Manual de Atividades IIUma proposta para sala de aula

Museu da Matematica UFMG

Carmen Rosa Giraldo Vergara

Fabio Enrique Brochero Martınez

Sumario

Introducao 1

Matematica Recreativa 2

1.1 Breve historico da Matematica Recreativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Museu da Matematica UFMG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 A Matematica de Escher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Estruturas Autoportantes de Leonardo da Vinci . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Quebra-cabecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.4 Jogos de Tabuleiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Atividades para sala de aula 11

2.1 Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Geometria Fractal: Explorando o Triangulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Pentaminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Explorando o Jogo Domino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.1 Tabuleiro de Domino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.2 Fracoes com o Domino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.3 Quantos Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Explorando Jogos de Conexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.1 Hex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.2 Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 O Salto dos Sapos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6.1 Versao Classica do Salto dos Sapos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6.2 Segunda Versao do Salto do Sapos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7 Quebra-cabeca dos Quatro Cubos Coloridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8 Sudoku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Referencias Bibliograficas 35

Anexos i

Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Dobra Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Tabuleiro do Jogo do Hex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Tabuleiro do Jogo do Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Tabuleiro 8 × 8 Pentamino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Tabuleiro Encaixa Domino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Pecas de Domino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Instant Insanity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Grafo Associado ao Instant Insanity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

Introducao

O Departamento de Matematica da Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG tem

atuado, por meio de diversos projetos de extensao, junto a professores e alunos dos Ensinos

Fundamental e Medio com o objetivo de contribuir para a popularizacao do conhecimento ma-

tematico e com a melhoria do ensino e aprendizagem da Matematica.

Nesse contexto, o Museu da Matematica UFMG foi criado, em 2018, para promover a Ma-

tematica atraves de atividades ludicas que estimulem o interesse dos visitantes, especialmente

dos professores, levando-os a uma reflexao sobre as propostas que passem uma visao positiva do

ensino e aprendizagem da Matematica e objetivando difundir a Matematica Recreativa enquanto

ferramenta didatica.

Este trabalho surgiu a partir do minicurso Matematica Recreativa: Uma proposta para sala

de aula ofertado no IV Simposio Nacional da Formacao do Professor de Matematica, realizado

em 2019 no Centro de Ciencias Exatas da Universidade Federal do Espırito Santo (UFES).

Nesta cartilha sao apresentadas algumas das atividades realizadas neste minicurso e nas oficinas

ofertadas pelo Museu a professores do Ensino Fundamental e Medio.

Consideramos que atividades vistas a partir de uma perspectiva ludica contribuem eficien-

temente para a disseminacao do conhecimento matematico. Nesse sentido, apresentamos neste

trabalho o Museu da Matematica UFMG, exploramos diversas atividades que podem ser usa-

das para desenvolver diversos conceitos matematicos em diferentes nıveis escolares, damos

orientacoes para sua confeccao e utilizacao e incluımos os moldes do material concreto utili-

zado.

Agradecemos a Pro-Reitoria de Extensao da UFMG pelo apoio financeiro para a reproducao

desta cartilha mediante o Edital PROEX no 05/2020 de fomento a produtos extensionistas des-

tinados a Educacao Basica e Profissional publica.

Incentivamos nossos leitores a enviar sugestoes, relatos sobre a aplicacao dessas atividades

em sala de aula – o que foi positivo e o que nao foi - ou qualquer outro comentario que contribua

para o enriquecimento deste material para as proximas edicoes. Nossos contatos sao:

museudamatematicaufmg@gmail.com

http://www.mat.ufmg.br/museu

http://www.fb.com/museudamatematicaufmg

Carmen Rosa Giraldo Vergara

Fabio Enrique Brochero Martınez

Autores

Belo Horizonte, abril de 2020

1

Matematica Recreativa

“Afinal de contas o que a e a matematica senao a solucao de quebra-cabecas? E o

que e a ciencia senao um esforco sistematico para obter respostas cada vez melhores

para os quebra-cabecas impostos pela natureza?”

– Martin Gardner, Divertimentos Matematicos. 5a edicao. Ibrasa

1.1 Breve historico da Matematica Recreativa

A Matematica Recreativa pode ser definida como uma “Matematica Divertida” que trata de

paradoxos, quebra-cabecas engenhosos, magicas, curiosidades topologicas, isto e, problemas

com um toque de diversao. Agora, diversos estudiosos desta area, entre eles, David Singmaster,

consideram que esta definicao abrangeria toda a Matematica, uma vez que quase todo ma-

tematico gosta de seu trabalho; nesse sentido, ele apresenta duas definicoes que cobrem o que

seria a Matematica Recreativa:

• uma matematica divertida e popular, isto e, os problemas devem ser compreendidos por

leigos interessados, embora a sua resolucao nao seja elementar.

• uma matematica divertida e usada pedagogicamente como um desvio da matematica for-

mal ou como uma maneira de tornar a matematica formal compreensıvel e prazerosa.

Ao longo da historia, grande parte das culturas do mundo inventaram problemas de carater

ludico que despertaram a curiosidade do publico geral pela forma simples com que foram apre-

sentados, e chamaram a atencao de matematicos, pela forte conexao com nocoes de Logica,

Topologia, Geometria, Teoria de Numeros e Algebra, entre outras. As ideias por tras de um

problema simples podem instigar muitos outros problemas interessantes ao passar do vies re-

creativo para um assunto formal.

Nesse sentido, podemos dizer que a Matematica Recreativa e uma rica fonte de modelos

matematicos. Um exemplo disso e o Problema das Sete Pontes de Konigsberg, que consiste em

determinar se e possıvel atravessar sete pontes determinadas sem passar duas vezes por qualquer

uma delas. Este problema foi resolvido pelo matematico Leonhard Euler e deu origem a Teoria

de Grafos. Cabe destacar tambem que a matematica envolvida nos jogos de azar praticados

durante a Idade Media levou Blaise Pascal e Pierre de Fermat a desenvolverem a Teoria das

Probabilidades, que foi a base para a criacao de companhias de seguros na segunda metade do

seculo 18.

Enigmas e problemas divertidos cujas solucoes dependem inteiramente de operacoes aritme-

ticas elementares existem desde a Antiguidade. Problemas atualmente conhecidos como “pensa

um numero” aparecem no Papiro de Rhind, datado de 1600 a.C. Em 1202, no manuscrito Lıber

Abacci, aparece a sequencia de Fibonacci, introduzida em conexao com um modelo fantasioso

de reproducao de coelhos. O problema classico de transportar um homem, um lobo, uma cabra

2

3 Breve historico da Matematica Recreativa

e uma couve atraves de um rio em um barco de dois lugares apareceu pela primeira vez, no

seculo 8, em uma colecao atribuıda a Alquino de Iorque.

Existe uma diversidade de fontes relacionadas com Matematica Recreativa, como e relatado

pelo matematico David Singmaster em [17], no qual apresenta uma cronologia desta area. Nesta

aparecem grandes matematicos e autores que apresentaram, com clareza e entusiasmo, teore-

mas, construcoes matematicas, jogos e diversos elementos curiosos e criativos da Matematica.

Entre os representantes da Matematica Recreativa destacamos Sam Loyd, Henry Dudeney, Mar-

tin Gardner, Edouard Lucas, Walter Ball, Joseph Madachy, Raymond Smullyan, Malba Tahan,

Ian Stewart, Boris Kordemsky e Yacok Perelman.

Henry Dudeney e Sam Loyd criaram uma vasta gama de quebra-cabecas envolvendo ideias

sofisticadas e Matematica. Famosos pela suas prolıferas producoes de quebra-cabecas, encan-

taram ao publico geral com suas ideias. Dentre as obras de Dudeney, destacamos Amusements

in Mathematics, que contem uma das mais variadas colecoes de recreacoes matematicas. Sam

Loyd publicou grande parte de seus desafios em jornais e revistas da epoca, que mais tarde fo-

ram recopilados no livro Sam Loyd’s Cyclopedia of 5000 Puzzles Tricks and Conundrums with

Answers, publicado em 1914. O quebra-cabeca mais famoso de Loyd foi o “15 Puzzle”, em que

quinze quadrados numerados de 1 a 15 se deslizam livremente em uma caixa com o objetivo de

ordena-los em ordem crescente. Com base neste jogo, Sam Loyd criou a Charada de Boss, na

qual ele deixou os numeros de 1 a 13 na posicao correta, e o 14 e o 15 invertidos e ofereceu um

premio de 1.000 dolares para quem ordenasse o quebra-cabeca. Mais tarde, descobriu-se que

este desafio nao tinha solucao.

Martin Gardner e considerado um dos principais divulgadores da Matematica Recreativa.

Ele apresentou durante 25 anos, na coluna Recreational Mathematics da revista Scientific Ame-

rican, artigos que continham diversoes matematicas, truques de magica e desafios que inspira-

ram seus leitores. Alem disso, escreveu diversos livros como Mathematical Puzzles and Diver-

sions, My Best Mathematical and Logic Puzzles e Mathematics, Magic and Mystery, em que

sao apresentados problemas atraentes e variados, deixando assim um legado de passatempos

fascinantes para matematicos e para o publico geral.

Raymond Smullyan foi um matematico que explorou de forma brilhante a logica formal. Ele

criou enigmas ao longo de decadas e os viu como uma ferramenta para divulgar “O Evangelho

da Matematica”. Muitos desses enigmas sao baseados em paradoxos da linguagem, como e

mostrado nos livros A Dama ou o Trigre e O Enigma de Sherazade. Ele considerava que “bons

livros” de enigmas sao os melhores remedios para curar o celebre “panico de matematica.”

No Brasil, como representante da Matematica Recreativa destacamos Julio Cesar de Melo

Sousa, conhecido pelo pseudonimo Malba Tahan. Seu trabalho foi direcionado para o ensino da

Matematica de uma forma divertida e diferente. Ele apresentou desafios matematicos, incenti-

vando a criatividade, a descoberta e a arte de resolver problemas. Publicou livros de divulgacao

cientıfica, destacando aspectos nobres da Matematica e buscando sempre torna-la acessıvel a

todos. Com suas obras, tais como: Matematica Divertida e Diferente, Matematica Divertida

e Curiosa, Matematica Divertida e Delirante, O Homem que Calculava, entre outros, revolu-

cionou a maneira como os professores ensinavam, criando formas cativantes de transmitir esta

disciplina.

Ian Stewart e outro matematico contemporaneo que, assim como Martin Gardner, tem con-

tribuıdo para a divulgacao e popularizacao da Matematica. Ele recebeu, em 1995, a Medalha

Michael Faraday da Royal Society of London pelo seu trabalho de divulgacao de ideias ma-

tematicas mediante seus livros instigantes, artigos de revistas, apresentacoes de radio e tele-

visao, e palestras publicas em escolas e na industria. Stewart e autor de muitos livros, entre

eles, Deus Joga Dados?, Almanaque das Curiosidades Matematicas, Incrıveis Passatempos

1.2. MUSEU DA MATEMATICA UFMG 4

Matematicos, Mania de Matematica e Aventuras Matematicas. Na suas obras ele instiga a

imaginacao de seus leitores e mostra aspectos divertidos e intrigantes da Matematica.

Nas ultimas decadas, a Matematica Recreativa tem assumido um papel importante como

instrumento para a divulgacao e popularizacao da Matematica, mostrando a importancia desta

area mediante a comunicacao de aspectos historicos e culturais da Matematica, da exploracao

de sua aplicacao pratica e da sua relacao com outras areas do conhecimento como a Musica e a

Arte. Ela tem se convertido em um espaco de pratica de pensamentos e raciocınios proprios da

Aritmetica, da Geometria, da Analise Combinatoria e da Matematica em geral. A Matematica

Recreativa fornece uma ampla variedade de problemas e atividades ludicas que podem ser adap-

tadas em sala de aula, tornando-se assim uma ferramenta didatica importante para mostrar aos

alunos que a Matematica pode ser uma experiencia divertida e prazerosa.

1.2 Museu da Matematica UFMG

O Museu da Matematica UFMG e um espaco de disseminacao do conhecimento matematico

a partir de uma perspectiva recreativa. O seu objetivo e envolver e despertar a curiosidade

dos visitantes com atividades ludicas, tais como: quebra-cabecas, jogos de tabuleiro, magicas,

dobraduras de papel e desafios focados no processo de interacao. Alem disso, o Museu pretende

ser um centro de apoio para professores, tendo como objetivos difundir a Matematica Recreativa

como pratica pedagogica, contribuir para o processo de ensino aprendizagem da Matematica e

promover a capacitacao continuada de professores.

(a) Visita guiada ao Museu da Matematica UFMG

no Festival de Matematica 2019

(b) Oficina de Jogos Matematicos para Professores

no Museu da Matematica UFMG

O Museu da Matematica UFMG esta localizado na sala 4010 do Instituto de Ciencias Exatas

da Universidade Federal de Minas Gerais, e recebe visitas de grupos de alunos do 6o ano do

Ensino Fundamental ao Ensino Superior. O agendamento para as visitas e realizado atraves do

site do Museu:

http://www.mat.ufmg.br/museu/visite-nos

O Museu da Matematica UFMG reune em seu espaco um acervo diversificado de jogos

de tabuleiro, quebra-cabecas geometricos, jogos matematicos e desafios que incentivam o uso

de procedimentos logicos a partir de objetos concretos. Alem disso, o Museu conta com uma

exposicao sobre Matematica e Arte e oferece diversas oficinas como, por exemplo, construcao

da Cupula e da Ponte de Leonardo da Vinci, construcao de Caleidociclos, Nos Falsos e Dobra

Fractal entre outros. Descrevemos a seguir alguns itens do acervo do Museu.

5 Museu da Matematica UFMG

Figura 1.2: Museu da Matematica UFMG

1.2.1 A Matematica de Escher

Maurits Cornelis Escher foi um famoso artista grafico holandes, conhecido por representar

estruturas impossıveis e pela pavimentacao do plano com figuras concretas existentes na natu-

reza, como passaros, peixes, pessoas e repteis. As obras de Escher sao um exemplo de como

a Matematica caminha ao lado da Arte. Nesse contexto, o Museu conta com uma exposicao,

disponibilizada pela Sociedade Portuguesa de Matematica, na qual se destacam a criatividade, a

beleza e o dinamismo dos trabalhos de M. C. Escher. Alem disso, inspirado na obra do artista, o

Museu possui uma colecao de lagartos impressos em 3D com os quais e possıvel criar diversos

mosaicos.

(a) A Matematica de Escher. Acervo do Museu

da Matematica UFMG

(b) Lagartos de Escher. Acervo do Museu da

Matematica UFMG

1.2.2 Estruturas Autoportantes de Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci foi um dos maiores artistas renascentistas, junto com Rafael Sanzio e

Michelangelo Buonarrotti. Ele foi um autodidata e incansavel observador dos fenomenos na-

turais, desenhando tudo o que despertou sua curiosidade. Muitas das ideias de Leonardo estao

reunidas no Codex Atlanticus, colecao constituıda por doze volumes que abrangem diversos

assuntos como Astronomia, Quımica, Anatomia, Geografia, Mecanica, Matematica, estudos

sobre o voo, entre outros.

De todos os projetos de pontes de Leonardo, a ponte autoportante e certamente o mais

engenhoso pela simplicidade de sua estrutura e construcao. Ela e uma estrutura composta por

Museu da Matematica UFMG 6

vigas cilındricas, que sao montadas sem o uso de fixacoes ou juntas de intertravamento. Uma

vez montada, o peso da ponte deve ser suficiente para exercer a pressao necessaria para que

as vigas longitudinais bloqueiem as vigas transversais, evitando assim que a estrutura colapse.

Assim, quanto maior a pressao na parte superior da ponte, maior sera sua estabilidade.

O mesmo principio usado nas pontes pode ser usado em duas dimensoes para assim construir

as cupulas de Leonardo. Estas estruturas sao construıdas a partir de um unico tipo de peca e

sem nenhum amarre, apenas mediante o acoplamento tridimensional das pecas, que se apoiam

e sustentam entre si, seguindo determinados padroes geometricos. Na colecao de documentos

de Leonardo da Vinci, nas folhas 899v e 899r do Codex Atlanticus, sao apresentados alguns

desses padroes.

(a) Ponte de Leonardo: Folhas 899v e 899r

do Codex Atlanticus

(b) Padroes da Cupula de Leonardo. Folha 71v do

Codex Atlanticus

Figura 1.4: Fonte: www.leonardodigitale.com

A construcao da ponte e das cupulas de Leonardo tem um grande valor didatico, pois envol-

vem raciocınio logico, analise de padroes geometricos, nocao espacial, capacidades manuais,

trabalho em equipe, alem dos componentes historicos e artısticos inerentes a atividade.

(a) Ponte de Leonardo. Acervo do Museu da

Matematica UFMG

(b) Cupula de Leonardo. Acervo do Museu da

Matematica UFMG

Uma das oficinas ofertadas pelo Museu e a construcao de cupulas a partir de padroes criados

por Leonardo da Vinci. Esta atividade, nomeada de Leonardome, foi desenvolvida pelo Museu

de Matematica de Catalunha.

7 Museu da Matematica UFMG

1.2.3 Quebra-cabecas

O Museu conta com um acervo de quebra-cabecas bem diversificado, sendo alguns deles

de encaixe ou de dissecacao, e outros de emparelhamento. Pentaminos, Tantrix, Jogo dos

15, Xadrez Quebrado de Sam Loyd, Triangulos Amigos e Tri-Diamonds, sao exemplos destes

quebra-cabecas (ver figura 1.6).

(a) Pentaminos(b) Tantrix

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

(c) Jogo dos 15 (d) Xadrez de Sam Loyd

(e) Triangulos Amigos (f) Tri-Diamonds

Figura 1.6: Alguns quebra-cabecas do acervo do Museu da Matematica UFMG

Entre os quebra-cabecas de encaixe, temos tambem o Cubo Soma, projetado em 1936 pelo

matematico e escritor dinamarques Piet Hein. O desafio ficou popular em 1969, quando a

companhia Parker Bros classificou-o como “a versao tridimensional do Tangram”.

Museu da Matematica UFMG 8

Esse quebra-cabeca possui 7 pecas, que sao exatamente todas as figuras concavas formadas

por 3 ou 4 cubos unitarios colados por uma de suas faces. Dessas pecas, 6 sao formadas por

4 cubos e uma e formada por 3 cubos, como mostrado na figura 1.7. Assim, o desafio base do

quebra-cabeca e formar um cubo de lado tres unidades. Na figura 1.8, ilustramos uma das 240

maneiras de montar o cubo 3 × 3 × 3 com as 7 pecas.

Peca V Peca L Peca T Peca Z

Peca A Peca B Peca P

Figura 1.7: Pecas do Cubo Soma

O Cubo Soma e um quebra-cabeca bem interessante pela grande quantidade de figuras que

podem ser formadas a partir dessas 7 pecas. Martin Gardner afirmou que “o numero de figu-

ras bonitas que podem ser construıdas usando as 7 pecas do Cubo Soma parece ser ilimitado.

Quando escrevi meu artigo na revista Scientific American, imaginei que alguns leitores se da-

riam ao trabalho de criar seu proprio conjunto de formas de Cubo Soma. Mas eu estava

errado. Milhares de leitores me enviaram desenhos de novos modelos, e muitos alegaram que

nao tinham mais tempo livre, depois de serem pegos pelo Cubo Soma”.

Em [1, p.18] apresentamos uma atividade do Cubo Soma que pode ser aplicada em sala de

aula.

Figura 1.8: Uma das solucoes do Cubo Soma

Do Quadrado a Cruz de Sam Loyd e outro quebra-cabeca do acervo do Museu. Ele resultou

da disseccao de um quadrado em 5 pecas. Ele consiste em formar um quadrado utilizando

9 Museu da Matematica UFMG

as 5 pecas. Com ele pode-se formar uma cruz como mostrado na figura 1.9, alem de outras

figuras, como um retangulo, um T, um trapezio ou um losango. Assim, este quebra-cabeca e

um material muito rico como recurso didatico, pois, com ele, o professor pode explorar topicos

diversos como classificacao de algumas figuras geometricas, medidas de comprimento, pontos

medios de segmentos, angulos, comparacao de area, construcoes geometricas, entre outros. Em

[1, p.10] damos algumas sugestoes de como apresentar este quebra-cabeca em sala de aula.

Quadrado Cruz

Figura 1.9: Do Quadrado a Cruz de Sam Loyd

1.2.4 Jogos de Tabuleiro

Desde a Antiguidade, grande parte das culturas do mundo criaram e praticaram jogos de

tabuleiro. Muitos deles, tradicionais e modernos, contem nocoes de Logica e Matematica Re-

creativa, convertendo-se em uma excelente ferramenta de ensino para diversos conteudos ma-

tematicos. Estes jogos, alem de serem usados como atividades de lazer, tambem serviam como

treinamento de estrategias de guerra, exercıcio da mente, desenvolvimento de destrezas ou como

atividades de cunho religioso.

(a) Jogo Xadrez. Acervo do Museu da

Matematica UFMG

(b) Jogo Real de Ur. Acervo do Museu da

Matematica UFMG

O Jogo Real de Ur e o jogo de tabuleiro mais antigo do qual se conhecem as regras. Ele faz

parte do acervo do Museu da Matematica UFMG e sempre faz sucesso entre jovens e adultos.

Este jogo nasceu na Mesopotamia e foi descoberto na decada de 1920 pelo arqueologo Sir

Leonard Wooley em escavacoes realizadas na antiga cidade de Ur. O tabuleiro encontrado esta

exposto atualmente no Museu Britanico em Londres.

Museu da Matematica UFMG 10

Com base em estudos arqueologicos, foram feitas varias reconstituicoes das regras deste

jogo. Uma das mais proeminentes usa 14 pecas, sendo sete para cada jogador. As pecas se

movimentam pelo tabuleiro utilizando dados em forma de tetraedro que determinam o numero

de casas que as pecas devem percorrer a cada jogada. O primeiro jogador a terminar o percurso

com todas as suas pecas sera o vencedor.

Mais informacoes sobre este jogo e seu tabuleiro original podem ser encontradas no link

http:/www.youtube.com/watch?v=WZskjLq040I que mostra um vıdeo, com legendas

disponıveis em portugues, produzido pelo Museu Britanico.

As civilizacoes de Egito e Babilonia foram as primeiras a registrar a existencia de jogos de

tabuleiro, delas se conhecem ilustracoes de jogos como o Senet e o Mehen.

Na Africa ha numerosos jogos de tabuleiro tradicionais de diversas categorias; os mais po-

pulares pertencem a famılia dos Mancalas, chamados tambem de “jogos de semeadura”. O

termo Mancala e usado para um grupo de jogos que tem semelhancas entre si e que sao pratica-

dos geralmente sobre tabuleiros de madeira de duas ou mais fileiras de concavidades alinhadas

(casas). O numero de fileiras e casas depende do tipo de mancala e as pecas sao geralmente

sementes secas. Os jogos de mancalas mais conhecidos sao Oware, Kalah, Onweso e Bao.

(a) Jogo Shisima. Acervo do Museu da

Matematica UFMG

(b) Jogo Queah. Acervo do Projeto

Descobridores da Matematica

Figura 1.11: Jogos Africanos

Os jogos de tabuleiro que fazem parte do acervo do Museu da Matematica podem ser ex-

plorados tanto atraves das relacoes aritmeticas e geometricas do tabuleiro em si, quanto pelo

conceito de estrategia vencedora. Alem disso, e possıvel explora-los tambem por meio de es-

trategias similares aquelas utilizadas na resolucao de problemas matematicos. Com a construcao

e/ou analise do tabuleiro pode-se, por exemplo:

• Reconhecer figuras geometricas como triangulos, quadrados, retangulos, hexagonos, cır-

culos e identificar seus elementos.

• Estudar conceitos como ponto, reta, segmento de reta, plano, raio, diametro e angulos.

• Determinar ponto medio, mediatriz e bissetriz.

Atividades para sala de aula

“Nao ha homens mais inteligentes do que aqueles que sao capazes de inventar

jogos. E ai que o seu espırito se manifesta mais livremente. Seria desejavel que

existisse um curso inteiro de jogos tratados matematicamente”

– Gottfried Wilhelm Leibniz, numa carta a Pascal

A seguir, apresentamos um conjunto de quebra-cabecas e jogos que podem ser explora-

dos em sala de aula. Trata-se de atividades com materiais didaticos concretos com os quais

e possıvel trabalhar diversos conceitos matematicos. Cada uma dessas atividades possui suas

caracterısticas e trabalha com habilidades especıficas. Isso permite ao professor selecionar,

adaptar e explorar os recursos que atendem melhor as demandas envolvidas no processo de

ensino-aprendizagem.

O uso de quebra-cabecas geometricos e jogos em sala de aula e justificado nao somente pela

curiosidade natural que eles despertam, como tambem pelo fato de proporcionarem o desenvol-

vimento de habilidades geometricas (plano-espaciais) tais como visualizacao e reconhecimento

de figuras, percepcao de posicao, comparacao de distancia, areas e volumes, organizacao de es-

trategias, capacidade de analise, enriquecimento do vocabulario geometrico, raciocınio logico,

entre outras habilidades.

Nesse contexto, o uso dos quebra-cabecas no ambiente escolar deve ser explorado alem da

simples “montagem de pecas” ou da participacao num jogo; esse recurso pode proporcionar

o aprimoramento das tecnicas de resolucao de problemas, induzir a busca de estrategias e a

introduzir, naturalmente, conceitos matematicos envolvidos na atividade.

2.1 Teorema de Pitagoras

Henry Perigal apresentou uma prova do Teorema de Pitagoras a partir da ideia de dissecar

um quadrado em cinco pecas e remontar, com as pecas obtidas, dois quadrados menores. Esta

dissecacao foi gerada pela sobreposicao de dois ladrilhamentos: um obtido a partir do quadrado

maior e o outro, a partir dos dois quadrados menores como e mostrado na figura 2.12.

Em [11], Martin Gardner mostrou uma prova dada por Henry Perigal na qual se constroem

quadrados sobre os catetos de um triangulo retangulo e se divide o quadrado maior (ou um deles

se forem iguais) em quatro partes iguais conforme a figura 2.13. Esta divisao e realizada medi-

ante dois segmentos de retas perpendiculares que se cortam no centro do quadrado, sendo um

deles paralelo a hipotenusa do triangulo. Depois, estas quatro partes sao recortadas e desloca-

das, junto com o quadrado menor, sem rotacionar, para formar um quadrado sobre a hipotenusa

do triangulo retangulo.

Na disseccao descrita acima, os dois segmentos de retas perpendiculares nao precisam ne-

cessariamente se cortar no centro do quadrado, basta apenas que estes dois segmentos sejam

perpendiculares, que um deles seja paralelo a hipotenusa do triangulo retangulo, e que dividam

o quadrado em 4 quadrilateros.

11

Teorema de Pitagoras 12

Figura 2.12: Ladrilhamento

A Disseccao de Perigal e um otimo recurso pedagogico para promover, em um primeiro

momento, a aprendizagem intuitiva do Teorema de Pitagoras. Em [1, p. 11] pode-se encontrar

o molde e as instrucoes para trabalhar, em sala de aula, uma “prova sem palavras” deste teorema

usando a Disseccao de Perigal.

a

b

c

a

b

c

Figura 2.13: Disseccao de Perigal

Leonardo da Vinci tambem deu uma demonstracao do Teorema de Pitagoras, baseada na

figura 2.14.

B

C

A

F

E

J

H

I

K

D

G

Figura 2.14

13 Teorema de Pitagoras

Ele partiu do princıpio de comparacao de areas e mostrou que os quadrilateros BCDG e

HCAK da figura 2.15 sao congruentes e com isso determinou que os hexagonos BCDEFGe ABJKHC tem a mesma area. Consequentemente, a area do quadrado BCHJ e a soma das

areas dos quadrados ABGF e ACDE.

BC

AF

E

JH

I

K

D

G

BC

F

E

JH

I

K

D

G

A

Figura 2.15

De fato, consideremos o triangulo ABC, e sobre seus lados, os quadrados ACDE, ABGFe BCHJ . Seja K um ponto tal que o triangulo KHJ seja congruente ao triangulo ABC.Observemos algumas propriedades da figura 2.15:

1. O hexagono BCDEFG e formado pelos quadrados ACDE e ABGF e pelos triangulos

congruentes ABC e AFE.

2. O hexagono ABJKHC e formado pelo quadrado BCHJ e por dois triangulos congru-

entes ABC e KHJ .

3. O hexagono BCDEFG e simetrico com respeito ao segmento DG, pois divide cada

quadrado pela metade.

4. O segmento AK divide a figura ABJKJC em duas partes iguais, pois esta figura e

simetrica com respeito ao ponto I, que e o centro do quadrado BCHJ .

5. Fazendo uma rotacao do quadrilatero BCDG, com centro em C e angulo 90◦ em sentido

horario, temos que:

(a) O ponto D “cai” sobre o ponto A, pois CD = CA e ∡ACD = 90◦.

(b) O ponto B “cai” sobre o ponto H , pois BC = CH e ∡BCH = 90◦.

(c) O ponto G “cai” sobre o ponto K, pois BG = KH e

∡GBC = 90◦ + ∡ABC = 90◦ + ∡KHJ = ∡KHC.

6. Do item 5, concluımos que os quadrilateros BCDG e HCAK sao congruentes.

7. Dos itens 3, 4 e 6, segue que os hexagonos BCDEFG e ABJKHC tem a mesma area.

2.2. GEOMETRIA FRACTAL: EXPLORANDO O TRIANGULO DE SIERPINSKI 14

8. Pelos itens 1, 2 e 7, temos que a area do quadrado BCHJ e a soma das areas dos quadra-

dos ABGF e ACDE.

Existem diversos quebra-cabecas que promovem a aprendizagem intuitiva do Teorema de Pita-

goras. Na secao de anexos apresentamos um deles. Para usar esse quebra-cabeca em sala de

aula e preciso:

• Reproduzir o molde conforme o anexo da pagina i.

• Pedir aos alunos que recortem os quadrados das cores verde e vermelho.

• Em seguida, os alunos devem recortar os retangulos amarelos dividindo eles pela metade

para obter quatro triangulos retangulos iguais.

• Feito isso, os alunos devem formar um quadrado com os dois quadrados e os quatro

triangulos recortados sobrepondo-os ao quadrado que esta na moldura marrom.

Neste processo, os alunos poderao concluir que a soma das areas dos quadrados de lados

a e b, respectivamente, e igual a area do quadrado de lado c, isto e, a soma dos quadrados dos

catetos do triangulo retangulo e igual ao quadrado da hipotenusa. Apos isso, o professor pode

formalizar o Teorema de Pitagoras.

2.2 Geometria Fractal: Explorando o Triangulo de Sierpin-

ski

Elementos da Geometria Fractal podem ser explorados para introduzir ou trabalhar concei-

tos matematicos como: contagem, perımetros, areas, volumes, relacoes entre figuras geometri-

cas, sequencias, figuras tridimensionais, funcoes, limites, progressoes aritmeticas e geometricas,

entre outros.

O termo fractal foi introduzido por Benoıt Mandelbrot originado do adjetivo fractus, que

vem do verbo frangere, em latim, que significa quebrar, produzir pedacos. Os fractais tem

forma extremadamente fragmentada, e se caracterizam por ter uma mesma estrutura em todas

as escalas, isto e, ele e composto por partes reduzidas com forma semelhante a ele proprio.

Os fractais podem ser classificados em tres categorias, determinadas pela forma como eles

sao formados ou gerados:

• Fractais geometricos, gerados por transformacoes geometricas simples do objeto nele

mesmo. Como exemplos deste tipo de fractais, temos o Floco de Neve de Koch, a Esponja

de Menger, o Triangulo de Sierpinski e a Arvore Pitagorica da figura 2.16a.

• Fractais de fuga, definidos por uma relacao de recorrencia em cada ponto do plano. Como

exemplos deste tipo de fractais, temos o Conjunto de Mandelbrot e o Conjunto de Julia

de uma funcao de variavel complexa da figura 2.16b.

• Fractais aleatorios, tambem conhecidos como fractais naturais, caracterizados pelo fato

de que o todo e semelhante a uma ampliacao de uma de suas partes. Um exemplo deste

tipo de fractais e a Samambaia de Barnsley, mostrada na figura 2.16c.

O Triangulo de Sierpinski e, possivelmente, um dos fractais mais conhecidos. Ele foi ide-

alizado em 1916 pelo matematico polones Vacłav Sierpinski e foi obtido retirando partes do

interior de um triangulo mediante os seguintes passos:

15 Geometria Fractal: explorando o Triangulo de Sierpinski

(a) Fractal Geometrico (b) Fractal de Fuga (c) Fractal Aleatorio

Figura 2.16: Exemplos de Tipos de Fractais

1. Tome como ponto de partida o primeiro triangulo equilatero verde da figura 2.17.

2. Para a primeira iteracao do processo, conecte, usando um segmento, os pontos medios de

cada lado do triangulo, obtendo assim 4 triangulos menores. Pinte o interior do triangulo

central de branco.

3. Para a segunda iteracao, repita o passo anterior em cada um dos triangulos verdes menores

obtidos em 2.

O triangulo de Sierpinski e o conjunto formado pelos pontos verdes apos repetir o processo

anterior indefinidamente. Na figura 2.17, apresentamos as quatro primeiras iteracoes deste pro-

cesso de construcao.

Figura 2.17

Esta atividade pode ser desenvolvida em sala de aula, inciando-a com a construcao das

primeiras iteracoes do Triangulo de Sierpinski. Notemos que a estas iteracoes podem ser as-

sociadas varias sequencias: a sequencia do numero de triangulos, a sequencia da area de cada

triangulo retirado, a sequencia da area restante dos triangulos e a sequencia do perımetro total

dos triangulos. Apos a construcao das primeira iteracoes, o professor pode pedir aos alunos

para responder as seguintes perguntas:

• Quantos triangulos verdes ha em cada uma das figuras obtidas no processo de construcao

do Triangulo de Sierpinski? Como continua a sequencia?

• Supondo agora que a area do triangulo inicial e A, qual e a area de cada um dos triangulos

verdes em cada iteracao realizada?

• Qual e a area da regiao verde em cada iteracao?

• Como continua a sequencia do item anterior?

A seguir, apresentamos a atividade Dobra Fractal para aplicar a ideia da construcao do

Triangulo de Sierpinski. Reproduza o molde conforme o anexo da pagina ii. Nele as linhas

Geometria Fractal: explorando o Triangulo de Sierpinski 16

Figura 2.18

azuis serao linhas de dobras e as linhas vermelhas, linhas de corte.

A partir da figura 2.18, na qual destacamos uma linha azul e uma vermelha, os alunos

deverao:

1. Dobrar a folha na linha vertical azul de maior tamanho e fazer um corte na linha vermelha

horizontal de maior tamanho, obtendo a figura 2.19, que mostra a frente e o verso da folha

apos a dobra.

Frente Verso

Figura 2.19

2. Dobrar pelos dois segmentos verticais azuis da figura 2.19, de tal forma que o retangulo

sombreado fique “escondido”, obtendo assim a figura 2.20, na qual novamente sao mos-

trados a frente e o verso da folha apos a dobra. Nesta etapa sao obtidos 3 triangulos

semelhantes aos triangulos que aparecem na figura 2.19, mas com tamanho reduzido a

metade.

Frente Verso

Figura 2.20

17 Geometria Fractal: explorando o Triangulo de Sierpinski

3. Repetir o processo em cada um dos 3 triangulos obtidos no passo anterior, isto e, fazer

3 cortes pelos segmentos vermelhos e dobrar pelos 6 segmentos azuis, obtendo a figura

2.21. Nesta etapa, sao obtidos 9 triangulos.

Frente Verso

Figura 2.21

4. O processo continua de forma similar e em cada etapa o numero de triangulos triplica.

O professor pode pedir ao alunos para que, em cada passo, registrem a quantidade de

triangulos que foram obtidos de acordo com os cortes realizados no papel.

(a) Oficina para professores realizada no Museu da

Matematica UFMG

(b) Dobra Fractal

Figura 2.22: Oficina do Museu da Matematica UFMG

Na figura 2.22b se mostra uma foto do resultado das dobras apos a quinta iteracao. Na

ultima iteracao foi necessario fazer 81 cortes. Para realizar a iteracao seguinte serao necessarios

243 cortes a mais.

2.3. PENTAMINOS 18

2.3 Pentaminos

Segundo o matematico americano Solomon Golomb, chamam-se pentaminos as configu-

racoes que recobrem cinco quadrados adjacentes de um tabuleiro de xadrez. Os pentaminos

pertencem a famılia de Poliminos, termo tambem introduzido por Golomb, quem os definiu

como sendo figuras formadas por n quadrados do mesmo tamanho em ligacao simples, isto e,

um conjunto de n quadrados unidos por suas arestas.

Para valores de n iguais a 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 temos respectivamente os dominos, triminos,

tetraminos, pentaminos, hexaminos, heptaminos e octaminos. A tabela 2.1 mostra o numero

de n-poliminos diferentes, nao equivalentes por rotacao ou reflexao, que podem ser construıdos

com n quadrados iguais.

n 2 3 4 5 6 7 8

n-poliminos 1 2 5 12 35 108 369

Tabela 2.1: n-poliminos

Em 1907, Henry Dudeney apresentou o primeiro quebra-cabeca com pentaminos. Em [3, p.

119] ele propus o desafio de remontar um tabuleiro de xadrez que foi quebrado em 13 partes:

12 pentaminos e um tetramino.

A ideia de poliminos existe na Matematica Recreativa desde o inıcio do seculo 20, mas eles

so ficaram conhecidos popularmente em 1957, quando Martin Gardner escreveu sobre eles na

revista Scientific American. Mais de 50 anos depois os poliminos ainda representam uma fonte

de recreacao.

A atividade Pentaminos e um recurso didatico interessante, podendo ser adaptada a diversos

nıveis escolares. Sua utilizacao pode favorecer a compreensao de conceitos geometricos, traba-

lhar conteudos como formas poligonais, perımetro, area, semelhanca, pavimentacao do plano e

simetrias entre outros. Alem disso, com esta atividade e possıvel trabalhar competencias basicas

de resolucao de problemas e promover o trabalho em equipe.

A seguir damos algumas sugestoes de atividades em sala de aula. Inicialmente o professor

pode pedir aos alunos para:

• Construir todas as possıveis figuras planas que podem ser formadas com 5 quadrados

iguais unidos por pelo menos uma aresta. Neste momento e importante frisar que duas

figuras sao diferentes se uma nao pode ser obtida a partir da outra mediante rotacoes ou

reflexoes.

• Reproduzir as pecas em um papel de maior gramatura ou em cartao. Esse momento pode

ser aproveitado para explorar conceitos como semelhancas, simetrias, perımetros e areas.

Depois de construıdas as pecas, e para facilitar a sua utilizacao, elas poderao ser nomeadas

mediante uma letra de acordo a sua maior semelhanca, conforme se mostra na figura 2.23.

Apos a confeccao do quebra-cabeca, consideramos enriquecedor pedir aos alunos:

• Observar e comparar as pecas obtidas.

• Procurar simetrias nelas.

• Encontrar o perımetro e a area de cada uma delas.

19 Pentaminos

F I L N P T

U V W X Y Z

Figura 2.23: Pentaminos

O professor pode criar uma configuracao e pedir para os alunos preencherem ela com um

numero determinado de pecas de pentaminos. Em particular, pode-se pedir aos alunos para

resolver os seguintes desafios, que foram selecionado dos livros de Solomon Golomb [18] e

George Martin [15]:

1. Escolher quatro casas de um tabuleiro de xadrez 8 × 8, e preencher esse tabuleiro com

os doze pentaminos, deixando sem cobrir as casas selecionadas. No anexo da pagina vi,

disponibilizamos os moldes das pecas dos pentaminos e na pagina v, um tabuleiro que

devera ser preenchido com os 12 pentaminos deixando sem cobrir as casas que possuem

o logo do Museu da Matematica UFMG.

2. Escolher um pentamino qualquer e formar uma figura maior, como o mesmo formato,

utilizando nove dos onze pentaminos restantes. Observemos que, para o pentamino esco-

lhido, se esta construindo um modelo tres vezes maior. Este desafio pode ser aproveitado

para explorar o conceito de semelhanca e fazer comparacao de areas de figuras semelhan-

tes.

3. Com os doze pentaminos construir:

• Um retangulo de tamanho 3 × 20.

• Um retangulo de tamanho 5 × 12.

• Dois retangulos de tamanho 5 × 6.

• Tres figuras iguais a figura 2.24.

Figura 2.24

2.4. EXPLORANDO O JOGO DOMINO 20

2.4 Explorando o Jogo Domino

Os primeiros indıcios do jogo Domino datam do seculo 18, quando comecou a ser jogado

na Franca e na Italia e de onde se estendeu para o resto do continente europeu e America, mas

acredita-se que este jogo tenha sido inventado na China varios seculos antes de comecar a ser

jogado na Europa.

O jogo de domino consta usualmente de 28 retangulos formados por dois quadrados adja-

centes, que contem pontos representando todos os pares possıveis de dıgitos de 0 a 6.A atividade Domino e um recurso pedagogico que sai da rotina focada apenas no conteudo

e que possibilita a analise e o uso de estrategias, alem de explorar conteudos envolvendo pro-

blemas de logica, calculo combinatorio, operacoes com fracoes, sequencias entre outros.

A seguir, apresentamos alguns desafios que podem ser trabalhados em sala de aula.

2.4.1 Tabuleiro de Domino

O tabuleiro deste jogo esta formado por 7 × 8 casas quadradas e cada uma delas contem

um numero entre 0 e 6. O desafio consiste em colocar as 28 pecas do domino, cada uma delas

ocupando duas casas do tabuleiro, de tal forma que os numeros das casas ocupadas coincidam

com o numero de pontos nos quadrados de cada domino. As pecas do domino nao podem ser

sobrepostas e, portanto, todas as casas do tabuleiro devem ser preenchidas. Esta atividade foi

apresentada por Martin Gardner em [10].

Para desenvolver esta atividade em sala de aula e preciso:

• Reproduzir o tabuleiro do domino numa folha de papel A4 disponıvel no anexo da pagina

vii, se possıvel, uma copia por aluno ou dupla de alunos.

• Reproduzir as pecas do jogo do domino em cartao, disponıveis no anexo da pagina viii,

se preferir podem ser usadas as pecas ja prontas.

• Com o tabuleiro e as pecas confeccionadas, aos alunos deverao posicionar as 28 pecas no

tabuleiro de tal forma que os numeros das casas ocupadas coincidam com o numero de

pontos nos quadrados de cada domino.

E recomendavel nesse primeiro instante, motivar aos alunos a buscar alguma estrategia para

a execucao da tarefa. Depois disso, o professor pode propiciar uma discussao das possıveis

estrategias encontradas pelos alunos, tais como:

a) Busca ordenada de pecas que podem ser encaixadas em um unico lugar no tabuleiro. Por

exemplo, as pecas e tem uma unica forma de ser encaixadas no tabuleiro.

b) Preenchimento obrigatorio de espacos. Por exemplo, apos ser colocadas as pecas e

, o canto inferior esquerdo do tabuleiro deve, obrigatoriamente, ser preenchido com a

peca .

c) Eliminacao por contradicao. Por exemplo, apos posicionadas as pecas dos itens anteriores,

e impossıvel colocar a peca no canto inferior direito do tabuleiro, uma vez que, se

essa peca for colocada nessa posicao, acima dela devera ser colocada a peca , o que e

impossıvel, pois ela ja esta posicionada no tabuleiro. Isso implica que a peca tem que

ser colocada no canto inferior direito do tabuleiro.

21 Explorando o Jogo Domino

2.4.2 Fracoes com o Domino

Em [13, p. 28] e apresentado um desafio realizado com pecas de domino e que pode ser

explorado em sala aula como motivacao para o estudo de fracoes, de fracoes improprias e de

soma de fracoes. Para trabalhar este desafio, o professor pode:

• Pedir aos alunos retirar, de um jogo completo de domino, todas as pecas que tem quadra-

dos sem pontos e todas as pecas duplas, isto e, aquelas formadas por quadrados contendo

o mesmo numero de pontos.

• Mostrar para os alunos que as 15 pecas restantes, vistas como fracoes, podem ser coloca-

das em 3 fileiras, de tal forma que a soma das fracoes representadas por cada peca seja 5

2,

como mostrado na figura 2.25.

+ + + + = 5

2

+ + + + = 5

2

+ + + + = 5

2

Figura 2.25: Soma de fracoes

• Pedir os alunos que organizem as 15 pecas em 3 fileiras de 5 pecas de tal forma que a soma

das fracoes que representam as pecas seja 10 , podendo ser usadas fracoes improprias, tais

como 4

2, 3

1, 6

4.

2.4.3 Quantos Pontos

O jogo tradicional de domino consiste em colocar em uma fileira as 28 pecas do jogo de tal

forma que as extremidades de pecas adjacentes coincidam. Henry Dudeney apresentou em [4]

um problema de combinatoria que consiste em determinar de quantas formas e possıvel colocar

em fila todas as pecas de um jogo de domino seguindo essa regra.

Este problema pode ser representado atraves de um grafo. Os vertices do grafo sao numera-

dos de 0 a 6, representando o numero de pontos que aparecem em cada extremidade do domino,

enquanto as arestas representam cada uma das pecas do domino, como mostrado na figura 2.26.

Desta forma, e obtido um grafo completo com 7 vertices e, adicionalmente, em cada vertice

temos um laco, que representa as pecas com numeros repetidos. Assim, o problema de Dudeney

equivale a encontrar todos os caminhos que passem por cada uma das arestas uma unica vez.

Existem 7.959.229.931.520 desses caminhos. Na literatura, este tipo de caminho e conhecido

como caminho euleriano.

Tomando como base este problema, a seguir damos uma sugestao de atividade que pode ser

desenvolvida com os alunos em sala de aula:

• Inicialmente o professor pode dividir a turma em grupos de 2 ou 3 alunos.

• Cada grupo devera ter um conjunto completo de domino.

2.5. EXPLORANDO JOGOS DE CONEXAO 22

0

12

3

4

56

Figura 2.26: Grafo associado as pecas de domino

• Devera ser retirada aleatoriamente uma peca de cada jogo de domino.

• Com as 27 pecas restantes, cada grupo devera formar uma fileira de tal forma que extre-

midades adjacentes de duas pecas vizinhas coincidam.

• O professor devera pedir aos alunos para anotar os numeros correspondentes a quantidade

de pontos que tem as extremidades da fileira e compara-los com os numeros de pontos

das extremidades da peca que foi retirada inicialmente.

O professor pode tambem aproveitar esse momento para orientar aos alunos a construir o

grafo associado as 27 pecas de domino. Vale observar que ao colocar as pecas em uma fileira

estamos construindo um caminho usando todas as arestas do grafo. Alem disso, duas pecas de

domino vizinhas na fileira sao representadas no grafo por duas arestas que incidem sobre um

mesmo vertice. Desta forma, com excecao dos vertices inicial e final (quando eles sao distintos),

sobre cada vertice incide um numero par de arestas.

Numa segunda atividade, podem ser retiradas, do jogo completo de domino, todas as pecas

que contem o numero 6. Neste momento o professor pode perguntar a eles quantas pecas

sobraram. A seguir, os alunos deverao construir a fileira mais comprida possıvel com as pecas

restantes e responder as seguintes perguntas:

1. Qual e o comprimento desta fileira?

2. Porque nao e possıvel adicionar mais pecas?

2.5 Explorando Jogos de Conexao

Os jogos de conexao foram introduzidos ao publico geral por Martin Gardner, em 1957, na

sua coluna da revista Scientific American. Este tipo de jogo de tabuleiro tem como objetivo

construir ou completar algum tipo de conexao com pecas, isto e, formar um caminho entre

duas ou mais bordas ou construir um loop fechado. Em geral os jogos de conexao podem ser

analisados a partir de seu grafo dual. Detalhes sobre esta relacao podem ser encontrado em [2].

Os jogos do Hex e do Y pertencem a categoria de jogos de conexao.

23 Explorando Jogos de Conexao

2.5.1 Hex

O Hex e um jogo de estrategia inventado de forma independente por dois matematicos,

em 1942 por Piet Hein do Instituto Niels Bohr e em 1947 por John Nash da Universidade

de Princeton. Neste jogo, e usado tradicionalmente um tabuleiro em formato de losango de

11 casas hexagonais na vertical e na horizontal (11 × 11), mas existem muitas variantes com

tamanhos e formas diferentes para o tabuleiro.

Ele e disputado por dois jogadores que dispoem de pecas de cores diferentes, convencio-

nalmente vermelhas e azuis ou brancas e pretas. Os participantes colocam alternadamente uma

peca de sua cor num hexagono livre com o objetivo de formar uma cadeia ininterrupta com suas

pecas, unindo os seus lados do tabuleiro (duas margens paralelas). O jogo termina quando um

dos jogadores alcanca tal objetivo. A cadeia que se forma pode dobrar e torcer livremente como

e mostrado na figura 2.27. Embora as regras do Hex sejam simples, ele apresenta uma natureza

complexa. E e nessa complexidade que reside o interesse dos matematicos.

Figura 2.27: Exemplo de cadeia vitoriosa para o jogador que ficou com as pecas azuis.

O Hex nunca pode terminar em empate, em [16] e [7] sao apresentadas diversas demons-

tracoes deste fato. Outra particularidade deste jogo, que foi mostrada por John Nash, e que o

jogador que inicia o jogo sempre sera o vencedor, desde que ele conheca a estrategia apropriada.

Entretanto, essa estrategia so e conhecida para tabuleiros de tamanho inferior a 8 × 8. Neste

jogo para reduzir a vantagem que tem o primeiro jogador, e implementada uma regra adicional,

a regra de equilıbrio: o jogador que faz a segunda jogada tem a possibilidade de, em vez de

colocar uma de suas pecas no tabuleiro, trocar de cor com seu adversario. Nesse sentido, quem

fizer a primeira jogada deve levar em consideracao que sua peca podera ser substituıda por uma

de seu adversario e, assim, devera analisar qual sera a posicao na qual devera colocar a primeira

peca.

Em [9, p. 87], Martin Gardner afirma que umas das melhores tecnicas para aprender as

sutilezas desse jogo, e comecar usando um tabuleiro com poucas casas. Assim, se o tabuleiro

tiver, por exemplo, 2 casas em cada margem (2 × 2), o primeiro a jogar sempre sera o vencedor.

Ja em um tabuleiro 3 × 3, o primeiro a jogar sera o vencedor, desde que o jogo seja iniciado na

casa central, uma vez que havera duas jogadas vitoriosas na terceira rodada e o adversario so

podera bloquear uma. Para um tabuleiro com 4 × 4 casas, o jogador que colocar sua primeira

peca em algumas das casas numeradas na figura 2.28, sera o vencedor. Ja em um tabuleiro com

5 × 5 casas ou mais, a analise das combinacoes das jogadas e mais complexa.

Explorando Jogos de Conexao 24

(a) Tabuleiro Hex 3 × 3

1

2

3

4

(b) Tabuleiro Hex 4 × 4

Figura 2.28

2.5.2 Y

O Jogo do Y foi inventado em 1953 por Charles Titus e Craige Schensted. O tabuleiro tem

formato triangular com 11 casas hexagonais de lado. Ele e disputado por dois jogadores que

dispoem de pecas de cores diferentes, em nosso exemplo amarelas e pretas. Alternadamente,

Figura 2.29

os jogadores colocam uma peca de sua cor num hexagono livre. O objetivo de cada jogador e

formar uma cadeia de pecas que conete as tres arestas do tabuleiro. Na figura 2.29 as arestas

do tabuleiro sao coloridas de azul, verde e vermelho e sao mostrados dois possıveis caminhos

vencedores para as pecas pretas. Os hexagonos nos vertices do triangulo sao comuns aos lados

adjacentes. O jogo termina quando um dos jogadores forma uma cadeia contınua unindo as tres

arestas do tabuleiro.

No exemplo da figura 2.30, cada um dos jogadores fez 7 jogadas e se encontram numa

situacao em que o jogador que tem a vez de jogar, independentemente da cor de suas pecas

tera estrategia vencedora, desde que coloque sua peca na casa marcada com ∗. Nesse caso o

adversario nao tera como bloquear ao jogador que colocou uma de suas pecas na posicao do ∗.

Da mesma forma que acontece com o jogo do Hex, o jogo do Y nunca termina empatado.

Uma prova desse fato foi dada por Robert Hochberg usando o Lema de Sperner (ver [12]).

Estes dois jogos sao uma excelente ferramenta de ensino que pode ser explorada em sala

de aula. Ela desenvolve o raciocınio logico, estimula o pensamento estrategico e desenvolve a

capacidade de antecipacao baseada na relacao causa-efeito. Para desenvolver esta atividade em

sala de aula, basta reproduzir os tabuleiros dos anexos das paginas iii e iv, ou desenha-los num

25 2.6. O SALTO DOS SAPOS

∗

Figura 2.30

pedaco de cartolina ou papelao, e confeccionar, em cartolina ou outro material, as pecas de duas

cores diferentes e na mesma quantidade, suficientes para preencher o tabuleiro. No processo de

construcao dos tabuleiros pode-se, por exemplo, reconhecer losangos, triangulos, hexagonos e

identificar seus elementos.

2.6 O Salto dos Sapos

O Salto dos Sapos e um jogo solitario da famılia de jogos de intercambio de posicoes. Neste

jogo, sapos de duas cores diferentes (podendo ser representados por quaisquer dois tipo de

pecas), estao posicionados sobre um tabuleiro e devem intercambiar entre sim as suas posicoes

seguindo determinadas regras. A continuacao sao apresentadas duas versoes deste jogo.

2.6.1 Versao Classica do Salto dos Sapos

Na versao mais popular do jogo, as regras sao as seguintes:

1. Inicialmente os sapos escuros estao a direita, os claros a esquerda e a casa “central” do ta-

buleiro se encontra vazia. O numero de sapos de cada cor nao precisa ser necessariamente

o mesmo.

2. Um sapo pode avancar para uma casa vazia adjacente.

3. Um sapo pode pular sobre outro sapo de cor diferente desde que a casa seguinte esteja

vazia.

4. Os sapos de cor escura so podem avancar da direita para a esquerda e os claros na direcao

oposta. Dessa forma os sapos nao podem recuar.

Nao se sabe a origem desta versao do jogo, mas no seculo 19, Edouard Lucas mostrou em

[14, p. 141] solucoes detalhadas para casos de 2, 3 e 4 sapos de cada cor, e apresentou uma

O Salto dos Sapos 26

formula que permite encontrar o numero mınimo de movimentos que e preciso realizar para

intercambiar as posicoes dos sapos quando se tem a mesma quantidade de cada cor.

Na figura 2.31 sao mostradas as 8 jogadas necessarias para mudar a posicao de 2 sapos

claros e 2 sapos escuros.

Figura 2.31: Desafio dos Sapos

Este jogo pode ser trabalhado em sala de aula, e para sua aplicacao sugerimos ao professor:

• Explicar as regras.

• Definir o numero de pecas que serao usadas.

• Proporcionar um tempo para que os alunos se familiarizem com o jogo, permitindo que

eles realizem varias tentativas para cumprir o desafio.

Uma vez que os alunos tenham se familiarizado com o jogo, o professor pode propiciar uma

discussao com toda a turma abordando aspectos como:

• Posicoes que devem ser evitadas, isto e, posicoes que deixem o jogo bloqueado.

• Porque as posicoes e sao posicoes de bloqueio?

• Estrategias recursivas encontradas.

• Numero mınimo de jogadas para cumprir o desafio.

27 O Salto dos Sapos

Em seguida, pode-se realizar o mesmo desafio mudando o numero de pecas. Neste momento

e importante que os alunos registrem os resultados para que posteriormente, junto com toda a

turma, comparem os resultados e preencham a tabela 2.2.

Sapos Claros 2 2 3

Sapos Escuros 2 3 3

Total de Jogadas 8 11 15

Tabela 2.2: Numero mınimo de jogadas em funcao do numero de pecas

Para generalizar os resultados obtidos na tabela 2.2, suponhamos que temos m sapos escuros

e n claros. Queremos saber quantas jogadas, no mınimo, sao necessarias para trocar os sapos

de posicao. Para realizar tal contagem, observemos que cada sapo tem que avancar ate o outro

lado e saltar por cima de todos os sapos da cor oposta. Assim, cada sapo escuro tem que ir n+1casas para esquerda e cada sapo claro tem que ir m + 1 casas para direita. Logo o numero total

de casas que deverao ser percorridas e

n(m + 1) + m(n + 1) = 2mn + m + n.

Agora, o numero de saltos tambem esta totalmente determinado, pois acontece um salto por

cada par de sapos de cor diferente. Logo o numero de saltos e mn, e em cada salto o sapo

respectivo avanca duas casas. Desta forma o numero de casas percorridas no total, atraves dos

saltos, e 2mn. Dessa forma, o numero de avancos e o total de casas a serem percorridas menos

as casas percorridas por saltos:

(2mn + m + n) − 2mn = m + n.

Assim concluımos que o numero mınimo de jogadas nesta versao do Salto dos Sapos e mnsaltos mais m + n avancos, ou seja, mn + m + n jogadas. Por exemplo, no caso da figura 2.31,

na qual temos 2 sapos escuros e 2 sapos claros, o numero mınimo de jogadas para cumprir o

desafio e 2×2+2+2 = 8. Agora, se temos 3 sapos escuros e 4 sapos claros, o numero mınimo

de jogadas e 3 × 4 + 3 + 4 = 19.

2.6.2 Segunda Versao do Salto do Sapos

Nesta versao as regras sao as seguintes:

1. Inicialmente os sapos escuros estao a direita, os claros a esquerda e a casa central do

tabuleiro esta vazia.

2. Um sapo pode saltar por cima de um ou dois sapos, independentemente da cor, sempre

que a casa em que ele for cair esteja vazia.

3. Os sapos nao podem avancar, somente saltar.

4. Os sapos podem saltar para frente e para tras.

Anthony S. Filipiak apresentou em [5] uma solucao deste problema quando o numero de

sapos de cada cor e 3. Nesse caso, o numero mınimo de jogadas para alcancar o objetivo e 11.

Uma solucao interessante, para quando se tem um numero par de sapos de cada cor, foi

apresentada por Rafael Salles Moreira, aluno de Ensino Medio e frequentador do Museu da

Matematica UFMG. Ele encontrou para este caso uma equivalencia entre a solucao da versao

2.7. QUEBRA-CABECA DOS QUATRO CUBOS COLORIDOS 28

classica e uma solucao para a segunda versao. Na solucao, ele considerou os sapos como “ca-

sais”: um casal pode avancar uma posicao em uma unica jogada, como mostrado na figura

2.32a, enquanto que, para um casal saltar outro casal serao necessarias 3 jogadas, como mos-

trado na figura 2.32b. Desta forma, uma solucao para a versao dos casais, na qual se avanca

uma casa ou se realiza um salto sobre um casal de sapos, leva a uma solucao da segunda versao.

(a) Avanco (b) Salto

Figura 2.32: Jogadas com casais de sapos

Com este processo, se temos 2n sapos claros e 2m sapos escuros, teremos n casais claros

e m casais escuros que podem trocar de posicao com mn saltos de casal de sapos e m + navancos de casal de sapos. Assim, com esta estrategia sera possıvel trocar os sapos de posicao

com 3mn + m + n jogadas. Nao sabemos ainda se este valor e o mınimo necessario para poder

realizar a troca de posicoes. Tambem nao conhecemos uma estrategia geral para o caso em que

o numero de sapos de alguma das cores seja ımpar.

2.7 Quebra-cabeca dos Quatro Cubos Coloridos

Este quebra-cabeca e conhecido com os nomes de Instant Insanity, Tantaliser, Crazy Cubes,

entre outros. Foi criado em 1900, por Frederick A. Schossow, e se tornou popular em 1967

quando foi recriado por Frank Armbruster e produzido pela Parker Brothers.

Este quebra-cabeca consiste em 4 cubos do mesmo tamanho e cujas faces sao coloridas

usando 4 cores, geralmente vermelho, azul, verde e amarelo, e todos os cubos diferentes entre

si. Na figura 2.33, apresentamos planificacoes dos 4 cubos do Instant Insanity. O desafio

consiste em empilhar os 4 cubos para formar uma torre, de tal forma que cada um dos lados da

torre possua as 4 cores.

Como cada um dos cubos e diferente, podemos numerar eles de 1 a 4 e empilhar-los nessa

ordem. Alem disso, como eles nao possuem nenhum tipo de simetria, o numero total de formas

de colocar um unico cubo na torre e

6 faces × 4 giros = 24 posicoes.

Para contar o numero de configuracoes distintas de empilhar os quatro cubos, inicialmente

fixamos o primeiro cubo, o que pode ser feito de 3 formas dependendo de quais pares de faces

estejam na vertical. Fixado o primeiro cubo, existem 24 formas de colocar cada um dos outros

3 cubos; assim o numero total de formas nao equivalentes de colocar os cubos na torre e

3 × 24 × 24 × 24 = 41472.

29 Quebra-cabeca dos Quatro Cubos Coloridos

Cubo 1 Cubo 2

Cubo 3 Cubo 4

Figura 2.33: Planificacoes do Cubo

Vale ressaltar que, mesmo com um numero grande de arranjos dos cubos, a solucao deste

quebra-cabeca e unica.

Este desafio pode ser apresentado em sala de aula como uma aplicacao da Teoria de Grafos

na resolucao de problemas. Um grafo e um conjunto de pontos, chamados de vertices, e de

linhas que conetam os vertices, chamadas de arestas. Podemos adicionar caraterısticas especi-

ais aos elementos do grafo, tais como colorir vertices e/ou arestas, colocar direcao as arestas,

colocar pesos nas arestas, etc.

Para facilitar a solucao do quebra-cabeca dos Quatro Cubos Coloridos, podemos associar a

ele um grafo que codifica as informacoes contidas nos cubos. Esse grafo e construıdo a partir

dos quatro grafos associados a cada um dos cubos.

Assim, para cada cubo, podemos associar um grafo formado por quatro vertices, cada um

colorido de uma das cores (vermelho, azul, verde, amarelo), e desenhar uma aresta entre dois

vertices se duas faces opostas no cubo tem as cores desses vertices.

Caso duas faces opostas tenham a mesma cor, basta desenhar um laco. Tambem podemos

colocar um numero em cada aresta, que corresponde ao numero do cubo. Assim, o grafo as-

sociado a cada cubo deve ter 4 vertices, cada um de uma cor diferente, e 3 arestas etiquetadas

com o numero do cubo correspondente. O grafo associado a cada cubo e representado na figura

2.34.

A seguir, usamos esses 4 grafos para obter um unico grafo. Para isso, sera construıdo um

grafo com os quatro vertices das cores vermelho, azul, verde, amarelo, e que contem todas

as arestas dos quatro grafos construıdos anteriormente. Observemos que, entre dois vertices,

podem existir duas ou mais arestas, todas com numeros distintos. Assim, o grafo representado

na figura 2.35 e a justaposicao dos quatro grafos representado na figura 2.34.

O interessante deste grafo e que ele contem toda a informacao das posicoes das cores das

faces dos quatro cubos em uma unica estrutura, desconsiderando orientacao.

Para interpretar o desafio atraves desse grafo, suponhamos que ja se tem uma solucao do

Quebra-cabeca dos Quatro Cubos Coloridos 30

1

11

Cubo 1

222

Cubo 2

3

3

Cubo 3

4

4

4

Cubo 4

Figura 2.34: Grafos associados a cada cubo

1

11

222

3

3

3

4

4

4

Figura 2.35: Grafo associado aos 4 cubos

problema. Agora, olhando unicamente para um par de faces opostas da torre construıda, por

exemplo as faces da esquerda e da direita, podemos afirmar que:

1. As 4 arestas determinadas por essas 8 faces dos cubos tem numeros distintos, pois cor-

respondem a cubos distintos.

2. De cada vertice saem duas destas arestas, pois cada cor aparece uma vez na esquerda e

uma vez na direita nas faces opostas da torre.

Assim, considerando somente as faces da esquerda e da direita, uma solucao esta represen-

tada por um ciclo que une os quatro vertices, e as arestas desse ciclo tem numeros diferentes.

31 Quebra-cabeca dos Quatro Cubos Coloridos

A mesma analise pode ser feita para as faces da frente e de tras da torre. Dessa forma,

obtemos outro ciclo com as mesmas caracterısticas, mas sem arestas em comum com o ciclo

anterior.

Portanto, o problema e equivalente a encontrar dois ciclos no grafo, de tamanho quatro, tal

que eles nao possuam arestas em comum e as arestas de cada ciclo tenham numeros distintos.

Esses dois ciclos sao ilustrados na figura 2.36, nos quais as arestas que fazem parte do ciclo

estao destacadas.

1

11

222

3

3

3

4

4

4

1

11

222

3

3

3

4

4

4

Figura 2.36: Ciclos disjuntos dentro do Grafo

Considerando os ciclos em sentido anti-horario, o primeiro ciclo codifica as cores que estao

na faces esquerda e direita da torre, e o segundo ciclo codifica as cores das faces da frente e de

tras.

A solucao obtida mediante o grafo, nos diz que, por exemplo, no primeiro ciclo a aresta

numerada com 2 liga os vertices azul e vermelho, logo o cubo 2 esta posicionado de tal forma

que a face da frente e vermelha a face de tras e azul. De igual forma, no segundo ciclo a aresta

numerada com 2 liga os vertices verde e amarelo, assim o cubo 2 deve estar posicionando de tal

forma que a face da esquerda e verde e a face da direita e amarela. A mesma interpretacao pode

ser feita com as outras arestas dos ciclos, obtendo assim a posicao dos outros tres cubos, como

mostrado na figura 2.37.

Cubo 1

Cubo 2

Cubo 3

Cubo 4

Fren

te Direita

Atras

Esquerda

Figura 2.37: Solucao do Instant Insanity

2.8. SUDOKU 32

Para desenvolver esta atividade em sala de aula, o professor pode:

• Analisar com os alunos as planificacoes nos anexos das paginas ix, x, xi e xii. Sao for-

necidas duas planificacoes distintas para cada cubo, assim os alunos deverao selecionar

somente uma planificacao de cada cubo. Este momento pode ser aproveitado para mostrar

8 das 11 possıveis planificacoes do cubo.

• Fazer a montagem dos quatro cubos. Os moldes devem ser recortados pela borda cinza.

Este momento pode ser aproveitado para que os alunos analisem quais bordas serao ne-

cessarias para montar o cubo e quais devem ser descartadas, alem de tentarem criar uma

estrategia para a colagem. Uma dica para realizar a montagem final de forma mais facil e

que a ultima face a ser colada nao deve ter borda, isto e, ela deve ser colada sobrepondo

as bordas deixadas nas outras faces, como uma tampa.

• Realizar o desafio de construir uma torre com os quatro cubos de tal forma que cada uma

das faces laterais da torre tenha as quatro cores. E importante que o professor de um

tempo para que os alunos tentem resolver o desafio por tentativa e erro.

Apos isto, pode-se propiciar uma discussao sobre como codificar a informacao da posicao

das faces coloridas de cada cubo. Este momento pode ser aproveitado para introduzir informal-

mente a ideia de grafo. Por cada cubo sera construıdo um grafo com quatro vertices coloridos

e sera desenhada uma arestas entre dois vertices somente quando duas faces opostas do cubo

tenham as mesmas cores que os vertices. As arestas dos grafos associados a cada cubo devem

ser desenhadas na figura 3.51 do anexo da pagina xiii.

Depois, os quatro grafos obtidos devem ser sobrepostos em um so. Para isso, o professor

deve pedir aos alunos para desenhar todas as arestas dos grafos associados aos quatro cubos,

utilizando a figura 3.52 do anexo da pagina xiii e colocando sobre cada aresta o numero do cubo

correspondente. Logo, deve-se explicar qual e a relacao entre o grafo e os quatro cubos, e assim

deduzir uma solucao do desafio a partir dos ciclos dentro do grafo. Deve-se pedir aos alunos

para destacar dois ciclos na figura 3.52 do anexo da pagina xiii, que nao possuam arestas em

comum, de tal forma que as 4 arestas de cada ciclo tenham numeros distintos.

Finalmente, o primeiro ciclo sera usado para preencher as colunas Frente e Tras da tabela

3.3 do anexo da pagina xiii, e o segundo ciclo sera usado para preencher as colunas Esquerda e

Direita desta mesma tabela. Por exemplo, considerando o primeiro ciclo no sentido anti-horario,

temos que a aresta 1 liga o vertice verde ao vertice vermelho, entao deve-se preencher na linha

Cubo 1 a coluna Frente com verde e a coluna Tras com vermelho.

2.8 Sudoku

O Sudoku e normalmente apresentado em uma grade de 9 × 9 celulas, agrupadas em sub-

grades 3 × 3, chamadas de blocos. Algumas casas ja contem numeros, correspondendo as

dicas para preencher o Sudoku. O desafio deste quebra-cabeca consiste em completar as casas

restantes com numeros de 1 a 9 de modo que nenhum deles se repita na mesma linha, coluna ou

no mesmo bloco. Alem disso, todo sudoku deve conter suficientes dicas para que sua solucao

seja unica.

O Sudoku e um tipo especial de quadrado latino, objeto estudado inicialmente pelo ma-

tematico suıco Leonhard Euler. Um quadrado latino e, em geral, uma grade de n × n celulas,

preenchidas com os numeros de 1 a n, de modo que os numeros nunca se repitam na mesma

linha ou coluna. Existem 12 quadrado latinos de tamanho 3 × 3, 576 de tamanho 4 × 4 e

33 2.8. SUDOKU

5.524.751.496.156.892.842.531.225.600 de tamanho 9 × 9. Entre esses ultimos, exatamente

6.670.903.752.021.072.936.960 sao grades de sudoku. Este numero foi encontrado em 2005,

por Bertram Felgenhauer e Frazer Jarvis, usando reducoes matematicas e metodos computaci-

onais. Na figura 2.38 sao apresentados todos os quadrados latinos de tamanho 3 × 3.

3 1 2

2 3 1

1 2 3

2 3 1

3 1 2

1 2 3

3 2 1

2 1 3

1 3 2

2 1 3

3 2 1

1 3 2

3 2 1

1 3 2

2 1 3

1 3 2

3 2 1

2 1 3

3 1 2

1 2 3

2 3 1

1 2 3

3 1 2

2 3 1

2 3 1

1 2 3

3 1 2

1 2 3

2 3 1

3 1 2

2 1 3

1 3 2

3 2 1

1 3 2

2 1 3

3 2 1

Figura 2.38: Quadrados Latinos 3 × 3

Os primeiros quebra-cabecas baseados na ideia de quadrados latinos surgiram no final do

seculo 19 em jornais franceses. Estes quebra-cabecas consistiam em completar um quadrado

latino do qual foram removidos alguns numeros. Um quebra-cabeca muito parecido ao Sudoku

foi publicado em 1892 no diario parisiense Le Siele. Ele consistia em um quadrado latino 9×9,

com 9 subdivisoes 3 × 3, que possuıa a mesma estrutura do Sudoku atual e, alem disso, o

preenchimento de cada quadrado vazio estava associado a resolucao de um desafio aritmetico.

Em 1895, o diario La France publicou um desafio de um quadrado latino 9 × 9 no qual as duas

diagonais tambem tinham que ser preenchidas com todos os numeros de 1 a 9. Esse tipo de

quebra-cabeca foi comum nos diarios franceses ate o inıcio da Primeira Guerra Mundial.

Em 1984, o jornal japones Monthly Nikolist iniciou a publicacao de uma secao de entrete-

nimento chamada “Suji wa dokushin ni kagiru”, em traducao literal, “os numeros devem estar

sozinhos”. Este nome foi dado por Kaji Mak. Mais tarde este nome foi abreviado para seu

nome atual Sudoku (su = numero, doku = sozinho).

Em https://cracking-the-cryptic.web.app/sudoku/NmHf44DPGQ e apre-

sentado um Sudoku que possui uma regra adicional: O numero na casa da cor verde deve ser

um divisor do numero de tres algarismos formado pelas tres casas laranjas adjacentes a essa

casa verde. Os numeros de tres algarismos devem ser lidos ou da esquerda para a direita ou de

cima para baixo. Alem disso as nove casas verdes devem conter todos os numeros de 1 a 9. Na

pagina xiv da secao de anexos disponibilizamos o tabuleiro deste sudoku.

Este quebra-cabeca desenvolve o raciocınio logico e resulta ser uma ferramenta interessante

para ser explorada em sala de aula. Podendo ser usado, por exemplo, para mostrar alguns

criterios de divisibilidade. A seguir listamos alguns criterios para determinar se um numero e

divisıvel por algum numero entre 2 e 9.

• Divisibilidade por 2: Todo numero terminado em algarismo par e divisıvel por 2.

• Divisibilidade por 3: Um numero e divisıvel por 3 se a soma de seus algarismos e

divisıvel por 3. Por exemplo, 5625 e divisıvel por 3, pois 5 + 6 + 2 = 5 = 18 e divisıvel

por 3.

• Divisibilidade por 4: Um numero e divisıvel por 4 se o numero formado por seus dois

ultimos algarismos e divisıvel por 4. Por exemplo, 7356 e divisıvel por 4 pois 56 e

divisıvel por 4.

2.8. SUDOKU 34

Outro criterio de divisibilidade por 4 e o seguinte: Um numero e divisıvel por 4 se duas

vezes o algarismo das dezenas mais o algarismo das unidades e divisıvel por 4. Por

exemplo, 7356 e divisıvel por 4 pois 2 × 5 + 6 = 16 e divisıvel por 4.

• Divisibilidade por 5: Um numero e divisıvel por 5 se termina em 0 ou 5.

• Divisibilidade por 6: Um numero e divisıvel por 6 se e par e divisıvel por 3.

• Divisibilidade por 7: Um numero e divisıvel por 7 se o numero obtido apagando o ultimo

algarismo, menos duas vezes o ultimo algarismo, tambem e divisıvel por 7. Por exemplo,

2541 e divisıvel por 7 se 254 − 2 × 1 = 252 e divisıvel por 7. Por sua vez, 252 e divisıvel

por 7 pois 25 − 2 × 2 = 21 e divisıvel por 7.

Para numeros grandes, apresentamos o seguinte criterio de divisibilidade por 7: Para veri-

ficar se um numero e divisıvel por 7, primeiro separamos ele, de direita para esquerda, em

blocos de tres algarismos. Depois realizamos a soma e subtracao alternada destes blocos.

Se o resultado obtido com esta operacao e divisıvel por 7, entao o numero dado inicial-

mente tambem e divisıvel por 7. Por exemplo, para verificar se 36726585 e divisıvel por

7, separamos ele em blocos de tres algarismos, obtendo assim os numeros 36/726/585.

Depois fazemos a soma e subtracao alternada:

585 − 726 + 36 = −105.

Agora, notemos que, pelo primeiro criterio de divisibilidade por 7 dado acima, 105 e

divisıvel por 7, pois 10 − 2 × 5 = 0 e divisıvel por 7. Portanto, 36726585 e divisıvel por

7.

• Divisibilidade por 8: Um numero e divisıvel por 8 se quatro vezes o algarismo das cen-

tenas mais duas vezes o algarismo das dezenas mais o algarismo das unidades e divisıvel

por 8. Por exemplo 3496 e divisıvel por 8 pois 4 × 4 + 2 × 9 + 6 = 40 e divisıvel por 8.

• Divisibilidade por 9: Um numero e divisıvel por 9 se a soma de seus algarismos e

divisıvel por 9. Por exemplo 43821 e divisıvel por 9 pois 4 + 3 + 8 + 2 + 1 = 18 e

divisıvel por 9.

Para desenvolver esta atividade em sala de aula, sugerimos ao professor:

• Dividir a turma em grupos de 2 ou 3 alunos.

• Reproduzir o Sudoku do anexo da pagina xiv sendo, se possıvel, uma copia para cada

aluno.

• Explicar as regras do Sudoku e a regra adicional.

E importante deixar um tempo para os alunos preencher o Sudoku e orientar eles nesse

processo fazendo as seguintes preguntas:

• Em qual casa verde temos que colocar o numero 5?

• Em quais casas verdes temos que colocar os numeros ımpares?

• Em qual casa verde temos que colocar o numero 7?

• Em qual casa verde temos que colocar o numero 9?

Referencias Bibliograficas

[1] BROCHERO, F.; GIRALDO, C. Manual de Atividades do Museu da Matematica UFMG.

http://www.mat.ufmg.br/museu/wp-content/uploads/2019/08/ManualEBook.pdf, 2019.

[2] BROWNE, C. Connection Games: Variations on a Theme. CRC Press, 2018.

[3] DUDENEY, H. E. The Canterbury Puzzles. Dover Publications, 1958.

[4] DUDENEY, H. E. 536 Puzzles and Curious Problems. Dover Publications, 1967.

[5] FILIPIAK, A. Mathematical Puzzles and Other Brain Twisters. Bell Publishing Company,

1978.

[6] FREDERICKSON, G. Dissections: Plane & Fancy. Cambridge University Press, 1997.

[7] GALE, D. The Game of Hex and Brouwer Fixed-Point Theorem. The American Mathema-

tical Monthly, v. 86, p 818-827, 1979.

[8] GARDNER, M. More Mathematical Puzzles of Sam Loyd. Dover Publications, 1960.

[9] GARDNER, M. Divertimentos Matematicos. Ibrasa, 1967.

[10] GARDNER, M. Mathematical Circus. Penguin Books, 1979.

[11] GARDNER, M. Nuevos Pasatiempos Matematicos. Alianza Editorial, 2018.

[12] HOCHBERG, R.; MCDIARMID, C.; SAKS, M. On the bandwidth of triangulated trian-

gles. Discrete Math, v. 138, p. 261–265, 1995.

[13] KORDEMSKY, B. The Moscow Puzzles. Dover Publications, 1972.

[14] LUCAS, E. Recreations Mathematiques Vol II. Gauther-Villars et Fills, 1896.

[15] MARTIN, G. Polyominoes: A Guide to Puzzles and Problems in Tiling. The Mathematical

Association of America, 1996.

[16] NASH, J. Rand Corp. technical report D-1164: Some Games and Machi-

nes for Playing Them. https://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/

documents/2015/D1164.pdf

[17] SINGMASTER, D. The Utility of Recreational Mathematics. The UMAP Journal, v. 37,

n 4, p 339-380, 2016.

[18] SOLOMON, G. Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Patterns. Princeton Uni-

versity Press, 1994.

35

Anexos

c2

b2

a2

Fig

ura

3.3

9:

Teo

rem

ade

Pit

agora

s

i

Anexos Dobra Fractal ii

Muse

uda

Mat

emat

ica

UF

MG

Muse

uda

Mat

emat

ica

UF

MG

Figura 3.40

Anexos Tabuleiro do Jogo do Hex iii

Figura 3.41

Anexos Tabuleiro do Jogo do Y iv

Figura 3.42

Anexos Tabuleiro 8 × 8 Pentamino v

Figura 3.43

Anexos Pecas de Pentamino vi

Figura 3.44

Anexos Tabuleiro Encaixa Domino vii

4 5 5 1 1 5 2

4 5 5 0 4 2 3

4 1 2 2 6 3 3

0 3 0 5 1 0 1

2 2 5 6 3 4 6

2 0 4 6 3 6 6

6 0 4 3 0 1 0

6 3 5 2 1 1 4

Museu da Matematica UFMG

Posicione os 28 dominos no tabuleiro de tal forma que os numeros

no tabuleiro coincidam com os numeros de pontos de cada domino.

Figura 3.45

Anexos Pecas de Domino viii

Figura 3.46

Anexos Instant Insanity Cubo 1 ix

Fig

ura

3.4

7

Anexos Instant Insanity Cubo 2 x

Fig

ura

3.4

8

Anexos Instant Insanity Cubo 3 xi

Fig

ura

3.4

9

Anexos Instant Insanity Cubo 4 xii

Fig

ura

3.5

0

Anexos Instant Insanity Grafo Associado xiii

Cubo 1 Cubo 2

Cubo 3 Cubo 4

Figura 3.51: Vertices dos grafos associados aos cubos

Figura 3.52: Grafo de todos os cubos

Cubo Frente Tras Esquerda Direita

1 verde vermelho

2

3

4

Tabela 3.3

Anexos Sudoku Divisibilidade xiv

9

1

4

9 3 1

8 9

2

1

6

1

2

3

5

Museu da Matematica

UFMG

Sudoku Divisibilidade: Preencha o tabuleiro de Sudoku de tal forma que cumpra as regras

habituais do Sudoku e alem disso:

• As 9 casas verdes devem conter todos os dıgitos de 1 a 9.

• O numero de tres algarismos formado pelas casas laranjas (consideradas da esquerda

para direita ou de cima para baixo) e divisıvel pelo numero da casa verde adjacente.

Figura 3.53

9 7 8 6 5 0 0 0 3 2 1 7 8