonte detempo finito pode ser tratado como a busca por um ponto fixo para(2.2). A secao2.3 apresenta uma rapida revisao sobre espacos metricos, enquanto a secao 2.4apresenta o Teorema do Ponto Fixo de Bannach.

2.3 Espacos Metricos e Espacos Vetoriais Normados

Esta secao contem uma rapida revisao sobre espacos metricos, aqueles que ne-cessitem de um estudo mais detalhado podem encontrar o material em Stockeye Lucas (1989) ou em Lima (1993), sendo estaultima referencia ideal para osque nao estao familiarizados com conceitos elementares de espacos metricos eespacos vetoriais normados.

Antes de mais nadae preciso definir o que seja um espaco vetorial:

Definicao 2.1 Um espaco vetorialX e formado por um conjunto de vetores eduas operacoes, adicao e multiplicacao por um escalar. Estas operacoes e estesvetores sao tais que para quaisquer dois vetoresx, y ∈ X, a adicao cria um vetorx + y ∈ X e, para qualquer vetorx ∈ X e qualquer numero realα ∈ ℜ, amultiplicacao por um escalar cria um vetorαx ∈ X. Ademais, as operacoesdevem ser tais que para quaisquerx, y e z ∈ X eα, β ∈ ℜ vale que:

1. x + y = y + x;

2. (x + y) + z = x + (y + z);

3. α(x + y) = αx + αy;

4. (α + β)x = αx + βx; e

5. (αβ)x = α(βx).

1Para uma discussao sobre a demonstracao desta propriedade deT , ver Stockey e Lucas (1989)e Wright (1997).

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Tambem deve existir um vetor zeroθ ∈ X que possua as seguintes propriedades:

6. x + θ = x; e

7. 0x = θ.

Finalmente,

8. 1x = x.

O fato de termos considerado a multiplicacao por escalar apenas em relacaoa numeros reais faz com que o espaco vetorial seja consideradoum espaco real.Embora o estudo de espacos complexos possa ser interessante encontra-se fora deconsideracao neste curso, aos interessados no assunto recomendo que comecempor Rudin (1986).

Para que possamos discutir problemas de convergenciae preciso que tenhamosuma nocao relativa a distancia. Para isto definimos uma metrica, quee uma funcaoque toma quaisquer dois elemento de um conjunto e fornece um valor que podeser considerado como a distancia entre estes dois elementos. A partir do conceitode metricae possıvel definir umespaco metrico da seguinte forma:

Definicao 2.2 Um espaco metrico e formado por um conjuntoS e uma metricaρ : S × S → ℜ tais que para todosx, y, z ∈ S vale que:

1. ρ(x, y) ≥ 0, com igualdade sex = y;

2. ρ(x, y) = ρ(y, x); e

3. ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z)

Como pode ser observado, uma metrica possui as quatro propriedades basicasde uma distancia, quais sejam: a distancia entre pontos diferentese estritamentemaior que zero, a distancia de um ponto para ele mesmoe igual a zero, a distanciae simetrica e vale a desigualdade do triangulo.

Quando se considera espacos vetoriaise normal definir metricas de tal formaque a distancia entre dois vetores seja igual a distancia entre sua diferenca e zero.Para entender este conceito considere o espaco vetorialS e os pontosx, y ∈ S.ComoS e um espaco vetorial vale quex − y ∈ S, prove isto como exercıcio, otipo de metrica descrito acima exige queρ(x, y) = ρ(x − y, θ).

Dois outros conceitos importantes, relacionados com as metricas definidasacima, sao os denorma e deespaco vetorial normado. Estes sao definidoscomo:

Definicao 2.3 Um espaco vetorial normadoe um espaco vetorialS e uma norma‖ · ‖ : S → ℜ tais que para todosx, y ∈ S eα ∈ ℜ, vale que:

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1. ‖x‖ ≥ 0, com igualdade se e somente sex = θ;

2. ‖αx‖ = |α| · ‖x‖; e

3. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖.

Uma pratica comum consiste em considerar qualquer espaco vetorial normado(S, ‖ · ‖) como um espaco metrico onde a metricae dada porρ(x, y) = ‖x − y‖.

Tendo definido metrica e espacos metricose possıvel apresentar o conceito deconvergencia de sequencias, qual seja:

Definicao 2.4 Uma sequenciaxn∞n=0 emS converge parax ∈ S se, para todo

ε > 0 existe umNε tal que:

ρ(xn, x) < ε, ∀ n ≥ Nε

Desta forma uma sequenciaxn em espaco metrico(S, ρ) converge parax ∈ S see somente se a sequencia de numeros reais nao negativosρ(xn, x)∞n=0 convergirpara zero. Neste caso escreve-sexn → x.

O criterio de convergencia exige que os elementos se aproximem cada vezmais de umunico ponto no espaco metrico. Em alguns casos nao e possıvelidentificar este ponto, poreme possıvel observar que os pontos da sequencia ficamcada vez mais proximos uns dos outros. Quando uma sequencia apresenta estacaracterıstica diz-se quee umasequencia de Cauchy, a definicao formal segueabaixo.

Definicao 2.5 Uma sequenciaxn∞n=0 emS e uma sequencia de Cauchy se para

cadaε > 0, existe umNε tal que:

ρ(xn, xm) < ε, ∀ n,m ≥ Nε

Note que toda sequencia que converge para algum pontox ∈ S e uma sequenciade Cauchy, mas o contrario naoe verdade.

Para se determinar se uma sequenciae de Cauchy basta conhecermos os pontosda sequencia, no caso de sequencias convergentese preciso saber para onde asequencia converge. Isto faz com que seja mais facil identificar uma sequenciade Cauchy do que uma sequencia convergente. A proxima definicao nos permitedelimitar os espacos metricos onde toda sequencia de Cauchye convergente.

Definicao 2.6 Um espaco metrico(S, ρ) e completo se toda to sequencia de Cau-chy emS converge para um elemento emS.

Um exemplo de espaco metrico completoe o conjunto dos numeros reais,ℜ, coma metricaρ(x, y) = |x − y|. Quando um espaco vetorial normadoe completodiz-se que consiste em umespaco de Banach, estee um tipo de espaco muitoimportante para nossa analise.

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2.4 Teorema do Ponto Fixo de Banach

Uma vez apresentado o conceito de espacos de Banach e discutidas as principaiscaracterısticas de um espaco metrico completoe possıvel retornar ao problema dedeterminar se existe um ponto fixo para (2.2). Antes devemos apresentar umadefinicao quee fundamental para o restante da secao, trata-se do conceito decontracao.

Definicao 2.7 Seja (S, ρ) um espaco metrico e T : S → S uma funcao queleva deS emS. Dizemos queT e uma contracao com moduloβ se para algumβ ∈ (0, 1), ρ(Tx, Ty) ≤ βρ(x, y), ∀ x, y ∈ S.

A seguir sera enunciado e demonstrado oTeorema do Ponto Fixo de Ba-nach, tambem conhecido comoTeorema da Contracao. Estee o teorema maisimportante deste curso, em resumo ele garante que toda contracao em um espacometrico completo possui umunico ponto fixo. Mais ainda, o teorema define umtipo de sequencia que converge para este ponto fixo. Sem este teorema as tecnicasde programacao dinamica usadas no restante do curso e muito populares na ma-croeconomia nao poderiam ser aplicadas.

Teorema 2.1 (Teorema do Ponto Fixo de Banach)Se(S, ρ) for um espaco metricocompleto eT : S → S for uma contracao com moduloβ, entao:

1. T possui exatamente um ponto fixo emS, ou seja existe apenas umv tal queTv = v; e

2. Para qualquerv0 ∈ S, ρ(T nv0, v) ≤ βnρ(v0, v), n = 0, 1, 2, · · ·

Demonstracao: Para provar (1)e necessario encontrar um candidato av, mostrarqueTv = v e que nao existe nenhum outrov ∈ S tal queT v = v. Escolha umv0 ∈ S e defina a sequenciavn

∞n=0 de forma quevn+1 = Tvn tal quevn = T nv0.

Onde vale queT 0x = x e T nx = T (T n−1x) paran = 1, 2, · · · . ComoT e umacontracao, vale que:

ρ(v2, v1) = ρ(Tv1, v0) ≤ βρ(v1, v0).

Por inducaoe possıvel mostrar que:

ρ(vn+1, vn) ≤ βnρ(v1, v0) (2.3)

Pela desigualdade do triangulo vale que para quaisquerm > n:

ρ(vm, vn) ≤ ρ(vm, vm−1) + . . . + ρ(vn+2, vn+1) + ρ(vn+1, vn)

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Aplicando (2.3) ao resultado acima temos:

ρ(vm, vn) ≤[

βm−1 + . . . + βn+1 + βn]

ρ(v1, v0)

= βn[

βm−n−1 + . . . + β + 1]

ρ(v1, v0)

≤βn

1 − βρ(v1, v0) (2.4)

Por (2.4) fica claro quevn e uma sequencia de Cauchy. ComoS e completovale quevn → v ∈ S. Para mostrar queTv = v observe que para todon e paratodov0 ∈ S vale que:

ρ(Tv, v) ≤ ρ(Tv, T nv0) + ρ(T nv0, v)

≤ βρ(v, T n−1v0) + ρ(T nv0, v)

onde a segunda linhae consequencia deT ser uma contracao. Comovn → v,vale que quandon → ∞ os dois termos a direita da desigualdade vao para zero,de forma queρ(Tv, v) = 0 o que implica queTv = v. Para mostrar a unicidadesuponha que existe umv 6= v que e outro ponto fixo deT . Entao existea ∈ℜ, a 6= 0 tal queρ(v, v) = a, neste caso vale que:

0 < a = ρ(v, v) = ρ(T v, Tv) ≤ βρ(v, v) = βa

o que consiste em contradicao poisβ < 1. Para demonstrar a segunda parte doteorema basta notar que para qualquern ≥ 1

ρ(T nv0, v) = ρ(

T (T n−1v0), T v)

≤ βρ(T n−1v0, v)

de tal forma que (2) segue por inducao.

Nem sempree possıvel usar a definicao de contracao para avaliar se um opera-dorT e uma contracao. O teorema abaixo, que nao sera demonstrado aqui2, apre-senta um conjunto de condicoes para avaliar se um operadorT e uma contracao.

Teorema 2.2 (Condicoes Suficientes de Blackwell)SejaX ⊆ ℜl e sejaB(X) oespaco de funcoes limitadasf : X → ℜ, com a norma dosup. SejaT : B(X) →B(X) um operador que satisfaca:

1. (monotonicidade)f, g ∈ B(X) e f(x) ≤ g(x) para todox ∈ X implicaque(Tf)(x) ≤ (Tg)(x) para todox ∈ X.

2. (desconto) existe algumβ ∈ (0, 1) tal que

[T (f + c)] (x) ≤ (Tf)(x) + βc, para todof ∈ B(X), c ≥ 0, x ∈ X

EntaoT e uma contracao de moduloβ.

2Para uma demonstracao ver Stockey e Lucas (1989).

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2.5 Solucao da Equacao de Bellman

Na secao 2.2 vimos que, se existir, a funcao valor corresponde ao ponto fixo dooperador definido em (2.2). Nesta secao usaremos os resultados das secoes 2.3 e2.4 para avaliar a existencia de um ponto fixo em (2.2).

Considerando que o espaco metrico definido porC e a norma dosup e com-pleto3, precisamos mostrar que o operador em (2.2)e uma contracao. Para istousaremos as condicoes de Blackwell4, ou seja, temos que mostrar que o operadorobedece as propriedades de monotonicidade e de desconto. Para a monotonici-dade basta observar que se duas funcoes sao tais queh(x) ≥ g(x), ∀x entao omaximo deh(x) sera maior que o maximo deg(x), disto segue que (2.2) obedecea propriedade de monotonicidade. Para a outra propriedade basta notar que:

T (ϕ + c) = maxa∈Γ(x)

u(x, a) + β [Eϕ (f(x, a, ε)) + c]

= maxa∈Γ(x)

u(x, a) + βEϕ (f(x, a, ε)) + βc

= Tϕ + βc

Com isto mostramos que o operador em (2.2)e uma contracao e que tem moduloβ.

Usando o Teorema do Ponto Fixo de Banach podemos afirmar que a funcaovalor tal como definida em (2.1) existe ee unica. Mais ainda, se tomarmos umafuncao qualquer emC e aplicarmos o operador definido em (2.2) sucessivamenteformaremos uma sequencia que converge para a funcao valor, ou seja, para qual-querv0 ∈ C a sequenciavn

∞n=0 tal quevn = T nv0 converge para a funcao valor.

Este resultado permite a implementacao do seguinte algoritmo para encontrara funcao valor:

1. Escolha uma funcao qualquerv0 ∈ C e fixen = 0.

2. Use o operador em (2.2) para calcularvn+1 = Tvn.

3. Sevn+1 = vn pare o algoritmo, caso contrario facan = n + 1 e volte parao passo 2.

4. Ao final do algoritmovn e a funcao valor.

O algoritmo descrito acima, chamado de iteracoes sobre a funcao valor, sem-pre encontra a funcao valor. Para resolver problemas analiticamente ele so e viavel

3A este respeito ver Stockey e Lucas (1989)4Para uma demonstracao a partir da definicao de contracao ver Wright (1997)

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em poucos casos. Numericamente so e utilizado em casos onde nao existem al-ternativas, pois costuma exigir muito tempo do computador enem sempre temoscerteza sobre o quao exatae a solucao.

No processo de iteracoes descrito acima sera possıvel obtera = ηn(x) damesma forma que no algoritmo de programacao dinamica descrito no capıtuloanterior. Seηn(x) assumir umunico valor para cadax, pelo menos paran grandeo suficiente,e possıvel mostrar queηn apresenta uma convergencia pontual para apolıtica estacionariaotima do problema de horizonte infinito. Caso a variavel deestado,x esteja restrita a um conjunto compacto a convergencia sera uniforme.

2.6 Exercıcios

1. Mostre que sexn → x exn → y, entaox = y.

2. Mostre que se uma sequenciaxn∞n=0 converge para um pontox ∈ S entao

esta sequenciae uma sequencia de Cauchy.

3. Mostre que o conjunto dos numeros racionais com a metricaρ = |x − y|naoe um espaco metrico completo.

4. SejaS = ℜ e ρ(x, y) = |x − y|. Verifique se a funcao f : ℜ → ℜ,f(x) = 2 + 0,3x e uma contracao. Casof seja uma contracao qual omodulo?

5. SejaS = ℜ eρ(x, y) = |x− y|. Para que valores deb a funcaof : ℜ → ℜ,f(x) = a + bx e uma contracao?

6. SejaS = ℜ eρ(x, y) = |x − y|. Considere o operadorTx = 0,5x. Escolhaum valor inicial parax, x0 = v0 = 2, e construa a sequenciavn = T nv0,encontrev tal quevn → v. Confirme sev e um ponto fixo deT .

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Capıtulo 3

Aplicacoes

Nesta parte serao apresentadas algumas aplicacoes do metodo de programacaodinamica discutido acima. Cada um dos topicos explorados esta inserido em umaliteratura abrangente sobre o tema, naoe nosso objetivo discutir esta literatura oucomo os modelos aqui apresentados se relacionam com outros modelos de suaarea especıfica. Entretanto, se alguem desenvolver interesse por algum dos temasabordados, sinta-se encorajado a buscar mais referencias sobre o tema.

3.1 Busca por Emprego

Os modelos de busca oferecem um excelente aplicacao para iniciar o estudo deprogramacao dinamica. O motivoe que a variavel de controlee discreta, de formaque resolver modelos de buscas nao exige a busca de condicoes de primeira ordemde problemas de maximizacao restrita. Nosso trabalho sera tao somente montar ofuncional de Bellman e comparar o valor de cada polıtica escolhida. Nesta parteas notas de aula seguem Sargent (1987).

Considere um trabalhador desempregado que esta procurando por trabalho deforma que a cada perıodo o trabalhador recebe uma oferta de emprego com salariow, ondew e tirado de uma distribuicaoF (W ) = P (w ≤ W ), comF (0) = 0 eF (B) = 1 para algumB < ∞. Caso o trabalhador rejeite a oferta recebe umvalor c como seguro desemprego e espera ate o proximo perıodo onde receberaoutra oferta com o salario retirado deF . No caso de aceitar a oferta com salariow ele recebera este salario a cada perıodo para sempre. Nao e permitido sair doemprego nem que ocorram demissoes.

Sejay a renda do trabalhador a cada perıodo. Desta forma se o trabalhador es-tiver desempregadoy = c, caso esteja empregado vale quey = w. O trabalhador

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desempregado busca maximizar:

∞∑

t=0

βtyt

ondeβ ∈ (0, 1) e um fator de desconto intertemporal. Para o caso de trabalhadoresempregados nao existe nenhuma decisao a ser tomada.

Sejav(w) o valor esperado do fluxo de utilidade descontada de uma trabalha-dor que recebe uma oferta no perıodo zero, ou seja:

v(w) =∞

t=0

βtyt

Uma opcao do trabalhadore aceitar a proposta, de forma que a funcao valor sejao valor presente de um fluxo de renda sempre igual aw, ou seja:

v(w) =w

1 − β

A outra opcaoe rejeitar a proposta, neste caso recebera c e tera uma nova oportu-nidade no proximo perıodo, de modo que:

v(w) = c + βE[v(w′)] = c + β

v(w′)dF (w′)

Desta forma a funcao valor do problema do trabalhador desempregado toma aforma:

v(w) = max

w

1 − β, c + β

v(w′)dF (w′)

(3.1)

E importante que fique claro que a variavel de controlee aceitar ou nao a propostae que a variavel de estadoe o salario oferecido.

A Figura 3.1 ilustra a equacao funcional em (3.1) e revela que sua solucao serada forma:

v(w) =

w1−β

= c + β∫ ∞

0v(w′)dF (w′) sew ≤ w

w1−β

sew ≥ w(3.2)

Usando (3.2)e possıvel transformar a equacao funcional (3.1) em uma equacaonormal que determinao salario de reservaw. Avaliando a funcao v(·) em w eusando (3.2), temos que:

w

1 − β= c + β

∫ w

0

w

1 − βdF (w′) + β

∫ ∞

w

w′

1 − βdF (w′)

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que pode ser escrito como:

w

1 − β

∫ w

0

dF (w′) +w

1 − β

∫ ∞

w

dF (w′)

= c + β

∫ w

0

w

1 − βdF (w′) + β

∫ ∞

w

w′

1 − βdF (w′)

arranjando novamente os termose possıvel obter:

w

∫ w

0

dF (w′) − c =1

1 − β

∫ ∞

w

(βw′ − w) dF (w′)

Finalmente, adicionandow∫ ∞

wdF (w′) aos dois lados chega-se ao resultado final:

(w − c) =β

1 − β

∫ ∞

w

(w′ − w) dF (w′) (3.3)

-

6

c + β∫

0v(w′)dF (w′)

Inclinacao= 1

1−β

w w

v

v(w)

? ^

Rejeita aoferta

Aceita aoferta

Figura 3.1: Funcao Valor e Salario de Reserva

A equacao (3.3)e usada para determinar o valor do salario de reservaw. Olado esquerdo representa o custo de procurar emprego por mais um perıodo. Olado direito representa o valor presente do benefıcio esperado de procurar empregopor mais um perıodo. Assim como geralmente ocorre em problemas de economiaa equacao (3.3) nos diz que o valor do custo deve ser igual ao valor presente dobenefıcio esperado.

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3.2 Demanda por Moeda

Um dos principais problemas da macroeconomia consiste em determinar a razaodas pessoas demandarem moeda como meio de troca. Uma explicacao para estefenomenoe o problema da dupla coincidencia, qual seja, na ausencia de moeda soocorrrao trocas se dois agentes ao se encontrarem desejarem o bem emposse umdo outro. Se alguem que possua laranja desejar consumir macas tera de encontrarum outra pessoa que deseje laranja e possua macas, do contrario nao ocorreratroca.

Este tipo de explicacao naoe possıvel de ser tratada em modelos tradicionaisde macroeconomia que assumem a existencia de umunico bem. De fato o pro-blema da dupla coincidencia so pode acontecer em economia que possuam pelomenos tres tipos distintos de bens. Por sua vez os modelos de Equilıbrio Geralassumem a existencia do Leiloeiro Walrasiano, que realiza as trocas no lugar dosindivıduos, elimina a possibilidade de introduzir uma demanda por moeda comomeio de troca.

Devido a este problema os macroeconomistas costumam utilizar atalhos paraintroduzir moeda em seus modelos. Entre estes os mais conhecidos sao: introducaoda moeda na funcao de utilidade, imposicao de um custo de transacao na formade despesas para realizar trocas ou reducao do tempo de lazer (shopping time) eassumir que alguns bens apenas podem ser adquiridos com a posse de moeda. Asduasultimas alternativas pecam por assumir trocas em uma economia de um bem.A primeira trata-se de alterar os fundamentos para obter um resultado desejado, oque faz com que esta abordagem seja alvo de severas crıticas por parte de varioseconomistas.

A questao da dupla coincidencia, e portanto a da demanda por meio de troca1

foi finalmente tratada com o devido cuidado em uma serie de trabalhos escritospelos professores Randall Wright e Nobuhiro Kiyotaki2. A ideia central destesmodelos era estudar a demanda por moeda em uma economia com diversos bens esem um Leiloeiro Walrasiano, ou seja, uma economia onde agentes estao sujeitosao problema da dupla coincidencia.

Neste secao sera apresentado um modelo simplificado de demanda por meio detroca seguindo as linhas descritas acima, a exposicao segue a que esta em Wright(1997). O meio de troca da economia sera algo sem nenhum valor intrinseco, nestecaso refere-se afiat money, em oposicao ao caso onde o meio de troca tambemeuma mercadoria, caso em que existe ocommodity money.

Considere uma economia onde existe um contınuo de bens e de agentes dis-tribuidos uniformemente em um cırculo de circunferencia igual a dois. Por sim-

1Mais a frente, quando falarmos do modelo de geracoes superpostas, trataremos de um modelode demanda por moeda, porem a moeda sera primordialmente uma reserva de valor.

2Ver Kiyotaki e Wright (1989, 1991 e 1993).

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plicidade assuma que cada agentei possui a tecnologia que o permite produzir obem do tipoi. A producao ocorre sem custo toda vez que o agente esta sem ne-nhum bem3, esta hipotese faz com que possamos concentrar a analise nas trocas eignorar o processo de producao.

As preferencias sao tais que nenhum indivıduo deseja consumir seu propriobem. Para os outros bens a utilidade depende da distancia entre o referido bem eo produzido pelo indivıduo. Com a hipotese a respeito da distribuicao dos bensfica claro que a distancia entre dois bens obedece uma distribuicao uniforme nointervalo[0 1]. O caso mais simples para este tipo de preferencia, que sera consi-derado aqui, ocorre quando o indivıduo decide consumir apenas bens a uma certadistancia do seu, ou seja, a funcao de utilidadee tal que:

u(z) − ε =

U sez ≤ x

0 sez > x(3.4)

ondez representa a distancia entre o bem a ser consumido e o bem produzido peloindivıduo,ε e um custo de transacao que aparece na forma de desutilidade eU > 0e x ∈ (0 1) sao constantes.E possıvel mostrar4 que para este tipo de utilidadeuma estrategia otima para o consumidor sera aceitar consumir qualquer bem auma distancia menor quex do bem produzido. Por causa disto a probabilidadeque um consumidor aceite uma trocae igual a Prob(z ≤ x) = x. Por hipotese aprobabilidade que um encontro ocorrae dada porβ ∈ (0 1).

Uma fracao M dos agentes desta economia iniciam com moeda ao inves dequalquer bem, o restante,1 − M possui seu tipo de bem. Tanto os bens quanto amoeda sao indivsıveis de forma que todas as trocas ocorrem de um para um, estahipotese elimina a necessidade de explicar precos relativos5. A questaoe analisarem que condicoes a moeda sera aceita como meio de troca em equilıbrio.

Adicionalmente assuma que os detentores de moeda nao podem produzir ne-nhum tipo de bem enquanto nao realizarem um troca e que os encontros sempreocorrem, ou sejaβ = 1. Neste caso a fracao de pessoas com moeda sera sempreM e a probabilidade de uma agente qualquer encontrar um detentor de moeda(comprador) sera igual aM , enquanto a probabilidade de encontrar alguem quedetenha um bem qualquer (comprador) sera1 − M .

Considere um agente representativo que acredita que a probabilidade de umvendedor escolhido ao acaso aceite moeda seja igual aΠ. Ele tembem sabe que aprobabilidade de qualquer pessoa (vendedor ou comprador) que encontre ao acaso

3Para um caso onde a producao possui custo e as oportunidades de producao surgem ao acasover Kiyotaki e Wright (1991) ou Wright (1997).

4Ver Wright (1997).5Para trabalhar com precos relativose necessario estudar elementos de teoria da negociacoes

(barganha), a este respeito ver Wright (1997).

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aceite um beme igual ax. SejaVg a funcao valor de um vendedor eVm a funcaovalor de um comprador, considerando o estado estacionarioVg sera tal que:

Vg =1

1 + r

(1 − M)x2[U + Vg] + Mx maxVm, Vg

+[1 − (1 − M)x2 − Mx]Vg

Vg =1

1 + r

(1 − M)x2[U + Vg] + Mx maxVm, Vg

+Vg − (1 − M)x2Vg − MxVg

Vg =1

1 + r

(1 − M)x2U + Mx maxVm − Vg, 0 − Vg

que, com um novo arranjo dos termos, pode ser escrita como:

rVg = (1 − M)x2U + Mx maxVm − Vg, 0 (3.5)

A equacao (3.5) diz querVg e igual ao valor esperado de realizar uma troca poroutro produto mais o valor esperado de ralizar uma troca por moeda, caso estatroca seja aceita. Usando um raciocinio semelhante ao dos vendedorese possıveldeterminar a funcao valor dos compradores como:

rVm = (1 − M)xΠ(U + Vg − Vm) (3.6)

Como pode ser observado nas equacoes (3.5) e (3.6) a decisao relevantee seo dono de uma mercadoria deve aceitar moeda como meio de troca. A estrategiaque resolve este problemae aceitar moeda com uma probabilidadeπ de formaque:

π =

0 seVm < Vg

[0 1] seVm = Vg

1 seVm > Vg

(3.7)

Desde que tanto (3.5) quanto (3.6) dependem deΠ e possıvel escrever a decisaoacima como funcao deΠ, ou seja,π = π(Π). Um equilıbrio para este modelocorresponde a um ponto fixoΠ = π(Π).

Nao e objetivo destas notas descrever todos os equilıbrios deste modelo, osinteressados devem olhar em Kiyotaki e Wright (1991) ou em Wright (1997),porem dois equliıbrios sao interessantes e merecem ser avaliados. O primeiroocorre quandoΠ = 0, neste casoe facil ver queVg > Vm o que implica queπ = 0, o que garante acondicao de equilıbrio. Este equilıbrio e chamado deequilıbrio nao monetario, sua interpretacaoe de que se as pessoas acreditam queas outras nao aceitarao a moeda como meio de troca elas tambem nao aceitarao.Talvez por isso nao consigamos imprimir nossas proprias moedas e fazer com queela circule no mercado.

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O outro equilıbrio ocorre quandoΠ = 1, neste casoVm > Vg e, portanto,π = 1, o que novamente caracteriza o ponto fixo e o equilıbrio. Este equilıbrio,chamado deequilıbrio monetario puro , diz que se as pessoas acreditam quetodos aceitarao moeda com meio de troca, entao elas tambem aceitarao. Esteresultado torna muito clara uma caracterıstica fundamental da moeda,o motivopelo qual todos aceitame moedae que todos acreditam que todos os outrosaceitam moeda.

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Parte II

Consumo e Precificacao de AtivosFinanceiros

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Capıtulo 4

Consumo e Poupanca

4.1 Consumo e Poupanca

Quando observamos o Produto Interno Bruto (PIB) de um determinado paıs po-demos observar que a maior parte destee composta pelo consumo, no caso doBrasil o consumo corresponde a mais de 70% do PIB. Tamanha importancia parao consumo justifica que iniciemos nosso estudo de teoria macroeconomica pelaestudo desta serie.

Em primeiro lugar devemos ter em mente que as decisoes de consumo saotomadas pelas famılias, pessoas comuns que devem decidir a melhor forma degastar sua renda a cada perıodo de tempo. As antigas teorias sobre consumo, deabordagem keynesiana, assumiam que esta decisao era tomada de forma que asfamılias decidiam por consumir uma determinada quantidade fixaadicionada auma fracao da renda disponivel para a famılia. Esta regra de consumo pode serexpressa pela equacao (4.1) abaixo:

C(Y ) = CA + cY (4.1)

ondeC(Y ) representa o consumo, como uma funcao da renda (Y ); CA representaa parcela do consumo que nao depende da renda ec representa a propensao mar-ginal a consumir, ou seja, em quanto o consumo vai aumentar caso ocorra umaumento de R$ 1,00 na renda.

A proposta keynesiana para explicar o consumo apresenta umaserie de pro-blemas, dos quais dois se destacam. O primeiro diz respeito ao fato que a equacao(4.1) e adotada por hipotese, sem que se explique que tipo de pessoas teriamo comportamento previsto, ou seja, a teoria nao apresenta fundamentos micro-economicos. Um outro problemae que esta teoria nao explica a tendencia queaspessoas exibem de ajustar a poupanca de modo a tornar o consumo mais suave.

Tornar o consumo suavee um desejo da maioria das pessoas, em perıodosde vacas magrase comum as pessoas usarem suas poupancas para manter seu

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padrao de consumo inalterado. A incapacidade da teoria keynesiana do consumode explicar este fato pode ser melhor entendida se usarmos a equacao (4.1) paradeterminar a poupanca das famılias, para isto basta lembrar que a poupanca con-siste na parte da renda que nao foi consumida, ou seja,

S(Y ) = Y − C(Y ) = Y − CA − cY = −CA + (1 − c)Y (4.2)

ondeS(Y ) representa a poupanca como funcao da renda.Observando as equacoes (4.1) e (4.2) podemos observar que aumentos na

renda causam aumentos na poupanca e no consumo, da mesma forma reducoesna renda implicam em queda do consumo e da poupanca. Tambem podemos notarque a variancia do produto e da poupanca devem ser menores que a da renda, pois:

var(C) = var(CA + cY ) = c2var(Y )

var(S) = var(−CA + (1 − c)Y ) = (1 − c)2var(Y )

como0 < c < 1, devemos ter var(C) < var(Y ) e var(S) < var(Y ). A primeiradesigualdadee observada em diversos paıses, mas a segunda nao, uma vez que apoupanca costuma ser mais volatil que a renda.

Na raiz dos problemas associadosa teoria do consumo keynesiana esta ahipotese de que o consumo depende da renda corrente, ou seja, as famılias de-cidem o que vao consumir hoje tomando por base apenas a renda de hoje. Se asfamılias apenas consideram a renda presente elas nao vao reduzir ou aumentar oconsumo de acordo com a renda que ainda sera recebida. Para tornar o argumentomais claro considere duas pessoas que possuem a mesma renda,podem ser doiscolegas de trabalho, porem um deles espera receber uma heranca de um milhao dereais. Pela teoria keynesiana as duas pessoas vao consumir da mesma forma ate odia em que o segundo receba a heranca, a partir deste dia o herdeiro vai consumirmais que o colega sem heranca. Ocorre que nao e este o tipo de comportamentoque observamos na maioria das pessoas, de fato, a certeza de receber a herancfaz com que o herdeiro consuma mais do que o colega mesmo antesde recebera heranca, ou seja, o herdeiro antecipa o consumo que a rendafutura o permite.A Figura 4.1 ilustra o comportamento do consumidor keynesiano e a Figura 4.2ilustra o comportamento do consumidor que suaviza o consumono tempo.

Como ilustra a Figura 4.1 o consumo so aumenta quando a renda aumenta,da mesma forma o consumo sofreria uma reducao no caso da renda sofrer umareducao, tudo ocorre como se a poupanca nao fosse utilizada, nem planejada, paramanter o nıvel de consumo das pessoas. Quando a pessoa suaviza o consumo notempoe possıvel que em alguns perıodos ela venha a conumir mais que o montantede sua renda, neste caso a pessoa estaria se endividando ou despoupando, isto fazcom que as variacoes bruscas da renda sejam repassadas para a poupanca e naopara o consumo. A Figura 4.2 mostra o caso de uma pessoa que acumula dıvidas

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Renda

Consumo

Figura 4.1: Consumidor keynesiano

no comeco da vida para paga-las mais adiante, este caso seria consistente como oexemplo do herdeiro apresentado acima.

Renda

Consumo

Figura 4.2: Consumo suave

Como dissemos o comportameto de suavizar rendae mais consistente comobservado na maioria dos paıses, no caso do Brasil a variancia1 da rendae deaproximadamente 5,67% enquanto a do consumoe de 5,26% e a da poupanca2 ede 12,77%. Note que a variancia da poupancae mais que o dobro da variancia da

1Considera-se apenas a variancia do ciclo e nao de toda a serie, a este respeito ver Ellery Jr.,Gomes e Sachsida (2002).

2Utiliza-se a variancia do investimento que, como aprendemos nas Contas Nacionais,e igual apoupanca

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renda, enquanto a do consumoe um pouco menor. No caso dos Estados Unidos avariancia do consumoe pouco superiora metade da variancia da renda. A Figura4.3 mostra o comportamento do ciclo do consumo e da poupancano Brasil, deforma a ilustrar a maior volatilidade da poupanca.

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Ciclo do ConsumoCiclo da Poupança

Figura 4.3: Consumo e Poupanca

Apenas observando a a Figura 4.3 podemos notar que as variacoes na poupancasao maiores que as do consumo. Esta evidencia observada na serie agregadaeconsistente com o pincipio que as famılias decidem o quanto vao consunmir e oquanto vao poupar de forma a suavizarseu padrao de consumo. Desta forma, omodelo de consumo keynesiano, alem de carecer de fundamentos micreconomi-cos, nao reproduz a realidade de maneira adequada, ou seja, o modelo de consumokeynesiano apresenta problemas teoricos e empiricos, o que torna necessaria aelaboracao de uma outra teoria para explicar o consumo e a popuanca das famılias.

Esta outra teoria pode ser desenvolvida a partir da abordagem darenda per-manenteou da abordagem dociclo de vida. A primeira abordagem considera queas decisoes de consumo nao sao basedas apenas na renda corrente, esta propostafoi desenvolvida por Milton Friedman na decada de 1950. A outra abordagemconsidera que as decisoes sao tomadas considerando um horizonte de planeja-mento que engloba toda a vida do indivıduo, o autor desta abordagem foi o pro-fessor Franco Modigliani. As duas abordagens sao capazes de explicar o fato dasfamılias suavizarem o consumo. Na proxima secao vamos apresentar um modelo,

32

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consistente com as hipoteses de renda permanente e do ciclo da vida, que explicacomo as famılias suavizam o consumo no tempo.

4.2 Modelo com dois Perıodos

Considere uma pessoa que vai viver dois perıodos e deve decidir o quanto con-sumir em cada perıodo. No primeiro perıodo a pessoa possui um patrimonio,denotado pora, e recebe uma renda igual ay1. No segundo perıodo a pessoa re-cebe uma renda igual ay2. A pessoa desconta o tempo a uma taxaγ, ou seja, apessoa estaria disposta de abrir mao de um real no segundo perıodo se recebesse

11+γ

reais hoje.Em geral vamos assumir queγ e maior que um, ou seja, um real hojee melhor

que um real amanha, por exemplo, seγ = 0,25 a pessoa estaria disposta a receber1

1+0,25= 0,8 reais hoje em troca de um real amanha, note que istoe equivalente a

afirmar que a pessoa estaria disposta a pagar uma taxa de jurosde 25%, de modoque podemos interpretarγ como a taxa de juros que a pessoa estaria disposta a pa-gar ao contrair um emprestimo no primeiro perıodo que deve ser pago nos egundoperıodo. Desta forma quanto maior for a taxa de desconto maior a taxa de jurosque a pessoa estaria disposta a pagar, ou seja, quanto maiorγ mais impacienteea pessoa, no sentido que ele valoriza mais o consumo presenteem detrimento doconsumo futuro. Para o caso deγ = 0 dizemos que a pessoae indiferente entreconsumir no no presente ou no futuro, e seγ < 0 a pessoa prefere consumir nofuturo do que no presente.

Uma outra maneira de representar como a pessoa valoriza o presente e o futuroe por meio do fator de desconto, sendo este definido comoβ = 1

1+γ, ou seja, o

fator de desconto representa o quanto a pessoa esta disposta a receber hoje parabrir mao de um real no proximo perıodo. Ao contrario da taxa de desconto,quanto maior for o fator de desconto mais a pessoa valoriza o futuro. Quando ofator de descontoe igual a um significa que a pessoa fica indiferente entre um realhoje e uma real amanha, se o fator de desconto for maior que um a pessoa prefereconsumir no futuro do que no presente, e no caso do fator de desconto ser menorque um a pessoa prefere consumir no presente do que no futuro.Este resultadoeesperado, pois na definicao do fator de desconto fica claro queβ sera menor, igualou maior que um conformeγ seja positivo, zero ou negativo.

Como vimos a taxa de desconto representa a taxa de juros que a pessoa estariadisposta a pagar, por esta razaoe comum chamarγ de taxa de desconto subjetivae β de fator de desconto subjetivo, uma outra coisae taxa de juros de mercado,denotada porr. A taxa de juros cobrada no mercado representa o quanto a soci-edade esta disposta a trocar renda futura por renda presente, e, destaforma, 1

1+r

representa o quanto vale hoje um real amanha. Isto quer dizer que a renda do

33

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segundo perıodo avaliada hoje seria equivalente ay2

1+r, da mesma forma o valor

presente do consumo no segundo perıodo sera dado por c21+r

, note que para tarzeruma variavel para valor presente devemos usar a taxa de desconto do mercado enao a subjetiva3.

Discutimos como as famılias e o mercado descontam o futuro, estae umaparte fundamental quando queremos explicar a escolha entreconsumir e pouparque uma famılia realiza, porem outros aspectos determinam esta escolha. As pre-ferencias de uma determinada famılia tambem possuem uma papel relevante naescolha entre consumo e poupanca. Como sabemos da teoria do consumidor umadada preferencia pode ser representada por uma funcao de utilidade, no nosso casoesta funcao deve ser capaz de descrever como a famılia obtem utilidade ao consu-mir no primeiro e no segundo perıodo, ou seja a funcao utilidade deve depender dec1 ec2, de maneira formal podemos escrever a funcao de utilidade comoU(c1, c2).

Um dos trabalhos mais delicados que temos pela frentee definirmos a formada funcaoU(·, ·), este exige que levemos em conta aspectos de calculo, nao po-demos usar uma funcao tao complicada que nao consigamos resolver o problema,e aspectos empiricos, nossa funcao deve levar a reultados compatıveis com o queobservamos na realidade. Deste modoe comum utilizarmos uma funcao separavelno tempo da forma:

U(c1, c2) = u(c1) +1

1 + γu(c2) (4.3)

a equacao (4.3) nos diz que a utilidade em cada perıodo depende do que foi con-sumido no perıodo, ou seja, o almoco de ontem nao me gera utilidade hoje, eque a utilidade totale a soma descontada da utilidade de cada perıodo. Note que,como estamos tratando da utilidade da famılia, devemos usar a taxa de descontosubjetiva. Esta forma para a funcao utilidade torna o problema bem mais simplesdo ponto de vista algebrico uma vez que o fato de∂

2U(c1,c2)∂c1∂c2

= ∂2U(c1,c2)∂c2∂c1

= 0 nosevita trabalhar com derivadas cruzadas.

Uma definidaU(·, ·) devemos definir a uma forma para a funcaou(·), conhe-cida como funcao de utilidade instantanea, uma escolha bastante populare a queapresenta elasticidade de substituicao constante, por vezes chamada de isoelastica,matematicamente esta funcaoe escrita como:

u(c) =

c1−σ−11−σ

seσ 6= 1

ln(c) seσ = 1

(4.4)

3Isto e semelhante ao que ocorre em teoria do consumidor, embora alguns consumidores este-jam dispostos a pagar um preco diferente do preco de mercado e esteultimo preco que devemosutilizar para estudar um dado mercado.

34

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note que segundo funcao de utilidade acima a elasticidade de substituicao do con-sumo no primeiro perıodo por consumo no segundo perıodo sera dada por:

η =d ln(c2/c1)

d ln |TMS|=

d 1σ

ln |TMS|

d ln |TMS|=

1

σ(4.5)

ondeη representa a elasticidade de substituicao eTMS representa a taxa marginalde substituicao. Note que segundo a equacao acima a elasticidade de substituicaoe constante e igual a1

σ.

Uma vez descritas as preferencias das pessoas que desejamos estudar pode-mos montar o problema de otimizacao de utilidade, antes, porem, devemos dis-cutir a restricao orcamentaria destas pessoas. Definir corretamente a restricaoorcamentariae, talvez, o mais importante passo a ser dado quando montamosumproblema de economia. No nosso pequeno modelo a pessoa deve decidir o quantoconsumir no primeiro e no segundo perıodo de vida, de forma que o valor presentedo gasto total com consumo, conforme visto acima, deve ser dado por:

c1 +c2

1 + r

o motivo de usarmosr e naoγ foi discutido acima. Para financiar este consumo apessoa conta com seu patrimonio inicial mais a renda que recebe a cada perıodo,ou seja, o valor presente do montante que a pessoa pode gastare dado por:

a + y1 +y2

1 + r

Note que em um determinado perıodo a pessoa pode gastar mais ou menosdo que sua renda deste perıodo. Quando gasta mais do que a renda do perıodoa pessoa se endivida, quando gasta menos do que a renda do perıodo a pessoapoupa. Apesar de poder se endividar ou poupar em um dado perıodo quandosomamos por toda a vida os recursos devem ser iguais aos gastos, ou seja, aomorrer a pessoa nem deve a ninguem neme credor de ninguem. Desta forma arestricao orcamentaria toma a forma:

a + y1 +y2

1 + r= c1 +

c2

1 + r(4.6)

Definida a restricao orcamentaria, podemos escrever o problema de maximizacaode utilidade como:

maxc1,c2

c1−σ1 − 1

1 − σ+

1

1 + γ

c1−σ2 − 1

1 − σ

s.a. a + y1 +y2

1 + r= c1 +

c2

1 + r

35

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com o Lagranjeano sendo dado por:

L =c1−σ1 − 1

1 − σ+

1

1 + γ

c1−σ2 − 1

1 − σ+ λ

[

a + y1 +y2

1 + r− c1 −

c2

1 + r

]

com as seguintes condicoes de primeira ordem:

c−σ1 = λ (4.7)

1

1 + γc−σ2 = λ

1

1 + r(4.8)

substituindo (4.7) em (4.8) temos que:(

c1

c2

=1 + γ

1 + r

que pode ser escrito como:

c1

c2

=

(

1 + γ

1 + r

)1

σ

(4.9)

A equacao (4.9)e chamada de Equacao de Euler, ela descreve qual deve sero consumo no perıodo dois como funcao do consumo perıodo um. Em termoseconomicos a Equacao de Euler nos diz que a pessoa deve estar indiferente entreconsumir hoje ou conumir no proximo perıodo. A partir da Equacao de Eulerpodemos observar que se a taxa de desconto subjetiva for maior que a taxa dedesconto do mercado a pessoa vai consumir mais no primeiro perıodo do que nosegundo. A explicacaoe simples, se a taxa de desconto subjetiva for maior que ade mercado o indivıduo estara disposto a contratar um emprestimo a uma taxa dejuros maior que a cobrada pelo mercado, logo ele vai se endividar e, portanto, vaiaumentar o consumo no primeiro perıodo, reduzindo no segundo para saldar suasdıvidas. A mesma explicacao pode ser utilizada para justificar porque uma pessoacom uma taxa de desconto subjetiva menor que a taxa de desconto do mercado vaiconsumir mais no segundo perıodo.

Para o caso onde a taxa de desconto subjetivae igual a taxa de desconto domercado, e ambas sejam iguais a zero, o consumo no primeiro perıodo sera igualao consumo no segundo perıodo. Neste caso podemos determinar o quanto seraconsumido de uma maneira muito simples, basta substituir a condicaoc1 = c2 narestricao orcamentaria. Neste caso temos que:

a + y1 + y2 = c1 + c1 ⇒

⇒ c1 =a + y1 + y2

2

36

Page 38: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

ou seja, podemos afirmar que:

c1 = c2 =a + y1 + y2

2(4.10)

apesar de representar um caso muito simples a equacao (4.10) nos permite obteralgumas importantes conclusoes sobre a escolha entre consumo e poupanca. Aprimeirae variacoes na renda em um determinado perıodo afetam o consumo emtodos os perıodos e nao apenas no perıodo em que a variacao ocorreu. A segundaconclusao, que decorre da primeira,e que, neste modelo, as pessoas suavizam seuconsumo, ou seja, as escohas sao feitas de forma a nao alterar o consumo a cadaperıodo. Finalmente a equacao (4.10) nos permite estudar o comportamento dapoupanca, para isto lembre que definimos a poupanca como a parte da renda quenaoe consumida, desta forma a poupanca em cada perıodo sera dada por:

s1 = y1 −a + y1 + y2

2(4.11)

s2 = y2 −a + y1 + y2

2(4.12)

ondesi representa a poupanca no perıodoi.Note que, ao contrario do consumo, a poupanca pode variar de um perıodo

para o outro, em particular se a renda de um perıodo for menor que a do outro, apoupanca deste perıodo tambe sera menor. Com isto vimos que nosso modeloecapaz de explicar porque a poupancae mais volatil que o consumo, isto decorre deum comportamentootimo dos agentes. A seguir vamos apresentar uma maneiraalternativa de resolver o modelo descrito nesta secao, esta maneira nos permitirautilizar o que vamos chamar de propriedades recursivas do modelo.

4.2.1 Solucao Recursiva

Na secao anterior estudamos um modelo onde uma pessoa que vive por doisperıodos escolhe, de formaotima, o quanto consumir e o quanto poupar a cadaperıodo. Ao tomar suas decisoes a pessoa estava restrita ao fato de que o valorpresente do gasto com consumo em toda sua vida deveria igualar ao valor pre-sente da riqueza que a pessoa conta para financiar seu consumo. Um maneira al-ternativa seria assumir que do total disponıvel no primeiro perıodo a pessoa poupauma parte e consome a outra, no segundo perıodo a pessoa consome a renda desteperıodo e ou paga suas dıvidas do perıodo anterior ou gasta seu patrimonio acumu-lado no primeiro perıodo. Matematicamente, esta formulacao pode ser expressa

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como:

maxc1,c2

c1−σ1 − 1

1 − σ+

1

1 + γ

c1−σ2 − 1

1 − σ

s.a.c1 = a + y1 − s

c2 = (1 + r)s + y2

substituindo as restricoes na funcao objetivo podemos escrever o problema daseguinte forma:

maxs

(a + y1 − s)1−σ − 1

1 − σ+

1

1 + γ

((1 + r)s + y2)1−σ − 1

1 − σ

onde a maximizacaoe feita ems.O problema acima nao necessita do Lagranjeano pois nao apresenta restricoes

a maximizacao, outa vantagem deste problemae que so precisamos de uma condicaode primeira ordem, que sera escrita como:

(a + y1 − s)−σ =1 + r

1 + γ((1 + r)s + y2)

−σ

utilizando novamente as restricoes podemos escrever a consicao de primeira or-dem como:

c1

c2

=

(

1 + γ

1 + r

)1

σ

(4.13)

note que a equacao (4.13)e a Equacao de Euler da secao anterior. Desta formavimos que a Equacao de Euler pode ser obtida tanto pelo problema em valor pre-sente, quanto pelo problema recursivo. Algumas vezes a forma recursivae maisapropriada e sera utilizada, outras usaremos o problema em valor presente, poremvoce deve ter em mente que a Equacao de Euler nao depende da forma comoescrevemos o problema.

Podemos continuar o exercıcio da parte anterior, para isto basta fazerγ = r =0. Novamente a Equacao de Euler fara com quec1 = c2, usando as restricoespodemos notar que:

a + y1 − s = s + y2 ⇒ s =a + y1 − y2

2

conhecido o valor des podemos concluir que o consumo no primeiro perıodo seradado por:

c1 = a + y1 −a + y1 − y2

2=

a + y1 + y2

2(4.14)

o consumo no segundo perıodo sera dado por:

c2 =a + y1 − y2

2+ y2 =

a + y1 + y2

2(4.15)

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como esperado o valor do consumoe igual nos dois perıodos, e, tambem, a solucaodo modelo recursivoe igual a do modelo em valor presente.

Quando usamos a forma recursiva, em geral, conseguimos maisintuicao a res-peito do resultado do modelo, podemos confirmar isto no nossoexemplo. Vimosque, em ambas as formulacoes a solucao foi a mesma, no entanto, observando asrestricoes do problema recursivo, percebemos que no segundo perıodo a pessoaconsome todo o seu patrimonio. O resultado naoe surpreendente, afinal ninguemvai acumular riquezas um dia antes de morrer, mas no problemaem valores pre-sentes nao ficou claro este resultado.

4.3 Modelo comT Perıodos

O modelo apresentado na secao anterior pode ser facilmente extendido para in-corporar qualquer numero finito de perıodos. Considere uma pessoa igual a quediscutimos na secao anterior, porem que viva porT perıodos. O problema demaximizacao de utilidade sera dado por:

maxc1,c2,...,cT

T∑

t=1

1

(1 + γ)t−1

c1−σt − 1

1 − σ

s.a. a +T

t=1

yt

(1 + r)t−1 ≥T

t=1

ct

(1 + r)t−1

sendo o Lagranjeano descrito por:

L =T

t=1

1

(1 + γ)t−1

c1−σt − 1

1 − σ+ λ

[

a +T

t=1

yt

(1 + r)t−1 −

T∑

t=1

ct

(1 + r)t−1

]

A primeira vista este problema pode parecer bem mais complexo do que oanterior, alem de envolver varias somas, existemT variaveis de escolhas, o quenos obrigaria a calcularT + 1 condicoes de primeira ordem, uma para cada umdosct t = 1, 2, . . . , T e mais uma para o multiplicador de Lagranje. Porem comum pouco de atencao podemos resolver este problema com apenas duas derivadas,considere a condicao de primeira ordem associada a umct qualquer:

c−σt

(1 + γ)t−1 =λ

(1 + r)t−1 (4.16)

a equacao (4.16) nos permite determinar o consumo no perıodo t como umafuncao do preco sombraλ, da taxa de desconto subjetiva e da taxa de desconto.

39

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Para determinarmos a regra de movimento do consumo (Equacao de Euler), bastadeterminar a condicao de primeira ordem com relacao act+1, qual seja:

c−σt+1

(1 + γ)t =λ

(1 + r)t (4.17)

e usar a equacao (4.16) para retirarλ da equacao (4.17). Procedendo desta formaobtemos a Equacao de Euler:

ct+1

ct

=

(

1 + r

1 + γ

)1

σ

(4.18)

A Equacao de Euler nos permite concluir que a trajetoria do consumo notempo sera ascendente ser > γ e descendente caso contrario. O motivo paraisto e que se a taxa de desconto do mercado for maior que a da pessoa,ou a pes-soae menos impaciente que o mercado, esta tendera a poupar no presente paraconsumir no futuro. No outro caso a pessoa preferira se endividar no presentepara pagar no futuro. Usando a Equacao de Euler e a restricao orcamentaria po-demos determinar o quanto sera consumido a cada perıodo, considere novamenteo caso ondeγ = r = 0, a Equacao de Euler implica que o consumo sera igual acada perıodo, ou sejact+1 = ct = c, substituindo na restricao orcamentaria temos:

T∑

t=1

c = a +T

t=1

yt ⇒ c =1

T

[

a +T

t=1

yt

]

(4.19)

o termoa +∑T

t=1 yt representa o total de recursos que a pessoa possuira portoda a sua vida, logo a equacao (4.19) implica que a pessoa vai consumir a cadaperıodo a mesma fracao de seus recursos totais. Assim como no caso com doisperıodos nao e a renda de um determinado perıodo que determina o consumo esim o somatorios de recursos que a pessoa tera a sua disposicao no decorrer desua vida.

O lado direito da equacao (4.19)e chamado de renda permanente, a diferencaentre a renda em um determinado perıodo e a renda permanentee chamada derenda transitoria. De acordo com o modelo de maximizacao de utilidade a quanti-dade que a pessoa escolhe consumir depende da renda permanente. Este resultadopossui diversas aplicacoes, uma delas diz respeito ao efeito de impostos sobre adecisao de consumir. Suponha que o governo crie um imposto sobre a renda daoessoa com alıquotaτ , de forma que a restricao orcamentaria da pessoa passe aser dada por:

T∑

t=1

ct

(1 + r)t−1 = a +T

t=1

(1 − τ)yt

(1 + r)t−1 (4.20)

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assumindo que a taxa de desconto subjetiva e a taxa de desconto do mercado saoiguais a zero, o consumo passa a ser dado por:

c =1

T

[

a +T

t=1

(1 − τ)yt

]

(4.21)

o que implica que o imposto ira reduzir o consumo em todos os perıodos de ummontante igual a:

∑Tt=1 τyt

T(4.22)

Caso o mesmo imposto fosse aplicado porN perıodos, ou seja se fosse umimposto transitørio, o consumo seria dado por:

c =1

T

[

a +T

t=1

yt

]

∑Nt=1 τyt

T(4.23)

de forma que a reducao no consumo sera dada por:

∑Nt=1 τyt

T(4.24)

comparando (4.22) com (4.24) pode se perceber duas coisas, aprimeira e quecomoN < T a reducao do consumo associada a um imposto permanentee maiorque a associada a um imposto temporario mesmo nos perıodos de vigencia doimposto, ou seja:

∑Tt=1 τyt

T>

∑Nt=1 τyt

T

a outrae que a reducao no consumo causada por imposto transitorio sera tantomenor quanto maior for o horizonte de planejamento da pessoa, no limite em queo horizonte de planejamento torna-se infinito um imposto transitorio nao causareducao no consumo, ou seja:

limT→∞

∑Nt=1 τyt

T= 0

O mesmo tipo de argumento usado para explicar a diferenca entre os efeitos deum imposto transitorio e um imposto permanente pode ser aplicado para qualquertipo de variacao na renda. O resultado gerale que alteracoes temporarias na rendapossuem um efeito pequeno sobre o consumo, e, mais importante, alteracoes narenda nao afetam o consumo apenas no perıodo em que ocorreram, este resultadoe oposto ao que se conclui observando a teoria keynesiana.

41

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4.4 Modelo com Horizonte Infinito de Programacao

E possıvel utilizar as tecnicas de programacao dinamica desenvolvidas na primeiraunidade para resolver o problema de escolher a sequenciaotima de consumo emum modelo com horizonte de programacao infinito e onde existe incerteza. Paraisto considere o problema:

maxct

E0

∞∑

t=0

βtu(ct)

s.a.ct = yt −

(

at+1

1 + rt

− at

)

(4.25)

onde a restricao (4.25) significa que o consumo em um perıodo t e igual a rendamenos a poupanca. Sendo que a poupancae expressa como a variacao dos ativosfinanceiros avaliados emt. Alternativamente (4.25) pode ser escrita como:

at+1 = (1 + rt)(at + yt − ct) (4.25′)

As variaveis de controle sao ct e at+1, a variavel at e a variavel de estado e assequenciasyt

∞t=0 ert

∞t=0 seguem processos estocasticos exogenos.

Substituindo (4.25) na funcao utilidade o problema de maximizacao pode serescrito como:

maxat+1

E0

∞∑

t=0

βtu

(

yt −at+1

1 + rt

+ at

)

onde a variavel de estadoeat e a variavel de controleeat+1.Por simplicidade assuma que o ativoa e livre de risco, ou seja,rt = r > 0 ∀t.

A Equacao de Bellman deste modelo pode ser escrita como:

V (at, yt, rt) = maxat+1

u

(

yt −at+1

1 + rt

+ at

)

+ βEV (at+1, yt+1, rt+1)

(4.26)

a condicao de primeira ordem para este problemae:

1

1 + rt

u′(ct) = βE∂V

∂at+1

(4.27)

diferenciando (4.26) obtemos:

∂V

∂at

= u′(ct) (4.28)

avaliando (4.28) emt+1 em substituindo em (4.27) obtemos a Equacao de Euler:

1

1 + rt

u′(ct) = βEu′(ct+1) (4.29)

42

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colocandoct+1 no lado esquerdo a Equacao de Euler passa a ser escrita como:

Eu′(ct+1) = [β(1 + rt)]−1 u′(ct) (4.29′)

A equacao (4.29′) diz que a utilidade marginal do consumo segue um pro-cesso markoviano de primeira ordem e que, uma vez que o consumo defasadoseja incluido no modelo, nenhuma outra variavel pode ajudar a prever o consumo.Este resultado, conhecido como hipotese do passeio aleatorio para o consumo, foiobtido em Hall (1978).

Finalmente assuma queyt = y > 0 ∀t e considere que a funcao de utilidadeedada por:

u(ct) =c1−σt

1 − σ

Neste caso a equacao (4.29′) sera escrita como:

c−σt+1 = [β(1 + rt)]

−1 c−σt (4.30)

lembrando que o fator de desconto,β, esta relacionado com a taxa de descontoγpela formulaβ = 1

1+γa equacao 4.30 torna-se:

ct+1

ct

=

(

1 + r

1 + γ

)1

σ

(4.30′)

Note que a equacao (4.30′) e exatamente igual a equacao (4.18), ou seja a Equacaode Euler do modelo com horizonte infinito de programacao e igual a do modelocomT perıodos.

4.5 Juros, Consumo e Poupanca

Na secao anterior vimos que quando a taxa de jurose maior do que a taxa dedesconto subjetiva o consumo apresenta uma tendencia de crescimento com otempo, esta conclusao decorre da equacao (4.18). Uma outra conclusao associadaa mesma equacao e que, dada a taxa de desconto subjetiva, quanto maior a taxade juros mais rapido sera o crescimento do consumo, ou seja, mais inclinada seraa curva que relaciona o conumo com o tempo. Porem a equacao (4.18) nao nospermite concluir que quanto maior a taxa de juros menor sera o consumo nosperıodos iniciais e, portanto, maior sera a poupanca.

A razao pela qual naopodemos garantir a queda no consumo em decorrenciado aumento na taxa de jurose que a variacao dos juros causa um efeito rendae um efeito substituicao. Enquanto o segundo efeito tende a reduzir o consumo

43

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presente, afinal consumir agora ficou mais caro, o primeiro efeito tende a aumen-tar o consumo4, pelo menos para as pessoas que sao credoras. Como o estoquede riqueza em uma dada economia costuma ser positivo, podemos assumir que,em media, as pessoas sao credoras e nao devedoras. Logo, em media, o efeitorenda associado a um aumento na taxa de juros tende a elevar o nıvel de con-sumo e, consequentemente, reduzir a poupanca. A questao e respondere sobrequais condicoes o efeito substituicao mais do que compensa o efeito renda, ouseja, quais as condicoes para que um aumento da taxa de juros eleve o volumede poupanca. Para responder a esta questao podemos considerar o caso onde aspessoas vivem por dois perıodos e nao possuem riqueza inicial.

Como so existem dois perıodos podemos representar a escolha de consumir noprimeiro ou no segundo perıodo em um diagrama de curvas de indiferenca, comoe comum em teoria do consumidor. A reta orcmentaria possui uma inclinacaoigual a−(1+ r), uma vez que abrindo mao de consumir uma unidade no primeiroperıodo a pessoa pode consumir(1 + r) unidades do segundo perıodo. Outra ma-neira de constatar a inclinacao da reta orcamentaria e observando que a restricaoorcamentaria deste problemae dada porc1 + c2

1+r= y1 + y2

1+r, de forma que a reta

orcamentaria sera dada por:

c2 = (1 + r)y1 + y2 − (1 + r)c1 (4.31)

Al em de de deixar claro a inclinacao da reta orcamentaria, a equacao (4.31)mostra que o ponto(c1 = y1, c2 = y2)obedece a restricao orcamentaria. Final-mente a equacao (4.31) nos mostra que quanto maiorr mais inclinada sera a retaorcamentaria.

4.6 Exercıcios

1. No modelo de dois perıodos mostre que a solucao em valor presente implicaque nao pode existir poupanca positiva no segundo perıodo, ou seja, mostreque:

s2 = y2 −a + y1 + y2

2≤ 0

2. A partir da equacoes (4.16) e (4.17) encontre a Equacao de Euler do pro-blema comT perıodos, eq. (4.18).

3. Mostre que se a taxa de desconto subjetiva e a taxa de desconto do mercadoforem iguais a zero, um imposto sobre a renda que vigore porN perıodos

4Desde que o consumo presente nao seja um bem inferior, hipotese pouco razoavel quandoconsideramos apenas um bem a cada perıodo.

44

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fara com que o consumo a cada perıodo seja dado por:

c =1

T

[

a +T

t=1

yt

]

∑Nt=1 τyt

T

4. Considerando a discussao sobre os efeitos de impostos transitorios e perma-nentes sobre o consumo comente qual o efeito esperado da CPMF (ContribuicaoProvisoria sobre Movimentacao Financeira) sobre o consumo. O que mudaem sua resposta se a CPMF tornar-se permanente?

5. Suponha uma pessoa que vive por dez anos, a sua taxa de desconto subjetivae igual a taxa de desconto do mercado quee de 5% ao ano. A pessoa comecacom um patrimonio de R$ 100,00 e sua rendae de R$ 20,00 por ano. Se afuncao utilidadee dada poru(ct) = ln(ct) quanto a pessoa vai consumir acada perıodo?

45

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Capıtulo 5

Precificacao de Ativos Financeiros

A teoria do consumo abordada no capıtulo anterior, em particular na secao 4.4,pode ser utilizada para determinar precos de ativos financeiros. Este tipo de abor-dagem foi proposto em Lucas (1978) e depois foi seguido por varios autores. Naexposicao deste capıtulo sera apresentada a teoria dos precos de ativos financei-ros como passeio aleatorio, tal como exposta em Sargent (1987), posteriormentesera apresentado o modelo de precificacao de ativos financeiros proposto em Lu-cas (1978) e entao sera feita uma discussao sobre o premio de risco tal como emMehra e Prescott (1985).

5.1 Precos de Ativos como um Passeio Aleatorio

No secao 4.4 foi visto que o problema de escolhaotima de consumo leva a umaEquacao de Euler onde a utilidade marginal do consumo no perıodo t deve serigual a esperanca do valor descontado da utilidade marginal em t+1 multiplicadapor um mais a taxa de juros, equacao (4.29). Nesta secao vamos discutir o queacontece quando a taxa de juros, ao inves de estar associada a um ativo livre derisco,e dada pela remuneracao de acoes de uma empresa.

Assuma que ounico ativo financeiro seja acoes de uma empresa que custampt unidades do bem de consumo no perıodo t e que pagam dividendos nao nega-tivos no valor dedt unidades do bem de consumo. Suponha quedt siga um pro-cesso markoviano com uma funcao de distribuicao invariante no tempo,f(d′, d)de forma que:

Prob(dt+1 ≤ d′| dt = d) =

∫ d′

0

f(x, d)dx

Sejast o total de acoes da empresa que o agente possui no inicio do perıodot, de forma que o valor dos ativos do indivıduo no perıodo t e igual apt + dt. A

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restricao orcamentaria, como definida em (4.25′), tomara a forma:

(pt+1 + dt+1)st+1 =pt+1 + dt+1

pt

[(pt + dt)st + yt − ct] (5.1)

O rendimento bruto da acaoe igual ao seu retorno emt+1 dividido pelo seu precoemt, ou seja,Rt = (pt+1 +dt+1)/pt. A Equacao de Euler para este problema seradada por:

βEt

(

pt+1 + dt+1

pt

)

u′(ct+1)

u′(ct)= 1 (5.2)

Sabemos que seX eY sao duas variaveis aleatorias quaisquer entaoEt(XY ) =Et(X)Et(Y )+covt(Xt, Yt), onde covt(Xt, Yt) = Et [(Xt − Et(Xt))(Yt − Et(Yt))].Substituindo este resultado em (5.2) sera possıvel obter:

βEt

(

pt+1 + dt+1

pt

)

Etu′(ct+1)

u′(ct)+ βcovt

[

u′(ct+1)

u′(ct),pt+1 + dt+1

pt

]

= 1 (5.3)

Para obter o resultado que o preco dos ativos financeiros segue um passeio aleatoriobasta assumir queEt[u

′(ct+1)/u′(ct)] e constante e que:

covt

[

u′(ct+1)

u′(ct),pt+1 + dt+1

pt

]

= 0

Uma condicao suficiente para que a primeira hipotese seja verdadeirae assumirque a funcao de utilidadee linear, de forma queu′(ct) nao depende dect.

Assumindo, por conveniencia, queEt[u′(ct+1)/u

′(ct)] e igual a um, a equacao(5.3) implica que:

Et(pt+1 + dt+1) = β−1pt (5.4)

Este resultado permite concluir que, uma vez ajustado pelosdividendos e descon-tado, o preco de uma acao segue um processo markoviano de primeira ordem eque nenhuma outra variavel explica o preco de uma acao, ou seja, o preco dasacoese descrito por uma passeio aleatorio.

A equacao (5.4)e uma equacao em diferencas que possui uma solucao geralda forma1:

pt =∞

j=1

βjEtdt+j + γt

(

1

β

)t

(5.5)

Ondeγt e um processo aleatorio tal queEtγt+1 = γt, um exemplo seria o caso deum passeio aleatorio.

1A este respeito ver o anexo matematico em Sargent (1987).

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Comoβ ∈ (0 1) a sequencia de precos tende a infinito quandot → ∞. Umamaneira de evitar este problemae fazendoγt = 0∀t, neste caso o preco do ativosera dado por:

pt =∞

j=1

βjEtdt+j (5.5′)

Neste caso o preco de uma acao seria o valor presente de todos os seus dividendos.

5.2 Precificacao de Ativos em Equilıbrio Geral

O modelo anterior de determinacao de precos nao trabalha com uma estrutura deequilıbrio geral, em particular fica em aberto comoe determinado o retorno dosativos. O modelo proposto em Lucas (1978) resolve esta questao.

Lucas propoe uma economia onde os agentes resolvem o problema de escolhaotima de consumo descrito na secao 4.4, porem comyt = 0 para todot. Existe umconjunto de “arvores” que a cada perıodo produzem uma determinada quantidadede frutos. Asarvores sao ounico bem duravel da economia, desta forma consistemno unico ativo desta economia. Os frutos produzidos sao os dividendos pagos porestes ativos, e consistem nounico bem de consumo. Por questao de convenienciaassume-se que o numero dearvorese igual ao numero de indivıduos existentes naeconomia.

Os agentes comecam a viver no perıodo zero e possuem umaarvore e seufruto. Denotando porpt o preco de cadaarvore e lembrando que os dividendossao iguais ao bem consumo, ou sejadt = ct, a Equacao de Euler do problemapode ser escrita como:

pt = Etβu′(dt+1)

u′(dt)(pt+1 + dt+1) (5.6)

Usando recursao e aplicando a Lei da Expectativas Iteradase possıvel encontrar asolucao de (5.6) como:

pt = Et

∞∑

j=1

βj

j−1∏

s=0

u′(dt+s+1)

u′(dt)

dt+j (5.7)

que pode ser simplificada para:

pt = Et

∞∑

j=1

βj u′(dt+j)

u′(dt)dt+j (5.7′)

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Para o caso especial onde a funcao de utilidade instantaneae dada poru(ct) =ln(ct), a equacao (5.7′) toma a forma:

pt = Et

∞∑

j=1

βjdt =β

1 − βdt (5.8)

A equacao (5.8) permite determinar o preco de um ativo financeiro a partir dosdividendos pados por este ativo. No caso de acoes negociadas na Bolsa de Valo-res seria possıvel determinar o preco correto de uma acao conhecendo apenas odividendo pago a cada perıodo.

5.3 Premio de Risco

A discussao sobre premio de rsico apresentada em Mehra e Prescott (1985)eum exemplo classico de como se deve avaliar modelos economicos. Os autorespartiram da constatacao empırica de que a rentabilidade do mercado de acoes nosEstados Unidos excedeu em 6% a rentabilidade dos ativos livres de risco. Parachegar a esta conclusao eles calcularam que o retorno medio das acoes, medidopeloındiceStandard and Poor 500, foi de aproximadamente 7% no perıodo entre1889 e 1978. Por outro lado a tax de juros sobre tıtulos da dıvida publica foi demenos de 1%.

A partir desta constatacao foi analisado se um modelo de equilıbrio geral coma estrutura Arrow-Debreu, ou seja sem friccoes como restricoes de liquidez oucustos de transacao, seria capaz de reproduzir este valor observado para o premiode risco. A conclusao foi que o premio de risco do modelo seria de, no maximo,4% o quee incompatıvel com o fato observado.

Para chegar a esta conclusao foi usado um modelo que partia de Lucas (1978)mas trazia algumas variacoes. Como o consumoper-capitacresceu no passar dotempo foi considerado que a taxa de crescimento da renda, e nao a renda, segueum processo markoviano. Desta formae possıvel tratar o fato de que a serie deconsumo nao e estacionaria. Os agentes da economia possuem uma funcao deutilidade instantanea isoelastica de forma que o indivıduo busca maximizar:

∞∑

t=0

cσ−1t − 1

1 − σ(5.9)

Eiste uma firma que produz o bem perecıvel quee consumido pelos agentes euma acao quee negociada em um mercado competitivo. Como existe apenas umafirma o retorno da acao desta firmae igual ao retorno do mercado. A tecnologiae tal que o produto da firma deve ser menos ou igual a um determinadoyt. Esteproduto tambeme igual ao dividendo pago pela firma.

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A taxa de crescimento deyt segue um processo estocastico caracterizado poruma cadeia de Markov, ou seja:

yt+1 = xt+1yt (5.10)

ondext+1 ∈ λ1, . . . , λn e a taxa de crescimento e a probabilidade dext+1 serigual aλj dado quext = λi e igual aφij, ou seja:

Probxt+1 = λj|xt = λi = φij (5.11)

Tambem e assumido que a cadeida de Markove ergotica, que osλj sao todospositivos e quey0 > 0.

Casoyt seja completamente consumido a cada perıodo, condicao equivalentea ct = dt no modelo dasarvores, Mehra e Prescott (1984) mostram que umacondicao necessaria e suficiente para existencia da utilidade esperadae que a ma-triz A = [aij] = βφijλ

1−σ, i, j = 1, . . . , n seja estavel, ou seja,Am → 0 quandom → ∞. Esta condicao tambem garante a existencia de equilıbrio.

Usando (5.7′), considerando a utilidade instantanea em (5.9) e lembrando quect = yt e possıvel obter:

pet = Et

∞∑

s=t+1

βs−t yσt

yσs

ys (5.12)

onde a esperancae condicional axt e yt, de tal forma que o preco esperado podeser escrito compe

t = pe(xt, yt). De outro modo isto equivale a dizer que asvariaveisxt e yt sao variaveis de estado para esta economia, ou ainda que elassuficientes em relacao a historia de choques para fins de prever o comportamentodesta economia; istoe verdade pois para qualquers vale queys = yt · xt+1 · · ·xs.Esteultimo fato permite estabelecer quepe

t e homogenea de grau um emyt.A partir da equacao (5.6) sabemos que o preco do ativo determinado em (5.12)

tambeme dado por:

pet = Etβ

u′(dt+1)

u′(dt)(pe

t+1 + dt+1)

= Etβu′(ys)

u′(yt)(pe

t+1 + ys)

= Etβyσ

t

yσs

(pet+1 + ys)

= βEtyσt (pe

t+1 + ys)y−σs (5.13)

E possıvel retirar os subescritos de tempo de redefinirmos as variaveis de estadode tal forma queyt = c e xt = λi, neste caso o par(c, i) representa o estado daeconomia.

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Usando esta nova convencao e considerando as equacoes (5.10) e (5.11),epossıvel escrever (5.13) como:

pe(c, i) = βn

j=1

φij (λjc)σ [pe(λjc, j) + λjc] c

σ (5.14)

Comope(c, i) e homogenea de grau um emc e possıvel escreve-la na forma:

pe(c, i) = wic (5.15)

ondewi e uma constante. Fazendo esta substituicao em (5.14) e dividindo porc epossıvel determinar o valor dewi, qual seja:

wi = βn

j=1

λ1−σj (wj + 1) parai = 1, . . . , n (5.16)

As equacoes em (5.16) formam um sistema comn equacoes en incognitas, exis-tira umaunica solucao positiva para este sistema quando as hipoteses para existenciade equilıbrio forem observadas.

Este sistema pode ser escrito de forma matricial como:

w = βΛw + γ (5.17)

onde:

w =

w1...

wn

, Λ =

φ11λ1−σ1 · · · φ1nλ1−σ

n...

.. ....

φn1λ1−σ1 · · · φnnλ

1−σn

, γ =

β∑n

j=1 φ1jλ1−σj

...β

∑nj=1 φnjλ

1−σj

De forma que a solucao do sistema em (5.17) sera dada por:

w = [I − βΛ]( − 1)γ (5.18)

que sera unica se|I − βΛ| 6= 0.Caso o estado hoje seja(c, i) e no proximo perıodo seja(λjc, j) o retorno do

ativo sera dado por:

reij =

pe(λj, c) + λjc − pe(c, i)

pe(c, i)

=λj(wj + 1)

wi

− 1 (5.19)

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O valor esperado do rendimento deste ativo, quando o estado atual e i, sera dadopor:

Rei =

n∑

j=1

φijreij (5.20)

Considere agora um ativo que, com certeza, vale uma unidade deconsumo noproximo perıodo. Neste caso fica claro que a equacao (5.6) implica que o precosera dado por:

pfi = pf (c, i) = β

n∑

j=1

φiju′(λjc)

u′(c)

= βn

j=1

φijλ−σj (5.21)

Quando o estado for(c, i) o retorno do ativo livre de risco sera dado por:

Rfi =

1

pfi

− 1 (5.22)

Como a matriz de transicaoe ergotica existe uma distribuicao estacionaria,π,paraλ1, . . . , λn tal queπ e a solucao para o sistema de equacoes:

π = φT π

que atende a condicao∑n

i=1 πi = 1, ondeφT = [φji]. Desta forma o valoresperado para a taxa de retorno do ativo com riscoe Re =

∑ni=1 πiR

ei e retorno

esperado do ativo livre de riscoeRf =∑n

i=1 πiRfi . Por sua vez o premio de risco

sera dado porRe − Rf .

5.3.1 O Experimento de Mehra e Prescott

Usando o modelo acima Mehra e Prescott (1985) tentaram avaliar a possibilidadede reproduzir o premio de risco observado na economia americana. Para istoassumiram que a economia pode passar por perıodos bons e perıodos ruins, ousejan = 2. Nos perıodos bons a taxa de crescimento do consumo sera dada porλ1 = 1 + µ + δ, enquanto nos perıodos ruins a taxa de crescimento do consumosera dada porλ2 = 1+µ−δ. Nestas condicoes o parametroµ representa a taxa decrescimento historica do consumo eδ representa a sua variacao. A probabilidadede passar de um perıodo para outroe tal queφ11 = φ22 = φ eφ12 = φ21 = 1− φ,ou seja a probabilidade da economia trocar de estadose 1 − φ e a de permanecerno atual estadoeφ.

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Os dados da economia americana para o perıodo entre 1889 e 1978 mostramque a taxa media de crescimento do consumoper-capitafoi de 1,8%, o desviopadrao desta taxa foi de3,6% e a correlacao serial da taxa de crescimento do con-sumo foi de−0,14. Desta forma os valores dos parametros foram determinadoscomo sendoµ = 0,018, δ = 0,036 eφ = 0,43. Esteultimo valor segue do fato quepara a cadeia de Markov com dois estados e matriz de transicao simetrica usadano modelo a correlacao seriale igual a2φ − 1.

Com estes valores definidos o premio de risco foi calculado para valores deσentre zero e dez e valores deβ entre zero e um. O maior valor encontrado foi de0,35%, o que nao chega nem perto dos6% observados para a economia americana.Daı os autores concluirem que expliar o premio de riscoe um dos grandes desafiospara teoria neoclassica.

5.4 Exercıcios

1. No modelo dasarvores de Lucas, determine o precos dasarvores comofuncao dos divididendos quando a utilidade instantaneae dada poru(ct) =ln ct.

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Parte III

Modelo Basico de Crescimento eCiclos Reais

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Capıtulo 6

Modelo de Solow

6.1 A Funcao de Producao Agregada

Apresentamos a teoria da funcao de producao agregada e apresentamos provas dastres propriedades desta funcao.1

Definicao 6.1 Fatores de producao sao os insumos para a producao externos aosetor de negocios.

Fatores de producao podem vir das famılias, do governo ou do setor externo.Iremos apenas considerar o setor das famılias. Os principais insumos produtivossao:

1. Servicos do trabalho de diferentes tipos;

2. Servicos do capital de diferentes tipos;

3. Servicos da terra de diferentes tipos.

Um bem intermediario e um insumo de outra firma no setor de negocios. Em-bora a teoria da funcao de producao agregada possa incluir bens intermediarios,nos desenvolvemos a teoria sem assumir o uso explıcito destes bens, embora osresultados sejam os mesmos.

Definicao 6.2 A funcao de producao agregadae o produto maximo que pode serproduzido dadas as quantidades dos fatores de producao.

1Esta secao se baseia fortemente nas notas de aula de aula do prof. Edward C. Prescott (TheAggregate Production Function).

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Notacao: letras em minusculas referem-se as variaveis ao nıvel da planta deproducao, enquanto as letras correspondentes em maiusculas referem-se asvariaveis agregadas.

Faca o produto ser representado porY , o insumo do servico do capital porK,e o insumo do servico do trabalho porN . Normalizamos para queK unidades decapital possam proverK unidades do servico do capital. Com esta normalizacao,podemos nos referir a ambos como estoque de capital e os servicos do estoque decapital porK. NormalizamosN em uma forma analoga. A funcao de producaoagregadaF e entao

Y = F (K,N) (6.1)

Esta funcao apresenta as seguintes propriedades:

1. A funcaoe crescente (possivelmente fracamente);

2. Apresenta retornos constantes de escala;

3. e retornos decrescentes de escala.

Nos agora desenvolvemos a teoria por tras da funcao de producao agregadapara estabelecer estas tres propriedades nas Proposicoes 1, 2 e 3. Existem tecno-logias para plantas (ou unidades produtivas) produzirem produtos. Tecnologiasdas plantas diferem

no montante de capitalk e trabalhon quee usado por uma planta. O produtode uma planta do tipo(k, n) ey = fkn.

Qualquer numero nao-negativo de plantas podem ser operadas.

Hipotese 6.1Para todos possıveis tipos de plantas,k e n sao infinitesimais comrespeito aos numeros agregadosK eN .

Hipotese 6.2Todas as tecnologias das plantas requerem algum montante mınimoestritamente positivo de capital e/ou trabalho.

Hipotese 6.3Existem um numero finito de tipos de planta ou tecnologias.

Hipoteses 2 e 3 garantem que existe um produto maximo. Hipotese 1 permiteque o numero de plantas de um dado tipo sejam um numero real ao inves de umnumero inteiro.

Definicao 6.3 Um plano de producao z = zkn e um vetor especificando onumero de plantas de cada tipo(k, n) que sao operadas.

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Definicao 6.4 Um planoz e factıvel dadoK e N se existem recursos suficientespara operar a planta; assim uma plantae factıvel se

k,n

kzkn ≤ Ke∑

k,n

nzkn ≤ N.

Lema 6.1 Se um planoz e factıvel dadoK e N , entao para qualquerλ > 0 oplanoλz e factıvel dadoλK eλN . Ondeλz = λzkn.

O produto do planoz e

Y (z) =∑

k,n

fknzkn. (6.2)

O lema seguintee um resultado imediato. Facaλz = λzkn.

Lema 6.2 Paraλ ≤ 0, Y (λz) = λY (z).

O valor da funcao de producao agregadaF (K,N) e o maximo Y (z) sobretodas as plantas que sao possıveis dadoK eN , ou

F (K,N) = maxz≥0

Y (z)

s.a.∑

k,n

kzkn ≤ 0 e∑

k,n

nzkn ≤ N

(6.3)

Proposicao 6.1 A funcao de producao agregadaF (K,N) e (fracamente) cres-cente. Portanto seK ≥ K ′ eN ≥ N ′, entaoF (K,N) ≥ F (K ′, N ′).

Prova Aumentando-se o fatores insumos aumenta-se o conjunto dos planos possıveis.O maximo de uma funcao sobre um conjunto maiore necessariamentemaior (fracamente).

Definicao 6.5 Uma funcao apresenta retornos constantes de escala se para qual-querλ > 0, f(λx) = λf(x).

Proposicao 6.2 A funcaoF (K,N) apresenta retornos constantes de escala.

Prova Primeiro nos mostramos

F (λK, λN) ≤ λF (K,N) (6.4)

O melhor plano dado(K,N) pode ser multiplicado pelo escalarλ paraproduzirλF (K,N) usando(λK, λN). O produto maximo possıvel dado

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(λK, λN) deve ser maior que ou igual a todos os outros produtos possıveisdado(λK, λN), por definicao.

Em seguida mostramos

F (K,N) ≥ λ−1F (λK, λN) ou equivalentemente

λF (K,N) ≥ F (λK, λN)(6.5)

Este argumentoe o mesmo que o anterior, exceto pelo fato de que os papeisde(K,N) e (λK, λN) sao trocados. O melhor plano dado(λK, λN) podeser escalonado pelo fatorλ−1 para produzirλ−1(λK, λN) usando(K,N).O produto possıvel maximo dado os recursos devem ser maiores do que ouigual a todos os outros recursos possıveis.

As desigualdades (6.4) e (6.5) implicam queF (λK, λN) = λF (K,N).

Definicao 6.6 Uma funcao e concava sef(x1+x2

2) ≥ f(x1/2) + f(x2/2).

Uma funcao e concava se ela permanece acima da linha entre dois pontosquaisquer.

Proposicao 6.3 A funcaoF (K,N) e concava.

Prova FacaX1 = F (K1, N1) eX2 = F (K2, N2). Primeiro note que

F (X1 + X2

2) ≥ Y (

z1 + z2

2) =

1

2Y (z1) +

1

2Y (z2) =

1

2F (X1) +

1

2F (X2)

Aqui z1 e z2 sao os planosotimos paraX1 e X2, respectivamente. A de-sigualdade segue do fato quez1+z2

2e um plano factıvel dado X1+X2

2. A

linearidade deY implica a primeira igualdade. A otimalidade dezi dadoo Xi implica na segunda igualdade, dadoi = 1, 2. Isto estabelece que afuncao de producao agregadae concava.

Comentario A concavidade da funcao agregada de producao implica que o pro-duto marginal de um fatore (fracamente) decrescente.

6.1.1 Concorrencia e Distribuicao do Produto

Em macroeconomia, a funcao de producao agregadae tipicamente utilizada ee as-sumido que os agregados em equilıbrio competitivo irao satisfazer isso. Portanto,e assumido que o preco de aluguel de um fator de producao e igual a derivadaparcial da funcao de producao agregada.

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Proposicao 6.4 Se o mercado de fatores sao competitivos, o produto de equilıbriocompetitivoe o produto maximo def(K,N). Alem disso, o pagamento dos fatoresexaurem o produto total, istoe

Y ′ = rK + wN

onde Y’e o produto agregado de equilıbrio competitivo, re o preco de equilıbriopara o aluguel do capital, e we o preco de equilıbrio do aluguel do trabalho.

Prova: Facaz′ = z′kn ser um plano de producao de equilıbrio competitivo.Para todas as tecnologias das plantas produtivas,

fkn − rk − wn ≤ 0 (6.6)

Se este nao for caso, poderia existir uma oportunidade de lucro, o quee in-consistente com o equilıbrio. Se a desigualdadee estrita para alguma plantado tipo(k, n), z′kn deve ser zero para ser consistente com a maximizacao delucro (lucro zeroe melhor do que o lucro negativo). Assim, para todo(k, n)

z′kn(fkn − rk − wn) = 0 (6.7)

Somando em 6.7 sobre todos os(k, n) nos da:

Y ′ − rK − wN = 0 (6.8)

Isto estabelece a segunda parte da proposicao, nomeadamente, que o pro-dutoe exaurido pelos pagamentos dos fatores de producao.

Facaz = zkn ser um plano que maximiza o produto dado por K e N.Multiplicando 6.6 porzkn e somando sobre todos(k, n), temos:

Y − rN − wN = 0 (6.9)

ondeY − rK − rN e o produto possıvel maximo, dandoK eN . De (6.8)e (6.7)

F (K,N) = Y ≤ rK + wN = Y ′ (6.10)

Assim, o equilıbrio competitivo do produtoY ′ e igual ao maximo possıvelF (K,N), como nao e possıvel produzir mais do que o produto possıvelmaximo.

O resultado que o produto de equilıbrio competitivoe maximo e muito maisgeral. Pode existir qualquer numero de insumos. Pode existir qualquer numerode bens de producao onde o maximo significara que o produto de um bem podeser aumentado sem a reducao da producao de outro bem. No jargao de economia,a concorrencia levaa producao eficiente. Em geral, abstraindo-se de externalida-des, equilıbrios competitivos sao eficientes ou Paretootimo, i.e. nenhuma outraalocacao torna a situacao de algum indivıduo sem que piore a situacao de outro.

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6.1.2 Funcao de Producao Cobb-Douglas e CES

A funcao de producao com elasticidade constante de substituicao (CES – cons-tant elasticity of substitution)e um estrutura razoavelmente generica e domina apesquisa aplicada em economia. A sua estrutura parametricae a seguinte:

Y = A[θ(aKK)γ + (1 − θ)(aNN)γ]1/γ (6.11)

tal que 0 < θ < 1 e o parametro da participacao eγ determina o grau desubstituicao os insumos produtivosK e N . Os parametrosA, aK e aN depen-dem da unidade em que os produtos sao medidos e nao desempenham funcoesimportantes por hora. O valor deγ e menos do que que ou igual a 1 e tambempode ser−∞. Os dois casos extremos sao quandoγ = 1 ouγ = −∞.

O caso de substituicao perfeita (γ = 1) A funcaoe

Y = A[θ(aKK) + (1 − θ)(aNN)] (6.12)

As isoquantas sao linhas retas para esta funcao de producao.

O caso de nao-substituicao (γ = −∞) A funcaoe

Y = A minaKK, aNN (6.13)

As isoquantas formamangulos retos. Os fatores de producao sao usados emproporcoes fixas.

O caso de elasticidade de substituicao unitaria (γ = 0) A funcaoe

Y = AKθN1−θ (6.14)

A equacao (6.14)e a funcao de producao Cobb-Douglas ee uma das maisusadas em analise economica agregada. A razao que elae muito utilizadae que,sob concorrencia, elae aunica funcao de producao com a propriedade de que aparticipacao dos fatores na rendae independente do preco relativo dos fatores.Esta propriedade da funcao de producao e consistente com os dados observadospara a economia americana. Historicamente, o salario realw nos EUA tem au-mentado a um fator de 10, as vezes 20, enquanto o preco de aluguel do capital ea sua participacao na renda nacional tem se mantido razoavelmente constanteaolongo do tempo.

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Figura 6.1: Funcao de Producao CES

K

N

1aK

1aN

γ = −∞

γ = 1

.

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.......................................... ...........................................γ = 0

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Page 63: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

6.2 O Modelo de Solow

Explicar os determinantes do crescimento de uma economiae um dos principaisdesafios com que se depara a ciencia economica. Associadas ao crescimento estaoquestoes que costumam prender a atencao de todos que se dedicam ao tema, comopor exemplo:

1. Quais os determinantes da riqueza de uma nacao?

2. Por que alguns paıses sao mais ricos que outros?

3. Existe algumatendencia naturalpara que a renda de todos os paıses venhama se igualar?

Para podermos tratar destas questoes precisamos de uma estrutura logica quenos ajude a conduzir a nossa analise, tal estrutura deve ser conter o que acredita-mos ser os principais fatores que podem explicar o crescimento de uma economia,deve ser de tal forma que todas as hipoteses que fizermos fiquem bem claras, assimcomo devem estar claras todas as implicacoes de nossas hipoteses. Uma maneiraadequada e bastante popular de realizar esta tarefa consiste no uso de modelos ma-tematicos, estes modelos sao construıdos de forma que nos forcam a explicitar asnossas hipoteses, nos obriga a manter a coerencia logica de nossos argumentos deforma a nos garantir que nossas conclusoes decorrem, de forma logica, de nossosargumentos. Embora modelos matematicos nao sejam aunica forma de garantira consistencia logica entre nossas hipoteses e nossas conclusoes, sao a maneiramais simples e segura de atingir este objetivo.

O problema do crescimento economico sempre esteve presente nas discussoessobre economia sendo este problema, de forma questionavel, a principal motivacaodo primeiro tratado sobre economia, chamado“Um Inquerito sobre a Natureza eas Causas da Riqueza das Nacoes”, escrito por Adam Smith e publicado em 1776,apesar deste livro tratar de praticamente todos os temas relacionados a economiao tıtulo ja denuncia a preocupacao central com problemas relacionados ao cresci-mento economico.

No decorrer do tempo varios modelos matematicos foram construıdos paraestudar o crescimento economico porem, apenas em 1956, apareceu um mo-delo que capaz de explicar o crescimento a partir do comportamento de firmase famılias, e nao a partir de hipotesesad hocsobre a relacao entre agregados ma-croeoconomicos. Este modelo foi devido a Robert Solow que o apresentouemum artigo chamado“A contribution to the theory of economic growth”. O com-portamento das famılias era trivial,2 de acordo com a teoria keynesiana daepoca

2Este problema foi resolvido em 1965 por David Cass (1965) e tambem por Tjalling Koopmans(1965).

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Page 64: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

assumiu-se que as famılias poupavam uma fracao fixa da renda, ou seja,

St = σYt (6.15)

ondeSt representa a poupanca,Yt a renda eσ ∈ (0 1) representa a fracao da rendaque sera poupada no perıodot. Isto equivale a assumir que o agente representativonesta economia trabalha um numero fixo de horasht = 1, poupa ou investeit =σyt, e consomect = (1 − σ)yt, em cada perıodo. Tal queh representa o totalde horas de cada trabalhador,i o investimento,c o consumo ey a renda de cadaagente.

Da contabilidade nacional sabemos que o investimento, definido como o to-tal de maquinas, equipamentos, construcoes mais as variacoes nos estoques dasfirmas, deve ser igual a poupanca a cada perıodo, ou seja

It = St = σYt (6.16)

tambem sabemos que por definicao, o investimento representa a variacao no esto-que de capital, ou seja

Kt+1 = (1 − δ)Kt + It (6.17)

ondeδ ∈ (0, 1) representa a taxa de depreciacao do estoque de capital, ou seja, acada perıodo o correspondente aδKt e depreciado. Esta equacaoe conhecida naliteratura como alei de movimento do capital.

Considere que a populacao cresce a uma taxaη e a tecnologia cresce a umataxaγ, de forma queNt+1 = (1 + η)Nt e At+1 = (1 + γ)At, isto nos permiteescrever a equacao (6.17) da seguinte forma:

Kt+1

At+1Nt+1

=(1 − δ)Kt

At+1Nt+1

+It

At+1Nt+1

⇒Kt+1

At+1Nt+1

=(1 − δ)Kt

(1 + γ)At(1 + η)Nt

+It

(1 + γ)At(1 + η)Nt

⇒ (1 + γ)(1 + η)Kt+1

At+1Nt+1

= (1 − δ)Kt

AtNt

+It

AtNt

definindo a variavel por unidade de eficiencia como a variavel dividida pela mao-de-obra vezes o nıvel de tecnologia, ou seja, fazendokt = Kt

AtNte it = It

AtNt, temos

que:(1 + γ)(1 + η)kt+1 = (1 − δ)kt + it. (6.18)

Nesta economia existe umunico produto que as firmas produzem de acordocom uma funcao de producao agregada. Faca esta funcao de producao serYt =f(Ht, Kt). Assumimos por hipotese que o trabalho empregadoe identico a populacao,

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Page 65: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

ou sejaHt = Nt. Aplicando o conceito de unidades de eficiencia na funcao deproducao, temos que o produto por unidades de eficencia sera dado por:

yt = f(kt) (6.19)

considerando as equacoes (6.16), (6.19) temos que:

(1 + γ)(1 + η)kt+1 = (1 − δ)kt + σf(kt) = g(kt) (6.20)

esta equacao a diferencas de primeira ordem, junto com o estoque de capital inicial(k0), determina o comportamento do estoque de capital por unidades de eficienciae, por consequencia, determina como o produto, o consumo, etc., se comportamno tempo.

Definicao 6.7 Umestado estacionario do sistemae uma solucao parak = g(k).Dizemos que uma economia encontra-se noestado estacionario quando todas

as suas variaveis (estoque de capital, produto, consumo, investimentoe poupanca)assumirem um valor constante no tempo.

Nossas hipoteses implicam que, como mostrado na Figura 6.2,g(0) = 0,g′(0) > 1, e existe umunicok∗ > 0 tal quek∗ = g(k∗). Assim, o modelo temdois estados estacionarios,k = 0 ek = k∗. Alem disso, para todok0 > 0, kt → k∗

(monotonicamente). Assim, quandot → ∞, yt → y∗, ct → c∗, etc.A k∗ temos queσF (k∗) = [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k∗, que implica que a

poupanca apenas repoe a depreciacao e que a razao capital-produtoe ky

= σδ, e

tambem quec∗ = y∗ − δk∗. Claramente,k∗ e crescente emσδ. Alem disso,c∗

e primeiro crescente e entao decrescente emσ. A taxa de poupanca que maxi-miza o consumo do estado estacionario pode facilmente ser mostrada que satisfazF ′(k∗) = δ; estae a chamada “regra de ouro” da acumulacao de capital de Phelps(veremos em detalhes na secao ).

Para entendermos o comportamento do modelo de Solow sera interessanteconsiderar um exemplo numerico. Suponha que a taxa de crescimento da populacaoseja de aproximadamente 2% a.a. e que a tecnologia, ou a produtividade, crescaa uma taxa de 2,6% a.a., ou seja,η = 0,02 e γ = 0,026,3 assuma tambem quea = 0,354 e que a depreciacao e de 10% ao ano, ou sejaδ = 0, 1. Para diversosvalores des iremos calcular o comportamento do estoque de capital e do produtoquando a economia parte de um estoque de capital igual a um.5 A Tabela 6.1mostra o resultado das simulacoes.

3Estes valores sao consistentes com os encontrados em Ellery Jr., Gomes e Sachsida (2002)para a economia brasileira.

4Mais adiante discutiremos o significado dea, por enquanto basta saber que este valore con-sistente com algumas observacoes reportadas para a economia brasileira

5O valor do estoque de capital inicial naoe relevante para este exercıcio, a demonstracao desteresultado necessita um conhecimento de equacoes em diferencas e foge ao objetivo destas notas.

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Page 66: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Figura 6.2: Modelo de Crescimento de Solow

kt

[(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k

.

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σF (kt)

k∗

k0

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Page 67: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Tabela 6.1: Capital e Produto no Modelo de Solow

s = 0,10 s = 0,15 s = 0,20 s = 0,25ano capital produto capital produto capital produto capital produto

001 1 1 1 1 1 1 1 1002 0,9555 0,9842 1,0033 1,0012 1,0511 1,0176 1,0989 1,0335003 0,9158 0,9697 1,0063 1,0022 1,0984 1,0334 1,1919 1,0634004 0,8802 0,9563 1,0091 1,0031 1,1421 1,0476 1,2791 1,0900005 0,8484 0,9441 1,0116 1,0041 1,1824 1,0604 1,3604 1,1137...

......

......

......

......

025 0,5960 0,8343 1,0330 1,0114 1,5467 1,1649 2,1281 1,3026...

......

......

......

......

050 0,5593 0,8160 1,0364 1,0126 1,6077 1,1808 2,2614 1,3305...

......

......

......

......

075 0,5560 0,8143 1,0367 1,0127 1,6134 1,1822 2,2739 1,3331...

......

......

......

......

098 0,5557 0,8141 1,0367 1,0127 1,6139 1,1823 2,2749 1,3333099 0,5556 0,8141 1,0367 1,0127 1,6139 1,1823 2,2749 1,3333100 0,5556 0,8141 1,0367 1,0127 1,6139 1,1823 2,2749 1,3333

Observando a Tabela 6.1 podemos chegar a duas conclusoes importantes sobreo modelo de Solow, uma de carater mais teorico e outra capaz de sugerir polıticasmacroeconomicas. A primeira conclusaoe que a partir de um certo perıodo o esto-que de capital e o produto por unidades de eficiencia chegam a um valor constante.Note que se o produto por unidade de eficienciae constante o consumo e o inves-timento tambem devem ser constantes, visto que ambos sao fracoes do produto.Desta forma podemos dizer que em um certo momento a economia chegara a umasituacao onde todas as variaveis medidas em unidades de eficiencia tornar-se-aoconstantes no tempo, quando uma economia encontra-se nestasituacao dizemosque ela atingiu o estado estacionario.

A segunda conclusao diz respeito ao valor do produto no estado estacionario,note que quanto maior a taxa de poupanca maior sera o produto por unidadesde eficiencia no estado estacionario. Isto sugere que uma maneira de tornar umpaıs mais rico seria implementar polıticas que aumentem a taxa de poupanca, estetipo de polıtica foi perseguida em varios paıses, inclusive no Brasil, como formade estimular o crescimento da economia. A adocao deste tipo de polıtica nemsempree bem sucedida, existem dois fatores que muitas vezes nao sao levadosem conta e que podem comprometer as polıticas de incentivo a poupanca. Oprimeiroe que, segundo o Modelo de Solow, aumentos na taxa de poupanca levam

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Page 68: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

a um crescimento do produto por unidades de eficiencia no estado estacionario,nada pode ser afirmado quanto a taxa de crescimento da economia, ate porque,de acordo com a definicao de estado estacionario, a taxa de crescimento seriazero, trataremos deste problema a seguir. O segundo fator importantee que oModelo de Solow assume que a taxa de poupancae constante e determinada deforma exogena, ou seja, as pessoas nao decidem o quanto poupar, por hipoteseelas apenas poupam uma determinada fracao de sua renda, nao importa o queaconteca, estae uma das principais crıticas ao Modelo de Solow e consiste em umproblema teorico que foi resolvido por David Cass e Tjalling Koopmans em 1965,adiante retornaremos a este topico.

6.2.1 Poupanca e Crescimento no Modelo de Solow

Na secao anterior vimos que a partir de um certo momento no tempo as variaveismacroeconomicas, medidas em unidades de eficiencia, assumem um valor cons-tante, definimos esta situacao como estado estacionario. Nao provamos, mas oexemplo da Tabela 6.1 sugere que a economia alcanca o estadoestacionario inde-pendente do estoque de capital inicial estar acima ou abaixodo valor do estadoestacionario, de outra forma podemos afirmar que, no Modelo de Solow, aecono-mia sempre converge para seu estado estacionario.6

Afirmar que a economia sempre converge para o estado estacionario equivalea dizer que, no longo prazo, o produto de uma economia sempre vai parar decrescer. Estee um resultado estranho, mesmo apos muitos anos da RevolucaoIndustrial as economias ocidentais continuam a crescer, como conciliar este fatocom o Modelo de Solowe o objetivo desta secao, em outras palavras procuramossaber como o Modelo de Solow explica o crescimento de longo prazo.

Uma saıda tentadora seria argumentar que as economias ainda nao alcancaramseus estados estacionarios, que o estado estacionario so ocorre depois de milha-res de anos. Apesar de tentadora esta alternativa nao resolve nosso problema, defato, argumentar que a realidade nao se comporta de acordo com previsto em ummodelo porque as condicoes do modelo nunca sao alcancadas, nao parece estar deacordo com a ideia de falseabilidade que guia o metodo cientifico. Se tivessemosque seguir por este caminho seria mais apropriado abandonaro Modelo de Solowsob o argumento de que ele nao explica a realidade. De fato, o Modelo de So-low apresenta serios problemas e foi amplamente revisado desde 1956, mas, porenquanto, nao nos deparamos com estes problemas e o Modelo de Solow pode,edeve, continuar a ser explorado.7

6Mais adiante discutiremos melhor a questao da convergencia para o estado estacionario.7Apesar de amplamente revisado o Modelo de Solow constinua sendo a referencia fundamental

para o estudo do crescimento economico.

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Uma alternativa muito mais interessante e consistente de abordar a questao docrescimento no Modelo de Solowe considerar as unidades em que as variaveisestao sendo medidas. Em nossa analise estamos trabalhando com variaveis medi-das em unidades de eficiencia, enquanto ao medir o desempenho das economiascostumamos usar variaveisper-capita, ora o fato da variavel estar estacionariaquando medida em unidades de eficiencia nao implica que ela deva estar esta-cionaria quando medida de formaper-capita, considere o produto medido porunidades de eficienica:

yt =Yt

AtNt

sabemos que o produtoper-capitae igual ao produto dividido pela populacao, ouseja:

yt =Yt

Nt

ondeyt representa o produtoper-capita. Consideramos as duas definicoes temosque o produtoper-capitapode ser escrito como:

yt = Atyt

ou seja, o produtoper capitae igual ao produto por unidade de eficiencia multi-plicado pela variavel que mede o progresso tecnologico, qual sejaAt. Para deter-minar a taxa de crescimento do produtoper-capitaquando o produto por unidadesde eficiencia encontra-se no estado estacionario, basta usar o fato que, no estadoestacionario, yt+1 = yt = y. Logo temos que, no estado estacionario, o produtoper-capitasera tal que:

yt = Aty

yt+1 = At+1y = (1 + γ)Aty

portanto temos que:yt+1

yt

= 1 + γ (6.21)

De acordo com a equacao (6.21) quando a economia encontra-se no estadoestacionario, medida em unidades de eficiencia, o produtoper-capitacresce auma taxaγ, quee tambem a taxa de crescimento da tecnologia. Podemos mostrarque todas as outras variaveis medidas em termosper-capitacrescem a mesmataxa que o produtoper-capita, o que caracteriza uma situacao conhecida comocaminho de crescimento equilibrado.

Definicao 6.8 Uma economia encontra-se em umcaminho de crescimento equi-librado quando todas as variaveis macroeconomicas crescem a mesma taxa.

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Desta forma podemos afirmar que quando uma economia se encontra no ca-minho de crescimento equilibrado o produtoper-capitacresce a uma taxa igual ado progresso tecnologico, dito de outra forma, o Modelo de Solow conclui que, nolongo prazo, a taxa de crescimento da economia (determinadapela taxa de cres-cimento do produtoper-capitasera igual a taxa de crescimento da produtividade.A principal implicacao deste resultadoe que aumentar a taxa de poupanca naoaumenta a taxa de crescimento da economia no longo prazo.

No curto prazo, porem, o aumento da taxa de poupanca leva a um aumentoda taxa de crescimento da economia. O motivoe simples, uma vez que a maiortaxa de poupanca leva a um maior nıvel de produtoper-capitaa economia deveracrecer a uma maior taxa ate encontrar o novo estado estacionario. Uma vez quea economia alcanca este novo estado estacionario, ou este novo caminho de cres-cimento equilibrado, o produtoper-capitavolta a crescer a uma taxa iguala daprodutividade.

Podemos fazer um experimento numerico para avaliar os efeitos de um au-mento na taxa de poupanca. Considere uma economia ondeη = 0,02, γ = 0,026,a = 0,35 e δ = 0,10, assuma tambem que a taxa de poupancae de 15%, ou sejas = 0,15. Suponha que o governo implementa uma polıtica que faz com que ataxa de poupanca suba para 25%, ou seja,s = 0,25. Como vimos na Tabela 6.1o produto por unidades de eficiencia saltara de aproximadamente 1,01 para 1,33.Por meio das equacoes (6.18) e (6.21) podemos determinar o comportamento doprodutoper-capitaantes, durante e depois da transicao para o novo caminho decrescimento equilibrado, que estara associado ao novo estado estacionario.

Na Figura 6.3 assume-se que a mudanca na taxa de poupanca ocorreu em 2010,a area hachureada, que vai de 2010 a 2025, representa o perıodo de transicao, apartir de 2025 a economia volta a seu caminho de crescimento equilibrado. Nafigura o produtoper-capitaesta representado em escala logaritmica, de formaque a taxa de crescimento da economiae igual a inclinacao da curva no grafico.Desta forma, fica facil perceber que a taxa de crescimento da economia, ou seja,a inclinacao da curva, so aumenta durante o perıodo de transicao. A Figura 6.3ilustra o que foi discutido acima, de maneira que podemos enunciar a seguinteproposicao:

Proposicao 6.5 A taxa de poupancae importante na determinacao do nıvel derenda e da taxa de crescimento de curto prazo, porem a taxa de poupanca naoinfluencia a taxa de crescimento no longo prazo. Quando consideramos o longoprazo a taxa de crescimento da economia sera determinada apenas pela taxa decrescimento tecnologico, ou seja, a economia so ira apresentar um crescimentosustentavel se for capaz de operar com tecnologias cada vez mais produtivas.

Em termos de polıtica economica a proposicao acima diz que a forma de ogoverno aumentar a taxa de crescimento da economiae permitir que as empresas

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Figura 6.3: Caminho de Crescimento Equilibrado com Mudanca em σ

2000 2020 2040 2060 2080 2100 21200

0.5

1

1.5

2

2.5

adotem as melhores tecnologias. Polıticas de gerenciamento macroeconomicoque busquem o aumento da taxa de poupanca apenas afetarao o crescimento daeconomia no curto prazo.

6.2.2 A Regra de Ouro da Acumulacao de Capital e a Ine-ficiencia Dinamica

Para uma dada funcao de producao e valores deδ, existe umunico valor de estadoestacionario k∗ > 0 para cada valor da taxa de poupancaσ. Vamos representaresta relacao pork∗(σ), tal quedk∗(σ)/dσ > 0. Do nıvel do consumo per-capitade estado estacionario temos

c∗(σ) = F (k∗(σ)) − [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k∗(σ) (6.22)

A Figura 6.4 mostra a relacao entrec∗ e σ quee determinada pela equacao(6.22). A quantidade dec∗ e crescente emσ para nıveis baixos deσ e decrescentepara altos valores deσ. A quantidade de consumo de estado estacionario c∗ seramaximo quando

∂c∗(σ)

∂σ=

∂F (k∗(σ))

∂k∗

dk∗

dσ− [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]

dk∗

dσ= 0

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Page 72: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Figura 6.4: Regra de Ouro da Acumulacao de Capital

σ

c∗

.

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σouro

couro

Dado quec∗ = y∗ − i∗. Se chamarmos o valor dek∗ por kouro, que correspondeao estoque de capital que maximiza o consumo de estado estacionario c∗, entao acondicao que determinakouro e

∂F (kouro)

∂kouro

= (1 + γ)(1 + η) − (1 − δ) (6.23)

Neste caso, a taxa de poupanca correspondentee denominadaσouro, e o nıvelassociado do consumo por unidades de eficiencia no estado estacionario e dadopor couro = F (kouro) − [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]kouro.

A condicao da equacao (6.23)e chamada aregra de ouro da acumulacaode capital, originalmente formulada por Phelps (1966).8 Na Figura 6.5 mostra-mos como funciona a regra de ouro. A figura considera tres taxas de poupancapossıveis, σ1, σouro, σ2, ondeσ1 < σouro < σ2. O consumo por unidade deeficiencia,c, e igual a distancia vertical entre a funcao de producao, F (k), e acurva de poupanca. Para cadaσ, o valor do estoque de capital de estado esta-cionario correspondek∗ a interseccao entre a curvaσF (k) e a reta[(1 + γ)(1 +η)− (1− δ)]k. O valor dec∗ e maximizado quandok∗ = kouro, porque a tangenteda funcao de producao neste pontoe paralela a[(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k. A

8A fonte deste nomee a bıblica conduta da regra de ouro. ...

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Figura 6.5: A Regra de Ouro e a Ineficiencia Dinamica

kt

kt+1

[(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k

.

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............................................................ ..............................................................σ2F (k)

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σouroF (k)

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F (k)

.

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σ1F (k)

∂F (k)∂k

kouro

H

N

couro

k∗2

∆cH

N

c∗2

H

N

taxa de poupanca que resulta emk∗ = kouro e uma que faz a curvaσF (k) cortar areta[(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k no valorkouro.

Quando uma taxa de poupancae melhor do que outra? A resposta direta paraesta questao seria endogeinizar esta escolha ao comportamento das famılias, ouseja, seria a utilizacao do modelo neoclassico de crescimento Cass-Koopmans.Todavia, podemos fazer uma breve analise de estatica comparativa para enderecaresta questao. Podemos argumentar que no presente contexto que uma taxadepoupanca que sempre excedaσouro e ineficiente porque maiores quantidades deconsumo podem ser obtidas em todos os pontos do tempo atraves da reducao dapoupanca.

Considere uma economia tal como descrita pela taxa de poupanc¸aσ2 na Figura6.5. Neste casoσ2 > σouro, tal quekouro > k2 e c∗2 < couro. Imagine que,partindo do estado estacionario, a taxa de poupancae reduzida permanentementeparaσouro. Neste caso, o consumo por unidade de eficiencia aumenta inicialmenteem∆c, como descrito na Figura 6.5. Uma vez quec∗2 < couro, concluımos quedurante a transicao para o novo estado estacionario o valor dec sempre sera maior

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do quec∗2. Portanto, quandos > souro, a economia esta super-poupando, nosentido de que o consumo pode ser aumentado em todos os pontosdo tempopela diminuicao da taxa de poupanca. Uma economia que poupa em excessoedita serdinamicamente ineficiente, porque a trajetoria do consumo por unidadesde eficiencia permanece abaixo de trajetorias alternativas em todos os pontos dotempo.

Seσ1 < σouro, como na Figura 6.5 entao o montante do consumo por unidadesde eficiencia de estado estacionario pode ser aumentado por meio de um aumentoda taxa de poupanca. Todavia, deve se notar que o aumento da poupanca podediminuir c ao inves de aumenta-lo durante o perıodo de transicao. O resultadofinal depende por tanto do valor que os indivıduos dao ao consumo ao longo dotempo, questao esta que apenas pode ser enderecada com o modelo de crescimentoCass-Koopmans.

6.3 Resıduo de Solow

Na secao anterior foi visto que a taxa de crescimento de longo prazode umaeconomiae determinada pela taxa de crescimento da produtividade. Este resul-tado e comum a outros modelos onde a decisao de poupare tomada de formaendogena mas que preservam as outras hipoteses do Modelo de Solow, de fato po-demos dizer que estae uma conclusao comum a teoria neoclassica do crescimentoeconomico, da qual o Modelo de Solowe o grande inspirador. Desta forma pode-mos afirmar que, para os teoricos neoclassicos, a produtividadee o determinantedo desempenho de uma economia no longo prazo. O problema desta conclusao,que tambem foi obtida por Adam Smith,e que nao sabemos como medir a produ-tividade.

Estee um problema grave, se nao podemos medir a produtividade nao pode-mos checar se a proposicao da secao anteriore verdadeira e, portanto, nao po-deriamos mostrar que o Modelo de Solow esta errado, como ja foi discutido senaoe possıvel mostrar que um modelo esta errado, nao devemos utilizar este mo-delo pois qualquer proposicao cientifica deve poder ser testada. Para resolver oproblema da falta de uma medida de produtividade Solow sugeriu que esta fossecalculada como um resıduo na funcao de producao.

Se conhecermos o estoque de capital, o que nem sempree verdade, a mao-de-obra ocupada e o produto de uma economia podemos usar a funcao de producaopara obter o nıvel de tecnologia, que a partir de agora chamaremos de produtivi-dade total dos fatores. Se considerarmos a funcao de producao descrita em (7.1)temos que:

Qt = Kθt (AtNt)

1−θ

Para estudar as propriedades do modelo nao nos preocupamos em diferenciar a

73

Page 75: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

populacao da mao-de-obra ocupada, porem esta diferenca deve ser feita quandodesejamos extrair medidas de uma economia real. Denotando amao-de-obra ocu-pada porLt a funcao de producao passa a ser dada por:

Qt = Kθt (AtLt)

1−θ (6.24)

A partir da equacao (6.24) podemos determinar a produtividade total dos fato-res,At, de forma bem simples. Basta isolarAt na parte esquerda da equacao, ouseja:

At =

(

Qt

Kθt L

1−θt

)1

1−θ

(6.25)

uma forma mais elegante, e simples, de calcular a produtividade total dos fatoresseria tomar o logaritmo da equacao (6.25), ou seja, fazendo:

ln At =1

1 − θln Qt −

θ

1 − θln Kt − ln Lt (6.25′)

como em geral estamos interessados na taxa de crescimento deAt o uso de (6.25′)e mais recomendado que o de (6.25).

Note que o calculo da produtividade total dos fatores foi feito de formaa quea funcao de producao fosse observada. Se pensarmos em um contador que desejefechar o balanco de uma firma a produtividade total dos fatores corresponderia aconta lancada sobre a rubrica de outros, ou seja, o calculo da produtividade totaldos fatorese feito de forma residual. Por tratar-se de um residuo e pelo fato dometodo de calculo ser devido a Solowe comum chamar a produtividade total dosfatores de Resıduo de Solow.

6.4 Contabilidade do Crescimento

Apos estudarmos o Resıduo de Solow podemos caracterizar os tres fatores quesao responsaveis pelo nıvel de produto de uma dada economia, sao eles: produti-vidade, capital e trabalho. Tambem foi visto que, quando a economia encontra-seem uma trajetoria de crescimento equilibrado, a taxa de crescimento da produtivi-dadee quem determina o quanto todas as variaveis macroeconomicas vao crescer.Entretanto a maioria das economias sao expostas a choques que as retiram, mesmoque por pouco tempo, de sua trajetoria de crescimento equilibrado.

Neste caso seria interessante saber a contribuiao de cada um dos fatores acimapara a taxa de crescimento de uma economia. Esta pergunta pode ser respondidapor meio de um exercıcio chamado de Contabilidade do Crescimento.

Definicao 6.9 AContabilidade do Crescimentonos permite determinar o quantoa produtividade, o capital e o trabalho contribuem para a taxa de crescimento deuma determinada economia em um dado perıodo de tempo.

74

Page 76: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Uma maneira simples de fazer a contabilidade do crescimentoconsiste emdividir todos os termos da funcao de producao descrita na equacao (6.24) pelapopulacao,Nt, de forma a obter:

Qt

Nt

= Kθt

(AtLt)1−θ

Nt

(6.26)

a equacao (6.26) pode ser escrita da forma:

Qt

Nt

= (At)1−θ

(

Kt

Lt

)θLt

Nt

(6.26′)

onde o termo do lado esquerdo da equacao representa o produtoper-capita, oprimeiro termo do lado direito representa a produtividade,o termo entre paren-teses representa a relacao entre capital e mao de obra, tambem chamado de in-tensividade do capital, e o terceiro termo representa a percentagem da populacaoempregada.

A equacao (6.26′) nos mostra que o produtoper-capitae determinado pelaprodutividade, pela intensividade do uso do capital e pela proporcao de pessoasempregadas. A taxa de crescimento do produtoper-capitasera determinada pelasoma da taxa de crescimento de cada um dos tres termos descritos acima9, daforma:

ηq = (1 − θ)γ + θηk + ηn (6.27)

ondeηq representa a taxa de crescimento do produtoper-capita, γ a taxa de cresci-mento da produtividade,ηk a taxa de crescimento da relacao capital/mao-de-obrae ηn a taxa de crescimento do emprego. Assim como no caso do Resıduo deSolow, conhecidosηq, ηk eηn, e possıvel determinarγ de forma residual.

Uma polıtica de crescimento muito usada na America Latina nas decadas de50, 60 e 70 era promover a implantacao de industrias intensivas em capital, estapolıtica era inspirada em uma tese da Comissao Economica para a America Latina(CEPAL) que propunha que tais industrias agregavam mais valor que as industriasque nao sao intensivas em capital. O resultado deste tipo de polıtica e que, via deregra, os paıses latino-americanos tiveram seus crescimento explicado quase quetodo por maior uso do capital. Como ja foi visto este tipo de crescimento so esustentavel no curto prazo10, de forma que a America Latina experimentou umgrande crescimento neste perıodo que nao mostrou-se sustentavel nas decadas de80 e 90. A Tabela 6.2 mostra a Contabilidade do Crescimento paraalguns paıseslatinos.

9Para chegar a este resultado basta derivar a equacao (6.26′) em relacao ao tempo e obter a taxade crescimento do produtoper-capita.

10No longo prazo apenas ganhos de produtividade causam crescimento.

75

Page 77: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Cresc. do Prod. Contribuicao do(a):

Produtividade Capital Trabalho

Paıs 60s 70s 80s 60s 70s 80s 60s 70s 80s 60s 70s 80sArgentina 3,5 3,2 -1,7 0,7 0,6 -2,6 2,0 2,0 0,3 0,8 0,6 0,6Bolıvia 6,7 4,5 0,7 3,6 0,8 -0,6 2,0 2,4 -0,2 1,1 1,3 1,5Brasil 5,9 8,4 1,5 1,5 2,5 -1,4 2,5 3,8 1,7 1,8 2,1 1,3Chile 4,2 2,7 3,1 1,6 0,5 0,6 1,7 0,8 1,0 0,9 1,5 1,5Colombia 5,5 5,5 3,2 2,3 2,0 -0,2 1,6 2,0 1,8 1,7 1,5 1,5Paraguai 4,2 9,5 1,5 0,8 3,6 -3,8 2,0 4,0 3,4 1,4 1,9 1,9Uruguai 1,7 2,6 -0,2 1,1 1,6 -0,9 0,1 0,9 0,4 0,4 0,1 0,3Venezuela 6,1 3,0 0,7 3,2 -2,4 - 2,0 1,0 2,6 0,8 1,9 2,9 1,9Media da A.L. 5,1 4,8 0,6 1,9 0,7 -2,0 2,0 2,5 1,2 1,3 1,6 1,4Fonte: Gregory e Lee (1999)

Tabela 6.2: Contabilidade do Crescimento na America Latina

Como pode ser observado na Tabela 6.2 a experiencia de crescimento naAmerica Latina deveu-se, principalmente, a acumulacao de fatores, desta forma,de acordo com o Modelo de Solow, este crescimento nao poderia ser sustentado,ou seja, teria de acabar. As colunas referentes aos anos 80 mostram que, nesteaspecto, o Modelo de Solow pode explicar o que ocorreu na America Latina e,em particular, no Brasil. Um topico que sera discutido mais adiante diz respeito arazao da queda de produtividade nos anos 80 e 90.

6.5 Convergencia

Foi visto que a economia convergira para seu estado estacionario independente-mente das suas condicoes iniciais, ou seja, o nıvel de renda de uma determinadaeconomia nao depende das riquezas que esta possuia no inicio do pocessodeacumulacao. Este resultado decorre da hipotese de rendimentos decrescentes, amedida que uma economia acumula muito capital, o rendimentodeste tende a di-minuir e, portanto, a remuneracao do capital tende a cair, induzindo as pessoas aacumular menos capital, ou seja, investir menos. Por outro lado, em uma econo-mia com pouco capital o efeito contrario deve ocorrer, qual seja, o rendimento docapital deve ser alto de forma a induzir as pessoas a acumularmuito capital, ouseja, investir muito. Desta forma, a medida que uma economiatorna-se mais rica,sua taxa de crescimento, em unidades de eficiencia, torna-se menor.

Este resultado levou alguns economistas a estudar uma hipotese conhecidacomo convergencia entre a renda dos paıses. Segundo esta hipotese a taxa decrescimento possui uma relacao negativa com a riqueza de um determinado paıs,

76

Page 78: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

de forma que paıses pobres tendem a apresentar taxas de crescimento maiores quea de paıses ricos. No extremo esta hipotese corresponde a dizer que, no longoprazo, a renda de todos os paıses devera se igualar.

Definicao 6.10 A Hipotese da Convergencia diz que a taxa de crescimento deuma economia relaciona-se de forma inversa com a renda, de forma que, no longoprazo, a renda de todos os paıses converge para o mesmo valor.

Este resultado, que decorre do Modelo de Solow, provocou um grande debateentre os economistas, de fato, o desenvolvimento deste debate foi quem, de certaforma, guiou o desenvolvimento das novas teorias do crescimento economico. Odebate se origina em Baumol (1986), neste trabalho o autor usauma amostra com16 paıses para mostrar a existencia de convergencia. Entretanto, DeLong (1988)argumentou que o resultado obtido por Baumol deveu-se a escolha dos paıses11,se fosse escolhida uma amostra maior o resultado de convergencia nao mais seriaobservado. O resultado de que, para uma amostra grande de paıses escolhidos aoacaso nao existe convergencia tambem foi encontrado por outros economistas epode ser considerado um fato que deve ser explicado pela teoria do crescimentoeconomico. A Figura 6.6 mostra a relacao entre a taxa de crescimento e o produtoper-capitapara um conjunto de 68 paıses no perıodo entre 1955 e 1990, note quenao existe nenhuma relacao significativa12 entre a taxa de crescimento e o produtoper-capita.

Uma maneira de conciliar o resultado obtido por De Long com o obtido porBaumol, foi a hipotese de clubes de convergencia, ou ainda, convergencia condici-onal. Segundo esta ideia apenas paıses que guardam determinadas caracterısticasem comum tenderiam a convergir para o mesmo nıvel de rendaper-capita. Paraentender esta ideia pode ser interessante determinar o estoque de capital doestadoestacionario, para isto basta impor a condicao de estado estacionario na equacao(6.20), assumindo a funcao de producao Cobb-Douglas, de forma a obter:

(1 + γ)(1 + η)k = (1 − δ)k + skθ

o que implica:

k =

[

s

(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)

]1

1−θ

(6.28)

de forma que o produto por unidades de eficiencia no estado estacionario seradado por:

y =

[

s

(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)

1−θ

(6.29)

11Baumos apenas considerou paıses que atualmente sao desenvolvidos.12A linha de regressaoe praticamente horizontal.

77

Page 79: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Figura 6.6: Relacao entre Taxa de Crescimento e Riqueza, 1955 - 1990

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−1

0

1

2

3

4

5

6

7

PIB per−capita em 1955

Tax

a de

cre

scim

ento

195

5 −

199

0

Como mostra a equacao (6.29), no estado estacionario, o valor do produtomedido em unidades de eficienciae determinado pelos parametros do

modelo. O tipo de tecnologia utilizada determina os valoresda taxa de depreciacao,δ, e da participacao do capital,α; as preferencias das famılias determinam a taxade poupanca; os fatores institucionais determinam a taxa de crescimento da produ-tividade,γ. A proposta dos clubes de convergencia assume que paıses semelhantestenderiam a dotar tecnologias semelhnates, possuir taxas de poupancas proximasuma das outras e dispor de sistemas institucionais que permitam o mesmo ritmode adocao tecnologicas. Ao contrario da hipotese de convergenica, os clubes deconvergencia nao sao refutados pelas evidencias empıricas.

Como pode ser observado nas figuras 6.7a e 6.7b existe um claro processo deconvergencia tanto entre os paıses da Europa quanto entre os paıses da Americado Sul, de fato, ambas as figuras mostram retas de regressao com forte inclinacaonegativa. A Figura 6.7 tambem mostra que a convergencia na Europa ocorre deforma mais velos que na America do Sul.

A proposta dos clubes de convergencia tenta resolver o problema empıricoda ausencia de convergencia a partir da ideia de que paıses diferentes devem serdescritos por parametros diferentes, ou seja, as diferencas entre as tecnologiasutilizadas e entre as preferencias dos agentes determinariam a riqueza de longoprazo da economia, se os paıses forem muitos diferentes nao ha porque esperar

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Page 80: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Figura 6.7: Clubes de Convergencia

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000−0.5

0

0.5

1

1.5

2

PIB per−capita em 1955

Ta

xa

de

cre

scim

en

to 1

95

5 −

19

90

(a) America do Sul

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

PIB per−capita em 1955T

axa

de

cre

scim

en

to 1

95

5 −

19

90

(b) Europa

convergencia. Apesar do apelo empırico dos clubes de convergencia alguns au-tores buscaram ir mais alem no problema de por que existem paıses ricos paısespobres.

Alguns autores argumentam que a hipotese de rendimentos decrescentes e suaimplicac— ao de as economias convergem para um estadoe stacionario, ou umcaminho de crescimento equilibrado, deve ser alterada, nesta linha de pesuisasurge a nova teoria do crescimento economico, nesta linha Romer (1986) sugereque externalidades associadas ao capital podem explicar a nao convergencia; Lu-cas (1988) aponta na direcao das externalidades associadas ao capital humano;e, finalmente, Romer (1990) sugere que a solucao pode estar na existencia dePesquisa & Desenvolvimento (P & D) e poder de monopolio. Em outra direcaoParente e Prescott (2000) sugerem que diferencas na tecnologia adotada pode sera explicacao para a existencia de paıses pobres e paıses ricos, estes autores ar-gumentam que estas diferencas nas tecnologias adotadas decorrem de diferentesarranjos institucionais. Estas e outras teorias para explicar o crescimento de umaeconomia serao estudadas nas proximos unidades.

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Page 81: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Capıtulo 7

Modelo Basico de Crescimento eCiclos Reais

Neste capıtulos vamos apresentar o modelo basico de crescimento e ciclos reais,trata-se de uma extencao do Modelo de Solow onde a taxa de poupancae determi-nada em um problema de maximizacao de utilidade das famılias. Inicialmente seraapresentado um modelo onde um planejador central decide a quantidadeotima deconsumo e de investimento. Com isto sera possıvel colocar as principais questoesdinamicas envolvidas no problema.

Posteriormente sera discutido o conceito de equilıbrio pertinente para a classede modelos estudados nesta unidade. Uma vez definido e discutido o equilıbriosera possıvel apresenrtar o modelo basico com oferta de trabalho, conhecido comomodelo basico de ciclos reais. Finalmente serao discutidos topicos relacionados acalibracao do modelo de ciclos reais e algumas extensoes do modelo basico.

7.1 Poupanca Endogena

O maior problema com o Modelo de Solowe que ele nao representa nenhumadecisao economica, os agentes nao decidem o quanto consumir ou poupar. Oproblema central de decidir entre consumir e obter utilidade imediata ou investire obter recursos que garantam utilidade no futuroe tratado com algo exogeno aomodelo.

Uma maneira de resolver esta questao e assumir que os indivıduos possuempreferencias sobre sequencias de consumo, de forma que devem escolher qualsequencia maximiza suas utilidades. Esta abordagem foi feita emCass (1965) eKoopmans (1965), de forma que o modelo com poupanca endogena por vezesechamado Modelo Cass-Koopmans.

Em nossa abordagem vamos considerar que existe um planejador social be-

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Page 82: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

nevolente que decide qual a sequencia de consumo deve ser escolhida para ma-ximizar a utilidade dos agentes desta economia. Assume-se tambem que as pre-ferencias de todos os indivıduos sao iguais. Estas hipoteses nos permitem evitarproblemas relacionados a definicao de equilıbrio competitivo, o que sera feitomais a frente.

Para realizar a producao a economia em analise conta com uma tecnologiarepresentada por uma funcao de producao que exibe retornos constantes de escalae rendimentos decrescentes em cada um dos fatores. Para ser preciso a funcao deprducao,F : ℜ2

+ → ℜ+ e diferenciavel, estritamente crescente, homogenea degrau um e estritamente quase-concava, com:

F (0, N) = 0, FK(K,N) > 0, FN(K,N) > 0, ∀K,N > 0;

limK→0

FK(K, 1) = ∞, limK→∞

FK(K, 1) = 0

As hipoteses sobre a funcao de producao nos permitem escrever o produtoper-capitacomo:

yt = f(kt) (7.1)

Assim como no Modelo de Solow o estoque de capital evolui de acordo coma expressao:

Kt+1 = (1 − δ)Kt + Xt (7.2)

ondeKt representa o estoque de capital no perıodot, Xt o investimento no perıodot e δ a taxa de depreciacao do estoque de capital. Assumindo que nao existecrescimento da populacao nem da produtividade a equacao acima pode ser escritacomo:

kt+1 = (1 − δ)kt + kt (7.3)

onde as variaveis minusculas representam as maiusculas em termosper-capita.Desta forma o problema do planejador central consiste em escolher a sequencia

de consumo que maximiza a utilidade dos agentes restrito a (7.3) e a escolha deuma alocacao factıvel, ou seja, a cada perıodo deve valer quect +xt = yt, ondect

representa o consumoper-capita. Este problema pode ser representado da forma:

maxct

∞∑

t=0

βtu(ct)

s.a. kt+1 = f(kt) + (1 − δ)kt − ct (7.4)

Podemos substituir a restricao (7.4) na funcao objetivo de modo que o problemase torna:

maxkt

∞∑

t=0

βtu (f(kt) + (1 − δ)kt − kt+1) (7.5)

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O problema descrito em (7.5) pode ser colocado na forma de um problema deprogramacao dinamica como os estudados na primeira parte destas notas de aula.Para isto considere quekt seja a variavel de estado ekt+1 a variavel de controle, aregra de movimento da variavel de estado assume a forma mais simples possıvel,qual seja, o valor da variavel de estado no proximo perıodoe igual ao da variavelde controle no perıodo atual. A Equacao de Bellmane dada por:

V (kt) = maxkt+1

u (f(kt) + (1 − δ)kt − kt+1) + βV (kt+1) (7.6)

As hipoteses sobre a funcaoF e as que sao usuais para funcoes de utilidade, quaissejam,u′(·) > 0 e u′′(·) < 0, garantem que (7.6) possui umaunica solucao.Mais ainda, com estas mesmas hipotesese possıvel mostrar queV e duas vezesdiferenciavel, estritamente crescente, estritamente concava e que asolucao para oporblema de maximizacao nolado direito de (7.6) e estritamente interior1. Nestascircustancias a escolhaotima dekt+1 sera dada por:

u′ (f(kt) + (1 − δ)kt − kt+1) = βV ′(kt+1) (7.7)

A solucao para o problema em (7.7) fornece a regra de decisao invariante notempo, ou seja, determinakt+1 em funcao dekt; de forma mais geral podemos di-zer que esta solucao permite escrever a variavel de controle em termos da variavelde estado, nos moldes do que foi feito na primeira parte destas notas de aula. Aunicidade da solucao e garantida pelo fato deV ser estritamente concava. Estaregra de decisao, escrita comokt+1 = α(kt), e uma equacao em diferencas deprimeira ordem que, junto com o valor do estoque de capital inicial, k0, determinacompletamente a sequenciaotima de capital,kt

∞t=0.

Uma propriedade imediata da funcaoα(·) e queα(0) = 0. Alem disso, peloTeorema da Funcao Implıcita, sabemos queα(·) e diferenciavel e que sua derivadae dada por:

α′(k) =[f ′(k) + 1 − δ] u′′(c)

u′′(c) + βV ′′ (α(k))> 0 (7.8)

onde a desigualdade segue das propriedades def , u e V . Do fato queα′(·) > 0segue que a funcaoα e estritamente crescente.

Uma outra estrategia para representar a regra de decisao consiste em eliminarV ′(kt+1) de (7.7). Para isto devemos diferenciar (7.6) de modo a obter:

V ′(kt) = u′′ (f(kt) + (1 − δ)kt − kt+1) [f ′(kt) + 1 − δ] (7.9)

Avaliando (7.9) emt + 1, substituindo em (7.8) e lembrando quect = f(kt) +(1 − δ)kt − kt+1 chega-se a seguinte Equacao de Euler:

u′(ct) = βu′(ct+1) [f ′(kt+1 + 1 − δ)] (7.10)

1A este respeito ver Stockey e Lucas (1989)

82

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A Equacao de Euler em (7.10) mostra que a taxa marginal de substituic¸ao entreconsumo emt et+1, µ = u′(ct)

βu′(ct+1), deve ser igual a taxa tecnica de transformacao,

dada porf ′(kt+1) + 1 − δ, que, por sua vez, representa o quanto de produto podeser obtido emt + 1 a partir de uma unidade de poupanca emt.

O problema de caracterizar a sequenciaotima kt∞t=0 por meio da Equacao

de Eulere que esta define uma equacao em diferencas de segunda ordem, poisencontram-se presenteskt, kt+1 e kt+2. Como so uma condicao inicial, k0, eimposta existem infinitas sequencias que atendem a esta condicao e (7.10). Destaforma a Equacao de Eulere uma condicao necessaria mas nao suficiente paradeterminar a sequenciaotima.

E possıvel demonstrar que se uma sequenciakt∞t=0 satisfaz a condicao inicial

e (7.10) entao ela sera otima se tambem obedecer a condicao:

limt→∞

βtu′(ct) [f ′(kt) + 1 − δ] kt = 0 (7.11)

A condicao (7.11)e chamadacondicao de tranversalidade, a prova de que junta-mente com a Equacao de Euler, e para uma dada condicao inicalk0, a condicao detransversalidade forma um conjunto de condicoes necessarias e suficientes parasolucao do problema de econtrar a sequenciaotima de capital pode ser encon-trada em Stockey e Lucas (1989). De forma alternativae possıvel usar (7.10) paraescrever (7.11) como:

limt→∞

βt−1u′(ct−1)kt = 0 (7.11′)

Para interpretar a condicao de transversalidade basta imaginar o problema dehorizonte infinito como uma sequencia de problemas de horizonte finito. Comhorizonte as condicoes de primeira ordem para o problema dinamico seriam:

∂V

∂kt+1

= −βtu′(ct) + βt+1u′(ct+1) [f ′(kt+1) + 1 − δ] ≤ 0, t = 1, . . . , T − 1

∂V

∂kT+1

= −βT u′(cT ) ≤ 0, t = T (7.12)

valendo a igualdade sekt+1 = 0. Como a utilidadee crescente no consumonunca vai acontecer dekT+1 ser maior que zero, de modo que (7.12) deve valercom igualdade. Se tomarmos o limiteT → ∞, estabeleceremos a condicao detransversalidade.

Vimos que a condicao inicialk0 junto com a regra de decisaokt+1 = α(kt)determina completamente a sequenciaotima de capital. Podemos definir o estadoestacionario para o estoque de capital como um ponto fixo paraα, ou seja, umvalor k tal quek = α(k). Quando o capital esta no seu estado estacionario entaoo consumo, o investimento e o produto tambem serao constantes no tempo. Da

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equacao (7.10) pode-se concluir que o estado estacionario sera dado pork = 0 oupor umk = k⋆ > 0 tal que:

f ′(k⋆) = δ − 1 +1

β(7.13)

as propriedades quanto a concavidade def garantem que so existe umk⋆.Defina a taxa de desconto intertemporal comoγ tal queβ = 1/(1 + γ). A

condicao do estado estacionario podera ser escrita como:

f ′(k⋆) = γ + δ (7.13′)

Note que o valor do estoque de capital no estado estacionario, e de todas as ou-tras variaveis, nao depende da forma da funcao de utilidade instantaneau, o unicoparametro de preferencias relevantee a taxa de desconto intertemporal, ou alter-nativamente, o fator de desconto.

Outro ponto importantee que, conquantoγ > 0, o estoque de capital noestado estacionario e diferente do estoque de capital associado a regra de ouro2.Este resultadoe bastante intuitivo, uma vez que os agentes descontam o futuronao ha porque maximizar o consumo no estado estacionario, pelo contrario, e dese esperar que os agentes sacrifiquem um pouco de consumo no longo prazo embenefıcio de consumo presente.

Fora do estado estacionario o modelo com poupanca endogena se comportade modo similar ao Modelo de Solow3. Entretanto isto nao deve ser consideradocomo um incentivo para abandonar o modelo desta secao em nome do mais sim-ples da unidade anterior. Caso desejemos saber como a mudanca do ambienteeconomico, e.g. a mudanca de um parametro, muda a taxa de poupanca o Modelode Solow nao pode nos ajudar em nada. Problemas como este que fazem com queo economista deva sempre buscar justificar seus modelos a partir do comporta-mento otimizador dos agentes.

Tipicamente para determinar a funcao α(·) e necessario recorrer a tecnicasnumericas. Entretanto existem alguns poucos exemplos que admitem um solucaoanalıtica, consideraremos um deles e, a partir do algoritmo de programacao dina-mica, vamos determinar a funcaoα(·). Considere uma economia onde a funcao deutilidade instantaneae dada poru(ct) = ln(ct), a funcao de producaoe uma Cobb-Douglas do tipoF (K,N) = KθN1−θ, que pode ser escrita comof(k) = kθ, eocorre depreciacao total do estoque de capital a cada perıodo, ou seja,δ = 1.

Neste caso, a partir do problema em (7.6), podemos montar a sequencia:

Vn+1(kt) = maxkt+1

ln(kθt − kt+1) + βVn(kt+1)

(7.14)

2Como visto no Modelo de Solow o estoque de capital da regra de ouro neste caso seria tal quef ′(k) = δ.

3Ver Wright (1997).

84

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Por vezes, para simplificar a notacao, em problemas como o descrito a cimaecomum escrever as variaveis emt sem o subescrito de tempo e as variaveis emt + 1 com uma linha. Usando esta notacao e assumindoV0 = 0, podemos definira primeira iteracao de (7.14) da forma:

V1(k) = maxk′

ln(kθ − k′) + 0

A solucao para esta iteracaoe fazerk′ = α1(k) = 0. Isto implica:

V1(k) = θ ln(k)

Seguindo com as iteracoes devemos ter:

V2(k) = maxk′

ln(kθ − k′) + βθ ln(k′)

Isto implica uma regra de decisao do tipok′ = α2(k) = θβ1+θβ

kθ, que, por sua vezimplica queV1 e tal que:

V2(k) = ln

(

kθ −θβ

1 + θβkθ

)

+ βθ ln

(

βθ

1 + βθkθ

)

= ln

(

1

1 + θβkθ

)

+ βθ ln

(

βθ

1 + βθkθ

)

= ln

(

1

1 + θβ

)

+ θ ln (k) + βθ ln

(

βθ

1 + βθ

)

+ βθ2 ln (k)

= θ(1 + βθ) ln(k) + Θ

ondeΘ e uma constante. Seguindo para o proximo passo temos:

V3(k) = maxk′

ln(kθ − k′) + β [θ(1 + βθ) ln(k′) + Θ]

A solucao para este problemae uma regra de decisao do tipok′ = α3(k) =θβ(1+θβ)

1+θβ+θ2β2 kθ.

Em cada perıodon e possıvel interpretar a funcao valorVn e a funcao polıticaαn(·) como as resultantes de um problema de horizonte finito faltandon perıodospara o fim. Entao, continuando desta maneira, no passon a funcao polıtica seradada por:

k′ =θβ (1 + θβ + . . . + θn−1βn−1)

1 + θβ + . . . + θnβnkθ (7.15)

Enquanto a funcao valor sera:

Vn(k) = θ(

1 + θβ + . . . + θn−1βn−1)

ln(k) + Θn (7.16)

85

Page 87: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

ondeΘn e constante em relacao ak e k′, mas nao em relacao an. Tomando olimite quandon → ∞ em (7.15) e (7.16)e possıvel obter a funcao polıtica como:

k′ = α(k) = θβkθ (7.17)

enquanto a funcao valor sera dada por:

V (k) =θ

1 − βθln(k) + Θ∞ (7.18)

7.2 Oferta de Trabalho e o Modelo Basico de CiclosReais

No inıcio dos anos oitenta Kydland e Prescott (1982) resolveram avaliar a capaci-dade de um modelo neoclassico reproduzir alguns fatos observados na economiaamericana. Este trabalho tornou-se a base para uma teoria que buscava explicaro ciclo ecnomico a partir dos principais elementos da analise neoclassica, quaisseja, indivıduos e firmas maximizadores e mercados em equilıbrio. Tal propostaveio de encontro a uma ampla tradicao em macroeconomia de creditar a existenciade ciclos economicos a falhas de mercado ou a incapacidade dos agentes de tomardecisoes corretas do ponto de vista agregado.

Para tratar desta questao formalmentee necessario extender o modelo da secao7.1 de duas maneiras.E preciso explicitar a oferta de trabalho, de forma que osagentes possam escolher de formaotima entre trabalho e lazer, ee preciso adico-nar choques de oferta. Os choques de oferta serao representados pelo Resıduo deSolow.

Para introduzir oferta de trabalho no modeloe preciso considerar explicita-mente o lazer na funcao utilidade, de forma que a funcao de utilidade instanteneasera do tipou : ℜ2 → ℜ tal que o nıvel de utilidade depende da quantidade con-sumo e da quantidade de lazer, ou seja, a funcao tera a formau(ct, lt), ondelt e aquantidade de lazer. Deste modo o problema do planejador central toma a forma:

maxct,lt

∞∑

t=0

βtu(ct, lt)

s.a. kt+1 = f(kt, ht) + (1 − δ)kt − ct (7.19)

ht + lt = 1 (7.20)

A restricao (7.19) foi modificada para explicitar que as horas trabalhadas,ht, de-terminam a quatidade produzida. Enquanto a restricao (7.20) estabelece que todoo tempo do indivıduo deve ser dividido entre trabalho e lazer, por conveninecia otempo disponıvel foi normalizado para um.

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Page 88: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Substituindo (7.19) e (7.20) na funcao utilidadee possıvel escrever o problemade maximizacao acima como:

maxkt,ht

∞∑

t=0

βtu (f(kt, ht) + (1 − δ)kt − kt+1, 1 − ht) (7.21)

Que, por sua vez, esta associado a seguinte Equacao de Bellman:

V (kt) = maxkt+1,ht

u (f(kt, ht) + (1 − δ)kt − kt+1, 1 − ht) + βV (kt+1) (7.22)

onde as variaveis de controle saokt+1 eht e a variavel de estadoekt.Assumindo uma solucao interior o problema em (7.6) implica as seguintes

condicoes de primeira ordem:

∂u(ct, 1 − ht)

∂ht

=∂u(ct, 1 − ht)

∂ht

∂f(kt, ht)

∂ht

(7.23)

∂u(ct, 1 − ht)

∂kt+1

= β∂V (kt+1)

∂kt+1

(7.24)

usando a notacao simplificada onde a derivada parcial em relacao a um argumentoe descrita pela funcao seguida do numero de ordem do argumento e as variaveisem t perdem o subescrito de tempo enquanto as variaveis emt + 1 ganham umalinha como superescrito, as condicoes acima tornam-se:

u2(c, 1 − h) = u1(c, 1 − h)f2(k, h) (7.23′)

u1(c, 1 − h) = βV ′(k′) (7.24′)

As regras de decisaootimas sao as funcoesht = h(kt) e kt+1 = k(kt) que resol-vem o sistema formado pelas equacoes (7.23) e (7.24).

Para obter a Equacao de Euler basta calcularV ′(·) em (7.22), adiantar em umperıodo e substituir em (7.24′). Desta formae possıvel obter:

u1(ct, 1 − ht) = βu1(ct+1, 1 − ht+1) [f1(kt+1, ht+1) + 1 − δ] (7.25)

Substituindo a condicao de estado estacionario, ou sejakt = k⋆ e ht = h⋆, em(7.25) o estoque de capital sera dado por:

f1(k⋆, h⋆) = γ + δ (7.26)

Note que a condicao (7.26) tem a mesma forma da condicao (7.13′). Estas condicoesestabelecem que o retorno do capitalf1(k

⋆, h⋆)− δ tem de ser igual a taxa de des-conto intertemporal,γ.

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Page 89: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Para adicionar o componente estocastico a pratica comum consiste em seguira sugestao em Brock e Mirman (1972), qual seja, adicionar um termo estocasticoa funcao de producao tal que esta seja escrita comoy = ztf(kt, ht). Em geralassume-se que este componente estocastico,zt, depende do seu valor no perıodoanterior e de uma sequencia,εt

∞t=0, de variaveis aletorias independentes e iden-

ticamente distribuidas, ou seja,zt+1 = z(zt, εt). Um exemplo comume assumirquezt segue um processo autoregressivo do tipo:

zt+1 = 1 − ρ + ρzt + εt (7.27)

onde0 < ρ < 1 e εt ∼ N(0, σ2).Neste caso o problema dinamico em (7.21) passa a ser escrito como:

maxkt,ht

E∞

t=0

βtu (ztf(kt, ht) + (1 − δ)kt − kt+1, 1 − ht) (7.28)

que pode ser representado pela seguinte Equacao de Bellman:

V (kt, zt) = maxkt+1,ht

u (ztf(kt, ht) + (1 − δ)kt − kt+1, 1 − ht) + EβV (kt+1, zt)

(7.29)ondeht e kt+1 sao variaveis de controle ekt e zt sao variaveis de estado. Ascondicoes de primeira ordem para o problema em (7.29) sao dadas por:

u2(c, 1 − h) = u1(c, 1 − h)zf2(k, h) (7.30)

u1(c, 1 − h) = βEV1(k′, z′) (7.31)

As funcoesht = h(kt, zt) e kt+1 = k(kt, zt) que resolvem o sistema formadopor (7.30) e (7.31) sao as regras de decisao, ou funcoes polıticas, do problemaem (7.28). Para obter a Equacao de Euler basta calcularV1(kt, zt) em (7.29) esubstituir em (7.31) de forma a obter:

u1(ct, 1 − ht) = βEu1(ct+1, 1 − ht+1) [zt+1f1(kt+1, ht+1) + 1 − δ] (7.32)

Para encontrar o estado estacionario e preciso determinar o valor esperado naocondicional deE(zt+1) = E(zt) = z e substituir este valor em (7.32). No exem-plo em (7.27) temos quez = 1. Neste caso o estado estacionario deterministicofica igual ao do modelo sem choques.

7.3 Equilıbrio

Ate agora toda a discussao concentrou-se no problema de encontrar a alocacaoescolhida por um planejador central que busca maximizar o bem-estar de toda a

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Page 90: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

sociedade. Com isto evitou-se tratar abertamente de questoes relativas a equilıbriocompetitivo. Apesar de conveniente esta estrategia apresenta problemas tanto me-todologicos quanto operacionais.

Do ponto de vista metodologico construir um modelo sem definir e apresen-tar de forma detalhada o seu equilıbrio pode levar a conclusoes erradas sobre asaplicacoes do modelo. Tambem pode tornar bastante ardua a tarefa de alguemque deseje avaliar o modelo de forma quantitativa, por exemplo por meio desimulacoes numericas. A questao operacional diz respeito ao fato que em variasaplicacoes interessantes a solucao do problema do planejador central nao coincidecom o equilıbrio de mercado4.

Em geral a solucao do planejador central coincide com o equilıbrio de mercadoquando valem o Primeiro e o Segundo Teoremas Fundamentais doBem-EstarSocial5. Para tratar dos outros casose preciso ter uma definicao de equilıbrio.A possibilidade de usar o conceito de equilibrio competitivo no estilo Arrow-Debreu foi explorada em Cooley e Prescott (1995), onde os autores apontam quea abordagem deste tipoe limitada a alguns casos onde existe apenas um tipo defamılias e nao existem distorcoes. Em particular ficam de fora casos interessantescomo economias com externalidades, restricoes sobre os mercados ou sobre oscontratos, competicao monopolistica e esquemas de impostos distorcivos.

O conceito de equilıbrio mais utilizado nos modelos de economia dinamicae o deEquil ıbrio Competitivo Recursivo (ECR), desenvolvido em Prescott eMehra (1980). Este sera o conceito explorado no restante desta parte do curso, osmotivos para esta escolha sao que o ECR pode ser aplicado a uma grande classede modelos, com e sem distorcoes, e que, em varios casos, este equilıbrio podeser computado e utilizado para gerar series artificiais.

Considere inicialmente a versao do Modelo de Solow com poupanca endogena.Neste caso a oferta de trabalhoe perfeitamente inelastica e nao existem choquesna economia. Por hipotese a taxa de crescimento da populacao e a taxa de cresci-mento da produtividade sao iguais a zero, de forma que, em equilıbrio, as variaveisagregadas serao iguais as variaveis individuais.

A economiae composta por firmas e famılias. As firmas contratam capitale trabalho das famılias e produzem ounico bem da economia por meio de umafuncao de producao que exibe retornos constantes de escala. A hipotese de re-tornos constantes faz com que seja possıvel ignorar problemas de organizacaoindustrial nesta economia. Tanto faz imaginar que existe umgrande numero defirmas operando em um mercado perfeitamente competitivo como assumir que

4Dois destes exemplos estao em Hansen e Prescott (1995), um com impostos distorsivos eoutro de uma economia monetaria com restricao do tipocash-in-advance.

5O primeiro diz que todo equilıbrio competitivoe otimo no sentido de Pareto, o segundo dizque existe sempre um esquema de transferencias que faz com que um pontootimo no sentido dePareto seja um equilıbrio competitivo.

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Page 91: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

existe umaunica firma que se comporta com se estivesse em um mercado compe-titivo. O segundo caso, apesar de soar estranho, facilita a definicao de equilıbrio.Isto ocorre porque, neste caso, a demanda por fatores da firmae igual a demandaagregada por fatores. Considerando a hipotese da firma representativa, ou do mo-nopolista que se comporta com em concorrencia perfeita, vale que o lucro da firmasera dado por:

Π(Kt, Ht) = F (Kt, Ht) − rtKt − wtHt (7.33)

ondeKt representa o capital agregado,Ht as horas totais trabalhadas,rt a remuneracaopaga pelo uso de uma unidade de capital ewt representa o salario por hora de tra-balho. Para simplificar o problema considerou-se que o preco dounico bem destaeconomiae igual a um.

As condicoes de primeira ordem associadas ao problema de maximizacao delucros da firma serao dadas por:

wt =∂F (Kt, Ht)

∂Ht

= F2(Kt, Ht) (7.34)

rt =∂F (Kt, Ht)

∂Kt

= F1(Kt, Ht) (7.35)

As equacoes (7.34) e (7.35) garantem que as firmas vao contratar capital e trabalhode forma a igualar a produtividade marginal de cada fator ao preco de mercadodeste fator.

O problema das famılias e um pouco mais delicado pois envolve a decisao deacumular capital, lembre que todos os fatores de producao pertencem as famılias,o que implica na existencia de um problema dinamico. Para definir o problemadinamico da famılia e preciso levar em consideracao que tanto o estoque de ca-pital agregado quanto o estoque de capital da famılia sao variaveis de estado. Oprimeiro influencia no valor das rendas recebidas pelas famılias por meio de seuefeito sobre o salario e a remuneracao do capital. O segundo determina o quantoa famılia dispoe paara gastar uma vez que representa a riqueza da famılia. De-notando o estoque de capital da famılia por k, o investimento da famılias porxe o investimento agregado comoX, o problema dinamico das famılias pode serescrito como:

v(k,K) = maxc,x≥0

u(c) + βv(k′, K ′)

s.a. c + x ≤ r(K)k + w(K)

k′ = (1 − δ)k + x

K ′ = (1 − δ)K + X(K)

ondeδ representa a taxa de depreciacao do capital. Uma vez apresentada a descricaodas firmas e das famılias torna-se possıvel definir o ECR.

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Page 92: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Definicao 7.1 Umequilıbrio competitivo recursivo consiste em uma funcao va-lor v(k,K) : ℜ2

+ → ℜ; uma funcao polıtica, d(k,K) : ℜ2+ → ℜ+, que gera de-

cisoes a respeito dec(k,K) e x(k,K) para o agente representativo; uma funcaopolıtica agregadaD(K) : ℜ+ → ℜ+ que gera decisoes agregadasC(K) eX(K); funcoes para os precos dos fatores,r(K) : ℜ+ → ℜ+ e w(K) : ℜ+ →ℜ+, tais que estas funcoes satisfacam:

i. O problema dinamico das famılias.

ii. As condicoes necessarias e suficientes para maximizacao de lucro em (7.34)e (7.35).

iii. Consistencia entre as decisoes agregadas e indivıduais, ou seja,d(K,K) =D(K), ∀K.

iv. A restricao de recursos do ponto de vista agregado, ou seja,C(K)+X(K) =Y (K).

No caso do modelo com oferta de trabalho e choques estocasticos as modifica-coes ocorrem nas funcoes de producao e de utilidade. A primeira passa a incluir ochoque estocastico, tomando a formaYt = eztF (Kt, Ht). A variavelzt segue umprocesso autoregressivo de primeira ordem do tipo:

zt+1 = ρzt + εt+1 (7.36)

onde0 < ρ < 1 e ε ∼ N(0, σε).Com esta nova especıficacao para funcao de producao as condicoes de pri-

meira ordem da firma passam a ser dadas por:

wt =∂eztF (Kt, Ht)

∂Ht

= eztF2(Kt, Ht) (7.37)

rt =∂eztF (Kt, Ht)

∂Kt

= eztF1(Kt, Ht) (7.38)

As equacoes (7.37) e (7.38) podem ser interpretadas da mesma forma que asequacoes (7.34) e (7.35).

No caso da funcao utilidadee preciso introduzir o lazer como argumento dafuncao utilidade. Note que nao se trata de um artifıcio para obter um determinadoresultado, a ideia que o trabalho provoca perda de bem-estar esta presente entreoc economistas desde os trabalhos de Jeremy Bentham e StanleyJevons, e, emcerto sentido, pode ser vista como parte fundamental da revolucao marginalista

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que mudou o pensamento economico no seculo XIX. Com esta modificacao oproblema dinamico das famılias passa a ser dado por:

v(z, k,K) = maxc,x,h

u(c, 1 − h) + βE [v(z′, k′, K ′)]

s.a. c + x ≤ r(z,K)k + w(z,K)h

k′ = (1 − δ)k + x

K ′ = (1 − δ)K + X(z,K)

z′ = ρz + ε

l + h = 1

c ≥ 0, 0 ≤ h ≤ 1

ondel representa o tempo dedicado ao lazer eh as horas trabalhadas. Com es-tas modificacoes torna-se possıvel enunciar novamente a definicao de equilibriocompetitivo recursivo.

Definicao 7.2 Umequilıbrio competitivo recursivo consiste em uma funcao va-lor v(z, k,K); um conjunto de regras de decisao para as famılias, c(z, k,K),h(z, k,K) ex(z, k,K); um conunto correpondente de decisoes agregadas,C(z,K),H(z,K) e X(z,K); e funcoes de precos de fatores,w(z,K) e r(z,K) tais queestas funcoes satisfacam:

i. O problema dinamico das famılias.

ii. As condicoes necessarias e suficientes para maximizacao de lucro em (7.37)e (7.38).

iii. Consistencia entre as decisoes agregadas e indivıduais, ou seja,c(z,K,K) =C(z,K), h(z,K,K) = H(z,K) ex(z,K,K) = X(z,K), ∀(z,K).

iv. A restricao de recursos do ponto de vista agregado, ou seja,C(z,K) +X(z,K) = Y (z,K) ∀(z,K).

7.4 Calibracao

Apos construir um modelo dinamico e definir o equilıbrio competitivo recursivoeimportante resolver o modelo de modo a criar series artificiais que possam sercomparados com series correspondentes observadas em um determinado paıs.Este tipo de abordagem segue o proposto em Lucas (1981) onde oautor afirmaque:

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“... a ‘theory’ is not a collection of assertions about the behavior ofthe actual economy but rather a explicit set of instructionsfor buil-ding a parallel or analogue system – a mechanical imitation economy.A ‘good’ model, from this point of view, will not be exactly more ‘real’than a poor one, but provide better imitations.”

Para realizar esta tarefa duas questoes devem ser consideradas. A primeira con-siste em determinar em que medida as series geradas pelos modelos correspondemas series existentes para a economia que esta sendo analisada. A segunda consisteem como determinar valores para parametros de forma que o modelo seja consis-tente com alguns fatos da economia sob estudo. Esta segunda partee conhecidacomo calibracao.

Para realizar um exercıcio de calibracao e preciso que a economia artificialseja capaz de reproduzir fatos da economia real. Como o objetode estudo destecapıtulo e o ciclo economico, vamos determinar os parametros de forma a repro-duzir caracterısticas de longo prazo da economia americana6. Primeiro passoeintroduzir crescimento populacional e crescimento da produtividade no modelocom oferta de trabalho e choques estocastico.

Como nao existem distorcoes o equilıbrio competitivo recursivo sera equiva-lente a escolhaotima do planejador central. Por simplicidade a segunda aborda-gem sera utilizada. Considerando que a populacao cresce a uma taxaη e a pro-dutividade cresce a uma taxaγ o problema do planejador central pode ser escritocomo:

max E

[

∞∑

t=0

βt(1 + η)t [(1 − α) ln ct + α ln(1 − ht)]

]

s.a.ct + xt = ezt(1 − γ)t(1−θ)kθt h

1−θt

(1 + γ)(1 + η)kt+1 = (1 − δ)kt + xt

zt+1 = ρzt + εt

O problema pode ser representado pela seguinte Equacao de Bellman:

V (z, k) = maxk′,h

(1 − α) ln c + α ln(1 − ht) + β(1 + η)EV (z′, k′)

s.a.c = ez(1 − γ)(1−θ)kθh1−θ + (1 − δ)k − (1 + η)(1 + γ)k′

z′ = ρz + ε

6A escolha pela economia americana justifica-se pelo fator desta ter sido amplamente estudada,para um analise deste tipo aplicada a economia brasileira ver Ellery Jr, Gomes e Sachsida (2002).

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As condicoes de primeira ordem para este problema sao:

(1 + γ)(1 + η)

ct

=β(1 + η)

[

θezt+1kθ−1t+1 h1−θ

t+1 + 1 − δ]

ct+1

(7.39)

(1 − θ)eztkθt h

−θt

ct

1 − α

1

1 − ht

(7.40)

No caminho de crescimento equlibrado as equacoes (7.39) e (7.40) passam a serescritas como:

1 + γ

β+ δ − 1 = θ

y

k(7.41)

(1 − θ)y

c=

α

1 − α

h

1 − h(7.42)

enquanto que a lei de movimento do capital pode ser escrita como:

(1 + γ)(1 + η)k

y= (1 − δ)

k

y+

x

y(7.43)

Calibrar o modelo significa dar valores ao parametrosα, β, γ, δ, η, θ, ρ eσε deforma que a economia artificial reproduza o longo prazo da economia real. Paraa taxa de crescimento da populacao, η podemos usar a taxa de crescimento dapopulacao observada. Como um dos resultados deste modeloe que, no longoprazo, a taxa de crescimento do produtoper-capitae igual a taxa de crescimentoda produtividade, o parametroγ pode ser determinado como a taxa de crescimentodo PNBper-capita.

O proximo parametro a ser determinadoe o que representa a intensividade decapital na tecnologia,θ. No caso da funcao de producao Cobb-Douglase possıvelescrever a participacao da renda do capital na renda total como:

rtkt

yt

=θeztkθ−1

t h1−θt × k

yt

= θ (7.44)

Desta formae possıvel afirmar queθ correspondea participacao da renda do ca-pital na renda total da economia. Este numero pode ser encontrado nas contasnacionais.

Uma vez conhecidosη, γ e θ e possıvel obterδ por meio da equacao (7.43).Entaoβ pode ser determinado a partir da equacao (7.41). Desta forma resta apenaso parametroα, quee encontrado na equacao (7.42).

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7.5 Exercıcios

1. Mostre que seYt = F (Kt, Nt) onde a funcao F : ℜ2+ → ℜ+ apresenta

retornos constantes de escalae possıvel escrever

Yt

Nt

= F

(

Kt

Nt

, 1

)

= f(kt)

2. Mostre que se as hipoteses sobre a funcaoF feitas na secao 7.1 forem ver-dadeiras entao a funcaof definida acimae diferenciavel, estritamente cres-cente e estritamente concava com:

f(0) = 0, f ′(k) > 0, limk→0

f ′(k) = ∞, limk→∞

f ′(k) = 0

3. No exemplo de programacao dinamica apresentado no final da secao 7.1mostre que:

i. A funcao valor em (7.18)e de fato um ponto fixo para (7.14).

ii. A funcao polıtica em (7.17) obedece a Equacao de Euler para esteproblema.

iii. O valor do estoque de capital no estado estacionario e um ponto fixopara a funcao polıtica.

4. Considere uma economia onde a funcao de utilidade instantaneae dada por:

u(ct) =c1−σt

1 − σ; σ > 0

a funcao de producaoe linear do tipoyt = Akt e o estoque de capital evoluisegundo a regrakt+1 = (1 − δ)kt + it. Pede-se:

i. A Equacao de Bellman para o problema do planejador central.

ii. A Equacao de Euler para este problema.

iii. As funcoes polıticas para as variaveis de controlekt+1 e ct.

iv. As condicoes sobre os parametros para que a sequenciaotimakt∞t=0

seja tal quekt → 0.

v. As condicoes sobre os parametros para que a sequenciaotimakt∞t=0

cresca de forma ilimitada mas a funcao valorV seja limitada.

Dica: Muito trabalho sera poupado se voce definirB = A + 1 − δ.

5. Considere o caso de oferta de trabalho inelastica com crescimento zero paraa populacao e produtividade. Defina o ERC para o caso onde existe umcontınuo de firmas distribuidas uniformemente no intervalo entre zero e um.

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Capıtulo 8

Trabalho Indivis ıvel e outrasModificacoes do Modelo Basico

O modelo basico discutido no capıtulo anterior mostrou-se capaz de reproduzirvarios fatos importantes da economia americana. Em particular o modelo repro-duz com precisao razoavel a correlacao entre investimento e produto e a correlacaoentre consumo e produto. As voltailidades relativas do consumo, investimento eproduto tambem sao bem explicadas pelo modelo. Entretanto o modelo falhaquanto ao mercado de trabalho. As flutuacoes observadas no modelos sao devi-das a variacoes nas horas trabalhadas, enquanto nos dados para economiaameri-cana observa-se que tais flutuacoes sao devidas a variacoes no emprego1. Outroproblemae que o modelo implica em uma alta correlacao positiva entre horastrabalhadas e a produtividade marginal do trabalho, porem observa-se que estacorrelacao fica proxima de zero para a economia americana.

Neste capıtulo serao apresentadas algumas variacoes do modelo basico quebuscam aproximar os resultados do modelo da realidade. Inicialmente sera dis-cutido o modelo de trababalho indivisıvel, proposto em Hansen (1985). Este tra-balho tenta modificar o modelo basicod e forma que as flutuacoes decorram demudancas no nıvel de emprego. Posteriormente serao discutidos os choques dedemanda tal como em Christiano e Eichenbaum (1992), trabalhoque apresentauma tentativa de resolver o problema da correlacao positiva entre horas trabalha-das e produtividade. A exposicao deste capıtulo segue Hansen e Wright (1992),artigo que faz uma survey das tentativas de conciliar o mercado de trabalho dosmodelos teoricos com os dados observados para os Estados Unidos.

1Ellery Jr, Gomes e Sachsida (2002) argumentam que isto tambeme verdade no Brasil.

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Page 98: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

8.1 Modelo com Trabalho Indivisıvel

8.2 Choque de Demanda

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Page 99: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Parte IV

Modelo de Geracoes Superpostas

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Capıtulo 9

Estrutura do Modelo de GeracoesSuperpostas

Assim como nos modelos anteriores assume-se que o tempoe discreto. Porem,ao inves de assumir que as pessoas vivem por um perıodo infinito de tempo,considera-se que as pessoas vivem por apenas um numero finito de perıodos. Porsimplicidade admite-se que o numero de perıodos que o agente vivee conheci-mento comum.

Apesar dos agentes viverem por um perıodo finito de tempo, a economia existepor um numero infinito de perıodos. Isto permite que instituicoes como o go-verno possam existir mesmo depois da morte dos agentes. A cada perıodo nasceuma geracao e morre outra, de forma que numero de geracoes existentes em cadaperıodoe sempre igual.

A Figura 9.1 ilustra a superposicao de geracoes para o caso onde cada geracaovive por dois perıodos. O esquema descrito nesta figura segue indefinidamente,de forma que sempre existem duas geracoes convivendo em um dado perıodode tempo. Note que noprimeiro perıodo exsitem os chamados velhos iniciais,algumas vezese importante considera-los com fins de analisar os impactos debem-estar de uma dada polıtica. Em outras ocasioes assume-se que a economianao teve inıcio e desconsidera-se a existencia dos velhos iniciais.

Assume-se que a geracao nascida no perıodo t possuiN(t) inidivıduos, deforma que em cada perıodo t a populacao e igual aN(t − 1) + N(t), ondeN(t − 1) e o numero de velhos eN(t) o numero de jovens. Caso as geracoesvivam um numeroJ de perıodos entao a populacao em cada perıodo t sera dadapor

∑Ji=1 N(t + J − i). Esta estrutura garante que existem tantos tipos de agen-

tes heterogeneos quanto seja o numero de geracoes vivas em um dado perıodo.Seguindo McCandless (1991) continuaremos considerando apenas o caso de duasgeracoes, apenas onde for dito explicitamente serao considerados os casos de maisde duas geracoes.

99

Page 101: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Velhos

Iniciais

Jovens da

Geracao 1

Velhos da

Geracao 1

Jovens da

Geracao 2

Velhos da

Geracao 2

Jovens da

Geracao 3

Velhos da

Geracao 3

Jovens da

Geracao 4. . .

-t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

Figura 9.1: Modelo de Geracoes Superpostas com Dois Perıodos

100

Page 102: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Em cada perıodo existe umunico bem, que pode ser interpretado como omesmo bem em perıodos diferentes. O ponto fundamentale que uma unidadedo bem no perıodo t e diferente de uma unidade do bem no perıodo t + s paras 6= 0. Isto faz que com exista um infinito numero de bens na economia, umpara cada perıodo de tempo. Em alguns caso assume-se que existe uma tecno-logia capaz de transformar bens de um perıodo em bens de outro perıodo1. Emoutros casose conveniente assumir que o bem de um perıodo deve ser completa-mente consumido no mesmo perıodo. O total de bens disponıvel no perıodot seradenotado porY (t).

9.1 Descricao dos Consumidores

Uma alocacao de consumo descreve o quanto do beme consumido por cadaagente. Sejach

t (s) o consumo do bem do perıodos pelo indivıduoh da geracaot. Naturalmente o consumo so e positivo nos perıodos em que a pessoa esta viva,no caso da Figura 9.1 o consumo da geracao nascida emt sera positivo apenas ems = t e s = t + 1. Seguindo esta notacao o par ordenadoch

t =[

cht (t), c

ht (t + 1)

]

representa o consumo do indivıduoh da geracao nascida emt.

Definicao 9.1 Uma alocacao de consumo no perıodot e dada pelo consumo dos

jovens

cht (t)

N(t)

h=1e pelo consumo dos velhos vivos emt,

cht−1(t)

N(t−1)

h=1.

O consumo total em um perıodot e igual a soma do consumo dos jovens e dosvelhos vivos neste perıodo ee dado por:

C(t) =

N(t)∑

h=1

cht (t) +

N(t−1)∑

h=1

cht−1(t) (9.1)

Desta formae possıvel definir alocacoes factiveis para o caso de economia semproducao e tecnologia de armazenagem.

Definicao 9.2 Uma alocacao de consumoe factivel se as alocacoes de consumono decorrer do tempo sao tais queC(t) ≤ Y (t) para todot ≥ 1.

A definicao 9.2 enfatiza a ideia de que uma alocacaoe factıvel quando o total deconsumo em cada perıodoe menor ou igual ao total de recursos disponıveis nesteperıodo.

1Um caso ondee comum assumir a existencia deste tipo de tecnologiae quando existeproducao; parte do bem existente no perıodo t pode tornar-se capital no futuro e permitir aproducao de bens de outros perıodos.

101

Page 103: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

As pessoas que vivem nesta economia tem preferencias definidas sobre umacesta de consumo com os bens existentes durante seus perıodos de vida. A funcaode utilidade para o indivıduo h pertencente a geracao nascida emt sera do tipouh

t

(

cht (t), c

ht (t + 1)

)

. E comum assumir que a funcao de utilidade possui todas aspropriedades de monotonicidade e convexidade de preferencias bem comportadas,alem de ser contınua e diferenciavel.

9.2 Equilıbrio Competitivo e Equil ıbrio CompetitivoRecursivo

Para definir equilıbrio e para o restante da analise pode ser interessante seguirWright (1997) e assumir que cada geracao tem um contınuo de indivıduos e contacom um indivıduo representativo, desta formae possıvel omitir o superescritoh denossa notacao. Com esta nova notacao e assumindo que a funcaout e invariante notempo podemos escrever o problema do indivıduo representativo de cada geracaocomo:

maxct(t),ct(t+1)

u(ct(t), ct(t + 1))

s.a. ptct(t) + pt+1ct(t + 1) = ptet(t) + pt+1et(t + 1) (9.2)

ct(t) ≥ 0

ct(t + 1) ≥ 0

Na equacao (9.2)pt representa o preco do bem existente no perıodo t e et(s)representa a dotacao do bem existente no perıodo s recebida pelo indivıduo re-presentativo da geracao nascida emt. A restricao orcamentaria pode ser escritacom igualdade porque a funcao u : ℜ2 → ℜ e estritamente crescente. Nestascondicoes torna-se possıvel definir equilıbrio competitivo.

Definicao 9.3 Um equilıbrio competitivo ou equilıbrio walrasiano consiste emuma sequencia de precos e alocacoes de consumopt, ct(t), ct(t + 1) tais que:

1. Dadopt, ct(t), ct(t + 1) resolvem o problema do indivıduo representa-tivo da geracao nascida emt ≥ 1.

2. Os mercados se equilibram, ou seja,ct(t) + ct−1(t) = et(t) + et−1(t).

3. Os velhos iniciais consomem toda a sua dotacao, ou seja,c0(1) = e0(1).

O problema do indivıduo apresentado acima pode ser escrito de forma recur-siva. Parae preciso definir a poupanca do indivıduo como a diferenca entre sua

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Page 104: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

dotacao e seu consumo em um dado perıodo, ou seja,st = et(t)− ct(t) eRt comosendo a taxa bruta de retorno dest entre os perıodost e t + 1. O termo bruto parataxa de juros significa que ela engloba o principal mais o retorno. Assim a formarecursiva do problema do consumidore dada por:

maxct(t),ct(t+1)

u(ct(t), ct(t + 1))

s.a. ct(t) = et(t) − st (9.3)

ct(t + 1) = et(t + 1) + Rtst (9.4)

ct(t) ≥ 0

ct(t + 1) ≥ 0

Uma definido o problema do indivıduo em sua forma recursivae possıvel descre-ver o equilıbrio competitivo recursivo.

Definicao 9.4 Um equilıbrio competitivo recursivo consiste em uma sequenciaRt, ct(t), ct(t + 1) tal que:

1. DadoRt, ct(t), ct(t + 1) resolvem o problema do indivıduo represen-tativo da geracao nascida emt ≥ 1.

2. Os mercados se equilibram, ou seja,ct(t) + ct−1(t) = et(t) + et−1(t).

3. Os velhos iniciais consomem toda a sua dotacao, ou seja,c0(1) = e0(1).

Existe uma importante relacao entre o conceito de equilıbrio competitivo ouwalrasiano e o equilıbrio recursivo. De fato se fizermosRt = pt/pt+1 e substituir-mos (9.3) em (9.4) sera possıvel obter:

ct(t + 1) = et(t + 1) +pt

pt+1

[et(t) − ct(t)]

pt+1 [ct(t + 1) − et(t + 1)] = pt [et(t) − ct(t)]

ptct(t) + pt+1ct(t + 1) = ptet(t) + pt+1et(t + 1)

Desta forma fica estabelecido que (9.3) e (9.4) implicam (9.2). Da mesma maneirae possıvel mostrar que sect(t) ect(t+1) obedecem (9.2), entao tambem obedecem(9.3) e (9.4). Segue que as alocacoes de equilıbrio competitivo e de equilıbriorecursivo sao as mesmas.

9.3 Bem-Estar

Para iniciar a analise sobre as propriedades de bem-estar do modelo de geracoessuperpostase preciso definir alguns conceitos- chave que permitirao comparar

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Page 105: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

duas alocacoes. O primeiro destes conceitose o de eficiencia, o segundoe oconceito de superioridade no sentido de Pareto.

Definicao 9.5 Uma alocacao factıvel A e dita eficientese nao existir nenhumaoutra alocacao factıvel onde o consumo total de algum bem seja maior que emAsem que exista reducao no consumo total de algum outro bem.

Em outras palavras, uma alocacao e eficiente quando aunica maneira de au-mentar o consumo total de um beme reduzir o consumo total de algum outro bem.No caso especıfico de modelos de geracoes superpostas, uma alocacao eficienteimplica que aunica maneira de aumentar o consumo total de bens de uma gerac¸aoe diminuir o consumo total de bens de outra geracao.

O conceito de eficienciae um primeiro passo no sentido de determinar se umadeterminada alocacao e desejavel ou nao, porem pouco ajuda quando deseja-secomparar duas alocacoes. O coneceito de superioridade de Pareto permite estabe-lecer um criterio para comparar distintas alocacoes.

Definicao 9.6 Uma alocacao de consumoA esuperior no sentido de Pareto, ouPareto-superior, a uma alocacao de consumoB se:

i. Ninguem prefere estritamenteB a A, ou seja, para ninguem vale queB ≻A.

ii. Pelo menos uma pessoa prefere estritamenteA a B, ou seja, para pelomenos uma pessoa vale queA ≻ B.

Desta formae possıvel dizer que uma alocacao A e Pareto-superior a umaoutra alocacao B seA faz com que pelo menos uma pessoa fique melhor emrelacao aB e ninguem fique pior comA do que comB. Caso alguns prefiram aalocacaoA e outros prefiram a alocacaoB, entao nao podemos compararA eB,isto e verdade mesmo se apenas uma pessoa preferir uma alocacao a outra.

O conceito pode ficar claro com o uso de um exemplo. Suponha um modelode geracoes superpostas onde as pessoas vivam por dois perıodos e que a funcaode utlidade do agente representativo de cada geracao seja dada por:

u (ct(t), ct(t + 1)) = ct(t)ct(t + 1) (9.5)

Considere que a cada perıodo existem oito unidades dounico bem de consumo,quee nao perecıvel. Considere a alocacao onde todos os bens sao consumidospelos jovens, ou seja,ct(t) = 8 e ct(t + 1) = 0. E facil ver que esta alocacaoe factıvel, resta saber se existe alguma outra alocacao factıvel que seja Pareto-superior a esta.

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Page 106: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Existira uma alocacao superior a descrita acima se for possıvel mostrar queexiste uma outra alocacao factıvel tal que alguem melhore e ninguem piore. Pararesponder esta pergunta vale notar que, como o consumo quando velhoe zero e autilidadee o produto do consumo quando jovem e quando velho, a alocacao acimafaz com a utilidade de todos seja igual a zero em todos os perıodos. Para os velhosiniciais sabe-se que o consumoe igual a zero.

Considere agora uma outra alocacao tal quect(t) = 6 e ct(t + 1) = 2. Nestecasoa utilidade do todos od agentes nascidos emt ≥ 1 sera estritamente positivae os velhos iniciais aumentam seu consumo de zero para duas unidades. Portantotodos estao melhores nesta alocacao do que no caso anterior, de forma que estaalocacaoe superior no sentido de Pareto a alocacao anterior.

Suponha agora que a alocacao seja tal que os velhos consomem tudo e os jo-vesn nao consomem nada, ous ejact(t) = 0 e ct(t + 1) = 8. Neste caso todasas geracoes nascidas emt ≥ 1 ficarao exatamente como estavam na primeiraalocacao, o que equivale a dizer que os nascidos emt ≥ 1 ficam indiferentes entrea primeira alocacao e esta alocacao. Entretano na primeira alocacao os velhos ini-ciais nao consomem nada, enquanto nesta eles consomem oito unidades, portantoestao melhor nesta do que na outra. Desta forma a alocacao (ct(t), ct(t + 1)) =(8, 0) e superor no sentido de Pareto a alocacao(ct(t), ct(t + 1)) = (0, 8).

Resta comparmos as alocacoes(ct(t), ct(t + 1)) = (8, 0) e(ct(t), ct(t + 1)) =(6, 2). Todos os nascidos emt ≥ 1 preferem a segunda alocacao a primeira,entretanto os velhos iniciais estao melhores com a primeira do que com a segunda.Desta forma as duas alocacoes nao podem ser comparadas.

Definicao 9.7 Uma alocacao de consumoe otima no sentido de Paretose forfactıvel e nao existir outra alocacao de consumo factıvel que seja superior a elano sentido de Pareto.

No exemplo acima as alocacoes(3, 5), (2, 6) e (4, 4) sao todasotimas no sen-tido de Pareto. Entretanto a alocacao(5, 3) naoe otima no sentido de Pareto, istoocorre porque a alocacao(3, 5) e Pareto-superior a esta2.

Uma vez que definimos uma alocacao otima no sentido de Pareto podemosanalisar as propriedades de bem-estar do equilıbrio competitivo em um modelo degeracoes superpostas. Em particular desejamos saber se a alocacao de equilıbrioe otima no sentido de Pareto. Dito de outra forma desejamos saber se o PrimeiroTeorema Fundamental do Bem-Estar Social pode ser aplicado nos modelos degeracoes superpostas. Antes de iniciar esta discussao vale enunciar e demonstrareste teorema.

Teorema 9.1 (Primeiro Teorema Fundamental do Bem-Estar Social)Se(X⋆, p⋆)e um equilıbrio Walrasiano entaoX⋆ e otima no sentido de Pareto.

2Se isto nao estiver claro lembre dos velhos iniciais.

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Demonstracao: Sejai o ındice para bens eh o ındice para pessoas e suponhaque a economia possuiI bens,i = 1, 2, . . . , I e H pessoas,h = 1, 2, . . . , H.Por contradicao, considere que existe uma alocacao factıvel X ′ que seja Pareto-superior a alocacaoX⋆. ComoX⋆ maximiza a utilidade dada a restricao orcamentariade cada agente para queX ′ ≻ X⋆ para algum agentee preciso que

I∑

i=1

pi(x′hi − ehi) ≥ 0

com a desigualdade valendo para pelo menos um indivıduo. Somando emhobtem-se:

H∑

h=1

I∑

i=1

pi(x′hi − ehi) > 0 ⇒

I∑

i=1

pi

H∑

h=1

(x′hi − ehi) > 0 ⇒

estaultima desigualdade implica que para pelo menos um bemi vale que:

H∑

h=1

(x′hi − ehi) > 0

o que contradiz a hipotese queX ′ e factıvel.

Um resultado que segue do conceito de equilıbrio e que, quando os agen-tes da mesma geracao sao homogeneos, ounico equilıbrio possıvel consiste emcada um consumir toda sua dotacao a cada perıodo, este equilıbrio e chamadodeautarquia. Para confirmar este resultado basta notar que nao existe comercioentre indivıduos da mesma geracao e que o conceito de equilıbrio exige que osvelhos iniciais consumam tudo o que tem no primeiro perıodo, ou seja,c0(1) =e0(1). Pela segunda condicao do equilıbrio, a que os mercados se equilibram,vale quec1(1) = e1(1), finalmente a restricao orcamentaria implica quec1(2) =e1(2). Repetindo este raciocinio chega-se a conclusao que(ct(t), ct(t + 1)) =(et(t), et(t + 1)) ∀t.

Este resultado nos permite determinar facilmente o equilıbrio competitivo,e tambem o equilıbrio competitivo recursivo, para toda uma classe de modelos.Considere novamente o caso onde a funcao utilidadee dada poru (ct(t), ct(t + 1)) =ct(t)ct(t+1) e suponha que as dotacoes sao tais que(et(t), et(t + 1)) = (8, 0) ∀t.

Sabemos que a alocacao de equilıbrio sera consumir oito no primeiro periodoe zero no segundo periodo. Entretanto vimos que as alocacoes(0, 8) e (2, 6) saosuperiores no sentido de Pareto a alocacao (8, 0). Isto implica que o equilıbrio

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competitivo nao e otimo no sentido de Pareto, ou seja, nao podemos aplicar Pri-meiro Teorema Fundamental do Bem-Estar social em modelos de geracoes super-postas3.

Considere novamente o ECR e suponha que a funcao de utilidade representapreferencias bem comportadas. Neste caso substituindo as equacoes (9.3) e (9.4)na funcao objetivo a condicao de primeira ordem para o problema de maximizacaosera:

u1 (ct(t), ct(t + 1)) = Rtu2 (ct(t), ct(t + 1)) ⇒

Rt =u1 (ct(t), ct(t + 1))

u1 (ct(t), ct(t + 1))(9.6)

Pela equacao (9.6) vale queRt = µ (ct(t), ct(t + 1)) ondeµ(·) e a taxa marginalde substituicao.

Uma implicacao importante da equacao (9.6) e do resultado sobre autarquiaeque no ECR vale queRt = µ (et(t), et(t + 1)), ou, no caso de equilıbrio competi-tivo pt

pt+1= µ (et(t), et(t + 1)).

Como os bens podem ser livrementes tranferidos entre jovens evelhos a taxacom que a sociedade pode trocar consumo no primeiro perıodo por consumo nosegundo perıodo e um. Quando a taxa marginal de substituicao e menor que umresulta que os jovens estariam dispostos a receber menos de uma unidade do bemdo segundo perıodo em troca do bem do primeiro perıodo, ou seja, existe um de-sejo de poupar. Porem poupancae inconsistente com equilıbrio, de forma que odesejo de poupar naoe realizado e, portanto, uma alocacao que permita poupancapodera ser Pareto-superior ao equilıbrio competitivo. Desta forma podemos afir-mar que o equilıbrio competitivo nao sera otimo no sentido de Pareto quandoµ (ct(t), ct(t + 1)) < 14.

Um ultimo comentario diz respeito a natureza da falha do Primeiro TeoremaFundamental do Bem-Estar Social. Como se sabee comum que este teorema falhedevido a existencia de mercados incompletos, e o modelo de geracoes superpostasapresenta mercados incompletos a meida que nao e possıvel realizar trocas comos que ainda nao nasceram e com os que ja morreram. Entretanto em nenhummomento este resultado foi utilizado para mostrar que o equilıbrio pode nao sereficiente. De fato a demonstracao foi feita a partir do conceito de equilıbrio com-

3Observando com atencao a demonstracao do Primeiro Teorema nota-se que a troca de so-matorios foi fundamental para obter o resultado, como em modelos de geracoes superpostas exis-tem infinitos bens esta troca nao e possıvel e, portanto, a demonstracao nao pode ser feita. Paramais detalhes a respeito de modelos de geracoes superpostas e o Primeiro Teorema ver Wright(1997).

4Em Wright (1997) demonstra-se o resultado que a condicao µ(·) ≥ 1 e uma condicao ne-cessaria e suficiente para que o equilıbrio competitivo sejaotimo no sentido de Pareto.

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petitivo, nao do ECR, ondee possıvel imaginar que todas as trocas, inclusive a deindivıduos que ainda nao nasceram, sao realizadas emt = 1.

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Capıtulo 10

Demanda por Moeda

O modelo discutido no Capıtulo 9 admite a possibilidade que o equilıbrio compe-titivo recursivo nao sejaotimo no sentido de Pareto. Isto ocorre porque em algunscasos os indivıduos desejam poupar mas nao podem. Uma maneira de solucionareste problemae alterar o modelo de forma a fazer com que seja possıvel transferirriqueza no tempo. Neste capıtulo sera estudado como a moeda pode desempenharesta tarefa.

10.1 Equilıbrio Monet ario

Considere que os velhos iniciais possuemM unidades de moeda. Por hipotesea moeda nao possui nenhum valor intrınseco, ou seja, nao pode ser usada naproducao de outros bens nem pode ser consumida, entretantoe possıvel que elatenha valor de troca positivo1.

Sejaqt o valor da moeda no perıodot. Desde que este valor seja estritamentepositivo os velhos iniciais poderao aumentar seu consumo em relacao ao equilıbriode autarquia pois:

c0(1) = e0(1) + q1M > e0(1) (10.1)

Para as geracoes nascidas emt ≥ 1 as restricoes passam a ser dadas por:

ct(t) = et(t) − qtmt − st (10.2)

ct(t + 1) = et(t + 1) + qt+1mt + Rtst (10.3)

ondemt representa a demanda por moeda. Isolandost em (10.2) e susbstituindoem (10.3)e possıvel obter:

[ct(t + 1) − et(t + 1)] + Rt [ct(t) − et(t)] = qtmt

(

qt+1

qt

− Rt

)

(10.4)

1Este tipo de moeda tambeme chamado defiat money.

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A analise da equacao (10.4) permite concluir que quandoqt+1

qt> Rt a demanda

por moeda sera infinita. Como a oferta de moedae finita, neste caso naoe possıveligualar oferta e demanda por moeda. Por outro lado quandoqt+1

qt< Rt a quanti-

dade demandada de moeda sera igual a zero. Desta forma so existira um equilıbriomonetario quandoqt+1

qt= Rt, ou seja, apenas quando o retorno da moeda for igual

ao dos tıtulos havera um equilıbrio monetario.Por fim, considerando que os indivıduos da mesma geracao possuem as mes-

mas funcoes de utilidade e as mesmas dotacoes iniciais, vale quest = 0. Destaforma (10.2) e (10.3) podem ser escritas como:

ct(t) = et(t) − qtmt (10.2′)

ct(t + 1) = et(t + 1) + qt+1mt (10.3′)

Uma vez caracterizadas as restricoes impostas aos indivıduos de cada geracao epossıvel definir o equilıbrio competitivo recursivo para esta economia.

Definicao 10.1 Um equilıbrio competitivo recursivo com moedaconsiste emuma sequenciaqt, ct(t), ct(t + 1) tal que:

i. O consumo dos velhos iniciaise dado por:c0(1) = e0(1) + q1M .

ii. Dada a sequenciaqt, ct(t), ct(t + 1) resolve o problema de maximizacaode utilidade sujeito a (10.2′) e (10.3′).

iii. Os mercados se equilibram, ou seja,ct(t) + ct−1(t) = et(t) + et−1(t).

Repare que desde queqt > 0 e possıvel afirmar quemt = M , pois pelaLei de Walras o equilibrio no mercado de bens implica no equilibrio do mercadomonetario. Desta forma quandoqt > 0 diz-se que existe ume quilıbrio monetario,caso em que o nıvel de precos sera definido comoPt = 1

qt. Por outro lado, quando

qt = 0 o nıvel de precos tendera a infinito e diz-se que ocorre um equilıbrio nao-monetario.

Quando existe um equilıbrio monetario, ou seja quandoqt > 0, e possıvelsubstituir as equacoes (10.2′) e (10.3′) na funcao de utilidade e obter a seguintecondicao de primeira ordem:

qtu1 (et(t) − qtmt, et(t + 1) + qt+1mt) = qt+1u2 (et(t) − qtmt, et(t + 1) + qt+1mt)

Esta equacao pode ser escrita como:

µ (et(t) − qtmt, et(t + 1) + qt+1mt) =u1(·, ·)

u2(·, ·)=

qt+1

qt

(10.5)

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Conquanto que0 < mt < et(t)qt

e possıvel determinar a demanda por moeda apartir da equacao (10.5)2. A primeira desigualdadee consequencia do equilıbriomonetario. A segunda sera verdadeira se valer queµ(·, ·) → ∞ quandoct(t) → 0.

Usando a condicao quemt = M e possıvel escrever (10.5) na formaqt+1 =f(qt). Nestas condicoes um equilıbrio monetario sera caracterizado por qualquersequencia limitada que obedeca a funcao f : ℜ → ℜ. Um estado estacionariosera um ponto fixo def , ou seja, devera ser tal queq = f(q).

Proposicao 10.1 Existe exatamente um estado estacionario para f(q) = q seµ (et(t), et(t + 1)) < 1. Casoµ (et(t), et(t + 1)) ≥ 1, entao nao existe solucaopara q = f(q).

Demonstracao: Considere a funcaoT (q) = −u1 (et(t) − qM, et(t + 1) + qM)+u2 (et(t) − qM, et(t + 1) + qM). Note-se que existira uma solucaoq = f(q) see somente seT (q) = 0. Inicialmente vamos mostrar que existe no maximo umasolucao paraT (q) = q, isto sera verdade desde queT seja monotona. Iniciemos,portanto, mostrando queT ′(q) < 0. Como a funcao de utilidadee estritamenteconcava a sua matriz Hessiana deve ser negativa definida, ou seja, para qualquerx ∈ ℜ2, x 6= 0 vale que:

x′

(

u11 u12

u21 u22

)

x < 0

No caso particular em quex = (1, 1) isto implica queu11 + u22 − u12 − u21 < 0.Note agora que:

T ′(q) = M (u11 + u22 − u12 − u21) < 0

onde a desigualdade segue da propriedade da matriz Hessiana. Com isto mos-tramos queT e monotonicamente decrescente, de forma que existe no maximoum q para o qualT (q) = 0. Sabe-se que para valores deq proximos a et(t)

Ma

funcao T (q) assume valores negativos3. ComoT e decrescente e assume valo-res negativos existira um ponto ondeT (q) = 0 se e somente seT (0) > 0. MasT (0) = −u1(et(t), et(t+1))+u2(et(t), et(t+1) e isto sera maior que um se e so-mente seµ (et(t), et(t + 1)) < 1. Esteultimo argumento encerra a demonstracao.

O resultado mais importante da proposicao e que a condicao para existenciade equilıbrio monetario e a mesma condicao para que o equilıbrio competitivanao sejaotimo no sentido de Pareto. Como foi visto a perda de bem-estarresul-tava do fato que os indivıduos desejavam poupar mas nao podiam, a moeda torna

2Note-se que esta equacao iguala a taxa marginal de substituicao a razao de precos e representaa regra de escolha de Jevons que afirma que a razao entre a utilidade marginal e o preco deve serigual para todos os bens.

3Isto e verdade porque neste casoct(t) ≈ 0 e, portanto, a utilidade marginal de consumir noprimeiro perıodo, dada poru1 (et(t) − qM, et(t + 1) + qM), sera muito alta.

111

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possıvel transferir recursos no tempo. Desta forma pode ser ditoque nos mode-los de geracoes superpostas a funcao primordial da moedae agir como reserva devalor.

Para tornar as cisas mais claras pode ser interessante usar um exemplo paraavaliar os conceitos apresentados acima. Suponha que a func¸ao utilidade seja dotipo:

u (ct(t), ct(t + 1)) = ln(ct(t)) + β ln(ct(t + 1)) (10.6)

Neste caso a equacao (10.5) pode ser utilizada para determinar a demanda pormoeda, sendo esta determinada por:

mt = m(qt, qt+1) =βet(t)qt+1 − et(t + 1)qt

qtqt+1(1 + β)(10.7)

Suponha que a dotacao no segundo perıodo e igual a zero e que a dotacaono primeiro perıodo e constante e igual ae, ou seja,(et(t), et(t + 1)) = (e, 0),uma das implicacoes desta suposicaoe que em todos os perıodost ≥ 1 o produtosera igual aet(t) = e. Usando a condicao de equilıbrio no mercado monetario,mt = M , e esta hipotese a equacao (10.7) pode ser utilizada para determinarq.Fazendo as devidas substituicao obtem-se:

qt =βe

(1 + β)M≡ q⋆ ∀t (10.8)

Neste caso existe apenas um equilıbrio monetario que corresponde ao estado es-tacionario.

Uma outra implicacao da equacao (10.8) pode ser obtida se substituirmosqpelo nıvel de precos e lembrarmos que o produtoe igual a dotacao do primeiroperıodo, ou seja,Yt = e. Com estas modificacoes chega-se a:

P ⋆ Y =1 + β

βM (10.9)

ondeP ⋆ = 1q⋆ . Note-se que a equacao (10.9) corresponde aTeoria Quantitativa

da Moeda para o caso onde a velocidade de circulacao da moedae constante eigual a 1+β

β. Em particular, neste caso vale o resultado onde o nıvel de precose

proporcional a quantidade de moeda4. Finalmente podemos usar a equacao (10.8)para determinar a riqueza real,S = qtM , que sera constante e dada porSt =S⋆ = βe

1+β.

A combinacao de uma funcao de utilidadelog-linear com a hipotese que adotacao no segundo perıodo e sempre zero levou a alguns resultados bastantes

4Repare que equivalencia com a teoria quantitativa ocorreria mesmo seet(t) nao fosse cons-tante.

112

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particulares, quais sejam: existe umunico equilıbrio, quee estacionario; o nıvel deprecose determinado como uma proporcao do estoque de moeda e que a poupancae uma fracao constante da renda. Tais resultados podem ser alterados se supormosque a dotacaoe do tipo(et(t), et(t + 1)) = (e1, e2) ∀t ≥ 1. Neste caso a equacao(10.7) e o equilıbrio no mercado monetario implicam que:

Mqtqt+1(1 + β) − βe1qt+1 = −e2qt ⇒

qt+1 [βe1 − Mqt(1 + β)] = e2qt ⇒

qt+1 = f(qt) =e2qt

βe1 − (1 + β)Mqt

(10.10)

Para determinar o estado estacionario basta buscar por um valor deq tal queq = f(q), sabe-se que este valor existira e sera unico sef ′(0) = µ < 1. Impondoa condicao de estado estacionario em (10.10)e possıvel obter:

qt =βe1 − e2

(1 + β)M= q⋆ (10.11)

Note-se que existira o equilıbrio monetario, ou seja,qt > 0 apenas quandoβe1 >e2, condicao que sera observada se e somente seµ(e1, e2) < 1.

A funcaof(qt) definida em (10.10)e convexa, estritamente crecente e tendea infinito5. A partir destes fatos podemos analisar os equilıbrios monetarios nao-estacionarios do modelo. Quandoq0 = q⋆ a economia ficara sempre no estadoestacionario, cabe discutir o que ocorre quandoq0 > q⋆ e quandoq0 < q⋆. AFigura 10.1 ilustra estes casos.

Se o valor inicial da moeda,q0, for maior do queq⋆ entao a equacao (10.10)implica emqt → ∞, de forma que qualquer sequencia iniciando com um valorda moeda maior do que o de estado estacionario nao pode ser um equilıbrio6. Poroutro lado qualquer sequencia que siga a equacao (10.10) e comece em um pontoq0 ∈ (0, q⋆) sera limitada e, portanto, caracterizara um equilıbrio monetario, destaforma existe um continumm de equilibrios monetarios para o modelo.

Uma outra caracterıstica importantee que o equilıbrio sera de tal forma queqt → 07. Isto implica que, mesmo com a oferta monetaria constante, havera umahiperinflacao, ou seja,Pt → ∞. Este resultado contradiz a Teoria Quantitativada Moeda pois o nıvel de precos nao e proporcional ao estoque de moeda. Nocaso do modelo de geracoes superpostas a hiperinflacao decorre de profecias auto-realizaveis. No limite a moeda perde o valor e o equilıbrio volta a ser autarquia.

5Voce sera convidado a demonstrar estas propriedades como um exercıcio.6Lembre que para que a sequenciaqt seja um equilıbrio e preciso que obedeca af(q) e que

seja limitada.7A nao ser no caso ondeq0 = q⋆.

113

Page 115: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

-

6qt+1

qt

.

....................................................................

..................................................................

...............................................................

.............................................................

...........................................................

.........................................................

......................................................

....................................................

..................................................

..................................................

..................................................

...................................................

....................................................

....................................................

.....................................................

.....................................................

......................................................

.......................................................

.......................................................

........................................................

.........................................................

.........................................................

q⋆q0

Figura 10.1: Equilıbrio Monetario Dinamico

114

Page 116: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

10.2 Variacoes na Oferta de Moeda

Nesta secao vamos relaxar a hipotese de que a oferta de moeda seja constante e,entao, procurar por condicoes onde exista uma proporcionalidade entre o nıvelgeral de precos e o estoque de moeda8. Considere que a oferta de moeda cresce auma taxaz, ou seja,Mt+1 = zMt, por simplicidade assuma que a cada perıodo amoeda emitidae distribuida de formalump-sumentre os velhos. Desta forma asrestricoes orcamentarias passarao a ter a forma:

ct(t) = et(t) − qtmt (10.12)

ct(t + 1) = et(t + 1) + qt+1(mt + τt) (10.13)

ondeτt e a quantidade de moeda que o indivıduo recebe quando velho.O equilıbrio no mercado monetario exige quemt = Mt, enquanto que, por

definicao, vale queτt = Mt+1 − Mt = (z − 1)Mt. Com estas consideracoes acondicao de primeira ordem passa a ser escrita como:

µ (et(t) − qtMt, et(t + 1) + qt+1Mt+1) =qt+1

qt

(10.14)

Fazendo novamente a hipotese de(et(t), et(t + 1)) = (e1, e2) ∀t, a equacao (10.14)pode ser escrita como:

µ (e1 − qtMt, e2 + qt+1Mt+1) =qt+1

qt

(10.14′)

No caso de funcao de utilidadelog-lineara equacao (10.14′) toma a forma:

qt+1 =e2qt

βe1 − (z + β)Mtqt

(10.15)

ComoMt muda no tempo nao existe um equilıbrio estacionario para esta econo-mia. Entretantoe possıvel buscar por uma solucao que atenda a proporcionalidadeentre o nıvel de precos e o estoque de moeda. Isto implica em buscar uma solucaoondePt = ΨMt ∀t, comΨ > 0. Para chegar a esta solucao basta inserir naequacao (10.15) a condicao 1

qt= ΨMt, de forma que:

qt+1

qt

=e2

βe1 − (z + β)Mt1

ΨMt

ΨMt

ΨzMt

=e2

βe1 − (z + β) 1Ψ

βe1 =z + β

Ψ+ e2z

Ψ =z + β

βe1 − e2z(10.16)

8Wright (1997) analisa equilıbrios nao estacionarios onde a Teoria Quantitativa da Moeda naose aplica.

115

Page 117: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

A partir da equacao (10.16)e possıvel concluir que existira umΨ > 0 se e somentesezµ(e1, e2) < 1. Este resultadoe uma generalizacao da condicao para existenciade um equilıbrio monetario estacionario.

10.3 Exercıcios

1. Mostre que a funcao f : ℜ → ℜ definida na equacao (10.10) obedece asseguintes propriedades:

i. f ′(q) > 0

ii. f ′′(q) > 0

iii. f(q) → ∞ quandoq → βe1

(1+β)M

116

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Capıtulo 11

Modelo com Producao e IneficienciaDinamica

E possıvel introduzir producao no modelo de geracoes superpostas e obter resulta-dos relativos a dinamica de acumulacao de capital neste estrutura de modelagem.A razao por que isto pode ser interessantee que, como visto anteriormente, mo-delos de geracoes superpostas geram equilıbrios ineficientes. Sendo o equilıbriode mercado ineficiente existe um espaco para a realizacao de polıticas publicasque visem melhorar a eficiencia da economia. Neste capıtulo vamos assumir queo bem de consumoe produzido por uma firma representativa que se comporta aosmoldes das firmas tratados nos modelos de vida infinita. A principal referenciaeRomer (1996).

11.1 Poupanca e Acumulacao de Capital

Considere uma economia onde os agentes vivem por dois perıodos. Desta formao consumidor representativo da geracao que nasceu no perıodot resolve um pro-blema do tipo:

maxct(t),ct(t+1)

u(ct(t)) +1

1 + γu(ct(t + 1))

s.a.ct(t) = wt − st (11.1)

ct(t + 1) = (1 + rt+1)st (11.2)

Ondect(t) representa o consumo da geracao nascida emt no perıodot, wt repre-senta o salario,st representa a poupanca,rt a taxa de juros eγ e a taxa de desconto.A restricao (11.1) iguala o consumo dos jovens a renda do salario, por hipoteseos jovens nao possuem capital, menos a poupanca. Por sua vez, a restric¸ao (11.2)

117

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iguala o consumo dos velhos ao valor de sua riqueza mais a renda do capital, noteque os velhos nao trabalham.

A solucao deste problemae a conhecida Equacao de Euler do consumo1. Parao caso de funcao de utilidade com elasticidade de substituicao constante toma aforma:

ct(t + 1)

ct(t)=

[

1 + rt+1

1 + γ

]1

σ

(11.3)

Das equacoes (11.1) e (11.2)e possıvel escrverct(t) como funcao da renda e dosalario. Usando a Equacao de Euler em (11.3) torna-se possıvel determinarct(t)tal que:

ct(t) =(1 + γ)

1

σ

(1 + γ)1

σ + (1 + rt+1)1−σ

σ

wt (11.4)

A equacao (11.3) determina o consumo no primeiro perıodo como uma fracaoda renda recebida neste perıodo, quee igual a renda do trabalho,wt. Considerandoque a poupancae igual parte nao consumida da renda temos que:

st =

[

1 −(1 + γ)

1

σ

(1 + γ)1

σ + (1 + rt+1)1−σ

σ

]

wt

= ζ(rt+1)wt (11.5)

Ondeζ(r) representa a taxa de poupanca.Assuma que a cada geracao t nascemLt indivıduos, e queLt cresce a uma

taxan, ou seja,Lt+1 = (1+n)Lt. Desta forma a populacao total em um perıodotqualquer sera dada porL(t) = Lt + Lt−1, ondeLt representa o numero de jovenseLt−1 o numero de velhos. Como os velhos nao poupam nesta economia em cadaperıodo t o estoque de capital que existira no proximo perıodo deve ser igual apoupanca de todos os jovens, ou seja,Kt+1 = stLt.

11.2 Firmas e Precos dos Fatores

A producao desta economiae realizada por firmas que a cada perıodo contratamcapital e trabalho das famılias para produzir ounico bem existente. As firmas secomportam de forma a maximizar seus lucros a cada perıodo, ou seja, as firmasresolvem o problema:

maxKf

t ,Nt

F (Kft , Nt) − rtK

ft − wtNt (11.6)

1A este respeito ver o capıtulo sobre teoria do consumo

118

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OndeF : ℜ2 → ℜ e a funcao de producao,KFt o capital demandado pela firma e

Nt a quantidade de trabalho demanda pela firma. As condicoes de primeira ordempara este problema implicam que:

rt =∂F (Kf

t , Nt)

∂Kft

wt =∂F (Kf

t , Nt)

∂Nt

(11.7)

Assumindo que a funcao de producaoe uma Cobb-Douglas do tipoF (Kt, Nt) =Kθ

t (AtNt)1−θ as condicoes em (11.7) passam a ser escritas como:

rt = θKft

θ−1(AtNt)

1−θ wt = (1 − θ)Kft

θA1−θ

t N−θt (11.8)

Conhecidos os problemas da firma e das famılias e possıvel definir o equilıbriodesta economia.

11.3 Definicao e Caracterizacao do Equilıbrio

Definicao 11.1 Um equilıbrio corresponde a uma sequencia de precosrt, wt,uma sequencia de consumo e poupancact(t), ct(t + 1), st e uma sequencia dedemanda por fatoresKf

t , Nt tais que:

1. Dadart, wt, a sequenciact(t), ct(t+ 1), st resolve o problema do con-sumidor representativa de cada geracao t.

2. Dadart, wt, a sequenciaKft , Nt atende as condicoes em (11.7), ou

seja, as firmas maximizam lucros.

3. Expectativas racionais, ou seja, as decisoes individuais sao compatıveiscom os agregados,stLt = Kt+1.

4. Equilıbrio nos mercados de fatores,Kft = Kt eNt = Lt.

5. Equilıbrio no mercado de bens,Ltct(t) + Ltct−1(t) + st = F (Kt, Nt).

Para encontrar o equilıbrio do modelo e estudar sua dinamicae convenienteescrever o estoque de capital em termos de unidade de eficiencia, para isto bastadefinir kt = Kt/(AtLt). Neste caso as condicoes em (11.8) podem ser escritascomo:

rt = θkθt wt = At

(

kθt − rtkt

)

(11.9)

119

Page 121: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Para tornar o problema consistentee preciso escrever a regra de movimento docapital em unidades de eficiencia, desta forma devemos ter:

Kt+1 = stLt = ζ(rt+1)wtLt ⇒

Kt+1

At+1Lt+1

= ζ(rt+1)wtLt

(1 + g)At(1 + n)Lt

kt+1 =1

(1 + g)At(1 + n)ζ(rt+1)At [f(kt) − ktf

′(kt)] ⇒

kt+1 =1

(1 + g)(1 + n)ζ (f ′(kt+1)) [f(kt) − ktf

′(kt)] (11.10)

Ondeg representa a taxa de crescimento da produtividade.Para o caso de uma funcao de producao Cobb-Douglas a regra de movimento

em (11.10) pode ser escrita como:

kt+1 =1

(1 + n)(1 + g)

1

2 + γ(1 − θ)kθ

t ≡ Ωkθt (11.11)

ondeΩ e uma constante. A formula acima mostra que, assim como no modelobasico de crescimento e no Modelo de Solow, o estoque de capital tende a um valorque nao depende das condicoes iniciais do problema. Desta forma o resultadoque, no longo prazo, a taxa de crescimento do produtoper-capitae igual a taxa decrescimento da produtividade permanece valido.

11.4 Ineficiencia Dinamica

11.5 Exercıcios

1. Mostre que para uma dada funcao de producao F : ℜ2 → ℜ e possıvelescrever os precos dos fatores comort = f ′(kt) e wt = f(kt) − rtkt, ondekt representa o estoque de capital medido em unidades de eficiencia.

2. Para o caso da funcao Cobb-Douglas faca um grafico dekt+1 em funcao dekt. Com base no grafico argumente que o estoque de capital converge paraum valor que nao depende das condicoes iniciais do problema.

120

Page 122: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Capıtulo 12

Equivalencia Ricardiana

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Page 123: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Capıtulo 13

Previdencia Social

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Apendice A

Log-linearizacao dos Modelos deCrescimento

O princıpio da log-linearizacao e fazer uma aproximacao de Taylor em torno doestado-estacionario de um modelo.1 Isto resulta em um sistema de equacoes quee linear em desvios-logaritmos. Para qualquer variavelXt facaX o seu valor deestado estacionario (EE). Portanto o seu desvio sera

xt = log(Xt) − log(X) (A.1)

ou seja,Xt = Xext (A.2)

O desvioxt pode entao ser pensado como o desvio percentual da variavel de seuvalor de EE.

Isto implica que

xt = d log Xt = dXt

Xe

d log(1 + Xt) =d(1 + Xt)

1 + X≈ xt

seXt e um numero pequeno.Dada uma expressao qualquer

f(Xt, Yt) = g(Zt) (A.3)

podemos reescrever a expressao usando o fato de queXt = elog Xt. Portanto (A.3)vem a ser:

f(elog Xt , elog Yt) = g(elog Zt). (A.4)

1Esta subsecaoe baseada em Gertler (2000), veja tambem Campbell (1994). Para mais detalhessobre aproximacoes locais e log-linearizacao, veja Judd (1999, secao 6.1).

123

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Agora aplicamos log na equacao acima (A.5):

log f(elog Xt , elog Yt) = g(elog Zt) (A.5)

Uma aproximacao de Taylor de primeira ordem de uma funcao f(a, b) emtorno de(A,B) e dado por

f(a, b) ≈ f(A,B) + f1(A,B)(a − A) + f2(A,B)(b − B). (A.6)

Assim, podemos aproximar o lado esquerdo da equacao (A.5) por

f(elog Xt , elog Yt) ≈ log f(X,Y )+

+1

f(X,Y )f1(X,Y )Xxt +

1

f(X,Y )f2(X,Y )Y yt. (A.7)

Da mesma forma o lado direito pode ser aproximado por

g(elog Zt) ≈ log g(Z) +1

g(Z)g1(Z)Zzt. (A.8)

Tomando em igualdade as aproximacoes (A.7) e (A.8) temos:

log f(X,Y ) +1

f(X,Y )f1(X,Y )Xxt+

+1

f(X,Y )f2(X,Y )Y yt ≈ log g(Z) +

1

g(Z)g1(Z)Zzt (A.9)

e agora usamos o fato de quef(X,Y ) = g(Z) para termos:

f1(X,Y )Xxt + f2(X,Y )Y yt ≈ g1(Z)Zzt. (A.10)

Em termos mais genericos, a log-linearizacao da expressao

f(X1t , ..., Xn

t ) = g(Z1t , ..., Z

mt )

e dada por

n∑

i=1

fi(X1, ..., Xn)X ixi

t ≈

m∑

j=1

gj(Z1, ..., Zk)Zjzj

t . (A.11)

124

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Metodo sem Diferenciacao

Em muitos casos, um metodo mais simplese disponıvel para log-linearizar ummodelo sem explicitar a diferenciacao. Na maioria dos casos nao e necessariodiferenciar as funcoesf eg. Em primeiro lugar observamos que podemos escreverXt da seguinte forma:

Xt = XXt

X= Xelog(Xt/X) = Xext . (A.12)

Entao uma aproximacao de Taylor em torno do EE,x = 0, implica que

Xt = Xext

≈ Xe0 + Xe0(xt − 0)

= X(1 + xt). (A.13)

Pela mesma logica podemos escrever

XtYt ≈ X(1 + xt)Y (1 + yt)

= XY (1 + xt + yt + xtyt)

≈ XY (1 + xt + yt), (A.14)

uma vez quextyt ≈ 0 quandoxt eyt sao suficientemente pequenos.Em seguida, note que

f(Xt) ≈ f(X) + f ′(X)(Xt − X)

≈ f(X) + f ′(X)X(Xt/X − 1)

≈ f(X) + f(X)η(1 + xt − 1)

≈ f(X)(1 + ηxt) (A.15)

ondeη = ∂f(X)∂X

Xf(X)

.Portanto, podemos usar alguns simples passos para log-linearizacao, alguns

como descritos em Uhlig (1998, p. 34). Apos as alteracoes necessarias na equacaooriginal use os seguintes passos e aproximacoes:

1. Reescreva todas as variaveis comoXt = Xext ;

2. Use as seguintes regras:

Xt ≈ X(1 + xt) (A.16)

XtYt ≈ XY (1 + xt + yt) (A.17)

f(Xt) ≈ f(X)(1 + ηxt) (A.18)

ext+ayt≈ 1 + xt + ayt (A.19)

xtyt ≈ 0 (A.20)

Et[aext+1 ] ≈ Et[axt+1] mais uma constante. (A.21)

125

Page 127: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Vale notar que as constantes sao excluıdas de cada equacao, uma vez que asequacoes satisfazem as relacoes de estado estacionario.

Exemplo A.1 Suponha um exemplo baseado na restricao orcamentaria de umaeconomia:

Yt = Ct + It

reescreva isto como

1 =Ct

Yt

+It

Yt

Usando(A.17) obtemos:

1 ≈

C

Y(1 + ct − yt) +

I

Y(1 + it − yt)

(

C

Y+

I

Y

)

yt ≈

C

Y(1 + ct) +

I

Y(1 + it)

Uma vez que em estado estacionario

Y = C + I ⇒C

Y= −

I

YPortanto, a restricao orcamentaria linearizadae:

yt ≈

C

Yct +

I

Yit.

Equacoes Multiplicativas

Se a equacao a ser linearizada contem apenas termos multiplicativos existe umprocedimento adequado para este caso. Suponha a seguinte equacao:

XtYt

Zt

= α

ondeα e uma constante. Para log-linearizar devemos dividir a equacao pelasvariaveis de estado estacionario:

Xt

XYt

YZt

Z

α= 1

Agora tome logs

log

(

Xt

X

)

+ log

(

Yt

Y

)

− log

(

Zt

Z

)

= log(1) = 0

Agora usando a equacao (A.1) chegamos rapidamente ao seguinte resultado:

xt + yt − zt = 0

Vale notar que neste caso esta equacao log-linearizadanao e uma aproximacao.

126

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Outros Exemplos

Exemplo A.2 Log-linearizacao deRt = θ Yt

Kt−1+ 1 − δ. Faca

Rert = θ

(

Yt

Kt−1

)

eyte−kt−1 + 1 − δ

fazendo uso de(A.19) e da condicao de EE, a versao aproximada da equacao deretornoe:

Rrt = θY

K(yt − kt−1).

Exemplo A.3 Log-linearizacao deΛt = βEt[Λt+1Rt+1]. Faca

Λeλt = βEt

[

Λeλt+1Rert+1

]

Que resulta exatamente em:

eλt = Et

[

eλt+1ert+1]

pelo uso da condicao de EE. Tomando a aproximacao(A.19), podemos reescrevera equacao acima como:

1 + λt = Et [(1 + λt+1)(1 + rt+1)]

Tomando uma expansao de Taylor de primeira ordem paraλt = λt+1 = rt+1

resulta em:λt = Et [λt+1rt+1] .

Exemplo A.4 Log-linearizacao deA = Λ(1 − θ) Yt

Nt. Para este caso podemos

usar a dica para simples equacoes multiplicativas (secao A). Escreva a CPO domercado de trabalho da seguinte forma:

A

1 − θ=

ΛtYt

Nt

Divida as variaveis pelo seu valor de EE:

A

1 − θ=

Λt

Λ

Yt

YNt

N

127

Page 129: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

Aplicando logs temos:

log

(

A

1 − θ

)

= log

(

Λt

Λ

)

+ log

(

Yt

Y

)

− log

(

Nt

N

)

Aplicando a definicao de desvio-logaritmo(A.1) e aproximando para o EE, temosportanto:

nt = yt + λt.

Caselli’s Recipe

Aqui apresentamos algumas dicas bem organizadas de como aplicar log-linearizacao.Estas dicas sao devidas a Francesco Caselli (2003).

1. Voce deseja log-linearizar alguma relacao g(Xt) = 0, ondeXt e algumvetor em funcao do tempo;

2. Obviamente,g(X) = 0;

3. Reescreva comog(Xext) = 0, ondext = log(Xt) − log(X);

4. Olhe para o que voce tem. Voce pode usarg(X = 0) = 0 para conseguiruma equacao linear emxt?

(a) Se a respostae sim, entao pare. Note que isto funciona comYt =Kθ

t (ZtNt)1−θ. Tambem note que o resultadoe exato e nao uma aproximacao.

(b) Caso contrario, continue.

5. Aproxime todos osext com1 + xt.

6. Olhe para o que voce tem. Tente de novo usarg(X) = 0 para fazer istolinear emxt. Isto funcionou?

(a) Se funcionou, entao pare. Isto funciona com a restricao orcamentariae com a equacao de retorno.

(b) Caso contrario, continue.

7. Tome uma expansao de Taylor de primeira ordem em torno dext = 0. Usesempreg(X) = 0. Esteultimo passo sempre funciona.

128

Page 130: Macro Eco No Mia Notas de Aula Prof Victor Gomes UnB

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