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MAPA AUTO-ORGANIZÁVEL NÃO-PARAMÉTRICa (PSOM)APLICADO À DECISÃO DE LÓGICA MAJORITÁRIA

Getúlio A. de Deus Júnior Leandro Nunes de Castro* Jaime Portugheisgetulio@decom.fee.unicamp.br lnunes@dcaJee.unicamp.br jaime@decomJee.unicamp.br

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMPFaculdade de Engenharia Elétrica e de.Computação - FEEC

Departamento de Comunicações - DECOM*Departamento de Eng. de Computação e Automação Industrial- DCA

Resumo Os sistemas FH-CDMA propostos na literatura podemser representados por matrizes de transmissão e de recepção. Aregra de decisão que minimizá a probabilidade de erro demensagem no receptor é conhecida por lógica majoritária(LM). Este artigo propõe a utilização de uma arquitetura derede não-paramétrica que apresenta algumas modificações noalgoritmo de treinamento para os mapas auto-organizáveis,originalmente proposto por Kohonen, e verifica suaaplicabilidade na verificação das operações de LM.

1 INTRODUÇÃOJá há alguns anos têm sido realizados grandes avanços naspesquisas da área de Redes Neurais Artificiais (RNA's), tanto apesquisa teórica quanto a.pesquisa aplicada, têm demonstradoavanços significativos [9, 13, 14]. As Redes Neurais Artificiaisconstituem modelos matemáticos inspirados no sistemanervoso biológico, que dentre outras propriedades, são capazesde aprender pela experiência, generalizar exemplos e abstraircaracterísticas de um meio. Os elementos de processamento deuma Rede Neural Artificial são os neurônios, cuja função detransferência, geralmente, não-linear gera urna saídarespondendo à uma determinada entrada fornecida.

Também a área de sistemas de comunicações móveis temdemonstrado grandes avanços [7, 11, 12]. Este trabalhomotivou-se na utilização das RN'A's para projeto de receptoresFH-CDMA. É apresentado um novo algoritmo de treinamento,chamado PSOM [I], capaz de eliminar unidades de saídaredundantes para a arquitetura conhecida como mapa auto-organizável de Kohonen (SOM - do inglês self-organizingfeature map) [10]. Em seguida, é apresentada uma introduçãoaos sistemas FH-CDMA E finalmente, é feita uma aplicação darede de Kohonen para as operações de LM.

2 REDES AUTO-ORGANIZADASAs arquiteturas auto-organizáveis, como propostas por [10],geram mapeamentos de um espaço de dimensão elevada em

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estruturas cuja dimensão topológica é inferior à original. Estesmapeamentos são capazes de preservar as relações devizinhança dos dados de entrada. Isto os torna interessantespara aplicações em diversas áreas, como reconhecimento devoz, análise exploratória de dados [8], e otimizaçãocombinatória. O fato de que mapeamentos similares podem serencontrados em diversas áreas do cérebro humano e de outrosanimais indica que a preservação da topologia é um princípioimportante pelo menos em sistemas de processamento desinais.

A redução de dimensão pode acarretar urna perda deinformação (a qual se procura minimizar) ou então pode levar auma transformação topológica da informação original (demodo a explicitar relações não evidenciadas até então). Emambos os casos, o que se procura é preparar a informaçãodisponível para um processamento posterior, eliminando todotipo de redundância e apresentando a informação de forma queela possa ser diretamente manipulada.

Em termos de aplicação; foi verificado que a utilização deestruturas do modelo de Kohonen com dimensão arbitrária Iriasfixa implica em limitações nos mapeamentos resultantes [3].Um grande número de variações do algoritmo original, com oobjetivo de determinação de uma arquitetura mais adequada aoproblema a ser abordado, tem sido proposto na literatura. [3]apresenta um mapa auto-organizável construtivotreinamento supervisionado e não-supervisionado. Eapresentado um procedimento controlado de inclusão deunidades (crescimento), . juntamente com procedimentos depoda para a remoção ocasional de neurônios. [2] introduz ummétodo dinâmico de "divisão" de unidades que representammais de uma classe. São feitos comentários sobreprocedimentos de poda para a eliminação de unidades poucosignificativas, mas nenhum método é formaImente descrito esuas propriedades não são analisadas.

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-- - - - -

r • I- - . - I - - I

I = rI

.'- - -. IJ .-. - - -- 1.. ·Ir· . . . li l-

I - -• • • Classe I .•• - Classe 2 - Classe 3

(a)

- Classe4

"...

I P,

I P2= ...

.... P;

...p....

I

(b)

Figura 1: Arquiteturas típicas do SOM. (a)Mapa bidimensional de Kohonen, (b) Mapa unidimensional de Kohonen,

2.1 Mapa Auto-Organizável de Kohonen(SOM)

Os mapas auto-organizáveis de Kohonen fazem parte de umgrupo de redes neurais chamado redes baseadas em modelosde competição, ou simplesmente redes competitivas [8, 10].Estas redes combinam competição com uma forma deaprendizagem para fazer os ajustes de seus pesos.

Outra característica importante deste tipo de rede é que elasutilizam treinamento não-supervisionado, onde a rede buscaencontrar sürrrilaridades baseando-se apenas nos padrões deentrada. O principal objetivo dos mapas auto-organizáveis deKohonen é agrupar os dados de entrada que são semelhantes'entre si formando classes ou agrupamentos denominadosclusters (veja figura 1 (a)).

Em uma rede classificadora há uma unidade de entrada paracada componente do vetor de entrada. Cada unidade de saídarepresenta um cluster, o que limita a quantidade de clusters aonúmero de saídas. Durante o treinamento a rede determina aunidade de saída que melhor responde ao vetor de entrada; ovetor de pesos para a unidade vencedora é ajustado de acordocom o algoritmo de treinamento a ser descrito na próximaseção.

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Durante o processo de auto-organização do mapa, a unidadedo cluster cujo vetor de pesos mais se aproxima do vetor dospadrões de entrada é escolhida como sendo a "vencedora". Aunidade vencedora e suas unidades vizinhas têm seus pesosatualizados segundo uma regra a ser descrita a seguir.

A figura 1 (a) e (b) apresenta arquiteturas típicas de um mapaauto-organizável de Kohonen. ,considerando configurações devizinhança unidimensional e bidimensional. Além disso, dadaa dimensão, a quantidade de unidades ou neurônios de saídapode ser arbitrada e mantida fixa, ou então definidaautomaticamente pelo algoritmo de treinamento, como serádescrito mais adiante para o caso de vizinhançasunidimensionais.

A quantidade de elementos de entrada depende do banco dedados a ser utilizado no treinamento da rede. O grid de saídapode ser de várias dimensões, com quantidade variável deelementos

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Algoritmo de Treinamento

o algoritmo padrão de treinamento é apresentadoabaixo [8]:1 . Inicialização e definições de parâmetros

• Inicialize os pesos \Vij.• De f i na os parâmetros de vizinhança .• Defina o s parâmetros de aprendizagem .

2 . Enquanto a c ondiç ã o de parada é falsa,faça:2 .1 . Para cada j calcule :

JJ

2 . 2. Encontre o índice J tai que D(l) sejaum mínimo.

2 •3 . j E Nc de J, e '<:/ i :wij(novo) = wij(antigo) +á [Xi - Wij(antigo)]

2 . 4 . At ua l ize a taxa de aprendizagem2 . 5 . Reduza o r aio de vi z inhança

3 . Fim.

o O O O O O O O ONEj(Ne=4)

O O O O O Nc=3O O O O

O O O O O c=2O O O O

O O O Nc=!O O o°8: O O O

O O O O OOO O O O O O

O O O O OO O OO O O O

O O O OO O O O OO O O O O O O O O

(a)

Nc;;O NEj (Nc;;3){o [o lo (o) 01 o] o}

Nc=2 Nc=1

(b)

Figura 2: Vizinhos do nój, NEJ (Nc). (a) Estrutura Di-dimensional. (b) Estrutura uni-dimensional.

A taxa de aprendizagem decresce lentamente com o tempo. Aformação de um mapa ocorre em duas fases:• formação inicial da ordem correta• convergência final

O raio de vizinhança Nc é importante para o processo deatualização dos pesos. Como pode ser visto na figura 2(a) parao caso bi-dimensional, os vizinhos de um n6 são definidosdentro de uma região (quadrada, neste caso) onde o n6 j é ocentro do bloco. O caso uni-dimensional é apresentado nafigura 2 (b).

2.2 Procedimento de Poda paraVizinhança uni-dimensional (PSOM)

Quando pensamos em eliminar unidades pouco relevantes de.uma rede neural artificial, três questões básicas surgemnaturalmente:

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• existem efetivamente unidades em excesso?• se existirem, quais unidades devem ser eliminadas e de

que forma?• .como a rede deve comportar-se após a retirada de uma

unidade?

Ao longo desta seção pretendemos apresentar uma respostapara estas perguntas.

Como mencionado anteriormente, este método tem porobjetivo reduzir a dimensão topol6gica do mapa gerado peloalgoritmo de treinamento original , e suas aplicações podemser diversas , mas com ênfase em problemas de classificaçãoou agrupamento de padrões.

O algoritmo de poda aqui apresentado permite a retirada deunidades intermediárias através de uma análise desensibilidade ou da inclusão de um temo de penalidade nafunção objetivo a ser minimizada.

Para as redes auto-organizadas em estudo, não existe umcritério de erro a ser minimizado, mas sim um critério dedistância a ser avaliado . Nosso objetivo é retirar unidades quesão pouco representativas. Para isso, é preciso saber quais sãoestas unidades, se existirem. Definimos um vetor medida deagrupamento (roiA) responsável por avaliar o grau derepresentatividade de cada unidade de saída da rede. Aquelasunidades cujas medidas de agrupamento MA são inferiores aum determinado limiar (s) são retiradas uma-a-uma,juntamente com todas as suas conexões.

Por outro lado, se uma determinada unidade de saída possui :uma medida de agrupamento MA muito grande, um termo depenalização ('t) pode ser adicionado à medida de agrupamentodesta unidade , aumentando a probabilidade de que outrasunidades possam classificar parte do conjunto amostral ,evitando assim, excessos no processo de poda.

Ap6s avaliada a medida de agrupamento de cada unidade desaída, e feita a poda de uma destas unidades (uma-a-uma),alguns fatores devem ser considerados. Geralmente oscritérios de parada dos mapas auto-organizáveis são um limitede iterações ou um valor mínimo do passo de ajuste (ex), noscasos em que ex decresce durante o processo de aprendizagem.O procedimento de poda deve ser um procedimento retardado,ou seja, a rede é treinada da maneira usual durante algumasiterações, e assim que o mapa apresenta uma topologia pré-definida, inicia-se a eliminação de unidades cuja MA épequena. Toma-se óbvio, então, que ao retirarmos umaunidade em fase adiantada do treinamento, o valor reduzido dataxa de aprendizagem permitirá pequenos ajustes no vetor depesos. Este argumento evidencia a necessidade de umareinicialização do valor do passo (ex) e do raio de vizinhançaNc sempre que uma unidade for retirada.

A poda implica na retirada da unidade e reinicialização dosparâmetros de treinamento, tendo como condições iniciais, porexemplo, o estado anterior.do processo. O aproveitamento doresultado obtido pela rede antes do. processo de poda, tomaintuitiva a idéia de que o algoritmo proposto (PSOM) sejasempre superior ao algoritmo padrão (SOM) para a mesmaarquitetura final e mesmos parâmetros comuns, como ex e <x"'i..caso o critério de parada seja <x"'in.

A condição de parada sugerida é um valor mínimo (exmin) paraa taxa de aprendizagem (ex).

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é enviada através do canal utilizando-se uma seqüência de Lsinais FSK. Esta seqüência FSK pode ser representada comoentradas de uma matriz de Q linhas e L colunas [6]. A duraçãode cada um destes sinais é o tempo de chip (cada entrada damatriz) de duração T segundos. .

Como exemplo. para um sistema com Q =7 e L = 3, a matrizde transmissão da figura 1, corresponde a mensagem dousuário igual a x=( 3 , 3, 3 ) e o endereço do usuário igual aa=( 4, 5, 6 ), resultando em uma palvra-c ódigoy =li+x=( 0, 1, 2 ). Note que neste caso, a palavra-códigode endereço a foi deslocada ciclicamente de 3 passos(operação de adição m ôdulo-?).

desta seção, os sistemas de endereçamento propostos por[4.5] são apresentados como proposição para as matrizestempo-freqüência da seqüência de salto em freqüência (FH).

A figura 3 mostra o diagrama de blocos do transmissor.multi-nível FH-CDMA. O usuário gera a seqüência Q - âria demensagem, x, de comprimento L. Um endereço li, tambémde comprimento L, é adicionado à mensagem do usuário(componente a componente). A palavra-código resultante

A freqüência FSK transmitida pode ser afetada por M <Qseqüências de outros usuários interferentes e também pordesvanecimentos e ruídos . Neste trabalho, considerou-seapenas a interferência de outros usuários na seqüência FSKtransmitida.O receptor consiste numfrequency-dehopper, que extrai o

endereço da seqüência FSK recebida, segu ido de Q detetaresde energia. Durante L intervalos de chips, as saídas dosdetetores são comparadas com um limiar e é feita uma decisãorelativa à presença ou ausência da freqüência correspondente.A figura 4 mostra o diagrama de blocos do receptor multi-nível FH-CDMA.Um receptor de lógica majoritária (LM), maximiza

max p(;:] Ym)' m = 0, 1, 2, ''', M -1, (2)m

(1)Y=li+x,

onde Ym , m = 0, 1, 2, " ', M -1, são todos as M possíveismatrizes transmitidas pelo usuário que está ' sendodecodificado.Portanto, o receptor de máxima verossimilhança, pode ser

implementado através de um receptor de LM: escolha ycorno a palavra-código transmitida (matriz) se ele possui maiscoincidências com a matriz recebida do que r (:t: 'J) [6].Como exemplo, para um sistema com Q = 7 e L = 3, um

usuário interferente contribui com a palavra-código resultanteYl = ( 3, 0, 2 ), que interfere em apenas urna posição napalavra-código de um segundo usuário com Y2= ( 0, 1, 2 ) .Para decodificação da mensagem transmitida do usuário deendereço li =( 4, 5, 6 ), basta subtrair YI e Y2 doendereço a (operação de subtração módulo Q). Isto resultaem uma nova matriz Y*. Aplicando a regra de decisão porlógica majoritária verificamos que a mensagem transmitidapelo usuário é x = ( 3, 3, 3 ). O efeito da interferênciaentre usuários pode ser visualizado na matriz de recepção dafigura 4 (efeito de desespalhamento na matriz Y* ) .

Algumas das desvantagens do método proposto são aquantidade de parâmetros a serem arbitrados e um processoque inicia com uma arquitetura grande e tenta reduzi -ladurante a adaptação.

o parâmetro Sé um valor percentual, ou seja, se uma .unidadenão representa nem s% do conjunto de dados , estão ela podeser retirada . Se a distribuição do conjunto de dados a serutilizado é conhecida, então é sugerido que a metade do valorpercentual da classe menos representativa do conjunto sejautilizada. Caso não saibamos nada a respeito dos dados detreinamento, geralmente são utilizados valores baixos como0.5% ou 1% para o parâmetro S, de forma que a rede nãoperca a capacidade de representar todas as classes possíveis.inclusive as menos representativas.

Para conjuntos amostrais pequenos, com até algumas dezenasde amostras, o número de saídas inicial da rede pode sertomado como sendo igual ao número de amostras disponíveis,ou seja, m = N; pois não é possível que existam mais do que Nelementos distintos em um conjunto contendo N dados. Se oconjunto de dados é grande, esta estratégia é poucorecomendável devido ao esforço computacional do início doprocesso de treinamento, mesmo contando etapas de poda.

Neste trabalho foi considerada a aplicação do método de podaapenas para o caso de vizinhanças unidimensionais.

Algoritmo de TreinamentoO algoritmo PSOM de treinamento segue abaixo :

1. Inicialização e d e f i n içõe s de parâmetros• Inicialize os p esos Wij.• Defina o s p a râme t r o s de vizinhança,aprendi zagem, p enalização e poda (Ç).

• Defina o númer o mínimo d e s a í d a s (rnrnin) eo retardo (ret)

2 . Enquanto a c ondição de parada é f alsa,faça:2.1. Para cada j calcule:

D(j) =argmin{ Ih -Xiii J}

2 . 2 . En contre o índice J tal que sejaum mínimo.

2.3 . . Incremente o componente MAcorrespondente a J

2 .4. j E Nc de J, e T;;I i:wij(llovo) = wij(alltigo)+á [Xi - wij(alltigo)]2.5. At u a l i z e a taxa de aprendizagem2.6. Se (m > rnrnin) & (nep > ret)• Então, retire a unidade que classifica

menos que çamostras, faça a = ao e Nc =Nco'

• Senão, mantenha todas as unidades2 .7. Se MA(k) é grande, penalize-o com o'

parâmetro2 .8. Reduza o raio de v i z i nh a n ç a

3 . Fim.

3 SISTEMAS FH-CDMA (FREQUENCYHOPPING - CODE DIVISION MULTIPLEACCESS)

Na primeira parte desta seção é apresentado o detetorincoerente FH-FSK (Frequency Hopping - Frequency ShiftKeying) proposto pelos laborat órios Bell, como uma daspossíveis técnicas de espalhamento espectral do sinal digitalcelular utilizando a modulação FSK [6]. Numa segunda parte

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Solllador

NlvelQ

NivelO

xxx

NfvelQ

NivelO

XX

X NivelQ

xX

NivelO X

MatrizTempo-Frequb>ciada sequàIcia FH

4 Lchipr

MatrizTempo-Frequlneia daPalavra-Có<liBo _

Figura 3: Diagrama de Blocos do Transmissor Multi-nível FH-CDMA.

NlvelQ

NIvelO

sinaiRe<:ebido

XXxx

ReceplorFSKQ-irio

NlvelQ

NivelO

xx

x

Inta:f't:ri:nciaJp6s odesespethameetom

NivelO

LcJtipr4L chipr

MalrizdaPalaVIa-<ÓdigOno_

Figura 4: Diagrama de Blocos do Receptor Multi-nível FH-CDMA;

Einarsson sugere que o m -ésimo usuário gere uma seqüênciaQ -âria de mensagem, Xm , de comprimento L (L <Q). Umendereço ãm , também de comprimento L, é adicionado àmensagem do usuário (componente a componente). Todas asoperações binárias consideradas a partir daqui são sobre umcampo de Galois GF(Q). A palavra-código resultante

(3)

é enviada através do canal utilizando-se urna seqüência de Lsinais FSK. A duração de cada um destes sinais é o tempo dechip, A equação 3 difere da equação 2, no sentido de que osendereços a da equação 2 podem ser qualquer seqüência. Poroutro lado, a equação 3 sugere um endereçamento querninirnizaa probabilidade de erro.

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4 REDE DE KOHONEN PARA ASOPERAÇÕES DE LÓGICAMAJORITÁRIA

Urna Rede Neural não-paramétrica de Kohonen poderá serobtida, utilizando corno padrões de treinamento, as amostrasdadas pela figura 5, com Q=7 e L=3. Para este sistema, éexigido urna arquitetura de rede conforme mostra a figura l(b)com Q=7, ou seja, 7 neurônios na camada de saída.

As conexões dos chips da matriz recebida (entradas) aosneurônios de entrada da rede são feitas através dos pesossinápticos. A matriz de pesos sinápticos W para o sistema comQ=7 e L=3 tem dimensão 21x7 (21 linhas e 7 colunas). Estadimensão está relacionada com o número de entradas da redeigual a 21 e com o número de neurônios de saída da rede iguala 7, que é determinado automaticamente pelo algoritmoapresentado. A matriz W obtida no treinamento é mostrada nafigura 6.

40. SBAI - SimpósioBrasileirode Automação Inteligente, SãoPaulo,SP,08-10de 'Setembro de 1999

.;j;

: l

FiguraS: Padrões de treinamento para a Rede.deKohonen relativos as operações de lógica majoritária.

- 0.033 - 0.033 - 0.033 0.198 - 0.033 - 0.033 - 0.033- 0.033 - 0.033 - 0.033 0.198 - 0.033 - 0.033 - 0.033..:0.033 - 0.033 - 0.033 0.198 - 0.033 - 0.033 - 0.033- 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 0.198 - 0.033-0.033 -0.033 -0.033 -0.033 -0.033 0.198 -0.033- 0.033 . - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 0.198 - 0.0330.198 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.0330.198 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.0330.198 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033-0.033 -0.033 -0.033 -0.033 0.198 -0.033 -0.033

w= -0.033 -0.033 -0.033 -0.033 0.198 -0.033 -0.033- 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 0.198 - 0.033 - 0.033- 0.033 - 0.033 0.198 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033- 0.033 - 0.033 0.198 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033- 0.033 - 0.033 0.198 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033- 0.033 0.198 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033- 0.033 0.198 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033- 0.033 0.198 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033-0.033 -0.033 -0.033 -0.033 -0.033 -0.033 0.198- 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 0.198- 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 - 0.033 0.198

Figura 6: Matriz de pesos sinápticos obtida notreinamento de uma Rede Neural paramétrica de Kohonen

com Q=7 e L=3.

Observando a matriz de pesos ' sin ápticos W, verificamos que'neste treinamento, a primeira coluna da matriz W (primeironeurônio da camada de saída da rede) é responsável pelaclassificação da terceira mensagem treinada. A segundacoluna da matriz W é responsável pela classificação da sextamensagem treinada. E assim por diante. Devido ao caráterauto-organizado da rede, ao refazer o treinamento,encontraremos uma nova matriz W e muito provavelmente, oprimeiro neurônio da camada de saída não será mais oresponsável pela classificação da terceira mensagem.

Analisando o resultado do treinamento da matriz depesos sinápticos W notamos que todas as entradas da redeestão conectadas aos neurônios de saída, pois não existemvalores nulos na referida matriz. Se substituirmos os valores.positivos da matriz de pesos sinápticos por um e os valoresnegativos por zero, ou seja, efetuarmos uma decodificaçãolinear da matriz de pesos resultante, o desempenho em termosde probabilidade de erro da rede não é alterado. Isto se deveao fato de que a regra de atualização dada pelo algoritmo paraa rede auto-organizada de Kohonen (passo 2.1 das seções 3.1 e3.2),

D(j)= L(wij _x;)2,;

(I 5, j5,Q e 15, t« Q.L),encontre o índice J tal que D(J) seja mínimo,

implementa as operações de distância Euclidiana entre o vetorde entradas X e a i-ésima coluna da matriz de pesos sinápticosW. Portanto, para este treinamento se a quarta coluna damatriz Wapresentar a menor distância Euclidiana em relação a

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um determinado padrão de teste, decodificaríamos comosendo enviada a primeira mensagem (ver figura 6) .

5 CONCLUSÕESVerificou-se que o algoritmo de poda (PSOM) apresentadopara os mapas auto-organizáveis de Kohonen é capaz deencontrar uma arquitetura mínima representativa do problemaa ser tratado.

Além disso, verificou-se também que a RNA não-paramétricade Kohonen constitui uma forma de efetuar o cálculo para osvalores de p; (t s i :5Q), efetuando assim as operações delógica majoritária.

6 REFERÊNCiAS[1] Castro, L. N. & Von Zuben,F. J., "An Improving Pruning

Technique with Restart for lhe Kohonen Self-OrganizingFeature Map", aceito para publicação no "InternationalJoint Conference on Neural Networks" (DCNN'99),Washington D.C.IUSA, Julho 1999.

[2J Cho, S.-B., "Self-Organising Map with Dinamical NodeSplitting: .Application to Handwritten Digit Recognition",Neural Computation, voI. 9, pp. 1345-1355, 1997.

[3] Fritzke, B., "Growing Cell Structures - A Self-Organizing Network for Unsupervised and SupervisedLearning", Technical Report TR 26/93,1993.

[4J Einarsson, G., "Address Assignrnent for a Time-Frequcncy-Coded, Spread-Spectrum System", B.S.T.J.,v.59, n.7, p.l241-1255, SeI. 1980.

[5] Einarsson, G., "Coding for a Multiple-Access Frequency-Hopping System", IEEE Trans. on Comm., v.COM-32,n.5, p.589-597, Maio 1984.

[6J Goodman, B. J., Henry , P. S ., Prabhu V. K. "Frequency-Hopped Multilevel FSK for Mobile Radio", B.S.T.J.,v.59, «r. p.1257-1275, SeI. 1980.

[7] Huff, D. L., "Advanced mobile phonc service: lhedevelopmental system", B.S.T.J., v.58, 249, Jan . 1979.

[8] Kaski, S., "Data Exploration Using Self-OrganisingMaps", Ph.D. Thesis , Polytechnic School of Scandinavia,Finland, 1997.

[9] Kechriotis, G. L, Manolakos, E. S. , "Hopfield NeuralNetwork Implementation of the Optimal CDMAMultiuser Detector'. IEEE Trans. 00 Neural Networks,v.7, n.I , Jan . 1996.

[10]Kohonen , T., "Self-Organized Formation ofTopologically Correct Feature Maps", BiologicalCybernetics, 43, pp. 59-69, 1982.

[11]Maral, G., Bousquet, M., "Satellite CommunicationsSystems", New York: John Wiley & Sons, 1976.

[12]Potter, R., "Personal communications for lhe massmarket", Telecommunications, int. 00., v.24 , Set 1990.

[13]Yuan, J., Chen, C. S., "Correlation decoding of the(24,12) Golay code using neural networks", IEEProceedings-I, v.138, n.6, p.5]7-524, Dez. 1991.

[14]Wang, X., "An Artificial Neural Net Viterbi Decoder",IEEE Trans. on Comm., v.44, n.2, Fev. ]996.