36 Fsica na Escola, v. 10, n. 1, 2009Sustentao aerodinmica

Pedro Magalhes OliveiraDepartamento de Cincias eTecnologia, Instituto Superior deEducao e Cincias, Lisboa, PortugalE-mail: pedroatmoliveira@gmail.com.

Ao arrepio de concepes porventura clssicas,o objetivo deste artigo apresentar uma argu-mentao vlida que explique, clara e conve-nientemente, o mecanismo da sustentao aero-dinmica. Pretende-se, assim, dirimir interpre-taes, outrora apresentadas em textos de fsica,que no fazem sentido quando aplicadas aofenmeno aerodinmico, tanto as que por tra-dio se baseiam em Bernoulli, quanto as quebuscam seus fundamentos em Newton.

Ofenmeno da sustentao aero-dinmica um caso paradigm-tico de consolidao e divulgaocontinuada de erros interpretativos e umdos fenmenos fsicos que mais geraesperpassou e durante mais tempo. Tem assuas razes bem presas na comunidadecientfica e na sociedade, desde o engenhei-ro aeronutico ao comum cidado, pas-sando pelo professor de fsica na escola,qual fenmeno secular.

Em 2006, na revista A Fsica na Escola,em um artigo intitulado A Viso de umEngenheiro Aeronutico acerca da Sustenta-o, Bernoulli e Newton [1], Charles N.Eastlake apresenta a sua viso sobre o me-canismo da sustentao aerodinmica,nos termos da conservao da massa, daenergia e do momento. O artigo foi publi-cado inicialmente, anos antes, no jornalThe Physics Teacher. Eastlake docente naEmbry-Riddle Aeronautical University.

O artigo comea com um desafio aosleitores, no sentido de responderem, em estilode escolha mltipla, quais as explicaesque consideram vlidas para o mecanismode produo da sustentao aerodinmicaem aeroflios. As explicaes passam pelalei de Bernoulli e pela(s) lei(s) de Newton.Para o autor do artigo, ambas as explicaesapresentadas so verdadeiras.

Volvidos 3 anos aps a publicao, foi-me proposto que apresentasse aqui n AFsica na Escola uma contra-argumentaovlida no sentido de denunciar e esclareceralguns erros de interpretao expostos noprimeiro artigo supra referido.

Neste esprito, o presente artigo visaa dirimir o que considero serem erros deinterpretao em relao ao mecanismoaerodinmico. ainda minha intenoapresentar uma explicao clara sobre omesmo, ao arrepio da deturpao clssicaamplamente divulgada, ou melhor dasmais variadas deturpaes interpretativas,que, por um lado, tanto associam o fen-meno a princpios fsicos incompatveis,

como tambm, por outro, introduzemconcepes que no fazem sentido na rea-lidade fsica, ou, ainda, que, ao pretende-rem dar uma viso mais correta acercado mecanismo, cae(m) em insuficinciase tambm elas se deixam contaminarpela tradio.

Na verdade, a viso de Eastlake, emrelao ao mecanismo aerodinmico - e,ateno, que no me estou a referir quantificao matemtica - no conseguefugir muito abordagem clssica, talcomo ainda divulgado em contexto aca-dmico, embora contudo j com algumafiltragem em referncia a alguns non-senses entre os quais o princpio de iguaistempos de trnsito talvez o seu maisfamoso representante.

Deste ponto de vista, o autor East-lake no tem culpa nessa consolidaointerpretativa de conhecimento cientfico,porventura menos precisa, para no dizererrada, sobre o fenmeno em anlise. Eleat diz que a aerodinmica como ensi-nada para engenheiros... e at tem mes-mo razo nisso! Vamos por partes...

A utilizao abusiva do chamadoprincpio de Bernoulli, na aerodinmica,e a aplicao inapropriada das leis de New-ton do movimento, para explicar omecanismo da sustentao, tm sido umaconstante na literatura contempornea,um exemplo clssico de esgrima cientficae literria sem fim.

Autores como Smith [2] e Fletcher [3]inicialmente publicaram diversos esclare-cimentos sobre a boa e a m aplicao doprincpio de Bernoulli. Mais recente-mente, outros autores como Anderson eEberhardt [4] assomaram-se como osabsolutistas das leis de Newton, entreoutros que surgiram como defensores daabolio do que chamaram ser o abusobernoulliano.

Desde ento que a polmica sobre oassunto do mecanismo aerodinmico seincendiou. Muitas obras e artigos foram

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publicados sobre o assunto. Muitos dosque propuseram substituir o teorema daconservao da energia pelas leis de New-ton, acabaram quase sempre por confun-dir, no fim, o mecanismo da sustentaocom os seus efeitos e quantificao mate-mtica. Esta vertente nociva est bem pa-tente, por exemplo, na atribuio da com-ponente downwash do escoamento extra-dorsal causa da sustentao. Assim, aotentar-se exterminar a falcia bernoul-liana, por vezes cai-se tambm em no-vas falcias, o que traz ainda mais con-fuso para a discusso...

Faa-se, j, uma nota em relao aocuidado que se deve ter, para no cair emfalcias, nas diferenas de abordagens.Mecanismo da sustentao no o mesmoque os efeitos da sustentao nem ainda asua quantificao. H que saber distingui-los, e o que est aqui em discusso omecanismo e no os seus efeitos ou quan-tificao.

Conservao do momento

Na viso clssica de Eastlake, a ditalei de Bernoulli vlida como explicaoda gerao de sustentao aerodinmica,nos termos da conservao da energia,bem como as leis de Newton nos termosda conservao do momento.

Ora, comecemos pela ltima vertenteexplicativa. Em relao aplicao da con-servao do momento pelas leis de New-ton, nada h de importante a retificar, peloque a sustentao produzida igual alterao do momento do ar deslocado emsentido descendente por unidade de tempo.Ou seja, a derivada parcial do momentolinear em relao ao tempo igual massavezes a derivada parcial da velocidade emrelao ao tempo (a acelerao), ou seja

.

A expresso F = m.a precisamente a 2lei de Newton. Quanto maior for a varia-o do momento do ar no tempo, maiora fora de sustentao; quanto maior fora quantidade de massa acelerada, ou, ditode outra forma, quanto maior for a ace-lerao da massa, maior a fora de sus-tentao. A Fig. 1 mostra a descenso das

camadas de fluido adjacentes com o escoa-mento em contorno do extradorso da asa.

Mas, se repararmos com ateno, talcomo foi chamado ateno, a igualdadesupra apresentada apenas uma equiva-lncia, ou seja, apresenta uma compati-bilidade com a produo de sustentaomas no um mecanismo as is. Ou seja,nestes termos, no correto afirmar quea conservao do momento explica a pro-duo de sustentao.

Conservao da energia

Vamos agora, de seguida, fazer umabreve visita ao fsico suo, Daniel Ber-noulli. O comumente chamado princpiode Bernoulli, que exprime a conservaoda energia mecnica, ligado, por tradi-o, ao mecanismo da sustentao aero-dinmica.

Na sua obra Hydrodynamica, de 1738,e com base no esprito de algumas figurasapresentadas em Apndice obra, Ber-noulli aludia conservao da energiamecnica no sentido em que uma veloci-dade maior no escoamento de gua tinhacomo efeitos uma diminuio da pressonas paredes do tubo, uma vez aberta umaseco que permitisse o escoamento dofluido. A forma original da equao, portradio atribuda a Daniel Bernoulliembora apresentada inicialmente pelo seucolega Leonhard Euler, escrita como

.

Ela equaciona, em seus termos, a veloci-dade, a gravidade e a presso do fluido.Sendo a densidade do fluido (massa vo-lumtrica) constante, ela pode ser reescritana seguinte forma

,

em que v a velocidade, g a aceleraoda gravidade, h a altura dos pontos con-siderados a um dado nvel de referncia, ep a presso esttica.

Esta equao exprime, na forma com-pleta, a conservao da energia mecnica,ou seja: a soma da energia cintica com aenergia potencial gravitacional e a energiapotencial de presso uma constante.Quando aplicada a dois pontos, 1 e 2, deum fluido obtm-se que

.

Simplificando a equao, considerandodois pontos situados ao mesmo nvelsegue que

.

Esta ltima equao mostra que a dife-rena de presso esttica entre dois pontosde um fluido situados ao mesmo nvel simtrica da diferena de presso dinmica(que uma medida da energia cintica)entre eles. Se p2 < p1 ento v2 > v1. Esta a forma da equao tradicionalmentemais chamada de equao de Bernoulli.

As falcias

A grande falcia em relao gera-o da sustentao aerodinmica prende-se com o princpio de Bernoulli, ou seja,com a aplicao da conservao da energiamecnica como mecanismo da gerao defora de sustentao. Para autores comoWeltner [7], a equao de Bernoulli de-veria ser derivada da acelerao tangenci-al, pelas equaes de Euler que relacionamo movimento do fluido com as leis de New-ton. Ou seja, o aumento da velocidade ocor-re em consequncia da diminuio da pres-so. Esta demonstrao pretende evitarinterpretao errada no que toca relaode causalidade. Sabendo-se a variao dapresso consegue-se calcular a variao davelocidade e vice-versa. Em escoamentolivre uma maior velocidade, de per si, nocausa diminuio da presso esttica. Se avelocidade aumenta, no pressuposto quea presso esttica diminua, pois esta igual presso atmosfrica envolvente, aocontrrio do que a falcia explicativa dofenmeno elevatrio da folha de papel pre-tende demonstrar (Fig. 2).

Todavia, j se a presso menor ajusante no escoamento livre, a velocidadeaumenta. Euler demonstrou isto mesmoatravs de suas equaes tridimensionais.A concluso a de que o teorema da con-servao da energia mecnica - chame-se-lhe ou no princpio de Bernoulli ouequao de Bernoulli - no consegueexplicar a causa da diminuio da pressonem, portanto, o mecanismo da produoda sustentao aerodinmica.

J agora, se fosse a maior velocidadedo ar sobre o dorso da folha de papel - emanalogia ao exemplo exposto acima - acausa da diminuio de presso, pela con-servao da energia, ento o fenmenotambm deveria poder aplicar-se a condi-es em que a folha se encontrasse emrepouso sobre uma superfcie plana semcurvatura, por exemplo, em cima dumamesa. Assim, soprar-se-ia tangencial-Figura 1 Efeito da descenso das camadas de fluido adjacentes ao perfil.

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mente sobre ela e esta elevar-se-ia... Po-rm, nestas circunstncias tal coisa j nosucede. Mas, ento, o princpio de Ber-noulli no deveria faz-la elevar-se, assimcomo que por magia, tambm?!

Com efeito, no a maior velocidadedo escoamento no extradorso que provocauma diminuio da presso esttica.Curiosamente, a relao causa-efeito esttrocada. Na verdade, o escoamento acele-rado tangencialmente, ou seja, ao longoda linha do extradorso, em consequnciade uma diminuio da presso esttica quese d no extradorso em virtude de umaacelerao radial - a componente da ace-lerao angular que importa reter na ex-plicao - e no o contrrio.

Posto que uma maior velocidade deescoamento, por si s, no causa uma dimi-nuio da presso esttica, vejam-se, deseguida, outras duas falcias clssicas,usadas para a explicao da maior velocidadedo escoamento no extradorso da asa, aindano esprito da falcia maior j aqui apre-sentada que suporta a aplicao do teoremada conservao da energia mecnica.

A primeira assenta no que ficou cha-mado de princpio dos iguais tempos detrnsito, e que diz que o extradorso temum bojo ou curvatura maior do que ointradorso, pelo que, uma vez que as par-tculas de ar do escoamento so sim-tricas entre os dois dorsos e como tmde chegar ao bordo de fuga ao mesmotempo, pela conservao da massa,logo as do extradorso tm de acelerarpara percorrer uma distncia maior doque as que escoam pelo intradorso. Ora,tal como Eastlake bem referiu, isto com-pletamente falso.

A segunda a verso venturiana -chame-se-lhe assim - aqui j defendidapelo prprio Eastlake no artigo, que, imagem do tubo de Venturi, pretendeexplicar o porqu da acelerao tangencialdo escoamento. Ele diz, no artigo, que aslinhas de corrente so espremidas umascontra as outras medida que o fluxo sedivide no bordo de ataque, causando umaumento da velocidade local de acordo

com o princpio de conservao da massapara depois ento, de seguida, aplicar aconservao da energia mecnica, pelo au-mento da velocidade, para explicar omecanismo da sustentao.

Todavia, e apesar das linhas de cor-rente se aproximarem relativa e imediata-mente sobre o extradorso, entre si - comoos experimentos com fumo em tnel devento demonstram - na verdade no fazgrande sentido argumentar uma acelera-o tangencial do escoamento (pela con-servao da massa) para justificar umafalcia maior que , como se disse, aconservao da energia mecnica. Paramais, no obstante a massa do fluido, noexiste uma barreira constritiva suficien-temente densa ou slida sobre o extrador-so para justificar, por si s, um aumentoproporcional da velocidade v do escoamen-to pela diminuio da rea A da secocomo a equao da continuidade pretendedemonstrar para tubagens convencionais.

At a pgina educativa do Glenn Re-search Center prev esse erro, chamando-lhe Incorrect Theory #3 [5], apesar da dire-o final das linhas de corrente, no escoa-mento ps-bordo de fuga, estarem repre-sentadas, na figura que acompanha areferida pgina, paralelas ao escoamentoinicial, quando na verdade deveriam sersensivelmente tangenciais ao bordo defuga... outro erro... Na verdade, tambmesse famoso stio da Internet no explicapropriamente o mecanismo. Outros, muitointeressantes, pedaggicos, tais como o doDenker [6] acabam igualmente por noconseguir, no fim, explicar claramente omecanismo que subjaz sustentaoaerodinmica, redundando em Bernoullie em Newton.

Resumindo, ambas as falcias ex-postas - se assim lhes quisermos chamar- se enquadram, pois, na tentativa de ex-plicar o mecanismo atravs da conser-vao da energia mecnica que, comovimos, no faz sentido aqui aplicar. Maisuma vez, uma maior velocidade relativade escoamento no causa, por si s, umadiminuio da presso, ou, dito de outraforma, no far sentido tentar aplicar oteorema da conservao da energia paraexplicar o mecanismo aerodinmico.

Ento qual o mecanismo?

Independentemente da matemticausada para calcular as foras, e aparte asequivalncias sustentao aerodinmica,o mecanismo fsico explica-se de uma for-ma muito simples. A fora de sustentao uma pura fora de reao. O mecanismoreside na acelerao radial de fluido.

Devido a interaces moleculares deadeso, escoamentos de fluido viscoso ten-

dem a aderir a superfcies, o que pode serchamado de efeito Coanda no sentidoamplo do termo. Uma coisa que no secompreende o porqu de no serem feitasreferncias, na literatura cientfica sobrea matria, ao fenmeno de adeso de flui-do observado por Henri Coanda logo pelosincios do sculo XX. A adeso dos fluidosa superfcies , a meu ver, o ponto de par-tida para a explicao do mecanismo fsicoda sustentao aerodinmica, uma vezque se no houver adeso, pelo menos noextradorso, no possvel estabelecer-seuma curvatura favorvel no escoamentoe produzir-se a fora aerodinmica posi-tiva ou lift. certo que no intradorso, emngulo de ataque positivo, a adeso dofluido ao perfil se torna uma questo se-cundria e at pouco relevante para a dis-cusso, uma vez que, pelo ngulo do per-fil, o fluido obrigado sempre a escoarmudando de direo, defletindo, e, assim,a produzir fora positiva na mesma.

Para alm da viscosidade, tal comoqualquer fluido, o ar tem densidade ;massa em acelerao radial v2/r provocaforas: uma fora centrpeta no fluido euma fora de reao centrfuga no perfil. a fora centrfuga obtida pela aceleraoradial dos elementos de volume de fluidoque a fora de sustentao aerodinmica

.

Ou seja, em escoamento livre, para haverproduo de fora de sustentao aerodin-mica, tem de haver alterao na direo doescoamento. Tendo em considerao aequao do mecanismo supra apresenta-da, o aumento da velocidade a formaespecialmente eficiente de aumentar a sus-tentao, pelo fato de ser um fator qua-drtico. O aumento da curvatura do es-coamento - que o mesmo que reduzir oseu raio - conseguido dinamicamenteatravs do aumento do ngulo de ataque, outra forma possvel de aument-la,contudo menos eficiente. Finalmente,aumentando a densidade do fluido outrapossibilidade de produzir um acrscimode fora de sustentao. E isto perfeita-mente compatvel com o voo invertido,desde que haja, portanto, um ngulo deataque favorvel. Pode haver produo desustentao em perfis finos, simtricos eat sem curvatura, desde que seja mantidoum certo ngulo de ataque com o fluido,de forma a defleti-lo, provocando neleuma acelerao radial.

No espanta, pois, que, para a maio-ria dos aeroflios, a maior parte da susten-tao produzida no extradorso se d logono primeiro quarto da corda da asa, ouseja, na zona em que a curvatura mais

Figura 2 Fenmeno elevatrio da folhade papel.

Sustentao aerodinmica

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Figura 3 Fora centrpeta e reao centrfuga.

Referncias

[1] C.N. Eastlake, Fsica na Escola 77777(2), 52(2006).

[2] N. Smith, The Physics Teacher 1010101010, 451(1972).

[3] N. Fletcher, Physics Education 1010101010, 385(1975).

[4] David anderson and S. Eberhardt, APhysical Description of Flight,disponvel em http://home.comcast.net/~clipper-108/lift.pdf.

[5] Glenn Research Center, http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/air-plane/wrong3.html.

[6] J.S. Denker, See How It Flies, disponvelem http://www.av8n.com/how/.

[7] K. Weltner, M. Ingelman-Sundberg, A.S.Esperidio e P. Miranda, Revista Bra-sileira de Ensino de Fsica 2323232323, 429(2001).

[8] E. Houghton and P. Carpenter, Aerody-namics for Engineering Students(Butterworth-Heinermann, Oxford,2003), 5 ed., p. 508.

[9] P.M. Oliveira, Sustentao Aerodinmica- O Mecanismo Fsico, disponvel emhttp://dited.bn.pt/31619/2606/3184.pdf.

acentuada, como ilustrado na Fig. 3 ondese pode identificar as zonas em que a mag-nitude das foras maior.

Para complementar, a diminuio dapresso esttica verificada uma conse-quncia da acelerao radial de fluido, quediminui no sentido contrrio centrfuga,por reao de equilbrio, em direo aocentro da curvatura, numa relao j de-monstrada na Ref. [7] e igualmente apre-sentada em outros textos (ver, por exem-plo, a Ref. [8]) sobre a matria, atravs daseguinte expresso

.

Terminaria dizendo que, apesar de asustentao ser comumente explicada peladiminuio da presso esttica no extra-dorso, ou suco, em oposio a umasobrepresso no intradorso, no neces-srio, sequer, chegar s presses para secompreender o mecanismo que est montante e que foi minha pretenso clari-ficar aqui neste artigo. Assim, numa frasesimples e perceptvel:

A fora de sustentao dinmica igual reao centrfuga gerada na aceleraoradial do volume de fluido viscoso escoadoem torno de um perfil.

Para saber mais sobre este assunto,recomenda-se a leitura da Ref. [7], poden-do complementar-se com outro texto [9],da minha autoria e dedicado espe-

cificamente ao assunto do mecanismofsico, todavia um pouco

mais pormenorizado.

Sustentao aerodinmica

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