Manual Pratico Betao 1

Estruturas de Betão Armado I FEUEM 09

Compilado por: Leonel Matsinhe e Jonatane Simango Page 1

2.00

2.50

Q 2

Q 1

G

0.50

0.20

(m)

(m)

TEMA I

COMBINAÇÕES DE ACÇÕES

PROBLEMA 1

Considere um pilar de betão armado em consola com um comprimento de 4.5m,

secção transversal de 0.2x0.5 m2, sujeito ao seu peso próprio, uma acção permanente

adicional de G =40kN e 2 acções variáveis, uma Q1 = 80kN (Ψo= 0.7; Ψ1=0.5 e Ψ2=0.1) e

outra Q2 = 75kN ((Ψo= 0.6; Ψ1=0.55 e Ψ2=0.5).

a) Determine os esforços de cálculo de

compressão para verificação da

segurança no estado limites último.

b) Determine o valor de cálculo para

verificação de segurança para o estado

limite de utilização (assuma que o

ambiente envolvente obriga a

combinação de acção frequente).

RESOLUÇÃO:

a) Determinação dos esforços de cálculo para os estados limites últimos.

1º Passo – Calculo dos esforços de cada acção

Peso próprio (PP): kNxxxxlppxAN c 25.115.45.02.025 ;

Carga Permanente (G): kNN 40 ;



11.25

dN (kN)

4.50 m

PP

40.0

dN (kN)

G

80.0

dN (kN)

Q 1

75.0

dN (kN)

Q 2

4.50 m

2.50 m

A seguir são apresentados os diagramas de esforços normais para as cargas acima

determinadas:

Fig. 1. Diagramas de esforços (acções permanentes)

Carga variável Q1: Q1= 80kN;

Carga variavel Q2: Q2=75kN;

Fig. 2. Diagrama de esforços (acções variáveis)



2º Passo: Determinação dos esforços de cálculo.

1. Assumindo que a acção de base é a carga Q1.

QjkjkQqGik

m

i

gi SSSSd 01

1

kNN

xxxN

NNNNN

sd

sd

QoQQqGgppgsd

375.264

)756.080(5.1405.125.115.1

)(

)(

221

)(

2. Assumindo que a acção de base é a carga Q2.

kNN

xxxN

NNNNN

sd

sd

QoQQqGgppgsd

375.273

)807.075(5.1405.125.115.1

)(

)(

112

)(

Então, o esforço de cálculo será Nsd = 273.375kN.

b) Determinação dos esforços de cálculo para os estados limites de utilização.

1º Assumindo que a acção de base é a carga Q1:

QjkjkQ

mi

i

Giksd SSSN 011

1

kNN

xxN

NNNNN

sd

sd

QQQGppsd

75.128

)755.0805.0(4025.11

)(

)(

22211

)(

2º Assumindo que a acção de base e a carga Q2:

kNN

xxN

NNNNN

sd

sd

QQQGppsd

5.100

)801.07555.0(4025.11

)(

)(

11221

)(

Resposta: o esforço de cálculo será Nsd = 128.75kN.



6.00 1.50 (m)

32 kN/m

A B C

25 kN/m

6.00 1.50 (m)

60 kN/m

A B C

40 kN/m

6.00 1.50 (m)

35 kN/m

1 2 3

28 kN/m

107.08

39.38

dM (kNm)

mkNxxPP /36.02.025

PROBLEMA 2

Considere a viga ilustrada na figura, com uma secção de 0.2x0.6 m2, sujeita as cargas

permanentes G1=25kN/m e G2=32kN/m e as acções variáveis Q1 = 40kN/m (Ψo= 0.75;

Ψ1=0.68 e Ψ2=0.44) Q2 = 60kN/m (Ψo= 0.75; Ψ1=0.68 e Ψ2=0.40).

Estas acções não incluem o peso próprio da viga.

Determine os momentos flectores de cálculo para verificação de segurança dos

estados limites últimos.

Fig.1 – Cargas permanentes sem peso próprio

Fig. 2- Cargas Variáveis

RESOLUÇÃO:

1º Passo – Cálculo dos esforços

Cargas permanentes:

∴ Incluindo o peso próprio teremos:



6.00 1.50 (m)1 2

40 kN/m

180.0

dM (kNm)

kNmxql

M 1808

640

8

22

21

Reacções de apoio:

kNVxxxxxVm 44.77075.05.13536286 112;

kNVxxxxxVm 06.143075.65.13536286 221;

Cálculo dos momentos:

2

21 5.0284.77 XxXM

;

O momento máximo actua no ponto:

mXXM 76.2284.77'

21

Então:

kNmMxxxM 08.10776.25.02876.244.77 21

2

21

kNmMxxM 38.395.12

135 2

2

2 ;

Cargas variáveis:

Carga Q1:

O momento será dado por:



6.00 1.50 (m)

60.0 kN/m

67.50

1 2 3

dM (kNm)

Carga Q2:

kNmxql

M 5.672

5.160

2

22

2

2º Passo: Determinação dos momentos de cálculo:

QjkjkQqGik

m

i

gi SSSSd 01

1

;62.430

1805.108.1075.1

)(

)(

221

)(

kNmM

xxM

MMMM

sd

sd

QoQQqggsd

kNmM

xxM

MMMM

sd

sd

QoQQqggsd

32.160

5.675.138.395.1

)(

)(

112

)(

Note que neste caso, não houve necessidade de se permutar as cargas variáveis como

uma sendo de base e outra não, porque as cargas em causa introduzem um efeito

favorável para os momentos, ou seja, na primeira combinação, no cálculo do

momento positivo, se introduzíssemos a carga Q2 como não de base o momento de

cálculo diminuiria pois o momento da carga Q2 tem sinal contrário ao momento das

cargas permanentes e Q1. O mesmo se verifica na combinação do momento negativo.



4.50 m

2.50 5.00

g1 g2 g3

q

A B

C D E F

1.80

0.20

0.20

(m)

0.20

0.20

PROBLEMA 3

Dada a estrutura abaixo e sabendo que as argas permanentes são: g1= 30kN/m;

g2=40kN/m e g3=35kN/m, a carga Variável q= 50kN/m (Ψo= 0.6; Ψ1=0.4 e Ψ2=0.2) e

despresendo o peso próprio, determine:

a) Os valores máximos de cálculo dos momentos flectores para verificação de

segurança aos estados limites últimos.

b) Os valores de cálculo associados a compressão dos pilares AD e BE para

verificação aos estados limites últimos.

RESOLUÇÃO:

10 Passo: Calculo dos momentos e dos esforços de compressão associados as cargas

permanentes.

∑mE= 0 → -30x2.5x6.25-40x5x2.5+35x1.8x0.9+VDx5=0 → VD= 182.41 kN

∑mD = 0 → -30x2.5x1.25 + 40x5x2.5 + 35x1.8x5.9 - VBx5 =0 →VB = 155.59 kN

MD = -30x0.5X2 = -15x2.52 = -93.75 kNm

ME = -35x0.5x1.82 = -56.7 kNm



2.50 5.00

30kN/m 40kN/m 35kN/m

C D E F1.80 (m)

C D E F

50.46

56.70

93.75

dM (kNm)

182.41 kN 155.59 kN

2.50 5.00

50kN/m

C D E F1.80 (m)

C D E F39.89

81.00

156.25

dM (kNm)

265.05 kN 199.95 kN

MAB = -30x2.5(X+1.25) -40x0.5X2 + 182.41X

MAB = -30x2.5 -40X +182.41 → X=2.69m

MABmax = -30x2.5(2.69 +1.25) – 20x2.692 = 50.46 kNm;

Fig. Diagrama das cargas permanentes

2o Passo: Cálculo dos momentos e dos esforços de compressão associados a carga

variável.

CASO 1 – Actuação da carga em toda a viga



2.50 5.00

50kN/m

C D E F1.80 (m)

C D E F

156.25

dM (kNm)

125.00 kN125.00 kN

2.50 5.00

50kN/m

C D E F1.80 (m)

C D E F78.12

156.25

dM (kNm)

156.25 kN 31.25 kN

∑mE = 0 → -50x2.5x6.25 – 50x0.5x52 + 50x1.8x0.9 + VDx5 =0 →VD= 265.05 kN

∑mD = 0 → -50x2.5x1.25 + 50x5x2.5 + 50x1.8x5.9 - VBx5 = 0 → VA= 199.95 kN

MD= -50x0.5X2 = -25x2.52 = -156.25 kNm

ME = -25x1.82 =-81 kNm

MAB = -50x0.5X2 + 265.05X -50x2.5(1.25+X) = 0

M’AB = -50X +265.05 – 125 =0 → X= 2.8

MmaxAB = -50x0.5x2.82 + 265.05x2.8 – 125(2.8+1.25) = 39.89 kNm

CASO 2 – Actuação da carga no vão central da viga

VA = VB= 0.5x50x5 = 125 kN

Mmax = ql2/8 = 0.125x50x52 = 156.25 kNm

CASO 3 - Actuação da carga na consola DC:



2.50 5.00

50kN/m

C D E F1.80 (m)

C D E F40.56

81.00

dM (kNm)

106.20 kN16.20 kN

2.50 5.00

50kN/m

C D E F1.80 (m)

C D E F

87.89

156.25

dM (kNm)

281.25 kN 93.75 kN

∑mD=0 → -50x2.5x1.25 - VEx5 → VE= -31.75 kN (↓)

∑mE=0 → VAx5 – 50x2.5x6.25 = 0 → VB = 156.25 kN

MD = -50x2.52x0.5 = -156.25 kNm

MDE = 0.5xMD = 0.5x(-156.25)= -78.125 kNm

CASO 4 – Actuação da carga na consola EF

∑mD=0 → -VEx5 + 50x1.8x5.9 = 0 → VE = 106.2 kN

∑mE=0 → VDx5 + 0.5x50x1.82 = 0 → VD = -16.2 kN (↓)

ME= -50x1.82x0.5 = -81 kNm

MDE = 0.5x(-81) = -40.5 kNm

CASO 5



2.50 5.00

C D E F1.80 (m)

50kN/m 50kN/m

2.50 5.00

50kN/m

C D E F1.80 (m)

C D E F

118.37

81.00

dM (kNm)

231.20 kN108.80 kN

∑mD=0 → -50x2.5x1.25+0.5x50x52 - VEx5 = 0 → VE = 93.75 kN

∑mE=0 → VDx5 – 50x2.5x6.25 – 0.5x50x52 =0 → VD = 281.25 kN

MD = -156.25 kNm

MDE = 93.75X – 0.5x50X2 = 0

M’DE = 93.75 – 50X = 0 → X = 1.88m

MmaxDE = 93.75x1.88 – 0.5x50x1.882 =87.89 kNm

CASO 6

∑mE=0 → VDx5 – 50x5x2.5 + 0.9x50x1.8 =0 → VD = 108.8 kN

∑mD=0 → 50x5x2.5+ 50x1.8x5.9 - VEx5 = 0 → VE = 231.2 kN

ME = -81 kNm

MED = 0 → 108.8X – 0.5x50X2 = 0

M’ED = 108.8 – 50X = 0 → X=2.17m

MmaxED = 108.8x2.17 – 25x2.172 = 118.37 kNm

CASO 7



Tem - se ainda esta variante do carregamento pela sobrecarga, que gera momentos:

MD= -156.25kNm e ME= -81kNm, e que a carga total sobre a viga é de 50x2.5 + 50x1.8

= 215kN que não origina esforços de compressão máximos nos pilares.

a) MOMENTOS DE CÁLCULO

No vão ED:

QjkjkQqGik

m

i

gisd SSSM 01

1

Msd = γgMG + γqMQ

Msd = 1.5x50.46 + 1.5x156.25

Msd = 310kNm

Note-se que a carga permanente provoca o momento máximo no ponto Xg = 2.69m

e a carga q variável no ponto Xq = 2.5m, pode-se optar pelo preciosismo e fazer as

combinações para os momentos nos pontos Xg = 2.5m e Xq = 2.69m, mas por opção

as combinações foram feitas com os momentos máximos do vão mesmo não

actuando no mesmo ponto, conferindo também maior segurança.

No apoio D:

QjkjkQqGik

m

i

gisd SSSM 01

1

Msd = γgMG + γqMQ

Msd = 1.5x(-93.75) + 1.5x(-156.25)

Msd = -375 kNm

No apoio E:

QjkjkQqGik

m

i

gisd SSSM 01

1

Msd = γgMG + γqMQ



Msd = 1.5×(-56.7)+1.5×(-81)

Msd = -206.55 kNm

b) CÁLCULO DOS ESFORÇOS NORMAIS DE COMPRESSÃO DOS PILARES

Pilar AD:

QjkjkQqGik

m

i

gisd SSSN 01

1

Nsd = γgNG + γqNQ1

Nsd = 1.5x182.41 + 1.5x281.25

Nsd = 695.49kN

Pilar BE:

QjkjkQqGik

m

i

gisd SSSN 01

1

Nsd = γgNG + γqNQ1

Nsd = 1.5x155.59 + 1.5x231.2

Nsd = 580.185 kN.



0.20

0.20

3Ø163Ø16

(m)

Estribos

;4.1110114.0

10348

04.0103.1385.0850

)85.0(

224

3

3

cmAmxA

x

xxxA

f

xAfNA

ss

s

syd

scdsd

s

TEMA II

PEÇAS SUJEITAS A ESFORÇOS NORMAIS

PROBLEMA 1

Calcule as armaduras necessárias para um pilar quadrado de lado igual a 20cm, sujeito

a uma força de compressão simples de Nsd = 850kN. O pilar será construido com um

betão de classe B25 e aço A400.

RESOLUÇÃO:

Dados: Cálculos:

;04.02.02.0

348)400(

3.13)25(

2mxA

MPaAf

MPaBf

c

syd

cd

A partir da tabela “Área de Varões de Aço” do REBAP, tem – se:

Para uma área 1664.11 2 cmA ;

Fig. Corte transversal do pilar.



0.20

0.20

2Ø20

2Ø12

(m)

2Ø20

PROBLEMA 2

Admita um tirante de Betão Armado com secção 0.2x0.2m2 sujeito a uma tensão

normal de cálculo Nsd =500kN.

Dimensione a armadura necessária para verificar a segurança ao estado ultimo de

resistência. Materiais B25/A400.

RESOLUÇÃO:

Dados:

;04.02.02.0

;348)400(

;3.13)25(

2mxA

MPaAf

MPaBf

c

syd

cd

Sabe – se que tirantes são peças que funcionam a tracção, logo o que resiste ao

esforço e só a armadura.

Cálculos:

;36.141036.14

10348500

224

3

cmAmxA

xAx

xAfN

NN

ss

s

ssydsd

Rdsd

A partir da tabela de “Área de Varões de Aço” do REBAP, temos:

1222044.11 2 cmA

Fig. Corte transversal do pilar



0.50

0.30

2Ø20

2Ø20

(m)

2Ø20

;73.2351

1085.181034815.0103.1385.0

85.0

433

kNN

xxxxxxN

xAfxAfN

Rd

Rd

ssydccdRd

;1085.18

15.05.03.0

348)400(

3.13)25(

24

2

mxA

mxA

MPaAf

MPaBf

s

c

syd

cd

PROBLEMA 3

Determinar a capacidade resistente a tracção e compressão de um pilar de 30x50 cm2

armado com 6Ø20. Materiais B25 e A400.

RESOLUÇÃO:

Dados: 1º Resistência do pilar a compressão:

2º Resistência do pilar a tracção:

;98.655

1085.1810348 43

kNN

xxxN

xAfN

NN

sd

sd

ssydsd

Rdsd



Q1= 80kNQ2 = 80kN

AC D

B

7.20

2.00 3.00

0.25

h

(m)

g = 10kN/m

TEMA III

PEÇAS SUJEITAS A ESFORÇOS DE FLEXÃO – FLEXÃO SIMPLES

FLEXÃO SIMPLES

Exercício 1

Cosiderando a estrutura ilustrada na fig. 1 sujeita a carga permanente g (não inclui o

peso próprio), e a acções variáveis Q1 e Q2 pontuais. Cosidera-se que a estrutura é feita

de betão B30 e aço A400 e um ambiente muito agressivo.

Fig. 1. Esquema estrutural

a) Calcular as armaduras longitudinais para verificação de segurança aos estados limites

últimos pelo método do diagrama rectangular;

b) Fazer o mesmo cálculo usando as tabelas.

Resolução:

1. Cálculo do momento considerando as cargas permanentes (g):

Sendo a estrutura uma viga simplesmente apoiada com carregamento uniforme, o seu

momento máximo será dado por ql2/8.

Então:

MAB/2 = Mmax = gl2

8 = 10 ×

7.22

8 = 64.8 kNm;

MC = 36 × 2 − 10×22

2 = 52.0 kNm;



AC D

B

7.20

2.00 3.00 (m)

g = 10kN/m

52.064.8 63.0

dM (kNm)

AC

B2.00 (m)

dM (kNm)

Q1= 80kN

5.20

115.680.03

66.69

MD = 36 × 3 − 10×32

2 = 63.0 kNm.

O diagrama dM resultante será:

Fig. 2. Diagrama do momento flector (g)

2. Cálculo dos momentos considerando a carga variável (q):

Caso 1 (carga Q1):

MAB/2 = 80.03 kNm; MC = 80×2×5.2

7.2 = 115.6 kNm; MD = 66.69 kNm.

Fig. 3. Diagrama do momento flector (Q1)

3. Cálculo dos momentos considerando a carga variável Q2:



A B

AD

B2.00 (m)

Q2= 70kN

5.20

dM (kNm)

58.33 105.0 122.5

MAB/2 = 105.0 kNm; MC = 58.33 kNm; MD = 80×4.2×3

7.2 = 122.5 kNm;

Fig. 4. Diagrama do momento flector (Q2)

4. PRÉ – DIMENSIONAMENTO DA SECÇÃO (SEM CONSIDERAR O PESO

PRÓPRIO)

4.1.Cálculo do momento máximo actuante na estrutura.

Combinação Fundamental: Sd = 𝛾𝑔𝑖𝑆𝐺𝑖𝑘 + 𝛾𝑞 𝑆𝑄1𝑘 + 𝜓0𝑗𝑆𝑄𝑗𝑘

i) Considerando Q1 como base:

MAB /2(+)

= γg MAB/2 + γq ( MQ1 + ψ0 MQ2 ) = 1.5 × 64.8 + 1.5 (80.03 + 0.55 × 105 ) =

303.87 kNm;

MC(+)

= 1.5 × 52.0 + 1.5 × (115.6 + 0.55 × 58.33 ) = 299.52 kNm;

MD(+)

= 1.5 × 63.0 + 1.5 × (66.61 + 0.55 × 122.5 ) = 295.48 kNm.

ii) Considerando Q2 como base:



AC D

B

7.20

2.00 3.00

g = 10 + 4.38 = 14.375kN/m

74.75

93.15

90.56

dM (kNm)

MAB /2(+)

= γg MAB/2 + γq ( MQ2 +𝜓0 MQ1 ) = 1.5 × 64.8 + 1.5 (105 + 0.6 × 80.03 ) =

326.73 kNm;

MC(+)

= 1.5 × 52.0 + 1.5 × (58.33 + 0.6 × 115.6 ) = 269.54 kNm;

MD(+)

= 1.5 × 63.0 + 1.5 × (122.5 + 0.6 × 66.69 ) = 338.27 kNm.

≫ O momento de cálculo será: MSD = 338.27 kN.

! Assumindo um recobrimento de C = 3.5cm (ambiente agressivo, artg 78° REBAP),

diâmetro

longitudinal da armadura 25mm e transversal 8mm.

a = c + ∅transversal + ½ ∅longitudinal = 0.035 + 0.008 + 0.50 × 025 = 0.056m;

Pela condição:

d ≥ Msd

fcd× b × 0.25 → d ≥

338.27×10−3

16.7× 0.25 × 0.25 → d ≥ 0.57m;

Assumindo um valor de d = 0.57m, a altura será dada por:

h = d + a = 0.57 + 0.056 = 0.63m;

≫ Assumindo uma altura da viga h = 0.7m, a nova altura útil será: d = h − a = 0.7 − 0.056

= 0.64 m.

5. CONSIDERAÇÃO DO PESO PRÓPRIO

Pp = γAc = 25 × (0.7 × 0.25) = 4.38 kNm;

O diagrama da carga permanente considerando o peso próprio terá o seguinte contorno:



AS

0.25

0.70

379.61kNm

0.8XFc

Fses

ec = 3.5%0

0.4X

d - 4X

d

(m)

5.1. Determinação do novo momento de cálculo

Combinação Fundamental: Sd = 𝛾𝑔𝑖𝑆𝐺𝑖𝑘 + 𝛾𝑞 𝑆𝑄1𝑘 + 𝜓0𝑗𝑆𝑄𝑗𝑘

i) Considerando Q1 como base:

MAB /2(+)

= γg MAB/2 + γq( MQ1 + ψ0 MQ2 ) = 1.5 × 93.15 + 1.5(80.03 + 0.55 × 105 ) =

346.40 kNm;

MC(+)

= 1.5 × 74.75 + 1.5 × (115.6 + 0.55 × 58.33 ) = 333.65 kNm;

MD(+)

= 1.5 × 90.56 + 1.5 × (66.61 + 0.55 × 122.5 ) = 336.82 kNm.

ii) Considerando Q2 como base:

MAB /2(+)

= γg MAB/2 + γq ( MQ2 +𝜓0 MQ1 ) = 1.5 × 93.15 + 1.5 × (105 + 0.6 × 80.03 ) =

369.25 kNm;

MC(+)

= 1.5 × 74.75 + 1.5 × (58.33 + 0.6 × 115.6 ) = 303.66 kNm;

MD(+)

= 1.5 × 90.56 + 1.5 × (122.5 + 0.6 × 66.69 ) = 379.61 kNm.

≫ O momento de cálculo considerando o peso próprio será: MSD = 379.61 kNm.

5.2. Dimensionamento da armadura

O betão é do tipo B30 → fcd = 16.7MPa; Aço da classe A400 → fsyd = 348 Mpa.

Fig. 6



0.25

0.70

0.044

0.025

5Ø25

armadura construtiva 2Ø6

Corte A-A

Corte transversal da viga

estribos Ø8@25

(m)

Fazendo o equilibrio de translação: FH = 0; → FC = FS

0.85 ∙ fcd ∙ 0.25 ∙ 0.8X = As ∙ fsyd → 0.85 ∙ 16.7 ∙ 0.25 ∙ 0.8X = As ∙ 348

→ X = 122.58 ∙ As

Equilibrio de rotacção: Ms = 0;

Msd = 0.85 ∙ fcd ∙ b ∙ 0.8X ∙ (d – X) → 379.61 = 0.85 ∙ 16.7 ∙ 1000 ∙ 0.25∙ 0.8 ∙ X ∙ (0.64

– 0.4X)

X = 0.25m.

A área da armadura será dada por : As = X

122.58 =

0.25

122.58 = 0.00203 m

2 = 20.39 cm

2;

≫ A armadura escolhida é 5∅25 que corresponde a uma área de 24.54 m2.

Verificação das extensões:

εsyd ≤ εs ≤ 10%0

εs = d−X

X ∙ 3.5 %0 =

0.64−0.25

0.25 ∙ 3.5 %0 = 5.46%0

∴ 1.74%0 < 5.46 < 10%0 Ok!



A

Aestribos Ø8@253Ø20

2Ø62Ø6

Corte longitudinal da viga

7.20 (m)

4.70

q = 9.0 kN/m

1.70 (m)

g = 7.0 kN/m

A B C

0.40

0.20

Problema 2

Considere a estrutura ilustrada na fig. 1 sujeita a carga permanente g = 7.0 kN/m e a

acção variavel q = 9 kN/m (ψ0 = 0.6, ψ1= 0.4, ψ2= 0.2). Calcular a armadura ordinária

necessária para que se verifique a segurança aos estados limites últimos de flexão. A

estrutura é feita de betão B30 e aço A235.

a) Fazer a avaliação analítica usando o diagrama rectangular.

b) Avaliação analítica usando a parábola – rectângulo.

c) Avaliação usando as tabelas.

Fig.1



4.70

g + q = 16.0 kN/m

1.70 (m)

g = 7.0 kN/m

39.21

10.10

A B C

dM (kNm)

4.70 1.70 (m)

g + q = 16.0 kN/m

23.09

A B C

dM (kNm)

Resolução:

1. Determinação de esforços de cálculo

i) Combinação 1 (momento de cálculo positivo) :

Desta combinação (fundamental) resulta o momento máximo Msk no vão AB.

Fig. 2

O momento positivo de cálculo Msd no vão AB será dado por:

Msd(+) = 1.5 ∙ Msk = 1.5 ∙ 39.21 =58.82 kNm;

ii) Combinação 2 (momento de cálculo negativo) :

Desta combinação (frequente) resulta o momento Msk mais desfavorável no apoio B.

Fig. 3

O momento negativo de cálculo Msd no apoio B será:



AS

0.20

58.82 kNm

0.8XFc

Fses

ec = 3.5%0

0.4X

Z

d

(m)

0.40

0.03

0.85 fcd

X

Msd(−) = 1.5 ∙ Msk = 1.5 ∙ 23.09 =34.65 kNm;

2. Cálculo das armaduras de flexão

a) MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR

Para a secção AB (assumindo um recobrimento das armaduras de 3 cm – ambiente

moderadamente agressivo) tem – se por simplificação:

d = h – c = 0.4 – 0.03 = 0.37m;

Fig. 4

Fazendo – se as equações de equilíbrio equilíbrio encontra – se o valor de X:

Equilíbrio de translação: FH = 0;

FC – FS = 0

0.85 ∙ fCD ∙ AC – fsyd ∙ AS = 0

0.85 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.8 ∙ X ∙ 0.2 – 204 ∙ 103 ∙ AS = 0

X = 112.78 ∙ AS

Nota: fCD (B25) = 13.3 Mpa e fsyd (A235)= 204 Mpa.

Equilíbrio de rotacção: MAS = 0;



AS

0.20

34.64 kNm

0.8XFc

Fses

ec = 3.5%0

0.4X

Z

d

(m)

0.40

0.85 fcd

X

MSD - FC ∙ Z = 0; onde: Z = d – 0.4 ∙ X

MSD = 0.85 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.8 ∙ X ∙ 0.2 ∙ (0.37 – 0.4 ∙ X)

58.82 = 0.85 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.8 ∙ X ∙ 0.2 ∙ (0.37 – 0.4 ∙ X)

X = 0.098 m.

Verificação das extensões no aço

εsyd ≤ εs ≤ 10%0

εs = d−X

X ∙ 3.5 %0 =

0.37−0.098

0.098 ∙ 3.5 %0 = 9.70 %0

∴ 1.74%0 < 9.70 < 10%0 Ok!

Armadura:

Pelas equações acima tem – se:

X = 112.78 ∙ AS

AS = X

112.78 =

0.098

112.78 = 8.6895 ∙ 10-4 m2 = 8.70 cm2 → 3∅20.

Apoio B:

Fig. 5


FC – FS = 0



0.85 ∙ fCD ∙ AC – fsyd ∙ AS = 0

0.85 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.8 ∙ X ∙ 0.2 – 204 ∙ 103 ∙ AS = 0

X = 112.78 ∙ AS


MSD - FC ∙ Z = 0; onde: Z = d – 0.4 ∙ X

MSD = 0.85 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.8 ∙ X ∙ 0.2 ∙ (0.37 – 0.4 ∙ X)

34.64 = 0.85 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.8 ∙ X ∙ 0.2 ∙ (0.37 – 0.4 ∙ X)

X = 0.055 m.


εsyd ≤ εs ≤ 10%0

εs = d−X

X ∙ 3.5 %0 =

0.37−0.055

0.055 ∙ 3.5 %0 = 20.0 %0

∴ 20.0%0 > 10%0

Obs.: Neste caso as armaduras apresentam uma extensão maior que 10%0, o que

singnifica que a rotura da estrutura iniciaria pela armadura (rotura desejável).

Nestas circunstâncias o betão encontra – se em grande quantidade, havendo

necessidade de se alterar a secção para uma mais económica.

Armadura:


X = 112.78 ∙ AS

AS = X

112.78 =

0.055

112.78 = 4.90 ∙ 10-4 m2 = 4.90 cm2 → 3∅16.



AS

0.20

58.82 kNm

0.85X Fc

Fses

ec = 3.5%0

0.416X

Zd

(m)

0.40

0.03

0.85 fcd

X

b) MÉTODO PARÁBOLA – RECTÂNGULO Assumindo mesmos valores da alínea

anterior para o vão A – B teremos as seguintes condições:

Fig. 6

Fazendo – se as equações de equilíbrio equilíbrio encontra – se o valor de X:


FC – FS = 0

0.688 ∙ fCD ∙ b ∙ X – fsyd ∙ AS = 0

0.688 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.2 ∙ X – 204 ∙ 103 ∙ AS = 0

X = 111.47 ∙ AS

Nota: fCD (B25) = 13.3 Mpa e fsyd (A235)= 204 Mpa.


MSD - FC ∙ Z = 0; onde: Z = d – 0.416 ∙ X

MSD = 0.688 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.2 ∙ X ∙ (0.37 – 0.416 ∙ X)

58.82 = 0.688 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.2 ∙ X ∙ (0.37 – 0.416 ∙ X)

X = 0.097 m.




AS

0.20

34.64 kNm

0.85X Fc

Fses

ec = 3.5%0

0.416X

Z

d

(m)

0.40

0.85 fcd

X

εsyd ≤ εs ≤ 10%0

εs = d−X

X ∙ 3.5 %0 =

0.37−0.097

0.097 ∙ 3.5 %0 = 9.70 %0

∴ 1.74%0 < 9.85 < 10%0 Ok!

Armadura:


X = 111.47 ∙ AS

AS = X

111.47 =

0.097

111.47 = 8.71 ∙ 10-4 m2 = 8.71 cm2 → 3∅20.

APOIO B:

Fig. 7


FC – FS = 0

0.688 ∙ fCD ∙ b ∙ X – fsyd ∙ AS = 0

0.688 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.2 ∙ X – 204 ∙ 103 ∙ AS = 0

X = 111.47 ∙ AS


MSD - FC ∙ Z = 0; onde: Z = d – 0.416 ∙ X



MSD = 0.688 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.2 ∙ X ∙ (0.37 – 0.416 ∙ X)

34.64 = 0.688 ∙ 13.3 ∙ 103 ∙ 0.2 ∙ X ∙ (0.37 – 0.416 ∙ X) → X = 0.054 m.


εsyd ≤ εs ≤ 10%0

εs = d−X

X ∙ 3.5 %0 =

0.37−0.054

0.054 ∙ 3.5 %0 = 20.48 %0

∴ 20.48%0 > 10%0

Armadura:


X = 111.47 ∙ AS

AS = X

111.47 =

0.054

112.47 = 4.80 ∙ 10-4 m2 = 4.80 cm2 → 3∅16.

C) MÉTODO DAS TABELAS

Vão A – B:

Msd(+) = 58.82 kNm;

μ = MSD

b ∙ d2 =

58.82∙ 10−3

0.2 ∙ 0.372 = 2.15; → para B25 e A235 tem – se pela tabela: ρ = 1.184;

∴ AS = ρ ∙b ∙d

100 =

1.184 ∙ 0.20 ∙0.37

100 = 8.76 ∙ 10-4 m2 = 8.76 cm2.

Apoio B:

Msd(+) = 34.64 kNm;

μ = MSD

b ∙ d2 =

34.64∙ 10−3

0.2 ∙ 0.372 = 1.27; → para B25 e A235 tem – se por interpolação na

tabela: ρ = 0.67;

∴ AS = ρ ∙b ∙d

100 =

0.67 ∙ 0.20 ∙0.37

100 = 4.94 ∙ 10-4 m2 = 4.94 cm2.

3. Disposições construtivas



0.20

0.40

3Ø20

Corte A-A


estribos Ø6@25

(m)

2Ø16

A


2Ø162Ø16


4.70 (m)1.70

.

16 mm

6 mmC = 3 cm

2Ø16estribo Ø6@25

Pormenor das armaduras



As

. . . . .

0.40

0.50

Msd

Nsd

Armadura construtiva

(m)

e = 0.31As

. . . . .

0.40

0.50

N(m)

Ys

FLEXÃO COMPOSTA

Exercício 1

Recorrendo às equações de equilíbrio e posterior verificação usando tabelas e àbacos,

determine as armaduras para uma secção de betão de 40 X 50 (cm2) sujeita aos

seguintes esforços de cálculo: NSD (+) = 1300 kN e MSD = 400 kNm. Use B30 e A400.

Resolução:

4. Cálculo da excentricidade

e = M

N =

MSD

NSD =

400

1300 = 0.31m;

→ Está – se perante uma situação de grande excentricidade, pelo que deve – se

encontrar o momento reduzido.

5. Cálculo do momento reduzido (MS)

MS = MSD – NSD ∙ yS

Onde: yS = d − h

2 ; Seja: d = h – a = 0.5 – 0.04 = 0.46 m;

MS = 400 – 1300 ∙ (0.46 – 0.5

2) = 127.0 kNm.

6. Cálculo da armadura As segundo flexão simples



0.40

0.50

Armadura construtiva

(m)

0.035

0.025

6Ø25

6Ø20

Pela tabela de Flexão Simples e tomando como esforço de cálculo o momento

reduzido MS

tem – se:

μ = MSD

b ∙ d2 =

127.0 ∙ 10−3

0.40 ∙ 0.462 = 1.50; → para B25 e A400 tem – se pela tabela: ρ = 0.460;

∴ AS, MS = ρ ∙b ∙d

100 =

0.460 ∙ 0.40 ∙0.46

100 = 8.46 ∙ 10-4 m2 = 8.46 cm2;

A armadura devido ao esforço N:

AS, N = Nsd

fsyd =

1300

348 ∙103 = 0.0037 m2 = 37.36 cm2;

Por conseguinte, a armadura total AS será:

AS = AS, MS + AS, N = 8.46 + 37.36 = 45.30 cm2 → 6∅25 + 6∅20 (48.30 cm2).

Verificação do espaçamento das

armaduras:

e = 400−6 ∙25−2 ∙(8+30)

6−1 = 34.8 mm = 3.48 cm >

2.0 cm ok!



(m)

Msd,x

Msd,y

0.30

0.40

a1 = 0.04

a2 = 0.03

0.25As0.25As

0.25As

0.25As

FLEXÃO DESVIADA

Exercício 1. Considere uma secção de 40×30 (cm2) de betão armado B25/A400, sujeita

aos seguintes esforços: NSD = 810 kN, MSD,X = 87 kNm e MSD,Y = 43.50 kNm.

Calcular as armaduras ordinárias necessárias para que se verifique a segurança aos

estados limites últimos.

a) Com o auxílio dos ábacos;

b) Com base nas fórmulas aproximadas.

Fig. 1

Resolução:

a) Cálculo com auxílio dos ábacos.

Assumindo uma distribuição de armadura de 25% para cada face, ter – se – à

segundo o ábaco 59 (Flexão desviada):

Fig. 2

i) a1

h =

a2

b =

0.04

0.40 = 0.10;

ii) μX = MRD ,X

AC ∙h ∙ fCD =

87 ∙ 10−3

0.3 ∙0.4 ∙0.4 ∙13.3 = 0.14;



5Ø10

5Ø10

0.30

0.40

Estribos

(m)

μY = MRD ,Y

AC ∙h ∙ fCD =

43.50 ∙ 10−3

0.3 ∙0.4 ∙0.4 ∙13.3 = 0.07;

iii) ν = NRD

AC ∙ fCD =

810 ∙ 10−3

0.3 ∙0.4 ∙13.3 = 0.51;

iv) η = μY

μX =

0.07

0.14 = 0.5;

v) Para η = 0.5 e μX = 0.14 e ν = 0.51 tem – se ω = 0.31;

vi) A área das armaduras será dada por:

AS = ω ∙ AC ∙ fCD

fSYD =

0.31 ∙0.4 ∙0.3 ∙13.3

348 = 0.0014 m

2 = 14.22 cm

2.

Armadura: 0.25 ∙ AS = 0.25 ∙ 14.68 = 3.67 cm2 → 5∅10 (3.93 cm

2) para cada face.

Fig. 3

b) Cálculo com base nas fórmulas aproximadas (Método iterativo).

1. Cálculo das excentricidades:

eY = MSD ,X

NSD =

87.0

810 = 0.11; eX =

MSD ,Y

NSD =

43.50

810 = 0.05;

A relação entre as excentricidades será: eY

eX =

MSD ,X

MSD ,Y =

87.0

43.50 = 2.0;

∴ eY

eX = 2.0 >

h

b =

0.4

0.3 = 1.33; → Ok!



4Ø16

0.30

0.40 4Ø16Estribos

(m)

≫ A orientação da secção é correta!

2. Cálculo do esforço normal reduzido:

ν = NRD

AC ∙ fCD =

810 ∙ 10−3

0.3 ∙0.4 ∙13.3 = 0.51; Para ν = 0.51 → β = 0.79;

3. Excentricidade fictícia:

eY′ = eY + β ∙ eX ∙

h

b = 0.11 + 0.79 ∙ 0.05 ∙

0.4

0.3 = 0.163m;

4. Momento fictício:

MSD ,X′ = eY

′ ∙ NSD = 0.163 ∙ 810 = 132.03 kNm;

5. Cálculo da armadura como Flexão plana:

Pelo ábaco 24/25 (Flexão composta) tem – se:

μ = MSd ,x′

b ∙ h2∙ fCD =

132.03 ∙ 10−3

0.3 ∙ 0.42 ∙13.3 = 0.21; ν =

NRD

AC ∙ fCD =

810 ∙ 10−3

0.3 ∙0.4 ∙13.3 = 0.51;

Para μ = 0.21 e ν = 0.51 → ω = 0.32;

∴ AS = ω ∙ AC ∙ fCD

fSYD =

0.32 ∙0.4 ∙0.3 ∙13.3

348 = 0.00146 m

2 = 14.68 cm

2;

Mas, AS = A’ + A; onde: A’ = A → A = 0.5AS = 0.5 ∙ 14.68 = 7.34 cm2.

Armaduras: 4∅16 (8.04 cm2 ) para a face superior e inferior.

Fig. 4



(m)

Msd,x

Msd,y

0.25

0.50

a1 = 0.05

a2 = 0.025

0.25As0.25As

0.25As

0.25As

Problema 2.

Considere um pilar de betão com secção de 25×50 (cm2), projectado com um betão da

classe B25 e aço do tipo A400, sujeito a um esforço normal NSD = 1500 kN, MSD,X =

175 kNm e MSD,Y = 60.0 kNm.

Calcule as armaduras por forma a verificar a resistência do pilar em relação aos estados

limites últimos.

Fig. 1

Resolução:

a) Cálculo com auxílio dos ábacos.

Assumindo uma distribuição de armadura de 25% para cada face, ter – se – à

segundo o ábaco 59 (Flexão desviada):

Fig. 2



5Ø16

5Ø16

(m) 0.25

0.50

EstriboS

i) a1

h =

a2

b =

0.05

0.50 = 0.10;

iii) μX = MRD ,X

AC ∙h ∙ fCD =

175 ∙ 10−3

0.5 ∙0.25 ∙0.5 ∙13.3 = 0.21;

μY = MRD ,Y

AC ∙h ∙ fCD =

60.0 ∙ 10−3

0.5 ∙0.25 ∙0.5 ∙13.3 = 0.072;

iv) ν = NRD

AC ∙ fCD =

1500 ∙ 10−3

0.25 ∙0.5 ∙13.3 = 0.90;

v) η = μY

μX =

0.072

0.21 = 0.34;

vi) Para η = 0.34 e μX = 0.21 e ν = 0.90 tem – se ω = 0.78 (valor encontrado por

interpolação);

Isto é, se para η = 0 → ω = 0.59; η = 0.5 → ω = 0.69 então: para η = 0.34 → ω =

0.78.

vii) A área das armaduras será dada por:

AS = ω ∙ AC ∙ fCD

fSYD =

0.78 ∙ 0.25 ∙0.5 ∙13.3

348 = 0.00372 m

2 = 37.26 cm

2.

Armadura: 0.25 ∙ AS = 0.25 ∙ 37.26 = 9.32 cm2 → 5∅16 (10.05 cm

2) para cada face.

Fig. 3



j) Cálculo com base nas fórmulas aproximadas (Método iterativo).

6. Cálculo das excentricidades:

eY = MSD ,X

NSD =

175

1500 = 0.12 ; eX =

MSD ,Y

NSD =

60.0

1500 = 0.04;

A relação entre as excentricidades será: eY

eX =

MSD ,X

MSD ,Y =

175

60.0 = 2.92;

∴ eY

eX = 2.92 >

h

b =

0.5

0.25 = 2.0; → Ok!

≫ A orientação da secção é correta!

7. Cálculo do esforço normal reduzido:

ν = NRD

AC ∙ fCD =

1500 ∙ 10−3

0.25 ∙0.50 ∙13.3 = 0.90; Para ν = 0.90 → β = 0.60;

8. Excentricidade fictícia:

eY′ = eY + β ∙ eX ∙

h

b = 0.12 + 0.60 ∙ 0.04 ∙

0.50

0.25 = 0.168 m;

9. Momento fictício:

MSD ,X′ = eY

′ ∙ NSD = 0.168 ∙ 1500 = 252.0 kNm;

10. Cálculo da armadura como Flexão plana:

Pelo ábaco 24 (Flexão composta) tem – se:

μ = MSd ,x′

b ∙ h2∙ fCD =

252.0 ∙ 10−3

0.25 ∙ 0.502 ∙13.3 = 0.30; ν =

NRD

AC ∙ fCD =

1500 ∙ 10−3

0.25 ∙0.50 ∙13.3 = 0.90;

Para μ = 0.30 e ν = 0.90 → ω = 0.87;

∴ AS = ω ∙ AC ∙ fCD

fSYD =

0.87 ∙0.25 ∙0.50 ∙13.3

348 = 0.004156 m

2 = 41.56 cm

2; (*)



7Ø20

(m) 0.25

0.50 7Ø20

EstriboS

Mas, AS = A’ + A; onde: A’ = A → A = 0.5AS = 0.5 ∙ 41.56 = 20.78 cm2.

Armaduras: 7∅20 (21.99) cm2 ) para a face superior e inferior.

Fig. 4

(*) Note – se que a diferença dos resultados registada entre os dois métodos deve – se a

que no segundo, não se entrou em conta com a contribuição das armaduras existentes

nas faces laterais.



3.50 5.00

1.50

3.0Escritório Sala de espera

V1

V2 b2=3.0

b1=1.5

(m)

ESFORÇO TRANSVERSO

Problema 1.

Considere uma laje de12cm de espessura representada na fig.1, sobre a qual funcionará

uma sala de espera e um escritório. A laje é apoiada em duas vigas V1 e V2, executadas

em betão B25 e aço A400. Pretende – se quantificar a armadura transvrsal das vigas.

Fig.1

Resolução:

1. Determinação das acções

Peso próprio da laje: Pp= hlaje× 𝛾𝑏𝑒𝑡𝑎𝑜 ×bi

Segundo o RSA e consoante a utilização da laje ter-se-à:

Escritório: q1= 3.0 kN/m2 (ψ0=0.7);

Sala de espra: q2= 4.0 kN/m2(ψ0=0.7);

2. Cálculo da viga V1

Assumindo que a largura de influência da laje em relação à viga V1 é b1 = 1.5m

teremos:

Pp= hlaje× 𝛾𝑏𝑒𝑡𝑎𝑜 ×b1 = 25×0.12×1.5 = 4.5kN/m

q1= 3 ×1.5= 4.5 kN/m; q2= 4 ×1.5= 6 kN/m;



3.50 5.0

Pp+q1=9kN/mPp=4.5kN/m

Situação 1

dM(kNm)

dT(kN)

D

Msd(D)= 7.68*1.5= 11.52kNm

Vsd(A)= 11.76*1.5= 17.64kN

A B C

D

13.94

7.68 7.95

11.76 14.04

-8.46

-19.72

2.1. Combinações de Acções

Assume-se o sistema estático do tipo apoiado e as seguintes situações de variação de

carga:



3.50 5.0

Pp+q2=10.5kN/mPp=4.5kN/m

dM(kNm)

dT(kN)

Msd(E)= 22.26*1.5= 33.39kNm

Vsd(A)= 21.81*1.5= 32.72kN

E

Situação 2

A B C

E

22.13

22.6730.67

-14.20

1.54

-21.82

3.50 5.0

Pp=4.5kN/m

3.50

dM(kNm)

dT(kN)

Situação 3

A B C

2.45

11.10

9.06

13.47

-11.40

4.70

-9.30



3.50 5.0

q1=4.5kN/m

dM(kNm)

dT(kN)

Situação 4

A B C

2.83

5.54

7.06

-8.68

0.57

3.50 5.0

q2=6.0kN/m

dM(kNm)

dT(kN)

Situação 5

A B C

11.03

13.6417.20

-3.15

-12.79

Com base nas situações 3, 4 e 5 encontra-se os esforços de cálculo para a secção B:



36.16

11.52

33.39

17.64

46.60

32.7232.89

Diagramas Envolventes

dM(kNm)

dT(kN)

A B C

Combinações na secção B

Comb. (1): Msd = 11.10*1.5+1.5*(2.84+0.7*11.02)= 32.48kNm;

Comb. (2): Msd = 11.10*1.5+1.5*(11.02+0.7*2.84)= 36.16kNm;

Comb. (1):Vsd+ = 13.47*1.5+1.5*(17.2+0.7*0.57)= 46.60kN;

Comb. (2):Vsd- = 11.04*1.5+1.5*(8.68+0.7*3.15)= 32.89kN;

Nota: Os cálculos da estrutura serão efectuados com base nos valores (já majorados)

dos diagramas envolventes.

2.2. Pré – Dimensionamento da secção da viga V1



2.2.1. Tendo em conta a deformação:

h ≥ 𝑙𝑖

20η = 𝛼𝑙i

20𝜂 =

1.0×5

20×1.0 = 0.25m;

2.2.2. Tendo em conta o esforço (Msd = 36.16 kNm)

Para o dimensionamento económico tem – se:

d ≥ M𝑠𝑑

0.25×f𝑐𝑑×0.4

3 =

36.16×10−3

0.25×13.3×0.4

3

= 0.30m → Seja d = 0.30m;

b = 0.4×d = 0.4×0.3 = 0.12m → Assume – se b = 0.20m (dimensão mínima

recomendada pelo REBAP).

Considera – se para o cálculo da altura da viga os seguintes parámetros;

Ambiente moderadamente agressivo (recobrimento c = 3.0cm = 0.03m);

Armadura longitudinal ∅long = 25mm;

Armadura transversal ∅transv = 8.0mm;

∴ a = c + 1

2∅long + ∅transv = 0.03 +

1

2×0.025 + 0.008 = 0.051m;

Por conseguinte:

h = d + a = 0.30 + 0.051 = 0.35m → Assume – se uma altura de 0.35m (secção

0.20×0.35) m2.

2.2.3. Verificação da secção à Flexão

𝜇 = M𝑠𝑑

b×d2 =

36.16×10−3

0.2×0.32 = 2.0;



Pela tabela de Flexão (D’Arga e Lima, et all) para B25 e A400:

𝜌 = 0.64;

𝛼 = 0.247;

→ X = 𝛼 ∙ d = 0.247∙ 0.30 = 0.074m

A extensão das armaduras será dada por:

εs = d−x

x ∙ 3.5%0 =

0.3−0.074

0.074∙3.5 = 10.7%0

3. Dimensionamento das Armaduras

3.1. Armaduras de flexão (longitudinais)

As= 𝜌 ×b×d×1

100 = 0.64×0.20×0.3×

1

100 = 3.84 cm

2 → 2∅16.

4. Armadura Transversal

Para o betão da classe B25: τ1= 0.65MPa e τ2= 4.0MPa;

Para o aço A400 a percentagem de armadura é: ρw = 0.1%;

4.1. Cálculo da resistência atribuida ao betão(Vcd)

Vcd = τ1 ×b×d = 0.65×1000×0.2×0.3= 39.0kN;

4.2. Verificação do valor máximo do esforço transverso

VRd,max ≤ τ2 ×b×d= 4.0×1000×0.2×0.3 = 240kN;

4.3. Dimensionamento da armadura transversal máxima (secção B+)*

i) Espaçamento máximo:

1

2× τ2 ×bw×d= 0.5×240 = 120kN;

2

3× τ2 ×bw×d = 2/3×240 = 160kN;

Então: Vsd < 1

2× τ2 ×bw×d → 46.60< 120;

Consequentemente o espaçamento será dado por:



S ≤ 0.9×d com o máximo de 30cm

S ≤ 0.9×0.3= 0.27m = 27cm → seja S= 25cm = 0.25m;

ii) Área da armadura mínima

Asw,min= ρw ×bw×S

100 = 0.1×0.2×

0.25

100 = 0.5cm2;

iii) Resistência das Armaduras

Vwd = Vsd – Vcd = 46.6 – 39.0 = 7.60kN;

Mas:

Vwd = 0.9×d×As

S×fsyd

7.60 = 0.9×0.3×As

0.25×348 ×10

3 → As= 0.20cm

2

→ A armadura a usar na secção(B+) será: 2R∅6@25cm.

4.3.1. Dimensionamento da armadura nas secções (B- e C) com Vsd = 32.89kN

O cálculo a seguir será efectuado com recurso à tabela 1 (BETÃO ARMADO – ESFORÇO

TRANSVERSO DE TORÇÃO E PUNÇOAMENTO, J.D’arga e Lima et all).

! Para fim de cálculo assume-se a relacção d/h= 0.92 como valor de entrada da tabela

(nota que o valor d/h neste caso é 0.3/0.35= 0.86).

B25 e h = 0.35m → Vcd = 41.90kN e VRd,max = 257,60kN;

Vcd = 41.90kN > Vsd = 32.89kN → o betão por si só resiste ao esforço

transverso, sendo recomendado apenas a colocação de armadura mínima.

i) Espaçamento máximo entre estribos

Vsd

VRd ,max =

32.89

257.60 = 0.128; → pela tab.12: Smax = 28cm;

ii) Diâmetro dos Estribos



2Ø16

Armadura construtiva 2Ø6

estribos 2RØ6@25

0.20

0.35

Corte transversal da viga V1

(m)

estribos Ø6@25

estribos Ø6@25

estribos Ø6@25

Corte longitudinal da viga V1

2Ø16

2@6

3.50 5.00

A B C

A

A

Pela tab.11: (𝐴𝑠𝑤

𝑆)min = 0.020

→ ( 𝐴𝑠𝑤

𝑆) = (

𝐴𝑠𝑤

𝑆)min×

𝑉𝑠𝑑

τ2×bw×d =

0.02×32.89

0.65×1000 ×20×0.92×0.35 = 0.016m

∴ Armadura: 2R∅6@25cm.



3.50 5.0

Pp+q1=18kN/mPp=9.0kN/m

Situação 1

A B C

Msd(D)= 15.37*1.5= 23.06kNm

Vsd(A)= 23.52*1.5= 35.28kN

D

D

23.51

15.35

27.88

28.07

-39.45

-16.92

15.91

5. Cálculo da viga V2

Assumindo que a largura de influência da laje em relação à viga V2 é b2 = 3.0m

teremos:

Pp= hlaje× 𝛾𝑏𝑒𝑡𝑎𝑜 ×b2 = 25×0.12×3.0 =9.0kN/m

q1= 3 × 3 = 10.5 kN/m

q2= 4 × 3 = 12.0 kN/m

5.1. Combinações de Acções



3.50 5.0

Pp+q2=21.0kN/mPp=9.0kN/m

Situação 2

A B C

Msd(E)= 45.32*1.5= 67.98kNm

Vsd(A)= 43.63*1.5= 65.45kN

E

E

44.27

61.35

-28.40

3.08

-43.64

45.34

3.50 5.0

Pp=9.0kN/m

Situação 3

A B C

4.90

9.39

22.21

26.94

18.11

-18.06



3.50 5.0

q1=9.0kN/m

Situação 4

A B C

-17.36

14.12

11.08

5.67

1.13

3.50 5.0

q2=12.0kN/m

Situação 5

A B C

22.06

34.41

-6.31

-25.58

27.27



72.33

23.06

67.98

35.52

93.18

65.4965.79

Diagramas Envolventes

dM(kNm)

dT(kN)

B C

Combinações na secção B

Comb. (1): Msd = 22.2*1.5+1.5*(22.05+0.7*5.67)= 72.33kNm

Comb. (2): Msd = 22.2*1.5+1.5*(5.67+0.7*22.05)= 64.96kNm

Comb. (1):Vsd+ = 26.93*1.5+1.5*(34.4+0.7*1.13)= 93.18kN

Comb. (2):Vsd- = 22.09*1.5+1.5*(17.36+0.7*6.3)= 65.79kN

5.2. Pré – Dimensionamento da secção da viga V2

5.2.1. Tendo em conta a deformação:

h ≥ 𝑙𝑖

20η =

𝛼𝑙i

20𝜂 =

1.0×5

20×1.0 = 0.25m;

5.2.2. Tendo em conta o esforço (Msd = 72.33 kNm)

Para o dimensionamento económico tem – se:



d ≥ M𝑠𝑑

0.25×f𝑐𝑑×0.4

3 =

72.33×10−3

0.25×13.3×0.4

3

= 0.38m → Seja d = 0.38m;

b = 0.4×d = 0.4×0.38 = 0.152m → Assume – se b = 0.20m (dimensão mínima

recomendada pelo REBAP).

Considera – se para o cálculo da altura da viga os seguintes parámetros;




∴ a = c + 1


1

2×0.025 + 0.008 = 0.051m;

Por conseguinte:

h = d + a = 0.38 + 0.051 = 0.43m → Assume – se uma altura de 0.45m (secção

0.20×0.45) m2.

5.2.3. Verificação da secção à Flexão

𝜇 = M𝑠𝑑

b×d2 =

72.33×10−3

0.2×0.32 = 2.5;


𝜌 = 0.962;

𝛼 = 0.314;

→ X = 𝛼 ∙ d = 0.314∙ 0.38 = 0.12m

A extensão das armaduras serà dada por:

𝜀𝑠 = d−x

x ∙ 3.5%0 =

0.38−0.12

0.12∙3.5 =7.58%0 <10.0%0 ;

Armadura de flexão: As = 𝜌 ×b×d×1

100 = 0.962×0.20×0.38 ×

1

100 = 7.31 cm2 → 3∅20

6. Armadura Transversal



Para o betão da classe B25: τ1= 0.65Mpa e τ2= 4.0Mpa;

Para o aço A400 a percentagem de armadura é: ρw = 0.1%;

6.1. Cálculo da resistência atribuida ao betão(Vcd)

Vcd = τ1 ×b×d = 0.65×1000×0.2×0.38= 49.4kN

6.2. Verificação do valor máximo do esforço transverso

VRd,max ≤ τ2 ×b×d= 4.0×1000×0.2×0.38= 304.0kN > 93.18kN

6.3. Dimensionamento da armadura transversal máxima (secção B+)


1

2× τ2 ×bw×d= 0.5×304 = 152kN;

2

3× τ2 ×bw×d= 2/3×304 = 202.67kN; Então: Vsd = 93.18kN <

1

2× τ2 ×bw×d →

93.18kN <152kN;

Consequentemente o espaçamento será dado por:

S≤ 0.9×d com o máximo de 30cm

S≤ 0.9×0.38= 0.34m = 34cm → seja S= 30cm = 0.30m;



100 = 0.1×0.2×

0.30

100 = 0.6cm2;


Vwd = Vsd – Vcd = 93.18 – 49.4 = 43.78kN

Vwd = 0.9×d×As

S×fsyd

43.78 = 0.9×0.38 ×As

0.25×348 ×103 → As= 1.10cm2

→ A armadura a usar na secção(B+) será: 2R∅10@25cm.



Ou: 2R∅8@27cm ou ainda 2R∅6@15cm.

6.3.1. Dimensionamento da armadura na secção (B-) com Vsd = 65.79kN


1

2× τ2 ×bw×d= 0.5×304 = 152kN;

2

3× τ2 ×bw×d= 2/3×304 = 202.67kN; Então: Vsd = 65.79kN <

1

2× τ2 ×bw×d →

65.79kN < 152kN.

O espaçamento será dado por:

S≤ 0.9×d com o máximo de 30cm

S≤ 0.9×0.38= 0.34m = 34cm → seja S = 30cm = 0.30m



100 = 0.1×0.2×

0.30

100 = 0.6cm

2


Vwd = Vsd – Vcd = 65.79 – 49.4 = 16.39kN

Vwd = 0.9×d×As

S×fsyd

16.39 = 0.9×0.38 ×As

0.30×348 ×10

3 → As= 0.41cm

2

→ A armadura a usar na secção(B-) será: 2R∅8@25cm.

6.3.2. Dimensionamento da armadura na secção (C) com Vsd = 32.89kN

O cálculo a seguir será efectuado com recurso à tabela 1*

! Para fim de cálculo assume-se a relacção d/h= 0.92 como valor de entrada da tabela

(nota que o valor d/h neste caso é 0.3/0.35= 0.86).

B25 e h = 0.35m → Vcd = 53.80kN e VRd,max = 331.2kN;



3Ø20


2RØ6@30

3Ø20


2RØ8@30

3Ø20


2RØ8@27

0.20

0.45

Corte A-A Corte B-B Corte C-C

Corte transversal da viga V2

(m)

estribos Ø6@30

estribos Ø6@30

estribos Ø6@30

Corte longitudinal da viga V2

3Ø20

2@6

3.50 5.00

A B C

A

A B C

B C

Vcd = 53.80kN > Vsd = 32.89kN → o betão por si só resiste ao esforço transverso,

sendo recomendado apenas a colocação de armadura mínima.

i) Espaçamento máximo entre estribos

Vsd

VRd ,max =

35.52

331.20 = 0.12; → pela tab.12: Smax = 30cm;

ii) Diâmetro dos Estribos

Pela tab.11: (𝐴𝑠𝑤

𝑆)min = 0.020

→ ( Asw

S) = (

Asw

S)min×

𝑉𝑠𝑑

τ2×bw×d =

0.02×35.52

0.65×1000×20×0.92×0.45 = 0.013m;

∴ Armadura: 2R∅6@30cm.



5.10 1.45

A BØ [email protected]

0.20

0.50

q

g

A B

5.10 1.45

1.45Q

Vsd

(dV)

(q + g)*1.5 = Q

(m)

Problema 2.

Do projecto estrutural da viga representada na figura 1, foi idenificada a seguinte

informação: carga permanente g = 10 kN/m (inclui peso próprio da viga) e materiais de

construção : betão da classe B25 e aço do tipo A400.

Qual é a armadura longitudinal que deve ser colocada ao longo do primeiro vão da

viga? Para a solução do problema use apenas os métodos analíticos.

Fig.1

Resolução:

1. Diagrama do esforço tranverso e momento flector máximos

O esforço transverso máximo ocorre quando as dua cargas actuam em

todos troços da estrutura:

Fig.2. Esforço transverso

→ O momento máximo no vão AB é dado pela combinação:



A B

5.10 1.45

(q + g)*1.5 = Q

g =10kNm

Msd

(dM)

M

(m)

Fig.3. Momento flector

2. CÁLCULO DA RESISTÊNCIA DO BETÃO (Vcd):

Consideram – se para o cálculo os seguintes parámetros;




∴ a = c + 1


1

2×0.020 + 0.006 = 0.046m;

d = h – a = 0.5 – 0.046 = 0.45m;

→ Vcd = τ1 ×b×d = 0.65×1000×0.2×0.45= 58.50kN;

3. CÁLCULO DA RESISTÊNCIA DAS ARMADURAS

Vwd = 0.9×d×As

S×fsyd

Vwd = 0.9×0.45×0.57×10−4

0.15×348 ×103 = 53.56 kN



A B

5.10 1.45

(q + g)*1.5 = Q

Ra Rb

(m)

Nota: As = 0.57 cm2 (para 2 ramos de estribos de ∅6).

4. CÁLCULO DO ESFORÇO TRANSVERSO ACTUANTE

Vwd = Vsd – Vcd

Vsd = Vwd −Vcd = 53.56 – 58.50 = 112.06 kN;

5. DETERMINAÇÃO DA CARGA VARIÁVEL (q)

Fig.4. Reacções de apoio.

MA = 0;

Q (5.10 + 1.45)2 × 0.5 – RB × 5.10 = 0

RB = Q×21.45

5.10 = 4.21∙Q

Pelo diagram dV (fig. 2):

RB – 1.45Q – VSD = 0

4.21Q – 1.45Q – 112.06 = 0 ↔ Q = 19.80 kN/m;

Mas: Q = (q + g) × 1.5 19.80 = (q + 10)× 1.5 ↔ q = 3.2 kN/m; 6. CÁLCULO DAS ARMADURAS NO VÃO AB

A carga Q será: Q = (3.2 + 10) × 1.5 = 19.80 kN/m;



A B

5.10 1.45

19.8 kN/m

g =10kNm

Msd = 59.23

(dM)

14.47

52.57

(dV)

48.43

10.48

(m)

Fig.5. Esforços internos

7. CÁLCULO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS

𝜇 = M𝑠𝑑

b×d2 =

59.23×10−3

0.2×0.452 = 1.46;


𝜌 = 0.484 (para 𝜇 = 1.50, por simplificação);

As = 𝜌 ×b×d×1

100 = 0.484×0.20×0.45×

1

100 = 4.35 cm2 → 2∅𝟐𝟎 (6.28 cm2);



Ø[email protected]

0.20

0.50

2Ø20


armadura negativa

A


armadura negativa


(m)

armadura negativa

5.10 1.45

CORTE A-A



0.70

0.40(m)

TEMA 7

TORÇÃO

PROBLEMA 1

Dimensione as armaduras para uma secção de 40x70 cm2 sujeita exclusivamente a um

momento torsor T=60kN.m. Materiais B20/A400, ambiente pouco agressivo.

RESOLUÇÃO:

1º. Características geométricas da secção:

;68.200)83.470()83.440(2)()(2

;03.2292)83.470)(83.440()()(

83.46

29

6

42.212

29

12

295.52402

5.520

702

202

2

cmhhhbU

cmhhxhbA

cmd

h

ad

cmxabd

cmh

a

efefef

efefef

ef

ef

ef

ef

2º Verificação da secção:

!;6085.70229203.00483.0102.322 3

2max, okkNmTkNmxxxxxAhT sdefefrd



kNmT

T

TTT

td

td

cdsdtd

72.46

28.1360

0.70

0.40(m)

8Ø12

Ø[email protected]

3º Calculo da resistência do betão:

kNmT

xxxxT

AhT

TTT

cd

cd

efefcd

tdcdsd

28.13

2292.01083.46002

2

2

1

4º Cálculo da armadura transversal:

mcmxxx

x

xfA

T

S

Axf

S

AxAT

sydef

tdstsyd

steftd /93.2

103482292.02

1072.46

22 2

6

3

Espaçamento max: ;15.015

30

25.08

01.2

8 mcmS

cm

mU

S

ef

844.015.093.293.2/93.2 2 cmxxSAmcms

Ast

st

4º Dimensionamento da Armadura Longitudinal:

kNmTT ldsd 60

12856.7103482292.02

01.21060

22 2

6

3

cmxxx

xx

xfA

xUTAxf

U

AxAT

sydef

efld

slsyd

ef

slefld



1.80

0.80

1.00

5.000.15 0.25

0.30

(m)

PROBLEMA 2

Considere um alpendre com função de estação de serviço e executado de acordo com

a figura abaixo. Dimensione as armaduras da viga de modo a verificar a segurança da

estrutura em relação aos estados limites últimos de resistência. Materiais B20/A400.

considere ambiente moderadamente agressivo.

RESOLUÇÃO:

1o Determinação das acções:

Sobrecarga = 5kN/m2;

Peso Próprio: ;/3254.03.0

;75.68.12515.0

mkNxxg

kNmxxg

viga

laje

2º Determinação dos esforços de calculo:

Momento flector e esforço transverso na viga;

A carga de cálculo será dada por:

;/125.28

8.155.1)375.6(5.1

mkNQ

xxxQ

sd

sd

Os diagramas de momento e esforço transverso resultantes serão:



5.00

28.13 kN/m

(m)

A B

87.90

dM (kNm)

A B

A B

dT(kN)

70.30

70.30

5.00 kN/m

(m)0.80 1.00

dM (kNm)

1.60

5.00 kN/m

(m)0.80 1.00

dM (kNm)

1.60

2.50

5.00 kN/m

(m)0.80 1.00

dM (kNm)

2.50

Momento flector na laje

Para o momento flector na laje, a que fazer uma análise para encontrar o caso mais

desfavorável do momento flector que provoca maior momento torsor na viga.

Variantes da actuação da carga váriavel

Caso I Caso II ` Caso III

- Calculo dos momentos:

Caso I: ;/6.12

8.05

2

22

11 mkNm

xqlM



3.75 kN/m

(m)0.80 1.00

dM (kNm)

1.211.88

Caso 2: ;/9.02

8.05

2

15

22

222

1

2

22 mkNm

xxqlqlM

Caso 3: ;/5.22

15

2

22

3 mkNmxql

M

Actuação da carga permanente:

Carga permanente: mkNmxxlqlq

Mgg

g /67.02

8.075.3

2

175.3

22

222

1

2

2

Pelos valores dos momentos, nota-se que a combinação mais desfavorável será o

caso 3 com a carga permanente.

mkNmxxm /755.45.25.167.05.1 ;

kNmxmxl

Mvigator

sd 89.112

5755.4

2 ;

3º Dimensionamento:

Flexão Simples:

Verificação da secção:

!33.0107.103.025.0

9.87

25.0

35.0

5

4.0

3okmd

xxxd

bxf

Md

md

cma

mh

cd

sd



Cálculo da Armadura:

16564.81064.8100

35.03.0823.0

100

;823.039.235.03.0

109.8710

224

2

3

2

3

cmmxxxbd

A

x

x

bd

xM

s

sd

Cálculo da Armadura de Esforço transverso:

kNkNVVV

kNxxdbV

kNV

VVV

cdsdwd

wcd

sd

wdcdsd

3.7633.70

6335.03.0600

3.70

1

mcmxxxxdxf

V

s

A

syd

wdsw /66.01034835.09.0

3.7

9.0

2

3

Cálculo da armadura de Torção:

i) Características geométricas

;68.118)33.540()33.530(2)()(2

30.855)33.540)(33.530()()(

33.56

32

6

67.212

32

12

324240230

420

402

20280

2

cmhhhbU

cmhhxhbA

cmd

h

ad

cmxad

cmh

acmh

efefef

efefef

ef

ef

ef

ef

ii) Verificação da Secção:



!,2.323.17.0

3.108553.00533.02

1089.11

2

7.035.03.0

103.70

22

3

3

okMPaMPa

MPaxx

x

xAh

T

MPax

x

xdb

V

Tv

efef

sdT

w

sdv

!,6.11735.03.0

7001300

700102.3 3

2max, okVxxxxxdbV sdw

Tv

vrd

!,96.1808553.00533.0

7001300

1300102.322 3

2max, okTxxxxxxAhT sdefef

Tv

Trd

iii) Cálculo da Resistência do betão:

kNmT

xxxxxT

AhT

TTT

cd

cd

efefcd

tdcdsd

47.5

103.8551033.56002

2

42

1

iv) Calculo da armadura transversal devido a torção:

kNmT

T

TTT

td

td

cdsdtd

42.6

47.589.11

mcmxxx

x

xfA

T

S

Axf

S

AxAT

sydef

tdstsyd

steftd /078.1

1034808553.02

1042.6

22 2

6

3

v) Espaçamento Máx: mcmS

cm

mU

Sef

14.014

30

8.148

68.118

8

615.014.0078.1078.1/078.1 2 cmxxSAmcms

Ast

st

vi) Dimensionamento da Armadura Longitudinal

kNmTT ldsd 89.11



0.40

0.30

5Ø16

(m)

3Ø10

Ø[email protected]

A

Aestribos Ø[email protected]Ø16

3Ø103Ø10


5.00 (m)

10336.21034808553.02

18.11089.11

22 2

6

3

cmxxx

xx

xfA

xUTAxf

U

AxAT

sydef

efld

slsyd

ef

slefld

≫ Armadura longitudinal de Flexão 5Ø16;

≫ Armadura longitudinal de Torção 3 Ø10;

≫ Armadura Transversal Ø6//14.

Pelos resultados obtidos, conclui-se que a secção da viga esta sobredimensionada, isto

é, ela resiste aos esforços solicitantes sem atingir os seus limites máximos. Por

exemplo, para o momento-flector, bastava ter – se um d = 30cm, e tem – se 35cm, o

mesmo se verifica em relação ao esforço transverso e torsor.



Laje 1 Laje 2

Laje 3 Laje 4

6.00

6.00

5.00 5.00

A A

B

B

(m)

TEMA 8

LAJES VIGADAS

PROBLEMA 1

O painel de lajes vigadas representado na figura, apresenta uma espessura de 0.15m e

encontra-se submetido as seguintes acções:

Peso próprio;

Revestimento 1.5kN/m2;

Sobrecarga de utilização;

Ambiente pouco agressivo.

Fig. 1

Dimensione e pormenorize as armaduras da laje usando como materiais betão B25 e

aço A400.



5.00

6.00

(m)

Y

X

RESOLUÇÃO

1º Calculo das acções:

2

2

2

2

/875.1345.1)5.175.3(5.1

/4arg

/5.1Re

/75.32515.0

mkNxxQ

mkNaSobrec

mkNvestimento

mkNxproprioPeso

sd

Assumindo uma armadura de ∅10 mm tem – se:

cmahd 5.120.1*5.0215 ;

2º Sistemas estáticos:

Todas lajes têm a mesma característica, pelo que calculamos a laje 1 ou laje 2 ou 3 ou

4 e o resultado será igual para todas as outras. Assume – se então o sistema estático

encastrado – apoiado como mostra a figura a seguir:

Cálculo da Laje 2:



18.53

dM(kNm)

5.00

12.87

29.31

dM(kNm)

6.00

42.23

18.53 18.53

dM(kNm)

5.00 5.00

2.15

6

x

y

l

l

menorl

maiorlLaje armada nas duas direcções - Tabela de Marcus;

Para a relação 2.1x

y

l

l tem – se os seguintes valores na mesma tabela (Mrcus):

kx mx nx my ny

0.674 27 11.85 38.89 17.07

Direcção x:

;32.2985.11

59.13

87.1227

59.13

22

22

kNmx

n

qlX

kNmx

m

qlM

x

x

x

x

xx

Direcção y

;36.2007.17

59.13

94.889.38

59.13

22

22

kNmx

n

qlX

kNmx

m

qlM

x

xy

y

xy

O painel de lajes fica com os seguintes diagrama de momentos:

Corte A-A (Direcção x):



29.31

12.87 12.87

dM(kNm)

6.00 6.00

Corte B-B (Direcção y):

3º.Cálculo da Armadura:

15//8/1021.310000100

257.0125.01

100

257.0824.0125.01

1087.1210

87.12

24

2

3

2

3

mcmxxxxbd

A

x

x

bd

Mx

kNmM

s

x

10//10/105.710000100

60.0125.01

100

600.0873.1125.01

1032.2910

32.29

24

2

3

2

3

mcmxxxxbd

A

x

x

bd

Mx

kNmM

s

x

25//8/1014.210000100

171.0125.01

100

171.0572.0125.01

1094.810

94.8

24

2

3

2

3

mcmxxxxbd

A

x

x

bd

Mx

kNmM

s

y

15//10/100125.510000100

401.0125.01

100

401.030.1125.01

1036.2010

36.20

24

2

3

2

3

mcmxxxxbd

A

x

x

bd

Mx

kNmM

s

y



6.00

6.00

5.00 5.00(m)

Ø8//0.25

Ø8//0.15 Ø8//0.15

Ø8//0.25

Ø8//0.25 Ø8//0.25

Ø8//0.15 Ø8//0.15

Armadura Inferior

A A

6.00

6.00

5.00 5.00(m)

Ø10//0.10

Armadura Superior

Ø10//0.15 Ø10//0.15

Ø10//0.10

Desenhos das Armaduras



5.00

Ø8//0.25 Ø8//0.15

Ø10//0.15Ø10//0.10

5.00(m)

viga

laje

Corte A - A

Laje 1

Laje 2 Laje 3

4.50 3.50

2.00

3.50

(m)

PROBLEMA 2

Dimensione a laje representada na figura, que serve de tecto de um edifício de

escritórios de uma consultoria de engenharia, que será construído com um betão de

classe B25 e aço A400. O revestimento e as paredes divisórias quantificaram-se como

sendo 2kN/m2. Ambiente moderadamente agressivo.

1º Pré - dimensionamento, Determinação da espessura do painel de lajes (artigo 102

do REBAP).

Laje 1

25.22

5.4

menorl

maiorlLaje armada numa direcção.



Laje 1

4.50

2.00

(m)

Laje 2

4.50

3.50

(m)

Sistema estático : encastrada num bordo e apoiada no outro bordo, armada numa

diracçao, α=0.8.

;053.0130

28.0

3030m

x

xxllh i

Laje 2

28.15.3

5.4

menorl

maiorlLaje armada nas duas direcções.

Sistema estático: uma laje armada nas duas direcções, apoiada num bordo e

encastrada noutro, não temos no quadro XV do REBAP, um caso como este, pelo que

devemos ponderar a nossa escolha entre os sistemas estáticos presentes no quadro

que oferecem alguma semelhança com o nosso e a segurança, pelo que escolhe-se

α=0.6 ao em vez de α=0.5 pois nos oferece maior segurança.

;007.0130

5.36.0

3030m

x

xxllh i

Laje 3

15.3

5.3

menorl

maiorlLaje armada nas duas direcções;

Sistema estático: o sistema estático presente também não existe no quadro, dentre os

que podemos escolher , α=0.7; α=0.8 e α=1, escolhe-se α=1.



Laje 3

3.50

3.50

3.50

Laje 1

4.50

2.00

(m)

q = 8.0 kN/m2

2.25

4.0

dM (kNm)

kNmxql

M

kNmxql

M

25.22.14

28

2.14

48

28

822

max

22

max

mx

xxllh i 117.0

130

5.31

3030

Conclusão, embora o cálculo tenha fornecido diferentes alturas para as lajes, não e

exequível em obra ter lajes com diferentes alturas, então uniformiza-se a altura do

painel com a maior altura encontrada. A laje tem de ter uma altura h>11.7 cm,

h=12cm.

2º Determinação dos esforços.

2

2

2

2

/8323

/3

/2Re

/312.025

mkNQ

mkNSob

mkNv

mkNxPP

k

Laje 1:



Laje 2

2.42

5.45

8.97

3.97

ly = 4.50

lx = 3.50

(m)

8.0 kN/m2

;97.892.10

5.38

;/97.366.24

358

22

22

kNmx

n

qlX

mkNmx

m

qlM

x

xy

x

xx

;/45.599.17

5.38

;/42.24.40

5.38

22

22

mkNmx

n

qlX

mkNmx

m

qlM

x

xy

y

xy

;/67.276.37

5.38 22

mkNmx

m

qlM

y

xy

;/75.82.11

5.38

;/27.393.29

5.38

22

22

mkNmx

n

qlX

mkNmx

m

qlM

x

xy

y

xx

Laje 2:

Ly/lx mx nx my ny

1.28 24.66 10.92 40.4 17.99

Laje 3

Ly/lx mx nx my

1.0 29.93 11.20 36.76



Laje 3ly = 3.50

lx = 3.50

2.67

3.27

8.75

8.0 kN/m2

dM (kNm)

(m)

2.25

8.97

3.97

4.0

dM (kNm)

8.75

2.423.27

5.45

dM (kNm)

O painel de lajes fica com os seguintes diagrama de momentos:

Corte A - A

Corte B - B

Nota: Há que fazer a correcção dos momentos de encastramento.



4.50

3.50

(m)

Laje 2

8.0 kN/m2

2.46 kNm

4.50

3.50

(m)

Laje 2

8.0 kN/m2-1.65 kNm

kNmMmed 46.62

492.8

;1.72

75.845.5kNmM med

CORRECÇÃO DA LAJE 2

Corte A-A:

Cálculo do momento médio de encastramento:

Com a alteração do momento de encastramento, há uma redistribuição de momentos

que será calculado com base no caso 3 da tabela 8 dos “MOMENTOS FLECTORES NO

CENTRO DAS LAJES PARA MOMENTO SENOIDAL UNITÁRIO APLICADO NOS LADOS”.

;34.046.2138.0)5.4(

;214.046.2087.0)5.3(

;138.0)5.4(

;087.0)5.3(28.1

5.3

5.4

;46.246.692.8

xlm

xlm

l

l

l

l

kNmM

y

x

y

x

x

y

N.B – A que ter atenção com os eixos que são usados para o calculo dos

momentos γx e γy, pelo que aconselha-se que o estudante concentre seu

raciocínio sobre o lado maior e menor da laje. Assim foi resolvido este

problema.

Corte B-B: Caso 3 da tabela 9 (momento aplicado no lado menor):



Laje 3

ly = 3.50

lx = 3.50

8.0 kN/m2

(m)

-1.65 kNm

;36.434.00528.097.3)5.4(

;314.215.0214.025.2)5.3(

kNmlM

kNmlM

y

x

;093.0)5.3(

;032.0)5.4(28.1

5.3

5.4

;65.11.745.5

l

l

l

l

kNmM

y

x

y

x

;15.0)65.1(093.0)5.3(

;0528.0)65.1(032.0)5.4(

xlm

xlm

y

x

2.25

6.46

4.0

b

a

d

c

dM (kNm)

;65.145.51.7 kNmM

Momentos finais da laje 2:


A correçcao dos momentos da laje 1 faz-se pela semelhança de triâgulos. O momento

no encastramento é 48

2

ql

M , e verifica-se a seguinte relação:

88

22 qldc

qlba

kNmM

ddc

xaxc

c

a

ababa

19.1

19.181.2446.6

81.24

46.675.1

4

46.6

46.6

4

75.125.2444


Caso 1 da tabela 8 ou 9 (ly/lx=1):

kNmMmed 1.72

75.845.5



;237.065.1144.0)5.3(

;0924.065.1056.0)5.3(

xlm

xlm

y

x

144.0)5.3(

056.0)5.3(28.1

5.3

5.3

l

l

l

l

y

x

x

y

;91.2237.067.2

;19.3)0924.0(27.3

kNmM

kNmM

y

x

25//6/275.110000100

085.015.0 2min mcmxx

As

Momento final da laje 3:

Cálculo das armaduras:

Msk Msd μ ρ As(cm2/m) Armadura

1,19 1,79 0,247 0,074 0,63 mínima

2,31 3,47 0,480 0,149 1,27 mínima

2,91 4,37 0,604 0,18 1,53 6//20

3,19 4,79 0,662 0,211 1,79 6//15

4,36 6,54 0,905 0,274 2,33 8//25

6,46 9,69 1,341 0,417 3,54 10//25

7,1 10,65 1,474 0,467 3,97 10//20



4.50 3.50

2.00

3.50

(m)

Ø6//0.25

Ø6//0.30

Ø6//0.25

Ø8//0.25

Ø6//0.20

Ø6//0.15

Armadura de distribuição

Armadura Inferior

4.50 3.50

2.00

3.50

(m)

Ø10//0.25

Armadura Superior

10//0.15

Desposições Construtivas:



350kN

80kN

0.20

0.20

(m)

1.50

1.50

350

37.5

45.0

dT(kN) dM(kNm) Deformação do pliar

TEMA 9

PILARES (Encurvadura)

PROBLEMA 1

Considere o pilar representado na

figura, com 3m de altura, sujeito aos

esforços de cálculo indicados. Verifique

a segurança ao estado limite ultimo. O

pilar será executado com B25/A400,

dezpreze o peso próprio do pilar.

Assuma uma secção igualmente

armada de forma simétrica. Ambas as

cargas constituem 50% da carga

permanente e 50% da carga variável.

.

Fig. 1

RESOLUÇÃO:

1o Passo - Determinação dos esforços internos

Fig. 2. Esforços e representação da encurvadura devido às cargas.

2º Passo – Determinação do comprimento efectivo de encurvadura e esbelteza:



;709.510578.0

3

0578.012

2.0

0,3

0 curtoPilari

l

mi

mll

y

xx

x

oyox

;1012.91013.1010

3

10

1

.1013.10405.0102.0

510

51

405.05.1)350(

2.02.0103.134.04.0

3322

0

2

333

3

mxxxl

xr

e

xxxxhr

x

xxxx

N

Af

x

x

sd

ccd

;73.82)009.002.0(525455.1

)(

5253505.1

,

2

kNmxM

eeNMM

kNxN

xsd

asdsd

final

sd

sd

Não há necessidade de se verificar a excentricidade devido à fluência.

3º Passo – Verificação dos limites de dispensa do cálculo da encurvadura

Direcção X-X:

koxx

xh

N

M

sd

sd !7.011.02.05.34005.1

5.1455.370

! Verificar os efeitos de segunda ordem.

4º Passo - Cálculo dos esforços da segunda ordem

Excentricidade acidental (ea):

;2

;01.0300

3

300

cm

ml

demaioreox

ax

Excentricidade da 2ª ordem (e2)

6º Passo. Esforços finais:



122kN 356kN 122kN

6.7kNm

Direcção x - x

6.7kNm

30 kNm

30 kN/m

3.0 kN

3.0 kN

5.00 5.00

6.50

5.50

(m)

Obtido esses esforços, o problema reduz-se ao cálculo de flexão composta que foi

estudada nos capítulos anteriores:

- Analise a flexão composta na direcção x – x.

.47.91

885

, kNmM

kNN

xsd

sd

PROBLEMA 2

Dimensione o pilar central incorporado no edifício de escritórios duma empresa de

construção civil, construído com vigotas pré-esforçadas. O pilar apresenta uma secção

de 0.3x0.3m2, as vigas da direcção X-X tem a secção de 0.2x0.5 e da direcção Y 0.2x0.4.

O edifício será construído com matérias B25/A400. São dados na figura abaixo Os

esforços característicos no pilar, 50% dos esforços dizem respeito as cargas com

carácter de permanência e os outros 50% as cargas variáveis.



83.0 kN 234.0 kN 83.0 kN

6.8kNm

Direcção y - y

6.8kNm

25 kNm

25 kN/m

3.0 kN

3.0 kN

5.00 5.00

6.50

5.50

(m)

;4.046.14.0

12

3.03.01029

28321223562345.6

4.021.02.01.02.0

33

movelnodeestruturax

xx

xxx

fixosnosdeestruturaEI

Nh

xn

tot

mxl

xmenormenor

xx

xx

EI

EI

ox

vigas

pilares

8.75.62.1

09.2324.03.02

2.1)324.01(15.01)(

3.02

)(15.01)(

324.0

12

5.02.02

12

3.03.02

;1

min

21

3

3

2

1

RESOLUÇÃO:

1º Passo – Determinação da mobilidade da estrutura

2º Passo – Determinação do comprimento efectivo de encurvadura

Direcção x - x:



koxxx

xh

N

M

sd

sd !4.101.070

933.05.3

)234353(5.1

5.18.6

705.370

koxxx

hN

M

sd

sd !34.1011.070

893.05.3

)234353(5.1

5.17.6

705.370

;06.85.624.1

19.2633.03.02

24.1)633.01(15.01)(

3.02

)(15.01)(

;633.0

12

4.02.02

12

3.03.02

;1

min

21

3

3

2

1

mxl

xmenormenor

xx

xx

I

I

ox

vigas

pilares

Direcção y – y:

3º Passo – Calculo da Esbelteza

esbeltoPilari

l

esbeltoPilari

l

ii

x

oy

y

y

x

x

yx

6.92087.0

06.8

7.89087.0

8.7

087.012

3.0

0

Calcular excentricidade de fluência nas duas direcções.

4º Passo – Verificação dos limites de dispensa

Encurvadura

Direcção x – x:

Direcção y – y:

Verificar efeitos da segunda ordem nas duas direcções.



1exp

),(

sgE

sgoc

NN

Ntt

ax

sg

sg

c eN

Me

me

kN

xxxx

l

xIxEN

kNxN

kNmxM

x

c

ox

ycc

E

sg

sg

x011.01exp026.0

295

35.3

5.31758.7

12

3.03.0102914.3

2955905.0

35.37.65.0

2955.3175

2955.2

2

362

2

,28,

2

5º Passo - Cálculo dos esforços da segunda ordem

Excentricidade acidental (ea):

cm

cml

demaiore

cm

cml

demaiore

o

ay

ox

ax

2

;67.20267.0300

06.8

300

2

;6.2026.0300

8.7

300

Excentricidade da 2ª ordem (e2):

;058.010910

06.8

;055.010910

8.7

10

1

.10954.0103.0

510

51

54.05.1)234353(

3.03.0103.134.04.0

32

2

322

0

2

333

3

mxxe

mxxl

xr

e

xxxxhr

x

xxxx

N

Af

y

x

x

sd

ccd

Excentricidade por fluência:

Direcção x – x:



me

kN

xxxx

l

xIxEN

kNxN

kNmxM

x

c

ox

ycc

E

sg

sg

x012.01exp0267.0

295

4.3

9.297306.8

12

3.03.0102914.3

2955905.0

4.37.65.0

2959.2973

2955.2

2

362

2

,28,

2

kNmxM

kNmxM

eeeNMM

kNN

ysd

xsd

casdsd

final

sd

sd

78.95)012.0058.00267.0(8858.65.1

47.91)011.0055.0026.0(8857.65.1

)(

885)234356(5.1

,

,

2

Direcção y – y:

6º Determinação dos esforços finais

Obtido esses esforços, o problema reduz-se ao cálculo de flexão composta e desviada

que foi estudada nos capítulos anteriores:

- Análise a flexão composta na direcção x – x:

;47.91

;885

, kNmM

kNN

xsd

sd

- Análise a flexão composta na direcção y – y:

;78.95

;885

, kNmM

kNN

ysd

sd

- Análise a flexão desviada

;47.91

;78.95

,

,

kNmM

kNmM

xsd

ysd


Compilado por: Leonel Matsinhe e Jonatane SimangoPage 92

Documents

Manual Pratico Betao 1