MAE229 – Introdução à Probabilidade e Estatística II Ciências Atuariais - 1o sem de 2015

Lista de exercícios 3 – CLASSE

http://www.ime.usp.br/~fmachado/MAE229

 1. Com   base   em   amostras   de   tamanho   n=3,   provenientes   de   uma   população   normal,  

considere  os  seguintes  estimadores  para  a  média  𝜇:  

𝜇! =15𝑋! +

35𝑋! +

15𝑋!   𝜇! =

12𝑋! +

12𝑋!  

 

𝜇! =12𝑋! +

14𝑋! +

14𝑋!  

 

𝜇!" =13𝑋! +

13𝑋! +

13𝑋!  

 (a) Compare  os  estimadores  propostos  quanto  ao  viesamento  e  eficiência.  (b) Calcule  a  estimativa  fornecida  por  cada  um  deles,  com  base  na  amostra:  (7,8;  8,8;  6,7).    

 2. Considere uma população normal e a estatística T definida, para  amostras  de  dimensão  

n=2, da seguinte forma:

𝑇 =𝑋! + 2𝑋!

2  

 (a) Determine a distribuição amostral de T e os respetivos parâmetros. (b) T  é  um  estimador  não  viesado  para  𝜇  ?  Calcule  o  vício  e  EQM  do  estimador  T.    (c) Proponha  um  novo  estimador  para  𝜇  que  seja  não  viesado.    

3. Para  o  parâmetro  𝜃   de   certa  população,   foram   indicados  dois   estimadores:  𝜃!   e  𝜃!.  Diga  

qual  preferiria,  sabendo  que    

𝐸 𝜃! =𝑛 + 1𝑛 𝜃   𝑉𝑎𝑟 𝜃! =

𝑘𝑛  

𝐸 𝜃! =𝑛 + 1𝑛 𝜃   𝑉𝑎𝑟 𝜃! =

𝑘𝑛 + 3  

onde  k  é  uma  constante.    4. Encontre  o  estimador  de  máxima  verossimilhança  para  o  parâmetro  𝛽  de  uma  população  

com  distribuição  exponencial,  i.e.,  cuja  f.d.p.  é  a  seguinte:      

𝑓 𝑥;𝛽 =!!𝑒!! ! , 𝑥 ≥ 00,                  𝑥 < 0

  , 𝑐𝑜𝑚  𝛽 > 0.  

 5. O  número  de  falhas  por  mês  de  um  certo  tipo  de  componentes  segue  distribuição  de  Pois-­‐

son.   Ensaiaram-­‐se  8  desses   componentes,   tendo-­‐se  obtido  o   respectivo  número  de   falhas  durante  um  mês:    (3;  1;  6;  4;  1;  3;  9;  2).    Obtenha  o  estimador  de  máxima  verossimilhança  do  parâmetro  𝜆  da  população,  e  apresen-­‐te  uma  estimativa  para  𝜆.