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Geometria projetiva e suas aplicaes em visoMarcelo GattassDepartamento de Informtica PUC-RioSumrioParte I:Linhas e pontosTransformaesCnicas
Retas0xy
reta =Representao homognea de retasxy
representam a mesma reta0Pontoxy
xy
0Representao homognea de pontosxy
xy
0Graus de liberdade (dof) das retasxy
nm1
2 d.o.f.
0Pontos a partir de linhas
interseo Exemplo
Linhas a partir de pontos
Exemplo
Pontos e linhas no infinito12
Interseo de linhas paralelas:
ponto ideal (no )
Linha do horizonte
Representao do P2x2x1x3x3=1xy
ponto idealPrincpio da dualidade no P215
Para qualquer teorema de geometria projetiva no P2 existe um teorema dual que pode ser derivado dele trocando os pontos por linhas e vice-versa.Transformao projetivaUma projetiva (projectivity) um mapeamento inversvel h(x) de P2 em si mesmo, tal que trs pontos x1,x2,x3 esto numa mesma linha se e somente se h(x1),h(x2),h(x3) tambm esto.Definio:Um mapeamento h:P2P2 projetivo se e somente se existe uma matriz no singular 3x3 H para todo ponto x do P2 verdade que h(x)=HxTeorema:Definio: Transformao projetiva
ou8DOFprojetiva, colinerizao, transformao projetiva, homografiaMapeamento entre planosxxxxyyx3x1x2
Projeo centralRemoo de distoro
Selecione quatro pontos conhecidos(linear em hij)(2 equaes/ponto, 8DOF 4 so nescessrios)Obs.: no uma calibrao, existem maneiras melhores (a seguir)Mais exemplos
Tranformaes de linhas e pontos
Transformao de linhasTransformao de pontosResumo:As linhas se transformam em:
As cnicas em (a ser visto):
As cnicas duais (a ser visto):
Dada uma transformao projetiva de pontosUma hierarquia de transformaesGrupo projetiva linear Grupo afim (ltima linha(0,0,1)) Grupo Euclideano (sup esq 2x2 ortogonal) Grupo Euclideano orientdo (sup esq 2x2 det 1)
Alternativa, caracterizar transformaes em termos dos elementos ou quantidades preservadas ou invariantes
e.x. Transformaes Euclideanas preservam distancias
Classe I: Isometrias(iso=mesma, metric=medida)
mesma orientao:invertem a orientao:
casos especiais: rotao pura, translao pura3DOF (1 rotao, 2 translaes) Invariantes: comprimento, ngulo, reaClasse II: Similaridades(isometria + escala)
tambm conhecidas como equi-form (preservam forma)estrutura mtrica = estrutura a menos de escala (literatura)4DOFs (1 escala, 1 rotao, 2 translaes) Invariantes: razo de comprimentos, ngulos, razo de reas, linhas paralelasClasse III: Transformaes Afim
escala anisotrpic! (2DOF: razo de escala e orientao)6DOF (2 escala, 2 rotaes, 2 translaes) Invariantes: linhas paralelas, razo de segmentos paralelos, razo de reas
ondeTransformada afim e projetiva da linha no infinito
Linha no infinito se torna finita e podemos observar pontos de fuga, horizontes.Linha no infinito permance l mas pontos se movem.Classe VI: Transformao projetiva
8DOF (2 escalas, 2 rotao, 2 translao, 2 linhas no infinito) Invariantes: razo-cruzadas de quatro pointos numa linha (razo de razo)
Decomposio da transformao projectiva
triangular superior,decomposio nica (se s>0)
Exemplo:Resumo das transformaes projetivas no P2
Projetiva8dofConcorrencia, colinearidade, contato (interseo, tangencia, infleco, etc.), razo cruzada (cross ratio)
Afim6dofParalelismo, razo de areas, razo de comprimentos em linhas paralelas, combinao linear de vetores, A linha no infinito l
Similaridade4dofRazo de comprimentos, angulos.Os pontos circulares I,J
Euclideana3dofcomprimentos, areas.
l sob transformada afim
A linha l invariante sob uma transformao H se e somente se H uma transformao afim. Preserva: paralelismo, razo de areas, ...Nota: no ponto a ponto!
Retificao com 2 ptos de fuga
l4l3
Retificao 2l4l3
Para xl
A retificao e o modelo original
projeoretificao
Cnicas34Curve descrita por uma equao do 2o- grau no plano
crculo ou elpseparbolahiperboleCnicas35
ou em coordenas homogneas
em forma matricial
e
5DOF: 5 ou mais pontos definem uma cnica36Ponto i pertence a cnica:
ou
ou
Linhas tangentes a uma cnica37lxC
Cnica de pontos e cnica dual38
Cnica dual = cnica de linhas = envelope de cnicascnica de pontoscnica de linhasExemplo: cnica no meio de campo
Exemplo: tangentes no meio de campo
Cnica degeneradas
posto 2:
Geometria projetiva em 1D
3DOF (2x2-1)
ponto idealcoordenada
Razo cruzada (cross ratio)Invariante sob transformaes projetivas
Razo cruzada O valor da razo cruzada no varia com a escolha das coordenada homognea. Ela afeta ao mesmo tempo o numerador e o denominador.Se as coordenadas homogneas forem iguais a um, os determinantes so as distncias.A definio da razo cruzada vlida mesmo que um dos pontos seja ideal (no ).Ponto de fuga a partir de 3 ptos
a'b'c'd'
Ponto de fuga a partir de 3 ptos
a'b'c'd'
46Construo grfica do ponto de fugaa'b'c'acbd'
Ponto de fuga a partir de 3 ptos (caso geral)
Pontos circulares do plano
l
Codificam algebriamente 2 direes:
Classificao afim das cnicas
elipseparbola
hiperboleElipses e crculos no se distinguem na geometria afim!Interseo de duas elipses4 pontos
2 pontos?Invarincia de pontos circulares do plano
Os pontos circulares planos I, J so invariantes sob um transformao H H uma similaridade
Tambm chamados de Pontos Absolutos.Cnica dual aos pontos circulares do plano
Note: tem 4DOF (simtrica e det |C* |=0)l o vetor do ncleo de C*
A cnica dual invariantes sob uma transformao H H uma similaridade
ngulos
Euclideana:Projectiva:
(ortogonais)Razo cruzada de ngulos
Medies na imagem
Transformada de retificao a partir da SVD
Medies em transformadas afim
Medies em projees
Relao polo polar
A linha polar l=Cx do ponto x em relao a cnica C intersepta a cnica em dois pontos. As duas linhas tangentes a C nestes pontos se interseptam em x.Correlaes e pontos conjugadosUma correlao um mapeamento inversvel de pontos do P2 para linhas do P2. representado por uma matriz A 3x3 no singular tal que l=Ax
Pontos conjugados em relao a C(um o polar do outro)
Pontos conjugados em relao C*(atravs do polo do outro)
Classificao da cnica prjetiva
DiagonalEquaoTipo de cnica(1,1,1)Imprpria(1,1,-1)Crculo(1,1,0)Um ponto(1,-1,0)Duas linhas(1,0,0)Linha simples
Geometria projetiva em 3D, P3Pontos, linhas planos e qudricas
Transformaes
, e 62
Pontos 3D63
in R3
in P3
(4x4 -1=15 d.o.f.)transformao projetiva
Planos64
Dualidade: pontos planos, linhas linhas
Representao euclidiana
TransformaoPlano a partir de 3 pontos65
Encontre n0 no ncleo de
Ou pela coplanariedade:
Linhas66
Example: X-axis(4dof: 2 for each point on the planes)Span of WT is pencil of points:Span of W* is pencil of planes:Quadrticas e quadrticas duais67(Q : 4x4 matriz simtrica)
9 d.o.f.em geral 9 pontos definem uma quadratica det Q=0 quadrica degenerada(plano quadratica)=cnicatransformaes
relao a quadrica (no-degenerada)transformao
673. and thus defined by less points4. 5. Derive XQX=xMQMx=0
Quadric classification68Rank Sign.DiagonalEquationRealization44(1,1,1,1)X2+ Y2+ Z2+1=0No real points2(1,1,1,-1)X2+ Y2+ Z2=1Sphere0(1,1,-1,-1)X2+ Y2= Z2+1Hyperboloid (1S)33(1,1,1,0)X2+ Y2+ Z2=0Single point1(1,1,-1,0)X2+ Y2= Z2Cone 22(1,1,0,0)X2+ Y2= 0Single line0(1,-1,0,0)X2= Y2Two planes11(1,0,0,0)X2=0Single plane68Signature sigma= sum of diagonal,e.g. +1+1+1-1=2,always more + than -, so always positive
Classificao das qutricas:69
Quando projetadas no R3 equivalem a:
Quadraticas regradas:hyperboloidede uma folhahiperboloidede duas folhasparaboloideesferaelipsoide
Quadraticas degeneradas (regradas):conedois planos69Ruled quadric: two family of lines, called generators.Hyperboloid of 1 sheet topologically equivalent to torus!Hierarquia das transformaes:70
Projetiva15dofAfim12dofSimilaridade7dofEuclideana6dofInterseo e tangnciaParalelismo de planos,Razo de volumes, centroides,O plane no infinito A cnica absoluta
Volume
Plano no infinito71
O plano no infinito invariante a uma transformao H H uma transformao afim
posio cannicacontain as direes dois planos so paralelos linha de interseo o linha // linha (ou plano) ponto de interseo em
71Represents 3DOF between projective and affineA cnica absoluta
A cnica absoluta uma cnica (de pontos) em que satisfaz:
ou em direes (no tem pontos prprios):72Represent 5 DOF between affine and similarityA cnica absoluta (propriedades)73A cnica absoluta invariante sob uma transformao projetiva H H uma similaridade
is only fixed as a setCircles intersect in two pointsSpheres intersect in 73Represent 5 DOF between affine and similarityConjugado em relao a 74
Euclidiana:Projetiva:(conjugado~ortogonal)
planonormalDado um plano no infinito e a cnica absoluta74Orthogonality is conjugacy with respect to Absolute ConicA quadratica absoluta dual75
The absolute conic * is a fixed conic under the projective transformation H iff H is a similarity
8 dofplane at infinity is the nullvector of Angles:
751, not equation like abs conicCmera
xcyczcywxwzwPwPcT
76Pontos do campo
XYZ
CrculoXYZ
imagem do crculo