Esta apostila é o resultado de um trabalho de pesquisa das professoras KARINA WORM BECHMMAN e LUCIENE REGINA LEINEKER ALONSO.c

SUMÁRIO Pág.

INTRODUÇÃO......................................................................................................... 3

1. JUROS SIMPLES ................................................................................................. 61.1 Cálculo do juro simples .................................................................................. 61.2 Cálculo do montante ...................................................................................... 71.3 Taxa média ..................................................................................................... 101.4 Prazo médio .................................................................................................... 11 1.5 Desconto simples ............................................................................................ 121.6 Desconto comercial, bancário ou “por fora” .................................................. 121.7 Desconto racional ou “por dentro” ................................................................. 131.8 Equivalência de capitais diferidos ................................................................. 15

2. JUROS COMPOSTOS .......................................................................................... 21 2.1 Cálculo dos juros compostos ........................................................................... 21 2.2. A calculadora HP 12C .................................................................................... 23 2.3. Cálculo do montante com prazo fracionado ................................................... 24 2.4. Desconto composto ........................................................................................ 27 2.5. Cálculo do desconto composto real ................................................................ 27 2.6. Equivalência de capitais diferidos .................................................................. 30

3. TAXAS DE JUROS .............................................................................................. 363.1. Taxa nominal ................................................................................................... 36 3.2. Taxa efetiva ..................................................................................................... 37

3.3. Operações com taxas ....................................................................................... 37

4. RENDAS ................................................................................................................ 41 4.1. Cálculo da renda imediata ............................................................................... 43 4.2. Cálculo da renda antecipada ............................................................................ 43 4.3. Cálculo da renda diferida ................................................................................. 44

5. PLANOS DE AMORTIZAÇÃO ........................................................................... 48 5.1 Sistema de amortização constante (SAC) ....................................................... 48 5.2. Sistema de amortização francês (PRICE) ....................................................... 49 5.3. Sistema de amortização crescente (SACRE) ................................................... 52 5.4. Sistema de amortização com correção monetária ............................................ 53

6. DEPRECIAÇÃO .................................................................................................... 56 6.1. Método linear ................................................................................................... 57 6.2. Método da taxa constante ................................................................................ 57 6.3. Método das taxas variáveis............................................................................... 57

6.4. Método de Cole ................................................................................................ 58

7. ENGENHARIA ECONÔMICA ............................................................................. 60 7.1. Taxa de atratividade ......................................................................................... 60 7.2. Método do período de recuperação do capital (Pay-Back)................................ 61 7.3. Método do Pay-Back descontado ...................................................................... 62 7.4. Método do valor presente líquido (VPL) ........................................................... 64 7.5. Método do valor presente líquido anualizado (VPLA) ...................................... 65 7.6. Método do índice benefício/custo (IBC) ............................................................ 65 7.7. Método da taxa interna de retorno (TIR) ........................................................... 66

8. PREVISÕES FINANCEIRAS .................................................................................. 72 8.1. Regressão linear ................................................................................................. 72 8.2. Regressão não linear ........................................................................................... 73 8.3. Método dos mínimos quadrados ......................................................................... 73

9. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................... 83

2

INTRODUÇÃO.

A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos pagamentos de empréstimos, bem como fornecer instrumentos para o estudo e avaliação dos mesmos.

Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$ 300,00 hoje não são iguais a R$ 300,00 em qualquer outra data, pois o poder aquisitivo do dinheiro varia ao longo dos períodos, devido à taxa de juros por período.

Devido ao longo período de tempo em que a sociedade brasileira tem convivido com a inflação, as pessoas davam certa preferência pela liquidez. A forma mais antiga e também a mais usada até os dias de hoje é acenar para o proprietário do capital com uma promessa atrativa de pagamento futuro.

A essa remuneração paga pela imobilização do capital por um dado período de tempo é que se convencionou chamar de juros. Assim, os juros representam os custos da imobilização do capital num dado período. Geralmente os juros são expressos por uma taxa que incide sobre o valor imobilizado. A taxa de juros pode ser vista como a remuneração de uma unidade do capital imobilizado ao longo de uma unidade de tempo.

Uma vez que o valor do dinheiro no tempo e a existência dos juros são elementos interligados e indispensáveis ao desenvolvimento do estudo da Matemática Financeira, é conveniente a utilização do fluxo de caixa que corresponde ao conjunto de entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo.

Esquematicamente, a representação do fluxo de caixa é feita como na figura 1.

0 1 2 ... n

Eixo horizontal: Tempo (períodos)Figura 1

Dessa forma, a Matemática Financeira tem como objetivos principais:

3

(+) recebimentoR$ (+)

R$ (-)(-) pagamento

a) a transformação e o manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo;

b) a obtenção da taxa interna de juros que está implícita no fluxo de caixa;c) a análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa.

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO.

Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante (capital acrescido dos juros) poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas regimes de capitalização. Tem-se o regime de capitalização simples (ou juros simples) e o regime de capitalização composta (ou juros compostos).

Tanto os juros simples como os juros compostos são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, mês, dia.

Por exemplo, um capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa de 8% ao ano, proporcionará, no final de um ano, um total de juros equivalentes a R$ 800,00,

pois: 8% de R$ 10.000,00 = 100

8 . 10.000 = R$ 800,00.

a) Regime de capitalização simplesO juro é simples quando é produzido unicamente pelo capital inicial.

Exemplo: Considere o caso de um indivíduo que, no início do ano depositou R$ 100,00 em um banco X que lhe prometeu juros simples, à razão de 10% ao ano. Qual será o seu saldo credor no final de cada um dos próximos quatro anos?

Crescimento de R$ 100,00 a juros simples de 10% ao ano

Tempo (ano)

Saldo no início de cada ano Juro Saldo no final de cada ano

1234

b) Regime de capitalização compostaO juro é composto quando é calculado sempre em função do saldo existente no início do período correspondente.

4

Exemplo: Imagine se o mesmo indivíduo do exemplo anterior tivesse colocado, no início do ano, outros R$ 100,00 em um banco Y, que paga juros compostos, à razão de 10% ao ano. Como se comportaria o seu saldo credor ao longo dos quatro anos?

Crescimento de R$ 100,00 a juros compostos de 10% ao ano

Tempo (ano)

Saldo no início de cada ano Juro Saldo no final de cada ano

1234

Ao capital empregado dá-se o nome de principal, e a soma do principal mais os juros, dá-se o nome de montante.

A juros simples, apenas o principal rende juros, ao passo que a juros compostos os rendimentos são calculados sobre os montantes, havendo portanto uma incidência de juros sobre juros.

Observando os dois exemplos, os montantes disponíveis para o indivíduo no final do quarto ano, seriam:

• No banco Y, a juros compostos R$ 146,41• No banco X, a juros simples R$ 140,00

Diferença R$ 6,41

Essa diferença de R$ 6,41 corresponde ao pagamento de juros sobre juros, devido a juros compostos.

5

Rendimento de R$ 100,00

-20,0040,0060,0080,00

100,00120,00140,00160,00

1 2 3 4

tempo

mo

ntan

te

juro simplesjuro composto

Juro Simples X Juro Composto

CAPÍTULO I

JUROS SIMPLES

Cálculo dos Juros Simples

No regime de juros simples os juros de cada período são calculados sempre sobre o mesmo principal. Não existe capitalização de juros nesse regime, pois os juros de um determinado período não são incorporados ao principal para que essa soma sirva de base de cálculo dos juros do período seguinte.

Se a taxa de juros ( i ) for constante e incidir apenas sobre o capital aplicado (c ), então o juro ( J ) por período será também constante e igual a:

icJ . =

Nesse caso, observa-se um crescimento linear do capital: Juro Simples

Se a Matemática Financeira objetiva estudar o relacionamento entre valores monetários posicionados em pontos distintos no tempo, então para um capital “c ”aplicado a uma taxa de juros “ i ” durante “n ” períodos de tempo, sob o regime de juros simples pode ser calculado: nicJ . . =

Nesse regime a taxa de juros pode ser convertida para outro prazo qualquer com base em multiplicações e divisões, sem alterar seu valor intrínseco, ou seja, mantém a proporcionalidade existente entre valores realizáveis em diferentes

6

100

200

300

montante

1 2 3 4

período

datas. Portanto, no cálculo de juros, a taxa e o tempo devem estar na mesma unidade de medida.

Quando o prazo da operação é dado considerando-se anos constituídos por meses de 30 dias, os juros são chamados comerciais; quando o número de dias corresponde àqueles do ano civil (365 dias), são chamados juros exatos.

O mercado financeiro trabalha com base na taxa de juros percentual, porém é necessário colocá-la na forma fracionária para realizar os cálculos financeiros.

O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, notadamente nas operações de curto prazo, em função da simplicidade de cálculo.

Exemplos:

1. Calcular o juro produzido por R$ 500,00, aplicado à taxa de 10% ao semestre durante 3 semestres.

2. Calcular o juro produzido por R$ 40.000,00 à taxa de 72% ao ano, durante 45 dias.

Cálculo do Montante

Quando um investidor aplica um capital por certo tempo à determinada taxa, no final desse período de tempo ele tem à sua disposição não só o valor inicial aplicado, mas também os juros que lhe são devidos. Esse total, soma de capital e juros, é chamado montante.

O valor de resgate M , chamado de montante é calculado por:Tempo (n) Juro Montante

1 ic . cicM +=1 )1( 1 icM +=→

2 ic . )21( 2212 icMcicicMJMM +=→++=→+=

3 ic . )31( 2 3323 icMcicicMJMM +=→++=→+=

... ... ...n ic . )1( ... nicMcicicM nn +=→+++=

Portanto: )1( incM +=

7

Exemplos:

1. Qual é o montante resultante de uma aplicação de R$ 29.800,00 à taxa de 12% ao mês, durante 6 meses?

2. Para uma aplicação de R$ 3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% ao ano, o montante recebido foi R$ 4.800,00. Determine o prazo da aplicação.

3. Qual é a taxa anual de juros simples ganho por uma aplicação de R$ 1.500,00 que produz após um ano um montante de R$ 1.950,00?

EXERCÍCIOS

1. Qual o juro de R$ 25.000,00 em 2 anos e 6 meses à taxa de 8% ao ano?R: R$ 5.000,00

2. Calcular o juro de R$ 5.000,00 à taxa de 3,6% ao ano em 1 ano, 1 mês e 10 dias.

R: R$ 200,00

3. Calcular o juro produzido por R$ 9.000,00 em 1 ano, 5 meses e 20 dias, à taxa de 1% ao mês.

R: R$1.590,00

4. A que taxa anual deve ser empregado o capital de R$ 16.000,00 para produzir R$ 2.520,00 de juro, em 2 anos e 3 meses?

R: 7% ao ano

5. Certo capital ficou empregado por 1 ano e 3 meses a uma taxa de 12% ao ano e rendeu um juro de R$ 650,00. Qual foi o capital empregado?

R: R$ 4.333,33

6. O capital de R$ 400,00 foi colocado a 20% ao ano e produziu um juro de R$ 60,00. Por quanto tempo o capital ficou empregado?

R: 9 meses

8

7. Coloquei certa quantia em um banco a 20% ao ano e retirei, depois de 4 anos, R$ 9.280,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita a juros simples?

R: R$ 4.124,448. Emprestei certa quantia a 30% ao ano e recebi R$ 3.230,00 depois de 2

anos e 4 meses. Quanto emprestei?R: R$ 1.900,00

9. Certo capital acrescido de juros de 13,5% ao ano, em 2 anos e 5 meses, importa em R$ 7.612,50. Determine o capital.

R: R$ 5.739,85

10. Determinar o capital e os juros cuja soma, no final de 5 meses, à taxa de 15,5% ao ano, atingiu R$ 17.676,00.

R: R$ 16.603,68 e R$ 1.072,32

11. Qual é o capital que, acrescidos dos seus juros produzidos em 270 dias, à taxa de 14% ao ano, se eleva a R$ 45.071,50?

R: R$ 40.788,69

12. Uma pessoa aplicou R$ 110.000,00 do seguinte modo: R$ 68.000,00 a 5% ao ano e R$ 42.000,00 a uma taxa desconhecida. Sabendo-se que, no fim de meio ano, a primeira importância tinha rendido R$ 125,00 a mais do que a segunda, pergunta-se a que taxa esta última foi aplicada?

R: 7,5% ao ano

13. A soma de um capital com seus juros aplicado durante 110 dias, à taxa de 17% ao ano é igual a R$ 2.553,47. Determinar o valor dos juros, considerando-se o ano de 360 dias.

R: R$ 126,08

14. Certo capital, acrescido dos juros resultante de sua aplicação durante 8 meses eleva-se a R$ 23.100,00. O mesmo capital, acrescido de juros resultantes de 13 meses de aplicação, à mesma taxa, eleva-se a R$ 23.475,00. Calcular o capital e a taxa anual.

R: R$ 22.500,00 e 4% ao ano

15. Determinar a que taxa mensal esteve aplicado um capital de R$ 48.000,00 que, em 3 meses e 20 dias, rendeu R$ 440,00 de juros.

R: 0,25% ao mês

16. Dois capitais de R$ 11.000,00 e R$ 5.000,00 estiveram aplicados durante 3 anos. Determinar à que taxa esteve aplicado o segundo capital, sabendo

9

que o primeiro, aplicado à taxa de 7% ao ano, rendeu R$ 1.110,00 a mais do que o segundo. R: 8% ao ano

17. Um capital ficou aplicado durante 2 anos, à taxa de 4% ao ano. Após este período, o montante foi reaplicado a 6% ao ano durante 18 meses. Determine o capital inicial, sabendo que o montante final foi de R$ 17.658,00?

R: R$ 15.000,00

18. O montante de uma aplicação, após 7 meses e 15 dias, foi de R$ 180.900,00. O mesmo capital, à mesma taxa, acrescido dos juros de 32 meses, dá um montante de R$ 210.840,00. Determinar o capital e a taxa mensal.

R: 0,7116% ao mês e R$ 171.734,09

19. Dois capitais diferem em R$ 86.000,00. O maior, empregado durante 10 meses, rendeu R$ 1.542,00. O menor, empregado durante 15 meses, rendeu, à mesma taxa, R$ 1.926,00. Quais foram os capitais empregados e qual a taxa anual?

R: 0,36% ao ano, R$ 514.000,00 e R$ 428.000,00

20. Dois capitais, um de R$ 240.000,00 e o outro de R$ 400.000,00 foram postos a juros segundo uma mesma taxa. O primeiro rendeu em 50 dias, R$ 10.000,00 a mais do que o segundo em 21 dias. Calcular a taxa de juros anual.

R: 100% ao ano

Taxa Média

A taxa média representa a taxa que aplicada ao capital total ofereça a mesma rentabilidade das aplicações efetuadas em cotas. A taxa média é a média ponderada das taxas.

T

nn

cicicic

i...... 2211 +++

=

Exemplo:

1. Um investidor resolveu diversificar seu capital de R$ 100.000,00 aplicando partes dele em diversos bancos, obtendo taxas diferentes para cada aplicação, de acordo com a tabela abaixo:

Capital TaxaR$ 50.000,00 2% ao mês

1

R$ 10.000,00 3% ao mêsR$ 20.000,00 1,5% ao mêsR$ 20.000,00 2% ao mês

Calcule a taxa média de suas aplicações.Prazo Médio

Entende-se por prazo médio o tempo (prazo) que aplicado ao capital total, ofereça a mesma rentabilidade das aplicações efetuadas em cotas.

T

mm

cncncnc

n...... 2211 +++

=

Exemplo:

1. Considerando uma taxa de 0,2% ao dia para os diferentes prazos de aplicação dos capitais fornecidos pela tabela abaixo, calcule o prazo médio das aplicações desses capitais.

Capital PrazoR$ 10.000,00 20 diasR$ 8.000,00 30 diasR$ 27.000,00 40 dias

EXERCÍCIOS

1. Calcular a taxa média obtida nas seguintes aplicações, que foram efetuadas pelo mesmo prazo.

Capital TaxaR$ 10.000,00 2,5% ao mêsR$ 8.000,00 3% ao mêsR$ 27.000,00 1% ao mês

R: 1,6889% ao mês

2. Um capital de R$ 70.000,00 foi dividido em duas aplicações. A primeira, no valor de R$ 50.000,00, recebeu taxa de 4% ao mês. Calcular qual deverá ser a taxa atribuída à segunda aplicação para que a taxa média seja de 3% ao mês.

R: 0,5% ao mês

1

3. Uma nota promissória de R$ 50.000,00 vence em 30 dias e outra de R$ 75.000,00 vence em prazo desconhecido. Sabendo-se que o prazo médio delas é de 32 dias, qual é o prazo da segunda promissória?

R: 33 dias

4. Um capital de R$ 213.800,00 foi dividido em duas aplicações. A primeira recebeu taxa de 3,5% ao mês e a segunda 5% ao mês. Calcular o valor de cada parcela, sabendo-se que a taxa média resultou em 4% ao mês.

R: R$ 71.266,67 e R$ 142.533,33

Desconto Simples

A idéia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. Assim, por exemplo, quando uma compra é feita em grande quantidade é comum o vendedor conceder algum desconto no preço por unidade. No comércio é bastante comum também o vendedor conceder um prazo para o pagamento; caso o comprador queira pagar à vista geralmente é proporcionado um desconto sobre o preço oferecido. Nestas situações, o desconto costuma ser expresso por um percentual aplicado sobre o preço.

Uma outra situação envolvendo o conceito de desconto ocorre quando uma empresa vende um produto a prazo; neste caso, o vendedor emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador, na data futura, o valor combinado. A duplicata é, portanto, um título emitido por uma pessoa jurídica contra o cliente para o qual ela vendeu mercadorias à prazo ou prestou serviços para serem pagos no futuro, segundo um contrato. A emissão da duplicata só é legal se for feita tendo por base a nota fiscal proveniente do serviço prestado.

Chamamos de desconto de um título ao abatimento que se dá sobre o seu valor pela antecipação do seu pagamento.

Pela sistemática de capitalização simples, os valores do desconto são obtidos por meio de cálculos lineares. O desconto é estudado sob duas modalidades: desconto comercial simples e desconto racional simples.

Desconto comercial, bancário ou “por fora”

É aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o valor nominal do título. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizada, principalmente, nas chamadas operações de “desconto de duplicatas”. O desconto comercial é obtido multiplicando-se o valor de resgate (nominal) do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:

1

n . . iNd = onde: d = desconto comercial, bancário, “por fora”N = valor nominal do títuloi = taxa de desconton = prazo

Para se obter o valor presente (valor do título após o desconto), também chamado de valor atual, basta subtrair o valor do desconto do valor nominal do título.

dNA −= e ainda ).1(..niNAniNNA

−=−=

Exemplos:1. Um título de valor nominal R$ 24.000,00 sofre um desconto bancário à taxa

de 30% ao ano, 60 dias antes do seu vencimento. Qual o valor do desconto e qual o seu valor atual?

2. Um título de R$ 100,00 será descontado a 1% ao mês, 120 meses antes do vencimento. Qual o valor do desconto?

OBS.: O desconto comercial é utilizado para operações de curto prazo, para prazos longos, seu cálculo se torna impraticável, pois o valor do desconto se torna tão elevado que pode, inclusive, ultrapassar o próprio valor nominal do título.

Desconto racional ou “por dentro”

É aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor atual do título ou valor líquido.

1

niniNd

niNniddnidniNdnidNd

niAd

.1..'

...'.'.'...'

.).'('

. . '

+=

=+−=

−=

=

niNA

niniNniNNA

nininNA

dNA

.1

.1....

.1..

'

+=

+−+=

+−=

−=

Exemplo:1. Calcular o valor do desconto por dentro de um título de R$ 2.000,00 com

vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês.

EXERCÍCIOS

1. Qual o valor do desconto por fora de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês?

R: R$ 150,00

2. Qual o valor a ser pago hoje por um título de R$ 50.000,00 cujo vencimento ocorrerá daqui a 3 meses, supondo que a taxa de desconto bancário seja de 5,5% ao mês?

R: R$ 41.750,00

3. Calcular a taxa mensal de desconto por dentro utilizada numa operação de 120 dias, cujo valor de resgate do título é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00.

R: 3,4% ao mês

4. Sabendo-se que o desconto de um título no valor de R$ 6.800,00 resultou em um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente, e que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, calcular o prazo do título, com desconto por dentro.

R: 4 meses e 5 dias

1

5. Uma nota promissória de valor nominal de R$ 24.000,00 sofre um desconto por fora à taxa de 30% ao ano, 30 dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto e qual o seu valor atual?

R: R$ 600,00 e R$ 23.400,00

6. Uma duplicata de valor nominal de R$ 39.600,00 é negociada à taxa de 30% ao ano, 120 dias antes do vencimento. A quanto importou o desconto que foi racional? Qual o seu valor atual?

R: R$ 3.600,00 e R$ 36.000,00

7. Qual o desconto bancário, a 5% ao mês, sobre um título de R$ 750,00 pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento?

R: R$ 87,50

8. Um título no valor de R$ 1.200,00 pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a R$ 900,00. Qual foi a taxa mensal considerando o desconto bancário e o desconto racional?

R: 5% ao mês e 6,6667% ao mês

9. Determine o valor atual produzido por uma letra que, descontada por dentro, 60 dias antes do seu vencimento, à taxa de 9% ao mês, produziu R$ 140,00 de desconto.

R: R$ 777,78

10. Calcular o desconto por dentro de um título com vencimento daqui a 8 anos, no valor nominal de R$ 1.000,00, se descontado hoje à taxa anual de 20%. Repita o cálculo verificando o desconto por fora e analise as respostas encontradas.

R: R$ 615,38 e R$ 1.600,00

Equivalência de Capitais Diferidos

Dois ou mais capitais são diferidos quando são exigíveis em datas diferentes. Dessa forma, títulos de créditos que têm vencimentos distintos são capitais diferidos. Dois ou mais capitais diferidos são equivalentes em certa época se, nessa época, seus valores atuais forem iguais.

Por exemplo: um título de valor nominal R$ 100,00 tem vencimento para 3 meses e outro título de valor nominal R$ 109,31 tem vencimento para 7 meses. Atualizando os valores desses títulos à taxa de 2% ao mês, temos:

1

).1( niNAT −=94)7.02,01(31,109

94)3.02,01(100

2

1

=−=

=−=

T

T

A

A

21 TT AA =∴

Como os valores atuais dos títulos são iguais, pode-se afirmar que o capital R$ 100,00 para 3 meses é equivalente ao capital R$ 109,31 para 7 meses, à taxa de 2% ao mês.

O problema de equivalência de capitais diferidos aplica-se quando há substituição de um título (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento diferente.

Consideremos, por exemplo, N o valor nominal de um título para n meses e N’ o valor nominal de outro título, equivalente ao primeiro, com vencimento para n’ meses; os valores atuais (An e A’n’) dos títulos são iguais, portanto:

).1( niNAn −= )'.1('' ' niNA n −=

'.1).1('

)'.1(').1(

niniNN

niNniN

−−=

−=−

Exemplo:1. Um título de valor nominal equivalente a R$ 1000,00, vencível em 3 meses,

vai ser substituído por outro, com vencimento para 5 meses. Admitindo-se que esses títulos podem ser descontados à taxa de 1% ao mês, qual o valor nominal do novo título?

EXERCÍCIOS

1

0 1 2 3 4 5 6 7

2T

1T

1. Um título de valor nominal R$ 200,00 para 45 dias vai ser substituído por outro para 65 dias. Considerando-se uma taxa de 20% ao ano, qual o valor nominal do novo título?

R: R$ 202,31

2. Um título de valor nominal R$ 400,00, pagável em 40 dias, vai ser substituído por outro com vencimento para 100 dias. Admitindo-se que o credor possa resgatar o título à taxa de 24% ao ano, determinar o valor nominal do novo título.

R: R$ 417,143. Um título de valor nominal equivalente a R$ 144,00, vencível em 50 dias, foi

substituído por outro de valor nominal R$ 151,00. Calcular o prazo do novo título, sabendo-se que a taxa empregada nessa transação foi de 2% ao mês.

R: 3 meses e 27 dias

4. Uma empresa deve pagar dois títulos: um de R$ 720,00 para 2 meses e outro de R$ 960,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um único título para 4 meses. Calcular o valor nominal do novo título empregando a taxa de 1,2% ao mês.

R: R$ 1.710,25

5. Um título de valor nominal equivalente a R$ 70,40 com vencimento para 5 meses, substituiu outro de valor nominal equivalente a R$ 66,00, vencível em 2 meses. Qual a taxa dessa transação?

R: 2% ao mês

6. Dois títulos de R$ 100,00 exigíveis em 3 e 4 meses respectivamente, serão substituídos por dois novos títulos, de mesmo valor nominal, para 5 e 6 meses, respectivamente. Sendo de 9% ao ano, a taxa do desconto, calcular o valor nominal dos novos títulos.

R: R$ 101,56

7. Uma empresa devedora de dois títulos de R$ 3.000,00, vencíveis em 3 e 4 meses, deseja resgatar a dívida com um único pagamento no fim de 5 meses. Calcular o valor desse pagamento empregando a taxa de 1,5% ao mês.

R: R$ 6.145,95

1

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1. Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques a descoberto e que cobra 1,5% ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias que a conta ficar descoberta. Determinar o montante de juros cobrado no mês de abril assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que em abril são emitidos os seguintes cheques:

Data Valor do cheque1º de abril R$ 2.000,0011 de abril R$ 1.000,0021 de abril R$ 1.000,00

R: R$ 45,002. Um investidor deposita uma determinada importância numa instituição

financeira. No final de quatro meses, ao encerrar sua conta, verifica que o montante acumulado até aquela data totaliza R$ 10.480,00. Esse mesmo valor é então depositado em outra instituição financeira, por um prazo de cinco meses. No final desse período o montante acumulado na segunda instituição é igual a R$ 11.108,80. Sabendo-se que as duas instituições operam com juros simples e remuneram seus depósitos com a mesma taxa, determinar:

a) a taxa mensal de juros simples das duas instituições b) b) o valor do depósito inicial na primeira instituição.

R: a) 1,2% ao mês; b) R$ 10.000,003. Uma empresa obtém num banco comercial um empréstimo de

R$ 10.000,00 com uma taxa de 1,2% ao mês (desconto “por dentro”), juros simples, que pode ser liquidado no final de cada mês. Decorridos três meses, essa empresa resolve liquidar esse empréstimo com recursos obtidos, no mesmo banco, através de um novo empréstimo, com uma taxa de 1% ao mês, também a juros simples. Decorridos alguns meses a empresa decide liquidar o segundo empréstimo e verifica que o total de juros acumulados nos dois empréstimos é de R$ 981,60. Determinar:

a) o valor do segundo empréstimo suficiente para liquidar o primeiro

1

b) o valor do pagamento final para liquidar o segundo empréstimoc) o prazo do segundo empréstimod) a taxa média mensal, a juros simples, paga pela empresa,

considerando os dois empréstimos em conjunto.R: a) R$ 10.360,00; b) R$ 10.981,60; c) 6 meses; d) 1,065% ao mês

4. Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses, rende juros simples à taxa de 22% ao ano e paga imposto de renda igual a 20% do juro; o imposto é pago no resgate.

a) qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00? (Montante líquido é igual ao montante menos o imposto de renda.)

b) qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de R$ 9.500,00?

R: a) R$ 8.586,66; b) R$ 8.850,935. Uma dívida de R$ 50.000,00 vence daqui a 8 meses. Considerando uma

taxa de juros simples de 2% ao mês, calcule seu valor atual, com desconto racional:

a) hojeb) 3 meses antes do vencimentoc) daqui a 2 meses.

R: a) R$ 43.103,45; b) R$ 47.169,81; c) R$ 44.642,866. João fez uma aplicação de R$ 50.000,00 a juros simples e à taxa de 2,5%

ao mês pelo prazo de 9 meses. No entanto, dois meses antes do vencimento, necessitando de dinheiro, vendeu o título a Pedro. Determine o valor de venda (valor atual dois meses antes do vencimento), sabendo-se que, nesta data, a taxa de juros simples para este título era de 2,8% ao mês, utilize desconto racional.

R: R$ 58.001,897. Uma empresa descontou uma duplicata de R$ 12.000,00 45 dias antes do

vencimento. Sabendo-se que ela recebeu um valor líquido de R$ 11.720,00, calcule a taxa mensal de desconto comercial da operação.

R: 1,56% ao mês8. Dois títulos, um para 50 dias e outro para 90 dias, foram descontados a

uma taxa de desconto comercial de 6% ao mês. Sendo de R$ 900.000,00 a soma de seus valores nominais e de R$ 128.400,00 a soma dos descontos, determine o valor nominal de cada título.

R: R$ 420.000,00 e R$ 480.000,009. Certo capital foi aplicado a juros simples de 30% ao ano durante 50 dias.

Calcular o capital e o rendimento obtido, sabendo-se que, se a diferença entre ambos, acrescida de R$ 10.000,00, fosse aplicada à mesma taxa, renderia R$ 95.000,00 no prazo de um ano.

R: R$ 320.000,00 e R$ 13.331,20

1

10.Uma duplicata com vencimento em 15 de dezembro é descontada por R$ 2.000,00 em 1 de setembro do mesmo ano a uma taxa simples de 6% ao mês. Nas modalidades de desconto comercial e racional simples, calcular o valor de resgate (valor nominal) do título e a taxa de desconto.

R: R$ 2.531,64 e R$ 2.420,0011.Calcule a taxa média das seguintes letras de câmbio:

- valor nominal de R$ 400,00, com vencimento em 50 dias e à taxa de 6% ao mês;- valor nominal de R$ 200,00, com vencimento em 30 dias e à taxa de 3% ao mês;- valor nominal de R$ 300,00, com vencimento em 45 dias e á taxa de

5% ao mês.R: 5,2% ao mês

12.Tenho três títulos a resgatar: um de R$ 6.000,00, com prazo de vencimento de 3 meses à taxa de 10% ao mês; um outro de R$ 5.000,00, com prazo de 4 meses à taxa de 15% ao mês e um último de R$ 8.000,00, com prazo de 3 meses a 12% ao mês. Qual será a taxa média para os descontos?

R: 12,39% ao mês13.Dois títulos de R$ 1.000,00, vencíveis, respectivamente, em 4 e 6 meses,

serão resgatados em único pagamento, a ser efetuado no fim de 2 meses. Calcular o valor desse pagamento, sabendo-se que a taxa do desconto comercial dessa transação é de 1% ao mês.

R: R$ 1.938,7714.Uma nota promissória de R$ 3.000,00 vence no fim de 3 meses e 15 dias e

outra, de R$ 4.000,00, em 5 meses. Calcular o valor do título único para 8 meses, que substitui os dois primeiros à taxa do desconto comercial de 1,8% ao mês.

R: R$ 7.536,2115.Três títulos de R$ 120,00 vencíveis em 30, 60 e 90 dias, respectivamente,

serão substituídos por dois títulos de R$ 190,00 para 120 e 150 dias. Calcular a taxa empregada nessa transação.

R: 2,02% ao mês16.A terça parte de um capital foi colocada a 18% ao ano e o restante a

15% ao ano. No fim de 2 anos os juros somaram R$ 300,00. Qual foi o capital aplicado?

R: R$ 937,5017.Um título sofre os descontos sucessivos de 5; 3 e 2%. Calcular a taxa única

equivalente a esses descontos.R: 9,693%

18.Durante quanto tempo um capital produz juros iguais a ¾ de seu valor, à taxa de 2% ao mês?

R: 3 anos, 1 mês e 15 dias

2

19.A diferença entre os descontos comercial e racional de um título, resgatado 6 meses antes do vencimento à taxa de 10% ao ano, é de R$ 105,00. Calcular o desconto comercial e racional.

R: R$ 2.205,00 e R$ 2.100,0020.Os descontos comercial e racional de um título, a 20% ao ano, são

respectivamente, de R$ 660,00 e de R$ 600,00. Calcular o valor nominal do título e o tempo que falta para seu vencimento.

R: R$ 6.600,00 e 6 meses

CAPÍTULO II

JUROS COMPOSTOS

Este capítulo tem por objetivo mostrar o problema da capitalização composta, isto é, aquele voltado para o crescimento do dinheiro ao longo do tempo, no regime de juros compostos.

Em seguida é estudado o problema inverso, ou seja, o da diminuição das grandezas futuras ao serem trazidas para o presente, mediante as operações de desconto composto.

Cálculo dos Juros Compostos

Ao contrário do que acontece no regime de juros simples, no regime de juros compostos a base sobre a qual a taxa de juro composto incide é variável. No regime de juros compostos a taxa de juros incide sempre sobre o capital atualizado, isto é, sobre o capital original mais os juros acumulados até o período imediatamente anterior.

Considerando um capital C aplicado a uma taxa de juros i por n períodos, o desenvolvimento de uma fórmula que relaciona um valor monetário de hoje C com um valor futuro nM é a seguinte:

Tempo (n) Juro Montante1 Ci . 1

11 )1( iCMiCCM +=→+=2 1 . Mi )1( 12112 iMMiMMM +=→+=

222 )1( )1)(1( iCMiiCM +=→++=

3 2 . Mi )1( 23223 iMMiMMM +=→+=3

32

3 )1( )1()1( iCMiiCM +=→++=... ... ...

2

n 1 . −nMi nn iCM )1( +=

Logo, o montante, no regime de juros compostos é calculado pela expressão: niCM )1( += onde C é o capital aplicado

i é a taxa de jurosn é o prazo de aplicação

O gráfico a seguir ilustra o comportamento do crescimento do capital no regime de juros compostos.

Juro Composto

Todas as demais fórmulas de juros compostos são deduzidas a partir da expressão genérica niCM )1( += .

Para o cálculo do capital niCM )1( +=ni

MC)1( +

=

Para o cálculo do período niCM )1( +=

)1log( log

)1(

inCM

iCM n

+=

+=

)1log(

log

iCM

n+

=

2

100

200

300

400

montante

1 2 3 4

período

Para o cálculo da taxa niCM )1( +=

iCM

iCM

n

n

+=

+=

1

)1(

1−= nCMi

A Calculadora HP-12C

A HP-12C é uma calculadora de tecnologia norte-americana, por isso, suas teclas têm letras que sintetizam, em inglês, as funções que representam.

No mundo das finanças a HP-12C é possivelmente a mais popular das calculadoras financeiras, ela foi projetada para fazer muitos tipos de cálculos, por isso, ela possui até três funções por teclas, simbolizadas por caracteres impressos em cores diferentes: brancas, amarelas e azuis. Para utilizar as funções brancas basta pressionar a tecla diretamente e para acionar as teclas azuis e amarelas pressiona-se primeiramente a tecla (f) e (g) respectivamente. Quando as teclas f e g são acionadas o visor da calculadora mostra as letras f e g.

Para os cálculos financeiros utilizamos 5 teclas (i, n, PV, PMT e FV), localizadas na parte superior da HP-12C, que obedecem às seguintes definições:

Número de períodos de capitalização de juros, expresso em anos, semestres, trimestres, meses ou dias. Os valores de n podem ser números inteiros ou fracionários.

Taxa de juros por período de capitalização, expresso em porcentagem.

Valor Presente (Presente Value), valor do capital inicial aplicado.

Valor de cada prestação da série uniforme (Periodic Pay MenT) que ocorre no fim ou no início de cada período.

Valor Futuro (Future Value), ou valor do montante acumulado no fim de n períodos de capitalização, com a taxa de juros i por período.

Devemos observar que:

Os valores monetários (PV, FV, PMT) devem ser registrados na calculadora sempre de acordo com a convenção de sinal, isto é, as entradas de caixa (recebimentos) devem ter o sinal positivo (+), e as saídas de caixa (pagamentos) devem ter sinal negativo ( - ).

2

PMT

i

n

FV

PV

A unidade referencial de temo da taxa de juros i deve coincidir com a unidade referencial de tempo do período n.

Antes da entrada de dados financeiros devemos apagar os registros financeiros utilizando as teclas (f) (fin).

Exemplos:

1. Calcular o montante de um capital de R$ 10.000,00 aplicado a juros compostos de 2% ao mês, durante 3 meses.

2. Qual a quantia que, colocada em um banco, a juros compostos de 2% ao mês, durante 5 meses, eleva-se a R$ 40.000,00?

3. Durante quanto tempo deve-se aplicar R$ 5.000,00 à taxa de 7% ao mês, para produzir o montante de R$ 11.260,96?

4. Um capital de R$ 7.500,00, aplicado durante 5 meses, produziu um montante de R$ 9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada?

Cálculo de montantes com prazo fracionado

No cálculo financeiro a juros compostos, muitas vezes o prazo da aplicação não corresponde a um número inteiro de períodos a que se refere a taxa de juros, mas a um número fracionário. Nesse caso, admitem-se duas alternativas de cálculo: cálculo pela convenção linear e cálculo pela convenção exponencial.

2

Cálculo pela Convenção LinearOs juros compostos são usados para o número inteiro de períodos e os juros simples para a parte fracionária do tempo.

O montante, nesse caso, será dado por:

++=

kPiiCM t .1)1( onde t = parte inteira do tempo

=kP

parte fracionária do tempo

Cálculo pela Convenção Exponencial

Os juros compostos são usados tanto para o número inteiro de períodos quanto para a parte fracionária do tempo.Por esta convenção, o montante é calculado por:

kP

tiCM

++= )1(

Na calculadora HP-12C, para cálculos pela convenção exponencial, as teclas (STO) (EEX) devem ser pressionadas (a letra c aparece no visor); caso contrário, a máquina fará os cálculos pela convenção linear. Para apagá-la do visor, basta pressionar novamente as teclas (STO) (EEX).

Exemplo:1. Sendo um capital no valor de R$ 10.000,00 que é aplicado a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano durante um período de 3 anos e 5 meses, calcule o montante usando a convenção linear e a convenção exponencial.

CONVENÇÃO LINEAR:

CONVENÇÃO EXPONENCIAL:

2

EXERCÍCIOS

1. Calcular o montante para um capital inicial de R$ 10.000,00 a juros compostos de 4% ao mês, durante 8 meses e 12 dias. (Use a convenção exponencial).

R: R$ 13.902,09

2. Em 1995, na porta de um banco encontrava-se um cartaz onde se lia “Aplique hoje R$ 1778,80 e receba R$ 3.000,00 daqui a 6 meses”. Qual era a taxa mensal de juros que o banco estava aplicando o dinheiro investido?

R: 9,10% ao mês3. Qual o tempo necessário para que um certo capital, colocado a juros

compostos de 5% ao mês, produza juros de 80% do seu valor?R: 13 meses

4. Calcular o montante de R$ 10.000,00 a juros compostos de 12% ao ano, durante 30 meses, com capitalização mensal.

R: R$ 13.478,495. Qual a taxa mensal de inflação num país onde os preços duplicam de valor

em 3 meses?R: 26% ao mês

6. Qual o montante de uma aplicação de R$ 2.000,00 em 1 ano e meio, à taxa de 12,5% ao ano, capitalizado trimestralmente?

R: R$ 2.405,557. O capital de R$ 120,00 foi colocado a juros de 20% ao ano, capitalizado

semestralmente. Qual o montante no fim de 2 anos e 6 meses?R: R$ 193,26

8. Durante quanto tempo se deve aplicar R$ 5.000,00 à taxa de 7% ao mês,. Para produzir o montante de R$ 12.000,00?

R: 13 meses9. Um capital de R$ 7.500,00, aplicado durante 5 meses, produziu um

montante de R$ 9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada?R: 4,84% ao mês

10.Usando a convenção linear e a convenção exponencial calcule o montante das aplicações abaixo:

a) Capital de R$ 12.000,00, aplicado a uma taxa de 15% ao ano, durante 5 anos e 10 meses.

b) Capital de R$ 13.176,15, aplicado a uma taxa de 4% ao bimestre, durante 1 ano e 1 mês.R: a) R$ 27.153,32 e R$ 27.117,65; b) R$ 17.005,47 e R$ 17.002,20

2

Desconto Composto

O Desconto Composto é constituído pela soma de descontos simples, que devem ser calculados isoladamente em cada um dos períodos que faltam para o vencimento do título.

Neste desconto, assim como no desconto simples, também apresenta duas modalidades: o desconto composto real e o desconto composto bancário. O desconto composto real equivale à soma de descontos racionais, enquanto o desconto composto bancário corresponde à soma de descontos comerciais. Entretanto, na prática, somente o desconto composto real é utilizado e será estudado a seguir.

Cálculo do desconto composto real

Como já foi mencionado, o desconto composto equivale à soma de descontos simples; e, considerando um período de 4 anos, por exemplo, o desconto composto deveria ser encontrado calculando 4321 ' ,' ,' ,' dddd , respectivamente e então somando os valores encontrados em cada desconto, conforme a figura seguinte.

Obviamente, seria muito trabalhoso resolver um problema de desconto composto real dessa forma. Por esse motivo vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do valor atual (A) de um título de valor nominal (N), com vencimento para (n) períodos, a uma taxa (i).

2

1A2A3A4A N

1 2 3 4 anos0

4'd 3'd 2'd 1'd

Cddddd ''''' 4321 =+++

onde in

Nind+

=1

'

3

2

22

2323

23

21

212

12

1

11

1

)1(1)1(

)1(1)1('

1'

)1(11

111'

1'

11)1(

1

'1

'

iN

i

iiN

iN

iiA

iNdAA

iiAd

iN

i

ii

N

iN

iiA

iNdAA

iiAd

iN

iNiiN

iNiNA

dNAi

Nid

+=

++−

+=

+−

+=−=

+=

+=

++−

+=

+−

+=−=

+=

+=

+−+=

+−=

−=+

=

Portanto, para n períodos, temos:

nn iNA

)1( += ou simplesmente ni

NA)1( +

=

As demais fórmulas são deduzidas a partir dessa.

Para o cálculo do valor nominal niNA

)1( +=

niAN )1( +=

Para o cálculo do prazo de antecipação niNA

)1( +=

ANin

ANi

ANi

NiA

n

n

n

n

log)1log(

log)1log(

)1(

)1(

=+

=+

=+

=+

)1log(

log

iAN

n+

=

2

Para o cálculo da taxa niNA

)1( +=

n

n

n

ANi

ANi

NiA

=+

=+

=+

1

)1(

)1(

1−= nANi

Exemplo:

Qual é o valor atual de R$ 1.200,00, a 3% ao mês, paga 4 meses antes do vencimento?

EXERCÍCIOS

1. De quanto tempo foi antecipado o pagamento de um título de R$ 154.000,00 se a 9% ao ano, o seu valor sofreu uma redução de R$ 28.500,00?

R: 3 anos2. A que taxa foi descontada uma dívida de R$ 50.000,00 que sendo paga 5

anos antes do vencimento se reduziu a R$ 37.362,96?R: 6% ao ano

3. Assumi uma dívida que, a juros compostos equivale a R$ 20.000,00. Pagando-a, porém , 2 anos antes do vencimento, obtive um desconto de 6% ao ano. Quanto desembolsei?

R: R$ 17.779,934. Uma dívida de R$ 60.000,00 foi descontada 3 anos antes do vencimento, a

5% ao ano. Em quanto importou o desconto?R: R$ 8.169,74

5. Qual é o valor atual de R$ 20.000,00, exigível daqui a 10 anos, descontados a 10% ao ano?

R: R$ 7.710,876. Calcular o valor atual, a 5% ao ano, de R$ 1234,10 pagos 4 anos, 3 meses

e 20 dias antes do vencimento. (Use convenção exponencial).R: R$ 1.000,27

2

7. Um título de R$ 50.000,00 pago 6 anos antes do vencimento, sofreu um desconto de 5,4% ao ano. Calcular o desconto.

R: R$ 13.530,798. De quanto tempo foi antecipado o pagamento de R$ 37.038,90 sabendo

que, descontado a 4,5% ao ano, o seu valor se reduziu a R$ 20.000,00?R: 14 anos

9. A que taxa se descontou um título de R$ 25.600,00 que pago, 3 anos, 4 meses e 5 dias antes do vencimento, se reduziu a R$ 19.800,00?

R: 7,98% ao ano10.À taxa de 8% ao ano, calcular o valor atual de R$ 20.000,00, pago 4 anos

antes do vencimento.R: R$ 14.700,60

Equivalência de Capitais Diferidos

Ao estudar juros e descontos simples, viu-se que dois ou mais capitais, realizáveis em datas distintas, são equivalentes se, na época, seus valores atuais forem iguais. Entretanto pelo sistema de capitalização composta usual (juros compostos e desconto composto real), a equivalência dos capitais diferidos pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualquer outra data, pois se dois capitais forem equivalentes em uma certa época, eles o serão em qualquer outra.

Para levar o capital A da época 1 para a época 6, basta que o multipliquemos por 55)1( ui =+ , pois capitalizamos o valor A por 5 períodos. Se quisermos voltar o capital M da época 7 para a época 3, teremos de multiplicá-lo

por 44)1(

1 vi

=+ pois estamos descapitalizando o valor M por 4 períodos.

Exemplo:

1. Uma pessoa, devedora de um título de valor nominal R$ 1.000,00 para 3 anos, deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de um ano e outro no fim de dois anos. Estabelecendo a taxa de 18% ao ano com capitalizações semestrais para o desconto, calcular o valor desses pagamentos.

3

0 1 2 3 4 5 6 7

A 5Au

4Mv Mn

nn

iCM

iNiNA

)1(

)1()1(+=

+=+

= −

OBS.: Quando um devedor salda uma dívida antes do prazo combinado, está diminuindo o risco que corre o seu credor. Assim, é justo que o devedor pleiteie uma compensação além daquela que ele tem por não pagar os juros relativos ao período antecipado. Analogamente, quando o prazo é aumentado, aumenta também o risco do credor e aí também é justo que este tenha uma compensação, além daquela relativa aos juros do período acrescido.

Em ambos os casos, a compensação está na majoração da taxa. Se o devedor vai pagar antecipadamente, pagará com desconto. Quanto maior a taxa, maior o desconto. Quanto maior o desconto, menor a quantia a ser paga. Analogamente, quando o prazo for aumentado e a taxa também, o credor receberá mais juros do que receberia se a taxa fosse mantida.

2. Um advogado fez um empréstimo de R$ 100.000,00 e obrigou-se a pagá-lo depois de 10 meses, juntamente com seus juros compostos à taxa de 5% ao mês. Quatro meses depois de realizado o empréstimo, o advogado quer modificar a forma de pagamento, propondo pagar R$ 50.000,00 imediatamente e o restante com uma única prestação a ser efetuada 4 meses mais tarde. Calcular o valor dessa prestação sabendo que a nova forma de pagamento foi realizada a 6% ao mês.

3

EXERCÍCIOS

1. Uma empresa contraiu uma dívida de R$ 500.000,00 com um particular que cobra juros bimestrais de 8%. Decorridos 2 bimestres, a empresa paga R$ 200.000,00 e combina liquidar o saldo restante no final de mais 4 bimestres. Qual o valor do pagamento final?

R: R$ 521.339,372 Uma firma empreiteira fez um empréstimo, e ficou de pagá-lo em duas vezes de R$ 25.000,00 dentro de 4 e 6 meses, a juros de 5% ao mês, passando-se 3 meses a empresa resolve pagar todo o empréstimo, tendo a mesma taxa de desconto. Quanto ela pagará pela dívida?

R: R$ 45.405,463. Uma indústria fez um empréstimo e ficou de pagar depois de 5

quadrimestres o montante de R$ 1.000.000,00, tendo os juros sidos contados a 12% ao quadrimestre. Decorrido um quadrimestre, a indústria quer liquidar a dívida com dois pagamentos iguais, efetuando o primeiro imediatamente e o segundo depois de 2 quadrimestres. Qual o valor de cada pagamento?

R: R$ 353.616,874. Uma firma empreiteira fez um empréstimo de R$ 200.000,00 e ficou de

pagá-lo em duas vezes, dentro de 4 e 6 bimestres, respectivamente, a juros de 10% ao bimestre. Sabendo-se que as prestações são iguais, qual o valor de cada uma delas?

R: R$ 160.322,265. Uma construtora fez um empréstimo de R$ 800.000,00 e combinou pagá-lo

depois de 5 bimestres, juntamente com seus juros à taxa de 8% ao bimestre. Quatro bimestres após o contrato, a construtora quer saldar a dívida com três prestações iguais e consecutivas, vencendo a primeira imediatamente. Sabendo-se que a nova forma de pagamento foi feita na base de 10% ao bimestre, qual o valor de cada uma das novas prestações?

R: R$ 390.637,076. Uma firma contraiu um empréstimo para pagar do seguinte modo: 1º

pagamento depois de um mês no valor de R$ 50.000,00 e o 2º pagamento depois de dois meses no valor de R$ 100.000,00. Esses pagamentos abrangiam capital mais juros calculados a 7% ao mês. Se a firma modificar a forma de pagamento, saldando o débito com uma única prestação 4 meses após a data do contrato primitivo, qual o valor dessa única prestação, sabendo-se que a nova forma de pagamento foi realizada a 8% ao mês?

R: R$ 179.625,607. Foram feitas as seguintes dívidas: R$ 20.000,00 para pagar em cinco

meses com juros a serem capitalizados a 7% ao mês; R$ 30.000,00 para pagar em sete meses com os juros a serem capitalizados a 8% ao mês. Se

3

o débito total fosse pago por duas prestações iguais, efetuando-as respectivamente, três meses e seis meses após a época do contrato inicial, qual seria o valor de cada uma dessas prestações, adotando-se a taxa de 9% ao mês?

R: R$ 33.875,50

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1. Na capitalização composta:a) o montante é constante.b) o juro produzido por período é constante.c) só o capital aplicado inicialmente rende juros, ao fim de cada período.d) uma taxa mensal de 15% é equivalente a uma taxa bimestral de 30%.e) o juro produzido ao fim de cada período renderá juro nos períodos

seguintes.R: e

2. Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante três anos, na base de 10% ao ano, seu montante final é:a) 30% superior ao capital inicialb) 130% do valor do capital inicialc) aproximadamente 150% do capital iniciald) aproximadamente 133% do capital inicial

R: d3. Uma pessoa aplica hoje R$ 4.000,00 e aplicará R$ 12.000,00 daqui a 3

meses num fundo que rende juros compostos à taxa de 2,6% ao mês. Qual seu montante daqui a 6 meses?

R: R$ 17.626,544. Obtenha o montante das aplicações abaixo, considerando o regime de juros

compostos:Capital Taxa Prazo

R$ 80.000,00 36% ao ano 2 anosR$ 65.000,00 3% ao mês 1 anoR$ 35.000,00 7% ao trimestre 1 ano e meio

R: R$ 147.968,00; R$ 92.674,46 e R$ 52.525,565. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à

taxa de 2,2% ao mês para que duplique?R: 32 meses

6. Uma fábrica de tecidos fez um empréstimo para pagar em 4 prestações iguais, mensais e consecutivas no valor de R$ 100.000,00 cada, vencendo a primeira dois meses após o empréstimo. Estas prestações abrangem

3

capital mais juros calculados a 8% ao mês. Se, agora, a fábrica quiser saldar a dívida com dois pagamentos iguais, efetuando o primeiro quatro meses após o empréstimo e o segundo três meses após o primeiro, qual o valor de cada um desses novos pagamentos, supondo-se para a segunda transação a taxa de 10% ao mês?

R: R$ 256.383,307. Um investidor deseja fazer uma aplicação financeira a juros compostos de

1,5% ao mês, de forma a garantir uma retirada de R$ 10.000,00 no final do 6º mês e outra de R$ 20.000,00 no final do 12º mês, a contar da data da aplicação. Determinar o menor valor que deve ser investido para permitir a retirada desses valores nos meses indicados.

R: R$ 25.873,178. Um título de valor nominal de R$ 800,00, com vencimento para 3 anos, vai

ser substituído por dois títulos, de mesmo valor nominal, vencíveis em 2 e 5 anos respectivamente. Calcular o valor nominal destes títulos, sabendo-se que os juros são de 12% ao semestre e o desconto de 10% ao semestre.

R: R$ 433,489. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 5.000,00 por 3 anos, com juros

de 18% ao ano, capitalizado trimestralmente. Após algum tempo, o devedor propõe saldar a dívida com 3 pagamentos anuais iguais, realizáveis no fim do 2º, 3º e 4º anos, respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos, sabendo-se que a taxa de desconto empregada é de 16% ao ano, com capitalizações semestrais.

R: R$ 2.821,8010.Uma empresa toma um empréstimo de R$ 20.000,00 por 3 anos, com juros

de 18% ao ano capitalizado trimestralmente. Um ano após, a empresa propõe pagar R$ 10.000,00 imediatamente e liquidar o saldo no fim de 4 anos a partir desta data. Calcular o valor desse pagamento, sabendo-se que a taxa de desconto empregada é de 20% ao ano com capitalização semestral.

R: R$ 27.431.3111.Uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de R$ 10.000,00

vencida há três meses, e ainda antecipar o pagamento de outra de R$ 50.000,00 com cinco meses a decorrer até seu vencimento. Determinar o valor do pagamento a ser feito de imediato pela empresa para liquidar essas duas notas promissórias, levando em consideração uma taxa de 1,2% ao mês, juros compostos, e assumindo os meses com 30 dias.

R: R$ 57.469,3912.Uma empresa contraiu um empréstimo a juros compostos de 1,2% ao mês,

para ser liquidado no prazo de um ano, com dois pagamentos semestrais iguais de R$ 100.000,00. Esse empréstimo, entretanto, pode ser quitado com um único pagamento no valor de R$ 197.755,02. Determinar no final

3

de que mês deve ser feito esse pagamento para que a taxa de 1,2% ao mês seja mantida.

R: 8º mês13.Uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em uma poupança. Dois meses depois,

deposita mais R$ 2.500,00 e, dois meses depois desse último depósito, realiza uma retirada de R$ 1.300,00. Qual será o saldo da poupança ao fim do quinto mês, considerando que a taxa de juros compostos ganha é de 15% ao mês?

R: R$ 6.329,90

3

CAPÍTULO III

TAXAS DE JUROS

Uma vez definida a forma de capitalização, torna-se necessária uma definição rigorosa do tipo de taxa de juros com que se quer trabalhar. Diferentes operações financeiras usam diferentes tipos de taxas. Existem taxas para descontos de duplicatas, taxas para cartões de crédito, taxas para financiamento de curto prazo, taxas para financiamento de longo prazo, taxas mínimas de retorno exigidas para diferentes tipos de investimentos, etc.

Tendo em vista que toda a Matemática Financeira tem como insumo básico a taxa de juros, sua especificação rigorosa é fundamental para que se obtenham os resultados desejados. Contudo, qualquer que seja o tipo de operação financeira de interesse, a taxa de juros envolvida poderá ser especificada em uma das seguintes formas: taxa nominal ou taxa efetiva.

Taxa Nominal

No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período em que a taxa está sendo referenciada não coincide com o período em que sua capitalização está sendo referenciada.

Exemplo: 24% ao ano, com capitalização mensal, é uma taxa nominal.

A taxa de juros nominal é a taxa mais comumente encontrada nas operações financeiras. Contudo, apesar de sua proliferação nos contratos de financiamento, ela aparentemente, pode conduzir a ilusões sobre o verdadeiro custo da transação financeira. No exemplo acima, um leigo poderia, em princípio, imaginar um custo efetivo de capital anual da ordem de 24%, o que seria incorreto, pois 2% ao mês capitalizado durante 12 meses produziriam um resultado maior do que 24% ao ano. Nesse caso , os cálculos financeiros devem ser feitos tendo como base a taxa de 2% ao mês.

Exemplo numérico: Considerando um capital de R$ 100,00, aplicado a 20% ao ano, pelo período de 1 ano, com capitalização semestral, vamos calcular o seu montante pelo regime de capitalização composta.

3

0 1 2 semestresJ = R$ 10,00 J = R$ 11,00

R$ 100,00 R$ 110,00 R$ 121,0010% 10% Os juros realmente pagos no ano são de 21%.A taxa de 20% ao ano é nominal.

Taxa Efetiva

Uma taxa de juros é dita efetiva se o período em que ela estiver referenciada for coincidente com o período de capitalização.

Exemplo: 5% ao mês, capitalizado mensalmente 10% ao trimestre, capitalizado trimestralmente

É comum no caso de taxas efetivas, não se especificar o período de capitalização, ou seja, as taxas acima poderiam ser especificadas como uma taxa efetiva de 5% ao mês ou uma taxa efetiva de 10% ao trimestre.

É importante notar que essa taxa apresenta, sem subterfúgios, o verdadeiro custo da operação financeira realizada.

Operações com Taxas

Taxas Proporcionais

Duas taxas são ditas proporcionais quando se é indiferente quanto a efetuar os cálculos financeiros num período qualquer, usando-se uma taxa r, ou num outro período k vezes menor que o anterior, usando-se uma taxa r/k, e repetindo-se a aplicação por k períodos. Assim, a taxa proporcional é muito comum quando se está trabalhando sob o regime de juros simples.

Exemplo: No regime de juros simples um capital aplicado por 1 ano a uma taxa de 24% ao ano ( r ) produziria o mesmo resultado quando esse mesmo capital fosse aplicado a uma taxa de 2% ao mês ( ki ) por um período de 12 meses ( k ), isto é:

, kk ikri = e r são taxas proporcionais

12% ao ano, é proporcional a 6% ao semestre5% ao trimestre, é proporcional a 20% ao ano

Taxas Equivalentes

Duas taxas são equivalentes quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante, em mesmo intervalo de tempo.

3

Exemplo: 1,39% ao mês é equivalente a 18% ao ano

No caso específico de juros simples, verifica-se que as taxas proporcionais definidas anteriormente são também equivalentes.

Cálculo da taxa equivalente

Seja: i = taxa anualk = número de períodos de capitalização por anoki = taxa equivalente a i

Considerando um capital C = 1 aplicado durante 1 ano, tem-se:

)1(1 iCM += kkiCM )1(2 +=

Para que as taxas ki e i sejam equivalentes, os montantes devem ser iguais, logo:

kk

kk

iiiCiC

MM

)1(1

)1()1(21

+=+

+=+

=k

k ii +=+ 11

1)1( −+= kkii 11 −+=k

k ii

Exemplos:1. Qual a taxa semestral equivalente a 20% ao ano?

2. Qual a taxa anual equivalente a 5% ao trimestre?

Taxas Proporcionais X Taxas Equivalentes

As taxas de juros proporcionais e equivalentes são obtidas, respectivamente, nos regimes de juros simples e compostos.

A tabela seguinte apresenta uma comparação de diversas taxas anuais, proporcionais e equivalentes a determinadas taxas mensais, com a finalidade de mostrar as diferenças entre as taxas anuais obtidas a juros simples (proporcionais)

3

e a juros compostos (equivalentes) à medida que as taxas de juros aumentam de valor.

Taxas anuais proporcionais e equivalentes

Taxas efetivas mensais Taxas anuais proporcionaisJuros Simples

Taxas anuais equivalentesJuros Compostos

1,00% 12,00% 12,68%3,00% 36,00% 42,58%5,00% 60,00% 79,59%7,00% 84,00% 125,22%

10,00% 120,00% 213,84%12,00% 144,00% 289,60%15,00% 180,00% 435,03%20,00% 240,00% 791,61%

Conclusão

Neste capítulo foram apresentadas diversas formas de informar e calcular taxas de juros. Destacamos os seguintes pontos:

A taxa efetiva é a utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos. A taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita em seu enunciado, que

depende do número de períodos de capitalização. Taxas proporcionais são taxas de juros que permitem o mesmo

crescimento do dinheiro, no regime de juros simples. Taxas equivalentes são taxas de juros permitem o mesmo crescimento

do dinheiro, no regime de juros compostos.

EXERCÍCIOS

1. Qual a taxa trimestral equivalente a 6% ao ano?R: 1,4674% ao trimestre

2. Qual a taxa mensal equivalente a 36% ao ano?R: 2,5955% ao mês

3. A caderneta de poupança paga juros de 6% ao ano, com capitalizações mensais. Qual a taxa efetiva de juros?

R: 6,1678% ao ano4. Um título rende juros de 12% ao ano com capitalizações trimestrais. Qual a

taxa efetiva de juros?

3

R: 12,55% ao ano

5. Calcular a taxa mensal proporcional e a taxa mensal equivalente a 24% ao ano.

R: 1,8088% ao mês6. Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondente a 2% ao mês.

R: 26,82% ao ano7. O capital de R$ 500,00 foi colocado a juros de 20% ao ano capitalizado

trimestralmente. Calcular o montante no fim de 2 anos e 8 meses empregando a taxa anual efetiva.

R: R$ 841,378. Uma instituição financeira paga juros de 24% ao ano, capitalizado

trimestralmente. Qual a taxa efetiva?R: 26,2477% ao ano

9. Um capital foi aplicado a 1,5% ao mês. Qual a taxa anual equivalente?R: 19,5618% ao ano

10.Determinar a taxa diária equivalente à taxa de 6% ao semestre.R: 0,03237% ao dia

4

CAPÍTULO IV

RENDAS

Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos.

Quando o objetivo é constituir um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização. Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja amortização, que é o caso dos aluguéis.

Conceito

As Rendas constituem um conjunto de dois ou mais pagamentos, realizáveis em épocas distintas, destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida.

Elementos

Os pagamentos que podem ser prestações ou depósitos, constituem os termos (T ou PMT) da renda. Denomina-se n o número de termos (pagamentos) e i a taxa unitária dos juros. Se o objetivo da renda for constituir capital, esse capital será o montante da renda, que é a soma dos montantes dos seus termos; se, entretanto, o objetivo for amortizar uma dívida, o valor dessa dívida será o valor atual (ou valor presente), que é a soma dos valores atuais dos seus termos.

Classificação das rendas

As rendas podem ser certas ou aleatórias. Rendas certas ou também chamadas séries periódicas uniforme, são aquelas em que o número de termos, os vencimentos e seus valores podem ser previamente fixados. Quando pelos menos um desses elementos não puder ser determinado com antecedência, a renda é chamada aleatória.

Rendas

Perpétuasperiódicas Não

Variáveis

Certas RendasDiferidas

sAntecipadaImediatas

ConstantesPeriódicas

sTemporária

4

- quanto ao prazo:a) temporárias: o número de termos é finito, a renda tem um termo final.b) perpétuas: o número de termos é infinito.

- quanto à periodicidade:a) periódicas: o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos é constante (mensais, semestrais, etc.).b) não periódicas: caso contrário.

- quanto ao valor dos termos:a) constante: todos os termos são iguais.b) variável: os termos não são iguais entre si.

- quanto à forma de pagamento ou de recebimento:a) Imediata: quando os termos são exigíveis no fim dos períodos.

Ex.: Renda imediata de 6 termos mensais de R$ 100,00.

b) Antecipada: quando os termos são exigíveis no início dos períodos.

Ex.: Renda antecipada de 6 termos mensais de R$ 100,00.

c) Diferida: os termos são exigíveis a partir de uma data que não é o primeiro período, ou seja, a renda diferida equivale a uma renda imediata que tem um prazo de carência entre o valor atual e o início dos pagamentos.

Ex.: Renda diferida de 3 meses, com 6 termos mensais de R$ 100,00.

Cálculo da Renda Imediata

4

100 100 100 100100 1000 654321

100 100 100100 100 1000 654321

100 100 100100 100 100

0

654321

2

0

31

carência

Valor Atual: João compra um carro, que irá pagar em 6 prestações de R$ 1450,00, sem entrada. As prestações serão pagas a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. Qual o preço do carro à vista?

Montante: Uma pessoa deposita R$ 100,00 mensalmente. Sabendo-se que ela está ganhando juros de 1,5% ao mês, quanto possuirá em 2 anos?

Cálculo da Renda Antecipada

Valor Atual: Uma loja oferece um certo eletrodoméstico em 1 entrada e mais 3 prestações de R$ 85,00. A taxa de juros cobrada pela loja é de 2% ao mês. Qual o valor à vista do eletrodoméstico?

Montante: Calcule o valor acumulado por uma pessoa se depositar mensalmente R$ 150,00, com renda antecipada, em um banco que paga 3% ao mês, durante 6 meses.

Cálculo da Renda Diferida

4

Fluxos de Caixa Não Homogêneos

A Calculadora HP-12C dispõe das seguintes funções especiais para tratar fluxos de caixa não homogêneos, com até 20 parcelas desiguais.

Funções Azuis jj NCFCF e ,0

Serve para registrar o valor da parcela do fluxo de caixa colocada no onto zero, ou seja, o valor do principal aplicado ou do investimento inicial. Esse valor é guardado na memória fixa 0 da calculadora.

Serve para registrar os valores das parcelas individuais do fluxo de caixa colocadas nos diversos pontos j, em ordem seqüencial. Esses valores são guardados nas memórias ficas de 1 a 9 e de .0 a .9, e estão portanto limitados a 19 parcelas individuais.

Serve para registrar o número de parcelas individuais CFj de mesmo valor e repetidas seqüencialmente. Cada valor de Nj pode ser no máximo igual a 99.

Função Amarela NPV

Serve par calcular o valor presente líquido do fluxo de caixa que tiver sido registrado na HP-12C pelas funções CFo, CFj e Nj.

Valor Atual: Uma loja de materiais de construção oferece um determinado produto em 4 parcelas de R$ 60,00, o primeiro pagamento vence em 60 dias. Qual o valor atual se os juros são de 2% ao mês?

4

CFo

CFj

Nj

NPV

EXERCÍCIOS

1. Um televisor em cores custa R$ 1.050,00 à vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3% ao mês. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador.

R: R$ 123,092. Um tapete persa é vendido por R$ 3.000,00 à vista. Pode ser adquirido em

prestações mensais de R$ 481,52, a juros de 3% ao mês. Sabendo que as prestações vencem a partir do mês seguinte ao da compra, pede-se para calcular o número de prestações.

R: 73. Qual o preço à vista de um televisor em cores que é ofertado nas seguintes

condições: 6 pagamentos de R$ 225,00 sem entrada, sendo a taxa de juro praticada pelo comerciante igual a 4% ao mês?

R: R$ 1.179,484. Um carro está à venda por R$ 4.000,00 de entrada mais 24 prestações

mensais de R$ 894,60. Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de R$ 645,26, sendo neste caso exigido uma entrada de R$ 4.800,00. Qual a melhor alternativa se a taxa do mercado for de 3% ao mês?

R: R$ 19.150,54 e R$ 18.887,48(melhor opção)5. Qual a importância que uma pessoa acumula ao fim de 1 ano se depositar

mensalmente a importância de R4 850,00 numa caderneta de poupança que rende 1,5% ao mês?

R: R$ 11.085,036. Uma imobiliária, especializada na venda de apartamentos usados, põe à

venda uma kitchenette por R$ 15.000,00 à vista ou em 12 vezes, com uma entrada de 30%. Qual o valor da prestação mensal? Considerar a taxa anual de 12%.

R: R$ 932,917. O pai de um estudante efetua mensalmente, durante 36 meses, depósitos

de R$ 200,00 em um banco que paga 2% ao mês, sobre o saldo credor, com renda antecipada. Este dinheiro se destina ao custeamento dos estudos superiores do filho. Qual será o montante acumulado?

R: R$ 10.606,858. A quantia de R$ 56.000,00 foi financiada para pagamento em 8 prestações

mensais e iguais no valor de R$ 8.490,00 sem entrada. Qual a taxa de juros envolvida neste financiamento?

R: 4,5% ao mês9. Uma loja de aparelhos de som oferece, numa campanha publicitária, um

determinado equipamento em 3 parcelas de R$ 300,00, o primeiro pagamento vence em 90 dias. Qual o valor atual se os juros são de 3% ao mês? R: R$ 799,87

4

10.Uma dívida de R$ 4.321,93 vai ser resgatada com 15 prestações trimestrais, diferidas de 6 meses. Calcular o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juros é de 24% ao ano.

R: R$ 500,0011.Quanto se deve aplicar no início de cada mês para, em 5 anos a 12% ao

ano, constituir o montante de R$ 10.000,00? OBS.: Renda antecipada.R: R$ 121,23

12. Uma máquina é vendida em 10 prestações mensais antecipadas de R$ 1.200,00. Sendo os juros de 1,5% ao mês, qual o valor à vista da máquina?

R: R$ 11.232,6213. Uma pessoa deposita, numa instituição financeira, a importância de R$

200,00. Calcular o montante no fim de 5 anos, sabendo-se que os juros são de 20% ao ano, capitalizado semestralmente, com renda imediata.

R: R$ 3.187,4814. Uma pessoa compra um objeto de arte por R$ 5.000,00 com 20% de

entrada e o saldo em 4 prestações anuais a juros de 12% ao ano. Calcular o valor da prestação.

R: R$ 1.316,9415. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 10.000,00 a 10% ao semestre.

Sabendo-se que o resgate deve ser feito em 10 prestações semestrais imediatas, com 2 anos de carência, calcular o valor das prestações.

R: R$ 2.382,7516.Um empréstimo no valor de R$ 5.892,70 será pago em parcelas trimestrais

imediatas de R$ 1.000,00, com juros de 4,5% ao trimestre. Calcule o número de pagamentos a serem realizados.

R: 717.Calcular o valor de cada mensalidade necessária para liquidar em 3 anos

um empréstimo de R$ 800.000,00, com juros de 6% ao mês e renda imediata.

R: R$ 54.715,8718.Calcular o valor de cada prestação mensal necessária à formação de um

montante de R$ 800.000,00 em 3 anos com juros de 6% ao mês e renda imediata.

R: R$ 6.715,8719.Em uma financeira foi feito um Crédito Direto ao Consumidor no valor de R$

3.000,00 para pagamento em 6 parcelas mensais de R$ 586,90 vencendo a primeira, um mês após a concessão do empréstimo. Qual foi a taxa de juros cobrada ao mês?

R: 4,779% ao mês20.Um empréstimo de R$ 1.000.000,00 deve ser pago por prestações mensais

de R$ 200.000,00 cada. Calcular o número de prestações necessárias, supondo-se uma taxa de juros de 7% ao mês.

R: 7

4

21.Calcular o valor de cada mensalidade necessária para liquidar em 3 anos um empréstimo de R$ 800.000,00 a 6% ao mês de juro e renda antecipada.

R: R$ 51.618,7422.Calcular o valor de cada prestação mensal necessária à formação de um

montante de R$ 200.000,00 em 5 anos, a juros de 2% ao mês e renda antecipada.

R: R$ 1.719,2123.Um empréstimo de R$ 2.800,00 será pago em 8 prestações mensais de R$

400,00. Qual foi a taxa de juros cobrada ao mês, com renda imediata?R: 3% ao mês

24.No pagamento de um terreno, propõe-se pagar prestações bimestrais de R$ 100.000,00, vencendo a primeira no fim de 1 ano após a compra e a última no fim de 2 anos e meio após a compra. À taxa de 9% ao bimestre, qual o valor atual do terreno?

R: R$ 417.103,72

4

CAPÍTULO V

PLANOS DE AMORTIZAÇÃO

A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida é paga progressivamente por meio de parcelas de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja liquidado. Essas parcelas são a soma de duas partes: a amortização ou devolução do principal emprestado e os juros correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizado.

Essa separação permite discriminar o que representa devolução do capital (amortização) do que representa serviço da dívida (juros).

Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos temos:

a. Sistema de Amortização Constante (SAC)b. Sistema de Amortização Francês (PRICE)c. Sistema de Amortização Crescente (SACRE)

a) Sistema de Amortização Constante (SAC)

No Sistema de Amortização Constante, o devedor vai pagar a dívida por meio de prestações periódicas que englobam juros e amortização. As prestações são decrescentes, pois a quota de amortização é constante em todas elas e os juros decrescem em função do saldo devedor, que diminui a cada pagamento realizado.

Obtém-se a quota de amortização dividindo o valor do empréstimo pelo número de pagamentos.

npq =

prestações de número n empréstimo do valor p

oamortizaçã de quota q

===

Exemplos: 1) Elaborar a planilha de amortização para o seguinte financiamento:

- valor do financiamento: R$ 200.000,00- prazo: 4 meses- taxa: 10% ao mês

4

PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS

n Saldo devedor(R$) Quota de amortização(R$) Juro(R$) Prestação(R$)01234T

2) Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00 que o banco entrega no ato. Sabendo que o banco concedeu 3 anos de carência para o início dos pagamentos, que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o principal será amortizado em 4 parcelas anuais; construir a planilha de amortização.

n Saldo devedor(R$) Quota de amortização(R$) Juro(R$) Prestação(R$)01234567T

b) Sistema de Amortização Francês (PRICE)

Por este sistema o devedor obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais entre si e periódicas. Estes pagamentos são constituídos dos juros sobre o saldo devedor e uma quota de amortização. Como os pagamentos são todos do mesmo valor, à medida que eles vão sendo realizados, os juros tornam-se menores, enquanto as quotas de amortização são progressivamente maiores.

Este sistema é o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral.

Exemplos:

Sem prazo de carência

4

a) Um empréstimo de R$ 200.000,00 será pago em 4 prestações mensais. A juros de 10% ao mês, construir a tabela de amortização.

n Saldo devedor(R$) Quota de amortização(R$) Juro(R$) Prestação(R$)01234T

Com prazo de carência e juros pagos nesse período

b) Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago em 5 prestações anuais, sendo que há uma carência de 3 anos para o início dos pagamentos. A uma taxa de juros de 10% ao ano, construir a tabela de amortização.

n Saldo devedor(R$) Quota de amortização(R$) Juro(R$) Prestação(R$)012345678T

Com prazo de carência e juros capitalizados e incorporados no capital

c) Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago em 5 prestações anuais, sendo que há uma carência de 3 anos para o início dos pagamentos. A uma taxa de juros de 10% ao ano, construir a tabela de amortização.

5

n Saldo devedor(R$) Quota de amortização(R$) Juro(R$) Prestação(R$)012345678T

Tabela Price

Basicamente a Tabela Price é um caso particular do Sistema de Amortização Francês, em que a taxa de juros é dada em termos nominais (na prática é dada em termos anuais) e as prestações têm período menor que aquele a que se refere a taxa de juros (em geral, em base mensal). Nesse sistema, o cálculo das prestações é feito usando-se a taxa proporcional.

A calculadora HP-12C calcula amortização de acordo com a tabela Price. É possível assim, determinar os juros pagos e a dívida amortizada em um dado período sem a elaboração da planilha de financiamento, usando as seguintes teclas:

Exemplo: Para comprar um apartamento uma pessoa faz um empréstimo bancário de R$ 40.000,00 a ser pago em 60 meses, a uma taxa nominal de 15% ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor das prestações, dos juros e o total amortizado no primeiro, segundo e terceiro anos separadamente.

5

f amort

x y

RCL PV

Total de juros pagos no período introduzido imediatamente antes.

Pressionado após o cálculo dos juros mostra o principal já amortizado.

Mostra o saldo devedor.

c) Sistema de Amortização Crescente (SACRE)

O Sistema de Amortização Crescente (SACRE) foi adotado recentemente pelo SFH na liquidação de financiamentos da casa própria. O SACRE é baseado no SAC e no PRICE, já que a prestação é igual à média aritmética calculada entre as prestações desses dois sistemas, nas mesmas condições de juros e prazos.

Exemplo:Uma dívida de R$ 100.000,00 será amortizada por meio do SACRE em 5 prestações semestrais, à taxa de 20% ao semestre. Construir a planilha de financiamento.SAC

n Saldo devedor(R$) Quota de amortização(R$) Juro(R$) Prestação(R$)012345T

PRICE

n Saldo devedor(R$) Quota de amortização(R$) Juro(R$) Prestação(R$)012345T

SACREn Saldo devedor(R$) Quota de amortização(R$) Juro(R$) Prestação(R$)012345T -

5

Sistema de amortização com correção monetária:

Como os empréstimos para a compra da casa própria são feitos por prazos muito longos (10, 15 anos) e o nosso país convivia há muito tempo com uma alta taxa de inflação, todos os financiamentos do Sistema Financeiro de Habitação contém correção monetária.

Tempos atrás se transformava o valor do financiamento em ORTNs (Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional) e a ORTN tinha correção monetária, então quando queria se saber o valor da dívida multiplicava o valor da ORTN pela dívida que estava transformada em moeda. Como as ORTNs não existem mais, vamos dar o exemplo com correções trimestrais iguais, tanto sobre o saldo devedor quanto sobre a prestação.

Exemplo:Aplicaremos a correção trimestral para um empréstimo hipotecário concedido pela Caixa Econômica Federal no dia 05/01/2004 no valor de R$ 200.000,00. O esquema de pagamento obedece a tabela Price, a juros de 12% ao ano e prazo de 1 ano. Montemos a planilha de financiamento, com correções monetárias de: 2,5% no 1º trimestre; 2,3% no 2ª trimestre; 2,4% no 3º trimestre e 2 no 4º trimestre.

Datas Prestação(R$) Juros(R$) Amortização(R$) Saldo devedor(R$)

5

EXERCÍCIOS

1. Um banco emprestou a seu cliente R$ 25.000,00 para ser amortizado segundo o Sistema Americano pelo prazo de 7 meses, com taxas iguais a 3% ao mês para empréstimo e 2% ao mês para aplicação. Construa o plano de amortização.

R: Prestação = R$ 3.362,802. Para um projeto de expansão, a empresa “Pesqueiros Ltda.”, obtém um

financiamento de R$ 50.000,00 nas seguintes condições:a) taxa de juros: 8% ao ano, com pagamentos semestrais;b) sistema SAC;c) prazo de amortização: 4 anos.

Construir a planilha de financiamento.R: Quota = R$ 6.250,00

3. Uma empresa empresta de um banco R$ 75.000,00 para pagar segundo o SAC, à uma taxa anual de 15%, com pagamentos mensais. Como benefício a empresa recebe 5 meses de carência e 1 ano para saldar a dívida. Construa a planilha de amortização.

R: Quota = R$ 6.250,004. Uma empresa adquiriu um imóvel no valor de R$ 120.000,00 pagando 25%

à vista e resgatando o saldo em 8 prestações trimestrais iguais, com juros de 10% ao trimestre. Sabendo-se que foi utilizado o Sistema Francês de amortização, construir a planilha de amortização.

R: Prestação = R$ 16.869,965. Uma indústria tomou emprestados R$ 2.000.000,00 concordando em saldar

o débito em 8 pagamentos a juros efetivos de 36% ao ano, pelo Sistema Price. Pede-se calcular:

a) a prestação anual;b) o saldo devedor logo após o pagamento da 6ª prestação;c) a amortização do quarto ano.

R: a) R$ 787.268,47; b) R$ 1.004.516,44; c) R$ 169.210,896. Uma dívida de R$ 1.500.000,00 contratada a juros de 36% ao ano,

capitalizados trimestralmente, será amortizada pela Tabela Price em oito anos por meio de pagamentos trimestrais. Pede-se determinar:

a) o saldo devedor ao fim do 3º ano;b) o saldo devedor ao término do 14º trimestre;c) a distribuição do 20º pagamento em juros e amortização da dívida;d) o total de juros pagos no período.

R: a) R$ 1.315.827,64; b) R$1.262.073,27; c) R$ 97.127,49 e R$ 47.016,78; d) R$ 3.112.616,93

5

7. Um financiamento de R$ 100.000,00 será pago pelo Sistema Price em oito parcelas mensais a 72% ao ano com capitalização mensal. Calcular os juros embutidos na 6ª prestação.

R: R$ 2.582,718. Um financiamento de R$ 2.000.000,00 será pago pela Tabela Price em 18

parcelas mensais a juros de 10 ao mês. Pede-se, calcular:a) o valor da prestação;b) a soma das amortizações dos 3 primeiros meses;c) a amortização introduzida pela 13ª prestação.

R: a) R$ 243.860,44; b) R$ 145.178,07; c) R$ 137.652,869. Um capital de R$ 800.000,00 deverá ser amortizado em 8 parcelas

trimestrais a juros de 12% ao ano. Elaborar as planilhas de amortização pelos sistemas: Price, SAC e SACRE. Faça uma análise comparativa entre os três sistemas.

5

CAPÍTULO VI

DEPRECIAÇÃO

Os bens que constituem o ativo de uma empresa estão sujeitos à constantes desvalorizações, devido, principalmente, ao desgaste e ao envelhecimento. A diferença entre o preço de compra de um bem e seu valor de troca (valor residual) no fim de certo tempo, chama-se depreciação.

A depreciação pode ser teórica ou real. A depreciação real é aquela que corresponde à diferença entre os valores do bem no início e no fim de um período. A depreciação teórica é baseada em previsões do tempo de vida útil do bem e de seu valor residual.

A depreciação real é praticamente impossível de se calcular, pois a cada período deveria ser feita uma avaliação total do bem. Na prática usa-se a depreciação teórica.

Os principais métodos utilizados para o cálculo da depreciação são:a) Método Linear;b) Método da Taxa Constante;c) Método das Taxas Variáveis;d) Método de Cole.

A aplicação de um ou outro desses métodos depende do administrador, da empresa, do bem que se está depreciando e de outros fatores particulares.

Plano de depreciação:

É um quadro que apresenta, no fim de cada período, a quota de depreciação, o valor do fundo de provisão para depreciação e o valor atual do bem.

Exemplo Padrão:

Construir o plano de depreciação de uma máquina que custa R$ 4.000,00 e tem vida útil de 5 anos, com R$ 500,00 de valor residual.

5

a) Método Linear

Este é o mais utilizado na prática, devido a sua simplicidade. Consiste em dividir o total a depreciar pelo número de anos de vida útil do bem.

n Quota de Depreciação(R$) Fundo de Depreciação(R$) Valor Atual(R$)012345

b) Método da Taxa Constante

Consiste em estabelecer uma taxa constante de depreciação, a qual é calculada sobre o valor do bem no fim de cada período.

n Quota de Depreciação(R$) Fundo de Depreciação(R$) Valor Atual(R$)012345

c) Método das Taxas Variáveis

Consiste em determinar uma taxa média e distribuir as demais em torno dela, de maneira que forme uma progressão aritmética (crescente ou decrescente), cuja soma dos termos seja igual a 100%.

Fórmulas da P.A.:

2)( 1 naanS += rnaan )1(1 −+=

5

n Taxa (%)

Quota de Depreciação(R$)

Fundo de Depreciação(R$)

Valor Atual(R$)

012345

OBS.: As taxas incidem sobre o saldo a depreciar (R$ 3.500,00)

d) Método de Cole

Consiste em dividir o total da depreciação em frações, tais que o numerador expresse os períodos que faltam para o final da vida útil do bem e o denominador represente o somatório dos períodos.

Frações = nn

nn

nn

n++++++

−+++

−+++ ...21

1;...;...212;

...211;

...21

n Fração Quota de Depreciação(R$)

Fundo de Depreciação(R$)

Valor Atual(R$)

OBS.: As frações multiplicam o saldo a depreciar (R$ 3.500,00).

5

EXERCÍCIOS

1. Um equipamento no valor de R$ 2.000,00 terá valor residual de R$ 400,00, após 5 anos. Fazer o plano de depreciação pelo método linear.

2. Uma máquina comprada por R$ 6.000,00 terá valor residual de R$ 600,00 após 8 anos de uso. Fazer o plano de depreciação da máquina pelo Método Linear.

3. Um equipamento adquirido por R$ 500,00 terá valor residual R$ 100,00 após 6 anos de uso. Fazer o plano de depreciação desse equipamento pelo método da taxa constante.

4. Uma máquina, cuja vida útil é de 8 anos, foi comprada por R$ 4.000,00 e terá valor residual de R$ 1.200,00. Fazer o plano de depreciação empregando o método da taxa constante.

5. Um equipamento no valor de R$ 2.000,00 terá valor residual de R$ 400,00 após 5 anos. Fazer o plano de depreciação do equipamento empregando o método das taxas variáveis decrescentes.

6. Um equipamento que custou R$ 1.000,00 será depreciado em 5 anos pelo método das taxas variáveis crescentes. Fazer o plano de depreciação, sabendo-se que o valor residual desse equipamento será de R$ 2.000,00.

7. Uma máquina de R$ 1.000,00 terá valor residual, após 5 anos de uso, de R$ 600,00. Elaborar o seu plano de depreciação pelo Método de Cole.

8. Uma instalação industrial foi construída por R$ 9.000,00 e terá valor residual nulo após 10 anos. Fazer o plano de depreciação pelo Método de Cole.

5

CAPÍTULO VII

ENGENHARIA ECONÔMICA

Um investimento, para a empresa, é um desembolso que é feito visando gerar um fluxo de benefícios futuros, usualmente superior a um ano. Hoje, em função da própria dinâmica dos negócios, as técnicas de análise de investimentos estão sendo usadas tanto para investimentos de porte, associados a longos horizontes de planejamento, como também para operações de curto prazo, como por exemplo nas decisões rotineiras sobre compras a vista versus compras a prazo.

A decisão de fazer investimento de capital é parte de um processo que envolve a geração e avaliação das diversas alternativas que atendam às especificações técnicas dos investimentos. Após relacionadas as alternativas viáveis tecnicamente é que se analisará quais delas são atrativas financeiramente.

Dá se o nome de engenharia econômica ao conjunto dos métodos utilizados nas análises de investimentos e das técnicas empregadas na escolha da melhor alternativa.

Surge um problema de engenharia econômica quando se deseja investir um capital ou ocorre a necessidade de se comprar um bem de capital. Em ambos os casos, todas as alternativas tecnicamente viáveis para o investimento devem ser analisadas. Um estudo de engenharia econômica compreende:

- um investimento a ser realizado;- enumeração das alternativas tecnicamente viáveis;- análise de cada alternativa;- comparação das alternativas;- escolha da melhor alternativa.

Taxa de Atratividade

A taxa de atratividade de um investimento é a taxa mínima de juros por que convém o investidor optar em determinado projeto de investimento.

Corresponde, na prática, à taxa oferecida pelo mercado para uma aplicação de capital, como a caderneta de poupança, Open Market, depósitos a prazo fixo, etc. Assim, se um investimento propiciar uma rentabilidade abaixo do rendimento dessas formas de aplicação de capital, ele não será atrativo ao investidor.

As técnicas de análise de investimentos podem ser subdivididas em dois grande grupos, quais sejam: técnicas que servem para selecionar projetos e técnicas que servem para gerar indicadores adicionais para os projetos já

6

selecionados. Na primeira categoria estão os chamados Métodos Robustos de Análise de Alternativas de Investimentos, quais sejam: Método do Valor Presente Líquido (VPL); o Método do Valor Presente Líquido Anualizado (VPLA). Na segunda categoria estão os chamados métodos classificatórios ou de corte, como, por exemplo, Método da Taxa Interna de Retorno (TIR); Método do Índice Benefício/Custo (IBC); Método do Período de Recuperação do Capital (Pay – Back) e Método do Pay-Back Descontado.

Exemplo Padrão:Vamos supor que tenhamos de escolher qual a melhor alternativa de

investimentos, entre três projetos (A, B e C). A taxa mínima de atratividade considerada será de 10% ao período. Os dados relevantes para a análise estão no quadro que segue:

Período Projeto A Projeto B Projeto C0 -42.000 -50.000 -20.0001 8.000 20.000 8.0002 9.500 10.000 6.0003 10.500 10.000 6.0004 14.500 15.000 4.0005 16.500 15.000 4.000

1. Período de Recuperação do Capital (Pay-Back)

Um indicador bastante usado no processo de seleção de projetos é o Período de Recuperação do Investimento ou Pay-Back, isto é, o número de períodos necessários (tempo) para se recuperar o investimento realizado.

Projeto Período Recuperado À recuperarA

B

C

6

A utilidade de conhecer o Pay-Back é que ele pode ser interpretado também como uma medida do grau de risco do projeto. As incertezas associadas a um projeto tendem a aumentar à medida que as previsões das receitas e dos custos se afastam da data focal zero. Nesse sentido, o Pay-Back pode ser utilizado para mensurar o risco associado ao projeto, isto é quanto maior for o Pay-Back mais incerto estará a recuperação do capital.

As duas principais fragilidades do Pay-Back residem no fato de ele não considerar o valor do dinheiro no tempo (isto também pode ser facilmente corrigido) e de desconsiderar tudo o que acontece após o período de recuperação. Essa última restrição penaliza todos aqueles projetos que tenham receitas iniciais pequenas, porém crescentes ao longo da vida do projeto.

2. Pay-Back Descontado

Este método é uma particularidade do método Pay-Back, onde é necessário calcular quantos períodos decorrerão até que o valor presente dos fluxos de caixa previstos se iguale ao montante do investimento inicial.

Projeto Período Recuperado Recuperado Atual À recuperarA

B

C

6

3. Valor Presente Líquido (VPL)

O Método do Valor Presente Líquido (VPL) é uma técnica que serve para selecionar projetos; como o próprio nome indica, nada mais é do que a concentração de todos os valores esperados de um fluxo de caixa na data zero. Considera-se um investimento como atrativo quando VPL > 0.

PROJETO A

PROJETO B

PROJETO C

6

0

1 2 43 5-42.000

8.000 9.500 10.500 14.500.000

16.500

0

1 2 43 5-50.000

20.000 10.0000

10.000 15.000.000

15.000

0

1 2 43 5-20.000

8.000 6.0000 6.000 4.000 4.000

4. Valor Presente Líquido Anualizado (VPLA)

O Método do Valor Presente Líquido Anualizado (VPLA), também conhecido como Método do Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE), é mais uma variação do Método do Valor Presente Líquido. Enquanto no Método do VPL todos os valores do fluxo de caixa são concentrados na data zero, no Método do VPLA o fluxo de caixa representativo do projeto de investimento é transformado em uma série uniforme.

PROJETO A

PROJETO B

PROJETO C

5. Índice Benefício/Custo (IBC)

O Índice Benefício/Custo (IBC) é uma medida de quanto se ganha por unidade de capital investido. A hipótese implícita no cálculo do IBC é que os recursos liberados ao longo da vida útil do projeto seriam reinvestidos à taxa mínima de atratividade.

A análise do IBC, para efeito de aceitar ou rejeitar um projeto de investimento, é feita em função da própria recuperação do investimento, isto é, IBC igual a 1. Assim, tem-se o seguinte critério:

Se IBC > 1 Aceitar o Projeto;

Se IBC < 1 Rejeitar o Projeto.

6

Genericamente, o IBC nada mais é do que uma razão entre o fluxo esperado de benefícios de um projeto e o fluxo esperado de investimentos necessários para realiza-lo.

custos VPLbenefícios VPL IBC =

6. Taxa Interna de Retorno (TIR)

A Taxa Interna de Retorno (TIR), por definição, é a taxa que torna o Valor Presente Líquido (VPL) de um fluxo de caixa igual a zero.

A regra para decidir se um projeto é atrativo financeiramente, utilizando-se a TIR, é bastante simples. Se TIR > TMA, então o projeto é viável, caso contrário, o projeto será considerado inviável.

PROJETO A

PROJETO B

PROJETO C

6

0

1 2 43 5-42.000

8.000 9.500 10.500 14.500.000

16.500

0

1 2 43 5-50.000

20.000 10.0000

10.000 15.000.000

15.000

Quadro de Resultados:

ProjetosMétodo A B C Decisão

Pay-BackPay-Back DescontadoIBCVPLVPLATIR

EXERCÍCIOS

1. Uma pessoa tem as seguintes alternativas para um investimento de R$ 2.000,00.

a) receber o retorno de R$ 2.500,00 no fim de 2 anos;b) receber dois pagamentos anuais de R$ 1.200,00;c) receber quatro pagamentos semestrais de R$ 600,00;d) receber vinte e quatro pagamentos mensais de R$ 90,00.

Calcular a melhor alternativa, sabendo-se que a taxa mínima de atratividade é de 10% ao ano.

Alternativa C

2. Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização de equipamentos velhos e obsoletos. Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas. A primeira, consistindo numa reforma geral da linha exigindo investimentos estimados em R$ 10.000,00 cujo resultado será uma redução anual de custos igual a R$ 2.000,00 durante 10 anos, após os quais os equipamentos seriam sucateados sem nenhum valor residual. A segunda proposta foi a aquisição de nova linha de produção no valor de R$ 35.000,00 para substituir os equipamentos existentes, cujo valor líquido de

6

0

1 2 43 5-20.000

8.000 6.0000 6.000 4.000 4.000

revenda foi estimado em R$ 5.000,00. Esta alternativa deverá proporcionar ganhos de R$ 4.700,00 por ano, apresentando ainda um valor residual de R$ 10.705,00 após 10 anos. Sendo a taxa mínima de atratividade para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser a preferida da gerência.

Alternativa A - VPL = 3420,16, TIR = 15,10%, IBC = 1,34Alternativa B – VPL = 6495,87, TIR = 12%, IBC = 1,22

3. A alta administração de uma empresa recebeu as seguintes solicitações de investimento de seus vários departamentos para o orçamento de capital do próximo ano.

Depto. Investimento (R$)

Benefícios estimados por ano (R$)

Valor residual (R$)

Vida econômica

A 25.000 3.900 5.000 10 anosB 15.000 2.500 nulo 10 anosC 30.000 5.200 nulo 10 anos

Considerando que a empresa só dispõe de R$ 60.000,00 para financiar os projetos e que sua taxa mínima de atratividade é 8% ao ano, qual deve ser o pacote orçamentário escolhido: A; B; C; A+B; A+C; B+C; A+B+C?

DEPARTAMENTO A – VPL = 3485,28, TIR = 10,76%DEPARTAMENTO B – VPL = 1775,20, TIR = 10,56%DEPARTAMENTO C – VPL = 4892,42, TIR = 11,49%

4. A proposta C do exercício anterior corresponde a um projeto de modificação para determinada linha de produção. Antes de ser apresentada à alta administração esta proposta foi comparada internamente no departamento, como um segundo projeto, tecnicamente alternativo apresentado as seguintes características:

Investimento (R$) Benefícios estimados por ano (R$)

Valor residual (R$)

Vida econômica

20.000 3.600 nulo 10 anosConsiderando-se que as duas propostas houvessem sido conduzidas à

alta administração para uma decisão neste nível, como seria afetada a seleção do pacote orçamentário?

VPL = 4156,29, TIR = 12,41%

6

5. A gerência de marketing de uma empresa industrial está analisando 4 possibilidades para a localização de uma central de distribuição para seus produtos, cada alternativa exige diferentes investimentos, devido ao preço do terreno, custo de construção e tamanho do depósito necessário. Também são diferentes os valores residuais e reduções anuais nos custos de distribuição. Admitindo-se um período de utilização igual a 10 anos foram efetuadas as seguintes estimativas:

Localização Investimento necessário (R$)

Redução anual dos custos (R$)

Valor residual (R$)

A 28.000 4.600 24.000B 34.000 5.600 28.000C 38.000 6.200 31.000D 44.000 7.200 35.000Sendo a taxa mínima de atratividade para a empresa de 15% ao ano.

Determine a localização mais adequada.LOCALIZAÇÃO A – VPL = 1018,77, TIR = 15,75%LOCALIZAÇÃO B – VPL = 1026,27, TIR = 15,63%

LOCALIZAÇÃO C – VPL = 779,09, TIR = 15,43%LOCALIZAÇÃO D – VPL = 786,60, TIR = 15,37%

6. A gerência de uma fábrica está considerando a possibilidade de instalar uma nova máquina. A proposta de investimento envolve um gasto inicial de R$ 10.000,00 objetivando uma redução de custo de ordem de R$ 2.000,00 por ano durante os próximos 10 anos. Sendo a taxa mínima de atratividade para a empresa igual a 10% ao ano, deseja-se saber se o investimento é atrativo.

VPL = 2289,13, TIR = 15,09%

7. Um fazendeiro está considerando a aquisição de um trator para trabalhar em suas terras. Após uma pesquisa junto a fornecedores, selecionou duas máquinas capazes de atender às suas necessidades. Sobre elas obteve as seguintes informações:

Discriminação Trator X Trator Y- custo inicial R$ 50.000,00 R$ 35.000,00- custo operacional anual R$ 5.000,00 R$ 7.000,00- valor residual R$ 20.000,00 R$ 10.000,00- vida econômica 10 anos 10 anos

Se o custo do capital para o fazendeiro é de 10% ao ano, qual marca deve sr escolhida?

TRATOR X – VPL = -73.011,97TRATOR Y – VPL = -74.156,54

6

8. A gerência de certa empresa está considerando a mecanização de seu serviço de embalagem. Atualmente os produtos são acondicionados manualmente a um custo anual de R$ 30.000,00. Dois tipos de equipamentos capazes de executar a mesma função encontram-se disponíveis no mercado, apresentando as seguintes características:

Discriminação Equipamento A Equipamento B- custo inicial R$ 100.000,00 R$ 70.000,00- custo operacional anual R$ 12.000,00 R$ 15.000,00- valor residual R$ 13.000,00 R$ 8.000,00- vida econômica 10 anos 10 anos

Sendo a taxa mínima de atratividade igual a 12% ao ano, qual equipamento deve ser escolhido? EQUIPAMENTO A – VPL = -163.617,02

EQUIPAMENTO B – VPL = -152.177,56

9. Um proprietário, ao vender um imóvel, recebe duas propostas:Proposta A: pagamento inicial de R$ 2.000,00 e 12 pagamentos semestrais de R$ 500,00 cada.Proposta B: pagamento inicial de R$ 1.000,00 e 24 pagamentos trimestrais de R$ 300,00 cada.Admitindo que a taxa mínima de atratividade do proprietário seja de 20% ao ano, calcular qual a proposta mais vantajosa?

PROPOSTA A – VPL = 5406,85PROPOSTA B – VPL = 5139,59

10. Compare os valores atuais dos custos das máquinas X e Y, cuja compra é considerada por um prazo de 10 anos, utilizando a taxa de juros de 10% ao ano.

Discriminação Máquina X Máquina Y- custo inicial R$ 2.500,00 R$ 4.000,00- valor residual R$ 500,00 R$ 800,00- manutenção anual R$ 400,00 R$ 200,00

MÁQUINA X – VPL = -4765,05MÁQUINA Y - VPL = -4920,48

11. Dois planos de investimento estão sendo estudados:Plano A: Exige um investimento inicial de R$ 5.000,00 e um investimento adicional de R$ 3.000,00 no fim de 5 anos. O investimento inicial dará receitas anuais de R$ 2.000,00 com despesas de R$ 450,00 por ano. O investimento adicional elevará as receitas para R$ 2.500,00 mas não acarretará aumento de despesas.Plano B: Exige um investimento inicial de R$ 4.000,00 e um investimento adicional de R$ 6.000,00 no fim de 5 anos. O investimento inicial dará receitas anuais de R$

6

1.600,00 e despesas de R$ 350,00 por ano. O investimento adicional elevará as receitas para R$ 3.000,00 por ano e as despesas anuais para R$ 500,00.Sabendo-se que a taxa mínima de atratividade do investidor é de 10% ao ano, calcular o plano mais vantajoso para um prazo de 10 anos.

PLANO A – VPL = 3838,20PLANO B – VPL = 2897,41

12. Duas máquinas estão sendo analisadas para um investimento. Os seguintes dados foram obtidos:

Discriminação Alternativa A Alternativa B- custo inicial R$ 2.000,00 R$ 2.300,00- custo operacional anual R$ 600,00 R$ 500,00- valor residual R$ 400,00 R$ 500,00- vida econômica 8 anos 12 anos- receita anual R$ 1.200,00 R$ 1.200,00Admitindo a taxa mínima de atratividade de 10% ao ano, qual a melhor alternativa?

ALTERNATIVA A – VPLa = 260,09ALTERNATIVA B – VPLa = 385,83

7

CAPÍTULO VIII

PREVISÕES FINANCEIRAS

Quando se trata de rendas aleatórias, isto é, aquelas cujos elementos não podem ser previamente determinados, é possível fazer uma estimativa de sua ocorrência e de seu valor provável, baseado em dados observados de ocorrências passadas. Ao cálculo da estimativa de uma renda dá-se o nome de previsão financeira, que em geral é feita com o uso da análise de regressão.

A análise de regressão consta de uma variável aleatória y, denominada variável função, cuja distribuição depende do valor assumido por outra variável x, denominada independente. O estudo da dependência de y em relação a x chama-se regressão de y sobre x.

Nos problemas de previsões financeiras, a variável x represente tempo e y o valor desejado, como: cotação de uma ação na bolsa de valores, o nível de preços, dividendos de uma empresa, etc.

Regressão Linear

A regressão linear consiste no ajuste de uma reta aos dados observados, que são representados no plano cartesiano. A equação dessa reta, y = a + bx é chamada equação de regressão ou equação da tendência.

Exemplo:

7

100

120

140

160

180

y

x54321

y = a + bx

Regressão não linear

Na maioria dos problemas relacionados com a matemática financeira, não é possível fazer o ajuste de uma reta aos dados observados. Ajusta-se portanto, uma curva exponencial da forma xb . a y = .

Exemplo:

Regressão pelo método dos mínimos quadrados

Após a escolha do melhor tipo de regressão que se ajusta aos dados observados, é necessário estimas os parâmetros a e b da equação de tendência.

Dados n pares de valores de duas variáveis ( ii yx , ), i = 1, 2, 3, ..., n, se admitirmos que y é uma função de x, podemos estabelecer uma regressão simples, cujo modelo estatístico é : n

iniii xBxBxBxBBy +++++= ...33

2210 , onde

no BBBB ,...,,, 21 são parâmetros da função.

Para n observações ( ii yx , ), temos:

- para ( 11, yx ) nnxBxBxBBy 1

2121101 ... ++++=

- para ( 22 , yx ) nnxBxBxBBy 2

2222102 ... ++++=

- para ( nn yx , ) nnnnnn xBxBxBBy ++++= ...2

210

7

100

120

140

160

180

x54321

y xb . a y =

Na forma matricial temos:

ny

yy

2

1

=

nnnn

n

n

xxx

xxxxxx

2

22

22

12

11

1

11

.

nB

BB

1

0

y = x.B

y = vetor das observações ou dos valores observados de dimensão n por 1x = matriz dos coeficientes dos parâmetrosB = vetor dos parâmetros

yXXXB

yXXXBXXXXyXXBX

')'(

')'()'()'(''

1

11

−

−−

=∴

==

que é a solução do modelo nnxBxBxBxBBy +++++= ...3

32

210

Ajuste de reta

Consideremos um conjunto de pares ( ii yx , ) se, no diagrama de dispersão, observamos uma tendência linear, então o modelo se reduz a bxay += , e o sistema de equação fica:

ny

yy

2

1

=

nx

xx

1

11

2

1

.

ba

Sabendo que yXXXB ')'( 1−= encontraremos uma fórmula para o ajuste de reta.

=

nx

xx

X

1

11

2

1

=

ny

yy

y2

1

=

nxxxX

21

111'

7

=

n

n

x

xx

xxxXX

1

11

.111

' 2

1

21

=

∑∑∑

2'ii

i

xxxn

XX det ( )∑ ∑−= 22' ii xxnXX

( ) ( ) ( )

( ) ( )

−−

−−

−

−=

∑ ∑∑ ∑∑

∑ ∑∑

∑ ∑∑

−

2222

2222

2

1'

iiii

i

ii

i

ii

i

xxnn

xxn

xxxn

x

xxn

x

XX

( ) ( )

−−

−=

∑∑∑

∑ ∑−

nxxx

xxnXX

i

ii

ii

2

221 1'

( )

=

n

n

y

yy

xxxyX

2

1

21

.111

'

=

∑∑xyy

yX '

( )

−

−

−=

∑∑

∑∑∑

∑ ∑ xyy

nxxx

xxnB .1 2

22

( )

=

+−

−

−=

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ 1

02

22

1BB

xynyxxyxyx

xxnB

Fazendo aB =0 e bB =1 para encontrarmos a equação da reta bxay += , temos:

( )∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

−

−= 22

2

xxn

xyxyxa ou n

xbya ∑−∑=

22 )( xxnyxxynb

∑−∑∑∑−∑=

Exemplo:

7

1. Considere os dados da tabela seguinte, verifique qual regressão melhor se enquadra aos dados e faça uma previsão do preço do combustível no mês 9 e em que mês estará custando R$ 1,80.

Preço do CombustívelMês (x) Preço (y) (R$)

1 1,202 1,233 1,264 1,345 1,406 1,417 1,52

Diagrama de dispersão

Observando o diagrama de dispersão verificamos que os dados seguem uma tendência linear desta forma utilizaremos regressão linear.

Definição das variáveis

• variável independente x –• variável dependente y -

Cálculo dos parâmetros a e b

7

00,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 1 2 3 4 5 6 7

x y x2 xy

∑

( )22 ∑∑∑ ∑ ∑

−

−=

xxn

yxxynb

nxby

a ∑ ∑−=

Equação da reta

y = a + bx

Preço do combustível no mês 9

Mês no qual o combustível custará R$ 1,80

RESOLUÇÃO PELA HP-12C

Armazenamento dos dados ∑ +↵ xy

visor)no 7 (aparece 752,1 visor)no 6 (aparece 641,1 visor)no 5 (aparece 540,1 visor)no 4 (aparece 434,1 visor)no 3 (aparece 326,1 visor)no 2 (aparece 223,1

visor)no 1 (aparece 120,1

∑∑∑∑∑∑∑

+↵+↵+↵+↵+↵+↵+↵

Retorno das memórias

RCL 1 → n

7

RCL 2 → ∑ xRCL 3 → ∑ 2xRCL 4 → ∑ yRCL 5 → ∑ 2yRCL 6 → ∑ xy

Cálculo de b

( )22 ∑∑∑ ∑ ∑

−

−=

xxn

yxxynb

Cálculo de a

nxby

a ∑ ∑−=

Cálculo das estimativas ^x e

^y

Par o cálculo das estimativas de preço e de prazo utilizamos as teclas ^x e

^y

Preço do combustível no mês 9

Mês no qual o combustível custará R$ 1,80

Ajuste exponencial

Se num diagrama de dispersão observamos uma tendência da forma exponencial, a função que melhor descreve esse conjunto de pontos é do tipo:

7

bxAy

bxayeay

eayeay

bx

bx

bx

+=

+=+=

=

=

lnlnlnlnln

.lnln.

Lembrando que se para a reta temos nxbya ∑−∑= e 22 )( xxn

yxxynb∑−∑

∑∑−∑= , para

a curva exponencial temos nxby

A ∑ ∑−=

ln e ( )∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−= 22

lnln

xxn

yxyxnb .

Exemplo:1. As taxas de inflação do país X, durante a década de 90 foram

respectivamente, de 30, 35, 28, 32, 30, 28, 21, 25, 24 e 20%. Fazer uma previsão do nível de preços para 2005.

Definição das variáveis• variável independente x – • variável dependente y –

Cálculo dos parâmetros a e b

x y lny xlny x2

∑

7

( )∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−= 22

lnln

xxn

yxyxnb

nxby

a ∑ ∑−=

ln

Equação ajustada

y = a. ebx

Previsão da taxa de inflação no ano de 2005

RESOLUÇÃO PELA HP-12C

Armazenamento dos dados ln ∑ +↵ xy

visor)no 10 (aparece 9920ln visor)no 9 (aparece 9824ln visor)no 8 (aparece 97ln25 visor)no 7 (aparece 9621ln visor)no 6 (aparece 9528ln visor)no 5 (aparece 9430ln visor)no 4 (aparece 9332ln visor)no 3 (aparece 9228ln visor)no 2 (aparece 9135ln visor)no 1 (aparece 9030ln

∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

+↵+↵

+↵+↵+↵+↵+↵+↵+↵+↵

Retorno das memórias

RCL 1 → nRCL 2 → ∑ xRCL 3 → ∑ 2xRCL 4 → ∑ ylnRCL 5 → ∑ 2)(ln yRCL 6 → ∑ yx ln

7

Cálculo de b

( )∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−= 22

lnln

xxn

yxyxnb

Cálculo de a

n

xbyA ∑ ∑−

=ln

Equação ajustada

Previsão da taxa de inflação no ano de 2005

EXERCÍCIOS

1. Durante o ano de 1998, as ações da empresa A tiveram as cotações médias mensais, na bolsa de valores, abaixo indicadas. Sabendo-se que o valor nominal da ação é de R$ 100,00, prever seu valor para março de 1999, usando regressão linear.jan. 3% fev. 2% mar. 2,5% abr. –1,5%mai. 3,5% jun. 5% jul. –2% ago. –1,5%set. 2% out. 2,5% nov. 3% dez. 1,5%

março/1999 – 124,87

2. As taxas de inflação do país X, nos últimos 8 anos, foram respectivamente, 30%, 25%, 48%, 35%, 50%, 45%, 60% e 55%. Com base nessas informações, estime as taxas de inflação para os dois próximos anos, usando a regressão linear.

62,57% e 66,81%

3. As arrecadações brutas do FGTS (em R$ 1.000,00) nos meses de julho/99 a junho/00 foram, respectivamente: 144, 151, 154, 165, 162, 161, 166, 196, 259, 191, 181 e 188. Com base nesses dados, estimar as arrecadações nos meses de setembro, outubro e novembro de 2000, usando regressão linear. Setembro/2000 – 223,76

Outubro/2000 – 229,32Novembro/2000 – 234,88

8

4. As variações das ORTN durante o ano de 1993 estão representadas abaixo. Usando regressão não linear, projete o valor da ORTN para fevereiro de 1994.jan. 2910,93 fev. 3085,59 mar. 3292,32 abr. 3588,63mai. 3911,61 jun. 4224,54 jul. 4554,05 ago. 4963,91set. 5385,84 out. 5897,49 nov. 6469,55 dez. 7012,99

fevereiro/1994 – 8.147,69

5. As arrecadações do imposto de renda nos anos de 1993-8 foram (em R$ 1.000,00) respectivamente, 242,8; 482,3; 1022,5; 1339,5; 1611,2 e 2105,3. Com base nesses dados, fazer uma estimativa para o ano de 2001, com regressão linear.

2001 – 3.179,34

6. Os índices gerais de preços no ano de 1999 verificaram-se conforme a tabela abaixo (base de 1995-7 = 100):jan fev mar abr mai jun jul ago Set out nov dez176 179 180 182 184 188 192 195 201 206 210 211Estimar o índice geral de preços para fevereiro e abril de 2000 pela regressão linear.

Fevereiro/2000 - 217,65Abril/2000 - 224,49

8

9. BIBLIOGRAFIA

AYRES JUNIOR, Frank. Matemática financeira. Coleção Schaum. São Paulo:McGraw-Hill do Brasil, 1981.

FARIA, Rogério Gomes de. Matemática comercial e financeira. São Paulo:McGraw-Hill, 1981.

FRANCISCO, Walter de. Matemática financeira. São Paulo:Atlas, 1985.HAZZAN, Samuel e POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. São

Paulo: Saraiva, 2003.JORDÃO, Claudine. Trabalhando com o dinheiro. Uberlândia: Impresso

Gráfica, 2000.LAUREANO, José Luiz e LEITE, Olimpio Vissoto. Os segredos da

matemática financeira. São Paulo: Ática, 1987.OLIVEIRA, José Alberto Nascimento de. Engenharia econômica. São

Paulo:McGraw-Hill, 1982.PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Científicos, 1986.SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise

de investimentos. São Paulo: Prentice Hall, 2002.SPINELLI, Walter. Matemática comercial e financeira. São Paulo: Ática,

1988.VERAS, Lilia Ladeira. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1986.VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. São Paulo:

MCGraw-Hill, 1981.

8