Manual de Econometria 5.Desbloqueado

______________________________________Manual de Econometría. Capítulo 5, página 1

© Carlos Murillo Fort1 y Beatriz González López-Valcárcel2 (2000)1 Catedrático Universidad Pompeu Fabra

2 Catedrática Universidad de Las Palmas de GC

Fichero: capitulo 5

CAPÍTULO 5

VALIDACIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN: CONTRASTES DE

ESPEFICIACIÓN INCORRECTA Y CONTRASTES DE ESPECIFICACIÓN

1. INTRODUCCION. TIPOS DE PRUEBAS DE VALIDACIÓN DE LOS

RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN MCO DEL MODELO DE REGRESIÓN

Después de la estimación de los parámetros conviene efectuar un conjunto de

pruebas de validación de los resultados obtenidos. Estableceremos dos tipos de

pruebas. Las primeras consisten en la realización de comprobaciones de la calidad de

la información muestral utilizada, del ajuste de dicha información al modelo teórico

subyacente y la estabilidad de los datos frente a la estructura que debió generarlos en

relación con el modelo especificado. Asimismo, es conveniente señalar las posibles

divergencias, si las hubiere, en relación con las hipótesis mantenidas y que definieron

lo que hemos venido en calificar como modelo de regresión estándar.

Si existen discrepancias en el resultado de estas pruebas con respecto a las hipótesis

iniciales tendremos indicios de una especificación incorrecta del modelo. En

consecuencia, se procederá a revisar su construcción formal, los datos utilizados para

la inferencia o, acaso, los procedimientos de estimación y contraste de las hipótesis.

Este proceso cíclico de revisión, re-especificación y nueva validación concluye en el

punto en el que convenimos que el modelo especificado está corroborado por los

datos.

El segundo tipo de pruebas de validación consisten en la comparación del modelo

user

Resaltado

user

Resaltado




estimado con otros posibles modelos. Estos modelos alternativos pueden incluir más,

o menos, variables explicativas que las utilizadas hasta el momento. También cabe la

posibilidad de realizar comparaciones con modelos diferentes tanto por la forma

funcional especificada como por las variables utilizadas como predeterminadas. En

cualquier caso se trata de señalar las pautas que nos permitan aproximarnos, en la

medida de lo posible, a inferencias que garanticen la adecuación de los datos al

modelo subyacente desconocido.

Siguiendo la terminología habitual nos referiremos al primer tipo de pruebas como

pruebas de especificación errónea del modelo, mientras que las segundas las

reconoceremos sencillamente como pruebas de especificación entre modelos

alternativos. Para establecer una cierta sistemática en la aplicación de estas pruebas

ahora las presentaremos en forma de una batería ordenada. En la práctica, esta etapa

de validación se realiza de manera mucho más automática y simultánea. Sin

embargo, con objeto de presentar separadamente los conceptos e hipótesis que se

cuestionan junto con las pruebas aconsejadas, reseñaremos, en lo que sigue, dichas

pruebas de manera ordenada clasificadas según la hipótesis nula establecida.

La página siguiente contiene un esquema de las pruebas y contrastes de validación y

especificación del modelo.

user

Resaltado

user

Resaltado




ESQUEMA DE VALIDACIÓN DEL MODELOS: CONTRASTES DE ESPECIFICACIÓN INCORRECTA

Y CONTRASTES DE ESPECIFICACIÓN

Significado de los parámetros ¿Concuerdan el signo y el valor con lo esperado, según la teoría?

Significación estadística de la

ecuación y de los parámetros

Contrastes de significación individual (t)

Contrastes de significación de subconjuntos de parámetros (F)

Contrastes de restricciones lineales sobre los parámetros (F)

Contraste de significación global del ajuste (F)

¿Multicolinealidad?

¿Outliers?

Matriz de correlaciones de X

Gráficos de los residuos

Otros (ver capítulo específico)

¿Autocorrelación entre los

errores?

Gráfico de los residuos

Contraste Durbin-Watson (DW)


¿Heterocedasticidad? Gráficos

Contraste de Breusch y Pagan (BP)

Otros contrastes (ver capítulo específico)

¿Errores normales? Histograma de los residuos

Contraste Jarque y Bera (JB)


Pruebas de linealidad de la

relación (especificación de la

forma funcional)

Gráficos

Contraste RESET de Ramsey

CONTRASTES DE

ESPECIFICACIÓN

INCORRECTA Y

CALIDAD DE LOS

DATOS

Análisis de Estabilidad Contraste de Chow

Contraste de Hansen

Contrastes basados en la estimación recursiva: CUSUM,

CUSUMQ

Contrastes anidados Contrastes de la F de significación de subconjuntos de parámetrosCONTRASTES DE

ESPECIFICACIÓN

ENTRE MODELOS

ALTERNATIVOS (¿Qué

variables?, ¿Qué forma

funcional?

Contrastes no anidados Contraste J de Davidson y MacKinnon (1993)

Contrastes de abarcamiento (“Encompassing”)

Contraste PE (¿Modelo lineal o modelo log-lineal?




2. PRUEBAS DE ESPECIFICACIÓN ERRÓNEA Y DE CALIDAD DE LOS DATOS.

El tipo de pruebas que vamos ahora a proponer tiene por objeto diagnosticar la

calidad de la especificación realizada y de la información muestral utilizada. Las

hipótesis H1 y H4 establecían como supuestos de partida que el modelo econométrico

elegido era correcto. Cualquier discrepancia acerca de dicho supuesto repercute en

los resultados de la estimación por MCO, así como en la potencia de los contrastes

estadísticos propuestos, tal como tendremos ocasión de analizar con mayor detalle en

próximos capítulos. Por el momento nos basta con disponer de instrumentos de

diagnóstico de la evidencia empírica disponible para estar en favor, o en contra, del

mantenimiento de los supuestos. De la misma forma, hemos realizado la inferencia

por MCO con la confianza de que la base de datos de la muestra utilizada era

suficiente como para garantizar el mantenimiento de las propiedades de los

estimadores y de los contrastes propuestos. También analizaremos los resultados de

la estimación por MCO para obtener apoyo en favor del mantenimiento de este tipo de

supuestos. Presentamos a continuación un conjunto de pruebas a realizar con los

resultados de la estimación mínimocuadrática de los parámetros del modelo de

regresión. Estas pruebas nos permitirán disponer de evidencia suficiente para creer

que las hipótesis establecidas al comienzo del estudio son válidas o, por el contrario,

si se apuntan graves divergencias que aconsejen la reformulación del modelo o de los

procedimientos inferenciales utilizados hasta el momento.

2.1. Significado de los parámetros

En el modelo econométrico especificado habremos señalado previamente los signos,

y en ocasiones los valores, esperados de todos o algunos de sus coeficientes. Por

ejemplo, si se trata de una ecuación representativa del comportamiento de los

consumidores y como variable explicativa aparece la renta y los precios, esperamos

un signo positivo para el coeficiente que acompaña a la renta y signo negativo para el

coeficiente de la variable precio. Si la relación es entre los logaritmos de las variables




indicadas, los coeficientes en la regresión son, respectivamente, las elasticidades del

consumo respecto de la renta y el precio. Si el bien es un bien normal, esperamos que

la elasticidad renta sea mayor que la unidad.

La primera de las pruebas propuestas consiste sencillamente en la comprobación de

que los signos, o valores, de las estimaciones de los parámetros del modelo

especificado coinciden con los signos, o valores, esperados de los parámetros. Se

trata, en definitiva, de un mecanismo elemental de interpretación del significado

económico de los resultados más que de una prueba estadística.

2.2. Significación estadística de la ecuación estimada y de los parámetros del modelo

Este segundo instrumento de validación del modelo consiste en la realización de

pruebas de hipótesis estadísticas. La primera de ellas sirve para señalar la

significación estadística del modelo econométrico en su conjunto. Formalmente se

trata de efectuar una prueba de significación conjunta del modelo, es decir de los

parámetros que acompañan a las variables explicativas (excluyendo la constante):

siendo el contraste propuesto el indicado en (3.15), es decir:

KnKa

a

aa

aa FKnSCE

KSCESCE

Knee

Keeee−−−

−−=

−−−

;1000 ~

)/(

)1/()(

)/(´

)1/()´´(

en el que eo y ea indican, respectivamente, los errores del modelo bajo la hipótesis

nula (o sea, Yi=ß1+ui) y el modelo que contiene todos los parámetros. Si el estadístico

de prueba proporciona valores mayores que el valor tabulado de F con K-1 y n-K

grados de libertad, entonces se rechaza la hipótesis nula. En este caso decimos que

la regresión globalmente considerada explica las variaciones intramuestrales de la

variable endógena.

0==...== :H K32o βββ




Además de esta prueba global deben establecerse las pruebas de significación

individual de cada uno de los parámetros del modelo de regresión, así como pruebas

de significación de subconjuntos paramétricos y de relaciones entre los parámetros. El

planteamiento de estas pruebas de relación entre parámetros está inspirado en el

significado económico de los mismos. En una ecuación que represente una función de

producción tipo Cobb-Douglas esteremos interesados, por ejemplo, en contrastar que

existen rendimientos constantes de escala. Esto equivale a decir, si la ecuación es

una relación entre los logaritmos del producto como variable explicada y de los inputs

capital y trabajo como explicativas, que la suma de los coeficientes de las dos

explicativas es igual a la unidad.

El contraste de significación individual se realiza mediante el estadístico definido en

(3.12):

El estadístico de prueba de q restricciones lineales independientes sobre los

parámetros, que incluye como caso particular la significación conjunta de q

coeficientes de regresión, es el siguiente:

K)-nF(q; K)-/(n SCE

/q )SCE-SCE(

a

ao ~

En ambos casos, si los estadísticos de prueba superan los valores tabulados se

rechazan las hipótesis nulas planteadas. En el caso del contraste de significación

individual de un parámetro esto cuestionaría la presencia de la variable explicativa

correspondiente en la regresión. Si se rechaza la hipótesis nula de significación

estadística de alguna relación lineal entre parámetros, establecida en base a la

información teórica a priori, entonces estamos cuestionando la existencia de alguna

K)-t(n ( es

k

k ~)ˆ

ˆ

ββ




relación con significado económico.

2.3. Calidad de la información muestral

La información muestral utilizada debe ser homogénea o, dicho de otro modo, no

debe contener elementos extraños. Un elemento atípico (outlier en la terminología

anglosajona) es una observación para la que resulta forzado creer que se generó por

la misma estructura que la restante información muestral. Otra debilidad, habitual por

lo demás, de la información muestral es la que resulta del hecho de que las variables

explicativas presenten entre sí correlaciones lineales altas, lo que resta precisión a los

estimadores minimocuadráticos. Esta cuestión será analizada posteriormente con

mayor detalle en el ámbito de lo que en la literatura econométrica se conoce como el

problema de la multicolinealidad.

Por el momento, efectuaremos las siguientes pruebas. En primer lugar analizaremos

la matriz de correlaciones entre las variables explicativas. Si esta matriz presenta

valores elevados, digamos que correlaciones entre pares de variables con valores

superiores a 0.7, hay una elevada correlación entre las variables explicativas que

disminuirá la precisión de las estimaciones efectuadas. En consecuencia, al aumentar

la varianza de los estimadores será más probable no rechazar la hipótesis nula de

significación individual de los parámetros de regresión (al aumentar la varianza,

aumenta el denominador en (2.13) y por lo tanto disminuye el valor del estadístico de

prueba y es más difícil rechazar la hipótesis nula).

El análisis de existencia de valores atípicos se puede efectuar de distintas formas. Por

una parte, obtendremos una representación gráfica de los residuos de la estimación

MCO. Los residuos que estén situados más allá de 2 desviaciones estándar (2se) de

la distribución de los errores son, en principio, candidatos a señalar para la

observación a la que correspondan la existencia de un valor atípico. Sin embargo,

hemos de precisar que si se trabaja con un nivel de confianza del 95%, entonces es




correcto esperar que, aproximadamente, el 5% de los residuos estén situados fuera

de las bandas de dos desviaciones estándar.

El gráfico de la izquierda en la figura 5.1 muestra un ejemplo con datos simulados de

la distribución de los residuos. La distribución no presenta ninguna estructura

determinada (no son sistemáticamente crecientes o decrecientes, no están dispuestos

en forma de V o V invertida, etc.) lo que no indica la existencia de errores sistemáticos

en la especificación del modelo. Por otra parte aparecen algunos residuos fuera de las

bandas de confianza, pero no suficientemente alejados de las mismas como para

sospechar que se trate de algún dato extraño. El gráfico de la derecha muestra una

distribución de los errores en el que aparecen dos valores muy alejados de la media.

Los valores situados más allá de 3 desviaciones estándar deben considerarse valores

anormalmente diferentes en la distribución y posiblemente asociados con algún dato

atípico.

Figura 5.1

-3

-2

-1

0

1

2

3

76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

Residuos estandariazados

-4

-2

0

2

4

20 40 60 80 100


Ejemplo de residuos con outliers




2.4. Pruebas relativas a la pertinencia de las hipótesis mantenidas sobre el término de

perturbación aleatoria (homoscedasticidad, ausencia de autocorrelación y normalidad)

Las hipótesis relativas a las características de la distribución de probabilidad de las

variables aleatorias que constituyen los términos de perturbación aleatoria del modelo

de regresión, pueden ser revisadas mediante dos enfoques distintos. Por una parte,

con el recurso de ilustraciones gráficas del comportamiento de los residuos de la

estimación MCO y, por otra, con pruebas estadísticas específicamente diseñadas

para estos objetivos. Ya hemos visto cómo la distribución del vector de residuos se

asemeja, en el límite, a la distribución del vector de perturbaciones aleatorias incluidas

en el modelo de regresión. Este es el fundamento sobre el que se construyen los

contrastes para calibrar la validez de las hipótesis sobre U, así como las pruebas

gráficas que ayudan de una manera más sencilla, aunque más elemental y menos

precisa, a valorar el mantenimiento de dichos supuestos.

Ausencia de autocorrelación

Para analizar la independencia en la distribución de los distintos términos de

perturbación aleatoria en la regresión, podemos empezar observando la

representación gráfica de los residuos MCO de la estimación. Ya hemos comentado

repetidamente que esta hipótesis es especialmente importante en inferencias

realizadas con modelos que utilizan datos temporales. Los residuos se ordenarán de

acuerdo con la secuencia temporal de los datos en la muestra. Si observamos

cualquier patrón de comportamiento sistemático en la distribución en el tiempo de los

residuos, entonces estamos en condiciones de dudar de la conveniencia de mantener

la hipótesis H6 de no autocorrelación en la distribución de los términos de

perturbación aleatoria. La figura 5.2 muestra dos situaciones distintas de la

distribución de residuos de dos estimaciones realizadas por MCO. En la primera de




ellas no hay sospechas de violación de la hipótesis de no autocorrelación de los

términos de perturbación aleatoria (la distribución de los residuos parece generada de

manera aleatoria), mientras que en el segundo la estructura observada (a cada

residuo con valor negativo le sigue otro con valor positivo) señala que no puede

sostenerse la hipótesis aludida.

Figura 5.2

Distribución de residuos MCO de dos modelos de regresión

-3

-2

-1

0

1

2

3

20 40 60 80 100

Residuos estandarizados

Ejemplo de residuos no autocorrelacionados

Las pruebas relativas a la distribución del término de perturbación aleatoria sirven

para detectar problemas de especificación del modelo. Teniendo presente que su

justificación analítica y su deducción formal debe hacerse en el ámbito del análisis de

las consecuencias de la alteración de las hipótesis relativas al comportamiento del

término de perturbación de la regresión, indicaremos ahora la mecánica de estos

contrastes. Los resultados del rechazo de la hipótesis nula, que sostienen las

hipótesis mantenidas en el modelo de regresión estándar, deberán interpretarse por el

momento como pruebas de incorrecta especificación. Un resultado así es indicativo de

que hay algo mal construido en la relación y que deben revisarse los supuestos

establecidos.

Sin embargo, enunciaremos ahora una prueba elemental de ausencia de correlación

-3

-2

-1

0

1

2

3

78 80 82 84 86 88 90 92


Ejemplo de residuos autocorrelacionados




serial en el término de perturbación. Este contraste lo proporciona la prueba propuesta

por Durbin y Watson (1950, 1951) que definen el siguiente estadístico:

que tiene una distribución tabulada por estos mismos autores. Para que la aplicación

de este contraste tenga sentido es preciso que las observaciones muestrales estén

ordenadas. Un criterio de ordenación inmediato es el proporcionado por el argumento

temporal. Si los datos provienen de series en el tiempo entonces las observaciones

muestrales las ordenamos según su aparición en el tiempo. Cuando los datos son de

corte transversal una ordenación lógica no siempre es posible con lo que el contraste,

y en general todos los contrastes de autocorrelación, no tendrán interpretación y no

serán instrumentos útiles a estos efectos. El estadístico d toma valores en el rango

comprendido entre 0 y 4. Las tablas proporcionan los valores de los límites inferior (dl)

y superior (du) del contraste. La hipótesis nula de ausencia de autocorrelación se

rechaza cuando:

Es un contraste de una cola. La hipótesis alternativa es , o bien que hay

autocorrelación de primer orden entre las perturbaciones positiva, o bien que hay

autocorrelación negativa.

Por el momento bastará con interpretar este contraste como una prueba de

especificación errónea. Por ello diremos que nuestra hipótesis nula es la correcta

especificación de modelo. El rechazo de la hipótesis nula señalará algún error en la

construcción del modelo. Estos errores pueden deberse, entre otras causas, a la mala

especificación de la forma funcional, es decir de la linealidad, y a la omisión de

e

)e-e(=d

2i

n=i

=1i

21-ii

n=i

2=i

∑

∑

42,

20,

<<<<dsi4 < d< d-4

dsi d< d < 0

u

l




variables explicativas importantes. Cuando abordemos el tema de la autocorrelación

encontraremos mayor explicación del funcionamiento del contraste y mejores pistas

para su interpretación. Dejamos para entonces el análisis más detallado del contraste.

Heterocedasticidad

Con respecto a la hipótesis de varianza constante apuntaremos ahora, como en el

caso del tratamiento de la no autocorrelación, dos instrumentos de naturaleza distinta:

en primer lugar, un conjunto de gráficos para analizar la forma de la distribución de los

residuos y, en segundo lugar, un contraste estadístico de fácil construcción. Los

gráficos que insinúan el comportamiento de la varianza del término de perturbación

aleatoria son de dos tipos. El primero de ellos compara los valores de los residuos de

la estimación MCO con los valores ajustados de la variable dependiente. El segundo

tipo de gráfico describe la distribución de los residuos en comparación con los de cada

variable explicativa. Si se observan variaciones sistemáticas de la dispersión de los

residuos cuando varian los valores de la variable dependiente y/o alguna de las

explicativas, entonces podemos dudar de la validez de la hipótesis H7 de

homoscedasticidad, es decir de varianza constante en el término de perturbación.

En los gráficos que aparecen en la figura 5.3 se representan distintas situaciones que

evidencian en unos casos el mantenimiento de la hipótesis de homoscedasticidad,

cuando la distribución de los residuos no varía sistemáticamente al hacerlo Y , o la

variable explicativa X, y en otros la duda sobre el cumplimiento de dicha hipótesis.

Obsérvese que cuando el término de perturbación deja de ser homoscedástico, los

residuos tienden a comportarse con una variación distinta según cuales sean los

valores de Y , o de alguna de las variables explicativas en el modelo de regresión.

Figura 5.3




0

2

4

6

8

20 40 60 80 100

Valores ajustados de Y

Va

lor

ab

solu

to d

e lo

s re

sid

uo

s M

CO Ejemplo de homocedasticidad

Para contrastar la homoscedasticidad utilizaremos el contraste de Breusch y Pagan

(1979), que definen el siguiente estadístico:

en el que SCR es la suma de cuadrados explicada en la regresión cuya variable

dependiente es

nee

i

i

∑ 2

2

donde e son los residuos MCO de la regresión original, cuya homocedasticidad

queremos contrastar. Las variables explicativas de la regresión auxiliar del contraste

son un conjunto de q variables explicativas que, además de un término constante,

recojan los posibles argumentos de variación de la varianza del término de

χ 2

q

2

SCR = LM ~

-1000

0

1000

2000

3000

10 20 30 40 50

Xj

Valo

r abso

luto

de lo

s re

siduos

MC

O Ejemplo de heterocedasticidad




perturbación1.

Al igual que en el caso del contraste relativo a la autocorrelación, la prueba de

Breusch y Pagan debe contemplarse en este contexto como un contraste para poder

rechazar, si este es el caso, la hipótesis de especificación correcta. Si el estadístico de

prueba es mayor que el valor en tablas de la χ2, entonces se rechaza la buena

especificación del modelo y deben revisarse las etapas de su construcción. Es posible

que el rechazo de la hipótesis nula que proporciona el contraste de Breusch y Pagan

esté asociado con problemas de homogeneidad de los datos o, sencillamente, con

situaciones en las que resulta muy forzado el supuesto de constancia en la varianza

de la distribución de los distintos términos de perturbación aleatoria en la ecuación de

regresión.

Normalidad

Finalmente, para el supuesto de normalidad en la distribución de las u's, señalaremos

la existencia de un contraste, además de otra representación gráfica de los residuos.

En una primera instancia utilizaremos el gráfico de la distribución de las frecuencias

(histograma) de los valores de los residuos. La comparación de la forma de esta

distribución con la que teóricamente presenta la distribución normal (unimodal,

simétrica y acampanada) señala las similitudes, o discrepancias, con respecto al

supuesto de normalidad en la distribución de las perturbaciones, tal como señalan los

gráficos de la figura 5.4

Figura 5.4

1

El conjunto de variables explicativas en esta regresión puede coincidir con las variables explicativas de la ecuación queestemos evaluando. En este caso q=K-1. Cuando utilizemos este contraste como prueba efectiva de homoscedasticidadcontemplaremos otras posibilidades para esta regresión auxiliar.




0

5

10

15

20

25

-0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75

Series: ResidualsSample 1 200Observations 200

Mean -9.99E-17Median -0.010369Maximum 0.844970Minimum -0.891293Std. Dev. 0.293782Skewness 0.038570Kurtosis 3.103209

Jarque-Bera 0.138357Probability 0.933160

Histograma de los residuos:Ejemplo de residuos normales

0

10

20

30

40

-1 0 1 2 3 4 5

Series: ResidualsSample 1 200Observations 200

Mean -2.16E-16Median -0.262040Maximum 5.002113Minimum -1.625097Std. Dev. 1.065914Skewness 1.546720Kurtosis 6.274814

Jarque-Bera 169.1148Probability 0.000000

Histograma de los residuosEjemplo de residuos no normales

El contraste propuesto por Jarque y Bera (1980) está construido a partir de los

momentos de tercer y cuarto orden o, expresado de otra forma, de los coeficientes de

asimetría y curtosis de los residuos de la regresión. Estos autores demuestran que el

estadístico:

siendo,

(2) ] -2

3n[+])3-(

24

1+

6n[ 2

2

2

13

2

2

12

2

2

4

3

2

2

3 χµµµ

µµ

µµ

µµ

~




y, por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula de normalidad en la distribución de los

errores en la regresión cuando el estadístico de prueba supera el valor tabulado según

una ley χ2 con 2 grados de libertad.

2.5. Pruebas relativas a la linealidad de la relación

Una forma sencilla de analizar la existencia de relación lineal entre las variables en el

modelo especificado consiste en la observación del gráfico resultante de representar

sobre un plano los valores de los errores de la regresión con los valores ajustados de

la endógena. También se utilizan en ocasiones los gráficos de los errores con cada

una de las variables explicativas. Si en cualquiera de estos gráficos se aprecia un

comportamiento sistemático, podemos sospechar que la especificación lineal no es la

más adecuada. La figuras 5.5 sirve de ejemplo de representación gráfica de un

modelo en el que cabe sospechar que se incumple la linealidad formulada como

hipótesis.

Figura 5.5

1,2...=sne=

sin=i

=1is ∑µ




-20

-10

0

10

20

-10 -5 0 5 10

Y ajustada

Re

sid

uo

s M

CO

Ejemplo de sospecha de relación no lineal

Un contraste estadístico, debido a Ramsey, y conocido como contraste RESET, es el

siguiente. Se estima la ecuación de regresión y se guardan los valores ajustados de la

endógena. Se estima a continuación la misma ecuación, añadiendo como variable

explicativa la endógena ajustada elevada al cuadrado y se contrasta la significación

individual de ésta, con el contraste t habitual. Si el coeficiente de esta nueva variable

es significativamente distinto de cero entonces se rechaza la linealidad de la relación.

Expresado formalmente este contraste, se estima la regresión auxiliar:

y, a continuación, se hace el contraste de hipótesis nula sobre el parámetro α, en la

forma acostumbrada:

1,2...n=iu + Y + X +...+ X + = Y iiKiK2i21i ;ˆ 2αβββ




Nótese que los grados de libertad en la distribución de t son n-K-1 puesto que en la

regresión efectuada hemos añadido un regresor y el número total de parámetros es

K+1.

Se pueden incluir en la ecuación auxiliar varias potencias de los valores ajustados de

Y, empezando por el cuadrado. En este caso, se emplea el contraste F habitual de

significación de un subconjunto de parámetros:

1,2...n=iu YY+ Y + X +...+ X + = Y i

h

ihiiKiK2i21i ;ˆ...ˆˆ 3

3

2

2+++ αααβββ

0...

...

2

32

≠≠===

ha

ho

o0 :H

0= :H

ααααα

2.6. Análisis de la estabilidad

La hipótesis de relación estable debe también analizarse. El diagnóstico de la

existencia de indicios en contra de este supuesto se realiza tanto a nivel intra-muestral

como extra-muestral. La estabilidad dentro de la muestra, estabilidad intra-muestral,

se refiere a la información utilizada para la inferencia. Cuando los datos corresponden

a observaciones en un corte transversal y se dispone de muestra suficiente, es

aconsejable realizar una prueba de validación cruzada. Esta prueba consiste en lo

siguiente. Se divide la muestra disponible en dos partes no necesariamente iguales

1)-K-t(n )( es

0 :H

0= :H

a

o

~ˆ

ˆ

αα

α

α

≠




(se puede utilizar, por ejemplo, dos tercios de la muestra para la primera submuestra y

el tercio restante para la segunda submuestra). Con los datos que configuran la

primera submuestra se efectúa la estimación del modelo de regresión propuesto. Esta

inferencia permite efectuar predicciones para la segunda submuestra. Para ello

tomamos como conocidos los valores de las variables explicativas y obtenemos los

predictores utilizando (3.18). Los valores predichos se comparan con los observados

que hemos reservado en la segunda submuestra. Se trata, en definitiva, de evaluar el

resultado de esta comparación entre pronósticos y observaciones reales.

Si la información utilizada es del tipo de serie temporal entonces esta prueba de

validación se reduce a la subdivisión de la muestra en subperiodos. Se estima el

modelo propuesto para cada subperiodo y se comparan los resultados alcanzados. Si

no existe evidencia suficiente de cambios decimos que la muestra es estable y puede

realizarse la estimación definitiva con todos los datos disponibles.

Las pruebas de estabilidad post-muestral funcionan de manera similar, con la

salvedad que la información utilizada para la comparación es información externa a la

muestra. En sentido estricto debemos obtener datos nuevos para elementos distintos,

en el caso de información en un corte transversal, o dejar transcurrir el tiempo con

objeto de disponer de una serie temporal más larga, y estar en condiciones de

efectuar la comparación sugerida, en el caso de modelos para datos de serie

temporal.

2.6.1. El contraste de Chow

Es uno de los más utilizados para probar la estabilidad de la estructura que ha

generado los datos. El constraste se refiere a la constancia de los parámetros en las

dos submuestras. Para ello habremos dividido la muestra total en dos submuestras de

tamaño igual, respectivamente, a n1 y n2:




Recordemos que la hipótesis a contrastar se formula de la forma siguiente:

siendo la hipótesis alternativa que al menos una de estas igualdades no sea cierta. El

estadístico de prueba es:

en donde SCE1, SCE2 y SCET son, respectivamente, las sumas de los cuadrados de

los errores en la estimación de las submuestras primera, segunda y total. Si el

estadístico de prueba es mayor que el valor en tablas, rechazaremos la hipótesis nula

planteada (la estabilidad de la muestra total).

2.6.2. El contraste de Hansen

Un inconveniente del contraste de Chow es que su resultado es sensible a la partición

de la muestra. Parece razonable aplicarlo cuando sospechamos un cambio estructural

determinado, con submuestras bien definidas. En caso de datos temporales, cuando

1,2...n=iu + X ...++ X + = Y

2...n+n1,+n=iu+X...++X+ = Y

n1,2...=iu+X...++X+ = Y

iKiK2i21i

11(2)iKi

(2)K2i

(2)2

(2)1i

1(1)iKi

(1)K21

(1)2

(1)1i

βββ

βββ

βββ

βββ

βββ

βββ

K

(2)

K

(1)

K

2

(2)

2

(1)

2

1

(2)

1

(1)

1o

==

..

==

==: H

.

2K)-nF(K; 2K)-/(n )SCE + SCE(

/K)] SCE+SCE( - SCE[

21

21T ~




en un determinado período ocurrió un suceso (cambio de legislación, por ejemplo) que

podría ser el causante del cambio de estructura. Si nuestros datos son transversales,

cuando hay dos o más submuestras bien definidas que podrían comportarse de

manera distinta (por ejemplo, familias rurales y urbanas). Pero muchas veces

tenemos que contrastar a ciegas. El contraste de Hansen (1992)2 salva esta dificultad.

Sea el modelo de regresión con K variables explicativas, incluyendo una constante

(X1), que se estima por MCO con datos de una muestra de T elementos (t=1,2,...T).

Definimos

T

e

Kief

KieXf

T

tt

tit

titit

∑==

+=−=

==

1

2

2

22

ˆ

1ˆ

,...,1

σ

σ

donde et es el residuo MCO de la observación t.

El ajuste de MCO garantiza, como del lector puede comprobar, que

∑=

+==T

tit

Kif1

1,...1;0

El contraste de Hansen se basa en los sumatorios acumulados de f. Permite

contrastar la estabilidad de cada parámetro individualmente, y también la estabilidad

conjunta de todos los parámetros del modelo.

El estadístico de prueba para contrastar la estabilidad individual del parámetro i es el

siguiente:

∑ ∑∑= ==

==+==t

j

T

titiijit

T

titi

fVfT

SKiSTV

L1 1

2

1

2

1

;1

;1,...1;1

Su distribución asintótica bajo la hipótesis nula (el parámetro i es estable) fue

estudiada por Hansen. Los valores críticos asintóticos están tabulados. El valor crítico

del contraste de inestabilidad individual,al 5% de significación, es 0.47. Si nuestro

estadístico de prueba toma un valor mayor que 0.47 rechazaremos la hipótesis nula,

2 Para una exposición más detallada, véase Johnston y Dinardo (2001), pp.133-135




decidiendo, por tanto, que el parámetro en cuestión es inestable.

Para contrastar la estabilidad conjunta de los K+1 parámetros (los K coeficientes de la

regresión y la varianza de la perturbación), se emplea el estadístico de prueba

siguiente:

}´...{

}´...{

´

´1

,11

,11

1

1

1

tKtt

tKtt

T

ttt

T

tttc

SSs

fff

ffV

sVsT

L

+

+

=

=

−

=

=

=

=

∑

∑

En las tablas correspondientes pueden consultarse los valores críticos asintóticos de

este contraste, que dependen del número de parámetros cuya estabilidad se somete a

prueba.

2.6.3. Los contrastes basados en la estimación recursiva: el CUSUM y el

CUSUMQ

Cuando los datos de la muestra están ordenados (si son de serie temporal lo están. Si

los datos son transversales, habría que ordenar la muestra previamente por una

variable representativa del “tamaño”), para evaluar la estabilidad de los coeficientes a

lo largo del tiempo se pueden hacer estimaciones recursivas del modelo. La idea es

estimar el modelo secuencialmente, añadiendo cada vez una nueva observación

muestral, desde K+1 hasta T, y ver cómo cambian los coeficientes y demás

resultados. Empezamos ajustando el modelo a las primeras K observaciones (K es el

número de variables explicativas, incluyendo la constante). El ajuste es perfecto, y el

vector de estimadores lo notamos por bK. Reestimamos el modelo, añadiendo la

observación K+1, así obtenemos el vector de estimadores bK+1. Y así sucesivamente,




hasta terminar estimando el modelo con la muestra total (t=1,...T). Este proceso de

estimación genera, por tanto, una secuencia de vectores de estimaciones MCO:

tttttYXXXb ´)´( 1−=

donde t indica que la estimación emplea los datos de los t primeros elementos de la

muestra (t=K,K+1,...T). Una simple inspección visual de los K gráficos (uno por

coeficiente), y sus errores estándar, nos indica si los coeficientes se mantienen o no

estables a lo largo de la muestra.

Para hacer la estimación recursiva, y calcular los intervalos de confianza

correspondientes a cada vector de estimadores MCO, no es preciso realizar todos los

cálculos con las fórmulas habituales. En los manuales de econometría pueden

consultarse las fórmulas de cálculo recursivo, que actualizan los valores de los

estimadores, y sus errores estándar, a partir de los obtenidos con la muestra previa y

de los datos del período t. Estas fórmulas de actualización son las que, de hecho,

emplean los paquetes econométricos al uso.

Los contrastes CUSUM y CUSUMQ

Ambos se deben a Brown y otros (1975) y parten de la estimación recursiva del

modelo. Definen los residuos recursivos reescalados (wt) de la siguiente forma:

TKtxXXx

vw

tttt

t

t,...1

)´(´1 1

11

+=+

=−

−−

donde 1

´ −−=tttt

bxyv es el error de predicción un paso adelante (diferencia entre el

valor real de y en el periodo t y su valor predicho por el modelo estimado con la

información muestral hasta t-1). Xt es el vector de datos de las variables explicativas

en el periodo t, y Xt-1 es la matriz de datos de los regresores hasta el periodo t-1. Si

las perturbaciones son ruído blanco y no hay cambio estructural, los residuos

recursivos reescalados w siguen una distribución Normal con media cero, varianza

constante y no están autocorrelacionados:




TttttwwENwttt

,...1´,´0)();,0(~´

2 =≠=σ

Contraste CUSUM

El estadístico de prueba del contraste CUSUM es:

KTeeTKt

wW T

t

Kj

j

t −=+== ∑+=

´ˆ;,...1;ˆ

2

1

σσ

Cuando los parámetros son constantes, la esperanza de W es cero. Se calculan los

límites de confianza mediante las expresiones siguientes:

)3,(:sup

),(:inf

KTaTeriorLimite

KTaKeriorLimite

−±

−±

donde a es un parámetro que depende del nivel de significación que se use en el

contraste:

Contraste CUSUM. Correspondencia entre el nivel de significación y el valor de a

Nivel de significación Valor de a

0.01 1.143

0.05 0.948

0.10 0.850

Contraste CUSUMQ

Se basa en los sumatorios acumulados de los cuadrados de los residuos recursivos

reescalados. Su estadístico de prueba es:

TKtw

wCUSUMQ T

Kjj

t

Kjj

,...1;

1

2

1

2

+==∑

∑

+=

+=




Bajo la hipótesis nula, el valor esperado del estadístico de prueba es, como el lector

puese constatar fácilmente, KT

KtSE

t −−

=)(

Los valores críticos para calcular las bandas de confianza están tabulados y se

recogen en los paquetes econométricos al uso.

Hansen muestra la equivalencia del contraste CUSUM con el L1 (estabilidad del

término independiente) y del CUSUMQ con el contraste LK+1 de estabilidad de la

varianza del error.

Un Ejemplo de contraste de estabilidad de los coeficientes CUSUM y CUSUMQ, para

datos temporales:

Test CUSUM

Test CUSUMQ

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

48 50 52 54 56 58 60 62

CUSUM 5% Significance




Error de predicción a un período

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

48 50 52 54 56 58 60 62

CUSUM of Squares 5% Significance

0.15

0.10

0.05

0.00-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

48 50 52 54 56 58 60 62

One-Step Probability Recursive Residuals




Estabilidad del coeficiente de una de las variablesexplicativas del modelo

3. PRUEBAS DE ESPECIFICACIÓN ENTRE MODELOS ALTERNATIVOS

Con cierta frecuencia, hay varios modelos compatibles con la teoría que difieren en

sus variables explicativas. El proceso de búsqueda de especificación, o conjunto de

procedimientos para pasar de una especificación inicial a otra final que nos reconcilie

con los datos incluye herramientas estadísticas capaces de ayudarnos a tomar la

decisión adecuada sobre qué regresores introducir. No es ésta, como sabemos desde

el capítulo anterior, una cuestión baladí ya que los errores de especificación se pagan.

Hay un precio de omitir variables relevantes (sesgo) y otro por añadir variables

irrelevantes (pérdida de eficiencia).

Diferenciaremos entre los contrastes de modelos anidados y los de modelos no

anidados. En ambos, se trata de contrastrar, para una muestra dada de tamaño n, dos

modelos, M1 y M2 que se diferencian en las columnas de la matriz X. Si uno de los

modelos (digamos M2) contiene todos los regresores del otro y algunos más, se dice

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Recursive C(2) Estimates ± 2 S.E.




que los modelos son anidados. Una definición más precisa es la siguiente: dos

modelos están anidados cuando las variables de uno de ellos se pueden expresar

como combinación lineal de las del otro. Si esto ocurre, una de las hipótesis a

contrastar es un caso particular o versión restringida de la otra. En caso contrario,

estamos frente a un contraste de familias de hipótesis separadas.

3.1. CONTRASTES DE ESPECIFICACION DE MODELOS ANIDADOS

Los contrastes anidados son casos particulares de empleo del estadístico F de

subconjuntos paramétricos o de combinaciones lineales de parámetros. La hipótesis

nula es el modelo restringido (M1) que sólo tiene los K1 regresores X. La hipótesis

alternativa es M2 que contiene, además de X, el subconjunto Z formado por K2

regresores. Ambas matrices se suponen de rango pleno y las perturbaciones bien

comportadas:

El contraste de inclusión de los regresores Z se basa en el conocido estadístico F que

computa cuánto se reduce la suma de cuadrados de los errores si se añaden las

variables Z al modelo restringido que solo tiene los regresores X:

donde, como siempre, e1 y e2 se refieren a los vectores nx1 de residuos

minimocuadráticos de las regresiones de M1 y M2 respectivamente.

El contraste de omisión de Z tiene como hipótesis nula M2 y se emplea para decidir si

vale la pena mantener al subconjunto Z de regresores en el modelo estimado. Su

estadístico de prueba evalúa cuánto se pierde de la explicación de Y (cuánto empeora

)N(0,U U+Z+X=Y :H (M2)

)N(0,U U+X=Y :H (M1)

2221

2110

ωγβ

σβ

_;

_;

)K-K-/(ne eK)/e e-e (e

=)K-K-n ,KF(2122

22211212

′′′




el ajuste) si se omiten las variables contenidas en Z.

Casos particulares de los contrastes de significación y de omisión de subconjuntos de

parámetros son aquellos en que K2=1, evaluándose la pertinencia de añadir o de

eliminar una variable explicativa. Existe como sabemos una versión t de Student

equivalente del estadístico F.

Los procedimientos paso a paso (stepwise) automáticos de selección de variables en

regresión, que ofrecen los paquetes de software estadístico en uso, se basan en una

batería de contrastes secuenciales para decidir sobre los regresores, uno por uno. Los

procedimientos hacia adelante (forward) ejecutan automáticamente contrastes de

inclusión. A partir del modelo que solo contiene la constante, se decide cuál de las

posibles variables explicativas contribuye más a explicar la variabilidad de Y,

obteniendo un modelo de regresión simple. En cada paso del proceso iterativo una

nueva variable entra en el modelo, aquella que mayor coeficiente de correlación

parcial posee, siempre que al nivel de significación prefijado contribuya

significativamente a mejorar el ajuste (es decir, que el coeficiente de correlación

parcial ha de ser significativamente distinto de cero). El procedimiento opuesto se

denomina hacia atrás (backward), y consiste en ejecutar secuencialmente una batería

de contrastes de omisión de variables, cada uno de ellos restringiendo el modelo en la

hipótesis nula de forma que se omite uno de los regresores en cada paso.

La mayor parte de paquetes estadísticos y varios econométricos ofrecen rutinas de

selección automática de regresores stepwise que deben ser utilizadas con precaución

o, mejor todavía, no utilizadas. Entre sus limitaciones apuntamos que prescinden por

completo de la teoría, que debe ser la base de la especificación de cualquier modelo

econométrico, dejando 'hablar' demasiado a los datos. Es en definitiva la búsqueda de

la especificación que mejor ajuste presenta para la muestra. Si las variables

candidatas a ser regresores están muy correlacionadas, es posible que la

especificación obtenida sea muy poco robusta en el sentido de que cambiando




mínimamente la muestra, eliminando unos pocos individuos, por ejemplo, se

modifique sustencialmente la selección de variables. Además, cuando se realiza una

batería de contrastes secuencialmente, los test sucesivos no son independientes de

forma que sus niveles de significación no son los aparentes porque las decisiones

sobre qué escribir como hipótesis nula y alternativa dependen de los resultados de los

contrastes previos y en último término del nivel de significación que se haya fijado

para hacerlos.

3.2. CONTRASTES DE ESPECIFICACION DE MODELOS NO ANIDADOS

Los contrastes de familias separadas de hipótesis se plantean cuando nos

encontramos con teorías competitivas que sustentan posibles especificaciones del

modelo con diferentes conjuntos de regresores, X y Z, sin que ninguna de esas dos

matrices esté contenida en la otra. Puede ocurrir que enfrentemos dos formas

funcionales diferentes (contraste entre un modelo lineal y otro doble log), o

transformación diferente de las variables (métodos de deflactación de las series de

precios, por ejemplo) o bien definiciones alternativas de un mismo constructo

abstracto (diferentes escalas de likert para medir actitudes, motivaciones o influencia).

Son éstos ejemplos de situaciones que en la práctica encontraremos con relativa

frecuencia.

Se suele diferenciar entre los contrastes emparejados y los múltiples. En los primeros

se enfrentan dos modelos, el de la H0 y el de la H1. Su hipótesis alternativa, un solo

modelo, es simple. En los contrastes múltiples el modelo de la hipótesis nula se

enfrenta a varios modelos alternativos candidatos. Nos limitaremos al primer caso3,

cuyo planteamiento genérico es el siguiente: Dudamos entre los modelos M1 y M2

que contienen K1 y K2 regresores, X y Z respectivamente, no anidados:

3

Para una revisión de los contrastes de especificación no anidados, incluyendo los múltiples, M.McAleer (1995)."Sherlock Holmes and the Search for Truth: A Diagnostic Tale", en L. Oxley, D.A.George, C.J. Roberts y S.Sayer (comp.)Surveys in Econometrics. Basil Blackwell, cap.5 (pp. 91-138)




El contraste J de Davidson y MacKinnon (1981, 1993) entre M1 y M2, consiste en

seguir los siguientes pasos:

1. Estimar el modelo M2 por MCO, y guardar los valores ajustados de Y

2. Estimar M1 añadiendo como explicativa la variable que contiene los valores

ajustados de Y resultantes de M2, guardados en el paso previo

3. Contrastar la significación individual del coeficiente de la variable añadida. Si es

significativa, rechazamos M1

La regresión auxiliar es, por tanto:

donde β 2es el vector de estimadores MCO de M2. El estadístico de prueba es el ratio

t de λ (coeficiente estimado por MCO dividido entre su error estándar). Bajo la

hipótesis nula, es decir, si el modelo correcto es M1, se distribuye asintóticamente

como una Normal estandar. Si el ratio t es mayor que el valor crítico de la N(0,1),

rechazamos H0 (M1).

Otros contrastes se basan en el anidamiento artificial de un modelo en el otro y

reciben el nombre genérico de abarcamiento (encompassing). Se hace la regresión

combinada, incluyendo como regresores X y las p columnas de Z linealmente

independientes de X (es decir, las K1 variables X y las p variables contenidas en Z que

no se pueden expresar como combinación lineal de las de X):

donde Z* es la matriz nxp de variables en Z linealmente independientes de las

variables en X. El estadístico de prueba es el clásico del contraste F para el

)N(0,U U+Z=Y :H (M2)

)N(0,U U+X=Y :H (M1)

222221

211110

σβ

σβ

_

_

U+)(Z+X=Y21 βλβ ˆ

U+Z+X=Y *δβ




subconjunto de parámetros añadidos en la regresión auxiliar:

Llamando e* al vector de residuos MCO de la regresión conjunta y e1 al de la

regresión M1, el estadístico de prueba se calcula mediante:

que es la expresión habitual del estadístico F para el contraste de significación de los

p coeficientes de Z independientes de X. Observe que los grados de libertad del

numerador (p) son el número de restricciones de nulidad que se imponen y los del

denominador son los que corresponden a los errores del modelo conjunto (número de

observaciones efectivas, igual a tamaño de la muestra menos número de parámetros

estimados).

Además de éstos, existen otros contrastes no anidados. Pero ninguno de ellos es

siempre mejor que los demás y la elección entre ellos no es una cuestión fácil. Para

muestras grandes parece preferible el test J, mientras que el contraste F tiene

claramente menos potencia asintótica local. Con muestras pequeñas, sin embargo,

ocurre lo contrario. El contraste J tiene, según estudios de simulación Monte Carlo,

probabilidades de error de tipo I muy grandes pero, por otra parte, el test F puede

tener potencias menores que el J cuando la hipótesis nula es falsa.

Naturalmente, deben formularse y probarse versiones de los contrastes no anidados

en las que M2 es la hipótesis nula y M1 la alternativa, sin más que reformular

adecuadamente las expresiones anteriores. Los paquetes econométricos suelen

ofrecer ambas versiones de cada contraste. Si en ambos casos se rechaza la

hipótesis nula, debemos considerar que ninguno de los modelos considerados se

ajusta aceptablemente a la realidad que estudiamos.

0=:H 0 δ

p)-K-/(ne e

)/pe e-e (e =p)-K-n ,F(p

1**

**111

′′′




Un contraste para decidir entre la especificación lineal y la log-lineal: el

contraste PE

Con frecuencia dudamos entre un modelo lineal, donde X explican a Y, y un modelo

log-lineal, en el que todas las variables están en logaritmos, y se supone elasticidades

constantes. Un contraste específico entre ambos es el PE, que generaliza el contraste

J que se presentó en el epígrafe anterior. No es tan potente como los contrastes de

RV, Wald o ML (ver apartado siguiente), pero es muy sencillo y da buenos resultados

en la práctica.

La hipótesis nula es el modelo lineal de Y contra X, y la alternativa es el modelo doble-

log:

vXYH

uXyH

+=+=

γβ

)ln(ln:

:

1

0

Se estima una regresión auxiliar, que es el modelo lineal (H0) al que se añade como

regresor la diferencia entre las predicciones del logaritmo de Y obtenidas de la

estimación de M2 y el logaritmo de las predicciones de Y obtenidas de estimar M1:

εβαβ +−+= )}ˆln()n{(l XYXY

El estadístico de prueba es el ratio t del coeficiente (α) de la variable añadida. Su valor

se compara con el de la N(0,1). Si es mayor, se rechaza la hipótesis nula, es decir, el

modelo lineal. Debe hacerse la prueba en los dos sentidos, es decir, poniendo como

hipótesis nula el modelo lineal primero y el log-lineal después.

εαγ

βγ

β +−+=

+=+=

}ˆ{)(

:

)ln(ln

ˆln(

1

0

XeYXLnLnY

uXYH

vXYH




PRINCIPIOS GENERALES DE CONTRASTACIÓN ESTADÍSTICA

Hay tres principios de contrastación estadística que pueden aplicarse a los

contrastes de hipótesis anidados. La hipótesis nula es el modelo restringido, y la

alternativa, el modelo general no restringido. Son los principios de Razón de

Verosimilitudes (RV), Wald (W) y Multiplicadores de Lagrange (ML).

Ilustramos gráficamente los tres principios en la siguiente figura:

0θ

LnL(θ)

θMV

dLnL(θ)d θLnL

LnLR

θ^R

C(θ)

WaldML

RV

El contraste de razón de verosimilitudes se basa en la estimación de ambos

modelos, el restringido (H0) y el no restringido (H1), y calcular el cociente entre las

verosimilitudes maximizadas en ambos casos , o lo que es lo mismo, la diferencia

entre los logaritmos de ambas funciones de verosimilitud maximizadas. Si la diferencia

es pequeña, se acepta la restricción (H0). Bajo condiciones de regularidad, el

estadístico de prueba se distribuye, cuando se cumple la H0, así:




2

1

~)(2q

H

R

L

LLn χ−

donde q es el número de restricciones impuestas por el modelo restringido (H1).

El contraste de Wald se basa en los resultados de estimar el modelo no

restringido, es decir, bajo la hipótesis alternativa. El estadístico de prueba del

contraste de k restricciones es:

21

1

0

~)}ˆ(}{)ˆ({)´})ˆ({(

)(:

)(:

hqcqcVarqcW

qcH

qcH

χθθθ

θθ

−−−=

≠=

−

El principio de multiplicadores de Lagrange requiere estimar el modelo bajo la

hipótesis nula, y medir la “distancia” entre los estimadores restringidos y los valores

que hipotetizan las restricciones. El estadístico de prueba es:

)ˆ

)ˆ(()ˆ()´(

ˆ)ˆ(

( 1

R

R

R

R

RLnL

ILnL

LMθδθδθ

θδθδ −=

que, bajo la hipótesis nula, se distribuye asintóticamente como una Ji-Cuadrado con

tantos grados de libertad como restricciones se imponen en la hipótesis nula.

Los tres principios con asintóticamente equivalentes, aunque en muestras pequeñas

pueden dar resultados contradictorios

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