Manual Cabri

Noes bsicas sobre o Cabri

23/08/2010

CENTRO UNIVERSITRIO CENTRAL PAULISTA

CONSTRUES GEOMTRICAS USANDO O CABRI GOMTRE II(NOTAS DE AULA)Julho / 2010

Prof. Edson de Oliveira- UNICEP

2

ndiceApresentao do Cabri-Gomtre II ....................................................................................03 Conhecendo alguns comandos bsicos do Cabri .................................................................06 Pontos, retas, segmentos de retas e semi-retas ...........................................................06 Retas paralelas, retas perpendiculares, ponto mdio, pontos equidistantes ...............07 Distncias, ngulos e bissetrizes ................................................................................08 Tringulos ..................................................................................................................09 Quadrilteros, polgonos ............................................................................................10 Polgonos regulares, polgonos estrelados .................................................................12 Sistemas de coordenadas cartesianas e grades ...........................................................12 Sistema cartesiano ortogonal ............................................................................12 Grades no sistema cartesiano ............................................................................14 Grficos de funes ....................................................................................................15 Macro construo .......................................................................................................17 Construo de um tringulo retngulo issceles dada a sua hipotenusa ..........18 Salvar o tringulo como uma macro construo...............................................19 Construo de um tringulo retngulo issceles a partir da sua hipotenusa usando a macro Triretisos .................................................20 Utilizando a macro Triretisos construi um mosaico .........................................20 Construo da macro Quadrado com base em um dos seus lados ....................21 Construo de um quadrado a partir de um de seus lados usando a macro quadrado ................................................................22 Utilizando a macro Triretisos e a macro Quadrado construir a figura 18 ..........22 Movimentos no plano: rotao, translao, simetria e dilatao ...............................23 Rotao.......................................................................................................................23 Translao ..................................................................................................................26 Simetria central ou reflexo em relao a um ponto ..................................................26 Simetria axial ou reflexo em relao a um eixo .......................................................27 Dilatao ....................................................................................................................29

Referncias bibliogrficas ...................................................................................................30

Edson de Oliveira

3

CAPTULO 1 Apresentao do programa Cabri-Gomtre II

O Cabri Gomtre um programa computacional educativo criado em 1988 e construdo por uma equipe de professores franceses dirigido por Jean-Marie Laborde. O nome Cabri foi inspirado na sentena francesa Cahier de brouillon interactif, que significa Caderno de rascunho interativo. Ele oferece condies para a explorao de qualquer aspecto matemtico suscetvel de interpretao geomtrica. Suas caractersticas principais so: Permitir a construo intuitiva de pontos, retas, tringulos, polgonos, em geral, circunferncias e outros objetos bsicos; Efetuar translaes, ampliao e redues, giros de figuras (com relao aos seus centros ou quaisquer pontos especificados), simetrias, simetrias axiais, inverses; Construir cnicas; Explorar conceitos avanados em geometria descritiva e hiperblica; Medir figuras com atualizao automtica; Explorar conceitos de Geometria Analtica; utilizar coordenadas cartesianas e polares; Permitir a criao de macros para figuras que se repetem com freqncia; Comprovar as propriedades geomtricas para provar hipteses baseadas nos cinco Postulados de Euclides; Permitir animao; Incluir idias elementares sobre as propriedades das circunferncias e tringulos, suas inter-relaes e lugares geomtricos; Fazer construes com rgua e compasso. Quando se abre a tela do Cabri, depara-se como uma folha de desenho onde se pode desenhar objetos geomtricos e interagir com os mesmos. Sua Barra de Menu anloga quela que aparece nos vrios aplicativos que utilizam esta plataforma de trabalho. No menu Arquivo a opo Salvar como salva a tela de trabalho com nomearquivo.fig (a extenso dos arquivos salvos no Cabri fig), no diretrio escolhido pelo usurio. No menu Editar a opo Desfazer desfaz a ltima ao feita na tela. Conforme se v na Figura 1, O Cabri disponibiliza 11 cones, cada um deles indicado por um quadradinho, chamados caixas de ferramentas, os quais contm vrios comandos ou opes. Para se ter acesso a cada um deles, manter o boto esquerdo do mouse pressionado sobre a caixa de ferramentas e deslizar para baixo at a opo de interesse.

Edson de Oliveira

4

Figura 1 Tela inicial do Cabri Para fins didticos enumera-se a caixas de ferramentas de 1 a 11, da esquerda para a direita. Apresentam-se abaixo as mesmas, com as opes (comandos) de cada uma delas.

1

2

3

4

5

6

Edson de Oliveira

5

7

8

9

10

11

Figura 2 Ferramentas/opes de cada caixa Selecionando-se uma opo dentre as constantes em uma das caixas de ferramentas e acionando a tecla F1, as informaes referentes opo selecionada ficam disposio na parte inferior da tela. Por exemplo, selecionando-se a opo Rtulo na caixa de ferramentas 10 e acionando-se a tecla F1, obtm-se ao final da tela de trabalho a informao: Anexa um rtulo criado pelo usurio a um ponto, reta ou crculo, como mostra a Figura 3.

Figura 3 Informao sobre a opo Rtulo da caixa de ferramentas 10

Edson de Oliveira

6

CAPTULO 2 Conhecendo alguns comandos bsicos do Cabri

2.1. Pontos, retas, segmentos de retas e semi-retas a) Desenhar um ponto;Abrir o menu da primeira janela, selecionar Ponto e dar um clique sobre a pgina.

b) Mover o ponto para a posio esquerdo-superior da tela;Abrir a 1. janela, selecionar Ponteiro; clicar sobre o ponto e manter o mause pressionado; uma pequena mo lhe permitir arrastar o ponto para a posio desejada.

c) Nomear o ponto com a letra A;Abrir a 10. janela e selecional Rtulo. Clicar sobre o ponto que aparecer uma caixa de texto onde se dever digitar a letra A.

d) Desenhar um ponto B na posio central da tela; e) Traar a reta AB;Abrir a 3. janela, selecionar Reta e clicar sobre o ponto A que surgir uma reta; agora, clicar sobre o ponto que B que aparecer o desenho da reta desejada.

g) Nomear a reta com a letra r;Seguir os passos do item (c).

i)

Pintar a reta r com a cor verde;Abrir a 11. janela e selecionar Cor; surgir um quadro de cores onde se dever clicar a cor verde. Isso feito, aparecer um pincel que levado sobre a reta r mudar a sua cor para verde.

j)

Desenhar um ponto C no semi-plano inferior determinado pela reta r;Seguir os passos de (a) e (c) .

k) Traar o segmento AC na cor azul;Na 3. janela selecionar Segmento; clicar sobre o ponto A e, em seguida, sobre o ponto C. Para mudar a cor, proceder como em (i).

l)

Traar a semi-reta CB, com origem em C, na cor pink;Na 3. janela selecionar Semi-reta e depois clicar uma vez sobre o ponto C e outra sobre o ponto B. Para mudar a cor proceder com em (i).

Observaes 1. Para apagar qualquer desenho s ativar a caixa de ferramentas 1 (flecha) e, em seguida, clicar sobre o desenho a ser apagado, o qual se transformar num desenho pontilhado (no caso de pontos, ficar piscando); depois, apertar a tecla Delete do teclado. Caso se queira apagar a tela toda, utilizar a opo Selecionar tudo do menu Editar ( ou Ctrl A do teclado) e, aps, usar a opo Limpar do mesmo menu ( ou Del do teclado).

Edson de Oliveira

7

2. possvel ajeitar a posio de qualquer objeto na tela. Para isso, selecionar na janela 1 a opo Ponteiro. Apontar o cursor para o objeto em questo, at aparecer escrito na tela Este rtulo. Com o mouse pressionado, movimente o objeto para a posio desejada.

Figura 4 - Reta, segmento de reta e semi-reta2.2. Retas paralelas, retas perpendiculares, ponto mdio, pontos equidistantes

a) Traar uma reta s e um ponto D no pertencente a s; b) Traar a reta t, paralela a s, pelo ponto D;Abrir a 5. janela e selecionar Reta Paralela. Clicar sobre o ponto D, e, em seguida, sobre a reta s; aparecer o desenho de uma reta paralela a s; nomear essa de t.

c) Traar a reta p, perpendicular a s, pelo ponto D;Selecionar na 5. janela a opo Reta Perpendicula . Clicar sobre o ponto D e, depois, sobre a reta s; aparecer o desenho de uma reta perpendicular a s; nomear essa reta de p.

d) Marcar o ponto mdio M do segmento que liga o ponto D ao ponto de interseo entre as retas p e s;Abrir a 5. janela e selecionar Ponto Mdio. Clicar sobre o ponto D, e em seguida, sobre o ponto de interseo das retas p e s, aparecer o ponto mdio desejado; nomear esse ponto de M.

e) Marcar o ponto N, interseo das retas p e s; Janela 2, Pontos de Interseo e clicar sobre o ponto referido. f) Constatar que os pontos D e N so eqidistantes de M.Abrir a 8. janela e selecionar Eqidistante. Clicar primeiramente sobre o ponto M e, aps, sobre os pontos D e N; aparecer uma caixa em branco. Clicar sobre ela que aparecer o texto: Pontos equidistantes.

Edson de Oliveira

8

g) Apagar o texto do item (f).Clicar na Janela 1 sobre o ponteiro, clicar sobre o texto e apertar a tecla Delete.

h)

Escrever o seguinte comentrio na tela de trabalho: Os pontos D e N so eqidistantes do ponto M.Abrir a 10. janela e selecionar Comentrios. Clicar sobre a pgina, aparecerer uma caixa de texto onde se digita o comentrio pedido.

Figura 5 Retas paralelas, perpendiculares e ponto mdio. 2.3. Distncias, ngulos e bissetrizes a) Desenhar trs pontos distintos P, Q e R; b) Construir as semi-retas QP e QR;Ver (l) de 2.1.

c) Medir o ngulo PQR;Na 10. janela selecionar Marca de

ngulo e clicar sobre os vrtices P, Q, R (ou R, Q, P), nesta

ordem; aparecer uma marca de ngulo no vrtice Q. Em seguida, selecionar na 9. janela a opo ngulo; clicar sobre a marca ngulo que aparecer a medida em graus do ngulo PQR.

d) Obter o ponto S, interseo da semi-reta QR com a perpendicular mesma pelo ponto P;De maneira similar ao item (c) de 2.2 traar a perpendicular semi-reta QR pelo ponto P. Na 2. Janela selecionar Pontos de Interseo e, em seguida, clicar sobre o ponto cruzamento dessa perpendicular com a semi-reta QR. Nomear esse ponto de S.

e) Achar o comprimento do segmento QSSelecionar na 9. janela a opo Distncia e Comprimento. Dar um clique sobre o ponto Q e, em seguida, um outro clique sobre o ponto S que aparecer a medida do segmento PS, em centmetros.

f) Mostrar que o ngulo PSR reto;Seguindo os passos de (c) verificar que a medida do ngulo PSR 900 .

Edson de Oliveira

9

g) Calcular a distncia do ponto P semi-reta QR;Essa distncia dada pelo comprimento do segmento PS. Seguir os passos de (e).

h) Calcular a rea do tringulo PQS;Como o tringulo retngulo, a sua rea o semi-produto das medidas dos catetos QS e PS. Para efetuar essa operao, abrir uma tela de calculadora na parte inferior da tela de trabalho, selecionando na 9. janela a opo Calculadora. Agora, clicar sobre a medida do segmento QS, sinal x na calculadora, medida do segmento PS, sinal / na calculadora e 2 do teclado, nestas ordem, aparecer

a *b / 2 .

Aps, clicar sobre o sinal = que ficar visvel o resultado da

operao. Dar dois cliques sobre sinal = , arrastar o mouse para alguma parte da rea de trabalho e clicar sobre ela; aparecer uma caixa com o texto Resultado:***

i)

Editar o resultado da rea do tringulo PQS, modificando o texto de (h) para rea do tringulo PQS = .Clicar duas vezes com o ponteiro sobre o texto Resultado:*** e digitar o texto pedido.

h) Desenhar a bissetriz do ngulo PQR;Na 5. janela selecionar Bissetriz. Clicar sobre o ponto P, depois sobre Q e, depois, sobre R que aparecer a bissetriz do ngulo PQR.

Figura 6 Distncias, ngulos e bissetrizes 2.4. Tringulos a) Construir um tringulo e rotul-lo de ABC;Selecionar na 3. janela a opo Tringulo que o cursor se transformar em lpis; com trs cliques em pontos e no colineares da rea de trabalho, um tringulo ser construdo. Para rotular o mesmo seguir os passos de 2.1 (c).

b) Obter a rea do tringulo ABC;Clicar na 9. janela e selecionar a opo Area; clicar sobre o tringulo que aparecer uma caixa de texto com a medida da rea em cm2 .

Edson de Oliveira

10

c) Editar o resultado da rea com o seguinte texto: rea = *;Sobre o valor que aparece na tela, dar dois dois cliques que aparecer uma caixa de texto; da s alterar o mesmo. Observe-se que toda caixa de dilogo pode ser editada desta forma.

d) Obter o permetro do tringulo ABC;Selecionar na 9. janela a opo Distncia e Comprimento . Dar um clique sobre o tringulo que aparecer uma caixa com a medida do permetro em centmetros .

e) Editar o resultado anterior escrevendo a observao Permetro = * .Proceder como em (c).

f) Determinar o ponto de encontro M das mediatrizes do tringulo ABC;Para obter esse ponto, basta traar duas mediatrizes do tringulo, por exempolo, as relativas aos lados AC e BC. Para isso, selecionar na 5. janela a opo Mediatriz e clicar primeiramente sobre sobre os pontos A e C e, aps sobre os pontos B e C. Para nome-lo, proceder como em 2.1(c).

g) Construir a circunferncia de centro M e raio MA;Selecionar na 4. janela a opo Circunferncia . Clicar sobre o ponto M e, depois, sobre o ponto A.

h) Obter o raio da circunferncia e editar o texto raio = * ; s medir o segmento MA, procedendo como em 2.3 (e); para editar, proceder como em (c).

i) Preencher o interior do tringulo ABC com a cor cinza ;Clicar na 11. janela e escloher a opo Preencher; aparecer uma paleta de cores. Selecionar a cor cinza e clicar sobre o tringulo.

Figura 7 Tringulos 2.5. Quadrilteros, polgonos a) Construir um quadriltero ABCD;Selecionar na 3. janela a opo Polgono. Dar cinco cliques sucessivos na rea de trabalho, em que o ltimo coincide com o ponto inicial. Rotular o quadriltero com as letras A, B, C, D. Este procedimento permite desenhar qualquer polgono.

Edson de Oliveira

11

b) Encontrar a rea do quadriltero ABCD e rotular o texto rea do quadriltero ABCD = * ;Similar a 2.4 (b) e (c).

c) Encontrar o permetro do quadriltero ABCD e rotular o texto Permetro do quadriltero ABCD = * ;Similar a 2.4 (d) e (e).

d) Traar a diagonal AC do quadriltero;Ver 2.1 (k).

e) Desenhar o ponto mdio M da diagonal BD( sem desenhar a diagonal);Ver 2.2 (d).

f) Constatar se M pertence ou no diagonal AC;Selecionar na 8. janela a opo Pertencente . Clicar sobre o ponto M e, depois, sobre o segmento AC que aparecer uma caixa de texto com a frase Este ponto no est sobre o objeto .

g) Movimentar o ponto A e observar as modificaes das medidas do permetro e da rea;Na 1. janela selecionar Ponteiro . Colocar o cursor apontando para o ponto A, pressionar o boto do mouse e, sem solt-lo, mover o ponto para uma posio diferente e, ento, soltar o boto do

mouse. Observar o que acontece com as medidas da rea e do permetro.

Observao A 1. janela apresenta a opo Giro que permite girar objetos construdos em torno de um ponto selecionado ou de seu centro geomtrico. Aplicar esse passo ao quadriltero e observar as modificaes. Repetir o passo com a opo Semelhana, que permite dilatar ou encolher figuras, e Giro e Semelhana, que reune as duas funes.

Figura 8 Quadrilteros e Polgonos

Edson de Oliveira

12

2.6

Polgonos regulares; polgonos estrelados a) Construir um undecgono ( polgono regular de 11 lados);Selecionar na 3. janela a opo Polgono regular. Devido ao fato de de um polgono regular estar sempre inscrito num crculo, o processo inicia-se com a construo de um ponto, centro do crculo circunscrito ao polgono, e o raio do mesmo, que determinado pelo clique do mouse. Girando com o mouse, aparecer no centro um mostrador de nmeros que varia conforme o movimento (horrio ou anti-horrio) ; quando o mostrador indicar o nmero 11, um clique do mouse desenhar o undecgono.

b) Construir um polgono estrelado 11/3; Observao Um polgono estrelado m/n significa a figura obtida a partir dos vrtices de um polgono regular de m lados, conectando cada vrtice desse poligono ao n-simo, contado a partir dele no sentido anti-horrio.Para construir o polgono estrelado desejado proceder como em (a), escolhendo no mostrador a frao 11/3.

c) Obter a medida do lado de undecgono ;Proceder como em 2.3 (e).

h) Obter o raio da circunferncia circunscrita ao undecgono;Medir o comprimento do segmento que liga o centro a qualquer vrtice do polgono.

e) Obter a medida dos ngulos internos do undecgono; A partir de trs vrtices consecutivos do polgono, proceder com em 2.3 (c).

Figura 9 Polgonos rgulares e polgonos estrelados 2.7. Sistemas de coordenadas cartesianas e grades 2.7.1 Sistema cartesiano ortogonal a) Construir um sistema de coordenadas cartesianas xy;Clicar na janela 11 a opo Mostrar Eixos ; aparecer no centro da tela um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal.

Edson de Oliveira

13

b) Mudar a posio do sistema de coordenadas cartesianas de modo que o seu centro se situe na regio centro-esquerda da rea de trabalho;Proceder como em 2.1 (b)

c) Marcar um ponto no primeiro quadrante, obter as suas coordenadas cartesianas e etiquet-lo com a letra Q;Abrir o menu da segunda janela, selecionar Ponto e dar um clique sobre a pgina. Selecionar na 9. janela a opo Equaes e Coordenadas, clicar sobre sobre ponto marcado que

imediatamente aparecero as suas coordenadas. Para etiquetar ver 2.4 (c).

d) Traar a reta paralela ao eixo y pelo ponto Q e obter o ponto de interseo dessa reta com o eixo x.;Na 5. janela selecionar Reta Paralela. Clicar sobre o ponto Q e, em seguida, sobre o eixo y que aparecer o desenho de uma reta paralela ao eixo x pelo ponto Q. Agora, selecionar na janela 2 a opo Pontos de Interseo e clicar sobre o ponto cruzamento dessa reta paralela com o eixo x.

e) Traar a reta paralela ao eixo x pelo ponto Q e obter o ponto de interseo dessa reta com o eixo y;Similar ao item (d).

f) Obter as coordenadas cartesianas dos pontos de interseo obtidos em (d) e (e) e etiquet-los de Q1 e Q2, respectivamente;Proceder como em (c).

g) Ocultar as retas paralelas construdas nos itens (d) e (e);Selecionar na 11. janela a opo Esconder/Mostrar e apontar o cursor para cada uma das retas uma das retas paralelas construdas. Quando aparecer o texto Esta reta clicar que as retas ficaro pontilhadas. Em seguida, clicar sobre a janela Ponteiro para efetivamente ocultar as retas.

h) Desenhar os segmentos QQ1 e QQ2;Ver 2.1 (j).

i) Pontilhar os segmentos QQ1 e QQ2;Selecionar na 11. janela a opo Pontilhado. Clicar sobre cada um dos segmentos que o Cabri automaticamente mudar a linha contnua para pontilhada.

j) Desenhar o ponto R de abscissa 0,8 e ordenada -1,2;Selecionar na 10. janela a opo Edio Numrica e clicar na tela; aparecer uma caixa de edio numrica (que no permite caracteres que no sejam nmeros) onde se dever digitar o valor 0.8 (zero ponto 8; no vrgula). Selecionar agora, na janela 5 a opo Transferncia de Medida, e levar o mouse at esse valor. Quando aparecer o texto Este nmero clicar, e da, o nmero ficar piscando. Em seguida, levar o mouse sobre o eixo x e quando aparecer o texto Este eixo clicar que o Cabri construir ento o ponto sobre o eixo das abscissas, correspondente ao nmero 0,8. De maneira anloga constri-se o ponto sobre o eixo das ordenadas correspondente ao nmero -1,2. Agora, seguindo os passos de (d), traar por esses pontos as retas paralelas aos eixos coordenados. Selecionar na 2. janela a opo Pontos de Interseo , clicar sobre essas retas paralelas que o ponto de interseo das mesma ficar definido e corresponder ao ponto de coordenadas (0.8, -1.2) procurado. Pontilhar as retas paralelas agindo como em (h). Para etiquet-lo de R, escolher na janela 10 a opo Rtulo.

Edson de Oliveira

14

k) Determinar a distncia entre Q e R e etiquet-la A distncia de Q a R * ;Na janela 9 buscar a opo Distncia e Comprimento e clicar nos pontos P e Q.

Figura 10 Sistemas de Coordenadas Cartesianas

2.7.1.1 Observaes i. Para desativar o sistema de coordenadas clicar na Janela 11 e selecionar a opo Esconder Eixos. ii. Pode-se mudar as unidades de medidas dos eixos.Janela 1/ Ponteiro, clicar sobre a unidade 1 no eixo x e, quando aparecer o texto Esta unidade movimentar o mouse.Um movimento para a esquerda ( na direo da origem O) far a unidade mudar para 2, 5, 10, etc. e um movimento para a direita ( na direo contrria origem) diminuir o valor da unidade passando pelos valores 05, 0,2, etc.; soltar o mouse quando a unidade atingir o valor desejado.

2.7.2 Grades no sistema cartesiano A definio de uma grade sobre um sistemas cartesiano um recurso didtico de muita utilidade em diversas atividades onde se trabalha com nmeros inteiros. Como exemplo sero construdas as peas de um Tangram, a partir de um quadrado: cinco tringulos (dois tringulos maiores, um mdio e dois menores), um quadrado e um paralelogramo. 1. Fixar um sistema de coordenadas cartesianas e definir uma grade;Janela 11/ Mostrar Eixos e Janela 11/ Definir Grade.

Edson de Oliveira

15

2. Usando quatro pontos da grade definir um quadrado 4 por 4 e etiquet-los de A, B, C e D (tomam-se os pontos de coordenadas (1,5), (1,1), (5,1) e (5,5), nesta ordem).Para construir o quadrado utilizar janela 3/ Polgono e, para etiquetar, Janela 10/ Rtulo.

3. Construir os tringulos BIC, DIC, JGD, EFI AHJ, o quadrado IFGJ e o paralelogramo BEIH, onde os pontos E, F, G, H, I e J tm coordenadas ((2,2), (3,3), (4,4), (1,3), (2,4) e (3,5), respectivamente;Janela 3/ Polgono.

4. Aumentar a espessura dos traados.Selecionar na janela 11/ Espessura e clicar sobre cada polgono.

5. Fazer cpias das peas e colori-las. Selecionar cada polgono com o Ponteiro e usar Ctrl C e Ctrl V para fazer as cpias. Para colorir, Janele 11/ Preencher.

Figura 11 Construo do Tangram no Cabri

2.8.

Grficos de funes Os passos descritos abaixo podem ser usados para construir o grfico de qualquer

funo real y = f(x). Vamos descrever os passos para a construo do grfico da funo y = x2, considerada com domnio [-2,2].

Edson de Oliveira

16

1. Definir um sistema de coordenadas.Selecionar na janela 11 a opo Mostrar Eixos;

2. Na janela 10 selecionar Edio Numrica e digitar os valores -2 e 2. 3. Transferir os valores -2 e 2 sobre o eixo x;Proceder como em 2.7.

4. Ocultar os valores -2 e 2;Ver 2.7 (g).

5. Etiquetar os pontos sobre o eixo x, obtidos no passo 3, como -2 e 2;Ver 2.1 (c).

6. Criar o segmento de reta ligando esses pontos, colorir o mesmo na cor verde e aumentar a sua espessura;Na 3. janela selecionar Segmento; clicar sobre o primeiro ponto e, em seguida, sobre o segundo. Para mudar a cor e aumentar a espessura utilizar as opes Cor e Espessura da janela 11.

7. Marcar um ponto no eixo x entre -2 e 2 ;Usar a opo Ponto sobre Objeto da janela 2.

8. Obter as coordenadas desse ponto (esse ponto, que tem abscissa x, ser referido como ponto x);Ver 2.7 (f).

9. Calcular o valor de f(x) ;Ativar a opo Calculadora da janela 9. Clicar, seguidamente, sobre a abscissa do ponto x, sinal circunflexo da calculadora e digitar o nmero 2 do teclado; aparecer a^2. Clicar agora sobre o sinal = e, ento, ficar visvel o resultado da operao que corresponde ao valor de f(w). Dar dois cliques sobre o sinal = , arrastar o mouse para alguma parte da rea de trabalho e clicar; aparecer uma caixa com o texto Resultado: *** .

10. Transferir o resultado obtido em (9) sobre o eixo y. O ponto desenhado, que tem abscissa 0, ser referido como ponto y;Anlogo ao passo (3).

11. Pelos pontos x e y traar retas paralelas aos eixos coordenados e marcar o ponto de interseo entre elas;Para a construo das paralelas ver 2.2 (b); para marcar o ponto, janela 2/ Pontos de Interseco. de interseo ver 2.3 (e)..

12. Ocultar as retas paralelas construdas no passo 11;Ver 2.7 (f).

12. Desenhar o grfico da funo y = x2, considerada com domnio [-2,2];Selecionar na janela 5 a opo Lugar Geomtrico. Clicar no ponto de interseo obtido no passo 11 e, em seguida, na sua projeo sobre o eixo x (ponto marcado no passo 7). Da, o grfico da funo y = x2 ser desenhado pelo Cabri, no intervalo [-2,2].

Edson de Oliveira

17

Figura 12 Grfico da parbola y = x2 Observaes 1. Manipulando com o Ponteiro o ponto x ao longo do intervalo [-2, 2] pode-se observar que a imagem f(x), bem como o ponto correspondente (x, f(x)), caminham sobre o eixo y e sobre o desenho da curva, respectivamente; 2. possvel identificar a imagem da funo selecionando na janela 10 a opo Rasto On/Off . Aps clicar, primeiramente sobre o ponto y no eixo das ordenadas, e depois, no Ponteiro, movimentar o ponto x sobre todo o intervalo [-2, 2], que o domnio da funo. Observar que o ponto f(x) deixa um rastro no eixo y, que so as imagens dos pontos do domnio. Para desativar esse procedimento, clicar novamente na opo Rasto On/Off e, aps, sobre o ponto y que deixar de piscar. Clicar no Ponteiro e, com ele, movimentar o ponto x que os vestgios do rastro deixados por f(x) sero limpos da tela ou utilizar a opo desfazer no menu editar.2. s vezes, no traado de grficos aparece na tela um desenho deformado que no

parece estar correto. Aconteceu que o programa utilizou uma quantidade pequena de pontos para a sua construo. O Cabri utiliza como padro 50 pontos mas, admite uma alterao para at 5000 pontos ( um nmero bastante grande, que pode ocasionar lentido no processamento). Para essa alterao deve-se proceder da seguinte forma: no menu Opes escolher Preferncias; aparece uma caixa onde consta o texto Nmero de objetos no lugar geomtrico na qual se pode alterar o numero de pontos ( um nmero razovel 300).

Edson de Oliveira

18

2.9.

Macroconstruo O Cabri-Gomtre possibilita memorizar uma seqncia de construes que pode ser

reproduzida instantaneamente. Esta seqncia de construes chamada de macroconstruo.. Uma macro nada mais do que uma construo que uma vez efetivada, custa das construes existentes, pode ser gravada e utilizada em construes posteriores. Como exemplo ser construda a macro tringulo retngulo issceles, ou seja, a ferramenta que ser includa na janela 7 referente macroconstruo. 2.9.1 Construo de um tringulo retngulo issceles dada a sua hipotenusa 1. Construir o segmento AB que definir a hipotenusa do tringulo;Selecionar na 3. janela a opo Segmento, clicar sobre qualquer ponto da tela e arrastar o mouse para uma outra posio que o segmento ser construdo.

2. Desenhar o ponto mdio de AB e nome-lo de M;Abrir a 5. janela e selecionar Ponto Mdio. Clicar sobre o ponto A, e em seguida, sobre o ponto B, que aparecer o ponto mdio desejado; Para nome-lo utilizar janela 10/ Rtulo.

3. Com centro em M traar a circunferncia de raio MB;Ver 2.4.(g).

4. Pelo ponto M traar a perpendicular ao segmento AB;Ver 2.2.(c).

5. Marcar a interseo dessa perpendicular com a circunferncia e nome-la de C;Na 2. janela selecionar Pontos de Interseco e, depois, clicar sobre o ponto cruzamento dessa perpendicular com a semi-reta QS. Para nome-lo utilizar janela 10/ Rtulo.

7. Construir o tringulo ABC;Utilizar a opo Triangulo da janela 3.

Figura 13 Construo de um tringulo retngulo issceles ABC a partir de sua hipotenusa

Edson de Oliveira

19

2.9.2

Salvar o tringulo como uma macroconstruo O procedimento ser feito utilizando exclusivamente a 7. janela. 1. Selecionar a opo Objetos Iniciais ; 2. Apontar o cursor para o ponto A e, depois, fazer o mesmo com relao ao ponto B (aps a seleo os pontos devem ficar 'piscando') ; 3. Selecionar a opo Objetos Finais, apontar o cursor para o tringulo ABC e quando aparecer o texto Este tringulo, clicar (aps a seleo os segmentos ficam pontilhados) ; 4. Selecionar o recurso Definir Macro e aparecer a seguinte caixa de dilogo:

Figura 14 Caixa de definio de macros No lugar de Nova construo digitar Triretisos.. Digitar na caixa Nome do primeiro Objeto final o texto Este tringulo, que ser a mensagem que aparecer na tela quando o curso estiver prximo do tringulo construdo. Na caixa Ajuda para esta macro pode-se escrever instrues de construo; por exemplo: Constri um tringulo retngulo issceles a partir da hipotenusa. Clicar em OK. 2.9.3 Observao A macro Triretisos ser gravada na janela 11 e poder ser usada em qualquer atividade enquanto o programa estiver aberto. Essa gravao pode ser apenas temporria e nesse caso a macro desaparece quando termina a sesso de trabalho, ou ento pode ser gravada como um ficheiro para ser utilizada sempre que seja necessria.

Edson de Oliveira

20

2.9.4

Construo de um tringulo retngulo issceles a partir da sua hipotenusa usando a macro Triretisos 1. Construir um segmento de reta; 2. Selecionar na 7. janela Triretisos e clicar primeiramente sobre a extremidade esquerda e depois sobre a extremidade direita da hipotenusa. Aparecer imediatamente na tela um tringulo retngulo issceles superior tendo como hipotenusa o segmento inicialmente construdo.

2.9.5

Observao A construo da macro depende da ordem em que se considera as extremidades da

hipotenusa. Constatar isso selecionando novamente na 7. janela o recurso Triretisos e, clicar agora, primeiramente sobre a extremidade direita e depois sobre a extremidade esquerda da hipotenusa. Aparecer agora um tringulo retngulo issceles inferior. 2.9.6 Utilizando a macro Triretisos construir o mosaico

Figura 15 - Mosaico triangular Para construir o mosaico, seguir os passos abaixo usados na construo da Figura.15.

Figura 16 - Construo do mosaico no Cabri

Edson de Oliveira

21

1. Construir o segmento AB e obter o ponto mdio C do segmento AB; Janela 3/ Segmento e janela 5/ Ponto Mdio. 2.. Obter o ponto mdio D de AC e o ponto mdio E de CB; 3. Desenhar quatro tringulos com bases AD, DC, CE e EBJanela 7/ Triretisos e clicar os pontos na ordem escrita acima.

4. Nomear os vrtices superiores desses tringulos de F, G, H e I; 5. Desenhar os tringulos GFD, HGC e IHE de bases GF, HG e IH; 6. Desenhar trs tringulos de bases FG, GH e HI e nomear os seus vrtices superiores de J, K e L; 7. De maneira similar aos passos de (3) a (6), terminar a construo da figura; 8. Colorir a figura.Janela 11/ Preencher.

2.9.7

Construo da macro Quadrado com base em um dos seus lados Para esse procedimento seguir os passos abaixo. 1. Construir um segmento AB e circunferncia com centro em A e raio AB;Janela 3/ Segmento e janela 4/ Circunferncia.

2. Traar a circunferncia com centro em B e raio AB; 3. Construir as perpendiculares ao segmento AB pelos pontos A e B;Janela 5/ Reta Perpendicular.

4. Construir o quadrado com vrtices em A, em B e nos pontos de interseo das circunferncias com as perpendiculares construdas no passo (4).Janela 3/ Polgono.

Figura 17 Construo de um quadrado a partir de seu lado

Edson de Oliveira

22

Para salvar a construo como uma macroconstruo, agir como em 2.9.2. O procedimento feito utilizando exclusivamente a 7. janela. 5. Selecionar o recurso Objetos Iniciais;Clicar sobre o ponto A e, em seguida, sobre o ponto B (os pontos devem ficar piscando;

6. Selecionar a opo Objetos Finais;Apontar o cursor para o quadrado e quando aparecer o texto Este polgono, clicar.

7. Selecionar o recurso Definir Macro;Aparece a caixa mostrada em 2.9.2. No lugar de Nova construo digitar Quadrado. Digitar na caixa Nome do primeiro objeto final o texto Este quadrado. Na caixa Ajuda para esta macro escrever Constri um tringulo quadrado a partir de um de seus lados.

9. Clicar em OK. 2.9.8 Construo de um quadrado a partir de um de seus lados usando a macro Quadrado 1. Construir um segmento de reta; 2. Selecionar na 7. janela Quadradoe clicar sobre os extremos desse segmento; Aparecer imediatamente na tela um quadrado tendo como lado o segmento inicialmente construdo. 2.9.9 Usando a macro Triretisos e a macro Quadrado construir a figura 18

Figura 18 - Igreja A construo segue os passos abaixo e de acordo com a Figura 19. 1. Construir o segmento AB; 2. Obter o ponto mdio C do segmento ABJanela 5/ Ponto Mdio.

3. Obter o ponto mdio D de AC e o ponto mdio E de CB; 4. Utilizando a macro Quadrado desenhar quatro quadrados com bases AD, DC, CE e EB;Janela 7/ Quadrado.

5. Com base na aresta superior do segundo quadrado desenhar um quadrado cujos vrtices superiores so F e GJanela 7/ Quadrado.

6. Obter o ponto mdio H de F e G;

Edson de Oliveira

23

7. Traar a circunferncia com centro em F e raio FH;Janela 4/ Circunferncia

8. Traar a reta por F e G;Janela 3/ Reta.

9. Marcar o ponto J interseo da reta com a circunferncia;Janela 2/ Pontos de interseo.

10. Esconder a circunferncia e a reta;Janela 11/ Esconder/ Mostrar.

11. Traar o segmento JF; 12. Seguindo os passos de (7) a (11), construir o ponto I e o segmento JI; 13. Usando a Macro Triretisos utilizar os pontos J e I, nesta ordem, para desenhar o tringulo retngulo issceles de base JI; 14. Da mesma forma que em (9), desenhar o tringulo com base nos vrtices superiores do ltimo retngulo . 15. Para colorir a figura, usar a janela 11/ preencher.

Figura 19 Construo da Igreja no Cabri 2.10 Movimentos no plano: rotao, translao, simetria, e dilatao 2.10.1 Rotao O movimento de rotao uma transformao isomtrica do plano, ou seja, uma transformao que no deforma a figura inicial. Para rotacionar uma figura necessrio um ponto, centro da rotao, e um ngulo para ngulo de rotao. O Cabri rotaciona a figura no sentido anti-horrio. ,

Edson de Oliveira

24

1. Desenhar e rotular dois pontos O e A; 2. Editar o valor 70 que ser usado como ngulo de rotaoSelecionar na janela 10 a opo Edio Numrica, clicar na tela e digitar o nmero 70.

3.

Rotacionar o ponto A por um ngulo de 700 em torno do ponto O.Selecionar na janela 6 a opo Rotao , clicar sobre o ponto X ( aparecer o texto girar este ponto), clicar sobre o ponto O X ( aparecer o texto ao redor deste ponto) e sobre o nmero 70 ( usando este ngulo). Imediatamente aparecer um novo ponto sobre a tela; rotul-lo com o nome B.

2.10.1.1 Observaes a) Ligar os pontos O a A e O a B por segmentos pontilhados;Janela 3/ Segmento e janela 11/Pontilhado.

b) Marcar o ngulo A O B ;Janela 10/ Marca de ngulo, clicar em A, O e B.

c) Medir o ngulo A O B e verificar que sua medida 700;Selecionar janela 10/ ngulo e clicar na marca do ngulo.

d) Movimentar o ponto A, movimentar os pontos O e B. O que se pode observar?

Figura 20 Rotao do ponto A em torno do ponto O de um ngulo de 700 2.10.1.2 Desenhar a figura abaixo

Figura 21 Catavento

Edson de Oliveira

25

A construodo catavento no Cabri segue os seguintes passos: 1. Desenhar um ponto O e, centrado nele, uma pequena circunferncia; 2. Preencher essa circunferncia com a cor preta;Janela 11/ Cor, clicar no preto e, aps, janela 11/ Preencher.

3. Desenhar uma outra circunferncia com centro em O, de raio maior que a primeira; 4. Aumentar a sua espessura;Janela 11/ Espessura, clicar no quadradinho central e depois sobre a circunferncia.

5. Escolher um ponto A exterior essa ltima circunferncia e desenhar o segmento OA; 6. Marcar um ponto B no segmento OA e construir um tringulo T1 de base AB ;Janela 2/ Ponto sobre Objeto e Janela 3/ Tringulo

7. Rotacionar o tringulo T1 em torno do ponto O de um ngulo de 900 obtendo o tringulo T2;Selecionar na janela 10 a opo Edio Numrica, clicar na tela e digitar o nmero 90. Selecionar na janela 6 a opo Rotao , clicar sobre o tringulo T1( aparecer o texto girar este tringulo), clicar sobre o ponto O (aparecer o texto ao redor deste ponto) e sobre o nmero 90 (Usando este ngulo). Imediatamente aparecer um novo tringulo T2.

8. Como em (7), rotacionar o tringulo T2 em torno do ponto O de um ngulo de 900 obtendo T3 e fazer o mesmo com T3, obtendo T4. 9. Como em (8), rotacionar o segmento OB em torno do ponto O de um ngulo de 90 0, obtendo OD; girar OD para obter OE e fazer o mesmo com este ltimo para obter OF; 10. Colorir o o segmento OB e o tringulo ABC de vermelho;Janela / Cor, clicar no vermelho que aparece um pincel. Clicar com ele sobre o segmento. Depois, sobre o tringulo ABC.

11. Repetir o passo (10) para T2, na cor verde, para T3 em marron, e para T4, na cor lils.

Figura 22 Catavento no Cabri

Edson de Oliveira

26

2.11

Translao um deslocamento, sem rotao, de uma figura de uma posio outra. Uma

translao fica determinada por um vetor, ou seja, atravs de uma direo, um sentido e uma distncia. Como exemplo, constri-se a seguir um tringulo T transladado de um tringulo T por um vetor v. 1. Desenhar um tringulo T; 2. Preencher esse tringulo com a cor cinza;Janela 11/ Preencher.

4. Desenhar um vetor v;Ferramenta Vetor da janela 3.

5. Transladar o tringulo T pelo vetor v.Selecionar na janela 6 a opo Translao e clicar no tringulo T (aparecer o texto Transladar esse tringulo) e, em seguida, clicar sobre o vetor v ( aparecer o texto Por este vetor). Imediatamente aparecer construdo um novo tringulo T, transladado de T pelo vetor v.

Figura 23 Translao de um tringulo T por um vetor v 2.11.1 Observao Movimentar o ponto final do vetor v para cima, para baixo e para os lados. O que se pode observar? 2.12 Simetria central ou reflexo em relao a um ponto Dado um ponto O no plano e um outro ponto P, distinto de 0, simetria central (ou reflexo) em relao a O o movimento que transforma o ponto P em um outro ponto P de tal forma que O seja o ponto mdio do segmento PP . O ponto O chama-se ponto de simetria.

Edson de Oliveira

27

Como exemplo, constri-se a seguir uma figura P simtrica de uma figura P em relao a um ponto O.

Figura 24 Simetria Central ou reflexo em relao a um ponto O

1. Desenhar o polgono preenchido P;Selecionar na Janela 3/ Polgono e construir um polgono no convexo com 5 vrtices. Para ajeitar a figura, usar Janela 1/ Ponteiro.

2. Marcar na tela um ponto O;Janela 2/ Ponto e Janela 10/ Rtulo

.

3. Obter a figura P simtrica de P em relao ao ponto O.Selecionar na Janela 6 a opo Simetria Central, clicar no polgono preenchido P (aparecer o texto Simtrico deste polgono ) e, depois, clicar sobre o ponto O (aparecer o texto em relao a este ponto. Imediatamente aparecer o polgono preenchido P, simtrico de P em relao ao ponto O. Para rotul-lo utilizar Janela 10/ Rtulo.

2.12.1 Observaes i. Toda simetria central em relao a um ponto O corresponde a uma rotao de 1800 em relao a esse ponto. Verificar. ii. Usando o Ponteiro, movimentar o ponto O. O que se pode observar?2.13 Simetria axial ou reflexo em relao a um eixo

Dada uma reta r, esta divide o plano em dois semi-planos. Simetria axial ( ou reflexo) de eixo r o movimento que transforma o ponto P em um outro ponto P de tal forma que o

Edson de Oliveira

28

segmento PP seja perpendicular a r e P e P sejam equidistantes de r. Em outras palavras, r deve ser a mediatriz de PP. Como exemplo, constri-se a seguir um ponto P simtrico de um ponto P em relao a uma reta r. 1. Desenhar uma reta e nome-la de r;Janela 3/ Reta e Janela 10/ Rtulo.

2. Selecionar na tela um ponto P em um dos semi-planos determinado por r; 3. Obter o ponto P simtrico de P em relao reta r.Selecionar na Janela 6 a opo Simetria Axial, clicar no ponto P (aparecer o texto Simtrico deste ponto ) e, depois, clicar sobre a reta r (aparecer o texto em relao a este ponto , embora o que se obtenha seja o simtrico em rela reta r). Imediatamente aparecer o ponto P, simtrico de P em relao a r. Para rotul-lo utilizar Janela 10/ Rtulo.

Figura 25 Simetria axial de um ponto P

2.12.1 Observaes i. Marcar o ponto M, interseo de PP com r;Janela 2/ Pontos de interseco e Janela 10/ Rtulo.

ii. Criar os segmentos PM e PM e pontilh-los;Usar Janela3/ Segmento e Janela 11/ Pontilhados.

iii. Medir os segmentos PM e PM; Observar que eles tm a mesma medida.Selecionar janela 9/ Distncia e comprimento e clicar sobre cada segmento.

iv. Marcar os ngulos formados pela reta que contm o segmento PP com a reta r; Notar que eles so retos.Selecionar Janela 10/ Marca de ngulo e depois clicar em trs pontos, P, M e um ponto qualquer de r. Repetir com os pontos P e M.

Edson de Oliveira

29

v. Observar o que ocorre ao movimentar simultaneamente no plano os pontos simtricos P e PNa Janela 10 escolher a opo Rasto On/Off e clicar nos pontos P e P. Selecionar Janela 1/ Ponteiro. Clicar no ponto P e, com o mouse apertado, movimentar o mesmo

Figura 26 O eixo de simetria axial entre dois pontos a mediatriz deles

2.14 Dilatao ( Homotetia) Homotetia um movimento que dilata um objeto qualquer a partir de um ponto e de um fator de dilatao. Como exemplo, constri-se a partir de um tringulo ABC, um outro tringulo ABC, de tal forma que as medidas dos lados do segundo sejam mltiplas das medidas dos lados do primeiro, digamos, duas vezes. 1. Construir um tringulo ABC;Janela 3/ Tringulo.

2. Escolher um ponto O distinto de A, B e C; 3. Editar o valor 1,5;Janela 11/ Edio Numrica.

4. Dilatar o tringulo ABC a partir do ponto O, com fator de dilatao 2.Na janela 6 selecionar Homotetia, clicar sobre o tringulo ABC (aparecer o texto Dilatar este tringulo), depois sobre o ponto O (aparecer o texto com relao a este ponto) e, em seguida, sobre o valor 1.5 (aparecer usando este fator de dilatao) que o Cabri construir automaticamente o tringulo ABC.

Edson de Oliveira

30

Figura 27 - Homotetia 2.14.1 Observaes i. Medir os lados do tringulo ABC e, tambm, os lados do tringulo ABC. Obter as razes:

A' B' A' C ' B' C ' e . Quanto valem? , AB AC BC

ii. Medir os ngulos dos tringulos ABC e ABC. O que se observa? iii. Comprovar que as razes

OA' OB' OC' e so iguais. , OA OB OC

3. Referncias bibliogrficasBALDIN, Y. Y.; VILLAGRA, G. A. L. Atividades com Cabri Gomtre II. So Carlos: Edufscar, 2004. IEZZI, G. ET AL. Matemtica: volume nico. So Paulo: Atual, 2007. WAGNER E.. Construes geomtricas. Rio de Janeiro: Coleo do Professor de Matemtica/ IMPA, 2005. DOLCE, O.; IEZZI, G.; MA HADO, A Geometria Plana: conceitos bsicos. So Paulo: Atual, 2008. NACARATO, Adair M; GOMES, Adriano, A. M.; GRANDO, Regina C. (orgs). Experincias com geometria na escola bsica: narrativas de professores em transformao. So Carlos: Pedro & Joo, 2008. REZENDE, E. Q. F., QUEIRS, M.L.B., Geometria Euclidiana plana e construes geomtricas, Campinas: Editora da UNICAMP, 2000. RODRIGUES, Claudina I; REZENDE, Eliane Q. F. Cabri-Gomtre & a Geometria Plana. 2.ed. Campinas: Editora UNICAMP, 2005.

Edson de Oliveira

Documents

Manual Cabri