Marcela Cohen Martelotte Projeto de Filtros para Ajuste ...filtro combina a abordagem de mínimos quadrados ponderados com as características dos filtros de Chebyshev, minimizando

Marcela Cohen Martelotte

Projeto de Filtros para Ajuste Sazonal Robustos a

Variações na Sazonalidade

Tese de Doutorado

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da PUC-Rio.

Orientador: Prof. Reinaldo Castro Souza Co-orientador: Prof. Eduardo Antônio Barros da Silva

Rio de Janeiro

Agosto de 2014

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1021512/CA


Projeto de Filtros para Ajuste Sazonal Robustos a

Variações na Sazonalidade

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Prof. Reinaldo Castro Souza Orientador

Departamento de Engenharia Elétrica – PUC-Rio

Prof. Eduardo Antônio Barros da Silva Co-orientador

UFRJ

Profa. Karla Tereza Figueiredo Leite Departamento de Engenharia Elétrica – PUC-Rio

Prof. José Francisco Moreira Pessanha UERJ

Prof. Fernando Luiz Cyrino Oliveira Departamento de Engenharia Industrial – PUC-Rio

Prof. Sergio Lima Netto UFRJ

Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 26 de agosto de 2014

DBD


Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total

ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, da

autora e do orientador.


Mestre em Engenharia Elétrica pela PUC-Rio e Mestre em

Administração Pública e de Empresas pela EBAPE/FGV.

Bacharel em Estatística pela Escola Nacional de Ciências

Estatísticas do IBGE. É integrante do Programa de Pesquisa

em Gestão da Aprendizagem Tecnológica e Inovação

Industrial no Brasil.

Ficha Catalográfica

CDD: 621.3

Martelotte, Marcela Cohen

Projeto de filtros para ajuste sazonal robustos a variações na sazonalidade / Marcela Cohen Martelotte ; orientador: Reinaldo Castro Souza ; co-orientador: Eduardo Antônio Barros da Silva. – 2014. 298 f. : il. (color.) ; 30 cm Tese (doutorado)–Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Elétrica, 2014. Inclui bibliografia 1. Engenharia elétrica – Teses. 2. Séries temporais. 3. Sazonalidade. 4. Sazonalidade móvel. 5. Domínio da frequência. 6. Filtros. 7. X-11. I. Souza, Reinaldo Castro. II. Silva, Eduardo Antônio Barros da. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Elétrica. IV. Título.

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Agradecimentos

Agradeço primeiramente ao professor e orientador Reinaldo Castro Souza,

por aceitar me orientar neste doutorado, assim como pelo incentivo e pela confiança

em mim depositada.

Ao coorientador Eduardo Silva, pelas inúmeras horas gastas e pelas valiosas

contribuições, além de ser fundamental no processo desta tese.

Ao CNPq e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho

não poderia ter sido realizado.

Aos professores do Departamento de Engenharia Elétrica, pela contribuição

na minha formação acadêmica.

Aos membros da banca examinadora pela disponibilidade e atenção

concedidas. E aos professores que participaram da defesa da proposta de tese, pelas

ricas sugestões dadas ao trabalho.

Agradeço também aos amigos do curso, importantes em toda essa trajetória,

e em especial ao Moisés e ao Carlos, por todo o apoio nos momentos de dificuldade.

Outros amigos que não são do curso, mas que foram importantes para a elaboração

desta tese, são a Sheila e o Luiz. Obrigada pela ajuda!

Por fim, agradeço à minha família pelo constante incentivo.

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Resumo

Martelotte, Marcela Cohen; Souza, Reinaldo Castro; Silva, Eduardo Antônio

Barros da. Projeto de Filtros para Ajuste Sazonal Robustos a Variações

na Sazonalidade. Rio de Janeiro, 2014. 298p. Tese de Doutorado -

Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do

Rio de Janeiro.

Quando há mudanças no padrão sazonal de uma série temporal, ao longo do

tempo, fica caracterizada a presença de ‘sazonalidade móvel’. Existem evidências

de séries macroeconômicas que apresentam um grau considerável de sazonalidade

móvel. Atualmente, para a realização do ajuste sazonal, o programa utilizado pelo

IBGE é o X-12-ARIMA, que implementa o método X-11 de ajuste sazonal. O X-

11 é um dos métodos mais utilizados no mundo pelos órgãos oficiais de estatística,

no entanto, quando existe sazonalidade móvel, ele não consegue tratá-la de forma

adequada. Este trabalho propõe dois projetos de filtros de extração da componente

sazonal, no domínio da frequência, que são adequados tanto para séries com

sazonalidade estável quanto para aquelas que apresentam sazonalidade móvel. O

primeiro projeto de filtros, intitulado de ‘filtro sazonal-WLS’, utiliza critérios

baseados em mínimos quadrados. O desempenho do ‘filtro sazonal-WLS’ é

avaliado com base em sinais sazonais artificiais, para séries mensais e trimestrais,

baseados nas características das séries macroeconômicas. Os resultados são

comparados com o método X-11 e são identificadas as situações nas quais ele é

superior ao X-11. Considerando que o ‘filtro sazonal-WLS’ é tanto superior ao X-

11 quanto maior for a razão entre a variação da sazonalidade e a intensidade da

componente irregular, foi desenvolvido o projeto de um segundo filtro. Este novo

filtro combina a abordagem de mínimos quadrados ponderados com as

características dos filtros de Chebyshev, minimizando simultaneamente o erro na

estimativa da sazonalidade e a influência da componente irregular. A ele intitulou-

se ‘filtro sazonal-WLS-Chebyshev’. Os resultados do ‘filtro sazonal-WLS-

Chebyshev’ são comparados com o ‘filtro sazonal-WLS’ onde observam-se

algumas melhorias.

Palavras-chave

Séries temporais; sazonalidade; sazonalidade móvel; domínio da frequência;

filtros; X-11.

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Abstract

Martelotte, Marcela Cohen; Souza, Reinaldo Castro (advisor); Silva, Eduardo

Antônio Barros da (co-advisor). Filter Design for the Seasonal Adjustment

Robust to Variations in the Seasonal Patterns. Rio de Janeiro, 2014. 298p.

Doctoral Thesis - Department of Electrical Engineering, Pontifical Catholic

University of Rio de Janeiro.

A time series is said to have ‘moving seasonality’ when there are changes in

the seasonal pattern. There is evidence that macroeconomic series show moving

seasonality. Currently, to perform a seasonal adjustment, IBGE uses the program

X-12-ARIMA, which implements the seasonal adjustment method X-11. This

method is worldwide adopted by official statistical agencies. However, when a time

series shows changing seasonal patterns, the X-11 seasonal adjustment method

generates unreliable estimates. This thesis proposes two designs of filters to extract

seasonal components in the frequency domain, that are suitable for series with

stable seasonality and for those with moving seasonality. The first filter, named

‘WLS-seasonal filter’, uses criteria based on least squares. The performance of this

filter is assessed based on artificial seasonal series for monthly and quarterly data,

based on the characteristics of real macroeconomic series. The results are compared

with the ones of X-11 method, and the situations in which this filter is superior to

X-11 are identified. Taking into account the fact that the performance of the ‘WLS-

seasonal filter’ improves in relation to the one of X-11 the higher the ratio between

the variation of seasonality and irregular intensity, the design of a second filter was

developed. This new filter combines the approach of weighted least squares with

the Chebyshev filters characteristics, simultaneously minimizing the error in

estimating the seasonal component and the influence of the irregular component. It

was named ‘WLS-Chebyshev-seasonal filter’. The performance of this new filter is

compared with the one of the WLS-seasonal filter, and some improvements are

observed.

Keywords

Time series; seasonality; moving seasonality; frequency domain; linear

filters; X-11.

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Sumário

1 Introdução 37

1.1. Apresentação do tema 37

1.2. Objetivo e contribuição da tese 39

1.3. Relevância do tema 40

1.4. Delimitação do estudo 42

1.5. Organização da tese 43

2 Ajuste sazonal: conceito, histórico e métodos 44

2.1. Conceitos e breve histórico do desenvolvimento das técnicas de

ajuste sazonal 44

2.2. Métodos de ajuste sazonal usados por agências governamentais 47

2.2.1. Revisão bibliográfica sobre a comparação entre o X-11 e o

SEATS 52

2.3. Procedimento de ajuste sazonal do programa X-13A-S, utilizando

o método X-11 54

2.3.1. Tipos de decomposições de séries temporais no X-13A-S 54

2.3.2. Etapas do ajuste sazonal realizado pelo X-11 56

2.3.3. Outros tópicos relacionados ao ajuste sazonal no X-13A-S 59

2.3.3.1. Filtro de Henderson 59

2.3.3.2. Seleção automática dos filtros sazonais no X-13A-S 60

2.3.3.3. Testes para a presença de sazonalidade no X-13A-S 62

2.3.3.3.1. Teste F para a presença de sazonalidade estável (FS) 62

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2.3.3.3.2. Teste F para a presença de sazonalidade móvel (FM) 63

2.3.3.3.3. Teste de Kruskal-Wallis para a presença de sazonalidade

estável (KW) 63

2.3.3.3.4. Teste combinado para a presença de sazonalidade

identificável 64

2.3.3.4. Estatísticas M e Q para qualidade do ajuste 67

2.4. Tópicos gerais relacionados à sazonalidade móvel 69

2.4.1. Uma breve revisão histórica sobre a sazonalidade móvel 69

2.4.2. Motivos para a existência de sazonalidade móvel 70

2.4.3. Alguns testes para a presença de sazonalidade móvel 71

3 Ajuste sazonal no domínio da frequência 73

3.1. Alguns conceitos relacionados à análise no domínio da frequência 73

3.1.1. Sinal 73

3.1.2. Sistemas em tempo discreto 74

3.1.3. Análise de Fourier 76

3.1.3.1. Elementos básicos de um modelo senoidal simples 76

3.1.3.2. Transformada de Fourier 78

3.1.3.2.1. Transformada Z 79

3.1.3.3. Espectros e funções de transferência 80

3.1.3.3.1. Espectro de amplitude do sinal 80

3.1.3.3.2. Gráfico do ganho 81

3.1.3.3.3. Espectro de fase 81

3.1.3.3.4. Espectro de potência 82

3.1.3.4. Função Geradora de Autocovariância e sua relação com o

espectro 82

3.2. O método X-11 no domínio da frequência 84

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3.2.1. O algoritmo base do X-11 84

3.2.2. O desempenho do X-11 na presença de sazonalidade móvel 87

3.3. Filtros 91

4 Filtro sazonal-WLS: uma generalização para o ajuste sazonal, na

frequência 92

4.1. O Algoritmo do filtro sazonal-WLS 92

4.2. Parâmetros do filtro sazonal-WLS 96

5 Filtro sazonal-WLS: seleção da melhor configuração e resultados 101

5.1. Componente Sazonal Artificial 101

5.2. Características das séries utilizadas e definição dos parâmetros

do sinal artificial 105

5.2.1. Séries mensais com decomposição aditiva: parâmetros ‘A/s’, ‘k’,

‘b’ e coeficientes da componente de tendência 111

5.2.2. Séries mensais com decomposição multiplicativa: parâmetros

‘A/s’, ‘k’, ‘b’ e coeficientes da componente de tendência 113

5.2.3. Séries trimestrais com decomposição aditiva: parâmetros ‘A/s’,

‘k’, ‘b’ e coeficientes da componente de tendência 117

5.2.4. Séries trimestrais com decomposição multiplicativa: parâmetros

‘A/s’, ‘k’, ‘b’ e coeficientes da componente de tendência 118

5.3. Razão Sinal Ruído (SNR) 121

5.3.1. SNR do filtro equivalente ao método X-11 para extração da

sazonalidade 121

5.3.2. SNR do filtro proposto para extração da sazonalidade 128

5.3.2.1. Cálculo de α com base em k 130

5.3.3. Razão entre a SNR do filtro proposto e a SNR do filtro X-11 132

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5.4. Seleção da melhor configuração do filtro S-WLS 133

5.4.1. Definição do filtro S-WLS para as séries mensais 135

5.4.2. Definição do filtro S-WLS para as séries trimestrais 140

5.5. Resultados: filtro S-WLS vs X-11 144

5.5.1. Critério de comparação entre o filtro S-WLS e o filtro X-11 144

5.5.2. Resultados: série mensal com decomposição aditiva – filtro

S-WLS vs X-11 146

5.5.2.1. Espectros da componente irregular: série mensal com

decomposição aditiva 155

5.5.3. Resultados: série mensal com decomposição multiplicativa –

filtro S-WLS vs X-11 159

5.5.3.1. Espectros da componente irregular: série mensal com

decomposição multiplicativa 169

5.5.4. Resultados: série trimestral com decomposição aditiva – filtro

S-WLS vs X-11 174

5.5.4.1. Espectros da componente irregular: série trimestral com

decomposição aditiva 183

5.5.5. Resultados: série trimestral com decomposição multiplicativa –

Filtro S-WLS vs X-11 187

5.5.5.1. Espectros da componente irregular: série trimestral

multiplicativa 193

6 Filtro sazonal-WLS-Chebyshev: definição, seleção da melhor

configuração e resultados 199

6.1. Filtro sazonal-WLS-Chebyshev: o algoritmo 199

6.2. Metodologia para seleção do filtro S-WLSC para as séries

mensais e trimestrais 202

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6.3. Série mensal aditiva – filtro S-WLSC 204

6.3.1. Seleção do melhor filtro S-WLSC para cada ‘N’: filtro mensal 204

6.3.1.1. Resultado: filtro S-WLSC mensal com N = 117 205









6.3.2. Parâmetros do filtro S-WLSC: séries mensais 220

6.3.3. Comparação do desempenho do filtro S-WLSC com o filtro

S-WLS, para séries mensais com decomposição aditiva 221

6.4. Série mensal multiplicativa – filtro S-WLSC vs filtro S-WLS 227

6.5. Série trimestral aditiva – filtro S-WLSC 233

6.5.1. Seleção do melhor filtro para cada ‘N’: filtro trimestral 233

6.5.1.1. Resultado: filtro S-WLSC trimestral com N = 41 233

6.5.1.2. Resultado: filtro S-WLSC trimestral com N = 43 e 65 234




6.5.2. Parâmetros do filtro S-WLSC para séries trimestrais 240

6.5.3. Comparação do filtro S-WLSC com o filtro S-WLS, para séries

trimestrais com decomposição aditiva 241

6.6. Série trimestral multiplicativa – filtro S-WLSC vs filtro S-WLS 247

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7 Considerações Finais e Sugestões 253

7.1. Considerações Finais 253

7.2. Sugestões para trabalhos futuros 255

8 Referências bibliográficas 257

APÊNDICE A – Teste para sazonalidade estável 269

APÊNDICE B – Teste para sazonalidade móvel 270

APÊNDICE C – Cálculo do tamanho do filtro equivalente ao X-11

para séries mensais e trimestrais 271

APÊNDICE D – Dedução das expressões da potência do sinal e da

potência do ruído 272

APÊNDICE E – Séries históricas mensais brasileiras 275

APÊNDICE F – Séries históricas mensais estrangeiras 278

APÊNDICE G – Séries históricas trimestrais estrangeiras 280

APÊNDICE H – Coeficientes dos filtros mensais: S-WLS e X-11 282

APÊNDICE I – Coeficientes dos filtros trimestrais: S-WLS e X-11 283

APÊNDICE J – Coeficientes dos filtros mensais: S-WLS e S-WLSC 284

APÊNDICE K – Programas MATLAB: filtro sazonal-WLS e filtro

sazonal-WLS-Chebyshev 285

(a) Filtro S-WLS mensal 285

(b) Filtro S-WLS trimestral 288

(c) Filtro S-WLSC mensal 291

(d) Filtro S-WLSC trimestral 295

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Lista de figuras

Figura 2.1 - O procedimento X-12 ARIMA de ajuste sazonal 51

Figura 2.2. - Teste combinado para identificação de sazonalidade 66

Figura 4.1 - Esquema detalhado do procedimento de filtragem 95

Figura 5.1 - Espectro, na frequência, de um sinal sazonal artificial 103

Figura 5.2 - Definição dos valores de β1 e β2 do filtro X-11 124

Figura 5.3 - Definição dos valores de γ0 e γ1 do filtro proposto 128

Figura 5.4 - Espectro, na frequência, representando a relação entre

k e α , para séries com periodicidade mensal 130

Figura 5.5 - Etapas do procedimento utilizado para a obtenção dos parâmetros do filtro S-WLS 133

Figura 5.6 - Configuração do filtro mensal – X-11 e S-WLS – segundo a SNR 136

Figura 5.7 - Configuração do filtro trimestral: X-11 e filtro S-WLS 140

Figura 5.8 - Procedimento utilizado para a obtenção da componente sazonal utilizando o filtro proposto (S-WLS), nas séries multiplicativas 160

Figura 6.1 - Função de erro típica (linha tracejada) e função envelope (linha contínua) 201

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Lista de quadros

Quadro 2.1 - Breve histórico dos principais acontecimentos 46

Quadro 2.2 - Intervalos de MSR 61

Quadro 2.3 - Estatísticas M 68

Quadro 2.4. - Pesos das estatísticas M na composição da estatística Q 68

Quadro 5.1 - Tamanho do filtro de Henderson e média móvel sazonal utilizados pelo X-11 para séries mensais 121

Quadro 5.2 - Valores da soma dos quadrados dos erros do filtro X-11 para extração da sazonalidade de séries mensais 122

Quadro 5.3 - Valores da soma dos quadrados dos erros do filtro X-11 para extração da sazonalidade de séries trimestrais 122

Quadro 5.4 - Valores do tamanho do filtro X-11, para séries mensais 123

Quadro 5.5 - Valores do tamanho do filtro X-11, para séries trimestrais 123

Quadro 5.6 - Valores de β quando o tamanho do filtro de Henderson = 9, para séries mensais 125



Quadro 5.9 - Valores de β quando o tamanho do filtro de Henderson = 5, para séries trimestrais 126

Quadro 5.10 - Valores de β quando o tamanho do filtro de Henderson = 7, para séries trimestrais 127

Quadro 5.11 - Mensal Aditivo – Filtro S-WLS (α = 1/3, = 1/30, wo = 1) vs X-11: MSE, MAD e SNR. Valores de ‘b’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11, para cada ‘k’ e ‘A/s’. (Eq. 5-1) 153

Quadro 5.12 - Mensal Multiplicativo – Filtro S-WLS (α=1/3, =1/30, wo = 1) vs X-11: MSE e MAD. Valores de ‘b’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11, para cada ‘k’ e ‘A/s’ (Eq. 5-3). 167

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Quadro 5.13 - Trimestral Aditivo – Filtro S-WLS vs X-11 (S-WLS: α =

1/3, = 1/30, wo = 1): MSE, MAD e SNR. Valores de ‘b’ a partir do

qual o filtro S-WLS supera o X-11, para cada ‘k’ e ‘A/s’ (Eq. 5-2). 181

Quadro 5.14 - Trimestral Multiplicativo – Filtro S-WLS (α=1/3, =1/30,

wo = 1) vs X-11: MSE e MAD. Valores de ‘b’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11, para cada ‘k’ e ‘A/s’. 191

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Lista de tabelas

Tabela 5.1 - Quantidade de séries pesquisadas: total, com sazonalidade, e com sazonalidade móvel 106

Tabela 5.2 - Séries históricas mensais nacionais com sazonalidade móvel significativa 107

Tabela 5.3 - Séries históricas mensais internacionais com sazonalidade móvel significativa 108

Tabela 5.4 - Séries históricas trimestrais internacionais com sazonalidade móvel significativa 109

Tabela 5.5 - Parâmetros das séries mensais aditivas, com sazonalidade móvel 111

Tabela 5.6 - Coeficientes da componente de tendência das séries mensais aditivas (Eq. 5-8) 113

Tabela 5.7 - Parâmetros das séries mensais multiplicativas, com sazonalidade móvel (Eq. 5-3) 114

Tabela 5.8 - Coeficientes da componente de tendência das séries mensais multiplicativas (Eq. 5-8) 116

Tabela 5.9 - Parâmetros das séries trimestrais aditivas, com sazonalidade móvel (Eq. 5-2) 117

Tabela 5.10 - Coeficientes da componente de tendência das séries trimestrais aditivas (Eq. 5-8) 117

Tabela 5.11 - Parâmetros das séries trimestrais multiplicativas, com sazonalidade móvel (Eq. 5-4) 118

Tabela 5.12 - Coeficientes da componente de tendência das séries trimestrais multiplicativas (Eq. 5-8) 119

Tabela 5.13 - Configurações de parâmetros para o filtro S-WLS mensal utilizadas na seleção do melhor filtro 136

Tabela 5.14 - Valores de 𝑺𝑸, 𝜸𝟎 e |𝟏 − 𝜸𝟏| para os nove filtros

mensais, considerando 𝒌 = 72 138

Tabela 5.15 - Configurações de parâmetros para o filtro S-WLS trimestral utilizadas na seleção do melhor filtro 141

Tabela 5.16 - Valores de 𝑺𝑸, 𝜸𝟎 e |𝟏 − 𝜸𝟏| para os seis filtros S-WLS trimestrais, considerando 𝒌 = 24 142

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Tabela 5.17 - MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝒃’, sendo 𝑨/𝒔 = 6,

𝒌 = 72: séries mensais com decomposição aditiva (Eq. 5-1) 147

Tabela 5.18 - MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝒌’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒃 = 40%: séries mensais com decomposição aditiva (Eq. 5-1) 150

Tabela 5.19 - MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝑨/𝒔’, sendo 𝒌 = 72,

𝒃 = 40%: séries mensais com decomposição aditiva (Eq. 5-1) 151

Tabela 5.20 - MSE e MAD para valores de ‘𝒃’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 72: séries mensais com decomposição multiplicativa (Eq. 5-3) 163

Tabela 5.21 - MSE e MAD para valores de ‘𝒌’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒃 = 40%: séries mensais com decomposição multiplicativa (Eq. 5-3) 165

Tabela 5.22 - MSE e MAD para valores de ‘𝑨/𝒔’, sendo 𝒌 = 72, 𝒃 = 40% (Eq. 5-3): séries mensais com decomposição multiplicativa 166

Tabela 5.23 - MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝒃’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 24 (Eq. 5-2): séries trimestrais com decomposição aditiva (𝑵 =43) 176

Tabela 5.24 - MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝒌’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒃=40% (Eq. 5-2): séries trimestrais com decomposição aditiva (𝑵 =43) 178

Tabela 5.25 - MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝑨/𝒔’, sendo 𝒌 = 24,

𝒃=40% (Eq. 5-2): séries trimestrais com decomposição aditiva (𝑵 =43) 179

Tabela 5.26 - MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝒃’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 24 – séries trimestrais com decomposição multiplicativa 188

Tabela 5.27 - MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝒌’, sendo 𝑨/𝒔 = 6,

𝒃 = 40% – séries trimestrais com decomposição multiplicativa 189

Tabela 5.28 - MSE e MAD para valores de ‘𝑨/𝒔’, sendo 𝒌 = 24, 𝒃 = 40% – séries trimestrais com decomposição multiplicativa 190

Tabela 6.1 - Filtros S-WLSC mensais para cada N 220

Tabela 6.2 - Valores de SQ e 𝜸𝒔 para os filtros S-WLSC mensais, para 𝒌 = 𝟕𝟐 220

Tabela 6.3 - SNRs e razão entre as SNRs, para 𝑨/𝒔 =6, 𝒃 =40% 𝒌 =96 (Eq. 5-1), considerando todos os filtros mensais: comparação entre S-WLSC e S-WLS 221

Tabela 6.4 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS, variando 𝒃 para 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 96 e 𝑵 = 121 e 189 223

Tabela 6.5 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS, variando 𝒌 para 𝑨/𝒔=6, 𝒃=40% e 𝑵=121 e 189 224

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Tabela 6.6 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS, variando 𝑨/𝒔, para 𝒌=96,

𝒃=40% e 𝑵=121 e 189 226

Tabela 6.7 - Valores da componente de tendência, desvio-padrão da irregular e amplitude da componente sazonal 227

Tabela 6.8 - MSE S-WLSC e MSE S-WLS, (x106), variando ‘𝒃’ para 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 96 (𝑵=121 e 189). Valores baseados no teste t, unilateral, de comparação de médias 228

Tabela 6.9 - MSE do S-WLSC e MSE do S-WLS, (x106), variando ‘𝒌’ para 𝑨/𝒔 =6, b=40% (𝑵=121 e 189). Valores baseados no teste t, unilateral, de comparação de médias 229

Tabela 6.10 - MSE S-WLSC e MSE S-WLS, (x106), variando ‘𝑨/𝒔’, para 𝒌 =96, 𝒃 =40% (𝑵= 121 e 189). Valores baseados no teste t 230

Tabela 6.11 - Filtros S-WLSC trimestrais para cada N 240

Tabela 6.12 - Valores de SQ e 𝜸𝒔 para os filtros S-WLSC trimestrais, para 𝒌=24 240

Tabela 6.13 - SNRs e razão entre as SNRs, para 𝑨/𝒔 =6, 𝒃 =40% 𝒌 = 32 (Eq. 5-2), considerando todos os filtros trimestrais: comparação entre S-WLSC e S-WLS 241

Tabela 6.14 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS, variando 𝒃 para 𝑨/𝒔 =6, 𝒌=32 e 𝑵 = 43 e 65 243

Tabela 6.15 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS, variando k para 𝑨/𝒔=6,

𝒃=40% e 𝑵=43 e 65 244

Tabela 6.16 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS, variando 𝑨/𝒔, para 𝒌 = 32, 𝒃 = 40% e 𝑵 = 43 e 65 246

Tabela 6.17 - Valores da componente de tendência, desvio-padrão da irregular e amplitude da componente sazonal 247

Tabela 6.18 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS, (x106), variando ‘𝒃’ para

𝑨/𝒔 =6, 𝒌=32 (𝑵 = 43 e 65) 248

Tabela 6.19 - MSE do S-WLSC e MSE do S-WLS, (x106), variando ‘𝒌’ para 𝑨/𝒔 =6, 𝒃 =40% (𝑵=43 e 65) 249

Tabela 6.20 - MSE S-WLSC e MSE S-WLS, (x106), variando ‘𝑨/𝒔’, para 𝒌 =32, 𝒃 =40% (𝑵 = 43 e 65). Valores baseados no teste t, unilateral, de comparação de médias 250

DBD


Lista de gráficos

Gráfico 3.1 - Componente sazonal de uma série mensal sem sazonalidade móvel 87

Gráfico 3.2 - Comparação entre a resposta em magnitude do filtro X-11 (linha tracejada) e o espectro de uma série mensal sem sazonalidade móvel (linha contínua) 88

Gráfico 3.3 - Componente sazonal de uma série mensal com sazonalidade móvel 89

Gráfico 3.4 - Comparação entre o espectro de uma série mensal com sazonalidade móvel (setas) e a resposta em magnitude do filtro X-11 (linha tracejada) 89

Gráfico 3.5 - Componente sazonal artificial e estimativa obtida pelo método X-11 90

Gráfico 4.1 - Comparação entre a resposta em magnitude do filtro S-WLS (linha contínua) e o espectro de uma série mensal com sazonalidade móvel (setas) 98

Gráfico 4.2 - Comparação entre a resposta em magnitude do filtro S-WLS, a resposta em magnitude do filtro X-11 e o espectro de uma série com sazonalidade móvel (representado pelas setas) 98

Gráfico 4.3 - Quando a resposta em magnitude do filtro S-WLS se aproxima da resposta em magnitude do filtro X-11 99

Gráfico 5.1 - Componente sazonal artificial para uma série mensal com sazonalidade móvel, no domínio do tempo 102

Gráfico 5.2 - Componente Sazonal: Produção Industrial Mensal – Indústria Geral do Espírito Santo 110

Gráfico 5.3 - Histograma de ‘𝒃’ (Eq. 5-1) das séries mensais aditivas 112

Gráfico 5.4 - Histograma de ‘𝑨/𝒔’ (Eq. 5-1) das séries mensais aditivas 112

Gráfico 5.5 - Histograma de ‘𝒌’ (Eq. 5-1) das séries mensais aditivas 112

Gráfico 5.6 - Histograma de ‘𝒃’ (Eq. 5-3) das séries mensais multiplicativas 115

Gráfico 5.7 - Histograma de ‘𝑨/𝒔’ (Eq. 5-3) das séries mensais multiplicativas 115

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Gráfico 5.8 - Histograma de ‘𝒌’ (Eq. 5-3) das séries mensais multiplicativas 115

Gráfico 5.9 - Histograma de ‘𝒃’ (Eq. 5-4) das séries trimestrais multiplicativas 118

Gráfico 5.10 - Histograma de ‘𝑨/𝒔’ (Eq. 5-4) das séries trimestrais multiplicativas 118

Gráfico 5.11 - Histograma de ‘𝒌’ (Eq. 5-4) das séries trimestrais multiplicativas 119

Gráfico 5.12 - Respostas em magnitude do filtro X-11 para diferentes MMs: séries mensais. A linha contínua representa o filtro MMs 3x3; a linha tracejada se refere ao filtro MMs 3x5; a linha pontilhada indica o filtro MMs 3x9 123

Gráfico 5.13 - Valores de SQ, 𝜸𝟎 e |𝟏 − 𝜸𝟏| para diversos pesos (𝐰𝐨) 129

Gráfico 5.14 - Resposta em magnitude do filtro S-WLS mensal para N = 121 137

Gráfico 5.15 - Resposta em magnitude do filtro S-WLS mensal para N = 193 138

Gráfico 5.16 - Resposta em magnitude do filtro S-WLS e do filtro X-11 para N=121, série mensal 139

Gráfico 5.17 - Resposta em magnitude do filtro S-WLS e do filtro X-11 para N=193, série mensal 139

Gráfico 5.18 - Resposta em magnitude do filtro S-WLS trimestral para N = 41 142

Gráfico 5.19 - Resposta em magnitude do filtro S-WLS trimestral para N = 67 142

Gráfico 5.20 - Resposta em magnitude do filtro S-WLS e do filtro X-11 para N=41, série trimestral 143

Gráfico 5.21 - Resposta em magnitude do filtro S-WLS e do filtro X-11 para N=67, série trimestral 143

Gráfico 5.22 - Média da MSE nas simulações com o filtro X-11 e com

o filtro S-WLS, para valores de ‘𝒃’, considerando 𝑨/𝒔= 6 e 𝒌 = 72 (Eq. 5-1) 147

Gráfico 5.23 - Relação entre ‘𝒃’ e a SNR do filtro S-WLS e do filtro X-11, considerando 𝑨/𝒔= 6 e 𝒌 = 72 (Eq. 5-1) 147

DBD


Gráfico 5.24 - Média da MSE nas simulações com o filtro X-11 e com o

filtro S-WLS, para valores de ‘𝒌’, considerando 𝑨/𝒔= 6 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-1) 149

Gráfico 5.25 - Relação entre ‘𝒌’ e a SNR do filtro S-WLS e do filtro X-11, considerando 𝑨/𝒔= 6 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-1) 149

Gráfico 5.26 - Média da MSE nas simulações com o filtro X-11 e com

o filtro S-WLS, para valores de ‘𝑨/𝒔’, considerando 𝒌= 72 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-1) 151

Gráfico 5.27 - Relação entre ‘𝑨/𝒔’ e a SNR do filtro S-WLS e do filtro

X-11, considerando 𝒌= 72 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-1) 151

Gráfico 5.28 - Valores de ‘𝒃’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11, na SNR, para vários valores de ‘𝒌’, considerando 𝑨/𝒔 = 6 (Eq. 5-1) 154

Gráfico 5.29 - Valores de ‘𝒃’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11, na SNR, para vários valores de ‘𝑨/𝒔’, considerando 𝒌 = 72 (Eq. 5-1) 154

Gráfico 5.30 - Espectro da irregular da série dessazonalizada pelo

filtro S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 40% e 𝑵 =121 156


X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 40% e 𝑵 =121 156




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72 , 𝒃 = 25% e 𝑵 =121 156


filtro S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌=72, b= 10% e 𝑵 =121 156


X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 10% e 𝑵 =121 156




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 = 40% e 𝑵 =121 157




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 = 25% e 𝑵 =121 157

DBD



filtro S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌=96, 𝒃 = 10% e 𝑵 =121 157


X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 = 10% e 𝑵 =121 157




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 180, 𝒃 = 40% e 𝑵 =121 158




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 180, 𝒃 = 10% e 𝑵 =121 158

Gráfico 5.46 - Média da MSE (x106) com o filtro X-11 e com o filtro

S-WLS, para valores de ‘𝒃’, considerando 𝑨/𝒔= 6 e 𝒌 = 72 (Eq. 5-3) 162


S-WLS, para valores de ‘𝒌’, considerando 𝑨/𝒔= 6 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-3) 164


S-WLS, para valores de ‘𝑨/𝒔’, considerando 𝒌 = 72 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-3) 166

Gráfico 5.49 - Valores de ‘𝒃’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o

X-11, na MSE, para valores de ‘𝒌’, considerando 𝑨/𝒔 = 6 (Eq. 5-3) 168

Gráfico 5.50 - Valores de ‘𝒃’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11, na MSE, para vários valores de ‘𝑨/𝒔’, considerando 𝒌 = 72 (Eq. 5-3) 168




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 40% e 𝑵 =121 170




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72 e 𝒃 = 25% e 𝑵 =121 170



DBD



X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 10% e 𝑵 =121 170




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 = 40% e 𝑵 =121 172




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 = 25% e 𝑵 =121 172




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 = 10% e 𝑵 =121 172


filtro S-WLS, com tendência, e: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 72; 𝒃 = 40% (N=121) 173


filtro S-WLS, com tendência, e: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌=96; 𝒃 = 40% (N=121) 173






filtro S-WLS, para valores de ‘𝒃’, considerando 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 24 e 𝑵 = 43 (Eq. 5-2) 175

Gráfico 5.68 - Relação entre ‘𝒃’ e a SNR do filtro S-WLS e do filtro X-11, considerando 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 24 e 𝑵 = 43 (Eq. 5-2) 175


filtro S-WLS, para valores de ‘𝒌’, considerando 𝑨/𝒔= 6 e 𝒃 = 40% (𝑵 =43) 177

Gráfico 5.70 - Relação entre ‘𝒌’ e a SNR do filtro S-WLS e do filtro X-11, considerando ‘𝑨/𝒔’= 6 e 𝒃 = 40% (𝑵 =43) 177


filtro S-WLS, para valores de ‘𝑨/𝒔’, considerando 𝒌 = 24 e 𝒃 = 40% (𝑵 =43) 179

DBD


Gráfico 5.72 - Relação entre ‘𝑨/𝒔’ e a SNR do filtro S-WLS e do filtro

X-11, considerando 𝒌 = 24 e 𝒃 = 40% (𝑵 =43) 179

Gráfico 5.73 - Valores de ‘𝒃’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11, na SNR, para vários valores de ‘𝒌’, considerando 𝑨/𝒔 = 6 e 𝑵 = 43 182

Gráfico 5.74 - Valores de ‘𝒃’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11, na SNR, para vários valores de ‘𝑨/𝒔’, considerando 𝒌 = 24 e 𝑵 = 43 182




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 40% e 𝑵 =43 184




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 25% e 𝑵 =43 184


filtro S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24 e 𝒃 = 10% e 𝑵 =43 184


X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 10% e 𝑵 =43 184




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 = 40% e 𝑵 =43 185




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 = 25% e 𝑵 =43 185




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 = 10% e 𝑵 =43 186



DBD



X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 80, 𝒃 = 40% e 𝑵 =43 186




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 80, 𝒃 = 10% e 𝑵 =43 186


S-WLS, para valores de ‘𝒃’, considerando 𝑨/𝒔 = 6 e 𝒌 = 24 188


S-WLS, para valores de ‘𝒌’, considerando 𝑨/𝒔 = 6 e 𝒃 = 40% 189


S-WLS, para valores de ‘𝑨/𝒔’, considerando 𝒌= 24 e 𝒃 = 40% 190

Gráfico 5.94 - Valores de ‘𝒃’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11, na MSE, para valores de ‘𝒌’, considerando 𝑨/𝒔 = 6 192

Gráfico 5.95 - Valores de ‘𝒃’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11, na MSE, para vários valores de ‘𝑨/𝒔’, considerando 𝒌 = 24 192


filtro S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 40% e 𝑵 = 43 194


X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 40% e 𝑵 = 43 194




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 25% e 𝑵 = 43 194


filtro S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌=24, 𝒃 = 10% e 𝑵 = 43 194


X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 10% e 𝑵 = 43 194




X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 = 40% e 𝑵 = 43 196



DBD



X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 = 25% e 𝑵 = 43 196


filtro S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌=32, 𝒃 = 10% e 𝑵 = 43 196


X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 = 10% e 𝑵 = 43 196









Gráfico 6.1 - Resposta em magnitude do filtro S-WLSC mensal (N = 117) 205

Gráfico 6.2 - Resposta em magnitude do filtro S-WLSC, do S-WLS e

o esperado (𝑵=117) 205

Gráfico 6.3 - Banda passante dos filtros S-WLSC e S-WLS (𝑵=117) 206












DBD







Gráfico 6.16 - Resposta em magnitude do filtro S-WLSC (N=145), do

S-WLS (𝑵=155) e o esperado 215

Gráfico 6.17 - Banda passante dos filtros S-WLSC (N=145) e S-WLS

(𝑵=155) 215




(𝑵=189) 216








(𝑵=203) 219

Gráfico 6.25 - Razão entre a SNR do S-WLSC e a SNR do S-WLS

considerando 𝑨/𝒔 =6 e 𝒌= 96, para diversos valores de 𝒃: comparação entre N=121 e N=189 222

Gráfico 6.26 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS considerando A/s =6 e k= 96, para diversos valores de b (N=121) 222

Gráfico 6.27 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS considerando A/s =6 e k= 96, para diversos valores de b(N=189) 222

Gráfico 6.28 - Razão entre a SNR do S-WLSC e a do SNR S-WLS

considerando 𝑨/𝒔 = 6 e 𝒃 = 40%, para diversos valores de 𝒌: comparação entre N=121 e N=189 223

DBD


Gráfico 6.29 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS considerando 𝑨/𝒔 =6 e

𝒃= 40%, para diversos valores de 𝒌 (N=121) 224

Gráfico 6.30 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS considerando 𝑨/𝒔 =6 e 𝒃= 40%, para diversos valores de 𝒌 (N=189) 224

Gráfico 6.31 - Razão entre a SNR do S-WLSC e a SNR do S-WLS

considerando 𝒌=96, 𝒃= 40%, para diversos valores de 𝑨/𝒔: comparação entre N=121 e N=189 225

Gráfico 6.32 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS considerando 𝒌=96, 𝒃= 40%, para diversos valores de 𝑨/𝒔 (N=121) 226


Gráfico 6.34 - MSE S-WLSC e MSE S-WLS (x106) considerando 𝒌=96, 𝑨/𝒔= 6, para diversos valores de 𝒃: N=121 227

Gráfico 6.35 - MSE S-WLSC e MSE S-WLS (x106) considerando 𝒌=96, 𝑨/𝒔= 6, para diversos valores de 𝒃: N=189 227

Gráfico 6.36 - MSE S-WLSC e MSE S-WLS (x106) considerando

𝑨/𝒔 = 6 e 𝒃= 40%, para diversos valores de 𝒌 (N=121) 229


𝑨/𝒔 = 6 e 𝒃= 40%, para diversos valores de 𝒌 (N=189) 229

Gráfico 6.38 - MSE S-WLSC e MSE S-WLS (x106) considerando 𝒌=96, 𝒃= 40%, para diversos valores de 𝑨/𝒔 (N=121) 230

Gráfico 6.39 - MSE S-WLSC e MSE S-WLS (x106) considerando 𝒌=96,

𝒃= 40%, para diversos valores de 𝑨/𝒔 (N=189) 230


filtro S-WLSC, sem tendência, e: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 72; 𝒃 = 40% (N=121) 231








filtro S-WLSC, com tendência, e: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 72; 𝒃 = 40% (N=121) 232



DBD






Gráfico 6.48 - Resposta em magnitude do filtro S-WLSC (𝑵=41) 234




Gráfico 6.51 - Resposta em magnitude do filtro S-WLSC (N =43) 235

Gráfico 6.52 - Resposta em magnitude do filtro S-WLSC, do S-WLS e o esperado, para (N =43) 235

Gráfico 6.53 - Banda passante dos filtros S-WLSC e S-WLS (N=43) 235


Gráfico 6.55 - Resposta em magnitude do filtro S-WLSC, do S-WLS e o esperado (N =65) 236



Gráfico 6.58 - Resposta em magnitude do filtro S-WLSC, do S-WLS e o esperado (N =49) 237



Gráfico 6.61 - Resposta em magnitude do S-WLSC, do S-WLS e esperado (N=67) 238


Gráfico 6.63 - Resposta em magnitude do filtro S-WLSC (N=49) 239

Gráfico 6.64 - Resposta em magnitude do filtro S-WLSC (N=49), do S-WLS (N=51) e o esperado 239



S-WLSC (N=43), com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-2) 241

DBD


Gráfico 6.67 - Espectro da irregular da série dessazonalizada pelo S-

WLSC (N=43), com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-2) 241

Gráfico 6.68 - Razão entre a SNR S-WLSC e a SNR S-WLS

considerando 𝑨/𝒔 =6 e 𝒌= 32, para diversos valores de 𝒃: comparação entre N=43 e N=65 242

Gráfico 6.69 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS considerando 𝑨/𝒔 =6 e 𝒌= 32, para diversos valores de 𝒃 (N=43) 242

Gráfico 6.70 - SNR S-WLSC e SNR S-WLS considerando 𝑨/𝒔 =6 e

𝒌= 32, para diversos valores de 𝒃 (N=65) 242

Gráfico 6.71 - Razão entre a SNR do S-WLSC e a SNR S-WLS

considerando 𝑨/𝒔 =6 e 𝒃= 40%, para diversos valores de 𝒌: comparação entre N=43 e N=65 243



Gráfico 6.74 - Razão entre a SNR do S-WLSC e a do S-WLS

considerando 𝒌=32, 𝒃=40%, para diversos valores de 𝑨/𝒔: comparação entre N=43 e N=65 245



Gráfico 6.77 - MSE S-WLSC e MSE S-WLS (x106) considerando 𝒌=32, 𝑨/𝒔= 6, para diversos valores de 𝒃:𝑵 =43 247

Gráfico 6.78 - MSE S-WLSC e MSE S-WLS (x106) considerando 𝒌=32, 𝑨/𝒔= 6, para diversos valores de 𝒃: 𝑵 =65 247


𝑨/𝒔 = 6,5 e 𝒃= 40%, para diversos valores de 𝒌 (N=43) 249


𝑨/𝒔 = 6,5 e 𝒃= 40%, para diversos valores de 𝒌 (N=65) 249



DBD



filtro S-WLSC, com: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 24; 𝒃 = 40% (𝑵 =43) 251


filtro S-WLSC, com: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 32; 𝒃 = 40% (𝑵=43) 251


filtro S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 24; 𝒃 = 40% (𝑵 =43) 251


filtro S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 32; 𝒃 = 40% (𝑵 =43) 251


filtro S-WLSC, com tendência, e: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 24; 𝒃 = 40% (𝑵 =43) 252







DBD


Lista de abreviaturas e siglas

ARIMA Autoregressive Integrated Moving Average

EECCA Leste Europeu, Cáucaso e Ásia Central

Eq. Equação

FMI Fundo Monetário Internacional

IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

(http://www.ibge.gov.br)

IPEA Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada

(http://www.ipeadata.gov.br)

MAD Mean Absolute Deviation (Desvio Absoluto Médio)

MMs Média móvel sazonal

MSE Mean Square Error (Média dos Quadrados dos Erros)

OECD Organização para a Cooperação e Desenvolvimento

Econômico (http://stats.oecd.org)

p valor-p

SQ Soma dos Quadrados

SQE Soma dos Quadrados dos Erros

SNR Razão sinal ruído

S-WLS Filtro sazonal-WLS

S-WLSC Filtro sazonal-WLS-Chebyshev

T-S TRAMO-SEATS

WLS Mínimos Quadrados Ponderados

X-13A-S X-13ARIMA-SEATS

http://www.ibge.gov.br/

http://www.ipeadata.gov.br/

http://stats.oecd.org/

DBD


Lista de termos técnicos

Backcast Previsão para trás

Don’t care band Banda de transição

Equiripple Ripple de igual amplitude

Filtro sazonal Série de pesos, a ser aplicada na série temporal, para a

obtenção da componente sazonal

Forecast Previsão para frente

Passband Banda passante (ou banda de passagem)

R² Coeficiente de determinação

Ripple Ondulação. Erro na banda passante

Stopband Banda de rejeição

valor-p O menor nível de significância para o qual se rejeita H0

DBD


Lista de símbolos

𝑌𝑡 ou 𝑌 Série temporal observada

𝑇𝑡 ou 𝑇 Componente de tendência

𝑆𝑡 ou 𝑆 Componente sazonal

𝐼𝑡 ou 𝐼 Componente irregular

𝐶𝑡 Componente de ciclo

𝑆𝐼𝑡 ou 𝑆𝐼 Componente Sazonal-Irregular

𝐴𝑡 Série sazonalmente ajustada

𝑆′ 𝑆 − 1

𝐼′ 𝐼 − 1

t Período de tempo (em meses ou trimestres)

FS Teste F para a presença de sazonalidade estável

FM Teste F para a presença de sazonalidade móvel

KW Teste de Kruskal-Wallis para a presença de sazonalidade

estável

Lista de símbolos relacionados ao sinal sazonal simulado

𝐴 Amplitude do sinal

𝑏 Taxa de variação da sazonalidade

𝑘 Número de meses (ou trimestres) no qual o padrão de

sazonalidade móvel volta a se repetir, no sinal simulado

utilizado

𝑠 Desvio-padrão da componente irregular

DBD


Lista de símbolos relacionados aos filtros propostos

α Largura da banda em torno dos harmônicos

δ Largura da banda de transição

wo Peso: importância dada às bandas de passagem em torno

dos harmônicos

𝑁 Tamanho do filtro

N𝑠 Periodicidade da série. Se mensal, N𝑠 = 12; se trimestral,

N𝑠=4

M Fator de superamostragem

𝛽 Desvio da resposta da banda passante do filtro X-11 em

relação à resposta ideal

𝛾0 Resposta na frequência fundamental

𝛾1 Resposta de frequência que mais se desviar do valor 1,

no intervalo equivalente à largura de banda passante

Γ Razão entre a atenuação na banda de rejeição e o ripple

na banda passante

DBD


The best part is that one inspiration will trigger the next.

That's how we all keep moving forward.

Felix Baumgartner

DBD


1 Introdução

Este capítulo apresenta um panorama do tema tratado nesta tese, assim como

os seus objetivos e sua contribuição. Além disso, o capítulo apresenta a relevância

do tema, seguido da delimitação do estudo. E por fim, o capítulo apresenta a

estrutura da tese.

1.1. Apresentação do tema

Uma das funções dos órgãos oficiais de estatística é fornecer aos tomadores

de decisão informações sobre a economia do país, disponibilizando séries históricas

das variáveis relacionadas aos principais setores. Geralmente, a análise da evolução

das variáveis econômicas é realizada com base nas séries sazonalmente ajustadas.

Sendo assim, a qualidade do ajuste sazonal é de fundamental importância para os

analistas.

O ajuste sazonal é o processo de estimar e remover os efeitos sazonais de uma

série temporal. A série resultante de tal processo é denominada série

dessazonalizada ou série sazonalmente ajustada.

Embora o conceito de sazonalidade seja familiar, convém apresentar o seu

significado. Nesse sentido, adota-se aqui a seguinte definição:

Sazonalidade é o conjunto dos movimentos, com período igual

ou inferior a um ano, sistemáticos, mas não necessariamente

uniformes, que ocorrem numa série temporal [...]. (Wallis &

Thomas, 1971, p.58).

Na definição apresentada, o principal aspecto a ser ressaltado é o fato do

comportamento da sazonalidade poder apresentar caráter estável ou móvel. Quando

a sazonalidade de uma série temporal permanece a mesma ao longo do tempo, tendo

variação estocástica constante, ou até mesmo sem variação estocástica, ela é

considerada estável (Sutradhart & Dagum, 1998); enquanto que se houver

mudanças graduais na amplitude da componente sazonal, fica caracterizada a

presença de sazonalidade móvel (Higginson, 1975). Sendo assim, apesar da

DBD


Capítulo 1. Introdução 38

sazonalidade ser um padrão que tende a se repetir ano após ano, ele não é

necessariamente uniforme.

A importância de analisar a sazonalidade móvel foi destacada inicialmente

nos trabalhos de Kuznets (1933), que pesquisou a natureza da mudança na

amplitude sazonal em 31 séries temporais da indústria. Mais recentemente, Van

Dijk et al. (2003) analisaram a sazonalidade móvel nas séries de produção industrial

dos países do G7.

Existem hoje disponíveis diversos métodos e programas de ajuste sazonal. No

Brasil, o programa utilizado pelo IBGE é o X-12-ARIMA, cujo método de ajuste

sazonal implementado é o método X-11. Tal método encontra-se, também, nos

programas X-11-ARIMA e X-13ARIMA-SEATS – X-13A-S. Além do Brasil, esse

método é adotado por países como Inglaterra, Estados Unidos e Austrália, sendo

considerado um dos métodos mais utilizados pelos órgãos oficiais de estatística

(International Monetary Fund, 2008).

Na literatura, há um grande debate comparando os métodos de ajuste sazonal,

e principalmente comparando o X-11 aos demais. No geral, os resultados indicam

desempenho semelhante quando a série apresenta um padrão estável de

sazonalidade. Porém, quando existe sazonalidade móvel, os resultados divergem. E

o método X-11, amplamente utilizado, não consegue tratar a sazonalidade móvel

de forma adequada (Planas, 1998).

Várias séries temporais da economia brasileira e estrangeira, assim como de

outras áreas, apresentam um grau considerável de sazonalidade móvel. Dessa

forma, é importante haver um método que apresente um bom desempenho quando

utilizado para dados com essa característica.

DBD



1.2. Objetivo e contribuição da tese

Esta tese objetiva propor dois projetos de filtros de extração da componente

sazonal, de forma que eles sejam adequados para as séries que possuem

sazonalidade móvel, como também para aquelas nas quais o padrão sazonal é

estável. Tais filtros podem ser aplicados diretamente na série temporal,

independentemente do padrão sazonal apresentado por ela. Trata-se de um

aprimoramento do projeto realizado por Zani (2008), agora estendido a séries com

sazonalidade móvel. Sendo assim, essa tese contribui para melhorias nas técnicas

de ajustamento sazonal, pois os filtros propostos permitem um ajuste adequado

mesmo na presença de variação da amplitude da componente sazonal.

Especificamente, essa contribuição é materializada conforme indicado nos

parágrafos a seguir.

Inicialmente é proposto o projeto de um filtro extrator de sazonalidade,

desenvolvido no domínio da frequência, usando critérios baseados em mínimos

quadrados. Esse projeto é intitulado de ‘filtro sazonal-WLS’ – S-WLS. Para

verificar a adequação do filtro S-WLS, são utilizadas séries artificiais baseadas nas

características de séries macroeconômicas reais, nacionais e estrangeiras. O

desempenho do filtro S-WLS é então comparado com o desempenho do método X-

11.

A identificação do padrão sazonal das séries macroeconômicas reais é

realizada com base em séries mensais e trimestrais. O padrão sazonal, avaliado a

partir dessas séries, é utilizado também para a definição de alguns parâmetros do

filtro S-WLS.

É importante ressaltar que é apresentada a aplicação desse filtro para séries

com modelo aditivo e multiplicativo de decomposição das componentes não

observáveis. Porém, nesta tese propõe-se não utilizar a transformação logarítmica

na série temporal. Devido ao fato da aplicação do logaritmo introduzir distorções

nas componentes senoidais, decidiu-se utilizar os dados originais, sem

transformações, no ajuste sazonal. Sendo assim, as características espectrais da

sazonalidade são preservadas.

O segundo projeto de filtros aqui proposto combina a abordagem de mínimos

quadrados ponderados com as características dos filtros de Chebyshev. A esse

DBD



segundo projeto de filtros, intitulou-se ‘filtro sazonal-WLS-Chebyshev’ – S-

WLSC. Vale ressaltar que, ao utilizar um critério que minimiza simultaneamente o

erro na estimativa da sazonalidade e a influência da componente irregular, esta tese

contribui para a verificação de métodos alternativos de projeto de filtros lineares

em técnicas de ajuste sazonal.

1.3. Relevância do tema

Em relação à relevância do tema tratado nesta tese, é necessário mencionar a

importância do ajuste sazonal para a análise das séries econômicas; a utilização do

método X-11 de ajuste sazonal; a consideração da presença de sazonalidade móvel

nas séries temporais; e análise no domínio da frequência.

A importância do ajuste sazonal para a análise das séries econômicas reside,

principalmente, no fato de que os agentes econômicos tendem a preferir tomar

decisões com base nos dados dessazonalizados (Franses, 1996). O motivo de se

preferir os dados dessazonalizados, para a análise de fenômenos econômicos, é

tratado na literatura por autores como Gould et al. (2008) e Diller (1971), que

sugerem que a principal razão para a utilização de dados sazonalmente ajustados

seja a de facilitar a identificação da componente cíclica. Além disso, Hillmer e Bell

(2002), ao discutirem a importância do ajuste sazonal, relatam que vários autores

argumentam que tal ajuste é útil porque a sazonalidade, em uma série temporal,

pode obscurecer as relações existentes com outras séries.

Consequentemente, fica nítida a importância que deve ser atribuída ao ajuste

sazonal pelas agências governamentais, buscando sempre um aprimoramento dos

métodos e programas. E dos programas de ajuste sazonal desenvolvidos pelo US

Census Bureau e pelo Statistics Canada, o X-13A-S é o mais recente, sendo adotado

aos poucos pelas instituições, como é o caso do Bank of England, que planeja

começar a utilizar o programa neste ano (Hussain & Meader, 2014).

O método X-11 está implementado nos programas X-13A-S, X-12-ARIMA

e X-11-ARIMA, sendo utilizado atualmente pelas agências governamentais de

diversos países, incluindo o Brasil. Métodos matematicamente mais sofisticados já

DBD



foram desenvolvidos, porém o X-11 continua sendo um dos métodos mais

utilizados.

Os motivos da ampla utilização do método X-11 podem estar relacionados à

simplicidade de uso, e à praticidade. Pedersen & Fæste (2006) mencionam que o

processo de dessazonalização não deve ser muito demorado e que, portanto, no

Banco Central da Dinamarca eles se baseiam nos procedimentos automáticos do X-

12-ARIMA. Vale destacar também que uma pesquisa realizada em 2009 pelas

Nações Unidas, com institutos nacionais de estatística de países da EECCA e dos

Balcãs Ocidentais, revelou que 80% dos países pesquisados indicaram não haver

especialistas em ajuste sazonal nas instituições; sendo que a grande maioria deles

utiliza o X-12-ARIMA (United Nations, 2009). Com isso, torna-se evidente a

simplicidade da sua utilização.

A presença de sazonalidade móvel nas séries temporais foi considerada em

diversos trabalhos. Dentre eles estão Cayton & Bersales (2012), Franses & Koehler

(1998), Wells (1997), Canova & Hansen (1995), Canova & Ghysels (1994),

Higginson (1975), Burman (1965), Hannan (1964) e Kuznets (1933). Wells (1997)

alerta para o fato de que havendo sazonalidade móvel, não é possível remover a

sazonalidade de uma forma simples, pois ela não estará limitada aos picos nas

frequências sazonais, mas sim ocorrendo em diversas frequências. Vários estudos

indicaram que o método X-11 não realiza um ajustamento adequado na presença de

sazonalidade móvel (por exemplo, Kaiser & Maravall (2000), Planas (1998) e

Dagum (1978)).

Em relação à análise no domínio da frequência para o tratamento da

sazonalidade, destacam-se os trabalhos pioneiros de Hannan (1964), Nerlove

(1964) e Nettheim (1964, 1965). Segundo Nettheim (1964), a análise no domínio

da frequência torna o exame do comportamento da sazonalidade mais preciso. Os

desenvolvimentos nessa área possibilitaram novas maneiras de tratar a sazonalidade

móvel (ver Haywood & Wilson (2000), Geweke (1978), Melnick & Moussourakis

(1974)), e de avaliar a qualidade do ajuste sazonal (Cleveland, 1982).

Ainda em relação à análise no domínio da frequência, Nerlove (1964)

mencionou o sentido prático de existir um filtro, desenvolvido no domínio da

frequência, para o tratamento da sazonalidade móvel. O autor enfatizou a

dificuldade na criação de tal filtro, e destacou que não era seu objetivo desenvolvê-

lo. No ano seguinte, Nettheim (1965) citou mais detalhes sobre como seria o projeto

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desse filtro, e pontuou algumas das dificuldades existentes para o desenvolvimento

do mesmo. Desde então, a abordagem do ajuste sazonal no domínio da frequência

se desenvolveu, porém os avanços vêm ocorrendo mais no campo da extração de

sinal baseada em modelos. As críticas em relação a esse método giram em torno da

especificação inadequada do modelo, o que resulta em um ajuste sazonal incorreto.

Sendo assim, acredita-se que é relevante a existência de um método desenvolvido

com as características descritas por Nettheim (1965), assim como a sua comparação

com os demais métodos.

1.4. Delimitação do estudo

Nesta tese, os filtros propostos são fixos, ou seja, os coeficientes são

predeterminados, conhecidos na literatura como ad hoc. Sabe-se que existem

críticas em relação aos filtros ad hoc, uma vez que eles não modelam os dados

observados, como fazem os modelos econométricos. Estes, apesar de serem mais

embasados, não são tão utilizados pelos órgãos oficiais para dessazonalizar um

grande volume de séries temporais, pois necessitam de frequentes intervenções do

operador. Sendo assim, nesta tese, as comparações do desempenho do filtro são

realizadas apenas com o método X-11, pois também utiliza filtros ad hoc.

Como o objetivo é comparar com o X-11, o tamanho dos filtros aqui

desenvolvidos têm o mesmo tamanho dos filtros correspondentes ao método X-11.

Porém, o projeto de filtros apresentado permite a especificação de qualquer

tamanho, desde que seja ímpar, pois tratam-se de filtros simétricos.

Apesar do método X-11, implementado no programa mais recente (X-13A-

S) permitir a utilização de diversos filtros de média móvel sazonal, nesta tese são

utilizados apenas os filtros de média móvel existentes na opção automática do

programa.

Por fim, nesta tese são consideradas apenas séries macroeconômicas, pois são

as séries utilizadas pelas agências governamentais para o ajuste sazonal. Sendo

assim, a periodicidade considerada nas análises é a mensal e a trimestral.

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1.5. Organização da tese

Esta tese está estruturada em sete capítulos, incluindo o capítulo introdutório,

onde é apresentado o enfoque central.

O Capítulo 2 trata do histórico do estudo da sazonalidade e dos métodos de

dessazonalização utilizados pelas agências governamentais. Além disso, são

apresentados alguns conceitos relacionados ao tema.

O Capítulo 3 aborda o ajuste sazonal no domínio da frequência, apresentando

o arcabouço teórico do método X-11.

No Capítulo 4, é apresentada a proposta de um filtro para o ajuste sazonal,

aqui intitulado de ‘filtro sazonal-WLS’. Já o Capítulo 5 trata da seleção da melhor

configuração de parâmetros do filtro, e dos resultados da sua aplicação.

A proposta do segundo filtro, que combina a abordagem de mínimos

quadrados ponderados com as características dos filtros de Chebyshev, intitulado

de ‘filtro sazonal-WLS-Chebyshev’, é apresentada no Capítulo 6, juntamente com

a comparação do desempenho em relação ao ‘filtro sazonal-WLS’.

Por fim, o Capítulo 7 apresenta as conclusões acerca dos resultados

encontrados, bem como contém sugestões para trabalhos futuros nessa área.

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2 Ajuste sazonal: conceito, histórico e métodos

Vários métodos de ajuste sazonal foram desenvolvidos ao longo dos anos com

o objetivo de estimar a componente sazonal das séries temporais. Neste capítulo são

apresentados alguns conceitos e é realizado um breve histórico sobre o tema. O

capítulo também apresenta alguns dos métodos utilizados pelas agências

governamentais, e detalha o método X-11 de ajuste sazonal. Além disso, o capítulo

aborda alguns tópicos relacionados à sazonalidade móvel.

2.1. Conceitos e breve histórico do desenvolvimento das técnicas de ajuste sazonal

Em estatística, uma série temporal pode ser definida como um conjunto de

observações de uma variável, ordenado segundo o tempo, geralmente em intervalos

equidistantes (Souza & Camargo, 2004).

Os métodos de decomposição assumem que a série temporal 𝑌𝑡 é constituída

por quatro componentes não observáveis, sendo elas: a componente de tendência

𝑇𝑡, a componente de ciclo 𝐶𝑡; a componente sazonal 𝑆𝑡, e a componente irregular

𝐼𝑡. Muitas vezes, as componentes de tendência e ciclo são consideradas

conjuntamente, formando a componente tendência-ciclo e denominadas apenas por

𝑇𝑡.

A tendência representa a evolução da série a longo prazo. Já o ciclo, mostra

uma sucessão de etapas de crescimento e recessão, representando um movimento

suave, periódico, em torno da tendência. A componente sazonal é representada

pelas oscilações ocorridas em um determinado período do ano. E a componente

irregular, ou componente de erro, é devida a choques aleatórios.

Se a relação existente entre as componentes for aditiva, o modelo de

decomposição é escrito da seguinte forma:

𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝐼𝑡 (2-1)

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Capítulo 2. Ajuste sazonal: conceito, histórico e métodos 45

Caso o modelo de decomposição da série, nas várias componentes, for

multiplicativo, ele é representado por:

𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 × 𝑆𝑡 × 𝐼𝑡 (2-2)

Segundo Grether & Nerlove (1970), a ideia de que uma série temporal pode

ser decomposta em algumas componentes não observáveis, que se somadas ou

multiplicadas resultarão nos valores observados da série, surgiu inicialmente na

astronomia, no século XVIII. Quando os estudos de meteorologia se tornaram

importantes, no início do século XIX, a ideia de componentes não observáveis foi

trazida da astronomia e aplicada na análise da variação da temperatura, e variações

na pressão barométrica, por pessoas como o meteorologista Buys Ballot, que é

frequentemente citado como uma das referências mais antigas sobre sazonalidade

(Foldesi et al., 2007).

Foram criadas técnicas similares aplicadas à análise de fenômenos

econômicos, em meados do século XIX, mas foi a partir do início do século XX

que tiveram início as primeiras grandes contribuições a esse tema. Destaca-se,

então, o trabalho de Persons (1919), que desenvolveu o método ‘link relative’ para

isolar as componentes não observáveis de uma série temporal (European

Commission Grant, 2007).

Em 1931, Frederick Macaulay criou a primeira metodologia, completa, de

ajuste sazonal, com o desenvolvimento do método ‘ratio-to-moving average’, no

National Bureau of Economic Research – NBER. Essa abordagem ficou conhecida

como ‘Decomposição Clássica’, sendo a base de alguns métodos atuais.

A partir da década de 50 aconteceram os grandes desenvolvimentos nessa

área. Um deles foi a introdução das técnicas de alisamento exponencial, que

alcançou uma grande popularidade (Gardner, 1985). Além disso, com a chegada

dos computadores, os pesquisadores puderam desenvolver métodos mais

sofisticados, sendo facilmente testados em um grande número de séries.

A seguir é apresentado um breve histórico dos principais acontecimentos

nessa área, a partir de 1960:

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Ano Acontecimento

1963 Whittle (1963) utilizou o filtro de Wiener-Kolmogorov para estimar uma

componente não observável de uma série temporal, dando origem à

decomposição de componentes no domínio da frequência.

1964 Nerlove (1964) estudou os efeitos dos procedimentos de ajuste sazonal nas

características das séries, com base na análise espectral.

1965 Foi desenvolvido o método X-11, no U.S. Census Bureau, sendo considerado o

primeiro método automatizado de dessazonalização. Vale destacar que os

métodos da ‘Família X-11’ começaram em 1954, com o Método I. No final da

década de 50 foi desenvolvido o Método II, e algumas versões foram produzidas,

sendo chamadas de ‘X-0, X-1, ... ,X-10’, culminando no método X-11.

1966 Grether & David (1970) aplicaram alguns resultados de Whittle (1963) a

componentes não observáveis de uma série temporal, utilizando séries

econômicas.

1970 Desenvolvimento dos métodos de estimação de modelos ARIMA para séries

temporais, proporcionando uma forma de parametrização do espectro da série

temporal, de tal forma que os filtros de extração de sinal poderiam ser derivados

disso.

1972 Cleveland, na sua tese de doutorado não publicada, aplicou extração de sinal

para o ajustamento sazonal, e sugeriu que quando a série não fosse infinita,

poderiam ser feitas previsões, para auxiliar no processo de filtragem – uma vez

que algumas observações são perdidas.

1975 Estela Dagum, do Statistics Canada desenvolveu o X-11-ARIMA, no qual a

principal diferença em relação ao método X-11 era a utilização de modelos

ARIMA para realizar o forecast e o backcast, na série temporal, antes de aplicar

os filtros do X-11.

1976 Cleveland & Tiao (1976) apresentaram um modelo ARIMA para o qual o

método X-11 é ótimo.

1978 Box, Hillmer e Tiao (1978) sugeriram que a interação entre a abordagem

empírica e a abordagem baseada em modelos (model based approach) gerava os

melhores resultados.

1980 Burman, do Banco da Inglaterra, mostrou como um modelo ARIMA poderia ser

usado para gerar um filtro linear infinito para a extração da componente sazonal.

1995 Gómez e Maravall, juntamente com Burman, Box, Hillmer e Tiao, deram origem

ao SEATS (Signal Extraction in ARIMA Time Series) – um método de ajuste

sazonal que utiliza extração de sinal com base em um modelo ARIMA.

2012 Os métodos X-11 e SEATS foram incorporados como opções de ajuste sazonal

em um mesmo programa, sendo chamado de X-13ARIMA-SEATS.

Quadro 2.1 Breve histórico dos principais acontecimentos

A seguir, na Subseção 2.2, são apresentados os métodos usados por agências

governamentais, a partir da década de 60.

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2.2. Métodos de ajuste sazonal usados por agências governamentais

Vários métodos foram criados para o ajuste sazonal, utilizando diferentes

abordagens. As agências governamentais vêm adotando alguns desses métodos,

uma vez que as séries econômicas estão sujeitas à variação sazonal.

Neste estudo será apresentado detalhadamente o método X-11 de ajuste

sazonal, pois se trata do método utilizado pelo órgão oficial de estatística do Brasil,

além de ser amplamente utilizado no mundo. Porém, nesta seção, serão descritos

brevemente os métodos que foram utilizados por agências governamentais, desde

meados do século XX, uma vez que algumas características deles foram

consideradas no aprimoramento dos métodos utilizados hoje (Kuiper, 1976).

a) Método X-11 – década de 60

Em 1954, o U.S. Census Bureau desenvolveu um método de ajuste sazonal

chamado ‘Método I’. Ele era baseado no método ‘ratio-to-moving average’, de

Macaulay (1931). No final da década de 1950, mais precisamente em 1957, foi

criado o Método II, sendo um aprimoramento do Método I. A diferença estava no

fato de que, no Método II, a estimativa das componentes de tendência-ciclo, sazonal

e irregular utilizava algumas iterações. Além disso, havia um ajuste para variações

de dias trabalhados, e para valores extremos. Ambas as versões aditiva e

multiplicativa eram disponíveis.

O algoritmo do Método II se tornou estável em 1961. E as diversas variantes

desse método foram chamadas de ‘X’ (X-0, X-1, X-2,...), até o desenvolvimento do

método X-11, em 1965. Ou seja, o X-11 resultou de uma modificação do Método

II, e esse conjunto de modificações ficou conhecido como ‘Família X-11’ (descrito

em Shiskin et al. (1967)).

Em linhas gerais, o método X-11 é baseado na aplicação sucessiva de filtros

de médias móveis.

Vale citar que o método do Bureau of Labour Statistics (BLS), de 1966, era

similar ao método X-11. Por esse motivo, na década de 70, o BLS passou a utilizar

o X-11.

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b) Método de Burman – década de 60

Desenvolvido por John Burman, no Bank of England, esse método utilizava

uma técnica de extração de sinal.

No método de Burman, após eliminar a tendência, utilizando um filtro de

ordem 13 desenvolvido por ele, era realizada uma análise harmônica, de blocos

sucessivos de 12 termos, na série SI (Sazonal + Irregular). Nessa análise, as

amplitudes eram suavizadas, e combinações lineares dessas amplitudes suavizadas

forneciam os fatores sazonais (Burman, 1965).

c) Método da Comunidade Econômica Europeia – década de 60

O método da Comunidade Econômica Europeia (EEC), também conhecido

como método Seabird, foi desenvolvido por Bongard e Mesnage, no Statistical

Office of the European Communities. Como uma agência supranacional, a EEC

tinha a maioria das suas séries cedidas pelos países membros, sendo assim, era

necessário um método universal, ou seja, um método capaz de ajustar uma grande

variedade de séries econômicas. E como a utilização do ajuste sazonal era voltada

para análises econômicas, o método enfatizava o ajuste dos dados mais recentes.

O procedimento utilizado nesse método consistia em, inicialmente, eliminar

os valores extremos; em seguida, era aplicado um filtro de 19 termos aos dados

(conhecido como filtro Bongard). O método assumia estabilidade do padrão

sazonal.

Na década de 70, a EEC desenvolveu um novo método chamado Dainties.

d) Método de Berlin – década de 60

Descrito em Godfrey et al. (1964), o método de Berlin, assim como o método

da EEC, era usado para análise corrente da série econômica. Criado na década de

60, ele utilizava método de extração de sinal.

A tendência e a sazonalidade eram obtidas usando filtros assimétricos

estimados de tal forma que as funções de transferência tinham propriedades

espectrais ótimas.

e) DAINTIES – década de 70

O Dainties foi desenvolvido nos anos 70 para ser o sucessor do método

Seabird como método oficial de ajuste sazonal da Comunidade Econômica

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Europeia. O método é baseado em modelos de regressão com janela móvel, tendo

a hipótese de que a série e/ou suas componentes não podem ser modeladas em sua

total extensão.

O método Dainties funciona relativamente bem, quando os dados apresentam

padrões que se aproximam da sazonalidade determinística (OECD, 2005).

Atualmente, ele é utilizado pelo ECFIN (Economic and Financial Affairs of the

European Commission) e pela República Tcheca.

f) BV4 – década de 70

Utilizado na Alemanha, o procedimento chamado de ‘Berlin Procedure’ (BV)

teve a primeira versão criada na década de 70. Em 1983, foi desenvolvida a versão

BV4; e em 2004, foi substituída pela nova versão – BV4.1. A versão BV4.1

apresenta aprimoramentos no tratamento de outliers e efeitos de calendário, em

relação à versão anterior. Essa versão é atualmente utilizada pelo Federal Statistical

Office da Alemanha (DESTATIS).

O BV4.1 utiliza modelos de regressão linear, escolhidos de acordo com as

características no domínio da frequência (função de ganho, a função de fase) dos

filtros lineares utilizados para estimar a componente de tendência-ciclo, e realizar

o ajuste sazonal da série (Foldesi et al., 2007).

g) Método X-11-ARIMA – 1980

O procedimento iterativo, baseado na aplicação de sucessivas médias móveis,

utilizado pelo X-11, necessitava de dados de anos adicionais antes dos filtros serem

aplicados. Isso tornava necessária a utilização de filtros assimétricos para as últimas

observações da série temporal, ocasionando grandes revisões nos valores finais da

série ajustada. Foi então que, em 1975, Estela Dagum, do Statistics Canada,

apresentou o trabalho ‘Seasonal Factor Forecasts from ARIMA Models’.

Com base no trabalho de Dagum (1975), foi introduzida uma modificação no

método X-11, que consistia em estender a série temporal, em um ano, com previsões

segundo um modelo ARIMA. A esse método foi dado o nome de X-11-ARIMA.

Essa modificação resultou em melhores estimativas dos fatores sazonais,

diminuindo as revisões na série ajustada. E esse procedimento é utilizado em todos

os programas da Família X-11, desde então.

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h) TRAMO-SEATS – 1997 (OECD)

TRAMO (Time Series Regression with ARIMA Noise, Missing Observations

and Outliers) e SEATS (Signal Extraction in ARIMA Time Series) são programas

originalmente desenvolvidos por Victor Gómez e Agustin Maravall, no Banco da

Espanha. Esses dois programas foram criados para serem utilizados conjuntamente,

de forma automática.

O TRAMO é responsável pelo ajuste prévio da série a ser sazonalmente

ajustada, pelo SEATS. O SEATS utiliza a metodologia baseada em modelos

ARIMA (AMB), associada com a técnica de extração de sinal, desenvolvida por

Burman. Atualmente ele é utilizado pela Espanha, Itália e por alguns outros países

da Europa.

i) X-12-ARIMA – 1996 (OECD)

Desenvolvido pelo U.S. Census Bureau, o X-12-ARIMA, ou X-12-

RegARIMA, é uma versão atualizada do X-11-ARIMA. Nesse programa foram

introduzidas quatro grandes melhorias em relação ao X-11-ARIMA. São elas: (1)

extensiva modelagem da série temporal e capacidade de seleção de modelos de

regressão linear com erros ARIMA (regARIMA); (2) Novos diagnósticos da

qualidade e da estabilidade dos ajustes obtidos; (3) Nova interface ao usuário; (4)

Opção de seleção automática de modelo baseada no procedimento do TRAMO.

Foram introduzidas novas opções de ajuste sazonal, com mais possibilidades

de filtros de médias móveis, mas o procedimento utilizado para dessazonalização

continua sendo o X-11 (Findley et al., 1998). Esse programa é utilizado nos Estados

Unidos, Inglaterra, Canadá, Austrália, Nova Zelândia e Brasil, assim como em

outros países não citados.

j) Demetra – década de 90

Trata-se de um software de ajuste sazonal fornecido gratuitamente pelo

Eurostat. Ele fornece dois métodos de ajustamento sazonal: X-12-ARIMA e

TRAMO/SEATS. O usuário pode optar por um dos métodos e comparar os

resultados. Os dados originais podem ser lidos de uma planilha Excel, dentre outros

formatos. É um software utilizado por alguns países da Europa, como França,

Finlândia, Áustria, Croácia e Portugal (European Commission Grant, 2007).

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k) X-13ARIMA-SEATS – 2012

O X-13ARIMA-SEATS (X-13A-S) é resultado de uma colaboração entre o

U.S. Census Bureau e o Banco da Espanha. Ele combina o X-12-ARIMA com o

TRAMO-SEATS. Dessa forma, existem dois métodos de ajuste sazonal disponíveis

no X-13A-S: o X-11 e o SEATS. A ilustração a seguir (Figura 2.1) apresenta o

procedimento X-12-ARIMA adotado no programa X-13A-S.

Fonte: FINDLEY et al., 1998, p.3.

Figura 2.1 O procedimento X-12 ARIMA de ajuste sazonal

Como pode ser observado, atualmente existem diversos métodos e programas

de ajustamento sazonal, sendo que aqueles que estão sendo utilizados pelos

institutos nacionais de estatística, assim como pelos Bancos Centrais dos países são:

X-13A-S, X-12-ARIMA, TRAMO-SEATS, BV4.1, DEMETRA e DAINTIES.

O Eurostat (European Commission), em 2009, recomendou o uso dos

programas X-12-ARIMA e TRAMO-SEATS para o ajuste sazonal de dados oficiais

(Eurostat, 2009). Vale lembrar que tanto o X-13A-S, quanto o X-12-ARIMA,

utilizam o módulo X-11 de ajuste sazonal.

Na literatura vários autores compararam o método X-11 com os demais

métodos. Recentemente, essa comparação vem sendo mais realizada com o SEATS,

que é o método de ajuste sazonal do programa TRAMO-SEATS. Na subseção a

seguir são apresentadas algumas dessas comparações entre o método X-11 e o

SEATS.

Modelagem

RegARIMA

Comparação de modelos e

diagnósticos de verificação

Ajuste Sazonal

(X-11)

Diagnósticos/Avaliação da

Qualidade

(Sliding spans; revisões;

espectros; estatísticas M)

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2.2.1. Revisão bibliográfica sobre a comparação entre o X-11 e o SEATS

O método X-11 é o método de ajuste sazonal utilizado no X-11-ARIMA, X-

12-ARIMA e X-13A-S. O método SEATS é utilizado no programa TRAMO-

SEATS – T-S e também faz parte do X-13A-S.

Na literatura, os principais autores relacionados ao método X-11, e aos

programas que adotam este método, são Brian Monsell, David Findley, William

Bell e Estela Dagum. Já em relação ao SEATS, os principais nomes são Agustín

Maravall, Victor Gómez e Regina Kaiser.

Vários autores compararam tais métodos, como, por exemplo, Gasmi (2013)

que comparou os programas de ajuste sazonal T-S e X-12-ARIMA na série mensal

de chegada de turistas europeus na Tunísia. Os resultados mostram que o T-S

apresentou as melhores previsões.

As revisões nos dados ajustados pelo X-12-ARIMA e pelo SEATS foram

comparadas por Monsell et al. (2003) e Hood et al. (2000). Ambos concluíram que

em algumas séries as revisões realizadas pelo SEATS foram menores. Ainda sobre

as revisões nos dados ajustados, Atuk (2002), ao ajustar as séries de agregados

monetários da Turquia, concluiu que o T-S removeu completamente os efeitos

sazonais, além de obter revisões menores. Um resultado diferente, em relação às

revisões, foi obtido por Hood (2002), que mostra um exemplo de uma série com

grandes revisões devido ao modelo escolhido pelo TRAMO.

Os pontos fortes e fracos dos métodos X-11 e SEATS foram comparados por

Scott (2007), cuja conclusão sugere o uso combinado dos dois métodos. O autor

afirma ainda que o SEATS induz à sazonalidade em algumas séries. Além disso,

ele observou que, algumas vezes, é difícil encontrar um modelo bem ajustado aos

dados, que gere uma decomposição válida das componentes no SEATS. Outra

observação feita por Scott (2007) indica que a grande flexibilidade da seleção dos

filtros do SEATS pode ser a causa de frequentes revisões, ou no caso de séries curtas

– quando a estimativa dos parâmetros do ARIMA é instável.

Ainda em relação aos filtros de ajuste sazonal, Findley (2005) alerta para o

fato de que a maior variedade de filtros de ajustamento sazonal presente no SEATS,

em comparação ao X-12-ARIMA, pode levar um usuário amador a obter piores

resultados sem ter consciência disso. Findley (2005) também enfatizou a

DBD



importância do desenvolvimento do programa X-13A-S, não apenas pelo conjunto

mais completo de diagnóstico de ajuste, mas também porque o usuário sempre pode

comparar o ajuste do SEATS com o ajuste do X-11.

Kaiser & Maravall (2000) compararam o desempenho dos programas X-12-

ARIMA e T-S no ajuste sazonal da série de volume de negócios do comércio

varejista da Alemanha. Ao utilizar o X-12-ARIMA, eles identificaram um problema

relacionado aos padrões muito diferentes da componente sazonal.

Na Subseção 2.3, a seguir, é descrito o procedimento de ajuste sazonal do

programa X-13A-S, utilizando o módulo X-11 de ajuste. Apesar do X-13A-S

conter, também, o método SEATS, este não será tratado aqui, uma vez que o foco

deste estudo é o X-11.

DBD



2.3. Procedimento de ajuste sazonal do programa X-13A-S, utilizando o método X-11

Como mencionado anteriormente, o método X-11 surgiu em 1965 como um

aprimoramento dos Métodos I e II. Inicialmente ele possuía tratamento de outliers,

dias trabalhados, e refinamento dos filtros assimétricos. Como ponto negativo, ele

apresentava baixa qualidade dos ajustes, devido à utilização de filtros assimétricos

nos anos finais da série. Com a chegada do X-11-ARIMA, houve melhoria no ajuste

dos anos finais da série, em razão da extensão ARIMA, além de diagnósticos mais

refinados, como a introdução das estatísticas M (M1 a M11) e Q.

O módulo de ajuste sazonal foi aprimorado na versão mais recente do

programa, chamada de X-13ARIMA-SEATS – X-13A-S. Houve o acréscimo de

algumas novas opções, como: os diagnósticos de sliding spans (janelas deslizantes);

uma nova rotina do filtro de tendência de Henderson, onde se permite a escolha de

qualquer número ímpar para o tamanho do filtro; novas opções para os filtros

sazonais; novas opções de detecção de outliers para a componente irregular do

ajuste sazonal; e o modo de ajuste sazonal pseudo-aditivo.

A seguir serão apresentados os tipos de decomposições disponíveis no X-

13A-S.

2.3.1. Tipos de decomposições de séries temporais no X-13A-S

A decomposição da série temporal 𝑌𝑡 em componente de tendência (𝑇𝑡),

componente sazonal (𝑆𝑡) e componente irregular (𝐼𝑡) é usualmente realizada sob a

forma multiplicativa ou aditiva. Existem, também, a decomposição pseudo-aditiva

e a log-aditiva. Elas são representadas da seguinte forma (U.S. CENSUS BUREAU,

2012):

Multiplicativa (M): 𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 𝑆𝑡 𝐼𝑡

Aditiva (A): 𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝐼𝑡

Pseudo-Aditiva (PA): 𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 (𝑆𝑡 + 𝐼𝑡 –1) = 𝑇𝑡 (𝑆𝑡 -1) + 𝑇𝑡 𝐼𝑡

Log-Aditiva: log(Yt) = 𝑇𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝐼𝑡

DBD



A decomposição multiplicativa é apropriada para séries com valores

positivos, nas quais o tamanho das oscilações sazonais aumenta com o nível da

série. Acredita-se que essa é uma característica de muitas séries sazonais

macroeconômicas. Sendo assim, a decomposição multiplicativa é usada com mais

frequência do que a aditiva.

Já a decomposição pseudo-aditiva é usada quando os valores são muito

pequenos, ou zero. O modelo pseudo-aditivo e o multiplicativo geram resultados

semelhantes para séries com sazonalidade multiplicativa, a menos que a amplitude

sazonal seja grande (Findley et al., 1998).

A decomposição log-aditiva é usada somente com o objetivo de pesquisa, pois

necessita de uma correção de viés para as estimativas de tendência, assim como

uma calibragem diferente para a identificação de valores extremos (U.S. CENSUS

BUREAU, 2012).

Para realizar a decomposição da série temporal, o usuário do X-13A-S pode

definir:

O tipo de decomposição sazonal;

As médias móveis sazonais e de tendência (filtros);

O tipo de ajuste para valor extremo realizado durante o ajuste sazonal.

Existe também a opção automática, na qual o programa seleciona o filtro de

tendência e o filtro de médias móveis com base no resultado de algumas estatísticas

(apresentadas na Subseção 2.3.3.2). E ainda há a opção de se trabalhar com o modo

padrão de ajuste sazonal, chamado de ‘X-11 default’.

A seguir é apresentado o algoritmo do método X-11, considerando o ‘X-11

default’.

DBD



2.3.2. Etapas do ajuste sazonal realizado pelo X-11

O algoritmo de dessazonalização do método X-11 é composto de três

estágios. No primeiro são realizadas as estimativas iniciais de sazonalidade e

tendência; no segundo é definido o fator sazonal; e no terceiro é obtida a

componente de tendência. Todos os três estágios estão apresentados a seguir, para

uma série temporal mensal (𝑌), considerando a decomposição multiplicativa (M) e

aditiva (A), como descrito em Findley et al. (1998).

Estágio 1 – Estimativas iniciais

i. Estimativa preliminar da componente de tendência ‘𝑇(1)’, aplicando uma

média móvel ‘centrada em 12 meses’ – 13 termos – média móvel 2x12:

𝑇𝑡(1)

=

𝑌𝑡−6+𝑌𝑡−5 + ⋯+𝑌𝑡+4 + 𝑌𝑡+5

12 +𝑌𝑡−5+𝑌𝑡−4 + ⋯+𝑌𝑡+5 + 𝑌𝑡+6

122

(2-3)

𝑇𝑡

(1)=

1

24𝑌𝑡−6 +

1

12𝑌𝑡−5 + ⋯+

1

12𝑌𝑡 + ⋯+

1

12𝑌𝑡+5 +

1

24𝑌𝑡+6

(2-4)

ii. Estimativa inicial da componente Sazonal-Irregular - ‘𝑆𝐼’ inicial:

(M): 𝑆𝐼𝑡(1) = 𝑌𝑡 / 𝑇𝑡(1) (2-5)

(A): 𝑆𝐼𝑡(1) = 𝑌𝑡 – 𝑇𝑡(1) (2-6)

iii. Estimativa preliminar dos fatores sazonais ‘��(1)’ aplicando uma média

móvel sazonal 3x3 – MMs 3x3:

��𝑡(1)

=

𝑆𝐼𝑡−24(1)

+𝑆𝐼𝑡−12(1)

+𝑆𝐼𝑡(1)

3+

𝑆𝐼𝑡−12(1)

+𝑆𝐼𝑡(1)

+𝑆𝐼𝑡+12(1)

3+

𝑆𝐼𝑡(1)

+𝑆𝐼𝑡+12(1)

+𝑆𝐼𝑡+24(1)

3

3

(2-7)

��𝑡

(1)=

1

9𝑆𝐼𝑡−24

(1)+

2

9𝑆𝐼𝑡−12

(1)+

3

9𝑆𝐼𝑡

(1)+

2

9𝑆𝐼𝑡+12

(1)+

1

9𝑆𝐼𝑡+24

(1) (2-8)

DBD



iv. Fatores sazonais iniciais ‘𝑆(1)’:

(M): 𝑆𝑡

(1)=

��𝑡(1)

124 ��𝑡−6

(1)+

112 ��𝑡−5

(1)+ ⋯+

112 ��𝑡+5

(1)+

124 ��𝑡+6

(1) (2-9)

(A): 𝑆𝑡

(1)= ��𝑡

(1)− (

1

24��𝑡−6

(1)+

1

12��𝑡−5

(1)+ ⋯+

1

12��𝑡+5

(1)+

1

24��𝑡+6

(1)) (2-10)

v. Ajuste sazonal inicial:

(M): 𝐴𝑡

(1)=

𝑌𝑡

𝑆𝑡(1)

(2-11)

(A): 𝐴𝑡(1)

= 𝑌𝑡 − 𝑆𝑡(1)

(2-12)

Estágio 2 – Fatores sazonais e ajuste sazonal: redefinição das estimativas das

componentes

i. Estimativa intermediária da tendência ‘𝑇(2)’, usando o filtro de Henderson

de 13 termos:

𝑇𝑡(2)

= ∑ ℎ𝑗(2𝐻+1)

𝐴𝑡+𝑗(1)

𝐻

𝑗=−𝐻

(2-13)

ii. Refinamento da estimativa da componente sazonal-irregular ‘𝑆𝐼(2)’:

(M): 𝑆𝐼𝑡

(2)=

𝑌𝑡

𝑇𝑡(2)

(2-14)

(A): 𝑆𝐼𝑡(2)

= 𝑌𝑡 − 𝑇𝑡(2)

(2-15)

iii. Refinamento da estimativa da componente sazonal ‘��(2)

’ utilizando uma

média móvel sazonal 3x5 – MMs 3x5:

��𝑡(2)

=1

15𝑆𝐼𝑡−36

(2)+

2

15𝑆𝐼𝑡−24

(2)+

3

15𝑆𝐼𝑡−12

(2)+

3

15𝑆𝐼𝑡

(2)+

3

15𝑆𝐼𝑡+12

(2)+

2

15𝑆𝐼𝑡+24

(2)+

1

15𝑆𝐼𝑡+36

(2)

(2-16)

DBD



iv. Fatores sazonais ‘𝑆(2)’:

(M): 𝑆𝑡

(2)=

��𝑡(2)

124 ��𝑡−6

(2)+

112 ��𝑡−5

(2)+ ⋯+

112 ��𝑡+5

(2)+

124 ��𝑡+6

(2) (2-17)

(A): 𝑆𝑡

(2)= ��𝑡

(2)− (

1

24��𝑡−6

(2)+

1

12��𝑡−5

(2)+ ⋯+

1

12��𝑡+5

(2)+

1

24��𝑡+6

(2)) (2-18)

v. Série sazonalmente ajustada ‘𝐴(2)’:

(M): 𝐴𝑡

(2)=

𝑌𝑡

𝑆𝑡(2)

(2-19)

(A): 𝐴𝑡(2)

= 𝑌𝑡 − 𝑆𝑡(2)

(2-20)

Estágio 3 – Estimativa final das componentes da série

i. Tendência final ‘𝑇(3)’, para um determinado tamanho do filtro de

Henderson, possivelmente diferente do que foi determinado no Estágio 2 (i):

𝑇𝑡(3)

= ∑ ℎ𝑗(2𝐻+1)

𝐴𝑡+𝑗(2)

𝐻

𝑗=−𝐻

(2-21)

ii. Componente irregular final ‘𝐼(3)’:

(M): 𝐼𝑡(3)

=𝐴𝑡

(2)

𝑇𝑡(3)

(2-22)

(A): 𝐼𝑡(3)

= 𝐴𝑡(2)

− 𝑇𝑡(3)

(2-23)

Decomposição estimada:

(M): 𝑌𝑡 = 𝑇𝑡(3)

𝑆𝑡(2)

𝐼𝑡(3)

(2-24)

(A): 𝑌𝑡 = 𝑇𝑡(3)

+ 𝑆𝑡(2)

+ 𝐼𝑡(3)

(2-25)

DBD



2.3.3. Outros tópicos relacionados ao ajuste sazonal no X-13A-S

Nesta subseção são apresentados alguns tópicos relacionados ao ajuste

sazonal do método X-11, no programa X-13A-S. Dentre eles, está o filtro de

Henderson, para extração da tendência; a seleção automática dos filtros sazonais

realizada pelo programa; e os testes para a presença de sazonalidade, sazonalidade

móvel, e sazonalidade identificável. Além disso, são apresentadas as estatísticas de

qualidade do ajuste sazonal desenvolvidas para os programas da Família X-11.

2.3.3.1. Filtro de Henderson

O método X-11 utiliza o filtro de Henderson para a decomposição da

componente de tendência.

Descrito em Macaulay (1931) e citado em Bell & Monsell (1992), os pesos

para o j-ésimo termo do filtro de Henderson

𝐻𝑛(𝐵) = ∑ ℎ𝑗(𝑛)

𝐵𝑗

𝑗 (2-26)

são ℎ𝑗(𝑛)

, 𝑗 = 0, ±1,..., ±(𝑛 − 1) 2⁄ , e podem ser obtidos pela seguinte fórmula:

ℎ𝑗(𝑛)

=315[(𝑚 − 1)2 − 𝑗²][𝑚2 − 𝑗²][(𝑚 + 1)2 − 𝑗²][(3𝑚² − 16) − 11𝑗²]

8𝑚(𝑚2 − 1)(4𝑚2 − 1)(4𝑚2 − 9)(4𝑚2 − 25) (2-27)

sendo 𝑚 = (𝑛 + 3)/ 2, e 𝑛 = tamanho do filtro. Na Eq. (2-26), o termo 𝐵 é o operador

de deslocamento (Backshift operator).

No X-13A-S, o usuário pode escolher qualquer ordem ímpar do filtro de

Henderson. Existe também a opção automática, onde o programa seleciona o

tamanho do filtro mais adequado para a série. Para séries temporais mensais, esses

tamanhos são 9, 13 e 23, e para as trimestrais, os tamanhos são 5 e 7.

A escolha automática do tamanho do filtro de Henderson é dada pela razão

I/C, que equivale à relação entre a variação percentual média da componente

irregular e a variação percentual média da componente de tendência (Dagum,

1999).

DBD



Essa razão I/C determinará o filtro a ser aplicado, sendo usado o seguinte

critério para séries temporais mensais:

se I/C = 0,99, usa-se o filtro de Henderson de 9 termos;

se I/C = 3,5 é aplicado o filtro de Henderson de 13 termos;

se I/C = 7, Henderson de 23 termos é aplicado.

Ou seja, quanto maior for a variação da irregular em relação à variação da

tendência, maior deve ser o tamanho do filtro.

2.3.3.2. Seleção automática dos filtros sazonais no X-13A-S

Quando é solicitado o ajuste padrão (X-11 default), o programa utiliza as

médias móveis sazonais 3x3 e 3x5, nos estágios 1 e 2 do procedimento,

respectivamente. Porém, dependendo do valor da Razão de Sazonalidade Móvel –

MSR, outras médias móveis sazonais seriam mais apropriadas (Lothian, 1984).

A MSR é calculada com base na divisão entre a estatística I (relacionada à

componente irregular), e a estatística S (relacionada à sazonalidade). As estatísticas

I e S são calculadas da seguinte forma:

𝐼 =∑ (𝐼𝑡 − 𝐼𝑡−1)

2𝑁𝑡=2

𝑁 − 1 (2-28)

𝑆 =∑ (𝑆𝑡 − 𝑆𝑡−1)

2𝑁𝑡=2

𝑁 − 1 (2-29)

Os intervalos de valores de MSR foram fornecidos por Lothian (1984) e estão

no quadro a seguir:

DBD



Média móvel sazonal Intervalo de MSR (I/S) para

séries menores de 15 anos

Intervalo de MSR (I/S) para

séries maiores de 15 anos

3-termos 0 I/S 2,3 0 I/S 2,1

3 x 3 2,3 < I/S 4,1 2,1 < I/S 3,8

3 x 5 4,1 < I/S 5,2 3,8 < I/S 5,0

3 x 9 5,2 < I/S 6,5 5,0 < I/S 6,9

Simples de N-termos 6,5 < I/S 7,1 6,9 < I/S 7,1

Quadro 2.2 Intervalos de MSR

O problema ao incorporar esses intervalos no programa são as revisões

desnecessárias em relação aos valores próximos aos limites. Para evitar isso, a

seleção automática da média móvel sazonal é feita da seguinte forma:

1) A razão global I/S é calculada até o último ano de dados disponíveis.

2) São usadas ‘bandas’ ao invés de pontos de corte, onde a seleção é realizada

da seguinte forma (Dagum, 1999):

(a) Se a razão global I/S ≤ 2,5, então a média móvel sazonal 3x3 é

utilizada; se 3,5 ≤ I/S ≤ 5,5, então a média móvel sazonal 3x5 é

utilizada. E se I/S ≥ 6,5, então a média móvel sazonal 3x9 é

utilizada.

(b) Se a razão global 2,5 < I/S < 3,5, ou 5,5 < I/S < 6,5, o último ano de

dados é suprimido a uma nova razão I/S é calculada. Caso esse

novo I/S continue fora dos intervalos especificados no item (a),

mais um ano de dados é suprimido. Isso é realizado para os últimos

5 anos, no máximo. Caso I/S continue fora dos intervalos

especificados no item (a), a média móvel sazonal 3x5 é utilizada.

DBD



2.3.3.3. Testes para a presença de sazonalidade no X-13A-S

A componente sazonal é definida como a variação intra-anual que se repete

constantemente (sazonalidade estável) ou que vai evoluindo de ano para ano

(sazonalidade móvel). Se a alteração nos fatores sazonais, de ano para ano, for

muito grande, serão introduzidas distorções na série. Sendo assim, é importante

determinar se a sazonalidade é identificável.

Para que a sazonalidade seja identificável, a série deve ser considerada

‘sazonal’. Para isso, é utilizado o teste paramétrico para a presença de sazonalidade

assumindo estabilidade (teste F) e o teste não paramétrico para a presença de

sazonalidade assumindo estabilidade (Kruskal-Wallis). Além disso, uma vez que a

presença da sazonalidade móvel pode provocar distorções, é importante avaliar a

sazonalidade móvel juntamente com a sazonalidade estável, a fim de determinar se

a sazonalidade é identificável.

O teste para a sazonalidade identificável é realizado combinando-se os testes

para sazonalidade estável e móvel. A descrição dos testes, a seguir, baseia-se em

Lothian & Morry (1978) e Higginson (1975). Dagum (1988), fornece detalhes.

2.3.3.3.1. Teste F para a presença de sazonalidade estável (FS)

O teste é baseado na ANOVA de um fator da razão SI (ou diferença). O valor

da estatística F é a razão entre duas variâncias: (1) ‘entre meses’, que é devida à

componente sazonal; e (2) ‘residual’, devida à componente irregular.

Uma vez que algumas premissas do teste F são possivelmente violadas,

utiliza-se um nível de significância muito pequeno (0,1%) para indicar que existe

sazonalidade suficiente para justificar a aplicação do método X-11.

Shiskin et al. (1967) alertam para o fato de que a existência de sazonalidade

móvel reduz a variação ‘entre meses’, no teste de sazonalidade estável. Com isso,

é possível que o teste conclua pela não evidência de sazonalidade, quando na

verdade existe um padrão sazonal na série.

A explicação detalhada deste teste está no Apêndice A.

DBD



2.3.3.3.2. Teste F para a presença de sazonalidade móvel (FM)

O teste de sazonalidade móvel é baseado em uma ANOVA de 2 fatores

realizada com a razão SI (ou diferença). Tal teste foi desenvolvido por Higginson

(1975). Nele é testada a presença de sazonalidade móvel caracterizada por

mudanças graduais na amplitude da curva.

Na ANOVA utilizada, os fatores considerados são: mês e ano. A variância

entre os ‘meses’ mede a magnitude da sazonalidade. Já a variância entre os ‘anos’

mede o movimento (variação) da sazonalidade entre os anos. O teste para a presença

de sazonalidade móvel é baseado na razão entre a variância ‘entre os anos’ e a

variância residual. Um valor alto dessa estatística de teste indica a presença de

sazonalidade móvel e, com isso, a inadequação do uso do método X-11.

No método X-11, a presença de sazonalidade móvel pode ser entendida como

um indicador de sazonalidade residual, uma vez que o programa ‘força’ a existência

de sazonalidade estável.

Este teste está apresentado com mais detalhes no Apêndice B.

2.3.3.3.3. Teste de Kruskal-Wallis para a presença de sazonalidade estável (KW)

O teste de Kruskal-Wallis é a alternativa não paramétrica ao teste F da

ANOVA de 1 fator. Enquanto que no teste F existe a premissa de normalidade, no

teste de Kruskal-Wallis não existem restrições sobre a distribuição das populações

analisadas.

No teste de Kruskal-Wallis para a presença de sazonalidade estável de uma

série mensal, a estatística de teste segue a distribuição qui-quadrado, com (12 − 1)

graus de liberdade, onde 12 é o número de meses a serem comparados.

DBD



2.3.3.3.4. Teste combinado para a presença de sazonalidade identificável

O objetivo deste teste é verificar se a sazonalidade da série é identificável ou

não. A ideia é que para uma melhor identificação da sazonalidade, a sazonalidade

‘estável’ deve ser suficientemente maior do que a quantidade de ‘sazonalidade

móvel’. Se houver pouca sazonalidade estável e a maior parte do processo for

dominada por sazonalidade móvel, a componente sazonal não será bem estimada

pelo X-11, pois o método não a identificará apropriadamente (Dagum, 1978).

Em linhas gerais, o teste consiste em combinar os valores da estatística dos

testes F obtidas previamente (ver Subseções 2.3.3.3.1 e 2.3.3.3.2), da seguinte

forma: sendo 𝐹𝑆 o valor de F do teste de sazonalidade estável e 𝐹𝑀 o valor referente

ao teste de sazonalidade móvel:

(1) Se a hipótese nula de ausência de sazonalidade estável não for rejeitada ao nível

de 0,1% de significância, então a série é considerada ‘não sazonal’;

(2) Se a hipótese nula de (1) for rejeitada, então o programa calcula as seguintes

estatísticas:

𝑇1 =7

𝐹𝑀 (2-30)

𝑇2 =3𝐹𝑀

𝐹𝑆 (2-31)

𝑇 =(𝑇1 + 𝑇2)

2 (2-32)

(2.1.) Se a hipótese nula de ausência de sazonalidade móvel for rejeitada ao

nível de significância de 5% e 𝑇≥1, a hipótese nula de ausência de

sazonalidade identificável não é rejeitada e programa retorna a seguinte

mensagem: ‘Ausência de Sazonalidade Identificável’.

(2.2.) Se a hipótese nula de ausência de sazonalidade móvel não for rejeitada,

mas 𝑇1≥1, 𝑇2≥1, ou o teste não paramétrico não rejeitar H0 ao nível de 0,1%

de significância, o programa retorna a seguinte mensagem: ‘Sazonalidade

Identificável Provavelmente Ausente’

DBD



(2.3.) Se a hipótese nula de ausência de sazonalidade móvel não for rejeitada,

e a hipótese nula de ausência de sazonalidade estável for rejeitada no teste

F e no teste de Kruskal-Wallis, o programa retorna a seguinte mensagem:

‘Sazonalidade Identificável Presente’.

Resumindo, o programa X-13ARIMA-SEATS realiza quatro testes para

verificação de sazonalidade. É utilizado o teste F para a presença de sazonalidade

estável, e outro para a presença de sazonalidade móvel. Além disso, utiliza-se

também o teste não paramétrico de Kruskal-Wallis para a presença de sazonalidade

estável. O quarto teste envolve os resultados dos testes anteriores com o objetivo de

verificar se existe sazonalidade ‘identificável’.

A Figura 2.2, a seguir, ilustra o procedimento completo do teste combinado

para identificação de sazonalidade, apresentado nesta subseção.

DBD



Fonte: SAS. http://support.sas.com/documention/cdl/em/etsug, em 04/06/2013.

Figura 2.2. Teste combinado para identificação de sazonalidade

Teste combinado para identificação de

sazonalidade

Teste de Sazonalidade

Estável

Sazonalidade

presente ao nível de

0,1% de significância

Teste de Sazonalidade

Móvel

valor-p < 0,1%

Não há evidência

de sazonalidade

móvel

valor-p ≥ 5%

valor-p ≥ 0,1%

valor-p < 5%

Sazonalidade

móvel presente

Não há

evidências de

sazonalidade

estável ao nível

de 0,1% de

significância

Teste T ≥ 1

Teste T1 ≥ 1 ou

T2 ≥ 1

T < 1 T ≥ 1

T1 < 1 e

T2 < 1 T1 ≥ 1 ou T2 ≥ 1

Sazonalidade

Identificável

provavelmente ausente

Sazonalidade

Identificável

ausente

valor-p ≥ 0,1%

valor-p < 0,1%

Sazonalidade

Identificável

presente

FS

FM

KW

http://support.sas.com/documention/cdl/em/etsug

DBD



2.3.3.4. Estatísticas M e Q para qualidade do ajuste

As estatísticas M e Q foram desenvolvidas pelo Statistic Canada para o X-11-

ARIMA, e estão implementadas no X-12-ARIMA e no X-13A-S. Elas indicam a

qualidade do ajuste sazonal realizado. Existem 11 estatísticas M (M1 a M11) e duas

estatísticas Q (Q e Q2), sendo que as estatísticas Q são médias ponderadas das

estatísticas M (Lothian & Morry, 1978).

Os valores das estatísticas M e Q variam de 0 a 3, sendo que valores acima

de 1 são indícios de problemas potenciais relacionados ao ajuste. Vale ressaltar que

algumas estatísticas M são ‘mais importantes’ do que outras, e não é essencial que

todas as estatísticas M sejam inferiores a 1 para o ajuste ser considerado aceitável.

Dentre todas as estatísticas M, a M7 é considerada a mais importante, pois

indica se existe muita sazonalidade móvel em relação à sazonalidade estável. Um

alto grau de sazonalidade móvel pode causar problemas na estimação das

componentes da série, em razão dos filtros de média móvel utilizados no método

X-11. Se M7 > 1 significa que o ajuste sazonal realizado pelo X-11 não será

apropriado (Pedersen & Fæste, 2006). A estatística M7 é calculada, com base em

uma combinação dos testes 𝐹𝑀 e 𝐹𝑆, apresentados anteriormente, da seguinte forma:

M7 = √1

2(

7

𝐹𝑆+

3𝐹𝑀

𝐹𝑆) .

A descrição de todas as estatísticas M está apresentada no Quadro 2.3, a

seguir:

DBD



Nome Descrição da Estatística de Diagnóstico

M1 Mede a contribuição relativa da componente irregular sobre o período de

três meses.

M2 Mede a contribuição relativa da componente irregular à variância da parte

estacionária da série.

M3 Mede a intensidade da mudança mensal da componente irregular comparada

à intensidade da mudança mensal da componente tendência-ciclo.

M4 Mede a intensidade da autocorrelação da componente irregular, descrita pela

duração da média.

M5 Mede os períodos de dominação estatística da componente cíclica.

M6 Mede a intensidade da mudança anual da componente irregular comparada

à intensidade da mudança anual da componente sazonal.

M7 Mede a intensidade da sazonalidade móvel em relação à intensidade da

sazonalidade estável.

M8 Mede a dimensão ou a flutuação da componente sazonal na série inteira.

M9 Mede o movimento linear médio da componente sazonal na série inteira.

M10 Mede a dimensão das flutuações da componente sazonal nos anos recentes.

M11 Mede o movimento linear médio da componente sazonal nos anos recentes.

Quadro 2.3 Estatísticas M

A estatística Q é uma medida global do ajuste. O seu cálculo é uma média

ponderada das estatísticas M. Os pesos, de cada estatística M, na composição da

estatística Q estão apresentados no Quadro 2.4:

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11

Peso 13 13 10 5 11 10 16 7 7 4 4

Quadro 2.4. Pesos das estatísticas M na composição da estatística Q

Como se pode notar, a estatística M7, relacionada à sazonalidade móvel, é a

que apresenta o maior peso na composição da estatística Q.

No programa X-13A-S existe também a estatística Q2. A diferença entre as

estatísticas Q e Q2 está no fato desta não utilizar no cálculo a estatística M2.

DBD



2.4. Tópicos gerais relacionados à sazonalidade móvel

Nesta subseção é apresentada uma revisão histórica sobre o tema

‘sazonalidade móvel’, assim como os motivos de haver essa característica em

algumas séries temporais. São apresentados, também, alguns testes desenvolvidos

para analisar a existência de sazonalidade móvel.

2.4.1. Uma breve revisão histórica sobre a sazonalidade móvel

As pesquisas na área de ajuste sazonal de séries econômicas teve um grande

impulso nas décadas de 20 e 30, a partir do trabalho de Persons em 1919. Na década

de 30 iniciaram-se os estudos envolvendo sazonalidade móvel. Será apresentado a

seguir um breve histórico sobre o tratamento da ‘sazonalidade móvel’.

Segundo Hillmer & Bell (2002), existem registros de que o primeiro a notar

essa característica (sazonalidade móvel) foi Gilbart, um banqueiro de meados do

século XIX, ao observar a circulação de notas dos bancos do Reino Unido, em 1841.

Persons, em 1919, destacou a existência de sazonalidade móvel, ao afirmar que

embora existisse uma variação sistemática em algumas séries, não é indicado pensar

na variação sazonal como sendo exatamente a mesma ano após ano.

Segundo King (1924), os primeiros a ajustarem sazonalmente os dados

considerando a sazonalidade móvel foram Sydenstricker e Britten, em 1922, nos

Estados Unidos, utilizando métodos gráficos. King (1924) modificou o método

deles, aplicando medianas móveis, e enfatizou a necessidade de se considerar o

tratamento da sazonalidade móvel. Alguns outros métodos para lidar com a

sazonalidade móvel foram sugeridos no final da década de 20.

Em 1932, Kuznets sugeriu um método para detectar e ajustar mudanças na

amplitude sazonal, de ano para ano, assumindo que o padrão sazonal permanecesse

constante (Kuznets, 1932). Ele é um dos autores mais citados em relação às suas

contribuições pioneiras no estudo da sazonalidade móvel, ao estudar os dados da

indústria americana (Kuznets, 1933).

Ainda na década de 30, Mendershausen (1937) analisa as primeiras tentativas

de se lidar com a sazonalidade móvel, e diz que a suposição de uma periodicidade

regular perfeita no movimento sazonal implica em dizer que, não somente o clima,

DBD



mas também os hábitos de consumo, os métodos de produção e transporte não

mudam ao longo do tempo. O autor afirma que essa suposição não corresponde à

realidade, pois o ciclo meteorológico não é perfeito. Além disso, a organização

social, as técnicas e os hábitos apresentam instabilidade, não apenas devido a sua

evolução, mas também em relação ao ciclo econômico e a outros eventos sociais.

Na década de 90, Canova & Hansen (1995) citaram casos em que o padrão

sazonal de séries reais apresentam mudanças. Os exemplos incluem o consumo de

energia estudado por Engle et al. (1989); o consumo japonês examinado por Engle

et al. (1993); as séries de produção industrial examinadas por Canova (1993); e

algumas séries de PIB analisadas por Hylleberg et al. (1993). Eles apontam para a

importância de estudar os diferentes tipos de sazonalidade. Canova é um autor

bastante citado em relação a esse assunto.

Mais recentemente, Pezzulli (2005) cita que a variação da sazonalidade não é

novidade nas pesquisas climáticas. E Pedersen & Fæste (2006) defende que com o

passar do tempo, o padrão sazonal das séries econômicas será alterado como

resultado de mudanças institucionais; e que é importante monitorar esses

movimentos uma vez que eles afetam a escolha dos filtros sazonais. Alguns outros

pesquisadores notaram que o padrão sazonal de muitas variáveis macroeconômicas

mudam ao longo do tempo (ver Bell & Hillmer, 2002).

2.4.2. Motivos para a existência de sazonalidade móvel

A possibilidade de que a sazonalidade é afetada pelos ciclos econômicos vem

sendo considerada na literatura. Segundo Ghysels (1990), as mudanças nos padrões

sazonais de diversas séries trimestrais americanas, pós-Segunda Guerra Mundial,

podem estar relacionadas às etapas do ciclo econômico.

Canova & Ghysels (1994) estudaram a evolução do padrão sazonal de séries

trimestrais americanas, e a relação dessa evolução com o ciclo econômico. Na

análise gráfica realizada, a ideia de que a magnitude da evolução das flutuações

sazonais é sensível aos vários estágios do ciclo econômico foi confirmada. Outros

estudos que relacionam a existência de sazonalidade móvel com o ciclo econômico

são Krane & Wascher (1999) e Wilcox et al. (1997).

DBD



Porém, os ciclos econômicos não são a única possível razão para as mudanças

no padrão sazonal. Van Dijk et al. (2003) estudaram o efeito de mudanças

tecnológicas e institucionais nas alterações dos padrões sazonais nas séries de

produção industrial dos países do G7, em comparação com os efeitos do ciclo

econômico. Eles concluíram que os efeitos das mudanças tecnológicas e

institucionais são mais importantes do que os efeitos relacionados ao ciclo

econômico.

Na década de 70, Diller (1971) atribuiu um outro possível motivo para a

existência de sazonalidade móvel. Para o autor, uma das causas da sazonalidade

móvel está na adaptação da economia às mudanças relacionadas a ela.

2.4.3. Alguns testes para a presença de sazonalidade móvel

Na literatura foram encontrados testes estatísticos que vêm sendo sugeridos

para examinar a estabilidade do padrão sazonal, e com isso a existência de

sazonalidade móvel. Dentre eles estão os testes criados por Taylor (2003), Bussetti

& Harvey (2003), Sutradhar & Dagum (1998), Caner (1998), Franses & Hobijn

(1997), Canova & Hansen (1995), Sutradhar et al. (1995), Hylleberg et al. (1990),

Dickey et al. (1984), e Franzini & Harvey (1983).

Ghysels et al. (1994) comparam o desempenho dos testes de Dickey et al.

(1984) e Hylleberg, Engle et al. (1990), chamado de ‘HEGY test’.

Mais especificamente, Sutradhar & Dagum (1998) compararam os resultados

do teste desenvolvido por elas com os resultados do teste utilizado no programa X-

11-ARIMA, e concluíram que o teste do programa X-11-ARIMA indicou mais

séries com sazonalidade móvel do que elas haviam encontrado com base na

aplicação do teste criado por elas.

Vale mencionar o teste para a sub/superestimação (under/overadjustment) da

sazonalidade proposto por Maravall (2003). A subestimação significa não remover

toda a variação sazonal, o que ocorre no método X-11 quando existe sazonalidade

móvel; e por superestimação, entende-se remover variação como sendo sazonal,

quando na verdade faz parte da componente irregular. Quando existe sazonalidade

DBD



móvel, ocorre o problema da subestimação se o método de ajuste sazonal não for

adequado. Portanto, este é um teste indicado nesse caso.

Este capítulo apresentou os conceitos relacionados ao tema de estudo e um

breve histórico. Além disso, mostrou os métodos de ajuste sazonal que já foram

utilizados pelas agências governamentais. O capítulo também apresentou algumas

comparações realizadas, na literatura, entre os métodos X-11 e SEATS, que são

hoje os mais usados pelas agências governamentais. Em seguida, o capítulo

detalhou as etapas do ajuste sazonal realizado pelo X-11, e as diversas

características relacionadas à seleção de filtros pelo método, assim como os testes

para sazonalidade. Por fim, o capítulo apresentou alguns tópicos relacionados à

sazonalidade móvel.

DBD


3 Ajuste sazonal no domínio da frequência

Existem dois enfoques principais em análise de séries temporais: análise no

domínio do tempo e análise no domínio da frequência. No primeiro enfoque, o

interesse está em construir um modelo adequado para explicar o comportamento da

série, podendo ser utilizado para a previsão de valores futuros. Já no segundo, existe

um maior interesse no estudo das propriedades da série.

A análise no domínio da frequência, ou análise espectral, consiste na

decomposição da série em componentes senoidais, de frequências diferentes,

estudando a maneira com que a energia total é distribuída entre elas. Algumas

componentes de uma série temporal podem ser mais claramente definidas no

domínio da frequência, como é o caso da componente sazonal. Já no domínio do

tempo, a decomposição da série é incapaz de ter uma definição precisa (Grether &

Nerlove, 1970). Esse fato motivou a construção dos filtros para ajuste sazonal no

domínio da frequência, propostos nesta tese.

Neste capítulo são definidos alguns conceitos de análise de séries temporais

no domínio da frequência necessários para a compreensão do estudo. Além disso,

é apresentado o arcabouço teórico do método X-11 no domínio da frequência. Por

fim, é introduzida uma definição de filtros. Os conceitos apresentados neste capítulo

baseiam-se principalmente em Diniz et al. (2010) e Pereira et al. (1986).

3.1. Alguns conceitos relacionados à análise no domínio da frequência

3.1.1. Sinal

Um sinal em tempo discreto é aquele que pode ser representado por uma

sequência de valores, onde cada número representa a amplitude do sinal no instante

t, sendo t um número inteiro. A seguinte notação é utilizada para representar um

sinal:

{𝑥(𝑡), 𝑡 𝜖 ℤ} (3-1)

DBD


Capítulo 3. Ajuste sazonal no domínio da frequência 74

A componente sazonal, de uma série temporal, pode ser interpretada como

um sinal em tempo discreto, sendo representada por uma função seno ou cosseno.

Considere como exemplo, o seguinte sinal:

𝑥(𝑡) = cos (𝜔𝑡) (3-2)

onde 𝜔, em rad/amostra, é a frequência angular do sinal, e a frequência linear é 𝜔

2𝜋

ciclos/amostra. Vale ressaltar que o conceito de amostra em processamento de

sinais é diferente do conceito utilizado em estatística. No caso de uma série

temporal mensal, seria 𝜔

2𝜋 ciclos/meses, uma vez que a unidade de tempo é o mês.

Se 𝜔 =2𝜋

12 rad/amostra significa que se completa um ciclo (2𝜋 radianos) a cada 12

meses.

Para converter frequências (𝜔) em períodos (𝑝) a seguinte relação pode ser

utilizada:

𝑝 =

2𝜋

𝜔 (3-3)

A análise no domínio da frequência trata da extração do sinal. E como uma

série temporal pode ser decomposta em ‘sinal + ruído’, justifica-se a aplicação da

análise no domínio da frequência para a extração da componente sazonal. O

primeiro registro desse tipo de aplicação data de 1963, com os trabalhos de Whittle.

3.1.2. Sistemas em tempo discreto

Um sistema de tempo discreto transforma uma série de entrada 𝑥(𝑡) em uma

série de saída 𝑦(𝑡), tal que

𝑦(𝑡) = ℋ{𝑥(𝑡)}

O operador ℋ{∙} é a função de transferência, representando o sistema de

tempo-discreto. Neste estudo, ℋ{∙} terá as seguintes características: linear e

invariante no tempo.

Sistema de

tempo-discreto

𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)

DBD



O sinal de entrada 𝑥(𝑡) pode ser representado como a soma de impulsos

deslocados,

𝑥(𝑡) = ∑ 𝑥(𝑘) δ(𝑡 − 𝑘)

∞

k=−∞

(3-4)

onde δ(𝑡 − 𝑘) é um sinal de impulso unitário em tempo discreto. Pode-se, então,

representar a saída 𝑦(𝑡), como:

𝑦(𝑡) = ℋ { ∑ 𝑥(𝑘) δ(𝑡 − 𝑘)

∞

k=−∞

} = ∑ ℋ{𝑥(𝑘) δ(𝑡 − 𝑘) }

∞

k=−∞

(3-5)

Como 𝑥(𝑘) é uma constante, 𝑦(𝑡) pode ser escrito como

𝑦(𝑡) = ∑ 𝑥(𝑘)ℋ{ δ(𝑡 − 𝑘) }

∞

k=−∞

= ∑ 𝑥(𝑘)ℎ𝑘(𝑡)

∞

k=−∞

(3-6)

onde ℎ𝑘(𝑡) = ℋ{ δ(𝑡 − 𝑘)} é a resposta do sistema para o impulso em n = 𝑘.

E como o sistema é invariante no tempo, define-se

ℋ{δ(𝑡) } = ℎ(𝑡). (3-7)

Assim, pode-se reescrever 𝑦(𝑡) em termos de ℎ(𝑡) como

𝑦(𝑡) = ∑ 𝑥(𝑘) ℎ(𝑡 − 𝑘)

∞

k=−∞

(3-8)

indicando que o sistema invariante no tempo é completamente caracterizado pela

resposta ao impulso ℎ(𝑡). E 𝑦(𝑡) pode ser representado como o resultado da

convolução entre a série de entrada 𝑥(𝑡) e a resposta ao impulso ℎ(𝑡), da seguinte

forma:

𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡). (3-9)

DBD



A resposta em frequência de ℋ(∙) é a medida quantitativa do espectro de um

sistema em resposta a um estímulo, e é utilizada para caracterizar a dinâmica do

sistema. Trata-se de uma medida da grandeza e da fase da saída, em comparação

com a entrada. Em outras palavras, se uma onda senoidal for injetada num sistema

linear a uma dada frequência, o sistema irá responder na mesma frequência com

uma certa magnitude e ângulo de fase, em relação à entrada. O interesse está em

estimar a função de transferência ℋ(∙), conhecendo as séries de entrada 𝑥(𝑡) e de

saída y(t); fazer previsões com base na série de entrada e na função de

transferência; e controlar a série de saída, trazendo-a o mais próximo possível de

um valor desejado.

3.1.3. Análise de Fourier

A Análise de Fourier é uma forma de análise no domínio da frequência que

estuda a aproximação de qualquer série temporal por uma soma de senos e cossenos.

Pelo teorema de Fourier, qualquer função 𝑓(𝑥), periódica no período 𝑝, pode ser

escrita como uma série de Fourier na forma:

𝑓(𝑥) = ∑[𝑎𝑗 cos (

2𝜋𝑗

𝑝𝑥) + 𝑏𝑗 sen (

2𝜋𝑗

𝑝𝑥)]

∞

𝑗=0

(3-10)

onde 𝑎0, 𝑏0, 𝑎1, 𝑏1, ... são constantes que podem ser determinadas a partir de 𝑓(𝑥).

3.1.3.1. Elementos básicos de um modelo senoidal simples

Uma série, cujos valores variam em torno de uma média e as variações se

repetem, pode ser descrita por quatro elementos: período (𝑝), frequência (f ),

amplitude (A) e fase (𝜃).

O período é o tempo necessário para a série temporal se repetir. É medido em

unidade de tempo por ciclo. Em geral, uma série é periódica quando 𝑥(𝑡) =

𝑥(𝑡 + 𝑝), ∀ 𝑡 ∈ ℝ. Se 𝑝 for o menor real positivo possível, ele é chamado de

período fundamental.

DBD



A frequência é o inverso do período, fornecendo o número de repetições por

unidade de tempo. Um evento que se repete a cada 12 meses possui frequência igual

a 1/12 ciclos por mês.

Uma série senoidal 𝑥(𝑡) pode ser escrita sob a representação harmônica:

𝑥(𝑡) = 𝜇 + 𝐴 cos[2𝜋𝑓(𝑡 − 𝜏)] , 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 (3-11)

onde:

A = amplitude

𝜃 = 2𝜋𝑓𝜏 = fase

Para expressar a função em termos de frequência angular, medida em radianos

por unidade de tempo, temos:

𝑥(𝑡) = 𝜇 + 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜙) , 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 (3-12)

onde:

𝜔 = 2𝜋𝑓, 0 ≤ 𝜔 ≤ 2𝜋 e

𝜙 = 2𝜋𝑓𝜏

Utilizando a regra trigonométrica, reescreve-se 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜙) como:

𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜙) = 𝐴(cos𝜔𝑡 cos𝜙 + sen𝜔𝑡 sen𝜙)

= 𝛼 cos𝜔𝑡 + 𝛽 sen𝜔𝑡 (3-13)

onde 𝛼 = 𝐴 cos𝜙 e 𝛽 = 𝐴 sen𝜙.

Então, pode-se escrever 𝑥(𝑡) como:

𝑥(𝑡) = 𝜇 + 𝛼 cos𝜔𝑡 + 𝛽 sen𝜔𝑡 , 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 (3-14)

Como uma série temporal pode ter variações em diferentes frequências, uma

generalização da equação acima é dada por:

𝑥(𝑡) = 𝜇 + ∑(𝛼𝑗 cos𝜔𝑗𝑡 + 𝛽𝑗 sen𝜔𝑗𝑡 )

𝑘

𝑗=1

, 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 (3-15)

onde 𝛼𝑗 e 𝛽𝑗 são variáveis aleatórias e k é o número de harmônicos.

DBD



3.1.3.2. Transformada de Fourier

A transformada de Fourier refere-se à representação de Fourier para funções

contínuas, e esta por sua vez representa qualquer função integrável 𝑓(𝑥) como a

soma de exponenciais complexas com frequência angular ω e amplitude complexa

ℱ[𝑓(𝑥)].

A transformada de Fourier transforma a função 𝑓, do domínio do tempo, para

o domínio da frequência. Ela está apresentada a seguir:

ℱ(𝑖𝜔) = ℱ[𝑓(𝑥)] = ∫ 𝑓(𝑥)e−iω𝑥𝑑𝑥

∞

−∞

(3-16)

onde ω é a frequência angular e 𝑖 ≡ √−1 .

A transformada inversa de Fourier faz o caminho contrário, transformando

uma função no domínio da frequência, para o domínio do tempo é definida por:

ℱ−1[ℱ(iω)] = 𝑓(𝑥) =

1

2π∫ ℱ(𝑖ω)eiωx𝑑ω.

∞

−∞

(3-17)

Por meio da transformada de Fourier, uma função matemática – e

consequentemente, uma série temporal, pode ser expressa como uma soma de senos

e cossenos. Com isso, qualquer conjunto de dados pode ser analisado diretamente

por um espectro de frequências.

Uma das vantagens de se trabalhar com a transformada é a facilidade nos

cálculos. Por meio da transformada, uma operação de convolução se transforma em

uma simples multiplicação.

Na transformada de Fourier, para cada frequência 𝜔, integra-se a função 𝑓(𝑥)

sobre todos os valores da coordenada 𝑥. Se o valor da integral for alto para esta

frequência, então o sinal tem uma componente significativa nela, ou seja, uma parte

significativa deste sinal é composto por esta frequência.

As transformadas de Fourier, direta e inversa, de uma função do tempo

discreto ℎ(𝑡), são definidas para ω ∈ ℝ, por:

ℋ(𝑒𝑖ω) = ∫ ℎ(𝑡) e−iω𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

(3-18)

ℎ(𝑡) =

1

2π∫ ℋ(𝑒𝑖ω) eiωt𝑑ω

π

−π

(3-19)

onde 𝑒𝑖ω𝑡 ≡ cos(ω𝑡) + 𝑖 sen(ω𝑡) .

DBD



Quando é necessário reduzir o domínio a um determinado intervalo para

analisar o comportamento do sinal, realiza-se uma discretização da Série de Fourier.

Os coeficientes da Transformada Discreta de Fourier (DFT) fornecem uma

aproximação para os coeficientes da Série de Fourier.

Dado um sinal do tempo discreto ℎ(𝑡) de comprimento N, a DFT é denotada

por ℋ𝑘, definida por:

ℋ𝑘 = ∑ ℎ(𝑡)e−i2πjk/N

N−1

j=0

(3-20)

Considerando W = e−i2π/N, tem-se:

ℋ𝑘 = ∑ ℎ(𝑡)Wjk

N−1

j=0

(3-21)

sendo

ℎ(𝑡) =1

N∑ ℋ𝑘W

−tk

N−1

k=0

(3-22)

3.1.3.2.1. Transformada Z

A transformada Z converte um sinal no domínio do tempo ‘𝑥(𝑡)’, que é uma

sequência de números reais (ou complexos), em uma representação de domínio de

frequência ‘𝑋(𝑧)’, que é uma expressão algébrica no domínio complexo.

No domínio do tempo: 𝑥(𝑡) = 𝑍−1{𝑋(𝑧)}

No domínio da frequência: 𝑋(𝑧) = 𝑍{𝑥(𝑡)}

A transformada Z de uma função 𝑥(𝑡) é definida como:

𝑋(𝑧) = 𝑍{𝑥(𝑡)} = ∑ 𝑥(𝑡)𝑧−𝑡

∞

𝑡=−∞

(3-23)

onde 𝑧 é um número complexo.

A transformada de Fourier de uma série discreta é a transformada Z calculada

sobre o círculo unitário no plano complexo. Ou seja, para 𝑧 = 𝑒𝑖𝜔

DBD



𝑋(𝑒𝑖𝜔) = ∑ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡

∞

𝑡=−∞

(3-24)

onde 𝑡 é um número inteiro que representa o domínio do tempo discreto, e é um

número real em [-,), que representa a frequência angular contínua normalizada

(em radianos por amostra).

Sendo assim, a transformada de Fourier de tempo discreto é um caso especial

da transformada Z.

Em sistemas de tempo discreto, a relação entre o sinal de entrada 𝑥(𝑡) e a

saída 𝑦(𝑡) é dada por meio da transformada Z, e então a função de transferência é

escrita como

ℋ(𝓏) =𝑌(z)

𝑋(z). (3-25)

3.1.3.3. Espectros e funções de transferência

A transformada de Fourier de ℎ = ℎ(𝑡) é uma função ℋ = ℋ(ω), cuja

imagem está no conjunto dos números complexos. Logo, ela pode ser decomposta

nas partes real e imaginária, como também pode ser escrita na forma polar. Seja

ℋr = ℋr(ω) e ℋI = ℋI(ω), as partes real e imaginária, respectivamente, de ℋ =

ℋ(ω) e 𝑖 ≡ √−1. Escreve-se ℋ como:

ℋ(ω) = ℋr(ω) + 𝑖 ℋI(ω) = |ℋ(ω)|e𝑖 ∡ℋ(𝜔). (3-26)

3.1.3.3.1. Espectro de amplitude do sinal

A amplitude da transformada de Fourier ℋ(ω) = ℋr(ω) + 𝑖 ℋI(ω), ou

espectro de amplitude do sinal ℎ = ℎ(𝑡), é representada por:

|ℋ(ω)| = √ℋr

2(ω) + ℋI2(ω) (3-27)

O espectro discreto de amplitude de um sinal periódico 𝑠 = 𝑠(𝑡) é o gráfico

das amplitudes em função das respectivas frequências de 𝑠 = 𝑠(𝑡).

DBD



3.1.3.3.2. Gráfico do ganho

O gráfico do ganho mostra como a amplitude de uma senóide é modificada

em função de sua frequência por um sistema linear.

No estado-estacionário, o ganho é a razão entre a variação da saída e a

variação da entrada. Ou seja, ele pode ser analisado como o coeficiente da regressão

do processo de saída sobre o processo de entrada, na frequência 𝜔.

Se um sinal 𝑥(𝑡), com uma componente senoidal de amplitude | 𝑋 |,

frequência angular 𝜔 e fase 𝜙, representado por

𝑋(ω) = |𝑋(ω)|𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜙) (3-28)

for a entrada de um sistema, então a saída será

𝑌(ω) = |𝑌(ω)|𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜃) (3-29)

e a resposta em frequência ℋ(i𝜔) descreverá a mudança para cada frequência

𝜔 em termos do ganho G(𝜔) dado por:

G(𝜔) =

|𝑌(ω)|

|𝑋(ω)|= |ℋ(i𝜔)| (3-30)

Se o sinal é real, o ganho é simétrico sobre as frequências de a . Por

esta razão, o gráfico do ganho é tipicamente representado no intervalo de 0 a .

3.1.3.3.3. Espectro de fase

O ângulo de fase da transformadas de Fourier ℋ, também conhecido como o

espectro de fase do sinal ℎ = ℎ(𝑡) é definido por

∡ℋ(𝜔) = ∡𝑌(𝜔) − ∡𝑋(𝜔) = arctan (

ℋI(𝜔)

ℋr(𝜔)) (3-31)

O espectro de fase é o gráfico das fases em função das respectivas frequências

de 𝑥 = 𝑥(𝑡).

É importante que a fase seja linear, para defasar as observações no mesmo

período de tempo. Caso não seja linear, haverá uma distorção no sinal.

DBD



3.1.3.3.4. Espectro de potência

O espectro de potência de um sinal aleatório exibe a importância de cada

frequência na série. As frequências mais relevantes apresentarão o chamado ‘pico

espectral’. Ele é utilizado para analisar somente séries temporais estacionárias. Se

a série é não-estacionária, recomenda-se tornar a série estacionária, por meio de

uma transformação, para depois obter o espectro.

O espectro de potência do sinal determinístico ℎ = ℎ(𝑡) é definido como

P(ω) = |ℋ(𝜔)|² = ℋr2(𝜔) + ℋI

2(𝜔). (3-32)

Nerlove (1964, p. 262) define sazonalidade como “a característica de uma

série temporal que dá origem a picos espectrais em frequências sazonais”. Dessa

forma, dado que o espectro de potência mostra as frequências que compõem a série,

e uma vez que uma série é formada por algumas frequências, o ajuste sazonal

equivale a remover a frequência sazonal.

O espectro de um processo estacionário é a transformada de Fourier da função

de autocovariância do processo. Sendo assim, ele complementa o estudo realizado

no domínio do tempo através da função de autocorrelação, auxiliando na captura da

frequência do processo estocástico e identificando periodicidades na série.

3.1.3.4. Função Geradora de Autocovariância e sua relação com o espectro

Se 𝑌𝑡 é um processo estacionário de segunda ordem, com média 𝐸(𝑌𝑡) = 𝜇,

variância 𝜎2 e j-ésima autocovariância

𝛾𝑗 = 𝐸[(𝑌𝑡 − 𝜇)(𝑌𝑡+𝑗 − 𝜇)]. (3-33)

Assumindo que essas autocovariâncias são somáveis, a função geradora de

autocovariância (AGF) é dada por

𝑔𝑌(𝑧) = ∑ 𝛾𝑗 𝑧

𝑗

∞

𝑗=−∞

(3-34)

onde: j ℤ ; 𝑧 = cos(ω) – 𝑖 sen(ω) = e-i ; 𝑖 ≡ √−1 e é o ângulo em radianos

que 𝑧 faz com o eixo dos reais.

DBD



Essa função é construída tomando-se a j-ésima autocovariância e

multiplicando-a por um escalar complexo, elevado à j-ésima potência, e depois

somando todos os possíveis valores de j.

Se a função geradora de autocovariância é avaliada em 𝑧 = e-i e dividida por

2, a função resultante de é

𝑠𝑌(𝜔) =

1

2𝜋𝑔𝑌(𝑒−𝑖𝜔) =

1

2𝜋∑ 𝛾𝑗𝑒

−𝑖𝜔𝑗

∞

𝑗=−∞

(3-35)

que também pode ser escrita como:

𝑠𝑌(𝜔) =1

2𝜋{𝛾0 + 2∑𝛾𝑗cos (𝜔𝑗)

∞

𝑗=1

} (3-36)

Tal função é periódica em 𝜔, e chamada de densidade espectral de potência

de 𝑌.

Isto significa que uma vez conhecida a função geradora de autocovariância

de um processo, pode-se chegar ao espectro do processo.

O inverso também é verdadeiro, ou seja, se o espectro do processo for

conhecido (o valor de 𝑠𝑌(𝜔) para qualquer 𝜔 ∈ [0, 𝜋]), pode-se calcular o valor da

j-ésima autocovariância, para qualquer j. Isso é realizado calculando-se a

transformada de Fourier inversa, definida como:

𝛾𝑗 = ∫ 𝑠𝑌(𝜔)𝑒−𝑖𝜔𝑗𝑑𝜔

𝜋

−𝜋

(3-37)

Ou de forma equivalente:

𝛾𝑗 = ∫ 𝑠𝑌(𝜔) cos(𝜔𝑗) 𝑑𝜔

𝜋

−𝜋

(3-38)

Se j = 0, tem-se 𝛾0 = ∫ 𝑠𝑌(𝜔) 𝑑𝜔𝜋

−𝜋, ou seja, a variância de 𝑌𝑡 como a área

sob o espectro entre −𝜋 e 𝜋.

Isto mostra que o espectro 𝑠𝑌(𝜔) pode ser interpretado como a decomposição

do processo de variância. Um pico no espectro indica uma importante contribuição

à variância por parte das componentes com frequências no correspondente

intervalo. As baixas frequências correspondem essencialmente às componentes que

evoluem lentamente, como a tendência e o ciclo de uma série temporal. As altas

frequências correspondem às componentes que evoluem mais rapidamente. Já a

sazonalidade representa o pico nas frequências sazonais e nos seus múltiplos.

DBD



3.2. O método X-11 no domínio da frequência

Como esta proposta trata da construção de um filtro no domínio da frequência

para o ajuste sazonal, que terá o seu desempenho comparado ao método X-11, é

interessante apresentar o algoritmo do método X-11 no domínio da frequência.

3.2.1. O algoritmo base do X-11

Antes de apresentar o algoritmo do método X-11, serão definidas algumas

notações relacionadas aos filtros de médias móveis utilizados pelo X-11.

Inicialmente, define-se a média móvel simples de P termos, utilizando ‘𝑑’

observações para frente e ‘P – 𝑑 – 1’ observações após a observação atual, como

um filtro, dado pela seguinte transformada Z:

𝑀𝐴𝑃(𝑧) =

𝑧𝑑

𝑃[1 1 … 1 1]𝑃𝑥1𝐄𝑃(𝑧) (3-39)

Onde

𝐄𝑃(𝑧) = [1 𝑧−1 𝑧−2 … 𝑧−(𝑃−1)]𝑇 . (3-40)

Uma média móvel P x Q é baseada em uma média móvel de P termos e uma

média móvel de Q termos. Se P + Q for par, esta média móvel será centrada, e será

dada por:

𝑀𝐴𝑃𝑋𝑄(𝑧) =𝑧

𝑃+𝑄−22

𝑃𝑄[1 2 … 𝑃 − 1 𝑃 𝑃 … 𝑃 𝑃 − 1 … 2 1]𝐄𝑃+𝑄−1(𝑧) (3-41)

Como apresentado em Dagum (1988), os passos do algoritmo padrão do X-

11 são listados a seguir. Para isso, foi considerada uma série mensal com

decomposição aditiva:

𝑦𝑡 = 𝑡𝑡 + 𝑠𝑡 + 𝑖𝑡 (3-42)

Onde 𝑦𝑡 é a série original, e 𝑡𝑡, 𝑠𝑡, 𝑖𝑡 são as componentes não observáveis de

tendência, sazonalidade e a componente irregular, respectivamente.

As operações de filtragem serão apresentadas no domínio da frequência, por

meio da transformada Z.

DBD



Estágio 1 – Estimativas iniciais

i. Estimativa preliminar da componente de tendência T(1)(𝑧) usando uma média

móvel 𝑀𝐴2𝑋12(𝑧):

T(1)(𝑧) = Y(𝑧)𝑀𝐴2𝑋12(𝑧) (3-43)

ii. Estimativa inicial da componente Sazonal-Irregular - ‘SI’ inicial

Tendo a primeira estimativa da tendência T(1)(𝑧), a componente sazonal-

irregular é estimada fazendo-se:

SI(1)(𝑧) = Y(z) − T(1)(𝑧) (3-44)

iii. Estimativa preliminar dos fatores sazonais – S(1)(𝑧) – aplicando uma média

móvel sazonal 3x3, 𝑀𝐴3𝑋3(𝑧12):

S(1)(𝑧) = SI(1)(𝑧) 𝑀𝐴3𝑋3(𝑧12) (3-45)

iv. Fatores sazonais iniciais:

É importante que a componente sazonal tenha média zero no período de 12

meses, então, é realizada uma média móvel 2x12, resultando na seguinte

estimativa da sazonalidade:

S(1)(𝑧) = S(1)(𝑧) − S(1)(𝑧) 𝑀𝐴2𝑋12(𝑧) (3-46)

v. Ajuste sazonal inicial:

A(1)(𝑧) = Y(𝑧) − S(1)(𝑧) (3-47)

Estágio 2 – fatores sazonais e ajuste sazonal: redefinição das estimativas das

componentes

i. Estimativa intermediária da tendência, usando o filtro de Henderson de 13

termos, 𝐻13(𝑧):

T(2)(𝑧) = A(1)(𝑧) 𝐻13(𝑧) (3-48)

ii. Refinamento da estimativa da componente sazonal-irregular:

SI(2)(𝑧) = Y(𝑧) − T(2)(𝑧) (3-49)

DBD



iii. Refinamento da estimativa da componente sazonal utilizando uma média

móvel sazonal 3x5. Nessa etapa, o procedimento automático do programa

pode selecionar uma média móvel sazonal diferente, podendo ser: MMs 3x3,

3x5 ou 3x9.

S(2)(𝑧) = SI(2)(𝑧) 𝑀𝐴3𝑋5(𝑧12) (3-50)

iv. Fatores sazonais:

S(2)(𝑧) = S(2)(𝑧) − S(2)(𝑧) 𝑀𝐴2𝑋12(𝑧) (3-51)

v. Série sazonalmente ajustada:

A(2)(𝑧) = Y(𝑧) − S(2)(𝑧) (3-52)

Como as operações apresentadas nos estágios 1 e 2 do algoritmo são lineares,

é possível representá-las como um filtro equivalente ao método X-11 para o ajuste

sazonal. Neste trabalho, será utilizado o termo ‘filtro X-11’ para designar tal filtro

equivalente.

Vale ressaltar que as expressões apresentadas nos estágios 1 e 2 representam

uma forma conveniente de se calcular os pesos e as funções de transferência de

vários filtros resultantes da seleção padrão ou das diversas opções de médias móveis

sazonais. Além disso, facilitam o estudo das propriedades do filtro X-11.

DBD



3.2.2. O desempenho do X-11 na presença de sazonalidade móvel

Em muitas situações relacionadas ao comportamento sazonal, o X-11 é um

método adequado. Entretanto, em outros casos pode ocorrer um subajustamento da

sazonalidade. Essas situações serão ilustradas no domínio da frequência. Segundo

Nettheim (1964), o espectro de uma série com sazonalidade apresenta picos nas

frequências sazonais, ou próximo a elas. Dessa forma, torna-se mais preciso

analisar o comportamento da sazonalidade da série com base no espectro.

Nerlove (1964) ressalta que ‘quanto mais estreitos estiverem os picos, nas

frequências sazonais, mais forte e regular será a sazonalidade’. Essa é uma situação

na qual o método X-11 apresenta um bom desempenho.

Isso pode ser ilustrado com base nos dois gráficos a seguir. O Gráfico 3.1

apresenta a componente sazonal de uma série sem sazonalidade móvel. E o Gráfico

3.2 mostra uma comparação entre a resposta em magnitude do filtro X-11, e o

espectro de uma série sem sazonalidade móvel. Nesse gráfico, a linha contínua

representa o espectro da componente sazonal da série ‘sem’ sazonalidade móvel, e

a linha tracejada representa a resposta em magnitude do filtro X-11.

Gráfico 3.1 Componente sazonal de uma série mensal sem sazonalidade

móvel

-0,50

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169 181 193

t (meses)

DBD



Gráfico 3.2 Comparação entre a resposta em magnitude do filtro X-11 (linha

tracejada) e o espectro de uma série mensal sem sazonalidade móvel (linha

contínua)

No Gráfico 3.2, pode-se notar que o X-11 consegue acompanhar o padrão da

sazonalidade de forma adequada, apresentando um bom desempenho quando existe

sazonalidade estável. Porém, quando se trata de sazonalidade móvel, o resultado é

diferente.

Quanto à sazonalidade móvel, Nettheim (1964) menciona que se os picos

estiverem espalhados ao redor das frequências sazonais, de forma relevante, então

pode-se descrever a situação como um com um padrão sazonal de alteração lenta.

Em outras palavras, a largura desses picos depende essencialmente da regularidade

do padrão sazonal.

A seguir é apresentado o desempenho do X-11, na presença de sazonalidade

móvel, com base na análise do espectro. Mesmo utilizando o filtro de média móvel

sazonal 3x3, que é o mais adequado para a sazonalidade instável, o X-11 não é

capaz de lidar corretamente com isso. Planas (1998) apontou esse problema, que

pode ser visualizado no gráfico 3.4, onde a linha tracejada representa a resposta em

magnitude do filtro X-11 e as setas representam o espectro de uma série com

sazonalidade móvel. Antes, no Gráfico 3.3, é apresentada a componente sazonal de

uma série com sazonalidade móvel no domínio do tempo.

Frequência (ciclos por ano)

DBD



Gráfico 3.3 Componente sazonal de uma série mensal com sazonalidade

móvel

Gráfico 3.4 Comparação entre o espectro de uma série mensal com

sazonalidade móvel (setas) e a resposta em magnitude do filtro X-11 (linha

tracejada)

Como se pode observar, no Gráfico 3.4, o filtro X-11 faz com que as raias

laterais tenham resposta em frequência menor do que 1, que seria o valor ideal. Com

isso, a variação na amplitude da componente sazonal será reduzida, fazendo com

que o filtro X-11 não responda de forma adequada à variação na sazonalidade. Isso

pode ser visualizado no Gráfico 3.5, a seguir, onde é apresentada a componente

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169 181 193

t (meses)


DBD



sazonal artificial e a extração obtida pelo método X-11. Observa-se que o X-11 não

consegue capturar adequadamente as variações existentes na amplitude da

componente sazonal.

Gráfico 3.5 Componente sazonal artificial e estimativa obtida pelo método X-11

Maravall, no trabalho intitulado ‘Short-term analysis of macroeconomic time

series’, de 1999, mostra que o X-11 subestima a sazonalidade quando a largura dos

picos sazonais, no espectro, são maiores do que os capturados pelo filtro X-11. O

autor menciona ainda que o subajustamento é refletido nos picos que permanecem

na vizinhança de cada frequência sazonal, indicando que o X-11 não removeu toda

a variação sazonal da série. Esses picos na vizinhança das frequências sazonais,

mencionados por Maravall (1999) podem ser observados no Gráfico 3.4.

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169 181 193

Componente Sazonal simulada

Estimativa do X-11

t (meses)

DBD



3.3. Filtros

Os filtros são processos que têm por finalidade eliminar as frequências não

desejadas de um sinal de entrada, ou selecionar uma determinada frequência do

sinal. São exemplos de filtros: passa-baixa, passa-banda, passa-alta e filtros de

múltiplas bandas.

Um filtro do tipo passa-baixa permite que as baixas frequências passem,

porém elimina os valores relacionados às altas frequências. Como exemplo, têm-se

os filtros de tendência-ciclo.

Há também os filtros de múltiplas bandas, que deixam passar os valores

correspondentes a determinadas faixas de frequência, eliminando os demais

valores. É o caso dos filtros de sazonalidade, que deixam passar as frequências em

torno dos harmônicos.

Em relação aos filtros de sazonalidade, vale mencionar que Nettheim (1965)

citou como uma das possibilidades de tratamento da sazonalidade, na presença de

mudança do padrão sazonal, a elaboração de um filtro no qual a função resposta

fosse pequena, exceto na vizinhança dos pontos onde há o pico sazonal, e que essa

função resposta fosse retangular tanto quanto possível. A aplicação de tal filtro, na

série temporal, resultaria na sazonalidade estimada. Porém, o autor informou que

não há como saber quão largos os picos deveriam ser, e que não seria fácil a

construção desse filtro sem a perda de um grande número de observações nas

extremidades da série.

Este capítulo apresentou os conceitos de análise de séries temporais no

domínio da frequência. No Capítulo 4, a seguir, é apresentado o projeto de um filtro

para a extração da sazonalidade, construído segundo as especificações mencionadas

por Nettheim (1965).

DBD


4 Filtro sazonal-WLS: uma generalização para o ajuste sazonal, na frequência

No contexto de ajuste sazonal com base em extração de sinal, deseja-se que

o filtro tenha largura adequada de bandas passantes para permitir a correta

dessazonalização quando a componente sazonal for instável. Além disso, ele deve

apresentar bom desempenho, também, quando a componente sazonal for estável.

O filtro aqui proposto, projetado no domínio da frequência, é indicado para

ser aplicado a uma classe de séries que apresentem até um determinado grau de

sazonalidade móvel. Ele pode ser aplicado diretamente, independente da

distribuição da série, permitindo a existência de tendência. Dessa forma, a série a

ser sazonalmente ajustada passará por dois processos de filtragem: processo de

eliminação da tendência e o processo de extração da sazonalidade. A esse filtro,

intitulou-se ‘filtro sazonal-WLS’ – S-WLS.

Neste capítulo é descrito o algoritmo do filtro S-WLS, e realizada uma

comparação entre a resposta em magnitude dele e a resposta em magnitude do filtro

X-11. A ideia é que o uso sucessivo de filtros de médias móveis, no X-11, distorce

o sinal a ser extraído. Sendo assim, o objetivo aqui é contornar esse problema,

projetando um único filtro equivalente ao processo completo de extração da

sazonalidade. Além disso, o capítulo apresenta os parâmetros do filtro S-WLS. Os

conceitos apresentados neste capítulo baseiam-se em Diniz et al. (2010).

4.1. O Algoritmo do filtro sazonal-WLS

Considerando que a tendência pode ser modelada como um polinômio de

ordem 𝑘, o filtro para anular a tendência e extrair a sazonalidade é representado

pela seguinte função:

P(𝑧) = (1 − 𝑧−1)𝑘+1G(𝑧) (4-1)

onde 𝑘 é a ordem do polinômio de tendência e 𝑧 é um número complexo. O termo

(1 − 𝑧−1)𝑘+1 garante que todos os polinômios de ordem 𝑘, na entrada do filtro,

DBD


Capítulo 4. Filtro sazonal-WLS: uma generalização para o ajuste sazonal, na frequência 93

geram saída nula, garantindo assim a eliminação da tendência polinomial de até

ordem 𝑘.

O termo G(𝑧) é definido como

G(𝑧) = ∑ g(𝑡) 𝑧−𝑡

𝐿−𝑝−1

𝑡=−𝑝

(4-2)

onde 𝑝 representa um deslocamento, 𝐿 é o tamanho do filtro, representado pelo

número de coeficientes, e t é o tempo ∈ ℤ. Os coeficientes g(𝑡) ∈ ℝ.

Quando 𝑧𝑡 é uma senóide complexa com frequência 𝜔, utiliza-se a

representação 𝑧 = 𝑒𝑖𝜔.

Sendo assim, P(𝑧) pode ser reescrito como

P(𝑒𝑖𝜔) = (1 − 𝑒−𝑖𝜔)𝑘+1

G(𝑒𝑖𝜔) (4-3)

Pode-se representar P(𝑒𝑖𝜔) por

P(𝑒𝑖𝜔) = 𝑃(𝜔) = 𝑒− 𝑖(

𝜔2

)(𝑘+1)(2𝑖 sen

𝜔

2)𝑘+1

G(𝑒𝑖𝜔) (4-4)

A função G(𝑧) pode ser escrita como

G(𝑒𝑖𝜔) = 𝑒−𝑖𝜔(𝑝)𝐸𝑇(𝜔)g (4-5)

onde 𝐸(𝜔) e g são vetores de tamanho L, definidos como

𝐸(𝜔) = [1 𝑒−𝑖𝜔 ⋯ 𝑒−𝑖𝜔(𝐿−1)]𝑇 (4-6)

g = [g(−p) g(−p + 1) ⋯ g(L − p − 1)]𝑇 (4-7)

Substituindo os valores, tem-se:

P(𝑒𝑖𝜔) = 𝑒− 𝑖(

𝜔2

)(𝑘+1)−𝑖𝜔(𝑝)(2𝑖 sen

𝜔

2)𝑘+1

𝐸𝑇(𝜔)g (4-8)

P(𝑒𝑖𝜔) = 𝑒− 𝑖𝜔[(

𝑘+12

)+𝑝] (2𝑖 sen𝜔

2)𝑘+1

𝐸𝑇(𝜔)g (4-9)

DBD



Fazendo

𝑠(𝜔, 𝑘, 𝑝) = 𝑒− 𝑖𝜔[(

𝑘+12

)+𝑝] (2𝑖 sen𝜔

2)𝑘+1

(4-10)

escreve-se P(𝑒𝑖𝜔) como

P(𝑒𝑖𝜔) = 𝑠(𝜔, 𝑘, 𝑝) 𝐸𝑇(𝜔)g (4-11)

Finalmente escolhem-se frequências 𝜔1, 𝜔2, …𝜔𝑛 dentro das faixas em torno

dos harmônicos (bandas passantes) e nas bandas de rejeição, e define-se P como o

vetor

P = [P(𝑒𝑖𝜔1) P(𝑒𝑖𝜔2) ⋯ P(𝑒𝑖𝜔𝑛)]𝑇 (4-12)

E a matriz U como

U =

[ 𝐸𝑇(𝜔1) 𝑠(𝜔1, 𝑘, 𝑝)

𝐸𝑇(𝜔2) 𝑠(𝜔2, 𝑘, 𝑝)⋯

𝐸𝑇(𝜔𝑛) 𝑠(𝜔𝑛, 𝑘, 𝑝)]

𝑛×𝐿

(4-13)

P pode ser escrito como:

P = U g. (4-14)

Como o termo (1 − 𝑒−𝑖𝜔)𝑘+1

na equação que define P(𝑒𝑖𝜔) garante que as

tendências polinomiais de ordem 𝑘 sejam eliminadas, pode-se variar os coeficientes

de G(𝑧) para obter o desempenho desejado pelo filtro. Assim sendo, para que o

filtro seja robusto a variações na sazonalidade, os coeficientes de G(𝑧) devem ser

otimizados de modo a deixar passar a sazonalidade em torno dos harmônicos numa

faixa de frequência de largura correspondente a uma porcentagem (𝛼) da frequência

sazonal. Além disso, deve-se eliminar o máximo possível da componente irregular.

Dessa forma, as bandas passantes terão resposta desejada igual a um, as bandas de

rejeição terão resposta desejada igual a zero, e as bandas de transição (don’t care

band) apenas facilitarão o processo de otimização, não possuindo um valor

desejado específico. Essas características podem se melhor visualizadas na Figura

4.1 a seguir.

DBD



Figura 4.1 Esquema detalhado do procedimento de filtragem

Vale ressaltar que por deixar passar a sazonalidade considerando uma certa

banda em torno dos harmônicos (como observado na Figura 4.1), o filtro permite

que a sazonalidade móvel de até um determinado grau seja contemplada na análise.

Considerando P(𝜔) a resposta do filtro e D(𝜔) a resposta desejada, na

frequência 𝜔, deseja-se que a soma dos quadrados da diferença entre a resposta do

filtro (P(𝜔)) e o desejado (D(𝜔)) seja a menor possível. Isso equivale a minimizar

o quadrado dos erros. Além disso, no processo de otimização será utilizado um

vetor de pesos, W(𝜔), que estabelecerá a importância relativa da resposta em cada

frequência 𝜔, durante a otimização, conforme será especificado a seguir.

Pode-se representar o erro da seguinte forma:

Erro(𝜔) = [P(𝜔) − D(𝜔)]w(𝜔) (4-15)

Considerando os vetores para cada frequência, tem-se:

erro = W[P − D] (4-16)

ou ainda,

erro = W[U g − D] (4-17)

sendo W igual a

W = [

w1(𝜔1) 0 0 0

0 w2(𝜔2) 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ w𝑛(𝜔𝑛)

] (4-18)

Como mencionado anteriormente, deseja-se minimizar a soma dos quadrados

dos erros:

ε = ‖erroTerro‖ = (𝑈 g − 𝐷)∗TW∗TW(𝑈 g − 𝐷) (4-19)

1

0

𝑫(𝝎)

2𝜋

𝑁𝑠

4𝜋

𝑁𝑠

𝝎

𝜶2𝜋

𝑁𝑠 𝜶

2𝜋

𝑁𝑠

don’t care band

don’t care band

don’t care band

𝜹2𝜋

𝑁𝑠

…

banda passante

banda passante

banda de

rejeição

banda de

rejeição

banda de

rejeição

DBD



E como W = WT, e W, D e g ∈ ℝ, reescreve-se a expressão acima da seguinte

forma:

ε = (g𝑇𝑈∗𝑇− 𝐷𝑇)W2(𝑈 g − 𝐷) (4-20)

ε = g𝑇𝑈∗𝑇W2𝑈g − 𝐷𝑇W2(𝑈 + 𝑈∗)g − 𝐷𝑇W2𝐷 (4-21)

Derivando a equação acima em relação à g, e igualando a zero, encontra-se o

vetor com os coeficientes do filtro extrator da sazonalidade

g = (𝑈∗𝑇Ws2𝑈 + 𝑈𝑇Ws

2𝑈∗)−1

(𝑈𝑇 + 𝑈∗𝑇)Ws2𝐷 (4-22)

Convoluindo este vetor de coeficientes g com os coeficientes do polinômio

(1 − 𝑧−1)𝑘+1, obtém-se o vetor com os coeficientes de P(𝑧). E finalmente, a

convolução do vetor de coeficientes de P(𝑧) com a série temporal resulta nos fatores

sazonais.

4.2. Parâmetros do filtro sazonal-WLS

A principal diferença entre o filtro aqui proposto, e os filtros do método X-

11, está no fato daquele permitir a existência de sazonalidade móvel, uma vez que

a banda passante será bem mais larga do que a do filtro X-11. Isso é possível devido

aos parâmetros especificados no filtro S-WLS. São eles: alpha (α), delta (δ), peso

(wo), fator de superamostragem (M), e ordem do filtro (N).

Inicialmente considera-se um modelo aditivo de decomposição da série

temporal 𝑌𝑡 :

𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝐼𝑡 (4-23)

onde:

𝑇𝑡 é a componente de Tendência

𝑆𝑡 é a componente Sazonal

𝐼𝑡 é a componente Irregular

DBD



Considerando que a série 𝑌𝑡 é periódica, de período 𝑁𝑠, deseja-se obter

respostas próximas (ou iguais) a 1, nas bandas em torno das frequências sazonais

(2𝜋

𝑁𝑠,4𝜋

𝑁𝑠, … ,

12𝜋

𝑁𝑠), e zero, ou próximas a zero, nas demais frequências.

Nesse procedimento, alpha (𝛂) corresponde à largura da banda em torno dos

harmônicos. Trata-se de um dado de projeto e está relacionado ao conteúdo de

frequência da variação da sazonalidade. Ele pode assumir qualquer valor entre

[1/200 ; 1/2]. Neste filtro, será utilizado α = 1/3. Essa escolha baseou-se nas

características das séries reais, que serão abordadas no Capítulo 5.

O delta (𝛅) representa a largura da banda de transição (don’t care band). Ele

auxilia no processo de otimização. A Figura 4.1 ilustra o conceito desse parâmetro,

assim como o α.

O peso (𝐰𝐨) indica a importância dada às bandas de passagem, em torno dos

harmônicos. Especificamente, neste projeto, um peso wo significa que w(𝜔) = 1

nas frequências das bandas de rejeição e w(𝜔) = wo nas frequências das bandas de

passagem. Valores altos do peso (wo) geram ganho nos harmônicos próximo de 1,

mas a atenuação fora dos harmônicos diminui.

O número de pontos utilizados durante a otimização equivale ao fator de

superamostragem multiplicado pelo tamanho do filtro. A restrição é que o fator

de superamostragem seja um número ímpar. No filtro sazonal-WLS foi utilizado

fator de superamostragem igual a 401, pois esse valor respondeu adequadamente

aos propósitos do filtro.

O último parâmetro a ser definido é a ordem do filtro (N), ou seja, o tamanho

do filtro representado pelo número de coeficientes que ele possui. Como o propósito

inicial é compará-lo ao X-11, primeiro será definido o tamanho do filtro equivalente

ao X-11 a ser utilizado na extração da sazonalidade, e então este mesmo tamanho

será utilizado no filtro S-WLS.

O Gráfico 4.1 ilustra um caso onde a série apresenta sazonalidade móvel,

tendo o espectro representado pelos impulsos (setas). A resposta em magnitude do

filtro S-WLS mostra a adequação do filtro em relação ao ajuste. Nos Gráficos 4.1 e

4.2 foi utilizada a seguinte configuração dos parâmetros do filtro S-WLS: N=145,

α =1/3, δ =1/10 e wo=10.

DBD



Gráfico 4.1 Comparação entre a resposta em magnitude do filtro S-WLS

(linha contínua) e o espectro de uma série mensal com sazonalidade móvel

(setas)

No Gráfico 4.2, a seguir, é apresentada a resposta em magnitude do filtro X-

11 considerando média móvel sazonal 3x3 (linha tracejada), juntamente com a

resposta em magnitude do filtro S-WLS (linha contínua), no caso em que existe um

grau relevante de sazonalidade móvel na série. O espectro da série com

sazonalidade móvel está representado pelos impulsos (setas).

Gráfico 4.2 Comparação entre a resposta em magnitude do filtro S-WLS, a

resposta em magnitude do filtro X-11 e o espectro de uma série com

sazonalidade móvel (representado pelas setas)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Filtro Proposto

Filtro X-11



S-WLS

DBD



Como pode ser observado, no Gráfico 4.2, mesmo a média móvel sazonal 3x3

não é suficiente para captar as oscilações da componente sazonal, enquanto que o

filtro S-WLS, por apresentar bandas passantes mais largas, não altera as amplitudes

das raias espectrais e, portanto, capta a variação da amplitude da série.

É interessante notar que algumas configurações dos parâmetros do filtro S-

WLS o deixam parecido com o X-11, em termos de largura da banda passante. A

comparação pode ser analisada pelo espectro, apresentado no Gráfico 4.3, a seguir,

onde a curva contínua representa o espectro do filtro S-WLS, e a curva pontilhada

representa o espectro do filtro X-11. Esses resultados foram encontrados utilizando-

se tamanho do filtro de Henderson igual a 13 e média móvel sazonal 3x3; já no

filtro S-WLS foram adotados os seguintes parâmetros: N = 145, α = 1

35, δ =

1

4 e wo=

0,02, como definidos na seção 4.2.

Gráfico 4.3 Quando a resposta em magnitude do filtro S-WLS se aproxima

da resposta em magnitude do filtro X-11

Vale ressaltar que não é o objetivo trabalhar, no filtro S-WLS, com um valor

baixo para o parâmetro α, uma vez que pretende-se permitir a presença de

sazonalidade móvel. A utilização do parâmetro α igual a 1

35 foi meramente para

comparar as respostas em magnitude dos filtros.

1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Filtro Proposto

Filtro X-11


S-WLS

DBD



Este capítulo apresentou o algoritmo do filtro S-WLS e seus parâmetros.

Além disso, foi realizada uma comparação, no domínio da frequência, com o filtro

equivalente ao método X-11, ilustrando por meio da resposta em magnitude a

inadequação do X-11 ao ajustar séries com sazonalidade móvel. Contudo, é

necessário especificar os valores dos parâmetros do filtro, o que será realizado no

Capítulo 5, a seguir.

DBD


101

5 Filtro sazonal-WLS: seleção da melhor configuração e resultados

Neste Capítulo 5 é apresentado o procedimento utilizado na seleção dos

parâmetros do filtro sazonal-WLS – S-WLS, para as séries com periodicidade

mensal e trimestral. Além disso, são expostos os resultados do desempenho do filtro

S-WLS, em comparação com o X-11, no ajuste de séries que apresentam algum

grau de sazonalidade móvel. Dado que foi utilizado uma componente sazonal

artificial na seleção dos parâmetros do filtro e na análise do desempenho do mesmo,

é apresentada – inicialmente – a estrutura da componente sazonal artificial utilizada,

assim como o processo de seleção dos parâmetros.

O Capítulo 5 está organizado da seguinte forma: na Subseção 5.1 é

apresentada a estrutura da componente sazonal artificial; na Seção 5.2 são

apresentadas as características das séries reais utilizadas na análise, incluindo os

valores dos parâmetros do sinal sazonal, da componente de tendência e da

componente irregular. A Subseção 5.3 apresenta a razão sinal ruído (SNR) de cada

filtro. A seleção da melhor configuração do filtro S-WLS para as séries mensais e

trimestrais é abordada na Subseção 5.4. E, finalmente, os resultados da comparação

entre o filtro S-WLS e o filtro X-11 são apresentados na Subseção 5.5.

5.1. Componente Sazonal Artificial

Para escolher a melhor configuração de parâmetros para o filtro S-WLS, foi

utilizado uma componente sazonal artificial utilizando a combinação de senos e

cossenos, e algum grau de sazonalidade móvel, ou seja, amplitude variável. Esta

componente, para uma série temporal mensal, está apresentada na Equação (5-1), a

seguir:

𝐴 [1 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑡

𝑘)] [𝑐𝑜𝑠 (2𝜋

𝑡

12)] =

𝐴 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑡

12) +

𝐴𝑏

2𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑡 (

1

𝑘+

1

12) +

𝐴𝑏


1

𝑘−

1

12)

(5-1)

DBD


Capítulo 5. Filtro sazonal-WLS: seleção da melhor configuração e resultados 102

onde:

𝐴 = amplitude do sinal. 𝐴 ∈ ℝ∗+;

𝑏 = taxa de variação da sazonalidade. 𝑏 ∈ (0 , 1);

𝑘 = número de meses no qual o padrão de sazonalidade móvel volta a se repetir. Na

análise foi utilizado 𝑘 ≥ 48;

𝑡 = período que está sendo analisado. 𝑡 = 1,2, … , 500.

No caso de uma série com periodicidade trimestral, a componente sazonal

artificial é representada da seguinte forma:

𝐴 [1 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑡


𝑡

4)] =

𝐴 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑡

4) +

𝐴𝑏


1

𝑘+

1

4) +

𝐴𝑏


1

𝑘−

1

4)

(5-2)

onde:

𝐴 = amplitude do sinal. 𝐴 ∈ ℝ∗+;

𝑏 = taxa de variação da sazonalidade. 𝑏 ∈ (0 , 1);

𝑘 = número de trimestres no qual o padrão de sazonalidade móvel volta a se repetir.

Na análise foi utilizado 𝑘 ≥ 16;

𝑡 = período que está sendo analisado. 𝑡 = 1,2, … , 500.

Como ilustração, o Gráfico 5.1 apresenta uma componente sazonal artificial,

para uma série temporal mensal, utilizando: 𝐴 = 0,4, 𝑏 = 20% e 𝑘 = 96. Observando

o padrão da sazonalidade móvel, nota-se que ele volta a se repetir depois de 8 anos

(96 observações).

Gráfico 5.1 Componente sazonal artificial para uma série mensal com

sazonalidade móvel, no domínio do tempo

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169 181 193

t (meses)

f(t)

DBD



A Figura 5.1 apresenta o espectro, na frequência, do sinal equivalente ao

apresentado no Gráfico 5.1. De acordo com essa figura, pode-se visualizar o

impacto da amplitude (𝐴), da taxa de variação da sazonalidade (𝑏) e do parâmetro

𝑘, na frequência angular. O parâmetro Ns corresponde à periodicidade da série. Em

uma série mensal, 𝑁𝑠 = 12, e na série trimestral, 𝑁𝑠 = 4.

Figura 5.1 Espectro, na frequência, de um sinal sazonal artificial

Os sinais definidos nas Equações (5-1) e (5-2) se referem às séries com

modelo aditivo de decomposição (ver Eq. 2-1). Para as séries com modelo

multiplicativo de decomposição (Eq. 2-2), o sinal sazonal é representado da

seguinte forma:

Sinal sazonal para as séries mensais:

1 + {𝐴 [1 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑡


𝑡

12)]} (5-3)

Nota: os parâmetros estão definidos na Eq. (5-1).

Sinal sazonal as séries trimestrais:

1 + {𝐴 [1 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑡


𝑡

4)]} (5-4)

Nota: os parâmetros estão definidos na Eq. (5-2).

𝝎

𝑫(𝝎)

DBD



Com base nas Equações (5-3) e (5-4), é possível reescrever o modelo

multiplicativo de decomposição: 𝑌 = 𝑇 × 𝑆 × 𝐼. Considerando que a componente

sazonal 𝑆 tem média 1, assim como a componente irregular 𝐼, 𝑆 será representada

por (𝑆′ + 1) e 𝐼 por (𝐼′ + 1), onde 𝑆′ e 𝐼′ têm média zero. Com isso, a

decomposição da série temporal 𝑌 ficará assim definida:

𝑌 = 𝑇 × (𝑆′ + 1) × (𝐼′ + 1) (5-5)

𝑌 = (𝑇𝑆′ + 𝑇) × (𝐼′ + 1) (5-6)

𝑌 = 𝑇 + 𝑇𝑆′ + 𝑇𝐼′ + 𝑇𝑆′𝐼′ (5-7)

Analisando a Equação (5-7) no domínio da frequência, é possível afirmar que

como a tendência é um sinal passa baixas de banda muito estreita, o termo (𝑇𝑆′),

que na frequência é a convolução do espectro da sazonalidade com o da tendência,

possui um espectro semelhante ao do 𝑆′, com as bandas em torno dos harmônicos

ligeiramente aumentadas. Já o espectro do termo (𝑇𝐼′ + 𝑇𝑆′𝐼′) é a convolução do

espectro de (𝑇 + 𝑇𝑆′) com o espectro de 𝐼′, que é plano (pois 𝐼′ é descorrelatado),

equivalente a um espectro de irregular. Assim, a Equação (5-7) equivale a 𝑌 = 𝑇 +

𝑆′′ + 𝐼′′, o que implica que 𝑇 e 𝑆′′ podem ser estimadas da mesma maneira do que

no modelo aditivo, bastando fazer 𝑆 = 𝑆′ + 1 =𝑆′′

𝑇+ 1.

Neste estudo, as séries construídas com base nas Equações (5-1), (5-2), (5-3)

e (5-4) tiveram 400 observações. Escolheu-se trabalhar com um tamanho grande

para a série temporal, pois como se trata de um filtro simétrico, algumas

observações da série são perdidas. É importante citar que este estudo não teve como

objetivo estender a série – com forecasts e backcasts. Porém, para o filtro ser

utilizado em séries reais, as mesmas devem ser estendidas, preferencialmente com

base em modelos ARIMA (Dagum, 1978).

Na Subseção 5.2, a seguir, serão apresentadas as características das séries

temporais reais utilizadas neste estudo, que influenciaram na construção das séries

artificiais.

DBD



5.2. Características das séries utilizadas e definição dos parâmetros do sinal artificial

Para a definição dos parâmetros a serem usados nos sinais sazonais artificiais,

foram utilizadas como referência séries reais brasileiras e estrangeiras. Já em

relação à periodicidade das séries temporais, trabalhou-se com séries mensais e

trimestrais.

Foram coletados, inicialmente, dados de 78 séries mensais brasileiras, obtidos

nos sites do IPEA e do IBGE no dia 26/6/2013. O período de análise considerado

teve início em jan/1998, na maioria das séries. Dessas séries, o dado mais recente

foi de abril de 2013. Além disso, foram obtidas 66 séries históricas mensais

estrangeiras, no site da OECD (Organização para a Cooperação e Desenvolvimento

Econômico) e do U.S. Census Bureau, no dia 20/11/2013. O período de análise

considerado, para essas séries, foi de jan/1993 a set/2013. As séries mensais

brasileiras e estrangeiras estão especificadas nos Apêndices E e F, respectivamente.

Como as séries econômicas brasileiras disponíveis são, na grande maioria,

mensais, optou-se por trabalhar com séries históricas trimestrais apenas

estrangeiras. Sendo assim, foram obtidas 106 séries históricas trimestrais

estrangeiras, no site da OECD e do U.S. Census Bureau, no dia 20/11/2013. O

período de análise considerado foi, na maioria das séries, do 1º trimestre de 1995

ao 2º trimestre de 2013. Tais séries estão especificadas no Apêndice G.

Todas as séries foram submetidas ao programa X-13A-S, onde foi testado se

havia sazonalidade, e também se havia ‘sazonalidade móvel’. Os resultados dos

testes mostraram que das 250 séries pesquisadas, 235 apresentaram sazonalidade.

Em relação à sazonalidade móvel, 105 séries apresentaram essa característica. A

Tabela 5.1, a seguir, apresenta a quantidade de séries analisadas, segundo o nível

de significância dos testes de sazonalidade realizados (ver Subseção 2.3.3.3). Os

níveis de significância utilizados nos testes foram 0,1%, 1% e 5%.

DBD



Séries Temporais Mensais

Séries pesquisadas Sazonalidade Sazonalidade Móvel

Origem Total p<0,1% p<1% p<5% p<0,1% p<1% p<5%

Nacional 78 72 0 0 10 11 10

Internacional 66 45 12 2 30 12 3

Séries Temporais Trimestrais

Internacional 106 99 4 1 11 10 8

Nota: p = valor-p.

Tabela 5.1 Quantidade de séries pesquisadas: total, com sazonalidade, e com

sazonalidade móvel

Como se pode observar na Tabela 5.1, das 72 séries nacionais com

sazonalidade, 31 apresentam sazonalidade móvel, ou seja, 43% delas possuem

sazonalidade móvel. Em relação às séries internacionais, 76% das mensais, com

sazonalidade, apresentam sazonalidade móvel, e 28% das séries sazonais trimestrais

possuem sazonalidade móvel. Sendo assim, nota-se que a característica de mudança

no padrão de sazonalidade está presente em grande parte das séries reais, tanto

nacionais quanto internacionais.

Das séries nacionais pesquisadas, aquelas que apresentaram sazonalidade

móvel significativa a um nível de significância menor do que 5%, e que por isso

foram consideradas na definição dos parâmetros do sinal artificial, estão listadas na

Tabela 5.2, segundo o grau de sazonalidade móvel, identificado pelo valor-p. Vale

citar que das séries nacionais com sazonalidade móvel significativa, 52%

apresentaram modelo aditivo de decomposição das componentes não observáveis.

DBD



Rank ID Séries mensais nacionais valor-p

1º X64 Vendas nominais - varejo - materiais de construção 0,000

2º X55 Venda - fertilizantes - qde. - Tonelada 0,000

3º X68 Produção industrial - bens de consumo duráveis - quantum 0,000

4º X77 Pessoal empregado - indústria - índice (média 2006 = 100) 0,000

5º X31 Cheques sem fundo - (%) 0,000

6º X76 Utilização da capacidade instalada - indústria - (%) 0,000

7º X53 SPC - número de registros recebidos - Unidade 0,000

8º X41 Consumo - energia elétrica - comércio - qde. - GWh 0,000

9º X43 Consumo - energia elétrica - residência - qde. - GWh 0,000

10º X6 Produção física industrial. Indústria geral Espírito Santo 0,001

11º X67 Produção industrial - bens de consumo - quantum 0,001

12º X36 Consumo - energia elétrica - Região Sudeste (SE) - qde. - GWh 0,001

13º X73 Produção industrial - bebidas - quantum - índice (média 2002 = 100) 0,002

14º X47 Consumo - energia elétrica - residência - tarifa média por MWh - R$ 0,002

15º X7 Produção física industrial. Indústria geral Rio de Janeiro 0,002

16º X69 Produção industrial - bens de consumo não duráveis - quantum 0,003

17º X10 Produção física industrial. Indústria geral Santa Catarina 0,003

18º X1 Produção física industrial. Indústria geral Brasil 0,003

19º X38 Consumo aparente - gasolina - média - qde./dia - Barril (mil) 0,008

20º X45 Consumo - energia elétrica - comércio - tarifa média por MWh - R$ 0,009

21º X75 Horas trabalhadas - indústria - índice (média 2006 = 100) 0,009

22º X58 Vendas nominais - varejo - índice (média 2011 = 100) 0,013

23º X46 Consumo - energia elétrica - indústria - tarifa média por MWh - R$ 0,017

24º X71 Produção industrial - indústria de transformação - quantum 0,020

25º X11 Produção física industrial. Indústria geral Rio Grande do Sul 0,020

26º X74 Produção industrial - têxtil - quantum - índice (média 2002 = 100) 0,023

27º X8 Produção física industrial. Indústria geral São Paulo 0,024

28º X15 Comércio - cine, foto, som e ótica - faturamento - RMSP 0,032

29º X42 Consumo - energia elétrica - indústria - qde. - GWh 0,037

30º X63 Vendas nominais - varejo - veículos, motos, partes e peças 0,038

31º X12 Comércio - automotivo e construção - faturamento - RMSP 0,042

Tabela 5.2 Séries históricas mensais nacionais com sazonalidade móvel

significativa

As séries internacionais mensais com sazonalidade móvel significativa, a um

nível de significância menor do que 5%, estão listadas na Tabela 5.3. Dessas séries,

36% apresentaram modelo aditivo de decomposição, e 64% apresentaram modelo

multiplicativo. Com isso, observa-se uma diferença no perfil das séries nacionais e

internacionais. A indicação do tipo de decomposição de cada série mensal será

apresentada nas Subseções 5.2.1 e 5.2.2.

DBD



Rank ID Séries mensais internacionais valor-p

1º Y122 Employment Level; USA; Number in thousands 0,000

2º Y128 General Merchandise Stores; USA; millions of dollars 0,000

3º Y132 Gasoline Stations; USA; millions of dollars 0,000

4º Y133 Clothing and Clothing Access. Stores; USA; millions of dollars 0,000

5º Y138 Nonmetallic Mineral Products; U.S.; millions of dollars 0,000

6º Y154 Dairy Product Manufacturing; U.S.; millions of dollars 0,000

7º Y140 Construction Machinery Manufacturing; U.S.; millions of dollars 0,000

8º Y145 Plastics and Rubber Products; U.S.; millions of dollars 0,000

9º Y146 Construction Materials and Supplies; U.S.; millions of dollars 0,000

10º Y149 Food Products; U.S.; millions of dollars 0,000

11º Y156 Beverage and Tobacco Products; U.S.; millions of dollars 0,000

12º Y166 Relative consumer price indices; Iceland 0,000

13º Y170 Relative consumer price indices; Korea 0,000

14º Y162 Relative consumer price indices; Finland 0,000

15º Y180 Relative consumer price indices; Turkey 0,000

16º Y181 Relative consumer price indices; United Kingdom 0,000

17º Y187 Relative consumer price indices; Indonesia 0,000

18º Y169 Relative consumer price indices; Japan 0,000

19º Y175 Relative consumer price indices; Norway 0,000

20º Y124 Retail Trade and Food Services, ex Auto; USA; millions of dollars 0,000

21º Y178 Relative consumer price indices; Sweden 0,000

22º Y127 Grocery Stores; USA; millions of dollars 0,000

23º Y182 Relative consumer price indices; United States 0,000

24º Y150 Consumer Goods; U.S.; millions of dollars 0,000

25º Y165 Relative consumer price indices; Greece 0,000

26º Y153 Grain and Oilseed Milling; U.S.; millions of dollars 0,001

27º Y179 Relative consumer price indices; Switzerland 0,001

28º Y168 Relative consumer price indices; Italy 0,001

29º Y152 Consumer Nondurable Goods; U.S.; millions of dollars 0,001

30º Y137 Wood Products; U.S.; millions of dollars 0,001

31º Y160 Relative consumer price indices; Canada 0,001

32º Y130 Food and Beverage Stores; USA; millions of dollars 0,002

33º Y164 Relative consumer price indices; Germany 0,002

34º Y167 Relative consumer price indices; Ireland 0,002

35º Y174 Relative consumer price indices; New Zealand 0,003

36º Y184 Relative consumer price indices; Brazil 0,004

37º Y173 Relative consumer price indices; Netherlands 0,004

38º Y172 Relative consumer price indices; Mexico 0,005

39º Y143 Audio and Video Equipment; U.S.; millions of dollars 0,005

40º Y183 Relative consumer price indices; Euro area (17 countries) 0,006

41º Y185 Relative consumer price indices; China 0,007

42º Y159 Relative consumer price indices; Belgium 0,008

43º Y157 Relative consumer price indices; Australia 0,012

44º Y158 Relative consumer price indices; Austria 0,018

45º Y163 Relative consumer price indices; France 0,022

Tabela 5.3 Séries históricas mensais internacionais com sazonalidade móvel

significativa

DBD



Em relação às séries internacionais trimestrais, das 29 que apresentaram

sazonalidade móvel, apenas 4 têm decomposição aditiva, enquanto que 25 têm

decomposição multiplicativa. Ou seja, 86% das séries estrangeiras trimestrais, com

sazonalidade móvel, têm decomposição multiplicativa. Essas séries estão

apresentadas na Tabela 5.4.

Rank ID Séries trimestrais internacionais valor-p

1º Y3 Gross domestic product; Belgium 0,000

2º Y52 Exports of goods and services; Euro area (17 countries) 0,000

3º Y53 Exports of goods and services; European Union (27 countries) 0,000

4º Y95 Imports of goods and services; European Union (27 countries) 0,000

5º Y112 Total gross debt; Luxembourg 0,000

6º Y74 Imports of goods and services; Czech Republic 0,000

7º Y37 Exports of goods and services; Germany 0,000

8º Y84 Imports of goods and services; Luxembourg 0,000

9º Y13 Gross domestic product - expenditure approach; Japan 0,000

10º Y91 Imports of goods and services; Slovenia 0,000

11º Y12 Gross domestic product - expenditure approach; Italy 0,001

12º Y47 Exports of goods and services; Poland 0,001

13º Y94 Imports of goods and services; Euro area (17 countries) 0,001

14º Y120 Retail Sales; Total; (millions of dollars) 0,002

15º Y35 Exports of goods and services; Finland 0,003

16º Y38 Exports of goods and services; Hungary 0,005

17º Y98 Total gross debt; Australia 0,005

18º Y25 Gross domestic product; Euro area (17 countries) 0,007

19º Y99 Total gross debt; Austria 0,007

20º Y121 Retail Sales; E-commerce; (millions of dollars) 0,008

21º Y20 Gross domestic product - expenditure approach; Poland 0,010

22º Y77 Imports of goods and services; Finland 0,013

23º Y10 Gross domestic product - expenditure approach; Greece 0,019

24º Y73 Imports of goods and services; Belgium 0,022

25º Y89 Imports of goods and services; Poland 0,023

26º Y45 Exports of goods and services; New Zealand 0,024

27º Y11 Gross domestic product - expenditure approach; Hungary 0,029

28º Y81 Imports of goods and services; Italy 0,035

29º Y41 Exports of goods and services; Korea 0,042

Tabela 5.4 Séries históricas trimestrais internacionais com sazonalidade móvel

significativa

A indicação do modelo de decomposição das séries trimestrais será

apresentada nas Subseções 5.2.3 e 5.2.4.

DBD



Como ilustração da sazonalidade móvel presente nas séries reais, é

apresentado o Gráfico 5.2 da componente sazonal da série X6 (Produção Física

Industrial: Espírito Santo), extraída pelo programa X-13A-S. Nesse gráfico é

possível notar a variação da amplitude da sazonalidade ao longo dos meses.

Gráfico 5.2 Componente Sazonal: Produção Industrial Mensal – Indústria

Geral do Espírito Santo

Após a seleção das séries temporais com sazonalidade móvel significativa,

foi analisado o gráfico da componente sazonal de cada série, a fim de observar os

valores dos parâmetros ‘𝐴’, ‘𝑘’ e ‘𝑏’, definidos na Equação (5-1). Tais valores

devem ser utilizados nas séries artificiais, para que estas tenham um mesmo nível

de variação da sazonalidade. Porém, em algumas séries não foi possível essa

observação. As séries analisadas, para a obtenção dos valores dos parâmetros ‘𝐴’,

‘𝑘’ e ‘𝑏’, serão apresentadas nas subseções a seguir, segundo a periodicidade

(mensal e trimestral) e o modelo de decomposição (aditivo e multiplicativo).

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169 181

Fatores Sazonais - Produção industrial - Indústria geral: Espírito Santo (X6)

t

DBD



5.2.1.

Séries mensais com decomposição aditiva: parâmetros ‘𝑨/𝒔’, ‘𝒌’, ‘𝒃’ e coeficientes da componente de tendência

As séries mensais reais, com sazonalidade móvel e decomposição aditiva,

foram analisadas para a obtenção do valor da razão ‘𝐴/𝑠’, onde ‘𝐴’ é a amplitude

do sinal sazonal e ‘𝑠’ é o desvio-padrão da componente irregular. Além disso, foram

identificados os valores dos parâmetros ‘𝑏’ e ‘𝑘’. A identificação dos valores de

‘𝐴’, ‘𝑏’ e ‘𝑘’ foi feita com base no gráfico da componente sazonal, obtida pelo X-

13A-S, e no gráfico do sinal sazonal artificial (Eq. 5-1); onde variaram-se os valores

dos parâmetros ‘𝐴’, ‘𝑏’ e ‘𝑘’ até obter a combinação que melhor se ajustava à

componente sazonal da série. Quanto ao valor de ‘𝑠’, foi calculado o desvio-padrão

da componente irregular, gerada pelo X-13A-S, sem os outliers. Os valores

encontrados estão apresentados na Tabela 5.5.

Série 𝒌 𝒃 𝑨 𝒔 𝑨/𝒔 Origem

X12 96 15% 10 2,8 3,6

nacional

X31 72 13% 2,5 0,4 6,3

X36 96 32% 0,6 0,3 2,0

X41 144 24% 0,4 0,2 2,0

X43 120 52% 0,4 0,2 2,0

X53 60 33% 60 9,1 6,6

X67 84 19% 13 1,1 11,8

X69 84 20% 12 1,3 9,2

X73 96 10% 30 2,6 11,5

X74 84 11% 20 1,3 15,4

X76 84 22% 1,6 0,2 8,0

Y122 132 30% 1250 103 12,1

internacional

Y137 120 47% 300 47 6,4

Y166 144 60% 1,8 0,53 3,4

Y168 216 70% 0,5 0,34 1,5

Y180 156 50% 2 0,61 3,3

Y181 120 40% 1,5 0,57 2,6

Y183 144 50% 0,9 0,41 2,2

Tabela 5.5 Parâmetros das séries mensais aditivas, com sazonalidade móvel

Analisando a Tabela 5.5, nota-se que, para as séries mensais aditivas, os

valores de ‘𝑘’ variam, em sua maioria, entre 84 e 132. Os valores de ‘𝑏’ estão mais

concentrados entre 10% e 30%, sendo que 25% se concentram entre 30% e 60%. Já

a razão ‘𝐴/𝑠’ mostra uma concentração nos valores inferiores a 7. A distribuição

dos parâmetros citados pode ser melhor visualizada nos histogramas a seguir.

DBD



Gráfico 5.5 Histograma de ‘𝒌’ (Eq. 5-1) das séries mensais aditivas

Para obter os coeficientes da componente de tendência, verificou-se o grau do

polinômio que melhor se ajustava a essa componente, estimada pelo X-13A-S.

Foram ajustados desde polinômios de ordem 2 até os de ordem 5. O polinômio de

ordem 5 está apresentado a seguir:

𝑇 = 𝑏0 + 𝑏1𝑡 + 𝑏2𝑡2 + 𝑏3𝑡

3 + 𝑏4𝑡4 + 𝑏5𝑡

5 (5-8)

onde 𝑡 = período que está sendo analisado. 𝑡 = 1,2,…

Os coeficientes encontrados, assim como o R² obtido no ajuste, estão

apresentados na Tabela 5.6.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

1

2

3

4

5

6

b1 3 5 7 9 11 13 15 17

0

1

2

3

4

5

6

7

A/s

60 84 108 132 156 180 204 2280

1

2

3

4

5

6

7

8

k

Gráfico 5.4 Histograma de ‘𝑨/𝒔’

(Eq. 5-1) das séries mensais

aditivas

Gráfico 5.3 Histograma de ‘𝒃’ (Eq.

5-1) das séries mensais aditivas

Fre

quên

cia

abso

luta

Fre

quên

cia

abso

luta

Fre

quência

abso

luta

DBD



Série b0 b1 b2 b3 b4 b5 R²

X12 107,45 -1,9738 0,0424 -3E-04 7E-07 65%

X31 9,93 -0,1387 0,0065 -6E-05 1E-07 93%

X36 14,280 -0,0781 0,0012 -4E-06 90%

X41 3,13 -0,0016 0,0010 94%

X43 6,10 0,0098 -0,0006 7E-06 -2E-08 93%

X53 389,78 -4,7035 0,0635 -2E-04 94%

X67 98,27 -0,2740 0,0065 -2E-05 95%

X69 100,94 -0,2596 0,0046 -1E-05 94%

X73 106,63 0,4666 -0,0191 2E-04 -6E-07 92%

X74 90,79 1,2709 -0,0461 7E-04 -4E-06 8E-09 79%

X76 78,03 0,0574 -0,0002 63%

Y122 118.248,00 244,8300 -0,6143 93%

Y137 6.500,00 186,5900 -4,8966 0,0562 -3E-04 5E-07 75%

Y166 124,68 0,5505 -0,0298 4E-04 -2E-06 4E-09 67%

Y168 93,950 -0,1077 0,0020 -6E-06 67%

Y180 66,69 -0,2551 0,0045 -1E-05 81%

Y181 107,93 -0,1974 0,0112 -9E-05 2E-07 80%

Y183 98,41 1,0174 -0,0346 4E-04 -2E-06 3E-09 65%

Tabela 5.6 Coeficientes da componente de tendência das séries mensais

aditivas (Eq. 5-8)

Os valores encontrados com base nessas séries temporais serão utilizados na

criação de séries artificiais. Os resultados serão apresentados na Subseção 5.5.

5.2.2.

Séries mensais com decomposição multiplicativa: parâmetros ‘𝑨/𝒔’, ‘𝒌’, ‘𝒃’ e coeficientes da componente de tendência

Nesta subseção são apresentados os parâmetros da componente sazonal das

séries mensais, com modelo multiplicativo, assim como o desvio-padrão da

componente irregular das séries. Também são apresentados os coeficientes da

componente de tendência dessas séries.

A Tabela 5.7 apresenta os parâmetros da componente sazonal das séries

mensais – nacionais e internacionais – com decomposição multiplicativa,

juntamente com o desvio-padrão da irregular. Para a identificação dos valores foi

utilizado o mesmo procedimento descrito na Subseção 5.2.1.

DBD




X6 108 30% 0,060 0,02500 2,4

nacional

X10 72 25% 0,080 0,01462 5,5

X38 60 40% 0,100 0,01850 5,4

X58 84 20% 0,400 0,00774 51,7

X63 84 20% 0,150 0,03477 4,3

X64 84 24% 0,100 0,00824 12,1

X71 72 22% 0,110 0,00853 12,9

X77 84 28% 0,012 0,00115 10,5

Y124 60 15% 0,150 0,00418 35,9

internacional

Y127 48 20% 0,080 0,00427 18,7

Y130 72 21% 0,110 0,00377 29,1

Y140 120 20% 0,030 0,00712 4,2

Y143 96 18% 0,140 0,02159 6,5

Y145 72 25% 0,025 0,00408 6,1

Y146 120 22% 0,025 0,00284 8,8

Y150 120 30% 0,030 0,00444 6,8

Y152 120 40% 0,025 0,00394 6,3

Y153 120 18% 0,075 0,01961 3,8

Y157 96 34% 0,015 0,01275 1,2

Y159 84 30% 0,005 0,00390 1,3

Y160 144 38% 0,010 0,00658 1,5

Y162 120 40% 0,008 0,00467 1,7

Y163 120 32% 0,005 0,00364 1,4

Y164 180 25% 0,008 0,00301 2,7

Y167 156 25% 0,006 0,00500 1,2

Y169 84 42% 0,016 0,01257 1,3

Y174 96 35% 0,016 0,00817 2,0

Y175 96 26% 0,008 0,00585 1,4

Y178 84 30% 0,010 0,00659 1,5

Y179 120 25% 0,011 0,00637 1,7

Y182 120 22% 0,010 0,00584 1,7

Y185 120 26% 0,010 0,00562 1,8

Tabela 5.7 Parâmetros das séries mensais multiplicativas, com sazonalidade

móvel (Eq. 5-3)

Os histogramas a seguir foram construídos para melhor visualização da

concentração de valores dos parâmetros ‘𝑏’, ‘𝐴/𝑠’ e ‘𝑘’; onde ‘𝑏’ representa a taxa

de variação da sazonalidade; ‘𝐴/𝑠’ indica a amplitude do sinal em relação ao

desvio-padrão da irregular; e ‘𝑘’ é o número de meses no qual o padrão de

sazonalidade móvel volta a se repetir, segundo o sinal artificial (ver Eq. 5-3).

Analisando os histogramas de cada parâmetro (Gráficos 5.6 a 5.8), nota-se

que a taxa ‘𝑏’ apresenta a maior parte dos valores entre 20% e 30%, sendo que 20%

está entre 35% e 45%.

DBD



Sobre a razão 𝐴/𝑠, a grande maioria das observações está nos valores abaixo

de 7.

Em relação ao ‘𝑘’, percebe-se uma concentração entre 72 e 96. E, com base

na Tabela 5.7, observa-se uma grande quantidade de observações no valor 120.

Gráfico 5.8 Histograma de ‘𝒌’ (Eq. 5-3) das séries mensais multiplicativas

0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,50

2

4

6

8

10

12

b1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

2

4

6

8

10

12

A/s

48 72 96 120 144 168 1920

2

4

6

8

10

12

k

Gráfico 5.7 Histograma de ‘𝑨/𝒔’ (Eq.

5-3) das séries mensais multiplicativas

Gráfico 5.6 Histograma de ‘𝒃’ (Eq. 5-

3) das séries mensais multiplicativas

Fre

quên

cia

abso

luta

Fre

quên

cia

abso

luta

Fre

quência

ab

solu

ta

DBD



Em se tratando da componente de tendência, gerada pelo X-13A-S, os

coeficientes estimados estão apresentados na Tabela 5.8. Analisando tal tabela,

nota-se que, na maioria dos casos, o polinômio de grau 3 é o que melhor se ajusta à

componente.

Série b0 b1 b2 b3 b4 b5 R²

X10 93,90 1,0797 -0,0387 0,001 -3E-06 7E-09 38%

X38 300,43 0,8901 -0,0246 2E-04 95%

X58 32,45 -0,0860 0,0031 99,8%

X6 76,30 0,3114 0,0028 1E-05 87%

X63 76,94 -1,6111 0,0197 -6E-05 98%

X64 44,33 -0,3087 0,0039 99%

X71 94,620 -0,0849 0,0045 -2E-05 91%

X77 96,90 -0,3640 0,0057 -2E-05 97%

Y124 129.109,00 860,4300 98%

Y127 28.263,00 42.543,0000 0,1576 99,5%

Y130 30.915,00 49,3660 0,1818 99,6%

Y140 2.491,30 45,3900 -0,6734 3,9E-03 -7E-06 69%

Y143 675,47 33,4190 -0,8471 8,5E-03 -4E-05 6E-08 61%

Y145 12.768,00 65,1050 -0,3083 8E-04 81%

Y146 37.689,00 125,3800 -0,1360 80%

Y150 107.588,00 65,2320 1,1238 92%

Y152 85.836,00 -5,1194 1,3846 94%

Y153 2.874,90 67,8540 -1,3886 9,4E-03 -2E-05 83%

Y157 72,73 -0,0736 0,0009 84%

Y159 91,30 0,4744 -0,0149 2E-04 -7E-07 1E-09 86%

Y160 91,62 -0,5864 0,0057 -1E-05 88%

Y162 93,46 0,8361 -0,0220 0,000 -9E-07 1E-09 48%

Y163 101,53 0,5890 -0,0193 2E-04 -9E-07 1E-09 71%

Y164 107,28 0,7533 -0,0246 3E-04 -1E-06 2E-09 83%

Y167 80,22 0,8233 -0,0260 3E-04 -1E-06 2E-09 91%

Y169 125,40 -0,2329 0,0004 54%

Y174 65,15 2,3818 -0,0635 7E-04 -3E-06 4E-09 69%

Y175 91,97 -0,0941 0,0014 -4E-06 65%

Y178 117,04 0,0047 -0,0012 4E-06 56%

Y179 98,220 0,0580 -0,0014 5E-06 43%

Y182 103,28 -0,8914 0,0304 -3E-04 1E-06 -2E-09 88%

Y185 144,47 -5,5528 0,1651 -2,1E-03 1E-05 -4E-08 81%

Tabela 5.8 Coeficientes da componente de tendência das séries mensais

multiplicativas (Eq. 5-8)

Nas duas próximas subseções serão apresentados os valores dos parâmetros

das séries reais trimestrais: aditivas e multiplicativas.

DBD



5.2.3.

Séries trimestrais com decomposição aditiva: parâmetros ‘𝑨/𝒔’, ‘𝒌’, ‘𝒃’ e coeficientes da componente de tendência

Apenas três séries trimestrais apresentaram modelo aditivo de decomposição.

Vale ressaltar que todas as séries temporais trimestrais analisadas são

internacionais, e as séries internacionais são conhecidas por ter uma prevalência de

padrão multiplicativo de decomposição. Isso se confirmou nesse conjunto de séries.

A Tabela 5.9 mostra as características dos sinais sazonais e do desvio-padrão

da irregular (𝑠). Percebe-se uma homogeneidade em relação aos valores dos

parâmetros ‘𝑘’ e ‘𝑏’. Nota-se que ‘𝑏’ apresenta valores altos, indicando um grau

elevado de variação da sazonalidade móvel.

Vale ressaltar que para a identificação dos valores foi utilizado o mesmo

procedimento descrito na Subseção 5.2.1.


Y47 44 50% 2000 370 5,4

internacional Y81 48 40% 1500 360 4,2

Y89 48 40% 4000 400 10,0

Tabela 5.9 Parâmetros das séries trimestrais aditivas, com sazonalidade móvel

(Eq. 5-2)

Os coeficientes estimados da componente de tendência gerada pelo X-13A-

S, para as séries trimestrais com modo de decomposição aditivo, estão apresentados

na Tabela 5.10. De acordo com essa tabela, constata-se que em duas séries o

polinômio do 2º grau se ajusta quase que perfeitamente à componente de tendência.

Série b0 b1 b2 b3 R²

y47 18.003,00 857,51 20,9860 99%

y81 48.631,00 532,07 26,3780 -0,2983 92%

y89 17.834,00 1.339,30 13,9220 98%

Tabela 5.10 Coeficientes da componente de tendência das séries trimestrais

aditivas (Eq. 5-8)

Na Subseção 5.2.4, a seguir, serão apresentados os valores dos parâmetros

das séries reais trimestrais multiplicativas.

DBD



5.2.4. Séries trimestrais com decomposição multiplicativa: parâmetros

‘𝑨/𝒔’, ‘𝒌’, ‘𝒃’ e coeficientes da componente de tendência

Para as séries trimestrais multiplicativas, os valores dos parâmetros do sinal

sazonal e do desvio-padrão da componente irregular (𝑠) estão apresentados na

Tabela 5.11. Assim como nos casos anteriores, para a identificação dos valores foi

utilizado o mesmo procedimento descrito na Subseção 5.2.1.


Y10 20 25% 0,050 0,00461 10,9

internacional

Y11 20 25% 0,060 0,00459 13,1

Y20 28 20% 0,060 0,00305 19,7

Y25 24 23% 0,025 0,00190 13,2

Y37 24 30% 0,032 0,00506 6,3

Y73 16 10% 0,045 0,00456 9,9

Y74 32 20% 0,042 0,00630 6,7

Y77 28 18% 0,038 0,00594 6,4

Y84 24 15% 0,036 0,00685 5,3

Y91 48 34% 0,036 0,00843 4,3

Y98 40 40% 0,013 0,00401 3,2

Y99 40 45% 0,030 0,00460 6,5

Y112 44 48% 0,012 0,00777 1,5

Y120 28 22% 0,050 0,00337 14,8

Tabela 5.11 Parâmetros das séries trimestrais multiplicativas, com

sazonalidade móvel (Eq. 5-4)

Os histogramas mostram os valores de ‘𝑏’ variando entre 10% e 50%, e mais

concentrados entre 20% e 30%. Já os valores da razão ‘𝐴/𝑠’ estão concentrados

entre 4 e 7. E, em relação ao parâmetro ‘𝑘’, nota-se uma frequência absoluta alta

entre 24 e 32, indicando que as séries levam de 6 a 8 anos para repetir o padrão

sazonal.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,60

1

2

3

4

5

6

7

b1 4 7 10 13 16 19 22

0

1

2

3

4

5

6

7

A/s

Gráfico 5.10 Histograma de ‘𝑨/𝒔’ (Eq. 5-

4) das séries trimestrais multiplicativas

Gráfico 5.9 Histograma de ‘𝒃’ (Eq. 5-4)

das séries trimestrais multiplicativas

Fre

quên

cia

abso

luta

Fre

quên

cia

abso

luta

DBD



Gráfico 5.11 Histograma de ‘𝒌’ (Eq. 5-4) das séries trimestrais multiplicativas

Em relação aos coeficientes estimados da componente de tendência gerada

pelo X-13A-S, para as séries trimestrais com decomposição multiplicativa, os

valores obtidos a partir do ajuste do polinômio de melhor adequação estão

apresentados na Tabela 5.12. Observa-se que na grande maioria das séries foi

necessário apenas um polinômio de grau 2 para se ajustar à componente de

tendência.

Série b0 b1 b2 b3 b4 R²

Y10 20.936,00 -92,14 35,7710 -0,408 99%

Y11 839.026,00 133.447,00 -616,6700 99%

Y112 1.906,70 -153,40 5,7311 95%

Y120 778.814,00 -17.339,00 2.375,9000 -74,852 0,7308 93%

Y20 88.897,00 3.338,00 14,3480 99%

Y25 1.000.000,00 6.859,00 389,6500 -4,091 99,2%

Y37 99.058,00 2.772,90 9,0691 96%

Y73 29.975,00 574,30 1,4187 94%

Y74 172.291,00 7.755,90 -9,1250 96%

Y77 5.864,10 221,30 -0,3204 91%

Y84 2.590,30 159,70 0,4119 95%

Y91 1.503,80 -23,41 3,8097 -0,036 95%

Y98 152.207,00 3.653,60 -302,0700 7,263 99%

Y99 131.646,00 457,56 19,9080 98%

Tabela 5.12 Coeficientes da componente de tendência das séries trimestrais

multiplicativas (Eq. 5-8)

16 24 32 40 48 560

1

2

3

4

5

6

7

k

Fre

quência

abso

luta

DBD



Nesta Subseção 5.2 foram apresentados os valores dos parâmetros

relacionados às componentes sazonal, de tendência e irregular, das séries nacionais

e internacionais. A partir da definição dos valores desses parâmetros, foram geradas

as séries simuladas, 𝑌𝑡, para serem submetidas ao filtro S-WLS.

Com a finalidade de avaliar o desempenho do filtro S-WLS, o ajuste sazonal

realizado por ele será comparado com o ajuste sazonal realizado pelo método X-11.

Para essa comparação, serão utilizadas algumas medidas de erro e a razão sinal

ruído (SNR) dos filtros. Sendo assim, a SNR dos filtros – proposto e X-11 – será

apresentada na Subseção 5.3, a seguir.

DBD



5.3. Razão Sinal Ruído (SNR)

A razão sinal ruído (SNR) é dada pela relação entre o valor quadrático médio

da amplitude do sinal e o valor quadrático médio da amplitude do erro de estimativa.

Ou, em outras palavras, a razão entre a potência do sinal e a potência do erro de

estimativa, como apresentada abaixo:

𝑆𝑁𝑅 =

𝑃𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙

𝑃𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎= (

𝐴𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙

𝐴𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)2

(5-9)

onde 𝑃 = potência e 𝐴 = amplitude.

A potência é definida como o valor quadrático médio da amplitude.

Devido à estrutura do filtro proposto, a métrica de desempenho adequada para

comparações é a razão sinal ruído. Nesse caso, o filtro será superior a outro, quando

a razão sinal ruído dele for maior do que a razão sinal ruído do outro.

A seguir, são definidas a SNR do filtro X-11 e a SNR do filtro proposto.

5.3.1. SNR do filtro equivalente ao método X-11 para extração da sazonalidade

Para calcular a razão sinal ruído do filtro X-11, foi calculada a resposta de

frequência desse filtro para cada combinação de tamanho do filtro Henderson e

tamanho da média móvel sazonal, utilizados pelo programa X-13A-S. Com base

nos resultados, foram obtidos a soma dos quadrados dos coeficientes do filtro, e os

valores – aqui chamados de β1 e β2 (futuramente ilustrados na Figura 5.2) –

equivalentes à interseção entre a resposta em magnitude do filtro e a largura ideal

da banda passante, para determinado nível de sazonalidade móvel.

Os valores utilizados referentes ao tamanho do filtro de Henderson e ao

tamanho da média móvel sazonal, para séries mensais, foram:

Henderson Média Móvel

Sazonal

9 3x3

13 3x5

23 3x9

Quadro 5.1 Tamanho do filtro de Henderson e média

móvel sazonal utilizados pelo X-11 para séries mensais

DBD



Com isso, foram realizadas nove combinações no total. Cada combinação

apresentou um resultado para a soma dos quadrados dos erros (SQE) (ver Apêndice

D), que juntamente com a variância da componente irregular, compõem o erro de

estimativa do filtro. O Quadro 5.2 apresenta os valores encontrados para as séries

mensais.

SQE X-11 Média Móvel Sazonal

3x3 3x5 3x9

Hen

der

son 9 0,199 0,144 0,090

13 0,205 0,147 0,0906

23 0,211 0,149 0,0912

Quadro 5.2 Valores da soma dos quadrados dos erros do

filtro X-11 para extração da sazonalidade de séries mensais

No caso das séries trimestrais, são usados filtro de Henderson de tamanhos 5

ou 7. O tamanho da média móvel sazonal é o mesmo usado para as séries mensais:

3x3, 3x5 ou 3x9. Sendo assim, existem seis combinações entre filtro de Henderson

e filtro de média móvel sazonal.

Para as séries trimestrais, os valores da soma dos quadrados dos erros do filtro

X-11, para a extração da sazonalidade, estão expostos no Quadro 5.3:

SQE X-11 Média Móvel Sazonal

3x3 3x5 3x9

Hen

der

son

5 0,1549 0,1145 0,0723

7 0,1631 0,1178 0,0734

Quadro 5.3 Valores da soma dos quadrados dos erros do

filtro X-11 para extração da sazonalidade de séries

trimestrais

Nota-se que quanto maior for o tamanho do filtro de Henderson e menor for

o tamanho da média móvel sazonal, maior é a SQE. Nota-se também que para os

tamanhos da média móvel sazonal 3x5 e 3x9, a SQE sofre pouca alteração com o

aumento do tamanho do filtro de Henderson – nas séries mensais e trimestrais. Os

valores da SQE são utilizados no cálculo da SNR (Eq. 5-9), assim como o tamanho

do filtro (𝑁).

DBD



O tamanho do filtro X-11 é calculado com base no tamanho do filtro de

Henderson, na média móvel sazonal, e no tamanho de outras médias móveis que o

X-11 utiliza. Intitulou-se ‘N’ para o tamanho do filtro X-11. O valor de ‘N’, para

cada combinação de tamanho do filtro de Henderson e de média móvel sazonal, está

apresentado a seguir, para séries mensais e trimestrais, nos Quadros 5.4 e 5.5

respectivamente. A explicação sobre o cálculo do tamanho do filtro está no

Apêndice C.

N Média Móvel Sazonal

3x3 3x5 3x9

Hen

der

son

9 117 141 189

13 121 145 193

23 131 155 203

Quadro 5.4 Valores do tamanho do filtro X-11, para séries mensais

N Média Móvel Sazonal

3x3 3x5 3x9

Hen

der

son

5 41 49 65

7 43 51 67

Quadro 5.5 Valores do tamanho do filtro X-11, para séries trimestrais

A seguir, no Gráfico 5.12, estão apresentadas as respostas em magnitude do

filtro X-11 para os três tipos de médias móveis sazonais (MMs), considerando filtro

de Henderson de 13 termos, e periodicidade mensal. Em relação à equação que

define a resposta em magnitude, ver Subseção 3.2.1.

Gráfico 5.12 Respostas em magnitude do filtro X-11 para diferentes MMs:

séries mensais. A linha contínua representa o filtro MMs 3x3; a linha tracejada

se refere ao filtro MMs 3x5; a linha pontilhada indica o filtro MMs 3x9


DBD



O Gráfico 5.12 ilustra o fato de que quanto menor for o tamanho do filtro de

média móvel sazonal, maior será a largura de banda passante, ou seja, mais ela é

indicada para sazonalidade móvel.

Como o grau de sazonalidade móvel é representado pela largura da banda

passante, para calcular a SNR do filtro é necessário encontrar o valor da resposta

em frequência, do filtro, para um grau de sazonalidade móvel determinado.

A Figura 5.2, a seguir, ilustra os valores da resposta em frequência do filtro,

para um dado grau de sazonalidade móvel. Chama-se de (1 − 𝛽) o desvio da

resposta da banda passante do filtro em relação à resposta ideal (no caso igual a 1).

Nessa figura, a linha tracejada representa o espectro do filtro equivalente ao X-11,

e a linha contínua representa a magnitude do espectro do filtro ideal para um

determinado grau de sazonalidade móvel, dado pelo valor de 𝛼:

Figura 5.2 Definição dos valores de β1 e β2 do filtro X-11

O espectro possui a banda de transição (don’t care band), a banda de rejeição

(stopband) e a banda passante (passband). O ideal é que a resposta em frequência

da banda de rejeição seja zero; e a da banda passante seja um. Como a largura da

banda passante ideal está definida com base no valor de ‘𝑘’ (ver Figura 5.1),

calculam-se os 𝛽𝑠 para cada ‘𝑘’, e nota-se que quanto mais acentuada for a

sazonalidade móvel (ou seja, valores baixos de ‘𝑘’), mais longe da ideal será a

resposta do filtro X-11.

DBD



A seguir são apresentados os valores de 𝛽 para diferentes valores de ‘𝑘’, de

um mesmo filtro X-11, para as séries mensais. Os valores de 𝛽 dependem da largura

da banda passante, assim como do tamanho dos filtros de Henderson e de média

móvel sazonal. Sendo assim, o Quadro 5.6 apresenta os valores de 𝛽 para o filtro

de Henderson de tamanho 9; o Quadro 5.7 apresenta os valores de 𝛽 para o filtro de

Henderson de tamanho 13; e o Quadro 5.8, para o Henderson de tamanho 23.

𝒌

Henderson 9

MMs 3x3 MMs 3x5 MMs 3x9

β1 β2 β1 β2 β1 β2

60 0,047 0,1447 0,0029 0,0082 0,0109 0,0289

72 0,1262 0,3098 0,0434 0,0958 0,0411 0,1020

84 0,2137 0,4563 0,11 0,22 0,0501 0,1183

96 0,27 0,58 0,16 0,35 0,04 0,07

120 0,40 0,78 0,29 0,59 0,04 0,14

144 0,55 0,85 0,46 0,69 0,21 0,28

168 0,63 0,91 0,55 0,79 0,33 0,43

192 0,67 0,96 0,60 0,87 0,40 0,59

216 0,71 0,96 0,65 0,87 0,47 0,59

240 0,78 1 0,74 0,94 0,61 0,74

264 0,78 1 0,74 0,94 0,61 0,74

288 0,78 1,03 0,74 0,99 0,61 0,86

300 a 450 0,85 1,03 0,83 0,99 0,74 0,86

≥ 450 0,92 1,03 0,90 1,02 0,86 0,95

Quadro 5.6 Valores de 𝜷 quando o tamanho do filtro de Henderson = 9, para

séries mensais

𝒌

Henderson 13


β1 β2 β1 β2 β1 β2

60 0,0570 0,1821 0,0035 0,0104 0,0131 0,0362

72 0,1418 0,3461 0,0487 0,1068 0,0462 0,1139

84 0,2324 0,4860 0,1195 0,2360 0,0546 0,1262

96 0,29 0,60 0,17 0,36 0,04 0,07

120 0,42 0,79 0,30 0,60 0,04 0,14

144 0,57 0,86 0,48 0,70 0,22 0,28

168 0,65 0,91 0,57 0,79 0,34 0,43

192 0,69 0,96 0,62 0,87 0,41 0,59

216 0,72 0,96 0,66 0,87 0,47 0,59

240 0,80 1 0,75 0,94 0,62 0,74

264 0,80 1 0,75 0,94 0,62 0,74

288 0,80 1,02 0,75 0,99 0,62 0,86

300 a 450 0,86 1,02 0,84 0,99 0,75 0,90

≥ 450 0,92 1,03 0,91 1,01 0,87 0,95

Quadro 5.7 Valores de 𝜷 quando o tamanho do filtro de Henderson = 13,

para séries mensais

DBD



𝒌

Henderson 23


β1 β2 β1 β2 β1 β2

60 0,1163 0,3066 0,007 0,0176 0,0264 0,0607

72 0,2325 0,4750 0,0791 0,1460 0,0768 0,1563

84 0,3384 0,5960 0,1735 0,2887 0,0799 0,1553

96 0,40 0,69 0,24 0,41 0,08 0,07

120 0,53 0,83 0,38 0,63 0,05 0,15

144 0,67 0,88 0,56 0,72 0,25 0,29

168 0,73 0,92 0,64 0,80 0,38 0,44

192 0,76 0,96 0,69 0,87 0,45 0,59

216 0,80 0,96 0,73 0,87 0,52 0,59

240 0,85 0,99 0,81 0,92 0,66 0,73

264 0,85 0,99 0,81 0,92 0,66 0,73

288 0,85 1,01 0,81 0,97 0,66 0,85

312 a 384 0,90 1,01 0,88 0,98 0,79 0,85

408 a 432 0,90 1,02 0,88 1 0,79 0,94

≥450 0,95 1,02 0,93 1 0,89 0,94


para séries mensais

Em se tratando das séries com periodicidade trimestral, os valores de 𝛽1 e 𝛽2,

para o filtro de Henderson de tamanhos 5 e 7, estão apresentados nos Quadros 5.9

e 5.10, respectivamente.

𝒌

Henderson 5


β1 β2 β1 β2 β1 β2

16 0,014 0,078 0,008 0,045 0,004 0,025

20 0,068 0,215 0,004 0,012 0,014 0,043

24 0,160 0,370 0,050 0,114 0,053 0,121

28 0,255 0,496 0,124 0,241 0,066 0,128

32 0,344 0,599 0,208 0,361 0,043 0,077

36 0,422 0,680 0,288 0,464 0,027 0,043

40 0,493 0,747 0,367 0,556 0,069 0,103

44 0,542 0,791 0,424 0,618 0,127 0,184

48 0,592 0,832 0,484 0,680 0,196 0,273

52 0,642 0,870 0,545 0,739 0,274 0,370

Quadro 5.9 Valores de 𝜷 quando o tamanho do filtro de Henderson = 5, para

séries trimestrais

DBD



𝒌

Henderson 7


β1 β2 β1 β2 β1 β2

16 0,032 0,126 0,018 0,073 0,010 0,040

20 0,117 0,309 0,007 0,018 0,024 0,061

24 0,236 0,473 0,073 0,146 0,077 0,155

28 0,343 0,590 0,167 0,286 0,088 0,153

32 0,436 0,677 0,263 0,407 0,055 0,087

36 0,513 0,743 0,350 0,506 0,033 0,047

40 0,581 0,796 0,433 0,592 0,081 0,109

44 0,626 0,830 0,490 0,649 0,146 0,192

48 0,671 0,862 0,549 0,704 0,221 0,282

52 0,715 0,891 0,607 0,756 0,305 0,378


para séries trimestrais

Sendo assim, observando os Quadros 5.6 a 5.10, percebe-se que os valores

dos 𝛽𝑠 dependem da largura da banda, enquanto que a SQE depende apenas do

tamanho do filtro de Henderson e do filtro de média móvel sazonal (MMs) (ver

Quadros 5.2 e 5.3).

Após calcular SQE , 𝛽1 e 𝛽2, pode-se calcular a razão sinal ruído do filtro X-

11 para diversas combinações de ‘𝐴’, ‘𝑏’ e ‘𝑘’ (descritos na Eq. 5-1). A SNR do

filtro X-11 é assim definida:

𝑆𝑁𝑅𝑋−11 =

𝐴2

2 +𝐴2𝑏2

4𝐴2𝑏2

4[(1 − 𝛽1)2 + (1 − 𝛽2)2]

2 + 𝑆𝑁0

=

𝐴2

2 (1 +𝑏2

2 )

𝐴2𝑏2

8 [(1 − 𝛽1)2 + (1 − 𝛽2)2] + 𝑆𝑁0

(5-10)

Onde:

S = Soma dos Quadrados dos coeficientes do filtro X-11 (SQE)

𝑁0 = variância da componente irregular (𝜎𝜀2).

DBD



5.3.2. SNR do filtro proposto para extração da sazonalidade

O cálculo da SNR do filtro proposto faz uso do somatório dos coeficientes do

filtro ao quadrado, e dos valores referentes à resposta em frequência na banda

passante. Tais valores serão chamados de gama zero (𝛾0), quando se referir à

resposta na frequência equivalente a 1/12, e gama 1 (𝛾1), que será a resposta de

frequência que mais se desviar do valor 1, no intervalo equivalente à largura de

banda. Os valores de 𝛾0 e 𝛾1, na resposta em magnitude do filtro proposto, estão

ilustrados na Figura 5.3.

Figura 5.3 Definição dos valores de 𝜸𝟎 e 𝜸𝟏 do filtro proposto

Os parâmetros necessários para o projeto do filtro S-WLS, em uma série

mensal, são: alpha (𝛼), delta (𝛿) e peso (wo), além do tamanho do filtro (𝑁) e do

fator de superamostragem (definidos na Subseção 4.2). Para obter os valores de 𝛾0,

𝛾1, e da soma dos quadrados dos coeficientes do filtro (𝑆𝑄), a magnitude da

resposta em magnitude do filtro S-WLS foi calculada para diversas combinações

desses parâmetros. Vale lembrar que o parâmetro 𝛼 guarda uma relação com o valor

𝑘. Essa relação será mostrada na próxima subseção.

Para cada combinação de 𝛼, 𝛿, wo e 𝑁, existem 𝑆𝑄 diferentes e 𝛾𝑠 diferentes.

O Gráfico 5.13, a seguir, mostra a relação entre o peso (wo) e: a 𝑆𝑄, o 𝛾0, e o valor

absoluto de (1 – 𝛾1); considerando 𝑁 = 145, 𝑘 = 72, 𝛼 = 1

3 e 𝛿 =

1

30 de uma série

mensal. Vale lembrar que neste projeto será utilizado o fator de superamostragem

(M) igual a 401, tanto para o filtro mensal quanto para o trimestral.

|𝟏 − 𝜸𝟏|

(𝜸𝟎)

𝜶𝟐𝝅

𝑵𝒔

DBD



Gráfico 5.13 Valores de SQ, 𝜸𝟎 e |𝟏 − 𝜸𝟏| para diversos pesos (𝐰𝐨)

Nota-se que à medida que o peso (wo) aumenta, o 𝛾0 se aproxima do valor 1,

e o (1 − 𝛾1) se aproxima de zero, indicando uma melhor adequação da banda

passante. Por outro lado, a 𝑆𝑄 cresce com o aumento do peso. Sendo assim, é

necessário encontrar um equilíbrio para a obtenção de um filtro com resultados

satisfatórios.

Quanto ao 𝛾1, ele pode ser maior ou menor do que 1, sendo que o valor 1 é o

valor ideal. Para os cálculos, o que é considerado é o valor absoluto da diferença

entre o 𝛾1 e o valor 1.

A relação entre os valores de 𝛾0, 𝛾1 e 𝑆𝑄 é analisada na SNR do filtro

proposto, que é dada por:

𝑆𝑁𝑅𝐹𝑖𝑙𝑡𝑟𝑜 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 =

𝐴2

2 +𝐴2𝑏2

4

𝑁0 𝑆𝑄 + (1 − 𝛾0)²𝐴²2 + (1 − 𝛾1)²

𝐴²𝑏²4

(5-11)

onde:

N0 = variância da componente irregular

𝑆𝑄 = soma dos quadrados dos coeficientes do filtro

(𝑆𝑄 . N0 + (1 − γ0)²A²

2+ (γ1 − 1)²

A²b²

4) é a potência (completa) do ruído do filtro

proposto.

Vale mencionar que essa SNR é válida para os dois filtros propostos nesta

tese: o S-WLS e o S-WLSC (a ser apresentado no Capítulo 6).

DBD



5.3.2.1.

Cálculo de 𝜶 com base em 𝒌

Define-se a largura da banda passante como Δf. E,

Δf = α . frequência fundamental

Em uma série temporal mensal, a frequência fundamental é igual a 1/12.

Logo,

Δ𝑓 = 𝛼 1

12 (5-12)

Como as raias espectrais têm que estar dentro da banda passante,

𝛼 ≥ 2 [1

𝑘

1

12⁄ ] (5-13)

onde 𝑘 = número de meses com que o padrão sazonal volta a se repetir, no sinal

artificial (Eq. 5-1).

Com isso, 𝛼 ≥24

𝑘.

Essa relação entre 𝑘 e 𝛼 pode ser melhor entendida na Figura 5.4, a seguir:

Figura 5.4 Espectro, na frequência, representando a relação entre 𝒌 e 𝜶 ,

para séries com periodicidade mensal

𝑫(𝝎)

𝝎

DBD



Para as séries temporais trimestrais, a frequência fundamental é igual a 1/4.

Sendo assim,

Δ𝑓 = 𝛼 1

4 (5-14)

Como as raias espectrais têm que estar dentro da banda passante,

𝛼 ≥ 2 [1

𝑘

1

4⁄ ] (5-15)

onde 𝑘 = número de trimestres com que o padrão sazonal volta a se repetir.

Com isso, 𝛼 ≥8

𝑘, para as séries trimestrais.

DBD



5.3.3. Razão entre a SNR do filtro proposto e a SNR do filtro X-11

A comparação entre a SNR do filtro proposto e a SNR do filtro X-11 indica

quando o primeiro supera o segundo. Isso ocorre quando SNRF_Proposto

SNRX−11> 1. Essa

razão entre as SNRs é válida para ambos os filtros propostos: S-WLS e S-WLSC (a

ser apresentado no Capítulo 6).

𝑆𝑁𝑅𝐹_𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑆𝑁𝑅𝑋−11

=

=

𝐴2

2+

𝐴2𝑏2

4

𝑁0 𝑆𝑄 + (1 − 𝛾0)²𝐴²2

+ (1 − 𝛾1)²𝐴²𝑏²

4𝐴2

2+

𝐴2𝑏2

4𝐴2𝑏2

8[(1 − 𝛽1)

2 + (1 − 𝛽2)2] + 𝑆𝑁0

⁄

(5-16)

𝑆𝑁𝑅𝐹_𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑆𝑁𝑅𝑋−11=

𝐴2𝑏2

8 [(1 − 𝛽1)2 + (1 − 𝛽2)

2] + 𝑆𝑁0

𝑁0 𝑆𝑄 + (1 − 𝛾0)²𝐴²2 + (1 − 𝛾1)²

𝐴²𝑏²4

(5-17)

Onde:

𝛾0 𝑒 𝛾1 = valores associados ao espectro de potência do filtro proposto

𝛽1 𝑒 𝛽2 = valores associados ao espectro de potência do filtro X-11

𝑆𝑄 = Soma dos Quadrados dos coeficientes do filtro proposto

𝑆 = Soma dos Quadrados dos coeficientes do filtro X-11

𝑁0 = variância da componente irregular (𝜎2)

𝑏 = taxa de variação da sazonalidade móvel

𝐴 = amplitude do sinal

Em se tratando do filtro S-WLS, o desafio é encontrar os parâmetros desse

filtro que fazem com que o resultado da razão, entre a SNR dele e a SNR do filtro

X-11, seja a maior possível. Para isso, foram testadas várias combinações dos

parâmetros, a fim de identificar qual dessas combinações deixa o filtro S-WLS

superior ao X-11. Esse procedimento foi realizado no software MATLAB, onde o

filtro foi desenvolvido (ver Apêndice K). A Subseção 5.4, a seguir, apresenta o

procedimento utilizado na escolha dos parâmetros do filtro S-WLS, assim como o

filtro escolhido para as séries mensais e para as séries trimestrais.

DBD



5.4. Seleção da melhor configuração do filtro S-WLS

Após a obtenção dos valores de ‘𝐴/𝑠’, ‘𝑏’ e ‘𝑘’, com base nas séries reais

(apresentadas na Subseção 5.2), buscou-se qual a combinação, entre δ e peso (wo),

tornava o filtro S-WLS mais competitivo frente ao X-11. Em relação ao parâmetro

α, relacionado à largura da banda passante, foi analisado o comportamento sazonal

das séries reais, mensais e trimestrais (ver Subseções 5.2.1 a 5.2.4). Foi constatado

que a maioria das séries reais mensais com sazonalidade móvel apresentou valor de

𝑘 > 72; e as trimestrais apresentaram 𝑘 > 24. Dado que 𝑘 guarda uma relação com

α, como apresentado nas Equações (5-13) e (5-15), definiu-se o valor α =1

3 a ser

utilizado no filtro.

O procedimento utilizado para a seleção dos valores dos parâmetros do filtro

proposto (S-WLS), mensal e trimestral, pode ser resumido em três etapas, da

seguinte forma:

Figura 5.5 Etapas do procedimento utilizado para a obtenção dos parâmetros

do filtro S-WLS

A seguir é apresentada a explicação das etapas presentes na Figura 5.5:

(3) 2ª seleção do melhor X-11 e filtro S-WLS - com base na MSE

(3.a) k aleatorizado entre dois valores típicos

(3.b) Identificação do X-11 com menor MSE

(3.c) Com base em (3.b), identificação do S-WLS com

menor MSE

(2) 1ª seleção do melhor X-11 e filtro S-WLS - com base na SNR

A partir dos sinais sazonais típicos, obteve-se o melhor X-11, e em seguida, o melhor S-WLS

(1) Construção da base de dados

(1.a) Filtro sazonal-WLS (S-WLS) (1.b) Filtro X-11

DBD



Etapa (1)

(1a) A magnitude da resposta em frequência do filtro S-WLS foi calculada para um

conjunto de valores dos parâmetros α, δ, w𝑜 e 𝑁. Esses passos estão detalhados nas

Subseções 5.4.1 e 5.4.2, para as séries mensais e trimestrais, respectivamente.

(1b) Além disso, foi calculada a magnitude da resposta em frequência de um filtro

equivalente ao X-11, a partir da sua resposta ao impulso. Isso foi feito para cada

tamanho do filtro de Henderson e de média móvel sazonal (MMs) usada pelo X-

13A-S. Como resultado, encontrou-se o valor de 𝑆𝑄, 𝛽1 e 𝛽2 (apresentados na

Subseção 5.3.1), necessários para o cálculo da SNR.

Etapa (2)

Foi criada uma planilha onde era possível atribuir valores para ‘𝐴’, ‘𝑠’, ‘𝑏’ e ‘𝑘’,

assim como para os coeficientes de tendência ‘b0’, ‘b1’, ‘b2’ e ‘b3’. Esses valores

foram baseados nos parâmetros das séries reais, obtidos na Subseção 5.2.

A base de dados gerada em (1a) e (1b) foi incorporada nesse arquivo e, para cada

conjunto de valores de ‘𝐴’, ‘𝑠’, ‘𝑏’ e ‘𝑘’, foi identificada a melhor configuração do

filtro X-11 (em termos de filtro de Henderson e MMs), ou seja, a configuração que

gerou a maior SNR do X-11. Com isso, encontrou-se o tamanho do filtro: ‘𝑁’.

Após ter definido o tamanho do filtro, buscou-se a configuração do filtro S-WLS

com a maior SNR. Porém, como foram testados vários valores de ‘𝐴’, ‘𝑠’, ‘𝑏’ e ‘𝑘’,

mais de uma combinação de parâmetros do filtro foi obtida. Ou seja, não houve

uma única combinação que fosse a melhor em todas as situações. Com isso, passou-

se para a Etapa (3), usando as melhores combinação de parâmetros obtidas nesta

Etapa (2).

Etapa (3)

Na Etapa (2) foram identificados os melhores conjuntos de parâmetros do filtro S-

WLS, mas era necessário escolher apenas um. Sendo assim, foi gerada uma série

com sazonalidade móvel e tendência, seguindo um polinômio de 3ª ordem. Em

seguida, foi identificada qual configuração do filtro X-11 gerava o menor MSE para

a estimativa da componente sazonal dessa série. A partir de então, usando o

tamanho do filtro definido pelo X-11, foram gerados 100 valores aleatórios para o

DBD



‘𝑘’, seguindo uma distribuição uniforme entre [72 e 120] para as séries mensais, e

[24 e 40] para as séries trimestrais. Todas as melhores configurações do filtro S-

WLS encontradas na Etapa (2) foram testadas, e tiveram o MSE comparado com o

MSE do X-11. A configuração que obteve o melhor resultado (menor MSE), em

comparação do com o X-11, foi a selecionada.

A seguir, nas Subseções 5.4.1 e 5.4.2, é apresentada a escolha do filtro S-

WLS para as séries mensais e trimestrais, respectivamente.

5.4.1. Definição do filtro S-WLS para as séries mensais

Com o objetivo de encontrar a combinação de parâmetros do filtro proposto

(S-WLS) que gerasse SNR superior à SNR do filtro X-11, procedeu-se às etapas

descritas na Figura 5.5.

Na Etapa (1.a), foram rodadas 8.748 possibilidades de variação nos

parâmetros do filtro. Os seguintes valores foram utilizados:

Denominador de 𝛂: [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];

Denominador de 𝜹: [4, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 60];

Peso da banda passante (𝐰𝟎):[0.02 0.05 0.1 0.3 0.5 0.8 1 5 10 15 20 25];

Tamanho do filtro (𝑵): [117, 121, 131, 141, 145, 155, 189, 193, 203];

Ao se calcular a resposta em magnitude do filtro, também se calculou o valor

da 𝑆𝑄 (soma dos quadrados dos coeficientes), do 𝛾0, que representa a resposta ao

impulso na frequência 1

12, e do valor absoluto da diferença máxima entre os pontos

da banda passante e o valor 1, que será chamado de |1 − 𝛾1|. Tais valores permitem

a realização do cálculo da SNR do filtro S-WLS, como apresentado na Equação (5-

11).

Também foram obtidos os valores de β1, β2 e da soma dos quadrados dos

coeficientes do filtro equivalente ao método X-11, necessários para o cálculo da

SNR do mesmo (Equação 5-10).

Na Etapa (2), foi obtido o valor da maior SNR do X-11 para as combinações

de valores testados dos parâmetros ‘𝐴’, ‘𝑠’, ‘𝑏’ e ‘𝑘’, definidos na Equação (5-1).

Também foi obtida a SNR do filtro S-WLS. Essa etapa está ilustrada na Figura 5.6.

DBD



Figura 5.6 Configuração do filtro mensal – X-11 e S-WLS – segundo a SNR

Com base nas SNRs, foram identificadas as oito melhores combinações de

parâmetros do filtro S-WLS. Esses valores estão apresentados na Tabela 5.13.

Porém, era necessária uma única melhor configuração.

Grupo 𝜶 𝜹 𝐰𝟎

1 1/3 1/10 1 2 1/3 1/10 5

3 1/3 1/10 10

4 1/3 1/4 0,8

5 1/3 1/30 1

6 1/3 1/30 10

7 1/3 1/60 10

8 1/3 1/60 25

Tabela 5.13 Configurações de parâmetros para o filtro S-WLS mensal

utilizadas na seleção do melhor filtro

Para a obtenção de uma única configuração de parâmetros, foram realizadas

– na Etapa (3) – simulações, nas quais foram gerados 100 valores aleatórios para

‘𝑘’ no intervalo uniforme [72 , 120], utilizando o MATLAB. Quanto à componente

irregular, foram geradas 30 séries seguindo uma distribuição N(0, 𝜎2), utilizando a

função randn do MATLAB. Nessas simulações, foi usado: 𝐴/𝑠 = 6 e 𝑏 = 40%.

Em relação ao valor de 𝜶, determinou-se que seria utilizado 𝜶 = 𝟏/𝟑, pois

equivale a uma largura da banda passante de pelo menos 1 ciclo a cada 72 meses

(ver Seção 5.4). Ou seja, para 𝑘 ≥ 72, o sinal estará dentro da banda passante. É

importante ressaltar que, neste projeto, existe a opção de trabalhar com diferentes

DBD



larguras da banda de transição, pois é permitido que as bandas (passante e de

transição) sejam definidas conforme desejado.

Com base na comparação entre a MSE (Eq. 5-18) dos filtros testados, foi

encontrado o melhor filtro S-WLS. Tal filtro apresenta a seguinte configuração:

𝜶 = 𝟏/𝟑, 𝜹 = 1/30 e 𝐰𝟎 = 𝟏.

A comparação entre os coeficientes do filtro S-WLS com o X-11 está

apresentada no Apêndice H.

Os Gráficos 5.14 e 5.15 apresentam a magnitude da resposta em frequência

do filtro de tamanho 121 e do filtro de tamanho 193, respectivamente. Como pode

ser observado nos gráficos, para cada tamanho (𝑁) (ver Quadro 5.4), a magnitude

da resposta em frequência do filtro apresenta aspectos, relacionados à banda

passante e à banda de rejeição, diferentes.

Gráfico 5.14 Resposta em magnitude do filtro S-WLS mensal para N = 121

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


DBD



Gráfico 5.15 Resposta em magnitude do filtro S-WLS mensal para N = 193

Foram obtidos os valores de 𝑆𝑄 , 𝛾0 e |1 − 𝛾1|, para cada tamanho do filtro

(𝑁). Eles serão utilizados no cálculo da SNR e estão apresentados na Tabela 5.14.

Analisando os valores de 𝑆𝑄 e 𝛾0, não foi observado um padrão em relação ao

tamanho do filtro. Porém, para |1 − 𝛾1|, nota-se que o valor diminui

consideravelmente nos filtros maiores.

N 𝑺𝑸 𝜸𝟎 |𝟏 − 𝜸𝟏|

117 0,335 0,946 0,205

121 0,342 0,969 0,165

131 0,342 0,969 0,167

141 0,342 0,978 0,163

145 0,337 1,017 0,141

155 0,336 1,014 0,138

189 0,331 1,030 0,158

193 0,335 1,009 0,118

203 0,335 1,010 0,119

Tabela 5.14 Valores de 𝑺𝑸, 𝜸𝟎 e |𝟏 − 𝜸𝟏| para os nove filtros mensais,

considerando 𝒌 = 72

A fim de comparar a resposta em magnitude do filtro S-WLS com a resposta

em magnitude do X-11, foram gerados os Gráficos 5.16 e 5.17. O Gráfico 5.16

apresenta as respostas em magnitude dos filtros de tamanho 121. Esse filtros têm

média móvel sazonal 3x3, que é o tamanho de média móvel sazonal mais indicada

para a sazonalidade móvel no X-11. Mesmo assim, observa-se que o filtro S-WLS

apresenta banda passante mais larga, garantindo um melhor ajuste.

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


DBD



Gráfico 5.16 Resposta em magnitude do filtro S-WLS e do filtro X-11 para

N=121, série mensal

Já o Gráfico 5.17 mostra as respostas em magnitude dos filtros de tamanho

193. No X-11, isso equivale a uma média móvel sazonal 3x9. Observa-se que a

resposta em magnitude do filtro X-11 tem largura de banda estreita, o que resultará

em erros grandes na estimativa da componente sazonal, caso haja instabilidade no

seu padrão.

Gráfico 5.17 Resposta em magnitude do filtro S-WLS e do filtro X-11 para

N=193, série mensal

Esta subseção 5.4.1 apresentou a definição do filtro S-WLS para as séries

mensais. Na próxima subseção será apresentada essa definição para as séries

trimestrais.

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Filtro Proposto

Filtro X-11

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Filtro Proposto

Filtro X-11



W S-WLS

S-WLS

DBD



5.4.2. Definição do filtro S-WLS para as séries trimestrais

O procedimento de seleção do melhor filtro trimestral foi realizado segundo

as etapas descritas na Figura 5.5, apresentada na Subseção 5.4.

Inicialmente, na Etapa 1, foram geradas possibilidades de variação nos

parâmetros do filtro: 𝜶, 𝜹 e 𝒘𝟎, para cada tamanho (𝑵). Os seguintes valores foram

utilizados, totalizando 4.536 possibilidades de combinação de parâmetros:

Denominador de 𝛂: [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8];

Denominador de 𝛅: [4, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 60];

Peso da banda passante (𝐰𝟎): [0,02 0,05 0,1 0,3 0,5 0,8 1 5 10 15 20 25];

Tamanho do filtro (𝑵): [41, 43, 49, 51, 65, 67];

Foram registrados, em cada combinação de parâmetros, o 𝜸𝟎 (que representa

a resposta ao impulso na frequência 𝟏

𝟒 ), o |𝟏 − 𝜸𝟏| (valor absoluto da diferença

máxima entre os pontos da banda passante e o valor 1) e a 𝐒𝐐. A partir deles, foi

criado um banco de dados, juntamente com o banco de dados do filtro X-11, com

os valores de 𝐒𝐐, 𝜷𝟎 e 𝜷𝟏. Vale citar que, no filtro X-11 para séries trimestrais, são

usados filtros de Henderson de tamanho 5 e 7.

Após a criação do banco de dados, foi identificada qual configuração do X-

11 gerava a maior SNR para um determinado padrão da série (Etapa 2). Em seguida,

com base no tamanho do filtro definido pelo X-11, foi encontrada qual combinação

de parâmetros do filtro S-WLS gerava a maior SNR. O procedimento utilizado para

a primeira seleção do filtro está ilustrado na Figura 5.7.

Figura 5.7 Configuração do filtro trimestral: X-11 e filtro S-WLS

DBD



Nessa 1ª seleção, foram testados vários valores de ‘𝐴’, ‘𝑠’, ‘𝑏’ e ‘𝑘’. Os três

melhores conjuntos de parâmetros encontrados para o filtro S-WLS trimestral estão

apresentados na Tabela 5.15, abaixo:

Grupo 𝜶 𝜹 𝒘𝟎

1 1/3 1/10 1

2 1/3 1/30 1

3 1/3 1/60 10

Tabela 5.15 Configurações de parâmetros para o filtro S-WLS trimestral

utilizadas na seleção do melhor filtro

Na etapa seguinte da escolha do filtro (Etapa 3), os resultados das três

melhores configurações de parâmetros foram comparados com os resultados do X-

11 em relação às medidas de erro: MSE e MAD. Para isso, no MATLAB, foram

construídos sinais sazonais, nos quais foram gerados 100 valores aleatórios para ‘𝑘’

no intervalo uniforme [24 , 40]. Quanto à componente irregular, foram geradas 30

séries seguindo uma distribuição N(0, 𝜎2), utilizando a função randn do MATLAB.

Nessas simulações, foi usado 𝐴/𝑠 = 6; e em relação à taxa de variação da

sazonalidade ‘𝒃’, foi usado o valor de 40%.

Quanto ao valor de 𝜶, foi determinado anteriormente (ver Seção 5.4) que seria

utilizado 𝜶 = 𝟏/𝟑, pois equivale a uma largura da banda passante de pelo menos 1

ciclo a cada 24 trimestres (𝑘=24). Ou seja, para 𝑘 ≥ 24, o sinal estará dentro da

banda passante. Dessa forma, as séries que tiverem um comportamento de

sazonalidade móvel forte (𝑘 pequeno) serão contempladas, assim como aquelas com

padrão mais suave. Porém, se 𝑘 < 24, a utilização do filtro S-WLS não é indicada.

Os resultados do filtro S-WLS, para as séries trimestrais, foram melhores do

que os do X-11 quando o filtro apresentava os seguintes parâmetros: 𝜶 = 𝟏/𝟑, 𝜹 =

1/30 e 𝒘𝟎 = 𝟏, assim como nas séries mensais. A comparação entre os coeficientes

do filtro S-WLS com o X-11 está apresentada no Apêndice I.

As respostas em magnitude, para o menor e o maior tamanho ‘𝑵’ do filtro,

podem ser verificadas nos Gráficos 5.18 e 5.19.

DBD



Para cada tamanho do filtro (𝑁), foram obtidos os valores de 𝑆𝑄 , 𝛾0 e |1 − 𝛾1|,

a serem utilizados no cálculo da SNR, definida na Equação (5-11). Os valores de

𝑆𝑄, 𝛾0 e |1 − 𝛾1| estão apresentados na Tabela 5.16. Para |1 − 𝛾1|, nota-se que o

valor diminui à medida que o tamanho do filtro aumenta, contribuindo para uma

SNR maior.

N 𝑺𝑸 𝜸𝟎 |𝟏 − 𝜸𝟏|

41 0,2790 0,9650 0,1716

43 0,2798 0,9656 0,1774

49 0,2761 1,0120 0,1478

51 0,2754 1,0123 0,1447

65 0,2736 1,0120 0,1228

67 0,2737 1,0121 0,1271

Tabela 5.16 Valores de 𝑺𝑸, 𝜸𝟎 e |𝟏 − 𝜸𝟏| para os seis filtros S-

WLS trimestrais, considerando 𝒌 = 24

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Gráfico 5.18 Resposta em magnitude

do filtro S-WLS trimestral para N = 41


do filtro S-WLS trimestral para N = 67

Frequência (ciclos por ano) Frequência (ciclos por ano)

DBD



Os Gráficos 5.20 e 5.21 apresentam a comparação entre a resposta em

magnitude do filtro S-WLS e a resposta em magnitude do X-11, para dois tamanhos

de filtro (𝑁 = 41 e 𝑁 = 67). O Gráfico 5.20 apresenta as respostas em magnitude

dos filtros de tamanho 41 – nesse caso, o X-11 utiliza média móvel sazonal 3x3,

que é o tipo de média móvel sazonal mais indicada para a sazonalidade móvel. Já

no Gráfico 5.21, estão as respostas em magnitude dos filtros de tamanho 67, no qual

o X-11 utiliza média móvel sazonal 3x9. Em ambos os casos observa-se que o filtro

S-WLS apresenta banda passante mais larga do que o X-11, garantindo uma melhor

extração da componente sazonal na presença de sazonalidade móvel.

Na Subseção 5.5, a seguir, serão apresentados os resultados da comparação

entre o filtro S-WLS, mensal e trimestral, e o filtro X-11, em relação à SNR e às

estatísticas de erro: MSE e MAD.

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Filtro Proposto

Filtro X-11

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Filtro Proposto

Filtro X-11


do filtro S-WLS e do filtro X-11 para

N=41, série trimestral


do filtro S-WLS e do filtro X-11 para

N=67, série trimestral


S-WLS S-WLS

DBD



5.5. Resultados: filtro S-WLS vs X-11

Após a escolha do filtro S-WLS para as séries mensais e trimestrais nas

Subseções 5.4.1 e 5.4.2, foram geradas séries artificiais com sazonalidade móvel,

seguindo os padrões das séries reais (ver Subseção 5.2), e procedeu-se à

dessazonalização delas, utilizando o filtro S-WLS e o filtro X-11. Os resultados

encontrados serão apresentados nas subseções a seguir. Inicialmente, na Subseção

5.5.1, é descrito o critério usado para a comparação entre o filtro S-WLS e o X-11.

5.5.1. Critério de comparação entre o filtro S-WLS e o filtro X-11

Para avaliar o desempenho do filtro sazonal-WLS, em relação ao filtro X-11,

foram geradas séries artificiais. A decisão de se trabalhar com séries artificiais foi

tomada uma vez que, como a componente sazonal é não observável, a forma

adequada de avaliar o desempenho do filtro é a partir de séries onde se conheça o

valor desejado.

Foram geradas séries cujos parâmetros estão descritos na Subseção 5.1. A

definição desses parâmetros foi baseada nas características de séries reais, com

sazonalidade móvel, apresentadas na Subseção 5.2. Dessa forma, as séries artificiais

se assemelham aos dados originais.

Nas comparações, inicialmente encontrou-se qual combinação entre o filtro

de Henderson e o tamanho do filtro de média móvel sazonal (MMs), do X-11,

gerava a menor MSE. A partir da definição desses valores, foi determinado o

mesmo tamanho para o filtro S-WLS – para cada um dos sinais artificiais. Isso foi

feito tanto para as séries mensais, quanto para as trimestrais.

A comparação dos resultados entre o filtro S-WLS e o X-11, realizada para

as séries com modo de decomposição aditivo, foi baseada na razão entre as SNRs

(Eq. 5-17), e nas estatísticas MSE (Mean Square Error) e MAD (Mean Absolute

Deviation). Essas estatísticas estão apresentadas nas Equações (5-18) e (5-19),

respectivamente.

𝑀𝑆𝐸 =1

𝑛∑(𝑆𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑂𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑆𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐴𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎)2

𝑛

𝑖=1

(5-18)

𝑀𝐴𝐷 =1

𝑛∑|𝑆𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑂𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑆𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐴𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎|

𝑛

𝑖=1

(5-19)

DBD



Para as séries com modo de decomposição multiplicativo, foram usadas – nas

comparações entre o filtro S-WLS e o X-11 – as estatísticas MSE e MAD, mas não

a SNR, pois não é possível construir a resposta em magnitude dos filtros.

O teste t, de igualdade de médias (𝜇) de duas populações com variâncias

equivalentes e desconhecidas, foi realizado para a comparação das estatísticas MSE

e MAD dos filtros, separadamente. Nesses testes, utilizou-se nível de significância

de 5%. As hipóteses testadas foram as seguintes:

{𝐻0: 𝜇S-WLS = 𝜇X-11

𝐻1: 𝜇S-WLS < 𝜇X-11

A estatística de teste é dada por:

𝑡calculado =(��S-WLS − ��X-11) − (𝜇S-WLS − 𝜇X-11)

√(1

𝑛S-WLS+

1𝑛X-11

) ��2

~ 𝑡(𝑛S-WLS+𝑛X-11-2) (5-20)

sendo:

��2 =(𝑛S-WLS − 1)𝑠S-WLS

2 + (𝑛X-11 − 1)𝑠X-112

𝑛S-WLS + 𝑛X-11 − 2

(5-21)

Onde:

��S-WLS = média da medida de erro (MSE e MAD) do filtro S-WLS

��X-11 = média da medida de erro (MSE e MAD) do filtro X-11

𝑠S-WLS2 = variância da medida de erro (MSE e MAD) do filtro S-WLS

𝑠X-112 = variância da medida de erro (MSE e MAD) do filtro X-11

𝑛S-WLS = quantidade de valores referentes ao desvio-padrão da irregular

aleatorizados para o cálculo da média da MSE, e da média da MAD, no filtro

S-WLS. Nesse caso, 𝑛S-WLS = 100

𝑛X-11= quantidade de valores referentes ao desvio-padrão da irregular

aleatorizados para o cálculo da média da MSE, e da média da MAD, no filtro

X-11. Nesse caso, 𝑛X-11 = 100

A apresentação dos resultados, a partir da Subseção 5.5.2, será realizada

inicialmente para as séries mensais aditivas, e em seguida para as séries

multiplicativas. Após isso, serão apresentados os resultados das séries trimestrais.

DBD



5.5.2. Resultados: série mensal com decomposição aditiva – filtro S-WLS vs X-11

Nesta Subseção 5.5.2, serão apresentados os resultados das comparações

entre o desempenho do filtro S-WLS e o desempenho do método X-11, nas séries

mensais com decomposição aditiva, sob diversos aspectos relacionados aos

parâmetros do sinal artificial. Nessas comparações, foi utilizado apenas o ‘melhor

filtro’, definido na Subseção 5.4.1, cuja configuração é a seguinte: 𝛼 =1

3, 𝛿 =

1

30 ,

w0 = 1 e M = 401.

Para comparar os resultados do filtro proposto (S-WLS) com o filtro X-11,

foram geradas séries com e sem componente de tendência. Nas séries com

componente de tendência, foram usados os coeficientes: b0 = 100, b1 = -0,2596, b2

= 0,0046 e b3 = -1E-5, baseados na série real X69.

Na elaboração da componente sazonal artificial, foram utilizados os seguintes

valores dos parâmetros 𝐴/𝑠, 𝑏 e 𝑘:

𝐴/𝑠 = [1, 2, 3, 4, 6, 8, 10]

𝑏 = [10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%]

𝑘 = [72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 180]

Em relação à componente irregular, foram geradas 100 séries, com

distribuição N(0,²), utilizando a função randn do MATLAB, para cada combinação

de parâmetros do sinal artificial.

A fim de avaliar as condições que fazem o filtro S-WLS superar o X-11, foi

analisada a razão sinal ruído (SNR), a média quadrática dos resíduos (MSE), e a

média absoluta dos erros (MAD), dos resíduos gerados pelos filtros. Isso foi feito

variando os parâmetros do sinal artificial, mencionados na Equação (5-1).

A análise dos resultados obtidos está apresentada da seguinte forma: no item

(i) é apresentado o resultado obtido com a variação de ‘𝑏’; o item (ii) expõe o

resultado da variação de ‘𝑘’; no item (iii) são apresentadas as variações de ‘𝐴/𝑠’ e,

por fim, no item (iv) são mostradas as condições nas quais o filtro S-WLS supera o

X-11, analisando os valores de ‘𝑏’, ‘𝑘’ e ‘𝐴/𝑠’, simultaneamente.

DBD



(i) Resultados encontrados com base na variação de ‘𝒃’: série mensal com

decomposição aditiva

O parâmetro ‘𝑏’ representa a taxa de variação da sazonalidade, assumindo

valores no intervalo (0,1). Nas séries reais mensais, com modelo aditivo de

decomposição, foi observada uma concentração dessas taxas entre os valores 10%

e 30%; e também entre 50% e 60%. O valor máximo encontrado, nessas séries, foi

𝑏 = 70%.

A seguir, os Gráficos 5.22 e 5.23 ilustram a comparação dos valores da MSE

e da SNR, respectivamente, entre o filtro S-WLS e o X-11. Nas comparações, foi

utilizado 𝐴/𝑠 = 6 e 𝑘 = 72.

A Tabela 5.17 mostra os dados utilizados na elaboração dos gráficos. Além

disso, é apresentado o valor-p, do teste t de comparação de médias, realizado entre

o filtro S-WLS e o X-11.

𝒃 MSE

S-WLS

MSE

X-11 valor-p

MAD

S-WLS

MAD

X-11 valor-p

SNR S-

WLS

SNR

X-11

SNR

S-WLS /

SNR X-11

10% 0,96 0,53 1,000 0,78 0,59 1,000 53,6 108,4 0,5

15% 1,00 0,82 1,000 0,80 0,73 1,000 49,8 61,0 0,8

20% 1,04 1,03 0,722 0,81 0,81 0,375 49,7 50,1 1,0

25% 1,05 1,28 0,000 0,82 0,91 0,000 49,5 40,9 1,2

30% 1,08 1,58 0,000 0,83 1,02 0,000 49,2 33,5 1,5

40% 1,14 2,35 0,000 0,85 1,25 0,000 48,6 23,3 2,1

50% 1,22 3,35 0,000 0,88 1,50 0,000 48,0 17,1 2,8

60% 1,29 4,53 0,000 0,90 1,75 0,000 47,2 13,2 3,6

70% 1,41 5,98 0,000 0,95 2,01 0,000 46,5 10,6 4,4

80% 1,50 7,60 0,000 0,98 2,27 0,000 45,7 8,8 5,2

Tabela 5.17 MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝒃’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 72:

séries mensais com decomposição aditiva (Eq. 5-1)

Gráfico 5.22 Média da MSE nas

simulações com o filtro X-11 e com o filtro

S-WLS, para valores de ‘𝒃’, considerando

𝑨/𝒔= 6 e 𝒌 = 72 (Eq. 5-1)

Gráfico 5.23 Relação entre ‘𝒃’ e a SNR

do filtro S-WLS e do filtro X-11,

considerando 𝑨/𝒔= 6 e 𝒌 = 72 (Eq. 5-1)

W

DBD



Analisando os resultados expostos nos Gráficos 5.22 e 5.23, e na Tabela 5.17,

constata-se que apenas para 𝑏 ≥ 25%, o ajuste realizado pelo filtro S-WLS se mostra

mais adequado do que o ajuste do X-11. Isso ocorre tanto para a SNR, quanto para

a MSE e a MAD, significando que o X-11 é superior quando a taxa de variação da

sazonalidade é pequena.

Por outro lado, quando a taxa de variação (𝑏) é igual a 40%, a SNR do filtro

S-WLS é maior do que o dobro da SNR do filtro X-11. E essa diferença aumenta à

medida que os valores de ‘𝑏’ crescem, atingindo a razão (SNR S-WLS

SNR X-11) igual a 4,4

quando 𝑏 = 70% (ou seja, a SNR do S-WLS é 4,4 vezes maior do que a SNR do X-

11 se a taxa de variação da sazonalidade é igual a 70%). Vale citar que esse valor

foi encontrado nas séries reais.

Observa-se também que, tanto em relação à SNR, quanto em relação ao MSE

e à MAD, os valores apresentados, referentes aos resultados do filtro S-WLS se

mantêm num mesmo patamar, enquanto que os valores referentes aos resultados do

X-11 variam exponencialmente. Isso indica que o filtro S-WLS está realizando uma

estimação correta da sazonalidade, uma vez que não ocorrem grandes variações

quanto o valor de ‘𝑏’ é alterado.

DBD



(ii) Resultados encontrados com base na variação de ‘𝒌’: série mensal com

decomposição aditiva

Para analisar o desempenho do filtro S-WLS, em comparação com o X-11,

com base na variação ‘𝑘’, foi fixado o valor de 𝑏 = 40% e razão 𝐴/𝑠 = 6.

Como o parâmetro ‘𝑘’ representa o número de meses no qual o padrão de

sazonalidade móvel volta a se repetir, quanto menor for o ‘𝑘’, mais instável será a

sazonalidade. Nas séries reais observou-se grande concentração de valores de ‘𝑘’

entre 84 e 108.

Os Gráficos 5.24 e 5.25 e a Tabela 5.18 apresentam os resultados obtidos nas

comparações entre o desempenho do filtro S-WLS, e o do X-11, para variações nos

valores de ‘𝑘’. Vale lembrar que o parâmetro ‘𝛼’ do filtro S-WLS é igual a 1

3, e com

base na relação entre ‘𝑘’ e ‘𝛼’, o menor valor de ‘𝑘’ tolerável para 𝛼 =1

3 é 72. Isso

pode ser notado pela maior relação entre a SNR do filtro S-WLS e a SNR do X-11

quando 𝑘=72. Nota-se, no entanto, que o filtro S-WLS mantém um nível satisfatório

de SNR para os demais valores de ‘𝑘’.

Observa-se, na Tabela 5.18 e nos Gráficos 5.24 e 5.25, que a partir de 𝑘 ≥

132, o filtro X-11 se mostra mais adequado para o ajuste sazonal. Isso porque 𝑘 ≥

132 equivale a um período de 11 anos necessários para o padrão de sazonalidade

móvel voltar a se repetir. Com isso, mesmo considerando 𝑏 =40%, a sazonalidade

móvel não se mostra muito forte. Por outro lado, para valores de ‘𝑘’ entre 72 e 120,

o filtro S-WLS apresenta um desempenho superior ao X-11.



S-WLS, para valores de ‘𝒌’, considerando

𝑨/𝒔= 6 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-1)

Gráfico 5.25 Relação entre ‘𝒌’ e a SNR


considerando 𝑨/𝒔= 6 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-1)

W

W

DBD



Vale ressaltar que, com a variação dos valores de ‘𝑘’, tanto a SNR, quanto a

MSE e a MAD dos resultados do filtro S-WLS se mantêm num mesmo patamar, ao

passo que os valores referentes aos resultados do X-11 variam linearmente.

𝒌 MSE

S-WLS

MSE

X-11 valor-p

MAD

S-WLS

MAD

X-11 valor-p

SNR S-

WLS

SNR

X-11

SNR

S-WLS /

SNR X-11

72 1,14 2,35 0,000 0,85 1,25 0,000 48,6 23,3 2,1

84 1,00 1,84 0,000 0,80 1,11 0,000 53,5 30,2 1,8

96 0,99 1,47 0,000 0,79 0,99 0,000 53,5 35,9 1,5

108 1,00 1,24 0,000 0,80 0,90 0,000 53,5 42,7 1,3

120 1,02 1,06 0,001 0,80 0,83 0,000 53,5 49,7 1,1

132 1,02 0,95 1,000 0,81 0,79 0,999 53,6 55,8 1,0

144 1,00 0,84 1,000 0,80 0,74 1,000 53,7 64,5 0,8

156 1,00 0,80 1,000 0,80 0,71 1,000 53,8 65,8 0,8

180 1,01 0,73 1,000 0,80 0,68 1,000 53,8 73,4 0,7

Tabela 5.18 MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝒌’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒃 = 40%:


DBD



(iii) Resultados encontrados com base na variação de ‘𝑨/𝒔’: série mensal

com decomposição aditiva

A razão entre a amplitude do sinal, dada por ‘𝐴’, e o desvio-padrão da

componente irregular, dado por ‘𝑠’, apresenta uma relação interessante com a SNR

dos filtros, como pode ser observado no Gráfico 5.27. Enquanto a SNR do filtro S-

WLS cresce exponencialmente, com o aumento de ‘𝐴/𝑠’, a SNR do X-11 cresce a

uma taxa de 24%, sendo bem menos acentuada.

Analisando a MSE, a MAD e a SNR (Tabela 5.19), do filtro S-WLS e do X-

11, para vários valores da razão ‘𝐴/𝑠’, nota-se que o filtro S-WLS já apresenta

resultados significativamente melhores do que o X-11 para valores baixos de ‘𝐴/𝑠’

(𝐴/𝑠 = 3). E essa superioridade se intensifica conforme aumentam os valor de

‘𝐴/𝑠’, ou seja, quanto maior for a amplitude do sinal em relação ao ruído.

Além disso, é interessante observar que, diferentemente dos casos anteriores,

em que havia variação dos parâmetros (‘𝑘’ e ‘𝑏’) e as medidas do filtro S-WLS se

mantinham num mesmo patamar, as variações nos valores de ‘𝐴/𝑠’ alteram,

fortemente, as medidas do filtro S-WLS.

𝑨/𝒔 MSE

S-WLS

MSE

X-11 valor-p

MAD

S-WLS

MAD

X-11 valor-p

SNR

S-WLS

SNR

X-11

SNR

S-WLS /

SNR X-11

2 8,45 6,69 1,000 2,08 2,31 1,000 6,4 9,5 0,7

3 3,88 4,01 0,008 1,61 1,58 0,001 13,6 13,3 1,0

4 2,34 3,09 0,000 1,42 1,22 0,000 23,5 17,7 1,3

6 1,14 2,35 0,000 1,25 0,85 0,000 48,6 23,3 2,1

8 0,69 2,07 0,000 1,18 0,66 0,000 77,8 26,2 3,0

10 0,51 1,96 0,000 1,15 0,57 0,000 107,7 27,8 3,9

Tabela 5.19 MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝑨/𝒔’, sendo 𝒌 = 72, 𝒃 = 40%:


Gráfico 5.27 Relação entre ‘𝑨/𝒔’ e a

SNR do filtro S-WLS e do filtro X-11,

considerando 𝒌= 72 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-1)



S-WLS, para valores de ‘𝑨/𝒔’,

considerando 𝒌= 72 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-1)

S-WLS

S-WLS

DBD



(iv) Condições nas quais as estatísticas do filtro S-WLS superam o filtro X-

11, segundo valores de ‘𝑨/𝒔’, ‘𝒃’ e ‘𝒌’: série mensal com decomposição

aditiva

A fim de avaliar as condições que fazem o filtro S-WLS superar o X-11,

foram comparadas as estatísticas dos filtros, para alguns parâmetros do sinal

artificial. Isso foi realizado com base na variação de ‘𝑏’, ‘𝑘’ e da razão ‘𝐴/𝑠’.

Para analisar os resultados, buscou-se identificar a partir de qual valor de ‘𝒃’

(taxa de variação da sazonalidade), o filtro S-WLS começa a superar o X-11, para

cada valor de ‘𝒌’ (número de meses no qual o padrão de sazonalidade móvel volta

a se repetir) e ‘𝑨/𝒔’ (amplitude do sinal em relação ao desvio-padrão da irregular).

Os resultados foram analisados com base nas estatísticas MSE, MAD e SNR.

O Quadro 5.11 apresenta os resultados para as séries sem tendência (Não) e

com tendência (Sim). O valor em cada célula, no corpo da tabela, indica a partir de

qual ‘𝒃’ o filtro S-WLS supera o X-11. Apenas os resultados dos testes cujo valor-

p < 5% foram considerados significativamente melhores. No quadro, todos os

valores-p não apresentados são menores do que 1%.

DBD



Quadro 5.11 MENSAL ADITIVO – Filtro S-WLS (α = 1/3, = 1/30, wo = 1) vs X-11: MSE, MAD e SNR. Valores de ‘𝒃’ a

partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11, para cada ‘𝒌’ e ‘𝑨/𝒔’. Séries com e sem tendência (Eq. 5-1)

𝒌 TENDÊNCIA

𝑨/𝒔

2 3 4 6 8 10

MSE MAD SNR MSE MAD SNR MSE MAD SNR MSE MAD SNR MSE MAD SNR MSE MAD SNR

48 NÃO

X X 70% 80% 50% 50% 60% 40% 40% 50% 30% 40% 25% SIM

60 NÃO

60% 50% 40% 30% 20% 15% 15% SIM

72 NÃO

60% 40% 30%

30% 25% 20% 15% SIM 40%

84 NÃO

70% 50% 40% 25% 20% 20% SIM

96 NÃO 80%

(valor-p: 0,04) 60% 50% 40% 30% 25% 20%

SIM

108 NÃO

X 70% 50% 40% 30% 25% 25% SIM

120 NÃO

X 80% 60% 40% 40% 30% 30%

25% SIM 30% 25%

132 NÃO

X X 70% 50% 40% 30%

30% SIM 40%

144 NÃO

X X 80% 60% 50% 40% 50%

40% SIM 50%

156 NÃO

X X X 80% 60% 50% 40% SIM

180 NÃO

X X X 80%

70% 60% 50% SIM 80% 70%

DBD



Analisando o Quadro 5.11, nota-se que quanto maior for a razão ‘𝐴/𝑠’, e

menor o valor de ‘𝑘’, o filtro S-WLS supera o X-11 a partir de valores baixos de

‘𝑏’, como 15%. Nota-se, também, uma consistência nos resultados obtidos da MSE,

MAD e SNR. Em poucos casos eles diferem, e ainda assim o resultado é próximo.

Em relação ao ajuste realizado pelo filtro S-WLS na presença de componente

de tendência, destaca-se a sua robustez, com base nos resultados obtidos para as

séries temporais com e sem tendência. Em apenas dois casos eles diferem em

relação ao MSE.

Quanto ao parâmetro ‘𝑘’, vale ressaltar que para os valores 48 e 60, o filtro

S-WLS não é indicado, pois 𝛼 = 1/3 contempla apenas 𝑘 ≥ 72. Com isso, notam-

se valores de ‘𝑏’ altos para 𝑘 = 48. Porém, para 𝑘 = 60, os resultados são

satisfatórios, levando a concluir que, ao ser comparado com o X-11, o filtro S-WLS

apresenta melhor desempenho. Isso ocorre devido à resposta em magnitude do filtro

S-WLS, pois esta apresenta bandas de transição caindo suavemente, o que pode

gerar bons resultados para séries com 𝑘 < 72.

Para ilustrar a razão entre a SNR do filtro S-WLS e a SNR do X-11, e os

parâmetros ‘𝑘’ e ‘𝐴/𝑠’, foram construídos os Gráficos 5.28 e 5.29. Quanto ao

Gráfico 5.28, observa-se que à medida que o valor de ‘𝑘’ aumenta, a taxa de

variação da sazonalidade (𝑏) precisa ser cada vez maior para o filtro S-WLS superar

o X-11. Já no Gráfico 5.29, nota-se que para 𝐴/𝑠=6 é necessário apenas 𝑏 = 25%

para o filtro S-WLS apresentar desempenho superior ao X-11.

Gráfico 5.28 Valores de ‘𝒃’ a partir do

qual o filtro S-WLS supera o X-11, na

SNR, para vários valores de ‘𝒌’,

considerando 𝑨/𝒔 = 6 (Eq. 5-1)



SNR, para vários valores de ‘𝑨/𝒔’,

considerando 𝒌 = 72 (Eq. 5-1)

DBD



5.5.2.1. Espectros da componente irregular: série mensal com decomposição aditiva

Uma outra forma de comparar a qualidade da extração da componente sazonal

realizada pelo filtro S-WLS, em relação ao X-11, é elaborar o espectro da

componente irregular, da série dessazonalizada (Hannan, 1964). Tais espectros

estão apresentados nos Gráficos 5.30 a 5.45, e foram construídos para diferentes

valores de ‘𝑘’ e ‘𝑏’. Quanto à razão ‘𝐴/𝑠’, foi utilizado o valor 6.

O motivo de analisar o espectro da irregular está no fato de que se o filtro

extrair a sazonalidade de forma adequada (ou seja, remover todo o efeito sazonal),

o espectro da irregular não apresentará picos nas frequências sazonais, ou próximos

a elas.

Os espectros foram elaborados considerando sinais sazonais com 𝑏 = 40%,

25% e 10%; e 𝑘 = 72 e 96. Quanto maior o valor de ‘𝑏’, e menor o valor de ‘𝑘’,

mais forte é a sazonalidade móvel. Vale mencionar que as séries artificiais não

apresentam componente de tendência.

Os gráficos 5.30 a 5.35 apresentam os espectros da irregular para séries com

𝑘 = 72, o que indica um grau de sazonalidade móvel forte, e tamanho de filtro (𝑁)

igual a 121. Tais filtros são adequados para o X-11, na dessazonalização de séries

com sazonalidade móvel, pois utilizam média móvel sazonal 3x3. Os gráficos estão

apresentados em pares, sendo o primeiro gráfico referente ao ajuste realizado pelo

filtro S-WLS, e o segundo referente ao ajuste realizado pelo método X-11.

DBD



Analisando os Gráficos 5.30 a 5.35, nota-se que os espectros da irregular cuja

série original foi dessazonalizada pelo X-11 apresentam picos próximos à

frequência 1

12, exceto para o caso em que 𝑏 =10%, que representa uma taxa pequena

de variação da amplitude sazonal. Já os espectros da irregular das séries

dessazonalizadas pelo filtro S-WLS não apresentam picos na frequência sazonal,

ou próximos a ela, indicando um ajuste sazonal adequado.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

Gráfico 5.30 Espectro da irregular da

série dessazonalizada pelo filtro S-WLS,

com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 40% e 𝑵 =121

Gráfico 5.31 Espectro da irregular

da série dessazonalizada pelo X-11,

com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 40% e 𝑵

=121


da série dessazonalizada pelo filtro S-

WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 25% e

𝑵 =121



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72 , 𝒃 = 25% e 𝑵

=121



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌=72, b= 10% e 𝑵 =121



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 10% e 𝑵 =121

Frequência (Ciclos por Mês) Frequência (Ciclos por Mês)



Picos próximos

à frequência

1/12

Picos próximos

à frequência

1/12

DBD



Os gráficos 5.36 a 5.41 apresentam os espectros da irregular para séries com

𝑘 = 96, indicando que o padrão sazonal se repete em 8 anos. Os pares de espectros

(S-WLS e X-11) mostram os resultados para 𝑏=40%, 25% e 10%, respectivamente.

Analisando os gráficos, quando 𝑘 = 96, os picos nos espectros do X-11

reduzem, porém, continuam presentes – exceto para o caso em que 𝑏 =10%.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 = 40% e 𝑵 =121



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 = 40% e 𝑵 =121


série dessazonalizada pelo filtro S-

WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 = 25% e 𝑵

=121

Gráfico 5.39 Espectro da

irregular da série dessazonalizada

pelo X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 =

25% e 𝑵 =121



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌=96, 𝒃 = 10% e 𝑵 =121



pelo X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 =

10% e 𝑵 =121




Picos próximos

à frequência

1/12

Pequenos picos

próximos à

frequência 1/12

DBD



Por fim, os Gráficos 5.42 a 5.45 apresentam os espectros da irregular para

séries com 𝑘 =180, que representa um grau baixo de sazonalidade móvel. Nesse

caso, apenas o espectro do X-11 referente a taxa de variação sazonal ‘𝑏’ igual a

40% apresenta um pequeno pico próximo à frequência 1

12.

Mais uma vez, os espectros relacionados à irregular do filtro S-WLS não

apresentam picos.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 180, 𝒃 = 40% e 𝑵 =121



pelo X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 180, 𝒃

= 40% e 𝑵 =121



pelo X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 180, 𝒃 =

10% e 𝑵 =121



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 180, 𝒃 = 10% e 𝑵 =121



Pequeno pico

próximo à

frequência 1/12

DBD



5.5.3. Resultados: série mensal com decomposição multiplicativa – filtro S-WLS vs X-11

No caso das séries mensais com modelo multiplicativo de decomposição,

pode-se optar por trabalhar com o logaritmo da mesma e utilizar o modelo aditivo

de decomposição; ou não transformar a série e seguir como descrito em Findley et

al. (1998). Optou-se aqui pela utilização do procedimento indicado em Findley et

al. (1998), uma vez que utilizar a transformação logarítmica, equivale a trabalhar

com o modelo aditivo de decomposição, que já foi tratado na Subseção 5.5.2. Além

disso, como ressaltado por Franses et al. (1998), no caso de sazonalidade

multiplicativa a transformação logarítmica altera a série de várias formas, ao

contrário de simplesmente remover a variação não-constante.

Recorda-se que em se tratando do modelo multiplicativo de decomposição

(𝑌 = 𝑇 × 𝑆 × 𝐼), a série temporal (𝑌) pode ser reescrita da seguinte forma (ver Eq.

5-5 a 5-7):

𝑌 = 𝑇 + 𝑇𝑆′ + 𝑇𝐼′ + 𝑇𝑆′𝐼′,

onde 𝑆′ = (𝑆 − 1) e 𝐼′ = (𝐼 − 1). Com isso, 𝑆′ e 𝐼′ têm média zero; enquanto 𝑆 e

𝐼 têm média igual a um. Vale ressaltar que 𝑇𝐼′ e 𝑇𝑆′𝐼′ têm espectro de irregular,

podendo ser tratadas como tal.

De acordo com a discussão relacionada à Eq. (5-7), a utilização do filtro

proposto para a extração da componente sazonal, no caso de decomposição

multiplicativa, foi realizada segundo o procedimento descrito a seguir.

(i) Aplica-se o filtro proposto na série original, para a extração da componente

sazonal. Porém, como a decomposição é multiplicativa, ele traz a tendência

junto com a sazonalidade, resultando em 𝑇𝑆′;

(ii) Subtrai-se, da série original (𝑌), o resultado 𝑇𝑆′, obtido em (i), donde

𝑌 = 𝑇 × 𝑆 × 𝐼 = 𝑇 × (𝑆′ + 1) × (𝐼′ + 1), resultando em:

𝑌 − 𝑇𝑆′ = 𝑇𝑆𝐼 − 𝑇𝑆′ =

𝑇(𝑆𝐼 − 𝑆′)

(iii) Com o resultado de (ii), aplica-se o filtro de Henderson. Consequentemente,

tem-se a componente de tendência (𝑇);

(iv) Por fim, divide-se o resultado de (i) pelo resultado obtido em (iii), e soma-

se uma unidade: [𝑇𝑆′

𝑇+ 1], obtendo-se a componente sazonal 𝑆.

A Figura 5.8 ilustra, mais detalhadamente, esse procedimento.

DBD



Figura 5.8 Procedimento utilizado para a obtenção da componente sazonal utilizando o filtro proposto (S-WLS), nas séries multiplicativas

O procedimento apresentado na Figura 5.8 pode ser detalhado da seguinte forma:

(i) Inicialmente aplica-se o filtro proposto na série original 𝑌.

(i’) A série resultante será 𝑇𝑆′, ou seja, Tendência x (Sazonalidade – 1), apresentada no gráfico (i’).

(ii) Subtrai-se 𝑇𝑆′ de 𝑌. O resultado é 𝑇[(𝑆′ + 1)𝐼 − 𝑆′], apresentado no gráfico (ii).

(iii) Aplica-se o filtro de Henderson em 𝑇[(𝑆′ + 1)𝐼 − 𝑆′].

(iii’) O resultado de (iii) é a componente de tendência 𝑇, apresentada no gráfico (iii’).

(iv) Por fim, faz-se [𝑇𝑆′

𝑇+ 1], e com isso tem-se a componente sazonal 𝑆.

(i)

Y

Aplicar o filtro S-WLS na série Y

(i')

Resultado:

T x S'

(ii)

Y - (i')

Y - [T x S'] = T[(S'+1)x I – S']

(iii)

Aplicar Henderson

no resultado de (ii)

(iii')

Resultado:

T

(iv)

Dividir:(i')/(iii')

[(T x S') /T]+1

para obter a sazonalidade

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40 (i’)

0

500

1000

1500

2000 (ii)

0

500

1000

1500

2000 (iii')(iii’)

0,98

0,99

1

1,01

1,02 (iv)

DBD



Ao utilizar esse procedimento de extração da componente sazonal, não é

possível obter os valores de 𝑆𝑄, assim como calcular os 𝛾𝑠, pois a resposta em

magnitude do filtro não pode ser reproduzida. Sendo assim, optou-se por trabalhar

com as medidas de erro: MSE (Eq. 5-18) e MAD (Eq. 5-19), para a comparação

dos resultados obtidos pelo filtro proposto e pelo filtro X-11, com base em séries

artificiais.

Na comparação dos resultados dos filtros, foram utilizados os seguintes

valores para o sinal sazonal artificial:

𝐴/𝑠 = [1, 2, 3, 4, 6, 8, 10]

𝑏 = [15%, 20%, 25%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%]

𝑘 = [72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 180]

Foram geradas séries com, e sem, componente de tendência. Nas séries com

componente de tendência, foram usados os coeficientes: b0 = 98,2, b1 = 0,058,

b2 = -0,0014 e b3 = 0,000005, obtidos na série Y179.

Em relação à componente irregular, foram geradas 100 séries, com

distribuição N(0,²), utilizando a função randn do MATLAB, para cada combinação

de parâmetros do sinal simulado. Com isso, calculou-se a média dos valores da

MSE e MAD, para as diversas combinações de parâmetros testadas.

Para a comparação das médias das medidas de erro (MSE e MAD) de cada

filtro, foi realizado o teste t, de igualdade de médias de duas populações com

variâncias desconhecidas e equivalentes (Eq. 5-20). No teste, utilizou-se α = 5%.

Nos itens a seguir são apresentados os resultados das comparações entre o

desempenho do filtro S-WLS e o desempenho do X-11, sob diversos aspectos

relacionados aos parâmetros do sinal artificial. Os resultados estão apresentados da

seguinte forma: o item (i) apresenta o resultado obtido com a variação de ‘𝑏’; no

item (ii) é exibido o resultado da variação de ‘𝑘’; o item (iii) compara o desempenho

dos filtros segundo as variações de ‘𝐴/𝑠’; e o item (iv) mostra as condições nas

quais o filtro S-WLS supera o X-11, para diversos valores de ‘𝑏’, ‘𝑘’ e ‘𝐴/𝑠’,

simultaneamente.

DBD



(i) Resultados encontrados com base na variação de ‘𝒃’: série mensal com

decomposição multiplicativa

Os resultados encontrados, a partir da variação do parâmetro ‘𝑏’, estão

apresentados no Gráfico 5.46. Para a confecção do gráfico, os valores da MSE

foram multiplicados por 106.

Gráfico 5.46 Média da MSE (x106) com o filtro X-11 e com o filtro S-WLS,

para valores de ‘𝒃’, considerando 𝑨/𝒔= 6 e 𝒌 = 72 (Eq. 5-3)

Analisando o Gráfico 5.46, nota-se um padrão quase que constante nos

resultados da MSE do filtro S-WLS, para os diversos valores de ‘𝑏’. Já a MSE do

filtro X-11 cresce exponencialmente à medida que aumenta a taxa de variação da

amplitude sazonal.

Vale citar que, a partir de 𝑏 = 20%, o ajuste sazonal realizado pelo filtro S-

WLS obtém MSE significativamente menor quando comparado ao X-11. Além

disso, para 𝑏 = 40%, a MSE do X-11 passa a ser maior do que o dobro da MSE do

filtro S-WLS. E, ao analisar as séries reais mensais com decomposição

multiplicativa, foi constatado uma grande quantidade delas com ‘𝑏’ entre 20% e

40%.

DBD



A Tabela 5.20 apresenta os dados originais que serviram para a construção

dos gráficos. Os valores se referem ao MSE e à MAD, do filtro S-WLS e do X-11,

para diversos valores de ‘𝑏’. Nessa análise, considerou-se 𝐴/𝑠 = 6 e 𝑘=72. A tabela

apresenta, também, o valor-p do teste t de comparação de médias.

𝒃 MSE S-WLS MSE X-11 valor-p MAD S-WLS MAD X-11 valor-p

15% 6,0E-06 5,8E-06 0,938 1,94E-03 2,0E-03 0,288

20% 6,3E-06 8,0E-06 0,000 2,01E-03 2,3E-03 0,000

25% 6,6E-06 8,0E-06 0,000 2,05E-03 2,3E-03 0,000

30% 6,6E-06 9,8E-06 0,000 2,05E-03 2,5E-03 0,000

40% 7,0E-06 1,5E-05 0,000 2,12E-03 3,1E-03 0,000

50% 7,6E-06 2,1E-05 0,000 2,20E-03 3,7E-03 0,000

60% 8,1E-06 2,8E-05 0,000 2,27E-03 4,4E-03 0,000

70% 8,6E-06 3,7E-05 0,000 2,35E-03 5,0E-03 0,000

80% 9,6E-06 4,8E-05 0,000 2,57E-03 5,7E-03 0,000

Tabela 5.20 MSE e MAD para valores de ‘𝒃’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 72: séries

mensais com decomposição multiplicativa (Eq. 5-3)

DBD



(ii) Resultados encontrados com base na variação de ‘𝒌’: série mensal com


O Gráfico 5.47 apresenta a média da MSE de cada filtro, para diversos valores

de ‘𝑘’, mantendo constantes a taxa ‘𝑏’ e a razão ‘𝐴/𝑠’.

Recorda-se que o parâmetro ‘𝑘’ indica o número de meses que o padrão de

sazonalidade móvel volta a se repetir. Nas séries reais, ‘𝑘’ aparece com mais

frequência entre 72 e 96, seguido de 120 a 144.

Novamente, percebe-se a MSE do filtro S-WLS mantendo-se num mesmo

nível para os diversos valores de ‘𝑘’, enquanto que a MSE do X-11 aumenta à

medida que o valor de ‘𝑘’ diminui. Isso mostra que os erros de ajuste do filtro X-

11 ficam maiores quando o grau de sazonalidade móvel aumenta.

Nota-se que para valores de 𝑘 ≥ 132, o filtro X-11 começa a apresentar MSE

menor do que o filtro S-WLS. Porém, destaca-se que a diferença entre as MSEs dos

filtros, para 𝑘 ≥ 132, não são tão grandes se comparadas à diferença em relação aos

valores baixos de ‘𝑘’. Por exemplo, para 𝑘 = 156, a MSE do filtro S-WLS é 26%

maior do que a MSE do X-11, mas para 𝑘 = 84, a MSE do X-11 é 72% maior do

que a MSE do filtro S-WLS. Isso mostra que quando o X-11 é melhor, ele é um

pouco melhor; mas quando é pior, ele é muito pior.


para valores de ‘𝒌’, considerando 𝑨/𝒔= 6 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-3)

DBD



Os dados utilizados na construção do Gráfico 5.47 estão apresentados na

Tabela 5.21, a seguir. A tabela contém os resultados da MSE e MAD, do filtro S-

WLS e do X-11, para diversos valores de ‘𝑘, considerando 𝐴/𝑠=6 e 𝑏=40%. Além

disso, a tabela apresenta o valor-p do teste de comparação de médias.

𝒌 MSE S-WLS MSE X-11 valor-p MAD S-WLS MAD X-11 valor-p

72 7,0E-06 1,5E-05 0,000 2,12E-03 3,1E-03 0,000

84 6,4E-06 1,1E-05 0,000 2,02E-03 2,8E-03 0,000

96 6,4E-06 9,3E-06 0,000 2,01E-03 2,5E-03 0,000

108 6,2E-06 7,7E-06 0,000 1,98E-03 2,3E-03 0,000

120 6,3E-06 6,6E-06 0,003 2,01E-03 2,1E-03 0,000

132 6,5E-06 6,1E-06 1,000 2,03E-03 2,0E-03 0,994

144 6,2E-06 5,2E-06 1,000 1,98E-03 1,8E-03 1,000

156 6,3E-06 5,0E-06 1,000 2,00E-03 1,8E-03 1,000

180 6,4E-06 4,6E-06 1,000 2,01E-03 1,7E-03 1,000

Tabela 5.21 MSE e MAD para valores de ‘𝒌’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒃 = 40%: séries

mensais com decomposição multiplicativa (Eq. 5-3)

DBD



(iii) Resultados encontrados com base na variação de ‘𝑨/𝒔’: série mensal

com decomposição multiplicativa

Os resultados obtidos com base na razão entre a amplitude do sinal, dada por

‘𝐴’, e o desvio-padrão da componente irregular, dado por ‘𝑠’, estão ilustrados no

Gráfico 5.48. Nessa análise, utilizou-se 𝑘 = 72 e 𝑏 = 40%.

Assim como observado no caso das séries mensais com decomposição

aditiva, o MSE do filtro S-WLS apresenta redução mais acentuada, do que o MSE

do X-11, à medida que a razão ‘𝐴/𝑠’ aumenta.

Percebe-se também que para 𝐴/𝑠 > 3, o resultado do filtro S-WLS já supera,

de forma significativa, o filtro X-11.


para valores de ‘𝑨/𝒔’, considerando 𝒌 = 72 e 𝒃 = 40% (Eq. 5-3)

Na Tabela 5.22, estão expostos os dados referentes ao Gráfico 5.48. Os

valores se referem à MSE e à MAD, do filtro S-WLS e do X-11, para diversos

valores de ‘𝐴/𝑠’, considerando a taxa de variação da sazonalidade (𝑏) igual a 40%,

e o número de meses, no qual o padrão de sazonalidade móvel volta a se repetir (𝑘),

igual a 72.

𝑨/𝒔 MSE S-WLS MSE X-11 valor-p MAD S-WLS MAD X-11 valor-p

2 5E-05 4E-05 1,000 6E-03 5E-03 1,000

3 2E-05 4E-05 0,000 4E-03 5E-03 0,000

4 1E-05 2E-05 0,000 3E-03 4E-03 0,000

6 7E-06 1E-05 0,000 2E-03 3E-03 0,000

8 4E-06 1E-05 0,000 2E-03 3E-03 0,000

10 3E-06 1E-05 0,000 1E-03 3E-03 0,000

Tabela 5.22 MSE e MAD para valores de ‘𝑨/𝒔’, sendo 𝒌 = 72, 𝒃 = 40% (Eq.

5-3): séries mensais com decomposição multiplicativa

f

ff

ff

ff

ff

DBD



(iv) Condições nas quais a MSE e a MAD do filtro S-WLS são melhores do

que o X-11, segundo valores de ‘𝑨/𝒔’, ‘𝒃’ e ‘𝒌’: série mensal com


O Quadro 5.12 apresenta o resultado dos testes para as séries sem tendência

(Não) e com tendência (Sim). O valor em cada célula, no corpo da tabela, indica a

partir de qual ‘𝒃’ o filtro S-WLS supera o X-11, em relação à MSE e à MAD – com

base na variação de diversos valores de ‘𝑘’ e ‘𝐴/𝑠’.

Nos testes realizados, apenas os resultados com valor-p < 5% foram

considerados significativamente melhores. No Quadro 5.12, todos os valores-p

encontrados foram menores do que 1%.

𝒌 TENDÊNCIA

𝑨/𝒔

2 3 4 6 8 10

MSE MAD MSE MAD MSE MAD MSE MAD MSE MAD MSE MAD

48 NÃO

X X 80% 60% 50% 40% 50%

40% SIM 50%

60 NÃO

60% 40% 30% 20% 15% 15% SIM

72 NÃO

50% 40% 25% 20% 15% 15% SIM

84 NÃO

50% 40% 30% 25% 20% 15%

15% 15% SIM 20%

96 NÃO

X 80%

60% 50% 30% 25% 20% SIM X

108 NÃO

X 70% 50% 40% 30% 25% SIM

120 NÃO

X 80% 60% 40% 40% 30% 30% 25%

SIM 30%

132 NÃO

X X 70% 50% 40% 30%

SIM 40% 30%

144 NÃO

X X 80% 60% 50% 40%

40% SIM 50%

156 NÃO

X X X 60%

50% 40% SIM 70% 60%

180 NÃO

X X X 80%

60% 50% SIM 80% 70%

Quadro 5.12 MENSAL MULTIPLICATIVO – Filtro S-WLS (α=1/3, =1/30, wo = 1)

vs X-11: MSE e MAD. Valores de ‘𝒃’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11,

para cada ‘𝒌’ e ‘𝑨/𝒔’ (Eq. 5-3). Séries com e sem tendência

DBD



Analisando o Quadro 5.12, constata-se que para 60 ≤ 𝑘 ≤ 120, o filtro S-

WLS se mostra superior ao X-11, para valores de ‘𝑏’ razoáveis, como 40% (quando

𝐴/𝑠=6). Além disso, há sempre uma possibilidade do desempenho do ajuste sazonal

realizado pelo filtro S-WLS ser melhor do que o X-11, se 𝐴/𝑠 ≥ 2.

Considerando os valores de ‘𝑘’ acima de 120, o filtro S-WLS também

apresenta resultados melhores do que o X-11, mas isso ocorre somente quando ‘𝑏’

e ‘𝐴/𝑠’ são altos. Ressalta-se que quanto menor o ‘𝑘’, melhor é o desempenho do

filtro S-WLS em relação ao X-11. A exceção é 𝑘 = 48 e 𝑘 = 60, pois a banda

passante do filtro S-WLS não é suficiente para ajustar sazonalidades com essa

variação. Porém, o filtro S-WLS se mostrou adequado no caso de 𝑘 = 60, devido ao

fato da banda de transição não ter um caimento retilíneo.

Os Gráficos 5.49 e 5.50 foram elaborados com base no Quadro 5.12. Neles, é

possível notar o valor mínimo de ‘𝒃’ a partir do qual o MSE do filtro S-WLS passa

a ser inferior ao MSE do X-11.

No Gráfico 5.49, nota-se que considerando 𝐴/𝑠 =6, e 𝑘=72 ou 𝑘=84, basta a

taxa de variação da sazonalide (𝑏) ser igual a 20% para o desempenho do filtro S-

WLS superar o X-11. Recorda-se que nas séries reais, analisadas na Subseção 5.2.2,

constatou-se um grande número de séries com tais valores de ‘𝑘’.

Já em relação ao Gráfico 5.50, a análise é realizada por meio da variação dos

valores de ‘𝐴/𝑠’, mantendo fixo o valor de ‘𝑘’ igual a 72. Observa-se que, para 𝐴/𝑠

≥ 4, o filtro S-WLS necessita apenas de 𝑏 = 25% para superar o X-11. E, nas séries

reais, foi encontrada uma grande concentração de valores de ‘𝑏’ entre 25% e 30%.



MSE, para valores de ‘𝒌’, considerando

𝑨/𝒔 = 6 (Eq. 5-3)



MSE, para vários valores de ‘𝑨/𝒔’,

considerando 𝒌 = 72 (Eq. 5-3)

DBD



Portanto, existem situações reais plausíveis para o filtro S-WLS superar o X-

11 em termos da qualidade do ajuste sazonal nas séries com algum grau de

sazonalidade móvel.

5.5.3.1. Espectros da componente irregular: série mensal com decomposição multiplicativa

Para analisar a qualidade da extração da componente sazonal realizada pelo

filtro S-WLS, em relação ao X-11, foram elaborados os espectros da componente

irregular da série ‘Y’ dessazonalizada pelos filtros. Os espectros estão apresentados

nos Gráficos 5.51 a 5.62. Eles são apresentados em pares, sendo o primeiro gráfico

referente ao ajuste realizado pelo filtro S-WLS, e o segundo gráfico referente ao

ajuste realizado pelo X-11.

Os espectros foram gerados considerando a dessazonalização de séries

artificiais com 𝑏 = 40%, 25% e 10%; e 𝑘 = 72 e 96. A razão ‘𝐴/𝑠’ utilizada, nessas

séries, foi igual a 6. Vale citar que na construção dos espectros, foi usado o

logaritmo neperiano da série dessazonalizada, multiplicado por 10 (U.S. Census

Bureau, 2012).

Os Gráficos 5.51 a 5.56 apresentam os espectros para séries com 𝑘 = 72,

significando que o padrão de sazonalidade móvel leva 6 anos para se repetir; e

tamanho de filtro (𝑁) igual a 121. Essas séries foram geradas sem a componente de

tendência.

Nota-se que, quando ‘𝑏’ é igual a 40% ou 25%, o espectro da irregular da

série dessazonalizada pelo X-11 apresenta picos próximos à frequência 1

12 (Gráficos

5.52 e 5.54). Isso evidencia que na presença de sazonalidade móvel, quando a taxa

de variação da sazonalidade é maior do que 25%, o filtro X-11 realiza um sub-

ajustamento (underfitting) da sazonalidade. Ou seja, ele não tem capacidade de

realizar uma extração adequada da componente sazonal, deixando parte dela migrar

para a irregular.

Já nos Gráficos 5.51 e 5.53 – que equivalem ao ajuste sazonal realizado pelo

filtro S-WLS, não se observam picos próximos à frequência fundamental. Esse fato

DBD



comprova que o filtro S-WLS realiza um ajuste sazonal correto quando a série

apresenta sazonalidade móvel.

Os Gráficos 5.55 e 5.56, mostram o espectro da irregular das séries

dessazonalizadas pelo filtro S-WLS e pelo X-11, respectivamente, quando 𝑏 =10%.

Nesse caso, o filtro X-11 não apresenta picos relevantes no espectro, assim como o

filtro S-WLS, indicando uma correta dessazonalização, dos dois métodos, quando

a taxa de variação da sazonalidade é baixa.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40



WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 40% e

𝑵 =121



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 40% e 𝑵

=121



WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 25% e

𝑵 =121



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72 e 𝒃 = 25% e 𝑵

=121



WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌=72, 𝒃 = 10% e

𝑵 =121



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 72, 𝒃 = 10% e 𝑵

=121




Picos próximos

à frequência

1/12

Picos próximos

à frequência

1/12

DBD



Considerando séries artificiais com 𝑘 = 96, o que significa que o padrão de

sazonalidade móvel leva 8 anos para se repetir, foram construídos os espectros da

irregular das séries dessazonalizadas pelo filtro S-WLS e pelo X-11. Eles estão

apresentados nos Gráficos 5.57 a 5.62.

Assim como no caso anterior, foram geradas séries com 𝑏 = 40%, 25% e 10%.

A razão ‘𝐴/𝑠’ utilizada foi igual a 6. E, para a dessazonalização, foi usado o

tamanho de filtro igual a 121, sem componente de tendência.

Os gráficos 5.58 e 5.60, apresentam os espectro relacionados às séries

dessazonalizadas pelo X-11 (com 𝑏 = 40% e 25%, respectivamente), e mostram

grandes picos próximo à frequência fundamental 1

12. Nota-se que esses picos têm

largura menor do que os anteriormente apresentados (quando 𝑘 =72: Gráficos 5.52

e 5.54).

Quando 𝑏 =10%, o que indica uma taxa baixa de variação sazonal, o espectro

do X-11 apresenta um único pequeno pico próximo à frequência 1

12. Com isso,

conclui-se que o X-11, já consegue realizar um ajuste adequado, para valores baixos

de ‘𝑏’.

Nos espectros da irregular das séries dessazonalizadas pelo filtro S-WLS, não

são observados picos na frequência fundamental 1

12, ou próximos a ela. Sendo

assim, conclui-se que para os diversos valores testados de ‘𝑏’ e ‘𝑘’, o filtro S-WLS

apresentou um bom desempenho no que tange ao ajuste sazonal, enquanto que o X-

11 realiza um ajuste adequado apenas para valores pequenos de ‘𝑏’.

DBD



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40


da série dessazonalizada pelo filtro

S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 =

40% e 𝑵 =121



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 = 40% e 𝑵

=121



S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 =

25% e 𝑵 =121



pelo X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 =

25% e 𝑵 =121



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌=96, 𝒃 = 10% e 𝑵 =121



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 96, 𝒃 = 10% e 𝑵

=121




Picos próximos

à frequência

1/12

Picos

próximos à

frequência

1/12

Pequeno pico

próximo à

frequência 1/12

DBD



Caso houvesse a componente de tendência na série (baseados em y149), e

fosse utilizado o filtro S-WLS, os espectros da irregular gerados seriam os

seguintes:

Com base na análise dos Gráficos 5.63 a 5.66, onde foram considerados

valores de ‘𝑘’ igual a 72 e 96, e valores de ‘𝑏’ igual a 10% e 40%, percebe-se o

correto ajuste sazonal realizado pelo filtro S-WLS, também quando há tendência na

série.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40



S-WLS, com tendência, e: 𝑨/𝒔

=6,5; 𝒌= 72; 𝒃 = 40% (N=121)




=6,5; 𝒌=96; 𝒃 = 40% (N=121)





=6,5; 𝒌= 72; 𝒃 = 10% (N=121)


da série dessazonalizada pelo

filtro S-WLS, com tendência, e:

𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 96; 𝒃 = 10% (N=121)

Frequência (Ciclos por Mês)


DBD



5.5.4. Resultados: série trimestral com decomposição aditiva – filtro S-WLS vs X-11

Para comparar os resultados do ajuste sazonal realizado pelos filtros (S-WLS

e X-11), nas séries trimestrais aditivas, foram utilizados os seguintes valores para o

sinal sazonal artificial:

𝐴/𝑠 = [1, 2, 3, 4, 6, 8, 10]

𝑏 = [5%, 10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%]

𝑘 = [16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 80]

Foram geradas séries com e sem tendência. Nas séries com componente de

tendência, foram usados os seguintes valores para os coeficientes do polinômio:

b0 = 48.631, b1 = 532,07, b2 = 26,378 e b3 = -0.2983, baseados na série y81.

Em relação à componente irregular, geraram-se 100 séries, com distribuição

N(0,²), com base no desvio-padrão da irregular das séries reais. E, assim como nos

casos anteriores, o teste t de igualdade de médias de duas populações, com

variâncias desconhecidas e equivalentes, foi realizado para o MSE e o MAD dos

filtros. Nesse teste, utilizou-se nível de significância de 5%. Além disso, foi

calculada a razão entre a SNR do filtro S-WLS e a SNR do X-11.

Como mencionado na Subseção 5.4.2, a configuração do filtro utilizado foi a

seguinte: 𝜶 = 𝟏/𝟑, 𝜹 = 1/30 e 𝒘𝟎 = 𝟏.

A seguir serão apresentados, nos itens (i), (ii), (iii) e (iv), os resultados das

situações em que o filtro aqui proposto (S-WLS) apresenta desempenho superior ao

X-11. Essa análise foi realizada com base na variação dos parâmetros do sinal

artificial (Eq. 5-2).

DBD



(i) Resultados encontrados com base na variação de ‘𝒃’: série trimestral

aditiva

Como mencionado anteriormente, o parâmetro ‘𝑏’ representa a taxa de

variação da sazonalidade, assumindo valores no intervalo (0,1). Analisando o

comportamento desse parâmetro, nas séries reais, foram encontrados valores entre

40% e 50%. Sendo assim, mesmo realizando os testes para os demais valores de

‘𝑏’, a análise será direcionada para 𝑏 < 50%.

O Gráfico 5.67, a seguir, mostra a relação entre o valor de ‘𝑏’ e a MSE

resultante da aplicação do filtro S-WLS e do filtro X-11. Analisando o gráfico, nota-

se que a MSE do filtro S-WLS não se altera de forma relevante com o aumento ‘𝑏’,

enquanto que a MSE do X-11 apresenta um crescimento acentuado. Além disso,

destaca-se que quando 𝑏 = 50%, a MSE do X-11 é 3 vezes maior do que a MSE do

filtro S-WLS, indicando uma melhor adequação deste.

Quanto ao Gráfico 5.68, observa-se que quanto maior for o valor de ‘𝑏’, maior

é a SNR do filtro S-WLS em relação à SNR do X-11. Nota-se, também, que a SNR

do filtro S-WLS sofre pouca alteração com a variação de ‘𝑏’, enquanto que a SNR

do X-11 apresenta uma forte queda. Ainda em relação à SNR, a partir de 𝑏 = 20%,

a SNR do filtro S-WLS supera o X-11. Vale lembrar que esse resultado está

relacionado ao valor de ‘𝑘’, além da razão ‘𝐴/𝑠’ que serão analisados nos próximos

itens.



S-WLS, para valores de ‘𝒃’, considerando

𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 24 e 𝑵 = 43 (Eq. 5-2)

Gráfico 5.68 Relação entre ‘𝒃’ e a SNR


considerando 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 24 e 𝑵 = 43 (Eq.

5-2)

DBD



A tabela 5.23, apresenta os dados referentes aos Gráficos 5.67 e 5.68. Além

disso, são apresentados os valores referentes ao MAD, dos filtros. Constata-se que

a partir de 𝑏 = 25%, a MSE e a MAD do filtro S-WLS passam a ser

significativamente menores do que essas medidas do X-11 – considerando 𝐴/𝑠 = 6

e 𝑘 = 24.

𝒃 MSE

S-WLS

MSE

X-11 valor-p

MAD

S-WLS

MAD

X-11 valor-p

SNR S-

WLS

SNR

X-11

SNR S-

WLS /

SNR X-11

10% 0,28 0,18 1,000 0,42 0,33 1,000 65,2 122,7 0,53

15% 0,31 0,25 1,000 0,45 0,40 1,000 59,2 72,7 0,81

20% 0,32 0,32 0,225 0,45 0,45 0,216 58,8 57,7 1,02

25% 0,32 0,41 0,000 0,45 0,51 0,000 58,2 45,8 1,27

30% 0,34 0,52 0,000 0,46 0,57 0,000 57,6 36,7 1,57

40% 0,35 0,78 0,000 0,47 0,69 0,000 56,1 24,8 2,26

50% 0,38 1,14 0,000 0,49 0,82 0,000 54,4 17,9 3,05

60% 0,41 1,56 0,000 0,51 0,95 0,000 52,7 13,6 3,87

70% 0,45 2,07 0,000 0,53 1,09 0,000 50,9 10,9 4,69

80% 0,51 2,66 0,000 0,56 1,23 0,000 49,2 9,0 5,48

Tabela 5.23 MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝒃’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 24

(Eq. 5-2): séries trimestrais com decomposição aditiva (𝑵 =43)

DBD



(ii) Resultados encontrados com base na variação de ‘𝒌’: série trimestral


Ao comparar o desempenho do filtro S-WLS, com o X-11, variando os

valores do parâmetro ‘𝑘’, foram mantidos constantes os parâmetros ‘𝑏’ e ‘ 𝐴/𝑠’. O

tamanho do filtro utilizado foi 43. O filtro de tamanho 43, no método X-11, utiliza

média móvel sazonal 3x3, que é a mais indicada no caso de sazonalidade móvel.

O Gráfico 5.69 apresenta a média do MSE de cada filtro, para vários valores

de ‘𝑘’, onde nota-se que a MSE do filtro S-WLS sofre pouca alteração com a

variação de ‘𝑘’. Vale destacar que, quando 𝑘 = 24, a MSE do filtro S-WLS é um

pouco maior do que as demais MSEs, relacionadas aos outros valores de ‘𝑘’. Isso

ocorre porque o filtro utiliza 𝛼 =1

3, que corresponde a 𝑘 = 24. Sendo assim, a

resposta de frequência do filtro não está totalmente adequada devido à proximidade

do sinal nas bordas da banda passante. Mesmo assim, o desempenho do filtro S-

WLS, para 𝑘 = 24, é superior ao do filtro X-11.

O filtro X-11 apresenta desempenho melhor do que o filtro S-WLS para 𝑘 ≥

44; tanto em relação à SNR (Gráfico 5.70) quanto em relação à MSE (Gráfico 5.69).

O valor de 𝑘 = 44 equivale a 11 anos necessários para o padrão de sazonalidade

móvel voltar a se repetir, o que representa um grau baixo de sazonalidade móvel.



S-WLS, para valores de ‘𝒌’, considerando

𝑨/𝒔= 6 e 𝒃 = 40% (𝑵 =43)

Gráfico 5.70 Relação entre ‘𝒌’ e a SNR


considerando ‘𝑨/𝒔’= 6 e 𝒃 = 40% (𝑵 =43)

S-WL

DBD



A Tabela 5.24 mostra os valores utilizados nos Gráficos 5.69 e 5.70. Além

disso, são apresentados os resultados referentes à estatística MAD. Nessa tabela,

observa-se que o comportamento do MAD está consistente com o comportamento

da MSE e da SNR.

Com base nos resultados, conclui-se que mesmo o X-11 sendo melhor em

alguns casos, o filtro S-WLS mantém sempre um bom desempenho.

𝒌 MSE

S-WLS

MSE

X-11 valor-p

MAD

S-WLS

MAD

X-11 valor-p

SNR S-

WLS

SNR

X-11

SNR S-

WLS /

SNR X-11

24 0,35 0,78 0,000 0,47 0,69 0,000 56,1 24,8 2,26

28 0,31 0,60 0,000 0,44 0,61 0,000 63,7 32,7 1,95

32 0,30 0,47 0,000 0,44 0,55 0,000 63,7 41,6 1,53

36 0,30 0,38 0,000 0,43 0,49 0,000 63,7 50,9 1,25

40 0,30 0,32 0,002 0,44 0,45 0,000 63,7 60,8 1,05

44 0,31 0,28 1,000 0,44 0,42 1,000 63,8 68,3 0,93

48 0,31 0,25 1,000 0,44 0,40 1,000 64,0 76,3 0,84

80 0,28 0,16 1,000 0,42 0,32 1,000 69,7 127,5 0,55

Tabela 5.24 MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝒌’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒃 = 40%


DBD



(iii) Resultados encontrados com base na variação de ‘𝑨/𝒔’: série trimestral


Os resultados referentes à variação da razão ‘𝐴/𝑠’ estão ilustrados nos

Gráficos 5.71, 5.72 e na Tabela 5.25. Nessa análise, foi mantido ‘𝑏’ igual a 40% e

‘𝑘’ igual a 24. Essa combinação de valores dos parâmetros ‘𝑏’ e ‘𝑘’, indicam um

grau elevado de sazonalidade móvel.

Com base nos resultados, percebe-se que a partir de ‘𝐴/𝑠’ igual a 3, o filtro

S-WLS já mostra um desempenho significativamente melhor do que o X-11. Isso

ocorre, possivelmente, devido ao alto grau de sazonalidade móvel que está sendo

considerado.

É interessante notar, no Gráfico 5.72, que com o aumento da razão ‘𝐴/𝑠’, ou

seja, com o aumento da amplitude do sinal sazonal em relação ao desvio-padrão da

componente irregular, ambos os filtros mostram um crescimento no valor da SNR.

No entanto, o crescimento da SNR do filtro S-WLS é muito mais acentuado do que

o crescimento da SNR do X-11.

𝐴/𝑠 MSE

S-WLS

MSE

X-11 valor-p

MAD

S-WLS

MAD

X-11 valor-p

SNR S-

WLS

SNR

X-11

SNR S-

WLS /

SNR X-11

2 2,61 2,10 1,000 1,29 1,16 1,000 7,5 9,3 0,81

3 1,21 1,29 0,000 0,88 0,90 0,000 16,4 15,3 1,07

4 0,70 1,00 0,000 0,67 0,79 0,000 27,9 19,7 1,42

6 0,35 0,79 0,000 0,47 0,69 0,000 56,1 24,8 2,26

8 0,23 0,72 0,000 0,38 0,65 0,000 86,8 27,3 3,18

10 0,17 0,68 0,000 0,33 0,63 0,000 116,1 28,6 4,06

Tabela 5.25 MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝑨/𝒔’, sendo 𝒌 = 24, 𝒃 = 40%


Gráfico 5.72 Relação entre ‘𝑨/𝒔’ e a

SNR do filtro S-WLS e do filtro X-11,

considerando 𝒌 = 24 e 𝒃 = 40% (𝑵 =43)



S-WLS, para valores de ‘𝑨/𝒔’,

considerando 𝒌 = 24 e 𝒃 = 40% (𝑵 =43)

S-WLS

DBD



(iv) Condições nas quais as estatísticas do filtro S-WLS superam o filtro X-

11, segundo valores de ‘𝑨/𝒔’, ‘𝒃’ e ‘𝒌’: série trimestral com decomposição

aditiva

Com o propósito de avaliar as condições que deixam o desempenho do filtro

S-WLS melhor do que o desempenho do X-11, para diversas combinações de

valores dos parâmetros 𝑏’, ‘𝑘’ e ‘𝐴/𝑠’, foram comparadas a SNR, MSE e MAD dos

resultados obtidos com a aplicação dos filtros.

Nessa análise, buscou-se identificar a partir de qual valor da taxa de variação

da sazonalidade ‘𝒃’, o filtro S-WLS passa a superar o X-11, para cada valor de ‘𝒌’

(número de trimestres no qual o padrão de sazonalidade móvel volta a se repetir) e

‘𝑨/𝒔’ (amplitude do sinal em relação ao desvio-padrão da irregular). Esses

parâmetros estão descritos na Equação (5-2).

O Quadro 5.13 apresenta os resultados dessa análise para as séries sem

tendência (Não) e com tendência (Sim). Os valores das células, no corpo da tabela,

indicam o valor mínimo de ‘𝒃’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11.

Apenas os resultados dos testes cujo valor-p < 5% foram considerados como

significativamente melhores. No quadro, todos os valores-p não apresentados são

menores do que 0,001.

DBD



𝒌 TENDÊNCIA

𝑨/𝒔

2 3 4 6 8 10

MSE MAD SNR MSE MAD SNR MSE MAD SNR MSE MAD SNR MSE MAD SNR MSE MAD SNR

16 NÃO

X X X 70% 60% 50% 50% 40% 40% 35% SIM

20 NÃO

60% 40% 30% 20% 15% 15% SIM

24 NÃO

60% 40% 30% 30% 20% 20% 15% SIM

28 NÃO

70% 50% 40% 25% 20% 20% SIM

32 NÃO

80% 60% 40%

(valor-p: 0,01) 30% 25% 20%

SIM

36 NÃO

X 70% 50% 40% 30% 25% SIM

40 NÃO

X 80% 60% 40%

(valor-p: 0,004) 40% 30%

SIM

44 NÃO

X X 70% 50% 40% 40% 30% SIM

48 NÃO

X X 80% 60% 50% 50% 40% 40% SIM

80 NÃO

X X X X X X 80%

X SIM 80%

Quadro 5.13 TRIMESTRAL ADITIVO – Filtro S-WLS vs X-11 (S-WLS: = 1/3, = 1/30, wo = 1): MSE, MAD e SNR.

Valores de ‘𝒃’ a partir do qual o filtro S-WLS supera o X-11, para cada ‘𝒌’ e ‘𝑨/𝒔’ (Eq. 5-2). Séries com e sem tendência

DBD



Os gráficos 5.73 e 5.74 ilustram alguns dos resultados obtidos no Quadro

5.13.

Analisando o Gráfico 5.73, nota-se que a partir de 20% no valor ‘𝑏’, a MSE

do filtro S-WLS passa a ser inferior à MSE do X11, quando ‘𝑘’ é igual a 24. Esse

valor apresenta uma taxa baixa de variação da amplitude sazonal.

Em relação à ‘𝐴/𝑠’, no Gráfico 5.74, tem-se que para valores a partir de 6, o

filtro S-WLS apresenta melhores resultados, em relação ao X-11, se ‘𝑏’ for maior

ou igual 20%.

Essas constatações indicam que o filtro S-WLS se mostra superior ao X-11

mesmo quando o grau de sazonalidade móvel não é elevado.

Gráfico 5.73 Valores de ‘𝒃’ a partir

do qual o filtro S-WLS supera o X-11,

na SNR, para vários valores de ‘𝒌’,

considerando 𝑨/𝒔 = 6 e 𝑵 = 43



SNR, para vários valores de ‘𝑨/𝒔’,

considerando 𝒌 = 24 e 𝑵 = 43

DBD



5.5.4.1. Espectros da componente irregular: série trimestral com decomposição aditiva

Foram elaborados os espectros da componente irregular da série ‘Y’

dessazonalizada pelos filtros S-WLS e X-11. Eles estão apresentados nos Gráficos

5.75 a 5.90.


artificiais com 𝑏 = 40%, 25% e 10%; para valores de ‘𝑘’ iguais a 24, 32 e 80.

Recorda-se que quanto maior for a taxa de variação sazonal ‘𝑏’, e menor for o valor

de ‘𝑘’, mais forte é o grau de sazonalidade móvel. Nessa análise foi utilizada a razão

𝐴/𝑠 = 6, e não foi utilizada a componente de tendência.

No processo de dessazonalização foi utilizado o filtro de tamanho 43. Tal

filtro é o mais indicado para o X-11, quando as séries apresentam sazonalidade

móvel.

Os gráficos são apresentados em pares, sendo o primeiro referente ao ajuste

realizado pelo filtro S-WLS, e o segundo referente ao ajuste realizado pelo método

X-11.

Inicialmente, os Gráficos 5.75 a 5.80 apresentam os espectros da irregular

para séries com 𝑘 = 24, indicando que o padrão de sazonalidade móvel leva 6 anos

para se repetir. Esse valor de ‘𝑘’ é o que representa a maior largura da banda

passante, dentre as testadas. Nos Gráficos 5.76 e 5.78, nota-se que o espectro do X-

11 apresenta picos próximos à frequência 1

4 , quando ‘𝑏’ é igual a 40% e 25%. Esses

valores de ‘𝑏’ representam as maiores taxas de variação sazonal. Com os picos, fica

evidente que, na presença de sazonalidade móvel e com a taxa de variação sazonal

acima de 25%, o filtro X-11 realiza um sub-ajustamento da sazonalidade.

Quando 𝑏 =10%, ou seja, quando a taxa de variação sazonal é baixa, o filtro

X-11 já não apresenta picos relevantes no espectro (Gráfico 5.80), indicando que

ele consegue realizar um bom ajuste sazonal na série.

Nos espectros da irregular das séries dessazonalizadas pelo filtro S-WLS

(Gráficos 5.75, 5.77 e 5.79), não se observam picos fortes na frequência sazonal,

ou próximos a ela, indicando um ajuste sazonal adequado.

DBD



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 40% e 𝑵 =43



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 40% e 𝑵

=43



pelo filtro S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6,

𝒌= 24, 𝒃 = 25% e 𝑵 =43



pelo X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 =

25% e 𝑵 =43



WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24 e 𝒃 = 10%

e 𝑵 =43



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 10% e 𝑵

=43

Frequência (Ciclos por Trimestre) Frequência (Ciclos por Trimestre)



Picos próximos

à frequência

1/4

Picos próximos

à frequência

1/4

DBD



Os Gráficos 5.81 a 5.86 apresentam os espectros da irregular para séries com

𝑘 = 32. Isso significa que o padrão de sazonalidade móvel leva 8 anos para se

repetir. Nos Gráficos 5.82 e 5.84, observa-se que os picos próximos à frequência

1/4 são menores, se comparados aos picos quando 𝑘 = 24. Porém, eles ainda são

relevantes.

Novamente, quando 𝑏 =10%, ou seja, quando a taxa de variação sazonal é

baixa, o filtro X-11 não apresenta picos relevantes no espectro (Gráfico 5.86),

indicando que ele consegue realizar um bom ajuste sazonal.

Como ocorrido anteriormente (quando 𝑘 = 24), os espectros da irregular das

séries dessazonalizadas pelo filtro S-WLS não possuem picos fortes na frequência

sazonal, ou próximos a ela, indicando que o filtro S-WLS realizou um ajuste sazonal

correto. Esses espectros estão apresentados nos Gráficos 5.81, 5.83 e 5.85.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300



S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 =

40% e 𝑵 =43



pelo X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 =

40% e 𝑵 =43



pelo filtro S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6,

𝒌= 32, 𝒃 = 25% e 𝑵 =43



pelo X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 =

25% e 𝑵 =43



Picos próximos

à frequência

1/4

Picos próximos

à frequência

1/4

DBD



Os espectros da irregular das séries que possuem 𝑘 = 80 (Gráficos 5.87 a 5.90)

não apresentam quaisquer picos na frequência fundamental, ou próximos a ela. O

valor 𝑘 = 80, indica que o padrão de sazonalidade móvel se repete em 20 anos. Com

isso, mesmo para 𝑏 = 40%, o grau de sazonalidade móvel é baixíssimo. E, sendo

assim, o filtro X-11 apresenta um bom desempenho. O filtro S-WLS, já apresentava

bom desempenho para valores menores de ‘𝑘’, e continua apresentando para 𝑘 =

80.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

300



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 80, 𝒃 = 40% e 𝑵 =43



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 80, 𝒃 = 40% e 𝑵 =43



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 80, 𝒃 = 10% e 𝑵 =43



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 80, 𝒃 = 10% e 𝑵 =43





com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 = 10% e 𝑵 =43



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 = 10% e 𝑵 =43


DBD



5.5.5. Resultados: série trimestral com decomposição multiplicativa – Filtro S-WLS vs X-11

Para as comparações envolvendo o filtro S-WLS e o X-11 no caso nas séries

trimestrais com decomposição multiplicativa, foi utilizado o mesmo procedimento

utilizado nas séries mensais, descrito na Figura 5.8 da Subseção 5.5.3. A

configuração do filtro utilizado foi a seguinte: 𝜶 = 𝟏/𝟑, 𝜹 = 1/30 e 𝒘𝟎 = 𝟏.

Em relação aos valores dos sinais artificiais, foram utilizados:

𝐴/𝑠 = [1, 2, 3, 4, 6, 8, 10]

𝑏 = [5%, 10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%]

𝑘 = [16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 80]

Foram geradas séries com, e sem, tendência. Nas séries com componente de

tendência, foram usados os seguintes valores para os coeficientes do polinômio:

b0 = 1.503,8; b1 = -23.415; b2 = 3,8097 e b3 = -0,00357, baseados na série Y91.

Quanto à componente irregular, geraram-se 100 séries, com distribuição

N(0,²), com base no desvio-padrão da irregular das séries reais. E, assim como nos

casos anteriores, o teste t de igualdade de médias de duas populações, com

variâncias desconhecidas e equivalentes, foi realizado para o MSE e o MAD dos

filtros. Nesse teste, utilizou-se nível de significância de 5%.

Nos itens (i), (ii), (iii) e (iv) são apresentados os resultados das comparações

entre o filtro S-WLS e o X-11. As análises foram realizadas com base na variação

dos parâmetros ‘𝑏’, ‘𝑘’ e ‘𝐴/𝑠’, do sinal artificial, apresentados na Equação (5-4).

DBD



(i) Resultados encontrados com base na variação de ‘𝒃’: série trimestral

multiplicativa

Nas séries reais, os valores do parâmetro ‘𝑏’ variam entre 10% e 50%.

Recorda-se que ‘𝑏’ representa o número de trimestres com que o padrão de

sazonalidade móvel volta a se repetir.

O Gráfico 5.91, a seguir, mostra a comparação entre a MSE do filtro S-WLS

e a MSE do X-11, segundo diferentes valores de ‘𝑏’. Mais uma vez, nota-se pouca

variação na MSE do filtro S-WLS, enquanto que a MSE do X-11 cresce

exponencialmente à medida que o valor de ‘𝑏’ aumenta.

Analisando a Tabela 5.26, que apresenta os valores utilizados no Gráfico

5.91, e o valor-p do teste de comparação de médias, percebe-se que a partir de 𝑏 =

25% o filtro S-WLS apresenta desempenho melhor do que o X-11, tanto em relação

à MSE quanto em relação à MAD.


para valores de ‘𝒃’, considerando 𝑨/𝒔 = 6 e 𝒌 = 24

𝒃 MSE

S-WLS MSE X-11 valor-p

MAD

S-WLS MAD X-11 valor-p

15% 1,10E-05 9,01E-06 1,000 2,65E-03 2,40E-03 1,000

20% 1,12E-05 1,14E-05 0,090 2,67E-03 2,69E-03 0,203

25% 1,16E-05 1,47E-05 0,000 2,71E-03 3,03E-03 0,000

30% 1,20E-05 1,86E-05 0,000 2,76E-03 3,41E-03 0,000

40% 1,24E-05 2,82E-05 0,000 2,81E-03 4,14E-03 0,000

50% 1,38E-05 4,11E-05 0,000 2,96E-03 4,95E-03 0,000

60% 1,50E-05 5,64E-05 0,000 3,08E-03 5,74E-03 0,000

70% 1,65E-05 7,47E-05 0,000 3,22E-03 6,55E-03 0,000

80% 1,84E-05 9,61E-05 0,000 3,38E-03 7,38E-03 0,000

Tabela 5.26 MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝒃’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 24 –

séries trimestrais com decomposição multiplicativa

DBD



(ii) Resultados encontrados com base na variação de ‘𝒌’: série trimestral

multiplicativa

Em relação ao parâmetro ‘𝑘’, há nas séries reais uma concentração entre os

valores 24 e 32, indicando que é necessário de 6 a 8 anos para que o padrão de

sazonalidade móvel volte a se repetir.

No Gráfico 5.92 são apresentadas a MSE do X-11 e do filtro S-WLS para

diferentes valores de ‘𝑘’. Nota-se que a MSE do X-11 é muito alta para valores

baixos de ‘𝑘’. Até 𝑘 = 40, o filtro S-WLS apresenta resultados melhores do que o

X-11, tanto na MSE quanto na MAD. Isso pode ser observado nos valores-p, da

Tabela 5.27.


para valores de ‘𝒌’, considerando 𝑨/𝒔 = 6 e 𝒃 = 40%

𝒌 MSE


MAD


20 2,25E-05 3,82E-05 0,000 3,73E-03 4,71E-03 0,000

24 1,24E-05 2,82E-05 0,000 2,81E-03 4,14E-03 0,000

28 1,12E-05 2,17E-05 0,000 2,67E-03 3,69E-03 0,000

32 1,05E-05 1,67E-05 0,000 2,60E-03 3,27E-03 0,000

36 1,09E-05 1,39E-05 0,000 2,63E-03 2,98E-03 0,000

40 1,11E-05 1,17E-05 0,001 2,66E-03 2,74E-03 0,000

44 1,11E-05 1,02E-05 1,000 2,65E-03 2,57E-03 1,000

48 1,11E-05 9,08E-06 1,000 2,66E-03 2,41E-03 1,000

80 1,01E-05 5,55E-06 1,000 2,53E-03 1,88E-03 1,000

Tabela 5.27 MSE, MAD e SNR para valores de ‘𝒌’, sendo 𝑨/𝒔 = 6, 𝒃 = 40% –

séries trimestrais com decomposição multiplicativa

f

ff

ff

ff

ff

S-WLS

DBD



(iii) Resultados encontrados com base na variação de ‘𝑨/𝒔’: série trimestral

multiplicativa

No que tange à razão entre a amplitude do sinal sazonal e o desvio-padrão da

componente irregular (𝐴/𝑠), observa-se no Gráfico 5.93 que a MSE de ambos os

filtros diminuem à medida que ‘𝐴/𝑠’ aumenta. Porém, assim como no caso aditivo,

a redução da MSE do filtro S-WLS é mais acentuada do que a do X-11.


para valores de ‘𝑨/𝒔’, considerando 𝒌= 24 e 𝒃 = 40%

A Tabela 5.28, a seguir, mostra o valor-p da comparação entre o filtro S-WLS

e o X-11, para MSE e MAD. Em ambos os casos, o filtro S-WLS começa a superar

o X-11 quando 𝐴/𝑠 = 3. Vale mencionar que, nas séries reais, os valores da razão

‘𝐴/𝑠’ estão concentrados entre 4 e 7. Portanto, 𝐴/𝑠 ≥ 3 é um resultado satisfatório

para o filtro S-WLS, com base nas séries reais.

𝑨/𝒔 MSE


MAD


2 9,4E-05 7,6E-05 1,000 7,7E-03 6,9E-03 1,000

3 4,3E-05 4,6E-05 0,000 5,3E-03 5,4E-03 0,000

4 2,5E-05 3,6E-05 0,000 4,0E-03 4,7E-03 0,000

6 1,2E-05 2,8E-05 0,000 2,8E-03 4,1E-03 0,000

8 8,3E-06 2,6E-05 0,000 2,3E-03 3,9E-03 0,000

10 6,2E-06 2,5E-05 0,000 1,9E-03 3,8E-03 0,000

Tabela 5.28 MSE e MAD para valores de ‘𝑨/𝒔’, sendo 𝒌 = 24, 𝒃 = 40% – séries

trimestrais com decomposição multiplicativa

S-WLS

DBD



(iv) Condições nas quais as estatísticas MSE e MAD do filtro S-WLS são

melhores do que as do X-11, segundo valores de ‘𝑨/𝒔’, ‘𝒃’ e ‘𝒌’: série

trimestral com decomposição multiplicativa

O resultado das comparações entre o filtro S-WLS e o X-11 para as séries

trimestrais multiplicativas, encontra-se no Quadro 5.14, a seguir. O filtro S-WLS

utilizado foi: 𝛼 = 1/3, 𝛿 = 1/30 e w0 = 1.

No Quadro 5.14, os valores das células indicam o valor mínimo de ‘𝒃’ a partir

do qual o filtro S-WLS supera o X-11. Apenas os resultados dos testes cujo valor-

p foram menores do que 5% foram considerados como significativamente melhores.

No quadro, todos os valores-p não apresentados são menores do que 1%.

𝒌 Tendência

𝑨/𝒔

2 3 4 6 8 10

MSE MAD MSE MAD MSE MAD MSE MAD MSE MAD MSE MAD

16 NÃO

60% 40% 30% 25% 20% 15% SIM

20 NÃO

60% 40% 30% 25% 20% 15% SIM

24 NÃO

60% 40% 30% 25% 20% 15% SIM

28 NÃO

70% 50% 40% 25% 20% 20% SIM

32 NÃO

80% 60% 40%

30% 25% 20% SIM 50% 40%

36 NÃO

X 70% 50% 40% 30% 25% SIM

40 NÃO

X 80% 60% 40% 40% 30% SIM

44 NÃO

X X 70% 50% 40% 40% SIM

48 NÃO

X X 80% 60% 50% 40% SIM

80 NÃO

X X X X X 80%

(valor-p: 0,031) SIM

Quadro 5.14 TRIMESTRAL MULTIPLICATIVO – Filtro S-WLS (α=1/3,

=1/30, wo = 1) vs X-11: MSE e MAD. Valores de ‘𝒃’ a partir do qual o filtro S-

WLS supera o X-11, para cada ‘𝒌’ e ‘𝑨/𝒔’. Séries com e sem tendência

DBD



Comparando os resultados do Quadro 5.14, com os resultados do Quadro 5.13

(referentes às séries com decomposição aditiva), percebe-se valores muito

semelhantes, indicando uma robustez do filtro quanto ao ajuste dos séries com

diferentes modelos de decomposição.

A consistência dos resultados também está presente em relação à tendência.

Os resultados, apresentados no Quadro 5.14, mostram que em apenas um caso

houve diferença em relação à tendência.

Os Gráficos 5.94 e 5.95 foram elaborados com base no Quadro 5.14. Nesses

gráficos é possível notar o valor mínimo ‘𝒃’ a partir do qual a MSE do filtro S-WLS

passa a ser inferior à MSE do X11. Observa-se que para ‘𝑘’ entre 24 e 28, é

necessário apenas que ‘𝑏’ seja pelo menos 25% para o filtro S-WLS superar o X-

11. Já em relação à ‘𝐴/𝑠’, para valores a partir de 6, o filtro S-WLS apresenta

melhores resultados, em relação ao X-11, se ‘𝑏’ maior ou igual 25%.



MSE, para valores de ‘𝒌’, considerando

𝑨/𝒔 = 6



MSE, para vários valores de ‘𝑨/𝒔’,

considerando 𝒌 = 24

DBD



5.5.5.1. Espectros da componente irregular: série trimestral multiplicativa

Assim como nos casos anteriores, foram elaborados os espectros da irregular

da série ‘Y’ dessazonalizada pelo filtro S-WLS e pelo X-11. Eles estão apresentados

nos Gráficos 5.96 a 5.107. Vale lembrar que o espectro da irregular fornece uma

indicação visual do sucesso na remoção da sazonalidade.


artificiais com 𝑏 = 40%, 25% e 10%; para valores de ‘𝑘’ iguais a 24 e 32. Foi

adotada a razão 𝐴/𝑠 = 6. Na construção dos espectros, foi usado o logaritmo

neperiano da série dessazonalizada, multiplicado por 10. Além disso, não foi

utilizada a componente de tendência nas séries artificiais.

O filtro utilizado no processo de dessazonalização teve tamanho 43. Como já

mencionado, tal tamanho de filtro é indicado para o X-11 quando as séries

apresentam sazonalidade móvel, pois a média móvel utilizada é a 3x3.

Os gráficos são apresentados em pares, sendo o primeiro referente ao ajuste

realizado pelo filtro S-WLS, e o segundo referente ao ajuste realizado pelo método

X-11. Inicialmente, os Gráficos 5.96 a 5.101 apresentam os espectros para séries

com 𝑘 = 24, indicando que o padrão de sazonalidade móvel leva 6 anos para se

repetir. Esse valor de ‘𝑘’ é o que representa a maior largura da banda passante,

dentre as testadas.

Nos Gráficos 5.97 e 5.99, notam-se grandes picos sazonais residuais no

espectro do X-11, indicando que a sazonalidade não foi removida de forma

adequada, quando a taxa de variação da amplitude sazonal (𝑏) é igual a 40% ou

25%.

Nos demais gráficos (Gráficos 5.96, 5.98, 5.100 e 5.101), notam-se pequenos

picos na frequência 1

4 ou próximos a ele. Eles não são considerados relevantes, pois

a magnitude deles é a mesma dos resíduos, porém, fica evidente que eles estão

relacionados à componente sazonal.

DBD



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 40% e 𝑵 = 43



com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 40% e 𝑵 = 43



S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 =

25% e 𝑵 = 43


série dessazonalizada pelo X-11, com:

𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 = 25% e 𝑵 = 43



WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌=24, 𝒃 = 10% e

𝑵 = 43



pelo X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24, 𝒃 =

10% e 𝑵 = 43




Picos

próximos à

frequência

1/4

Pequenos picos

próximos à

frequência ¼, e

nela

Pequeno pico

na frequência

¼

Picos

próximos à

frequência

1/4

Pequeno pico

na frequência

¼

Pequeno pico

próximo à

frequência ¼

DBD



Os Gráficos 5.102 a 5.107 apresentam os espectros da irregular para séries

com 𝑘 = 32. Isso significa que o padrão de sazonalidade móvel leva 8 anos para se

repetir, com base no sinal artificial (Eq. 5-4). Nos Gráficos 5.103 e 5.105, observa-

se que os picos próximos à frequência 1/4 são inferiores aos picos quando 𝑘 = 24.

Porém, eles ainda são relevantes.

Quando 𝑏 =10% (Gráfico 5.107), ou seja, quando a taxa de variação sazonal

é muito baixa, o espectro do filtro X-11 não apresenta picos, indicando que o X-11

consegue realizar um ajuste sazonal adequado.

Os espectros relacionados ao filtro S-WLS (Gráfico 5.102, 5.104 e 5.106)

mostram um pequeno pico na frequência 1

4. Como citado anteriormente, este pico

está no mesmo nível dos resíduos, não se mostrando relevante.

DBD



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20



WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 = 40% e 𝑵

= 43



pelo X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 =

40% e 𝑵 = 43



WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 = 25% e

𝑵 = 43



pelo X-11, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 =

25% e 𝑵 = 43



WLS, com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌=32, 𝒃 = 10% e

𝑵 = 43


série dessazonalizada pelo X-11, com:

𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32, 𝒃 = 10% e 𝑵 = 43




Pequeno pico

na frequência

¼

Pequeno pico

na frequência

¼

Pequeno pico

na frequência

¼

Picos

próximos à

frequência

1/4

Picos

próximos à

frequência

1/4

DBD



Considerando a existência de componente de tendência na série (com os

coeficientes do polinômio da série Y91), os espectros da componente irregular (para

𝑘 = 24 e 32, e 𝑏 = 40% e 10%) das séries dessazonalizadas pelo S-WLS seriam os

seguintes:

Esses espectros mostram que o filtro S-WLS é adequado, também, para séries

com tendência.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20



WLS, com tendência, e: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌=

24; 𝒃 = 40% (N=43)




=6,5; 𝒌= 32; 𝒃 = 40% (N=43)





=6,5; 𝒌= 24; 𝒃 = 10% (N=43)




=6,5; 𝒌= 32; 𝒃 = 10% (N=43)


DBD



Neste capítulo foi encontrada a melhor configuração de parâmetros para o

filtro S-WLS mensal e trimestral. Além disso, o desempenho do filtro S-WLS foi

comparado com o X-11. Tal comparação foi realizada com base em séries

artificiais, inspiradas no comportamento das séries reais com sazonalidade móvel.

Nessas análises foram consideradas séries com modelo de decomposição aditivo e

multiplicativo.

Os resultados obtidos foram apresentados para os diversos tipos de séries,

separadamente. A ordem de apresentação foi a seguinte: séries mensais aditivas;

séries mensais multiplicativas; séries trimestrais aditivas; séries trimestrais

multiplicativas.

DBD


6 Filtro sazonal-WLS-Chebyshev: definição, seleção da melhor configuração e resultados

Este capítulo apresenta a proposta do segundo filtro sazonal, aqui intitulado

de ‘filtro sazonal-WLS-Chebyshev’ – S-WLSC. Este filtro combina a abordagem

de Mínimos Quadrados Ponderados (WLS) com as características dos filtros de

Chebyshev. Adicionalmente o capítulo realizará comparações do desempenho do

filtro S-WLSC, com o filtro proposto anteriormente: S-WLS. Os conceitos

apresentados neste capítulo baseiam-se em Diniz et al. (2010).

6.1. Filtro sazonal-WLS-Chebyshev: o algoritmo

Conforme visto nos Capítulos 4 e 5, um bom filtro extrator da sazonalidade

deve tender a minimizar o erro na sua estimativa. No caso do filtro S-WLS, este

erro possui os seguintes elementos:

1. O erro na amplitude da sazonalidade devido à banda passante não plana

(𝛾1 , na Figura 5.3);

2. O erro causado pela componente irregular. Este erro possui dois

elementos:

a. A componente irregular que vaza devido a uma atenuação finita

na banda de rejeição;

b. A componente irregular que está misturada à componente sazonal

na banda passante.

A componente (2.b), descrita acima, está relacionada ao compromisso entre a

robustez às variações de sazonalidade e a quantidade de componente irregular que

passa pela banda passante. É importante ressaltar que ela estaria presente mesmo se

a resposta do filtro projetado fosse a ‘ideal’. Entretanto, os efeitos dos elementos

(1) e (2.a) podem ser reduzidos com um projeto adequado.

Analisando o projeto do filtro S-WLS, nota-se que o seu objetivo é minimizar

o erro quadrático médio tanto na banda passante quanto na banda de rejeição.

DBD


Capítulo 6. Filtro sazonal-WLS-Chebyshev 200

Porém, minimizar o erro médio quadrático na banda de rejeição tende a maximizar

a atenuação na banda de rejeição (elemento 2.a). No entanto, o elemento (1), do

erro, está relacionado com o máximo erro na banda passante, e não com o erro

quadrático médio.

Sendo assim, o projeto ideal de filtro seria aquele que minimizasse,

simultaneamente, o erro máximo na banda passante e a energia na banda de

rejeição. Os filtros que minimizam o erro máximo de aproximação são os chamados

‘filtros de Chebyshev’ (Diniz et al., 2010). Tal erro é minimizado quando ele possui

a característica equiripple, isto é, ele é oscilatório com uma amplitude constante. Já

os filtros que combinam a característica de minimizar a energia na banda de rejeição

(usando WLS) com a característica equiripple na banda passante, são comumente

denominados de ‘filtros WLS-Chebyshev’ (Diniz et al., 2010).

Dessa forma, neste capítulo são projetados filtros de extração da sazonalidade

com a característica de um filtro WLS-Chebyshev. Ao filtro aqui projetado,

intitulou-se ‘filtro sazonal-WLS-Chebyshev’ – S-WLSC.

A diferença em relação ao método utilizado no filtro S-WLS, apresentado

anteriormente, está no fato deste novo filtro (S-WLSC) atualizar o vetor de pesos a

cada iteração de um projeto WLS. Com isso, permite-se um controle do erro de

aproximação, podendo-se obter um projeto equiripple.

A atualização do vetor de pesos do filtro S-WLSC ocorre somente nas faixas

de frequência onde se deseja um erro de aproximação equiripple. Nessas faixas de

frequência, a atualização é realizada com base na envoltória do erro de

aproximação. Onde a envoltória do erro é pequena, os pesos diminuem, e a

tendência é que o erro aumente na próxima iteração. Onde a envoltória é grande, os

pesos aumentam, e a tendência é que o erro diminua na próxima iteração. Assim,

na convergência, o erro de aproximação se torna equiripple. E esse é o

comportamento desejado na banda passante, onde se deseja minimizar o erro

máximo de estimativa da sazonalidade.

Em relação às faixas de frequência em que o vetor de pesos ‘não é’ atualizado,

a característica WLS, de minimizar o erro quadrático médio, é mantida. Este tipo

de característica é importante na banda de rejeição, onde o desvio-padrão da

componente irregular deve ser minimizado.

DBD



No algoritmo de projeto do filtro S-WLSC, os novos pesos são calculados

com base nos erros gerados pela aplicação dos pesos anteriores, e o processo

continua até a sua convergência – que ocorre quando a diferença entre os resultados

é inferior a um valor previamente determinado (𝜖). O algoritmo está descrito em

Diniz et al. (2010). Porém, neste trabalho, ele sofreu algumas modificações.

A figura, a seguir, ilustra a função de erro típica, B(𝜔), representada pela

linha tracejada, e a envoltória do erro, Be(𝜔), representada pela linha contínua.

Fonte: Diniz et al. (2010, p. 329)

Figura 6.1 Função de erro típica (linha tracejada) e

função envelope (linha contínua)

A implementação do algoritmo WLS-Chebyshev ocorre da seguinte forma:

(i) Estimar a ordem ‘M’ (fator de superamostragem); selecionar o

número máximo de iterações (kmáx); definir os limites de frequência

das bandas passantes e das bandas de rejeição, onde as respostas

devem ser equiripple nas bandas passantes e WLS nas bandas de

rejeição. Especificar um valor de tolerância para o erro. Arbitrar um

valor para Γ, responsável pela atualização de pesos da banda de

rejeição e pela relação entre os erros nas bandas passantes e de

rejeição. Foi utilizado nesse projeto M = 401 e Γ ≥ 0,005;

(ii) Criar uma frequência grid de kM pontos [0,𝜋];

(iii) Definir k = 0 e calcular 𝐖𝑞 , 𝐝 e 𝐔, como definido no algoritmo

WLS;

(iv) Definir k = k+1, e determinar 𝐩∗(𝑘);

(v) Calcular o vetor de erro 𝒆(𝑘);

DBD



(vi) Verificar se kmáx > k ou se a convergência foi atingida. A

convergência é atingida quando 𝜖 < 0,0001;

(vii) Calcular {𝐁𝒌}𝒋 = |{𝐞(𝑘)}𝒋|, para j=0,1,...,kM.

(viii) Encontrar o maior valor da banda de rejeição de 𝐁𝑘𝑒;

(ix) Multiplicar os valores de 𝐵𝑘𝑒(𝜔) na banda de rejeição por Γ;

(x) Atualizar o vetor de pesos 𝐖𝑞2 e voltar para o passo (iv), sendo

𝑊𝑘+12 (𝜔) = 𝑊𝑘

2(𝜔)𝐵𝑘𝑒(𝜔);

(xi) Determinar os coeficientes do filtro: h(n).

Em relação aos parâmetros do filtro, a vantagem do S-WLSC, em relação ao

filtro S-WLS, ocorre em ele permitir que o 𝛿 (valor do parâmetro associado às

larguras das bandas de transição) seja reduzido sem prejudicar o máximo erro de

aproximação (ripple) na banda passante. Com isso, o compromisso entre a banda

de transição e a banda passante é mantido.

Esse filtro tem os mesmos parâmetros do filtro S-WLS: 𝛼, 𝛿, 𝑤0, M e N. Tais

parâmetros estão definidos na Subseção 4.2. Além desses, o S-WLSC possui o

parâmetro Γ, que determina a razão entre a atenuação na banda de rejeição (WLS)

e o ripple na banda passante.

Para testar o filtro S-WLSC, e compará-lo ao filtro S-WLS, foi necessário

definir a melhor configuração de parâmetros para cada tamanho (𝑁) do filtro – para

as séries mensais e trimestrais.

A escolha da melhor configuração de parâmetros e os resultados desse novo

filtro, em comparação com o filtro S-WLS, são apresentados neste capítulo.

6.2. Metodologia para seleção do filtro S-WLSC para as séries mensais e trimestrais

Para selecionar a melhor configuração de parâmetros para o filtro S-WLSC,

utilizou-se como métrica a SNR desse filtro, em relação à SNR do filtro S-WLS. O

objetivo era escolher os valores dos parâmetros que fizessem com que o filtro S-

WLSC tivesse desempenho superior ao filtro S-WLS.

DBD



No geral, o filtro S-WLSC apresenta 𝛾0 e |1 − 𝛾1| menores do que o filtro S-

WLS, favorecendo a uma SNR maior. Porém, o filtro S-WLSC é sensível ao

tamanho (𝑁), e à combinação entre 𝛿, w0 e Γ.

No que tange aos parâmetros do filtro S-WLSC, notou-se que quanto maior

for o valor de Γ, melhor. No entanto, é necessário analisar se houve convergência

para a função objetivo.

Em relação aos demais parâmetros, observou-se que quanto menor for o 𝛿 e

o w0, melhor. Porém, para cada 𝛿, existe um valor mínimo de w0 a ser aceito pelo

filtro, além dele possuir uma relação delicada com Γ, que afeta a possibilidade de

convergência na implementação utilizada no MATLAB.

Destaca-se que, na seleção dos parâmetros do filtro, foi mantido o valor de 𝛼

igual a 1

3, ou seja, a largura da banda passante será a mesma do filtro S-WLS.

Diferentemente do procedimento utilizado para a seleção do filtro S-WLS,

buscou-se aqui uma combinação diferente de parâmetros para cada tamanho (𝑁),

visando à SNR máxima. Essa decisão foi tomada uma vez que o algoritmo de

projeto do filtro S-WLSC, implementado no MATLAB, não convergiu para todos os

tamanhos (𝑁).

Na busca de um melhor filtro para cada ‘𝑁’, procurou-se um filtro cujo o

valor do 𝛿 fosse o menor possível, assim como o w0; e o Γ, o maior possível. Vale

citar que os filtros com valores de 𝛿 > 1

500 resultam nos mesmos valores de 𝑆𝑄, 𝛾0

e |1 − 𝛾1|.

Nessa tentativa de encontrar um filtro adequado, foram gerados filtros com

diversas combinações de parâmetros, para cada ‘𝑁’, a saber:

Denominador de 𝛿 =[5 10 20 40 50 100 120 200 250 300 400 500];

w0=[0,01 0,02 0,05 0,1 0,3 0,5 0,8 0,9 1 2 3 4 5 10 15 20 25];

Γ =[0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,08 0,1 0,15 0,30 0,5 0,8 1 1,2].

Quanto aos demais parâmetros, foi mantido o valor α =1

3 , assim como o fator

de superamostragem M = 401.

Esses filtros tiveram a SNR calculada, e aqueles que geraram as maiores

SNRs foram selecionados. Após isso, para verificar a adequação da combinação de

parâmetros, foi construído o gráfico da resposta em magnitude de cada filtro, sendo

considerados apenas os filtros onde houve convergência para a função objetivo.

DBD



A seguir é especificada a seleção da combinação de parâmetros para cada

tamanho (𝑁) de filtro, sendo eles mensais e trimestrais. Além disso, são

apresentados os resultados das comparações com o filtro S-WLS obtidos para as

séries com decomposição aditiva e multiplicativa.

6.3. Série mensal aditiva – filtro S-WLSC

Esta Subseção 6.3 apresenta os filtros selecionados para as séries mensais, e

a comparação com o filtro S-WLS. Está subseção está organizada da seguinte

forma: a Subseção 6.3.1 mostra a seleção da combinação de parâmetros para cada

tamanho (𝑁) de filtro da séries mensais; a Subseção 6.3.2 apresenta o resumo dos

filtros selecionados; e a Subseção 6.2.3 apresenta a comparação do filtro S-WLSC

com o filtro S-WLS, para séries mensais com decomposição aditiva. A comparação

entre os coeficientes do filtro S-WLSC com o filtro S-WLS está apresentada no

Apêndice J.

6.3.1.

Seleção do melhor filtro S-WLSC para cada ‘𝑵’: filtro mensal

A decisão em relação ao melhor filtro foi tomada com base em sinais

artificiais, com vários valores para ‘𝐴/𝑠’, ‘𝑏’ e ‘𝑘’, definidos na Equação (5-1). Os

resultados são apresentados a seguir – para cada ‘𝑁’ definido no Quadro 5.4 (ver

Subseção 5.3.1). Nas comparações, foi utilizado o filtro S-WLS.

DBD



6.3.1.1.

Resultado: filtro S-WLSC mensal com 𝑵 = 117

O filtro de tamanho 117 que obteve os melhores resultados, e convergência

para a função objetivo, teve a seguinte configuração:

𝛂 =𝟏

𝟑 ; 𝜹 =

𝟏

𝟏𝟎 ; 𝒘𝟎 = 𝟎,𝟗 ; 𝚪 = 𝟎, 𝟓.

A resposta em magnitude desse filtro está apresentada no Gráfico 6.1 e a

comparação da resposta em magnitude dele com o filtro S-WLS de mesmo tamanho

está apresentada no Gráfico 6.2.

Gráfico 6.1 Resposta em magnitude do filtro S-WLSC mensal (N = 117)

Gráfico 6.2 Resposta em magnitude do filtro S-WLSC, do S-WLS e o

esperado (𝑵=117)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

WLSC

FP

esperado

f

f

f

f

f

f

f

f

f



S-WLS S-WLSC

DBD



No Gráfico 6.2 é possível notar que a atenuação da banda de rejeição do filtro

S-WLSC é maior do que a do filtro S-WLS. Porém, na banda passante, o filtro S-

WLS apresentou melhor desempenho (menor ripple na banda passante), como pode

ser observado no Gráfico 6.3.

Esse filtro de tamanho 117 apresentou problemas de instabilidade numérica,

o que fez com que ele não fosse competitivo em relação ao filtro S-WLS.

Gráfico 6.3 Banda passante dos filtros S-WLSC e S-WLS (𝑵=117)

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

WLSC

FP

esperado


S-WLS S-WLSC

DBD



6.3.1.2.


O filtro S-WLSC que gerou SNR maior do que o filtro S-WLS para o tamanho

𝑁=121 foi o que apresentou a seguinte configuração:

𝛂 =𝟏

𝟑, 𝜹 =

𝟏

𝟐𝟓𝟎, 𝒘𝟎 = 𝟐, 𝚪 = 𝟎, 𝟎𝟏.

A resposta em magnitude deste filtro S-WLSC está apresentada no Gráfico

6.4. No Gráfico 6.5 é apresentada a comparação entre as respostas em magnitude

dos filtros S-WLSC e S-WLS, juntamente com o filtro esperado.



esperado (𝑵=121)

No Gráfico 6.6 é exibida a ampliação da banda passante, onde nota-se que o

S-WLSC apresenta um menor ripple na banda passante, estando mais próximo do

esperado.

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

WLSC

FP

esperado



S-WLS S-WLSC

DBD




0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

WLSC

FP

esperado


S-WLS S-WLSC

DBD



6.3.1.3.


Em relação ao filtro de tamanho 131, os melhores resultados foram obtidos

com a seguinte configuração:

𝛂 =𝟏

𝟑 ; 𝜹 =

𝟏

𝟐𝟓𝟎 ; 𝒘𝟎 = 𝟐 ; 𝚪 = 𝟎, 𝟎𝟏.

Esta configuração é a mesma do filtro 121. A resposta em magnitude do filtro

está apresentada no Gráfico 6.7; já a comparação da resposta em magnitude dele

com o filtro S-WLS de mesmo tamanho está apresentada no Gráfico 6.8; e a

ampliação da banda passante é apresentada no Gráfico 6.9.

Analisando os gráficos é possível notar o menor ripple na banda passante, da

resposta em magnitude do filtro S-WLSC (Gráfico 6.9). Por outro lado, a atenuação

na banda de rejeição foi melhor no filtro S-WLS (Gráfico 6.8).



esperado (𝑵=131)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

WLSC

FP

esperado



S-WLS S-WLSC

DBD




0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

WLSC

FP

esperado


S-WLS S-WLSC

DBD



6.3.1.4.


Quanto ao filtro de tamanho 141, os melhores resultados foram obtidos com

a configuração:

𝛂 =𝟏

𝟑 ; 𝜹 =

𝟏

𝟏𝟐𝟎 ; 𝒘𝟎 = 𝟐 ; 𝚪 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟖.

A resposta em magnitude deste filtro está apresentada no Gráfico 6.10; a

comparação da resposta em magnitude dele com a do filtro S-WLS de mesmo

tamanho está apresentada no Gráfico 6.11; e a ampliação da banda passante se

encontra no Gráfico 6.12.

Assim como no casos dos filtros de tamanho 121 e 131, observa-se que o

filtro S-WLSC apresentou um menor ripple na banda passante (Gráfico 6.12),

porém, a atenuação na banda de rejeição foi um pouco melhor no filtro S-WLS

(Gráfico 6.11).



esperado (𝑵=141)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

WLSC

FP

esperado



S-WLS S-WLSC

DBD




0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

WLSC

FP

esperado


S-WLS S-WLSC

DBD



6.3.1.5.


Os melhores resultados para o filtro de tamanho 145 foram obtidos com a

seguinte configuração:

𝛂 =𝟏

𝟑 ; 𝜹 =

𝟏

𝟐𝟓𝟎 ; 𝒘𝟎 = 𝟏 ; 𝚪 = 𝟎, 𝟎𝟏.

A resposta em magnitude desse filtro está apresentada no Gráfico 6.13; a


tamanho está apresentada no Gráfico 6.14; e a ampliação da banda passante está

apresentada no Gráfico 6.15.

Com base nos gráficos observa-se que o filtro S-WLSC gerou um menor

ripple na banda passante e uma maior atenuação na banda de rejeição, se comparado

ao filtro S-WLS. Dos outros filtros já definidos, esse foi o que apresentou melhor

desempenho em relação à atenuação.

Como os filtros de tamanho 155 e 189 ficaram com resultados da SNR

inferiores ao filtro de tamanho 145, nas comparações com o filtro S-WLS será usado

este filtro de tamanho 145.


0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


DBD




esperado (𝑵=145)


0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

WLSC

FP

esperado

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

WLSC

FP

esperado



S-WLS S-WLSC

S-WLS S-WLSC

DBD



6.3.1.6.


No que tange ao filtro de tamanho 155, não foi possível obter uma

combinação de parâmetros que gerasse bons resultados, em termos de SNR, e que

ao mesmo tempo apresentasse convergência para a função objetivo. Sendo assim,

optou-se por utilizar o filtro de tamanho 145, apresentado na Subseção 6.3.1.5.

A comparação entre a resposta em magnitude do filtro S-WLSC 145 e a do

filtro S-WLS de tamanho 155 está apresentada no Gráfico 6.16. E a ampliação da

banda passante desses dois filtros é apresentada no Gráfico 6.17.

Gráfico 6.16 Resposta em magnitude do filtro S-WLSC (N=145), do S-WLS

(𝑵=155) e o esperado

Gráfico 6.17 Banda passante dos filtros S-WLSC (N=145) e S-WLS (𝑵=155)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

WLSC

FP

esperado

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

WLSC

FP

esperado



S-WLS S-WLSC

S-WLS S-WLSC

DBD



6.3.1.7.


Com o filtro de tamanho 189, também não foi possível obter uma combinação

de parâmetros que gerasse SNR elevada com convergência para a função objetivo.

Sendo assim, optou-se por utilizar o filtro de tamanho 145, apresentado na Subseção

6.3.1.5.

No Gráfico 6.18 é apresentada a comparação entre a resposta em magnitude

do filtro S-WLSC 145 e a resposta em magnitude do filtro S-WLS de tamanho 189.

A ampliação da banda passante dos filtros é apresentada no Gráfico 6.19.




0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

WLSC

FP

esperado

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

WLSC

FP

esperado



S-WLS S-WLSC

S-WLS S-WLSC

DBD



6.3.1.8.


Em relação ao filtro S-WLSC de tamanho 193, a melhor configuração obtida

foi a seguinte:

𝛂 =𝟏

𝟑 ; 𝜹 =

𝟏

𝟏𝟓𝟎 ; 𝒘𝟎 = 𝟏 ; 𝚪 = 𝟎, 𝟎𝟏.

A resposta em magnitude deste filtro está apresentada no Gráfico 6.20; a


tamanho está apresentada no Gráfico 6.21; e a ampliação da banda passante está

apresentada no Gráfico 6.22.



esperado (𝑵=193)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

WLSC

FP

esperado



S-WLS S-WLSC

DBD




0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

WLSC

FP

esperado


S-WLS S-WLSC

DBD



6.3.1.9.


Para o filtro de tamanho 203, não foi possível obter uma combinação de

parâmetros que gerasse bons resultados. Com isso, decidiu-se utilizar o filtro de

tamanho 193, apresentado na Subseção 6.3.1.8.

A comparação entre a resposta em magnitude do filtro S-WLSC de tamanho

193 e a do filtro S-WLS de tamanho 203 está apresentada no Gráfico 6.23; e a

ampliação da banda passante desses filtros é apresentada no Gráfico 6.24.




0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

WLSC

FP

esperado

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

WLSC

FP

esperado



S-WLS S-WLSC

S-WLS S-WLSC

DBD



6.3.2. Parâmetros do filtro S-WLSC: séries mensais

A Tabela 6.1 apresenta os valores dos parâmetros selecionados na Subseção

6.3.1, para cada tamanho do filtro S-WLSC.

𝑵 𝜶 𝜹 𝚪 𝒘𝟎

117 1/3 1/10 0,5 0,9

121 1/3 1/250 0,01 2

131 1/3 1/250 0,01 2

141 1/3 1/120 0,008 2

145 1/3 1/250 0,01 1

155* 1/3 1/250 0,01 1

189* 1/3 1/250 0,01 1

193 1/3 1/150 0,01 1

203** 1/3 1/150 0,01 1

Nota (*) Para N = 155 e 189, usar o filtro de tamanho 145.

Nota (**) Para N = 203, usar o filtro de tamanho 193.

Tabela 6.1 Filtros S-WLSC mensais para cada N

Os valores relacionados às medidas necessárias para o cálculo da SNR, ou

seja, 𝑆𝑄, 𝛾0 e |1 − 𝛾1| de cada filtro, estão apresentados na Tabela 6.2.

𝑵 𝑺𝑸 𝜸𝟎 |𝟏 − 𝜸𝟏|

117 0,358 0,929 0,1256

121 0,3566 1,0092 0,1595

131 0,3559 1,0072 0,1480

141 0,3626 1,0069 0,1141

145 0,3381 1,0083 0,2009

155 0,3381 1,0083 0,2009

189 0,3381 1,0083 0,2009

193 0,3337 0,9917 0,1662

203 0,3337 0,9917 0,1662

Tabela 6.2 Valores de SQ e 𝜸𝒔 para os filtros S-WLSC mensais, para 𝒌 = 𝟕𝟐

Os programas, desenvolvidos em MATLAB, estão apresentados no Apêndice

K.

DBD



6.3.3. Comparação do desempenho do filtro S-WLSC com o filtro S-WLS, para séries mensais com decomposição aditiva

O objetivo desta Subseção 6.3.3 é comparar a SNR do filtro S-WLSC com a

SNR do filtro S-WLS para identificar as situações em que o S-WLSC é superior ao

filtro S-WLS, e, nesses casos, mensurar o ganho ao se utilizar o filtro S-WLSC.

Nessa comparação, foram considerados os seguintes valores em relação às

características sazonais das séries: 𝑘 = 96, 𝑏 = 40% e 𝐴/𝑠 = 6. A SNR dos filtros

foi calculada, assim como a razão SNR S-WLSC

SNR S-WLS. Os valores estão apresentados na

tabela a seguir, onde observa-se que a SNR do S-WLSC é superior à SNR do filtro

S-WLS em todos os casos, exceto quando N = 117 e N = 141.

𝑵 SNR S-WLSC SNR S-WLS SNR S-WLSC

SNR S-WLS

117 42,38 49,28 0,860

121 54,25 53,62 1,012

131 54,45 53,54 1,017

141 54,22 54,88 0,988

145 57,28 56,45 1,015

155 57,28 56,83 1,008

189 57,28 55,34 1,035

193 58,01 57,61 1,007

203 58,01 57,47 1,010

Tabela 6.3 SNRs e razão entre as SNRs, para 𝑨/𝒔 =6, 𝒃 =40% 𝒌 =96 (Eq. 5-1),

considerando todos os filtros mensais: comparação entre S-WLSC e S-WLS

Para a comparação mais detalhada dos resultados entre o filtro S-WLSC e o

filtro S-WLS, foram utilizados os tamanhos 𝑁=121 e 𝑁=189. A escolha do filtro

de tamanho 121 foi devida à SNR do filtro S-WLS, que é a máxima dentre os filtros

com tamanho de média móvel sazonal 3x3. Em relação ao filtro 𝑁=189, a escolha

foi feita uma vez que ele é o que apresenta a maior razão entre as SNRs. Vale

mencionar que, como não foi possível obter um filtro S-WLSC competitivo para

𝑁=117 e 𝑁=141, eles não foram utilizados nas comparações.

O Gráfico 6.25, a seguir, apresenta a razão entre as SNRs dos filtros S-WLSC

e S-WLS de tamanhos 121 e 189, para diferentes valores da taxa de variação da

amplitude sazonal (𝑏). Quanto maior é o valor de ‘𝑏’ mais alta é a razão entre a

DBD



SNR do S-WLSC e a SNR do S-WLS, significando uma melhor adequação do S-

WLSC, tanto para 𝑁=121, quanto para 𝑁=189, para altos graus de sazonalidade

móvel.

Gráfico 6.25 Razão entre a SNR do S-WLSC e a SNR do S-WLS

considerando 𝑨/𝒔 =6 e 𝒌= 96, para diversos valores de 𝒃: comparação entre

N=121 e N=189

Os Gráficos 6.26 e 6.27 mostram as SNRs dos filtros S-WLSC e S-WLS, para

cada valor de ‘𝑏’, considerando os tamanhos 121 e 189, separadamente. Na Tabela

6.4, nota-se que, à medida que ‘𝑏’ aumenta, o distanciamento entre as SNRs dos

filtros de tamanho 189 é mais acentuado, se comparado aos filtros de tamanho 121.

Destaca-se, também, que mesmo para valores baixos de ‘𝑏’, como 10%, a SNR do

filtro S-WLSC é maior do que a SNR do filtro S-WLS.

Gráfico 6.26 SNR S-WLSC e SNR

S-WLS considerando A/s =6 e k= 96,

para diversos valores de b (N=121)


S-WLS considerando A/s =6 e k=

96, para diversos valores de

b(N=189)

f

f

f

f

f

f

f

f

f

S-WLS

S-WLSC S-WLS

S-WLSC

DBD



𝒃

𝑵 =121 𝑵 =189

SNR

S-WLSC

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC /

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC /

SNR

S-WLS

10% 50,5 50,3 1,004 53,3 52,1 1,023

15% 50,8 50,6 1,005 53,6 52,4 1,024

20% 51,3 51,0 1,006 54,1 52,7 1,026

25% 51,8 51,5 1,007 54,7 53,2 1,027

30% 52,5 52,1 1,008 55,4 53,8 1,030

40% 54,3 53,6 1,012 57,3 55,3 1,035

50% 56,5 55,6 1,017 59,7 57,3 1,042

60% 59,2 58,0 1,022 62,6 59,6 1,050

70% 62,5 60,7 1,029 66,0 62,3 1,060

80% 66,2 63,9 1,037 69,9 65,3 1,071

Tabela 6.4 SNR S-WLSC e SNR S-WLS, variando 𝒃 para 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 = 96 e 𝑵 =

121 e 189


e S-WLS, de tamanho 121 e 189, para diferentes valores da taxa de ‘𝑘’. Vale

lembrar que o parâmetro ‘𝑘’ indica o tempo (em meses) necessário para o padrão

de sazonalidade móvel se repetir. Diferente do que ocorre com a variação de ‘𝑏’, à

medida que ‘𝑘’ aumenta, a razão entre as SNRs se mantém constante.

Gráfico 6.28 Razão entre a SNR do S-WLSC e a do SNR S-WLS

considerando 𝑨/𝒔 = 6 e 𝒃 = 40%, para diversos valores de 𝒌: comparação

entre N=121 e N=189

DBD



Os Gráficos 6.29 e 6.30 mostram as SNRs individuais (dos filtros S-WLSC e

S-WLS), com a variação de ‘𝑘’, para cada 𝑁, separadamente. E a Tabela 6.5

apresenta os valores usados para a construção desses gráficos.

Observando os resultados, nota-se que, para 𝑘 ≥ 96, a SNR do filtro S-WLSC

permanece constante. Além disso, vale citar que o único caso em que o filtro S-

WLSC apresenta SNR menor do que o filtro S-WLS, ocorre quando 𝑘 =72, no filtro

de tamanho 189. Como o filtro foi definido com 𝛼 = 1/3, o que equivale a 𝑘 = 72,

ele pode apresentar instabilidade no ajuste de séries que apresentem esse valor de

𝑘.

𝑘

𝑁 =121 𝑁 =189

SNR

S-WLSC

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC /

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC /

SNR

S-WLS

72 49,2 48,8 1,009 48,9 50,8 0,963

84 53,8 53,6 1,003 56,6 55,3 1,022

96 54,3 53,6 1,012 57,3 55,3 1,035

108 54,3 53,6 1,012 57,3 55,6 1,030

120 54,3 53,6 1,011 57,3 55,7 1,028

132 54,3 53,7 1,011 57,3 55,7 1,028

144 54,3 53,8 1,009 57,3 55,7 1,028

156 54,3 53,8 1,008 57,3 55,7 1,028

180 54,3 53,9 1,007 57,3 55,7 1,028

Tabela 6.5 SNR S-WLSC e SNR S-WLS, variando 𝒌 para 𝑨/𝒔=6, 𝒃=40% e

𝑵=121 e 189


S-WLS considerando 𝑨/𝒔 =6 e 𝒃=

40%, para diversos valores de 𝒌

(N=121)



40%, para diversos valores de

𝒌 (N=189)

S-WLS S-WLS S-WLSC S-WLSC

DBD



Em relação à razão entre as SNRs dos filtros S-WLSC e S-WLS, para

diferentes valores da razão ‘𝐴/𝑠’, é apresentado o Gráfico 6.31, com os resultados

encontrados.

A razão ‘𝐴/𝑠’ indica a amplitude do sinal sazonal em relação ao ruído. Nota-

se que se ‘𝐴/𝑠’ apresentar valor baixo (1, 2 ou 3), a SNR do S-WLSC é menor do

que a SNR do S-WLS. Isso ocorre porque a atenuação na banda de rejeição é maior

no filtro S-WLS. A partir de 𝐴/𝑠 = 4, a SNR do S-WLSC supera a SNR do S-WLS

no filtro de tamanho 189. Além disso, destaca-se que quanto maior for a razão

‘𝐴/𝑠’, mais adequado é o ajuste sazonal realizado pelo S-WLSC se comparado ao

ajuste do filtro S-WLS.

Gráfico 6.31 Razão entre a SNR do S-WLSC e a SNR do S-WLS

considerando 𝒌=96, 𝒃= 40%, para diversos valores de 𝑨/𝒔: comparação entre

N=121 e N=189

Os Gráficos 6.32 e 6.33 mostram as SNRs individuais dos filtros segundo os

valores de ‘𝐴/𝑠’, considerando 𝑁 = 121 e 𝑁 = 189, respectivamente. Nesses

gráficos, nota-se o distanciamento entre as SNRs dos filtros à medida que a razão

‘A/s’ aumenta.

DBD



A Tabela 6.6, a seguir, apresenta os valores usados para a construção dos

Gráficos 6.31 a 6.33.

𝑨/𝒔 𝑵 = 121 𝑵 = 189

SNR

WLSC

SNR

S-WLS

SNR WLSC /

SNR S-WLS

SNR

WLSC

SNR

S-WLS

SNR WLSC /

SNR S-WLS

1 1,5 1,6 0,961 1,6 1,6 0,980

2 6,1 6,3 0,965 6,4 6,5 0,984

3 13,6 14,0 0,973 14,4 14,5 0,992

4 24,2 24,6 0,983 25,5 25,4 1,003

5 37,7 37,9 0,996 39,8 39,1 1,018

6 54,3 53,6 1,012 57,3 55,3 1,035

8 96,1 91,3 1,052 101,5 94,1 1,079

10 149,4 135,4 1,104 158,0 139,2 1,135

Tabela 6.6 SNR S-WLSC e SNR S-WLS, variando 𝑨/𝒔, para 𝒌=96, 𝒃=40% e

𝑵=121 e 189


S-WLS considerando 𝒌=96, 𝒃= 40%,

para diversos valores de 𝑨/𝒔

(N=121)


S-WLS considerando 𝒌=96, 𝒃=

40%, para diversos valores de 𝑨/𝒔

(N=189)

S-WLS S-WLSC

S-WLS

S-WLSC

DBD



6.4. Série mensal multiplicativa – filtro S-WLSC vs filtro S-WLS

Com a configuração de parâmetros do filtro mensal já definida na Subseção

6.3.1, testou-se o desempenho do S-WLSC em relação ao filtro S-WLS para as

séries mensais com decomposição multiplicativa. Nesta subseção são comparados

os resultados, utilizando-se a estatística MSE.

Nos testes, foram utilizados os filtros de tamanho 121 e 189. Como padrão

para a componente de tendência, utilizou-se a série X6; e para os coeficientes da

componente sazonal artificial, foi usado o padrão da série Y157.

Para cada combinação de valores dos parâmetros do sinal artificial (Eq. 5-3),

geraram-se 100 séries referentes à componente irregular, cada uma com distribuição

N(0,²), utilizando a função randn do MATLAB, com base no desvio-padrão da série

Y157. Isso permitiu o cálculo da média e do desvio-padrão da MSE. Os valores

utilizados, foram os seguintes:

𝑨 𝒔 b0 b1 b2 b3

0,015 0,0025 76,3 0,3114 0,0028 0,00001

Tabela 6.7 Valores da componente de tendência, desvio-padrão da irregular e

amplitude da componente sazonal

Os Gráficos 6.34 e 6.35 ilustram a MSE do filtro S-WLSC e do filtro S-WLS

para diversos valores de ‘𝑏’, quando 𝑁=121 e 𝑁=189, respectivamente. E a Tabela

6.8 apresenta os valores da MSE de cada filtro, para os valores de ‘𝑏’, utilizados

nos gráficos.

Analisando a Tabela 6.8, nota-se uma melhora significativa na MSE do filtro

S-WLSC, em comparação com o filtro S-WLS, para o caso em que 𝑁= 189.

S-WLSC S-WLS

Gráfico 6.34 MSE S-WLSC e MSE

S-WLS (x106) considerando 𝒌=96,

𝑨/𝒔= 6, para diversos valores de 𝒃:

N=121




N=189

S-WLS S-WLSC

DBD



𝒃 𝑵=121 𝑵=189

MSE

S-WLSC

MSE

S-WLS valor-p

MSE

S-WLSC

MSE

S-WLS valor-p

10% 2,28 2,29 0,386 2,16 2,28 0,001*

15% 2,34 2,33 0,528 2,23 2,35 0,001*

20% 2,31 2,32 0,375 2,16 2,26 0,002*

25% 2,30 2,33 0,227 2,16 2,30 0,000*

30% 2,31 2,35 0,146 2,16 2,31 0,000*

40% 2,26 2,29 0,262 2,19 2,38 0,000*

50% 2,30 2,33 0,199 2,14 2,34 0,000*

60% 2,29 2,33 0,108 2,16 2,39 0,000*

70% 2,32 2,37 0,079 2,19 2,44 0,000*

80% 2,30 2,35 0,121 2,15 2,46 0,000*

Nota: ( * ) valor-p < 1%; ( ** ) valor-p < 5%.

Tabela 6.8 MSE S-WLSC e MSE S-WLS, (x106), variando ‘𝒃’ para 𝑨/𝒔 = 6, 𝒌 =

96 (𝑵=121 e 189). Valores baseados no teste t, unilateral, de comparação de

médias

DBD



A MSE dos filtros, segundo os diversos valores de ‘𝑘’, está ilustrada nos

Gráficos 6.36 e 6.37, para os tamanhos 121 e 189. Considerando 𝑁=189, o S-WLSC

é novamente melhor em todos os casos, ou seja, para todos os valores de ‘𝑘’. No

entanto, para 𝑁=121, o S-WLSC é significativamente superior ao filtro S-WLS

somente para 𝑘 = 72.

A Tabela 6.9, a seguir, apresenta os valores da MSE de cada filtro, com o

valor-p para os diversos valores de ‘𝑘’.

𝒌 𝑵=121 𝑵=189

MSE

S-WLSC

MSE

S-WLS valor-p

MSE

S-WLSC

MSE

S-WLS valor-p

72 2,41 2,65 0,000* 2,40 2,69 0,000*

84 2,27 2,32 0,149 2,19 2,33 0,000*

96 2,33 2,35 0,322 2,20 2,37 0,000*

108 2,26 2,32 0,072 2,18 2,32 0,000*

120 2,27 2,31 0,140 2,14 2,24 0,006*

132 2,33 2,38 0,077 2,20 2,34 0,000*

144 2,31 2,35 0,152 2,17 2,29 0,002*

156 2,29 2,34 0,080 2,16 2,29 0,001*

180 2,30 2,32 0,327 2,18 2,33 0,000* Nota: ( * ) valor-p < 1%; ( ** ) valor-p < 5%.

Tabela 6.9 MSE do S-WLSC e MSE do S-WLS, (x106), variando ‘𝒌’ para 𝑨/𝒔

=6, b=40% (𝑵=121 e 189). Valores baseados no teste t, unilateral, de

comparação de médias

Gráfico 6.36 MSE S-WLSC e MSE S-

WLS (x106) considerando 𝑨/𝒔 =6 e 𝒃=

40%, para diversos valores de 𝒌

(N=121)


S-WLS (x106) considerando 𝑨/𝒔 =6

e 𝒃= 40%, para diversos valores de

𝒌 (N=189)

S-WLS C S-WLS C S-WLS S-WLS

DBD



Quanto aos valores da razão ‘𝐴/𝑠’, os Gráficos 6.38 e 6.39 mostram a MSE

do S-WLSC e do filtro S-WLS, para 𝑁=121 e 𝑁=189, respectivamente.

A Tabela 6.10 apresenta os valores da MSE de cada filtro, para os diversos

valores de ‘𝐴/𝑠’, utilizados nos Gráficos 6.38 e 6.39.

𝑨/𝒔

N=121 N=189

MSE

S-WLSC

MSE

S-WLS valor-p

MSE

S-WLSC

MSE

S-WLS valor-p

1 81,69 78,04 0,998 78,42 78,04 0,603

2 20,22 19,44 0,987 19,11 19,00 0,637

3 9,05 8,76 0,984 8,62 8,70 0,299

4 5,11 5,04 0,798 4,95 5,10 0,059

5 3,30 3,29 0,571 3,10 3,22 0,016**

6 2,32 2,34 0,286 2,16 2,33 0,000*

8 1,30 1,38 0,000* 1,20 1,39 0,000*

10 0,84 0,94 0,000* 0,80 0,99 0,000*


Tabela 6.10 MSE S-WLSC e MSE S-WLS, (x106), variando ‘𝑨/𝒔’, para 𝒌

=96, 𝒃 =40% (𝑵= 121 e 189). Valores baseados no teste t, unilateral, de


Observa-se na Tabela 6.10 que, em se tratando de 𝑁=189, o S-WLSC é

significativamente superior ao filtro S-WLS para 𝐴/𝑠 ≥ 5, enquanto que para o filtro

de tamanho 121, isso ocorre somente quando 𝐴/𝑠 ≥ 8.


WLS (x106) considerando 𝒌=96, 𝒃= 40%,

para diversos valores de 𝑨/𝒔 (N=121)


WLS (x106) considerando 𝒌=96, 𝒃= 40%,


S-WLSC S-WLS

S-WLSC S-WLS

DBD



Por fim, para ilustrar a qualidade do ajuste sazonal realizado pelo filtro S-

WLSC, no caso das séries mensais multiplicativas, foram gerados os espectros da

componente irregular, considerando séries com 𝑘 = 72 e 𝑘 = 96, para 𝐴/𝑠 = 6,5 e

𝑏 = 40% e 𝑏 = 10%. Nesse momento, foi utilizado o filtro S-WLSC de tamanho

121.

Nos Gráficos 6.40 a 6.43, observa-se que o filtro S-WLSC realiza um ajuste

sazonal adequado, pois não se notam picos nas frequências sazonais, ou próximos

a elas. Vale citar que nesses gráficos não foi incluída a componente de tendência.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40



WLSC, sem tendência, e: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌=

72; 𝒃 = 40% (N=121)



S-WLSC, sem tendência, e: 𝑨/𝒔

=6,5; 𝒌= 96; 𝒃 = 40% (N=121)




WLSC, sem tendência, e: 𝑨/𝒔 =6,5;

𝒌= 72; 𝒃 = 10% (N=121)



S-WLSC, sem tendência, e: 𝑨/𝒔

=6,5; 𝒌= 96; 𝒃 = 10% (N=121)



DBD



No caso de haver componente de tendência na série, os espectros da

componente irregular, resultantes da aplicação do filtro de dessazonalização S-

WLSC, seriam os seguintes:

Observando os Gráficos 6.44 a 6.47, nota-se que não há picos nas frequências

sazonais, ou próximos a elas, o que indica uma correta dessazonalização.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40



WLSC, com tendência, e: 𝑨/𝒔 =6,5;

𝒌= 72; 𝒃 = 40% (N=121)




𝒌= 96; 𝒃 = 40% (N=121)




S-WLSC, com tendência, e: 𝑨/𝒔

=6,5; 𝒌= 72; 𝒃 = 10% (N=121)




=6,5; 𝒌= 96; 𝒃 = 10% (N=121)



DBD



6.5. Série trimestral aditiva – filtro S-WLSC

A seguir, na Subseção 6.5.1, é especificada a seleção da combinação de

parâmetros para cada tamanho (𝑁) de filtro da séries trimestrais, juntamente com a

resposta em magnitude de cada filtro. Na Subseção 6.5.2 é apresentado o resumo

dos filtros selecionados; e na Subseção 6.5.3 é apresentada a comparação do filtro

S-WLSC com o filtro S-WLS, para séries trimestrais com decomposição aditiva.

6.5.1.

Seleção do melhor filtro para cada ‘𝑵’: filtro trimestral

A decisão em relação ao melhor filtro foi tomada com base em sinais

artificiais, com vários valores para ‘𝐴/𝑠’, ‘𝑏’ e ‘𝑘’, definidos na Equação (5-2). Os

resultados são apresentados separadamente – para cada ‘𝑁’. Nas comparações, foi

utilizado o filtro S-WLS.

6.5.1.1.

Resultado: filtro S-WLSC trimestral com 𝑵 = 41

Nos filtros S-WLSC, quanto maior o Γ, menor é a 𝑆𝑄, mas o |1 − 𝛾1| piora,

ou seja, aumenta. Então, foram necessárias algumas comparações para verificar

qual das combinações de valores dos parâmetros gerava resultados com maior SNR.

Após as verificações, o filtro escolhido foi o que apresentou a seguinte estrutura:

𝛂 =𝟏

𝟑, 𝜹 =

𝟏

𝟓𝟎𝟎, 𝒘𝟎 = 𝟐, 𝚪 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔.

A resposta em magnitude do filtro S-WLSC de tamanho 41 está apresentada

a seguir, no Gráfico 6.48. No gráfico ao lado, está a comparação dela com a resposta

em magnitude do filtro S-WLS, juntamente com o filtro desejado (esperado). E, na

sequência (Gráfico 6.50), é apresentada uma ampliação da banda passante,

mostrando ripple menor na resposta em magnitude do filtro S-WLSC.

DBD




6.5.1.2.

Resultado: filtro S-WLSC trimestral com 𝑵 = 43 e 65

O filtro que gerou SNR maior do que a do filtro S-WLS, para tamanhos 𝑁=43

e 𝑁=65, foi o que apresentava a seguinte configuração:

𝛂 =𝟏

𝟑, 𝜹 =

𝟏

𝟓𝟎𝟎, 𝒘𝟎 = 𝟐, 𝚪 = 𝟎, 𝟎𝟏.

As respostas em magnitude dos filtros S-WLSC de tamanho 43 e 65 estão

apresentadas a seguir, nos Gráficos 6.51 e 6.54, respectivamente. Ao lado de cada

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

WLSC

esperado

FP1

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

WLSC

esperado

FP1


do filtro S-WLSC (𝑵=41)


do filtro S-WLSC, do S-WLS e o

esperado (𝑵=41)



DBD



uma, está a comparação com a resposta em magnitude do filtro S-WLS, juntamente

com a função do filtro desejado (esperado). E, em seguida uma ampliação da banda

passante, mostrando que o ripple da resposta em magnitude do filtro S-WLSC é

menor do que o do filtro S-WLS.

No Gráfico 6.53, a seguir, observa-se um menor ripple na banda passante do

filtro S-WLSC, quando comparado com o filtro S-WLS.

Gráfico 6.53 Banda passante dos filtros S-WLSC e S-WLS (N=43)

Em relação ao filtro de tamanho 65 (Gráfico 6.55), notam-se as bandas de

transição sobrepostas, mas uma boa redução do ripple na banda passante do S-

WLSC. Nota-se também que a atenuação da banda de rejeição do filtro S-WLSC é

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

FP1

WLSC

esperado

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

FP1

WLSC

esperado


do filtro S-WLSC (N =43)



esperado, para (N =43)



S-WLS

S-WLSC

DBD



menor. Entretanto, espera-se que o compromisso entre o erro de estimativa da

sazonalidade (ripple na banda passante) e a atenuação da banda de rejeição seja

melhor no filtro S-WLSC.


6.5.1.3.


Para 𝑁 = 49, o filtro escolhido foi:

𝛂 =𝟏

𝟑, 𝜹 =

𝟏

𝟏𝟐𝟎, 𝒘𝟎 = 𝟏, 𝚪 = 𝟎, 𝟎𝟐.

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

FP1

WLSC

esperado

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

FP1

WLSC

esperado





esperado (N =65)



DBD



A resposta em magnitude do filtro S-WLSC, de tamanho 49, está apresentada

a seguir, no Gráfico 6.57. Ao lado dela, está a comparação com a função do filtro

S-WLS, juntamente com o filtro desejado (esperado). E, em seguida, no Gráfico

6.59, tem-se uma ampliação da banda passante, mostrando um ripple menor do S-

WLSC, se comparado ao filtro S-WLS.

Nesse filtro de tamanho 49, observa-se que a atenuação na banda de rejeição

do filtro S-WLSC é muito parecida com atenuação no filtro S-WLS. Nota-se,

também, que a banda de transição dele é um pouco menor do que a do filtro S-WLS,

o que é positivo para a SNR do S-WLSC, pois isso reduz a SQ.


0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

FP1

WLSC

esperado

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

FP1

WLSC

esperado





esperado (N =49)




DBD



6.5.1.4.


Para a seleção do filtro de tamanho 67, o filtro escolhido com base nos

resultados da SNR foi:

𝛂 =𝟏

𝟑, 𝜹 =

𝟏

𝟐𝟓𝟎, 𝒘𝟎 = 𝟏, 𝚪 = 𝟎, 𝟎𝟏.

A resposta em magnitude do filtro S-WLSC, de tamanho 67, está apresentada

no Gráfico 6.60. Ao lado dele, está a comparação com a função do filtro S-WLS,

juntamente com o filtro desejado (esperado). E, em seguida, é ilustrada a banda

passante, ampliada, mostrando o ripple no filtro S-WLSC menor do que o do filtro

S-WLS.

Nota-se que a atenuação na banda de rejeição do filtro S-WLSC é menor do

que a atenuação no filtro S-WLS, mas por outro lado o filtro S-WLSC possui menor

ripple na banda passante. Essas características atuam na SNR da seguinte forma: a

menor atenuação na banda de rejeição aumenta a 𝑆𝑄, o que é ruim para a SNR do

filtro; mas um menor ripple na banda passante, diminui o valor de |1 − 𝛾1|,

contribuindo para uma SNR maior.


0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

FP1

WLSC

esperado

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

0.85

0.9

0.95

1

1.05

FP1

WLSC

esperado



Gráfico 6.61 Resposta em magnitude do

S-WLSC, do S-WLS e esperado (N=67)




DBD



6.5.1.5.


Para o filtro trimestral de tamanho 51, de todas as combinações testadas de

valores para os parâmetros do filtro, nenhuma obteve bons resultados. A

convergência do filtro foi difícil de ser atingida e quando acontecia, o resultado da

SNR não era competitivo frente ao filtro S-WLS. Com isso, decidiu-se adotar o

filtro de menor tamanho (49), na comparação com o filtro S-WLS de tamanho 51.

A resposta em magnitude do filtro S-WLSC de tamanho 49 está apresentada

no Gráfico 6.63. Ao lado dela, está a comparação com a função do filtro S-WLS de

tamanho 51, juntamente com o filtro desejado (esperado). E em seguida (Gráfico

6.65), é apresentada uma ampliação da banda passante, mostrando que o ripple é

menor no filtro S-WLSC.

É interessante observar que, nesse caso, a atenuação na banda de rejeição do

filtro S-WLSC é maior se comparada ao filtro S-WLS.


0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

FP1

WLSC

esperado

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

WLSC

FP1

esperado


do filtro S-WLSC (N=49)


do filtro S-WLSC (N=49), do S-WLS

(N=51) e o esperado



DBD



6.5.2. Parâmetros do filtro S-WLSC para séries trimestrais

A Tabela 6.11 apresenta os valores dos parâmetros selecionados na Subseção

6.5.1, para cada tamanho de filtro S-WLSC.

N 𝜶 𝜹 𝚪 𝒘𝟎

41 1/3 1/500 0,006 2

43 1/3 1/500 0,01 2

65 1/3 1/500 0,01 2

67 1/3 1/250 0,01 1

49 1/3 1/120 0,02 1

51* 1/3 1/120 0,02 1

Nota (*) Para N = 51, usar o filtro de tamanho 49.

Tabela 6.11 Filtros S-WLSC trimestrais para cada N

Os valores relacionados às medidas necessárias para o cálculo da SNR, ou

seja, 𝑆𝑄, 𝛾0 e |1 − 𝛾1| de cada filtro, estão apresentados na Tabela 6.12.

N 𝑺𝑸 𝜸𝟎 |𝟏 − 𝜸𝟏|

41 0,2919 1,0052 0,1296

43 0,2849 0,9963 0,1626

65 0,2718 0,9994 0,1658

67 0,2675 0,9895 0,1781

49 0,2644 1,0144 0,2331

51 0,2644 1,0144 0,2331

Tabela 6.12 Valores de SQ e 𝜸𝒔 para os filtros S-WLSC trimestrais, para

𝒌=24

Para ilustrar a qualidade do ajuste sazonal realizado pelo filtro S-WLSC,

foram gerados espectros da componente irregular, considerando séries com 𝑘 = 24

e 𝑘 = 32, para 𝐴/𝑠 = 6 e 𝑏 = 40%, apresentados nos Gráficos 6.66 e 6.67. Observa-

se que, tanto para 𝑘 =24 quanto para 𝑘 =32, o filtro S-WLSC realiza um ajuste

sazonal adequado, pois não se notam picos nas frequências sazonais, ou próximos

a elas. Nessa análise, foi utilizado o filtro de tamanho 43.

DBD



6.5.3. Comparação do filtro S-WLSC com o filtro S-WLS, para séries trimestrais com decomposição aditiva

O objetivo desta subseção é comparar a SNR do filtro S-WLSC com a SNR

do filtro S-WLS, para identificar as situações em que o S-WLSC é superior ao filtro

S-WLS e, nesses casos, mensurar o ganho ao se utilizar o filtro S-WLSC.

Nessa comparação, foram considerados os seguintes valores em relação às

características sazonais das séries: 𝑘 = 32, 𝑏 = 40% e 𝐴/𝑠 = 6. A SNR dos filtros

foi calculada, assim como a razão SNR S−WLSC

SNR S−WLS. Os valores estão apresentados na

tabela a seguir.

N SNR

S-WLSC

SNR

S-WLS

SNR S-WLSC

SNR S-WLS

41 66,5 63,8 1,042

43 68,1 63,7 1,069

49 72,4 69,1 1,048

51 72,4 69,3 1,045

65 71,5 69,9 1,022

67 72,1 69,9 1,031

Tabela 6.13 SNRs e razão entre as SNRs, para 𝑨/𝒔 =6, 𝒃 =40% 𝒌 =32 (Eq. 5-

2), considerando todos os filtros trimestrais: comparação entre S-WLSC e S-

WLS

Na Tabela 6.13, observa-se que o melhor tamanho de filtro para o S-WLSC,

em comparação com o filtro S-WLS, é o 43, por possuir maior razão entre as SNRs.

Já quando 𝑁 = 65, a razão entre as SNRs é a menor de todas, indicando ser esse o

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

50

100

150

200

250


série dessazonalizada pelo S-WLSC

(N=43), com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 24 e 𝒃 = 40%

(Eq. 5-2)


da série dessazonalizada pelo S-

WLSC (N=43), com: 𝑨/𝒔 =6, 𝒌= 32 e

𝒃 = 40% (Eq. 5-2)


DBD



melhor caso para o filtro S-WLS, em relação ao S-WLSC. Em razão disso, nas

comparações futuras, serão usados apenas os tamanhos de filtro 43 e 65.


e S-WLS de tamanho 43 e 65, para diferentes valores da taxa de variação da

amplitude sazonal (𝑏). Quanto maior é o valor de ‘𝑏’ mais alta é a razão entre a

SNR do S-WLSC e a SNR do S-WLS, significando uma melhor adequação do S-

WLSC, tanto para 𝑁 =43, quanto para 𝑁 =65.

Gráfico 6.68 Razão entre a SNR S-WLSC e a SNR S-WLS considerando 𝑨/𝒔

=6 e 𝒌= 32, para diversos valores de 𝒃: comparação entre N=43 e N=65

Os Gráficos 6.69 e 6.70 mostram as SNRs dos filtros S-WLSC e S-WLS, para

cada valor de ‘𝑏’, considerando os tamanhos 43 e 65, separadamente. Nota-se que,

à medida que ‘𝑏’ aumenta, o distanciamento entre as SNRs dos filtros de tamanho

43 é mais acentuado, se comparado aos filtros de tamanho 65.

Gráfico 6.69 SNR S-WLSC e SNR S-

WLS considerando 𝑨/𝒔 =6 e 𝒌= 32,

para diversos valores de 𝒃 (N=43)


WLS considerando 𝑨/𝒔 =6 e 𝒌= 32,

para diversos valores de 𝒃 (N=65)

DBD



Os valores apresentados nos Gráficos 6.69 e 6.70 estão dispostos na Tabela 6.14:

𝒃

𝑵 =43 𝑵 =65

SNR

S-WLSC

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC /

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC

SNR S-

WLS

SNR

S-WLSC /

SNR

S-WLS

10% 63,4 60,0 1,057 66,6 65,5 1,017

15% 63,8 60,3 1,058 67,0 65,8 1,017

20% 64,4 60,8 1,059 67,5 66,4 1,018

25% 65,1 61,3 1,061 68,3 67,0 1,019

30% 65,9 62,0 1,063 69,2 67,9 1,020

40% 68,1 63,7 1,069 71,5 69,9 1,022

50% 71,0 65,9 1,077 74,4 72,6 1,026

60% 74,4 68,5 1,086 78,0 75,8 1,030

70% 78,5 71,6 1,096 82,3 79,5 1,035

80% 83,2 75,0 1,108 87,2 83,8 1,041

Tabela 6.14 SNR S-WLSC e SNR S-WLS, variando 𝒃 para 𝑨/𝒔 =6, 𝒌 =32 e 𝑵 =

43 e 65


e S-WLS, de tamanho 43 e 65, para diferentes valores da taxa de ‘𝑘’. Vale lembrar

que o parâmetro ‘𝑘’ indica o tempo (em trimestres) necessário para o padrão de

sazonalidade móvel se repetir. Diferente do que ocorre com a variação de ‘𝑏’, à

medida que ‘𝑘’ aumenta, a razão entre as SNRs se mantém constante.

Gráfico 6.71 Razão entre a SNR do S-WLSC e a SNR S-WLS considerando

𝑨/𝒔 =6 e 𝒃= 40%, para diversos valores de 𝒌: comparação entre N=43 e N=65

DBD



Os Gráficos 6.72 e 6.73 mostram as SNRs individuais (dos filtros S-WLSC e

S-WLS), com a variação de ‘𝑘’, para cada 𝑁, separadamente. E a Tabela 6.15

apresenta os valores usados para a construção desses gráficos.

Observando os resultados, nota-se que, para 𝑘 ≥ 32, a SNR do filtro S-WLSC

permanece constante. Além disso, vale citar que o único caso em que o filtro S-

WLSC apresenta SNR menor do que o filtro S-WLS, ocorre quando 𝑘 =24, no filtro

de tamanho 65. Como o filtro foi definido com 𝛼 =1/3, o que equivale a 𝑘 =24, ele

pode apresentar instabilidade no ajuste de séries com esse valor de 𝑘.

𝒌

𝑵 =43 𝑵 =65

SNR

S-WLSC

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC /

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC /

SNR

S-WLS

24 60,1 56,1 1,072 62,4 65,3 0,957

28 67,3 63,7 1,057 71,4 69,9 1,022

32 68,1 63,7 1,069 71,5 69,9 1,022

36 68,1 63,7 1,069 71,5 70,2 1,018

40 68,1 63,7 1,069 71,5 70,3 1,017

44 68,1 63,8 1,068 71,5 70,3 1,017

48 68,1 64,0 1,065 71,5 70,3 1,017

80 68,1 64,2 1,062 71,5 70,3 1,016

Tabela 6.15 SNR S-WLSC e SNR S-WLS, variando k para 𝑨/𝒔=6, 𝒃=40% e

𝑵=43 e 65


WLS considerando 𝑨/𝒔 =6 e 𝒃= 40%,

para diversos valores de 𝒌 (N=43)



40%, para diversos valores de

𝒌 (N=65)

DBD



Em relação à razão entre as SNRs dos filtros S-WLSC e S-WLS, para

diferentes valores da razão ‘𝐴/𝑠’, é apresentado o Gráfico 6.74, com os resultados

encontrados.

A razão ‘𝐴/𝑠’ indica a amplitude do sinal sazonal em relação ao ruído. Nota-

se que se ‘𝐴/𝑠’ apresentar valor baixo (1 ou 2), a SNR do S-WLSC é menor do que

a do filtro S-WLS, para 𝑁 = 43. Isso ocorre porque a atenuação na banda de rejeição

do S-WLSC é menor do que no filtro S-WLS. A partir de 𝐴/𝑠 = 3, a SNR do S-

WLSC supera a SNR do filtro S-WLS para os dois valores de 𝑁 testados. Além

disso, observa-se que quanto maior for a razão ‘𝐴/𝑠’, mais adequado é o ajuste

sazonal realizado pelo S-WLSC se comparado ao ajuste do filtro S-WLS.

Gráfico 6.74 Razão entre a SNR do S-WLSC e a do S-WLS considerando

𝒌=32, 𝒃=40%, para diversos valores de 𝑨/𝒔: comparação entre N=43 e N=65

Os Gráficos 6.75 e 6.76 mostram as SNRs individuais dos filtros segundo os

valores de ‘𝐴/𝑠’, considerando 𝑁 = 43 e 𝑁 = 65, respectivamente.

Nesses gráficos, nota-se o distanciamento entre as SNRs dos filtros à medida

que a razão ‘𝐴/𝑠’ aumenta. Para 𝑁 = 43 (Gráfico 6.75), o distanciamento entre as

SNRs é mais acentuado, se comparado aos filtros de tamanho 65.

DBD



A tabela a seguir, apresenta os valores usados para a construção dos Gráficos

6.74 a 6.76:

𝑨/𝒔

𝑵 =43 𝑵 =65

SNR

S-WLSC

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC /

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC

SNR

S-WLS

SNR

S-WLSC /

SNR

S-WLS

1 1,9 1,9 0,984 2,0 2,0 1,007

2 7,6 7,6 0,992 7,9 7,9 1,008

3 17,1 17,0 1,004 17,9 17,7 1,011

4 30,3 29,7 1,021 31,8 31,4 1,014

5 47,3 45,4 1,043 49,6 48,8 1,018

6 68,1 63,7 1,069 71,5 69,9 1,022

8 121,0 106,5 1,137 127,0 122,8 1,035

10 188,8 154,3 1,224 198,4 188,8 1,050

Tabela 6.16 SNR S-WLSC e SNR S-WLS, variando 𝑨/𝒔, para 𝒌 = 32, 𝒃 = 40% e

𝑵 = 43 e 65


S-WLS considerando 𝒌=32, 𝒃= 40%,



WLS considerando 𝒌=32, 𝒃= 40%, para

diversos valores de 𝑨/𝒔 (N=65)

DBD



6.6. Série trimestral multiplicativa – filtro S-WLSC vs filtro S-WLS

Com o filtro trimestral já definido, testou-se o desempenho do S-WLSC em

relação ao filtro S-WLS para as séries trimestrais com decomposição multiplicativa.

Nesta subseção são comparados os resultados, utilizando-se a estatística MSE.

Nos testes, foram utilizados os filtros de tamanho 43 e 65. Como padrão para

a componente de tendência, utilizou-se a série Y91; e para os coeficientes da

componente sazonal artificial, foi usado o padrão da série Y99.

Para a componente irregular, foram geradas 100 séries, com distribuição

N(0,²), com base no desvio-padrão da irregular das séries reais. Com isso,

calculou-se a média e o desvio-padrão da MSE.

Os valores utilizados foram os seguintes:

𝑨 𝒔 b0 b1 b2 b3

0,03 0,0046 1504 -23,41 3,8097 0,004

Tabela 6.17 Valores da componente de tendência, desvio-padrão da irregular e

amplitude da componente sazonal

Os Gráficos 6.77 e 6.78 ilustram a MSE do filtro S-WLSC e do filtro S-WLS

para diversos valores de ‘𝑏’, quando 𝑁=43 e 𝑁=65, respectivamente. E a Tabela

6.18 apresenta os valores da MSE de cada filtro, para os valores de ‘𝑏’, utilizados

nos gráficos.

Analisando os gráficos e a tabela, nota-se uma melhora significativa na MSE

do filtro S-WLSC, em comparação com o filtro S-WLS, para o caso em que 𝑁 =

43. Já para o caso em que 𝑁 = 65, o S-WLSC só é significativamente melhor quando

𝑏 ≥ 40%.



𝑨/𝒔= 6, para diversos valores de 𝒃:𝑵

=43




𝑵 =65

DBD



𝒃 𝑵=43 𝑵=65

MSE

S-WLSC

MSE

S-WLS valor-p

MSE

S-WLSC

MSE

S-WLS valor-p

10% 6,06 6,52 0,000* 5,86 5,97 0,143

15% 6,09 6,53 0,000* 5,84 5,95 0,146

20% 6,06 6,56 0,000* 5,85 5,98 0,108

25% 6,10 6,58 0,000* 5,85 5,96 0,166

30% 6,12 6,61 0,000* 5,92 6,04 0,138

40% 6,10 6,55 0,000* 5,84 6,00 0,044**

50% 6,16 6,69 0,000* 5,95 6,11 0,065

60% 6,23 6,72 0,000* 5,87 6,09 0,012**

70% 6,23 6,77 0,000* 5,73 5,98 0,011**

80% 6,11 6,64 0,000* 5,85 6,14 0,003*


Tabela 6.18 SNR S-WLSC e SNR S-WLS, (x106), variando ‘𝒃’ para 𝑨/𝒔 =6,

𝒌=32 (𝑵 = 43 e 65)

DBD



A MSE dos filtros, segundo os diversos valores de ‘𝑘’, está ilustrada nos

Gráficos 6.79 e 6.80, para os tamanhos 43 e 65, e na Tabela 6.19. Nota-se que,

considerando 𝑁=43, o S-WLSC é novamente melhor em todos os casos, ou seja,

para todos os valores de ‘𝑘’. No entanto, quando 𝑁=65, o S-WLSC não é

significativamente superior ao filtro S-WLS em nenhum dos casos.

𝒌

𝑵=43 𝑵=65

MSE

S-WLSC

MSE

S-WLS valor-p

MSE

S-WLSC

MSE

S-WLS valor-p

16 35,6 37,9 0,000* 56,8 51,4 1,000

20 11,6 15,0 0,000* 20,1 19,8 0,990

24 6,8 8,0 0,000* 6,8 6,9 0,085

28 6,1 6,6 0,000* 5,8 5,9 0,171

32 6,2 6,7 0,000* 5,9 6,1 0,087

36 6,2 6,7 0,000* 5,9 6,1 0,116

40 6,1 6,6 0,000* 5,8 5,8 0,237

44 6,2 6,8 0,000* 5,8 5,9 0,191

48 6,1 6,5 0,000* 5,7 5,8 0,163

80 6,0 6,4 0,000* 5,9 5,9 0,242


Tabela 6.19 MSE do S-WLSC e MSE do S-WLS, (x106), variando ‘𝒌’ para 𝑨/𝒔

=6, 𝒃 =40% (𝑵=43 e 65)


S-WLS (x106) considerando 𝑨/𝒔 =6,5

e 𝒃= 40%, para diversos valores de 𝒌

(N=43)

Gráfico 6.80 MSE S-WLSC e

MSE S-WLS (x106) considerando

𝑨/𝒔 =6,5 e 𝒃= 40%, para diversos

valores de 𝒌 (N=65)

DBD



Quanto aos valores da razão ‘𝐴/𝑠’, os Gráficos 6.81 e 6.82 e a Tabela 6.20

mostram a MSE do S-WLSC e do filtro S-WLS, para 𝑁=43 e 𝑁=65,

respectivamente. Com base nisso, pode-se observar que, em se tratando de 𝑁=43,

o S-WLSC é significativamente superior ao filtro S-WLS para 𝐴/𝑠 ≥ 5; enquanto

que para o filtro de tamanho 65, isso ocorre somente quando 𝐴/𝑠 ≥ 8.

A tabela a seguir apresenta os valores da MSE de cada filtro, para os diversos

valores de ‘𝐴/𝑠’, utilizados nos Gráficos 6.81 e 6.82.

𝑨/𝒔

𝑵=43 𝑵=65

MSE

S-WLSC

MSE

S-WLS valor-p

MSE

S-WLSC

MSE

S-WLS valor-p

1 261,49 256,50 0,896 251,59 252,46 0,417

2 64,16 63,57 0,708 61,61 61,68 0,471

3 29,16 29,24 0,436 27,28 27,51 0,290

4 16,47 16,72 0,186 15,74 15,92 0,238

5 10,59 10,96 0,027** 9,94 10,08 0,204

6 7,20 7,66 0,000* 7,10 7,26 0,116

8 4,04 4,56 0,000* 3,83 3,97 0,042**

10 2,63 3,23 0,000* 2,51 2,65 0,002*


Tabela 6.20 MSE S-WLSC e MSE S-WLS, (x106), variando ‘𝑨/𝒔’, para 𝒌

=32, 𝒃 =40% (𝑵 = 43 e 65). Valores baseados no teste t, unilateral, de




𝒃= 40%, para diversos valores de

𝑨/𝒔 (N=43)



𝒃= 40%, para diversos valores de

𝑨/𝒔 (N=65)

MSE S-WLSC

MSE S-WLS

DBD



Por fim, para ilustrar a qualidade do ajuste sazonal realizado pelo filtro S-

WLSC, no caso das séries trimestrais multiplicativas, foram gerados os espectros

da irregular, considerando séries com 𝑘 =24 e 𝑘 =32, para 𝐴/𝑠 = 6,5 e 𝑏 = 40%.

Nesse momento, foi utilizado o filtro de tamanho 43. Eles estão apresentados nos

Gráficos 6.83 e 6.84.

Observa-se que tanto para 𝑘 =24, quanto para 𝑘 =32, o filtro S-WLSC realiza

um ajuste sazonal adequado, pois não se notam picos nas frequências sazonais, ou

próximos a elas (Gráficos 6.83 e 6.84, respectivamente).

Ao comparar o ajuste realizado pelo filtro S-WLSC (Gráficos 6.83 e 6.84),

com o ajuste do filtro S-WLS (Gráficos 6.85 e 6.86), percebe-se um melhor

desempenho do filtro S-WLSC, pois na frequência fundamental (1

4), o espectro não

possui qualquer pico. Vale citar que nesses gráficos não foi incluída a componente

de tendência.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20



WLSC, com: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 24; 𝒃 = 40%

(𝑵 =43)



S-WLSC, com: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 32; 𝒃 =

40% (𝑵=43)




S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 24; 𝒃 =

40% (𝑵 =43)



S-WLS, com: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌= 32; 𝒃 =

40% (𝑵 =43)


Nada na

frequência 1/4 Nada na

frequência 1/4

Mini pico na

frequência

1/4

Mini pico na

frequência

1/4

DBD



Caso houvesse a componente de tendência na série, e ela fosse

dessazonalizada pelo filtro S-WLSC, os espectros da componente irregular para 𝑘

=24 e 32, 𝑏 = 40% e 10%, e 𝐴/𝑠 = 6,5, seriam os seguintes (Gráficos 6.87 a

6.90):

Com base nesses gráficos, nota-se que o filtro S-WLSC realiza uma

dessazonalização adequada, também nas séries com tendência, pois não existem

picos nas frequências sazonais, ou próximos a elas.

Este capítulo apresentou o segundo filtro para a extração da sazonalidade,

aqui chamado de S-WLSC, e comparou o seu desempenho com o filtro proposto

anteriormente (S-WLS).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20



WLSC, com tendência, e: 𝑨/𝒔 =6,5; 𝒌=

24; 𝒃 = 40% (𝑵 =43)




=6,5; 𝒌= 32; 𝒃 = 40% (𝑵 =43)





𝒌= 24; 𝒃 = 10% (𝑵 =43)




=6,5; 𝒌= 32; 𝒃 = 10% (𝑵 =43)


Nada na

frequência 1/4 Nada na

frequência 1/4

Nada na

frequência

1/4

Nada na

frequência

1/4

DBD


7 Considerações Finais e Sugestões

Neste capítulo são apresentadas as considerações finais quanto ao estudo

realizado nesta tese. O capítulo está organizado em duas seções: a Seção 7.1

apresenta as conclusões a respeito dos filtros propostos para o ajuste sazonal; e a

Seção 7.2 fornece recomendações para futuros estudos relacionadas ao assunto.

7.1. Considerações Finais

Esta tese apresentou dois projetos de filtros de extração da componente

sazonal, robustos a variações na sazonalidade. O primeiro projeto utilizou critérios

baseados em mínimos quadrados, enquanto que o segundo combinou a abordagem

de mínimos quadrados com as características dos filtros de Chebyshev. Ao primeiro

projeto intitulou-se ‘filtro sazonal-WLS’ – S-WLS e ao segundo projeto, ‘filtro

sazonal-WLS-Chebyshev’ – S-WLSC.

O desempenho do filtro S-WLS foi comparado com o desempenho do método

X-11. A decisão de comparar os resultados do filtro S-WLS com o X-11 se deve ao

fato do X-11 ser o método utilizado por muitas agências governamentais. Além

disso, trata-se de um filtro ad hoc, assim como o S-WLS. Os resultados das

comparações indicaram que quanto maior for o grau de sazonalidade móvel – tanto

em relação à taxa de variação da amplitude sazonal, quanto em relação ao tempo

que o padrão sazonal volta a se repetir – melhor é o ajuste do filtro S-WLS em

relação ao do X-11. Essas comparações foram realizadas no domínio do tempo, com

base nas estatísticas MSE e MAD, e no domínio da frequência, utilizando-se a razão

sinal ruído e o espectro da componente irregular.

Nas comparações realizadas entre o filtro S-WLS e o X-11, foram utilizadas

séries artificiais. Para a obtenção dos valores desses séries, foram analisadas 250

séries macroeconômicas, brasileiras e estrangeiras, sendo 144 mensais e 106

trimestrais. Utilizando-se o programa X-13A-S, realizou-se uma análise sobre a

DBD


Capítulo 7. Considerações Finais e Sugestões 254

presença de sazonalidade móvel nessas séries. Ressalta-se que como foram

utilizadas séries de diferentes periodicidades, foi necessário desenvolver filtros

mensais e trimestrais. Os resultados da aplicação dos filtros, nas séries artificiais,

indicaram um desempenho semelhante, apresentando uma boa adequação para o

uso em séries com essas periodicidades.

No que se refere aos modelos de decomposição das componentes não

observáveis, foram considerados neste estudo os modelos aditivo e multiplicativo.

Os filtros sazonais utilizados para as séries com modelo aditivo foram os mesmos

utilizados para as séries com modelo multiplicativo, porém a forma de aplicação

deles foi diferente. Isso ocorreu porque não foi utilizada a transformação

logarítmica nas séries multiplicativas, o que seria equivalente a utilizar o modelo

aditivo. Recorda-se ainda que a transformação logarítmica introduz distorções nas

características espectrais da componente sazonal, sendo esse o principal motivo da

decisão de utilizar os dados originais. Quanto ao desempenho do filtro S-WLS, nos

modelos aditivo e multiplicativo, os resultados foram semelhantes, indicando que o

filtro é robusto, também, ao modelo de decomposição das componentes.

Acresce dizer que nas análises realizadas, foram consideradas séries com, e

sem, componente de tendência. As características da componente de tendência

foram obtidas nas séries reais. Os resultados encontrados com a aplicação do filtro

S-WLS indicaram que a extração da sazonalidade nas séries com componente de

tendência foi equivalente à extração nas séries sem essa componente, o que também

representa um resultado satisfatório para o filtro.

Posteriormente, foi desenvolvido o projeto do segundo filtro: S-WLSC. O

projeto desse filtro tem como principal característica minimizar simultaneamente o

erro na estimativa da sazonalidade e a variância da componente irregular. O

objetivo era deixar a resposta em magnitude o mais retangular possível, como

mencionado por Nettheim (1965), mantendo o compromisso entre o máximo de

erro na banda passante e a atenuação na banda de rejeição, e analisar o impacto no

ajuste sazonal. Os resultados do ajuste sazonal com base no S-WLSC foram

comparados aos obtidos com o sazonal-WLS, utilizando-se séries artificiais,

mensais e trimestrais, com modelo de decomposição aditivo e multiplicativo. Os

resultados indicaram que o filtro S-WLSC apresenta melhor desempenho nos casos

em que o grau de sazonalidade móvel é elevado.

DBD



Vale ressaltar que nesses projetos de filtros foi especificada uma largura para

a banda passante, que permite uma dessazonalização adequada nos casos de

instabilidade da componente sazonal. Tal característica havia sido mencionada por

Nettheim (1965), como sendo de difícil solução para um filtro que se proponha a

tratar a sazonalidade na presença de mudança do padrão sazonal.

Após analisar criteriosamente as situações nas quais o filtro S-WLS e o S-

WLSC se destacam, conclui-se que na presença de sazonalidade móvel o filtro S-

WLS obtém melhores resultados se comparado ao método X-11. E nas situações

em que o grau de sazonalidade móvel é alto – tanto em relação à taxa de variação

da amplitude da componente sazonal, quanto em relação ao tempo com que o

padrão de sazonalidade móvel volta a se repetir – o desempenho do filtro S-WLSC

tende a ser superior ao do filtro S-WLS.

7.2. Sugestões para trabalhos futuros

Esta tese considerou especificamente a questão da sazonalidade móvel e

como ela é tratada no método X-11. No entanto, por não fazer parte do escopo deste

estudo, não foram abordados outros métodos de ajuste sazonal, como o SEATS, por

exemplo. Surge assim a necessidade de estudos futuros que abordem outros

métodos, verificando o desempenho do filtro, aqui proposto, em comparação com

os demais métodos utilizados para a dessazonalização.

Devido ao foco deste estudo estar na escolha automática dos filtros de média

móvel do X-11, não houve a comparação com o filtro de 3-termos, também

utilizado pelo X-11, uma vez que esta opção não faz parte da seleção automática.

Sendo assim, novos estudos podem comparar os resultados com este filtro.

Cabe ainda uma análise a respeito dos testes para sazonalidade móvel,

comparando o teste usado no X-13A-S com os demais. Tal análise seria interessante

para investigar a partir de que nível de sazonalidade, apontado nesses testes, o filtro

S-WLS é mais indicado do que o X-11 para o ajuste sazonal.

Além disso, como o objetivo foi utilizar séries macroeconômicas, pois são as

utilizadas pelas agências governamentais, as periodicidades consideradas foram

apenas a mensal e a trimestral. Porém, os projetos de filtro apresentados podem ser

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adaptados para diferentes periodicidades, como semanal, diária, dentre outras.

Portanto, análises em relação às séries com outras periodicidades podem ser

testadas.

Acredita-se que as análises ora apresentadas, bem como os estudos futuros

aqui propostos, poderão contribuir para o melhoramento dos métodos de ajuste

sazonal.

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APÊNDICE A – Teste para sazonalidade estável

Será apresentado o teste para sazonalidade estável de uma série mensal, com

modelo aditivo. Este texto foi retirado de Pedersen & Fæste (2006).

O teste paramétrico para a presença de sazonalidade estável tem como

hipótese nula, 𝚮𝟎, o fato de que não há sazonalidade estável presente na série.

Para testar essa hipótese é realizado o teste F, de uma ANOVA de 1 fator, cuja

estatística de teste é:

𝐹𝑆 =𝜎𝑚

2

𝜎𝑟2

𝜎𝑚2 =

𝑁

11∑ (��𝑗 − ��)

212𝑗=1 é a variância ‘entre meses’. É a variância explicada

pela sazonalidade estável

𝜎𝑟2 =

1

(𝑁−12)∑ (𝑋𝑖𝑗 + ��𝑗)

2𝑖𝑗 é a variância residual.

O número de graus de liberdade do numerador e do denominador são (12-1)

e (N – 12), respectivamente.

Segundo Dagum (1999), a série utilizada nesse teste é a série original

corrigida pela primeira estimativa de tendência.

Como algumas premissas do teste F são, provavelmente, violadas, o valor da

estatística F, é testado ao nível de significância de 0,1%.

DBD


270

APÊNDICE B – Teste para sazonalidade móvel

Este teste é baseado em Higginson (1975). Trata-se de um teste F de Análise

da Variância (ANOVA) para a presença de sazonalidade móvel, caracterizada por

mudanças graduais na amplitude da razão, ou diferença, da componente sazonal-

irregular. Será apresentado o teste para os modelos aditivos mensais.

Seja (𝑆 + 𝐼)𝑖𝑗 a componente sazonal-irregular correspondente ao ano i, e ao

mês j, j=1,2,...,12. Chama-se, aqui, (𝑆 + 𝐼)𝑖𝑗 de 𝑆𝐼. O teste substitui cada valor de

𝑆𝐼 pelo seu valor absoluto, e realiza uma ANOVA de 2 fatores nos dados

transformados.

O modelo teórico adotado para este estudo é dado pela seguinte equação:

(𝑆 + 𝐼)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑒𝑖𝑗

onde: 𝑎𝑖 representa a contribuição devido ao efeito do i-ésimo ano;

𝑏𝑗 representa a contribuição devido ao efeito do j-ésimo mês;

𝑒𝑖𝑗 é o erro, conhecido como componente irregular, com distribuição normal

com média zero e variância constante.

A análise da variância é baseada na decomposição da variância total das

observações com a soma das variâncias parciais: 𝜎𝑚2 , 𝜎𝑦

2 e 𝜎𝑟2.

𝜎𝑚2 =

𝑁

11∑ (��.𝑗 − ��)

2

𝑗 é a variância ‘entre meses’. Ela mede a magnitude da

sazonalidade, onde ��.𝑗 =1

𝑁∑ |𝑆 + 𝐼|𝑖𝑗

2𝑛𝑖=1 e �� =

1

12𝑁∑ |𝑆 + 𝐼|𝑖𝑗𝑖𝑗 ;

𝜎𝑦2 =

11

𝑁−1∑ (��𝑖. − ��)

2

𝑖 é a variância ‘entre anos’. Ela mede a variação da

sazonalidade, onde ��𝑖. =1

12∑ |𝑆 + 𝐼|𝑖𝑗𝑗 ;

𝜎𝑟2 =

1

11(𝑁−1)∑ (|𝑆 + 𝐼|𝑖𝑗 − ��.𝑗 − ��𝑖. + ��)

2

𝑖𝑗 é a variância residual.

A hipótese nula é de que não há efeito do fator ‘ano’, e com isso não há

alteração no padrão sazonal.

Η0: 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛

Esta hipótese pode ser testada pela razão: 𝐹𝑀 =𝜎𝑦

2

𝜎𝑟2 . Esta estatística de teste é

comparada com o valor da distribuição F-Snedecor com 11 e 11(N-1) graus de

liberdade.

Para os modelos multiplicativos mensais, o teste é análogo ao anterior, sendo

que agora os valores de 𝑆𝐼 são substituídos por desvios absolutos em relação ao

valor 100, ou seja, 𝑆𝐼 = |𝑆𝐼 − 100|.

DBD


271

APÊNDICE C – Cálculo do tamanho do filtro equivalente ao X-11 para séries mensais e trimestrais

Na Subseção 2.3.2 são apresentadas as etapas do método X-11. Em cada uma

são aplicadas diferentes médias móveis. A partir delas, é definido o tamanho do

filtro. O número de observações necessárias em cada uma das etapas, para a seleção

padrão (default) do filtro, está especificado nos quadros a seguir, para séries

mensais e trimestrais, respectivamente.

Etapa Filtro utilizado

Nº de obs.

necessárias

em cada

extremidade

Total

Estágio 1 i Média Móvel 2x12 6 12

ii - – –

iii Média Móvel Sazonal 3x3 24 48

iv - – –

v - – –

Estágio 2 i Filtro de Henderson de 13 termos* 6 12

ii - – –

iii Média Móvel Sazonal 3x5** 36 72

iv - – –

v - – –

Total 72 144 + 1 =

145 (*) Podem ser usados os filtros de tamanho 9 ou 23

(**) Podem ser usados os filtros de MMs 3x3 (48 obs. necessárias) ou 3x9 (120 obs. necessárias) (Findley et al., 1998)

Quadro 1 Tamanho do filtro equivalente para séries mensais

Etapa Filtro utilizado

Nº de obs.

necessárias

em cada

extremidade

Total

Estágio 1 i Média Móvel 2x4 2 4

ii - – ––

iii Média Móvel Sazonal 3x3 8 16

iv - – –

v - – –

Estágio 2 i Filtro de Henderson de 5 termos* 2 4

ii - – –

iii Média Móvel Sazonal 3x5** 12 24

iv - – –

v - – –

Total 24 48 + 1 = 49 (*) Podem ser usados o filtro de tamanho 7

(**) Podem ser usados os filtros de MMs 3x3 (16 obs. necessárias) ou 3x9 (40 obs. necessárias)

Quadro 2 Tamanho do filtro equivalente para séries trimestrais

DBD


272

APÊNDICE D – Dedução das expressões da potência do sinal e da potência do ruído

(1) Potência do ruído do filtro

Para demonstrar a potência do ruído de um filtro, considera-se a figura abaixo,

que representa a resposta do filtro ao impulso.

Onde S𝑋(𝜔) é a densidade espectral de potência do sinal de entrada, ℋ(𝑒𝑗𝜔)

é a transformada de Fourier da resposta em magnitude do sistema linear e S𝑌(𝜔) é

a densidade espectral de potência do sinal de saída.

Com base na figura acima, a potência do ruído é dada por:

1

2𝜋∫ S𝑌(𝜔)𝑑𝜔

𝜋

−𝜋

= 1

2𝜋∫ S𝑋(𝜔) |ℋ(𝑒𝑗𝜔)|²𝑑𝜔

𝜋

−𝜋

= ∫ 𝜎²|ℋ(𝑒𝑗𝜔)|²𝑑𝜔𝜋

−𝜋

= 𝜎2 ∑ℎ(𝑛)2 = 𝜎2 𝑆𝑄

onde ℎ(𝑛) são os coeficientes do filtro; 𝑆𝑄 = soma dos quadrados dos coeficientes

do filtro, também chamada de SQE (soma dos quadrados dos erros); 𝜎2 é a variância

da irregular.

(1.1) Potência do ruído do filtro sazonal-WLS

Considere a figura a seguir, que apresenta os valores referentes à resposta em

frequência na banda passante. Tais valores são (𝛾0), quando se referir à resposta na

frequência fundamental, e (𝛾1), que é a resposta de frequência que mais se desvia

do valor 1, no intervalo equivalente à largura de banda.

ℋ(𝑒𝑗𝜔) S𝑋(𝜔) S𝑌(𝜔) =

S𝑋(𝜔)|ℋ(𝑒𝑗𝜔)|²

DBD


273

No caso dos filtros propostos (S-WLS e S-WLSC), quando γ0 = 1 e

|1 − γ1| = 0, a potência do erro é igual a 𝜎2 𝑆𝑄. Caso contrário, será igual a:

𝜎2 𝑆𝑄 + (1 − γ0)2𝐴2

2+ (1 − γ1)

2𝐴2𝑏2

4

(1.2) Potência do ruído do filtro X-11

Para isso, considere a figura abaixo, onde a linha tracejada representa o

espectro do filtro equivalente ao X-11, e a linha contínua representa a magnitude

do espectro do filtro ideal para um determinado grau de sazonalidade móvel, dado

pelo valor de 𝛼:

No filtro X-11, se β1 = 1 e β2 = 1, a potência do erro é igual a (𝜎2 𝑆𝑄).

Como isso não ocorre, a potência será igual a:

𝜎2 𝑆𝑄 +[(1 − β1)

2 𝐴2𝑏2

4 + (1 − β2)2 𝐴2𝑏2

4 ]

2=

𝜎2 𝑆𝑄 +𝐴2𝑏2

4[(1 − β1)

2 + (1 − β2)2]

Figura Error! No text of specified style in document..1 Definição do

|𝟏 − 𝜸𝟏|

(𝜸𝟎)

𝜶𝟐𝝅

𝑵𝒔

DBD


274

Para diferenciar em relação à potência do erro dos filtros propostos (S-WLS

e S-WLSC), chama-se a soma dos quadrados dos coeficientes do filtro X-11 de 𝑆,

e a variância da componente irregular de 𝑁0.

Sendo assim, a potência do ruído do X-11 é dada por:

𝑆 𝑁0 +𝐴2𝑏2

4[(1 − β1)

2 + (1 − β2)2].

(2) Potência do sinal

Define-se o sinal sazonal artificial como:

𝐴(1 + 𝑏 sen𝜔2 𝑡) cos𝜔1𝑡

onde: 𝜔2 =2𝜋

𝑘 e 𝜔1 =

2𝜋

12

A figura abaixo, que representa o espectro desse sinal sazonal artificial, na

frequência:

A potência do sinal é dada pela amplitude quadrática dele, sendo assim, tem-

se:

{𝐴 cos𝜔1𝑡 +𝐴𝑏

2cos(𝜔1 − 𝜔2)𝑡 +

𝐴𝑏

2cos(𝜔1 + 𝜔2)𝑡 }

2

=

𝐴21

2 +

𝐴2𝑏2

4 1

2 +

𝐴2𝑏2

4 1

2=

𝐴2

2+

𝐴2𝑏2

4

𝝎

DBD


275

APÊNDICE E – Séries históricas mensais brasileiras

ID Série Fonte

X1 Produção física industrial. Índice de base fixa mensal (Base: média de 2002 = 100) - Indústria geral Brasil

Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

X2 Produção física industrial. Indústria geral Ceará

X3 Produção física industrial. Indústria geral Pernambuco

X4 Produção física industrial. Indústria geral Bahia

X5 Produção física industrial. Indústria geral Minas Gerais

X6 Produção física industrial. Indústria geral Espírito Santo

X7 Produção física industrial. Indústria geral Rio de Janeiro

X8 Produção física industrial. Indústria geral São Paulo

X9 Produção física industrial. Indústria geral Paraná

X10 Produção física industrial. Indústria geral Santa Catarina

X11 Produção física industrial. Indústria geral Rio Grande do Sul

X12 Comércio - automotivo e construção - faturamento - índice (média 1998 = 100) - RMSP

Federação do Comércio do Estado de São Paulo, Pesquisa Conjuntural do

Comércio Varejista da Região Metropolitana de São Paulo (Fecomercio

SP)

X13 Comércio - autopeças - faturamento - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X14 Comércio - calçados - faturamento - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X15 Comércio - cine, foto, som e ótica - faturamento - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X16 Comércio - concessionárias de veículos - faturamento - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X17 Comércio - bens duráveis - faturamento - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X18 Comércio - bens não duráveis - faturamento - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X19 Comércio - bens semi-duráveis - faturamento - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X20 Comércio - bens de consumo - faturamento - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X21 Comércio - cine, foto, som, ótica e CD - faturamento - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X22 Comércio - automotivo e construção - faturamento real - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X23 Comércio - autopeças - faturamento real - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X24 Comércio - calçados - faturamento real - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X25 Comércio - cine, foto, som e ótica - faturamento real - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X26 Comércio - cine, foto, som, ótica e CD - faturamento real - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X27 Comércio - bens duráveis - faturamento real - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X28 Comércio - bens não duráveis - faturamento real - índice (média 1998 = 100) - RMSP

DBD


276

ID Série Fonte

X29 Comércio - bens semi-duráveis - faturamento real - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X30 Comércio - bens de consumo - faturamento real - índice (média 1998 = 100) - RMSP

X31 Cheques sem fundo - (%) Serasa

X32 Consumo aparente - álcool carburante - média - qde./dia - Barril (mil) Agência Nacional do

Petróleo (ANP)

X33 Consumo - energia elétrica - Região Centro-Oeste (CO) - qde. - GWh

Eletrobras

X34 Consumo - energia elétrica - Região Nordeste (NE) - qde. - GWh

X35 Consumo - energia elétrica - Região Norte (N) - qde. - GWh

X36 Consumo - energia elétrica - Região Sudeste (SE) - qde. - GWh

X37 Consumo - energia elétrica - Região Sul (S) - qde. - GWh

X38 Consumo aparente - gasolina - média - qde./dia - Barril (mil)

Agência Nacional do Petróleo (ANP)

X39 Consumo aparente - derivados de petróleo - outros - média - qde./dia - Barril (mil)

X40 Consumo aparente - óleo combustível - média - qde./dia - Barril (mil)

X41 Consumo - energia elétrica - comércio - qde. - GWh

Eletrobras

X42 Consumo - energia elétrica - indústria - qde. - GWh

X43 Consumo - energia elétrica - residência - qde. - GWh

X44 Consumo - energia elétrica - qde. - GWh

X45 Consumo - energia elétrica - comércio - tarifa média por MWh - R$

X46 Consumo - energia elétrica - indústria - tarifa média por MWh - R$

X47 Consumo - energia elétrica - residência - tarifa média por MWh - R$

X48 Consumo aparente - gás GLP - média - qde./dia - Barril (mil) Agência Nacional do

Petróleo (ANP)

X49 Consumo - energia elétrica - outros setores - qde. - GWh Eletrobras

X50 Faturamento nominal - indústria - índice (média 2006 = 100) Confederação Nacional

da Indústria X51 Faturamento real - indústria - índice (média 2006 = 100)

X52 Usecheque - número de consultas - Unidade Associação Comercial

de São Paulo X53 SPC - número de registros recebidos - Unidade

X54 Índice de condições econômicas atuais (ICEA) Federação do Comércio do Estado de São Paulo

X55 Venda - fertilizantes - Tonelada Associação Nacional

para Difusão de Adubos

DBD


277

ID Série Fonte

X56 Vendas nominais - indústria - índice (média 2006 = 100) - SP Federação e Centro das

Indústrias do Estado de São Paulo

X57 Vendas reais - varejo - índice (média 2011 = 100)

Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística,

Pesquisa Mensal de Comércio (IBGE/PMC)

X58 Vendas nominais - varejo - índice (média 2011 = 100)

X59 Vendas reais - varejo - combustíveis e lubrificantes - índice (média 2011 = 100)

X60 Vendas reais - varejo - artigos farma., méd., ortoped. e perfum. - índice (média 2011 = 100)

X61 Vendas nominais - varejo - hipermercados e superm. - índice (média 2011 = 100)

X62 Vendas nominais - varejo - móveis e eletrodomésticos índice (média 2011 = 100)

X63 Vendas nominais - varejo - veículos, motos, partes e peças - índice (média 2011 = 100)

X64 Vendas nominais - varejo - materiais de construção - índice (média 2011 = 100)

X65 Vendas reais - varejo ampliado - índice (média 2011 = 100)

X66 Vendas reais - indústria - índice - RJ - (média 2006 = 100) - (%) Federação das Indústrias

do Estado do Rio de Janeiro (Firjan)

X67 Produção industrial - bens de consumo - quantum - índice (média 2002 = 100)


Pesquisa Industrial Mensal - Produção

Física

X68 Produção industrial - bens de consumo duráveis - quantum - índice (média 2002 = 100)

X69 Produção industrial - bens de consumo não duráveis - quantum - índice (média 2002 = 100)

X70 Produção industrial - indústria geral - quantum - índice (média 2002 = 100)

X71 Produção industrial - indústria de transformação - quantum - índice (média 2002 = 100)

X72 Produção industrial - alimentos - quantum - índice (média 2002 = 100)

X73 Produção industrial - bebidas - quantum - índice (média 2002 = 100)

X74 Produção industrial - têxtil - quantum - índice (média 2002 = 100)

X75 Horas trabalhadas - indústria - índice (média 2006 = 100)

Confederação Nacional da Indústria - CNI

X76 Utilização da capacidade instalada - indústria - (%)

X77 Pessoal empregado - indústria - índice (média 2006 = 100)

X78 Produção industrial - bens de capital - quantum - índice (média 2002 = 100)


(IBGE/PIM-PF)

DBD


278

APÊNDICE F – Séries históricas mensais estrangeiras

ID Série Fonte

Y122 Employment Level; USA; Number in thousands BLS, USA

Y128 452: General Merchandise Stores; USA; millions of dollars

Census, USA

Y132 447: Gasoline Stations; USA; millions of dollars

Y133 448: Clothing and Clothing Access. Stores; USA; millions of dollars

Y138 Nonmetallic Mineral Products; U.S.; millions of dollars

Y154 Dairy Product Manufacturing; U.S.; millions of dollars

Y140 Construction Machinery Manufacturing; U.S.; millions of dollars

Y145 Plastics and Rubber Products; U.S.; millions of dollars

Y146 Construction Materials and Supplies; U.S.; millions of dollars

Y149 Food Products; U.S.; millions of dollars

Y156 Beverage and Tobacco Products; U.S.; millions of dollars

Y166 Relative consumer price indices, 2010=100; Iceland

OECD

Y170 Relative consumer price indices, 2010=100; Korea

Y162 Relative consumer price indices, 2010=100; Finland

Y180 Relative consumer price indices, 2010=100; Turkey

Y181 Relative consumer price indices, 2010=100; United Kingdom

Y187 Relative consumer price indices, 2010=100; Indonesia

Y169 Relative consumer price indices, 2010=100; Japan

Y175 Relative consumer price indices, 2010=100; Norway

Y124 44Y72: Retail Trade and Food Services, ex Auto; USA; millions of dollars Census, USA

Y178 Relative consumer price indices, 2010=100; Sweden OECD

Y127 4451: Grocery Stores; USA; millions of dollars Census, USA

Y182 Relative consumer price indices, 2010=100; United States OECD

Y150 Consumer Goods; U.S.; millions of dollars Census, USA

Y165 Relative consumer price indices, 2010=100; Greece OECD

Y153 Grain and Oilseed Milling; U.S.; millions of dollars Census, USA

Y179 Relative consumer price indices, 2010=100; Switzerland OECD

Y168 Relative consumer price indices, 2010=100; Italy OECD

Y152 Consumer Nondurable Goods; U.S.; millions of dollars Census, USA

Y137 Wood Products; U.S.; millions of dollars Census, USA

Y160 Relative consumer price indices, 2010=100; Canada OECD

Y130 445: Food and Beverage Stores; USA; millions of dollars Census, USA

Y164 Relative consumer price indices, 2010=100; Germany

OECD

Y167 Relative consumer price indices, 2010=100; Ireland

Y174 Relative consumer price indices, 2010=100; New Zealand

Y184 Relative consumer price indices, 2010=100; Brazil

Y173 Relative consumer price indices, 2010=100; Netherlands

Y172 Relative consumer price indices, 2010=100; Mexico

Y143 Audio and Video Equipment; U.S.; millions of dollars Census, USA

Y183 Relative consumer price indices, 2010=100; Euro area (17 countries)

OECD

Y185 Relative consumer price indices, 2010=100; China

Y159 Relative consumer price indices, 2010=100; Belgium

Y157 Relative consumer price indices, 2010=100; Australia

Y158 Relative consumer price indices, 2010=100; Austria

Y163 Relative consumer price indices, 2010=100; France

Y177 Relative consumer price indices, 2010=100; Spain

Y176 Relative consumer price indices, 2010=100; Portugal

DBD


279

ID Série Fonte

Y148 Computers and Related Products; U.S.; millions of dollars Census, USA

Y171 Relative consumer price indices, 2010=100; Luxembourg OECD

Y186 Relative consumer price indices, 2010=100; India

Y139 Machinery; U.S.; millions of dollars Census, USA

Y141 Industrial Machinery Manufacturing; U.S.; millions of dollars Census, USA

Y161 Relative consumer price indices, 2010=100; Denmark OECD

Y123 44X72: Retail Trade and Food Services; USA; millions of dollars

Census, USA

Y129 441: Motor Vehicle and Parts Dealers; USA; millions of dollars

Y125 44000: Retail Trade; USA; millions of dollars

Y155 Meat, Poultry, and Seafood Product Processing; U.S.; millions of dollars

Y147 Information Technology Industries; U.S.; millions of dollars

Y131 4411,4412: Auto and Other Motor Vehicles; USA; millions of dollars

Y151 Consumer Durable Goods; U.S.; millions of dollars

Y144 Electrical Equipment Manufacturing; U.S.; millions of dollars

Y135 Total Manufacturing; U.S.; millions of dollars

Y142 Electronic Computer Manufacturing; U.S.; millions of dollars

Y134 442: Furniture and Home Furnishings Stores; USA; millions of dollars

Y136 Durable Goods; U.S.; millions of dollars

Y126 722: Food Services and Drinking Places; USA; millions of dollars

DBD


280

APÊNDICE G – Séries históricas trimestrais estrangeiras

ID Série Fonte

Y1 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Australia;

OECD

Y2 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Austria;

Y3 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Belgium;

Y4 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Czech Republic;

Y5 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Denmark;

Y6 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Estonia;

Y7 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Finland;

Y8 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; France;

Y9 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Germany;

Y10 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Greece;

Y11 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Hungary;

Y12 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Italy;

Y13 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Japan;

Y14 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Korea;

Y15 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Luxembourg;

Y16 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Mexico;

Y17 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Netherlands;

Y18 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; New Zealand;

Y19 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Norway;

Y20 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Poland;

Y21 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Slovak Republic;

Y22 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Slovenia;

Y23 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Sweden;

Y24 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Switzerland;

Y25 B1_GE:Gross domestic product - expenditure approach; Euro area (17 countries);

Y26 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; European Union;

Y27 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; Brazil;

Y28 B1_GE: Gross domestic product - expenditure approach; South Africa;

Y29 P6: Exports of goods and services; Australia;

Y30 P6: Exports of goods and services; Austria;

Y31 P6: Exports of goods and services; Belgium;

Y32 P6: Exports of goods and services; Czech Republic;

Y33 P6: Exports of goods and services; Denmark;

Y34 P6: Exports of goods and services; Estonia;

Y35 P6: Exports of goods and services; Finland;

Y36 P6: Exports of goods and services; France;

Y37 P6: Exports of goods and services; Germany;

Y38 P6: Exports of goods and services; Hungary;

Y39 P6: Exports of goods and services; Italy;

Y40 P6: Exports of goods and services; Japan;

Y41 P6: Exports of goods and services; Korea;

Y42 P6: Exports of goods and services; Luxembourg;

Y43 P6: Exports of goods and services; Mexico;

Y44 P6: Exports of goods and services; Netherlands;

Y45 P6: Exports of goods and services; New Zealand;

Y46 P6: Exports of goods and services; Norway;

Y47 P6: Exports of goods and services; Poland;

Y48 P6: Exports of goods and services; Slovak Republic;

Y49 P6: Exports of goods and services; Slovenia;

Y50 P6: Exports of goods and services; Sweden;

Y51 P6: Exports of goods and services; Switzerland;

Y52 P6: Exports of goods and services; Euro area (17 countries);

DBD


281

ID Série Fonte

Y53 P6: Exports of goods and services; European Union (27 countries);

Y54 P6: Exports of goods and services; Brazil;

Y55 P6: Exports of goods and services; South Africa;

Y71 P7: Imports of goods and services; Australia;

Y72 P7: Imports of goods and services; Austria;

Y73 P7: Imports of goods and services; Belgium;

Y74 P7: Imports of goods and services; Czech Republic;

Y75 P7: Imports of goods and services; Denmark;

Y76 P7: Imports of goods and services; Estonia;

Y77 P7: Imports of goods and services; Finland;

Y78 P7: Imports of goods and services; France;

Y79 P7: Imports of goods and services; Germany;

Y80 P7: Imports of goods and services; Hungary;

Y81 P7: Imports of goods and services; Italy;

Y82 P7: Imports of goods and services; Japan;

Y83 P7: Imports of goods and services; Korea;

Y84 P7: Imports of goods and services; Luxembourg;

Y85 P7: Imports of goods and services; Mexico;

Y86 P7: Imports of goods and services; Netherlands;

Y87 P7: Imports of goods and services; New Zealand;

Y88 P7: Imports of goods and services; Norway;

Y89 P7: Imports of goods and services; Poland;

Y90 P7: Imports of goods and services; Slovak Republic;

Y91 P7: Imports of goods and services; Slovenia;

Y92 P7: Imports of goods and services; Sweden;

Y93 P7: Imports of goods and services; Switzerland;

Y94 P7: Imports of goods and services; Euro area (17 countries);

Y95 P7: Imports of goods and services; European Union (27 countries);

Y96 P7: Imports of goods and services; Brazil;

Y97 P7: Imports of goods and services; South Africa;

Y98 SAFGD: Total gross debt; Australia;

Y99 SAFGD: Total gross debt; Austria;

Y100 SAFGD: Total gross debt; Belgium;

Y101 SAFGD: Total gross debt; Canada;

Y102 SAFGD: Total gross debt; Czech Republic;

Y103 SAFGD: Total gross debt; Denmark;

Y104 SAFGD: Total gross debt; Estonia;

Y105 SAFGD: Total gross debt; Finland;

Y106 SAFGD: Total gross debt; France;

Y107 SAFGD: Total gross debt; Germany;

Y108 SAFGD: Total gross debt; Hungary;

Y109 SAFGD: Total gross debt; Ireland;

Y110 SAFGD: Total gross debt; Italy;

Y111 SAFGD: Total gross debt; Japan;

Y112 SAFGD: Total gross debt; Luxembourg;

Y113 SAFGD: Total gross debt; Netherlands;

Y114 SAFGD: Total gross debt; Norway;

Y115 SAFGD: Total gross debt; Portugal;

Y116 SAFGD: Total gross debt; Spain;

Y117 SAFGD: Total gross debt; Sweden;

Y118 SAFGD: Total gross debt; United Kingdom;

Y119 SAFGD: Total gross debt; United States;

Y120 Retail Sales; Total; (millions of dollars) Census, USA

Y121 Retail Sales; E-commerce; (millions of dollars)

Nota: Séries em preços correntes; moeda nacional; milhões.

OECD

DBD


282

APÊNDICE H – Coeficientes dos filtros mensais: S-WLS e X-11

Filtro mensal de tamanho 117



0 20 40 60 80 100 120-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

FP

X-11

0 50 100 150-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

FP

X-11

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

FP

X-11

S-WLS

DBD


283

APÊNDICE I – Coeficientes dos filtros trimestrais: S-WLS e X-11

Filtro trimestral de tamanho 41



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

FP

X-11

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

FP

X-11

0 10 20 30 40 50 60 70

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

FP

X-11

DBD


284

APÊNDICE J – Coeficientes dos filtros mensais: S-WLS e S-WLSC




0 20 40 60 80 100 120-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

S-WLS

S-WLSC

0 50 100 150-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

S-WLS

S-WLSC

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

S-WLS

S-WLSC

Nota: assim como os coeficientes dos filtros mensais, os coeficientes dos filtros

trimestrais (S-WLS e S-WLSC) são muito parecidos. Portanto, não são apresentados.

DBD


285

APÊNDICE K – Programas MATLAB: filtro sazonal-WLS e filtro sazonal-WLS-Chebyshev

(a) Filtro S-WLS mensal

function [f,sqFP,gama0,gama1dif] =

FP_saz_withzeros(N,Ns,alpha,delta,M,peso) % filtro MENSAL

% % N: ordem do filtro % % P: a posição da amostra n=0 do filtro. Por exemplo, P=0: ponta

esquerda do filtro; P=N-1: ponta direita do filtro; P=(N-1)/2:

meio do filtro % % Ns: período (sazonal) % % alpha: percentual da distância entre os harmônicos que

corresponde à argura de banda considerada na otimização. % % delta: percentual da distância entre harmônicos da banda de

transição. % % M: fator de superamostragem na frequência durante a otimização

(M tem que ser ímpar) % % Peso: influência dada às bandas em torno dos harmônicos. O peso

equivale a peso/alpha % % f: os coeficientes do filtro %

%Nf = fix(Ns/2); Nf = fix(12/2);

% Between zero and pi we have a total of M.Ns/2 points %Corrects values to give integer frequency points alpha = (2/M)*fix(alpha*M/2); delta = fix(M*delta)/M;

MNf = fix(M*Ns/2);

P = (N-1)/2;

wideA = [0:pi/(M*Ns/2):pi*(MNf-1)/(M*Ns/2)]; enn = zeros(size(wideA)); ww = zeros(size(wideA)); wweight = ones(size(wideA)); index = 0;

% Estabelece os pontos na frequência em torno dos harmônicos

for r = 0:M-(alpha*M/2)-(delta*M), index = index+1; enn(index)= 0; ww(index) = r*2*pi/(Ns*M); wweight(index) = 1;

DBD


286

end

for r = M-(alpha*M/2):M+(alpha*M/2), index = index+1; enn(index)= 1; ww(index) = r*2*pi/(Ns*M); wweight(index) = peso/alpha; end

for k=2:fix((Ns-1)/2), for r = M*(k-1)+(alpha*M/2)+(delta*M):M*(k)-(alpha*M/2)-

(delta*M), index = index+1; enn(index) = 0; ww(index) = r*2*pi/(Ns*M); wweight(index) = 1; end for r = M*(k)-(alpha*M/2):M*(k)+(alpha*M/2), index = index+1; enn(index) = 1; ww(index) = r*2*pi/(Ns*M); wweight(index) = peso/alpha; end end

for r = (M*((Ns/2)-1))+(alpha*M/2)+(delta*M):(M*Ns/2)-(alpha*M/2)-

(delta*M), index = index+1; enn(index) = 0; ww(index) = r*2*pi/(Ns*M); wweight(index) = 1; end

for r = (M*Ns/2)-(alpha*M/2):(MNf-1), index = index+1; enn(index) = 1; ww(index) = r*2*pi/(Ns*M); wweight(index) = peso/alpha; end

% Generates the vector with the desired values en = enn(1:index)'; w = ww(1:index)'; weight = wweight(1:index);

% Generates the matrix with the weights (in this implementation

they are all equal to one Ws = diag(weight); Ws = Ws.^2;

n = (0:1:N-5)'; [x y] = meshgrid(n,w); U = exp(-j*x.*y); s= 16*exp(-2*j*w).*(sin(w/2).^4).*exp(P*j*w); S = diag(s);

V = S*U;

X = (V'*Ws*V) + (V.'*Ws*conj(V)); Y = (V'*Ws*en) + (V.'*Ws*en);

DBD


287

g = real(X\Y);

B1 = conv([1 -1],[1 -1]); B = conv(B1,B1)';

f = real(conv(g,B)); f=f'; sqFP = sum(f.^2);

[Hf,wf] = freqz(f); x=Nf*wf/pi; y=abs(Hf);

% se x=1, qual o máximo de y? x1=x; % crio um outro vetor com outro nome x1(x1~=0.996093750000000)=0; % aplico o find para encontrar

elementos com esse perfil x1(x1==0.996093750000000)=1; y1=x1.*y; % x1 se torna uma máscara com 1's e 0's, logo y1 será

diferente de 0, quando x1=1; gama0=max(y1); % maximo

omega = Nf*wf/pi; omega_pass = zeros(1, length(omega)); for i=1:length(omega) for k=1:6 if(abs(omega(i)-k)<alpha/2) omega_pass(i)=1; end end end

Hf_gama = omega_pass.*abs(Hf).'; Hf_gama(Hf_gama<0.1) = 1; Hf_gama = abs(Hf_gama -1); gama1dif = max(Hf_gama);

% %figure(3); % plot(Nf*wf/pi,abs(Hf)); % grid on; % pause; end

DBD


288

(b) Filtro S-WLS trimestral

function [f,sqFP,gama0,gama1dif] =

FP_saz_withzeros(N,Ns,alpha,delta,M,peso) % filtro TRIMESTRAL % % N: ordem do filtro % % P: a posição da amostra n=0 do filtro. Por exemplo, P=0: ponta

esquerda do filtro; P=N-1: ponta direita do filtro; P=(N-1)/2:

meio do filtro % % Ns: período (sazonal) % % alpha: percentual da distância entre os harmônicos que

corresponde à argura de banda considerada na otimização. % % delta: percentual da distância entre harmônicos da banda de

transição. % % M: fator de superamostragem na frequência durante a otimização

(M tem que ser ímpar) % % Peso: influência dada às bandas em torno dos harmônicos. O peso

equivale a peso/alpha % % f: os coeficientes do filtro %

%Nf = fix(Ns/2); Nf = fix(4/2);

% Between zero and pi we have a total of M.Ns/2 points

%Corrects values to give integer frequency points alpha = (2/M)*fix(alpha*M/2); delta = fix(M*delta)/M;

MNf = fix(M*Ns/2);

P = (N-1)/2;

wideA = [0:pi/(M*Ns/2):pi*(MNf-1)/(M*Ns/2)]; enn = zeros(size(wideA)); ww = zeros(size(wideA)); wweight = ones(size(wideA)); index = 0;

% Estabelece os pontos na frequência em torno dos harmônicos

for r = 0:M-(alpha*M/2)-(delta*M), index = index+1; enn(index)= 0; ww(index) = r*2*pi/(Ns*M); wweight(index) = 1; end

for r = M-(alpha*M/2):M+(alpha*M/2),

DBD


289

index = index+1; enn(index)= 1; ww(index) = r*2*pi/(Ns*M); wweight(index) = peso/alpha; end

for k=2:fix((Ns-1)/2), for r = M*(k-1)+(alpha*M/2)+(delta*M):M*(k)-(alpha*M/2)-

(delta*M), index = index+1; enn(index) = 0; ww(index) = r*2*pi/(Ns*M); wweight(index) = 1; end for r = M*(k)-(alpha*M/2):M*(k)+(alpha*M/2), index = index+1; enn(index) = 1; ww(index) = r*2*pi/(Ns*M); wweight(index) = peso/alpha; end end


(delta*M), index = index+1; enn(index) = 0; ww(index) = r*2*pi/(Ns*M); wweight(index) = 1; end

for r = (M*Ns/2)-(alpha*M/2):(MNf-1), index = index+1; enn(index) = 1; ww(index) = r*2*pi/(Ns*M); wweight(index) = peso/alpha; end

% Generates the vector with the desired values en = enn(1:index)'; w = ww(1:index)'; weight = wweight(1:index);

% Generates the matrix with the weights (in this implementation

they are all equal to one Ws = diag(weight); Ws = Ws.^2;

n = (0:1:N-5)'; [x y] = meshgrid(n,w); U = exp(-j*x.*y); s= 16*exp(-2*j*w).*(sin(w/2).^4).*exp(P*j*w); S = diag(s);

V = S*U;

X = (V'*Ws*V) + (V.'*Ws*conj(V)); Y = (V'*Ws*en) + (V.'*Ws*en);

g = real(X\Y);

DBD


290

B1 = conv([1 -1],[1 -1]); B = conv(B1,B1)';

f = real(conv(g,B)); f=f'; sqFP = sum(f.^2);

[Hf,wf] = freqz(f);

x=Nf*wf/pi; y=abs(Hf);

% se x=1, qual o máximo de y? x1=x; % crio um outro vetor com outro nome x1(x1~=1)=0; % aplico o find para encontrar elementos com esse

perfil x1(x1==1)=1; y1=x1.*y; % x1 se torna uma máscara com 1's e 0's, logo y1 será

diferente de 0, quando x1=1; gama0=max(y1); % máximo

omega = Nf*wf/pi;

omega_pass = zeros(1, length(omega)); for i=1:length(omega) for k=1:2 if(abs(omega(i)-k)<alpha/2) omega_pass(i)=1; end end end

Hf_gama = omega_pass.*abs(Hf).'; Hf_gama(Hf_gama<0.1) = 1; Hf_gama = abs(Hf_gama -1); gama1dif = max(Hf_gama);

% figure(3) % plot(Nf*wf/pi,abs(Hf)); % grid on; % pause;

end

DBD


291

(c) Filtro S-WLSC mensal

function [y,mse_vector,en,w2,it,sqWLS,gama0W,gama1difW] =

wls_chebyshev(N,Ns,alpha,delta,M,peso,gamma,maxIterations,tam)

% tam = k (nº de meses que o padrao sazonal se repete)

% f = wls_chebychev(N,Ns,alpha,delta,M,peso,gamma,maxIterations)

% gamma = 0.05

% maxIterations = 40

% Sugestions:

% f = wls_chebychev(141,12,1/5,1/20,401,1,0.05)


%Corrects values to give integer frequency points

alpha = (2/M)*fix(alpha*M/2);

delta = fix(M*delta)/M;

Nf = fix(Ns/2);

MNf = fix(M*Ns/2);

hm = zeros(1,(Ns/2));

hm_idx = zeros(1,(Ns/2));

P = (N-1)/2;

wideA = 0:pi/(M*Ns/2):pi*(MNf-1)/(M*Ns/2);

enn = zeros(size(wideA));

ww = zeros(size(wideA));

w_rejection = ww;

w_pass = ww;

wweight = ones(size(wideA));

index = 0;

idx = 0;

% Stabilish points in frequency around harmonics

for r = 0:M-(alpha*M/2)-(delta*M),

index = index+1;

enn(index)= 0;

ww(index) = r*2*pi/(Ns*M);

w_rejection(index)=ww(index);

wweight(index) = 1;

end


index = index+1;

enn(index)= 1;


w_pass(index)=ww(index);

wweight(index) = peso/alpha;

if (r == M)

idx = idx+1;

hm(idx) = ww(index);

hm_idx(idx) = index;

end

end

for k=2:fix((Ns-1)/2),

for r = M*(k-1)+(alpha*M/2)+(delta*M):M*(k)-(alpha*M/2)-(delta*M),

index = index+1;

enn(index) = 0;


wweight(index) = 1;


end

for r = M*(k)-(alpha*M/2):M*(k)+(alpha*M/2),

DBD


292

index = index+1;

enn(index) = 1;




if r == M*(k)

idx = idx+1;



end

end

end


(delta*M),

index = index+1;

enn(index) = 0;


wweight(index) = ww(index);


end

for r = (M*Ns/2)-(alpha*M/2):(MNf-1),

index = index+1;

enn(index) = 1;




end

% Generates the vector with the desired values

en = enn(1:index)';

w = ww(1:index)';

weight = wweight(1:index);

% Generates the matrix with the weights (in this implementation they are

all equal to one

Ws = diag(weight);

Ws = Ws.^2;

n = (0:1:N-5)';

[x, y] = meshgrid(n,w);

U = exp(-1i*x.*y);

s= 16*exp(-2*1i*w).*(sin(w/2).^4).*exp(P*1i*w);

S = diag(s);

V = S*U;

kmax = maxIterations;

mse_vector = zeros(1,kmax);

for k = 1:kmax

disp(['Iteracao =',num2str(k)]);

X = (V'*Ws*V) + (V.'*Ws*conj(V));

Y = (V'*Ws*en) + (V.'*Ws*en);

g = real(X\Y);

B1 = conv([1 -1],[1 -1]);

B = conv(B1,B1)';

f = real(conv(g,B));

% Error computation

fw = freqz(f,1,w);

e1 = abs(abs(fw) - en);

mse_vector(k)=norm(e1)./length(e1);

DBD


293

%======================================================

% Check Convergence

%======================================================

if k ~= 1

err_diff = abs(e1 - e0);

if err_diff < 0.001

it = k;

break;

else

it = kmax;

end

end

e0 = e1;

%================================================

% Envelope detection

%================================================

[pks,locs]= findpeaks(e1);

err_rej_pks = zeros((Ns/2),length(locs));

err_rej_locs = zeros((Ns/2),length(locs));

lin=1;

col=1;

for var=1:length(locs)

if any(w_rejection(:)==w(locs(var)))

err_rej_pks(lin,col)=pks(var);

err_rej_locs(lin,col) = locs(var);

col=col+1;

else

if col~=1

col = 1;

lin = lin+1;

end

end

end

sorted_pks = sort((err_rej_pks'),'descend')';

err_rej_max=zeros(1,(Ns/2));

J = 2;

err_rej_max(1)= sorted_pks(1,J-1);

for var=2:length(err_rej_max);

err_rej_max(var) = sorted_pks(var,J);

end

peaks = pks; %deixa plano todos os picos abaixo de J

for ii=1:(Ns/2)

for jj=1:length(locs)

if err_rej_locs(ii,jj) ~= 0

posit = locs==err_rej_locs(ii,jj);

peaks(posit) = gamma*err_rej_max(ii);%amplifica a banda de

rejeição

end

end

end

beta = interp1([w(locs); w(end)],[peaks';

peaks(end)],w,'linear','extrap');

% Updating W

Ws = Ws*diag(beta);

end

sqWLS = sum(f.^2);

DBD


294

[Hf,wf] = freqz(f);

%%%%%%% Para calcular a SNR

x=Nf*wf/pi;

y=abs(Hf);

% se x=1, qual o máximo de y?

x1=x; % crio um outro vetor com outro nome

x1(x1~=0.996093750000000)=0; % aplico o find para encontrar elementos com

esse perfil

x1(x1==0.996093750000000)=1;

y1=x1.*y; % x1 se torna uma máscara com 1's e 0's, logo y1 será

diferente de 0, quando x1=1;

gama0W=max(y1); % máximo

%%%%%%%%%% Cálculo da largura correta da banda

alpha2= 24/tam;

omega = Nf*wf/pi;

omega_pass = zeros(1, length(omega));

for i=1:length(omega)

for k=1:6

if(abs(omega(i)-k)<alpha2/2)

omega_pass(i)=1;

end

end

end

Hf_gama = omega_pass.*abs(Hf).';

Hf_gama(Hf_gama<0.1) = 1;

Hf_gama = abs(Hf_gama -1);

gama1difW = max(Hf_gama);

%figure(3);

% plot(Nf*wf/pi,abs(Hf));

% grid on;

% pause;

%

w2= w.*6./pi;

y = abs(fw);

end

DBD


295

(d) Filtro S-WLSC trimestral

function [y,mse_vector,en,w2,it,sqWLS,gama0W,gama1difW] =

wls_chebyshev_trim(N,Ns,alpha,delta,M,peso,gamma,maxIterations,tam)

% FILTRO TRIMESTRAL

% Ns=4

% tam = k (nº de TRIMESTRES que o padrao sazonal se repete)

% =====================================================================

% [y,mse_vector,en,w2,it,sqWLS,gama0W,gama1difW] =

wls_chebyshev_trim(43,4,1/3,1/10,401,5,0.01,80,24)

%

% f = wls_chebyshev(141,12,1/60,1/5,401,10)

% N : a ordem do filtro

%

% P : a posição da amostra n=0 do filtro. Por exemplo, P=0: ponta

esquerda do filtro; P=N-1: ponta direita do filtro; P=(N-1)/2: meio do

filtro

%


%Corrects values to give integer frequency points

alpha = (2/M)*fix(alpha*M/2);

delta = fix(M*delta)/M;

Nf = fix(Ns/2);

MNf = fix(M*Ns/2);

hm = zeros(1,(Ns/2));

hm_idx = zeros(1,(Ns/2));

P = (N-1)/2;

wideA = 0:pi/(M*Ns/2):pi*(MNf-1)/(M*Ns/2);

enn = zeros(size(wideA));

ww = zeros(size(wideA));

w_rejection = ww;

w_pass = ww;

wweight = ones(size(wideA));

index = 0;

idx = 0;

% Stabilish points in frequency around harmonics

for r = 0:M-(alpha*M/2)-(delta*M),

index = index+1;

enn(index)= 0;



wweight(index) = 1;

end


index = index+1;

enn(index)= 1;




if (r == M)

idx = idx+1;



end

end

DBD


296

for k=2:fix((Ns-1)/2),

for r = M*(k-1)+(alpha*M/2)+(delta*M):M*(k)-(alpha*M/2)-(delta*M),

index = index+1;

enn(index) = 0;


wweight(index) = 1;


end

for r = M*(k)-(alpha*M/2):M*(k)+(alpha*M/2),

index = index+1;

enn(index) = 1;




if r == M*(k)

idx = idx+1;



end

end

end


(delta*M),

index = index+1;

enn(index) = 0;


wweight(index) = ww(index);


end

for r = (M*Ns/2)-(alpha*M/2):(MNf-1),

index = index+1;

enn(index) = 1;




end

% Generates the vector with the desired values

en = enn(1:index)';

w = ww(1:index)';

weight = wweight(1:index);

% Generates the matrix with the weights (in this implementation they are

all equal to one

Ws = diag(weight);

Ws = Ws.^2;

n = (0:1:N-5)';

[x, y] = meshgrid(n,w);

U = exp(-1i*x.*y);

s= 16*exp(-2*1i*w).*(sin(w/2).^4).*exp(P*1i*w);

S = diag(s);

V = S*U;

kmax = maxIterations;

mse_vector = zeros(1,kmax);

for k = 1:kmax

disp(['Iteracao =',num2str(k)]);

X = (V'*Ws*V) + (V.'*Ws*conj(V));

Y = (V'*Ws*en) + (V.'*Ws*en);

DBD


297

g = real(X\Y);

B1 = conv([1 -1],[1 -1]);

B = conv(B1,B1)';

f = real(conv(g,B));

% Error computation

fw = freqz(f,1,w);

e1 = abs(abs(fw) - en);

mse_vector(k)=norm(e1)./length(e1);

%======================================================

% Check Convergence

%======================================================

if k ~= 1

err_diff = abs(e1 - e0);

if err_diff < 0.001

it = k;

break;

else

it = kmax;

end

end

e0 = e1;

%================================================

% Envelope detection

%================================================

[pks,locs]= findpeaks(e1);

err_rej_pks = zeros((Ns/2),length(locs));

err_rej_locs = zeros((Ns/2),length(locs));

lin=1;

col=1;

for var=1:length(locs)

if any(w_rejection(:)==w(locs(var)))

err_rej_pks(lin,col)=pks(var);

err_rej_locs(lin,col) = locs(var);

col=col+1;

else

if col~=1

col = 1;

lin = lin+1;

end

end

end

sorted_pks = sort((err_rej_pks'),'descend')';

err_rej_max=zeros(1,(Ns/2));

J = 2;

err_rej_max(1)= sorted_pks(1,J-1);

for var=2:length(err_rej_max);

err_rej_max(var) = sorted_pks(var,J);

end

% disp(err_rej_max);

peaks = pks; %deixa plano todos os picos abaixo de J

for ii=1:(Ns/2)

for jj=1:length(locs)

if err_rej_locs(ii,jj) ~= 0

posit = locs==err_rej_locs(ii,jj);

peaks(posit) = gamma*err_rej_max(ii);%amplifica a banda de

rejeição

DBD


298

end

end

end

beta = interp1([w(locs); w(end)],[peaks';

peaks(end)],w,'linear','extrap');

% Updating W

Ws = Ws*diag(beta);

end

sqWLS = sum(f.^2);

[Hf,wf] = freqz(f);

x=Nf*wf/pi;

y=abs(Hf);

% se x=1, qual o máximo de y?

x1=x; % crio um outro vetor com outro nome

x1(x1~=1)=0; % aplico o find para encontrar elementos com esse perfil

x1(x1==1)=1;

y1=x1.*y; % x1 se torna uma máscara com 1's e 0's, logo y1 será

diferente de 0, quando x1=1;

gama0W=max(y1); % máximo

%%%%%%%%%%%%%%%%%% Para o cálculo da SNR

alpha2= 8/tam;

omega = Nf*wf/pi;

omega_pass = zeros(1, length(omega));

for i=1:length(omega)

for k=1:2

if(abs(omega(i)-k)<alpha2/2)

omega_pass(i)=1;

end

end

end

Hf_gama = omega_pass.*abs(Hf).';

Hf_gama(Hf_gama<0.1) = 1;

Hf_gama = abs(Hf_gama -1);

gama1difW = max(Hf_gama);

%figure(3);

% plot(Nf*wf/pi,abs(Hf));

% grid on;

% pause;

%

w2= w.*2./pi;

end

DBD
